análise multiresolução em detecção e classificação de sinais transientes
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Análise Multiresolução em Detecção e Classificação de Sinais Transientes. Francisco M. Garcia Instituto de Sistemas e Robótica - Instituto Superior Técnico. Descrição do problema. Problema de detecção e classificação clássico; caso estacionário e - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
Análise Multiresolução em Detecção e Classificação de Sinais Transientes
Francisco M. Garcia
Instituto de Sistemas e Robótica - Instituto Superior Técnico
Organização da apresentação
• Descrição do problema.
• Problema de detecção e classificação clássico; caso estacionário e não estacionário; decomposição de Karhunen-Loève.
• Esquema de processamento em tempo real.
• Transformada wavelet discreta; parametrização de filtros.
• Escolha das famílias de wavelets, componentes principais e intervalo de amostragem; redução da complexidade computacional mantendo a qualidade do processador, distância de Chernoff.
• Exemplo.
• Conclusões.
Caracterização do problema e objectivos
• Sinais gaussianos de curta duração e passa-banda
• Ruído gaussiano e ruído impulsivo
• Ambiente multicaminho (acústica submarina)
• Baixa relação sinal-ruído
• Processadores em tempo real
• Avaliação da complexidade computacional dos processadores
• Avaliação de limites de desempenho
Canal +Sinal emitido por
uma de entre váriasfontes possíveis
Ruído
Sinal observado no receptor
• Sinal determinístico ou estocástico
• Canal conhecido ou desconhecido
• Distribuição do ruído conhecida
• Energia do sinal conhecida ou desconhecida
]),([)( com
, hipótese na )()()(
ctsfty
Htntytr
ii
ii
)(tyi)(tr
)(tn
)(tsi
c
Em que depende apenas das probabilidades a-priori das hipóteses Hk e Hi e das respectivas matrizes de covâriancia.
Para N hipóteses possíveis, existem combinações de testes para efectuar, embora seja apenas necessário efectuar N-1 cálculos quadráticos. De facto,
Classificador Bayesiano
Dado um vector de observações X e um conjunto de hipóteses Hi , i=0,…,N-1, escolhe-se a hipótese Hk tal que
P(Hk|X) > P(Hi|X), kiNi ,1,...,0Caso de sinais gaussianos de média nula em ruído gaussiano:
, )(11
kiki
T
ki XQQXl
Hk
><Hi
ki
NC2
ikNiklll ikki ,1,...,1, ,00
XMMQMI
MXlT
iii
T
ii
T
i)(
1
20
• O processo X é em geral fortemente correlacionado e de elevada dimensão
•A cada li0 pode-se aplicar uma transformação linear Mi (H0 ruído branco):
• A transformação óptima no sentido de reduzir o número de coeficientes é a decomposição de Karhunen-Loève
• Os coeficientes obtidos pela DKL são incorrelacionados (matriz de covariância diagonal)
• Caso estacionário - a DKL é a série de Fourier
• Caso não estacionário - DKL diferentes para cada classe de sinais diferentes
TsTd
FiltroPassa-baixo
ideal
Processo deobservação
Memóriadim = Nd
Decomposiçãolinear
Tt
Amostragem Redução de ordem
Memóriadim = Nc
Rácio deverosimilhança
H1
<>H0
Limiar decomparação
Decisão
Teste de verosimilhança
Nd - Comprimento dos vectores de decomposiçãoNc - Número de coeficientes de decomposiçãoTs - Intervalo de amostragemTd - Ritmo de decomposiçãoTt - Ritmo de execução dos testes de verosimilhança
Diagrama de blocos do detector binário
Decomposição wavelet discreta
Hc0 HH
G G G
c1 c2 cJ
d2d1 dJ
H - Filtro passa-baixo G - Filtro passa-alto
2
2
2
2
2
2
Propriedade de translação:
seja TW[c0(n)] = [d1(n) d2(n) … dJ(n) cJ(n)].
Então, TW[c0(n-k2J) ] = [d1(n-k2(J-1)) d2(n-k2(J-2)) … dJ(n-k) cJ(n-k)].
Filtros equivalentes hjk e gj
k
cj(k) = <c0(n),hjk(n)> = <C0(),Hj
k()> dj(k) = <c0(n),gjk(n)> = <C0(),Gj
k()>
Desenho de filtros G e H de suporte compacto
- H é Passa-baixo
- G é Passa-alto
- G e H são ortonormados HG*=0
- Condições de decomposição e reconstrução H*H + G*G = 1
- Outras restrições: regularidade, simetria, etc...
n
nh 2)(
n
ng 0)(
=> O desenho de filtros QMF com reconstrução perfeita (PR) para um determinado objectivo corresponde a um problema de minimização com restrições.
Zou e Tewfik mostraram que todos os filtros de comprimento 2Msão parametrizáveis por um conjunto livre de parâmetros i, i=1,…,M-1.
Problema de optimização
Objectivos: - Escolher o intervalo de amostragem, família de wavelets e no. de coeficientes de forma a reduzir ao máximo a complexidade computacional
Restrições: - Garantir a qualidade do processador
• Complexidade computacional reduzida se:
- Os Filtros de decomposição forem curtos - O número de coeficientes fôr pequeno- As matrizes de covariância forem esparsas
• Qualidade do processador:
- Erro quadrático médio E[2(t)]: Não é fiável- Ideal: Probabilidade de erro (computacionalmente incomportável)
- Utilizada: Distância de Chernoff
Distância de Chernoff
1,0 ,)1(sC
ln2
1max),( )1(
10
1010
s
CC
CsCCd sss
Válida para:- Matrizes definidas positivas- Processos decompostos na mesma base
Permite obter limiares superior e inferior da probabilidade de erro:
2
10
4112
1
),(exp2
1
si
s CCd
Funcionais de optimização computacionalda matriz de covariância
i) Sejam E[(dij)2] os elementos da diagonal da matriz de covariância
j i
jis dETJ
221 )(
i
jidEjJ 2
2 )()(ii) Para uma determinada escala j:
Seja Lij o instante médio do suporte de gi
j:
,)(),(2
1)(
/
/
22
dTGTLSdEs
s
T
T
sj
sji
ji
em que )(),(),( ttkTFtS
Algoritmo de optimização
1 - Encontrar Ts máximo (Tlim), tal que d(Cref,CTs) <
2 - Para Ts < Tlim e para dim(G,H) = N0, calcular
3 - Com os parâmetros calculados em 2, calcular a matriz de coeficientes wavelets Cw equivalente a CTs
4 - Eliminar os termos menos importantes da diagonal de Cw, bem como os respectivos termos cruzados, enquanto
d(Cref,Cw) <
5 - Avaliar a complexidade computacional. se não fôr satisfatória, voltar a 2 e repetir para um valor diferente de dim(G,H).
}2,1{ ,argmax,,
iJ iHGTs
Complexidade computacional
Decomposição KL: - comprimento do sinal N- No. de vectores próprios P
=> (N+2)xP multiplicações no total (decomposição + forma quadrática)
Transformada Wavelet: - Filtros G e H de comprimento L - Matriz
com M elementos não nulos - Vector de coeficientes com K elementos - Decomposição entre as escalas J1 e J2
=> Decomposição: multiplicações
=> Termo quadrático: M+K multiplicações
LJJ
k
kJ
j
j
122
0
1
0
22
)(1
2MQM
Iii
T
i
Não é fácil optimizar os parâmetros directamente no número de multiplicações
Exemplo
Conclusões
• Para sinais transientes, de curta duração, de banda larga, a transformada wavelet traz vantagens computacionais comparativamente à decomposição de Karhunen-Loève.
• Os parâmetros do processador podem ser obtidos pela maximização de funcionais que utilizam os termos da diagonal da matriz de covariância
• A escolha do intervalo de amostragem influencia fortemente a carga computacional do processador.
• A família de wavelets, de suporte compacto, pode ser escolhida numa biblioteca de bases, ou optimizada através de uma parametrização sem restrições.
• A qualidade das aproximações efectuadas deve ser monitorizada. A distância de Chernoff é a medida adequada em problemas de detecção.