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UNIVERSIDADE DO RIO GRANDE DO NORTEFEDERAL

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE

CENTRO DE TECNOLOGIA

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA

ELÉTRICA E DE COMPUTAÇÃO

Uma ferramenta para Análise Multiresoluçãode dados não regularmente amostrados.

Luiz Paulo de Souza Medeiros

Natal, RN, fevereiro de 2012

UNIVERSIDADE DO RIO GRANDE DO NORTEFEDERAL

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE

CENTRO DE TECNOLOGIA

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA

ELÉTRICA E DE COMPUTAÇÃO

Uma ferramenta para Análise Multiresoluçãode dados não regularmente amostrados.


Orientadora: Profa. Dra. Ana Maria Guimarães Guerreiro

Dissertação de Mestradoapresentada aoPrograma de Pós-graduação em EngenhariaElétrica e de Computação da UFRN (área deconcentração: Engenharia de Computação)como parte dos requisitos para obtenção dotítulo de Mestre em Ciências.

Natal, RN, fevereiro de 2012

Uma ferramenta para a Análise Multiresoluçãode dados não regularmente amostrados


Dissertação de Mestrado aprovada em 24 de fevereiro de 2012 pela banca exami-nadora composta pelos seguintes membros:

Profa. Dra. Ana Maria Guimarães Guerreiro (orientadora) . . . . . . . DEB/UFRN

Prof. Dr. Adrião Duarte Dória Neto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . DCA/UFRN

Prof. Dr. Marcelo Augusto Costa Fernandes . . . . . . . . . . . . . . . .. . . DCA/UFRN

Prof. Dr. José Dias do Nascimento Júnior . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . DFTE/UFRN

Prof. Dr. Adriano de Andrade Bresolin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . UTFPR

"O segredo é quebrar os problemas em pequenos pedaços administráveis.Se você lidar com eles, termina antes mesmo de perceber".

- Calvin (personagem criado por Bill Watterson)

Aos meus pais e irmão, pelaconfiança, apoio e paciência em

mim depositados.

Agradecimentos

À minha orientadora, Profa. Ana Maria Guimarães Guerreiro, sou grato pela orientação,compreensão e por todo o conhecimento a mim repassado.

Ao Prof. José Dias do Nascimento Júnior, pelo incentivo, compreensão e auxílio nainterpretação dos resultados.

Ao Prof. Adrião Duarte Dória Neto, pelas orientações e cobranças pontuais ao longo dodesenvolvimento do trabalho.

Ao Prof. José Renan de Medeiros, do laboratório CoRoT da UFRN, pela cessão dos dadose do espaço para trabalho.

À minha mãe, Maria Nerivan de Souza Medeiros, pelo carinho, apoio incondicional ecompreensão da ausência. Mas, acima de tudo, pelo exemplo.

Ao meu pai, Josias Martinho de Medeiros, pelo apoio e suporteindispensável. Por meensinar a manter a calma e trabalhar com tranquilidade, paraatingir meus objetivos.

Ao meu irmão, João Paulo de Souza Medeiros, pelo apoio e contribuição pontuais no de-senvolvimento do trabalho. E por servir de inspiração no desenvolvimento das atividadesacadêmicas.

Aos meus colegas de laboratório, Mademerson, Robinson, Carlos, Anthony e André, portornar o ambiente de trabalho mais leve e agradável.

Aos meu amigos Bruno Rabelo, Arthur Salgado, Aírton Neto, Ronkaly Carlos, VitorSalgado e Giovanni Oliveira, pelos momentos de descontração e alegria que ajudaram aretomar o fôlego para o desenvolvimento das atividades.

Aos colegas de trabalho e amigos que fiz no IFRN Campus Caicó, peloincentivo.

Ao amigo e colega de trabalho Alisson Diego, pela correção deste documento.

À Capes pelo suporte financeiro nos meses iniciais do Mestradoe ao LABSIS; peladisponibilidade de equipamentos e local de trabalho.

Resumo

O processamento digital de sinais (PDS) tem como objetivo a extração de infor-

mações específicas a partir de sinais armazenados digitalmente. Os sinais digitais são,

por definição, grandezas físicas representadas por uma sequência de valores discretos e

é a partir dessas sequências de valores que é possível extrair e analisar as informações

desejadas. Os sinais digitais não regularmente espaçados não são corretamente analisa-

dos utilizando as técnicas padrões do processamento digital de sinais. Neste trabalho

teve-se o objetivo de adequar uma técnica de PDS, a análise multiresolução, para analisar

sinais não regularmente espaçados, visando auxiliar as pesquisas realizadas no laboratório

CoRoT na UFRN. O trabalho desenvolvido consiste em uma reindexação da transformada

Wavelet para tratar os dados não regularmente espaçados de maneira adequada. O método

mostrou-se efetivo, apresentando resultados satisfatórios.

Palavras-chave: Wavelet, Lomb-Scargle, Dados Não Regularmente Amostrados, Análise

Espectral, Análise Multiresolução, CoRoT.

Abstract

Digital signal processing (DSP) aims to extract specific information from digital sig-

nals. Digital signals are, by definition, physical quantities represented by a sequence of

discrete values and from these sequences it is possible to extract and analyze the desired

information. The unevenly sampled data can not be properly analyzed using standard

techniques of digital signal processing. This work aimed toadapt a technique of DSP,

the multiresolution analysis, to analyze unevenly smapleddata, to aid the studies in the

CoRoT laboratory at UFRN. The process is based on re-indexing the wavelet transform to

handle unevenly sampled data properly. The was efective presenting satisfactory results.

Keywords:: Wavelet, Lomb-Scargle, Unevenly Sampled Data, Spectral Analysis,

Multiresolution Analysis, CoRoT.

Sumário

Sumário i

Lista de Figuras ii

Lista de Tabelas v

Lista de Abreviaturas vi

1 Introdução 1

1.1 A missão espacial CoRoT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 O problema abordado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3.1 Objetivos específicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4 Organização do trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Fundamentação Teórica 7

2.1 Missão CoRoT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.1.1 Os dados coletados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2 Curvas de Luz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.3 Processamento Digital de Sinais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 11

2.3.1 Sinais Digitais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.4 Análise Espectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.4.1 Lomb-Scargle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.5 Análise Multiresolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21

2.5.1 Wavelet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.5.2 Mapas Wavelet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3 Método de Multiresolução Aplicado às Curvas de Luz 27

3.1 Ferramenta de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.2 Método da Wavelet Modificada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.2.1 Wavelet para dados não regularmente espaçados . . . . . .. . . 35

4 Resultados e aplicação desenvolvida 40

4.1 Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.1.1 Análise de sinal não regularmente espaçado gerado computacional-

mente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.1.2 Análise da curva de luz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.2 Aplicação desenvolvida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44

5 Conclusão 49

5.1 Sugestão de trabalhos futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 50

Referências Bibliográficas 51

Lista de Figuras

2.1 Exemplo de uma Curva de Luz Monocromática. . . . . . . . . . . . . .. 9

2.2 Exemplo de uma Curva de Luz Cromática. . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.3 Exemplo de uma Curva de Luz de natureza constante. . . . . . . .. . . . 10

2.4 Exemplo de uma Curva de Luz de natureza variável. . . . . . . . .. . . . 10

2.5 Exemplo de um sinal cossenóide analógico. . . . . . . . . . . . .. . . . 12

2.6 Exemplo de um sinal cossenóide digital. . . . . . . . . . . . . . .. . . . 13

2.7 Exemplo de um sinal cossenóide digital não regularmenteespaçado. . . . 16

2.8 Sinal gerado pela equaçãoy(t) = 0,8cos(0,22t2π)+0,2cos(0,48t2π). . 18

2.9 Análise espectral do sinal gerado pela equaçãoy(t) = 0,8cos(0,22t2π)+

0,2cos(0,48t2π). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.10 Exemplo de um sinal discreto não regularmente espaçado. . . . . . . . . 21

2.11 Periodograma criado utilizando Lomb-Scargle em um sinal discreto não

regularmente espaçado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.12 Exemplo de mapa Wavelet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.13 Forma de onda da Wavelet Haar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25

3.1 Snapshot do aplicativo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .28

3.2 Barra de interação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.3 Região para abertura de diretório. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 29

3.4 Lista de curvas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.5 Painel de configuração do Lomb-Scargle. . . . . . . . . . . . . . .. . . 30

3.6 Gráfico para exibição da curva de luz. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 31

3.7 Gráfico para exibição do periodograma de Lomb-Scargle. .. . . . . . . . 31

3.8 Curva de luz utilizadas nos testes da transformadawavelet. . . . . . . . . 33

3.9 Espectro da curva de luz utilizando o algoritmo de Lomb-Scargle. . . . . 33

3.10 Análise utilizando awavelet Morlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.11 Análise utilizando awavelet Daubechis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.12 Análise utilizando awavelet Mexican Hat. . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.13 Formas de ondas das wavelets mães utilizadas. . . . . . . . .. . . . . . . 37

3.14 Wavelet Morlet circular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 38

4.1 Sinal digital sintetizado utilizado para validação do método. . . . . . . . 41

4.2 Sinal digital sintetizado acrescido de ruído utilizadopara validação do

método. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.3 Sinal digital sintetizado não regularmente espaçado utilizado para vali-

dação do método. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.4 Espectro de frequência gerado pelo Lomb-Scargle para o sinal de teste. . . 42

4.5 Sinal digital sintetizado utilizado para validação do método. . . . . . . . 43

4.6 Curva de luz EN2 STAR MON 0102884662 20070203T130553 20070401T235518

da missão espacial CoRoT. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.7 Análise espectral da curva de luz EN2 STAR MON 010288466220070203T130553

20070401T235518 da missão espacial CoRoT. . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.8 Análise multiresolição da curva de luz EN2 STAR MON 0102884662

20070203T130553 20070401T235518 da missão espacial CoRoT sem a

técnica deψ circular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.9 Análise multiresolição da curva de luz EN2 STAR MON 0102884662

20070203T130553 20070401T235518 da missão espacial CoRoT utilizando

a técnica deψ circular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.10 Screenshot da aplicação desenvolvida. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 48

4.11 Imagem da aplicação desenvolvida separada de acordo com sua funcional-

idade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

Lista de Tabelas

3.1 Exemplo de relatório gerado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 32

Lista de Abreviaturas

CCD Charge-Coupled Device

CDC CoRoT Data Centre

CMC CoRoT Mission Centre

CNES Centre National d’Etudes Spatiales

CNRS Centre National de la Recherche Scientifiique

CoRoT Convection, Rotation & planetary Transits

DCDFT Data Compensate Discrete Fourier Transform

DFTE Departamento de Física Teórica e Experimental

DSP Digital Signal Processor

fdG Função Derivativa do Gradiente

FFT Fast Fourier Transform

FPGA Field-Programmable Gate Array

Mh Mexican Hat

N1 Dados da Missão Espacial CoRoT Nível 1

N2 Dados da Missão Espacial CoRoT Nível 2

PDS Processamento Digital de Sinais

RNA Redes Neurais Artificiais

SC Switched-Capacitor

TB TeraByte

UFRN Universidade Federal do Rio Grande do Norte

Capítulo 1

Introdução

O universo, mesmo sendo um dos primeiros objetos de estudo dahumanidade, con-

tinua sendo um dos maiores mistérios que conhecemos. O interesse humano pelo espaço

possui registros tão antigos quanto os primeiros documentos históricos encontrados. De

fato, quer seja por motivações religiosas, místicas ou científicas, os estudos para com-

preensão do universo vêm acontecendo desde a antiguidade e tendem a prosseguir in-

definidamente.

Os estudos científicos sobre o universo acentuaram-se devido às teorias criadas por

Nicolau Copérnico, Johannes Kepler e Galileu Galilei. Estasteorias colocavam fim ao

geocentrismo, indicando que é o nosso planeta Terra que gravita em torno do Sol, e não

o Cosmos que gira em torno de nós [de Medeiros, 2001]. A partir desse momento, cada

vez mais pesquisadores voltaram suas atenções para as pesquisas espaciais, buscando

encontrar novos planetas, estrelas, galáxias ou mesmo descobrir se existe vida em alguma

outra parte do universo.

Ao logo do tempo, os avanços tecnológicos resultaram numa sofisticação dos equipa-

mentos utilizados nessas pesquisas. Estudos que, inicialmente, eram realizados através da

observação do céu a olho nu, em períodos noturnos, com o auxílio de arranjos de lentes e

documentados através de anotações em cadernos, passaram a ser realizados com arranjos

Capítulo 1. Introdução 2

de lentes mais sofisticados, acoplados a câmeras fotográficas ou de vídeo, que permitem

a documentação fiel para análise posterior e, por fim, chegaram ao estágio atual, onde

as pesquisas são realizadas através de missões espaciais, nas quais são enviados satélites

dedicados à observação de corpos celestes. Tais satélites têm capacidade de monitorar

diversos corpos simultaneamente e com um nível de precisão edetalhes inúmeras vezes

superiores à percepção humana.

Assim, várias missões espaciais têm impulsionado a pesquisa em várias áreas. Uma

dessas áreas importantes trata de como lidar com as informações captadas, de como pro-

cessar esses sinais enviados pelos satélites.

O trabalho desenvolvido trata das técnicas de processamento digital de sinais ade-

quadas às características dos sinais observados pelo satélite.

1.1 A missão espacial CoRoT

A missão espacial (Convection, Rotation & planetary Transits- Convecção, Rotação e

Trânsitos Planetários) é um projeto espacial liderado pelaagência espacial francesa CNES

(Centre National d’Etudes Spatiales– Centro Nacional de Estudos Espaciais) iniciado

em 1993. O projeto conta também com o apoio de outras instituições francesas, como

o CNRS (Centre National de la Recherche Scientifiique– Centro Nacional de Pesquisas

Científicas) e o Observatório de Paris. Além disso, conta também com o apoio de institu-

ições de outros países, como Áustria, Bélgica, Brasil e Espanha [Baglin e Fridland, 2006].

A missão teve como objetivo inicial realizar observações e estudos sobre rotação (o

movimento em que a estrela gira em torno de seu próprio eixo) econvecção (o transporte

de partículas e massas na estrela através de variações de calor) das estrelas através da

análise da sismologia estelar.

O estudo da sismologia de uma estrela consiste na análise dosmovimentos e alter-

ações de características que ocorrem em sua superfície, como explosões terremotos e o

1.1. A missão espacial CoRoT 3

surgimento de manchas (regiões com redução temporária ou permanente na luminosidade

emitida) [Michel et al., 2006].

Três anos após o início dos estudos para desenvolvimento projeto, os responsáveis por

ele, decidiram ampliar o escopo da pesquisa, incluindo a busca por planetas extra-solares

ao conjunto de objetivos primário da missão. Essa adição foirealizada inicialmente por

motivações políticas, entretanto, como o desenvolvimentodo projeto, essa nova vertente

acabou por tornar-se o foco principal da missão [Baglin et al., 2006].

O cronograma inicial de execução da missão CoRoT previa que o satélite permanece-

ria na órbita terrestre por um tempo pouco superior a três anos, entretanto, em uma confer-

ência de imprensa realizada no ano de 2011, foi realizado um pronunciamento informando

a expansão da vida útil do satélite em mais três anos, de modo que a aquisição de dados

será realizada até 31 de março de 2013.

Ao longo de seus mais de seis anos de funcionamento, o satélite irá captar dados de

diferentes regiões do universo, alternando, periodicamente, a região do espaço que está

sendo observada. Em uma estimativa inicial [Baudin et al., 2006], previa que, durante

sua vida útil, o satélite CoRoT produziria uma massa de dados para serem estudados

com tamanho aproximando de 1 TB (um TeraByte). Essa massa de dados, já indicaria a

necessidade do uso de ferramentas computacionais que auxiliassem a análise e que possi-

bilitassem a automatização de parte do processo. Com o aumento do tempo de captação

de dados do projeto, será produzida uma massa de dados ainda maior (estima-se 2 TB),

tornando ainda mais evidente a necessidade do uso de tecnologias mais precisas e efi-

cientes.

Existem diversos trabalhos sendo desenvolvidos para a análise desses sinais, dentre os

quais se destacam o trabalho de [Deb e Singh, 2009], que realiza a análise de curvas de luz

de estrelas variáveis utilizando a decomposição de Fouriere a Análise de Componentes

principais, e o trabalho de [Mékarnia et al., 2004], que realiza a análise de imagens de

espectro utilizando a expansão de Karhunen-Loève. Existemainda, outros trabalhos que


estudam métodos para a análise de sinais não regularmente espaçados, como pode ser

visto em [Tagliaferri et al., 1999], um estudo sobre o uso de redes neurais para a análise

de dados não regularmente espaçados, ou em [Mathias et al., 2004], que realiza um estudo

comparativo sobre diferentes formas de análise espectral para dados não regularmente

espaçados.

O trabalho proposto aqui tem como objetivo encontrar um método que possibilite a

conversão dessas duas vertentes [TODO EXPLICAR MELHOR] de estudo citadas ante-

riormente realizando a análise dos dados através de um método de multiresolução.

1.2 O problema abordado

A missão espacial CoRoT possui diversos laboratórios de pesquisa espalhados pelo

mundo, um deles na UFRN. O laboratório está localizado no Departamento de Física

Teórica e Experimental (DFTE) e é coordenado pelos professores Dr. José Renan de

Medeiros e Dr. José Dias do Nascimento Júnior.

As pesquisas desenvolvidas pelo professor Dr. José Dias do Nascimento Júnior no

laboratório citado têm com principal objetivo a busca por estrelas “gêmeas” do Sol, ou

seja, a busca por estrelas que apresentem características semelhantes à estrela do nosso

sistema solar, como período de rotação, tamanho, brilho, dentre outras.

Devido à grande massa de dados produzida pela missão espacial CoRoT, a análise por

inspeção visual de todas as curvas de luz, uma-a-uma, seria um trabalho tedioso, bastante

demorado e extremamente sensível a falhas humanas, propõe-se o desenvolvimento de

uma ferramenta computacional para tratamento, ou pré-processamento, dos dados rela-

tivos às curvas de luz e, em seguida, a realização de uma análise das curvas através da

técnica de multiresolução, e não apenas se restringindo a análise espectral do sinal.

1.3. Objetivos 5

1.3 Objetivos

O trabalho desenvolvido nesse projeto tem como principal objetivo o desenvolvimento

de um método para a análise multiresolução de dados não regularmente espaçados. Esse

trabalho na elaboração e implementação de um método baseadona transformada wavelet,

que possa trabalhar de maneira adequada com dados não regularmente espaçados. Cada

uma das técnicas utilizadas, bem como o trabalho desenvolvido, estão descritos nos capí-

tulos posteriores.

1.3.1 Objetivos específicos

• Pesquisa bibliográfica de métodos de processamento digitalde sianis para o trata-

mento de curvas de luz;

• Pré-processamento de curvas de luz;

• Processamento das curvas de luz através do método Lomb-Scargle;

• Processamento das curvas de luz através da análise multiresolução. Adequação da

transformada wavelet para o tratamento de sinais não igualmente espaçados e;

• Disponibilização das ferramentas desenvolvidas através de uma interface amigável.

1.4 Organização do trabalho

No capítulo 2, será apresentado o embasamento teórico necessário para a compreensão

e desenvolvimento do trabalho aqui exposto. O capítulo 3 explicará detalhes da missão

espacial, dos dados captados, dos problemas encontrados, dos trabalhos que serviram de

base para o desenvolvimento deste, bem como o método proposto como solução. No

capítulo 4, serão expostos dois casos problema, os quais têmcomo objetivo demonstrar


o funcionamento do método proposto e sua eficácia. Por fim, no capítulo 5, serão real-

izadas algumas considerações sobre o trabalho desenvolvido e ainda discutidas algumas

sugestões para o desenvolvimento de trabalhos futuros.

Capítulo 2

Fundamentação Teórica

Neste capítulo, será apresentada a fundamentação teórica necessária para o desen-

volvimento do trabalho.

Serão apresentados os tipos de dados que serão trabalhados,as curvas de luz, e tam-

bém as técnicas de processamento de sinais que serão utilizadas.

2.1 Missão CoRoT

2.1.1 Os dados coletados

Toda a massa de dados captada pela estação espacial CoRoT é liberada para uso cien-

tífico na forma de curvas de luz. Curvas de luz podem ser descritas como a variação do

brilho de uma estrela ao longo do tempo [Harvard, 2011]. Na missão CoRoT a informação

liberada para os estudos científicos recebem o nome de dados de nível 2, ou apenas N2.

O primeiro nível de dados, chamado de N0, são os dados compostos pela informação

bruta adquirida pelo satélite, sem a realização de nenhum processamento, acompanhado

de uma marca temporal que indica o instante de tempo em que foirealizada a aquisição

da informação. Esse conjunto de dado não é considerado adequado para uso científico,

portanto, não são liberados para pesquisas, ficando armazenado apenas no CMC (CoRoT

Capítulo 2. Fundamentação Teórica 8

Mission Centre) e nos CDCs (CoRoT Data Centre).

Os dados de nível 1 (N1) são dados que já foram previamente pré-processados. Esse

processamento é realizado para a correção das informações captadas, como a remoção do

ruído térmico e ruídos ocasionados pelos instrumentos utilizados na aquisição do sinal.

Como já mencionado anteriormente, os dados disponibilizados para o uso científico

estão presentes no nível N2. Nesse nível, além da limpeza já realizada nos dados de nível

N1, são removidos também ruídos ocasionados por efeitos físicos como eventos cósmicos

e luminosidade de fundo, oriunda de outras estrelas.

2.2 Curvas de Luz

O trabalho desenvolvido neste projeto de mestrado tem como principal objeto de es-

tudo, as curva de luz da missão espacial CoRoT. Nesta sessão, serão apresentadas carac-

terísticas dos sinais a serem analisados, os dados de nível N2 da missão CoRoT.

Cada curva de luz disponibilizada para estudo pela missão espacial CoRoT tem seus

dados divididos em duas partes, o cabeçalho, que contém informações referentes à curva

de luz de uma maneira geral, e os dados propriamente ditos, que correspondem a infor-

mações referentes a cada marca temporal da curva.

Dentre os dados disponibilizados, várias informações são utilizadas nos estudos de-

senvolvidos pelo laboratório CoRoT. As informações que serãoutilizadas para os proces-

samentos e análises que compreendem esse trabalho são: a marca temporal (expressa em

dias julianos) e o fluxo de luz, que corresponde a uma componente de cor branca nas cur-

vas monocromáticas, e três componentes de cor (vermelho, verde e azul) para as curvas

de luz cromáticas.

A figura 2.1 é uma curva de luz monocromática de uma das estrelas observadas pela

missão espacial CoRoT. Na figura, pode-se ver a variação do brilho da estrela ao longo do

2.2. Curvas de Luz 9

tempo. No eixo horizontal, estão as marcas temporais, expressas em dias julianos1 e, no

eixo vertical, a luminosidade (expressas em elétrons por segundo) identificada em cada

um desses instantes de tempo.

2590 2600 2610 2620 2630 2640 26506

7

8

9

10

11x 10

4

Dias Julianos

Flu

xo d

e Lu

z (e

lec/

s)

Figura 2.1: Exemplo de uma Curva de Luz Monocromática.

Já a figura 2.2 é uma das curvas de luz cromáticas, como pode-senotar a curva de luz

cromática traz as mesmas informações das curvas de luz monocromáticas, diferenciando-

se apenas pela divisão do fluxo de brilho nas três componentesde cores do sistema adi-

tivo2. Caso seja de interesse, pode-se simplesmente somar as três componentes, e obter-se

a representação monocromática de uma curva de luz cromática.

2590 2600 2610 2620 2630 2640 26500

5

10

15x 10

4

Dias Julianos

Flu

xo d

e Lu

z (e

lec/

s)

Figura 2.2: Exemplo de uma Curva de Luz Cromática.

Com base em sua curva de luz, as estrelas podem ser classificadas como constantes

1Na astronomia, o dia juliano é uma forma de contar os dias sequencialmente, começando a partir deuma data arbitrária. Os dias são contados através de númerosinteiros iniciando a partir do meio-dia, e indoaté o meio-dia seguinte.

2O sistema aditivo de cores, também conhecido como RGB, é composto por três cores primárias (ver-melho, verde e azul) desenvolvido para a representação de cores em dispositivos eletrônicos.


ou variáveis. Uma estrela será classificada como constante,quando não houver variação

de sua luminosidade ao longo do tempo. Um exemplo de curva de luz constante pode ser

visto na figura 2.3. Nela, percebe-se uma linha horizontal constante ao longo de de todo

o período no qual foi realizada a observação. As estrelas classificadas como variáveis

apresentam mudanças ao longo do tempo na intensidade do brilho emitido por elas. Um

exemplo de curva de luz de uma estrela variável pode ser vistona figura 2.4. Nela, pode-

se perceber uma variação, neste caso até periódica. Entre osdias 2590 e 2600, pode-se

perceber claramente a existência de 3 atenuações.

2590 2600 2610 2620 2630 2640 26504

6

8

10

12

14x 10

4

Dias Julianos

Flu

xo d

e Lu

z (e

lec/

s)

Figura 2.3: Exemplo de uma Curva de Luz de natureza constante.

2590 2600 2610 2620 2630 2640 26502

4

6

8

10

12x 10

4

Dias Julianos

Flu

xo d

e Lu

z (e

lec/

s)

Figura 2.4: Exemplo de uma Curva de Luz de natureza variável.

Como já dito anteriormente a missão CoRoT tem como objetivo, identificar carac-

terísticas dessas estrelas com base na variação de seu brilho ao longo do tempo. Sendo

assim, pode-se afirmar que as curvas de luz de interesse para otrabalho desenvolvido são

as variáveis, pois é através do estudo das variações que é possível identificar as causas e,

2.3. Processamento Digital de Sinais 11

consequentemente, identificar os fenômenos naturais da estrela.

Os principais desafios encontrados nos estudos desenvolvidos são: como identificar

curvas de luz de interesse dentre todas as curvas de luz disponibilizadas pelo projeto

CoRoT? Qual a maneira mais adequada de se analisar esses dados?As técnicas tradi-

cionais de Processamento Digital de Sinais são adequadas para o estudo realizado?

O trabalho descrito nessa dissertação busca expor soluçõespara esses problemas através

da combinação das diferentes soluções desenvolvidas, utilizando ferramentas computa-

cionais difundidas no processamento digital de sinais.

2.3 Processamento Digital de Sinais

O processamento digital de sinais (PDS) consiste no estudo de métodos para repre-

sentar, transformar, analisar e manipular sinais e as informações contidas neles. Existem

diversos problemas em que o processamento digital de sinaispode atuar, dentre eles pode-

mos ressaltar: a interpretação e extração de informações presentes em sinais, a separação

de dois ou mais sinais combinados (misturados), a detecção de diferentes componentes,

ou atributos, mais relevantes em um sinal.

Essa tecnologia se faz presente nos mais diferentes campos de estudo e atuação, como

a indústria de entretenimento, comunicações, aplicações na área de medicina e no estudo

das ciências, como nos estudos geológicos e nas pesquisas espaciais. O processamento

digital de sinais vem evoluindo impulsionado por diversos fatores, como a necessidade

de evolução de sua própria teoria para atender aos novos desafios que surgem, à demanda

por algoritmos mais sofisticados, o uso cada vez mais difundido dessa tecnologia e, por

fim, os avanços de hardware que permitem o uso de técnicas cadavez mais complexas

[Oppenheim e Schafer, 1998].

O processamento dos sinais, até os anos 60, era predominantemente analógico, isso

se devia, principalmente, aos recursos disponíveis para a realização desse processamento.


Com o surgimento e a evolução dos computadores digitais e microprocessadores, jun-

tamente com o desenvolvimento de teorias de grande relevância na área (como a trans-

formada rápida de Fourier –Fast Fourier Transform, FFT), o uso das tecnologias digi-

tais para o processamento de sinais ganhou cada vez mais força, ocasionando no surg-

imento da área conhecida como processamento digital de sinais. A aplicação de PDS

vem se tornando cada vez mais presente no nosso dia-a-dia, jáestando em dispositivos

comoMP3 Players, telefones celulares, brinquedos, dentre outros dispositivos eletrônicos

[Diniz et al., 2004].

O PDS tem como principal foco de estudo as regras que governamos sinais que são

funções de variáveis discretas, bem como os sistemas que podem ser utilizados no pro-

cessamento dos mesmos.

Quando se trabalha com o processamento digital de sinais, estes sinais são digitais e,

muitas vezes, os sinais reais do experimento são contínuos (figura 2.5). Assim, deve-se

utilizar um conversor analógico-digital (CAD) para converter um sinal contínuo para um

sinal digital (figura 2.6). O processo de conversão analógico-digital é subdividido em

duas etapas. A primeira é realizada através da amostragem, na qual se define um intervalo

de tempo que irá separar cada uma das amostras realizadas, e asegunda é a quantização,

na qual serão definidos os possíveis valores de amplitude para o sinal.

0 20 40 60 80 100−1

−0.5

0

0.5

1

Tempo

sen(

(2 π

t)/1

0)

Figura 2.5: Exemplo de um sinal cossenóide analógico.


0 20 40 60 80 100−1

−0.5

0

0.5

1

Tempo

sen(

(2 π

t)/1

0)

Figura 2.6: Exemplo de um sinal cossenóide digital.

Essa natureza discreta dos sinais digitais é uma característica inerente aos dispositivos

que são utilizados para a captura e conversão dos sinais analógicos em sinais digitais,

como por exemplo, CCDs (Charge-coupled device– dispositivos usados para captura de

imagens), SCs (Switched-Capacitor– dispositivos normalmente utilizados para identifi-

cação de alterações de estado de sistemas), dentre outros.

O grande diferencial do processamento digital de sinais, secomparado ao processa-

mento analógico, está no poder de processamento obtido e na redução do esforço para

o desenvolvimento de sistemas. Isso acontece, pois, uma vezque as informações este-

jam disponíveis no hardware apropriado, seja ela um microcomputador, DSP ou FPGA, é

possível executar qualquer procedimento numérico que se deseje sobre essas informações,

sem a necessidade da modificação no hardware. Por exemplo, veja a transformação de-

scrita pelo pela equação

y1(t) =cosh

[

ln(|x(t)|)+x3(t)+cos3(

√

|x(t)|)]

5x5(t)+ex(t)+ tanx(t), (2.1)

ondex(t) é o sinal de entrada. Caso se deseje aplicar essa informação a um sinal de

natureza contínua, é necessário desenvolvermos um hardware específico, utilizando com-

ponentes eletrônicos analógicos, o que é fácil de imaginar que não é uma atividade muito

simples.


Entretanto, se o sinalx(t) for discretizado e quantizado, e transformado na sequên-

cia de amostrasx[n], essa sequência de amostras poderá ser fornecida como entrada a

um processador digital para que este execute as operações descritas na equação 2.1. A

construção do sistema será realizada de maneira muito mais simples e, provavelmente, a

própria execução acontecerá de maneira mais rápida. Ao finaldo processamento, a re-

sposta obtida como saída do sistema,y[n] é de natureza discreta, caso se deseje obter o

sinal de saída de natureza contínua, deve-se converter a sequência para um sinal contínuo,

e o resultado obtido será semelhante ao que seria obtido utilizando um sistema analógico

[Diniz et al., 2004].

Dentre os diversos recursos que são disponibilizados pelo processamento digital de

sinais, aquele que mais interessa ao projeto desenvolvido éa análise espectral de sinais

digitais, para a identificação de variações periódicas nos sinais.

2.3.1 Sinais Digitais

Como já mencionado anteriormente, o processamento digital de sinais tem como prin-

cipal objeto de estudo os sinais digitais. Portanto, antes de estudar a fundo as técnicas de

PDS, é interessante compreender as características e particularidades desses sinais.

De acordo com [Oppenheim e Schafer, 1998], sinais discretosno tempo são matem-

aticamente representados através de sequências de números. Uma sequência numéricax,

na qual o n-ésimo termo desta sequência é denotado porx[n], é formalmente descrita pela

equação

x= {x[n]}, −∞ < n< ∞, (2.2)

onden é um número inteiro.

Os sinais digitais são um subconjunto dos sinais discretos.Neles, além dos sinais

conterem informações apenas em instantes de tempo definidos, a amplitude dessas infor-

mações também é amostrada, ou seja, o sinal é quantizado. O valor armazenado referente


a cada amostra também é restrito a um conjunto de valores (os valores que podem ser

armazenados digitalmente no hardware utilizado). Sinais digitais, quando armazenados,

também possuem a característica de possuir limites (inferior e superior) em seus tempos

de observação.

Os sinais digitais podem ainda ser classificados, quando a sua amostragem, como

regularmente ou não regularmente amostrados. Os sinais digitais regularmente espaçados

podem ser descritos como uma amostragem periódica de um sinal contínuo, de modo que

o valor associado a n-ésima amostra de uma sequência regularmente amostrada em um

períodoT corresponde ao valor da sequência analógicaxa(t) no temponT , como descrito

na equação

xd[n] = xa(nT) , −∞ < n< ∞, (2.3)

ondexd é a sequência de amostras exa é o sinal analógico correspondente. Pode-se

afirmar que um sinal digital amostrado em períodos regularesestá totalmente descrito

pela sua sequência de amostras. A figura 2.6 é um exemplo de sinal digital regulamente

espaçado. Nela, pode-se observar que a distância entre as amostras é sempre igual, ou

seja, o período de amostragem do sinal é constante.

Sinais digitais não regularmente amostrados são aqueles onde não existe uma difer-

ença de tempo constante entre as amostras, ou seja, esses sinais não possuem um período

de amostragem bem definido. Os sinais não regularmente espaçados devem ser represen-

tados utilizando uma sequência de valoresx[n], representando o valor amostrado e outra

sequência de valorest [n], indicando o instante de tempo no qual a leitura foi realizada,

como pode ser visto na equação

x[n] = xa(t[n]) , −∞ < n< ∞. (2.4)

A figura 2.7 é um exemplo de sinal digital não regularmente espaçado. Observa-se que

a distância entre duas amostras adjacentes não uniforme para todos os pares adjacentes.


0 20 40 60 80 100−1

−0.5

0

0.5

1

Tempo

sen(

(2 π

t)/1

0)

Figura 2.7: Exemplo de um sinal cossenóide digital não regularmente espaçado.

A irregularidade no intervalo de amostragem desses sinais pode acontecer por difer-

entes motivos. Como, quando o instrumento de medição perde oudescarta informações,

o que faz com que os dados obtidos sejam partes não consecutivas da função equação 2.3,

caracterizando o problema da falta de dados. Outro caso, queacontece mais frequente-

mente em ciências que se baseiam em observações, como a astronomia, é o fato de não se

poder controlar por completo o tempo de observação [Press etal., 1992].

Existem diversas técnicas, triviais, para obter sequências igualmente espaçadas a partir

de sinais amostrados irregularmente. Interpolação dos dados ausentes pode ser uma al-

ternativa, fixando um intervalo conveniente e interpolandoas amostras “ausentes”. Outra

alternativa para a correção do sinal quando uma grande quantidade consecutiva de pontos

foi perdida é atribuir a essas amostras o valor zero ou o valorda última medição realizada.

Entretanto essas técnicas podem não ser adequadas, pois podem alterar, significativamente

o espectro do sinal.

Os sinais discretos amostrados regularmente possuem informações completas refer-

entes à contribuição de cada frequência na formação do sinalaté o limite imposto pela

frequência de Nyquist e informações confusas ou distorcidas da contribuição das fre-

quências fora dessa faixa. Entretanto, o cálculo do espectro de frequências de sequências

amostradas em intervalos irregulares ainda não é trivial.

2.4. Análise Espectral 17

2.4 Análise Espectral

Antes de falar sobre a análise espectral é importante esclarecer qual o conceito de

espectro. Para tanto, considere uma fonte de luz tal que produz um feixe de luz branca.

A luz branca, ao ser direcionada a um prisma, será refratada em diferentes direções e

dividida em diferentes componentes de cores. Essas componentes resultam dos diferentes

ângulos de refração que sofrem os componentes com frequências distintas existentes na

luz. De uma maneira “simbólica”, pode-se dizer que a luz refratada pelo prisma é uma

visualização do espectro de frequência da luz.

De um ponto de vista mais técnico, pode-se dizer que o espectro de frequência é uma

função da potência sobre a frequência, que irá caracterizara distribuição da contribuição

dos diferentes componentes de frequência de determinado sinal.

Para ilustrar melhor o conceito de espectro de frequência, considere o exemplo a

seguir. Como se sabe, um sinal cossenóide pode ser descrito através da equação

y(t) = cos( f t2π), (2.5)

onde f indica a frequência da cossenóide et o tempo.

Para efeitos de teste, pode-se gerar o sinaly2(t) através da equação

y2(t) = 0,8cos(0,22t2π)+0,2cos(0,48t2π), (2.6)

a figura 2.8 exibe a representação gráfica desse sinal.

Como pode ser visto através da equação 2.5, o sinaly(t) possui duas componentes

cossenóides, sendo a primeira com frequência de 0,22 e a segunda com frequência de

0,48. O espectro de frequência para esse sinal seria representado pela figura 2.9.

É através do espectro de frequência que se pode realizar o procedimento conhecido

como análise espectral de um sinal. Através desse procedimento, é possível extrair infor-


0 20 40 60 80 100−1

−0.5

0

0.5

1

Tempo

Sin

al

Figura 2.8: Sinal gerado pela equaçãoy(t) = 0,8cos(0,22t2π)+0,2cos(0,48t2π).

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

200

400

600

Frequência

Pot

ênci

a

Figura 2.9: Análise espectral do sinal gerado pela equaçãoy(t) = 0,8cos(0,22t2π) +0,2cos(0,48t2π).

mações relevantes como existência de componentes periódicos.

Existem diversos métodos que podem ser utilizados para a geração (ou cálculo) do

espectro de frequência, sendo o mais comum deles a transformada de Fourier, através dos

algoritmos daFast Fourier Transform(FFT). Entrentanto, para os sinais não regularmente

espaçados, a FFT não pode ser diretamente aplicada, pois os algoritmos desenvolvidos

para o cálculo da FFT consideram que as amostras utilizadas possuem espaçamento con-

stante. Uma solução simples para resolução desse tipo de problema seria a interpolação

dos dados não regularmente espaçados, para gerar um novo conjunto de dados, desta vez,

regularmente espaçados. Esse tipo de solução pode parecer adequada num primeiro mo-

mento, entretanto, pode inserir ruídos e reduzir a qualidade do resultado obtido com a

análise espectral.

2.4. Análise Espectral 19

Existem algumas alternativas para o cálculo do espectro de frequências de dados não

regularmente amostrados, como por exemplo, a DCDFT (Data Compensate Discrete

Fourier Transform– Transformada Discreta de Fourier com Compensação de Dados),

técnicas utilizando RNAs (Redes Neurais Artificiais), o método Lomb-Scargle, dentre

outros. Para o desenvolvimento deste trabalho, optou-se pela utilização do método Lomb-

Scargle. Essa escolha deu-se devido a sua maior aceitação nacomunidade científica.

2.4.1 Lomb-Scargle

Dentre os diversos algoritmos existentes para a análise espectral, as particularidades

dos dados do problema abordado sugerem o uso da transformada, ou periodograma, de

Lomb-Scargle. Esse método numérico foi inicialmente desenvolvido por Nicholas R.

Lomb em 1976 e re-elaborado por Jefrey D. Scargle em 1982 [Scargle, 1982].

O método numérico de Lomb-Scargle é o mais adequado para o usono problema em

questão, devido a uma particularidade dos sinais captados por equipamentos astrofísicos,

ou seja, pela não regularidade no espaçamento entre as amostras. O método Lomb-Scargle

avalia a sequência de entrada, considerando não apenas a ordem dos dados, mas também

os instantes de tempo em que cada uma das amostras foi coletada.

O método realiza a análise das séries decompondo-as em somatórias de senos e cossenos.

Esse método apresenta algumas vantagens sobre as análises espectrais comumente real-

izadas, sendo essas vantagens: a invariância do resultado quanto a variações na origem

da sequência de entrada; a análise por periodograma torna-se semelhante à aproximação

por mínimos quadráticos da curva por senóides; e o periodograma resultante do cálculo

desse método possui distribuição de probabilidade exponencial, o que provê um grau de

confiabilidade maior de que, na presença de picos, esses valores sejam referentes a um

sinal verdadeiro [Horne e Baliunas, 1986] [Scargle, 1982].

O cálculo do periodograma de Lomb-Scargle (P(ω)) é realizado através da seguinte


equação:

P(ω) =1

2σ2

[

∑Nj=1(h j − h̄)cos(ω(t j − τ))

]2

∑Nj=1cos2(ω(t j − τ))

+

[

∑Nj=1(h j − h̄)sen(ω(t j − τ))

]2

∑Nj=1sen2(ω(t j − τ))

,

(2.7)

onde

h̄=1N

N

∑i=1

hi , (2.8)

σ2 =1

N−1

N

∑1(hi − h̄)2 e τ é calculado pela relação (2.9)

tan(2ωτ) =∑N

j=1sen(2ωt j)

∑Nj=1cos(2ωt j)

. (2.10)

Os vetoreshi e ti correspondem, respectivamente, às amostras realizadas e ao instante

de tempo no qual fio realizada a amostra. A constanteτ é um artifício utilizado para tornar

o periodogramaP(ω) invariável ao deslocamento no tempo do sinal.

Para compreender melhor o método de Lomb-Scargle, considere a sequência de amostras

y[ti] geradas a partir da equação

y3[ti] = sin(0,81ti2π)+6R(ti), (2.11)

para 0≤ ti ≤ 100, intervalo de amostras de 0,05 e probabilidade de perda de amostra de

70%.

Onde a funçãoR(ti) gera um ruído branco com distribuição de probabilidade uniforme

r, tal que−0,5≤ r ≤ 0,5.

A figura 2.10 exibe a visualização dos pontos do sinal geradoy3[ti]. Ao calcularmos

o periodograma dessa sequência utilizando o método de Lomb-Scargle, obteremos o re-

sultado descrito na figura 2.11, onde é possível notar um picomais acentuado próximo à

frequência 0,8, como era esperado.

2.5. Análise Multiresolução 21

0 20 40 60 80 100−4

−2

0

2

4

Tempo

Sin

al

Figura 2.10: Exemplo de um sinal discreto não regularmente espaçado.

0 0.5 1 1.5 20

50

100

150

Frequência

Pot

ênci

a

Figura 2.11: Periodograma criado utilizando Lomb-Scargle em um sinal discreto não regular-mente espaçado.

2.5 Análise Multiresolução

A análise multiresolução é uma técnica de processamento digital de sinais que permite

obter informações sobre o comportamento do sinal em estudo em função da variação de

mais de uma variável.

A ideia básica para a criação de uma representação do sinal emambos os domínios,

tempo e frequência, consiste em dividir o sinal em diversas partes e analisar cada uma

dessas partes individualmente. Um problema crucial é descobrir como dividir o sinal em

porções menores, sem alterar as características dos mesmos.

Existem diferentes métodos utilizados para a realização desse tipo de análise em

sinais, como a transformada Wavelet, o uso de B-Splines, o algoritmo piramidal de Laplace,

entre outros. No desenvolvimento deste projeto, optou-se pelo uso da transformada Wavelet,


pois a mesma é uma técnica de processamento de sinais que poderá prover novas in-

formações sobre os sinais de curvas de luz que ainda não foramalvos de estudo, prin-

cipalmente sobre sinais não regularmente espaçados, como pode ser visto em [Starck

et al., 2006], [Bessolaz e Brun, 2011], [Kestener et al., 2010]e [Moortel et al., 2002].

2.5.1 Wavelet

A transformada wavelet é uma ferramenta matemática para a análise, principalmente,

de séries temporais ou imagens. As wavelets são uma ferramenta que, apesar de exis-

tirem há um longo tempo, tendo surgido para a análise de sinais nos anos 80, vem gan-

hando cada vez mais espaço nas pesquisas científicas, como pode ser visto em [Brechet

et al., 2007], [Lazar e Averbuch, 2001] e [Ma e Ji, 2001]. A wavelet é muito utilizada

no processamento da informação ou muitas vezes no pré-processamento dos sinais para

extração de características.

Existem duas manerias clássicas de se trabalhar com a transformada wavelet. A

primeira consiste na decomposição do sinal sucessivas vezes em detalhes e aproximação,

e é comumente utilizada para a remoção e ruídos de um sinal, compressão de imagens,

identificação de frequências puras, entre outras. Uma segunda abordagem para o uso de

wavelets é a construção do mapa wavelet, comumente utilizado para a análise multires-

olução de sinais.

O mapa da transformada wavelet transforma um sinal unidimensional em uma im-

agem bidimensional. Esse processo pode ser comparado a um microscópio matemático,

que permitirá analisar o destalhes que são adicionados quando se muda de escala [Suter,

1997].

A figura 2.12 é um exemplo de mapa wavelet, gerado a partir de umsinal unidimen-

sional. No mapa wavelet, o eixo horizontal mantém as informações temporais, entretanto,

é adicionado uma nova dimensão, representada no eixo vertical que indica a frequênci-

a/período analisado naquele ponto. Tratando-se no caso dascurvas de luz que estão sendo


estudadas.

Dias Julianos

Per

íodo

Wavelet Morlet

0 10 20 30 40 50

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Figura 2.12: Exemplo de mapa Wavelet.

É importante salientar, entretanto, que a transformada wavelet não demonstra uma rep-

resentação tempo-frequência propriamente dita, e sim uma representação tempo-escala.

É possível realizar a conversão de escala para frequência. Esta conversão acontece através

da seguinte equação:

f =fψa, (2.12)

onde f é a frequência real,fψ a componente de frequência principal da wavelet mãeψ e

a a escala aplicada à wavelet mãe.


Wavelet Discreta

Devido a natureza digital dos sinais estudados, deve-se aplicar aos mesmos técnicas

adequadas aos sinais digitais, neste caso, deve-se utilizar a Wavelet Discreta. A discretiza-

ção da transformada wavelet pode acontecer de duas maneiras.

A primeira consiste na discretização do plano "escala-translação", neste processo, as

escalas aplicadas à funçaõ wavelet mãe são definidas por escala logarítmica. A segunda

forma de discretização da transformada wavelet consiste nadiscretização das variáveis

independentes. Assim, a equação define o cálculo para transformada wavelet discreta é

definida pela equação

W[a,b] =N

∑i=1

f [ti ]ψa,b[ti]dt, (2.13)

onde f é o sinal discreto a ser analisado que possui informações nosinstantes de tempo

ti, com i variando de 1 àN, a funçãoψ é a wavelet mãe utilizada, e os valoresa e b

representam, respectivamente. No trabalho desenvolvido aplicou-se a discretização das

variáveis independentes(a eb), de modo a se ter maior liberdade na análise dos sinais.

2.5.2 Mapas Wavelet

A ideia básica para a criação de uma representação multiresolução dos sinais consiste

em dividir o sinal a ser analisado em diversas partes, e analisar cada uma dessas partes

individualmente. O problema crucial para implementação desse método é descobrir como

dividir o sinal em porções menores, sem alterar as características do mesmo. A transfor-

mada wavelet é, provavelmente, a solução mais adequada paraa realização da análise

multisolução [Vallens, 1999].

Para a realização da análise multiresolução a transformadawavelet faz uso de uma

função base, chamadawavelet mãe. A wavelet mãe é uma função de curto comprimento

que cresce e decai em um período limitado [Percival e Walden,2000]. A wavelet mãe é o

ponto crucial da análise wavelet, pois, de acordo com a escolha da função a ser utilizada,


−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

−1

−0.5

0

0.5

1

Haar

Tem

po

Figura 2.13: Forma de onda da Wavelet Haar.

a transformada irá identificar ou desprezar determinadas informações durante o processo

de criação do mapa.

A função da wavelet mãeψ(·) deve obedecer às seguintes restrições:

∫ ∞

−∞ψ(u)du= 0 (2.14)

e ∫ ∞

−∞ψ2(u)du= 1. (2.15)

Um exemplo de função que atende a essas restrições é a waveletde Haar, que pode

ser vista na figura 2.13 e está descrita na equação 2.16.

ψ(u) =

−1 para −0,5< t < 0

1 para 0< t < 0,5

0 caso contrário

(2.16)

Uma vez definida a função que será utilizada como wavelet mãe,a geração do mapa

wavelet consiste na aplicação da fórmula descrita pela equação

W(a,b) =∫ ∞

−∞f (t)ψa,b(t)dt, (2.17)


ondea representa a escala eb o deslocamento aplicados à wavelet mãe.

Para a geração do mapa define-se dois vetores. Um contendo a sequência de valores

paraa, que corresponderão aos valores de escala que deverão ser aplicados à funçãoψ(·)

e corresponderão ao eixo vertical do mapa, e o outro contendoa sequência de valores para

b, que corresponderão aos valores do deslocamento que deverão ser aplicados à função

ψ(·) e corresponderão ao eixo horizontal do mapa.

Capítulo 3

Método de Multiresolução Aplicado às

Curvas de Luz

Neste capítulo, será descrito o projeto desenvolvido para adissertação de mestrado.

Na primeira seção, serão expostas as ferramentas já desenvolvidas para o laboratório

CoRoT, na segunda seção, será descrito o método wavelet desenvolvido e, por fim, na

última seção, será apresentada a versão atual da ferramentadesenvolvida.

3.1 Ferramenta de base

Devido ao crescente avanço das tecnologias, os astrônomos têm tido a capacidade de

buscar informações sobre corpos cada vez mais distantes da Terra, e também com uma

riqueza de detalhes cada vez maior. Entretanto, o custo paracada uma dessas empre-

itadas continua alto o bastante para desencorajar investigações pontuais, fazendo com

que, a cada nova missão iniciada, ou satélite posto em órbita, busque-se captar a maior

quantidade de informações possíveis com os equipamentos utilizados, numa tentativa de

garantir que os resultados obtidos justifiquem o investimento realizado.

O principal problema dessa abordagem nas pesquisas espaciais decorre da dificuldade

Capítulo 3. Método de Multiresolução Aplicado às Curvas de Luz 28

de processar e extrair informações dessa imensa massa de dados produzida. Visando

solucionar ou amenizar esse problema, cada vez mais vêm sendo adotado, nos laboratórios

de astrofísica e astronomia, ferramentas computacionais que auxiliam os cientistas na

realização de suas pesquisas.

A partir desse momento, começou a ser construída uma ferramenta computacional

para auxiliar no processamento das curvas de luz.

A ferramenta construída, denominada de “Analisador de Curvas de Luz”, permite ao

usuário, ao processar uma curva de luz, exibir sua forma de onda, calcular sua transfor-

mada Lomb-Scargle e identificar, automaticamente, o período de maior preponderância

naquela curva. Na figura 3.1, pode ser vista a ferramenta em execução.

Figura 3.1: Snapshot do aplicativo.

O aplicativo desenvolvido pode ser dividida em 6 componentes: barra de interação

com gráficos; abertura de diretório; lista de curvas disponíveis para análise; parâmetros

de cálculo do Lomb-Scargle; gráfico da curva de luz e; periodograma de Lomb-Scargle.

A barra de interação, vista na figura 3.2, tem como objetivo fornecer ferramentas

3.1. Ferramenta de base 29

para auxiliar o usuário na visualização das informações contidas nos gráficos. A barra é

constituída de quatro botões:

Zoom In : permite escolher uma região de um dos gráficos para aproximação;

Zoom Out : permite retornar para uma visão mais abrangente do gráfico;

Drag : permite deslocar o gráfico;

Info : dá informações específicas sobre um ponto da função exibidano gráfico.

Figura 3.2: Barra de interação.

Logo abaixo da barra de interação está localizada, a região para abertura do diretório

(figura 3.3). Através do botão "Abrir", localizado no canto direito desta área, o usuário

pode indicar o diretório a partir do qual serão lidas as curvas de luz para análise. Ainda

nessa região, existe campo de texto onde aparece o endereço do diretório que está sendo

analisado. Esse campo é preenchido automaticamente quandoo usuário indica o diretório

através do botão "Abrir".

Figura 3.3: Região para abertura de diretório.

Do lado esquerdo aplicação pode-se ver a lista de curvas (figura 3.4) disponíveis para

análise. Essa lista é preenchida, automaticamente, quandoo usuário indica o diretório

onde irá trabalhar.

Logo abaixo, pode-se ver o painel para a definição dos parâmetros de cálculo (figura

3.5) de Lomb-Scargle. Sendo esse parâmetros, os períodos deinteresse inicial e final, e o

intervalo entre cada período a ser calculado.


Figura 3.4: Lista de curvas.

Figura 3.5: Painel de configuração do Lomb-Scargle.

Por fim, existem dois espaços para exibição das informações da curva de luz, o primeiro

para exibição a própria curva, na figura 3.6, e o segundo para exibição do periodograma

de Lomb-Scargle calculado para a curva de luz, que pode ser visto na figura 3.7.

Foi desenvolvido também umscript no MATLAB, que permitia geração de um re-

latório de análise de um conjunto de curvas de luz de maneira automática. A geração

desse relatório, através doscript, permite a realização de uma triagem prévia que indicará

um conjunto de reduzido de curvas de luz que poderão trazer informações relevantes para

a pesquisa realizada e, portanto, devem receber uma maior atenção na análise individual.

A tabela 3.1 mostra o exemplo de um relatório gerado pelo script. Nela podemos ver

3.1. Ferramenta de base 31

Figura 3.6: Gráfico para exibição da curva de luz.

Figura 3.7: Gráfico para exibição do periodograma de Lomb-Scargle.

informações sobre as curvas de luz analisadas.

As informações contidas em cada uma das colunas da tabela correspondem à:

COROT_ID: Número de identificação da estrela observada;

RUN_ID: Código indicando em qualrun a observação foi realizada;

Mag_B: Magnitude B da estrela;

Mag_V: Magnitude V da estrela;

(B-V): Diferença entre as magnitudes;

Per1: Período com maior potência encontrada através do periodograma de Lomb-Scargle;

Pot1: Potência do maior período;

fap1: Probabilidade de alarme falso para o maior período encontrado;

TS: Tipo espectral da estrela.


COROT_ID RUN_ID Mag_B Mag_V (B-V) Per1 Pot1 fap1 TS

102695403 IRa01 15.436 14.798 0.638 100 14.0893 0.00060382 F7102696318 IRa01 15.415 14.729 0.686 100 15.0187 0.00023839 G3102696449 IRa01 17.227 16.359 0.868 42.75 1.9305 1 G4102697109 IRa01 16.341 15.593 0.748 15.25 1.4615 1 G6102698534 IRa01 16.122 15.306 0.816 30.25 4.5149 0.99984 G7102700868 IRa01 16.843 15.375 1.468 80.5 8.8184 0.11087 M0102701178 IRa01 16.532 15.546 0.986 68.25 404.9683 1.0576e-173 K0102701434 IRa01 15.693 14.314 1.379 85.75 97.463 3.734e-040 K9102701537 IRa01 16.165 15.407 0.758 100 4.8613 0.99791 G8102716794 IRa01 16.547 15.831 0.716 63.5 7.5419 0.34377 G9102717019 IRa01 17.286 15.877 1.409 14.5 21.7207 2.9284e-007 K9102884662 IRa01 17.007 15.934 1.073 3.75 114.9261 9.7287e-048 K8

Tabela 3.1:Exemplo de relatório gerado.

Das informações presentes na tabela, destacam-se as colunas Per1, Pot1 e fap1 que

correspondem, respectivamente, ao período mais forte da curva, a potência associada a

esse período e a probabilidade de esse período ser falso. Todas essas informações são

obtidas através do cálculo e análise do periodograma de Lomb-Scargle.

3.2 Método da Wavelet Modificada

Com base nesta ferramenta, passamos para a segunda etapa do trabalho, consistindo

do desenvolvimento de um método para a análise multiresolução dos sinais.

Dentre as tecnologias estudadas para a implementação do método em questão, optou-

se pela escolha da transformada Wavelet, pois a mesma, de acordo com o estudo bibli-

ográfico realizado, demontrou ser amplamente utilizada para os mais diversos problemas

na área de análises por multiresolução, incluindo a análisede sinais astrofísicos.

O primeiro passo dado para o uso da transformada wavelet comoparte do projeto

desenvolvido foi a utilização do toolbox wavelet disponível para Matlab para a análise

das curvas.

Nos primeiros testes realizados com awavelet, foi utilizado uma curva de luz de fácil

interpretação, de maneira que se possam avaliar, de maneiramais precisa, os resultados

3.2. Método da Wavelet Modificada 33

obtidos. A figura 3.8 mostra o sinal correspondente à curva deluz utilizada.

2590 2600 2610 2620 2630 2640 26502

4

6

8

10

12x 10

4

Dias Julianos

Flu

xo d

e Lu

z (e

lec/

s)

Figura 3.8: Curva de luz utilizadas nos testes da transformadawavelet.

A análise desta curva de luz pela ferramenta apresentada na seção anterior permitiu

identificar a existência de dois períodos preponderantes, com valores aproximados de 1,9

e 3,9 dias. A análise da curva em questão utilizando o método de Lomb-Scargle pode ser

vista na figura 3.9.

0 2 4 6 8 100

200

400

600

Período

Pot

ênci

a

Figura 3.9: Espectro da curva de luz utilizando o algoritmo de Lomb-Scargle.

Foram realizadas analisadas diferentes formas dewaveletcom o objetivo de identificar

qual seria a mais adequada para esta análise. As figuras 3.10,3.11 e 3.12 demonstram os

mapas wavelet gerados a partir das funçõesMorlet, DaubechiseMexican Hat.

Utilizando o conhecimento prévio obtido através da análiseespectral da curva de luz

através da transformada Lomb-Scargle, podemos verificar quer awaveletque proporciona

uma melhor análise sobre a distribuição dos períodos ao longo do tempo é a Morlet,


Figura 3.10: Análise utilizando awavelet Morlet

Figura 3.11: Análise utilizando awavelet Daubechis

exibida na figura 3.10. Nela pode-se perceber com mais clareza a existência de duas

faixas horizontais, próximas aos valores de período de doise quatro dias.

Apesar dos testes iniciais demonstrarem aspectos positivos no uso da transformada

wavelet para o desenvolvimento do projeto, ainda existiam dois problemas no uso da

transformada wavelet. Primeiro, a transformada wavelet disponibilizada pelo toolbox e

utilizada até então foi desenvolvida para trabalhar com sinais regularmente espaçados, o

que já ficou claro ao longo do texto, não se aplica ao sinais estudados. O segundo prob-

lema pode ser facilmente observado nas figuras 3.10, 3.11 e 3.12. Existem nas extremi-

dades dos mapas, zonas de maior energia. Essas zonas ocorremdevido a não sobreposição

total da wavelet mãe com o sinal analisado. Essa sobreposição acaba comprometendo o

mapa como um todo, pois o pico de energia acaba ocultando detalhes de interesse no

restante do mapa.

Visando solucionar os problemas em questão, foram realizadas as abordagens de-

scritas nas subseções a seguir.


Figura 3.12: Análise utilizando awavelet Mexican Hat

3.2.1 Wavelet para dados não regularmente espaçados

A solução para o primeiro problema foi encontada através da modificações no algo-

ritmo realizado para o cálculo do mapa de coeficiente wavelets. Como já visto anterior-

mente, o cálculo do mapa de coeficientes deve ser realizado através da equação

W(a,b) =∫ ∞

−∞f (t)ψa,b(t)dt (3.1)

.

O primeiro passo para a implementação da transformada wavelet não regularmente

espaçada é considerar que os dados de entrada não serão uniformemente distribuídos ao

longo do intervalo de observação, sendo assim, haverá um vetor t[n] que conterá os in-

stantes de tempo nos quais o sinal foi observado e um vetorf[n] que armazenará as leituras

do sinal nos instantes de tempo armazenados emt[n].

O cálculo dos coeficiente do mapa wavelet deverá ser obtido através da resolução da

equação

W(a,b) =1√a

n

∑ f[n]ψ∗(

t[n]−ba

)

. (3.2)

Ao se utilizar a equação 3.2, tem-se como principal diferença quanto a equação orig-

inal a amostragem da wavelet mãe também de maneira não regular e, além disso, nos

mesmos instantes de tempo em que foram amostrados os dados emanálise. Devido a esse

cuidado especial na geração dos mapas wavelet, obtém-se umamaior precisão na infor-

mação fornecida pelo mapa, uma vez que não há deslocamento das amostras captadas.


Uma vez especificada a forma de cálculo para os coeficientes, para que o algoritmo

funcione de maneira adequada, é necessário especificar as equações das wavelet mãeψ(·)

que serão disponibilizadas para cálculo. Durante o desenvolvimento dos trabalhos, optou-

se pelo uso de 4 wavelets mãe diferentes: Haar, função derivativa do Gradiente (fdG),

Mexican Hat(Mh) e Morlet. Sendo elas expressas, respectivamente pelasequações

ψ(Haar)(u) =

−0,5, se −0,5< u< 0

0,5, se 0≤ u< 0,5

0, caso contrário

, (3.3)

ψ( f dG)(u) =

√2ue−u2/2σ2

σ32 π

14

, onde σ = 0,44311, (3.4)

ψ(Mh)(u) =2(1− u2

σ2)e−u2/2σ2

π1/4√

3σ, onde σ = 0,63628 e (3.5)

ψ(Morlet)(u) = e−u.2 cos

(

πu

√

2ln(2)

)

, (3.6)

podendo ser vistas suas formas de onda na figura 3.13.

A próxima etapa do desenvolvimento consiste em solucionar oproblema da ocorrên-

cia de picos de energia nas extremidades inicial e final do mapa de coeficientes. É fato

conhecido que, devido à aplicação de escalas a wavelet mãe, as zonas extremas no eixo

de deslocamento possuem imprecisões no cálculo do coeficiente. O problema acontece

pois, quando parte da wavelet mãe não é utilizada no cálculo,a funçãoψ(·) não atende às

restrições definidas pelas equações 2.14 e 2.15.

A solução proposta para esse problema é transformar a funçãoutilizada como wavelet

mãe em uma função circular. Dessa maneira, a parte que seria descartada por não estar

sobreposta à função analisada será inserida sobrepondo a outra extremidade do sinal. Uma


−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Haar

Tem

po

(a) Haar

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

(b) fdG

−3 −2 −1 0 1 2 3−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

(c) Mexican Hat

−3 −2 −1 0 1 2 3−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

(d) Morlet

Figura 3.13: Formas de ondas das wavelets mães utilizadas.


2590 2600 2610 2620 2630 2640 2650−1

−0.5

0

0.5

1

Deslocamento (Dias Julianos)

Am

plitu

de

Figura 3.14: Wavelet Morlet circular.

ilustração da função Morlet calculada de maneira circular pode ser vista na figura 3.14.

Como já dito anteriormente, os sinais estudados neste trabalho possuem a caracterís-

tica de não serem regularmente espaçados. Sendo assim, o simples deslocamento do sinal

não resolveria o problema de maneira satisfatória, pois novamente iria resultar na não

coincidência das amostras deψ(·) com o sinal estudado.

Visando atender a estas restrições o cálculo do valor retornado pela funçãoψ foi mod-

ificado, de acordo com o descrito na seguinte equação,

ψc(t) =1

√

|ea|

ψ(

t−bea

)

, caso ψinicial ≤ t ≤ ψ f inal

ψ(

t−b−(t f im−tincio)ea

)

, caso t < ψinicial

ψ(

t−b+(t f im−tincio)ea

)

, caso ψ f inal < t

. (3.7)

Ondetinicial et f inal correspondem, respectivamente, ao início e ao fim da função analisada;

ψinicial eψ f inal correspondem, respectivamente, ao início e fim da funçãoψ(·); b o deslo-

camento ea a escala aplicada. Os valores deψinicial e ψ f inal deverão ser especificados de

acordo com a funçãoψ(·) utilizada.

Com isso, garante-se que a funçãoψc atenderá às restrições impostas pela teoria

wavelet, expostas nas equações 2.14 e 2.15, com uma única diferença que, nos casos

especiais, a onda não será contínua, e sim dividida em duas partes.


Altera-se assim a equação para o cálculo do mapa wavelet, descrita na equação 3.1,

para a equação

W(a,b) =∫ ∞

−∞f (t)ψc

a,b(t)dt. (3.8)

Dessa forma, o cálculo do mapa wavelet numérico, utilizandocomo dados de entradat

e f , sendo respectivamente tempo e fluxo, ambos comn elementos, será realizado através

da equação

W(a,b) =n

∑i=0

f [i]ψc(Wavelet-Mãe)a,b (t[i]), (3.9)

ondeWavelet-Mãeindica a função wavelet mãe que será utilizada (dentre as especificadas

nas equações 3.3, 3.4, 3.5 e 3.6);a indica a escala aplicada a wavelet-mãe;b indica

o deslocamento aplicado a wavelet mãe; e o cálculo da funçãoψ deverá ser realizado

através da equação 3.7.

Capítulo 4

Resultados e aplicação desenvolvida

Neste capítulo serão apresentados os resultados dos trabalhos desenvolvidos neste pro-

jeto, bem como a aplicação desenvolvida para ser utilizada no laboratório CoRoT para a

análise das Curvas de Luz.

4.1 Resultados

Para a demonstração dos resultados obtidos, serão utilizados dois casos de teste. O

primeiro consistirá na análise espectral e multiresoluçãode um sinal gerando computa-

cionalmente. O segundo teste realizado será sobre uma curvade luz selecionada dentre as

curvas de luz da missão espacial CoRoT.

4.1.1 Análise de sinal não regularmente espaçado gerado computa-

cionalmente

Esse teste tem como objetivo demonstrar a eficácia da metodologia sugerida para a

análise espectral e multiresolução para sinais não regularmente espaçados.

O primeiro passo para a realização do teste é a especificação do sinal a ser analisado.

Visando explorar a análise multiresolução, foi descrito umsinal composto por duas com-

4.1. Resultados 41

ponentes de frequências distintas e presentes em intervalos de tempos distintos, mas não

excludentes. O sinal foi gerado a partir da equação

s(t) =

3sen(

2πt 13

)

, para t ≤ 33

3sen(

2πt 13

)

+sen(

2πt 16

)

, para 33< t < 67

sen(

2πt 16

)

, para t ≥ 67

, (4.1)

e a forma de onda resultante pode ser vista na figura 4.1.

0 20 40 60 80 100−4

−2

0

2

4

Tempo

Am

plitu

de

Figura 4.1: Sinal digital sintetizado utilizado para validação do método.

Para demonstração da robustez do método proposto, foi adicionado ao sinal um ruído

branco gaussiano aditivo com amplitude 4. O sinal adicionado de ruído pode ser visto na

figura 4.2

0 20 40 60 80 100−5

0

5

10

Tempo

Am

plitu

de

Figura 4.2: Sinal digital sintetizado acrescido de ruído utilizado para validação do método.

A geração do sinal digital foi realizada para 1< t < 100 com período de 0.1. Para in-

serir o efeito da não regularidade na amostragem do sinal, foi realizada uma reamostragem

Capítulo 4. Resultados e aplicação desenvolvida 42

do sinal, com probabilidade de perda de amostra de 30%. Após arealização dessa

reamostragem, o sinal digital resultante pode ser visto na figura 4.3.

0 20 40 60 80 100−5

0

5

10

Tempo

Am

plitu

de

Figura 4.3: Sinal digital sintetizado não regularmente espaçado utilizado para validaçãodométodo.

Aplicando a transformada Lomb-Scargle no sinal e realizando a análise espectral,

pode-se notar claramente a existência de dois picos no periodograma, que pode ser visto

na figura 4.4. Um deles centrado no período 3 e o outro centradono período 6. Valores

que condizem com a equação de descrição do sinal.

0 2 4 6 8 100

50

100

150

200

Período

Pot

ênci

a

Figura 4.4: Espectro de frequência gerado pelo Lomb-Scargle para o sinal de teste.

Através do mapa wavelet, visível na figura 4.5, percebe-se existência de duas faixas

horizontais com picos de energia. Uma delas centrada na faixa de períodos próximos a

3 e a outra na faixa de períodos próximos a 6. Até então, o mapa wavelet não adicionou

nenhuma informação. A novidade fica por conta das posições notempo em que iniciam e

terminam essas faixas. A primeira tem início junto ao sinal ese estende até o instante de

tempo próximo a 66. Já a segunda tem início um pouco após o instante de tempo 30 e se

estende até o fim do sinal.

4.1. Resultados 43

É importante ressaltar que, ao observar a equação 4.1, percebe-se que os intervalos

identificados correspondem aos limites do sinal gerado.

Dias Julianos

Per

íodo

Wavelet Morlet

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Figura 4.5: Sinal digital sintetizado utilizado para validação do método.

4.1.2 Análise da curva de luz

Esse teste tem como objetivo principal demonstrar o ganho dequalidade na análise

multiresolução, obtido devido às modificações realizada naimplementação da transfor-

mada wavelet.

Para a realização do teste, foi escolhida uma curva de luz quepossui características já

conhecidas, a curva identificada pelo ID EN2 STAR MON 0102884662 20070203T130553

20070401T235518. A curva de luz pode ser visualizada na figura 4.6.

Através da análise espectral da curva de luz em questão, que pode ser vista na figura

4.7, pode-se notar a existência de dois picos de interesse. Oprimeiro, e de maior en-

ergia, encontra-se aproximadamente no período de 1,9 dias.Já o segundo encontra-se,

aproximadamente, no período de 3,9 dias.

A figura 4.8 exibe o mapa de coeficientes wavelet da curva de luzEN2 STAR MON


2600 2610 2620 2630 26402

3

4

5

6

7

8

9

10

11x 10

4

Ele

tron

s (E

)

Dias Julianos (DJ)

EN2STAR

MON

0102884662

20070203T130553

20070401T235518.fits

Figura 4.6: Curva de luz EN2 STAR MON 0102884662 20070203T130553 20070401T235518da missão espacial CoRoT.

0102884662 20070203T130553 20070401T235518. Esse mapa foi gerado, sem o uso da

técnica de wavelet mãe circular.

Através da análise multiresolução, pode-se perceber a existencia de duas faixas de

maior energia se estendendo ao londo das faixas de períodos de 2 e 4 dias. Entretanto a

análise é bastante prejudicada pelos picos de energia existentes nos extremos do eixo de

deslocamento (o eixo horizontal).

Na figura 4.9, pode-se ver o mapa de coeficientes wavelet gerado utilizando o método

proposto. Nele, comparado ao mapa da figura 4.8, é bem mais perceptível a existência

das duas faixas.

4.2 Aplicação desenvolvida

O desenvolvimento de uma aplicação gráfica para auxiliar o processo de análise das

curvas de luz tem como principal objetivo disponibilizar uma interface amigável e intu-

itiva para o usuário, sem restringir seu acesso às informações de interesse.

A aplicação consiste de uma interface gráfica (que pode ser vista na figura 4.10) que

4.2. Aplicação desenvolvida 45

1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

Pot

enci

a (P

)

Periodo (DJ)

EN2STAR

MON

0102884662

20070203T130553

20070401T235518.fits

Figura 4.7: Análise espectral da curva de luz EN2 STAR MON 0102884662 20070203T13055320070401T235518 da missão espacial CoRoT.

permite ao usuário carregar curvas de luz armazenadas em um diretório e realizar os dois

tipos de análise descritos nesta dissertação, a análise espectral e a análise multiresolução.

Assim como a primeira versão da ferramenta, esta pode ser dividida em diferentes

regiões, com base nas suas funcionalidades. Sendo essas regiões: barra de interação com

gráficos; abertura de diretório; lista de curvas disponíveis para análise; configuração dos

métodos; gráfico para exibição da curva de luz; gráfico para exibição do periodograma de

Lomb-Scargle; e gráfico para a exibição do mapa wavelet.

A figura 4.11 apresenta uma visão da aplicação dividida com base em suas funcional-

idades. Cada uma dessas funcionalidade será explicada a seguir.

A barra para interação (indicada pela letra "a"figura 4.11) mantém a mesma configu-

ração da versão anterior, permitindo ao usuário aplicarZoomaos gráficos, deslocá-los ou

obter informações mais precisas sobre um ponto em qualquer um dos gráficos.

Em seguida, aparece a barra para abertura de diretório (indicada pela letra "b"figura

4.11), que exibe o diretório corrente e permite ao usuário, através do acionamento de um

botão, indicar um novo diretório para análise.

Assim como na versão anterior, tem-se uma lista de curvas (indicada pela letra "c"na

figura 4.11) que permite ao usuário navegar entre as diferentes curvas armazenadas na

pasta que está sendo analisada. Para abrir uma curva para análise, deve-se clicar no nome


Dias Julianos

Per

íodo

Wavelet Morlet

2600 2610 2620 2630 2640

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Figura 4.8: Análise multiresolição da curva de luz EN2 STAR MON 010288466220070203T130553 20070401T235518 da missão espacial CoRoT sema técnica deψ circular.

do arquivo nessa lista.

Na região indicada pela letra "d"na figura 4.11, pode-se ver a área de controle para os

parâmetros para cálculo e exibição dos métodos disponíveis. Essa área é subdividida em

4 regiões menores, delimitadas porpanels.

O primeiropanel, denominado "Controle Lomb", corresponde às configurações para o

cálculo e exibição do periodograma de Lomb-Scargle. Nele é possível indicar os períodos

inicial e final para o cálculo do periodograma, bem como o intervalo entre os períodos

calculados. Além disso, também se pode indicar a unidade na qual deverá ser exibido o

eixo horizontal do gráfico do periodograma, se será frequência (1/DJ) ou período (DJ).

Por fim, permite-se também abrir uma janela para exibição do periodograma.

O segundopanel, denominado "Controle Wavelet", permite realizar a configuração

dos parâmetros transformada wavelet. Nele é possível indicar, assim como na configu-

ração do Lomb-Scargle, os períodos inicial e final de interesse, bem como o intervalo

entre os períodos, que serão utilizados para geração do mapawavelet. Nele é possível

definir também a wavelet mãe que será utilizada. Neste caso, as opções disponívei são

4.2. Aplicação desenvolvida 47

Per

íodo

(D

J)

Tempo (DJ)

EN2STAR

MON

0102884662

20070203T130553

20070401T235518.fits, Wavelet (Morlet)

2600 2610 2620 2630 2640

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Figura 4.9: Análise multiresolição da curva de luz EN2 STAR MON 010288466220070203T130553 20070401T235518 da missão espacial CoRoT utilizando a técnica deψ cir-cular.

Morlet, Haar, função derivativa do gradiente (fdG) eMexica Hat. Por fim, permite-se que

o usuário, através do acionamento do botão "Abrir Janela", abra o mapa wavelet em uma

janela à parte.

O terceiropanel, denominado "Controle Curva de Luz", é composto basicamente por

um botão, que permite ao usuário abrir o gráfico da curva de luzem uma nova janela.

O quarto e últimopanel, denominado "Corte do Sinal", permite a realização de cortes

no sinal. Essepanel tem, como principal objetivo, permitir ao usuário realizaranálises

em regiões específicas de uma curva de luz.

As regiões indicadas pela lestras "e", "f"e "g"destacam os gráficosutilizados para

a exibição, respectivamente, da curva de luz, do periodograma de Lomb-Scargle e do

mapa wavelet. Em qualquer dos gráficos, é possível interagirutilizando as ferramentas

disponíveis na barra de interação.


Figura 4.10: Screenshot da aplicação desenvolvida.

Figura 4.11: Imagem da aplicação desenvolvida separada de acordo com sua funcionalidade.

Capítulo 5

Conclusão

A análise de dados não regularmente espaçado é uma das áreas de pesquisa do proces-

samento digital de sinais na qual ainda há muito progresso a ser feito. Existem diversos

trabalhos atuando tanto no escopo de análise espectral (como pode ser visto em [Krafty

et al., 2011] e [Bodewits et al., 2007]), quanto no escopo da análise multiresolução (visto

em [Burns et al., 1996]), entretanto, existe ainda um grande caminho a ser percorrido.

Objetivando contribuir com as pesquisas na área, este trabalho propõe um método

para a análise multiresolução para dados não regularmente espaçados. Para a implemen-

tação deste método, foi proposto um método baseado na transformadawavelet. Para lidar

de maneira adequada com a irregularidade no espaçamento entre as amostras, o método

utilizado acrescenta uma variável temporal ao cálculo do método, de modo a sempre con-

siderar, para o cálculo dos coeficientes do mapawavelet, os instantes de tempo nos quais

as amostras foram colhidas, de modo a remover erros por imprecisão que ocorreriam com

o uso dawavelettradicional.

Com base nos testes realizados e expostos neste documento, a técnica proposta mostrou-

se efetiva, melhorando a qualidade do mapa, como pôde ser visto ao longo deste trabalho.

Outra contribuição deste trabalho é o método doψ circular, proposto para reduzir os pi-

cos existentes nas extremidades do mapa wavelet. A técnica mostrou-se efetiva pois, ao

Capítulo 5. Conclusão 50

eliminar os picos nas extremidades, percebe-se claramenteuma melhor visualização das

informações presentes ao longo do mapa, como pode ser visto comparando-se as figuras

4.8 e 4.9.

Dessa forma, pode-se concluir que o trabalho desenvolvido edescrito nesta disser-

tação de mestrado atingiu seus objetivos, apresentando resultados satisfatórios para ambos

os métodos propostos. Além disso, o trabalho também deixa como legado uma aplicação

para a análise das curvas de luz do projeto CoRoT, que está sendoutilizada pelo Labo-

ratório CoRoT da UFRN.

5.1 Sugestão de trabalhos futuros

Dentro do escopo para a análise e processamento de sinais digitais não regularmente

espaçados, existe ainda um conjunto de atividades a serem desenvolvidas. Dentre elas,

destaca-se, como principal desafio, a construção de um método para decomposição do

sinal, que permita recuperar não apenas as componentes de frequência do sinal, mas tam-

bém as respectivas fases.

Considerando o processo de análise multiresolução sugere-se:

• paralelização do algoritmo para cálculo do mapa de coeficientes;

• desenvolvimento de método automatizado para a análise do mapa de coeficientes;

• geração de descritores das curvas de luz para classificação de padrões por redes

auto-organizáveis;

• adaptação do método proposto para execução em GPU’s;

• desenvolvimento de um aplicativo web que permita o acesso e oprocessamento das

curvas de luz remotamente.

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uma ferramenta para análise multiresolução de dados não ... · geocentrismo, indicando que é o...

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