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Um Panorama de Pesquisas sobre o uso da Modelagem Matemática no
Ensino Médio: 2010 a 2014
Douglas Borreio Maciel dos Santos
GD10 – Modelagem Matemática
Neste artigo é apresentada uma pesquisa realizada no âmbito do Mestrado Acadêmico do Programa de
Estudo Pós-Graduados em Educação Matemática da PUC-SP. É uma pesquisa teórica que tem por alvo
desenvolver um Panorama de Pesquisas sobre o uso da Modelagem Matemática no Ensino Médio: 2010
a 2014, com o objetivo de apontar os dois elementos principais de uma modelagem: o fenômeno a ser
modelado e o conceito matemático modelador. Os dados foram selecionados a partir de busca de
dissertações e teses no Banco de Teses da CAPES, na Biblioteca Digital da PUC-SP e na Internet
(utilizando o buscador Google). O estudo se restringiu à análise de vinte e duas pesquisas. Neste artigo
apresentamos dados bibliográficos dessas pesquisas e apontamos o conceito matemático modelador dos
fenômenos estudados.
Palavras-chave: Modelagem Matemática, Modelo, Fenômenoe Panorama.
Introdução
Neste artigo é apresentado o estado parcial do nosso projeto de pesquisa que tem como
objetivo organizar um Panorama de Pesquisas sobre o uso da Modelagem Matemática
no Ensino Médio entre os anos de 2010 a 2014. Será examinado em pesquisas, qual o
conceito matemático modelador utilizado e o fenômeno. É uma pesquisa bibliográfica
tipo estado da arte que, segundo Fiorentini, procura “inventariar, sistematizar e avaliar
a produção científica em uma determinada área (ou tema) de conhecimento”
(FIORENTINI, 1994, p.32), com vistas a identificar tendências e descrever o estado de
conhecimento de uma área ou de um tema de estudo (FIORENTINI, LORENZATO,
2012).Neste artigo será utilizado usar como referencial teórico a concepção de
Modelagem Matemática e Modelo Bassanezi, Biembengut e Hein,
O modelo e a modelagem matemática
Na Modelagem Matemática estão envolvidos um fenômeno real e a construção de um
modelo por meio de conceitos matemáticos, com vistas a antecipar a evolução desse
fenômeno.
1 Universidade Federal de Juiz de Fora, e-mail: [email protected], orientadora: Sonia
Barbosa Camargo Igliori
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Segundo Bassanezi(2002, p.19 e 20)
Modelo é a representação de um objeto ou fato concretas sendo suas
características predominantes a estabilidade e a homogeneidade das
variáveis. [..]. Ele deve conter as mesmas características que o sistema real,
isto é, deve representar as mesmas variáveis essenciais existentes no
fenômeno e suas relações obtidas através de hipóteses (abstratas) ou de
experimentos (reais) (BASSANEZI. 2002, p.19 e 20).
Desta forma Bassanezi (2002), descreve que os modelos matemáticos podem ser formulados
de acordo com a natureza dos fenômenos ou situações, analisados e classificados conforme
o tipo de matemática utilizada, em linear ou não linear, estático ou dinâmico e educacional
ou aplicativo.Então modelo matemático é a interpretação de algo da realidade, usado para
expressar fenômenos naturais ou sociais,a modelagem matemática em uma situação
problema real compreende a compreensão desses fenômenos ou não.
A modelagem matemática segundo Bassanezi:
A modelagem matemática é um processo dinâmico utilizado para a obtenção
e validação de modelos matemáticos. É uma forma de abstração e
generalização com a finalidade de previsão de tendência. A modelagem
consiste na arte de transformar situações da realidade em problemas
matemáticos cujas soluções devem ser interpretadas na linguagem usual.
(BASSANEZI, 2002, p.24).
Bassanezi(2002)descreve que a modelagem matemática possui as seguintes etapas:
a) Experimentação – obtenção de dados experimentais ou empíricos que ajudam na
compreensão do problema, na modificação do modelo e na decisão de sua
validade. É um processo essencialmente laboratorial e/ou estatístico;
b) Abstração – Identificação do problema e seleção das variáveis essenciais da
situação ; formulação do problema real em linguagem “natural” e formulação das
“leis empíricas” que serão testadas a partir dos dados experimentais;
c) Resolução – o modelo matemático é montado quando se substitui a linguagem
“natural” por uma linguagem matemática. O estudo do modelo depende de sua
complexidade e pode ser um processo numérico. Quando os argumentos
conhecidos não são eficientes, novos métodos podem ser criados, ou então o
modelo deve ser modificado;
d) Validação – Comparação entre a solução obtida via resolução do modelo
matemático e os dados reais. È um processo de decisão de aceitação ou não do
modelo inicial. O grau de aproximação desejado será o fator preponderante na
decisão:
e) Modificação – Caso o grau de aproximação entre os dados reais e a solução do
modelo não seja aceito, deve-se modificar as variáveis ou a lei de formação e
com isso o próprio modelo original é modificado e o processo se inicia
novamente;
f) Aplicação – A modelagem eficiente permite fazer previsões, tomar decisões,
explicar e entender; enfim, participar do mundo real com capacidade de
influenciar em suas mudanças (BASSANEZI, 2002, p.27).
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O esquema abaixo representa as fases da modelagem matemática para Bassanezi (2002), as
setas contínuas significam a primeira aproximação em relação às conjecturas realizadas
sobre a situação proposta, as setas pontilhadas, significam à busca do modelo matemático
que corresponda à solução a situação proposta.Essas fases descritas no parágrafo anterior
estão representadas na figura abaixo.
Figura 01: Processo de modelagem matemática proposto por Bassanezi.
Fonte: BASSANEZI, 2002, p.27
Esse processo de etapas proposto por Bassanezi possibilita a formulação do modelo
matemático interagindo em situação problema de algo real.
O aluno compreende o problema/fenômeno a partir da sua realidade, realiza hipóteses,
inicia a formulação do modelo matemático para solucionar o problema e validar. O
professor é o mediador e o aluno o protagonista de toda a execução.
O uso da modelagem matemática permite a aproximação da matemática com a realidade do
aluno para sua compreensão, visando melhorar o ensino aprendizagem. Nesse contexto o
aluno traz consigo o seu conhecimento de vida, de mundo interagindo em uma situação
real.
Assim como Bassanezi, Biembengut e Hein possui a sua concepção em modelagem
matemática com proximidades, em formular modelo matemático e realizar as respectivas
etapas. Mas o que significa modelo matemático e modelagem para esses autores.
Conforme Biembengut e Hein (2013) nessa perspectiva, um conjunto de símbolos e
relações matemáticas que procura traduzir, de alguma forma, um fenômeno em questão ou
um problema de situação real, denomina-se “modelo matemático”. Na ciência, a noção de
modelo é fundamental em especial a matemática, com sua arquitetura, permitem a
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elaboração de modelos matemáticos possibilitando uma melhor compreensão, simulação e
previsão do fenômeno estudado.
Um modelo pode ser formulado em termos familiares, utilizando-se de
expressões numéricas ou fórmulas, diagramas, gráficos ou representações
geométricas, equações algébricas, tabelas, programas computacionais etc. Por
outro lado, quando se propõe um modelo, ele é proveniente de aproximações
nem sempre realizado para se poder entender melhor um fenômeno, e tais
aproximações nem sempre condizem com a realidade. Seja como for, um
modelo matemático retrata, ainda que em uma visão simplificada, aspectos da
situação pesquisada (BIEMBENGUT, 1999).
A Modelagem Matemática é, assim, uma arte, ao formular, resolver e elaborar
expressões que valham não apenas para uma solução particular, mas que também
sirvam, posteriormente, como suporte para outras aplicações e teorias Biembengut e
Hein (2013).
Biembengut e Hein (2013) descreve que a modelagem matemática possui as seguintes
etapas:
I) Interação
a) Reconhecimento da situação problema;
b) Familiarização com o assunto a ser modelado→referencial teórico
Nesta fase uma vez delineada a situação que se pretende estudar, deve ser feito um estudo
sobre o assunto de modo indireto (por meio de livros e revistas especializadas, entre
outros) ou direto, in loco (por meio da experiência em campo, de dados experimentais
obtidos com especialistas da área).
Embora esta etapa esteja subdividida em duas, reconhecimento da situação-problema e
familiarização, não obedece a uma ordem rígida tampouco se finda ao passar a etapa
seguinte. A situação problema torna-se cada vez mais clara, à medida que se vai
interagindo com os dados.
II - Matematização
a)Formulação do problema→hipótese
b)Resolução do problema em termos de modelo
Esta etapa, a mais complexa e “desafiante”, em geral subdivide-se em formulação do
problema e resolução. É aqui que se dá a “tradução” da situação-problema para a
linguagem matemática. Intuição, criatividade e experiência acumulada são elementos
indispensáveis neste processo.
a)Formulação do problema →hipóteses
Nesta etapa é especialmente importante:
Classificar as informações (relevantes e não relevantes), identificando fatos envolvidos;
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Decidir quais os fatores a serem perseguidos, levantando hipóteses;
Selecionar variáveis relevantes e constantes envolvidas;Selecionar símbolos apropriados
para essas variáveis; e.
Descrever essas relações em termos matemáticos.
O objetivo principal deste momento do processo de modelar é chegar a um conjunto de
expressões aritméticas ou fórmulas, ou equações algébricas, ou gráficas, ou
representações, ou programa computacional, que levem à solução ou permitam a
dedução de uma solução, ou permitam a dedução de uma solução.
b) Resolução do problema em termos do modelo
Uma vez formulada a situação-problema, passa-se à resolução ou análise com o
“ferramental” matemático que se dispõe. Isto requer aguçado conhecimento sobre as
entidades matemáticas usadas na formulação. O computador pode ser um instrumento
imprescindível: especialmente em situação-problema em que não foi possível resolvê-la
por processos contínuos, obtêm-se resultados aproximados por processos discretos.Cabe
aqui salientar que muitos modelos matemáticos não resolvidos no século passado
levaram ao desenvolvimento de outros ramos da Matemática.
III - Modelo matemático;
a)Interpretação da solução;
b)Validação do modelo→avaliação
Para concluir o modelo, torna-se necessária uma avaliação para verificar em que nível
ele se aproxima da situação-problema representada e, a partir daí, verificar também o
grau de confiabilidade na sua utilização. Desta forma, faz-se:
a)a interpretação do modelo, analisando as implicações da solução derivada daquele que
está sendo investigado; e
b)a verificação de sua adequabilidade, retornando à situação-problema investigada e
avaliando quão significativa e relevante é a solução – validação
Se o modelo não atender às necessidades que o geraram, o processo deve ser retomado
na segunda etapa – ma tematização– mudando-se ou ajustando hipóteses, variáveis etc.
A Figura 2 está representada às etapas da modelagem matemática segundo Biembengut.
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Figura 2: Dinâmica da Modelagem Matemática
Fonte: (Biembengut,1999).
É importante, ao concluir o modelo, a elaboração de um relatório que registre todas as
facetas do desenvolvimento, a fim de propiciar sem uso de forma adequada
(BIEMBENGUT, 1999).
Esse artigo em por objetivo realizar um Panorama com o uso da Modelagem
Matemática no Ensino Médio: 2010 a 2014. Destacar em nossa pesquisa o conceito
matemático modelador (modelo matemático) e o fenômeno mais usados em pesquisas
de modelagem matemática no Ensino Médio. Para isso usamos como referencial teórico
dois autores já citados em nosso artigo.
Vamos destacar alguns conceitos desses autores sobre o que seria um modelo, um
modelo matemático e como ocorre o processo de modelagem matemática.
Desta forma Bassanezi (2002), descreve que os modelos matemáticos podem ser
formulados de acordo com a natureza dos fenômenos ou situações analisados e
classificados conforme o tipo de matemática utilizada, em linear ou não linear, estático ou
dinâmico e educacional ou aplicativo.
Biembengut e Hein (2003) dizem que a formulação de modelos interpretativos dos
fenômenos naturais e sociais é inerente ao ser humano.
Se utilizarmos um conjunto de símbolos e relações matemáticas a fim de traduzir um
fenômeno ou problema real, estaremos utilizando um modelo matemático (Biembengut
e Hein, 2003), pois, como afirma Bassanezi (2004), “Um modelo matemático é um
conjunto consistente de equações ou estruturas matemáticas, elaborado para
corresponder a algum fenômeno – este pode ser físico, biológico, social, psicológico,
conceitual ou outro modelo matemático” (p. 174).
Então modelo matemático é a interpretação de algo da realidade, que foi compreendido
e será usado para resolver fenômenos naturais e sociais, em uma situação problema real.
A Modelagem Matemática segundo Bassanezi:
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A Modelagem Matemática é um processo dinâmico utilizado para a obtenção
e validação de modelos matemáticos. É uma forma de abstração e
generalização com a finalidade de previsão de tendência. A modelagem
consiste na arte de transformar situações da realidade em problemas
matemáticos cujas soluções devem ser interpretadas na linguagem usual.
(BASSANEZI 2002, p.24).
A Modelagem Matemática é, assim, uma arte, ao formular, resolver e elaborar
expressões que valham não apenas para uma solução particular, mas que também
sirvam, posteriormente, como suporte para outras aplicações e teorias Biembengut e
Hein (2013).
Os autores interpretam a modelagem matemático sendo um processo de aproximação da
matemática com a realidade do aluno, desta forma a compreensão da matemática será
melhorada almejando um bom desempenho na aprendizagem.
Então a Modelagem Matemática modifica uma situação problema real em matemática
resolve esse problema e devolve para a situação real.
Metodologia
Quando nos referimos á escolha metodológica que será aplicada em nosso artigo foi
definido, segundo Fiorentini e Lorenzato (2012):
Um processo de que consiste na busca disciplinada/metódica de saberes ou
compreensões acerca de um fenômeno, problema ou questão da realidade ou
presente na literatura o qual inquieta/instiga o pesquisador perante o que se
sabe ou diz a respeito. (p. 60).
O panorama das Dissertações são os mesmos critérios de uma pesquisa de estado da arte,
segundo Fiorentini e Lorenzato(2012):
a pesquisa (histórico-) bibliográfico ou de revisão é a modalidade de estudo
que se propõe a realizar análises históricas e/ou revisão de estudos ou
processos tendo como material de análise documentos escritos e/ou
produções culturais garimpados a partir de arquivos e acervos. Essa
modalidade de estudo compreende tanto os estudos tipicamente teóricos ou
estudos analítico-descritivos de documentos ou produções culturais, quanto
os do tipo “pesquisa do estado da arte”, sobretudo qual procura inventariar,
sistematizar e avaliar a produção científica numa determinada área (ou tema)
de conhecimentos. (p.70 e 71).
Para coletar os trabalhos que deverão compor o panorama desta dissertação foi utilizado
a partir do Banco de Dissertações da CAPES, da Biblioteca Digital da PUC-SP e na
Internet (utilizando o buscador Google).
Para selecionar esses trabalhos em nossa busca foram utilizadas as palavras Chaves:
Modelagem Matemática na Educação Básica, Modelagem Matemática no Ensino
Fundamental e Modelagem Matemática no Ensino Médio.
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Com o resultado dessa busca foram apuradas 107 dissertações da Educação Básica em
todo território nacional, realizamos uma pré-análise para verificar quais pesquisas
relatam o uso da Modelagem Matemática no Ensino Médio, desse total exclui oitenta e
cinco dissertações referente ao Ensino Fundamental e foi possível, até o momento,
selecionar 22 dissertações.
Na Tabela 1 estão apresentadas as 22 pesquisas que compõem o estudo apresentado
neste artigo.
Tabela 1: Mestrado acadêmico e profissional
Instituição Ano Autor Título
Universidade
Regional de
Blumenau
2010 Kátia Regina da
Silva Korb
Modelagem Matemática no Ensino
Médio: Um Olhar sobre a necessidade de
Aprender Matemática
Pontifícia
Universidade
Católica de São
Paulo (PUC/SP)
2011
Cristina Maria
Brucki
O uso de Modelagem no ensino de função
exponencial
Pontifícia
Universidade
Católica de São
Paulo (PUC/SP)
2011 Luiz Gonçalves
Filho
Modelagem matemática e o ensino de
função de primeiro grau
Pontifícia
Universidade
Católica de São
Paulo (PUC/SP)
2011
Ricardo
Antonio de
Souza
A Modelagem Matemática como proposta
de ensino e aprendizagem do conceito de
função.
Universidade
Federal de Ouro
Preto
2011
Glaucos Ottone
Cardoso de
Abreu
A Prática de Modelagem Matemática
como um Cenário de Investigação na
Formação Continuada de Professores de
Matemática
Universidade
Bandeirante de SP 2011
Leonardo
Gerardini
Modelagem Matemática – Sistemas De
Amortizações Uma Experiência Com
Jovens E Adultos
Universidade
Federal do Rio
Grande do Sul
Instituto de
Matemática
2011 Belissa
Schonardie
Modelagem Matemática e Introdução da
Função Afim no Ensino Fundamental
Universidade
Federal de Juiz de
Fora Instituto de
Ciências Exatas
2011 Lorena Luquini
de Barros Abreu
Estudando conteúdos Matemáticos com
direcionamentos de Modelagem
Matemática: O Caso Da Função Afim
Universidade
Federal de Ouro
Preto
2013 Leonardo de
Assis
Modelagem Matemática na Formação de
Professores: Algumas Contribuições
Universidade 2013 Cássio Luiz Desenvolvendo Criticidade e Criatividade
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Federal de Ouro
Preto
Vidigal com Estudantes de Geografia por Meio de
Modelagem
Universidade
Federal do Pará
Instituto de
Educação
Matemática E
Científica - IEMCI
2013
Gleison de
Jesus Marinho
Sodré
Modelagem Matemática Crítica como
atividade de Ensino e Investigação
Universidade
Federal Do Rio
Grande Do Sul
Instituto De
Matemática
2013
Josy Rocha Modelagem Matemática com Fotografias
Universidade Rural
Federal do Rio de
Janeiro
2013 Tatiana Soares
Cipriano
Modelagem Matemática como
Metodologia no Ensino Regular:
Estratégias e Possibilidades
Universidade
Federal De São
Carlos
2013
Estela
Aparecida
Fernandes
Geometria, Modelagem e Código de
Barras na Construção de Luminárias
Universidade
Estadual de
Londrina
2013
DANIELE DA
CUNHA
SILVA
Modelagem Matemática no Processo de
Ensino e Aprendizagem de Números
Complexos: Uma Proposta Didática
Universidade
Estadual de
Londrina
2013
Lilian
Aparecida
Alves Paes
Números Complexos: Uma Proposta
Didática Baseada na Modelagem
Matemática e em Contextos Históricos
Universidade
Federal do ABC 2013
Samuel
Francisco
Modelagem Matemática no arremesso de
peso
Universidade
Federal Rural do
Semiárido – Ufersa
2013
Antônio
Josimário
Soares de
Oliveira
O Ensino e a Aprendizagem de Função
Exponencial em um Ambiente de
Modelagem Matemática
Universidade Rural
Federal do Rio De
Janeiro
2013 Tatiana Soares
Cipriano
Modelagem Matemática como
Metodologia no Ensino Regular:
Estratégias e Possibilidades
Universidade
Federal de Santa
Maria (UFSM, RS
2013 Luciano de
Oliveira
Modelagem Matemática no Tratamento e
Distribuiçãode Água: Propostas para o
Ensino de Matemática
Pontifícia
Universidade
Católica de São
Paulo (PUC/SP)
2014 Ricardo Ferreira
dos Santos
O Uso da Modelagem para o Ensino da
Função Seno no Ensino Médio
Universidade
Federal de Goiás 2014
Carlos
AlbertoSoares
Modelagem por Meio de Funções
Elementares
Para realizar análise dessas dissertações serão destacados os procedimentos que conduzirão
a pesquisa bibliográfica. Segundo FIORENTINI e LORENZATO( 2012, P.102) nesse tipo
de pesquisa, a coleta de informações é feita a partir de fechamento das leituras. A ficha de
anotações ajuda a organizar de maneira sistemática os registros relativos às informações.
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Após analisar e selecionar os trabalhos, estes serão categorizados conforme FIORENTINI
e LORENZATO (2012):
I - Dados Formais: título, autor, orientador, ano de publicação, modalidade (dissertação e
artigo), programa, instituição.
II - Dados Analíticos: objetivo geral, problemática, fenômeno, conceito matemático
modelador e modelo.
III - Considerações finais.
Considerações Finais
Neste texto, relatamos o esboço da pesquisa até esta ocasião, realizamos um
levantamento bibliográfico, sintetizamos dissertações na Educação Básica Ensino
Fundamental e Médio em todo território nacional.
Finalizando as respectivas leituras procuramos destacar qual conceito matemático
modelador, usado na Modelagem Matemática com mais freqüência.Iremos finalizar a
nossa pesquisa apresentando o fenômeno.
Nessa tabela destacamos o conceito matemático modelador até o momento das vinte e
duas pesquisas em Modelagem Matemática.
Tabela 2: Título e conceito matemático modelador
Título Conceito matemático modelador
O Uso Da Modelagem Para O Ensino
Da Função Seno No Ensino Médio Função Seno
O uso de Modelagem no ensino de função
exponencial. Função exponencial
Modelagem matemática e o ensino de
função de primeiro grau Função afim
A Modelagem Matemática como proposta
de ensino e aprendizagem do conceito de
função.
Função do 1° grau
A Prática de Modelagem Matemática
como um Cenário de Investigação na
Formação Continuada de Professores
de Matemática
Funções afins
Modelagem Matemática na Formação de
Professores: Algumas Contribuições. Função Exponencial
Desenvolvendo Criticidade e
Criatividade com Estudantes de
Geografia por Meio de Modelagem
Proporcionalidade e Progressão Aritmética
Modelagem Matemática Crítica como
atividade de Ensino e Investigação Regra de três
Modelagem Matemática – Sistemas De
Amortizações Uma Experiência Com
Jovens E Adultos
Sistema Amortização
Constante e Price
Porcentagem e
Proporção
Modelagem Matemática com
Fotografias
Área e volume do paralelepípedo e
da pirâmide
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Modelagem Matemática e Introdução
da Função Afim no Ensino
Fundamental
Função Afim
Modelagem Matemática no Ensino
Médio: Um Olhar sobre a necessidade
de Aprender Matemática.
Geometria espacial cilindro, função
exponencial
Estudando conteúdos Matemáticos
com direcionamentos de Modelagem
Matemática: O Caso Da Função Afim
Função afim
Modelagem Matemática como
Metodologia no Ensino Regular:
Estratégias e Possibilidades
Função do polinomial do 1° grau.
Geometria, Modelagem e Código de
Barras na Construção de Luminárias Função afim e Prismas
Modelagem Matemática no Processo
de Ensino e Aprendizagem de
Números Complexos: Uma Proposta
Didática
Números complexos
Números Complexos: Uma Proposta
Didática Baseada na Modelagem
Matemática e em Contextos Históricos
Números complexos
Modelagem Matemática no arremesso
de peso
Funções quadráticas
O Ensino e a Aprendizagem de Função
Exponencial em um Ambiente de
Modelagem Matemática
Função Exponencial
Modelagem Matemática como
Metodologia no Ensino Regular:
Estratégias e Possibilidades
Polígono convexo, Função Exponencial e
Elípse.
Modelagem Matemática no
Tratamento e Distribuiçãode Água:
Propostas para o Ensino de
Matemática
Porcentagens, Regra de três e
proporcionalidade, Média aritmética,
Sólidos geométricos (cilindro, cone e
esfera);
Modelagem por Meio de Funções
Elementares Função Afim
Fonte: Do Autor
Referências
BASSANEZI, R. C.. Ensino-aprendizagem com Modelagem Matemática. São Paulo:
Contexto 2002.
BELTRÃO, M. E. P.; IGLIORI, S. B. C.. Modelagem Matemática e aplicações: Uma
abordagem para o ensino de funções.Educação Matemática Pesquisa. Revista do
Programa de Estudos Pós-Graduados em Educação Matemática. ISSN 1983-3156,
v. 12, n. 1, 2010.
BIEMBENGUT, M. S.; HEIN, N.. Modelagem Matemática no Ensino. Edição 5ª., 3ª
reimpressão. São Paulo – SP: Contexto 2013.
FIORENTINI, D. Rumos da pesquisa brasileira em educação matemática: o caso da
produção científica em cursos de pós-graduação. 1994. (301 + 113)f. Tese (Doutorado
em Educação: Metodologia de Ensino) – Faculdade de Educação, Universidade
Estadual de Campinas, Campinas, 1994.
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FIORENTINI, D.;LORENZATO, S.. Investigação em Educação Matemática:
Percursos teóricos e metodológicos. Edição 3ª. Campinas - SP: Autores Associados,
2012.