um modelo didÁtico de referÊncia baseado em …

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO

CARLOS ALBERTO FERNANDES DE SIQUEIRA

UM MODELO DIDÁTICO DE REFERÊNCIA BASEADO EM ATIVIDADES DE ESTUDO E INVESTIGAÇÃO PARA O

ENSINO DE CÔNICAS NA ESCOLA BÁSICA

DOUTORADO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA

SÃO PAULO

2021

CARLOS ALBERTO FERNANDES DE SIQUEIRA

UM MODELO DIDÁTICO DE REFERÊNCIA BASEADO EM ATIVIDADES DE ESTUDO E INVESTIGAÇÃO PARA O

ENSINO DE CÔNICAS NA ESCOLA BÁSICA

Tese apresentada à banca examinadora da

Pontifícia Universidade de São Paulo como

exigência parcial para obtenção do título de

DOUTOR EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA

sob a orientação da Professora Doutora

Maria José Ferreira da Silva.

PUC – SP

2021

Autorizo, para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total ou parcial desta

Tese de Doutorado por processos de fotocopiadoras ou eletrônicos.

Assinatura: _______________________________________São Paulo, __/__/__

E-mail: [email protected].

Carlos Alberto Fernandes de Siqueira

UM MODELO DIDÁTICO DE REFERÊNCIA BASEADO EM ATIVIDADES DE ESTUDO E INVESTIGAÇÃO PARA O ENSINO DE

CÔNICAS NA ESCOLA BÁSICA

Tese apresentada à banca examinadora da

Pontifícia Universidade de São Paulo como

exigência parcial para obtenção do título de

DOUTOR EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA.

APROVADO EM __/__/__

BANCA EXAMINADORA

__________________________________________

Dra. Maria José Ferreira da Silva (Orientadora) - PUC-SP

__________________________________________

Dra. Talita Carvalho Silva de Almeida - UFPA

__________________________________________

Dra. Jesús Victoria Flores Salazar - PUC-P

__________________________________________

Dr. Gabriel Loureiro de Lima - PUC-SP

__________________________________________

Dr. Fumikazu Saito - PUC-SP

Esta tese se adere ao projeto internacional Processos de Ensino e Aprendizagem de

Matemática em Ambientes Tecnológicos, PEA-MAT/DIMAT, aprovado pela

Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo – FAPESP 2013/23228-7

e desenvolvido concomitantemente pelos grupos de pesquisa PEA – MAT da

Pontifícia Universidade Católica de São Paulo – Brasil e DIMAT da Pontificia

Universidad Católica del Peru.

O presente trabalho foi realizado com apoio da Coordenação de

Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior – Brasil (CAPES) – Código de

Financiamento 001 e processo número 88887.163131/2018-00.

This study was financed in part by the Coordenação de Aperfeiçoamento de

Pessoal de Nível Superior- Brasil (CAPES)- Finance Code 001 and process

number 88887.163131/2018-00

“[...] Coração de estudante.

Há que se cuidar da vida.

Há que se cuidar do mundo.

Tomar conta da amizade.

Alegria e muito sonho.

Espalhados no caminho [...]”

Milton Nascimento e Wagner Tiso

Este trabalho é dedicado ao meu Pai

Raimundo (in memoriam) e à minha Mãe

Carmen porque apesar das dificuldades se

mantiveram firmes em nossa criação.

AGRADECIMENTOS

Agradeço a Deus por ter me dado o dom da vida

e por fazer parte dela todos os dias.

À Professora Doutora Maria José Ferreira

da Silva pela orientação, confiança e parceria

na realização deste trabalho.

Aos membros da Banca Examinadora pelas

sugestões e orientações que deram um delineamento

definitivo para esta tese.

A todos os professores da PUC-SP do PEPG em

Educação Matemática que tive o privilégio de

conviver e de aprender.

À CAPES pela concessão da bolsa de estudos, tornando

possível o desenvolvimento desta pesquisa.

Aos meus colegas de programa e de grupo de pesquisa

pela convivência e aprendizado.

Aos professores Marcus Pinto (in memoriam) e Paulo

Quiossa que estiveram comigo no início desta caminhada.

À minha família pelo carinho e incentivo.

À minha companheira Grasielle Monteiro pelos

momentos de dedicação e de apoio incondicional.

Às pessoas que direta ou indiretamente

contribuíram para a realização deste trabalho.

A todos serei eternamente grato.

O autor.

SIQUEIRA, Carlos Alberto Fernandes de. Um modelo didático de referência baseado em atividades de estudo e investigação para o ensino de cônicas na escola básica. 2021. Tese (Doutorado em Educação Matemática) – Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São Paulo, 2021. 355 páginas.

RESUMO

Esta pesquisa tem por objetivo identificar quais contribuições podem emergir do estudo das três dimensões do problema didático e contribuir para a construção de um Modelo Didático de Referência associado ao desenvolvimento de Atividades de Estudo e Investigação voltadas ao ensino e à aprendizagem das cônicas na escola básica. Utilizamos como referencial teórico a Teoria Antropológica do Didático e adotamos a metodologia de pesquisa documental. De acordo com essa teoria, fizemos um estudo destas três dimensões em que, na dimensão epistemológica identificamos os saberes e as razões de ser das cônicas, ao longo da história, inseridas na geometria sintética, analítica, linear, projetiva e do taxi e construímos um Modelo Epistemológico de Referência envolvendo cada uma dessas geometrias em que explicitamos as praxeologias envolvidas. Na dimensão econômico-institucional identificamos o modelo dominante para o ensino das cônicas na escola básica, a partir de um estudo histórico, no ensino brasileiro, por meio dos currículos que se sucederam e de livros didáticos adotados em diferentes períodos. Na dimensão ecológica construímos uma cadeia alimentar, no sentido da TAD, explicitando quais conteúdos matemáticos permitem alimentar o ensino das cônicas na escola básica e quais objetos podem ser alimentados por elas, resgatando inclusive conteúdos que foram esquecidos ao longo do tempo e que permitem uma série de articulações importantes para compreensão destes objetos. Como consequência, sugerimos alterações no currículo escolar para que se distribua o ensino das cônicas ao longo da educação básica e não o concentre apenas no 3º ano do EM. Além disso, construímos um Modelo Didático de Referência em que desenvolvemos Atividades de Estudo e Investigação para o 9º ano do EF, apresentando diferentes maneiras de construir uma representação de cônicas em que o aluno poderá ser impelido a conjecturar, investigar e refletir, ao mesmo tempo em que utiliza diversas propriedades matemáticas. Para o 1º ano do EM elaboramos uma atividade a respeito de parábola que envolve o transporte de alguns elementos da geometria sintética para um referencial cartesiano, relacionando a geometria analítica com a geometria do taxi, evidenciando a diferença entre suas métricas e elaboramos outra atividade referente a hipérbole para entender a localização de um navio por meio de ondas eletromagnéticas no sistema LORAN-C, relacionando a geometria sintética com a geometria analítica. No 2º ano do EM desenvolvemos uma atividade que relaciona as geometrias sintética e analítica no estudo de parábolas e de hipérboles na construção de um telescópio refletor e outra, para tratar da elipse, nestas mesmas geometrias, relacionada à órbita celeste do planeta terra, considerando as posições do afélio e do periélio. No 3º ano do EM construímos uma atividade para estudar a elipse por meio das coordenadas de cinco pontos de uma órbita celeste em que relacionamos as geometrias linear e analítica e outra atividade, envolvendo as geometrias sintética, analítica e projetiva para determinar qual a cônica representa a sombra projetada de um abajur em uma parede.

Palavras-chave: Cônicas. Geometrias. Currículos. Teoria Antropológica do Didático.

ABSTRACT

This research aims to identify which contributions can emerge from the study of the three dimensions of the didactic problem and contribute to the construction of a Reference Didactic Model associated with the development of Study and Research Activities aimed at teaching and learning conics in basic education. We used as theoretical reference the Anthropological Theory of didactics and adopted the methodology of documentary research. According to this theory, we made a study of these three dimensions in which, in the epistemological dimension we identified the knowledge and the reasons of being of conicals, throughout history, inserted in the synthetic geometry, analytical, linear, projective and taxi and we built an Epistemological Model of Reference involving each of these geometries in which we explain the praxeologies involved. In the economic-institutional dimension, we identified the dominant model for the teaching of conics in primary school, based on a historical study, in Brazilian teaching, through the curricula that followed and textbooks adopted in different periods. In the ecological dimension we built a food chain, in the sense of TAD, explaining which mathematical contents allow feeding the teaching of conics in basic school and what objects can be fed by them, even rescuing contents that have been forgotten over time and that allow a series of important articulations to understand these objects. As a consequence, we suggest changes in the school curriculum so that the teaching of conics is distributed throughout basic education and not to focus only on the 3rd year of high school. In addition, we built a Didactic Reference Model in which we develop Study and Research Activities for the 9th year of elementar school, presenting different ways to build a representation of conics in which the student can be impelled to conjecture, investigate and reflect, while using several mathematical properties. For the 1st year of high school we elaborated an activity about parabola that involves the transport of some elements of synthetic geometry to a cartesian reference, relating analytical geometry with taxi geometry, evidencing the difference between its metrics and elaborated another activity related to hyperbola to understand the location of a ship through electromagnetic waves in the LORAN-C system, relating synthetic geometry to analytical geometry. In the 2nd year of high school we developed an activity that relates the synthetic and analytical geometries in the study of parables and hyperbole in the construction of a reflector telescope and another, to treat the ellipse, in these same geometries, related to the celestial orbit of the planet earth, considering the positions of the aphelium and perihelium. In the 3rd year of high school we built an activity to study the ellipse through the coordinates of five points of a celestial orbit in which we relate the linear and analytical geometries and another activity, involving the synthetic, analytical and projective geometries to determine which conical represents the projected shadow of a lamp on a wall.

Keywords: Conics. Geometries. Curriculum. Anthropological Theory of Didactics.

LISTA DE FIGURAS

FIGURA 1 – DUPLICAÇÃO DO QUADRADO .................................................................................................. 73

FIGURA 2 – QUADRATURA DA PARÁBOLA ................................................................................................... 76

FIGURA 3 – A PARÁBOLA NO CONE SEGUNDO ARQUIMEDES ....................................................................... 76

FIGURA 4 – A PARÁBOLA NO CONE SEGUNDO APOLÔNIO ............................................................................ 78

FIGURA 5 – ELIPSE NO CONE SEGUNDO APOLÔNIO .................................................................................... 78

FIGURA 6 – A HIPÉRBOLE NO CONE SEGUNDO APOLÔNIO ........................................................................... 79

FIGURA 7 – ELIPSE NO CONE OBLÍQUO ...................................................................................................... 80

FIGURA 8 – O PROBLEMA DE PAPPUS PARA QUATRO RETAS ....................................................................... 82

FIGURA 9 – PONTOS DA PARÁBOLA ........................................................................................................... 83

FIGURA 10 – EQUIDISTÂNCIA DE PONTOS DA PARÁBOLA COM R E P DADOS ................................................. 84

FIGURA 11 – PONTOS DA ELIPSE .............................................................................................................. 84

FIGURA 12 – EQUIDISTÂNCIA DE PONTOS DA ELIPSE COM OS PONTOS P E T ................................................ 85

FIGURA 13 – PONTOS DA HIPÉRBOLE ........................................................................................................ 85

FIGURA 14 – HIPÉRBOLE POR TANGÊNCIAS DE CIRCUNFERÊNCIAS ............................................................. 86

FIGURA 15 – PONTO J INTERSEÇÃO ENTRE HIPÉRBOLE E SEMICÍRCULO ...................................................... 87

FIGURA 16 – PARÁBOLA POR WERNER ..................................................................................................... 88

FIGURA 17 – PARÁBOLA SEGUNDO KEPLER............................................................................................... 90

FIGURA 18 – PROBLEMA DE PAPPUS SEGUNDO DESCARTES ...................................................................... 91

FIGURA 19 –TRAÇADORES DE CÔNICAS SEGUNDO VAN SCHOOTEN ............................................................ 95

FIGURA 20 – ELIPSE E CIRCUNFERÊNCIA ................................................................................................... 96

FIGURA 21 – FOCO E DIRETRIZ DA PARÁBOLA ............................................................................................ 97

FIGURA 22 – ELIPSE POR CÍRCULOS CONCÊNTRICOS ................................................................................. 97

FIGURA 23 – SISTEMA DE COORDENADAS POLARES ................................................................................... 99

FIGURA 24 – COORDENADAS POLARES E AS CÔNICAS ................................................................................ 99

FIGURA 25 – ESQUEMA DO TELESCÓPIO DE NEWTON .............................................................................. 100

FIGURA 26 – ESQUEMA DO TELESCÓPIO DE CASSEGRAIN ........................................................................ 101

FIGURA 27 – ELIPSE COMO PROJEÇÃO DE CIRCUNFERÊNCIA .................................................................... 102

FIGURA 28 – HEXAGRAMA MÍSTICO DE PASCAL ....................................................................................... 103

FIGURA 29 – HIPÉRBOLE SEGUNDO LA HIRE ........................................................................................... 104

https://d.docs.live.net/2c22c4cadef71240/Área%20de%20Trabalho/CARLOS_TESE_VERSÃO_FINAL_2021.docx#_Toc80887774

FIGURA 30 – ASSOCIAÇÃO DE PONTOS A RETAS COM UMA ELIPSE ............................................................ 105

FIGURA 31 – ASSOCIAÇÃO DE RETAS A PONTOS COM UMA ELIPSE ............................................................ 106

FIGURA 32 – HEXÁGONO DE PASCAL ...................................................................................................... 106

FIGURA 33 – HEXÁGONO DE BRIANCHON ................................................................................................ 107

FIGURA 34 – FORMAS DE CÔNICAS POR DANDELIN, QUÉTELET E MORTON ............................................... 108

FIGURA 35 – RAZÃO DE SER E O DESDOBRAMENTO HISTÓRICO DAS CÔNICAS ............................................ 112

FIGURA 36 – O CONE ............................................................................................................................. 113

FIGURA 37 – PARÁBOLA NO CONE RETÂNGULO ........................................................................................ 114

FIGURA 38 – ELIPSE NO CONE ACUTÂNGULO ........................................................................................... 115

FIGURA 39 – HIPÉRBOLE NO CONE OBTUSÂNGULO .................................................................................. 116

FIGURA 40 – PARÁBOLA NO CONE RETÂNGULO ........................................................................................ 117

FIGURA 41 – TRIÂNGULO RETÂNGULO INSCRITO EM UMA CIRCUNFERÊNCIA ............................................... 117

FIGURA 42 – CONE RETÂNGULO PARA A DEMONSTRAÇÃO DA RELAÇÃO DA PARÁBOLA ............................... 118

FIGURA 43 – ELIPSE NO CONE ACUTÂNGULO ........................................................................................... 118

FIGURA 44 – CONE ACUTÂNGULO PARA DEMONSTRAR A RELAÇÃO DA ELIPSE ............................................ 119

FIGURA 45 – HIPÉRBOLE NO CONE OBTUSÂNGULO .................................................................................. 120

FIGURA 46 – CONE OBTUSÂNGULO PARA DETERMINAR E RELAÇÃO DA HIPÉRBOLE ..................................... 120

FIGURA 47 – PARÁBOLA COMO RESULTADO DA INTERSEÇÃO ENTRE PLANO E CONE ................................... 121

FIGURA 48 – CONE PARA OBTER A RELAÇÃO DA PARÁBOLA ...................................................................... 122

FIGURA 49 – ELIPSE COMO RESULTADO DA INTERSEÇÃO ENTRE PLANO E CONE ........................................ 123

FIGURA 50 – CONE PARA JUSTIFICAR A RELAÇÃO DA ELIPSE SEGUNDO APOLÔNIO ..................................... 124

FIGURA 51 – HIPÉRBOLE COMO RESULTADO DA INTERSEÇÃO ENTRE PLANO E CONE .................................. 125

FIGURA 52 – CONE PARA JUSTIFICAR A RELAÇÃO DA HIPÉRBOLE SEGUNDO APOLÔNIO .............................. 126

FIGURA 53 – PARÁBOLA SEGUNDO AL - QUHI .......................................................................................... 128

FIGURA 54 – PARÁBOLA PALA PROPRIEDADE DE TANGÊNCIA À CIRCUNFERÊNCIA ....................................... 128

FIGURA 55 – ELIPSE SEGUNDO AL - GUHI ............................................................................................... 129

FIGURA 56 – TANGÊNCIA INTERNA DE CIRCUNFERÊNCIA .......................................................................... 130

FIGURA 57 – HIPÉRBOLE SEGUNDO AL-QUHI .......................................................................................... 131

FIGURA 58 - TANGÊNCIA EXTERNA DE CIRCUNFERÊNCIAS ........................................................................ 131

FIGURA 59 – LATUS RECTUM DA PARÁBOLA E SUA MEDIATRIZ ................................................................... 132

FIGURA 60 – PARÁBOLA E SEUS ELEMENTOS FIGURAIS ............................................................................ 133

FIGURA 61 – SEGMENTO VW COMO SOLUÇÃO DA CÚBICA ........................................................................ 133

FIGURA 62 – TRIÂNGULO RETÂNGULO INSCRITO EM UMA SEMICIRCUNFERÊNCIA ........................................ 134

FIGURA 63 – PARÁBOLA POR RÉGUA E COMPASSO .................................................................................. 135

FIGURA 64 – PARÁBOLA PARA JUSTIFICAR A CONSTRUÇÃO POR PONTOS .................................................. 136

FIGURA 65 – ELIPSE POR RÉGUA E COMPASSO ........................................................................................ 136

FIGURA 66 – ELIPSE PARA JUSTIFICAR A CONSTRUÇÃO POR PONTOS ........................................................ 137

FIGURA 67 – HIPÉRBOLE POR RÉGUA E COMPASSO ................................................................................. 138

FIGURA 68 – HIPÉRBOLE PARA JUSTIFICAR A CONSTRUÇÃO POR PONTOS ................................................. 138

FIGURA 69 – PARÁBOLA PELO MÉTODO DE KEPLER ................................................................................. 139

FIGURA 70 – ELIPSE PELO MÉTODO DE KEPLER ....................................................................................... 140

FIGURA 71 – HIPÉRBOLE PELO MÉTODO DE KEPLER ................................................................................ 140

FIGURA 72 – JUSTIFICATIVA PARA A HIPÉRBOLE ....................................................................................... 141

FIGURA 73 – PARABOLÓGRAFO .............................................................................................................. 142

FIGURA 74 – JUSTIFICATIVA PARA A CONSTRUÇÃO DA PARÁBOLA ............................................................. 142

FIGURA 75 – ELIPSÓGRAFO .................................................................................................................... 143

FIGURA 76 – JUSTIFICATIVA PARA A CONSTRUÇÃO DA ELIPSE ................................................................... 144

FIGURA 77 – HIPERBOLÓGRAFO ............................................................................................................. 145

FIGURA 78 – JUSTIFICATIVA PARA A CONSTRUÇÃO DA HIPÉRBOLE ............................................................ 145

FIGURA 79 – SISTEMA DE COORDENADAS POLARES ................................................................................. 146

FIGURA 80 – CÔNICA EM COORDENADAS POLARES .................................................................................. 147

FIGURA 81 – PARÁBOLA PARA DEMONSTRAR A PROPRIEDADE REFLEXIVA ................................................. 148

FIGURA 82 – RAIO INCIDENTE E RAIO REFLETIDO (PARÁBOLA) .................................................................. 149

FIGURA 83 – HIPÉRBOLE PARA DEMONSTRAR A PROPRIEDADE REFLEXIVA ................................................ 150

FIGURA 84 – PARÁBOLA POR SUA DEFINIÇÃO FOCAL ................................................................................ 151

FIGURA 85 – ELIPSE POR SUA DEFINIÇÃO BIFOCAL ................................................................................... 152

FIGURA 86 – HIPÉRBOLE POR SUA DEFINIÇÃO BIFOCAL ............................................................................ 153

FIGURA 87 – PARÁBOLA SEGUNDO MORTON ........................................................................................... 155

FIGURA 88 – ELIPSE SEGUNDO DANDELIN E QUÉTELET ........................................................................... 156

FIGURA 89 – HIPÉRBOLE SEGUNDO DANDELIN E QUÉTELET ..................................................................... 157

FIGURA 90 – EXCENTRICIDADE DAS CÔNICAS SEGUNDO DANDELIN........................................................... 159

FIGURA 91 – RELAÇÕES ENTRE PRAXEOLOGIAS NA GEOMETRIA SINTÉTICA ............................................... 161

FIGURA 92 – INTERSEÇÃO ENTRE DUAS PARÁBOLAS ................................................................................ 163

FIGURA 93 – SOLUÇÃO GEOMÉTRICA DE UMA CÚBICA .............................................................................. 164

FIGURA 94 – SISTEMAS DE COORDENADAS UO'V E XOY ........................................................................... 167

FIGURA 95 – ROTAÇÃO POR UM ÂNGULO Θ NO SENTIDO ANTI-HORÁRIO .................................................... 168

FIGURA 96 – LUGAR GEOMÉTRICO DA PARÁBOLA NO GRÁFICO ................................................................. 171

FIGURA 97 – LUGAR GEOMÉTRICO DA ELIPSE NO GRÁFICO ....................................................................... 172

FIGURA 98 – LUGAR GEOMÉTRICO DA HIPÉRBOLE NO GRÁFICO ................................................................ 173

FIGURA 99 – ANÁLISE DE COORDENADAS POLARES E CARTESIANAS ......................................................... 174

FIGURA 100 – PONTO GENÉRICO DA CÔNICA ........................................................................................... 175

FIGURA 101 – ANÁLISE DA TRANSLAÇÃO DA PARÁBOLA ............................................................................ 176

FIGURA 102 – FOCOS E DAS RETAS DIRETRIZES DA ELIPSE ...................................................................... 178

FIGURA 103 – ANÁLISE DA TRANSLAÇÃO DA HIPÉRBOLE ........................................................................... 179

FIGURA 104 – FOCOS E RETAS DIRETRIZES DA HIPÉRBOLE ....................................................................... 180

FIGURA 105 – RELAÇÕES ENTRE PRAXEOLOGIAS NA GEOMETRIA ANALÍTICA ............................................. 181

FIGURA 106 – ROTAÇÃO DE UMA ELIPSE ................................................................................................. 186

FIGURA 107 – TRANSLAÇÃO DE UMA HIPÉRBOLE ..................................................................................... 187

FIGURA 108 – HIPÉRBOLE APÓS UMA ROTAÇÃO E UMA TRANSLAÇÃO ........................................................ 188

FIGURA 109 – PRAXEOLOGIA DAS CÔNICAS NA GEOMETRIA LINEAR .......................................................... 189

FIGURA 110 – MÉTRICA EUCLIDIANA ....................................................................................................... 191

FIGURA 111 – MÉTRICA DO TÁXI ............................................................................................................. 191

FIGURA 112 – DISTÂNCIA EUCLIDIANA ..................................................................................................... 193

FIGURA 113 – GRÁFICO DA CIRCUNFERÊNCIA CE .................................................................................... 194

FIGURA 114 – GRÁFICO DA CIRCUNFERÊNCIA NA GEOMETRIA DO TÁXI ...................................................... 194

FIGURA 115 – DISTÂNCIAS ENTRE O CENTRO DA CIRCUNFERÊNCIA À RETA DIRETRIZ NA GT ...................... 195

FIGURA 116 – DISTÂNCIA DE PONTO A RETA NA GT ................................................................................. 195

FIGURA 117 – PARÁBOLA NA GEOMETRIA DO TÁXI ................................................................................... 197

FIGURA 118 – OBTENDO UMA EQUAÇÃO GERAL ....................................................................................... 197

FIGURA 119 – ELIPSE NA GEOMETRIA DO TÁXI ......................................................................................... 198

FIGURA 120 – DETERMINANDO UMA EQUAÇÃO GERAL PARA A ELIPSE NA GT ............................................. 199

FIGURA 121 – HIPÉRBOLE NA GEOMETRIA DO TÁXI .................................................................................. 200

FIGURA 122 – DETERMINANDO A EQUAÇÃO DA HIPÉRBOLE NA GT ............................................................ 200

FIGURA 123 – RELAÇÕES ENTRE PRAXEOLOGIAS NA GEOMETRIA DO TÁXI ................................................. 201

FIGURA 124 – PARÁBOLA POR PROJEÇÃO CENTRAL ................................................................................. 203

FIGURA 125 – O PONTO NO INFINITO DA PARÁBOLA EM PERSPECTIVA ....................................................... 204

FIGURA 126 – PONTOS DA HIPÉRBOLE NO INFINITO EM PERSPECTIVA ....................................................... 204

FIGURA 127 – RETA LIMITE TANGENTE À CIRCUNFERÊNCIA ...................................................................... 205

FIGURA 128 – ENCONTRANDO O VÉRTICE DA PARÁBOLA .......................................................................... 206

FIGURA 129 – ENCONTRANDO O FOCO E A RETA DIRETRIZ DA PARÁBOLA .................................................. 207

FIGURA 130 – PARÁBOLA COMO PROJEÇÃO DE CIRCUNFERÊNCIA ............................................................. 208

FIGURA 131 – RETA LIMITE AFASTADA DA CIRCUNFERÊNCIA ..................................................................... 208

FIGURA 132 – ENCONTRANDO OS SEMIEIXOS DA ELIPSE .......................................................................... 209

FIGURA 133 – ELIPSE COMO PROJEÇÃO DE CIRCUNFERÊNCIA .................................................................. 210

FIGURA 134 – RETA LIMITE SECANTE À CIRCUNFERÊNCIA ........................................................................ 210

FIGURA 135 – DETERMINANDO AS ASSÍNTOTAS E A POSIÇÃO DA HIPÉRBOLE ............................................. 211

FIGURA 136 – HIPÉRBOLE COMO PROJEÇÃO DE CIRCUNFERÊNCIA ............................................................ 212

FIGURA 137 – PONTOS PROJETIVOS EM Z=1 ........................................................................................... 214

FIGURA 138 – RELAÇÃO ENTRE UM PONTO QUALQUER DO ESPAÇO COM O PONTO PROJETIVO ................... 214

FIGURA 139 – CÔNICAS COMO TRAÇO AFIM DE UM CONE ......................................................................... 215

FIGURA 140 – PARÁBOLA (TRAÇO AFIM DE UMA CÔNICA PROJETIVA)......................................................... 216

FIGURA 141 – ELIPSE (TRAÇO AFIM DE UMA CÔNICA PROJETIVA) .............................................................. 217

FIGURA 142 – HIPÉRBOLE (TRAÇO AFIM DE UMA CÔNICA PROJETIVA)........................................................ 218

FIGURA 143 – RELAÇÕES ENTRE PRAXEOLOGIAS NA GEOMETRIA PROJETIVA ............................................ 218

FIGURA 144 – MODELO EPISTEMOLÓGICO DE REFERÊNCIA DAS CÔNICAS.................................................. 219

FIGURA 145 – CÔNICAS PELA INTERSEÇÃO ENTRE UM PLANO E UM CONE RETO DE DUAS FOLHAS .............. 232

FIGURA 146 – CONSTRUÇÃO DE ELIPSES PELO MÉTODO DO FIO ESTICADO ............................................... 233

FIGURA 147 – GRÁFICO DA ELIPSE COM SEUS ELEMENTOS FIGURAIS ........................................................ 233

FIGURA 148 – OBTENÇÃO DA EQUAÇÃO CANÔNICA DA ELIPSE A PARTIR DO GRÁFICO ................................. 234

FIGURA 149 – CONSTRUÇÃO DE HIPÉRBOLE PELO MÉTODO DO FIO ESTICADO ........................................... 235

FIGURA 150 – GRÁFICO DA HIPÉRBOLE COM SEUS ELEMENTOS FIGURAIS ................................................. 235

FIGURA 151 – OBTENÇÃO DA EQUAÇÃO CANÔNICA DA HIPÉRBOLE A PARTIR DO GRÁFICO .......................... 236

FIGURA 152 – PARÁBOLA CONSTRUÍDA PELO MÉTODO DE KEPLER ........................................................... 237

FIGURA 153 – PARÁBOLA E SEUS ELEMENTOS FIGURAIS .......................................................................... 237

FIGURA 154 – GRÁFICO DA PARÁBOLA PARA OBTER SUA EQUAÇÃO .......................................................... 238

FIGURA 155 – CONE RETO DE DUAS FOLHAS GERADO PELA ROTAÇÃO DA RETA GERATRIZ ......................... 239

FIGURA 156 – MODELO DOMINANTE DE CÔNICAS NO ENSINO BÁSICO ........................................................ 246

FIGURA 157 – ESQUEMA ECOLÓGICO DAS CÔNICAS ................................................................................. 252

FIGURA 158 – PARÁBOLA PELA DOBRADURA DE PAPEL ............................................................................ 257

FIGURA 159 – PARÁBOLA PARA JUSTIFICAR A CONSTRUÇÃO POR DOBRADURA DE PAPEL ........................... 258

FIGURA 160 – ELIPSE PELA DOBRADURA DE PAPEL .................................................................................. 259

FIGURA 161 – ELIPSE PARA JUSTIFICAR A CONSTRUÇÃO EM DOBRADURA DE PAPEL .................................. 260

FIGURA 162 – HIPÉRBOLE PELA DOBRADURA DE PAPEL ........................................................................... 261

FIGURA 163 – HIPÉRBOLE PARA JUSTIFICAR A CONSTRUÇÃO POR DOBRADURA DE PAPEL .......................... 261

FIGURA 164 – FOCO E RETA DIRETRIZ DE UMA PARÁBOLA ........................................................................ 265

FIGURA 165 – RETA MEDIATRIZ DO SEGMENTO FQ .................................................................................. 266

FIGURA 166 – DIVERSAS RETAS MEDIATRIZES NO CASO DE PARÁBOLA ..................................................... 267

FIGURA 167 – O PONTO P DA PARÁBOLA ................................................................................................ 267

FIGURA 168 – RELAÇÃO ENTRE OS SEGMENTOS FP E PQ NO CASO DE PARÁBOLA .................................... 268

FIGURA 169 – PARÁBOLA PELA FERRAMENTA LUGAR GEOMÉTRICO ......................................................... 268

FIGURA 170 – CIRCUNFERÊNCIA AUXILIAR DA ELIPSE COM CENTRO EM F1 ................................................ 269

FIGURA 171 – MEDIATRIZ DO SEGMENTO QF2 PARA A CONSTRUÇÃO DE UMA ELIPSE ................................. 270

FIGURA 172 – DIVERSAS RETAS MEDIATRIZES NO CASO DE ELIPSE ........................................................... 270

FIGURA 173 – PONTO P DA ELIPSE ......................................................................................................... 271

FIGURA 174 – RELAÇÃO DE CONGRUÊNCIA ENTRE OS SEGMENTOS PQ E PF2 ........................................... 271

FIGURA 175 – ELIPSE PELA FERRAMENTA LUGAR GEOMÉTRICO ............................................................... 272

FIGURA 176 – CIRCUNFERÊNCIA AUXILIAR DA HIPÉRBOLE COM CENTRO EM F1 .......................................... 273

FIGURA 177 – MEDIATRIZ DE SEGMENTO PARA A CONSTRUÇÃO DA HIPÉRBOLE ......................................... 273

FIGURA 178 – PONTOS Q E F2 EM RELAÇÃO A MEDIATRIZ NO CASO DE HIPÉRBOLE .................................... 274

FIGURA 179 – DIVERSAS RETAS MEDIATRIZES NO CASO DE HIPÉRBOLE .................................................... 274

FIGURA 180 – PONTO P DA HIPÉRBOLE ................................................................................................... 275

FIGURA 181 – CONGRUÊNCIA ENTRE OS SEGMENTOS PQ E PF2 .............................................................. 275

FIGURA 182 – HIPÉRBOLE PELA FERRAMENTA LUGAR GEOMÉTRICO ......................................................... 276

FIGURA 183 – UMA POSSÍVEL LOCALIZAÇÃO PARA A RESIDÊNCIA DE CHARLES .......................................... 278

FIGURA 184 – PARÁBOLA COMO POSSIBILIDADES DE RESIDÊNCIA PARA CHARLES ..................................... 279

FIGURA 185 – MÉTRICA DO TÁXI E EUCLIDIANA ........................................................................................ 280

FIGURA 186 – POSSÍVEIS LUGARES PARA RESIDÊNCIA DE CHARLES NA GT .............................................. 281

FIGURA 187 – PARÁBOLA NA GT E NA GA .............................................................................................. 281

FIGURA 188 – ESPECTRO ELETROMAGNÉTICO ........................................................................................ 283

FIGURA 189 – DISTÂNCIA DO TRANSMISSOR T1 ATÉ O NAVIO N................................................................. 285

FIGURA 190 – O NAVIO N SOBRE A HIPÉRBOLE H ..................................................................................... 287

FIGURA 191 – DUAS ESTAÇÕES E A POSIÇÃO DO NAVIO ........................................................................... 287

FIGURA 192 – ONDAS DE RÁDIO DOS TRANSMISSORES T1 E T2 ................................................................. 288

FIGURA 193 – EQUAÇÃO REDUZIDA DA HIPÉRBOLE PELA DIFERENÇA DE TEMPO ENTRE T1 E T2 .................. 289

FIGURA 194 – INTERSEÇÃO ENTRE DUAS HIPÉRBOLES NO SISTEMA LORAN ............................................. 291

FIGURA 195 – ESPELHOS PARABÓLICO E HIPERBÓLICO ............................................................................ 295

FIGURA 196 – FORMAÇÃO DE IMAGENS EM ESPELHOS PARABÓLICOS DE OBJETOS DISTANTES ................... 296

FIGURA 197 – TELESCÓPIO NEWTONIANO ............................................................................................... 297

FIGURA 198 – TELESCÓPIO DE CASSEGRAIN ........................................................................................... 298

FIGURA 199 – CONFIGURAÇÃO DA ÓRBITA DA TERRA ............................................................................... 301

FIGURA 200 – GRÁFICO QUE REPRESENTA A ÓRBITA DA TERRA ............................................................... 302

FIGURA 201 – ELIPSE COM DIFERENTES VALORES DE EXCENTRICIDADE .................................................... 304

FIGURA 202 – CINCO PONTOS DA TRAJETÓRIA DO CORPO CELESTE .......................................................... 306

FIGURA 203 – POSIÇÃO DOS FOCOS DA ELIPSE ....................................................................................... 311

FIGURA 204 – ELIPSE ORIGINAL, TRANSLADADA E ROTACIONADA.............................................................. 313

FIGURA 205 – PROJEÇÕES DA LUZ DE UM ABAJUR ................................................................................... 314

FIGURA 206 – DIMENSÕES DO ABAJUR.................................................................................................... 315

FIGURA 207 – PARTE SUPERIOR DO ABAJUR NO SISTEMA TRIDIMENSIONAL DE COORDENADAS ................... 316

LISTA DE QUADROS

QUADRO 1 – PESQUISAS ANALISADAS NA REVISÃO DE LITERATURA............................................................. 41

QUADRO 2 – CÔNICAS EM ALGUNS DOCUMENTOS OFICIAIS ........................................................................ 62

QUADRO 3 – DESDOBRAMENTOS HISTÓRICOS PARA O ESTUDO DAS CÔNICAS............................................ 110

QUADRO 4 – SISTEMA DE TAREFAS EM DIFERENTES GEOMETRIAS PARA AS CÔNICAS ................................. 220

QUADRO 5 – OMR PARA A GEOMETRIA SINTÉTICA ................................................................................... 221

QUADRO 6 – DELIMITAÇÕES DO ENSINO DE CÔNICAS NAS ESCOLAS BRASILEIRAS ...................................... 243

QUADRO 7 – QUESTÕES PARA O DESENVOLVIMENTO DA PRIMEIRA AEI NO 9º ANO .................................... 256

QUADRO 8 – QUESTÕES PARA O DESENVOLVIMENTO DA SEGUNDA AEI PARA O 9º ANO ............................. 262

QUADRO 9 – QUESTÕES PARA O DESENVOLVIMENTO DA TERCEIRA AEI PARA O 9º ANO ............................. 264

QUADRO 10 – MAPA DE QUESTÕES PARA O DESENVOLVIMENTO DA AEI NO 9º ANO ................................... 276

QUADRO 11 – LOCALIZAÇÃO DA CASA DE CHARLES ................................................................................. 282

QUADRO 12 – MAPA DE QUESTÕES PARA A DESCOBERTA DA LOCALIZAÇÃO DO NAVIO ............................... 292

QUADRO 13 – MAPA DE QUESTÕES PARA CONSTRUIR UM TELESCÓPIO REFLETOR ..................................... 299

QUADRO 14 – MAPA DE QUESTÕES PARA DETERMINAR A EXCENTRICIDADE DO PLANETA TERRA ................. 304

QUADRO 15 – MAPA DE QUESTÕES PARA CARACTERIZAR UMA CÔNICA POR CINCO PONTOS ....................... 314

QUADRO 16 – MAPA DE QUESTÕES PARA DETERMINAR A CURVA PROJETADA DE UM ABAJUR ..................... 317

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................27

2 PROBLEMÁTICA DA PESQUISA ........................................................................................................31

2.1 REFERENCIAL TEÓRICO ........................................................................................................................ 31

2.2 REVISÃO DE LITERATURA ..................................................................................................................... 41

2.2.1 Alunos como sujeitos de pesquisa ......................................................................................... 42

2.2.2 Professores como sujeitos de pesquisa ................................................................................. 49

2.2.3 Pesquisas que construíram uma reflexão teórica ................................................................. 55

2.3 AS CÔNICAS EM ALGUNS DOCUMENTOS OFICIAIS .................................................................................... 58

2.4 JUSTIFICATIVA DA PESQUISA E DELIMITAÇÃO DO PROBLEMA ....................................................................... 63

2.5 METODOLOGIA DA PESQUISA E PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS ............................................................ 69

3 O PROBLEMA DIDÁTICO PARA O ENSINO DE CÔNICAS ...................................................................71

3.1 A DIMENSÃO EPISTEMOLÓGICA – P1 ..................................................................................................... 71

3.1.1 Um Estudo Histórico da Gênese e Desenvolvimento da Cônicas .......................................... 72

3.1.2 O Modelo Epistemológico de Referência ............................................................................ 113

3.2 A DIMENSÃO ECONÔMICO – INSTITUCIONAL – P2 .................................................................................. 222

3.3 A DIMENSÃO ECOLÓGICA – P3 ........................................................................................................... 246

4 UM MODELO DIDÁTICO DE REFERÊNCIA PARA O ENSINO DE CÔNICAS ........................................ 253

4.1 ATIVIDADES DE ESTUDO E INVESTIGAÇÃO PARA O 9º ANO DO EF .............................................................. 254

4.2 ATIVIDADES DE ESTUDO E INVESTIGAÇÃO PARA O 1º ANO DO EM ............................................................. 277

4.2.1 Uma possível localização para a residência de Charles ...................................................... 277

4.2.2 O sistema LORAN-C ............................................................................................................. 282


4.3.1 O Telescópio Refletor .......................................................................................................... 292

4.3.2 Determinando a posição do planeta terra .......................................................................... 299


4.4.1 Uma cônica por cinco pontos e uma órbita celeste ............................................................ 305

4.4.2 A projeção da sombra de um abajur ................................................................................... 314

5 CONSIDERAÇÕES FINAIS ............................................................................................................... 319

REFERÊNCIAS ................................................................................................................................... 333

ANEXO A – APOLÔNIO E A EXCENTRICIDADE DAS CÔNICAS ............................................................ 343

ANEXO B – A TRISSECÇÃO DO ÂNGULO ........................................................................................... 345

ANEXO C – APOLÔNIO E A ELIPSE POR CINCO PONTOS.................................................................... 347

ANEXO D – RESOLUÇÃO DE UMA CÚBICA SEGUNDO KHAYYAM ...................................................... 351

ANEXO E – MATERIAIS PARA A CONFECÇÃO DE UM TELESCÓPIO .................................................... 355

27

1 INTRODUÇÃO

Este trabalho tem como origem a especialização em Educação Matemática,

realizada na PUC-SP/COGEAE, quando levantamos alguns aspectos relevantes do

estudo das cônicas. A partir daí, ingressamos no mestrado acadêmico com o objetivo

de aprofundar nossos estudos com relação a este tema e construímos nossa

dissertação, Siqueira (2016), em que realizamos uma pesquisa bibliográfica

considerando os quadros em que estão inseridas, os pontos de vista e os registros de

representação semiótica no sentido de Douady, Rogalsky e Duval, respectivamente.

Como de costume os trabalhos acadêmicos não se fecham em si mesmos, mas

abrem caminhos para outras pesquisas e com a nossa não foi diferente. A princípio,

ingressamos no doutorado com o objetivo de fazer uma formação de professores a

fim de aplicar o que fora construído na especialização e no mestrado, bem como

utilizar os apontamentos que viessem a surgir ao longo desta tese, o que não foi

possível apenas com esses resultados.

Vimos então a necessidade de aprofundar as questões de natureza teórica e

de considerar alguns aspectos apontados por pesquisas que fizeram intervenções

com alunos ou professores, bem como as que representam reflexões teóricas. Neste

sentido, identificamos a preocupação em tratar as cônicas enquanto lugar geométrico,

afastar o enfoque dado oficialmente às manipulações das equações analíticas, a

necessidade em complementar o ensino de cônicas por meio de tecnologias

computacionais e ressaltar o aspecto histórico das cônicas e suas diferentes

definições.

Percebemos também a necessidade de ampliar o Modelo Epistemológico de

Referência elaborado por Benito (2019) e tratar de algumas definições de cônicas não

apresentadas em Bongiovanni (2001), acrescentando a geometria do taxi e a

geometria projetiva, não contempladas em suas pesquisas, de modo a prepararmos

um material que possa ser usado, tanto em uma formação inicial ou continuada de

professores, quanto no ensino de estudantes da educação básica.

Construímos assim, uma problemática para a pesquisa a partir da Teoria

Antropológica do Didático – TAD – de Chevallard (1999), que apresenta ferramentas

importantes para a construção de Organizações Matemáticas (OM) e de

Organizações Didáticas (OD) de um saber matemático, para análise de materiais

28

utilizados no ensino e para intervenções com professores ou alunos. Com isso,

apresentamos no capítulo 2 alguns aspectos deste referencial teórico que contribuiu

para a nossa pesquisa, em termos de Organizações Matemáticas; Modelo

Epistemológico de Referência, Modelo Dominante, Modelo Didático de Referência,

Atividades de Estudo e Investigação e o sistema heurístico, que envolve o problema

docente.

Na sequência fizemos uma revisão da literatura, de trabalhos que tiveram as

cônicas como tema, que permitiu situar a nossa pesquisa e garantir seu ineditismo.

Assim, apresentamos a justificativa para esta pesquisa, traçamos nossos objetivos,

delimitamos nosso problema de investigação e apresentamos a metodologia de

pesquisa e seus procedimentos.

Já no capítulo 3, baseados na TAD, explicitamos o sistema heurístico de

Gascón (2011) que consiste em apresentar um problema docente e desenvolver as

dimensões epistemológica, econômico – institucional e ecológica. Neste sentido, a

partir do estudo da dimensão epistemológica, construímos um Modelo Epistemológico

de Referência – MER fundamentado nos desdobramentos históricos das cônicas,

focando na motivação que cada época dispensou ao desenvolvimento deste objeto e

observando sua razão de ser. Na construção desse MER, identificamos as

praxeologias envolvidas nas diferentes maneiras em que as cônicas foram vistas,

buscando apresentar suas limitações, de acordo com as diferentes geometrias em

que foram tratadas: geometria sintética, geometria analítica, geometria linear,

geometria do táxi e geometria projetiva.

Evidenciamos que a geometria sintética serviu de base para outras geometrias

de modo que apresentamos uma Organização Matemática Regional que envolvem

diferentes Organizações Matemáticas Locais, cada uma composta de algumas

Organizações Matemáticas Pontuais reunidas em torno de uma tecnologia. Esta

organização permitiu promover articulações, tanto no campo da geometria sintética,

quanto para conectar a geometria sintética com a geometria analítica.

A dimensão epistemológica condiciona as outras duas. Na dimensão

econômico – institucional, tomamos um período histórico, final do século XIX até os

dias atuais, para apresentar as maneiras de como as cônicas foram tratadas nas

escolas brasileiras desde o Colégio Pedro II, passando pelas reformas de Campos,

nos anos 30, de Capanema, nos anos 40, do ajuste de 1951 e do Movimento da

29

Matemática Moderna, nos anos 60 e 70, bem como a influência no ensino, do Plano

Nacional do Livro Didático – PNLD. Tal estudo permitiu identificar como esse ensino

está delimitado atualmente na educação básica em termos matemáticos e didáticos,

bem como sua razão de ser nesta etapa escolar. Nesta dimensão detectamos

conteúdos que faziam parte do currículo e, por algum motivo, deixaram de existir, mas

que foram revisitados neste trabalho por entendermos serem importantes nas

articulações entre as diferentes geometrias em que as cônicas estão inseridas.

Já na dimensão ecológica, baseada no estudo das outras dimensões,

entendemos como os conteúdos de cônicas se relacionam com outros objetos

matemáticos de tal maneira que apresentamos uma cadeia alimentar, na perspectiva

da TAD, sintetizando quais propriedades matemáticas alimentam o ensino de cônicas

na educação básica, quais as diferentes maneiras de estudar as cônicas e quais

objetos são alimentados por elas.

Esses estudos permitiram construir um Modelo Didático de Referência para o

ensino de cônicas no ensino básico com Atividades de Estudo e Investigação - AEI

para serem aplicadas a partir do 9º ano do ensino fundamental e no ensino médio.

Para o 9º Ano elaboramos um percurso com quatro AEI para a construção de

representações das cônicas à maneira de Apolônio, pela técnica da dobradura de

papel; pelo método de Kepler, por régua e compasso e pelas ferramentas “rastro” e

“Lugar Geométrico” do software GeoGebra, de tal maneira que uma construção leve

à outra na geometria sintética.

Como por exemplo, a construção de representações de cônicas pela dobradura

de papel permite inferir que os vincos produzidos representam retas tangentes à curva

pela propriedade de mediatriz de segmento verificada pelo ato de dobrar e sobrepor

os pontos demarcados. Essa propriedade por sua vez, foi utilizada na construção de

cônicas tanto pela ferramenta “rastro” do GeoGebra, que simula os efeitos da

dobradura de papel em ambiente computacional, quanto pela ferramenta “lugar

geométrico”, deste mesmo software, que permite identificar os pontos situados no

lugar geométrico destes objetos.

No 1º ano do ensino médio elaboramos uma atividade para tratar a parábola no

âmbito da geometria do táxi e da geometria analítica a partir do transporte de alguns

elementos da geometria sintética, para um referencial cartesiano, para relacionar esta

geometria com a geometria analítica e evidenciar as diferenças entre suas métricas.

30

Neste ano escolar, sugerimos, também, uma atividade para estudar a hipérbole por

meio do sistema de navegação LORAN-C com o objetivo de entender a localização

de um navio, por meio de ondas eletromagnéticas e relacionar a geometria sintética

com a geometria analítica. Além disso, foi possível articular conteúdos relacionados à

cinemática na física com propriedades das cônicas.

Para o 2º ano do ensino médio, desenvolvemos uma atividade para construção

de um telescópio para estudar as propriedades reflexivas das cônicas, no âmbito da

geometria sintética, por meio de espelhos parabólicos e hiperbólicos. Elaboramos

também, outra atividade para tratar a elipse relacionada ao estudo da órbita celeste e

a posições do planeta terra no afélio e no periélio, em que relacionamos as cônicas

nas geometrias sintética e analítica e articulamos novamente conteúdos de física com

as cônicas. Na primeira atividade, utilizamos as propriedades estudadas na óptica

geométrica e na segunda fizemos uso das leis de Kepler.

Já no 3º ano do ensino médio, construímos uma atividade para relacionar uma

cônica determinada por cinco pontos a uma órbita celeste, considerando a geometria

analítica e a geometria linear e outra que trata da projeção da sombra de um abajur

em uma parede para articular as geometrias sintética, analítica e projetiva de maneira

a determinar a cônica representada por essa projeção. Assim, na primeira atividade

deste ano escolar, articulamos novamente conhecimentos das cônicas às leis de

Kepler.

Nas considerações finais apresentamos os resultados obtidos que permitiram

responder aos questionamentos elaborados nas três dimensões do problema didático

e à questão de pesquisa, bem como permitiu alcançar os nossos objetivos. Além

disso, apontamos para futuros trabalhos, com cônicas, algumas indagações que

surgiram ao longo desta tese e que consideramos importantes para o avanço de

pesquisas, voltadas para este tema, em Educação Matemática.

Dentre eles, sugerimos uma ampliação do nosso MER, considerando as

diferentes geometrias estudadas no ensino superior, a ampliação do nosso MDR para

discutir outros aspectos do MER apresentado, considerando atividades nos domínios

da matemática ou em outras áreas do conhecimento e sugerimos que este trabalho

possa ser utilizado, tanto nas formações iniciais e continuada de professores, quanto

para analisar o desempenho de estudantes.

31

2 PROBLEMÁTICA DA PESQUISA

Neste capítulo, apresentamos a problemática de nossa pesquisa escolhendo

iniciar pelo referencial teórico da Teoria Antropológica do Didático – TAD – para que

as seções subsequentes fossem construídas sob a perspectiva desta teoria. Na

sequência apresentamos a revisão bibliográfica, a justificativa da pesquisa, a

metodologia e os procedimentos.

2.1 Referencial Teórico

Neste tópico apresentamos os elementos fundamentais da Teoria

Antropológica do Didático que embasarão nossa pesquisa e nortearão a problemática

que desenvolveremos.

A Teoria Antropológica do Didático, TAD, foi desenvolvida por Chevallard

como uma evolução do processo da transposição didática e, segundo Almouloud

(2015, p. 10), representa um importante instrumento de análise de práticas docentes

e de livros didáticos e “estuda as condições de possibilidade e funcionamento de

sistemas didáticos1, entendidos como relações entre sujeito – instituição – saber (em

referência ao sistema didático tratado por Brousseau, aluno – professor – saber)”.

Nesta perspectiva, são consideradas algumas noções básicas de relações

entre indivíduo e objeto e entre objeto e instituições, como por exemplo, os livros, as

notas de aula, cadernos de alunos etc., são considerados elementos de uma

instituição (𝐼). Os indivíduos podem ser um professor (𝑦) ou um aluno (𝑥) e o objeto

a ser estudado (𝑂), existindo, então, as relações 𝑅 (𝑥, 𝑂) e 𝑅 (𝐼, 𝑂). Além disso, as

instituições, com intenções didáticas, são denominadas de sistemas didáticos

𝑆(𝑋, 𝑌, 𝑂) em que 𝑌 representa um grupo de professores e 𝑋 um grupo de alunos,

sendo 𝑦 ∈ 𝑌 e 𝑥 ∈ 𝑋.

O termo antropológico é utilizado por Chevallard (1999) no sentido de que

esta teoria situa a atividade matemática e, por consequência, o estudo da matemática

em meio ao conjunto de atividades humanas e de instituições sociais. Já o termo

1 Os sistemas didáticos são denominados por Chevallard (1999) como as instituições que apresentam uma intenção didática como a escola. Estes sistemas abarcam um ou vários sujeitos dentro da instituição que atuam em posições diferentes: professor, alunos e um conjunto de investimentos didáticos, denominado objeto, pertencentes ao professor e que é parte integrante da instituição.

32

didático, refere-se ao fato de que a Teoria Antropológica do Didático estuda o Homem

perante situações matemáticas. Segundo o autor a TAD permite modelar as práticas

sociais, em geral e, particularmente, a atividade matemática, por meio das noções de

tipos de tarefas, técnicas, tecnologias e teorias.

De acordo com Chevallard (1999) a TAD pressupõe que toda atividade

humana pode ser desenvolvida por meio de dois blocos importantes, o da práxis ou

do saber–fazer e o do logos ou do saber, que justifica a práxis. Para o autor, a junção

destes dois blocos constitui um modelo único, descrito resumidamente pela palavra

praxeologia que, no âmbito de sua teoria, permite modelar toda a atividade

matemática.

Segundo Chevallard (1999, p.2, tradução nossa) “na raiz da noção de

praxeologia, há as noções solidárias de tarefas 𝑡, e de tipo de tarefas, 𝑇. Quando uma

tarefa 𝑡 faz parte de um tipo de tarefas 𝑇, ela será escrita 𝑡 ∈ 𝑇”2. Para o autor as

tarefas e os tipos de tarefas são “artefatos” ou “obras” construídos institucionalmente,

que se torna um problema completo se reconstruídos em tais instituições, quando se

tornam objetos de estudo da didática da matemática.

Uma tarefa, para o autor, é determinada por uma ação, que por sua vez

necessita da mobilização de conhecimentos, para ser executada, que chamou de

técnica. A palavra técnica advém do grego, tekhnê, que significa saber fazer. Neste

sentido, uma praxeologia relativa a um tipo de tarefas 𝑇 possui ao menos uma técnica

τ para solucionar as tarefas desse tipo e constitui um bloco designado por [𝑇 / 𝜏] e

denominado prático-técnico.

No entanto, segundo o autor, é necessária uma justificativa para a técnica,

denominada de tecnologia 𝜃, e de uma teoria 𝛩 que justifica a tecnologia que

compõem o bloco do logos representado por [𝜃/𝛩]. Tal eixo garante uma

interpretação e uma justificação institucional para a técnica empreendida. A

tecnologia, para Chevallard (1999), deve cumprir três funções ou objetivos básicos:

em primeiro lugar como um fato de observação que, em uma instituição I, qualquer que seja o tipo de tarefas T, a técnica 𝜏 em relação a T é sempre acompanhada de ao menos um embrião ou, mais frequentemente ainda, um

2 En la raíz de la noción de praxeología, se encuentran las nociones solidarias de tarea t, y de tipo de tareas, T. Cuando una tarea t forma parte de un tipo de tareas T, se escribirá 𝑡 ∈ 𝑇. Chevallard (1999, p. 2)

33

vestígio de tecnologia 𝜃. [… ] Uma segunda função da tecnologia é explicar,

de tornar inteligível, esclarecer a técnica. [… ] Finalmente, uma terceira função corresponde a um uso mais atual do termo de Tecnologia: a função de produção de técnicas. Observe aqui que sempre há tecnologias potenciais, à espera de técnicas, que ainda não são tecnologias de alguma técnica ou que são de pouquíssimas técnicas. A este respeito, será apontado como fenômeno de sub-exploração das tecnologias disponíveis, tanto do ponto de vista da explicação, como da produção (CHEVALLARD, 1999, p. 4 e 5, tradução nossa)3.

Para o autor, uma praxeologia matemática em uma determinada instituição 𝐼

pode ser do tipo pontual – OMP; local – OML; regional – OMR e global – OMG. As

Organizações Matemáticas Pontuais são constituídas para resolver um único tipo de

tarefa, que mobiliza pelo menos uma técnica, e é representa por [𝑇, τ , 𝜃, 𝛩]. No

entanto, o saber para este autor, raramente se encontra em praxeologias pontuais.

"Geralmente, em uma instituição, 𝐼, uma teoria 𝛩 responde a várias tecnologias 𝜃𝑗,

cada uma delas, por sua vez, justifica e faz inteligível várias técnicas, τ 𝑖𝑗 ,

correspondentes a outros tantos tipos de tarefas 𝑇𝑖𝑗”. (p. 6, tradução nossa).

As Organizações Matemáticas Locais, por sua vez, são combinações de

várias organizações pontuais, centradas em torno de uma tecnologia, e representada

por [𝑇𝑖, τ 𝑗, 𝜃, 𝛩]. Já as Organizações Matemáticas Regionais, consistem em combinar

várias Organizações Matemáticas Locais associadas a uma determinada teoria

[𝑇𝑖𝑗, τ𝑖𝑗, 𝜃, 𝛩] e as globais aglutinam várias Organizações Matemáticas Regionais,

[𝑇𝑖𝑗𝑘, τ𝑖𝑗𝑘, 𝜃, 𝛩𝑘], em torno de várias teorias.

A título de exemplo, de como estas organizações estão inseridas neste

trabalho, consideramos diferentes maneiras de construir a representação de uma

cônica, que apresentaremos mais adiante. Estas construções foram feitas por

diferentes materiais manipulativos e com o auxílio do software GeoGebra.

Individualmente, cada construção representará um tipo de tarefa e, por consequência,

representa uma Organização Matemática Pontual, no entanto, identificamos as

3en primer lugar, como un hecho de observación que, en una institución I, cualquiera que sea el tipo de tareas T, la técnica ô relativa a T está siempre acompañada de al menos un embrión o más frecuentemente aún, de un vestigio de tecnología 𝜃. […] una segunda función de la tecnología es la de

explicar, de hacer inteligible, de aclarar la técnica. [… ]una tercera función corresponde a un empleo más actual del término de tecnología: la función de producción de técnicas. Notemos aquí que siempre hay tecnologías potenciales, a la espera de técnicas, que no son aún tecnologías de alguna técnica o que lo son de muy pocas técnicas. A este respecto se señalará este fenómeno de sub-explotación de las tecnologías disponibles, tanto desde el punto de vista de la explicación como de la producción. Chevallard (1999, p. 4 e 5)3.

34

construções que possuem tecnologias em comum para formar várias OML. Assim,

articulamos essas OML para formar uma OMR inserida no domínio da geometria

sintética. Por fim, relacionamos essa OMR com outras organizações de outras

geometrias.

Para caracterizar o objeto de estudo da Didática da Matemática Gascón

(2011) especificou três dimensões fundamentais na TAD, a epistemológica, a

econômico – institucional e a ecológica, em que representou o desenvolvimento virtual

de um problema didático, não necessariamente histórico, por meio de um padrão

heurístico: {[(𝑃0⊕ 𝑃1) ⤿ 𝑃2 ] ⤿ 𝑃3 } ⤿ 𝑃𝛿 em que 𝑃1, 𝑃2 𝑒 𝑃3 são estas dimensões,

respetivamente. Já 𝑃0 representa uma formulação inicial, pré-científica, denominada

de problema docente e 𝑃𝛿 é considerado o problema didático que contêm estas três

dimensões fundamentais, bem como suas articulações e algumas questões novas.

Neste contexto, o autor também utiliza o símbolo ⤿, não para designar uma

inclusão, mas para indicar que “cada uma das dimensões 𝑃𝑖 é logicamente anterior a

dimensão 𝑃𝑖+1, ou ao menos que 𝑃𝑖 venha antes de 𝑃𝑖+1 em um hipotético

desenvolvimento virtual do problema”. (GASCÓN, 2011, p. 206, tradução nossa)4.

Além disso, o símbolo ⊕ representa a incompletude de 𝑃0 e a necessidade de

adicionar, a ela, ao menos a dimensão epistemológica para começar a considerá-la

como um problema didático.

Na dimensão epistemológica 𝑃1 fizemos um estudo da gênese e do

desenvolvimento das cônicas de modo a verificar como estes objetos foram tratados

ao longo do tempo, elencando possíveis restrições em cada período. Em seguida,

explicitamos as praxeologias envolvidas nas diferentes geometrias como a geometria

sintética, analítica, linear, do taxi e projetiva que possibilitou descrever um Modelo

Epistemológico de Referência – MER – de maneira explícita como sistema de

referência, passível de ser contrastado e revisado que sustentará o desenvolvimento

do Modelo Didático de Referência – MDR. Neste sentido, para o autor, o MER é

necessário para estudar o saber matemático antes da transposição didática.

Para Gascón (2014, p. 153):

4 Cada una de las dimensiones 𝑃𝑖 es lógicamente anterior a la dimensión 𝑃𝑖+1 o, al menos, que “𝑃𝑖 va antes que 𝑃𝑖+1 " en un hipotético desarrollo virtual del problema (GASCÓN, 2011, p. 206).

35

o programa epistemológico de investigação em didática da matemática [...] questionam os modelos epistemológicos da matemática dominantes nas diversas instituições e, o mais importante, como aqueles que elaboram explicitamente modelos epistemológicos alternativos [...] e os utilizam como como sistema de referência para construir fenômenos didáticos e para formular e abordar os problemas didáticos associados”.

Acrescenta que “foi a partir do ano 2000 que os citados modelos

epistemológicos alternativos se denominaram explicitamente Modelos

Epistemológicos de Referência (MER)”.

De acordo com Fonseca, Gascón e Lucas (2014), o Modelo Epistemológico

de Referência tem um importante papel na formulação de um problema educativo,

pois compreende uma interpretação da atividade matemática em uma instituição

específica, sua estrutura é sustentada por uma rede de praxeologias matemáticas

descritas a partir de uma rede de perguntas e respostas estruturadas

praxeologicamente e:

deve ser considerado como uma hipótese provisória a ser testada experimentalmente e, portanto, suscetível de ser modificada e constantemente revisada. Em outras palavras, um MER é uma hipótese científica que devemos colocar à prova de contingência5. (FONSECA, GASCÓN E LUCAS, 2014, P. 291, tradução nossa)

Segundo Gascón (2014), a elaboração de Modelos Epistemológicos de

Referência permite uma emancipação da didática da matemática, em relação ao

modelo dominante em diversas instituições em que determinado conteúdo sobrevive.

Para o autor, a difusão de praxeologias didáticas tem sido um dos maiores problemas

para a Teoria Antropológica do Didático, sendo sua razão de ser, em que a

transposição didática representa o objeto de estudo e possibilita analisar criticamente

os modelos matemáticos dominantes nessas instituições de maneira a afastar os

pressupostos acríticos desses modelos.

Já a dimensão 𝑃2, para o autor, considera questões relacionadas à

Organização Matemática e à Organização Didática inclusas em determinada

instituição. Neste sentido, a análise de um conteúdo deve incluir uma observação e

uma descrição detalhada destas organizações que existem, efetivamente em uma

instituição. Para o autor as questões que fazem parte dessa dimensão requerem que

5 Debe considerarse como una hipótesis provisional a contrastar experimentalmente y, por lo tanto, susceptible de ser modificado y revisado constantemente. En otras palabras, un MER es una hipótesis científica que debemos poner a prueba de la contingencia Fonseca, Gascón e Lucas (2014, p. 291).

36

se explicite a dimensão epistemológica e, particularmente, um MER imprescindível

para analisar o saber matemático tal como aparece e é interpretado nas sucessivas

etapas do processo da transposição didática.

Nesta dimensão, analisamos como as cônicas foram tratadas ao longo do

ensino brasileiro, pelas sucessivas reformas que aconteceram: reforma de Campos,

Capanema, ajuste de 1951, Movimento da Matemática Moderna – MMM – a inserção

do Plano Nacional do Livro Didático – PNLD – e da Base Nacional Curricular Comum

– BNCC. Assim, foi possível identificar qual a Organização Matemática está em seu

entorno e aparece de forma efetiva na educação básica. Com isso, identificamos o

modelo dominante que de alguma forma delineia as ações escolares.

A partir desta análise, verificamos que no MMM as cônicas, na educação

básica, passaram a ser vistas com ênfase na geometria analítica, situação que

perdura até os dias atuais. Além disso, identificamos conteúdos que deixaram de fazer

parte do ensino como o Teorema de Dandelin, o uso das coordenadas polares e a

equação geral da cônica. Identificamos ainda, os tipos de tarefas que aparecem nesta

etapa escolar e comparamos com os tipos encontrados em nosso MER.

Para a análise do saber matemático será necessário situar as cônicas em

Organizações Matemáticas Locais, que por sua vez deve integrar uma OMR para

estudar todos os processos transpositivos. Assim, esta dimensão gera questões sobre

o resultado produzido, em um determinado período histórico, pela ação da

transposição didática na praxeologias didáticas e matemáticas. Essas análises

permitem construir um MDR possível que deve ser explícito tal como deve ser o MER.

A dimensão 𝑃3, por sua vez, segundo o autor, inclui, de certa maneira, as

outras duas dimensões uma vez que, sob o enfoque da TAD, todo problema didático

é, de alguma maneira, um problema de ecologia praxeológica, ou seja, a didática se

preocupa com o estudo da ecologia institucional das praxeologias didáticas e

matemáticas, considerando as condições e restrições em todos os níveis de

codeterminação didática, desde os mais genéricos até os mais específicos.

Nesta dimensão, identificamos quais conteúdos são mobilizados para estudar

as cônicas no ensino básico, quais as diferentes maneiras em que as cônicas podem

ser estudadas e quais objetos matemáticos e extra matemáticos são alimentados por

elas. Além disso, com a saída de alguns conteúdos, nas sucessivas reformas

37

escolares que se sucederam no Brasil, identificamos um desequilíbrio em tratar as

cônicas pela maneira em que estão dispostas no ensino. Diante disso, sugerimos o

renascimento do teorema de Dandelin para promover articulações tanto na geometria

sintética como para conectar a geometria sintética e analítica.

Quanto aos níveis de codeterminação didática, segundo Gascón (2011), são

dispostos de maneira hierárquica de tal maneira que as Organizações Matemáticas e

suas respectivas Organizações Didáticas, sejam dependentes mutuamente uma da

outra e estruturadas nesses níveis, sendo representados pelo autor pelo esquema (p.

217, tradução nossa): Civilização ↔ Sociedade ↔ Escola ↔ pedagogia ↔ Disciplina

↔ Área ↔ Setor ↔ Tema ↔ questão6.

Neste esquema, qualquer questão matemática gera um processo de estudo

em uma instituição didática que faz parte de um tema, pertencente a um setor que

está incluído em uma área de uma certa disciplina. Como por exemplo a questão de

como calcular a área de uma elipse, dados os seus semieixos, faz parte de um tema

denominado cônicas, que está inserido em um setor da geometria plana e que faz

parte de uma área denominada geometria que, por sua vez, está inserida na disciplina

de matemática.

Os níveis para além da disciplina, de acordo com o autor, correspondem aos

níveis pedagógicos, não matemáticos, mas que possuem restrições que influenciam

fortemente na matemática escolar, devendo fazer parte de objeto de estudo da

didática da matemática. Como por exemplo, a maneira como um conteúdo é escolhido

para ser ensinado, em uma disciplina, interfere nas questões que devem ser

discutidas na escola. Assim, para que uma questão matemática tenha sentido de ser

ensinada a sociedade deve propor questões que tenha legitimidade cultural ou social.

Além disso, que tenham legitimidade matemática, relacionadas com questões centrais

da matemática e que tenha legitimidade funcional, relacionando-se com outras

questões matemáticas ou de outras disciplinas.

Como possível ponto de partida, Gascón (2014) apresentou alguns

questionamentos que podem envolver problemas docentes, como os problemas que

levanta quando tem que ensinar um tema matemático a seus alunos. Esses problemas

6Civilización ↔ Sociedad ↔ Escuela ↔ Pedagogía ↔ Disciplina ↔ Área ↔ Sector ↔ Tema ↔ Cuestión (GASCÓN, 2011, p. 217).

38

são formulados a partir de noções disponíveis na cultura escolar, que podem ser

trazidas de documentos curriculares, pois geralmente as noções e as ideias

dominantes na cultura escolar, não são questionadas. Neste sentido, apresenta a

questão que denominou por 𝑃07 (p. 207, tradução nossa): “o que tenho que ensinar a

meus alunos e como tenho que ensiná-los a propósito da geometria, da estatística, do

cálculo diferencial ou da proporcionalidade? Ou formulações mais específicas

derivadas desta questão denominada por 𝑃′08:

Como motivar meus alunos, a aumentar seu interesse pelo estudo e melhorar sua atitude em relação a certa área da matemática? Ou também, como posso utilizar as TIC a fim de melhorar o processo de ensino desta área? Como individualizar o ensino deste ou daquele conceito? (GASCÓN, 2011, p. 207, tradução nossa)

Traduzindo este problema para o âmbito desta pesquisa, elaboramos a

questão 𝑷𝟎: o que precisa ser ensinado e como deve ser ensinado o conteúdo

de cônicas aos alunos do ensino básico?

Para começar a respondê-la , precisamos considerar, segundo Bosch e

Gascón (2010), que os Modelos Epistemológicos de Referência não são puramente

epistemológicos, mas “epistemológico – didático” uma vez que, para os autores (p.

61, tradução nossa)9, os trabalhos de Chevallard, no início dos anos noventa, “já

requisitavam a necessidade de ampliar substancialmente a epistemologia, a fim de

integrar em seu objeto de estudo, junto à gênese e desenvolvimento do saber, o

ensino, a utilização e a transposição institucional do mesmo”.

Neste sentido, a Didática da Matemática deve elaborar seus próprios MDR,

considerados pelos autores como uma ampliação do MER, com funções essenciais

para o investigador em didática e para a própria disciplina. De acordo com Bosch e

7 𝑃0: ¿Qué tengo que enseñar a mis alumnos y cómo tengo que enseñarlo a propósito de la geometría, de la estadística, del cálculo diferencial e de la proporcionalidad? (GASCÓN, 2011, p. 207).

8 ¿Cómo puedo motivar a mis alumnos, aumentar su interés por el estudio y mejorar su actitud en relación con cierto ámbito de las matemáticas? O también, ¿cómo puedo utilizar las TIC a fin de mejorar el proceso de enseñanza de dicho ámbito? ¿Cómo individualizar la enseñanza de tal o cual concepto? (GASCÓN, 2011, p. 207).

9 ya se postulaba la necesidad de ampliar substancialmente la epistemología a fin de integrar en su objeto de estudio, junto a la génesis y desarrollo del saber, la enseñanza, la utilización y la transposición institucional del mismo (BOSCH e GASCÓN, (2010, p. 61).

39

Gascón (2010, p. 61, tradução nossa)10, o MDR é um “instrumento de emancipação

em relação as diferentes instituições que fazem parte de seu objeto de estudo: a

instituição matemática, a classe, a instituição escolar e a sociedade”. Assim, o

professor poderá lançar mão do MDR para embasar suas intervenções, que giram em

torno do problema de como ensinar e estabelecer Organizações Matemáticas Locais

– OML, para dar conta de ensinar um conteúdo. Essas OML, por sua vez, podem ser

implementadas por meio de Atividades de Estudo e Investigação – AEI que, para os

autores, podem contribuir com respostas para o problema do professor e resolver o

problema das organizações matemáticas escolares. Desta maneira, o sistema didático

sofre alteração com o questionamento de visita às obras e a introdução de

questionamento do mundo.

O desenvolvimento de uma AEI é feito no sistema didático, agora representado

por 𝑆 (𝑋; 𝑌; 𝑄), em que 𝑋 é um grupo dos alunos, 𝑌 um grupo de instrutores cada um

representado por 𝑦 e que pode ser um professor, Q é a questão a ser analisada.

Chevallard (2009b) representa esse processo por: [𝑆 (𝑋; 𝑌; 𝑄) ➦ 𝑀] ➥ 𝑅 em que 𝑀

é o milieu e tem a finalidade de produzir uma determinada resposta 𝑅♥ à questão Q.

Para o autor a noção de AEI se concentra em reformar os saberes e suas

razões de ser para responder à necessidade de fazer viver (análise ecológica) um

ensino baseado no estudo de questões dadas aos alunos. Por outro lado, Matheron e

Noirfalise (2006) propõem AEI construídas por meio de questões problemáticas para

desenvolver documentos para professores a partir de conteúdos determinados pelos

currículos. Para os autores “trata-se de desenvolver um percurso de estudo que

permite cobrir parte dos setores ou domínios do programa de um ou vários níveis.” (p.

6).

A essência dessa pedagogia reside na Teoria das Situações Didáticas (TSD),

de Guy Brousseau, pela noção de uma situação fundamental e o jogo das variáveis

didáticas escolhidas pelo professor para fazer o aluno avançar em busca do saber, ou

seja, inicia-se pela fase adidática, em que o que se deseja ensinar não é revelado ao

aprendiz. No entanto, a pedagogia da AEI exige condições menos radicais, ela deve,

10 Instrumento de emancipación respecto las diferentes instituciones que forman parte de su objeto de

estudio: la institución matemática, la clase, la institución escolar y la sociedad (BOSCH e GASCÓN,

2010, p. 61).

40

segundo Chevallard (2009b), motivar um tipo de tarefas 𝑇, suficientemente clara e

objetiva.

Portanto, para desenvolver nossa investigação, estudamos as três dimensões

do problema didático para as cônicas, apresentamos o nosso MER e o modelo

dominante deste conteúdo na educação básica, de modo a apontar as limitações e

restrições para o ensino deste objeto. De posse destas ferramentas, arquitetamos um

MDR, em termos de AEI, para o 9º ano do ensino fundamental e para o ensino médio.

Baseado no MER construído, elaboramos uma atividade para 9º ano do

ensino fundamental relacionada à construção de representações de cônicas por

materiais manipulativos e pelo software GeoGebra em que explicitamos na geometria

sintética Organizações Matemáticas Pontuais, Organizações Matemáticas Locais e

Organizações Matemáticas Regionais.

No primeiro ano do ensino médio construímos duas Atividades de Estudo e

Investigação para tratar as cônicas na geometria sintética e analítica de maneira

articulada. Na primeira relacionamos a geometria do táxi com a geometria analítica,

identificando diferenças entre elas quanto à métrica e a segunda é referente ao

sistema de navegação hiperbólico em que relacionamos, novamente, a geometria

sintética e analítica.

No segundo ano, elaboramos uma atividade para tratar questões relacionadas

à construção de um telescópio refletor em que é necessário mobilizar as propriedades

reflexivas das cônicas da geometria sintética e elaboramos outra atividade em que

relacionamos geometria sintética e analítica para determinar a excentricidade do

planeta terra em função da posição do Afélio e do Periélio.

No terceiro ano organizamos uma atividade em que são mobilizadas

propriedades da geometria analítica e geometria linear para determinar a

excentricidade da órbita de um corpo celeste dados cinco pontos de sua trajetória e

organizamos outra atividade que envolve a mobilização de propriedades das

geometrias sintética, analítica e projetiva para determinar a curva que é projetada em

uma parede pela sombra de um abajur.

Apresentado o referencial teórico em que os apoiamos, damos sequência à

construção de nossa problemática, apresentando a revisão de literatura de trabalhos

que tiveram as cônicas como tema para situarmos nossa pesquisa.

41

2.2 Revisão de Literatura

Para desenvolver esta revisão de literatura buscamos trabalhos que tiveram

as cônicas como objeto de investigação, nos últimos vinte anos, relacionados ao

ensino ou à aprendizagem, na área de Educação Matemática.

Inicialmente, utilizamos as palavras–chave: cônicas, cônicas no ensino

básico, formação de professores para o ensino de cônicas e conhecimentos docentes

para o ensino de cônicas, no banco de dados da CAPES11, por representar a maior

plataforma online de trabalhos acadêmicos no Brasil. Depois, utilizamos algumas

palavras-chave em inglês, francês e espanhol: learning of conics, teaching of conics,

enseignement des coniques e enseñanza de las cónicas, no Google Acadêmico12 e,

além disso, procuramos por materiais físicos em diferentes bibliotecas.

A princípio nos deparamos com centenas de trabalhos que tratavam de

cônicas em diversas áreas do conhecimento e, com base em nossos critérios,

selecionamos 14 trabalhos, dentre os quais se encontram uma tese em francês, duas

dissertações do Peru e dez dissertações e uma tese brasileiras que apresentamos no

quadro 1.

Quadro 1 – Pesquisas analisadas na revisão de literatura

Autor/ano Título Instituição Mestrado/doutorado

Lima (1999) Resolução de equações de terceiro grau através das cônicas

PUCSP Mestrado

Bongiovanni (2001)

Les caractérisations des coniques avec Cabri- géomètre em formation continue d’enseignants: étude sequence d’activités et conception d’un hyperdocument interactif

Université Joseph Fourier

Doutorado

Macena (2007) Contribuições da investigação em sala de aula para uma aprendizagem das seções cônicas com significado

UFRN Mestrado

Goulart (2009) O Estudo da Equação 𝑥2 + 𝐵𝑥𝑦 + 𝐶𝑦2 + 𝐷𝑥 +𝐸𝑦 + 𝐹 = 0 Utilizando o Software Grafeq: Uma Proposta Para o Ensino Médio

UFRS Mestrado

Bordallo (2011) As Cônicas na matemática escolar brasileira: história, presente e futuro

UFRJ Mestrado

11 https://catalogodeteses.capes.gov.br/catalogo-teses/#!/

12 https://scholar.google.com.br

https://scholar.google.com.br/

42

Oliveira (2011) Objeto de Aprendizagem Para o Desenvolvimento de Habilidades de Visualização e Representação de Secções Cônicas: atividades para o ensino médio

PUCMG Mestrado

Silva (2011) Secções Cônicas: atividades com geometria dinâmica com base no Currículo do Estado de São Paulo

PUCSP Mestrado

Vidal (2013) Seções Cônicas: Uma sequência Didática no Ensino Médio Utilizando o GeoGebra

UFAL Mestrado

Lopes (2014) Uma sequência didática para o ensino de parábola enquanto lugar geométrico

PUCSP Mestrado

Ríos (2014) Estudio de los procesos de instrumentalización de la elipse mediado por el GeoGebra en alumnos de arquitectura y administración de proyectos

PUCP Mestrado

Sotili (2014) Um Aplicativo de Realidade Aumentada contribuindo Para o Ensino de Geometria Descritiva: um estudo de seções cônicas

URIRS Mestrado

Villegas (2015) La Construcción del Concepto Circunferencia desde la Dialéctica Herramienta – Objeto con el Apoyo del Software GeoGebra en Estudiantes de Quinto de secundaria

PUCP Mestrado

Siqueira (2016) Um Estudo Didático das Cônicas: quadros, registros e pontos de vista

PUCSP Mestrado

Benito (2019) Construção de um Percurso de Estudo e Pesquisa para Formação de Professores: o Ensino de Cônicas

PUCSP Doutorado

Fonte: Produção do autor

Assim, dentre os trabalhos encontrados, identificamos três categorias de

análise, os trabalhos que tiveram alunos como sujeitos de pesquisa, os que tiveram

professores como sujeitos de pesquisa e os trabalhos que representaram reflexões

teóricas. Para uniformizar esta revisão de literatura analisamos, em cada um deles,

os objetivos da pesquisa, a metodologia, o quadro teórico, o público-alvo e os

principais resultados.

2.2.1 Alunos como sujeitos de pesquisa

Dentre as pesquisas que elaboraram atividades para o ensino de cônicas para

alunos, encontram-se os trabalhos de Lima (1999), Macena (2007), Goulart (2009),

Oliveira (2011), Vidal (2013), Lopes (2014), Ríos (2014) e Villegas (2015), com o

objetivo de apresentar uma síntese dos principais aspectos apontados por elas,

relativos à uniformização pretendida.

Lima (1999), teve por objetivo estudar diferentes métodos de resoluções de

equações de terceiro grau para ressaltar as vantagens e desvantagens de cada um.

43

Para tanto, a pesquisadora elaborou uma sequência didática para ser trabalhada com

quatro alunos de Ciência da Computação da PUC-SP e com 6 alunos do terceiro ano

do ensino médio do colégio Vera Cruz. Aplicou também, um questionário que foi

analisado pelos programas CHIC e CHADOC e para as construções gráficas utilizou

o software Cabri Geomètre.

Em sua pesquisa, Lima (1999), apoiou-se na Teoria da Dialética Ferramenta-

Objeto de Règine Douady, para construir uma sequência didática supondo que os

conhecimentos antigos dos aprendizes não eram suficientes para resolver os

problemas propostos, pois os conhecimentos algébricos que os alunos possuíam não

eram suficientes para resolver as atividades, o que os forçaria a realizar uma mudança

de quadro, para prosseguir na busca de soluções para os problemas propostos.

Apoiou-se também, na teoria dos Registros de Representação Semiótica de Duval ao

utilizar os registros algébrico, gráfico e figural, na Teoria Antropológica do Didático

para analisar livros didáticos e alguns documentos oficiais, e no contrato didático de

Brousseau para gerir as interações entre todos os atores participantes.

A autora, ao analisar os diferentes métodos de resolução de equações de

terceiro grau, verificou que o método de Omar Khayyam13 possui vantagens de

utilização. O método que utiliza a fórmula de Cardano necessita de conhecimentos de

números complexos e para o método chamado de dispositivo de Briot-Rufinni é

necessário conhecer uma raiz inteira da equação.

Como resultado, Lima (1999) verificou que os diferentes métodos de

resolução de equações de terceiro grau, abordados na pesquisa, permitiram um

aumento no repertório dos alunos, levando-os, inclusive, a questionar se equações de

graus diferentes de três poderiam ser resolvidas por formas diferentes das

encontradas em livros didáticos. No entanto, percebeu que os alunos tiveram

dificuldades em construir gráficos que não fossem de funções polinomiais de primeiro

e segundo graus; em reconhecer sua forma e, ainda, na utilização do método de Omar

Khayyam.

Ao final das atividades, a autora aplicou uma entrevista aos alunos em que

constatou uma influência muito forte do quadro algébrico, porém o quadro geométrico

13 Faremos uma breve discussão em relação ao método de Omar Khayyan e à fórmula de Cardano na dimensão epistemológica.

44

começou a fazer parte do repertório deles, pois conseguiram trabalhar nos dois

quadros para encontrar e analisar as raízes de uma equação cúbica. Consideraram

ainda o método de Omar Khayyam o melhor dentre os apresentados, mesmo que

tivessem dificuldades em construir representações gráficas de parábola e hipérboles

por meio de lápis e papel. Assim, os alunos foram levados a analisar gráficos

diferentes daqueles que são privilegiados no ensino (retas e parábolas) e a mudar de

quadro para explorar diferentes aspectos dos problemas que possibilitou raciocinar

em diferentes campos da Matemática.

Macena (2007) fez uma investigação com dezoito alunos do terceiro ano do

ensino médio do CEFET/PB, que já tinham certa familiaridade com as cônicas, com o

objetivo de relacionar a metodologia de pesquisa desenvolvida por Ponte, Brocardo e

Oliveira, investigação em sala de aula, com a evolução histórica desse tema, a partir

da concepção de aprendizagem significativa de Novak e Moreira que considera

importante a identificação dos conhecimentos que os alunos trazem em seu repertório,

para, a partir deles, avançar no processo de ensino. Neste sentido, procurou uma

abordagem diversificada para o estudo da geometria analítica, particularmente, para

as seções cônicas.

A autora programou dez encontros para que os alunos, em duplas,

realizassem leituras, respondessem questionários e resolvessem exercícios a partir

do aspecto lúdico de um tabuleiro de bilhar cônico que eles próprios construíram, para

despertar a curiosidade e o interesse deles por seu aprendizado.

De acordo com Macena (2007) a construção do tabuleiro permitiu aos alunos

trabalharem no enfoque geométrico, quando utilizaram aparatos mecânicos para

construírem um tabuleiro cônico, por meio de noções de lugar geométrico, e estudar

o enfoque analítico, quando representações gráficas da parábola, da elipse e da

hipérbole foram construídas no referencial cartesiano considerando aspectos

relacionados à translação.

O desempenho dos estudantes levou a pesquisadora a considerar que seus

objetivos foram alcançados, pois as relações estabelecidas entre as concepções de

aprendizagem significativa, a investigação em sala de aula e os aspectos históricos

se constituíram na medida em que as atividades foram se desenvolvendo, o que

evidenciou que o aspecto histórico complementou o processo investigativo.

45

Para concluir, Macena (2007), ponderou que o professor deve estar preparado

para uma investigação em sala de aula; deve conhecer a história sobre o tema que

irá tratar para desenvolver um estudo histórico e epistemológico; precisa considerar

os conhecimentos prévios dos alunos e fazer adaptações das recomendações dos

Parâmetros Curriculares Nacionais, bem como de livros didáticos. Neste sentido, o

professor estará preparado para enfrentar os obstáculos que surgirão ao longo do

processo de investigação, para apostar no espírito criativo, inovador e na curiosidade

de seus alunos e conduzi-los à uma aprendizagem significativa das cônicas.

A pesquisa de Goulart (2009) apresentou um estudo de possíveis soluções

para equação de segundo grau em duas variáveis, em que utilizou o software

GRAFEQ com uma turma de 12 alunos do terceiro ano do ensino médio de uma

instituição privada em Novo Hamburgo. Seu objetivo foi construir uma proposta para

o ensino e a aprendizagem de geometria analítica com o auxílio de tecnologias. A

pesquisadora dividiu a intervenção em dois momentos, o primeiro realizado na sala

de informática e, o segundo, na sala de aula onde as reflexões dos alunos foram

registradas.

Como referencial, utilizou a Teoria do Desenvolvimento Cognitivo de Piaget,

em que a aprendizagem ocorre a partir das ações e reflexões dos educandos, sendo

o professor um preparador e mediador das situações e, como metodologia de

pesquisa, empregou a engenharia didática.

Segundo a autora a interface do GRAFEQ possibilitou trabalhar de forma

articulada a álgebra e a geometria e afirmar que as representações construídas no

computador foram mais ricas do que as construídas na lousa, uma vez que, além de

evitar distorções, permitiram a modificação de parâmetros para verificação de

propriedades e construção de novas representações instantaneamente. Além disso,

propiciou a criação de um ambiente em que os alunos interagiram, no processo de

construção do conhecimento. No entanto, para a autora, o uso de tecnologias pela

tecnologia, não garante nenhum aprendizado e cabe ao professor fazer a sua parte

na elaboração e mediação de atividade para auxiliar o aluno nesse processo.

Já Oliveira (2011) fez uma investigação com o intuito de construir objetos de

aprendizagem para analisar como 20 alunos, do terceiro ano do ensino médio de uma

escola particular em Belo horizonte, identificam e conceituam a parábola, a elipse e a

hipérbole com o auxílio do software GeoGebra. Para tanto, baseou sua pesquisa em

46

Ponte, que versa a respeito dos processos de investigação em sala de aula, utilizou

tecnologias no sentido de Borba e Penteado e a noção de objetos de aprendizagem

de Souza e colaboradores.

Para o autor, sua pesquisa apresentou como resultado uma forte interação

entre alunos e entre alunos e professor, em todo o processo de construção destes

objetos, mostrando que a parceria foi eficaz. Além disso, segundo Oliveira (2011), a

investigação facilitou a observação da figura e a identificação de suas características,

por meio de representações gráficas e de situações cotidianas que permitiram

explorar o pensamento geométrico. Acrescenta que os alunos, não tiveram qualquer

dificuldade em utilizar o GeoGebra e apresentaram inclusive, diferentes caminhos

para a construção das representações das cônicas. Conclui que o uso do computador

representou o papel de facilitador e incentivador para as descobertas e conclusões

desenvolvidas colaborativamente.

A pesquisa de Vidal (2013) teve por objetivo propor uma sequência didática

para o ensino de cônicas, utilizando o software GeoGebra, a uma turma do terceiro

ano do ensino médio de uma escola pública do interior de Alagoas. Para construí-la,

fez um questionário para diagnosticar se os alunos já tinham os conhecimentos de

geometria analítica necessários para estudar as cônicas e fez uma análise de quatro

livros, aprovados pelo Ministério da Educação – MEC no PNLD de 2012, utilizados

nos anos de 2012, 2013 e 2014, com o intuito de entender como sugerem o ensino

desse conteúdo e se o relacionam com alguma atividade cotidiana ou com outras

áreas do conhecimento.

Utilizou, como aporte teórico, as noções de mudanças de quadros de Douady

para as interações entre os quadros algébrico, geométrico, numérico e analítico e a

noção de transposição didática de Chevallard para explicar as mudanças sofridas pelo

saber, a partir das escolhas feitas pelo professor e adequada à sua sala de aula, com

base nos conteúdos que são apresentados em materiais didáticos.

Sua pesquisa constatou um bom engajamento dos alunos nas questões que

envolveram aplicações em diversas áreas do conhecimento e no uso do software, que

os ajudaram a verificar propriedades e a entender alguns conceitos de cônicas, além

de superar algumas de suas dificuldades. Assim, Vidal (2013) percebeu que a

metodologia de ensino adotada contribuiu para a aprendizagem dos alunos ainda que

47

algumas de suas respostas não estivessem completamente de acordo com o que era

esperado.

Para a autora é preciso capacitar o professor para utilizar, diferentes

programas para desenvolver atividades que ajudem os estudantes a aprender e a ter

maior desenvoltura, quando estiverem diante de um computador.

Lopes (2014) fez uma investigação acerca das diferentes definições de

parábola enquanto lugar geométrico, a partir de uma sequência didática em que

considerou os pressupostos da engenharia didática com cinco alunos, com

rendimento satisfatório em todas as disciplinas, do segundo ano do ensino médio, de

uma escola particular do estado de São Paulo.

A autora baseou sua pesquisa na teoria dos Registros de Representação

Semiótica de Duval, utilizando os registros material, figural, gráfico e algébrico,

ressaltando tratamentos e conversões e a Teoria das Situações Didáticas de

Brousseau para a elaboração e a aplicação da sequência didática. A aplicação dessa

sequência se deu em quatro sessões, em que foram discutidas 9 situações. Assim,

apresentou como resultado que os alunos, de maneira geral, se apropriaram das

definições da parábola enquanto lugar geométrico afastando-se da impressão de que

a parábola é sempre associada ao estudo de funções quadráticas.

Lopes (2014) ponderou que a parábola deve ser estudada enquanto lugar

geométrico nos quadros da geometria e da geometria analítica já nos anos finais do

ensino fundamental, anteriormente ao estudo de funções e não apenas no terceiro

ano do ensino médio, uma vez que, para a autora, no oitavo e nono ano os alunos se

familiarizam com o plano cartesiano e com o teorema de Pitágoras, pré-requisitos

necessários para desenvolver as atividades de sua pesquisa. A autora verificou

também, que comumente se estuda a parábola apenas enquanto gráfico

representativo de função quadrática, induzindo os alunos a ter apenas essa

percepção. Contudo, os estudantes analisados em sua pesquisa, tiveram a

oportunidade de ter uma visão mais completa desse objeto matemático.

Quanto a fundamentação teórica, a pesquisadora percebeu que os alunos

mostraram desenvoltura nas conversões entre representações em diferentes registros

de representações semióticas e nos tratamentos efetuados, porém como tratou de

equações reduzidas, sugeriu novos estudos, considerando as translações e rotações

48

considerando outras áreas do conhecimento como a Física, a Engenharia, a Química

e a própria Matemática.

A investigação de Ríos (2014) teve por objetivo tratar dos processos de

instrumentalização da elipse, com o auxílio do GeoGebra, direcionada a uma turma

de estudantes de Arquitetura e Gerenciamento de Projetos, que faziam o curso de

Matemática I, em uma universidade privada de Lima no Peru. Para tanto, o autor

desenvolveu uma sequência de atividades que se fundamentou no enriquecimento de

propriedades da elipse, por meio do software para permitir o surgimento e a

descoberta progressiva de seus elementos, bem como algumas relações entre seus

parâmetros, a excentricidade e a ligação entre uma representação gráfica e sua

respectiva expressão algébrica.

Para a análise das ações dos alunos, o autor utilizou como referencial teórico

a Abordagem Instrumental de Rabardel e como referencial metodológico, a

Engenharia Didática de Artigue. Neste sentido, observou que o GeoGebra, como

agente mediador, permitiu ao sujeito não apenas a elaboração de construções

geométricas, mas também a interação e exploração das atividades propostas com a

mobilização de esquemas prévios que facilitou o desenvolvimento das atividades e

minimizou as dificuldades ao longo da investigação.

Finalmente, a pesquisa de Villegas (2015) teve por objetivo a construção de

conhecimentos de circunferência, no quadro da geometria analítica, por meio de uma

sequência de atividades com seis alunos do quinto ano do ensino secundário, de um

colégio estatal do Peru, que corresponde ao último ano do ensino médio regular

brasileiro.

O autor embasou sua pesquisa nos aspectos teóricos da dialética ferramenta-

objeto em que, para construir uma noção matemática é necessário mobilizar

conhecimentos antigos como ferramenta para desenvolver um novo conhecimento

(objeto), em um processo cíclico, em que o conhecimento novo passa a ser antigo em

novas situações de aprendizagem. Baseou-se, também, nos aspectos metodológicos

da investigação qualitativa no sentido de Hernández, Fernández y Baptista em que os

participantes agem com naturalidade.

Como resultado, o autor afirma que os alunos conseguiram construir a noção

de circunferência, por meio da sequência de atividades, e que melhorassem e

49

organizassem sua estrutura cognitiva a respeito dessa noção. Verificou, ainda, a

importância do GeoGebra como instrumento mediador, pois, a partir do uso de

algumas de suas ferramentas e de seu dinamismo, os alunos conseguiram consolidar

a definição de circunferência como lugar geométrico e de suas representações

gráficas e algébricas. Acrescentou que as atividades permitiram o desenvolvimento

de autonomia, pelos estudantes, para expressar e verificar suas hipóteses sobre as

concepções que eles tinham desse objeto.

Podemos perceber, que em todas as pesquisas dessa categoria foram

construídas sequências para o ensino de cônicas enquanto lugar geométrico

articulando diferentes quadros e registros de representação no sentido de se afastar

do enfoque dado, geralmente, apenas à manipulação de equações analíticas e de

processos de memorizações. Outra importante contribuição, é a constatação de que,

embora tenham analisados alunos como sujeitos, Macena (2007) e Vidal (2013)

salientaram a importância em capacitar o professor para que possa, efetivamente,

contribuir para a aprendizagem dos alunos.

Diante do que apresentamos, consideramos importante voltarmos nossa

atenção para uma melhor articulação entre as diferentes maneiras de estudar as

cônicas, em seus diferentes quadros, pontos de vista e registros de representação

semiótica, a tratar as cônicas enquanto lugar geométrico e a considerar, não somente

o ensino, mas também sua aprendizagem.

2.2.2 Professores como sujeitos de pesquisa

Na segunda categoria de análise, composta por pesquisas que tratam de

professores, analisamos os trabalhos de Bongiovanni (2001), Silva (2011), Sotili

(2014) e Benito (2019) com o objetivo de entender essas formações de professores e

de levantar os principais aspectos apontados por elas.

O objetivo do trabalho de Bongiovanni (2001) foi projetar um hiperdocumento

interativo para a formação continuada de professores de matemática do ensino médio

no Brasil. Segundo o autor, o termo hiperdocumento significa um sistema

computacional organizado de forma não linear que pode integrar textos, imagens,

fixas ou não, sons e vídeos, oferecendo uma multiplicidade de possíveis caminhos

para o usuário.

50

O autor afirmou que a formação continuada de professores vem se tornando

cada vez mais importante em muitos países e, especialmente, no Brasil para ajudar a

melhorar a educação. Neste sentido, buscou atender dois objetivos: desenvolver o

domínio do conteúdo matemático específico e empreender uma reflexão sobre os

processos de ensino e de construção de conhecimento desse conteúdo.

Bongiovanni (2001) apresentou as diversas maneiras com que as cônicas

foram tratadas ao longo do tempo e verificou que esta diversidade contribuiu para o

desenvolvimento da geometria e para testar novos métodos matemáticos. Desta

forma, examinou mais detalhadamente a fase grega, a partir do surgimento de

secções cônicas e apresentou apenas um esboço da fase posterior porque envolvem

conceitos que não são ensinados no Brasil, como a teoria de polo e de polar e a noção

de proporção transversal. Por isso o desenvolvimento das cônicas, por métodos

projetivos, não foi estudado em seu trabalho. O autor utilizou as diferentes

caracterizações das cônicas, encontradas nesse estudo, como fio condutor para a

formação.

Como metodologia de pesquisa, apoiou-se na Engenharia Didática para criar

uma sequência de atividade para serem trabalhadas com o auxílio do software Cabri-

Géomètre, no laboratório de informática da PUC – SP, com um grupo de professores

da educação básica. Essas atividades foram desenvolvidas em pares e planejadas

para ocorrer em sete sessões de 3,5 horas e meia hora de institucionalização para

abordar, os temas: conceitos de geometria descritiva e construções de épura; o estudo

da parábola, da elipse e da hipérbole no espaço e no plano; além do estudo unificado

das três curvas.

Como as atividades ao longo dessas sessões foram numerosas, o autor

decidiu por apresentar apenas as análises prévias relativas ao estudo da parábola que

tinham como principal objetivo permitir o desenvolvimento do conhecimento

geométrico dos professores. O autor destacou as contribuições da geometria dinâmica

para a conscientização dos professores, das mudanças que ocorrem do ambiente

lápis e papel para um ambiente com tecnologias. Além disso, buscou sensibilizar os

professores para a dimensão histórica do conhecimento, considerando que após a

formação os professores considerem os conhecimentos matemáticos e metodológicos

desenvolvidos para reinvesti-los em seu trabalho profissional.

51

A partir das atividades realizadas em laboratório, Bongiovanni (2001), realizou

uma análise a posteriori em que confrontou os fatos observados ao que foi analisado

a priori o que possibilitou analisar as dificuldades dos professores em formação e a

definir novos auxílios para serem anexados ao hiperdocumento. Neste sentido,

estruturou o hiperdocumento de modo a disponibilizar informações para a resolução

das atividades em que apresentou as caracterizações comuns das três cônicas em

duas situações. Na primeira, caracterizou as cônicas como secções planas de um

cone, por sua caracterização focal e como projeção de circunferências.

Já na segunda situação, o autor caracterizou as cônicas a partir do plano,

considerando as cônicas como lugar geométrico em coordenadas polares e em

coordenadas cartesianas, como equação de segundo grau em duas variáveis sob a

forma 𝑦2 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐; sem o termo misto na forma 𝐴𝑥2 + 𝐶𝑦2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0

e, também, por meio da equação completa 𝐴𝑥2 + 𝐵𝑥𝑦 + 𝐶𝑦2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0.

De acordo com o autor, os resultados mostraram que a introdução da

geometria descritiva, com o Cabri-Géomètre, no estudo das caracterizações das

cônicas, promoveu uma relação entre o espaço e o plano que ampliou as

possibilidades de ação dos professores.

Silva (2011) ofereceu uma formação continuada a um grupo de 22 professores

da rede pública do Estado de São Paulo, com o objetivo de buscar formas de utilização

de tecnologias e de atividades diferentes das que são propostas para o estudo das

cônicas, no Caderno do Professor do Estado de São Paulo, de maneira a

complementá-lo. Para o autor, este caderno sugere o estudo de cônicas por meio de

dobraduras de papel e de tecnologias digitais em uma série de atividades, com o uso

do software GeoGebra que envolvem tanto a geometria sintética, quanto a geometria

analítica.

Segundo Silva (2011), um aspecto estudado em seu trabalho, que não é

explorado ou é explorado de forma insatisfatória, no ensino, é a abordagem das

cônicas enquanto lugar geométrico. Neste sentido, o autor dividiu as oficinas em

quatro encontros para abordar, nos dois primeiros, conteúdos relacionados a lugares

geométricos e nos dois seguintes, conteúdos relacionados às seções cônicas.

52

Nesta formação, o autor apoiou-se em Tardif e Lessard para desenvolver

aspectos que dizem respeito à formação do professor e, em Kenski e Levy para

responder questões relativas às articulações entre educação e tecnologias.

Como resultado o autor afirma que o laboratório é um espaço importante para

se organizar um estudo das cônicas com o intuito de articular a dobradura de papel

com o software GeoGebra. Quanto ao desempenho dos professores verificou

dificuldades em diferentes aspectos, mesmo naqueles privilegiados pelo ensino, como

o uso mecânico de equações analíticas, mas que algumas foram superadas pela

interação entre professores e formadores. Além disso, percebeu, a partir dos relatos

e discussões durante os encontros, que os professores entenderam a importância de

uma formação continuada. Neste sentido, concluiu que se a SEE sugere a

complementação na abordagem dos conteúdos, no caderno do professor deveria

oferecer formações continuadas que permita aos professores a elaboração do seu

próprio material de trabalho.

Sotili (2014), por sua vez, propôs uma formação inicial de professores, por

meio de uma pesquisa qualitativa e exploratória, para o estudo das seções cônicas,

no âmbito da geometria descritiva utilizando a Realidade Aumentada-R. A como um

meio que possibilita a interação entre o mundo real e o virtual. Esta formação teve por

objetivo verificar tecnologias que possibilitem a criação de ferramentas de Realidade

Aumentada para compreender de que maneira tais ferramentas proporcionam o

entendimento deste conteúdo.

Após descrever e comparar as potencialidades de vários aplicativos ao longo

do trabalho, o autor escolheu o Flash Augmented Reality Authoring System (FLARAS),

por entender ser o de mais fácil manuseio, por pessoas que não possuem qualquer

conhecimento de programação, e por oferecer maior compreensão tendo em vista o

objetivo traçado por ele.

A partir da escolha desta ferramenta, Sotilli (2014) construiu uma proposta

didática, para trabalhar as seções cônicas, sob a ótica da Realidade Aumentada,

elaborando três oficinas. A primeira para tratar, de forma introdutória, do tema da

Realidade Aumentada e o estudo das cônicas, com o objetivo de: apresentar a

ferramenta de R.A., algumas aplicações e reconhecer diferentes formas de um cone,

bem com suas partes com o auxílio do FLARAS. A segunda para estudar a parábola

e a elipse na geometria descritiva utilizando a ferramenta de R.A. para identificar

53

elementos do cone e identificar pontos característicos da parábola e da elipse, além

de resolver problemas relacionados a estas cônicas. Estes objetivos se repetiram na

terceira oficina para estudar a hipérbole.

Participaram destas oficinas nove estudantes do curso de Licenciatura em

Matemática, de uma instituição de ensino superior no norte do Rio Grande do Sul, que

já estudaram a respeito de geometria descritiva e, por isso, não apresentaram

dificuldades quanto a esse conteúdo.

Como resultado, o autor pôde conferir que os sujeitos da pesquisa, em sua

totalidade, não tinham conhecimento de R.A., e, portanto, a necessidade em preparar

o professor para uma cultura digital, difundida em diversas áreas da atividade humana,

pois o professor deve estar atento ao uso de tecnologias para construir práticas

educativas inovadoras que permitam o desenvolvimento do aluno e o incentive a

aprender e a descobrir.

Segundo Sotilli (2014) os participantes relataram que as atividades realizadas

com R.A. proporcionaram maior engajamento e compromisso na realização das

tarefas solicitadas, além de propiciar, não apenas o conhecimento do conteúdo, mas

também conhecimentos a respeito do funcionamento de programas, que podem ser

empregados em outras atividades diárias. Desta forma, para o autor é possível

desenvolver o letramento digital e permitir melhor interação do aluno com o conteúdo

para tornar a intervenção mais atrativa e convidativa.

Um dos aspectos levantados pelos sujeitos desta pesquisa, de acordo com o

autor, foi que o dinamismo que o software proporciona possibilitou, no estudo das

cônicas, a visualização das formas, a observação de aplicações, os cortes no cone e

a verificação de propriedades e, que o professor pode retroceder, quantas vezes

desejar, para sanar as dúvidas que surgirem. Quanto às desvantagens, não houve

unanimidade, no entanto alguns ressaltaram a necessidade de conhecer a ferramenta,

bem como ter conhecimentos que vão além de sua formação acadêmica, ou seja,

saber articular o conteúdo aprendido com as tecnologias. O autor acrescenta que a

R.A. associada à resolução de problemas pode, também, auxiliar na compreensão da

geometria descritiva que, geralmente, é considerada difícil por parte de alunos, pela

maneira como comumente é tratada no ensino.

54

A pesquisa de Benito (2019) teve por objetivo investigar de que maneira o

dispositivo Percurso de Estudo e Pesquisa para Formação de Professores – PEP-FP,

pode ajudar um grupo de estudantes de Licenciatura em Matemática, a questionar,

analisar, desenhar e experimentar processos para o ensino de cônicas a partir do

questionamento de como construir um fogão solar.

Para tanto, o autor baseou seu trabalho na Teoria Antropológica do Didático e

na metodologia de pesquisa Engenharia Didática associada ao PEP que ocorre em

quatro fases.

Baseados nessa teoria, Benito (2019) desenvolveu um Modelo Epistemológico

de Referência que evidenciou três geometrias em que as cônicas estão inseridas, a

sintética, a analítica e a linear. A partir desse MER, construiu um Percurso de Estudo

e Pesquisa que foi aplicado em uma turma de seis alunos, do terceiro ano do ensino

médio, de uma escola pública do Estado de Sergipe e em uma turma de 14 alunos de

Licenciatura em Matemática de uma faculdade pública, também desse Estado.

O autor afirmou que obteve resultados positivos, pois o PEP–FP forneceu

subsídios aos graduandos que, ao final da formação, propuseram aulas em que as

cônicas não ficaram restritas apenas à geometria analítica. Constatou ainda, que o

MER e o PEP–FP, além de auxiliar nas atividades de formação inicial, contribuíram

também, para a reformulação do próprio MER, proporcionando a construção de uma

praxeologia para o ensino de cônicas. No entanto, ponderou que na formação inicial

as instituições não oferecem uma formação adequada que amplie os conhecimentos

de futuros professores para além do que aprenderam no ensino básico.

Nestas pesquisas houve um aumento de repertório a respeito de cônicas

pelos professores analisados. Todas utilizaram meios computacionais no

desenvolvimento das atividades, buscando complementar o que está posto

oficialmente. Bongiovanni (2001) e Silva (2011), por exemplo, corroboram com as

pesquisas que tiveram alunos como participantes, pela preocupação em se trabalhar

as cônicas em diferentes quadros e representações, de forma articulada, bem como

em estudá-las enquanto lugar geométrico. Já Benito (2019), evidenciou a importância

do ensino de cônicas em diferentes geometrias. Por outro lado, Bongiovanni (2001)

apresentou a importância em se trabalhar as cônicas pelos diferentes pontos de vista

em que foram tratadas ao longo da história e por suas diferentes definições e Sotili

55

(2014) salientou a necessidade de o professor ter uma cultura informática para

dinamizar suas intervenções em sala de aula.

Ante ao exposto, percebemos que as pesquisas que tiveram professores

como sujeitos evidenciaram os mesmos aspectos apontados pelas pesquisas que

analisaram o desempenho de alunos ressaltando, no entanto, a importância de

abordar as cônicas, considerando seu aspecto histórico, bem como suas diferentes

definições.

2.2.3 Pesquisas que construíram uma reflexão teórica

Na terceira categoria de análise, as pesquisas que construíram uma reflexão

teórica, consideramos aquelas em que não houve uma intervenção com professores

ou alunos, ou seja, que se pautaram e se constituíram em documentos. Assim,

abordamos nessa seção os trabalhos de Bordallo (2011) e de Siqueira (2016).

Bordallo (2011) fez um estudo histórico das cônicas, no âmbito da Matemática

escolar brasileira, no período compreendido entre 1892 e 2011, objetivando contribuir

para o estudo desse objeto, por meio de uma investigação que levantou as principais

transformações sofridas no que preconiza em relação ao ensino das cônicas nos

programas, nas leis e nos livros didáticos. Nestes documentos, a pesquisadora

analisou se as cônicas eram tratadas de forma fragmentada ou de forma unificada,

considerando que a apresentação fragmentada ocorre quando não houver qualquer

relação entre a elipse, a hipérbole e a parábola e unificada quando mostrar que essas

três curvas são estudadas de forma articulada.

A partir deste estudo, a autora apresentou, como resultado, que as cônicas

foram estudadas separadamente na Grécia antiga por meio da interseção entre um

plano com diferentes cones e foram unificadas por Apolônio, quando as tratou como

resultado da interseção de um plano e apenas um cone duplo. Mostrou ainda, que a

maneira, unificada, perdurou mesmo com a concepção da geometria analítica até o

surgimento dos trabalhos de La Hire, que as tratou de forma separada, por meio de

sua definição focal.

Para Bordallo (2011) houve também a tentativa de unificar o estudo das

cônicas, com base nos trabalhos de Dandelin, que hoje em dia, é feito de forma

56

compartimentada voltado, quase que restritamente, ao campo da geometria analítica

pela definição focal por influência de La Hire.

A partir de sua investigação, a autora pôde afirmar que o ensino de cônicas

deva ser feito de maneira articulada e propõe a utilização da definição que considere

o foco, a excentricidade e a diretriz, além da abordagem de Dandelin. Acrescenta que

a forma fragmentada não favorece a construção de significado para o aluno que

apenas decora o que lhe é passado, ao passo que a maneira unificada “resgata o

caráter de formação geral e cultural que o ensino médio deve ter e mostra um sentido

de estudar as cônicas aos alunos” (p. 2).

Já Siqueira (2016) teve por objetivo construir um estudo didático das cônicas,

voltada para o ensino básico, nos quadros da geometria sintética e geometria

analítica, por meio de uma pesquisa bibliográfica baseada nas noções de Quadros e

Jogos de Quadros de Règine Douady nos Registros de Representação Semiótica de

Duval e na noção de Pontos de Vista de Rogalski. Para tanto, o pesquisador fez um

estudo histórico das cônicas, para entender as diferentes maneiras como foram

tratadas ao longo do tempo, e um estudo de alguns documentos oficiais para

compreender as orientações dadas para o ensino desse conteúdo.

Como resultado, o autor ressaltou a importância de estudar as cônicas no

quadro da geometria sintética e de utilizar a definição de lugar geométrico como

auxiliar no desenvolvimento do raciocínio geométrico, tanto no quadro da geometria,

quanto no quadro da geometria analítica, bem como utilizar a definição via foco e

diretriz para propiciar um estudo das cônicas em coordenadas polares.

No Quadro da Geometria Sintética, Siqueira (2016) apresentou o ponto de

vista do corte entre o plano e o cone reto de duas folhas, o ponto de vista de lugar

geométrico e o ponto de vista da excentricidade, assim como uma articulação entre

eles, a partir do teorema de Dandelin, Quételet e Morton. Associado a ele apresentou

como registros de representação semiótica o registro material, figural, algébrico e o

registro figural dinâmico, por meio do software GeoGebra, além de possíveis

conversões e tratamentos, fundamentais nesse estudo.

Já no quadro da Geometria Analítica, o autor apresentou o ponto de vista

analítico em que fez uma mudança de quadro e de ponto de vista, transportando

elementos do estudo das cônicas, no quadro da geometria sintética, para um

57

referencial cartesiano. Apresentou as cônicas como casos particulares de uma

equação geral de segundo grau em duas variáveis nos registros de representação

semiótica, gráfico e algébrico. Acrescenta que a sinergia entre os quadros da

geometria sintética e da geometria analítica e os diferentes pontos de vista das

cônicas foi possível, uma vez que matematicamente os diferentes pontos de vista são

equivalentes.

Nestas pesquisas que tratam de reflexões teóricas a respeito de cônicas,

Bordallo (2011) preocupou-se com os aspectos históricos apresentando os

desdobramentos sofridos pelas cônicas desde a criação das escolas brasileiras até

os dias atuais e, além disso, ressaltou que o ensino deve tratar as cônicas de maneira

unificada a partir dos aspectos geométricos e analíticos. Já Siqueira (2016),

apresentou diferentes maneiras de ver este objeto matemático, por meio dos seus

diferentes pontos de vistas e representações semióticas, nos quadros da geometria

sintética e analítica organizando o conteúdo de cônicas para o ensino.

Estas três categorias evidenciam a importância da formação de professores,

tanto inicial, quanto continuada, pois algumas mostram dificuldades do professor

durante a formação que, de certa maneira, foram superadas. Essa importância fica

evidenciada nas pesquisas que tiveram alunos como sujeitos, porque ressaltam a

necessidade de o professor estar preparado para suas intervenções em sala de aula

e as que realizaram uma reflexão teórica também destacaram a necessidade de um

melhor ensino para esse objeto, além de uma revisão do currículo.

A partir desta revisão de literatura apontamos alguns resultados:

Verificamos em Lopes (2014) que professor de matemática possui restrições

quanto ao ensino de cônicas, uma vez que trabalha este objeto apenas na geometria

analítica e direciona o estudo para a manipulação de equações analíticas, quando

este conteúdo não é, simplesmente, ignorado. Além disso, muitas vezes o ensino de

cônicas é reduzido ao estudo da parábola que, por sua vez, é vista associada à noção

de função quadrática.

Percebemos nos trabalhos de Bongiovanni (2001), Macena (2007) e Bordallo

(2011) que há possíveis problemas na transposição didática, devido a pouca

importância dada às diferentes geometrias, em que as cônicas estão inseridas,

58

contrariando os desdobramentos que as cônicas tiveram ao longo dos séculos e que

acarretaram uma não compreensão deste objeto e de seus elementos característicos.

Observamos em Sotilli (2014) que o professor deve estar atento ao uso de

tecnologias para serem integradas nas práticas educativas e auxiliar na aprendizagem

dos estudantes.

Em todas as pesquisas estudadas nenhuma teve como foco ou objetivo fazer

uma reflexão acerca do currículo, embora algumas tenham apontado que as cônicas

são mais efetivamente estudadas apenas no terceiro ano do ensino médio, nenhuma

sugeriu seu ensino, na escola básica.

O ineditismo de nossa investigação, reside no fato de que utilizamos a Teoria

Antropológica do Didático, por meio de seus aspectos principais, diferenciando-se da

de Benito (2019), porque ampliamos seu Modelo Epistemológico de Referência, para

organizar nosso Modelo Didático de Referência em termos de Atividades de Estudo e

Investigação e não em Um Percurso de Estudo e de Pesquisa, propriamente dito.

Diferenciamos também de Bongiovanni (2001) uma vez que trouxemos para o corpo

desta tese a geometria do táxi e a geometria projetiva, não contempladas nessas duas

pesquisas. Neste sentido, apontamos os anos escolares em que essas atividades

podem ser inseridas a partir de uma mudança no currículo. Além disso, não fizemos

intervenções com professores ou alunos, mas preparamos um material que pode ser

usado, tanto em uma formação de professores, quanto para o ensino de estudantes.

No que segue apresentamos como as cônicas estão dispostas em alguns

documentos oficiais.

2.3 As Cônicas em Alguns Documentos Oficiais

Dentre os documentos que orientam as ações nas escolas brasileiras,

analisamos a Base Nacional Curricular Comum – BNCC (BRASIL, 2019), documento

oficial no momento e as Orientações Curriculares Nacionais para o Ensino Médio –

OCEM, (BRASIL, 2006), que estavam em vigor anteriormente. Para o estado de São

Paulo, o Currículo do Estado de São Paulo – CESP, (SÃO PAULO, 2020a) e os

cadernos dos professores deste estado (SÃO PAULO, 2020b), com o objetivo de

levantar e comparar os principais aspectos considerados para o ensino de cônicas,

59

ao longo da formação escolar do estudante, bem como as orientações para a

formação de professores.

As OCEM (BRASIL, 2006) consideram o estudo das cônicas como

complementares e orientam o professor a analisar a pertinência ou não de seu ensino.

Contudo, caso elas sejam objeto de estudo, sugerem que sejam tratadas por sua

definição de lugar geométrico, acompanhado de suas equações canônicas, por meio

de soluções de uma equação de segundo grau em duas variáveis e que considere os

sistemas de coordenadas cartesianas, polares e esféricas, bem como o estudo de

construções de curvas e superfícies para estimular um pensamento matemático

generalizador.

A partir da análise desse documento, percebemos que as cônicas não

recebem uma atenção por parte do ensino, mas caso o professor opte por considerá-

las, sugerem uma gama de possibilidades sem apresentar objetivos, justificativas nem

como devam ser trabalhadas o que torna ineficaz essa sugestão. Além disso, as

sugestões não trazem como de fato devam ser as articulações entre a parábola, a

elipse e a hipérbole dentro da matemática ou em outras áreas do conhecimento.

Atualmente nas escolas brasileiras, conforme consta na BNCC, (BRASIL,

2019), a pedagogia vigente é a pedagogia por competências, na qual a matemática

tem a finalidade de compreender as possíveis relações entre conceitos e

procedimentos em diferentes campos da matemática e de outras áreas do

conhecimento. Este documento é normativo com o objetivo de definir as

aprendizagens essenciais que todos os alunos devem desenvolver, ao longo de cada

etapa da educação básica, em conformidade com o que preconiza o Plano Nacional

de Educação – PNE: ensino infantil (1 ano e seis meses a 5 anos e 11 meses), ensino

fundamental (6 a 14 anos) e ensino médio (15 a 17 anos).

A BNCC preconiza um estudo de geometria que envolva um conjunto de

conceitos e procedimentos importantes para a solução de problemas físicos em

diferentes campos que podem contribuir para desenvolver o pensamento geométrico

dos estudantes. Neste sentido, recomenda que:

Esse pensamento é necessário para investigar propriedades, fazer conjecturas e produzir argumentos geométricos convincentes. É importante, também, considerar o aspecto funcional que deve estar presente no estudo da Geometria: as transformações geométricas, sobretudo as simetrias. As ideias matemáticas fundamentais associadas a essa temática são,

60

principalmente, construção, representação e interdependência. (BRASIL, 2019, p. 271)

Nos anos finais do ensino fundamental, a BNCC (BRASIL, 2019) destaca a

aproximação entre álgebra e geometria, com o estudo do plano cartesiano, por

intermédio de atividades que envolvam coordenadas, salientando que o estudo da

geometria não deve ser restrito à mera aplicação de fórmulas.

No 7º Ano inclusive, orienta que os alunos sejam levados a estudar geometria,

utilizando diferentes ferramentas do desenho geométrico e computacionais, as quais

são úteis para construir circunferências e reconhecê-las como lugar geométrico, o que

a nosso entender propicia um estudo das cônicas já no ensino fundamental a partir

das séries seguintes. Outro tema, que poderá auxiliar a introdução das cônicas no

ensino fundamental, é a abordagem das simetrias de rotação, translação e reflexão

contempladas neste documento.

No 8º Ano, a BNCC (BRASIL, 2019) preconiza que os alunos estudem na

geometria a mediatriz e a bissetriz como lugares geométricos e no 9º Ano, orienta que

sejam estudadas equações do segundo grau por meio da fatoração, além dos

conteúdos que envolvem funções em diferentes representações: numérica, algébrica

e gráfica.

Já, no ensino médio, a BNCC tem um caráter mais geral e reforça o que é

salientado para o ensino fundamental, orientando ser importante a compreensão e a

utilização dos registros de representação semiótica para o aprendizado do aluno.

Neste sentido, afirma que uma das competências a ser desenvolvidas é a de:

Compreender e utilizar, com flexibilidade e fluidez, diferentes registros de representação matemáticos (algébrico, geométrico, estatístico, computacional etc.), na busca de solução e comunicação de resultados de problemas, de modo a favorecer a construção e o desenvolvimento do raciocínio matemático (BRASIL, 2019, p. 533).

Os autores se apoiam na Teoria dos Registros de Representação Semiótica

de Duval para afirmarem que os estudantes devem estar preparados para escolher

judiciosamente as representações mais convenientes para serem mobilizadas na

solução de um problema, de modo que tenham condições de fazer uma mudança de

registro e explorar outros aspectos da situação que o registro de partida não permitia

investigar. Neste sentido, afirmam ser fundamentais para a aprendizagem um estudo

que agregue uma diversidade de registros de representação semiótica.

61

Quanto ao ensino de cônicas, este documento não as apresenta

explicitamente, nem mesmo a parábola que geralmente é a mais vista, mas afirma

que outras temáticas, que não são contempladas na BNCC (BRASIL, 2019), podem

ser organizadas, sugerindo, no entanto, que se preservem as ideias básicas deste

documento.

No currículo paulista CESP (SÃO PAULO, 2020a) são sugeridas as mesmas

orientações apresentadas na BNCC (BRASIL, 2019), no entanto, um exemplo de

temática que não está disposta explicitamente, mas que foi contemplada no Caderno

do Professor do Estado de São Paulo – CESP (SÃO PAULO, 2020b, p.4), em versão

preliminar, é o conteúdo de cônicas: noções, equações e aplicações. De acordo com

este documento a habilidade a ser aprendida é “saber identificar as equações das

circunferências e das cônicas na forma reduzida e conhecer as propriedades

características das cônicas”.

Embora seja parte integrante do caderno do professor, não foram

apresentadas aplicações das cônicas. Outra constatação, é que as cônicas são

estudadas enquanto objetos, porém ainda são fortemente associadas à noção de

função, ou seja, continuam com a abordagem de cônicas do CESP (SÃO PAULO,

2011, 2014) que trabalhamos até à homologação da BNCC (BRASIL, 2019).

Segundo o CESP (SÃO PAULO, 2020a), o aluno poderá se apropriar da

noção de função, analisando a natureza da interdependência entre duas grandezas,

proporcionais, inversamente proporcionais ou não proporcionais, para iniciar o estudo

de funções afins e quadráticas, em que os estudantes são levados a expressar a

variação das grandezas por diferentes representações, além de serem conduzidos a

passarem de uma representação à outra.

Desta forma no 9º Ano, a parábola e a hipérbole são estudadas a partir da

noção de função, apenas como um dos exemplos das diferentes funções que podem

ser estudadas. Contudo, não são relacionadas às cônicas. Neste ano escolar, mais

especificamente no segundo bimestre, o conteúdo de matemática é dividido em três

componentes: nos fundamentos de função, na variação e nas construções de gráficos

e de tabelas representativas de funções polinomiais de primeiro e de segundo grau.

No primeiro ano do ensino médio, as noções de funções estudadas no ano

anterior são aprofundadas, porém sem qualquer relação com as cônicas. Neste ano,

62

são apresentados os conteúdos: relação entre duas grandezas, proporcionalidade

direta, inversa e direta com o quadrado e funções polinomiais de 1° e 2° graus em que

os estudantes devem aprender as habilidades:

Saber reconhecer relações de proporcionalidade direta, inversa, direta com o quadrado, entre outras, representando as por meio de funções. Compreender a construção do gráfico de funções de 1º grau, sabendo caracterizar o crescimento, o decrescimento e a taxa de variação. Compreender a construção do gráfico de funções de 2º grau como expressões de proporcionalidade entre uma grandeza e o quadrado de outra, sabendo caracterizar os intervalos de crescimento e decrescimento, os sinais da função e os valores extremos (pontos de máximo ou de mínimo). Saber utilizar em diferentes contextos as funções de 1º e de 2º graus, explorando especialmente problemas de máximos e mínimos (SÃO PAULO, 2020a, p.4).

No segundo ano do ensino médio, as cônicas não são estudadas, mas no

terceiro ano, a parábola, a elipse e a hipérbole são vistas, no primeiro bimestre, por

meio de um conteúdo que envolve funções, equações e aplicações destes

conhecimentos. Neste contexto, os estudantes são levados a saber identificar as

equações representativas das circunferências e das cônicas na forma reduzida, bem

como conhecer suas propriedades características. Além disso, são apresentadas as

cônicas pelo corte do cone pelo plano e as relações de lugar geométrico dentro da

geometria sintética.

Orienta ainda, que o estudo das cônicas por meio de suas equações mais

gerais, pode ser adiado para o segundo semestre, em que serão aprofundados os

estudos de funções. Desta forma, apresentamos no quadro 2 como as cônicas estão

inseridas em alguns documentos oficiais.

Quadro 2 – Cônicas em alguns documentos oficiais

OCEM BRASIL (2006)

BNCC (2019) CESP

(SÃO PAULO, 2020a)

Caderno do Professor (SÃO PAULO, 2020b)

Consideram o estudo das cônicas como complementares e orientam o professor a analisar a pertinência ou não de seu ensino.

Não apresenta as cônicas de forma explicita, mas deixa aberta a possibilidade de outros objetos matemáticos fazerem parte do conjunto de conteúdos destinados ao ensino desde que sejam preservadas as ideias básicas deste documento.

Segue as mesmas orientações da BNCC (2019).

As cônicas são objetos de ensino e apresentadas da mesma maneira como foram apresentadas nos documentos CESP (2011) e São Paulo (2014).

Orienta que as cônicas sejam estudadas na geometria analítica, a partir da geometria sintética com os cortes no cone e as relações de lugar geométrico.

63

9º Ano, a parábola e a hipérbole são estudadas a partir da noção de função;

No 1º Ano do ensino médio, as noções estudadas no ano anterior são aprofundadas;

3º Ano do ensino médio:

- Cortes no cone;

- Relações de lugar geométrico na geometria sintética;

- Equações reduzidas.


A partir desse quadro e considerando o estado de São Paulo podemos ver

que as cônicas já eram objetos de estudo no 9º ano do ensino fundamental e no 3º

ano do ensino médio e continuam sendo, ainda que em Brasil (2006) elas fossem

consideradas complementares e a cargo do professor o seu ensino. A BNCC (2019),

assim como Brasil (2006), também não traz de forma essencial o ensino de cônicas,

mas abre a possibilidade para que esses objetos façam parte do ensino desde que

preservem as ideias básicas do documento.

Assim, diante do que apresentamos, em relação ao referencial teórico

adotado, dos apontamentos feitos na revisão de literatura e de entendermos como as

cônicas estão dispostas em alguns documentos oficiais, passamos a apresentar

nossas justificativas bem como a delimitação do problema para pesquisa.

2.4 Justificativa da Pesquisa e Delimitação do Problema

O estudo de alguns documentos oficiais permitiu entender as sugestões para

o ensino de cônicas na escola básica e a revisão de literatura, de trabalhos que

tiveram as cônicas como tema, possibilitaram compreender o foco para o ensino e

para a aprendizagem.

Nestes documentos, percebemos que as cônicas não têm sido consideradas

como conteúdos essenciais, pois são tratadas como complementares cabendo ao

professor avaliar a pertinência ou não de seu ensino ou ainda, podem integrar o

conjunto de conteúdos que fazem parte do ensino desde que mantenha as ideias

básicas da BNCC (BRASIL, 2019).

64

Um exemplo deste fato são as cônicas que não aparecem de forma explícita

no currículo paulista CESP (SÃO PAULO, 2020a), que foi construído considerando a

BNCC (2019), mas que fazem parte do caderno do professor São Paulo (2020b) sendo

apresentadas no 9º ano do ensino fundamental e 1º ano do ensino médio atrelada ao

objeto função e mais efetivamente no 3º ano do ensino médio pelos cortes do cone

pelo plano, pelas relações do lugar geométrico e pelas equações reduzidas das

cônicas.

Para o ensino fundamental a BNCC (BRASIL, 2019) sugere que se estude no

7º ano a unidade temática Geometria, noções de plano cartesiano em que os alunos

são levados a estudar (p.307) “transformações geométricas de polígonos no plano

cartesiano: multiplicação das coordenadas por um número inteiro e obtenção de

simétricos em relação aos eixos e à origem”, com o auxílio de algum software de

geometria dinâmica. Além disso, é sugerido também que se estude a circunferência

como lugar geométrico, por meio das habilidades (IBID., p. 309) “construir

circunferências, utilizando compasso, reconhecê-las como lugar geométrico e utilizá-

las para fazer composições artísticas e resolver problemas que envolvam objetos

equidistantes”.

No 8º ano os alunos são levados a estudar a bissetriz e a mediatriz como

lugares geométricos tanto para a construção quanto para resolução de problemas, por

meio da habilidade (p. 315) “aplicar os conceitos de mediatriz e bissetriz como lugares

geométricos na resolução de problemas”. Portanto, pensamos que nos anos finais do

ensino fundamental já é possível tratar às cônicas enquanto lugar geométrico, pois

são esses conhecimentos que devem ser mobilizados.

Ressaltamos que além desses conhecimentos, no 2º ano do ensino médio o

aluno se familiariza com o conteúdo de matrizes e determinantes, de modo que

podemos utilizar também conhecimentos de álgebra linear para identificar o tipo de

cônica que está sendo analisada, relacionando a geometria analítica com a técnica de

diagonalização de matrizes.

Em São Paulo (2020b, p. 38), por exemplo, são estudados matrizes,

determinantes e sistemas lineares por meio do desenvolvimento das habilidades:

Compreender o significado das matrizes e das operações entre elas na representação de tabelas e de transformações geométricas no plano; saber expressar, por meio de matrizes, situações relativas a fenômenos físicos ou geométricos (imagens digitais, pixels etc.); saber resolver e discutir sistemas

65

de equações lineares pelo método de escalonamento de matrizes; reconhecer situações-problema que envolvam sistemas de equações lineares (até 4ª ordem), sabendo equacioná-los e resolvê-los.

Com isso, acreditamos que um estudo de matrizes no 2º ano do ensino médio

permite ao aluno compreender as cônicas na geometria linear, e assim, podemos

propor este conteúdo nesta etapa de ensino.

Nos trabalhos analisados, em nossa revisão de literatura, percebemos o

tratamento dispensado às cônicas por parte de instituições, por parte de autores de

livros didáticos, por parte de professores e por parte de pesquisas. Neste sentido,

dividimos em três categorias de análise as pesquisas que tiveram professores como

sujeitos, as pesquisas que tiveram alunos como sujeitos e as pesquisas consideradas

como reflexões teóricas.

A partir daí verificamos que Lopes (2014) alertou que se destinam pouco

tempo para tratar as cônicas no 3º ano do ensino médio, conduzindo os alunos para

um estudo que privilegie a manipulação das equações analíticas. Lopes (2011),

também evidenciou essa preocupação, pois afirmou que os livros didáticos priorizam

um estudo das cônicas na geometria analítica, sem qualquer menção às cônicas na

geometria.

Verificamos também, na revisão de literatura, que algumas pesquisas, como

a de Lima (1999), que salientou a importância de trabalhar este conteúdo em

diferentes quadros, criando situações em que os alunos foram levados a mudar de

quadro para conseguirem dar prosseguimento na resolução das situações propostas.

Neste sentido, sugeriu que o jogo de quadros tem que se fazer necessário em livros

didáticos para que o aluno se familiarize com diferentes registros de representação

semiótica, para ser capaz de explorar o problema em seus diferentes aspectos.

Em todas as pesquisas estudadas se fizeram presentes articulações em

diferentes quadros da matemática, sobretudo entre os quadros da geometria sintética

e da geometria analítica, mas verificamos também pesquisas como a de Lima (1999)

que relacionou o quadro algébrico com o quadro geométrico e a de Macena (2007)

que além desses, sugeriu que o professor precisa conhecer a história do objeto de

investigação e não valorize as memorizações de equações desprovidas de

significado, aproximando-se de Goulart (2009, p.30) quando afirmou ser necessário

valorizar a investigação e a explicação que:

66

Leva a compreensão da geometria analítica como conhecimento que cria competências para: interpretar e fazer uso dos modelos, para a resolução de problemas geométricos; reconhecer que a uma mesma situação pode ser tratada com diferentes instrumentos matemático, de acordo com suas características; associar situações e problemas geométricos as suas correspondentes formas algébricas e representações gráficas e vice-versa; construir uma visão sistemática das diferentes linguagens e campos de estudos da matemática, estabelecendo conexões entre eles.

Esta citação vai ao encontro do trabalho de Siqueira (2016) que buscou fazer

um estudo didático das cônicas nos quadros da geometria e da geometria analítica,

identificando os registros de representação semiótica fundamentais em cada quadro,

os pontos de vista associados e as possíveis articulações que podem ser

estabelecidas entre eles, considerando suas diferentes perspectivas.

Corrobora também, com o trabalho de Bongiovanni (2001) que apresentou um

estudo histórico das diferentes caracterizações das cônicas com o objetivo de

implementar uma multiplicidade de conhecimentos geométricos pelos professores,

além de mostrar, para o caso da geometria descritiva, que a introdução do software

Cabrí Géomètre, em suas intervenções no estudo das caracterizações das cônicas,

promoveu uma articulação entre plano e espaço.

Com base na análise de alguns documentos oficiais e da revisão de literatura,

percebemos a necessidade de realizar esta pesquisa, pois parece haver um consenso

que aponta ser importante trabalhar as cônicas enquanto lugar geométrico e a

considerar as diferentes geometrias de modo a promover articulações entre elas.

Ponderamos que a não articulação entre os diferentes quadros, em que as

cônicas estão inseridas, apontada pelas pesquisas não se deva exclusivamente à má

formação inicial do professor ou aos materiais fornecidos pela escola, para servirem

de apoio às aulas desses profissionais. Conjecturamos que faltam elementos que

auxiliem este professor a concatenar os saberes de cônicas estudados em sua

formação, com os saberes que precisam ser desenvolvidos em sala de aula, em seus

diferentes aspectos, de modo a tornar o ensino verdadeiramente efetivo.

De modo geral, os documentos que versam a respeito das cônicas apontam

problemas no ensino deste objeto de diferentes naturezas, seja matemática ou

didática, devendo, portanto, ser observado com mais atenção por todos aqueles

preocupados com sua compreensão bem como a disseminação deste conhecimento.

67

Além das cônicas ser um dos objetos matemáticos mais antigos a ser

estudados e apreciadas, ao logo dos tempos, em diferentes geometrias, suas

propriedades estão por traz de diferentes construções e aplicações contemporâneas,

como nas construções civis, na confecção de espelhos, telescópios, faróis, antenas,

aparelhos hospitalares, radares, sistemas de navegação e estão presentes também

em diversas áreas do conhecimento humano. Neste sentido, contrapondo à

pedagogia dominante relativa à visita às obras, em que o conteúdo está pronto, é

importante desenvolver uma investigação que vá ao encontro do que preconiza a

Teoria Antropológica do Didático a respeito do paradigma de questionamento do

mundo, em que os envolvidos são levados a questionar, avaliar, validar hipóteses e a

desenvolver caminhos para a compreensão de um conteúdo matemático.

Assim sendo, as cônicas devem ser estudadas não apenas por matemáticos,

físicos, engenheiros ou em outras áreas, mas por qualquer pessoa, uma vez que esse

conhecimento está associado à compreensão de mundo que devemos ter de maneira

crítica.

Dessa forma, nos propusemos realizar esta pesquisa para construir um

Modelo Didático de Referência, baseado em Atividades de Estudo e Investigação das

cônicas na escola básica que considere as diferentes perspectivas históricas deste

objeto, à luz da matemática necessária para o seu ensino, calcados na elaboração de

um Modelo Epistemológico de Referência.

A partir do estudo realizado até aqui, delimitamos nosso problema de

pesquisa, decidindo realizar este trabalho também como consequência de nossa

pesquisa de mestrado acadêmico, Siqueira (2016), para explorar outros aspectos

relevantes de modo a complementá-la, não como uma receita de como ensinar, mas

contribuir para o ensino e para a aprendizagem deste tema e possibilitar compreender

outros pontos importantes que permita uma mudança significativa nas práticas

escolares.

Desta forma, nosso objetivo geral é identificar quais contribuições podem

emergir do estudo das três dimensões do problema didático e contribuir para a

construção de um Modelo Didático de Referência associado ao desenvolvimento de

Atividades de Estudo e Investigação voltados ao ensino e à aprendizagem das cônicas

na escola básica.

68

Ante ao exposto, construímos um estudo que permita alcançar nossos

objetivos específicos que são:

a) Identificar os saberes e as razões de ser que propiciaram o

desenvolvimento das cônicas;

b) Construir um Modelo Epistemológico de Referência das cônicas para o

ensino básico, envolvendo a geometria sintética, a geometria projetiva,

geometria analítica, geometria linear e a geometria do táxi, em termos

praxeológicos;

c) Identificar o Modelo Dominante no ensino de cônicas na escola básica,

bem como apontar suas limitações e restrições no que tange às

possíveis articulações que podem ser estabelecidas dentro e fora da

matemática;

d) Desenvolver uma cadeia alimentar, no sentido da TAD, que apresente

os conhecimentos necessários para o estudo das cônicas, as

diferentes maneiras de ver este objeto, bem como os objetos que são

alimentados por elas;

e) Construir um Modelo Didático de Referência, baseado em Atividades

de Estudo e Investigação, que envolva estas diferentes geometrias e

suas articulações, com potencial para construir ou reconstruir

conhecimentos necessários voltados ao ensino e à aprendizagem das

cônicas que abarquem o 9º ano do ensino fundamental e o ensino

médio.

Na medida em que nossos objetivos específicos forem atingidos

alcançaremos nosso objetivo geral e responderemos nossa questão de pesquisa:

quais contribuições podem emergir do estudo das três dimensões do problema

didático para a construção de um Modelo Didático de Referência que apoie o

desenvolvimento de Atividades de Estudo e Investigação voltadas ao ensino de

cônicas na escola básica?

Assim, com o intuito de responder este questionamento e atingir os objetivos

pretendidos, apresentamos na próxima seção a metodologia de pesquisa e os

procedimentos metodológicos que nortearão esta pesquisa.

69

2.5 Metodologia da Pesquisa e Procedimentos metodológicos

Considerando a natureza desta pesquisa, em que apontamos algumas

reflexões acerca do ensino e da aprendizagem de cônicas na escola básica, com base

na Teoria Antropológica do Didático e alicerçada no estudo de alguns documentos

oficiais, de livros didáticos do PNLD em vigor até 2020, mas que ainda foram

distribuídos em 2021 até a implementação do novo ensino médio, e de propostas

curriculares, tanto nacionais quanto do estado de São Paulo, afirmamos que esta tese

representa uma pesquisa documental no sentido de Gil (2008).

Nesta perspectiva, buscamos aprimorar ideias, pois consideramos os mais

variados aspectos relativos ao nosso tema de estudo. Para o autor, uma pesquisa

documental se apoia em materiais que ainda não receberam um tratamento analítico,

como documentos em primeira mão, ou que ainda podem ser reelaborados de acordo

com os objetivos da pesquisa.

Para Gil (2008), uma pesquisa documental apresenta vantagens ao considerar

documentos como fontes ricas de informação estáveis ao longo do tempo, pelo baixo

custo para sua realização, por não exigir contatos com sujeitos, que muitas vezes é

difícil de ser realizado. As desvantagens referem – se à não representatividade e à

subjetividade dos documentos. Contudo, segundo o autor a primeira dificuldade pode

ser superada se considerarmos uma grande quantidade de documentos com algum

critério de aleatoriedade o que garante a representatividade. Já para a segunda, e

mais crítica é necessário considerar as diversas implicações encontradas nos

documentos para poder elaborar uma conclusão definitiva, ou que não responda

completamente um problema, mas que proporcione um melhor entendimento sobre

ele, mas contribui para a elaboração de hipóteses que poderão ser verificadas por

outros caminhos.

Com base nessa metodologia de pesquisa, utilizamos fontes das mais variadas

e tomamos por procedimentos metodológicos, a fim de construir as atividades

voltadas para a escola básica, um estudo das três dimensões do problema didático

para as cônicas.

Na dimensão epistemológica, utilizamos várias fontes históricas, para verificar

as diferentes maneiras com que as cônicas foram tratadas ao longo dos séculos que

70

culminou com a identificação de praxeologias associadas à diferentes geometrias que

permitiu a construção do nosso MER.

Na dimensão econômico-institucional, utilizamos como fonte documentos

oficiais que orientam o ensino desse conteúdo e livros didáticos para estudar como as

cônicas foram tratadas no ensino brasileiro desde as primeiras escolas, por meio dos

diferentes currículos que se sucederam, até os dias atuais para verificar o modelo

dominante no ensino deste objeto, além de suas restrições e fragilidades com

referência ao MER construído.

Na dimensão ecológica, verificamos a sobrevivência deste conteúdo, enquanto

objeto de ensino, apoiado no estudo das dimensões anteriores para apresentar em

termos ecológicos, os objetos matemáticos que alimentam as cônicas e os objetos

matemáticos que são alimentados por elas.

A partir da construção do MER e dos resultados obtidos pelo estudo das três

dimensões do problema didático, construímos um Modelo Didático de Referência, por

meio de Atividades de Estudo e Pesquisa, para inserir as cônicas ao longo da

educação básica e servir como base tanto para ensinar alunos do 9º ano do ensino

fundamental e dos três anos do ensino médio, quanto para uma formação de

professores. Estas atividades se darão por meio de questões geradores que

permitirão um estudo das cônicas a partir de um percurso de perguntas e respostas

em que os envolvidos são impelidos a refletir, questionar o mundo que os cerca,

elaborar hipóteses e validá-las ou não.

Tendo em vista os procedimentos metodológicos adotados, passamos a

discorrer a respeito do estudo das dimensões, epistemológica, econômico –

institucional e ecológica.

71

3 O PROBLEMA DIDÁTICO PARA O ENSINO DE CÔNICAS

Neste capítulo apresentamos um estudo das três dimensões do problema

didático, dimensão epistemológica, econômico – institucional e ecológica, em que

construímos um Modelo Epistemológico de Referência que nos dará subsídios para

construir um Modelo Didático de Referência associado a Atividades de Estudo e

Investigação para a escola básica.

3.1 A Dimensão Epistemológica – P1

A dimensão epistemológica, segundo Gascón (2011), é nuclear e impregna e

condiciona fortemente as dimensões econômico – institucional e ecológica. Para o

autor, quando esta dimensão é posta em primeiro plano, há um empenho em explicitar

um MER que gera questões relacionadas à maneira de interpretar e descrever os

conhecimentos matemáticos e apresenta algumas delas:

a) O que é conhecimento matemático? Ou seja, como o conhecimento matemático é interpretado e como é descrito? Quais são seus componentes e como estão estruturados?

b) Como o conhecimento matemático (modelo epistemológico geral) e cada uma das áreas de atividade matemática (modelos epistemológicos específicos) podem ser modelados a partir da posição do didata?

c) Qual a sua razão de ser? Ou seja, quais são as questões matemáticas ou extra matemáticas às quais cada uma das áreas de atividade matemática responde?

d) O que significa fazer matemática e adquirir, comunicar, aprender, ensinar ou aplicar conhecimentos matemáticos?

e) Como o conhecimento matemático é gerado e desenvolvido? Como são transformados pela emigração entre as diferentes instituições?

f) Qual é a faixa de escopo matemático mais apropriada para apresentar um problema didático específico? (GASCÓN, 2011, p.210, tradução nossa)14:

14a) ¿Qué es el conocimiento matemático? Esto es, ¿cómo se interpreta y cómo se describe el conocimiento matemático? ¿Cuáles son sus componentes y cómo se estructuran? b) ¿Cómo pueden modelizarse, desde la posición del didacta, los conocimientos matemáticos (modelo epistemológico general) y cada uno de los ámbitos de la actividad matemática (modelos epistemológicos específicos)? c) ¿cuál es su razón de ser? Esto es, ¿cuáles son las cuestiones matemáticas o extra-matemáticas a las que responde cada uno de los ámbitos de la actividad matemática? d) ¿Qué se entiende por hacer matemáticas y por adquirir, comunicar, aprender, enseñar o aplicar los conocimientos matemáticos? e) ¿Cómo se generan y cómo se desarrollan los conocimientos matemáticos? ¿cómo se transforman al emigrar entre las diferentes instituciones? f) Cuál es la amplitud del ámbito matemático más adecuada para plantear un problema didáctico determinado?

72

Considerando a dimensão epistemológica do problema didático, de acordo com

Gascón (2011) é necessário construir um MER, preferencialmente explícito,

relacionado à atividade matemática em jogo, com alcance local ou regional que se

formula em termos de praxeologias, considerando a TAD. Dessa forma, formulamos

as seguintes questões, que julgamos adequadas ao nosso objeto de estudo são: 𝑞11O

que é cônica? Como se descrevem e interpretam as cônicas? Quais são os tipos de

cônicas e como se estudam? 𝑞12 Qual a Razão de ser das cônicas na instituição

matemática, ou seja, quais questões matemáticas ou extra matemáticas a que as

cônicas respondem? 𝑞13 O que se entende por estudar, aprender, ensinar ou aplicar

as cônicas? Para responder essas questões e construir nosso MER realizamos um

estudo histórico, que apresentamos na sequência, em que procuramos identificar as

razões de ser das cônicas e tipos de tarefa que serão a base das praxeologias de tal

MER.

3.1.1 Um Estudo Histórico da Gênese e Desenvolvimento da Cônicas

Verificamos que as cônicas estão entre os objetos matemáticos mais antigos e,

ao que tudo indica, remonta desde a Grécia antiga pelas contribuições de Menecmo,

Arquimedes e Aristeu a partir do século IV a.E.C. No entanto, de acordo com Eves

(2011) os trabalhos de Apolônio, composto por aproximadamente 400 proposições

distribuídas em 8 livros, superaram os trabalhos de seus antecessores. Além disso,

as cônicas foram revisitadas para dar soluções a problemas e para estudar as

diferentes geometrias que foram desenvolvidas ao longo da história.

Dentre diversos problemas matemáticos, difundidos antes de Euclides, consta

o problema da duplicação do cubo que, de acordo com Carvalho (2008), foi elaborado

em meio à duas lendas. A primeira faz referência a Minos que mandou fazer o túmulo

de Glauco em formato cúbico e, ao perceber que suas dimensões eram pequenas,

pediu que dobrasse seu tamanho dobrando as medidas de suas arestas. A segunda

faz referência ao oráculo de Apolo que em meio a uma epidemia, para resolver o

problema, sugeriu que o altar de Apolo, em Delos, em formato de cubo, fosse

duplicado. Contudo os atenienses duplicaram as medidas das arestas, produzindo um

volume 8 vezes maior e não o dobro como tinha proposto o Oráculo. Este problema

passou a ser conhecido como problema Delineano em homenagem àquela região.

73

Para o autor, a maioria das tentativas de duplicação do cubo veio da busca em

inserir meias proporcionais entre duas grandezas. Como exemplo, Sócrates, no

diálogo de Platão, em que uma dialética de perguntas e respostas possibilitou a um

escravo encontrar um quadrado duas vezes maior do que outro quadrado dado.

Este problema pode ser resolvido com régua não graduada e compasso em

que o quadrado de lado igual a diagonal do quadrado dado seria a solução pretendida,

figura 1.

Figura 1 – Duplicação do Quadrado

Fonte: produção do autor

De fato, em termos atuais, como a diagonal do quadrado dado tem medida

𝐷𝐵 = √2𝐴𝐵, conclui-se que 𝐷𝐵2 = 2 𝐴𝐵2, mostrando que a área do quadrado de lado

𝐷𝐵 é duas vezes maior do que a do quadrado de lado 𝐴𝐵.

Segundo Carvalho (2008), por meio deste exemplo, podemos fazer a relação

𝐴𝐵

𝐷𝐵=

𝐷𝐵

2𝐴𝐵 em que 𝐷𝐵 é a meia proporcional entre as duas grandezas 𝐴𝐵 e 2𝐴𝐵, que

representam as áreas do quadrado menor e maior, respectivamente. Portanto, neste

sentido, a meia proporcional é √2.

O uso das meias proporcionais, para resolver problemas geométricos era

conhecido dos geômetras da Grécia antiga. Já a definição de igualdade de duas

razões, de acordo com Bongiovanni (2005) é creditada a Eudoxo, em que utilizou

apenas números positivos e evitou discutir a natureza dos números irracionais.

Posteriormente, segundo o autor, essa discussão propiciou a concepção dos números

reais.

Para o caso da duplicação do cubo, por se tratar de uma figura espacial,

segundo Carvalho (2008), Hipócrates de Quios apresentou uma solução reduzindo o

74

problema ao de encontrar duas meias proporcionais. Como, por exemplo, adotamos

as meias proporcionais 𝑏 e 𝑐 entre as grandezas 𝑎 e 𝑑, que nesta época seriam

representadas por 𝑎: 𝑏 ∷ 𝑏: 𝑐 ∷ 𝑐: 𝑑, mas que em notação atual passa a ser reescrita

por 𝑎

𝑏=

𝑏

𝑐=

𝑐

𝑑.

Para duplicar o cubo devemos considerar 𝑎 = 1 e 𝑑 = 2 e reescrever a relação

anterior como sendo 1

𝑏=

𝑏

𝑐=

𝑐

2. Assim, podemos obter que 𝑏2 = 𝑐 e que 𝑏3 = 𝑏𝑐. Além

disso, extraímos que 𝑏𝑐 = 2 de modo que encontramos a medida da aresta do cubo

𝑏3 = 2, resultado este, que diferentemente do caso da duplicação do quadrado, não

pode ser obtido com régua e compasso. De acordo com o autor, houve várias soluções

para a duplicação do cubo envolvendo meias proporcionais, de forma que apresentou

7 maneiras diferentes, porém, no entanto, lançando mão de ferramentas matemáticas

atuais.

A utilização da matemática atual também ocorre em diversos trabalhos que

afirmaram que Menecmo apresentou uma solução para o problema da duplicação do

cubo utilizando as meias proporcionais em que os conhecimentos sobre razão e

proporção, da época, permitiram concluir que o ponto que satisfaz a solução é a

interseção entre duas cônicas. Em Eves (2011), por exemplo, há indícios de que

Menecmo utilizou duas parábolas, com vértice comum, de tal maneira que a medida

do latus rectum de uma fosse o dobro da medida do latus rectum outra e que seus

eixos estivessem perpendiculares entre si de forma que a intersecção entre elas

fornecesse a medida do cubo que produziria o dobro do volume do cubo original.

Outra possibilidade seria utilizar, em linguagem atual, uma parábola de

equação 𝑦2 = 𝑏𝑥 e uma hipérbole de equação 𝑥𝑦 = 𝑎𝑏, considerando o contexto da

geometria analítica, tomando os segmentos de medidas 𝑎 e 𝑏 com o objetivo de

encontrar as medidas 𝑥 e 𝑦 de tal forma que 𝑎

𝑥=

𝑥

𝑦=

𝑦

𝑏. Para o caso particular em que

𝑏 = 2𝑎, obtém-se 𝑥3 = 2𝑎3 em que 𝑥 representa a medida da aresta do cubo que tem

volume igual ao dobro do volume do cubo inicial de aresta medindo 𝑎. Assim, pela

dificuldade de acesso à matemática da época, pensamos em tratar esse problema na

75

geometria analítica pelo tipo de tarefa 𝑻𝑮𝑨𝟏15: Duplicar o volume de um cubo por

meio de cônicas.

Segundo Bongiovanni (2001), o pioneirismo de Menecmo, ao introduzir a curva

hoje denominada parábola, pode ser que venha de autores que atribuíram a ele essa

primazia, tal como Erastótenes, Proclus e Eutocius. Acrescenta que Menecmo,

possivelmente, fez uma associação da parábola como resultado de uma interseção

de um cone circular reto com um plano ortogonal à geratriz do cone, denominando

“seção de um cone reto retângulo” ou “orthotome” (p. 29). Para o autor, ainda que não

haja conhecimento sobre a elipse em outros textos, Erastóstenes se referia às cônicas

como Tríade menechmiana.

Outro matemático, destacado no desenvolvimento das cônicas, foi Arquimedes,

um dos mais conhecidos no período pós-euclidiano que, de acordo com Roque (2012),

escreveu livros estruturalmente diferentes dos de Euclides utilizando métodos

distintos dos padrões euclidianos para construções pelo uso restrito de régua e

compasso. Segundo a autora, no contexto da Grécia antiga a resolução de problemas

geométricos envolvia sempre uma construção em que era necessário o uso de régua

e compasso ou de métodos que usavam cônicas, ou ainda, pelo uso de curvas

mecânicas. Para a autora por meio dos dois últimos métodos “foram resolvidos alguns

problemas clássicos da geometria grega, como a quadratura do círculo, a duplicação

do cubo e a trissecção do ângulo” (p. 122).

De acordo com Eves (2011), dos trabalhos remanescentes de Arquimedes três

se destacam, a medida do círculo, a quadratura da parábola e o trabalho sobre

espirais. No trabalho a respeito da quadratura da parábola, construído de 24

proposições, “mostra-se que a área de um segmento parabólico é quatro terços da

área do triângulo inscrito de mesma base e de vértice no ponto onde a tangente é

paralela a base” (p.194).

Como exemplo apresentamos a figura 2 onde podemos ver que há um

segmento parabólico passa pelos pontos 𝐴, 𝑃 e 𝐵, que são vértices de um triângulo

que está inscrito na figura delimitada por 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ (enunciado por Arquimedes como base

15 Denominamos por 𝑇 o tipo de tarefa e por 𝑡 ∈ 𝑇 as tarefas pertinentes de cada tipo. Além disso,

utilizamos os subíndices 𝐺𝑆, 𝐺𝐴, 𝐺𝐿, 𝐺𝑇 e 𝐺𝑃 quando referimos à geometria sintética, geometria analítica, geometria linear, geometria do taxi e geometria projetiva, respectivamente.

76

do segmento parabólico) e pelo segmento parabólico, que é tangenciado por uma reta

no ponto 𝑃, paralela à 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ .

Figura 2 – Quadratura da parábola


De acordo com Bongiovanni (2001, p. 38) Arquimedes concebeu as cônicas

como interseções de cones de revolução de diferentes ângulos de abertura por planos

perpendiculares à geratriz. No sentido de Arquimedes, os cones podem ser

classificados como retângulo quando o ângulo formado por uma geratriz e sua

simétrica em relação ao eixo de simetria do cone for reto (Figura 3). Além disso, é

necessário que estejam contidas em um plano denominados aqui por 𝜋, que contenha

o vértice V e o centro da circunferência, O, da base deste cone. Assim, segundo o

autor, o termo “Orthotome” surge, no caso de parábolas, quando um plano de corte 𝜑,

intersecta perpendicularmente uma das geratrizes deste cone que pode ser vista pela

intersecção entre os dois planos, representada pela reta 𝑡. Esta reta 𝑡 faz o papel de

reta de simetria da parábola, passando pelo ponto 𝑃 desta cônica.

Figura 3 – A parábola no cone segundo Arquimedes


77

Já para a elipse, segundo Bongiovanni (2001), a interseção é feita em cones

acutângulos, quando a ângulo formado por uma geratriz e sua simétrica em relação

ao eixo de simetria, for agudo, ou seja, quando este ângulo estiver compreendido no

intervalo 0 < 𝛼 < 90° que faz surgir o termo “Oxythome” e para a hipérbole, a

interseção é realizada em cones obtusângulos, situação em que o ângulo entre uma

geratriz do cone e sua simétrica em relação ao eixo de simetria do cone, está

compreendido no intervalo de 90° < 𝛼 < 180° e conduz ao termo “Amblytome”.

Além da abordagem de Arquimedes para a construção de cônicas, segundo

Roque (2012), a busca de novos métodos de construção inspirados no padrão

euclidiano motivou os trabalhos de Apolônio que se desenvolveram entre os séculos

III e II a.E.C. Neste sentido, afirma que a obra Cônicas de Apolônio começou a ser

desenvolvida no ano 200 a.E.C, aproximadamente, período em que o campo da

geometria estava desenvolvido ao ponto de ser necessário formalizar as diferentes

técnicas de resolução problemas.

Segundo Eves (2011), antes de Apolônio as seções cônicas eram obtidas por

meio de três cones retos distintos, porém com ele passaram a ser obtidas por apenas

um cone circular duplo, reto ou oblíquo que se aproxima da maneira como as

consideramos hoje. Para Bongiovanni (2001), Apolônio foi o primeiro a apresentar

uma caracterização unificadora para as cônicas o que levou o cone a ser considerado

como um cone oblíquo de base circular. Desta forma, o cone passou a ser composto

por duas partes congruentes e simétricas em relação ao vértice do cone, propiciando

o aparecimento do segundo ramo da hipérbole. Corroborando com as afirmações

desses autores, construímos as três cônicas, separadamente, em um cone reto duplo,

de acordo com Apolônio.

Na figura 4 podemos ver que a parábola aparece como resultado da interseção

entre o plano 𝜋, paralelo à geratriz 𝑔, em qualquer ramo do cone duplo, de eixo de

simetria ou eixo central 𝑒, considerando que o ângulo 𝛼, formado pelo eixo de simetria

do cone e uma de suas geratrizes tenha medida no intervalo 0° < 𝛼 < 90°.

78

Figura 4 – A parábola no cone segundo Apolônio


Por esse método, a elipse representada na figura 5, surge como resultado da

interseção entre o plano 𝜋 com um dos ramos do cone duplo, quando este plano forma

um ângulo 𝛽 > 𝛼 com o eixo 𝑒 de simetria do cone.

Figura 5 – Elipse no cone segundo Apolônio


A forma da hipérbole, por sua vez, figura 6, é obtida na interseção do plano 𝜋

com as duas folhas do cone duplo, de tal maneira que o ângulo 𝛽, determinado por

esse plano e o eixo central do cone, tenha a condição de 𝛽 < 𝛼. Nesta disposição,

com 𝛼 sendo o ângulo entre o eixo 𝑒 do cone e uma de suas geratrizes, o plano 𝜋

secciona os dois ramos do cone, fazendo surgir os dois ramos desta cônica.

79

Figura 6 – A hipérbole no cone segundo Apolônio

Fonte: Produção do Autor

Para Boyer (2010), ainda que o trabalho de Apolônio seja considerado um

tratado amplo e denso, algumas das propriedades que utilizamos hoje como as

propriedades monofocal, bifocal e excentricidade foram abordadas indiretamente no

tratado de Euclides denominado Lugar geométrico na superfície.

Segundo Albuquerque (2014) esta caracterização é apresentada na proposição

236 e baseia-se na razão constante entre as medidas de duas distâncias que hoje

conhecemos por excentricidade. Neste sentido, apresentamos no Anexo A esta

proposição.

Neste contexto, que envolveu, principalmente, as contribuições de Arquimedes

e Apolônio, verificamos que se preocuparam em construir as cônicas por meio do corte

de um cone por um plano, de maneira individual por Arquimedes e de forma unificada

por Apolônio, nos levou a identificar na geometria sintética o primeiro tipo de tarefa

TGS1 – Construir as cônicas de acordo com Arquimedes e o segundo tipo de tarefa

TGS2 – Construir as cônicas de acordo com Apolônio.

Segundo Boyer (2010) as cônicas pertenciam à categoria “lugares sólidos” que

era formada pelas secções cônicas que os antigos obtinham por meio de um cone

sólido. Segundo o autor, os matemáticos gregos deduziram uma propriedade plana

fundamental ou symptome para cada secção e permitiu fazer um estudo das cônicas

puramente planimétrico, deduzindo suas relações geométricas.

80

A dedução desta propriedade, de acordo com Lopes (2011), é feita por meio de

semelhança de triângulos gerados a partir do corte de cada cone tanto para a

abordagem de Arquimedes quanto para a de Apolônio. Para o caso de Arquimedes

apresenta como exemplo a representação da elipse em um cone circular oblíquo

(Figura 7) em que o plano de corte secciona perpendicularmente uma das geratrizes.

Identificou o eixo de simetria da elipse pelo segmento 𝐴𝐵 e tomou por 𝐾 um ponto

representante na elipse, além de considerar a projeção deste ponto no eixo de simetria

por 𝐷. Traçou por 𝐾 um plano paralelo à base e identificou o círculo de diâmetro 𝑀𝑁

por esta interseção.

Figura 7 – Elipse no cone oblíquo

Fonte: Lopes (2011, p. 36)

Como o triângulo 𝑀𝐾𝑁 é inscrito na semicircunferência, então ele é retângulo

em 𝐾 o que implica que 𝐾𝐷2 = 𝐷𝑀 ∙ 𝐷𝑁 e da semelhança dos triângulos 𝑀𝐾𝑁, 𝑀𝐷𝐾

e 𝑁𝐷𝐾. A partir daí foi possível, para o autor, demonstrar uma relação geométrica para

a elipse, que apresentaremos em nosso MER, de modo a poder tratar essa cônica

exclusivamente no plano.

Quanto ao nome das cônicas, Eves (2011, p. 199) observou ser proveniente de

uma terminologia antiga, assim:

elipse, parábola e hipérbole, foram introduzidas por Apolônio e foram tomadas da terminologia pitagórica antiga referente à aplicação de áreas. Quando os pitagóricos aplicavam um retângulo a um segmento de reta (isto é, colocavam a base do retângulo ao longo do segmento de reta, com um vértice do retângulo sobre uma extremidade do segmento), eles diziam que se tinha um caso de “ellipisis”, “parabole” ou “hyperbole”, conforme a base do retângulo ficava aquém do segmento de reta, coincidia com ele ou o excedia.

81

Essa aplicação de áreas, para Lopes (2011), permitiu deduzir a symptome de

cada secção, utilizando o cone duplo segundo Apolônio que apresentaremos em

nosso MER. Esta propriedade, portanto, nos possibilitou identificar que os gregos já

obtinham as relações geométricas das cônicas tanto pelos cortes segundo

Arquimedes quanto segundo Apolônio, permitindo justificar cada construção.

Alguns séculos depois, Pappus de Alexandria apresentou diferentes

contribuições para o desenvolvimento da Matemática e, segundo Bongiovanni (2001),

utilizou a definição de cônicas desenvolvida por Euclides ou Aristeu para resolver,

entre outros, o problema da trissecção de um ângulo que, de acordo com Albuquerque

(2014), está disposta na proposição 31 do livro IV de Pappus.

Ainda que os instrumentos euclidianos como régua e compasso resolvessem

muitos problemas na Grécia antiga, para Albuquerque (2014, p. 91) a ineficácia em

resolver este problema levou os geômetras a buscarem outros recursos como as

“cônicas, concóide de Nicodemes, espiral de Arquimedes, cissóide de Diocles e

quadratriz de Dinóstrato”, de modo que puderam resolvê-lo de diferentes maneiras.

Nesse sentido, apresentamos no anexo B uma solução que utiliza cônicas baseada

neste autor.

Além dessas contribuições, segundo Roque (2012) Pappus era uma via de

acesso aos conhecimentos herdados de antigos, como Euclides e Arquimedes e

enfatizava a complementariedade entre geometria e mecânica, como no problema da

construção de uma cônica por cinco pontos, que de acordo com Albuquerque (2014)

foi apresentada na proposição 13 do livro VIII (Anexo C).

Pappus de Alexandria contribuiu, não apenas para sistematizar o que fora feito

pelos antigos, mas também em dar um importante passo no sentido de desenvolver a

Matemática para futuras gerações e, para Roque (2012), o tratado de Pappus,

traduzido em 1588, fez surgir o interesse pelas construções dos gregos denominadas

de lugares geométricos. Esse lócus era classificado por Pappus de problemas planos

quando tratava de construções com régua e compasso; problemas sólidos, quando

construídos por cônicas e problemas lineares, quando construídos com curvas mais

gerais, como uma espiral. Um exemplo para encontrar o lugar geométrico é o

problema de Pappus, que consiste em determinar um ponto 𝐶, a partir do qual, se

constrói segmentos de retas, até três ou quatro retas dadas, em ângulos

82

determinados, figura 8. Para o caso em que há quatro retas, o produto das medidas

entre dois segmentos deve ser proporcional ao produto das medidas dos outros dois

e, para o caso em que há três retas, esse produto é proporcional ao quadrado do

terceiro.

Figura 8 – O problema de Pappus para quatro retas


Neste problema, 𝐶 representa o lugar geométrico, 𝐶𝐵, 𝐶𝐷, 𝐶𝐹 e 𝐶𝐻 são os

segmentos construídos, 𝐶�̂�𝐴 𝐶�̂�𝐴 𝐶�̂�𝐸 𝐶�̂�𝐺, os ângulos determinados e 𝐴𝐵, 𝐴𝐷, 𝐸𝐹

e 𝐺𝐻, as retas mencionadas. De acordo com Roque (2012), Pappus demonstrou que

a solução geral desse problema deve ser uma cônica, no entanto não encontramos

materiais que apresentam esta solução de maneira original. Veremos, mais adiante

que esse problema foi importante para o desenvolvimento da geometria analítica.

Assim, podemos verificar que uma razão de ser das cônicas, a princípio, foi

resolver problemas de natureza geométrica, como o problema da duplicação do

cubo, a trissecção do ângulo, a quadratura da parábola, a quadratura do círculo

e o problema de Pappus.

Os árabes também contribuíram para o desenvolvimento das cônicas com o

matemático e astrônomo persa Al-Quhi que, segundo Bongiovanni (2001), escreveu

no século X o tratado intitulado Le livre des centres tangents, situés sur lignes, par la

méthode de l'analyse, apoiado nos trabalhos de Apolônio, em que identifica que a

localização dos centros das circunferências que passam por um ponto dado e que são

83

tangentes a uma determinada reta são pontos de uma parábola (Figura 9), embora

não a caracterizasse como um lugar geométrico de pontos.

Figura 9 – Pontos da parábola


Nesta figura a reta dada é representada por 𝑟 e o ponto dado é representado

por 𝑃. A partir disso, construímos circunferências que simultaneamente passam por

𝑃 e tangenciam 𝑟 nos pontos 𝑅, 𝑆, 𝑀, 𝑇, 𝐿, 𝐾 e 𝐽 para identificar os centros como sendo

os pontos 𝐶, 𝐼, 𝐻, 𝐺, 𝑉, 𝐹, 𝐷 e 𝐸, respectivamente de maneira a construir uma parábola

por pontos.

Esse estudo, na realidade, mostra a propriedade que relaciona foco e diretriz

(como conhecemos) de uma parábola que, segundo Bonjovanni (2001), foi

demonstrada por Al-Quhi baseando-se em uma definição de Apolônio, não explicita

pelo autor, e no fato de que qualquer ponto sobre uma circunferência é equidistante

do centro. Como exemplo, na figura 10, em que 𝑃 e 𝑟 são, respectivamente, o ponto

dado e a reta dada e 𝐶 é ao mesmo tempo ponto da parábola e o centro da

circunferência que tangencia 𝑟 no ponto 𝑇 e passa pelo ponto 𝑃 , de modo que

podemos afirmar que, pela propriedade de circunferência, os segmentos 𝐶𝑃 e 𝐶𝑇 são

congruentes e suas medidas são iguais ao comprimento do raio desta circunferência.

84

Figura 10 – Equidistância de pontos da parábola com r e P dados


Ainda neste tratado, segundo Bongiovanni (2001), Al-Quhi busca identificar as

posições dos centros das circunferências, que tangencia outra circunferência e passa

por um ponto interior a ela quando for para tratar a elipse ou por um ponto exterior

quando for para tratar a hipérbole.

De acordo com o autor, Al-Quhi baseou-se nas proposições 51 e 52 do tratado

de Apolônio para demonstrar, por exemplo, que no caso de elipse a tangência ocorre

internamente à circunferência auxiliar de centro 𝑂 em que os pontos 𝑃 e

𝑂 representam seus focos, os centros das circunferências internas são pontos da

elipse e 𝑇 o ponto de tangência entre as duas circunferências na figura 11.

Figura 11 – Pontos da elipse


Nesta figura, as circunferências de centro em 𝐶, 𝐷, 𝐸, 𝐹, 𝐺 e 𝐻 passam pelo

ponto 𝑃 e tangenciam a circunferência que contém nos pontos 𝑇, 𝑀, 𝐿, 𝑄, 𝑅 e 𝑁,

respectivamente, possibilitando construir uma elipse por pontos. Neste sentido,

85

tomando apenas o ponto 𝑐 da elipse, a propriedade da circunferência permite afirmar

os segmentos 𝐶𝑃 e 𝐶𝑇 são congruentes e suas medidas são iguais ao raio da

circunferência de centro em O, figura 12.

Figura 12 – Equidistância de pontos da elipse com os pontos P e T


Já para a hipérbole, figura 13, a tangência, no ponto 𝑇, ocorre externamente à

circunferência auxiliar de centro 𝑂, sendo 𝑃 o ponto por onde passam todas as

circunferências tangentes à circunferência auxiliar que também é um dos focos dessa

cônica, juntamente com o ponto 𝑂. Nesta figura o ponto 𝑇 é um representante de todos

os pontos sobre a circunferência de centro em 𝑂.

Figura 13 – Pontos da hipérbole


86

Se tomarmos apenas o ponto 𝐶 sobre a hipérbole da figura 14, a propriedade

de circunferência permite afirmar que os segmentos 𝐶𝑇 e 𝐶𝑃 são congruentes e de

medidas iguais ao do raio da circunferência com centro nesse ponto.

Figura 14 – Hipérbole por tangências de circunferências


A partir dos trabalhos de Al-Quhi elaboramos o terceiro tipo de tarefa na da

geometria sintética, 𝑻𝑮𝑺𝟑– Construir as cônicas segundo Al – Quhi.

Contemporâneo de Al-Quhi, outro matemático árabe, Ibn Sahl, utilizou as

secções cônicas para ampliar os conhecimentos da época a respeito da óptica de

Ptolomeu, do século II, introduzindo estudos de refração e de lentes. De acordo com

Bongiovanni (2001), para inflamar um ponto a partir da luz solar como uma fonte de

luz no infinito, ele utilizou o espelho parabólico e para fontes mais próximas, o espelho

elipsoidal. Segundo o autor, para a refração, Ibn Sahl utilizou lentes plano-convexa

(hiperboloide) para convergir os raios do sol que incidem paralelamente ao eixo de

curvatura da lente e uma lente biconvexa para convergir raios luminosos de uma fonte

próxima, porém o autor não apresentou de forma explícita como esse geômetra

utilizava a hipérbole como secção do cone.

A partir dessas considerações, identificamos outra razão de ser das cônicas,

que é o estudo da trajetória da luz em que, a partir do polimento das lentes, foram

percebendo as propriedades das cônicas. Assim, construíram espelhos e lentes para

convergir raios luminosos provenientes do sol ou de uma fonte mais próxima que são

estudadas em óptica geométrica, na disciplina de física, na educação básica.

As cônicas também foram objetos de análise do matemático árabe Omar

Khayyam entre os séculos 𝑋𝐼 e 𝑋𝐼𝐼 que, de acordo com Boyer (2010), contribuiu para

87

dar soluções geométricas para equações cúbicas com raízes positivas por meio de

interseções de cônicas.

De acordo com Souza (2015) esses pontos de interseção são as raízes

positivas de modo que apresentou uma solução proposta por Eves (2011, p. 277) em

que dados três segmentos de reta de medidas 𝑎, 𝑏 e 𝑐 determinar um comprimento 𝑥

de um segmento que satisfaça a equação cúbica na forma 𝑥3 + 𝑏𝑥2 + 𝑎3 = 𝑐𝑥2.

Expusemos essa solução no Anexo D, pois, é necessário considerar uma série de

teoremas para a demonstração de que, a interseção é feita por uma hipérbole que

contém os pontos 𝐽 e 𝐻 com um semicírculo de diâmetro 𝐴𝐶, figura15. Nesta figura, o

segmento 𝐵𝐸 = 𝑏, o segmento 𝐴𝐿 = 𝐴𝐵 + 𝐵𝐿, o segmento 𝐿𝐶 = 𝐵𝐶 – 𝐵𝐿, sendo

𝐵𝐿 = 𝑥 o segmento que satisfaz a equação cúbica estudada.

Figura 15 – Ponto J interseção entre hipérbole e semicírculo

Fonte: Souza (2015, p. 564)

Segundo Lima (1999), Omar Khayyam estudou as equações cúbicas

considerando coeficientes positivos ou nulos, pois não aceitava a existência de raízes

negativas e, com isso, encontrou 19 tipos de equações das quais 14 necessitavam de

cônicas para serem resolvidas.

Para a autora, a afirmação de Omar Khayyam de que uma cúbica só teria

soluções geométricas e coeficientes positivos incentivou os matemáticos a estudarem

esses tipos de equações no século XVI como Scipione del Ferro (1465 – 1526) com a

equação 𝑥3 + 𝑝𝑥 + 𝑞 = 0, Tartaglia (1499 – 1557), com a equação 𝑥3 + 𝑝𝑥2 + 𝑞 = 0 e

Cardano (1501 – 1576) que publicou as explicações de Tartaglia como suas de

maneira que hoje conhecemos como “método de Cardano” para a solução de uma

cúbica dada por 𝑥 = √𝑞

2+√

𝑞2

4−𝑝3

27

3

+ √𝑞

2− √

𝑞2

4−𝑝3

27

3

.

88

O tratamento dado por Omar Khayyam nos leva a pensar em construir o quarto

tipo de tarefa na geometria sintética relacionado a resolver geometricamente

equações cúbicas, 𝑻𝑮𝑺𝟒– Resolver geometricamente equações cúbicas por meio

das cônicas.

Além desse tipo de tarefa, há possibilidades de resolver problemas desta

natureza tal como fez Lima (1999) que construiu situações para resolver equações de

terceiro grau na geometria analítica. Com isso, elaboramos o segundo tipo de tarefas

na geometria analítica 𝑻𝑮𝑨𝟐 – Resolver equações cúbicas por meio das cônicas.

Já no XVI, em 1522, foi publicada uma obra composta de vinte e dois livros

sobre Elementos de Cônicas, que segundo Boyer (2010), é creditada ao alemão

Johannes Werner (1468 – 1528) interessado no problema da duplicação do cubo em

que se concentrou no estudo da parábola e da hipérbole. De acordo com o autor, a

originalidade de Werner consiste em demarcar pontos no plano com auxílio de régua

e compasso para traçar uma parábola, figura 16.

Figura 16 – Parábola por Werner


Nesta figura, traçamos a reta 𝐶𝐷, demarcamos os pontos 𝐸, 𝐹, 𝐺 e 𝐻, e

construímos circunferências, tangentes entre si no ponto 𝐶, de diâmetros 𝐶𝐸, 𝐶𝐹, 𝐶𝐺

e 𝐶𝐻, respectivamente. Por esses pontos e pelo ponto 𝐷 construímos retas

perpendiculares a 𝐶𝐷, de maneira que na reta que passa por 𝐷, identificamos a dupla

de pontos na interseção entre ela e as circunferências, tais como 𝐼 e 𝐽, 𝐾 e 𝐿, 𝑂 e 𝑀 e

𝑃 e 𝑁.

89

Por fim, a partir destas interseções, construímos retas paralelas à reta 𝐶𝐷 e

identificamos os pontos simétricos em relação à reta 𝐶𝐷, 𝑄 e 𝑄’, 𝑅 e 𝑅’, 𝑆 e 𝑆’ e 𝑇 e 𝑇’,

que pertencem à parábola, pois, pela propriedade de triângulo inscrito em um

semicírculo, obtemos as relações 𝐸𝑄2 = 𝐶𝐷 ∙ 𝐷𝐸, 𝐹𝑅2 = 𝐶𝐷 ∙ 𝐷𝐹, 𝐺𝑆2 = 𝐶𝐷 ∙ 𝐷𝐺,

𝐻𝐷2 = 𝐶𝐷 ∙ 𝐷𝐸 que também podem ser obtidas considerando os pontos simétricos, 𝑄’,

𝑅’, 𝑆’ e 𝑇’ ou qualquer ponto da curva, em que 𝐶𝐷 é o parâmetro da parábola.

Percebemos que a construção de Werner não considera o foco da parábola e

não encontramos construções relacionadas à elipse e à hipérbole. No entanto, pelo

caráter didático destes instrumentos elaboramos o quinto tipo de tarefas na geometria

sintética para sustentar nossas Atividades de Estudo e Investigação: 𝑻𝑮𝑺𝟓 – Construir

as cônicas com régua e compasso.

Nos séculos XVI e XVII, segundo Eves (2011) Kepler (1571 – 1630) introduziu

a palavra foco, em seus estudos relacionados às cônicas, que o levou a desenvolver

três leis, conhecidas como Leis de Kepler, referentes ao movimento dos planetas ao

redor do sol em que na primeira afirma que a terra descreve uma trajetória elíptica

quando esta estrela estiver em um de seus focos.

As investigações de Kepler, de acordo com Bongiovanni (2001), impulsionou o

estudo das cônicas e a retomada da abordagem grega. Outro aspecto, mencionado

pelo autor, é o uso da hipérbole para estudar fenômenos da reflexão da luz e a

apresentação de uma unificação para as cônicas, por meio de uma interpretação

mecânica e intuitiva, em que a parábola figura como o limite de uma elipse ou de uma

hipérbole. Neste sentido, Boyer (2010), credita também a Kepler, o desenvolvimento

da Ad Vitellionem paralipomena ou como a conhecemos o princípio da continuidade.

Da secção cônica que consiste em duas retas que se cortam, em que os dois focos coincidem no ponto de intersecção, passamos gradualmente por uma infinidade de hipérboles à medida que um foco se afasta cada vez mais do outro. Quando um foco está no infinitamente longe, já não temos a hipérbole de dois ramos, mas a parábola. Se o foco móvel passa além do infinito e regressa pelo outro lado passamos por uma infinidade de elipses até que, quando os focos coincidem novamente chegamos ao círculo (BOYER, 2010, p. 222).

Por meio desta afirmação percebemos que Kepler além de nominar os focos,

fazia especulações sobre a existência de pontos no infinito, considerava que todas as

cônicas possuíam dois focos, porém um dos focos da parábola estaria no infinito.

Neste sentido, segundo o autor, essa especulação foi retomada por Desargues no

século seguinte quando desenvolvia a geometria projetiva.

90

Ainda entre os séculos 𝑋𝑉𝐼 e 𝑋𝑉𝐼𝐼, enquanto Kepler estudava o movimento dos

planetas, Galileu Galilei (1564 – 1643), segundo Boyer (2010, p. 224), observava os

céus com telescópios, observava o movimento de esferas sobre planos inclinados e

analisava o movimento de projéteis, verificando que sua trajetória é decomposta por

dois movimentos: “uma componente horizontal uniforme e uma componente vertical

variável” e, portanto, é parabólica, desprezando a resistência do ar.

Podemos ver que quase dois milênios depois da abordagem Grega, a elipse

com Kepler e a parábola com Galileu foram utilizadas para explicar fenômenos da

natureza que atualmente são estudados na física que nos mostram outras razões de

ser para o estudo das cônicas: estudar o movimento planetário e o movimento

de corpos.

Kepler também trouxe algumas contribuições para o desenvolvimento das

cônicas quando, segundo Lopes (2011), apresentou construções em que utilizava

instrumentos com um fio esticado que são apresentadas em livros didáticos atuais.

Como exemplo, mostramos na figura 17 a construção da representação de uma

parábola por meio do fio esticado, régua e esquadro.

Figura 17 – Parábola segundo Kepler

Fonte: Souza e Garcia (2016, p.104)

Por essa construção, consideramos um fio (barbante) de comprimento qualquer

e o fixamos na prancheta no ponto 𝐹 e em um ponto da régua, que deve permanecer

esticado, pela ponta do lápis, para descrever a representação de uma parábola,

enquanto deslizar o esquadro sobre a régua para a esquerda e para a direita,

considerando que a distância entre a ponta do lápis e o foco é igual à distância entre

a ponta do lápis e a régua. Portanto, essa construção pode ser justificada com a

propriedades de equidistâncias. Neste sentido, identificamos o sexto tipo de tarefa, na

geometria sintética TGS6 – Construir as cônicas com os instrumentos de Kepler.

91

No século XVII com René Descartes (1596 – 1650) e Pierre de Fermat (1601 –

1665) foi desenvolvida a geometria analítica, com contribuições para o estudo das

cônicas, que a tornou uma área frutífera para a exploração deste tema. A razão de

ser da geometria analítica advém de soluções em que as técnicas geométricas

foram insuficientes para resolver determinados tipos de problemas

geométricos, entre eles a duplicação do cubo e o problema de Pappus. Tal

constatação nos leva a inferir que há correlações entre o modelo da geometria

sintética com o modelo da geometria analítica que, de acordo com Gascón (2002),

não surgiu de maneira desproposital, como mágica, mas que qualquer mudança em

problemas na geometria sintética pode mostrar que as técnicas empregadas neste

modelo são insuficientes o que justifica o estudo de novas técnicas no modelo da

geometria analítica.

No problema de Pappus, Descartes lançou mão de um sistema de coordenadas

para explicar que o lugar geométrico deve ser uma cônica, relacionando elementos

da geometria sintética com um referencial, diferente do atual porque considerava

apenas coeficientes positivos e os eixos não eram, necessariamente perpendiculares,

figura 18.

Figura 18 – Problema de Pappus segundo Descartes


Assim, estudou o problema de Pappus denominando por 𝑥 o segmento 𝐴𝐵 e

por 𝑦 o segmento 𝐵𝐶 na figura 18. Neste sentido, criou um sistema de coordenadas

em que 𝐴𝐵 e 𝐵𝐶 são os eixos coordenados. Em seguida, determinou os outros

segmentos em função de 𝑥 e de 𝑦 para representar o lugar geométrico do ponto 𝐶.

92

Segundo Carvalho (2020) Descartes tomou o triângulo 𝐴𝐵𝑅 desta figura para

obter a relação 𝑏 =𝐵𝑅

𝐴𝐵 e, portanto, 𝐵𝑅 = 𝑥𝑏. Depois tomou o segmento 𝐶𝑅 = 𝑦 + 𝐵𝑅

que pode ser relacionado com a equação anterior por 𝐶𝑅 = 𝑦 + 𝑥𝑏. Na mesma figura,

tomou o triângulo 𝐷𝑅𝐶 e extraiu a relação 𝑐 =𝐶𝐷

𝑅𝐶 , determinando 𝑚3 = 𝐶𝐷 e assim,

𝑚3 = 𝑐𝑦 + 𝑐𝑏𝑥. Fez ainda, 𝐴𝐸 = 𝐾 e 𝐴𝐺 = 𝑙 e obteve 𝐵𝑆

𝐵𝐸= 𝑑,

𝐶𝐹

𝐶𝑆= 𝑒,

𝐵𝑇

𝐵𝐺= 𝑓 e

𝐶𝐻

𝑇𝐶= 𝑔.

Deste modo, segundo o autor, obteve as relações 𝐵𝐸 = 𝑥 + 𝑘 e 𝐵𝑆 = 𝑑𝑘 + 𝑑𝑥 e

𝐶𝑆 = 𝑦 + 𝑑𝑘 + 𝑑𝑥 e com isso, 𝑚2 = 𝐶𝐹 = 𝑒𝑦 + 𝑒𝑑𝑘 + 𝑒𝑑𝑥, 𝐵𝐿 = 𝑙 − 𝑥, 𝐵𝑇 = 𝑓𝑙 − 𝑓𝑥 e

𝑇𝐶 = 𝑦 + 𝑓𝑙 − 𝑓𝑥. Como, 𝑚4 = 𝐶𝐻 = 𝑔𝑦 + 𝑔𝑓𝑙 − 𝑔𝑓𝑥 e 𝑚1 = 𝑦, por meio da relação

de Pappus 𝑚1 ∙ 𝑚2 = 𝑚3 ∙ 𝑚4 escreveu a equação geral da cônica, em termos de 𝑥 e

de 𝑦 𝑑𝑒𝑘𝑦 + 𝑑𝑒𝑥𝑦 + 𝑒𝑦2 = 𝑏𝑐𝑓𝑔𝑙𝑥 − 𝑏𝑐𝑓𝑔𝑥2 + 𝑏𝑐𝑔𝑥𝑦 + 𝑐𝑓𝑔𝑙𝑦 − 𝑐𝑓𝑔𝑥𝑦 + 𝑐𝑔𝑦2,

que depende dos valores dos coeficientes para tenhamos uma equação de uma

parábola, a elipse ou a hipérbole.

A partir desta contribuição de Descartes, elaboramos o terceiro e o quarto tipos

de tarefas, primeiro para determinar a equação geral das cônicas e para a partir desta

identificar cada tipo de cônica ao analisar cada coeficiente desta equação. Assim,

elaboramos: 𝑻𝑮𝑨𝟑 – Determinar a equação geral das cônicas e 𝑻𝑮𝑨𝟒: Caracterizar

cada tipo de cônica por meio da análise dos coeficientes da equação geral do

segundo grau em duas variáveis.

De acordo com Boyer (2010), tanto Descartes quanto Fermat não utilizava

abscissas negativas e, enquanto Descartes partiu do problema de Pappus, usando

uma das retas como eixo das abscissas, Fermat partia de uma equação linear,

escolhendo um sistema de coordenadas arbitrário. Segundo este autor, Fermat

utilizava o eixo das abscissas e o eixo das ordenadas perpendiculares entre si como

usualmente utilizamos hoje.

No tratado ad locus planos et sólidos isagoge, segundo o autor, Fermat

apresentou a equação 𝑥𝑦 = 𝑘2 como uma hipérbole, mostrando que uma equação do

tipo 𝑥𝑦 + 𝑎2 = 𝑏𝑥 + 𝑐𝑦 pode ser reduzida por meio de translações de eixos à forma

𝑥𝑦 = 𝑘2. Fermat mostrou ainda que “𝑎2 ± 𝑥2 = 𝑏𝑦 é uma parábola e que a equação

𝑥2 + 𝑦2 + 2𝑎𝑥 + 2𝑏𝑦 = 𝑐2 é um círculo. Além disso, mostrou que 𝑎2 − 𝑥2 = 𝑘𝑦2 é uma

elipse, e que 𝑎2 + 𝑥2 = 𝑘𝑦2 é uma hipérbole (na qual deu ambos os ramos)” (BOYER,

93

2010, p. 239). Além disso, utilizava também de rotações de eixos para reduzir

equações quadráticas mais gerais a uma dessas formas apresentadas.

Com base nesta exposição, percebemos outro tipo de tarefa, pois Fermat partia

de equações mais gerais e as reduzia por meio de translação e rotação de eixos,

tornando-as mais simples. Neste sentido, elaboramos na geometria analítica o quinto

tipo de tarefa 𝑻𝑮𝑨𝟓 – Determinar as equações reduzidas das cônicas.

De acordo com Eves (2011, p. 382), nesse período, enquanto Desargues e

Pascal desenvolveram novos horizontes para a geometria projetiva, Descartes e

Fermat concebiam os fundamentos da geometria analítica moderna, que se

diferenciam, fundamentalmente, porque “enquanto a primeira é um ramo da geometria

a segunda é um método da geometria.”

A publicação de La Géométrie, de Descartes, tornou conhecida a geometria

analítica para especialistas contemporâneos a ele que, de acordo com Boyer (2010),

era parte de um trabalho mais abrangente denominado Discours de La Méthode que

incluía La Dioptrique, relativa à lei da refração, e Les Méteores, relativa, entre outros

assuntos, à explicação quantitativa do arco-íris.

Segundo Roque (2012), La Dioptrique é um dos ensaios do discurso do

método, concebido por influência das discussões de pensadores que orbitavam ao

redor do padre Mersenne, inclusive Descartes, que estavam pesquisando problemas

ópticos associados ao movimento de raios luminosos. Para a autora, essa obra

compreende uma teoria para a refração de raios luminosos que aproximou

matemáticos e artesãos em torno, principalmente, do Problema da Anaclástica que

explicava como a forma de uma superfície de refração faz convergir para um único

ponto os raios paralelos que nela incidem. Descartes buscou solucionar esse

problema usando como superfícies de refração elipses e hipérboles construídas por

instrumentos, assim “as cônicas deixaram de ser vistas como simples objetos

geométricos sobre os quais deviam se mostrar propriedades e passaram a servir a

propósitos técnicos” (p. 252).

Frequentemente, segundo Boyer (2010), a obra de Descartes é interpretada

como uma simples aplicação da álgebra à geometria, no entanto é uma tradução de

operações algébricas em linguagem geométrica. Para Eves (2011) a tradução do texto

de La Géométrie por F. de Beaune, editada e comentada por Frans Van Schooten,

94

ganhou notoriedade e o tornou semelhante ao que conhecemos hoje em textos

universitários, em que as palavras coordenadas, abscissas e ordenadas são

constantes como contribuições de Leibniz em 1692.

De acordo com Delefrate e Saito (2017), Van Schooten (1615 – 1660) também

conheceu o padre Mersenne (1588 – 1648) engajado em, naquele momento, reunir e

trocar correspondência entre estudiosos de diversos lugares, ou seja, estar ligado a

esse grupo significava estar associado aos avanços científicos da época. Segundo os

autores, Van Schooten publicou quatro livros, sendo o terceiro a tradução de

Geométrie de Descartes em que incluiu comentários e o quarto intitulado De Organica

conicarum sectionum in plano descriptione, tractaus, geometris, opticis: praesertim

vero gnonomicis & mechanicsis utilis, destinado tanto aos estudiosos de geometria,

quanto aos estudiosos de óptica, catóptrica, dióptrica e perspectiva, ao tratar de

construções de cônicas por meio de instrumentos em que utilizam propriedades de

triângulos e do losango.

Para Delefrate e Saito (2017), Van Schooten se preocupou em desenvolver um

método para traçar as cônicas por razões de ordem prática motivadas por mais

precisão na fabricação de relógios solares ou mecânicos, lentes ou outros artefatos

que passaram a ter relevância para o comércio. Desta forma, sugeriu que as cônicas

fossem traçadas por um movimento contínuo com o auxílio de instrumentos

específicos e não geradas por meio de um corte num sólido.

Esses instrumentos, figura 19, são compostos por réguas articuladas ou pelo

losango articulado, em que de cima para baixo, são traçadas a hipérbole, a elipse e a

parábola. No desenho técnico, esses instrumentos são denominados por

parabológrafo, elipsógrafo e hiperbológrafo.

95

Figura 19 –Traçadores de cônicas segundo Van Schooten

Fonte: Van Schooten (1646, apud DELEFRATE 2019, p. 53)

Os estudos de Van Schooten, nos permitiu elaborar o sétimo tipo de tarefa na

geometria sintética 𝑻𝑮𝑺𝟕: Construir as cônicas pelos instrumentos de Schooten.

A razão de ser das cônicas neste período foi de natureza prática com a

necessidade de construção de instrumentos e artefatos comerciais e de

natureza teórica, no estudo do comportamento de raios luminosos, atualmente,

estudados na disciplina de física.

Segundo Bongiovanni (2001), ainda no século XVII, Bonaventura Cavalieri

(1598 – 1647) apresentou construções de cônicas, a partir de retas sem um cone

como os antigos que, segundo Eves (2011) representaram ferramentas poderosas

para o cálculo de medidas de áreas e de volumes e apresenta que a medida da área

de uma elipse pode ser calculada por 𝜋 ∙ 𝑎 ∙ 𝑏 em que a e b representam as medidas

de seus semieixos. Para isso, considerou a elipse 𝑥2

𝑎2+

𝑦2

𝑏2= 1 e a circunferência de

equação 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑎2, com 𝑎 > 𝑏 (Figura 20) e as reescreveu considerando 𝑦 em

96

função de 𝑥 , isto é, 𝑦𝑒 =𝑏

𝑎(𝑎2 − 𝑥2)

1

2 e 𝑦𝑐 = (𝑎2 − 𝑥2)

1

2, respectivamente, em que

diferenciamos como 𝑦𝑒 a ordenada da elipse e 𝑦𝑐 a ordenada da circunferência.

Figura 20 – Elipse e circunferência


Por meio dessas equações, podemos verificar que a razão para as ordenadas

correspondentes quaisquer da elipse e da circunferência é 𝑦𝑒

𝑦𝑐=

𝑏

𝑎 , com isso podemos

afirmar que a razão entre duas cordas verticais correspondentes desses dois objetos

também será 𝑏

𝑎. Assim, pelo princípio de Cavalieri que afirma que a medida da área

da elipse é a soma de todos os segmentos 𝑦𝑒 e a medida da área da circunferência é

a soma de todos os segmentos 𝑦𝑐 conclui-se que 𝐴𝑒 =𝑏

𝑎𝐴𝑐, em que 𝐴𝑒 representa a

área da elipse e 𝐴𝑐 representa a área do círculo. Neste sentido, reescrevemos a

equação 𝐴𝑒 =𝑏

𝑎𝜋𝑎2 que resulta em 𝐴𝑒 = 𝜋𝑎𝑏.

De acordo com Boyer (2010), Jan de Witt (1629 – 1672) também contribuiu

para o desenvolvimento das cônicas quando publicou Elementa curvarum, em que na

primeira parte, de natureza sintética, exibe várias definições cinemáticas e

planimétricas para as seções cônicas, entre elas a definição pela razão foco-diretriz

introduzindo o termo diretriz.

As cônicas por essa definição são vistas pela razão 𝑃𝐹

𝑃𝑟= 𝑒, em que 𝑃

representa um ponto sobre a cônica, 𝐹 o foco, 𝑟 a reta diretriz e 𝑒 a excentricidade.

Na figura 21 apresentamos uma parábola e identificamos esses elementos.

97

Figura 21 – Foco e diretriz da parábola


Apresenta ainda, uma construção

para a elipse (Figura 22) utilizando dois

círculos concêntricos de raios 𝑎 e 𝑏 com

𝑎 > 𝑏, considerando o ângulo excêntrico

𝑡 como parâmetro. Sendo 𝐴 um ponto

sobre a circunferência de raio 𝑎 em que

traçamos o segmento 𝑂𝐴, e

identificamos por 𝐵 a interseção entre

este segmento e a circunferência de raio

𝑏, então, as coordenadas do ponto 𝐴 são

(𝑎𝑐𝑜𝑠(𝑡), 𝑎𝑠𝑒𝑛(𝑡)) e as coordenadas do

ponto 𝐵 são (𝑏𝑐𝑜𝑠(𝑡), 𝑏𝑠𝑒𝑛(𝑡)). Se

traçarmos uma reta por A paralela ao eixo das ordenadas teremos a coordenada 𝑥 de

𝐴 e se traçarmos uma reta por 𝐵 paralela ao eixo das abscissas teremos a coordenada

𝑦 de 𝐵. Na interseção destas duas retas denominamos por 𝑃 e parametrizamos a

elipse, identificando as coordenadas deste ponto 𝑝(𝑡) = (acos(𝑡) , 𝑏𝑠𝑒𝑛(𝑡)).

A segunda parte dessa obra, segundo o autor, surgiu como um livro texto de

geometria analítica com o objetivo de reduzir todas as equações de segundo grau em

𝑥 e 𝑦 à forma canônica por meio de translações e rotações, contrastando com

Descartes, pois:

a Géométrie de Descartes não era realmente um livro didático, e a exposição de Fermat só foi publicada em 1679, ao passo que o Elementa Curvarum de Witt apareceu como parte da edição de 1649 – 1661 da Geometria de Renato Des Cartes de Schooten, (BOYER, 2010, p. 256).

Figura 22 – Elipse por círculos concêntricos


98

Com base nas contribuições de Jan de Witt, percebemos que o tipo de tarefa

relacionado a reduzir a equação geral da cônica por meio de rotações e translações

já foi apresentado com Fermat, no entanto identificamos outro tipo de tarefa que é

caracterizar as cônicas por sua excentricidade, contudo pela maneira como ela é

tratada na matemática pura, de acordo com as condições da época, demandaria uma

série de proposições que podem ser analisadas em Garcia (2013). Assim, para

caracterizar as cônicas por sua excentricidade utilizaremos mais à frente o teorema

de Dandelin.

Ainda no século 𝑋𝑉𝐼𝐼, segundo Eves (2011), Newton (1643 - 1727), em seu

Principia, apresentou muitos resultados referentes a curvas planas superiores e

teoremas geométricos e destacou entre eles:

1. O lugar geométrico dos centros de todas as cônicas tangentes aos lados de um quadrilátero é uma reta (reta de Newton) que passa pelos pontos médios de suas diagonais.

2. Se um ponto P que se move ao longo de uma reta está ligado a dois pontos fixos O e O’ e se as retas OQ e O’Q formam ângulos fixos com OP e O’P, então o lugar dos pontos Q é uma cônica, (EVES, 2011, p. 440).

Nesse trabalho, de acordo com Bongiovanni (2001), Newton, preocupado com

o movimento planetário, propôs vários problemas para determinar as cônicas a partir

de retas tangentes que eram importantes para o desenvolvimento da gravitação

universal, pois a tangente em um ponto de uma elipse representa a direção da

velocidade instantânea do planeta naquele instante.

Segundo Boyer (2010) no Método de Fluxos, de 1671, Newton propôs oito

novos sistemas de coordenadas, entre elas a “Sétima Maneira Para as Espirais”,

conhecida hoje como sistema de coordenadas polares, que permitiu estudar, entre

outras curvas, as cônicas. As coordenadas polares, de acordo com Eves (2011), eram

mais convenientes, para as espirais, do que as coordenadas retangulares porque

tornava as equações mais simples de serem interpretadas.

Essa simplificação na interpretação de equações por um novo sistema nos

permite identificar uma razão de ser para as coordenadas polares. Esse sistema é

composto por uma semirreta e a localização de um ponto é representada por um par

de números reais de tal maneira que um representa uma distância e o outro representa

um ângulo. Na figura 23 apresentamos esse sistema em que o ponto 𝑃 (𝑟, 𝛳)

representa um ponto genérico, 𝑟 representa uma distância orientada e 𝛳 o ângulo

99

formado entre o segmento 𝑂𝑃 e o semieixo polar, no sentido de 𝑂 para 𝐴, orientado

no sentido anti-horário, com 𝑟 ≥ 0 e 0 ≤ 𝛳 ≤ 2𝜋.

Figura 23 – Sistema de coordenadas polares


Com base nesse sistema de coordenadas, as cônicas puderam ser descritas

por meio da equação do raio polar da cônica 𝑟 em que considera a reta diretriz 𝑑, o

latus rectum da cônica 2𝑙, como a medida do segmento 𝐹𝐹’ que passa pelo foco 𝑂, o

ângulo 𝜃, figura 24.

Figura 24 – Coordenadas polares e as cônicas


Este estudo, a respeito das coordenadas polares, nos permite elaborar o oitavo

tipo de tarefa na geometria sintética 𝑻𝑮𝒔𝟖 – Determinar a equação das cônicas em

coordenadas polares.

Outro fato, constatado por Boyer (2010), a respeito deste sistema de

coordenadas, é que a exposição das coordenadas polares está completa e

sistematizada no trabalho de Leonhard Euler (1707 – 1783) denominado Introcutio,

em que tratou da geometria analítica no espaço. Segundo o autor, foi a primeira vez

em que foram consideradas transformações de equações, dentre elas as das cônicas,

em coordenadas polares para coordenadas retangulares de forma estritamente

100

moderna. Este fato nos remete ao sexto tipo de tarefa na geometria analítica 𝑻𝑮𝑨𝟔:

Obter uma equação cartesiana para as cônicas a partir do raio polar obtido na


Outra contribuição de Newton, segundo Araújo Sobrinho (2005), foi a

concepção do telescópio Newtoniano que utiliza propriedades de reflexão da luz em

espelhos se contrapondo aos telescópios refratores que já existiam e se tornaram

conhecidos por Galileu. Para o autor, o intuito de Newton era corrigir o fenômeno da

aberração cromática que consistia na dispersão da luz branca quando ela atravessava

a lente do telescópio.

De acordo com o autor, Newton construiu o telescópio refletor composto por

um espelho parabólico que, por propriedades reflexivas, é capaz de captar a luz e

convergir o raio luminoso para o foco, e por um espelho plano para poder direcionar,

perpendicularmente ao eixo do telescópio, a imagem para um orifício onde o

observador se posiciona. O espelho parabólico passou a ser chamado de primário e

o espelho plano de secundário, figura 25.

Figura 25 – Esquema do telescópio de Newton

Fonte: Tonin e Gazzoni (2003, p. 91)

O telescópio de Newton foi aperfeiçoado, segundo Tonin e Gazzoni (2003), por

Cassegrain que substituiu o espelho plano por um espelho hiperbólico, figura 26,

possibilitando ao observador posicionar o seu olho e a manusear o telescópio da

mesma maneira que como é utilizada uma luneta.

101

Figura 26 – Esquema do telescópio de Cassegrain

Fonte: Tonin e Gazzoni (2003, p. 91)

A partir dos trabalhos de Newton e Cassegrain concebemos o nono tipo de

tarefa na geometria sintética 𝑻𝑮𝒔𝟗: Justificar o comportamento dos raios

luminosos em espelhos cônicos que possui duas tarefas, uma relacionada ao

espelho parabólico e a outra relacionada ao espelho hiperbólico.

Ainda no século XVII Gerard Desargues (1591 – 1661), segundo Quaranta Neto

(2008), produziu trabalhos que contribuíram para o desenvolvimento da geometria

projetiva que já vinha sendo desenvolvida nas artes, principalmente, no renascimento

quando se preocupavam com a profundidade e com a tridimensionalidade. Os artistas

dessa época perceberam que as representações no plano, oferecidas pela geometria

euclidiana, não eram suficientes para suas representações em profundidade e iniciam

o estudo da maneira como se observa um objeto, ou seja, iniciam o estudo da

perspectiva. Assim, vemos aqui uma razão de ser para a geometria projetiva.

Entre os trabalhos de Desargues recebeu destaque o Brouillon Projet d’une

Atteinte aux èvénements des Rencontres d’um Cone avec um Plan que, de acordo

com Quaranta Neto (2008), tinha como objetivo apresentar teorias e métodos gerais

da geometria projetiva para estudar as matemáticas gregas, particularmente, os

trabalhos de Apolônio, para identificar quais propriedades que se conservam por

projeção e, a partir daí, estudar as cônicas como projeções de circunferências.

Na figura 27 representamos por 𝑃 o ponto de projeção central por onde

traçamos retas que tangenciam a circunferência e tocam no plano 𝜋 deixando pontos

como “rastros”. Neste exemplo, tomamos cinco retas 𝑃𝐷, 𝑃𝐸, 𝑃𝐹, 𝑃𝐺 e 𝑃𝐻 que deixam

como traços os pontos 𝐼, 𝐽, 𝐾, 𝑀 e 𝐿, respectivamente. Quando uma reta que contêm

102

o ponto 𝑃 e um ponto da circunferência for paralela ao plano 𝜋 teremos como projeção

uma representação de parábola. Quando duas dessas retas forem paralelas a este

plano teremos uma hipérbole e quando todas deixarem rastros no plano 𝜋 teremos

uma elipse como nesta figura.

Figura 27 – Elipse como projeção de circunferência


A possibilidade de construir as cônicas como projeções de circunferências nos

leva a identificar, na geometria projetiva, o primeiro tipo de tarefas, TGP1 – Construir

as cônicas por projeções de circunferências.

De acordo com Quaranta Neto (2008), o trabalho de Desargues teve

continuidade com Blaise Pascal (1623 – 1662) que tomou conhecimento de sua obra

em 1639 e publicou, no ano seguinte, um ensaio relativo às cônicas intitulado Essay

pour les coniques que é composto por apenas uma página. No entanto, segundo Eves

(2011, p. 363), contém o Teorema de Pascal cujo enunciado é: “se um hexágono está

inscrito numa cônica, então os pontos de intersecção dos três pares de lados opostos

são colineares”, (Figura 28), que denominou Mysterium Hexagrammicum e

demonstrou via geometria projetiva. Pascal também, segundo Boyer (2010), construiu

outro projeto destinado ao desenvolvimento das cônicas com o título “uma obra

completa sobre cônicas” em continuidade ao Essay pour les coniques.

103

Figura 28 – Hexagrama místico de Pascal


Nesta figura o prolongamento do segmento 𝐷𝐽 intercepta o prolongamento do

segmento 𝐹𝐺 no ponto 𝑀, o prolongamento do segmento 𝐷𝐸, intercepta o

prolongamento do segmento 𝐺𝐻 no ponto 𝐿 e o prolongamento do segmento 𝐸𝐹

intercepta o prolongamento do segmento 𝐻𝐽 no ponto 𝐾. Assim, pelo teorema de

Pascal esses pontos de interseções são colineares.

Após a morte de Desargues, em 1661, e de Pascal, em 1662, segundo Boyer

(2010), Philipe de La Hire (1640 – 1718) publicou, em 1679, um trabalho a respeito de

cônicas que articulou a geometria projetiva à geometria analítica, intitulado Nouveaux

Élemens des sections Coniques em que “La Hire forneceu um dos primeiros exemplos

de uma superfície dada analiticamente por uma equação a três incógnitas, o que foi o

primeiro passo para a geometria analítica no espaço.” (ibid, p. 253).

Segundo Quaranta Neto (2008), La Hire produziu três trabalhos importantes

relativos às seções cônicas. Dentre eles, o segundo, em sua primeira parte, novos

elementos das secções cônicas, que apresentava uma caracterização individual para

as cônicas por meio das propriedades monofocal quando se tratava de parábolas e

bifocal quando as cônicas eram elipses ou hipérboles. Já na segunda parte, lugares

geométricos, apresentou equações analíticas e realizou demonstrações tomando por

base o que apresentara na primeira parte.

Na figura 29 apresentamos a representação de uma hipérbole de focos 𝐹1 e 𝐹2

e um ponto 𝑃 que está no lugar geométrico desta cônica. La Hire mostrou que a

diferença, em módulo, das distâncias de qualquer ponto da hipérbole é uma constante.

104

Figura 29 – Hipérbole segundo La Hire


Para o caso de elipses, mostrou que a soma das distâncias de qualquer ponto

desta cônica aos focos é uma constante e mostrou, nas situações que envolvem

parábolas, que a distância de qualquer ponto desta cônica ao foco é igual à distância

deste mesmo ponto à reta diretriz.

A abordagem dada por La Hire, permitiu estudar as cônicas enquanto lugar

geométrico e a desenvolver um tipo de tarefa na geometria sintética e, posteriormente,

na geometria analítica. Neste contexto, identificamos, na geometria sintética, o décimo

tipo de tarefa TGS10 – Caracterizar as cônicas como lugar geométrico segundo La

Hire que possui três tarefas, uma para cada cônica.

La Hire, segundo Eves (2011), também influenciou o trabalho de Monge que

desenvolveu um método geométrico para representar, em um plano, todas as

projeções convenientes de um objeto tridimensional que, por ter grandes

potencialidades militares, foi considerado sigiloso e só mais tarde passou a ser

ensinado como um método da geometria descritiva. Para Boyer (2010) os trabalhos

desenvolvidos por Monge foram fundamentais para a fundação de uma escola

preparatória de engenheiros denominada École Polytechnique da qual se tornou

professor das disciplinas geometria descritiva e aplicação da análise à geometria.

As lições de Monge, na escola militar de engenharia, segundo Quaranta Neto

(2008), contribuíram para o renascimento da geometria descritiva e inspiraram vários

de seus alunos, dentre eles Jean – Victor Poncelet (1788 – 1867) que publicou em

1820, na Academia Royal de Ciências, seu trabalho denominado Essai sur les

propriétes projectives des sections coniques.

105

Poncelet também escreveu, com base no que aprendera na escola de

engenheiros, segundo Boyer (2010), um tratado denominado Aplications d’analyse et

de Géométrie e, outro que versava a respeito de propriedades projetivas das figuras

denominado Traité des propriétés projectives des figures que, de acordo com Eves

(2011), representou um marco na geometria que impulsionou o estudo de geometria

projetiva.

Para Boyer (2010), Poncelet tinha por objetivo generalizar, o mais possível, os

enunciados da geometria sintética, pois acreditava que eram nas generalizações que

residiam as vantagens sobre a geometria analítica. Segundo Eves (2011), Poncelet

utilizou o princípio da dualidade, que emprega conceitos Desargueanos relativos as

projeções, para trazer ao primeiro plano os conceitos de Apolônio sobre polo e polar,

bem como as relações entre pontos e tangências de retas sobre as cônicas. Para

Poncelet, dada uma cônica é possível associar a ela, pontos a retas ou associar retas

a pontos. Na figura 30, dados uma elipse e um ponto 𝑃, em sua região exterior,

podemos traçar, por esse ponto duas retas tangentes à elipse e obter os pontos de

tangência 𝐴 e 𝐵 e por eles uma reta, dessa forma, fica associado um ponto a uma

reta. O ponto 𝑃 foi chamado por Apolônio de polo e a reta 𝐴𝐵 de polar.

Figura 30 – Associação de pontos a retas com uma elipse


É possível também associar retas a pontos, figura 31, considerando a elipse e

uma reta 𝐴𝐵 em seu exterior. Em seguida escolhe-se dois pontos distintos nessa reta,

𝐴 e 𝐵, por exemplo, e constrói, a partir deles, duas retas tangentes para determinar os

pontos de tangências 𝐴1, 𝐴2, 𝐵1 e 𝐵2, respectivamente. Assim, a polar do ponto 𝐴 será

a reta que contém o segmento 𝐴1𝐴2 e a polar do ponto 𝐵 será a reta que contém o

segmento 𝐵1𝐵2 e a interseção entre esses dois segmentos representamos pelo ponto

𝑃 que será o polo da reta 𝐴𝐵.

106

Figura 31 – Associação de retas a pontos com uma elipse


Outro aluno de Monge, que se destacou desenvolvendo trabalhos relacionados

às cônicas, foi Charles Julien Brianchon (1785-1864) que, segundo Boyer (2010, p.

369), modernizou o teorema de Pascal: “em todo hexágono inscrito numa secção

cônica, os três pontos de intersecção dos lados opostos sempre estão sobre uma

reta”. Na figura 32 temos um hexágono inscrito em uma elipse de vértices 𝐷, 𝐸, 𝐹, 𝐷’,

𝐸’ e 𝐹’ em que os pontos 𝐽, 𝐾 e 𝐿 são colineares e representam as interseções entre

os segmentos 𝐸𝐷’ e 𝐷𝐸’, 𝐷𝐹’ e 𝐹𝐷’, 𝐸𝐹’ e 𝐹𝐸’, respectivamente.

Figura 32 – Hexágono de Pascal


Contribuiu ainda com o teorema que leva o seu nome “em todo hexágono

circunscrito a uma secção cônica as três diagonais se cortam num mesmo ponto”

(BOYER, 2010, p. 369). Para exemplificar, na figura 33 apresentamos uma elipse

inscrita em um hexágono de vértices 𝐺, 𝐻, 𝐼, 𝑀, 𝑁 e 𝑂 em que as diagonais 𝐺𝑀, 𝐻𝑁 e

𝐼𝑂 se cruzam no ponto 𝑃.

107

Figura 33 – Hexágono de Brianchon

Fonte; Produção do autor

Essa é a maneira de dualizar o teorema de Pascal encontrada por Brianchon

que, segundo o autor, se impressionou com o número de corolários que poderia extrair

de seu teorema que, juntamente com o teorema de Pascal, são fundamentais para o

estudo projetivo das cônicas e são muito comuns em livros universitários de

matemática pura.

De acordo com Boyer, no século XIX houve uma retomada da geometria

projetiva, porém com preocupações de natureza analíticas, com contribuição efetiva

de Julius Plücker (1801 – 1868), quando conseguiu estender os resultados

geométricos alcançados, até aquele momento, por Desargues, Poncelet, Gergonne e

outros para uma geometria em três dimensões.

De acordo com Eves (2011), Plücker publicou seu trabalho Analytsch –

Geometrische Entwicklungren em dois volumes em que no segundo apresenta as

coordenadas homogêneas de um ponto 𝑃(𝑋, 𝑌) definidas como um terno ordenado

(𝑥, 𝑦, 𝑡) sendo 𝑋 =𝑥

𝑡 e 𝑌 =

𝑦

𝑡. Para o autor (p.598), o termo homogêneo se deve ao fato

de “quando se converte a equação 𝑓(𝑋, 𝑌) = 0 em coordenadas cartesianas à forma

𝑓 (𝑥

𝑡,𝑦

𝑡) = 0 todos os termos da nova equação têm o mesmo grau em relação às novas

variáveis”. O terno ordenado do tipo (𝑥, 𝑦, 0) nos termos de Plüker corresponde a um

ponto no infinito e a equação 𝑡 = 0 será a equação de uma reta ideal no infinito. Neste

sentido, os pontos no infinito imaginados inicialmente por Kepler passam a ter uma

representação em um sistema de coordenadas.

A partir desta ideia de Plücker pensamos em um segundo tipo de tarefa na

geometria projetiva, TGP2 - justificar analiticamente as cônicas por meio de

projeções de seus pontos no infinito.

108

Ainda neste século, de acordo com Bordallo (2011), houve uma outra tentativa

de caracterizar as cônicas desenvolvido por Germinal Pierre Dandelin (1794–1847),

que consistia em verificar a existência de uma ou duas esferas inscritas em um cone

e tangentes, simultaneamente, a ele e a um plano que o secciona para, em seguida,

utilizar a propriedade de retas tangentes às esferas (Figura 34) para evidenciar a

existência de focos e a propriedade que relaciona foco e diretriz. Dandelin e Quételet

verificou essa caracterização para a elipse e para a hipérbole e Pierce Morton para a

parábola.

Figura 34 – Formas de Cônicas por Dandelin, Quételet e Morton

Parábola Elipse Hipérbole


A partir da definição foco - diretriz foi possível apresentar uma relação

geométrica para a excentricidade que permite relacionar a ela intervalos para cada

cônica apenas mudando o ângulo de incidência do plano com o eixo de simetria do

cone, produzindo um número para a excentricidade: 0 ≤ 𝑒 < 1 (elipse), 𝑒 = 1

(parábola) e 𝑒 > 1 (hipérbole). Além disso, segundo a autora, foi possível relacionar a

geometria sintética com a geometria analítica para obter equações.

O Teorema de Dandelin, de acordo com Bordallo (2011), permitiu unificar o

estudo das cônicas, a partir de articulações entre elas e a Henri Lebesgue, em 1942,

criticar o sistema de ensino de cônicas da época, que utilizava o enfoque dado por La

Hire que apresentava esses objetos separadamente por sua caracterização focal.

De acordo com Siqueira e Silva (2017) essa unificação permite integrar tanto o

ensino das cônicas na geometria sintética, apresentando uma passagem do espaço

para o plano, a partir dos cortes no cone, para obter as equações do lugar geométrico,

109

como serve de ponte para o modelo da geometria analítica em que é possível

determinar as equações reduzidas e geral das cônicas.

Por meio desses trabalhos de Dandelin, Quételet e Morton, percebemos a

possibilidade de apresentar o décimo primeiro e o décimo segundo tipos de tarefa na

geometria sintética, TGS11 – justificar as relações entre as definições de lugar

geométrico e os cortes feitos no cone; 𝑻𝑮𝑺𝟏𝟐 – Determinar a excentricidade das

cônicas a partir dos cortes no cone.

A partir dos trabalhos de Dandelin, segundo Siqueira (2016), também foi

possível relacionar a geometria sintética com a geometria analítica utilizando as

relações de excentricidades das cônicas na geometria sintética para obter as

equações reduzidas da parábola, elipse e hipérbole, separadamente na geometria

analítica. Essa possibilidade permitiu elaborar o sétimo tipo de tarefa, 𝑻𝑮𝑨𝟕 –

Determinar equações reduzidas para as cônicas a partir da definição de

excentricidade.

No século XIX também, segundo Souza (2015), Hermann Minkowski (1864 –

1909) ao buscar responder algumas questões do tipo, qual a menor distância entre a

sua casa e a escola? Percebeu que a geometria euclidiana possuía limitações, pois

de acordo com essa geometria, a menor distância entre dois pontos é uma reta, porém

na geometria do taxi nem sempre a distância entre dois pontos será uma reta, mas

deve respeitar o trajeto feito por um móvel. Assim, desenvolveu a geometria do táxi,

que se diferencia da euclidiana por sua métrica em que a distância entre dois pontos

é a soma das diferenças absolutas de suas coordenadas.

Essa geometria, caracterizada como não euclidiana, possibilita estabelecer

tarefas para fazer um paralelo entre equações e gráficos da geometria analítica, ou

seja, dois tipos de tarefa na geometria do táxi, TGT1 - Relacionar a métrica do táxi

com a métrica euclidiana e TGT2 – Representar as cônicas em um plano

cartesiano considerando a métrica do táxi.

Segundo Boyer (2010), os matemáticos Arthur Cayley (1821 – 1895) e James

Joseph Sylvester (1814 – 1897), contribuíram para o desenvolvimento da álgebra e

da geometria analítica, o primeiro utilizando matrizes e determinantes na geometria

analítica e o segundo, com uma série de artigos sobre formas – polinômios

homogêneos em duas ou mais variáveis – e seus invariantes. Para o autor, os casos

110

que merecem destaque são os relacionados à física e à geometria analítica que

envolvem cônicas e formas quadráticas, à identificação do tipo de cônicas, ao

tratamento da rotação de eixos em torno da origem do sistema de coordenadas

cartesiano e ao estudo da equação característica da cônica pela transformação da

equação geral da cônica para a forma canônica.

As contribuições de Sylvester e Cayley são comumente encontradas em livros

universitários brasileiros de álgebra linear, no entanto, segundo Benito (2019), as

cônicas, neste contexto, são estudadas na geometria linear e complementa o estudo

das cônicas na geometria analítica. Com isso, definiu os tipos de tarefas por 𝑇𝐺𝐿, ou

seja, tarefas da geometria linear. Neste sentido, consideramos como primeiro tipo de

tarefa, que se desdobra em três, para analisarmos a equação geral da cônica a partir

dos diferentes valores de seus os coeficientes: TGL1 - Reconhecer e determinar a

equação canônica da cônica a partir da equação geral do segundo grau em duas

variáveis.

A partir das análises documentais que abordam os aspectos históricos

percebemos os desdobramentos do desenvolvimento do saber cônicas que permitiu

compreender que a razão de ser de sua utilização mudou de uma época para outra e

coincidiu com o desenvolvimento da geometria e de outras áreas da Matemática que

sintetizamos no quadro 3.

Quadro 3 – Desdobramentos históricos para o estudo das cônicas

Período Colaboradores Contribuições

Antiguidade - Grécia Menecmo, Arquimedes, Apolônio e outros

Resolver problemas geométricos como o da duplicação do cubo, o da trissecção de um ângulo a quadratura da parábola e quadratura do círculo.

Séculos 𝐼𝐼𝐼 e 𝐼𝑉 Pappus Construção de lugares geométricos (planos, sólidos e lineares). O problema das três e quatro retas de Pappus.

Século 𝑋 al-Quhi Cônicas por tangência de circunferências.

Ibn Sahl Estudar o comportamento da luz.

Séculos 𝑋𝐼 e 𝑋𝐼𝐼 Omar Khayyam Resolver geometricamente equações cúbicas

Século 𝑋𝑉𝐼 Tradução do tratado de Pappus

Impulsionou a retomada da geometria grega.

Johannes Werner Construção da parábola por régua e compasso.

Séculos 𝑋𝑉𝐼 e 𝑋𝑉𝐼𝐼 Galileu Galilei Analisar os movimentos dos projéteis

Kepler Aplicação da geometria grega ao movimento celeste

Século 𝑋𝑉𝐼𝐼 Jan de Witt

De natureza sintética: definições cinemáticas e planimétricas (definição da razão foco – diretriz). De natureza analítica: reduzir todas as equações de segundo grau em duas variáveis à forma canônica por meio de translações e rotações.

Descartes Solução do Problema de Pappus (base para o desenvolvimento da geometria analítica).

111

Fermat Juntamente com Descartes concebia os fundamentos da geometria analítica.

Desargues

Desenvolver da geometria projetiva: identificar quais são as propriedades que se conservam por projeção – Cônicas como projeções de circunferências.

Pascal Propriedades do hexágono inscrito em uma cônica.

Brianchon Dualidade do teorema de Pascal e uma série de corolários a partir destes teoremas.

Van Schooten Estudar fenômenos da reflexão da luz (óptica, dióptrica, catóptrica e perspectiva). Utilizar instrumentos nas construções de cônicas.

Século XVII e XVIII

Newton Estudar a dinâmica do movimento planetário. Desenvolver o sistema de coordenadas polares. Construir telescópios refletores.

Cassegrain Construir telescópios refletores.

La Hire Estudar o lugar geométrico; Solucionar equações analíticas por meio de construções geométricas.

Séculos XVIII e XIX

Monge Renascimento da geometria projetiva: Representar sobre um plano todas as projeções convenientes de um objeto tridimensional.

Poncelet Propriedades projetivas: O princípio da continuidade o da permanência das relações métricas.

Século XIX

Plücker Representar os pontos ideais no infinito em um sistema de coordenadas.

Dandelin Formalizar a equivalência matemática entre a definição do corte entre plano e cone e a definição foco – diretriz.

Hermann Minkowski

Desenvolver a geometria do táxi para responder questões que a geometria euclidiana não dava conta de responder.

Cayley e Sylvester

Desenvolvimento da álgebra e geometria por meio da linguagem de matrizes e determinantes e estudar as formas, polinômios homogêneos em duas ou mais variáveis e seus invariantes.


Esses desdobramentos históricos nos fizeram perceber as diferentes

caracterizações das cônicas bem como sua importância, pois segundo Gascón (2011)

na formulação de qualquer problema didático o didata sempre lança mão, ainda que

implicitamente, de uma descrição e de uma interpretação do objeto de estudo, ou seja,

de um modelo epistemológico que deve ser explicitado para servir de referência na

análise de fenômenos didáticos-matemáticos. Este modelo, atualmente denominado

Modelo Epistemológico de Referência – MER, tem caráter provisório e apoia a

construção ou desconstrução de praxeologias cuja disseminação, em uma instituição

ou entre instituições, se planeja analisar. Portanto, um MER deve subsidiar as análises

das Organizações Matemáticas e Didáticas em determinada instituição para propor

112

organizações que melhor se adaptem às restrições da instituição analisada. Assim,

explicitamos o Modelo Epistemológico de Referência que utilizaremos no presente

trabalho.

Além de identificar a razão de ser das cônicas em cada período histórico bem

como levantar os tipos de tarefas para estudá-las, o estudo desta dimensão permitiu

fazer conexões entre as diferentes geometrias encontradas como sintetizadas na

figura 35.

Figura 35 – Razão de ser e o desdobramento histórico das cônicas


Como resultado deste estudo histórico, apresentamos a seguir nosso Modelo

Epistemológico de Referência.

113

3.1.2 O Modelo Epistemológico de Referência

Apresentamos nosso MER como um conjunto composto de modelos

específicos relacionados às geometrias consideradas, ou seja, Modelo da Geometria

Sintética – 𝐺𝑆; Modelo da Geometria Analítica – 𝐺𝐴; Modelo da Geometria Linear –

𝐺𝐿; Modelo da Geometria do Táxi – 𝐺𝑇 e Modelo da Geometria Projetiva – 𝐺𝑃.

3.1.2.1 Modelo da Geometria Sintética

A partir do estudo que acabamos de realizar organizamos os saberes

matemáticos a respeito de cônicas em termos de praxeologias ou Organizações

Matemáticas, a partir dos tipos de tarefas identificados e suas tarefas, as técnicas que

permitem cumprir essas tarefas, as tecnologias que justificam essas técnicas e as

teorias que justificam essas tecnologias.

Assim, no modelo da geometria sintética, apresentaremos Organizações

Matemáticas Pontuais, para cada tipo de tarefa identificado, buscando uma certa

ordem, em termos de construção de conhecimento, que facilitará o planejamento das

Organizações Matemáticas Locais no MDR.

Cabe aqui esclarecer antes que, atualmente, de acordo com Dolce e Pompeo

(1993, p. 236) o cone, figura 36, é um sólido assim definido:

Consideremos um círculo (região circular) de centro O e raio r situado num

plano e um ponto V fora de . Chama-se cone circular ou cone à reunião dos segmentos de reta com uma extremidade em V e a outra nos pontos do círculo.

Figura 36 – O cone

Fonte: Dolce e Pompeo (1993, p. 236)

Assim, para obtermos as cônicas, como curvas, temos que utilizar superfícies

de cones, não o sólido, que podem ser obtidas por rotação de triângulos, considerados

como a reunião de três segmentos não colineares.

114

Ante ao exposto, apresentamos o primeiro tipo de tarefa na geometria sintética.

𝑻𝑮𝑺𝟏: construir uma superfície cônica de acordo com Arquimedes

Tarefa 𝒕𝑮𝑺𝟏𝟏: Construir uma parábola segundo Arquimedes.

Para o cumprimento da tarefa 𝒕𝑮𝑺𝟏𝟏, a técnica 𝝉𝑮𝑺𝟏𝟏 requer que seja

considerada a superfície de um cone retângulo (Figura 37), com seus elementos

figurais como o vértice V, o centro da circunferência O e o plano , que contém todos

esses elementos, além das geratrizes 𝑉𝐴̅̅ ̅̅ e 𝑉𝐵̅̅ ̅̅ . Em seguida, a superfície do cone deve

ser intersectada por um plano, que denominamos por 𝜑, perpendicularmente à uma

destas geratrizes. Para se ter a percepção da parábola a reta 𝑡 é o resultado da

interseção entre os planos 𝜑 e 𝜋 e forma com a geratriz 𝑉𝐵̅̅ ̅̅ ângulo de 90º. Atualmente,

podemos dizer que essa superfície do cone pode ser gerada pela rotação de um

triângulo retângulo equilátero em torno do cateto que representa sua altura ou seu

eixo.

Figura 37 – Parábola no cone retângulo


A tecnologia 𝜽𝑮𝑺𝟏𝟏 que justifica esta construção reside na comparação entre o

ângulo de interseção entre o plano 𝜑 e a geratriz 𝑉𝐵 do cone, 𝛽 = 900, com o ângulo

do vértice do cone. No caso de parábolas, como o ângulo do vértice do cone tem

ângulo de 90º, o plano intersectará o cone paralelamente à uma de suas geratrizes e

permitirá perceber esta cônica.

Tarefa 𝒕𝑮𝑺𝟏𝟐: Construir uma elipse segundo Arquimedes

115

No caso de elipses, para o cumprimento da tarefa 𝒕𝑮𝑺𝟏𝟐 a técnica 𝝉𝑮𝑺𝟏𝟐 requer

que seja considerado um cone acutângulo, ou seja, que o vértice deste cone tenha

um ângulo agudo (Figura 38) e que tenha um plano 𝜋 com as mesmas características

como no caso de parábolas. Em seguida, o cone deve ser intersectado por um plano,

denominado aqui por 𝜑, perpendicularmente à uma de suas geratrizes, uma delas

representada por 𝑉𝐵. Atualmente, podemos dizer que esse cone é obtido pela rotação

de um triângulo acutângulo, em que o ângulo 𝑂𝑉𝐵 é menor que 45°, em torno do

cateto que representa sua altura ou seu eixo para garantir que o ângulo de abertura

seja agudo.

Figura 38 – Elipse no cone acutângulo


A tecnologia 𝜽𝑮𝑺𝟏𝟐 que justifica a elipse segundo Arquimedes requer o ângulo

do vértice do cone precisa estar no intervalo 0° < 𝛼 < 90°, de tal maneira que o plano

de corte, 𝛽 = 900, intersecte todas as geratrizes do cone.

Tarefa 𝒕𝑮𝑺𝟏𝟑: Construir uma hipérbole segundo Arquimedes.

Quando se tratar de hipérboles, para o cumprimento da tarefa 𝒕𝑮𝑺𝟏𝟑 a técnica

𝝉𝑮𝑺𝟏𝟑 requer que seja considerado um cone obtusângulo, ou seja, que o vértice deste

cone tenha um ângulo obtuso, (Figura 39), e que possa ter um plano 𝜋 da mesma

maneira como feito para as outras duas cônicas. Em seguida, o cone deve ser

intersectado por um plano 𝜑, idêntico aos da construção de parábolas e elipses,

116

perpendicularmente à uma de suas geratrizes, como a geratriz 𝑉𝐵. Atualmente,

podemos dizer que esse cone é obtido pela rotação de um triângulo acutângulo, em

que o ângulo 𝑂𝑉𝐵 é maior que 45°, em torno do cateto que representa sua altura ou

seu eixo para garantir que o ângulo de abertura seja obtuso.

Figura 39 – Hipérbole no cone obtusângulo

Fonte: Produção do Autor

A tecnologia 𝜽𝑮𝑺𝟏𝟑 para justificar a construção da hipérbole segundo

Arquimedes é necessário comparar o ângulo do vértice do cone, disposto no intervalo

90° < 𝛼 < 1800, com o ângulo de incidência do plano de corte, 𝛽 = 90

0.

Essa comparação entre ângulos, no entanto, permite apenas perceber qual o

tipo de cônica será produzida como resultado da secção do cone pelo plano. No

entanto, nosso estudo mostrou que a propriedade symptome já era utilizada pelos

matemáticos na época de Arquimedes de tal maneira que conseguiam obter relações

geométricas das cônicas, a partir do espaço e trabalhar exclusivamente no plano.

Assim, essa tecnologia pode ser complementada utilizando a symptome, que

se traduz pela demonstração apresentada por Lopes (2011) em que, considera para

as três situações, o plano de corte 𝜑 perpendicular à uma geratriz da superfície do

cone para determinar o eixo de simetria, representado pelo segmento 𝐴𝐵 da cônica

estudada. Considerando 𝐾 um ponto arbitrário sobre a cônica e 𝐷 sua projeção

ortogonal sobre este eixo, conclui-se que o segmento 𝐾𝐷 é perpendicular ao plano

gerador.

117

Para o caso de parábolas essas considerações são verificadas na figura 40 em

que 𝑀𝑁 representa o diâmetro da circunferência, que contém os pontos 𝑀, 𝑁 e 𝐾,

disposta paralelamente ao plano da base e, portanto, contém o segmento 𝐾𝐷

perpendicular ao do cone 𝑉𝑊.

Figura 40 – Parábola no cone retângulo


Representando separadamente essa circunferência, figura 41, podemos dizer

que temos o triângulo 𝐾𝑀𝑁, retângulo em 𝐾 e que como os triângulos ∆𝐾𝑀𝑁, ∆𝐷𝐾𝑁

e ∆𝐷𝐾𝑀 então 𝑀𝐷

𝐾𝐷=

𝐾𝐷

𝑁𝐷 e 𝐾𝐷2 = 𝑀𝐷 ∙ 𝑁𝐷 que é uma relação válida para as três

construções.

Figura 41 – Triângulo retângulo inscrito em uma circunferência


Sendo 𝐴 o vértice da parábola, traçamos então o segmento 𝐴𝑃, paralelo ao

segmento 𝑁𝑀 e consideramos 𝑍 o ponto de interseção entre este segmento com o

eixo do cone de modo que, são semelhantes os triângulos ∆𝑁𝐷𝐴 e ∆𝑊𝐴𝑍, sendo 𝑊 a

interseção entre o eixo do cone com o eixo de simetria da parábola, então podemos

escrever 𝑁𝐷

𝐴𝐷=

𝐴𝑊

𝐴𝑍 ou, ainda que, 𝑁𝐷 =

𝐴𝐷∙𝐴𝑊

𝐴𝑍, figura 42.

118

Figura 42 – Cone retângulo para a demonstração da relação da parábola


Como 𝑀𝐷𝐴𝑃 é um paralelogramo verifica-se a relação 𝑀𝐷 = 2𝐴𝑍, pelo teorema

dos pontos médios que, combinado com os resultados anteriores, obtemos 𝐾𝐷2 = 2 ∙

𝐴𝑍𝐴𝐷∙𝐴𝑊

𝐴𝑍 ou também, 𝐾𝐷2 = 2 ∙ 𝐴𝑊 ∙ 𝐴𝐷, que representa uma relação para a parábola

tendo por parâmetro 𝑝 = 2 ∙ 𝐴𝑊. Portanto, a relação da parábola segundo Arquimedes

é 𝐾𝐷2 = 𝑝 ∙ 𝐴𝐷.

Para as situações que envolvem elipses a partir de superfícies de cones

acutângulo com eixo de simetria 𝑉𝑊, o plano de corte que incide 90º com a geratriz

produz como resultado uma elipse de eixo maior 𝐴𝐵. Sendo 𝐾 um ponto qualquer da

elipse e sua projeção 𝐷 no segmento 𝐴𝐵, tomamos uma circunferência paralela ao

plano da base do cone que passa pelos pontos 𝑀, 𝑁 e 𝐾, como no caso de parábolas,

figura 43.

Figura 43 – Elipse no cone acutângulo


Deve-se traçar o segmento 𝐴𝑃 paralelamente ao segmento 𝑀𝑁 que intersecta

o eixo do cone no ponto 𝑍. Depois traçar por 𝑃 um segmento de reta paralelo ao eixo

119

do cone para determinar o ponto 𝑄 no segmento 𝐴𝐵 e fazer o mesmo a partir do ponto

𝑀 para determinar o ponto 𝑅 também sobre este segmento, figura 44.

Figura 44 – Cone acutângulo para demonstrar a relação da elipse


Nesta figura, verifica-se que são semelhantes os triângulos ∆𝐴𝑁𝐷 e ∆𝑀𝑅𝐷 de

modo que 𝑁𝐷

𝑅𝐷=

𝐴𝐷

𝑀𝐷 como também 𝑀𝐷.𝑁𝐷 = 𝐴𝐷 ∙ 𝑅𝐷. Além disso, verifica-se a

semelhança entre os triângulos ∆𝑀𝑅𝐷 e ∆𝑄𝑃𝐴 e entre os triângulos ∆𝑀𝐷𝐵 e ∆𝑃𝐴𝐵 de

tal maneira que 𝑅𝐷

𝑄𝐴=

𝑀𝐷

𝑃𝐴=

𝐵𝐷

𝐵𝐴 ou ainda, a relação 𝑅𝐷 =

𝐵𝐷∙𝑄𝐴

𝐴𝐵 que, combinadas com

os resultados anteriores, permitem obter 𝐾𝐷2 = 𝐴𝐷 ∙ 𝑅𝐷 = 𝐴𝐷 ∙𝐵𝐷∙.𝑄𝐴

𝐴𝐵.

Verifica-se ainda, que os triângulos ∆𝐴𝑃𝑄 e ∆𝐴𝑍𝑊 também são semelhantes e

que 𝐴𝑍 = 𝑍𝑃, implicando que a última relação pode ser reescrita, obtendo a forma

𝐾𝐷2 = 𝐴𝐷 ∙ 𝐵𝐷 ∙ 2𝐴𝑊

𝐴𝐵. Observando o significado geométrico de 𝐵𝐷 para a elipse, o

ponto 𝐵 está sobre o cone e 𝐵𝐷 = 𝐴𝐵 − 𝐴𝐷, possibilitando reescrever aquela relação

por 𝐾𝐷2 = 𝐴𝐷(2𝐴𝑊 −2𝐴𝑊

𝐴𝐵∙ 𝐴𝐷). Assim, 𝐾𝐷2 +

2𝐴𝑊

𝐴𝐵𝐴𝐷2 − 2𝐴𝐷 ∙ 𝐴𝑊 = 0

desenvolvendo e completando quadrados fica 𝐾𝐷2

2𝐴𝑊+ (

𝐴𝐷

√𝐴𝐵−

√𝐴𝐵

2)2

= 𝐴𝐵

4 que

representa uma relação geométrica para a elipse que relaciona os segmentos 𝐾𝐷 e

𝐴𝐷, perpendiculares entre si. Assim, conclui-se que será uma elipse quando o ângulo

do vértice do cone estiver no intervalo 0° < 𝛼 < 90° e o ângulo de incidência do plano

com uma das geratrizes do cone for 𝛽 = 900.

No caso de hipérboles, o cone é obtusângulo, figura 45, a partir de superfícies

de cones obtusângulo com eixo de simetria 𝑉𝑊, o plano de corte que incide 90º com

120

a geratriz produz como resultado um ramo de hipérbole com vértice no ponto 𝐴 . Sendo

𝐾 um ponto qualquer da hipérbole e sua projeção 𝐷 no eixo de simetria desta cônica,

tomamos uma circunferência paralela ao plano da base do cone que passa pelos

pontos 𝑀, 𝑁 e 𝐾, como fizemos nas duas situações anteriores.

Figura 45 – Hipérbole no cone obtusângulo


A partir daí, deve-se traçar o segmento 𝐴𝑃 paralelamente ao segmento 𝑀𝑁 .

Depois disso, deve-se traçar os segmentos 𝑃𝑄 e 𝑀𝑅 paralelamente ao eixo do cone

de modo a determinar os pontos 𝑄 e 𝑅 na interseção destes, com o prolongamento do

segmento com 𝐴𝐵, figura 46.

Figura 46 – Cone obtusângulo para determinar e relação da hipérbole


Nesta figura, verifica-se as mesmas relações que determinaram a equação

utilizada para demonstrar a relação da elipse, 𝐾𝐷2 = 𝐴𝐷 ∙ 𝐵𝐷 ∙ 2𝐴𝑊

𝐴𝐵, que deve ser

analisada agora com o ponto 𝐵 exterior ao cone. Desta forma, verifica-se que 𝐵𝐷 pode

ser relacionado, como 𝐵𝐷 = 𝐴𝐵 + 𝐴𝐷 e a equação da hipérbole pode ser identificada

121

por 𝐾𝐷2 = 𝐴𝐷(2𝐴𝑊 +2𝐴𝑊

𝐴𝐵∙ 𝐴𝐷), que após ser desenvolvida e utilizar a técnica de

completar quadrados fica 𝐾𝐷2

2𝐴𝑊− (

𝐴𝐷

√𝐴𝐵−

√𝐴𝐵

2)2

= 𝐴𝐵

4. Portanto, conclui-se que será uma

hipérbole se o vértice do cone tiver um ângulo no intervalo 90° < 𝛼 < 180.

Enquanto Arquimedes utilizou três tipos diferentes de cones simples para

determinar as cônicas, Apolônio as unifica em um único cone de duas folhas que

apresentamos na próxima Organização Matemática.

𝑻𝑮𝑺𝟐: construir uma cônica de acordo com Apolônio

Tarefa 𝒕𝑮𝑺𝟐𝟏: Construir uma parábola segundo Apolônio.

Para o cumprimento dessa tarefa, a técnica 𝝉𝑮𝑺𝟐𝟏 requer que se considere um

cone reto de duas folhas com seus elementos figurais tais como a geratriz g, eixo de

simetria e, vértice V e o ângulo α formado entre o eixo de simetria e uma das geratrizes

do cone.

A forma de parábola surge quando o plano de corte intersectar o cone c

paralelamente a uma de suas geratrizes, denominadas aqui por 𝑔 (Figura 47). Nesta

figura, o plano 𝜋 está disposto paralelamente à reta geratriz g.

Figura 47 – Parábola como resultado da interseção entre plano e cone


A tecnologia 𝜽𝑮𝑺𝟐𝟏, que justifica a construção da parábola vem da Symptome

obtida por Apolônio ao analisar as diferentes posições do plano para seccionar o cone

que, segundo Lopes (2011), utilizou uma terminologia própria para nomear as cônicas.

122

Na figura 48 vemos a representação de um cone de vértice 𝐴 e diâmetro da

base 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ e uma parábola de vértice em 𝑃, que intercepta a base do cone nos pontos

𝐷 e 𝐸, e tem o ponto 𝑀 como intersecção dos segmentos perpendiculares 𝐷𝐸 e 𝐵𝐶.

Construímos então o segmento 𝐻𝐾 paralelo ao 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ e o segmento 𝑃𝑀 paralelo ao 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ .

Determinando um ponto 𝑄 arbitrário da cônica traçamos por ele uma paralela ao 𝐷𝐸̅̅ ̅̅

que determina no segmento 𝑃𝑀 o ponto 𝑉. Traçando por 𝑉 o segmento 𝐻𝐾 podemos

dizer que os pontos 𝑄, 𝐻 e 𝐾 determinam um plano paralelo à base do cone e,

portanto, uma circunferência de diâmetro 𝐻𝐾 em que o segmento 𝑄𝑉 é perpendicular

ao segmento 𝐻𝐾. Pelo ponto 𝑃 traçamos uma reta deve ser perpendicular ao

segmento 𝑃𝑀 e determinamos 𝑃𝐿 que, segundo Lopes (2011) deve estar em um

plano perpendicular ao cone e passar por 𝑃.

O segmento 𝑃𝐿 de acordo com o autor é o parâmetro definido por Apolônio no

caso de parábola entre o triângulo 𝐴𝐵𝐶 e o segmento 𝑃𝐴 como sendo 𝑃𝐿

𝑃𝐴=

𝐵𝐶2

𝐴𝐶∙𝐵𝐴.

Figura 48 – Cone para obter a relação da parábola


A partir da figura 48, verifica-se a relação de que 𝑄𝑉2 = 𝐻𝑉 ∙ 𝑉𝐾, pois os pontos

𝐾, 𝐻 e 𝑄 formam um triângulo retângulo inscrito na circunferência de diâmetro 𝐻𝐾.

Verifica-se também a relação de semelhança entre os triângulos ∆𝐴𝐵𝐶, ∆𝐻𝑃𝑉 e ∆𝐴𝐻𝐾

e, portanto, podemos escrever que 𝐻𝑉

𝑃𝑉=

𝐵𝐶

𝐴𝐶 e

𝑉𝐾

𝑃𝐴=

𝐵𝐶

𝐵𝐴. Se dividirmos a expressão

𝑄𝑉2 = 𝐻𝑉 ∙ 𝑉𝐾 por 𝑃𝑉 ∙ 𝑃𝐴, encontraremos 𝑄𝑉2

𝑃𝑉∙𝑃𝐴=

𝐻𝑉∙𝑉𝐾

𝑃𝑉∙𝑃𝐴 e, pelos resultados da

semelhança destes triângulos, esta relação pode ser reescrita como 𝑄𝑉2


𝐵𝐶2

𝐴𝐶∙𝐵𝐴.

123

O segundo membro desta expressão é uma constante, pois não depende da

posição do ponto 𝑄 da parábola, desta forma deve-se aplicar o retângulo ao segmento

𝑃𝐿 de tal maneira que 𝑃𝐿

𝑃𝐴=

𝐵𝐶2

𝐴𝐶∙𝐵𝐴 e igualar as duas últimas expressões

𝑄𝑉2


𝑃𝐿

𝑃𝐴 de

modo que 𝑄𝑉2 = 𝑃𝐿 ∙ 𝑃𝑉, ou seja, o quadrado de lado 𝑄𝑉 possui área igual ao

retângulo de lados 𝑃𝐿 e 𝑃𝑉, denominando o nome de parábola que vem do grego

paraboli para caracterizar uma aplicação sem faltas ou excessos. Portanto, quando

um plano intersecta um cone paralelamente a uma de suas geratrizes o resultado

desta interseção será uma parábola.

Tarefa 𝒕𝑮𝑺𝟐𝟐: Construir uma elipse segundo Apolônio.

Já para o cumprimento dessa tarefa, a técnica 𝝉𝑮𝑺𝟐𝟐 requer que o plano 𝜋

intersecte o cone c, formando com o eixo de simetria um ângulo maior que o ângulo

formado entre este mesmo eixo e uma das geratrizes no cone. Na figura 49 o plano 𝜋

intersecta o eixo de simetria, formando com ele um ângulo 𝛽 > 𝛼.

Figura 49 – Elipse como resultado da interseção entre plano e cone


Para justificar essa construção por meio da tecnologia 𝜽𝑮𝑺𝟐𝟐 devemos

considerar o segmento 𝐴𝐹 paralelo ao segmento 𝑃𝑀 e que encontra o prolongamento

do segmento 𝐵𝐶, (Figura 50). O ponto 𝑃 representa a interseção da cônica com um

dos lados do triângulo ∆𝐴𝐵𝐶 ou o ponto 𝑃’ representa esta interseção com um dos

124

lados do triângulo ∆𝐴𝐵′𝐶′, considerando o outro ramo da hipérbole. Além disso, deve-

se considerar que o retângulo 𝑃𝑉 ∙ 𝑃𝐿 está situado num plano perpendicular ao plano

da secção cônica, uma vez que como no caso de parábola 𝑃𝐿 é perpendicular ao

segmento 𝑃𝑀.

Da mesma forma que para a parábola, o segmento 𝑃𝐿 é o parâmetro definido

por Apolônio em função dos triângulos 𝐴𝐵𝐶 e dos segmentos 𝐴𝑃 e 𝐴𝐹, quando for

𝑃𝐿

𝑃𝑃′=

𝐵𝐹∙𝐶𝐹

𝐴𝐹2, que servirá tanto para a elipse quanto para a hipérbole.

Figura 50 – Cone para justificar a relação da elipse segundo Apolônio


A partir desta figura, verifica-se a semelhança entre os triângulos ∆𝐴𝐵𝐹 e ∆𝐻𝑃𝑉,

decorrendo então que 𝐻𝑉

𝑃𝑉=

𝐵𝐹

𝐴𝐹. Além disso, decorre ainda, que os triângulos ∆𝑃′𝑉𝐾 é

semelhante ao triângulo ∆𝐴𝐶𝐹 e, portanto, 𝑉𝐾

𝑃′𝑉=

𝐶𝐹

𝐴𝐹. Verifica-se também, a

semelhança entre os triângulos ∆𝑃′𝑃𝐿 e ∆𝑃′𝑉𝑅, garantindo a relação 𝑃𝐿

𝑃𝑃′=

𝑉𝑅

𝑃′𝑉 e entre

os triângulos ∆𝑃′𝑃𝐿 e ∆𝐿𝑆𝑅, implicando na relação 𝑅𝑆

𝑆𝐿=

𝑃𝐿

𝑃𝑃′. Como o os segmentos 𝑃𝑉

e 𝑃𝐿 possuem a mesma medida, esta última relação pode ser escrita 𝑅𝑆 = 𝑃𝐿

𝑃𝑃′∙ 𝑃𝑉.

Ainda na figura 50, obtemos também a mesma relação que obtivemos para a

parábola, ou seja, que 𝑄𝑉2 = 𝐻𝑉 ∙ 𝑉𝐾 e após dividirmos ambos os lados dessa

expressão por 𝑃𝑉 ∙ 𝑃𝑉’ obtemos 𝑄𝑉2

𝑃𝑉∙𝑃𝑉’ =

𝐻𝑉.𝑉𝐾

𝑃𝑉∙𝑃𝑉’. Assim, substituindo os resultados das

semelhanças de triângulos anteriores, podemos reescrever essa expressão como

𝑄𝑉2

𝑃𝑉∙𝑃𝑉′=

𝐵𝐹

𝐴𝐹∙ 𝐶𝐹

𝐴𝐹 ou ainda,

𝑄𝑉2


𝐵𝐹∙𝐶𝐹

𝐴𝐹2. Este último termo, é uma constante e portanto,

deve ser aplicado o retângulo ao segmento 𝑃𝐿 de tal maneira que 𝑃𝐿

𝑃𝑃′=

𝐵𝐹∙𝐶𝐹

𝐴𝐹2, além de

125

utilizarmos o resultado de que 𝑃𝐿

𝑃𝑃′=

𝑉𝑅

𝑃′𝑉 para que ela tenha a forma 𝑄𝑉2 =

𝑉𝑅.𝑃𝑉.𝑃′𝑉

𝑃′𝑉 ou

𝑄𝑉2 = 𝑉𝑅 ∙ 𝑃𝑉.

Analisando a figura 50, percebemos que, como 𝑉𝑅 = 𝑃𝐿 − 𝑅𝑆 verifica-se a

relação 𝑄𝑉2 = 𝑃𝑉(𝑃𝐿 − 𝑅𝑆), que pode ser reescrita inserindo resultados anteriores

como 𝑄𝑉2 = 𝑃𝑉(𝑃𝐿 −𝑃𝐿

𝑃𝑃′𝑃𝑉), caracterizando a elipse cujo o nome vem do grego ellipis

que corresponde a aplicação de áreas por falta e o que justifica esse fato é a subtração

do termo 𝑃𝐿

𝑃𝑃′𝑃𝑉2 nesta última expressão, ou seja, quando o plano secciona todas as

geratrizes do cone, o resultado desta interseção será uma elipse.

Tarefa 𝒕𝑮𝑺𝟐𝟑: Construir uma hipérbole segundo Apolônio.

O cumprimento dessa tarefa, por sua vez, será efetuado pela técnica 𝝉𝑮𝑺𝟐𝟑, em

que é necessário considerar o resultado da interseção entre o plano 𝜋 e o cone 𝑐

quando este plano forma um ângulo, com o eixo de simetria, menor do que o ângulo,

formado entre este mesmo eixo e uma das geratrizes do cone. Na figura 51 o plano 𝜋

intersecta o eixo de simetria formando um ângulo 𝛽 < 𝛼.

Figura 51 – Hipérbole como resultado da interseção entre plano e cone


A tecnologia 𝜽𝑮𝑺𝟐𝟑 que justificam a construção da hipérbole a percepção da

forma da cônica representada por Apolônio, consiste na comparação entre o ângulo

de corte, que o plano faz com o eixo de simetria do cone, com o ângulo entre este eixo

e uma das retas geratrizes deste mesmo cone.

126

Para a hipérbole devemos considerar o segmento 𝐴𝐹 paralelo ao segmento

𝑃𝑀 e que encontra o segmento 𝐵𝐶, (Figura 52), O ponto 𝑃 representa a interseção

da cônica com um dos lados do triângulo ∆𝐴𝐵𝐶 ou o ponto 𝑃’ representa esta

interseção com um dos lados do triângulo ∆𝐴𝐵′𝐶′, considerando o outro ramo da

hipérbole. Além disso, deve-se considerar que o retângulo 𝑃𝑉 ∙ 𝑃𝐿 está situado num

plano perpendicular ao plano da secção cônica, uma vez que como no caso de

parábola 𝑃𝐿 é perpendicular ao segmento 𝑃𝑀.

Figura 52 – Cone para justificar a relação da hipérbole segundo Apolônio


A partir desta figura, assim como fizemos para o caso de elipse encontraremos

a mesma relação geométrica, ou seja, 𝑅𝑆

𝑆𝐿=

𝑃𝐿

𝑃𝑃′. e como 𝑃𝑉 = 𝑃𝐿 podemos reescrever

esta última relação como 𝑅𝑆 = 𝑃𝐿

𝑃𝑃′𝑃𝑉.

Ainda na figura 52, obtemos também a mesma relação que obtivemos para a

parábola, ou seja, que 𝑄𝑉2 = 𝐻𝑉 ∙ 𝑉𝐾 e após dividirmos ambos os lados dessa

expressão por 𝑃𝑉. 𝑃𝑉’ obtemos 𝑄𝑉2

𝑃𝑉∙𝑃𝑉’ =

𝐻𝑉.𝑉𝐾

𝑃𝑉∙𝑃𝑉’. Assim, substituindo os resultados das

semelhanças de triângulos anteriores, podemos reescrever essa expressão como

𝑄𝑉2


𝐵𝐹

𝐴𝐹∙𝐶𝐹

𝐴𝐹 ou ainda,

𝑄𝑉2


𝐵𝐹∙𝐶𝐹

𝐴𝐹2. Este último termo, é uma constante e, portanto,

deve ser aplicado o retângulo ao segmento 𝑃𝐿 de tal maneira que 𝑃𝐿

𝑃𝑃′=

𝐵𝐹∙𝐶𝐹

𝐴𝐹2, além de

127

utilizarmos o resultado de que 𝑃𝐿

𝑃𝑃′=

𝑉𝑅

𝑃′𝑉 para que ela tenha a forma 𝑄𝑉2 =

𝑉𝑅.𝑃𝑉.𝑃′𝑉

𝑃′𝑉 ou

𝑄𝑉2 = 𝑉𝑅 ∙ 𝑃𝑉.

Este resultado permite obter uma expressão para a hipérbole depois de analisar

a figura 52, uma vez que 𝑄𝑉2 = 𝑃𝑉(𝑃𝐿 + 𝑅𝑆) e, portanto, 𝑄𝑉2 = 𝑃𝑉(𝑃𝐿 +𝑃𝐿

𝑃𝑃′𝑃𝑉),

significando que o nome hipérbole vem do grego yperboli, ou seja, uma aplicação de

áreas por excesso que se justifica pela adição do termo 𝑃𝐿

𝑃𝑃′𝑃𝑉2 na última expressão.

Então, quando o plano que intersecta o cone não for paralelo a nenhuma

geratriz do cone e não intersectar todas as geratrizes, o resultado desta intersecção

será uma hipérbole.

As justificativas e as symptomes obtidas segundo Arquimedes e Apolônio, nos

permite concluir os dois primeiros tipos de tarefas e a entender que os geômetras da

Grécia antiga já faziam a passagem do espaço para o plano para estudar as cônicas.

O terceiro tipo de tarefa também está relacionado à construção de cônicas à

maneira de Al–Quhi, identificando alguns pontos da cônica por meio de tangências de

circunferências que permite caracterizar as cônicas como lugar geométrico de pontos.

𝑻𝑮𝑺𝟑: Construir as cônicas segundo Al-Quhi.

Tarefa 𝒕𝑮𝑺𝟑𝟏: Construir uma parábola segundo Al-Quhi;

Tarefa 𝒕𝑮𝑺𝟑𝟐: Construir uma elipse segundo Al-Quhi;

Tarefa 𝒕𝑮𝑺𝟑𝟑: Construir uma hipérbole segundo Al-Quhi.

Para o cumprimento da tarefa 𝒕𝑮𝑺𝟑𝟏 a técnica 𝝉𝑮𝑺𝟑𝟏 requer que considere a

figura uma reta que chamaremos de 𝑟 e um ponto fora dela que chamaremos de 𝑃. A

partir daí deve-se construir diversas circunferências que tenham a característica de

tangenciar essa reta ao mesmo tempo em que passa por esse ponto como na figura

53.

128

Figura 53 – Parábola segundo Al - Quhi


Nesta figura as circunferências centralizadas nos pontos 𝐻, 𝐷, 𝐴, 𝑉, 𝐸, 𝐼, 𝐽 e 𝐶

passam pelo ponto 𝑃 e tangenciam a reta 𝑟 nos pontos 𝐾, 𝐿, 𝑀, 𝑁, 𝑂, 𝑄, 𝑅 e 𝑆,

respectivamente.

Essa construção pode ser justificada pela tecnologia 𝜽𝑮𝑺𝟑𝟏 em que tomamos

apenas o centro de uma circunferência como representante de todos os centros das

circunferências com essa característica, figura 54.

Figura 54 – Parábola pala propriedade de tangência à circunferência


129

A partir desta figura, verifica-se que 𝐷 é equidistante tanto de 𝑟, quanto de 𝑃,

pois os segmentos 𝐷𝐿 e 𝐷𝑃 são congruentes e tem medida igual à do raio desta

circunferência.

Este resultado é estendido para todos os pontos, formando a parábola. De fato

𝐷 está no lugar geométrico da parábola que pode ser então definida como o conjunto

de pontos representados pelos centros das circunferências que passam por 𝑃 e

tangenciam 𝑟, descrevendo a representação da parábola no plano e, portanto, é válida

a relação 𝑛 = 𝐷𝑃 = 𝐷𝐿 que é equivalente a 𝑑(𝐷, 𝑃) = 𝑑(𝐷, 𝐿), que equivale à definição

focal da parábola como conhecemos. Portanto, o ponto 𝑃 será o foco da parábola e

𝑟 será a reta diretriz.

De acordo com o autor, Al-Quhi baseou-se nas proposições 51 e 52 do tratado

de Apolônio para demonstrar, por exemplo, que no caso de elipse a tangência ocorre

internamente à circunferência auxiliar de centro 𝑂 em que os pontos 𝑃 e

𝑂 representam seus focos e os centros das circunferências internas são pontos da

elipse. Assim, a tarefa 𝑡𝐺𝑆32 deve ser cumprida, por meio da técnica 𝜏𝐺𝑆32 que

considera os procedimentos de Al-Quhi. Nesta situação a tangência entre

circunferências ocorre internamente a uma circunferência auxiliar que tomaremos por

centro 𝑂, de tal maneira que as outras circunferências a tangencie e passam por um

mesmo ponto para que a elipse seja construída por pontos que são exatamente os

centros dessas circunferências, figura 55.

Figura 55 – Elipse segundo Al - Guhi


130

Nesta figura as circunferências de centros em 𝐷, 𝐸, 𝐹, 𝐺, 𝐻, 𝐼, 𝐽, 𝐾 e 𝐿 passam

pelo ponto 𝑃 e tangenciam a circunferências auxiliar nos pontos 𝐴, 𝑉, 𝑈, 𝑇, 𝑆, 𝑅, 𝑄, 𝑁

e 𝐶, respectivamente. Quanto mais pontos tomarmos, mais próximos chegaremos a

uma curva fechada como a elipse.

Como tecnologia 𝜽𝑮𝑺𝟑𝟐, se tomarmos apenas um ponto como representante

dos centros das circunferências que possuem a característica de tangenciar

internamente a circunferência auxiliar e passar por um ponto, como por exemplo, a

circunferência centralizada no ponto 𝐷 que passa pelo ponto 𝑃 e tangencia a

circunferência auxiliar no ponto 𝐴, figura 56.

Figura 56 – Tangência interna de circunferência


Com base nesta figura e pela propriedade da circunferência, de que qualquer

um de seus pontos está equidistante do centro, podemos afirmar que os segmentos

𝐷𝐴 e 𝐷𝑃 são congruentes e possuem a mesma medida do raio da circunferência com

centro no ponto 𝐷. Assim, podemos obter a relação de que 𝑂𝐴 = 𝑂𝐷 + 𝐷𝐴, contudo,

𝐷𝐴 = 𝐷𝑃 e, portanto, 𝑂𝐴 = 𝑂𝐷 + 𝐷𝑃 que pode ser estendido para qualquer ponto da

elipse.

A partir disso, podemos escrever que 𝑑(𝐷, 𝑂) + 𝑑(𝐷, 𝑃) = 𝑂𝐴 em que 𝑂𝐴 é uma

constante que corresponde ao raio da circunferência auxiliar com centro em 𝑂.

Concluímos, então que a elipse tem uma propriedade bifocal e pode ser definida como

o lugar geométrico dos pontos representados pelos centros das circunferências que

tangenciam internamente uma circunferência auxiliar de centro 𝐷, no ponto 𝐴 e passa

por um ponto interno que representa um dos focos da elipse, que denominamos por

𝑃.

Já o cumprimento da tarefa 𝒕𝑮𝑺𝟑𝟑 requer o uso da técnica 𝝉𝑮𝑺𝟑𝟑 em que

consideramos os procedimentos de Al – Guhi em tomar circunferências que

131

tangenciam externamente uma circunferência auxiliar e passam pelo mesmo ponto.

Neste sentido, consideramos a circunferência auxiliar com centro no ponto O e um

ponto 𝑃 exterior a ela de tal maneira que construímos circunferências de centros nos

pontos 𝐴, 𝐵, 𝐸, 𝐹, 𝐺, 𝐻, 𝐼 e 𝐽 que passam por 𝑃 e tangenciam a circunferência auxiliar

nos pontos 𝑀, 𝐿, 𝑇, 𝑅, 𝑁, 𝑄, 𝑆, 𝐾, respectivamente, figura 57.

Figura 57 – Hipérbole segundo Al-Quhi


Com base nesta configuração, a tecnologia 𝜽𝑮𝑺𝟑𝟑 que justifica esta construção

requer que consideremos apenas um centro de uma circunferência tangente à

circunferência auxiliar como representante de todos os centros possíveis. Como por

exemplo, a circunferência com centro em 𝐹 e que tangência externamente a

circunferência auxiliar no ponto 𝑇 e passa pelo 𝑃, figura 58.

Figura 58 - Tangência externa de circunferências


132

A partir desta figura, observamos que os segmentos 𝐹𝑇 e 𝐹𝑃 são congruentes

e que 𝑂𝑇 é uma constante igual ao raio da circunferência auxiliar, então vale a relação

|𝑑(𝐹, 𝑂) − 𝑑(𝐹, 𝑇)| = 𝑂𝑇 e como 𝐹𝑇 = 𝐹𝑃 podemos escrever |𝑑(𝐹, 𝑂) − 𝑑(𝐹, 𝑃)| = 𝑂𝑇

que pode ser estendido para todos os centros das circunferências com estas

características.

Esta relação caracteriza a propriedade bifocal da hipérbole com seus focos 𝑂

e 𝑃, ou seja, a hipérbole pode ser definida como o lugar geométrico dos pontos

representados pelos centros das circunferências que tangenciam externamente uma

circunferência de raio 𝑂𝑇 e centro em 𝑂 e passa por um ponto externo representado

por 𝑃.

Outra possibilidade de tratar as cônicas veio das soluções dadas pelo

matemático Árabe Omar Khayyam à alguns tipos de equações cúbicas, nos levando

a apresentar o quarto tipo de tarefas:

𝑻𝑮𝑺𝟒: Resolver geometricamente equações cúbicas por meio das cônicas.

Um dos tipos de equações resolvidas por Omar Khayyam é a equação cúbica

𝑥3 + 𝑟2𝑥 = 𝑟2𝑠, em que em que 𝑟 é o segmento conhecido como latus rectum da

parábola 𝑥2 = 𝑟𝑦 e 𝑠 é um segmento. Assim, Khayyam considerou 𝑚 = 𝑟2 a medida

da área da base de um paralelepípedo de volume 𝑛 = 𝑟2𝑠 e, portanto, 𝑚 > 0 e 𝑛 > 0.

Para resolver a tarefa 𝒕𝑮𝑺𝟒, utilizamos como técnica 𝝉𝑮𝑺𝟒 a construção geométrica da

parábola de equação descrita anteriormente em que inicialmente traçamos o latus

rectum 𝑟 de extremidades 𝐴 e 𝐵 e traçamos a mediatriz deste segmento que também

será, ao mesmo tempo o eixo de simetria da parábola. Em seguida, demarcamos a

interseção entre a reta e o segmento por 𝐹, hoje conhecido como o foco desta cônica,

figura 59.

Figura 59 – Latus rectum da parábola e sua mediatriz


133

Depois disso, traçamos uma semicircunferência a partir de 𝐹 e de raio 𝐹𝐵 e

denominamos por 𝑃 sua interseção com a mediatriz do segmento 𝐴𝐵. Como

percebemos na construção de Al-Qhuri a distância de um ponto da parábola a seu

foco e a distância deste mesmo ponto à reta diretriz são iguais, então traçamos a reta

diretriz 𝑑 da parábola, tangente à semicircunferência no ponto 𝑄. Assim, construímos

a parábola com seu foco e com sua reta diretriz e identificamos o vértice desta curva

pela interseção da parábola com seu eixo de simetria figura 60.

Figura 60 – Parábola e seus elementos figurais


A partir desta figura, traçamos uma reta paralela a 𝑑 que passa pelo ponto 𝑉 e

traçamos, sobre ela, o segmento 𝑠 de extremidades 𝑉 e 𝑅. Em seguida, construímos

uma outra semicircunferência de diâmetro 𝑉𝑅 e tomamos por 𝑃 a interseção entre

esta semicircunferência com a parábola, em que o ponto 𝑉 representa a outra

interseção. Depois disso, traçamos por 𝑃 um segmento perpendicular a 𝑉𝑅 e

identificamos a interseção entre estes dois segmentos por 𝑊. Segundo Omar

Khayyam a medida do segmento 𝑉𝑊 será a solução desta cúbica, figura 61.

Figura 61 – Segmento VW como solução da cúbica


134

Para justificar essa afirmação tomamos a tecnologia 𝜽𝑮𝑺𝟒 que considera o

triângulo 𝑉𝑃𝑅, retângulo em 𝑃, inscrito na semicircunferência de diâmetro 𝑉𝑅 (Figura

62). A partir da equação da parábola 𝑥2 = 𝑟𝑦, consideramos 𝑥 = 𝑉𝑊 e 𝑦 = 𝑃𝑊 para

obter a relação 𝑟

𝑥=

𝑥

𝑦 e pelas informações do triângulo retângulo

𝑥

𝑦=

𝑦

𝑊𝑅 . Portanto, se

𝑟

𝑥=

𝑦

𝑊𝑅 e

𝑟

𝑥=

𝑥2

𝑟∙𝑊𝑅, então 𝑥3 = 𝑟2 ∙𝑊𝑅. No entanto, como na figura 𝑊𝑅 = 𝑠 − 𝑥, a

última expressão pode ser reescrita por 𝑥3 = 𝑟2(𝑠 − 𝑥), que, após um tratamento,

toma a forma da equação cúbica inicial, 𝑥3 + 𝑟2𝑥 = 𝑟2𝑠, confirmando que 𝑊𝑅 é de

fato sua solução.

Figura 62 – Triângulo retângulo inscrito em uma semicircunferência


Os resultados obtidos com a relação às equações de cônicas enquanto lugar

geométrico, para justificar as construções de cônicas por tangência de

circunferências, possibilitaram construir representações destes objetos por meio de

régua e compasso e pelo método de Kepler. Sendo assim, elaboramos o quinto tipo

de tarefas.

𝑻𝑮𝑺𝟓: Construir uma cônica com régua e compasso

Tarefa 𝒕𝑮𝑺𝟓𝟏: Construir uma parábola com régua e compasso;

Tarefa 𝒕𝑮𝑺𝟓𝟐: Construir uma elipse com régua e compasso;

Tarefa 𝒕𝑮𝑺𝟓𝟑: Construir uma hipérbole com régua e compasso.

Quanto ao cumprimento da tarefa 𝒕𝑮𝑺𝟓𝟏, a técnica 𝝉𝑮𝑺𝟓𝟏 empregada requer

alguns procedimentos. Uma parábola pode ser construída, traçando uma reta diretriz

𝑑 e demarcando um ponto F, fora dela. Em seguida, deve ser construída uma reta

135

perpendicular à 𝑑, passando por 𝐹 e denominamos a interseção entre as duas retas

de ponto O. Depois disso, encontramos o vértice 𝑉 da parábola por ser ponto médio

entre O e F. A partir daí, demarcamos vários pontos A, B, C ou mais pontos nesta reta

OF e traçamos, por eles, retas paralelas a diretriz para, em seguida, com o compasso

com a ponta seca no ponto 𝐹, descrever arcos de medidas de raios iguais AO, BO,

CO ou mais raios. A interseção destes arcos com as retas paralelas à diretriz são

pontos que pertencem a parábola como mostra a figura 63.

Figura 63 – Parábola por régua e compasso


Justificamos essa construção por meio da tecnologia 𝜽𝑮𝑺𝟓𝟏, que considera as

propriedades da figura no desenho geométrico. Assim, uma justificativa para a

construção da parábola provém do fato de as distâncias das intersecções, E, G, H, I,

J, K, L M ou mais pontos, ao foco e à reta diretriz serem iguais, por conta de também

serem iguais aos raios das circunferências criadas. Uma maneira de ver esse

resultado seria construir uma nova circunferência de centro no ponto E que tenha raio

igual a medida de 𝐴𝑂. Nesta configuração a circunferência tangenciará a reta diretriz

no ponto N e passará pelo foco, concluindo que 𝑁𝐸 = 𝐸𝐹, por serem iguais à medida

do raio desta circunferência, figura 64. Portanto, esse resultado é o mesmo da

construção de parábolas por tangências de circunferências justificado anteriormente.

136

Figura 64 – Parábola para justificar a construção por pontos


Para o cumprimento da tarefa 𝒕𝑮𝑺𝟓𝟐 utilizamos a técnica 𝝉𝑮𝑺𝟓𝟐 em que uma

elipse é construída demarcando, em uma folha de papel, um ponto central 𝑂 e uma

reta 𝑟 passando por ele para, em seguida, construir uma reta g perpendicular à esta,

passando também por este ponto.

Depois, construímos os pontos 𝐴1simétrico a 𝐴2 em relação ao ponto 𝑂 e

demarcamos os 𝐹1 e 𝐹2 também simétricos entre si pelo ponto 𝑂. Depois disso,

demarcamos vários pontos A, B, C ou mais pontos entre os focos da elipse e

traçamos, com o compasso arcos de medidas de raio iguais a 𝐴1𝐴, 𝐴2𝐴; 𝐴1𝐵, 𝐴2𝐵;

𝐴1𝐶, 𝐴2𝐶 ou mais arcos, com a ponta seca sobre os focos. As interseções de cada

dupla de arcos determinarão os pontos da elipse. Por fim, demarcamos os pontos 𝐵1

e 𝐵2 de interseção entre a elipse com a reta g de modo a determinar o segundo eixo

de simetria da elipse, figura 65.

Figura 65 – Elipse por régua e compasso


137

Nesta figura, o segmento 𝐵1𝐵2 representa o eixo menor da elipse, o segmento

𝐴1𝐴2 representa o segmento maior da elipse e 𝐴1 e 𝐴2 representam os vértices desta

cônica. A justificativa para essa construção se dá por meio da tecnologia 𝜽𝑮𝑺𝟏𝟐𝟐 em

que utilizamos, para a elipse, c, os mesmos argumentos utilizados na construção pelo

método de Kepler, porém na situação, em que construímos uma elipse por pontos,

quem faz papel do fio é a soma das medidas da abertura do compasso, representados

pelos segmentos 𝐹1𝑃 e 𝐹2𝑃, em que 𝑃 representa os pontos sobre a elipse, e

necessariamente deve ter a medida de 𝐴1𝐴2 como na figura 66.

Figura 66 – Elipse para justificar a construção por pontos


De fato, se tomarmos apenas o ponto A daqueles marcados anteriormente e

construirmos uma circunferência de centro em 𝐹1 de raio igual a 𝐴𝐴1 e outra

circunferência de raio 𝐴𝐴2 com centro em 𝐹2 as intersecções entre estas

circunferências se dará nos pontos P e C, de modo que se tomarmos o ponto P,

verificamos nesta figura que 𝑃𝐹2 = 𝐴𝐴2 e 𝑃𝐹1 = 𝐴𝐴1, ou seja, 𝑃𝐹1 + 𝑃𝐹2 = 𝐴1𝐴2.

No caso da construção da hipérbole, tarefa 𝒕𝑮𝑺𝟓𝟑, utilizamos como técnica 𝝉𝑮𝑺𝟓𝟑

os mesmos procedimentos como da construção da elipse, no entanto tomamos os

pontos A, B, C, D ou mais pontos antes ou depois de 𝐹1 e 𝐹2. Além disso, os vértices

𝐴1 e 𝐴2 são determinados por serem o ponto médio entre os focos 𝐹1 e 𝐹2 e o centro

O, respectivamente, figura 67.

138

Figura 67 – Hipérbole por régua e compasso


Os mesmos argumentos para justificar a construção da elipse por régua e

compasso são utilizados pela tecnologia 𝜽𝑮𝑺𝟓𝟑 para justificar a construção da

hipérbole, figura 68, no entanto, para esta cônica a subtração entre as medidas de um

ponto P da hipérbole aos pontos 𝐹1 e 𝐹2 é uma constante e deve ser igual a medida

do segmento 𝐴1𝐴2, que representa a distância entre os vértices desta cônica. De fato,

como 𝑃𝐹1 = 𝐴𝐴1 e 𝑃𝐹2 = 𝐴𝐴2, então |𝑃𝐹1 − 𝑃𝐹2| = 𝐴1𝐴2.

Figura 68 – Hipérbole para justificar a construção por pontos


𝑻𝑮𝟔: Construir as cônicas pelo método de Kepler.

Tarefa 𝒕𝑮𝑺𝟔𝟏: Construir uma parábola pelo método de Kepler;

Tarefa 𝒕𝑮𝑺𝟔𝟐: Construir uma elipse pelo método de Kepler;

Tarefa 𝒕𝑮𝑺𝟔𝟑: Construir uma hipérbole pelo método de Kepler.

139

Para o cumprimento da tarefa 𝒕𝑮𝑺𝟔𝟏 em construir uma parábola pelo método de

Kepler, utilizamos a técnica 𝝉𝑮𝑺𝟔𝟏 que requer algumas ações com pregos, barbante,

régua, esquadro, lápis e papel, devendo traçar uma reta em uma folha de papel para

representar a reta diretriz e demarcar um ponto fora desta reta para chamar de foco

(Figura 69). Fixamos no ponto 𝐹 uma tachinha e uma extremidade de um barbante de

comprimento qualquer. A outra extremidade do barbante é fixada no vértice do ângulo

de 30° de um esquadro. Colocando uma régua alinhada à reta 𝑑 e apoiando nela um

dos lados do ângulo de 90° do esquadro, encostamos um lápis no esquadro de forma

que o fio se mantenha esticado e deslizamos o esquadro sobre a régua. O lápis

descreverá então a representação de uma parábola.

Figura 69 – Parábola pelo método de Kepler

Fonte: Moreira (2016, p. 84)

A tecnologia, que denominamos por 𝜽𝑮𝑺𝟔𝟏, para justificar tal construção, é

considerarmos o comprimento do barbante igual à medida da distância do ponto 𝐴 à

reta diretriz, que denominaremos por 𝑙, ou seja, da mesma medida do cateto do

esquadro que contêm o ponto A. Neste sentido, podemos fazer 𝑑(𝑃, 𝐹) = 𝑙 − 𝑑(𝑃, 𝐴)

e 𝑑(𝑃, 𝑑) = 𝑙 − 𝑑(𝑃, 𝐴), ou seja, concluímos que 𝑑(𝑃, 𝐹) = 𝑑(𝑃, 𝑑).

Para construir uma elipse pelo método de Kepler, tarefa 𝒕𝑮𝑺𝟔𝟐 utilizamos a

técnica 𝝉𝑮𝑺𝟔𝟐 em que marcamos em uma folha de papel dois pontos, 𝐹1 e 𝐹2 (Figura

70), e fixamos neles duas tachinhas em que foram amarradas as pontas de um

barbante de comprimento maior do que a medida entre estes pontos. Se

movimentarmos a ponta de um lápis, descrevendo uma curva fechada em torno

desses dois pontos e mantendo o fio sempre esticado, teremos a representação de

uma elipse.

140

Figura 70 – Elipse pelo método de Kepler

Fonte: Souza e Garcia (2016, p. 89)

Observando essa construção, a ponta do lápis representa um ponto da elipse

e que a cada posição, como o comprimento do fio não se altera, a soma da distância

desse ponto aos pontos 𝐹1 e 𝐹2 é constante, ou seja, a tecnologia 𝜽𝑮𝑺𝟔𝟐 que justifica

essa construção é o fato de o barbante ter comprimento fixo.

Para o cumprimento da tarefa 𝒕𝑮𝑺𝟔𝟑, utilizamos como técnica 𝝉𝑮𝑺𝟔𝟑 os

procedimentos em que, determinamos em uma folha de papel dois pontos, 𝐹1 e 𝐹2.

Tomamos uma régua e fixamos em um de seus extremos um barbante de modo que

o comprimento da régua e do barbante sejam maiores que a medida de 𝐹1𝐹2. Fixamos

a outra extremidade da régua em 𝐹1 e a outra extremidade do fio em 𝐹2. Com a ponta

do lápis esticamos o barbante e giramos a régua em torno de 𝐹1 para traçar a

representação de um ramo da hipérbole, figura 71, e realizamos o mesmo

procedimento para construir o segundo ramo desta cônica, invertendo a posição de

fixação da régua e da tachinha.

Figura 71 – Hipérbole pelo método de Kepler


141

Justificamos essa construção pela tecnologia 𝜽𝑮𝑺𝟔𝟑 em que consideramos a

figura 72, sendo 𝑚 o comprimento da régua, os pontos 𝐴 e 𝐵 os focos da hipérbole e

𝑙 o comprimento do barbante.

Figura 72 – Justificativa para a hipérbole


Com base nesta figura, podemos escrever 𝑑(𝑃, 𝐶) = 𝑚 − 𝑑(𝑃, 𝐴), assim como

𝑙 = 𝑑(𝑃, 𝐵) + 𝑑(𝑃, 𝐶). Desta forma, a distância entre os pontos 𝑃 e 𝐶 também pode ser

expressa por 𝑑(𝑃, 𝐶) = 𝑙 − 𝑑(𝑃, 𝐵). Neste sentido, podemos igualar a primeira

expressão com essa última para obter 𝑙 − 𝑑(𝑃, 𝐵) = 𝑚 − 𝑑(𝑃, 𝐴) e chegarmos a

expressão para a hipérbole 𝑑(𝑃, 𝐴) − 𝑑(𝑃, 𝐵) = 𝑚 − 𝑙, ou seja, a diferença entre as

distâncias de um ponto da hipérbole a seus focos é uma constante determinada pela

diferença entre o comprimento da régua, 𝑚, e o comprimento do barbante 𝑙.

Existe também a possibilidade em traçar as cônicas utilizando ferramentas

como o parabológrafo, o elipsógrafo e o hiperbológrafo, que são mecanismos

articulados. Desta forma, utilizaremos essas ferramentas para desenvolver o sétimo

tipo de tarefas.

𝑻𝑮𝟕: Construir as cônicas pelos instrumentos de Schooten.

Tarefa 𝒕𝑮𝑺𝟕𝟏: Construir uma parábola com parabológrafo;

Tarefa 𝒕𝑮𝑺𝟕𝟐: Construir uma elipse com elipsógrafo;

Tarefa 𝒕𝑮𝑺𝟕𝟑: Construir uma hipérbole com hipérbológrafo.

Para o cumprimento da tarefa 𝒕𝑮𝑺𝟕𝟏, utilizamos a técnica 𝝉𝑮𝑺𝟕𝟏, considerando o

parabológrafo, figura 73, que é composto de dois trilhos fixos 𝑟 e 𝑠, ligados por um

trilho perpendicular, que por sua vez é unido a outro trilho na diagonal de um losango

articulado. Um vértice do losango se localiza sobre o foco da parábola e seu vértice

142

oposto, sobre o trilho fixo 𝑟. No trilho que se localiza em uma das diagonais do losango

tem um prego que liga esse trilho ao trilho perpendicular e que representa um ponto

sobre a parábola e é livre para deslizar sobre ambos. Este trilho, perpendicular a 𝑟,

também é perpendicular ao trilho fixo, 𝑠, podendo deslizar perpendicularmente sobre

eles. Para construir a representação de uma parábola basta movimentar a régua

vertical, fazendo o prego sobre a reta 𝑟 deslizar sobre ela.

Figura 73 – Parabológrafo

Fonte: Pereira e Bomfim (2013, p. 11)

A tecnologia 𝜽𝑮𝑺𝟕𝟏 que justifica a construção da parábola 𝑝, requer a construção

da figura 74, em que a reta 𝑠, que passa pelo ponto 𝐶, representa o trilho 𝑟 do

parabológrafo. Os triângulos 𝑃𝐴𝐷 e 𝑃𝐶𝐷 são congruentes, uma vez que os ângulos

𝐴�̂�𝐷 e 𝐶�̂�𝐷 são iguais e, portanto, 𝑃𝐴 = 𝑃𝐶. Desta forma, o ponto 𝑃 é equidistante

do ponto fixo 𝐴 e da reta fixa 𝑟, representando o foco e a reta diretriz, respectivamente.

Figura 74 – Justificativa para a construção da parábola


143

Essa justificativa também pode ser feita utilizando a propriedade de mediatriz

que diz que todo ponto sobre a mediatriz equidista das extremidades do segmento.

Na figura 74, 𝐴𝐶 é segmento considerado e 𝑑 é a mediatriz deste segmento e ao

mesmo tempo é a diagonal do losango 𝐴𝐷𝐶𝑅 e, portanto, o ponto 𝑃 está equidistante

de 𝐴 e de 𝐶.

Já a tarefa 𝒕𝑮𝑺𝟕𝟐 pode ser cumprida por meio da técnica 𝝉𝑮𝑺𝟕𝟐, considerando a

figura 75 que apresenta um elipsógrafo que contém um trilho fixo e um losango

articulado que possui dois pontos livres para deslizar sobre este trilho. O vértice

superior deste losango está atrelado ao centro de uma circunferência, por meio de

uma haste articulada que representa o raio desta circunferência, de modo que quando

este vértice percorre a circunferência, o vértice oposto, onde poderá ser colocado um

lápis, descreverá uma elipse que possui um semieixo de medida igual ao raio da

circunferência devido à simetria destas duas figuras geométrica.

Figura 75 – Elipsógrafo


Justificamos a construção da elipse por meio da tecnologia 𝜽𝑮𝑺𝟕𝟐, em que

analisamos a figura 76.

144

Figura 76 – Justificativa para a construção da elipse


Os triângulos 𝑃𝑆𝐹 e 𝑃𝑅𝐵 são semelhantes de modo que podemos escrever que

𝑃𝐹

𝑃𝐵=

𝑃𝑆

𝑃𝑅 e, portanto 𝑃𝑅 =

𝑃𝐵∙𝑃𝑆

𝑃𝐹 . Por outro lado, sabemos que 𝑄𝑆 = 𝑄𝑅 + 𝑅𝑆 e que

𝑅𝑆 = 𝑃𝑅 − 𝑃𝑆 de ondem vem que 𝑄𝑆 = 2𝑃𝑅 − 𝑃𝑆. Substituindo 𝑃𝑅 nesta última

relação fica: 𝑄𝑆 = 2𝑃𝐵∙𝑃𝑆

𝑃𝐹− 𝑃𝑆 ⇒ 𝑄𝑆 =

2𝑃𝐵∙𝑃𝑆∙𝑃𝐹∙𝑃𝑆

𝑃𝐹⇒ 𝑄𝑆 =

𝑃𝑆(2𝑃𝐵−𝑃𝐹)

𝑃𝐹.

Assim, considerando 𝑐 =2𝑃𝐵−𝑃𝐹

𝑃𝐹 temos 𝑄𝑆 = 𝑃𝑆 ∙ 𝑐 que depende apenas das

dimensões do instrumento. Com isso, podemos extrair a seguinte relação para o ponto

𝑃.

𝑂𝑆2 + (𝑃𝑆 − 𝑀𝑂)2 = 𝑟2

𝑂𝑆2 + (−𝑄𝑆

𝑐− 𝑀𝑂)

2

= 𝑟2

𝑂𝑆2

𝑟2+

(𝑄𝑆

𝑐+𝑀𝑂)

2

𝑟2= 1

𝑂𝑆2

𝑟2+

(𝑄𝑆+𝑀𝑂𝑐)2

𝑐2𝑟2= 1 que representa uma elipse na geometria sintética de

semieixos iguais a 𝑟 e a 𝑐𝑟.

A tarefa 𝒕𝑮𝑺𝟕𝟑 por sua vez, pode ser cumprida por meio da técnica 𝝉𝑮𝑺𝟕𝟑,

considerando a figura 77, que apresenta um hiperbológrafo composto por um losango

articulado com dois de seus vértices livres para percorrer um trilho que passa em uma

de suas diagonais e um outro trilho, 𝑟, inclinado em relação a ele de modo a permitir

que um ponto, representado por um prego, na extremidade de duas hastes ligadas

entre si, por meio dele, cuja as outras extremidades estejam nos vértices do losango

145

descritos anteriormente. Neste sentido, quando este prego percorrer esta haste, os

vértices do losango que não estão sobre o trilho descreverão uma hipérbole.

Figura 77 – Hiperbológrafo

Fonte: Pereira e Bomfim (2013, p. 12)

A construção da hipérbole, por este instrumento, é justificada pela tecnologia

𝜽𝑮𝑺𝟕𝟑 em que analisamos a figura 78 e algumas relações obtidas por meio dela.

Consideramos então 𝑃𝑀 = 𝑚, 𝑃𝐶 = 𝑛 e 𝑃𝐷 = 𝑙 e obtemos uma relação entre os

triângulos 𝐶𝑀𝑃 e 𝐶𝐷𝑃, ou seja, 𝑛2 = 𝑏2 −𝑚2 e 𝑛2 = 𝑎2 − 𝑙2. Desta forma,

escrevemos 𝑎2 − 𝑙2 = 𝑏2 −𝑚2, que por sua vez, também pode ser reescrita como

𝑚2 = 𝑙2 − (𝑎2 − 𝑏2).

Figura 78 – Justificativa para a construção da hipérbole


Fazendo 𝑐2 = 𝑎2 − 𝑏2, que depende apenas das dimensões do instrumento,

obtemos 𝑚2 = 𝑙2 − 𝑐2. Agora, fazendo, 𝑃𝑂

𝑚= 𝑘 e então 𝑃𝑂2 = 𝑘2. 𝑚2. Assim,

146

escrevemos 𝑃𝑂2 = 𝑘2. (𝑙2 − 𝑐2) e 𝑃𝑂2 = 𝑘2. 𝑙2 − 𝑘2. 𝑐2, que pode ser reescrita e

tomar a forma de 𝑘2. 𝑙2 − 𝑃𝑂2 = 𝑘2. 𝑐2 que, por sua vez, também pode ser modificada

para uma expressão para a hipérbole na geometria sintética 𝑙2

𝑐2−

𝑃𝑂2

𝑘2.𝑐2= 1.

O oitavo tipo de tarefa 𝑻𝑮𝑺𝟖, tem por objetivo determinar a equação das cônicas

em coordenadas polares, unificando o estudo das cônicas que dependerá apenas do

valor da excentricidade para identificarmos a parábola, elipse ou hipérbole. Assim,

como apresentado na dimensão epistemológica de que a excentricidade é definida

pela razão entre as distâncias de um ponto da cônica ao foco pela distância deste

mesmo ponto à reta diretriz, podemos usar essa definição para determinar a equação

polar.

(𝑻𝑮𝑺𝟖): Determinar a equação das cônicas em coordenadas polares.

Para o cumprimento desta tarefa, por meio de uma técnica 𝝉𝑮𝑺𝟖, consideramos

um sistema de coordenadas polares e um ponto 𝑃 (𝑟, 𝜃) que possa ser localizado.

Neste sistema, 𝑟 representa a distância orientada e 𝜃, um ângulo formado entre 𝑂𝑃 e

o semieixo polar no sentido de 𝑂 para 𝐴, orientado no sentido anti-horário (Figura 79).

Desta forma, podemos escrever, 𝑟 ≥ 0 e 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋.

Figura 79 – Sistema de coordenadas polares

Fonte: Siqueira (2016, p. 89)

A partir da figura 79, estabelecemos relações entre elementos figurais da

cônica 𝜑, considerando o foco O, a reta diretriz d, o ponto P genérico, o vértice V

representado pela interseção entre a curva e o eixo orientado, o eixo polar 𝑂𝐴

orientado no sentido que vai do foco à reta diretriz, figura 80, o latus rectum 2𝑙 da

cônica representado pelo comprimento da corda definida pelo segmento de reta

formado pelos pontos B e B’, passando perpendicularmente ao eixo polar da cônica

147

pelo foco e a distância L entre o foco e a reta diretriz denominada de parâmetro da

cônica.

Figura 80 – Cônica em coordenadas polares


Com base nesta figura, partimos da equação definidora das cônicas pela

excentricidade para escrevermos 𝑑 (𝑃, 𝑂) = ℯ 𝑑 (𝑃, 𝐺) ou ainda, 𝑟 = ℯ𝑑(𝑃, 𝐺). Além

disso, verificamos que 𝑑(𝑃, 𝐺) = 𝐿 − 𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝜃 e, portanto, 𝑟 = ℯ (𝐿 − 𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝜃) que

após passar por um tratamento obtemos a forma 𝑟 + 𝑟ℯ𝑐𝑜 𝑠 𝜃 = ℯ, resultando no raio

da cônica 𝑟 =ℯ𝐿

1+ℯ 𝑐𝑜𝑠 𝜃, ou ainda, explicitando o latus rectum obtemos a forma

𝑙

1+ℯ 𝑐𝑜𝑠 𝜃

ou 𝑟 =𝑙

1−ℯ 𝑐𝑜𝑠 𝜃, dependendo da posição da reta diretriz em relação ao ponto 𝑃

considerado.

A tecnologia 𝜽𝑮𝑺𝟖 que justifica a equação polar das cônicas requer que seja

posto em correspondência a relação definidora das cônicas por sua excentricidade

com o sistema de coordenadas polares, para, por meio da álgebra, obter a equação

nesse sistema. Assim, são necessários conhecimentos de geometria euclidiana plana,

como o conhecimento de pontos, de distância e de elementos figurais das cônicas,

definidos anteriormente, nesta geometria, como focos, reta diretriz e vértice. Requer

também, conhecimentos de trigonometria como o de raio, ângulos e do sistema de

coordenadas polares.

𝑻𝑮𝒔𝟗: Justificar o comportamento dos raios luminosos em espelhos

cônicos

Neste tipo de tarefa consideramos os espelhos parabólico e hiperbólico e

elaboramos duas tarefas:

148

𝒕𝑮𝒔𝟗𝟏: Justificar o comportamento dos raios luminosos em espelhos

parabólicos;

𝒕𝑮𝒔𝟗𝟐: Justificar o comportamento dos raios luminosos em espelhos

hiperbólicos.

Para cumprir a tarefa 𝒕𝑮𝒔𝟗𝟏 é preciso considerar a técnica 𝝉𝑮𝒔𝟗𝟏 a figura 81 e o

enunciado do teorema de Poncelet disposto em Chung (2013, p. 14), a respeito das

propriedades reflexivas da parábola, que diz: dado uma parábola 𝜌 de foco 𝐹 e um

ponto 𝑃 sobre ela, as bissetrizes dos ângulos formados pelo raio vetor 휀 e pela reta

perpendicular à reta diretriz 𝑑 que passa por 𝑃 são as retas tangente e normal à

parábola no ponto 𝑃.

Figura 81 – Parábola para demonstrar a propriedade reflexiva


Como tecnologia 𝜽𝑮𝑺𝟗𝟏, consideramos a demonstração deste teorema a partir

desta figura: sejam o ponto 𝐴 a projeção ortogonal do ponto 𝑇 sobre a reta diretriz

𝑑, 𝐴’ e 𝐹’ os pontos simétricos de 𝐴 e 𝐹, em relação a 𝑇, respetivamente. O triângulo

𝑇𝐹𝐴 é isósceles, pois 𝑇 é um ponto da parábola que por sua definição podemos

concluir que os segmentos 𝑇𝐴 e 𝑇𝐹 são congruentes.

Considerando 𝑡 a bissetriz do ângulo 𝐴𝑇𝐹 em que o ponto 𝐵 é a interseção de

𝑡 com o segmento 𝐴𝐹, em seu ponto médio, 𝑡 também será a mediatriz deste

segmento e, portanto, os triângulos 𝑇𝐹𝐵 e 𝑇𝐴𝐵 são congruentes pelo caso

ângulo/lado/ângulo.

Sendo 𝑃 um ponto de 𝑡 com 𝑃 ≠ 𝑡 e o ponto 𝑃’ sua projeção ortogonal em 𝑑 e

sendo 𝑡 a mediatriz do segmento 𝐴𝐹, então os segmentos 𝑃𝐹 e 𝑃𝐴 são congruentes.

Além disso, 𝑃𝐹 = 𝑃𝐴 > 𝑃𝑃′, uma vez que 𝑃𝐴𝑃’ é um triângulo retângulo. Portanto,

149

𝑑(𝑃, 𝐹) > 𝑑(𝑃, 𝑑). Assim, todo ponto 𝑃 ≠ 𝑇 com 𝑃 ∈ 𝑡 é exterior e a reta 𝑡 é tangente

a esta curva no ponto 𝑇, tendo como reta normal 𝑛, neste mesmo ponto, a bissetriz

do ângulo suplementar de 𝐹𝑇𝐴.

Como uma das consequências desse teorema temos o corolário que afirma:

Quando um feixe de luz incide paralelamente ao eixo de simetria de um refletor em

um formato de paraboloide de revolução, os raios são refletidos e convergem para o

foco.

Considere a configuração da parábola, como um corte de um paraboloide,

figura 82, em que 𝑃 é um ponto deste objeto, 𝑡 a reta tangente à curva nesse ponto,

𝐴 é a projeção de 𝑃 em 𝑑, 𝐹 é o foco da parábola e as retas 𝑙 e ℎ são paralelas.

Devemos supor que o raio será refletido na direção do ponto 𝐹’ diferente de 𝐹.

Figura 82 – Raio incidente e raio refletido (Parábola)


Pela definição de parábola, os segmentos 𝑃𝐹 e 𝑃𝐴 são congruentes, a reta 𝑡,

além de mediatriz do segmento 𝐹𝐴 é também, pelo teorema de Poncelet, bissetriz do

ângulo 𝐹𝑃𝐴. Como pela lei de Snell-Descartes o raio de incidência forma um ângulo

com a reta tangente igual ao ângulo do raio refletido com essa mesma reta, então o

raio refletido não poderá estar na direção de outro ponto que não seja o foco da

parábola, pois o ângulo formado pela trajetória 𝑃𝐹’ com a reta tangente seria

congruente ao ângulo formado por 𝑃𝐹 com essa mesma reta. Assim, 𝐹’ = 𝐹.

150

Já para o cumprimento da tarefa 𝒕𝑮𝒔𝟗𝟐 utilizamos como técnica 𝝉𝑮𝒔𝟗𝟐 considerar

a figura 83 e o teorema a respeito da reflexão dos raios luminosos no espelho

hiperbólico com base em Christoffer e Souza (2016): O raio de luz que incide numa

superfície espelhada hiperbólica, direcionada a um de seus focos, é refletido

passando pelo outro foco.

Figura 83 – Hipérbole para demonstrar a propriedade reflexiva


A tecnologia 𝜽𝑮𝑺𝟗𝟐 tomamos por base esta figura construída e a demonstração

do teorema enunciado. Seja 𝑇 um ponto sobre a hipérbole 𝜋 de focos 𝐹1 e 𝐹2, deve-

se demonstrar que a bissetriz do ângulo 𝐹1𝑇𝐹2é tangente à hipérbole nesse ponto.

Para tanto, supõe-se que estas retas sejam a mesma reta 𝑡. Assim, seja 𝐺 um ponto

simétrico de 𝐹2 em relação a 𝑡, 𝐵 um ponto sobre 𝑡 com 𝐵 ≠ 𝑇 e 𝑁 um ponto sobre a

reta normal com 𝑁 ≠ 𝑇. O ponto M é o ponto de interseção entre a reta 𝑡 e o segmento

𝐺𝐹2, observando que os triângulos 𝐺𝑇𝑀 e 𝐹2𝑇𝑀 são congruentes por lado, ângulo,

lado, conclui-se que o triângulo 𝐺𝑇𝐹2 é isósceles e os ângulos 𝑇𝐺𝐹2 e 𝑇𝐹2𝐺 são iguais.

O ângulo 𝐴𝐹2𝐺 é igual ao ângulo 𝐴𝑇𝑁 (ângulo de incidência dos raios

luminosos), por serem correspondentes e consequentemente os ângulos 𝑇𝐺𝐹2 e 𝑁𝑇𝐹1

também são iguais, por serem alternos internos. Desta forma, são também iguais os

ângulos 𝐴𝑇𝑁 = 𝑁𝑇𝐹1 e 𝐴𝑇𝐵 = 𝐹1𝑇𝑀, revelando a lei de que o ângulo de incidência é

igual ao ângulo de reflexão.

Ainda é necessário provar que 𝑡 é ao mesmo tempo bissetriz e tangente à

cônica 𝜋 no ponto 𝑇. Assim, da desigualdade triangular 𝐵𝐹1 < 𝐵𝐺 + 𝐺𝐹1, então pode

151

ser escrito que 𝐵𝐹1 − 𝐵𝐹2 < 𝐵𝐺 + 𝐺𝐹1 − 𝐵𝐹2, mas como 𝐵𝐺 = 𝐵𝐹2, a reta 𝑡 também

será mediatriz do segmento 𝐺𝐹2 e o triângulo 𝐵𝐺𝐹2 é isósceles pela propriedade da

mediatriz. Então, 𝐵𝐹1 − 𝐵𝐹2 < 𝐺𝐹1, 𝐺𝐹1 = 𝑇𝐹1 − 𝑇𝐺 e 𝑇𝐹1 − 𝑇𝐹2 = 𝑘 em que 𝑘 é a

constante positiva da definição da hipérbole, |𝑑(𝑇, 𝐹1) − 𝑑(𝑇, 𝐹2)| = 𝑘. Portanto, B é

um ponto externo ao ramo da hipérbole por 𝑇 e a reta 𝑡 é bissetriz da hipérbole,

tocando esta cônica apenas em 𝑇, logo também é tangente.

𝑻𝑮𝑺𝟏𝟎: Caracterizar as cônicas como lugar geométrico segundo La Hire.

Tarefa 𝒕𝑮𝑺𝟏𝟎𝟏: Caracterizar a parábola como lugar geométrico segundo La Hire;

Tarefa 𝒕𝑮𝑺𝟏𝟎𝟐: Caracterizar a elipse como lugar geométrico segundo La Hire;

Tarefa 𝒕𝑮𝑺𝟏𝟎𝟑: Caracterizar a hipérbole como lugar geométrico segundo La Hire.

A tarefa 𝒕𝑮𝑺𝟏𝟎𝟏 pode ser cumprida por meio da técnica 𝝉𝑮𝑺𝟏𝟎𝟏 que considera a

proposição relativa à parábola, figura 84: seja 𝐾 uma parábola de foco 𝐹 e reta diretriz

𝑟. Um ponto 𝑄 𝜖 𝑟 se, e somente se, 𝑄 for simétrico de 𝐹 em relação a uma reta

tangente 𝑊 ou mediatriz de 𝐹𝑄 que passa por 𝑃.

Figura 84 – Parábola por sua definição focal


Com base nesta proposição, justificamos essa construção por meio da

tecnologia 𝜽𝑮𝑺𝟏𝟎𝟏 considerando a figura 84 em que estão dispostos no plano, dois

pontos distintos 𝐹 e 𝑄 e o segmento determinado por eles 𝐹𝑄. Portanto, se 𝑤

representa a mediatriz deste segmento, então qualquer que seja o ponto 𝑃 sobre 𝑤

verifica-se a congruência 𝐹𝑃 ≡ 𝑃𝑄. De fato, como o ponto 𝑃 pertence

simultaneamente às retas 𝑔, perpendicular a 𝑟, e a reta 𝑤, mediatriz de 𝐹𝑄, então o

ponto 𝑃 está a igual distância do ponto 𝐹 e do ponto 𝑄 e 𝐹𝑃 ≡ 𝑃𝑄. Neste sentido, pode

152

ser afirmado que a mediatriz de 𝐹𝑄 tangencia a parábola no ponto 𝑃, fato que pode

ser estendido para qualquer ponto da parábola.

Essa justificativa permite, portanto, definir a parábola como sendo o lugar

geométrico dos pontos que equidistam de uma reta fixa, denominada diretriz, e de um

ponto fixo, fora dela, chamado foco, conhecida também como definição focal.

Para o cumprimento da tarefa 𝒕𝑮𝑺𝟏𝟎𝟐 é necessário a técnica 𝝉𝑮𝑺𝟏𝟎𝟐 que

considera a seguinte proposição: Considere 𝑒 uma elipse (Figura 85) de focos 𝐹1 e 𝐹2,

com a medida do eixo maior 𝑘 e uma circunferência 𝑐 centralizada em 𝐹1 e com a

medida de raio igual a 𝑘. Um ponto 𝑄 pertence a 𝑐 se e somente se, 𝑄 for simétrico a

𝐹2 em relação a uma reta tangente a 𝑒.

Figura 85 – Elipse por sua definição bifocal


Como tecnologia 𝜽𝑮𝑺𝟏𝟎𝟐, consideramos o ponto 𝑄 ∈ 𝑐 é simétrico ao ponto 𝐹2

em relação à reta tangente a 𝑒 no ponto 𝑃, então esta reta tangente faz o papel da

reta mediatriz de 𝑄𝐹2, portanto, pela propriedade da reta mediatriz, podemos afirmar

que 𝑃𝑄 ≡ 𝑃𝐹2, concluindo ainda que o triângulo 𝑄𝑃𝐹2 é isósceles. Assim, como

podemos escrever que 𝐹1𝑃 + 𝑃𝑄 = 𝑘, então, 𝐹1𝑃 + 𝑃𝐹2 = 𝑘 que caracteriza a elipse

enquanto lugar geométrico, permitindo defini-la como o lugar geométrico dos pontos

do plano cuja soma das distâncias de um ponto qualquer sobre a elipse aos seus

focos é uma constante. Esta definição é conhecida por definição bifocal da elipse.

Já o cumprimento da tarefa 𝒕𝑮𝑺𝟏𝟎𝟑 requer a técnica 𝝉𝑮𝑺𝟏𝟎𝟑 em que consideramos

a figura 86 e a proposição: considere uma hipérbole ℎ com os focos 𝐹1 e 𝐹2 com

153

medida de eixo, k, igual à distância entre os vértices desta cônica e igual ao raio da

circunferência 𝑐. Um ponto 𝑄 pertence a 𝑐 se, e somente se, 𝑄 for simétrico a 𝐹2 em

relação à reta tangente a ℎ no ponto 𝑃.

Figura 86 – Hipérbole por sua definição bifocal


Como tecnologia 𝜽𝑮𝑺𝟏𝟎𝟑, consideramos o ponto 𝑃 simétrico ao ponto 𝐹2, em

relação à uma reta 𝑡, tangente à hipérbole no ponto 𝑃, que por sua vez faz o papel da

reta mediatriz de segmento 𝑄𝐹2, então o triângulo formado pelos pontos 𝑄𝑃𝐹2 é

isósceles, pois 𝑃𝑄 = 𝑃𝐹2 e portanto, |𝑃𝐹1 − 𝑃𝑄| = 𝑘, então pode ser escrito que

|𝑃𝐹1 − 𝑃𝐹2| = 𝑘 e 𝑄 ∈ 𝑐. Reciprocamente, se 𝑄 ∈ 𝑐, existe um ponto 𝑃 ∈ ℎ de modo

que |𝑃𝐹1 − 𝑃𝑄| = 𝑘, então 𝑃𝑄 ≡ 𝑃𝐹2 e 𝑃 ∈ 𝑡. 𝑄 é simétrico a 𝐹2 em relação à reta 𝑡

tangente a ℎ no ponto 𝑃.

Essa justificativa permite definir a hipérbole como o lugar geométrico dos

pontos do plano cuja diferença entre as distâncias de um ponto qualquer sobre a

hipérbole aos seus focos é uma constante positiva,|𝑑(𝑃, 𝐹1) − 𝑑(𝑃, 𝐹2)| = 𝑘, que

também é conhecida como definição bifocal da hipérbole.

A tecnologia empregada, nestas caracterizações das cônicas, na geometria

sintética, requer conhecimentos de reta mediatriz de segmento. No entanto, outros

conhecimentos devem ser mobilizados para o entendimento deste tipo de tarefa, como

os conhecimentos de perpendicularismo, de triângulos isósceles, de ponto, de reta e

de tangência, para o caso de parábola, e, além desses, o conhecimento de

circunferências, para os casos de elipses e hipérboles de modo a permitir definir as

cônicas enquanto lugar geométrico.

Além da abordagem das cônicas a partir de construções ou por meio do lugar

geométrico, encontramos na Dimensão Epistemológica o enfoque dado por Dandelin,

154

que estabeleceu em que condições a secção de um cone produz as formas das

cônicas por meio do teorema: a secção de uma superfície cônica de revolução por um

plano oblíquo ao eixo é uma parábola, uma elipse ou uma hipérbole. Neste sentido,

matemáticos Dandelin e Quételet apresentaram em 1822 as proposições para o

estudo da elipse e da hipérbole e outro matemático, Pierce Morton, em 1828

apresentou para a parábola. Desta forma, apresentamos o décimo primeiro tipo de

tarefa para essa geometria.

𝑻𝑮𝑺𝟏𝟏: Justificar a relação entre as definições de lugar geométrico e os

cortes feitos no cone por Apolônio.

Tarefa 𝒕𝑮𝑺𝟏𝟏𝟏: Justificar as relações do L.G. da parábola com o corte feito no

cone por Apolônio;

Tarefa 𝒕𝑮𝑺𝟏𝟏𝟐: Justificar as relações do L.G. da elipse com o corte feito no cone

por Apolônio;

Tarefa 𝒕𝑮𝑺𝟏𝟏𝟑: Justificar as relações do L.G. da hipérbole com o corte feito no

cone por Apolônio.

Para o caso de parábola, 𝒕𝑮𝑺𝟏𝟏𝟏, Morton inseriu uma esfera em um cone que foi

seccionado por um plano de tal maneira que esta esfera fosse tangente ao plano e ao

cone ao mesmo tempo, figura 87 enunciando a proposição: considere uma esfera

inserida em um cone circular reto tangente simultaneamente ao plano de corte e ao

cone. Seja também o ponto F, o ponto de tangência entre a esfera 𝑠 e o plano π, e P

um ponto representante da interseção entre estas duas superfícies. Considere ainda

a reta 𝑟 representada pela interseção entre o plano de corte e o plano ortogonal ao

eixo deste cone. Verifica-se então a relação métrica 𝑑 (𝑃, 𝐹) = 𝑑 (𝑃, 𝑟).

155

Figura 87 – Parábola segundo Morton


Uma técnica 𝝉𝑮𝑺𝟏𝟏𝟏 para resolvê-la é considerar o ponto F de tangência entre o

plano π e a esfera; a reta r determinada pela intersecção dos planos π e 𝜑 e a

circunferência 𝑐1, contida no plano 𝜑, como resultado da tangência entre o cone e a

esfera.

Considerando um ponto 𝑃 qualquer na curva de intersecção entre o plano π e

o cone c bem como a geratriz deste, representada pelo segmento 𝑉𝑃 que determina

o ponto 𝐾 na intersecção com a circunferência 𝑐1. Considerando ainda, o ponto 𝑃´,

como a projeção ortogonal do ponto 𝑃 na reta 𝑟 e a colinearidade entre os pontos

ponto 𝐾, 𝐺 e 𝑃’, verifica-se a relação 𝑉𝐺 = 𝑉𝐾, uma vez que a circunferência 𝑐1 é

paralela à base do cone.

Observa-se também que 𝑃𝐾 = 𝑃𝐹, pela propriedade de tangência à esfera e

que os triângulos VGK e KPP´ são isósceles e semelhantes, pois PP´//VK. Assim,

verifica-se a relação 𝑃𝑃´ = 𝑃𝐾 = 𝑃𝐹 que nos conduz a concluir que a distância de

um ponto P qualquer da parábola a um ponto fixo F é igual à distância entre esse

mesmo ponto P à reta r, ou seja, a parábola é o lugar geométrico dos pontos que

equidistam de uma reta e de um ponto dado. Portanto, a tecnologia 𝜽𝑮𝑺𝟏𝟏𝟏 que justifica

essa relação entre os cortes feitos no cone por Apolônio e as relações do L.G., via a

definição focal, requer conhecimentos de plano, cone, esfera, de propriedades de

tangência à esfera, de ponto, de reta, de segmentos, de paralelismo, de

156

perpendicularismo de simetria, de projeções, de circunferência e de colinearidade,

tanto da geometria euclidiana plana, quanto da geometria espacial.

Para o estudo da elipse, tarefa, 𝒕𝑮𝑺𝟏𝟏𝟐, Dandelin e Quételet consideraram duas

esferas inscritas em um cone simples tangenciando o plano de corte, figura 88 e

identificaram uma relação entre distâncias que permitiram identificar a elipse como

lugar geométrico a partir de sua propriedade focal. Assim, anunciaram a preposição:

Considere um cone circular reto C, intersectado em todas as suas geratrizes por um

plano π, e duas esferas 𝑆1 e 𝑆2 que tangenciam simultaneamente o plano e o cone,

sendo 𝐹1 e 𝐹2 os pontos de tangência das esferas com o plano em questão. A partir

dessas informações, para qualquer ponto P tomado da intersecção, verifica-se a

constância da relação 𝑃𝐹1 + 𝑃𝐹2.

Figura 88 – Elipse segundo Dandelin e Quételet


Uma técnica, 𝝉𝑮𝑺𝟏𝟏𝟐, para a solução, é considerarmos o ponto H de tangência

da esfera 𝑆1 com o cone c, que pertence à circunferência 𝑐1, paralela à base do cone.

Esse ponto 𝐻 e o vértice do cone determinam uma reta geratriz do cone, que por sua

vez permite determinar o ponto 𝐽 na intersecção desta geratriz com a circunferência,

ponto de tangência da esfera 𝑠2 com o cone.

A reta geratriz, em questão, determina também o ponto 𝑃 na intersecção entre

o plano de corte 𝜋 e o cone, ou seja, 𝑃 é um ponto da elipse. Neste sentido,

observamos que o segmento 𝐽𝐻 tem medida constante, pois 𝐻 e 𝐽 pertencem às

circunferências 𝑐1 e 𝑐2, respectivamente, e pertencem a uma de suas geratrizes.

A partir desta configuração e da propriedade de tangência às esferas,

concluímos que 𝑃𝐹1 = 𝑃𝐽 e, analogamente, 𝑃𝐹2 = 𝑃𝐻. Desta forma, podemos

157

escrever 𝑃𝐹1 + 𝑃𝐹2 = 𝐽𝐻, ou seja, a soma das distâncias de um ponto qualquer da

elipse a seus focos é constante, caracterizando a elipse como lugar geométrico. Neste

sentido, a tecnologia, que justifica essa maneira de fazer, é a mesma empregada na

parábola.

Já para estudar a hipérbole, tarefa, 𝒕𝑮𝑺𝟏𝟏𝟑, Dandelin e Quételet consideraram

também duas esferas, uma em cada ramo do cone, tangenciando simultaneamente

um plano de corte e um cone reto circular duplo, como na figura 89, de modo que

enunciaram a proposição: considere um plano π e um cone circular reto C que se

intersectam mutuamente e duas esferas inscritas de tal maneira que tangenciam

simultaneamente o plano, nos pontos 𝐹1 e 𝐹2, e o cone. A partir dessas informações

pode ser afirmado que para qualquer ponto P da interseção entre plano e cone a

relação |𝑃𝐹1 − 𝑃𝐹2| será constante e positiva.

Figura 89 – Hipérbole segundo Dandelin e Quételet


Para cumprir esta tarefa, por meio de uma técnica, 𝝉𝑮𝑺𝟏𝟏𝟑, é necessário

considerarmos na figura 89 os pontos de tangência 𝐹1 e 𝐹2 entre as esferas 𝑠1 e 𝑠2

com o plano 𝜋, respectivamente. Como o ponto 𝑃 está na interseção entre este plano

e o cone c traçamos por este ponto e pelo vértice 𝑉 do cone uma reta denominada

geratriz que determinará 𝐽𝐻 tangente às duas esferas. Podemos dizer, pela

propriedade de tangência às esferas que 𝑃𝐹1 = 𝑃𝐻 e que 𝑃𝐹2 = 𝑃𝐽.

158

Desta forma, é válida a relação 𝑃𝐹2 – 𝑃𝐹1 = 𝑃𝐽 – 𝑃𝐻 = 𝐻𝐽 e podemos afirmar

que a diferença entre as distâncias de um ponto 𝑃, qualquer da hipérbole, a dois

pontos fixos é um valor constante, isto é, a hipérbole é o lugar geométricos dos pontos

de um plano que satisfazem a equação |𝑃𝐹1 − 𝑃𝐹2| = 𝑘, onde 𝑘 é uma constante

positiva. Assim, a tecnologia que justifica essa maneira de fazer para a hipérbole

também é a mesma utilizada para a parábola e elipse.

Além dessas construções, em que as cônicas foram desenvolvidas

separadamente, Dandelin também apresentou uma maneira de unificá-las por meio

da excentricidade em que partiu dos cortes do cone por um plano para obter a relação

geométrica para a excentricidade.

Neste sentido, elaboramos décimo segundo tipo de tarefa que apresenta

apenas uma tarefa que é a de: 𝒕𝑮𝑺𝟏𝟐: Justificar a relação entre excentricidades das

cônicas com os cortes produzidos no cone por Apolônio.

Para resolver a tarefa 𝒕𝑮𝑺𝟏𝟐, pensamos, inicialmente, seguindo as ideias da

época, como as do matemático Jan de witt, em construir uma Organização Matemática

para a excentricidade das cônicas, no entanto, historicamente essa abordagem requer

o uso de várias demonstrações de proposições que estão densamente dispostas em

livros e trabalhos voltados para a matemática pura, fugindo do propósito desta tese.

Contudo, podemos construir uma Organização Matemática, de maneira anacrônica,

recorrendo ao trabalho de Dandelin do século XIX.

Assim, a técnica 𝝉𝑮𝑺𝟏𝟐, para o cumprimento desta tarefa deve considerar a

proposição: Sejam um cone circular reto C e um plano π que se intersectam

mutuamente. Se P representa um ponto arbitrário desta interseção então existem

neste plano um ponto que denominaremos F e uma reta que denominaremos por r

fixos de tal maneira que as medidas das distâncias entre P e F e entre P e r se

mantenham constantes.

Baseado nesta proposição, consideramos um plano π e um cone circular reto

de vértice V que se intersectam mutuamente. Considerarmos ainda, uma esfera S

inscrita neste cone e tangente ao plano π no ponto F e um plano 𝜑 que contém o

círculo 𝑐1 resultado da interseção entre a esfera S e o cone C e r o resultado da

interseção entre os planos π e 𝜑 e considerarmos também um plano de base deste

cone que denominamos por 𝛹 como apresentado na figura 90.

159

Figura 90 – Excentricidade das cônicas segundo Dandelin


A tecnologia 𝜽𝑮𝑺𝟏𝟐 requer que se demonstre essa proposição. Desta forma, seja

𝑃 um ponto arbitrário da cônica e 𝑃’ sua projeção na reta 𝑟. Considere 𝐾 a interseção

do círculo 𝑐1 com a geratriz que passa por 𝑃 e 𝑡 a reta paralela ao eixo do cone que

intersecta o plano 𝜑 no ponto 𝑄 e passa pelo ponto 𝑃. Da figura 90 tem-se que os

triângulos 𝑃𝑄𝐾 e 𝑃𝑄𝑃’ são retângulos em 𝑄, pois os pontos 𝑃’, 𝑄 e 𝐾 estão no mesmo

plano 𝜑 e, portanto, o cos(𝜃) =𝑃𝑄

𝑃𝐾 e cos(𝛽) =

𝑃𝑄

𝑃𝑃′. Consequentemente pode ser feita

a relação cos(𝜃) 𝑃𝐾 = cos(𝛽) 𝑃𝑃′ e ainda que 𝑃𝑃′ = 𝜆 (𝑃, 𝑑) de modo que pela

propriedade de tangência 𝑃𝐾 = 𝑑(𝑃, 𝐹). Assim, podemos escrever que

cos(𝜃) 𝑑(𝑃, 𝐹) = cos(𝛽) 𝑑(𝑃, 𝑟) e 𝑑 (𝑃,𝐹)

𝑑 (𝑃,𝑑)=

cos(𝛽)

cos(𝜃) .

Geometricamente, podemos definir a excentricidade de uma cônica como

sendo a razão cos(𝛽)

cos(𝜃). Neste sentido, a relação definidora da cônica via foco e diretriz

pode ser escrita por ℯ = 𝑃𝐹

𝑃𝑑 e a rigor, podemos afirmar que uma cônica é o conjunto

dos pontos tais que 𝛿 = {𝑃/ 𝑑(𝑃, 𝐹) = 𝑒 𝑑 (𝑃, 𝑟)} em que extraímos as seguintes

conclusões, relativas à comparação entre os ângulos 𝜃 e 𝛽, com 0 < 𝛽 < 90°.

Se 𝛽 = 90° ⇒ 𝑒 = 0, a cônica será um caso especial de Elipse (Circunferência);

Se 𝛽 = 𝛳 ⇒ 𝑒 = 1, a cônica será uma Parábola;

Se 𝛽 > 𝛳 ⇒ 𝑐𝑜𝑠 (𝛽) < 𝑐𝑜𝑠 (𝛳) ⇒ 0 < 𝑒 < 1, a cônica será uma Elipse;

160

Se 𝛽 < 𝛳 ⇒ 𝑐𝑜𝑠 (𝛽) > 𝑐𝑜𝑠 (𝛳) ⇒ 𝑒 > 1, a cônica será uma Hipérbole.

Concluímos então que a tecnologia 𝜽𝑮𝑺𝟏𝟐, que justifica essa maneira de fazer,

requer conhecimentos, além daqueles apresentados no décimo tipo de tarefas, os

conhecimentos de trigonometria e de intervalos de atuação para cada corte efetuado

no cone, de modo a gerar cada uma das três cônicas.

Com base no estudo da dimensão epistemológica e na elaboração desse MER,

percebemos que as construções segundo Arquimedes e Apolônio e a solução

geométrica de uma cúbica por Omar Khayyam, embora sejam isoladamente OMP,

podem ser articuladas para formarem uma OML, uma vez que utilizam as

propriedades de semelhanças triangulares e propriedades de triângulos retângulos

inscritos em um semicírculo.

Os trabalhos de Dandelin, Quételet e Morton também representam OML, pois

utilizam como tecnologia as propriedades de tangência de esferas, tanto para justificar

as relações das cônicas separadamente, por sua definição focal, quanto para tratar

as cônicas pela excentricidade. Salientamos ainda que, trataremos de outras

construções que também são OML quando discutirmos a Atividade de Estudo e

Investigação para o 9º Ano do ensino fundamental, pois existem tarefas de natureza

didática que ampliam o nosso MER da geometria sintética. Neste sentido,

aglutinaremos todas em torno de uma OMR.

Para sintetizar o que apresentamos neste modelo, desenvolvemos um

esquema para relacionar as praxeologias identificadas, figura 91.

161

Figura 91 – Relações entre praxeologias na geometria sintética


Por meio deste esquema percebemos que as representações das cônicas

foram construídas por Arquimedes e Apolônio, no espaço, que influenciou a

construção de Al-Quhi e a caracterizá-las como lugar geométrico. A partir daí, foi

possível construir representações, no plano, por meio de instrumentos tanto de Kepler,

de Van Schooten e por régua e compasso que permitiram justificar o comportamento

dos raios luminosos em espelhos cônicos. Já as setas duplas estão dispostas no

sentido de que estas tarefas guardam relações umas com as outras.

Pela simetria dessas curvas foi possível determinar uma equação polar da

cônica e a relacionar as definições de lugar geométrico com os cortes feitos no cone

e determinar a excentricidade.

As considerações levantadas neste modelo, bem como as definições que lhes

são próprias serão importantíssimas para o estudo das cônicas nos modelos das

geometrias apresentadas posteriormente, uma vez que servirão de base para as

afirmações e conclusões que chegaremos. Neste sentido, muitas propriedades serão

resgatadas tanto para justificar uma construção, quanto para construir uma cônica

162

propriamente dita. Assim, passamos a discorrer sobre o nosso modelo da geometria

analítica.

3.1.2.2 Modelo da Geometria Analítica

Com o advento da geometria analítica no seculo XVII com Pierre de Fermat

(1601 – 1665) e René Descartes (1596 – 1650) muitos dos problemas geométricos

que até aquele momento estavam sem solução puderam ser novamente revisitados

nesta nova geometria, ou que já haviam sido resolvidos, ganhando uma nova

roupagem, evidenciando o que afirmara Gascón (2002) a respeito da razão de ser,

uma vez que as limitações de técnicas da geometria sintética deram sentido às

técnicas analíticas.

Um exemplo importante foi a duplicação do cubo que com técnicas analíticas

pôde ser mais facilmente resolvido, constituindo nosso primeiro tipo de tarefas na

geometria analítica.

𝑻𝑮𝑨𝟏: Duplicar o volume de um cubo por meio de cônicas.

Para resolver a tarefa 𝒕𝑮𝑨𝟏, utilizamos como técnica 𝝉𝑮𝑨𝟏 o que foi proposto por

Menecmo ao considerar duas parábolas com vértice comum, com eixos de simetrias

perpendiculares entre si e que uma tenha a medida do latus rectum o dobro da outra.

Desta forma, consideramos as equações de duas parábolas que tenham essas

características: 𝑥2 = 𝑎𝑦 e 𝑦2 = 2𝑎𝑥 em que 𝑎 é a aresta do cubo original de volume

𝑣 = 𝑎3.

A partir disso, manipulamos essas equações para identificar a interseção, 𝑃,

entre essas duas parábolas, elevando ao quadrado a primeira equação para obtermos

a expressão, 𝑥4 = 𝑎2𝑦2 e substituindo a segunda neste resultado para encontrarmos

𝑥3 = 2𝑎3 que relaciona as arestas dos dois cubos. Assim, o cubo que possui volume

duas vezes maior do que o volume original terá aresta 𝑥 = 𝑎√23

e identificamos as

coordenadas dessa interseção 𝑋𝑃 = 𝑎√23

. o ponto na figura 92.

163

Figura 92 – Interseção entre duas parábolas


A tecnologia 𝜽𝑮𝑨𝟏 empregada está inserida na álgebra em que relacionamos

números e incógnitas por meio de equações. Depois do tratamento efetuado nestas

equações identificamos a medida da aresta desconhecida do cubo de volume duas

vezes maior que o volume do cubo original.

O segundo tipo de tarefas encontrado na dimensão epistemológica está

relacionado à solução de equações cúbicas por meio das cônicas que teve início com

Omar Khayyam e receberam contribuições de Scipione del Ferro, Tartaglia e Cardano.

𝑻𝑮𝑨𝟐 – Resolver equações cúbicas por meio das cônicas.

Como exemplo, de uma equação cúbica, tomamos uma atividade de Lima

(1999) que considerou a cúbica 𝑥3 − 3𝑥 = 2 para resolver como tarefa 𝒕𝑮𝑨𝟐. Como

técnica 𝜏𝐺𝐴2 manipulamos essa equação para obter 𝑥2 − 3 =2

𝑥 e fizemos ℎ(𝑥) =

2

𝑥 e

𝑔(𝑥) = 𝑥2 − 3 que são as equações de uma hipérbole e de uma parábola,

respectivamente. Depois disso, construímos em um mesmo plano cartesiano uma

representação gráfica destas cônicas, figura 93.

164

Figura 93 – Solução geométrica de uma cúbica


A partir desta representação é possível estimar as soluções desta equação

cúbica considerando as interseções destas cônicas, representadas pelos pontos

𝐴 (−2,−1) e 𝐵 (2,1). Com isso, temos 𝑥1 = −1, 𝑥2 = −1, pois as cônicas não se

intersectam, mas se tocam e 𝑥3 = 2, porém Omar Khayyam considerava apenas

raízes inteiras e positiva.

Como tecnologia 𝜽𝑮𝑨𝟐, utilizamos a mesma justificativa de 𝜽𝑮𝑨𝟏, porém em vez

de identificarmos medidas de comprimento, identificamos as coordenadas dos pontos

da interseção que satisfazem a equação cúbica.

Outro exemplo histórico é apontado por Roque (2012), quando se referiu à

solução do problema de Pappus, que teria sido resolvido por ele por meio de

demonstrações em que a solução geral deva ser uma cônica e que, a partir dos meios

empregados com Descartes, fazendo uso de coordenadas (x, y), facilitaram a solução

e a chegar a uma equação polinomial do segundo grau em duas variáveis,

determinando o lugar geométrico.

No modelo da geometria analítica, identificamos as tarefas relacionadas às

equações das cônicas reduzida e geral, a caracterização das cônicas pela análise de

seus coeficientes, considerando rotações e translações, relações entre coordenadas

cartesianas e coordenadas polares e a relação entre coordenadas cartesianas e a

definição de excentricidade das cônicas. Portanto, relacionaremos a geometria

sintética com a geometria analítica, transportando alguns elementos daquela

geometria para um referencial cartesiano.

165

𝑻𝑮𝑨𝟑: Obter uma equação geral das cônicas.

Para cumprir a tarefa 𝒕𝑮𝑨𝟑, como técnica 𝝉𝑮𝑨𝟑 , utilizamos a definição das

cônicas pela excentricidade e utilizamos um referencial cartesiano em que

consideramos coordenadas do foco 𝐹(𝑥𝑓 , 𝑦𝑓) e a reta diretriz, 𝑟, expressa pela

equação 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0. Então, um ponto P pertence a uma cônica se e somente se

𝑑(𝑃, 𝐹) = ℯ 𝑑 (𝑃, 𝑟). De fato:

𝑑(𝑃, 𝐹) = ℯ 𝑑 (𝑃, 𝑟)

√(𝑥 − 𝑥𝑓)2 + (𝑦 − 𝑦𝑓)2 = ℯ [|𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐 |

√𝑎2+ 𝑏2]

(𝑥 − 𝑥𝑓)2 + (𝑦 − 𝑦𝑓)

2 = ℯ2 [(𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐)2]

𝑎2+ 𝑏2

(𝑥2 − 2𝑥𝑥𝑓 + 𝑥𝑓2) + (𝑦2 − 2𝑦𝑦𝑓 + 𝑦𝑓

2) = ℯ 2

𝑎2+ 𝑏2 (𝑎2𝑥2 + 𝑏2𝑦2 + 2𝑎𝑏𝑥𝑦 + 2𝑎𝑐𝑥 +

2𝑏𝑐𝑦 + 𝑐2).

Assim, chegamos à equação 𝑨𝒙𝟐 + 𝑩𝒙𝒚 + 𝑪𝒚𝟐 +𝑫𝒙 + 𝑬𝒚 + 𝑭 = 𝟎 em que

podemos identificar os coeficientes: 𝐴 = (1−ℯ 2 )𝑎2+𝑏2

𝑎2+𝑏2, 𝐵 = −

2𝑎𝑏ℯ 2

𝑎2+𝑏2 , 𝐶 =

(1−ℯ 2 )𝑏2+𝑎2

𝑎2+𝑏2,

𝐷 = −2 (𝑥𝑓 + 𝑎𝑐ℯ 2

𝑎2+𝑏2), 𝐸 = −2 (𝑦𝑓 +

𝑏𝑐ℯ 2

𝑎2+𝑏2) e 𝐹 = 𝑥𝑓

2 + 𝑦𝑓2 −

ℯ 2𝑐2

𝑎2+𝑏2 .

A tecnologia 𝜽𝑮𝑨𝟑, que justifica as técnicas utilizadas para o desenvolvimento

destas tarefas requer que se coloque em correspondência alguns elementos da

geometria sintética em um referencial cartesiano para depois utilizar a definição da

cônica utilizando coordenadas. Desta forma, se apoia em conhecimentos de

coordenadas de pontos e de plano cartesiano, advindos da geometria analítica e

conhecimentos de álgebra para expandir, desenvolver e simplificar as equações

algébricas.

A partir deste resultado, outra tarefa necessária é caracterizar o tipo de cônica

pela análise desses coeficientes obtidos na equação geral da cônica. Neste sentido,

elaboramos a tarefa 𝑻𝑮𝑨𝟒.

𝑻𝑮𝑨𝟒: Caracterizar cada tipo de cônica por meio da análise dos

coeficientes da equação geral do segundo grau em duas variáveis.

O cumprimento da tarefa 𝒕𝑮𝑨𝟒 requer que se considere a técnica 𝝉𝑮𝑨𝟒 que

consiste em analisar os coeficientes da equação geral do segundo grau em duas

166

variáveis para identificar quais entes geométricos surgem ao tomar um ou outro

coeficiente igual a zero ou diferente de zero. Para tanto, utilizamos a equação

deduzida: 𝑨𝒙𝟐 + 𝑩𝒙𝒚 + 𝑪𝒚𝟐 +𝑫𝒙 + 𝑬𝒚 + 𝑭 = 𝟎.

a) Se considerarmos os coeficientes 𝐴, 𝐵 e 𝐶 iguais a zero e os outros coeficientes

assumindo qualquer valor real teremos a expressão 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0, que após

sofrer manipulações algébricas pode assumir a forma de 𝑦 = −𝐷

𝐸𝑥 −

𝐹

𝐸, ou ainda

𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 se fizermos 𝑎 = −𝐷

𝐸 e 𝑏 =

−𝐹

𝐸. Portanto, como resultado, deduzimos a

equação de uma reta.

b) Se tomarmos os coeficientes 𝐴 e 𝐶 iguais, diferentes de zero e tomarmos os

coeficientes 𝐵, 𝐷 e 𝐸 iguais a zero a equação geral será 𝐴𝑥2 + 𝐶𝑦2 + 𝐹 = 0 e após

sofrer manipulações algébricas passa a ter a forma de 𝐴𝑥2 + 𝐶𝑦2 = −𝐹 em que

podemos estabelecer a relação 𝑅2 = −𝐹. Assim, encontramos a equação do tipo

𝐴𝑥2 + 𝐶𝑦2 = 𝑅2 conhecida como equação do círculo.

c) Se tomarmos os coeficientes 𝐴, 𝐵, 𝐸 e 𝐹 iguais a zero e 𝐶 e 𝐷 diferentes de zero, a

equação geral passa a ter a forma particular de 𝐶𝑦2 + 𝐷𝑥 = 0, que pode ser

reescrita por 𝑥 = − 𝐶

𝐷𝑦2 e, fazendo 4𝑝 = −

𝐶

𝐷, chegamos à equação reduzida da

parábola, 𝑥 = 4𝑝𝑦2, com vértice na origem e com o eixo de simetria sobre o eixo

das abscissas. Analogamente, tomando os coeficientes 𝐴 e 𝐸 diferentes de zero e

todos os outros iguais a zero chegamos à equação 𝑦 = 4𝑝𝑥2, com vértice também

na origem, mas com o eixo de simetria sobre o eixo das ordenadas.

d) Se os coeficientes 𝐴 ≠ 𝐶 e os coeficientes 𝐵, 𝐷 e 𝐸 forem iguais a zero a equação

geral toma a forma 𝐴𝑥2 + 𝐶𝑦2 + 𝐹 = 0, e pode ser reescrita por 𝑥2

−𝐶𝐹+

𝑦2

−𝐴𝐹= 1 e,

após passar por uma manipulação algébrica passa a ter a forma 𝒙𝟐

𝒂𝟐+

𝒚𝟐

𝒃𝟐= 1,

considerando 𝑎2 = −𝐶𝐹 e 𝑏2 = −𝐴𝐹. Esta expressão é a equação de uma elipse

com centro na origem e com seus eixos de simetria sobre os eixos cartesianos. De

maneira análoga, pode ser deduzida também a forma de uma elipse 𝒙𝟐

𝒃𝟐+

𝒚𝟐

𝒂𝟐= 1.

e) Se considerarmos os coeficientes 𝐴 ≠ 𝐶 com sinais contrários e os coeficientes 𝐵,

𝐷 e 𝐸 iguais a zero, a equação geral passa a ter a forma de 𝐴𝑥2 − 𝐶𝑦2 + 𝐹 = 0,

podendo ser reescrita 𝑥2

−𝐶𝐹−

𝑦2

−𝐴𝐹= 1, considerando 𝑎2 = −𝐶𝐹 e 𝑏2 = −𝐴𝐹,

chegamos à equação reduzida da hipérbole com centro na origem do plano

167

cartesiano e com seus eixos de simetria sobre os eixos desse sistema, 𝒙𝟐

𝒂𝟐−

𝒚𝟐

𝒃𝟐= 1

e, de maneira análoga, é possível chegar também à equação reduzida 𝒙𝟐

𝒃𝟐−

𝒚𝟐

𝒂𝟐= 1.

f) Há ainda a possibilidade em trabalhar com todos os coeficientes diferentes de zero.

Neste caso, são necessárias técnicas empregadas nas transformações

geométricas do plano para pôr em correspondência dois sistemas de coordenadas,

pois conhecidas as coordenadas de um ponto ou as equações representativas de

uma cônica em um determinado sistema de referência é possível estudar as novas

coordenadas deste mesmo ponto ou a nova equação em relação a um novo

sistema de coordenadas.

Assim, uma equação do tipo 𝑓 (𝑥, 𝑦) = 0 de um sistema de coordenadas

cartesianas 𝑥𝑂𝑦 se transforma em outra equação do tipo 𝐹 (𝑢, 𝑣) = 0, tendo por base

o referencial 𝑢𝑂′𝑣. Esta técnica possibilita alterar a forma da equação primeira sem

alterar a forma gráfica do objeto.

A translação de um sistema de coordenadas 𝑥𝑂𝑦 para outro sistema de

coordenadas 𝑢𝑂’𝑣 ocorre quando estes sistemas são postos em correspondência,

figura 94, em que fizemos coincidir a origem, O’, do sistema de coordenadas 𝑢𝑂′𝑣 com

as coordenadas de um ponto (ℎ, 𝑘) de 𝑥𝑂𝑦. Para isso, consideramos que os sistemas

são ortogonais e que 𝑂𝑥‖𝑂′𝑢 e 𝑂𝑦‖𝑂′𝑣, possuindo a mesma orientação.

Figura 94 – Sistemas de coordenadas uO'v e xOy


Por meio da análise desta figura, obtemos as relações entre as coordenadas

{𝑥 = ℎ + 𝑢𝑦 = 𝑘 + 𝑣

.

168

Na transformação geométrica de rotação, as origens dos sistemas cartesianos

coincidem, ou seja, 𝑂 = 𝑂′ e um ponto qualquer 𝑃(𝑥, 𝑦), após sofrer uma rotação,

passa a ser representado por 𝑃 (𝑢, 𝑣) em outro sistema de coordenadas, figura 95.

Por essa figura, observamos que o vetor |𝑂𝑃| = |𝑂′𝑃| = 𝑟, ou seja, a rotação por um

ângulo 𝜃 preserva a distância de um ponto 𝑃 à origem dos sistemas de coordenadas.

Figura 95 – Rotação por um ângulo θ no sentido anti-horário


A partir desta figura, aplicamos as relações trigonométricas para as

coordenadas do ponto P nos dois referenciais de modo que encontramos as relações:

𝑢 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝛼, 𝑣 = 𝑟𝑠𝑒𝑛𝛼, 𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠(𝛼 + 𝜃) e 𝑦 = 𝑟𝑠𝑒𝑛(𝛼 + 𝜃). A terceira relação pode ser

expandida de modo a obtermos 𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝛼𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑟𝑠𝑒𝑛𝛼𝑠𝑒𝑛𝜃, em que substituindo o

resultado das duas primeiras encontramos 𝑥 = 𝑢𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑣𝑠𝑒𝑛𝜃. Já a quarta relação

também pode ser expandida para obtermos 𝑦 = 𝑟𝑠𝑒𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝛼 em que

substituímos os resultados das duas primeiras para encontrarmos 𝑦 = 𝑣𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑢𝑠𝑒𝑛𝜃.

Assim, deduzimos as relações responsáveis pela rotação no sentido 𝑢𝑂′𝑣 para 𝑥𝑂𝑦

como sendo {𝑥 = 𝑢𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑣𝑠𝑒𝑛𝜃𝑦 = 𝑣𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑢𝑠𝑒𝑛𝜃

.

Com base nestas equações construímos uma relação matricial para a rotação

[𝑥𝑦] = [

𝑢𝑣] [𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃

] em que relacionamos os dois sistemas de coordenadas, 𝑥𝑂𝑦

e 𝑢𝑂′𝑣, permitindo, portanto, transitarmos de um sistema para outro.

O objetivo das transformações geométricas de translação e de rotação é

transformar a equação geral em uma forma mais simples. Na translação busca-se

eliminar os termos em primeiro grau e na rotação o termo misto. Na translação

169

encontramos o ponto (ℎ, 𝑘) e transformamos a equação, 𝐴𝑥2 + 𝐵𝑥𝑦 + 𝐶𝑦2 + 𝐷𝑥 +

𝐸𝑦 + 𝐹 = 0 em �̅�𝑢2 + �̅�𝑢𝑣 + 𝐶̅𝑣2 + 𝐹 = 0.

Para tanto, substituímos {𝑥 = ℎ + 𝑢𝑦 = 𝑘 + 𝑣

na equação geral 𝐴(𝑢 + ℎ)2 + 𝐵(𝑢 + ℎ)(𝑣 +

𝑘) + 𝐶(𝑣 + 𝑘)2 + 𝐷(𝑢 + ℎ) + 𝐸 (𝑣 + 𝑘) + 𝐹 = 0, em que, após efetuarmos os

quadrados e agruparmos os termos semelhantes, passa a ser:

𝐴𝑢2 + 𝐵𝑢𝑣 + 𝐶𝑣2 + (𝐵𝑘 + 2𝐴ℎ + 𝐷)𝑢 + (2𝐶𝑘 + 𝐵ℎ + 𝐸)𝑣 + 𝐴ℎ2 + 𝐵ℎ𝑘 + 𝐶𝑘2 +

𝐷ℎ + 𝐸𝑘 + 𝐹 = 0.

Nesta equação verifica-se que os coeficientes dos termos em segundo grau (A,

B e C) não sofrem alterações, ou seja, a translação não os afeta e para eliminarmos

os termos em primeiro grau igualamos os coeficientes de u e de v a zero encontrando

o sistema de equações lineares {𝐵𝑘 + 2𝐴ℎ + 𝐷 = 02𝐶𝑘 + 𝐵ℎ + 𝐸 = 0

.

Esse sistema possibilita encontrarmos os valores de k e de h que satisfaçam

suas equações. Neste sentido.

Para encontrar o valor de k:

(𝐵𝑘 + 2𝐴ℎ + 𝐷)(𝐵) = (0)(𝐵) (1)

(2𝐶𝑘 + 𝐵ℎ + 𝐸)(−2𝐴) = (0)(−2𝐴) (2)

Efetuamos a multiplicação e adicionamos (1) e (2) para obtermos:

(𝐵2 − 4𝐴𝐶)𝑘 = 2𝐴𝐸 − 𝐷𝐵 de onde vem que: 𝑘 = 2𝐴𝐸−𝐷𝐵

𝐵2−4𝐴𝐶

Para encontrar o valor de h:

(𝐵𝑘 + 2𝐴ℎ + 𝐷)(−2𝐶) = (0)(−2𝐶) (3)

(2𝐶𝑘 + 𝐵ℎ + 𝐸)(𝐵) = (0)(𝐵) (4)

Efetuamos a multiplicação e adicionamos (3) e (4) para obtermos:

(𝐵2 − 4𝐴𝐶)ℎ = 2𝐶𝐷 − 𝐸𝐵 ⟹ ℎ = 2𝐶𝐷−𝐸𝐵

(𝐵2−4𝐴𝐶)

As expressões de k e de h deste sistema pode assumir diferentes soluções a

depender do valor do denominador. Ela será única se o denominador for diferente de

zero e terá infinitas soluções ou nenhuma solução caso ele seja zero.

170

A transformação geométrica de rotação tem por objetivo eliminar o termo misto.

Desta maneira, buscamos descobrir um ângulo de rotação para que a equação passe

a ter a forma: 𝐴′𝑢2 + 𝐶′𝑣2 + 𝐷′𝑢 + 𝐸′𝑣 + 𝐹′ = 0. Para isso, devemos substituir

{𝑥 = 𝑢𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑣𝑠𝑒𝑛𝜃𝑦 = 𝑢𝑠𝑒𝑛𝜃 + 𝑣𝑐𝑜𝑠𝜃

na equação geral, obtendo, após um tratamento algébrico, as

relações.

{

𝐴′ = 𝐴𝑐𝑜𝑠2𝜃 +

𝐵

2𝑠𝑒𝑛2𝜃 + 𝐶𝑠𝑒𝑛2𝜃

𝐵′ = (𝐶 − 𝐴)𝑠𝑒𝑛2𝜃 + 𝐵𝑐𝑜𝑠2𝜃

𝐶′ = 𝐴𝑠𝑒𝑛2𝜃 − 𝐵

2𝑠𝑒𝑛2𝜃 + 𝐶𝑐𝑜𝑠2𝜃

𝐷′ = 𝐷𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝐸𝑠𝑒𝑛𝜃𝐸′ = 𝐸𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝐷𝑠𝑒𝑛𝜃

𝐹′ = 𝐹

Eliminamos o termo misto 𝑥𝑦 da equação geral, por meio de uma rotação e

fazendo 𝐵′ = 0 nestas expressões. Assim, obtemos (𝐶 − 𝐴)𝑠𝑒𝑛2𝜃 + 𝐵𝑐𝑜𝑠2𝜃 = 0 em

que, se 𝐴 = 𝐶, 𝐶𝑜𝑠2𝜃 = 0 e 𝜃 = 𝜋

4 ou 𝜃 =

3𝜋

4 . Para 𝜃 =

𝜋

4 temos 𝐴′ =

1

2(𝐴 + 𝐵 + 𝐶) e

𝐶′ = 1

2 (𝐴 − 𝐵 + 𝐶) e para 𝜃 =

3𝜋

4, 𝐴′ =

1

2 (𝐴 − 𝐵 + 𝐶) e 𝐶′ =

1

2(𝐴 + 𝐵 + 𝐶). Agora se

𝐴 ≠ 𝐶 obtemos a expressão 𝑡𝑔2𝜃 =𝐵

𝐴−𝐶, para qualquer valor que o ângulo 𝜃 venha a

assumir.

Após simplificarmos a equação geral por meio de translações e rotações ela

passará a ter uma forma mais simples conhecida como equação canônica ou reduzida

de uma cônica, facilitando também sua representação gráfica. Para as situações em

que não exista o termo misto na equação geral, a rotação será dispensada e o uso da

técnica de completar quadrados é suficiente para encontrar a equação reduzida.

A tecnologia 𝜽𝑮𝑨𝟒 que justifica as técnicas empregadas para desenvolver as

tarefas 𝒕𝑮𝑨𝟒 se apoia em conhecimentos de coordenadas de pontos e de retas

advindos da geometria analítica, além dos conhecimentos necessários para pôr em

correspondência resultados da geometria sintética em um referencial cartesiano

articulando estes dois modelos. São necessários, também conhecimentos de

trigonometria e conhecimentos de rotação e translação advindos da geometria

analítica.

171

Outra tarefa neste modelo, requer que se coloque em evidência uma relação

entre o que foi feito no modelo da geometria sintética no que consiste às coordenadas

polares com o modelo da geometria analítica. Assim, apresentamos 𝑇𝐺𝐴5.

𝑻𝑮𝑨𝟓: Determinar as equações reduzidas das cônicas.

𝒕𝑮𝑨𝟓𝟏: Determinar a equação reduzida da parábola;

𝒕𝑮𝑨𝟓𝟐: Determinar a equação reduzida da elipse;

𝒕𝑮𝑨𝟓𝟑: Determinar a equação reduzida da hipérbole.

Para o cumprimento da tarefa relativa à parábola, 𝒕𝑮𝑨𝟓𝟏, a técnica 𝝉𝑮𝑨𝟓𝟏, seria

pôr os resultados obtidos para a parábola no modelo da geometria sintética em um

plano cartesiano, ou seja, podemos ainda tomar um ponto genérico Q(𝑥, 𝑦) e a

definição de lugar geométrico 𝑑(𝑄, 𝐹) = 𝑑(𝑄, 𝑟) para construir um gráfico, figura 96,

em que o vértice desta cônica está na origem do sistema de coordenadas cartesianas.

Figura 96 – Lugar geométrico da parábola no gráfico

Fonte: Siqueira (2016, p.119)

De posse desta figura, extraímos uma equação analítica para a parábola,

tomando |𝑥 + 𝑝| = √(𝑥 − 𝑝)2 + 𝑦² em que elevando ambos os membros ao quadrado

para obtermos a expressão 𝑥² + 2𝑝𝑥 + 𝑝² = 𝑥² − 2𝑝𝑥 + 𝑝² + 𝑦² que depois de

simplificada passa a ter a forma 𝑦² = 4𝑝𝑥. Esta equação é denominada equação

reduzida da parábola e foi encontrada devida à posição desta cônica no plano

cartesiano, ou seja, outras equações podem ser encontradas se variarmos esta

posição.

172

Da mesma forma, para o cumprimento da tarefa 𝒕𝑨𝟓𝟐, a técnica 𝝉𝑮𝑨𝟓𝟐 para

realizar esta tarefa consiste em pôr os resultados obtidos para esta cônica no modelo

da geometria sintética em um referencial cartesiano, ou seja, para a elipse tomamos

um ponto 𝑃(𝑥, 𝑦) genérico e a definição de lugar geométrico 𝑑(𝑃, 𝐹1) + 𝑑(𝑃, 𝐹2) = 2𝑎

para construir o gráfico da figura 97, em que o centro desta cônica esteja sobre a

origem do plano cartesiano.

Figura 97 – Lugar geométrico da elipse no gráfico


A partir da definição de lugar geométrico e do gráfico da figura 97 obtemos a

equação reduzida, fazendo √(𝑥 + 𝑐)² + 𝑦²+ √(𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦 ² = 2𝑎, em que depois de

elevarmos ambos os membros ao quadrado, expandirmos a expressão e a

simplificarmos chegamos a 𝑎√(𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦² = 𝑎²− 𝑐𝑥. Em seguida, elevamos e

expandimos novamente a expressão e agruparmos os termos em segundo grau 𝑥² e

𝑦² obtemos a equação (𝑎2 − 𝑐2)𝑥² + 𝑎²𝑦² = 𝑎²(𝑎2 − 𝑐2). Finalmente, definimos por 𝑏²

a expressão (𝑎2 − 𝑐2) e dividimos a equação por 𝑎²𝑏² para obtermos a equação

reduzida da elipse 𝑥2

𝑎2+

𝑦2

𝑏2= 1. Contudo, outras equações podem ser encontradas a

depender da posição da elipse no gráfico.

A técnica 𝝉𝑮𝑨𝟓𝟑 para o desenvolvimento da tarefa 𝑻𝑮𝑨𝟓𝟑 é análoga ao das

outras duas cônicas. Assim, para a hipérbole, tomamos também um ponto genérico

𝑃(𝑥,𝑦) e a definição de lugar geométrico |𝑑(𝑃, 𝐹1) − 𝑑(𝑃, 𝐹2)| = 2𝑎 de modo a construir

a representação gráfica, figura 98, em que o centro desta cônica esteja na origem do

plano cartesiano.

173

Figura 98 – Lugar geométrico da hipérbole no gráfico


A partir desta definição e do gráfico construído, tomamos

√(𝑥 + 𝑐)²+ 𝑦²=√(𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦²± 2𝑎, em que elevamos ambos os membros ao

quadrado, expandimos e simplificamos a expressão para encontrarmos a equação

𝑥𝑐 − 𝑎² = ±𝑎√(𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦². Depois, elevamos ao quadrado, expandimos novamente

a expressão, agrupamos os termos em 𝑥² e 𝑦² e definimos 𝑐²− 𝑎² = 𝑏² chegando a

𝑏²𝑥2 − 𝑎²𝑦² = 𝑎²𝑏². Finalmente, dividimos a equação por 𝑎²𝑏², para obter a equação

reduzida para a hipérbole 𝑥²

𝑎²−

𝑦²

𝑏²= 1.

A tecnologia 𝜽𝑮𝑨𝟓 é a mesma utilizada para 𝑡𝐺𝐴4, pois colocamos em

correspondência alguns elementos da geometria sintética em um referencial

cartesiano para depois utilizar a definição da cônica utilizando coordenadas.

Outra possibilidade de relacionar a geometria sintética com a geometria

analítica é utilizar o raio polar das cônicas para obter a equação geral das cônicas.

Com isso, elaboramos 𝑇𝐺𝐴6.

𝑻𝑮𝑨𝟔: Obter uma equação cartesiana para as cônicas a partir do raio polar

obtido na geometria sintética.

Para o cumprimento da tarefa 𝒕𝑮𝑨𝟔, utilizamos a técnica 𝝉𝑮𝑨𝟔 na qual

consideramos que enquanto no sistema de coordenadas cartesianas existe uma

relação biunívoca entre um ponto representado no plano e as coordenadas deste

ponto, no sistema de coordenadas polares esta correspondência não é válida uma

174

vez que um ponto 𝑃 (𝑟, 𝜃) neste sistema pode ser determinado por 𝑃 (𝑟, 2𝑘𝜋) em que

𝑘 ∈ 𝑍. Neste sentido, consideramos o sistema de coordenadas polares e cartesianas,

a definição da cônica por sua excentricidade e a equação polar e consideramos a reta

diretriz à esquerda do ponto P. Assim, 𝑟 =ℯ𝐿

1−ℯ 𝑐𝑜𝑠 𝜃 e, portanto, 𝑟 − 𝑟ℯ𝑐𝑜𝑠 𝜃 = ℯ𝐿.

Consideramos ainda, os sistemas de coordenadas cartesianas 𝑥𝑜𝑦, 𝑥’𝑜’𝑦’, e

o sistema de coordenadas polares de eixo polar 𝑂′𝐴 apresentados na figura 99 em

que o ponto 𝐹 representa o foco da cônica e 𝑃 um ponto genérico.

Figura 99 – Análise de coordenadas polares e cartesianas


A partir desta figura, extraímos as relações 𝑟 = √𝑥 ′²+ 𝑦 ′² e 𝑥 ′ = 𝑟 cos𝜃 de

modo que substituídas na equação do raio polar da cônica, passamos a obter a

expressão √𝑥 ′²+ 𝑦 ′² − ℯ𝑥 ′ = ℯ𝐿. Depois disso, agrupamos os termos semelhantes de

como √𝑥 ′²+ 𝑦 ′² = (𝐿 + 𝑥 ′)ℯ. Por esta expressão, verifica-se que a cônica está

transladada em relação à origem do sistema cartesiano 𝑥’𝑂’𝑦 e, com isso, realizamos

uma translação para o sistema 𝑥𝑂𝑦, fazendo 𝑥 = 𝑥 ′ + 𝐿 e 𝑦 = 𝑦′ e substituímos na

equação anterior, obtendo a expressão √(𝑥 − 𝐿)²+ 𝑦 ′² = (𝑥)ℯ.

Finalmente, elevamos ambos os membros ao quadrado e agrupamos os termos

semelhantes para obter a equação (1 − ℯ2)𝑥²− 2𝐿𝑥 + 𝑦2 + 𝐿2 = 0 que, após

substituirmos 𝐿 = 2𝑝, em que 𝑝 representa o parâmetro da curva, obtemos

exatamente a equação geral da cônica em coordenadas cartesianas, analisada

anteriormente, (1− ℯ2)𝑥2 − 4𝑝𝑥 + 𝑦2 + 4𝑝2 = 0.

175

A tecnologia 𝜽𝑮𝑨𝟔 que justifica o emprego da técnica 𝝉𝑮𝑨𝟔, requer que ponham

em correspondência elementos do modelo da geometria sintética com elementos da

geometria analítica, se apoiou nos conhecimentos de coordenadas de pontos, de

retas, de rotação, de translação e de planos cartesianos advindos da geometria

analítica e de conhecimentos do eixo polar, de raio polar e de ângulos advindos da


Outra tarefa que se impõe é obter as equações reduzidas das cônicas a partir

dos resultados obtidos na geometria sintética para a definição de excentricidade.

Desta forma, apresentamos 𝑇𝐺𝐴7.

𝑻𝑮𝑨𝟕: Obter as equações reduzidas das cônicas a partir da definição de

excentricidade.

Para o cumprimento da tarefa 𝒕𝑮𝑨𝟕, é necessário o uso da técnica 𝝉𝑮𝑨𝟕 em que

partimos da definição de excentricidade, da geometria sintética, ℯ = 𝑑(𝑃,𝐹)

𝑑(𝑃,𝑟), para obter

a expressão analítica para as cônicas a partir de um gráfico. Neste sentido, tomando

um ponto genérico da curva 𝑃(𝑥, 𝑦) no referencial cartesiano 𝑥𝑂𝑦, fazendo coincidir a

reta diretriz 𝑟 com o eixo 𝑂𝑦 e que o foco, 𝐹 (2𝑝, 0), esteja sobre 𝑂𝑥, sendo 𝑝 > 0,

figura 100.

Figura 100 – Ponto genérico da cônica


A expressão analítica é obtida com base na figura 100 em que podemos

escrever 𝑑(𝑝, 𝐹) = √(𝑥 − 2𝑝)²+ 𝑦2 e 𝑑(𝑃, 𝑟) = |𝑥|, resultando na expressão

√(𝑥 − 2𝑝)²+ 𝑦2 = ℯ|𝑥| e, após elevarmos ao quadrado ambos os membros,

expandimos e simplificamos a equação obtendo a equação geral da cônica em

176

coordenadas cartesianas, (1− ℯ2)𝑥2 − 4𝑝𝑥 + 𝑦2 + 4𝑝2 = 0 , em que explicitamos a

excentricidade.

Por meio desta equação, analisamos cada tipo de cônica, substituindo os

valores de sua excentricidade. A parábola possui ℯ = 1, resultando na perda do fator

𝑥² da expressão geral das cônicas, passando a ter a forma −4𝑝𝑥 + 𝑦2 + 4𝑝2 = 0, que

após sofrer um tratamento algébrico passa a ter a configuração 𝑦² = 4𝑝(𝑥 − 𝑝).

Percebe-se por essa equação que o vértice desta cônica não está na origem do

sistema cartesiano, no entanto para encontrarmos a equação reduzida da parábola

basta realizar uma translação de um sistema 𝑥𝑂𝑦 para um sistema 𝑥′𝑂′𝑦′, com 𝑂′ = 𝑂,

𝑥′ = (𝑥 − 𝑝) e 𝑦′ = 𝑦 para encontrarmos 𝑦′2 = 4𝑝𝑥′. Graficamente, representamos os

dois sistemas de coordenadas 𝑥𝑂𝑦 e 𝑥′𝑂′𝑦′ em um mesmo plano cartesiano, figura

101. Nele, tomamos 𝐹 (𝑝,0) e a equação da reta diretriz 𝑟 : 𝑥′ = −𝑝.

Figura 101 – Análise da translação da parábola


Para a elipse consideramos o intervalo de sua excentricidade 0 < ℯ < 1 e por

consequência 1− 𝑒² > 0. Dividimos então, a equação geral por 1− ℯ2 para obter

𝑥² − 4𝑝

1−ℯ2 𝑥 +

𝑦2

1− ℯ2 =

− 4𝑝²

1− ℯ2 e completamos quadrado com o termo

4𝑝²

(1− ℯ2 )² de modo que

a expressão passa a ter a forma 𝑥² − 4𝑝

1−ℯ2 𝑥 +

4𝑝2

(1− ℯ2 )2 +

𝑦2

1− ℯ2 =

− 4𝑝2

1− ℯ2 +

4𝑝²

(1− ℯ2 )² em que

simplificamos para obter a equação (𝑥 − 2𝑝

1−ℯ2)

2

+ 𝑦²

1− ℯ²=

4𝑝²ℯ²

(1− ℯ2)². Em seguida,

177

dividimos a expressão por (2𝑝ℯ

1− ℯ2)² e obtivemos a equação

(𝑥− 2𝑝

1− ℯ2)²

(2𝑝ℯ)²

(1− ℯ²)²

+ 𝑦²

4𝑝²ℯ²

1− ℯ²

= 1 que

depois de ser simplificada passou a ter a forma (𝑥−

2𝑝

1− ℯ2)²

(2𝑝ℯ

1− ℯ²)²

+ 𝑦²

(2𝑝ℯ

√1− ℯ²)²= 1.

De posse desta equação definimos 𝑎 =2𝑝ℯ

1− ℯ² e 𝑏 =

2𝑝𝑒

√1− ℯ² e efetuamos uma

translação do sistema 𝑥𝑜𝑦 para o sistema 𝑥′𝑜′𝑦′, como fizemos para a parábola,

fazendo 𝑦 = 𝑦′, 𝑥 ′ = 𝑥 − 2𝑝

1− ℯ², ou seja, as coordenadas da origem no sistema 𝑥′𝑜′𝑦′ são

representadas por 𝑂′(2𝑝

1−ℯ2, 0). Assim podemos escrever a equação reduzida da elipse

no sistema de coordenadas 𝑥′𝑜′𝑦′, 𝑥′²

𝑎²+𝑦′²

𝑏²= 1.

Depois da translação, as coordenadas de 𝐹1 passaram a ser 𝐹1 (2𝑝 − 2𝑝

1− ℯ2,0),

no sistema 𝑥′𝑜′𝑦′, ou simplificadamente, 𝐹1 (−𝑎ℯ,0) e a reta diretriz possui equação

𝑥 ′ = −2𝑝

1− ℯ² de modo que também pode ser escrita por 𝑥 ′ = −

𝑎

ℯ. Como a elipse é uma

figura geométrica que possui simetria em relação a seus eixos que se intersectam

perpendicularmente em seu centro, verificamos que tanto o foco 𝐹1 quanto a reta 𝑟

estão situados à esquerda do eixo 𝑂′𝑦′ e, definimos 𝐹2 como o simétrico de 𝐹1 e 𝑟′

como o simétrico de 𝑟 para escrever suas coordenadas 𝐹2(𝑎ℯ,0) e 𝑟 ′: 𝑥 ′ = 𝑎

ℯ. Desta

forma, para qualquer ponto 𝑃 (𝑥 ′, 𝑦 ′) sobre a elipse é válida a definição de

excentricidade ℯ = 𝑑(𝑃,𝐹)

𝑑(𝑃,𝑟), ou seja, ℯ =

𝑑(𝑝,𝐹2)

𝑑(𝑃,𝑟′).

Segundo Boulos e Camargo (1987) podemos verificar que a elipse possui dois

focos e duas retas diretrizes, utilizando a definição de excentricidade e mudando para

as coordenadas cartesianas em 𝑥′0′𝑦′, ℯ |𝑎

ℯ− 𝑥′| = √(𝑥 ′ − 𝑎ℯ)2 + 𝑦′². Depois disso,

elevamos ambos os membros ao quadrado para obter ℯ2 (𝑎

ℯ− 𝑥 ′)

2

= (𝑥 ′ − 𝑎ℯ)2+ 𝑦 ′2

que, após sofrer expansões e simplificações, será (1− ℯ2)𝑥 ′2 + 𝑦 ′2 = (1− ℯ2)𝑎².

Assim, dividimos essa expressão por (1− ℯ2)𝑎² e encontramos 𝑥′²

𝑎²+

𝑦′²

(1− ℯ2)𝑎²= 1.

Definimos então que 𝑏² = (1− ℯ2)𝑎² e escrevemos novamente a equação reduzida

para a elipse, 𝑥′²

𝑎²+

𝑦′²

𝑏²= 1. Graficamente, representamos a elipse com seus focos e

suas retas diretrizes na figura 102.

178

Figura 102 – Focos e das retas diretrizes da elipse


De posse dos elementos desta figura relacionamos a distância focal com a

excentricidade da curva, considerando 2𝑐 a medida do segmento 𝐹1𝐹2 e as

coordenadas dos focos, 𝐹1 (−𝑎ℯ,0) e 𝐹2 (𝑎ℯ,0). Portanto, então a distância entre os

focos vale 𝐹1𝐹2 = 2𝑎ℯ e 2𝑐 = 2𝑎ℯ. Assim, podemos relacionar o foco e a

excentricidade da elipse pela equação ℯ =𝑐

𝑎 que pode ser interpretada imaginando os

focos se afastarem ou aproximarem do centro da elipse.

Quanto mais próximo ao centro estiverem os focos, mais a forma da elipse se

aproximará da de uma circunferência e quanto mais afastada estiverem do centro

mais se aproximará da forma do segmento que contém os focos.

Já a hipérbole, possui a excentricidade ℯ > 1, e, portanto, ℯ²− 1 > 0. Neste

sentido, procedemos como no caso da elipse, dividindo a equação geral da cônica e

invertendo o sinal de todos os termos da equação obtendo, 𝑥² + 4𝑝

ℯ²−1 𝑥 −

𝑦2

ℯ2−1=

4 𝑝2

ℯ2−1.

Depois disso, completamos quadrado com o termo 4𝑝²

(ℯ2−1)² acrescentando-o em ambos

os membros da equação anterior, 𝑥² + 4𝑝

ℯ²−1𝑥 +

4𝑝²

(ℯ2−1)²−

𝑦2

ℯ2−1 =

4𝑝2

ℯ2−1 +

4𝑝²

(ℯ2−1)² que

após sofrer um tratamento algébrico passa a ter a forma (𝑥 + 2𝑝

ℯ2−1)

2

− 𝑦2

ℯ2−1=

4𝑝²ℯ²

(ℯ2−1)².

179

Dividimos a equação anterior por (2𝑝ℯ

ℯ2−1)², e encontramos a expressão

(𝑥+ 2𝑝

ℯ2−1)

2

(2𝑝ℯ

ℯ2−1)²

− 𝑦2

(2𝑝ℯ)2

ℯ2−1

= 1, depois reescrevemos essa equação para ficar com a forma

(𝑥+ 2𝑝

ℯ2−1)

2

(2𝑝ℯ

ℯ2−1)²

− 𝑦2

(2𝑝ℯ

√ℯ2−1)²= 1.

Finalmente, definimos 𝑎 =2𝑝ℯ

ℯ²−1 e 𝑏 =

2𝑝𝑒

√ℯ²−1 e realizamos uma translação para

o sistema de coordenadas 𝑥′𝑂′𝑦′ de origem 𝑂′(−2𝑝

ℯ2−1,0) e tomamos 𝑥 ′ = 𝑥 +

2𝑝

ℯ²−1 e

𝑦 ′ = 𝑦. Assim, obtemos a equação reduzida da hipérbole 𝑦′²

𝑎²−

𝑥′²

𝑏²= 1 no sistema de

coordenadas cartesianas 𝑥′𝑂′𝑦.

Por meio da definição de excentricidade podemos fazer uma análise acerca

dos focos e das diretrizes da hipérbole, procedendo como no caso da elipse, ao

verificar que, após a translação, as coordenadas do foco definido por de 𝐹2 passou a

ser 𝐹2 (2𝑝 + 2𝑝

1− ℯ2,0) e que, após ser manipulado, passou a ser 𝐹2 (+𝑎ℯ,0).

Já a reta diretriz de equação 𝑟: 𝑥 ′ = 2𝑝

1− ℯ² passou a ter a forma 𝑟: 𝑥 ′ =

𝑎

ℯ que

graficamente, figura 103, representamos no sistema de coordenadas 𝑥′𝑜′𝑦′.

Figura 103 – Análise da translação da hipérbole

Fonte: Siqueira (2016, p.129)

180

Concluímos, portanto que a hipérbole assim como a elipse é uma figura

geométrica que possui simetria em relação ao centro da figura e por isso, observamos

que tanto reta 𝑟 quanto o foco 𝐹2 estão situados à direita de 𝑂’, considerando os seus

simétricos 𝑟’: 𝑥 ′ = − 𝑎

ℯ e 𝐹1 (− 𝑎ℯ,0). Neste sentido, também é válida a expressão da

excentricidade, ℯ = 𝑑(𝑝,𝐹2)

𝑑(𝑃,𝑟′).

A partir disso, podemos escrever que 𝑑(𝑃, 𝐹2) = ℯ𝑑(𝑃, 𝑟′) e, após uma

conversão para o sistema de coordenadas cartesianas 𝑥′𝑂′𝑦′, ganhou a forma

√(𝑥 ′ + 𝑎ℯ)²+ 𝑦′² = ℯ |𝑥 ′ + 𝑎

ℯ| em que elevamos ambos os membros ao quadrado,

obtendo (𝑥 ′ + 𝑎ℯ)2+ 𝑦 ′2 = ℯ²(𝑥 ′ +

𝑎

ℯ)² em que desenvolvemos os quadrados e

dividimos ambos os membros por (ℯ2 − 1)𝑎² para encontrarmos 𝑥′²

𝑎²−

𝑦′²

(ℯ2−1)𝑎²= 1.

Nesta equação, como 𝑏² = (ℯ2 − 1)𝑎² , chegamos mais uma vez à equação

reduzida da hipérbole, 𝑥²

𝑎²−

𝑦²

𝑏²= 1, concluindo que a hipérbole, figura 104, é uma figura

geométrica que possui dois focos e duas retas diretrizes.

Figura 104 – Focos e retas diretrizes da hipérbole


Como fizemos anteriormente, podemos relacionar a distância entre os focos

com a excentricidade da hipérbole, considerando a distância entre os focos, medida

do segmento 𝐹1𝐹2, bem como as coordenadas destes pontos 𝐹1 (− 𝑎ℯ,0) e 𝐹2 (+𝑎ℯ,0).

Desta forma, como 𝐹1𝐹2 = 2𝑎ℯ e 2𝑐 = 2𝑎ℯ então a excentricidade da hipérbole é dada

181

por ℯ =𝑐

𝑎 que pode ser analisada verificando o quanto os focos se aproximam ou se

afastam do centro da figura. Quanto mais os focos se aproximam deste centro,

percebe-se que a figura da hipérbole se parece com duas retas paralelas e quanto

mais eles se afastam percebe-se que essa cônica parecerá com duas semirretas com

extremidades em 𝑎 e em – 𝑎 de mesma direção.

A tecnologia 𝜽𝑮𝑨𝟕 que justifica a técnica para o desenvolvimento desta tarefa

requer, além dos conhecimentos elencados para o cumprimento das tarefas 𝑡𝐺𝐴4, 𝑡𝐺𝐴5

e 𝑡𝐺𝐴6, os conhecimentos de simetria e dos valores da excentricidade para os

intervalos em que cada cônica atua obtidos quando apresentamos o modelo da


Assim, a partir do estudo das cônicas neste modelo, apresentamos na figura

105, as relações entre as praxeologias identificadas na geometria analítica.

Figura 105 – Relações entre praxeologias na geometria analítica


Vimos neste modelo que o problema de Pappus contribuiu para o

desenvolvimento da geometria analítica pela necessidade de um referencial que

conhecemos por cartesiano. Por consequência disso, nesta figura apresentamos os

182

tipos de tarefas referentes à duplicação do cubo, como um problema originalmente

geométrico, às equações cúbicas e à equação geral que deriva do problema de

Pappus.

A partir da equação geral foi possível caracterizar a parábola, elipse e hipérbole

pela análise de seus coeficientes e determinar as equações reduzidas. Foi possível

também, determinar as equações reduzidas das cônicas pela definição de

excentricidade e obter equações cartesianas por meio do raio polar da cônica,

relacionando a geometria sintética com a geometria analítica. As setas duplas, assim

como no caso da geometria sintética, são apresentadas para mostrar que em certa

medida esses tipos de tarefas guardam relações entre si.

Portanto, no modelo da geometria analítica são objetos de análise para o

estudo das cônicas a equação polinomial do segundo grau em duas variáveis, a

equação reduzida ou canônica das cônicas e o transporte de elementos da geometria

sintética para um plano cartesiano, como a reta diretriz, as coordenadas dos focos e

pontos genéricos, que permitirão a construção de gráficos.

A complexidade em analisar as cônicas, no modelo da geometria analítica,

quando todos os coeficientes da equação geral forem diferentes de zero, pode ser

substituída pelo tratamento dispensado a esses objetos na álgebra linear, de maneira

mais simplificada, em que denominaremos, assim como Benito (2019), como o modelo

da geometria linear.

3.1.2.3 Modelo da Geometria Linear

Para construir um modelo de cônicas na geometria linear nos baseamos em

Benito (2019), uma vez que, de maneira geral, não conseguimos identificar qual a

cônica está sendo tratada, olhando apenas para a equação geral das cônicas no

Modelo da Geometria Analítica.

No modelo da geometria analítica, apresentamos as cônicas por meio de uma

equação geral 𝐴𝑥2 + 𝐵𝑥𝑦 + 𝐶𝑦2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0 em que A, B, C, D, E e F ∈ ℝ. No

entanto, de acordo com Benito (2019), muito problemas que podem ser anunciados

neste modelo, mas que são de difíceis soluções, podem ser mais facilmente resolvidos

no modelo da geometria linear como por exemplo, determinar o gênero da cônica dada

sua equação geral. Neste sentido, elaboramos o tipo de tarefa 𝑇𝐺𝐿1.

183

𝑻𝑮𝑳𝟏: Reconhecer e determinar a equação canônica da cônica a partir da

equação geral do segundo grau em duas variáveis.

𝒕𝑮𝑳𝟏𝟏: Reconhecer e determinar a equação canônica da cônica, a partir da

equação geral desenvolvida, tendo os termos em segundo grau e o termo constante;

𝒕𝑮𝑳𝟏𝟐: Reconhecer e determinar a equação canônica da cônica, a partir da

equação geral desenvolvida, possuindo um coeficiente de primeiro grau não nulo, e

seu respectivo coeficiente de segundo grau igual a zero;

𝒕𝑮𝑳𝟏𝟑: Reconhecer e determinar a equação canônica da cônica com todos os

termos da equação geral diferentes de zero.

A técnica 𝝉𝑮𝑳𝟏𝟏, utilizada para o cumprimento da tarefa 𝒕𝑮𝑳𝟏𝟏, requer que

encontremos a equação reduzida da cônica, considerando que a equação geral

possua apenas os termos em segundo grau e o termo constante. Portanto, para

reconhecer qual a cônica está sendo tratada podemos proceder diferentemente do

que fizemos no Modelo da Geometria Analítica e considerar apenas a parcela de

segundo grau da equação geral da cônica 𝐿(𝑥, 𝑦) = 𝑎𝑥2 + 2𝑏𝑥𝑦 + 𝑐𝑦2.

A essa parte da equação geral, associamos a matriz simétrica 𝐴 = [𝑎 𝑏𝑏 𝑐

] no

sistema de referencial de 𝑥𝑜𝑦, pois [𝑥 𝑦] [𝑎 𝑏𝑏 𝑐

] [𝑥𝑦] = 𝑎𝑥2 + 2𝑏𝑥𝑦 + 𝑐𝑦2 = 𝐿(𝑥, 𝑦),

com 𝐿(𝑥, 𝑦) = 𝐻, para resolver equações do tipo 𝑎𝑥2 + 2𝑏𝑥𝑦 + 𝑐𝑦2 = 𝐻, em que 𝐻 é

uma constante.

Então o que fizemos nada mais é do que descrever aquela parte da equação

geral da cônica como um produto de matrizes. A partir daí é possível cumprir a tarefa

de determinar qual a cônica está sendo tratada, qual os seus elementos

característicos e, em um passo seguinte, construir o gráfico representativo da cônica

em questão.

Podemos determinar o gênero da cônica pela técnica da análise do

determinante da matriz A: se 𝑑𝑒𝑡𝐴 = 0 a cônica será uma parábola, se 𝑑𝑒𝑡𝐴 > 0 a

cônica será uma elipse e 𝑑𝑒𝑡𝐴 < 0 a cônica será uma hipérbole. No entanto, para

184

cumprir as outras tarefas é necessário a técnica de determinar os autovalores16

associados à matriz A17, utilizando o polinômio característico 𝑝(𝑡) = det[𝐴 − 𝑡𝐼𝑛], com

𝑛 representando a ordem da matriz quadrada e determinar os autovetores unitários,

por meio da solução do sistema [𝐴 − 𝜆𝐼𝑛]𝑋 = 0̅, para encontrar os eixos do sistema

𝑥′𝑂𝑦′, rotacionado em relação ao sistema 𝑥𝑂𝑦, de modo a poder reescrever a equação

da cônica, possibilitando também analisá-la.

Formalmente, este procedimento é justificado pela tecnologia 𝜃𝐺𝐿11, inserida na

geometria linear, considerando que: como a matriz A é diagonalizável18, existe uma

matriz ortogonal M tal que, 𝑀𝑇𝐴𝑀 = [𝜆1 0

0 𝜆2] = 𝐷 onde 𝜆1 e 𝜆2 são os autovalores

deste operador linear. Se considerarmos 𝑘 = [𝑥𝑦], sua transposta será 𝑘𝑇 = [𝑥 𝑦] e

fazendo uma troca de variável 𝑘 = [𝑥𝑦] = 𝑀 [

𝑥′𝑦′] temos que 𝐿(𝑥, 𝑦) = 𝐾𝑇𝐴𝐾 ⇒

𝐿 (𝑥′, 𝑦′) = ((𝑀 [𝑥′𝑦′]))

𝑇

𝐴𝑀 [𝑥′𝑦′]. Como a transposta do produto é o produto das

transposta há a possibilidade de trocar a ordem das matrizes. Desta forma, podemos

escrever [𝑥′

𝑦′]𝑇

𝑀𝑇𝐴𝑀 [𝑥′𝑦′] = [𝑥′ 𝑦′] [

𝜆1 0

0 𝜆2] [𝑥′

𝑦′] = 𝜆1𝑥

′2 + 𝜆2𝑦′2, desaparecendo, o

termo misto no novo sistema 𝑥′𝑂𝑦′. Assim, é possível reescrever a equação anterior

para forma 𝜆1𝑥′2 + 𝜆2𝑦

′2 = 𝐻 e analisar o tipo de cônica que poderá ser. Neste sentido,

quando esta equação possuir os dois termos em segundo grau, será uma cônica com

centro (elipse ou hipérbole), ou seja, 𝑥′2

𝐻

𝜆1

+ 𝑦′2

𝐻

𝜆2

= 1 ou 𝑥′2

𝐻

𝜆1

− 𝑦′2

𝐻

𝜆2

= 1, respectivamente.

Além disso, é possível cumprir a tarefa 𝑡𝐺𝐿12 em que a equação possui um termo em

segundo grau em uma variável e o outro termo em primeiro grau em outra variável, a

cônica será uma parábola 𝜆1𝑥′2 + 𝑞𝑦′ = 𝐻 ou 𝜆2𝑦

′2 + 𝑝𝑥′ = 𝐻, o que permitirá portanto,

16 Definição: Considere A uma matriz n × n. Um número real λ ϵ ℝ é denominado autovalor de A, se

existe um vetor não nulo 𝑉 = [

𝑣1⋮𝑣𝑛] de ℝ𝑛 , tal que 𝑇𝑉 = 𝜆𝑉. Um vetor não nulo com essas

características é chamado de autovetor de A.

17 Considere A uma matriz 𝑛 × 𝑛:

1) A matriz A é invertível se, e somente se, det(A) ≠ 0. 2) O sistema homogêneo 𝐴𝑋 = 0̅ tem solução não trivial se, e somente se, 𝑑𝑒𝑡(𝐴) = 0.

18Uma matriz A, 𝑛 × 𝑛, e´ diagonalizável, se existem matrizes W e Q tais que 𝐴 = 𝑃𝑊𝑃−1 , ou

semelhantemente, 𝑄 = 𝑃−1𝐴𝑃, onde Q é uma matriz diagonal.

185

construir os gráficos referentes a estas cônicas determinando, inclusive seus

elementos como focos, eixos, vértices, distância focal para elipse e hipérbole,

excentricidade e reta diretriz, articulando os conhecimentos desta geometria com os

conhecimentos oriundos da geometria analítica.

Já para cumprir da tarefa 𝑡𝐺𝐿13 é necessário utilizar alguns procedimentos como

técnica 𝝉𝑮𝑳𝟏𝟑, justificada pela tecnologia 𝜃𝐺𝐿13, considerando além dos autovalores da

matriz A, os autovetores associados, ou seja, 𝑢 = [𝑢1

𝑢2] e 𝑣 = [

𝑣1

𝑣2] e reescrever toda

equação geral como sendo [𝑥 ′ 𝑦′] [𝜆1 0

0 𝜆2] [𝑥′

𝑦′] + [𝐷 𝐸] [

𝑢1 𝑣1

𝑢2 𝑣2] [𝑥′

𝑦′] + [𝐹] que,

após um tratamento, toma a forma 𝜆1𝑥′2 + 𝜆2𝑦

′2 + 𝑝 𝑥′ + 𝑞𝑦′ + 𝐹 = 0, no sistema

𝑥′𝑂𝑦′, eliminando o termo misto 𝑥𝑦. Em seguida, devemos utilizar a técnica de

completar quadrados e transformar essa equação em uma equação reduzida do tipo

𝜆1𝑋2 + 𝜆2𝑌

2 = 𝑅 (cônica com centro), em um terceiro sistema de coordenadas,

podendo depois disso, construir o gráfico representativo da cônica analisada.

Assim, identificamos alguns conhecimentos importantes para o cumprimento

destas tarefas na geometria linear como os conhecimentos de álgebra para manipular

as equações, de álgebra linear, por meio de matrizes e determinantes, de rotação e

translação, advindos da geometria analítica, da técnica em completar quadrados e de

transformar uma equação cartesiana em uma equação em termos matriciais

relacionando cada termo.

Como exemplo, apresentamos três situações para ilustrar o reconhecimento de

cônicas para este modelo em que, analisamos uma equação em segundo grau em

duas variáveis com apenas os termos em segundo grau e o termo constante,

utilizamos a técnica de completar quadrados e analisamos uma equação geral com

todos os coeficientes diferentes de zero.

Na primeira situação analisamos a equação 5𝑥2 + 4𝑥𝑦 + 2𝑦2 − 2 = 0. Assim,

a partir do que fora apresentado nesta seção, tomamos a matriz 𝐴 = [5 2

2 2] para, em

seguida encontrarmos os autovalores associados por meio do polinômio característico

𝑝(𝜆) = det [5− 𝜆 2

2 2− 𝜆]. Desta maneira, encontramos (5− 𝜆) (2− 𝜆) − 4 = 0,

resultando então, que 𝜆2 − 7𝜆 + 6 = 0 ⇒ {𝜆 = 6

𝜆 = 1 . Portanto, nas novas variáveis 𝑥’ e

186

𝑦’ a equação da cônica toma a forma de 6𝑥 ′2 + 𝑦 ′2 − 2 = 0 ⇒ 3 (𝑥 ′2 + 𝑦′2

6) = 1, ou

seja, é uma elipse.

Para construir a representação gráfica desta elipse, após a rotação, buscamos

os autovetores associados aos autovalores encontrados. Assim, começamos por

buscar uma base para 𝑉(6), fazendo [5 22 2

] [𝑥𝑦] = 6 [

𝑥𝑦] ⇒ 𝑥 = 2𝑦 que resulta no vetor

𝐵1 = {(2,1)} e para 𝑣(1) temos [5 22 2

] [𝑥𝑦] = [

𝑥𝑦] ⇒ 𝑦 = −2𝑥 que resulta no vetor

𝐵2{(1, −2)}. Esses vetores fornecem a direção do sistema de coordenadas 𝑥’𝑂𝑦’.

De posse destes vetores podemos esboçar a representação gráfica da elipse

nos sistemas de coordenadas 𝑥𝑂𝑦 e 𝑥’𝑂𝑦’, figura 106, para mostrar que essa cônica

sofreu uma rotação de modo a eliminar o termo misto da equação inicial.

Figura 106 – Rotação de uma elipse


Na segunda situação utilizaremos a técnica de completar quadrados, pois

apresentamos uma equação em que não aparece o termo misto em segundo grau,

𝑥2 − 2𝑦2 + 2𝑥 + 4𝑦 − 3 = 0. Neste sentido, fazemos um tratamento nos termos em 𝑥

e nos termos em 𝑦 desta equação, ou seja, reescrevemos e completamos quadrados

(𝑥 + 1)2 − 1− 2[(𝑦 − 1)2 − 1] − 3 = 0. Depois disso, fazemos uma mudança de

variáveis considerando 𝑥 ′ = 𝑥 + 1 e 𝑦 ′ = 𝑦 − 1 de tal maneira que a equação passa a

187

ter a forma 𝑥 ′2 − 1− 2 (𝑦 ′2 − 1) − 3 = 0 que resulta na equação reduzida da hipérbole

𝑥′2

2− 𝑦 ′2 = 1. Houve, portanto, uma translação conforme a figura 107.

Figura 107 – Translação de uma hipérbole


Na terceira situação tomamos uma equação geral do segundo grau em duas

variáveis, com todos os seus coeficientes, 𝑥2 + 4𝑥𝑦 + 𝑦2 + 𝑥 − 𝑦 − 3

2= 0.

Primeiramente fazemos um tratamento nos termos em segundo grau desta equação

de modo que encontramos a matriz 𝐴 = [1 2

2 1] e obter o polinômio característico

𝑝(𝜆) = det [1− 𝜆 2

2 1− 𝜆] = 𝜆2 − 2𝜆 − 3 = 0. Assim, temos os valores 𝜆 = 3 e 𝜆 = −1.

Contudo, na equação geral ainda existem os termos em primeiro grau que precisam

também receber um tratamento de mudança de variáveis. Para isso, precisamos

encontrar os autovetores em que escolhemos primeiramente o valor de 𝜆 = 3, ou seja

𝑉(3), fazendo [1 2

2 1] [𝑥𝑦] = 3 [

𝑥𝑦] ⇒ 𝑥 = 𝑦. Portanto, uma base para 𝑉(3) é o vetor

𝐵1 = {(1,1)}, pois é um representante de{(𝑥, 𝑥)}

Depois, fazemos o mesmo para 𝜆 = −1 para encontrar a base de 𝑉(−1). Neste

sentido, [1 22 1

] [𝑥𝑦] = −1 [

𝑥𝑦] que apresenta como resultado 𝑦 = −𝑥. Então, uma base

para 𝑉(−1) é o vetor 𝐵2 = {(1, −1)} que é um representante de {(𝑥, −𝑥)}. Desta forma

a norma destes vetores ‖(1,1)‖ = ‖1, −1‖ = √2 , logo a matriz 𝑀 = 1

√2[1 11 −1

] é a

matriz ortogonal que promoverá uma diagonalização, considerando os termos em

segundo grau. Contudo, fazemos também um tratamento nos coeficientes de primeiro

188

grau da equação geral dada, utilizando a matriz 𝑀, ou seja, (𝑥

𝑦) =

1

√2 [

1 11 −1

] [𝑥′𝑦′] ⇒

{𝑥 =

1

√2(𝑥 ′ + 𝑦 ′)

𝑦 =1

√2(𝑥 ′ − 𝑦 ′)

.

Como a parte em segundo grau da equação geral dada já é conhecida, nos

preocupamos com o restante desta equação, 𝑥 − 𝑦 − 3

2 que após ser substituída em

novas variáveis, toma a forma de 1

√2(𝑥 ′ + 𝑦′) −

1

√2(𝑥 ′ − 𝑦 ′) −

3

2= √2𝑦 ′ −

3

2. Então,

expressamos a equação geral da cônica, em termos das coordenadas 𝑥’ e 𝑦’, pela

equação 3𝑥 ′2 − 𝑦 ′2 + √2 𝑦 ′ − 3

2= 0. Agora, como esta equação apresenta coeficientes

não nulos em primeiro e segundo graus para a variável 𝑦’, completamos quadrado,

como feito anteriormente, fazendo −𝑦 ′2 + √2 𝑦 ′ = −(𝑦 ′ − √2𝑦′) que após mais um

tratamento, passa a ter a forma −(𝑦 ′ − √2𝑦′) = − [(𝑦 ′ −√2

2)

2

−2

4].

A partir disso, podemos reescrever a equação geral da cônica como sendo

3𝑥 ′2 − [(𝑦 ′ −√2

2)

2

−2

4] −

3

2= 0 em que fizemos novamente uma mudança de variáveis

𝑥 ′′ = 𝑥′ e 𝑦 ′′ = 𝑦 ′ −√2

2 para encontrar a equação da hipérbole 3𝑥 ′′2 − 𝑦 ′′2 − 1 = 0, ou

seja, 𝑥′′2

1

3

− 𝑦 ′′2 = 1. Desta forma, podemos construir a representação gráfica, figura

108, da hipérbole após sofrer uma rotação e uma translação.

Figura 108 – Hipérbole após uma rotação e uma translação


189

Com isso, para construir as representações gráficas desses exemplos são

necessários para além dos conhecimentos elencados no primeiro tipo de tarefa, os

conhecimentos de coordenadas de pontos e de plano cartesiano para poder relacionar

dois ou três referenciais em um mesmo gráfico.

Concluímos assim, o modelo da geometria linear que utiliza ferramentas da

álgebra linear para analisar as cônicas por meio de suas coordenadas cartesianas.

Neste sentido, apresentamos na figura 109 as praxeologias próprias deste modelo

como uma complementação do modelo da geometria analítica apresentado na secção

anterior.

Figura 109 – Praxeologia das cônicas na Geometria linear


Na próxima seção apresentaremos o modelo da geometria do táxi que

considera aspectos reais do urbanismo de uma cidade.

3.1.2.4 Modelo da Geometria do Táxi

Um dos conceitos básicos da geometria sintética e utilizado na geometria

analítica é o princípio de que, em um plano, a menor distância entre dois pontos é a

medida do segmento de reta que os une. Contudo, nem sempre essa afirmação é

verdadeira, pois quando nos deparamos com situações reais, em que precisamos

determinar a distância entre dois pontos da superfície da terra, como no caso de um

taxista que apanha um passageiro no aeroporto e o deixa em casa, a menor distância,

entre estes dois lugares, não poderá ser medida em linha reta, mas precisará percorrer

distâncias em direções perpendiculares.

190

Esta geometria, portanto, é uma geometria não euclidiana que considera

aspectos urbanos e é utilizada, por exemplo, em dispositivos como GPS ou Wase.

Segundo Souza (2015), Hermann Minkowski (1864 – 1909) desenvolveu esta

geometria e a denominou como geometria do táxi, pela necessidade de responder

questões que a geometria euclidiana não respondia, configurando sua razão de

ser.

Desta maneira, para Loiola e Costa (2015) enquanto na geometria euclidiana

essa menor distância pode ser determinada pelo teorema de Pitágoras ou pela

fórmula da distância entre dois pontos na geometria analítica, na geometria do táxi

essa distância é obtida pela soma das medidas dos trajetos entre esses dois pontos.

Assim, a geometria euclidiana difere da geometria do táxi apenas pela métrica, de

modo que, apresentamos o primeiro tipo de tarefa, buscando apresentar relações

entre a geometria euclidiana e do táxi.

𝑻𝑮𝑻𝟏: Relacionar a métrica do táxi com a métrica euclidiana.

Para o cumprimento da tarefa 𝒕𝑮𝑻𝟏, utilizamos como técnica 𝜏𝐺𝑇1 a afirmação

de Fernandes (2017), quando disse que uma métrica em um conjunto 𝑀 ≠ 0 é uma

função 𝑑: 𝑀 𝑋 𝑀 → ℝ que satisfaz as propriedades: 𝑑 (𝐴, 𝐵) ≥ 0, 𝑑 (𝐴, 𝐵) = 𝑑 (𝐵, 𝐴),

𝑑 (𝐴, 𝐵) = 0 ⇔ 𝐴 = 𝐵 e a desigualdade triangular, considerando um terceiro ponto 𝐶,

𝑑 (𝐴, 𝐵) ≤ 𝑑(𝐴, 𝐶) + 𝑑 (𝐵, 𝐶). Deste modo, o par (𝑀, 𝑑) é denominado espaço métrico

em que 𝑑 é uma métrica em 𝑀.

Tomamos por exemplo, a figura 110 em que são denominados os pontos

𝐴 (𝑥𝑎, 𝑦𝑎) e 𝐵 (𝑥𝑏 , 𝑦𝑏) para representarmos a métrica euclidiana. A distância euclidiana

entre os pontos 𝐴 e 𝐵, designada por 𝑑𝐸 (𝐴, 𝐵), é determinada pela equação

𝑑𝐸 (𝐴, 𝐵) = √(𝑥𝑏 − 𝑥𝑎)2 + (𝑦𝑏 − 𝑦𝑎)2 .

191

Figura 110 – Métrica euclidiana


Já, considerando a métrica do táxi, a distância entre 𝐴 e 𝐵, designada por

𝑑𝑇 (𝐴, 𝐵) é determinada por 𝑑𝑇 (𝐴, 𝐵) = |𝑥𝑏 − 𝑥𝑎| + |𝑦𝑏 − 𝑦𝑎|, pois o caminho

percorrido é outro, como na figura 111.

Figura 111 – Métrica do táxi


Assim, considerando o conjunto ℝ𝑛 dos vetores composto por 𝑛 coordenadas

reais, ou seja, 𝑥 = (𝑥1, 𝑥2, 𝑥3…𝑥𝑛) e 𝑦 = (𝑦1, 𝑦2, 𝑦3…𝑦𝑛), em que 𝑥𝑖 e 𝑦𝑖 ∈ ℝ, então as

seguintes funções, envolvendo essas duas geometrias, devem ser consideradas

métricas: 𝑑𝐸 (𝐴, 𝐵) = √(𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2 +⋯+ (𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1)2 + (𝑦𝑛 − 𝑦𝑛−1)2 e

𝑑𝑇 (𝐴, 𝐵) = |𝑥2 − 𝑥1| + |𝑦2 − 𝑦1| + ⋯ |𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1| + |𝑦𝑛 − 𝑦𝑛−1|, em que 𝑑𝐸 (𝐴, 𝐵) e

𝑑𝑇 (𝐴, 𝐵) representam as métricas euclidiana e do táxi, respectivamente.

192

Como tecnologia 𝜽𝑮𝑻𝟏, apoiamos novamente em Fernandes (2017), pois

demonstrou que a distância entre dois pontos na geometria do táxi é sempre maior ou

igual a distância entre estes mesmos pontos na geometria euclidiana. Desta forma,

𝑑𝑇 (𝐴, 𝐵) ≥ 𝑑𝐸 (𝐴, 𝐵). Assim, escrevemos 2 . |𝑥𝐵 − 𝑥𝑎| ∙ |𝑦𝑏 − 𝑦𝑎| ≥ 0, em que

adicionamos a expressão (𝑥𝑏 − 𝑥𝑎)2 + (𝑦𝑏 − 𝑦𝑎)

2 em ambos os lados da equação,

obtendo (𝑥𝑏 − 𝑥𝑎)2 + (𝑦𝑏 − 𝑦𝑎)

2 + 2 . |𝑥𝐵 − 𝑥𝑎| ∙ |𝑦𝑏 − 𝑦𝑎| ≥ (𝑥𝑏 − 𝑥𝑎)2 + (𝑦𝑏 − 𝑦𝑎)

2 .

Depois disso, fizemos um tratamento nesta equação, passando a ter a forma

(|𝑥𝑏 − 𝑥𝑎| + |𝑦𝑏 − 𝑦𝑎|)2 ≥ (𝑥𝑏 − 𝑥𝑎)

2 + (𝑦𝑏 − 𝑦𝑎)2. A partir daí, verificamos que os

dois membros da equação são positivos, garantindo que, ao extrair a raiz quadrada

de ambos os lados, a desigualdade continua sendo verdadeira, ou seja, fazendo,

√(|𝑥𝑏 − 𝑥𝑎| + |𝑦𝑏 − 𝑦𝑎|)2 ≥ √(𝑥𝑏 − 𝑥𝑎)2 + (𝑦𝑏 − 𝑦𝑎)2. Concluímos, portanto que

|𝑥𝐵 − 𝑥𝑎| + |𝑦𝑏 − 𝑦𝑎| ≥ √(𝑥𝑏 − 𝑥𝑎)2 + (𝑦𝑏 − 𝑦𝑎)2, demonstrando então, a

desigualdade 𝑑𝑇 (𝐴, 𝐵) ≥ 𝑑𝐸 (𝐴, 𝐵).

A partir dessas considerações, verificamos que na métrica do táxi os entes

geométricos como retas e pontos, são os mesmos da geometria euclidiana e os

ângulos são medidos da mesma maneira. No entanto, os objetos matemáticos que

dependem dos conhecimentos relacionados à distância, são apresentados de forma

distinta. Neste sentido, as cônicas são apresentadas de diferentes maneiras nestas

geometrias, pois sua definição de lugar geométrico depende das distâncias entre

pontos, para os casos de elipses e hipérboles, e da distância entre pontos e entre

pontos e retas para o caso de parábolas.

Desta forma, a justificativa para tal demonstração, requereu os conhecimentos

de coordenadas de pontos, de distância entre pontos, de desigualdade triangular,

advindos da geometria analítica e de conhecimentos de equações modulares e de

valores absolutos advindos da álgebra. A partir disso, definimos a parábola no modelo

da geometria sintética, como sendo o conjunto dos pontos no plano que equidistam

do foco, 𝐹, e da reta diretriz 𝑙, com a condição de que 𝐹 ∉ 𝑙. Portanto, descrevemos

esta cônica por meio da expressão 𝑃𝐸 = {𝑃(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2/𝑑𝐸(𝑃, 𝐹) = 𝑑𝐸 (𝑃, 𝑙) } na

geometria analítica e pela expressão 𝑃𝑇 = {𝑃(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2/𝑑𝑇(𝑃, 𝐹) = 𝑑𝑇 (𝑃, 𝑙) }, na

geometria do táxi. Neste sentido, precisamos analisar 𝑑𝐸 e 𝑑𝑇.

Para a distância euclidiana, 𝑑𝐸, podemos traçar uma reta 𝑙 e um ponto fora dela,

𝑃 para em seguida traçar uma reta 𝑟 perpendicular a 𝑙 passando pelo foco e denominar

193

o ponto de interseção entre elas de 𝐴. Depois, determinamos a medida do segmento

𝑃𝐴, ou construímos uma circunferência com centro em 𝑃 que tangencia 𝑙, neste ponto,

e verificamos que a medida do segmento 𝑃𝐴 é igual à medida do raio desta

circunferência, figura 112a e 112b, respectivamente.

Figura 112 – Distância euclidiana

a) Medida do segmento 𝑃𝐴 b) Medida do raio 𝑟


Para desenvolvermos, conceitualmente, a distância via geometria do táxi,

utilizaremos a situação da figura 112b que trata da circunferência. Porém, antes disso,

precisamos fazer uma relação entre a circunferência na geometria euclidiana e na

geometria do táxi. Na geometria euclidiana a circunferência é definida como o conjunto

dos pontos no plano que equidistam de um ponto denominado centro da

circunferência. Portanto, se considerarmos 𝑃 (𝑥, 𝑦) um ponto qualquer da

circunferência e 𝑂(𝑎, 𝑏) o seu centro, podemos definir a distância entre esses dois

pontos como 𝑑 (𝑃, 𝑂) = 𝑟. Assim, utilizando coordenadas cartesianas escrevemos

𝐶𝐸 = {𝑃(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2/𝑑𝐸(𝑃, 𝑂) = 𝑟} ⇒ 𝐶𝐸 ≡ √(𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑟, na geometria

analítica, e 𝐶𝑇 = {𝑃(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2 𝑑(𝑃, 𝑂)} ⇒ 𝐶𝑇 ≡ |𝑥 − 𝑎| + |𝑦 − 𝑏| = 𝑟, na geometria

do táxi. A representação gráfica de 𝐶𝐸 é representada pela figura 113.

194

Figura 113 – Gráfico da circunferência CE


Já para a representação gráfica da circunferência 𝐶𝑇, precisamos analisar

algumas consequências de sua equação, ou seja, |𝑥 − 𝑎| + |𝑦 − 𝑏| = 𝑟. Desta forma,

teremos algumas considerações a fazer: se (1) 𝑥 > 𝑎 e 𝑦 ≥ 𝑏 ⇒ 𝑦 = 𝑥 + (𝑟 − 𝑎 + 𝑏),

(2) 𝑥 ≥ 𝑎 e 𝑦 < 𝑏 ⇒ 𝑦 = −𝑥 + (𝑟 + 𝑎 + 𝑏),(3) 𝑥 > 𝑎 e 𝑦 ≤ 𝑏 ⇒ 𝑦 = 𝑥 + (−𝑟 − 𝑎 + 𝑏)

e (4) 𝑥 ≤ 𝑎 e 𝑦 < 𝑏 ⇒𝑦 = −𝑥 + (−𝑟 + 𝑎 + 𝑏).

Essas equações representam retas de tal maneira que (1) e (2); (1) e (4); (2)

e (3); (3) e (4) são pares de retas perpendiculares e concorrentes nos pontos

𝐷(𝑎, 𝑏 + 𝑟), 𝐸(𝑎 – 𝑟, 𝑏), 𝐹(𝑎, 𝑏 – 𝑟) e 𝐺(𝑎 + 𝑟, 𝑏), respectivamente. Daí, tem-se que

as distâncias 𝑑𝑇(𝐷, 𝐸) = 𝑑𝑇(𝐸, 𝐹) = 𝑑𝑇(𝐹, 𝐺) = 𝑑𝑇(𝐺, 𝐷) = 2𝑟. Assim, 𝐷𝐸𝐹𝐺 forma um

quadrado, que graficamente representa a circunferência na geometria do táxi, sendo

suas diagonais paralelas aos eixos cartesianos, como na figura 114.

Figura 114 – Gráfico da circunferência na geometria do táxi


195

A partir dessas considerações, procedemos como Loiola e Costa (2015) que

constataram três possibilidades para analisar a circunferência na geometria do táxi.

Na primeira, a distância de um ponto 𝑂 até à reta 𝑙 é descrita pela distância vertical,

𝑑𝑇(𝑂, 𝑙) = 𝑑𝑇(𝑂, 𝐴) (figura 115a) e, na segunda, a distância do ponto 𝑂 à reta 𝑙 é

representada pela distância horizontal 𝑑𝑇(𝑂, 𝑙) = 𝑑𝑇(𝑂, 𝐴) (figura 115b).

Figura 115 – Distâncias entre o centro da circunferência à reta diretriz na GT

a) Distância vertical 𝑂𝐴 b) Distância horizontal 𝑂𝐴


Na terceira possibilidade, constataram que a distância do ponto 𝑂 à reta 𝑙 é

dada pela equação 𝑑𝑇(𝑂, 𝑙) = 𝑑𝑇(𝑂, 𝑋) em que 𝑋 ∈ 𝐴1𝐴2, figura 116. A partir daí,

demonstraram que dado um ponto 𝑂 (𝑥0, 𝑦0) e uma reta 𝑙 ∶ 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0, na

geometria do táxi a distância entre 𝑂 e 𝑙 é dada pela expressão 𝑑𝑇(𝑂, 𝑙) = |𝑎𝑥0+𝑏𝑦0+𝑐)|

𝑚𝑎𝑥{|𝑎|,|𝑏|}.

Figura 116 – Distância de ponto a reta na GT


Para demonstrar esta equação, consideramos a definição da distância de um

ponto a uma reta da geometria do táxi, 𝑑𝑇(𝑂, 𝑙) = min𝑥∈𝑙

𝑑𝑇(𝑂, 𝑥), e consideramos

também 𝑋1 e 𝑋2 os pontos de interseção da reta 𝑙 com as retas 𝑥 = 𝑥0 e 𝑦 = 𝑦0,

196

obtendo portanto, 𝑑𝑇(𝑂, 𝑙) = 𝑚𝑖𝑛{𝑑𝑇(𝑂, 𝑋1); 𝑑𝑇(𝑂, 𝑋2)}. Como as coordenadas de 𝑋1 e

𝑋2 é dada por 𝑋1(𝑥0,𝑎𝑥0

𝑏−

𝑐

𝑏) e 𝑋2(−

𝑏𝑦0

𝑎−

𝑐

𝑎, 𝑦0) então podemos escrever a equação

𝑑𝑇(𝑂, 𝑋1) = |𝑥0 − 𝑥0| − |𝑦0 + 𝑎𝑥0

𝑏−

𝑐

𝑏| = |

𝑎𝑥0+𝑏𝑦0+𝑐)

𝑏|, e também escrever que

𝑑𝑇(𝑂, 𝑋2) = |𝑥0 +𝑏𝑦0

𝑎+

𝑐

𝑎| + |𝑦 − 𝑦0| = |

𝑎𝑥0+𝑏𝑦0+𝑐

𝑎|, respectivamente.

Assim, 𝑑𝑇(𝑂, 𝑙) = 𝑀𝑖𝑛 {|𝑎𝑥0+𝑏𝑦0+𝑐)

𝑏| , |

𝑎𝑥0+𝑏𝑦0+𝑐

𝑎| }, se 𝑎 ≠ 0 e 𝑏 ≠ 0. Para 𝑎 = 0

⇒𝑑𝑇(𝑂, 𝑙) = |𝑏𝑦0+𝑐

𝑏| e para 𝑏 = 0 ⇒ 𝑑𝑇(𝑂, 𝑙) = |

𝑎𝑥0+𝑐

𝑎|, demonstrando, portanto que

𝑑𝑇(𝑂, 𝑙) = |𝑎𝑥0+𝑏𝑦0+𝑐)|

𝑚𝑎𝑥{|𝑎|,|𝑏|}. A partir disso, elaboramos o segundo tipo de tarefa 𝑇𝐺𝑇2.

𝑻𝑮𝑻𝟐: Construir um gráfico para as cônicas, considerando a métrica do

táxi.

𝒕𝑮𝑻𝟐𝟏: Construir um gráfico para a parábola considerando a métrica do táxi;

𝒕𝑮𝑻𝟐𝟐: Construir um gráfico para a elipse considerando a métrica do táxi;

𝒕𝑮𝑻𝟐𝟑: Construir um gráfico para a hipérbole considerando a métrica do táxi.

Para desenvolver a tarefa 𝒕𝑮𝑻𝟐𝟏, a técnica 𝝉𝑮𝑻𝟐𝟏, deve considerar a métrica do

táxi para a análise da parábola, dado um ponto genérico desta cônica, 𝑃(𝑥0, 𝑦0), e uma

reta diretriz 𝑙 ≡ 𝑎𝑥0 + 𝑏𝑦0 + 𝑐 . Como exemplo, consideramos que um estudante

queira morar em um ponto de uma cidade que seja equidistante da avenida onde vai

trabalhar e da faculdade onde estuda. Quais são as possibilidades de encontrar sua

nova casa se sua faculdade está a quatro quadras da avenida e qual equação poderia

representar uma generalização para esses lugares?

Para respondê-la, consideramos que a faculdade esteja em um ponto 𝐹

denominado foco, e que a avenida represente a reta diretriz 𝑙 da parábola. De modo

que para encontrar as possibilidades de morar em uma casa equidistante do trabalho

e da faculdade, consideramos cada quadrado como uma quadra. Assim, encontramos

o vértice 𝑉 e os pontos 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐸, 𝐺, 𝐻, 𝐼, 𝐽, 𝐾 ou quantos quisermos para cada

possibilidade como na figura 117.

197

Figura 117 – Parábola na geometria do táxi


A equação geral que descreve estas possibilidades pode ser deduzida,

considerando os pontos 𝑉(𝑎, 𝑏), 𝐹(𝑎 + 𝑑, 𝑏), 𝐵 (𝑥, 𝑦), 𝑀(𝑎 − 𝑑, 𝑦) e 𝑁(𝑎 − 𝑑, 𝑥) como

na figura 118.

Figura 118 – Obtendo uma equação geral


A partir da figura 118, obtemos a equação geral, por meio da tecnologia 𝜃𝐺𝑇21,

fazendo |𝑥 − (𝑎 + 𝑑)| + |𝑦 − 𝑏| = |𝑥 − (𝑎 − 𝑑)| + |𝑦 − 𝑦|, resultando na equação

|𝑥 − (𝑎 + 𝑑)| + |𝑦 − 𝑏| = |𝑥 − (𝑎 − 𝑑)| e, após um tratamento, passa a ter a forma

|𝑥 − 𝑎 − 𝑑| + |𝑦 − 𝑏| = |𝑥 − 𝑎 + 𝑑|, podendo ser verificada a partir das coordenadas

dos pontos do lugar geométrico da parábola. Assim, considerando um ponto sobre a

parábola 𝑃(𝑥0, 𝑦0) e uma reta diretriz 𝑙 ≡ 𝑎𝑥0 + 𝑏𝑦0 + 𝑐 , podemos então definir essa

cônica como sendo o conjunto dos pontos do plano que satisfazem a equação de

198

equidistância 𝑃𝑇 ≡ |𝑥 − 𝑎| + |𝑦 − 𝑏| = |𝑎𝑥0+𝑏𝑦0+𝑐)|

𝑚𝑎𝑥{|𝑎|,|𝑏|} em que 𝑃𝑇 representa o modo

algébrico da parábola na geometria do táxi.

Para o cumprimento da tarefa 𝒕𝑮𝑻𝟐𝟐, utilizamos a técnica 𝝉𝑮𝑻𝟐𝟐 e consideramos

como exemplo, que uma parte de uma cidade possui duas torres de transmissão de

rádio para os taxistas e que distam 6 quadras uma da outra. A condição para que o

taxista receba o sinal é que a soma das distâncias entre o táxi e as torres sejam de

no máximo 12 quadras. Apresente uma posição possível para se capturar o sinal do

rádio e uma equação que represente tal situação.

Para tanto, construímos duas torres, representados pelos pontos 𝐹1 e 𝐹2 e

demarcamos vários pontos que satisfazem a condição exigida, obtendo como

resultado a figura 119. No entanto, várias outras posições poderiam ser apresentadas.

Figura 119 – Elipse na geometria do táxi


Para desenvolver uma equação que satisfaça esta condição, utilizamos a

tecnologia 𝜃𝐺𝑇22, tomando os pontos 𝐹1(𝑎, 𝑏), 𝐹2(𝑐, 𝑑) e 𝑃(𝑥, 𝑦), como um ponto

genérico deste gráfico, figura 120. Além disso, consideramos 𝑘 a soma das distâncias

entre os focos e o ponto genérico de modo que seu valor deva ser positivo. Assim,

realizando um tratamento nas coordenadas de cada ponto, obtemos a equação

|𝑥 − 𝑎| + |𝑦 − 𝑏| + |𝑥 − 𝑐| + |𝑦 − 𝑐| = 𝑘 que descreverá o lugar geométrico desta

figura nesta geometria.

199

Figura 120 – Determinando uma equação geral para a elipse na GT


Se supormos nesta figura que 𝐹1(−2,1), 𝐹2(2, −1) e 𝑃(2, −4), então esta

expressão ficaria |2+ 2| + |−4− 1| + |2− 2| + |−4+ 1| = 12.

Assim, a elipse também pode ser definida, nesta geometria, como o lugar

geométrico dos pontos do plano cuja soma da distância a dois pontos fixos,

denominados focos, é igual a uma constante, maior do que a distância entre esses

pontos. Desta forma, consideramos os focos, 𝐹1(𝑎, 𝑏) e 𝐹2(𝑐, 𝑑), um ponto genérico do

lugar geométrico, 𝑃(𝑥, 𝑦), e 𝑘 a constante mencionada. Assim, a elipse pode ser

representada por 𝐸𝐺𝐸 = {𝑃(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2/𝑑𝐸(𝑃, 𝐹1) + 𝑑𝐸(𝑃, 𝐹2) = 𝑘}, na geometria

euclidiana e por 𝐸𝐺𝑇 = {𝑃(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2/𝑑𝑇(𝑃, 𝐹1) + 𝑑𝑇(𝑃, 𝐹2) = 𝑘}, na geometria do táxi.

O comprimento da tarefa 𝒕𝑮𝑻𝟐𝟑, por sua vez, requer a utilização da técnica 𝝉𝑮𝑻𝟐𝟑.

Para tanto, consideramos como exemplo que parte de uma cidade possui um sistema

de transmissão composto por duas torres distantes 6 quadras uma da outra. A

interferência de sinal ocorrerá, apenas quando a diferença entre as distâncias de

algum lugar a essas torres seja de duas quadras. Apresente uma possível

configuração para haver essa interferência e uma equação que descreva o lugar

geométrico onde ela ocorrerá.

Para encontrar esses lugares, determinamos os focos 𝐹1 e 𝐹2 da hipérbole

como sendo as torres de comunicação com os taxistas e utilizamos a condição de que

a diferença entre as distâncias destes lugares até as torres seja de duas quadras.

Assim, encontramos os pontos indicados na figura 121.

200

Figura 121 – Hipérbole na geometria do táxi


Para encontrar uma equação que satisfaça essa condição, utilizamos como

tecnologia, 𝜃𝐺𝑇23, tomando os pontos os pontos 𝐹1(𝑎, 𝑏), 𝐹2(𝑐, 𝑑) e 𝑃(𝑥, 𝑦), da figura

122 e consideramos 𝑘 uma constante positiva para representar a diferença entre as

distâncias entre o ponto genérico 𝑃 e os focos 𝐹1 e 𝐹2.

Figura 122 – Determinando a equação da hipérbole na GT


De posse das informações desta figura, obtemos, por meio das coordenadas

destes pontos, a equação 𝐻𝑇 = ||𝑥 − 𝑎| − |𝑦 − 𝑏| − (|𝑥 − 𝑐| + |𝑦 − 𝑑|)| = 𝑘. Como

exemplo, consideramos que estas coordenadas sejam 𝐹1(−3,4), 𝐹2(1,2) e 𝑃(−1,2) e

as substituímos nesta equação ||−1+ 3| − |2− 4| − (|−1− 1| + |2 − 2|)| = 𝑘. Assim,

depois de resolvê-la, encontramos 𝑘 = 2.

201

Com isso, podemos expressar uma equação para a hipérbole em coordenadas

cartesianas, tanto na geometria analítica quanto na geometria do táxi, considerando

os focos 𝐹1(𝑎, 𝑏) e 𝐹2(𝑐, 𝑑) e um ponto genérico 𝑃(𝑥, 𝑦). Assim, na geometria

euclidiana será representada por 𝐻𝐸 = 𝑃(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2/|𝑑𝐸(𝑃, 𝐹1) − 𝑑𝐸(𝑃, 𝐹2)| = 𝑘 e na

geometria do táxi por 𝐻𝑇 = 𝑃(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2/|𝑑𝑇(𝑃, 𝐹1) − 𝑑𝑇(𝑃, 𝐹2)| = 𝑘. Neste sentido,

podemos escrever que, 𝐻𝐸 ≡ |√(𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 − √(𝑥 − 𝑐)2 + (𝑦 − 𝑑)2| = 𝑘 e,

𝐻𝑇 ≡ ||𝑥 − 𝑎| − |𝑦 − 𝑏| − (|𝑥 − 𝑐| + |𝑦 − 𝑑|)| = 𝑘.

A construção destes gráficos, assim como a obtenção das equações das

cônicas, se apoia nos conhecimentos de geometria analítica, como o de coordenadas

de pontos, de retas, de plano cartesiano e de conhecimentos de álgebra como de

equações modulares e de procedimentos de manipulação destas equações.

Diante do exposto, elaboramos um esquema para as praxeologias das cônicas

na geometria do táxi, em que as setas mostram que os tipos de tarefas apresentados

guardam relações entre si, figura 123. Como consequência de limitações da geometria

analítica, relacionamos nesta figura a métrica do táxi com a métrica euclidiana e

construímos representações das cônicas em um plano cartesiano considerando a

métrica do taxi.

Figura 123 – Relações entre praxeologias na geometria do táxi


Em nossas análises da dimensão epistemológica, percebemos que as cônicas

também foram objetos de estudo da geometria projetiva, sendo vistas como projeções

de circunferências, desenvolvida por Desargues. Desta forma, apresentamos a seguir

o modelo para essa geometria.

202

3.1.2.5 Modelo da Geometria Projetiva

Enquanto a geometria euclidiana tem por objetivo o estudo das medidas das

formas planas e espaciais no mundo em que vivemos a geometria projetiva tem por

objetivo o estudo destes objetos pela maneira que os vemos. Atualmente a geometria

projetiva está presente, além das artes e da arquitetura, na computação gráfica e na

robótica para a criação de imagens de modo a recriar o mundo real.

Segundo Moraes (2012), a geometria projetiva teve seu início no renascimento,

principalmente com os artistas italianos e começou a ter a forma de uma nova

geometria a partir da publicação do Brouillon de Desagues em 1639.

Para o autor a ideia central do trabalho de Desargues foi identificar quais

propriedades se conservam por projeção para estudar as famílias de cônicas como

projeções de circunferências. Em nosso modelo focaremos nas tarefas relacionadas

às cônicas como projeções de circunferências e apresentaremos uma justificativa

analítica por meio da análise dos pontos no infinito destes objetos.

Segundo Montenegro (2011), intuitivamente a noção do que seja projeção é

imaginarmos um objeto e sua imagem ou representação. Neste sentido,

conceitualmente uma projeção pode ser entendida como um conjunto de operações

geométricas capazes de produzir uma representação figural constituída pelos pontos

de interseção de uma superfície com os raios projetantes provenientes de um centro

de projeção que incidem sobre um objeto.

Como exemplo, uma figura em um plano 𝛼 é denominada uma projeção central

de outra figura, de um plano 𝛽, se houver uma correspondência biunívoca entre os

pontos das duas representações, de tal maneira que as retas que passam por estes

pontos sejam concorrentes em um mesmo ponto 𝑂 do espaço, classificado na

geometria projetiva como centro da projeção, figura 124.

203

Figura 124 – Parábola por projeção central


Esta figura apresenta os planos 𝛼 e 𝛼′ paralelos entre si e o eixo da homologia

como sendo a interseção entre os planos 𝛽 e 𝛼 , além da reta limite RL como resultado

da interseção entre os planos 𝛼′ e 𝛽 que tangencia, no ponto 𝑇, a circunferência, de

centro no ponto 𝐶, contida no plano 𝛽. Pelo ponto 𝑂 e pelos pontos da circunferência

passam retas que deixam marcas no plano 𝛼 produzindo a representação de uma

parábola.

Segundo Gonçalves (2013), Poncelet definiu que duas figuras são homólogas

quando uma é obtida a partir da outra por meio de projeções e seções. Assim, cada

ponto da circunferência terá o seu homólogo no plano projetivo.

Para este autor, uma das propriedades que se conservam por projeção advém

do fato de que a imagem de uma cônica por projeção central ser sempre uma cônica.

Neste sentido, constatamos que, por exemplo, na figura 125 a representação de uma

parábola, c, quando posta em projeção central, considerando que retas paralelas se

encontram em um ponto no infinito, na geometria projetiva, se aproxima de uma elipse.

204

Figura 125 – O ponto no infinito da parábola em perspectiva


Um outro exemplo pode ser analisado, quando trazemos os elementos da figura

anterior para um plano cartesiano e considerarmos a equação quadrática 𝑦 = 𝑥2.

Observaremos que o gráfico da parábola tangenciará os eixos das abscissas na

origem do sistema de coordenadas, acarretando uma raiz real de multiplicidade 2,

porém, na geometria projetiva a segunda raiz estará no ponto O no infinito, uma vez

que no infinito as retas paralelas se convergem para um ponto, formando uma elipse.

Já para o caso de hipérbole, consideramos apenas um ramo de sua

representação, figura 126. Quando a representamos em projeção central, verificamos

que suas assíntotas intersectam a hipérbole nos pontos P e Q no infinito. Portanto,

como resultado da geometria projetiva, verificamos que a parábola possui um ponto

no infinito e a hipérbole possui dois. A elipse, por sua vez, não possuirá nenhum uma

vez que sua projeção central tem como resultado outra elipse.

Figura 126 – Pontos da hipérbole no infinito em perspectiva


A partir das ideias da geometria projetiva construímos um modelo para as

cônicas apoiados na Teoria Antropológica do Didático em termos praxeológicos.

205

Nestas construções estudaremos as propriedades descritivas da figura geométrica,

na qual a geometria descritiva é de acordo com Coutinho Neto (2014, p. 17):

Uma técnica matemática de representação de figuras uni, bi ou tridimensionais. Assim como em outras geometrias, seus elementos básicos são o ponto, a reta e o plano que permitem trabalhar com as figuras bidimensionais e tridimensionais, como os poliedros, seus cortes e interseções. Essa técnica matemática também permite trabalhar com precisão as posições relativas entre figuras ou partes delas, tais como paralelismo, perpendicularismo, ortogonalidade e inclinação.

A figura projetada da circunferência será sempre uma cônica, podendo ser uma

parábola, uma elipse ou uma hipérbole dependendo da posição relativa desta

circunferência com à reta limite RL. Desta forma, elaboramos o primeiro tipo de tarefa

neste modelo.

𝑻𝑮𝑷𝟏: Obter uma cônica por projeção de circunferência.

𝒕𝑮𝑷𝟏𝟏: Obter uma parábola por projeção de circunferência;

𝒕𝑮𝑷𝟏𝟐: Obter uma elipse por projeção de circunferência;

𝒕𝑮𝑷𝟏𝟑: Obter uma hipérbole por projeção de circunferência.

Para cumprir a tarefa 𝒕𝑮𝑷𝟏𝟏 nos baseamos em Montesinos (2014b) e utilizamos

como na técnica 𝝉𝑮𝑷𝟏𝟏, que requer que se construa uma circunferência de centro 𝐶,

tangenciando a reta limite 𝑅𝐿 em um ponto que denominaremos por 𝑇, figura 127.

Este ponto é especialmente importante, pois sua projeção se dará no infinito, ou seja,

é o ponto em que a parábola está aberta, situado no eixo de simetria desta cônica.

Figura 127 – Reta limite tangente à circunferência


206

A partir daí, encontramos a direção da parábola, construindo o segmento 𝑂𝑇

para, em seguida, construirmos o segmento 𝑂𝐴, perpendicular a esse, que intersecta

a reta limite no ponto 𝐴. Depois, construímos o segmento 𝐴𝐶 e um segmento

perpendicular a ele com uma extremidade em 𝑇 e a outra, sobre o eixo que

denominamos por D. Este segmento intersectará a circunferência no ponto 𝑉. Em

seguida, construímos a semirreta 𝐴𝑉, que tangencia a circunferência no ponto 𝑉 e

intersecta o eixo no ponto B.

O eixo de simetria da parábola contém os pontos homólogos de 𝑇, que está no

infinito e de 𝑉, representado por 𝑉’, sendo definido traçando a semirreta com

extremidade em 𝐷 e paralela a 𝑂𝑇. Este ponto 𝑉’ será encontrado ao construirmos

uma reta paralela ao segmento 𝐴𝑂 que passa por B, indicando a direção da reta

diretriz da parábola. A interseção entre esta reta e o eixo de simetria desta cônica

denominamos por 𝑉’, verificando inclusive, a colinearidade entre os pontos 𝑉 e 𝑉’ com

o centro 𝑂, figura 128.

Figura 128 – Encontrando o vértice da parábola


Para encontrar o foco da parábola recorremos à propriedade da parábola

anunciada da seguinte maneira: toda projeção ortogonal desde o foco até uma reta

tangente à uma parábola terá uma interseção com a reta tangente pelo vértice da

parábola. Neste sentido, a semirreta 𝐴𝑉 é tangente pelo vértice da parábola, assim

construímos um segmento qualquer, tangente à circunferência, e encontramos um

ponto de interseção com ela, que denominamos por 𝐸, uma extremidade deste

207

segmento, que possui outra extremidade no ponto 𝐹1 sobre a reta limite. Depois,

construímos 𝐹1𝑂 e construímos outro segmento, perpendicular a esse, que intersecta

a reta limite no ponto 𝐺, e, a partir deste ponto, traçamos o segmento 𝐺𝐸.

Deste modo, como o foco deve estar em uma posição entre 𝑉 e 𝑇 a interseção

de 𝐺𝐸 com 𝐷𝑇 representará este ponto. Agora, tomaremos a interseção entre o

segmento 𝐺𝐸 com o eixo, ponto 𝐻, e traçamos outro a partir deste ponto paralela ao

segmento 𝑂𝐺. A interseção deste segmento com o eixo de simetria da parábola será

o ponto 𝐹’, homólogo de 𝐹. Assim, como o vértice 𝑉’ é equidistante do foco 𝐹’ e da reta

diretriz podemos construi-la uma vez que ela deve ser paralela a 𝐵𝑉′, figura 129.

Figura 129 – Encontrando o foco e a reta diretriz da parábola


A partir daí, de posse do foco 𝐹′, do vértice 𝑉′ e da reta diretriz 𝑑, demarcamos

vários pontos 𝐼, 𝐽, 𝐾 sobre a semirreta 𝐷𝑉′ e construímos retas perpendiculares a ela

passando por estes pontos. Depois, considerando a definição de lugar geométrico de

que qualquer ponto da parábola equidista do foco e da reta diretriz, 𝑑 (𝑃, 𝑟) = 𝑑 (𝑃, 𝐹),

traçamos várias circunferências com medida de raio iguais a 𝐼𝑑, 𝐽𝑑 e 𝐾𝑑, ou mais raios

com centro em 𝐹’ e demarcamos os pontos 𝑁, 𝑂, 𝐴1, 𝑀, 𝑃 e 𝑅, ou mais pontos, nas

interseções entre essas circunferências e as retas construídas e por fim, traçamos a

parábola da figura 130.

208

Figura 130 – Parábola como projeção de circunferência


Para o caso de elipses, nos baseamos em Montesinos (2014a) em que o

cumprimento da tarefa 𝒕𝑮𝑷𝟏𝟐 requer como técnica 𝜏𝐺𝑃2, tomarmos a posição da reta

limite 𝑅𝐿 com a circunferência sem tangenciá-la ou seccioná-la, figura 131. Assim,

consideramos um ponto 𝐴 qualquer sobre a reta limite e construímos os segmentos

𝐴𝑂 e 𝐴𝑉.

Figura 131 – Reta limite afastada da circunferência


Do ponto 𝐴 traçamos retas tangentes à circunferência, mas antes disso

identificamos o ponto médio entre 𝐴 e 𝑉 e construímos, a partir dele, uma

circunferência de raio, 𝐴𝑉

2, que intersecta a circunferência nos pontos D e 𝐶1 para

construir duas retas tangentes passando por 𝐴 e por esses pontos. Estas retas

intersectam o eixo da figura nos pontos 𝐺 e 𝐸 e de posse desta configuração,

construímos os segmentos 𝐴𝐺 e 𝐴𝐸. Com os pontos 𝐷 e 𝐶1 traçamos uma reta que

209

intersecta a reta limite no ponto 𝐻 e o eixo no ponto 𝐼 e construímos, a partir disso, o

segmento 𝐻𝐼. Deste ponto 𝐻 traçamos o segmento 𝐻𝑉 e identificamos o seu ponto

médio para traçar, por ele, uma circunferência de raio 𝐻𝑉

2, intersectando a primeira

circunferência nos pontos 𝐿 e 𝑀. Em seguida, traçamos as retas 𝐻𝐿 e 𝐻𝑀 que

intersectam o eixo nos pontos 𝑃1 e Q, respectivamente, de modo a podermos construir

os segmentos 𝐻𝑃1 e 𝐻𝑄. Do ponto 𝐴, traçamos uma reta que passa por 𝑀 e por 𝐿,

intersectando o eixo no ponto 𝑁. Depois, construímos o segmento 𝐴𝑁, denominando

por 𝐶 o ponto de interseção entre 𝐻𝐼 e 𝑁𝐴.

Nesta construção, destacamos que as projeções de 𝐷𝐶1 e 𝐿𝑀 serão os eixos

maior e menor da elipse, respectivamente. Depois disso, traçamos semirretas

paralelas ao segmento 𝐻𝑂, partindo dos pontos Q, I e 𝑃1 e semirretas paralelas ao

segmento 𝐴𝑂, partindo dos pontos 𝐸, 𝑁 e 𝐺 para em seguida projetar os pontos 𝐷, 𝑀,

𝐶, 𝐿 e 𝐶1e encontrar os seus pontos conjugados 𝐷’, 𝑀’, 𝐶’, 𝐿’ e 𝐶1’, respectivamente,

concluindo que eles estão localizados em algumas interseções, figura 132, entre as

retas paralelas a 𝐻𝑂 e 𝐴𝑂 anteriormente construídas.

Figura 132 – Encontrando os semieixos da elipse


Finalizamos, demarcando um ponto 𝑃 sobre a circunferência e traçamos pelo

ponto 𝐻, a semirreta 𝐻𝑃, que intersecta o eixo no ponto 𝐺1 e uma reta paralela a 𝐻𝑂

que passa por 𝐺1. A interseção de 𝐻𝑂 com 𝐻𝑃 indica a posição de 𝑃’, ponto conjugado

de 𝑃. Depois disso, podemos demarcar vários pontos na circunferência, como fizemos

com o ponto 𝑃, para perceber a elipse da figura 133.

210

Figura 133 – Elipse como projeção de circunferência


Assim, como para o caso da parábola o discurso tecnológico teórico que

justifica a técnica utilizada para a construção da elipse também se apoia nos

conhecimentos de pontos, retas, semirretas, paralelismo, ortogonalidade,

colinearidade, interseções, de eixo simetria, direção provenientes da geometria

euclidiana, de pontos especiais como também conhecimentos a respeito de ponto

doble que pertence tanto ao plano do objeto quanto ao plano da imagem e de

projeções advindas da geometria projetiva.

Para construir uma hipérbole por projeção de circunferência e cumprir a tarefa

𝒕𝑮𝑷𝟏𝟑, nos baseamos em Montesinos (2014c) e utilizamos como técnica 𝝉𝑮𝑷𝟏𝟑

posicionando a reta limite 𝑅𝐿 seccionando a circunferência 𝐶 como na figura 134.

Figura 134 – Reta limite secante à circunferência


211

A partir do ponto 𝐶 traçamos os segmentos 𝐶𝐴 e 𝐶𝐵 em que 𝐴 e 𝐵 são pontos

de interseções da circunferência com a reta limite – 𝑅𝐿 – e construímos uma reta

tangente à circunferência para cada um desses pontos cuja interseção definimos por

𝑃 e as interseções destas retas tangentes com o eixo denominamos por 𝐷 e 𝐸.

Para obter as assíntotas da hipérbole determinamos os segmentos 𝐴𝑂 e 𝐵𝑂 e

traçamos assíntota 𝑟 paralela a 𝐴𝑂, passando por 𝐸 e a assíntota 𝑠 que passa por 𝐷

paralela a 𝐵𝑂. A interseção entre estas assíntotas, representamos pelo ponto 𝑃’ e

verificamos a colinearidade entre os pontos 𝑃, 𝑂 e 𝑃’.

Agora o plano está dividido em quatro quadrantes e, como a hipérbole é uma

cônica formada por dois ramos, encontramos sua posição tomando um ponto 𝐺,

qualquer, da circunferência e construímos uma reta tangente que passa por ele. Esta

reta por sua vez, intersecta a reta 𝑅𝐿 no ponto 𝐻 e o eixo no ponto 𝐼 em que

construímos o segmento 𝐻𝐼. Construímos então, o segmento 𝐻𝑂 e traçamos uma

semirreta paralela a ele a partir do ponto 𝐼. Ao unir o centro 𝑂 com o ponto 𝐺

encontramos o homólogo 𝐺’ que permitirá compreender a posição da hipérbole.

Conhecida agora sua posição, traçamos a bissetriz das assíntotas 𝑠 e 𝑟 para

encontrarmos o eixo da hipérbole. Assim, podemos encontrar os vértices desta cônica,

pois os vértices são pontos que pertencem ao mesmo tempo à hipérbole e ao seu eixo

de simetria. Neste sentido, demarcamos o ponto 𝐽 como na figura 135.

Figura 135 – Determinando as assíntotas e a posição da hipérbole


Para encontrarmos a reta homóloga ao eixo da hipérbole, identificamos o ponto

de corte com a circunferência construindo o segmento 𝐽𝑃. Uma vez que o ponto 𝐽 é

212

um ponto doble e, ao uni-lo com 𝑃’, obtemos a reta homóloga do eixo da hipérbole.

Desta maneira, definimos as interseções de 𝐽𝑃 com a circunferência pelos pontos 𝐾 e

𝐿 e seus homólogos 𝐾’ e 𝐿’, determinarão os vértices da hipérbole. Assim, traçamos

as retas 𝐾𝑂 e 𝐿𝑂 e definimos as interseções destas retas com o eixo desta cônica por

𝐾’ e 𝐿’, respectivamente.

Os focos serão encontrados ao traçarmos uma reta perpendicular ao eixo da

hipérbole passando pelos focos 𝐾’ e 𝐿’ e a interseção desta com a assíntota 𝑟

definimos por 𝑀. Quando traçamos uma circunferência com centro em 𝑃’ e com raio

de mesma medida do segmento 𝑃′𝑀, as interseções desta circunferência com os

eixos da hipérbole, serão os focos desta cônica.

A partir daí, podemos traçar a hipérbole de diferentes maneiras. Nossa

construção foi feita com a ferramenta compasso do GeoGebra, demarcando pontos

sobre o eixo da hipérbole, 𝑁 e 𝑄, e depois construímos circunferências com centro em

𝐹1 e em 𝐹2 e raio de medidas iguais a 𝑁𝐹1 e 𝑁𝐹2, demarcando suas interseções por 𝑅

e 𝑆. Depois, fazendo o mesmo com as medidas de 𝑄𝐹1 e 𝑄𝐹2, demarcamos os pontos

𝑇 e 𝑈, por meio da definição de lugar geométrico, |𝑑 (𝑃, 𝐹1) − 𝑑 (𝑃, 𝐹2)| = 𝑘 em que 𝑘

é uma constante e o ponto 𝑃 consideramos o vértice da hipérbole.

Estas interseções representam pontos da hipérbole, de modo que após um

número suficiente deles, percebemos a hipérbole da figura 136.

Figura 136 – Hipérbole como projeção de circunferência


213

Nas construções de cônicas, via projeções de circunferências, percebemos que

as técnicas utilizadas são permeadas de ações conhecidas da geometria euclidiana.

A tecnologia, que justifica tais ações, denominada por nós de 𝜃𝐺𝑃1, é a mesma para

as três situações e se apoia no conhecimento de ponto, reta, semirretas, segmentos,

circunferência, paralelismo, ortogonalidade, colinearidade, eixo de simetria e de

propriedades de tangência já conhecidos da geometria euclidiana plana, além dos

conhecimentos de ponto doble que pertence, ao mesmo tempo, ao plano do objeto e

ao plano da imagem ao mesmo tempo e dos conhecimentos de projeção de retas,

pontos, objetos e suas imagens inerentes à geometria projetiva. Para o caso de

hipérboles, além desses conhecimentos, é necessário o conhecimento de assíntotas

e de reta bissetriz.

A parábola, portanto, será uma cônica com um ponto no infinito uma vez que a

reta 𝑂𝑇 é paralela ao plano em que essa cônica é construída, a elipse não possuirá

nenhum ponto no infinito por ser uma figura geométrica fechada e a hipérbole terá

dois pontos no infinito devido ao fato de dois pontos da circunferência formarem com

o ponto 𝑂 duas retas paralelas ao plano de projeção desta cônica.

No modelo da geometria projetiva, segundo Ribeiro (2012), existem relações

analíticas que corroboram com os resultados apresentados na forma geométrica. Para

tanto, é necessário considerar um espaço vetorial ℝ3 que denominaremos por 𝐸, no

qual é chamado de plano projetivo ℝℙ2 ao conjunto de retas vetoriais de 𝐸 que passa

pela origem.

Neste modelo, é denominado por ponto projetivo a reta vetorial 𝑣(𝑎, 𝑏, 𝑐) que

passa pela origem e pelo ponto de coordenadas (𝑥, 𝑦, 𝑧) ≠ 0. Assim, ponto projetivo é

escrito por [𝑎: 𝑏: 𝑐], sendo a, b e c coordenadas homogêneas deste ponto.

Segundo Gonçalves (2013, p. 62), essas coordenadas são chamadas de

homogêneas uma vez que “toda curva algébrica em ℝℙ2 poder ser representada por

uma equação polinomial homogênea, 𝑝(𝑋, 𝑌, 𝑍) = 0, concluindo portanto que

(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥 ′, 𝑦 ′, 𝑧 ′) se e somente se existe um 𝜆 ≠ 0 tal que (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝜆(𝑥 ′, 𝑦 ′, 𝑧 ′)”.

Como por exemplo, considerando um plano 𝛼, de equação 𝑍 = 1 em ℝ3,

existem apenas dois tipos de retas que passam pela origem 𝑂(0,0,0) as que são

paralelas ao plano 𝛼, contidas em 𝑍 = 0, e as que intersecta o plano em um ponto,

figura 137.

214

Figura 137 – Pontos projetivos em Z=1


Na figura 137 as retas 𝑟 e ℎ intersectam o plano 𝛼, deixando como marcas os

pontos 𝑃1 e 𝑃2, respectivamente. Os pontos de coordenadas 𝑃(𝑥, 𝑦,0) não possuem

representantes no plano 𝑧 = 1 e são denominados de pontos no infinito. Já as

coordenadas de quaisquer pontos deste plano podem ser desmogeneizada para

𝑃1(𝑥

𝑧,𝑦

𝑧,1). Este resultado pode ser obtido, considerando a figura 138 para a

coordenada 𝑥.

Figura 138 – Relação entre um ponto qualquer do espaço com o ponto projetivo


A partir desta figura, é possível apresentar uma relação entre os dois triângulos

semelhantes 𝑥′

𝑥=

1

𝑧 que depois de desenvolvida toma a forma de 𝑥 ′ =

𝑥

𝑧. Resultado este

215

que pode ser confirmado também para a variável 𝑦, evidenciando que as coordenadas

do ponto no plano projetivo são de fato 𝑃(𝑥

𝑧,𝑦

𝑧,1).

Outro aspecto importante, nesta geometria, é a definição do traço afim de uma

figura projetiva que, segundo Ribeiro (2012), é a sua representação num plano afim

escolhido, quando enviamos uma reta ao infinito. Como exemplo, apresentamos a

figura 139 em que o traço afim de um cone será sempre uma cônica.

Figura 139 – Cônicas como traço afim de um cone


Nesta figura, tomamos o plano 𝛼 em 𝑧 = 1, o plano 𝜋 de equação 𝑦 = −1, de

modo a obtermos um círculo com pontos de coordenadas (𝑥

𝑧,𝑦

𝑧,1) , e uma hipérbole,

com pontos de coordenadas (𝑥

𝑦, −1,

𝑧

𝑦), respectivamente.

𝑻𝑮𝑷𝟐: Justificar as cônicas analiticamente por meio de seus pontos no

infinito.

𝒕𝑮𝑷𝟐𝟏: Justificar analiticamente que a parábola possui um ponto no infinito;

𝒕𝑮𝑷𝟐𝟐: Justificar analiticamente que a elipse não possui pontos no infinito;

𝒕𝑮𝑷𝟐𝟑: Justificar analiticamente que a hipérbole possui dois pontos no infinito.

Consideramos como técnica 𝝉𝑮𝑷𝟐𝟏, para o cumprimento desta tarefa, tomar o

sistema de referência ℝ3em que utilizaremos, como exemplo, a equação da figura

projetiva correspondente da parábola, {(𝑥, 𝑦, 𝑧): 𝑦 = 𝑎𝑥2, 𝑧 = 1}.

216

Como qualquer ponto de coordenadas [𝑥’: 𝑦 ′: 𝑧′] com 𝑧′ ≠ 0 encontra o plano

projetivo 𝑧 = 1 no ponto (𝑥′

𝑧′,𝑦′

𝑧′,1), a equação anterior da parábola poderá ser reescrita

por 𝑦′

𝑧′= 𝑎 (

𝑥′

𝑧 ′)

2

.

Assim, depois de desenvolvida, essa equação toma a forma 𝑦 ′𝑧 ′ = 𝑎𝑥 ′2 e a

reescrevemos nas coordenadas 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑎𝑥2 − 𝑦𝑧 = 0, representando a equação de um

cone duplo com vértice na origem. De posse deste resultado e da equação do plano

𝑧 = 1 construímos um gráfico no GeoGebra, apresentado na figura 140, em que a

parábola de equação {(𝑥, 𝑦, 𝑧): 𝑦 = 𝑎𝑥2, 𝑧 = 1}, é o resultado da interseção entre o

plano e o cone.

Figura 140 – Parábola (traço afim de uma cônica projetiva)


A tecnologia 𝜽𝑮𝑷𝟐𝟏 que justifica a parábola ter um ponto no infinito, inserida na

teoria da perspectiva, requer que substituamos o ponto [𝑥: 𝑦:0] na equação do cone

deduzida, pois este ponto não deixa marcas no plano projetivo. Assim, após a

substituição de 𝑧 = 0 em, 𝑎𝑥2 − 𝑦𝑧 = 0 encontramos 𝑥 = 0, concluindo que obtivemos

um ponto no infinito de coordenadas homogêneas [0:1:0] para parábola.

Para o caso de elipse, utilizamos como técnica 𝝉𝑮𝑷𝟐𝟐, tomar o sistema de

referência ℝ3 para encontrarmos a equação da figura projetiva correspondente a

elipse {(𝑥, 𝑦, 𝑧): 𝑏2𝑥2 + 𝑎2𝑦2 = 𝑎2𝑏2, 𝑧 = 1}.

Da mesma maneira que fizemos para a parábola, qualquer ponto de

coordenadas [𝑥’: 𝑦 ′: 𝑧′] com 𝑧′ ≠ 0 encontra o plano projetivo de coordenadas 𝑧 = 1 no

217

ponto (𝑥′

𝑧′,𝑦′

𝑧′,1). Com isso, podemos escrever 𝑏2 (

𝑥′

𝑧 ′)

2

+ 𝑎2 (𝑦′

𝑧 ′)

2

= 𝑎2𝑏2 que depois de

desenvolvida pode ser reescrita pela equação 𝑏2𝑥 ′2 + 𝑎2𝑦 ′2 = 𝑎2𝑏2𝑧′.

Reescrevemos essa equação nas coordenadas (𝑥, 𝑦, 𝑧), 𝑏2𝑥2 + 𝑎2𝑦2 = 𝑎2𝑏2𝑧2,

que representa um cone duplo com vértice na origem do sistema de coordenadas, e

consideramos o plano 𝑧 = 1 para construir no GeoGebra a figura 141 em que a elipse

representa o traço afim de uma cônica projetiva, representada pela intersecção entre

o cone e o plano.

Figura 141 – Elipse (traço afim de uma cônica projetiva)


Como tecnologia 𝜃𝐺𝑃22 que justifica a elipse não ter pontos no infinito, assim

como no caso de parábola, inserimos o ponto [𝑥: 𝑦:0], na equação do cone de modo

que obtivemos 𝑏2𝑥2 + 𝑎2𝑦2 = 0. Assim, chegamos à uma equação impossível e

concluímos que a elipse não possui pontos no infinito.

A hipérbole por sua vez, possui como técnica 𝝉𝑮𝑷𝟐𝟑 tomar o sistema de

referência ℝ3 para encontrarmos a equação da figura projetiva correspondente a

hipérbole {(𝑥, 𝑦, 𝑧): 𝑏2𝑥2 − 𝑎2𝑦2 = 𝑎2𝑏2, 𝑧 = 1}. Qualquer ponto de coordenadas

[𝑥’: 𝑦 ′: 𝑧′] com 𝑧′ ≠ 0 encontra o plano projetivo de coordenadas 𝑧 = 1 no ponto

(𝑥′

𝑧′,𝑦′

𝑧′,1).

Com isso, escrevemos 𝑏2 (𝑥′

𝑧 ′)

2

− 𝑎2 (𝑦′

𝑧 ′)

2

= 𝑎2𝑏2 que depois de desenvolvida

toma a forma 𝑏2𝑥 ′2 − 𝑎2𝑦 ′2 = 𝑎2𝑏2𝑧′. Assim, reescrevendo esta equação nas

218

coordenadas (𝑥, 𝑦, 𝑧), 𝑏2𝑥2 − 𝑎2𝑦2 = 𝑎2𝑏2𝑧2, que representa a equação geral de um

cone com vértice na origem do sistema considerado.

De posse desta equação e das coordenadas do plano 𝑧 = 1, construímos por

meio do GeoGebra a figura 142 em que a interseção entre estes dois objetos obtemos

a hipérbole neste plano.

Figura 142 – Hipérbole (traço afim de uma cônica projetiva)


Como tecnologia 𝜽𝑮𝑷𝟐𝟑 na teoria da perspectiva, consideramos a equação

𝑏2𝑥2 − 𝑎2𝑦2 = 𝑎2𝑏2𝑧2 para inserirmos um ponto no infinito, [𝑥: 𝑦:0], como feito

anteriormente, tomando a forma de 𝑏2𝑥2 − 𝑎2𝑦2 = 0. Com isso, concluímos que a

hipérbole é uma cônica que possui dois pontos no infinito de coordenadas

homogêneas [𝑥:𝑏

𝑎𝑥:0] e [𝑥: −

𝑏

𝑎𝑥:0], pois 𝑦 =

𝑏

𝑎𝑥 ou 𝑦 = −

𝑏

𝑎𝑥. Sendo do tipo [1: 𝑘:0]

e [1: −𝑘:0].

Como síntese deste modelo, para relacionar as praxeologias das cônicas na

geometria projetiva, apresentamos a figura 143.

Figura 143 – Relações entre praxeologias na geometria projetiva


219

Os pontos no infinito, pensados inicialmente por Kepler, tiveram ressonância

com as contribuições de Desargues para o desenvolvimento da geometria projetiva

de modo que nesta figura relacionamos a construção de cônicas por meio de

projeções de circunferências com a justificativa analítica para as cônicas pela projeção

de seus pontos no infinito.

A partir do nosso estudo na dimensão epistemológica, elaboramos um

esquema, em forma de rede, figura 144, para o MER que desenvolvemos para

representar os Modelos da Geometria Sintética, Geometria Analítica, Geometria

Linear, Geometria do Táxi e Geometria Projetiva.

Figura 144 – Modelo epistemológico de referência das cônicas


Neste MER evidenciamos as relações que podem ser estabelecidas entre estas

diferentes geometrias e apontamos a preocupação ou necessidade que cada

geometria dispensava às cônicas. Na geometria analítica por exemplo, houve a

necessidade de inserir um referencial cartesiano para o problema de Pappus e na

220

geometria linear houve a necessidade em complementar o modelo analítico com

técnicas da álgebra linear, simplificando a análise da equação geral das cônicas. Já a

geometria do taxi veio responder questões que a geometria analítica não respondia,

como os possíveis trajetos que podem ser percorridos por um automóvel em uma

cidade que não podem ser analisados pela métrica euclidiana. Por fim, a geometria

projetiva teve preocupações com o ponto de vista do observador para tratar questões

de profundidade e projeções.

Com base neste MER, apresentamos no quadro 4 o sistema de tarefas para

um estudo das cônicas na escola básica, envolvendo as geometrias estudadas.

Quadro 4 – Sistema de tarefas em diferentes geometrias para as cônicas

Geometria sintética

𝑇𝐺𝑆1 – Construir as cônicas de acordo com Arquimedes;

𝑇𝐺𝑆2 – Construir as cônicas de acordo com Apolônio; 𝑇𝐺𝑆3– Construir as cônicas segundo Al – Quhi;

𝑇𝐺𝑆4:Resolver geometricamente equações cúbicas por meio das cônicas; 𝑇𝐺𝑆5 – Construir as cônicas com régua e compasso

𝑇𝐺𝑆6 – Construir as cônicas com os instrumentos de Kepler;

𝑇𝐺7: Construir as cônicas pelos instrumentos de Schooten;

𝑇𝐺𝑆8– Determinar a equação das cônicas em coordenadas polares; 𝑇𝐺𝑠9: Justificar o comportamento dos raios luminosos em espelhos cônicos; 𝑇𝐺𝑆10 – Caracterizar as cônicas como lugar geométrico segundo La Hire; 𝑇𝐺𝑆11 – Justificar as relações entre as definições de lugar geométrico e os cortes feitos no cone; 𝑇𝐺𝑆12 – Determinar a excentricidade das cônicas a partir dos cortes no cone.

Geometria analítica

𝑇𝐺𝐴1 – Duplicar o volume de um cubo por meio de cônicas;

𝑇𝐺𝐴2 – Resolver equações cúbicas por meio das cônicas;

𝑇𝐺𝐴3 – Determinar a equação geral das cônicas;

𝑇𝐺𝐴4 – Caracterizar cada tipo de cônica por meio da análise dos coeficientes da equação geral do segundo grau em duas variáveis; 𝑇𝐺𝐴5 – Determinar as equações reduzidas das cônicas;

𝑇𝐺𝐴6 – Obter uma equação cartesiana para as cônicas a partir do raio polar obtido na geometria sintética; 𝑇𝐺𝐴7 – Determinar equações reduzidas para as cônicas a partir da definição de excentricidade.

Geometria linear 𝑇𝐺𝐿1 - Reconhecer e determinar a equação canônica da cônica a partir da equação geral do segundo grau em duas variáveis.

Geometria do táxi 𝑇𝐺𝑇1 - Relacionar a métrica do táxi com a métrica euclidiana; 𝑇𝐺𝑇2– Representar as cônicas em um plano cartesiano considerando a métrica do táxi.

Geometria projetiva 𝑇𝐺𝑃1 – Construir as cônicas por projeções de circunferências;

𝑇𝐺𝑃2 –Justificar analiticamente as cônicas por meio de projeções de seus pontos no infinito.


Por meio do estudo da dimensão epistemológica para a elaboração do MER,

percebemos que as construções de representações das cônicas pelo método de

221

Kepler e da parábola pelo parabológrafo, são explicadas pela mesma tecnologia que

são as propriedades de mediatriz de segmento. As construções de representações

das cônicas pelos cortes do cone pelo plano segundo Arquimedes e Apolônio são

justificadas pelas tecnologias relativas à semelhança de triângulos e propriedades de

triângulo retângulo inscrito em um semicírculo.

Já as construções de parábola por régua e compasso, e as cônicas definidas

pelos centros das circunferências, que satisfazem certas condições, também são

explicadas pela mesma tecnologia que são as propriedades de tangência de

circunferências. Além disso, a abordagem de Dandelin, Quételet e Morton tanto para

tratar as cônicas por sua definição focal quanto por sua excentricidade são justificadas

pela tecnologia referente às propriedades de tangência às esferas.

Por outro lado, existem construções que são de natureza didática e ampliam o

nosso MER, de maneira que serão discutidas em nosso Modelo Didático de

Referências – MDR. É o caso, por exemplo, das construções de representações de

cônicas pela dobradura de papel e pelo software GeoGebra que também serão

justificadas por propriedades de mediatriz de segmento. Neste sentido, identificamos

uma Organização Matemática Regional na geometria sintética pela aglutinação de

quatro Organizações Matemáticas Locais, quadro 5.

Quadro 5 – OMR para a geometria sintética

Organização Matemática Regional

𝑂𝑀𝐿1 𝑂𝑀𝐿2 𝑂𝑀𝐿3 𝑂𝑀𝐿4

Construções de representações de cônicas

Segundo Arquimedes e Apolônio; Solução de equações cúbicas por Omar Khayyam

Por dobradura de papel, pelas ferramentas “rastro” e “L.G” do GeoGebra e de representações da parábola por meio do parabológrafo e pelo método de Kepler

Construção da parábola por régua e compasso e as demonstrações de que o L.G dos centros das circunferências tangentes que satisfazem certas condições representam cônicas

Relacionar os cortes do cone com as relações de lugar geométrico separadamente por sua definição focal e de maneira unificada por meio da excentricidade das cônicas

Justificadas por

Semelhança de triângulos e propriedades de triângulo retângulo inscrito em um semicírculo

Propriedades de mediatriz de segmento

Propriedades de tangência às circunferências

Propriedade de tangências às esferas


222

Essa aglutinação pode ser feita, uma vez que podemos iniciar um estudo das

cônicas no espaço e obter as relações de lugar geométrico no plano por meio do

enfoque dispensado às cônicas por Dandelin, Quételet e Morton.

Ante ao exposto, afirmamos que o MER e o sistema de tarefas construídos,

servirão de base para analisar as outras dimensões do problema didático, em termos

de Organizações Matemáticas e Didáticas, além de subsidiar a construção das AEI

no MDR.

3.2 A Dimensão Econômico – Institucional – P2

Segundo Gascón (2011) na dimensão econômico - institucional de um

problema didático são considerados aspectos que orbitam a questão (p. 213, tradução

nossa)19 de “como são as coisas (as Organizações Matemáticas - OM e as

Organizações Didáticas – OD) na contingência institucional?” De modo que a resposta

a esse questionamento deve apoiar-se em um Modelo Epistemológico de Referência

e em um Modelo Didático de Referência que também é sustentado por este MER,

atendendo aos dados empíricos provenientes de todas as instituições envolvidas no

processo de transposição didática e não apenas de uma instituição, contendo uma

praxeologia matemática suficientemente ampla que considere no mínimo uma

Organização Matemática Local.

As questões que giram em torno dessa dimensão para Gascón (2011, p. 216,

tradução nossa)20 são:

a) Qual é o cenário institucional que temos que levar em conta para estudar o problema didático em questão?

b) Que características apresentam determinadas OM, e as OD associadas, em uma instituição, em um determinado período histórico?

c) Como é considerada uma área específica de atividade matemática em cada instituição? (isto é, como é descrito e como seus sujeitos as interpretam)

19 ¿Cómo son las cosas (las OM y las OD) en la contingencia institucional?

20a) ¿Cuál es el ámbito institucional que hemos de tomar en consideración para estudiar el problema didáctico en cuestión? b) ¿Qué características presentan determinadas OM, e y las OD asociadas, en una institución y en un periodo histórico determinados? c) ¿Cómo se considera en cada institución un ámbito concreto de la actividad matemática? (es decir, cómo se describe y cómo la interpretan los sujetos de la misma) d) ¿Qué tipos de prácticas matemáticas pueden llevarse a cabo en una institución determinada en relación con un ámbito particular de la actividad matemática? e) Cuál es, en definitiva, el modelo epistemológico de las matemáticas (específico de un ámbito) y el modelo didáctico asociado dominantes en una institución dada? f) ¿Qué dificultades aparecen cuando se pretende modificar las OD en una dirección determinada dentro de una institución dada? (GASCÓN, 2011, p. 216).

223

d) Que tipos de práticas matemáticas podem ser realizadas em uma dada instituição em relação a um determinado campo particular da atividade matemática?

e) Qual é, em última análise, o modelo epistemológico dominante da matemática (domínio específico) e o modelo didático associado em uma dada instituição?

f) Que dificuldades aparecem quando se pretende modificar as OD em uma determinada direção dentro de uma dada instituição?

Nesta tese, interpretamos estas questões com o objetivo de estudar as cônicas

no ensino básico e, neste sentido, elaboramos: 𝑞21 Como se descreve e interpretam

as OM e OD das cônicas no ensino básico, ou seja, como é a incidência do Modelo

Dominante – MD neste nível de ensino? 𝑞22 Quais atividades matemáticas,

relacionadas às cônicas, inseridas no ensino básico, vivem normalmente nesta

instituição? 𝑞23 Qual é a Organização Matemática e a Organização Didática

Dominante, relativas ao ensino de cônicas, na educação básica?

Nesta dimensão, segundo Gascón (2011, p. 214, tradução nossa)21, “todo o

problema didático tem que fazer referência, de forma mais ou menos explicita, a todas

as etapas da transposição didática e deve conter uma praxeologia matemática

suficientemente ampla”.

Para tanto, analisamos como a parábola, a elipse e a hipérbole foram tratadas

ao longo de sua história nas escolas brasileiras, a partir do século XIX, de modo a

entendermos os motivos das restrições que estão presentes no ensino e verificarmos

se algum objeto matemático que já existiu possa novamente voltar a fazer parte do

currículo escolar para dar maior sustentação ao ensino das cônicas.

Ao que tudo indica, as cônicas foram objetos de estudo tanto na geometria

sintética quanto na geometria analítica na escola básica, nas quais se desenvolveram

de diferentes maneiras. Nas escolas brasileiras por exemplo, percebemos que as

cônicas foram estudadas em alguns momentos de forma articulada e em outros, de

maneira desarticulada por influência destes desdobramentos históricos. O cone de

Apolônio, o teorema de Dandelin e a equação do segundo grau em duas variáveis

foram abordados como formas de unificação, já as contribuições de Arquimedes e

Phillipe de La Hire, como formas de separação. Neste sentido, buscamos analisar os

currículos das escolas do brasil, pelas diferentes reformas ocorridas, desde a

21 Todo problema didáctico tiene que hacer referencia, en forma más o menos explícita, a todas las etapas de la transposición didáctica y debe contener una praxeología matemática suficientemente amplia (GASCÓN, 2011, p. 214).

224

concepção de escola no século XIX, por meio de diversos trabalhos que tratam do

tema e de alguns livros didáticos como representantes dos diferentes currículos

utilizados nas reformas de Campos (1931), Capanema (1942), do ajuste em 1951, do

movimento da matemática moderna nos anos 1960, bem como seus reflexos nas

escolas atualmente.

No Brasil, segundo Gussi (2011), a história da matemática elementar brasileira

está atrelada à criação de três entidades: a academia real militar em 1810, o Colégio

Caraça em 1820 e os liceus provinciais em 1935, nos quais destaca-se o Colégio

Pedro II criado em 1837 que buscou, desde então, dar um aspecto organizacional ao

que conhecemos hoje por ensino básico. Antes disso, para o autor, o ensino público

no Rio de Janeiro era constituído por aulas avulsas sem a supervisão de órgãos

imperiais.

No início da República, de acordo com Gussi (2011), influenciados pelas ideias

positivistas de Comte foi proposto um ensino secundário que rompia a tradição

Clássica – Humanista na tentativa de inserir disciplinas de natureza científicas nas

quais a matemática teve um papel fundamental. Nestes moldes:

Passou-se a ensinar a Matemática Abstrata e a Matemática Concreta dentro da hierarquia preconizada por Comte; 1º Ano: Aritmética; 2º Ano: Geometria preliminar, trigonometria retilínea, geometria espacial (cônicas, concoide, limação de Pascal e da espiral de Arquimedes; 3º Ano Geometria geral e seu complemento algébrico, Cálculo Diferencial e Integral;4º Ano: 1º período-Mecânica Geral e 2º período- Astronomia, Geometria Celeste e noções sucintas de Gravitação Universal. Esta proposta sofreu grandes críticas da população afeita ao clássico-literário, e não foi aceita. (GUSSI, 2011, p. 45, negrito nosso)

De acordo com Valente (2003), na virada para o século XX houve, de certa

maneira, uma modificação no ensino de matemática pelas mãos do Professor Raja

Gabaglia que, segundo o autor, substituiu os velhos compêndios de matemática

utilizados pelo colégio por livros didáticos, conhecidos pelas letras F.I.C – Frères de

I‘Iintruction Chrétienne22, e traduziu para o português tais como (ibid., p. 50),

Elementos de Aritmética, Álgebra, Geometria, que seguiam os moldes tradicionais em

que eram vistos de forma compartimentada e independentes. Para o autor, este fato

representou uma inovação do que se propunha por meio dos manuais das

congregações católicas francesas que substituiu a forma antiga de se ensinar sem

22 Irmãos da Instrução cristã (tradução nossa)

225

exercícios de modo que os alunos copiavam e decoravam os exemplos apresentados

pelo mestre.

Para Valente (2003, p. 52) em 1908, em Roma, acontecia pela primeira vez um

congresso internacional de matemáticos, ICMI - International Commission on

Mathematical Instruction23, para discutir questões relacionadas ao ensino, de maneira

que, de forma inédita, buscou-se “internacionalizar o ensino de matemática”. Nesta

conferência houve ênfase no estudo de funções como elemento conceitual para o

ensino e aprendizagem de álgebra e geometria e na relação entre o desenvolvimento

psicológico da criança na idade escolar e sua relação com a aritmética.

O Brasil, de acordo com Valente (2003), enviou um representante à Inglaterra

para o V congresso internacional de matemática, contudo, nada foi aproveitado do

ponto de vista prático, pois nosso representante não apresentou nada que tenha

surtido efeito ou tenha sido objeto de apropriação não impactando, portanto, o ensino

no Colégio Pedro II.

Este cenário, para o autor, perdurou até o início dos anos de 1930 devido a

influência de Professores catedráticos que não eram simpáticos às mudanças. No

entanto, na década de 1920, segundo este autor, houve um entusiasmo por mudanças

na educação e uma disseminação de escolas, procurando adaptar o que estava

acontecendo nos países que eram referências para o mudo. Neste sentido, pensaram

em substituir os velhos F.I.C.

Nesta altura, já se tinha uma nova geração de professores, encabeçados por

Euclides Roxo e, segundo Valente (2003), puderam organizar o ensino de matemática

brasileiro para além dos muros do colégio Pedro II, aumentando também as críticas

em relação à nova organização. Um dos pontos principais para Valente (2003) foi a

recomendação feita por Felix Klein e já implementada em vários países de não tratar

as disciplinas aritmética, álgebra e geometria separadamente, mas unificá-las e, tanto

quanto possível (p. 74), “expor os mesmos princípios sob os três pontos de vista”.

De acordo com Bordallo (2011), as cônicas aparecem pela primeira vez como

objeto de estudo em 1892, no colégio Pedro II, considerado o colégio modelo até a

implementação do conjunto de decretos que constituíram a reforma de Campos em

23 Comissão Internacional de Instrução Matemática (tradução nossa)

226

1931, que representou a primeira legislação de ensino de caráter nacional. Neste

período, as cônicas foram estudadas, por influência do livro Sonnet e Frontera

(1865)24 que apresentam, em sua primeira parte um estudo sobre geometria em duas

dimensões, e, em seu primeiro capítulo, apresentou as cônicas elipse e hipérbole com

centro na origem do plano cartesiano e a parábola com seu vértice neste ponto. Para

a autora, os outros livros deste período não apresentam um estudo de cônicas, ficando

difícil afirmar se, quando utilizados, as cônicas eram tratadas, de que maneira eram

expostas e qual a fonte consultada.

No primeiro capítulo em Sonnet e Frontera (1865), as cônicas também foram

estudadas separadamente pela definição de lugar geométrico em que escreveram: a

“parábola – Lugar geométrico de todos los puntos que se hallan a igual distancia de

la recta fija DIV que del punto fijo F”25 (p.14); a “elipse – Lugar geométrico de todos

los puntos que gozan de la propriedade de que la suma de sus distancias a otros dos

fijos F y F’ es constante e igual a una longitud dada 2𝑎 mayor queFF’.”26 (p.12) e a

Hipérbola – Lugar geométrico de todos los puntos que tienen la propriedade de que la

diferencia de sus distancias a dos fijos F y F’ es constante e igual a una longitude dada

2𝑎 menor que FF’.”27 (p.13).

Os autores apresentaram também a construção das cônicas por meio de

instrumentos para estudar a propriedade de lugar geométrico. Na representação da

parábola, por exemplo, foram utilizados régua, esquadro e barbante para que o

traçado fosse feito por um movimento contínuo. Já para elipse, foi utilizado o método

do jardineiro com barbantes e pregos e para a hipérbole utilizaram régua, barbante e

pregos.

No quinto capítulo do livro, as cônicas são apresentadas como casos

particulares de uma equação de segundo grau em duas variáveis, unificando a

24 Analisamos outras obras da literatura, porém não encontramos nenhum vestígio de cônicas em outros livros didáticos.

25 Parábola – Lugar geométrico de todos os pontos que estejam a igual distância de uma reta fixa d e de um ponto fixo F, Sonnet e Frontera (1865, p. 14, tradução nossa).

26 Elipse - Lugar geométrico de todos os pontos que têm a propriedade de que a soma de suas distâncias a outros dois F e F', fixos, é constante e igual a um dado comprimento 2a maior que FF’, Sonnet e Frontera (1865, p. 12, tradução nossa).

27Hipérbole - Lugar geométrico de todos os pontos que têm a propriedade de que a diferença de suas distâncias para dois F e F', fixos, é constante e igual a um dado comprimento 2a menor que FF', Sonnet e Frontera (1865, p. 13, tradução nossa).

227

maneira como esses objetos eram vistos 𝐴𝑦2 + 𝐵𝑥𝑦 + 𝐶𝑥2 + 𝐷𝑦 + 𝐸𝑥 + 𝐹 = 0. A

partir disso, caracterizaram as cônicas como sendo do tipo parabólico, elíptico e

hiperbólico, apresentando as cônicas em diferentes posições no plano cartesiano.

Os capítulos do VII ao IX foram dedicados a apresentar as cônicas explicitando

suas características como eixos, vértices, ordenadas, cordas e retas diretrizes para

extrair suas propriedades, equação da reta tangente da parábola, da elipse e da

hipérbole, a reta normal, uma relação para excentricidade e propriedades reflexivas.

Além disso, apresentou algumas aplicações, como no caso da elipse, relacionadas às

leis de Kepler.

No capítulo X, dentre outras coisas, os autores apresentaram uma abordagem

para as cônicas por meio de coordenadas polares e transformações de coordenadas

polares em retilíneas e vice-versa. Já o capítulo XIII, traz duas abordagens para as

seções cônicas em que na primeira foi dado um tratamento analítico, para extrair as

equações das cônicas e, no segundo, foi feito um tratamento geométrico, utilizando o

teorema de Dandelin em que as cônicas são tratadas de maneira unificada.

Na segunda parte do livro foi tratada a geometria analítica em três dimensões

em que Sonnet e Frontera (1865) apresentaram uma classificação de superfícies, por

meio do estudo dos paraboloides, elipsoides e hiperboloides, que aparecem no

capítulo VI e apresentaram as superfícies cônicas e cilíndricas, em seu capítulo X.

Ainda que o livro de Sonnet e Frontera (1865) tenha influenciado o ensino de

matemática nesta época, para Bordallo (2011) as cônicas eram ensinadas com ênfase

na geometria sintética entre os anos 1892 e 1894, de forma geométrica e analítica no

período de 1895 a 1898 e entre 1899 e 1918 foram tratadas com ênfase na geometria

sintética. Já entre 1919 e 1928 as cônicas não foram objetos de estudo, voltando a

ser estudadas, com ênfase na geometria, em 1929 e novamente desaparecendo em

1930.

Na reforma Francisco de Campos28, constituída por um conjunto de decretos

que efetivaram a legislação educacional brasileira a partir de 1931, de acordo com

Bordallo (2011), criou-se a disciplina de matemática que uniu aritmética, álgebra e

28 Francisco Luís da Silva Campos (1891 – 1968) Foi Ministro da Educação e Cultura nos anos (1930 – 1932), Consultor Geral da República nos anos (1932 – 1937) e Ministro da Justiça nos anos (1937 – 1941).

228

geometria. Segundo a autora, essa reforma estabeleceu diretrizes para o

funcionamento de ensino secundário no país, sendo composto de duas etapas. Na

primeira representou o ensino fundamental, de caráter formativo, de cinco anos e na

segunda, de caráter complementar, composta por dois anos com o objetivo de

preparar o estudante para um curso de graduação. Segundo Alvarez (2004) este curso

complementar era dividido em três áreas distintas: Jurídico; Medicina, Farmácia e

Odontologia; Engenharia e Arquitetura.

A disciplina de matemática, de acordo com Bicudo (1942), dispunha de três

horas semanais para o seu ensino, sendo que as cônicas eram vistas, nesse período,

na quinta série do ensino fundamental com o tema (p. 63): “um estudo sucinto das

seções cônicas”. Nos cursos complementares por sua vez, de acordo com Ribeiro

(2006, p. 131) a ementa do curso pré-médico que envolvia Medicina, Farmácia e

Odontologia, abordavam as cônicas com o tema: circunferência, elipse, hipérbole e

parábola; suas equações retilíneas e polares. Já no curso complementar pré-

politécnico, composto por Engenharia, Química Industrial29 e Arquitetura, as cônicas

são estudas, na primeira série, (p. 135) com o tema “propriedades principais das

cônicas” e na segunda série (p.136) “circunferência, elipse, hipérbole e parábola; suas

equações retilíneas e polares”.

No período da Reforma de Francisco de Campos de acordo com Bordallo

(2011) alguns dos livros adotados foram geometria analítica de Mello e Souza e

Elementos de Geometria Analítica de Peixoto, ambos de 1938, e Problemas de

Geometria Analítica também de Peixoto de 1941. De acordo com a autora, nestes três

livros, as cônicas foram apresentadas apenas na geometria analítica, em que o

primeiro as tratou de maneira fragmentada, o segundo de maneira unificada e o

terceiro tanto de forma unificada quanto fragmentada. Neste sentido (p. 16)

As três seções são estudadas separadamente da seguinte forma: definição focal; excentricidade; equação reduzida; equação polar; as cônicas são estudadas da seguinte forma: definição em termos de foco, diretriz e excentricidade; equação reduzida; equação polar; mostra-se que as três seções estudadas anteriormente separadamente são cônicas. Estudo algébrico da equação do segundo grau em duas variáveis: discussão da equação geral.

29 Há uma certa divergência entre Alvarez (2004) e Ribeiro (2006) uma vez que o primeiro apresenta uma área formada por Engenharia e Arquitetura e o segundo afirma que esta área inclui também a Química Industrial.

229

De acordo com Ribeiro (2006), o período compreendido entre os anos de 1936

e 1951 foi marcado pela transição da educação e dos livros didáticos. Além disso,

segundo a autora, em meados dos anos de 1940 houve uma reorganização da

educação brasileira com a Reforma de Capanema30 (1942 – 1961), Leis Orgânicas do

Ensino, levadas a efeito, a partir de 1942, que manteve o tempo total de sete anos

divididos em dois ciclos. O primeiro ciclo era composto por quatro anos de duração e

passou a ser chamado de Curso Ginasial e o segundo ciclo era composto pelos três

anos restantes, ficando conhecido como Curso Colegial, sendo, por sua vez, dividido

em Curso Clássico e Científico, com os mesmos conteúdos na disciplina de

matemática, diferenciando apenas pelo fato de que no científico os assuntos eram

tratados com um maior nível de complexidade. Neste sentido, Bordallo (2011) apontou

que enquanto o Clássico preocupava-se em aprofundar em questões ligadas à

filosofia e letras antigas, o científico preocupava-se no aprofundamento de questões

ligadas à formação científica.

Para esta autora, as cônicas eram estudadas nesse programa, na terceira série

do ciclo fundamental. Na geometria sintética, eram abordadas suas principais

propriedades e eram tratadas de maneira unificada pelo enfoque de Apolônio e pelo

teorema de Dandelin, ao passo que na geometria analítica, eram apresentadas

separadamente por suas equações canônicas.

No período entre os anos de 1942 e 1951, os livros didáticos, destacados pela

autora, foram Matemática de 2º ciclo de Roxo et al., de 1944, Matemática para o

clássico e o científico de Carvalho e Curso de Matemática de Maeder, ambos de 1948.

De acordo com Bordallo (2011) as cônicas foram apresentadas neste período tanto

na geometria sintética quanto na geometria analítica:

Geometricamente: As três seções são estudadas separadamente da seguinte forma: definição focal; eixos e centro (vértice no caso da parábola); relação entre eixos e distância focal; excentricidade; círculos diretores e principal; área da elipse, assíntotas da hipérbole, subtangente e subnormal da parábola. No final as três são estudadas como seções do cone: Teorema de Dandelin e a recíproca do Teorema; cônicas semelhantes; definição pela diretriz; excentricidade. Analiticamente: As três seções são estudadas separadamente da seguinte forma: equação reduzida com centro e vértice na origem e eixos cartesianos como eixos; equação com centro e vértice fora da origem e eixos paralelos aos eixos cartesianos (ibid., p. 16 e 17, negrito nosso).

30 Gustavo Capanema (1900 – 1985) foi Ministro da Educação nos anos (1934 – 1945).

230

No ajuste educacional de 1951 e no Programa de Matemática para o Curso

Colegial31, que perdurou entre os anos de 1951 e 1960, segundo Silva (2008), houve

a necessidade de simplificação dos programas de ensino de matemática, pois diante

da diversidade de alunos com diferentes níveis de dificuldades promovidos pela

demanda crescente de estudantes no início dos anos de 1950, significou o começo

de uma popularização da educação. De acordo com Silva (2008, p. 51) esta

simplificação manteve o número de 3 aulas semanais, para a disciplina de

matemática, e promoveu algumas alterações em que as cônicas passaram a ser

estudadas na primeira série, por meio do tema “secções cônicas; definições e

propriedades fundamentas”.

Neste contexto, Bordallo (2011, p. 17) analisou os livros Lugares Geométricos

Planos de Lacaz Neto de 1951 e Geometria Analítica de Rocha de 1959 em que as

cônicas foram abordadas, na geometria sintética, de maneira fragmentada e unificada.

As cônicas eram apresentadas pelos temas: definição focal; elementos principais;

traçado por movimento contínuo e por pontos; simetria da curva; vértices da curva;

região interior e exterior à curva e sua convexidade; as propriedades e o traçado de

tangentes a curva; excentricidade da curva; círculos diretores e principal. Por fim, eram

estudadas pelas secções no cone e pelo Teorema de Dandelin.

Já o Movimento da Matemática Moderna - MMM (1961 – 1979), segundo Silva

(2008), surgiu no cenário mundial no contexto do pós-guerra, em que o mundo estava

passando por um processo de desenvolvimento tecnológico e industrial. Para o autor,

houve a necessidade de a educação escolar acompanhar esse desenvolvimento,

especialmente o ensino de matemática (ibid., p. 32), pois “era visto como um ensino

mecânico e repetitivo valorizando resoluções de listas de exercícios e memorização

de fórmulas e teoremas”.

De acordo com Silva (2008), novos conceitos passaram a integrar o ensino

secundário do Brasil, que por sua vez, também passou a ser discutido nos Grupos de

Estudos do Ensino de Matemática – GEEM a partir da instituição das Diretrizes e

Bases da Educação Nacional da Lei 4020/61, que previa uma flexibilização dos

conteúdos. As cônicas no ensino colegial passaram a ser tratadas no 3º ano sob o

tema (ibid., p. 57) “noções sobre cônicas”. É importante ressaltar que neste período,

31 Foi proposto pelo então Ministro da Saúde e da Educação Simões Filho (1886 – 1957).

231

segundo Bordallo (2011), as cônicas passaram a ser tratadas apenas na geometria

analítica.

Dos livros analisados por Bordallo (2011), para este período, as cônicas foram

estudadas pela tradução de Matemática Curso Colegial de School Mathematics Study

Group - SMSG de196432, que difere de todos os outros por atender a uma demanda

diferente da do Brasil, Castrucci et al. de 1976 e Boulos e Watanabe de1979. Neste

sentido a autora (p. 18) verificou que “As três seções são estudadas separadamente

da seguinte forma: elementos principais; equação reduzida com centro e vértice na

origem e eixos cartesianos como eixos”.

Segundo Silva (2008), o Movimento da Matemática Moderna influencia o ensino

até os dias atuais, corroborando com o que apresentou Bordallo (2011) em suas

análises de livros, para o período posterior a este movimento. Os livros analisados

pela autora neste período possuem temas em comum:

As seções cônicas aparecem apenas dentro de geometria analítica; as três seções são estudadas separadamente da seguinte forma: definição focal; elementos principais; equação reduzida com centro e vértice na origem e eixos cartesianos como eixos; equação com centro e vértice fora da origem e eixos paralelos aos eixos cartesianos (BORDALLO, 2011, p. 18).

Além destes temas, a autora (p. 18) apontou que o livro de Iezzi de 1985

apresentou também, o “reconhecimento de uma cônica; interseções de uma cônica; e

tangentes de uma cônica” e Bianchini e Paccola de1996 trouxe, “o corte do cone que

gera a cônica; um estudo mais detalhado da parábola, relacionando sua equação

analítica com a forma da função polinomial do 2º grau”. De acordo com Bordallo

(2011), o tema, corte do cone que gera a cônica, aparece também nos livros didáticos

analisados pela autora no período de 1999 até 2011.

Nos dias atuais, percebe-se que o ensino de cônicas nos livros didáticos

persistem os mesmos padrões encontrados nos livros da primeira década deste

século, sendo que o Programa Nacional do Livro Didático - PNLD passou a ter uma

regularidade a partir de 199633, abrangendo todo o território nacional em que a

32 De acordo com Silva (2008) SMSG foi um grupo que publicou compêndios para o ensino secundário com o objetivo de aperfeiçoar o ensino de Matemática dos Estados Unidos, país que no mesmo período, influenciou Oswaldo Sangiorgi a fundar os GEEM que, com o apoio de instituições governamentais, promoveu uma mudança no currículo secundário brasileiro.

33 Informação contidas em http://portal.mec.gov.br/index.php: Acesso: 15/03/2018

232

Secretaria de Educação Básica tem a responsabilidade de coordenar e avaliar o

conteúdo dos livros inscritos neste programa em cooperação com universidades

públicas.

Verificamos em nossa revisão de literatura, bem como em livros didáticos que

o conteúdo de cônicas está presente no ensino básico a partir do 9º ano do ensino

fundamental apenas pelo estudo de parábolas, porém com foco no estudo de funções

quadráticas, situação que se repete no 1º ano do ensino médio, sem mencionar às

cônicas, que somente no 3º ano do ensino médio são trazidas de forma mais efetiva.

Neste contexto, verificamos que as cônicas sobrevivem nas escolas básicas,

ainda que com ênfase na geometria analítica. Neste sentido, considerando os livros

dos PNLD (BRASIL, 2017), analisamos as coleções de Souza e Garcia (2016), Dante

(2016) e Iezzi et al. (2017) para verificarmos qual é o modelo dominante no ensino

destes objetos.

A coleção de Souza e Garcia (2016), traz um estudo de cônicas a partir da

interseção entre um plano e um cone reto de duas folhas, figura 145, na qual as

interseções entre estas superfícies dão como resultado as formas da elipse, da

parábola e da hipérbole considerando apenas as diferentes posições do plano de corte

em relação ao cone.

Figura 145 – Cônicas pela interseção entre um plano e um cone reto de duas folhas


Para o caso de elipse, é apresentada uma maneira de esboçá-la por meio do

método do fio esticado em que são fixados dois pontos com pregos em uma folha de

papel e as extremidades do barbante são presas a estes dois pontos, para depois,

com o auxílio de um lápis, traçar uma elipse, mantendo o fio esticado como se observa

na figura 146.

233

Figura 146 – Construção de elipses pelo método do fio esticado


A partir deste esboço os autores construíram um gráfico, apresentando os

elementos da elipse, como os focos 𝐹1 e 𝐹2, representados pelos pontos fixos

anteriormente escolhidos, a distância entre focos, o centro da elipse, coincidindo com

a origem do sistema cartesiano, os eixos maior e menor e uma definição de

excentricidade envolvendo estes eixos, por meio do teorema de Pitágoras como no

excerto extraído deste livro, figura 147. Neste sentido, apresentaram várias

configurações para a elipse, permitindo comparar diferentes formas gráficas com suas

respectivas excentricidades.

Figura 147 – Gráfico da elipse com seus elementos figurais


Os autores apresentaram, em seguida, a definição de lugar geométrico para a

elipse e a associaram ao gráfico desta cônica para realizar um estudo analítico em

que consideraram seus eixos paralelos aos eixos cartesianos e seu centro em

diferentes posições no plano cartesiano de modo a obter sua equação canônica

234

(𝑥− 𝑥0)2

𝑎2+

(𝑦− 𝑦0)2

𝑏2= 1, não mencionando, no entanto, a transformação geométrica no

plano para tratar de translações, figura 148.

Figura 148 – Obtenção da equação canônica da elipse a partir do gráfico


Depois disso, apresentaram algumas atividades com o objetivo de calcular as

medidas dos eixos maior e menor, de construir gráficos a partir de uma equação, de

determinar as coordenadas dos focos dada a disposição da figura no gráfico, de

escrever a equação da elipse a partir das coordenadas de seus focos e de um ponto

pertencente a ela e de comparar configurações de elipses para verificar qual possui a

maior excentricidade.

Como último exercício os autores apresentaram uma relação entre a elipse e

as leis de Kepler, estudada na Física no primeiro ano do ensino médio, pedindo que

se extraia a excentricidade da elipse descrita pelo cometa Halley, que se obtenha a

equação considerando o centro na origem do sistema cartesiano, cujo gráfico já é

apresentado, que se utilize a 2ª lei de Kepler (lei da áreas) para determinar se, depois

de transcorrido um determinado tempo, o cometa está acelerando ou desacelerando

e verificar em que ano ele poderá ser visto novamente.

Para o estudo da hipérbole, Souza e Garcia (2016) apresentaram a interseção

entre um cone reto de duas folhas com um plano que produz um corte secionando as

duas folhas sem passar pelo vértice do cone. Em seguida, esboçaram uma hipérbole,

figura 149, com o auxílio de uma régua e de um barbante ligados entre si e deixando

a outra extremidade para serem fixadas em dois pregos localizados em dois pontos

fixos em uma folha de papel de modo que com um lápis, mantendo o fio esticado, e

235

fazendo girar a régua ora em torno de um ponto para descrever um ramo da hipérbole,

ora em torno do outro para descrever o segundo ramo.

Figura 149 – Construção de hipérbole pelo método do fio esticado


Com base neste esboço os autores construíram um gráfico, figura 150, para a

hipérbole associando seus elementos tais como os focos 𝐹1 e 𝐹2, a distância entre os

focos, o centro da hipérbole, as medidas dos eixos, a excentricidade, relacionando o

eixo maior, o eixo menor e a distância focal via teorema de Pitágoras. Apresentaram

ainda, diferentes valores de excentricidade para analisar diferentes configurações da

hipérbole e utilizaram dos elementos figurais para descrever suas assíntotas,

representadas pelas retas que contém as diagonais do retângulo de medidas dos

lados iguais aos comprimentos do eixo transverso e do eixo imaginário.

Figura 150 – Gráfico da Hipérbole com seus elementos figurais


A partir daí, Souza e Garcia (2016) apresentaram a definição de lugar

geométrico da hipérbole para em seguida fazer um tratamento analítico em que os

eixos desta curva estão sempre paralelos aos eixos cartesianos, figura 151, com o

objetivo de obter a equação canônica (𝑥− 𝑥0)

2

𝑎2+

(𝑦− 𝑦0)2

𝑏2= 1, não mencionando a

translação.

236

Figura 151 – Obtenção da equação canônica da hipérbole a partir do gráfico


Nesta seção, os autores apresentaram atividades a serem desenvolvidas pelos

estudantes, visando verificar se o eixos das hipérboles de equações dadas estão ou

não paralelos aos eixos cartesianos, verificar, a partir de um conjunto de equações,

que representam hipérboles com eixos paralelos aos eixos cartesianos e obter sua

equação reduzida, escrever a equação reduzida a partir de um gráfico dado, escrever

a equação e construir o gráfico da hipérbole sabidas as coordenadas dos focos e de

um ponto qualquer sobre a figura, determinar as assíntotas da hipérbole e esboçar

graficamente a partir de uma equação, determinar por meio de uma equação o

comprimento dos eixos real e imaginário, a distância focal e a excentricidade e obter

a excentricidade a partir de um gráfico de hipérbole.

Os autores terminam esta seção com uma atividade que envolve novamente

uma articulação com a Física, onde analisaram o sistema LORAN-C, que significa

navegação à longa distância. Segundo os autores, a navegação hiperbólica é útil para

obter as linhas de posição que definem a posição de um navio que se encontra em

algum ponto de uma hipérbole imaginária. Neste sentido, é pedido que se obtenha a

distância entre duas emissoras que se localizam nos focos da hipérbole e que se

obtenha a excentricidade relacionada à diferença de tempo de recepção dos sinais

pelo navio e que se escreva a equação da hipérbole considerando o centro sobre a

origem e os focos sobre o eixo das abscissas.

A parábola por sua vez, é apresentada pela definição dada pela interseção

entre o cone e o plano posicionado paralelamente a uma de suas geratrizes. Depois

disso, esboçaram uma parábola com o auxílio de um esquadro, de uma régua e de

um barbante como na figura 152. O barbante é fixado em um ponto fixo na folha de

237

papel com a ajuda de um prego e sua outra extremidade é afixada em um dos vértices

do esquadro que não contenha o ângulo reto. Em seguida, com o auxílio de um lápis,

e mantendo o fio esticado, traça-se a parábola fazendo deslizar o esquadro sobre a

régua fixa.

Figura 152 – Parábola construída pelo método de Kepler


A partir deste traçado, os autores apresentam os elementos figurais da

parábola, para construir uma figura geométrica, tais como o foco, a reta diretriz, o

vértice, o eixo de simetria e o parâmetro da parábola que é a medida da distância

entre o vértice e o foco da mesma, como apresentado no excerto da figura 153.

Figura 153 – Parábola e seus elementos figurais


Com base no que fizeram até o momento apresentaram a definição da parábola

enquanto lugar geométrico e utilizaram do gráfico da parábola para obterem a uma

equação canônica, (𝑦 − 𝑦0) = 2𝑝 (𝑥 − 𝑥0), que foi tratada ao longo do capítulo

sempre com seu eixo paralelo a um dos eixos cartesianos, figura 154.

238

Figura 154 – Gráfico da parábola para obter sua equação


Finalmente, encerra o capítulo com exercícios resolvidos e propostos com o

objetivo de escrever a equação da parábola com base em um gráfico, determinar o

foco e a reta diretriz a partir de uma a equação, verificar se as coordenadas de um

ponto dado pertencem à parábola dado foco e a reta diretriz, obter as coordenadas do

vértice, a medida de seu parâmetro e a equação da reta diretriz dada a equação da

parábola, esboçar gráficos de parábolas dada sua equação, determinar a equação da

parábola dados três pontos com eixos de simetria vertical e verificar, a partir de

gráficos de parábolas, as que representam funções.

Os autores relacionaram também, por meio de uma atividade, o estudo de

parábolas ao estudo de lançamentos de corpos, conteúdo de física estudado no nono

ano e no primeiro ano do ensino médio, e relacionaram o estudo da parábola ao

estudo de função quadrática.

Notamos que existe uma lacuna entre as definições dos cortes e a definição de

lugar geométrico, pois nenhuma reflexão foi feita neste sentido. Além disso,

verificamos que as figuras no gráfico sempre estão dispostas com os eixos das

cônicas paralelos aos eixos cartesianos e não mencionam a transformação

geométrica de rotação. Quando os autores expõem as relações entre elementos

figurais, as relações de excentricidade também não são demonstradas, aparecendo

magicamente para que o aluno apenas use as equações, o mesmo acontece com os

exercícios que são organizados de maneira pontuais para verificação ou determinação

de coordenas de pontos, de equações ou gráficos.

239

Iezzi et al. (2017) por sua vez, iniciaram o estudo de cônicas por meio da

geração de uma superfície cônica de duas folhas, construída pela rotação de 360º de

uma reta geratriz, 𝑔, em torno do eixo de simetria 𝑒, intersectando-o em um ponto

denominado vértice, 𝑉, formando um ângulo, 𝜃, constante e diferente de 90º graus,

figura 155. A partir daí, definem as cônicas pela interseção entre o plano e o cone

semelhantemente ao que fora feito por Souza e Garcia (2016).

Figura 155 – Cone reto de duas folhas gerado pela rotação da reta geratriz

Fonte: Iezzi et al. (2017, p. 87)

Para o estudo da elipse, os autores apresentaram algumas fotografias de

construções civis e de objetos elípticos que que são vistos, frequentemente, vistos em

nosso dia a dia. Em seguida, ao contrário do livro anterior parte da definição de lugar

geométrico da elipse para construir uma figura geométrica onde apresenta alguns

pontos que satisfazem a propriedade de lugar geométrico para depois apresentarem

um esboço de elipse pelo método de Kepler.

Da mesma maneira de Souza e Garcia (2016), os autores apresentaram a partir

do esboço da elipse os elementos principais, evidenciando os focos, os eixos maior e

menor, bem como suas medidas, a distância entre focos e a relação da excentricidade.

Esta figura geométrica, foi associada a um plano cartesiano com seus focos ora sobre

o eixo das abscissas, ora sobre os eixos das ordenadas com o objetivo de obter suas

equações reduzidas.

Apresentaram ainda, um estudo em que a elipse foi representada com centro

fora da origem do sistema de coordenadas cartesiano para estudar a translação da

240

figura geométrica. Neste sentido, sugeriram o software GeoGebra para realizar

construções de gráficos a partir de equações.

Como atividades, solicitaram que se determine as equações da elipse a partir

de gráficos, que se escreva a equação da elipse com eixos paralelos aos eixos

cartesianos, dado o centro e a informação de que esta curva tangencia os eixos

coordenados, que se determine a equação dado o centro e dois pontos pertencentes

a ela, com seus eixos paralelos aos eixos cartesianos e ainda, que se determine os

focos da elipse dada a sua equação.

A hipérbole também é apresentada pelos autores iniciando-se por imagens com

formatos desta cônica seguida da definição de lugar geométrico para construir uma

figura geométrica na qual são explicitados seus elementos principais como na coleção

anterior. Esta figura geométrica também foi associada ao plano cartesiano para obter

as equações reduzidas com centro da hipérbole coincidente com a origem e fora dela,

porém sempre com os eixos da hipérbole paralelos aos eixos cartesianos.

As construções gráficas da hipérbole também são feitas, com o auxílio do

GeoGebra, a partir de uma equação e os exercícios propostos requerem que se

determine equações de hipérboles e as coordenadas dos focos a partir de gráficos.

Além disso, que se obtenha, a distância entre focos, a excentricidade e se construa

gráficos, a partir da equação. Por fim, os autores relacionam o estudo de hipérboles

com suas funções recíprocas analisando, por exemplo, hipérboles equiláteras.

Assim, como fora feito com a elipse e com a hipérbole, o estudo da parábola

por Iezzi et al. (2017) é apresentado inicialmente por imagens do formato de parábolas

em diversas situações como de balística e de cartões postais, que nos remetem à

forma de parábola. A partir disso, enunciaram a definição de lugar geométrico,

construindo em seguida uma figura geométrica onde expuseram seus principais

elementos.

Com base nesta construção, os autores associaram um plano cartesiano para

obter a equação reduzida da parábola, fazendo coincidir o vértice com a origem deste

sistema e eixo de simetria paralelo a um dos eixos cartesianos. Os autores também

obtiveram equações de parábolas com o vértice fora da origem, mas mantendo

sempre o eixo de simetria paralelo a um dos eixos deste sistema.

241

Finalizando, Iezzi et al. (2017), apresentaram um estudo de interseção de

cônicas como objetivo de obter as coordenadas dos pontos, que são comuns entre

duas curvas, e solicitam que sejam feitas atividades para determinar o que fora feito

ao longo do capítulo.

Já na coleção de Dante (2016), as cônicas são apresentadas inicialmente pelo

reconhecimento de suas formas em situações de balística e em observações de

monumentos. O autor apresenta a definição de cônicas pela intersecção entre um

plano e um cone e a construção das cônicas por meio do método de Kepler, como

fora feito por Souza e Garcia (2016). No entanto, diferencia-se desta coleção, pelo

fato de apresentar as cônicas, em uma malha quadriculada, construídas ponto a

ponto, sem explicitar os procedimentos destas construções.

As definições de lugar geométrico, bem como o tratamento analítico nesta

coleção, são semelhantes ao das coleções anteriores, no entanto, no quadro da

geometria analítica, Dante (2016) apresenta também uma abordagem para as

cônicas, de maneira unificada, por meio da equação polinomial do segundo grau em

duas variáveis, 𝐴𝑥2 + 𝐵𝑦2 + 𝐶𝑥𝑦 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0, em que o autor analisa vários

casos particulares de solução desta equação. Contudo, o autor apresentou atividades

cuja solução envolveu apenas parte da equação sem mencionar aspectos

relacionados à translação e à rotação.

Além das restrições encontradas nas outras coleções, esta equação é

apresentada na coleção de Dante (2016) sem qualquer articulação com o que foi

apresentado na parte da geometria sintética e não menciona de onde ela surgiu e por

que funciona. O objetivo é apenas para que o aluno veja as cônicas como o lugar

geométrico dos pontos de ℝ2, de coordenadas (𝑥, 𝑦), em relação à base canônica.

Relacionando os tipos de tarefas que são exigidas no ensino de cônicas com o

sistema de tarefas construído na dimensão epistemológica, percebemos que neste

PNLD, as cônicas são tratadas de forma desarticulada na geometria sintética. Utilizam

o segundo tipo de tarefa 𝑇𝐺𝑆2, por meio das tarefas 𝒕𝑮𝑺𝟐𝟏, 𝒕𝑮𝑺𝟐𝟐 e 𝒕𝑮𝑺𝟐𝟑, relativas aos

cortes entre o plano e o cone e o quinto tipo de tarefa 𝑇𝐺𝑆5 pelas tarefas 𝒕𝑮𝑺𝟓𝟏, 𝒕𝑮𝑺𝟓𝟐 e

𝒕𝑮𝑺𝟓𝟑 relativas ao método de Kepler para encontrar as relações do lugar geométrico,

não havendo nenhum discurso tecnológico/teórico que justifique a relação entre as

242

construções pelo corte e pelo método de Kepler e sem justificativas da própria

construção.

Já no modelo da geometria analítica, fazem uso apenas do quinto tipo de tarefa

𝑇𝐺𝐴5 por meio das tarefas 𝒕𝑮𝑨𝟓𝟏, 𝒕𝑮𝑨𝟓𝟐 e 𝒕𝑮𝑨𝟓𝟑, relativas à obtenção das equações

reduzidas e a construção de gráficos de cônicas ou de algum de seus pontos

representantes para obter equações, sendo exigido, apenas que os alunos utilizem as

fórmulas pré-estabelecidas para resolver tarefas pontuais.

Por meio do estudo destas coleções, verificamos como as cônicas estão

dispostas no ensino, identificando o modelo dominante inserido nesta instituição.

Neste sentido, verificamos que estas coleções apresentam este conteúdo de maneira

desarticulada, corroborando com o que fora abordado por Lucas (2015), quando

dissertou a respeito do fenômeno da desarticulação da matemática.

Para a autora, essa desarticulação é fruto de imposições da noosfera, lugar

onde se pensa o ensino dos saberes, sobre os sistemas de ensino provocando um

isolamento das matemáticas ensinadas não por questões didáticas, mas pelo peso de

determinadas disciplinas no sistema de ensino, garantindo sua sobrevivência pela

afirmação de sua especificidade.

No âmbito da TAD, segundo Bosch e Gascón (2010) a maneira de organizar o

ensino escolar da matemática é descrita por meio de praxeologias didáticas

estruturada pelo bloco prático-técnico e pelo bloco teórico. Estrutura essa, que não

aparecem nos livros analisados.

Segundo esses autores, as tarefas e técnicas que constituem a prática didática

somente vive com normalidade se houver um discurso tecnológico-teórico que a

sustente, descrevendo, justificando, interpretando e desenvolvendo esta prática e que

além disso, possa contribuir com critérios para o seu gerenciamento de maneira que

não envelheça e seja substituída por outra. Neste sentido, de acordo com Bosch e

Gascón (2010) se o discurso tecnológico teórico não for suficientemente resistente e

funcional de modo a manter viva a práxis didática, desenvolvê-la e a dar sentido a ela,

fatalmente tenderá atuar com muita rigidez, perdendo sua efetividade sendo, portanto,

abandonadas.

O próprio PNLD (BRASIL, 2017, p. 32) faz críticas quanto à fragmentação dos

conteúdos:

243

No estudo da reta, vários tipos de equação – geral, reduzida, segmentária, paramétrica, entre outras – são apresentados isoladamente e com igual destaque, prejudicando-se, assim, uma abordagem mais integrada dessas equações. Frequentemente, o estudo da circunferência e das cônicas não foge ao padrão de segmentação observado na abordagem da reta. O que atenua essa limitação é a atenção crescente que vem sendo dispensada ao método de completar quadrados com o objetivo de se obter a forma canônica da equação de uma circunferência. Para atribuir significado ao nome “cônicas”, é apropriado referir-se às seções planas de uma superfície cônica. No entanto, é preciso cautela para caracterizar o tipo de seção plana que gera uma hipérbole ou uma parábola em um cone de duas folhas.

Este documento sugere que o ensino deva estabelecer conexões entre

conhecimentos, em diferentes campos da matemática, de modo a analisar os

problemas em diferentes pontos de vista e a passar de um quadro para outro,

enriquecendo-os.

Com base no estudo desta dimensão, sobretudo pelo que apontou Bordallo

(2011), verificamos como as cônicas foram ensinadas nas escolas brasileiras, de tal

maneira que construímos o quadro 6, para apresentar as delimitações deste conteúdo,

em cada período histórico, desde os anos finais do século XIX até os dias atuais.

Quadro 6 – Delimitações do ensino de cônicas nas escolas brasileiras

Período Livros influentes Conteúdos Períodos As cônicas foram ensinadas

De 1892 até 1930

Sonnet e Frontera (1865)

Lugares geométricos; Estudo da equação de segundo grau em duas variáveis; Estudo das cônicas em coordenadas polares; Estudo da seção do cone: teorema de Dandelin e a recíproca do teorema.

1892 a 1894 Com ênfase na geometria sintética

1895 a 1898 Na geometria e na geometria analítica.

1899 a 1918 Com ênfase na geometria sintética.

1919 a 1928 As cônicas não foram objetos de estudo.

1929 Com ênfase na geometria sintética

1930 As cônicas não foram objeto de estudo

Reforma de Francisco de Campos (1931)

Geometria analítica de Souza (1938); Elementos de Geometria Analítica de Peixoto (1938); Problemas de Geometria Analítica de Peixoto (1941).

Estudo da equação de segundo grau em duas variáveis; Definição focal, excentricidade, equação polar e foco-diretriz.

1931 a 1941 Ênfase na geometria analítica

Reforma de Capanema (1942)

Matemática de 2º ciclo de Roxo et al. (1944); Matemática para o clássico e o científico de Carvalho (1948); Curso de Matemática de Maeder (1948).

Na geometria sintética pela definição focal; excentricidade; Teorema de Dandelin e a recíproca do teorema; definição foco-diretriz e excentricidade. Na geometria analítica por suas equações canônicas.

1942 a 1950

Com ênfase na geometria sintética e na geometria analítica.

Ajuste de 1951

Lugares Geométricos Planos de Lacaz Netto (1951) e Geometria

São vistas separadamente pela definição focal; construídas por movimento

1951 a 1960 Com ênfase na geometria sintética

244

Analítica de Rocha (1959).

contínuo e por pontos; região interior e exterior da cônica; propriedades de tangência; excentricidade; círculos diretores e principal e teorema de Dandelin.

Movimento da Matemática Moderna – MMM - 1961

Tradução de Matemática Curso Colegial de School Mathematics Study Group - SMSG (1964), Castrucci et al. (1976) e Boulos e Watanabe (1979)

As cônicas eram estudadas separadamente por suas equações canônicas.

1961 a 1979 Com ênfase na geometria analítica.

Pós Movimento da matemática moderna até os dias atuais

Programa Nacional do Livro Didático - PNLD

Definição focal; equações canônicas; construções de representações de cônicas com materiais manipulativos. Estudo da equação do segundo grau em duas variáveis apenas em Dante (2016)

1980 aos dias atuais

Com ênfase geometria analítica


Analisamos as relações institucionais RI (O) considerando I, o livro didático e

alguns documentos oficiais e o objeto tema da pesquisa O. A análise das relações

institucionais nos permite fazer alguns apontamentos em relação às tarefas exigidas

neste nível de ensino e responder em parte as questões referentes à esta dimensão.

Neste sentido, verificamos que as atividades propostas nos livros didáticos do PNLD

(BRASIL, 2017) requerem que sejam realizadas apenas determinadas manipulações,

tornando mecanicista o estudo de cônicas, com Organizações Matemáticas Pontuais,

isoladas com um fim em si mesma, geralmente começando e terminando em um

mesmo campo da geometria.

Nestas coleções, o aluno não é impelido a fazer uma mudança do modelo da

geometria sintética para o modelo da geometria analítica para resolver o problema

proposto, pois não é apresentado a ele, nenhuma articulação que o faça transitar de

forma articulada entre os diferentes modelos dessas geometrias, constituindo,

portanto, uma restrição para o ensino deste objeto.

Segundo Lucas (2015), tarefas isoladas, desarticuladas entre si e sem uma

possível razão de ser, acarretam problemas para os estudantes por não terem sentido

para eles. Para a autora, esta é uma característica da pedagogia dominante

relacionada ao monumentalismo, em que os conteúdos são estabelecidos de antemão

para que o estudante os visite como se fossem monumentos, dificultando, inclusive, a

mudança de cláusulas do contrato didático tradicional para partilhar, com os

245

estudantes, algumas responsabilidades que eram atribuídas exclusivamente ao

professor.

Para Bosch (2012), o contrato didático e pedagógico tradicional pode provocar

restrições institucionais, podendo ser de três tipos: o primeiro está associado ao fato

de que os estudantes esperam que professor apresente os conteúdos previamente

determinados, já aceitos pela comunidade científica, para apenas assumi-los e

manipulá-los. O segundo, faz referência ao papel da matemática no desenvolvimento

das ciências designado como mero aplicacionismo e o terceiro, está ligado à

concepção e transmissão de conhecimento denominado como o paradigma de visita

as obras em oposição ao paradigma de questionamento do mundo.

Verificamos também que as cônicas sobrevivem nas instituições analisadas

com suas diferentes definições, porém com incompletudes nas relações de RI (O). As

definições de cônicas pelos cortes entre plano e cone vivem na instituição

desconectadas da definição do lugar geométrico que, por sua vez, também aparece

desconectada das definições das cônicas na geometria analítica.

Diante do estudo desta dimensão, percebemos que, de maneira geral, a razão

de ser das cônicas no ensino básico, está atrelada ao aluno reconhecer as formas

de cônicas em sua volta, ao ensino de função quadrática e de grandezas

proporcionais, para estudar a parábola e inversamente proporcionais para tratar a

hipérbole. Além disso, atrelada, quase que exclusivamente à manipulação de suas

equações analíticas.

A partir do que expusemos, desenvolvemos um esquema, para o modelo

dominante na educação básica, para explicitar como as cônicas são vistas neste nível

de ensino, figura 156.

246

Figura 156 – Modelo dominante de cônicas no ensino básico


Assim, apresentamos no que segue a dimensão ecológica a partir dos

apontamentos feitos nas dimensões epistemológica e econômico-institucional.

3.3 A Dimensão Ecológica – P3

De acordo com Gascón (2011), a antiga teoria dos saberes de Chevallard, em

termos biológicos, foi ampliada tornando-se mais precisa e detalhada, pois as

restrições estão especificadas nos diferentes níveis de codeterminação didática,

havendo uma hierarquia entre deles, como apresentamos na seção do referencial

teórico.

Esta hierarquia é construída por meio de Organizações Matemáticas e suas

correspondentes Organizações Didáticas, bem como suas interações mútuas

presentes nestes níveis. Desta maneira, para Chevallard (2002, p. 2), com relação a

uma OM pontual “dificilmente existem temas de estudo que se referem apenas a um

tipo de tarefa T”, mas eles se constituem em torno de uma tecnologia que agrupa um

conjunto de tipos de tarefas, ou seja, uma OM local que deve ser extraída de uma

organização maior denominada regional, que admite uma mesma teoria e se configura

como um setor de estudos. Mas, além disso, existe a junção de várias Organizações

Matemáticas Regionais que compõem uma organização global identificada em uma

disciplina.

O principal mérito de reconhecer a hierarquia de níveis assim delineada, que vai dos objetos de estudo às disciplinas, passando por temas, setores e domínios, é permitir uma primeira classificação dos pacotes de restrições que presidem o estudo escolar, evitando um desequilíbrio muito evidente entre o

247

que, dessas restrições, será considerado e o que será abandonado. O realismo desta escala de níveis não está, a este respeito, em dúvida.

Para Chevallard (2009b), o professor intervém no nível escolar, em sistemas

didáticos descritos classicamente como S (𝑋 ; 𝑦 ; ), em que 𝑋 é o grupo dos alunos,

𝑦 pode ser um professor e o símbolo representa a questão didática, ou seja, o que

𝑋 deveria estudar com a ajuda de 𝑦. Nesta representação, o importante para o autor

é a forma de ajuda que é supostamente trazida à 𝑋, em seu estudo de e o que o

nível de pedagogia exige de condições e restrições que dão forma à atividade do

professor 𝑦, de forma específica, para o estudo de . Neste sentido, a maneira como

um conteúdo é estudado na escola é importante e nos remete à noção de transposição

didática, inserida na didática da matemática por Chevallard na década de 80. Esta

noção é um instrumento pelo qual os conteúdos matemáticos sofrem transformações

desde quando são concebidos nas academias até chegar a serem ensinados nas

escolas e aprendidos pelos alunos.

De acordo com Chevallard (1991, p. 17, tradução nossa) “Todo projeto social

de ensino e aprendizagem é dialeticamente constituído com a identificação e a

designação de conteúdos de saberes como conteúdo a ensinar”34. Neste sentido, é

este conjunto de transformações adaptativas sofridas pelo saber que o tornará apto a

ocupar um lugar entre os objetos de ensino, desta forma:

A transformação de um conteúdo de saber preciso em uma versão didática desse objeto de saber pode ser mais apropriadamente chamada de "transposição didática stricto sensu". Mas o estudo científico do processo de transposição didática (que é uma dimensão fundamental da didática da matemática) supõe ter em conta a transposição didática senso lato, representada pelo esquema → objeto de conhecimento → objeto a ser ensinado → objeto ensinado em que o primeiro elo marca a passagem do implícito para o explícito, da prática para a teoria, do pré – construído para o construído (CHEVALLARD, 1991, p. 17, tradução nossa)35

Portanto, a partir do momento que um objeto é escolhido e designado para

fazer parte dos conteúdos a ser ensinado aos alunos, em termos ecológicos, estes

34 Todo proyecto social de enseñanza y de aprendizaje se constituye dialécticamente con la identificación y la designación de contenidos de saberes cómo contenidos a enseñar (CHEVALLARD, 1991, P. 17). 35 La transformación de un contenido de saber preciso en una versión didáctica de ese objeto de saber puede denominarse más apropiadamente “transposición didáctica stricto sensu”. Pero el estudio científico del proceso de transposición didáctica (que es una dimensión fundamental de la didáctica de las matemáticas) supone tener en cuenta la transposición didáctica sensu lato, representada por el esquema → objeto de saber → objeto a enseñar → objeto → de enseñanza en el que el primer eslabón marca el paso de lo implícito a lo explícito, de la práctica a la teoría, de lo preconstruido a lo construido. (CHEVALLARD, 1991, p. 17)

248

conteúdos devem se relacionar para manter o equilíbrio do ecossistema de modo a

garantir sua sobrevivência na instituição.

Na dimensão ecológica de um problema didático, Gascón (2011) deve ser

considerada a questão (p.217, tradução nossa)36 por que as coisas (as Organizações

Matemáticas – OM e as Organizações Didáticas – OD) são como são na contingência

institucional e que condições seriam necessárias para estar de outra forma dentro do

universo possível? Esta dimensão inclui, em alguma medida, as outras duas

dimensões, levando a afirmar pelo enfoque da TAD que todo problema didático é de

certa forma um problema de ecologia praxeológica.

As questões37 que giram em torno desta dimensão são apresentadas por

Gascón (2011, p. 219, tradução nossa) de forma concreta por:

a) Quais são as condições que permitem dar conta do estado atual, ou em um determinado período histórico, das OM e das OD associadas em uma instituição determinada?

b) Que restrições dificultam ou impedem que determinadas características das OM e das OD de desenvolvem em uma instituição? Em que níveis de hierarquia surgem estas restrições?

c) Quais condições devem ser estabelecidas, e em que níveis de hierarquia, para tornar possível a vida de certas OM e OD com algumas características determinadas?

d) Como o modelo epistemológico específico de uma área de atividade matemática dominante em uma instituição I condiciona a forma como o ensino (e, mais geralmente, o estudo) desse campo em I está condicionado? (GASCÓN, 2011, p. 219, tradução nossa)

Da mesma forma que fizemos para as duas dimensões anteriores,

transcrevemos esses questionamentos, considerando os objetivos da nossa

pesquisa. Neste sentido, escrevemos: 𝑞31 quais são as principais restrições que

dificultam ou impedem a vida das cônicas no ensino básico considerando os sistemas

escolares atuais? 𝑞32Como o ensino de cônicas, inserido em uma pedagogia

dominante, afeta a vida deste conteúdo?

36 ¿Por qué las cosas (las OM y OD) son cómo son en la contingencia institucional y qué condiciones se requerirían para fueses de otra forma dentro del universo de lo posible? (GASCÓN, 2011, p. 217).

37a) ¿Cuáles son las condiciones que permiten dar cuenta del estado actual – o en un período histórico determinado – de las OM y de las OD asociadas en una institución determinada? b) ¿Qué restricciones dificultan o impiden que determinadas características de las OM y de las OD se desarrollen en una institución? ¿En qué niveles de la jerarquía surgen esas restricciones? c) ¿Qué condiciones se deberían instaurar, y en qué niveles de la jerarquía, para que fuese posible la vida de ciertas OM y OD con unas características determinadas? d) El modelo epistemológico específico de un ámbito de la actividad matemática dominante en una institución I, ¿cómo condiciona la forma de organizar la enseñanza (y, más en general, el estudio) de dicho ámbito en I? (GASCÓN, 2011, p. 2019).

249

A partir do que desenvolvemos nas dimensões epistemológica e econômico-

institucional, identificamos vários conhecimentos que devem ser mobilizados para

alimentar o estudo das cônicas na escola básica e identificamos quais conteúdos

matemáticos e não matemáticos podem ser alimentados por elas.

No modelo da geometria sintética, alimentam as cônicas o estudo do ponto, da

reta, do plano, de corpos sólidos, de interseções entre objetos, de semelhança de

triângulos, de propriedades geométricas como a de tangências às esferas e às

circunferências, da mediatriz, de bissetriz, de simetrias, de transformações

geométricas, de propriedades algébricas e trigonométricas. No modelo da geometria

analítica, são acrescidos a estes entes geométricos, o referencial cartesiano e a

linguagem própria deste modelo e no modelo da geometria linear, além os

conhecimentos a respeito da geometria analítica, acrescenta-se os conhecimentos de

matrizes e determinantes e de operações próprias da álgebra linear.

No modelo da geometria do táxi, alimentam as cônicas as medidas de

segmentos, as equações modulares, os números absolutos e o sistema de referencial

cartesiano. Já no modelo da geometria projetiva, alimentam as cônicas as projeções

de circunferência, de retas, de segmentos de retas, o paralelismo, o

perpendicularismo, propriedades de tangência, de simetrias e de justificativas

analíticas para os pontos no infinito.

Quanto a alimentar outro conteúdo, os conhecimentos sobre cônicas devem

ser mobilizados para estudar as quádricas que representam outro conteúdo

matemático, porém do ensino superior. Uma quádrica se constitui em um conjunto de

pontos 𝐸3, cujas coordenadas cartesianas verificam uma equação do segundo grau a

no máximo três variáveis como as esferas, os paraboloides, elipsoides, hiperboloides

para ficar apenas nesses.

As cônicas alimentam também o estudo da óptica geométrica, o estudo do

movimento dos corpos próximos à superfície terrestre e do movimento planetário com

as leis de Kepler e a lei da gravitação universal de Newton. Todos esses conteúdos

inseridos na disciplina de física na escola básica.

A partir do que apresentamos nesta dimensão, verificamos que, em resposta

aos questionamentos propostos, existem restrições no ensino de cônicas, pois nas

análises da dimensão econômico - institucional percebemos desconexões entre as

250

diferentes definições deste objeto, acarretando uma incompletude motivada pela

epistemologia dominante nas instituições.

Esta incompletude se dá devido ao fato de que alguns conteúdos matemáticos

foram esquecidos ao longo da história do ensino de cônicas nas escolas brasileiras

que, de certa maneira, faziam parte do currículo escolar. Este currículo passou por

diversas reformas como a reforma de Campos, Capanema, o ajuste em 51 e do

Movimento da Matemática Moderna, sendo que neste último, por exemplo, o teorema

de Dandelin deixou de ser abordado na escola.

Todavia, segundo Siqueira e Silva (2017) este teorema é um unificador para o

estudo das cônicas na geometria sintética e articula o ponto de vista dos cortes entre

plano e cone com o ponto de vista do lugar geométrico em que as cônicas são

estudadas por sua definição focal e por sua excentricidade. Além disso, quando

estabelecemos relações entre os modelos das diferentes geometrias, verificamos que

o teorema de Dandelin, que envolve a excentricidade, permite fazer uma conexão com

a equação geral da cônica.

Esse teorema apresenta uma justificativa matemática para transitar entre o

modelo da geometria sintética e o modelo da geometria analítica, integrando e

relacionando este conteúdo de maneira mais significativa. Assim, um MER deve

resgatar este conteúdo para voltar a fazer parte do conjunto de saberes que

determinam a existência das cônicas enquanto objeto de ensino, equilibrando o

ecossistema.

Outra restrição, que verificamos nas dimensões epistemológica e econômico -

institucional, é o fato de que a abordagem das cônicas, por meio das coordenadas

polares, fazia parte do ensino, nos primórdios das escolas brasileiras, e com a

sucessivas reformas que acontecerem, deixou de existir. No entanto, na elaboração

do nosso Modelo Epistemológico de Referência apresentamos que este enfoque

permite estabelecer relações com as cônicas por sua excentricidade, tanto no Modelo

da Geometria Sintética, quanto no Modelo da Geometria Analítica, contribuindo para

um ensino não atomizado, como declarou Lucas (2015) ser comum na pedagogia

dominante.

Estas incompletudes e desarticulações, a nosso ver, são resultados do

Movimento da Matemática Moderna que ocorreu no início dos anos 60 em que as

251

cônicas passaram a ser analisadas com ênfase na geometria analítica, situação que

perdura até os dias atuais, restringindo o ensino deste conteúdo. Além disso, mesmo

com foco na geometria analítica, verificamos em Lopes (2014) e em São Paulo

(2020b) que as cônicas são objetos de estudo no segundo bimestre do ano letivo, mas

que geralmente são destinadas apenas uma ou duas semanas para que sejam

analisadas, resultando no encaminhamento do estudante para as manipulações das

equações analíticas, em detrimento de analisar outros aspectos importantes do

referido tema, ocasionando também uma restrição para a análise deste objeto.

Além das contribuições de Dandelin, Quételet e Morton e das articulações

necessárias mencionadas, na dimensão epistemológica, verificamos que nos séculos

XIX e XX, a necessidade de responder questões, relativas à deslocamentos na

superfície da terra, que a geometria euclidiana não respondia fez surgir outras

geometrias, dentre as quais a geometria do táxi.

Consideramos importante a inserção desta geometria no ensino básico, como

uma forma de compreender e de atuar no mundo, como por exemplo, no uso de GPS

e WAZE. Este conhecimento é fruto da construção humana devida à interação

constante com o contexto natural, social e cultural, contrapondo à ideia de que a

matemática é um corpo de conhecimento imutável e verdadeiro.

Esquematicamente, apresentamos a figura 157, para sintetizar o que

estudamos nas três dimensões do problema didático, os objetos que alimentam as

cônicas nos modelos da geometria sintética, geometria projetiva, geometria analítica,

geometria linear e geometria do táxi, assim como os objetos matemáticos que são

alimentados por elas.

252

Figura 157 – Esquema ecológico das cônicas


A partir da compreensão de como o conteúdo de cônicas é trabalhado na

escola básica, e de como este conteúdo foi tratado ao longo da história escolar

brasileira, apresentaremos no que segue, com base na Teoria Antropológica do

Didático, nosso Modelo Didático de Referência baseado em Atividades de Estudo e

Investigação para este nível escolar.

253

4 UM MODELO DIDÁTICO DE REFERÊNCIA PARA O ENSINO DE CÔNICAS

O estudo das cônicas realizado com base na TAD, por meio das três dimensões

do problema didático, nos permite inferir alguns aspectos que devem ser considerados

para a construção de Atividades de Estudo e Investigação na educação básica:

a) Qualquer problema didático está associado à maneira como uma

Organização Matemática está organizada em uma instituição, que por sua

vez, deve ser explicita como fora o MER.

b) O estudo das cônicas deve ser permeado por atividades, baseados no MER

construído, que buscam por respostas aos questionamentos impostos à um

indivíduo ou à uma instituição, com o objetivo de afastar a pedagogia

monumentalista em que o saber é apresentado a priori.

c) Em alguns livros didáticos, em pesquisas e em alguns documentos oficiais,

observamos que o modelo dominante faz referência às cônicas

predominantemente na geometria analítica, considerando em alguns

momentos, o estudo deste objeto associado à função como no caso de

parábolas e hipérboles. Neste sentido, não consideram as peculiaridades

dos saberes relativos às cônicas, tornando a apresentação de uma OD

ainda mais necessária.

d) Essas atividades, baseadas no MER, devem superar as limitações do

modelo dominante, permeadas de novas praxeologias e técnicas, inseridas

em diferentes geometrias, utilizadas tanto para responder questões que um

modelo não é capaz de responder, quanto para tornar a solução menos

custosa.

Neste tópico construímos um Modelo Didático de Referência – MDR no sentido

de Bosch e Gascón (2010) de modo a ampliar o Modelo Epistemológico de Referência,

apresentado anteriormente, estabelecendo articulações entre as diferentes

Organizações Matemáticas necessárias para dar conta de ensinar as cônicas no

ensino básico. Este modelo será desenvolvido em termos de AEI para último ano do

ensino fundamental e para os três anos do ensino médio. Assim, lançaremos mão de

recursos como materiais manipulativos e programas computacionais, que foram

inseridos no ensino deste e de outros objetos matemáticos, tendo em vista o caráter

didático das construções das atividades.

254

A partir destes aspectos, que caracterizam a forma de aprender e ensinar

cônicas no ensino básico, passamos a apresentar as Atividades de Estudo e

Investigação – AEI para o ensino deste objeto, no 9º Ano do Ensino Fundamental.

4.1 Atividades de Estudo e Investigação para o 9º Ano do EF

O estudo de alguns documentos oficiais, em especial a BNCC (2019), permitiu

verificar que os alunos são levados a estudar, no 7º Ano, a circunferência enquanto

lugar geométrico por meio de sua construção utilizando o compasso, com o objetivo

de resolver problemas que envolvam equidistância. Permitiu verificar também, que no

8º Ano, eles devem estudar a bissetriz e a mediatriz enquanto lugar geométrico e

aplicar as noções destes objetos na resolução de problemas. Já no 9º Ano, devem

estudar semelhanças de triângulos, relações métricas do triângulo retângulo e

Teorema de Pitágoras com o objetivo de propor demonstrações.

Na dimensão ecológica, apontamos que estes conhecimentos podem alimentar

o estudo das cônicas a partir 9º Ano do ensino fundamental, por meio de algumas

construções, pois é a mobilização destes conhecimentos que permite justificar cada

representação construída. Neste sentido, elaboramos quatro atividades relativas às

construções de representações de cônicas em que utilizaremos recursos mecânicos

e computacionais, tanto para construir uma representação quanto para justificar sua

construção.

Primeira Atividade de Estudo e Investigação

𝑸𝟎: Como construir uma representação de uma cônica?

De posse deste questionamento, os alunos são impelidos a buscar por qualquer

meio mecânico ou computacional uma maneira de construir uma representação de

cônica. Contudo, um segundo questionamento pode surgir, em meio a esta busca,

uma vez que estamos iniciando um estudo didático das cônicas, objetos

supostamente desconhecidos por eles.

𝑸𝟏: O que são cônicas?

Por meio de uma busca rápida na internet, muito provavelmente os alunos

verão que as cônicas são objetos geométricos obtidos pelo corte de um cone por um

plano e que o nome de Apolônio de Pérgamo está associado a estes objetos. Outra

255

constatação é o fato de existirem três cônicas em conexão a estes cortes, de tal

maneira que, dependendo da posição do plano de corte com o cone as

representações da parábola, da elipse e da hipérbole serão percebidas.

𝑸𝟐: De que maneira podemos representar uma cônica?

Em meio a estas buscas, é possível notar uma extensa lista de trabalhos que

tratam de construções de cônicas, sendo os mais comuns por dobradura de papel,

pelo método de Kepler, por régua e compasso, com o auxílio de algum software ou

pelo resultado da interseção entre o plano e o cone. Neste sentido, conduzimos esta

AEI a partir destas construções buscando associar uma construção à outra quando

possível. Naturalmente, como os cortes entre o plano e o cone são os primeiros que

aparecem associados a estes objetos, iniciaremos nossas indagações por eles.

𝑸𝟑: Como construir uma cônica por Apolônio?

Como apresentado na construção do MER, seção 3.1.2, para construir uma

cônica segundo Apolônio deve ser mobilizado o tipo de tarefa 𝑇𝐺𝑆2, que se desdobrou

em três tarefas: 𝑡𝐺𝑆21, relativa à construção da parábola, 𝑡𝐺𝑆22, relativa à construção

da elipse e 𝑡𝐺𝑆23, relativa à construção da hipérbole.

Para a parábola constatamos que o plano de corte deve ser posicionado

paralelemente a uma geratriz do cone, para a elipse esse plano deve intersectar todas

as geratrizes do cone e para a hipérbole o ângulo de incidência do plano com o eixo

do cone deve ser menor do que o ângulo formado por esse mesmo eixo e uma geratriz

do cone.

Estas construções são feitas no espaço, no entanto algumas relações podem

ser obtidas para trabalhar com esses objetos no plano.

𝑸𝟒: Como partir dos cortes no cone para estudar as cônicas em um plano?

A partir do estudo que fizemos das três dimensões do problema didático das

cônicas, percebemos que esses objetos são tratados, no ensino, de maneira

desconexa no espaço e no plano. No entanto, percebemos que esta desconexão pode

ser sanada lançando mão do teorema de Dandelin, que consiste em inserir uma ou

duas esferas no cone de Apolônio e a partir dessa configuração, obter as relações de

lugar geométrico das cônicas.

Assim, para responder esse questionamento deve ser mobilizado o tipo de

tarefa 𝑇𝐺𝑆11, relativo a justificar os cortes feitos no cone segundo Apolônio com as

256

relações de lugar geométrico em que dividimos em três tarefas para tratar a parábola,

a elipse e a hipérbole.

Diante disso, sintetizamos no quadro 7 as questões relativas à esta primeira

AEI desta série escolar.

Quadro 7 – Questões para o desenvolvimento da primeira AEI no 9º Ano

𝑄0: Como construir uma representação de uma cônica?

𝑄1: O que são cônicas?

𝑄2: De que maneira podemos construir a representação de uma cônica?

𝑄3: Como construir uma cônica por Apolônio?

𝑄4: Como partir dos cortes no cone para estudar as cônicas em um plano?


A partir daí, de posse destas relações, podemos trabalhar no plano de maneira

sistemática e construir representações para as cônicas como a Atividade de Estudo e

Investigação 2.

Segunda Atividade de Estudo e Investigação

𝑸𝟎: Como construir uma cônica por dobradura de papel?

Esse questionamento é inerente ao tipo de tarefa 𝑇𝐺𝑆10, referente às cônicas

como lugar geométrico e a dobradura de papel, figura como uma escolha didática que

mobilizará essa praxeologia para ser desenvolvida.

Para entendermos a respeito da dobradura de papel ou do origami, segundo

Saldanha e Araújo (2014), ainda que seja uma arte associada à cultura japonesa, ele

se originou na China, com a invenção do papel e o emprego sistemático se deu entre

século XVI e XVIII no Japão. Para os autores, os Mouros, que não eram adeptos de

construir imagens, utilizavam as técnicas de dobradura para fazer demonstrações

matemáticas, que, a partir das invasões muçulmanas, se popularizou na Espanha no

século XII.

De acordo com esses autores, o uso do origami na América Latina se iniciou

na Argentina, por influência da Espanha e depois no Brasil por influência da Argentina

e por meio da imigração japonesa que se iniciou em 1908. Em outros países, o origami

se difundiu por influência do educador alemão Friedrich Froebel (1782 – 1852) que,

classificou o uso de dobraduras como sendo de três tipos: as dobraduras de verdade,

quando é associada à aprendizagem matemática de conceitos de geometria

euclidiana; as dobraduras de vida, associada a construções de figuras de animais,

como recreação, sem considerar aspectos de demonstrações matemáticas e as

257

dobraduras da beleza, associada ao incentivo dado às crianças para fazer artes por

meio de dobraduras para o aumento de seu intelecto.

Para construir a parábola é necessária uma folha de papel vegetal onde se

determina uma reta r, para representar a reta diretriz, e um ponto F fora dela. Depois,

determinamos vários pontos sobre a reta diretriz e dobramos o papel de modo a

sobrepor esses pontos ao ponto 𝐹.

Após um número suficiente de dobras podemos perceber, visualmente uma

curva conhecida por parábola, figura 158.

Figura 158 – Parábola pela dobradura de papel


De posse desta construção, elaboramos a questão:

𝑸𝟏: Qual conjectura pode ser feita em relação aos vincos realizados no papel e

a percepção da curva construída?

Ao fazer os pontos sobre a diretriz, 𝑟, coincidirem com o ponto 𝐹, estamos

construindo as mediatrizes dos segmentos constituídos por esses pontos e o foco

desta cônica, ou seja, qualquer ponto tomado sobre esta dobra é equidistante do ponto

𝐹 e de um ponto determinado nesta reta. Portanto, podemos inferir que as dobras no

papel tangenciam a curva em um ponto sobre ela.

Esta construção permite perceber a curva em questão e a importância dos

conhecimentos sobre mediatriz nessa construção. Neste sentido, fazemos o seguinte

questionamento:

𝑸𝟐: Qual propriedade da parábola poderá ser anunciada?

258

Enunciamos uma propriedade da parábola por meio da justificativa desta

construção em que consideramos a figura 159. Como todo ponto da mediatriz de um

segmento é equidistante de suas das extremidades podemos apresentar a seguinte

proposição: Seja k uma parábola de foco F e diretriz r. Um ponto Q ∈ r se e somente

se, Q for simétrico a F em relação a uma reta tangente w ou mediatriz de FQ que passa

por P.

Figura 159 – Parábola para justificar a construção por dobradura de papel


Seguindo esta proposição, consideramos dois pontos distintos do plano, F e Q,

da figura 159 e o segmento formado por eles, 𝐹𝑄. Assim, como w representa a

mediatriz de 𝐹𝑄, para qualquer ponto P que pertença a w será válida a congruência

𝐹𝑃 ≡ 𝑄𝑃. De fato, o ponto P pertence tanto à reta g, perpendicular à reta diretriz r

quanto à reta w mediatriz do segmento 𝐹𝑄, concluindo que o ponto P está a igual

distância de F e de Q. Portanto, verificamos que a mediatriz de 𝐹𝑄 tangencia a

representação da parábola no ponto P, estendendo – se para qualquer ponto da curva.

Para construir a representação da elipse é necessário demarcar dois pontos

sobre a folha de papel vegetal para representar os pontos 𝐹1 e 𝐹2, focos da elipse, e

que se construa com compasso uma circunferência com centro em um destes pontos,

aqui escolhemos como centro 𝐹1, com medida do raio maior que a distância entre os

focos.

A partir daí, toma-se vários pontos sobre a circunferência e dobra-se o papel

de modo a sobrepor esses pontos ao ponto 𝐹2, resultando na percepção da

representação da elipse, figura 160.

259

Figura 160 – Elipse pela dobradura de papel

Fonte: Benito (2019, p. 64)

𝑸𝟑: Qual conjectura pode ser feita em relação aos vincos realizados no papel e


As mesmas considerações feitas para a cônica anterior podem ser verificadas

nesta construção. Cada vinco no papel parece representar uma tangente à curva em

um ponto não determinado, como sendo a mediatriz de 𝐹2𝑄, considerando 𝑄 um ponto

da circunferência, figura 161.

𝑸𝟒: Qual propriedade da elipse poderá ser anunciada?

Respondemos este questionamento, considerando a elipse enquanto lugar

geométrico em que analisamos, na figura 161, apenas um ponto 𝑄 sobre a

circunferência 𝑑 de modo a poder enunciar a proposição: Considere c uma elipse de

focos 𝐹1e 𝐹2, com a medida do eixo maior igual a 𝑟 e uma circunferência d com centro

em 𝐹1, com medida de raio também igual a r. Um ponto 𝑄 ∈ 𝑑 se, e somente se, 𝑄 for

simétrico a 𝐹2 em relação a uma reta, 𝑡, tangente a 𝑐.

260

Figura 161 – Elipse para justificar a construção em dobradura de papel


Por essa proposição, consideramos que se o ponto 𝑄 seja simétrico ao foco 𝐹2

em relação a uma reta t, mediatriz de 𝑄𝐹2 e tangente a 𝑐 no ponto 𝑃 então 𝑃𝑄 ≡ 𝑃𝐹2

e o triângulo formado pelos pontos 𝑄𝑃𝐹2 é isósceles, concluindo que 𝐹1𝑃 + 𝑃𝑄 = 𝑟 e

então, 𝑃𝐹1 + 𝑃𝐹2 = 𝑟 e 𝑄 ∈ 𝑑. Reciprocamente, se 𝑄 ∈ 𝑑 existe um 𝑃 ∈ 𝑐 de tal maneira

que 𝐹1𝑃 + 𝑃𝑄 = 𝑟 e 𝑃𝑄 ≡ 𝑃𝐹2, então 𝑃 ∈ 𝑡, como queríamos demonstrar, 𝑄 é simétrico

a 𝐹2 em relação à reta 𝑡 tangente a 𝑐 que passa por 𝑃.

Já para a construção de uma hipérbole é similar ao de uma elipse, contudo

deve-se considerar uma circunferência com medida de raio menor que a distância

entre os pontos 𝐹1 e 𝐹2 e demarcar vários pontos sobre ela. Em seguida, deve-se

dobrar o papel de modo a sobrepor esses pontos a um dos focos aqui escolhemos o

foco 𝐹2, resultando na percepção da representação da hipérbole, figura 162.

261

Figura 162 – Hipérbole pela dobradura de papel

Fonte: Benito (2019, p. 65)

𝑸𝟓: Qual conjectura pode ser feita em relação aos vincos realizados no papel e


Os mesmos argumentos apresentados para a elipse servem para a hipérbole.

Considerando é claro, a circunferência, 𝑑, de raio menor que a distância entre os

pontos 𝐹1 e 𝐹2, figura 163, e da mesma forma que fizemos anteriormente elaboramos

a questão 𝑄6.

Figura 163 – Hipérbole para justificar a construção por dobradura de papel


𝑸𝟔: Qual propriedade da hipérbole poderá ser anunciada?

Respondemos esse questionamento considerando um ponto 𝑄 da figura 163,

enunciando a proposição: considere uma hipérbole c de focos 𝐹1 e 𝐹2, e uma

262

circunferência d com centro em 𝐹1 de raio r, menor que a distância focal. Um ponto 𝑄

∈ 𝑑 se, e somente se, 𝑄 for simétrico a 𝐹2 em relação a uma reta, 𝑡, tangente a 𝑐,

mediatriz do segmento 𝑄𝐹2.

A partir dessa proposição, se o ponto 𝑄 é simétrico ao foco 𝐹2 em relação a

uma reta 𝑡 tangente a 𝑐 no ponto 𝑃 e mediatriz do segmento 𝑄𝐹2, então 𝑃𝑄 ≡ 𝑃𝐹2 e

concluímos que o triângulo QP𝐹2 é isósceles. Desta maneira, como 𝐹1𝑃 − 𝑃𝑄 = 𝑟,

então 𝐹1𝑃 − 𝑃𝐹2 = 𝑟 e concluímos também que 𝑄 ∈ 𝑑. Reciprocamente demonstramos

que se 𝑄 ∈ 𝑑 existe um 𝑃 ∈ 𝑐 de tal maneira que 𝐹1𝑃 − 𝑃𝑄 = 𝑟, logo 𝑃𝑄 ≡ 𝑃𝐹2 e,

então 𝑃 ∈ 𝑡, como queríamos demonstrar, 𝑄 é simétrico a 𝐹2 em relação à reta 𝑡,

tangente a 𝑐 que passa por 𝑃.

Portanto, as justificativas para essas construções se apoiam nos

conhecimentos de geometria euclidiana plana, mais especificamente ao de reta

mediatriz em que os vincos no papel, feitos pelo ato de dobrar, representam as

mediatrizes dos segmentos constituídos pelo foco e pelos pontos demarcados. Estas

retas tangenciam as cônicas contornando-as e permitindo perceber qual a cônica está

sendo tratada. Além disso, para o caso de elipse e hipérbole é necessário a

construção de uma circunferência auxiliar, garantindo que a soma das distâncias de

um ponto qualquer da elipse a seus focos seja uma constante de medida igual ao raio

da circunferência e que a diferença entre as distâncias de qualquer ponto da hipérbole

a seus focos também seja uma constante igual à medida do raio da circunferência

utilizada.

Sintetizamos no quadro 8 as questões relativas a essa AEI.

Quadro 8 – Questões para o desenvolvimento da segunda AEI para o 9º ano

𝑄0: Como construir uma cônica por dobradura de papel?

𝑄1: Qual conjectura pode ser feita em relação aos vincos realizados no papel e a percepção da curva construída?

𝑄2: Qual propriedade da parábola poderá ser anunciada?


𝑄4: Qual propriedade da elipse poderá ser anunciada?


𝑄6: Qual propriedade da hipérbole poderá ser anunciada?


Outra questão que surge a partir de buscas na internet é relacionada a

construção de cônicas por instrumentos como o método de Kepler e por régua e

compasso que organizamos em torno de uma Atividade de Estudo e Investigação 3.

263

Terceira Atividade de Estudo e Investigação

𝑸𝟎: Como construir uma cônica por instrumentos?

A partir deste questionamento, encontramos na internet dois tipos de

construções, em que na primeira consta a construção de cônicas pelo método Kepler

que se divide em três para tratar a parábola, a elipse e a hipérbole, contudo, já foi

apresentada na seção 3.1.2 em que mobilizamos a praxeologia 𝑇𝐺𝑆6 e subdividimos

entre as tarefas 𝑄1: Como construir uma parábola pelo método de Kepler? 𝑄2: Como

construir uma elipse pelo método de Kepler? 𝑄3: Como construir uma hipérbole pelo

método de Kepler?

Percebemos que tanto a construção por dobradura de papel quanto a do

método de Kepler permite ao aluno desenvolver um discurso que justifique tais

construções por meio de propriedades geométricas. No caso da dobradura de papel,

os conhecimentos de reta mediatriz e de circunferências são importantes para o aluno

avançar na atividade proposta, ao passo que pelo método de Kepler a medida fixa do

barbante e da régua possibilita que o lápis descreva o lugar geométrico da cônica

representada.

As cônicas também podem ser construídas pelas ferramentas do desenho

geométrico, régua e compasso, usadas frequentemente pelos geômetras da Grécia

antiga. No entanto, naquele período ainda não se falava a respeito dos focos das

cônicas, nome dado por Kepler somente no século XVII e, como na construção por

régua e compasso é necessário o conhecimento relativo aos focos destes objetos,

apresentamos essas construções em nosso MER, na geometria sintética a

praxeologia 𝑇𝐺𝑆5.

No Brasil, segundo Valente (1999), os primeiros livros didáticos traziam

construções geométricas por meio de régua e compasso e passaram a fazer parte

dos currículos, sendo reconhecido como um saber escolar. Neste sentido, para essa

construção, é necessário mobilizar o tipo de tarefa 𝑇𝐺𝑆5 em que dividimos esta questão

em três tarefas, 𝑄4: Como construir uma parábola com régua e compasso? 𝑄5: Como

construir uma elipse com régua e compasso? 𝑄6: Como construir uma hipérbole com

régua e compasso?

As construções destas representações permitem que o aluno perceba que as

cônicas possuem simetria em relação à reta que contém o vértice 𝑉 e o foco 𝐹, para

264

o caso de parábolas, ou simetria em relação à reta que contém os vértices 𝑉1 e 𝑉2 e

os focos 𝐹1 e 𝐹2, para os casos de elipse e hipérbole, dividindo os pontos criados em

duas partes iguais. Esta divisão favorece a construção, uma vez que em cada

procedimento, que o compasso executa, dois pontos da cônica podem ser

determinados. Desta forma, depois de um número suficientes de pontos demarcados

pode ser possível estimar a curva com o auxílio de uma régua francesa.

Nestas construções, as propriedades de tangência e de equidistância das

circunferências são importantes para justificar a representação da parábola. Além

disso, é importante a abertura do compasso para determinar os raios das

circunferências que permitirão construir as representações da elipse e da hipérbole e

determinar os semieixos das destas cônicas.

Apresentamos, no quadro 9, as questões relativas a esta terceira AEI para o 9º

ano.

Quadro 9 – Questões para o desenvolvimento da terceira AEI para o 9º ano

𝑄0: Como construir uma cônica por instrumentos?

𝑄1: Como construir uma parábola pelo método de Kepler?

𝑄2: Como construir uma elipse pelo método de Kepler?

𝑄3: Como construir uma hipérbole pelo método de Kepler?

𝑄4: Como construir uma parábola com régua e compasso?

𝑄5: Como construir uma elipse com régua e compasso?

𝑄6: Como construir uma hipérbole com régua e compasso?


Além do que foi apresentado nestas atividades, verificamos, pelas buscas na

internet, que são frequentes as construções de cônicas por meio do software

GeoGebra tanto pela ferramenta “rastro” quanto pela ferramenta “lugar geométrico”,

utilizadas como escolhas didáticas do professor. Como os caminhos são praticamente

os mesmos, faremos essas construções conjuntamente por meio de uma quarta

Atividade de Estudo e Investigação.

Quarta Atividade de Estudo e Investigação

𝑸𝟎: Como construir a representação de uma cônica pela ferramenta Lugar

Geométrico do GeoGebra?

Para responder é necessário que o aluno abra uma janela no software, feche a

janela de álgebra e esconda os eixos cartesianos para tratarmos das construções na

geometria sintética. Este software possui uma interface com uma barra na parte

superior em que são possíveis executar comandos para construir figuras geométricas,

265

verificar conjecturas e auxiliar nas justificativas das construções. Neste sentido, a

próxima atividade se relaciona com as construções em dobradura de papel com o

objetivo de discutir questões que envolvem retas tangentes, mediatriz de segmentos,

pontos de interseção, retas perpendiculares e pontos sobre a reta diretriz da parábola.

Diferentemente das construções em dobradura de papel, em que as

representações figurais são estáticas, com a geometria dinâmica, por meio de

deslocamentos realizados em elementos figurais das representações, podemos obter

uma coleção de figuras que preservam as propriedades geométricas que as

caracterizam. Além disso, permitem uma melhor visualização do objeto representado

em que é possível manipular a figura na tela do computador de modo a inserir novos

dados imediatamente tanto para discutir resultados quanto para propor hipóteses e

validá-las.

As justificativas das construções das representações das cônicas pelo

software, conforme preconiza a TAD, são as mesmas de suas respectivas

construções em dobradura de papel, que por sua vez se apoiam na praxiologia 𝑇𝐺𝑆10,

relativas às cônicas como lugar geométrico.

Para construir a representação da parábola neste software é necessário

determinar uma reta diretriz fixa, que denominamos por 𝑑, e um ponto 𝐹 fora dela,

também fixo, denominado foco. Para construir essa reta 𝑑 e demarcar esse ponto 𝐹,

podemos utilizar a ferramenta “reta” e selecionar dois pontos para que ela apareça na

tela. Em seguida, podemos utilizar a ferramenta “ponto” para determinar um ponto fora

da reta construída conforme a figura 164.

Figura 164 – Foco e reta diretriz de uma parábola


266

𝑸𝟏: Como construir uma reta análoga aos vincos produzidos no papel?

Na dobradura tomamos um ponto qualquer sobre a reta 𝑑 e dobramos o papel

de modo a sobrepor este ponto ao ponto 𝐹, determinando um vinco que faz a função

tanto de reta tangente à cônica, quanto da reta mediatriz definida por esses pontos.

Desta forma, tomamos um ponto 𝑄, qualquer, sobre a reta 𝑑, e por meio da ferramenta

“mediatriz”, utilizando esses dois pontos ou o segmento definido por eles, construímos

a reta 𝑠, como na figura 165.

Figura 165 – Reta mediatriz do segmento FQ


𝑸𝟐: Qual relação existe entre os pontos sobre a reta 𝒅 com o ponto 𝑭 em relação

à reta mediatriz?

Os pontos sobre a reta 𝑑 com o foco 𝐹 guardam uma relação de simetria em

relação à reta mediatriz de segmento definido pelos pontos da reta e pelo foco. Se

tomarmos vários pontos sobre 𝑑, por exemplo, podemos simular no computador os

efeitos da dobradura de papel por meio do comando habilitar rastro com o botão direito

do mouse, sobre a mediatriz, fazendo o ponto Q percorrer a reta diretriz da parábola

em que todas as mediatrizes surgem quase que instantaneamente na tela do

computador. Ressaltando, que as retas mediatrizes construídas são ao mesmo tempo

as retas que tangenciam a parábola, figura 166.

267

Figura 166 – Diversas retas mediatrizes no caso de parábola


𝑸𝟑: Como determinar o ponto que a mediatriz tangencia a parábola?

Para isso, é necessário construir, passando por 𝑄, uma reta 𝑡 perpendicular à

reta diretriz e tomar por 𝑃 a interseção entre esta reta e a reta 𝑠 por meio da ferramenta

“interseção entre dois objetos”, figura 167.

Figura 167 – O ponto P da parábola


𝑸𝟒: Há alguma relação entre os segmentos 𝑭𝑷 e 𝑷𝑸?

Neste questionamento, o que se propõe ao aluno é utilizar os conhecimentos

já aprendidos de mediatriz para afirmar que as relações existentes entre estes

segmentos são a congruência entre estes segmentos e o fato de serem iguais as

268

distâncias de 𝑃 a 𝐹 e de 𝑃 a 𝑄, por meio da propriedade que determina que qualquer

ponto da mediatriz de segmento é equidistante da extremidade do segmento, figura

168.

Figura 168 – Relação entre os segmentos FP e PQ no caso de parábola


Outra constatação, advém da definição de que a parábola é uma cônica em

que seus pontos equidistam do foco e da reta diretriz. Em nosso caso, o foco foi

definido por 𝐹 e a reta diretriz por 𝑑. Neste sentido, 𝑃 é um ponto da parábola que

podemos construir pela ferramenta “lugar geométrico” e responder à questão 𝑄71.

Nesta ferramenta, devemos selecionar o ponto 𝑃 para representar um ponto do

lugar geométrico e depois o ponto 𝑄, que é livre para deslizar, sobre a reta diretriz.

Desta maneira construímos a representação da parábola na geometria sintética, figura

169.

Figura 169 – Parábola pela ferramenta Lugar Geométrico


269

Para a construir a representação de uma elipse procedemos de maneira

análoga ao procedimento da construção por dobradura de papel, a partir da

identificação dos focos desta cônica.

𝑸𝟓: Como construir os focos da elipse?

Por meio da ferramenta “ponto” do GeoGebra é possível demarcar dois pontos

para chamar de 𝐹1 e 𝐹2, focos da elipse.

𝑸𝟔: Como construir uma reta análoga aos vincos feitos no papel no caso de

elipse?

Demarcados os dois pontos 𝐹1 e 𝐹2 é necessário construir uma circunferência

com a ferramenta “círculo, dados o centro e um de seus pontos”, de tal maneira que

tenha um dos focos da elipse como centro e a medida do raio seja maior que a

distância focal. Ressaltamos que a circunferência deve ser fixa e que o ponto,

denominado por 𝑄, sobre ela seja livre para percorrê-la, pois, caso contrário, ao

movimentá-lo, teremos uma coleção de circunferências e não apenas uma. Desta

forma, construímos a figura 170 em que o centro da circunferência está no foco 𝐹1.

Figura 170 – Circunferência auxiliar da elipse com centro em F1


Na dobra do papel, sobrepomos os pontos demarcados na circunferência sobre

o foco 𝐹2. Então, considerando esses dois pontos, podemos construir a mediatriz 𝑠 do

segmento definido por eles, utilizando a ferramenta “mediatriz”, dados dois pontos ou

um segmento, figura 171.

270

Figura 171 – Mediatriz do segmento QF2 para a construção de uma elipse


𝑸𝟕: Qual relação existe entre os pontos sobre a circunferência com o ponto 𝑭𝟐

em relação à reta mediatriz?

Os pontos sobre a circunferência com o foco 𝐹2 guardam uma relação de

simetria em relação à reta mediatriz do segmento definido por esses pontos e por este

foco.

Da mesma forma que fizemos para a parábola, podemos simular os efeitos da

dobra de papel no software para abranger vários pontos sobre a circunferência,

habilitando o a ferramenta “rastro” na mediatriz, e movendo o ponto Q sobre a

circunferência para obter a figura 172.

Figura 172 – Diversas retas mediatrizes no caso de elipse


𝑸𝟖: Como determinar o ponto que a mediatriz tangencia a elipse?

Constatamos anteriormente que a reta mediatriz faz o papel da reta tangente à

cônica construída. Neste sentido, é necessário traçar o segmento de reta que une os

pontos 𝐹1 e 𝑄, em seguida, utilizar a ferramenta “interseção entre dois objetos”,

271

selecionando este segmento e a reta mediatriz, determinando o ponto 𝑃 de tangencia

da elipse na figura 173.

Figura 173 – Ponto P da elipse


𝑸𝟗: Há alguma relação entre os segmentos 𝑭𝟐𝑷 e 𝑷𝑸?

Assim como no caso de parábola, o que se propõe neste questionamento é que

os alunos utilizem seus conhecimentos a respeito de reta mediatriz de segmento,

considerando o segmento 𝐹2𝑄, para afirmar que esses segmentos são congruentes,

pela propriedade de que qualquer ponto sobre esta reta é equidistante da extremidade

do segmento em questão, figura 174.

Figura 174 – Relação de congruência entre os segmentos PQ e PF2


O ponto 𝑃 é então um ponto da elipse que podemos construir pela ferramenta

“lugar geométrico” de modo a responder à questão 𝑄72. Para tanto, é necessário

272

selecionar o ponto do lugar geométrico 𝑃 e, em seguida, no ponto que é livre para

deslizar sobre a circunferência, que neste caso é o ponto 𝑄. Assim, construímos uma

representação da elipse na geometria sintética como na figura 175.

Figura 175 – Elipse pela ferramenta Lugar Geométrico


Assim como fizemos para as outras duas cônicas, podemos construir a

representação de uma hipérbole pela ferramenta “lugar geométrico” de maneira

análoga ao que fora feito na construção por dobradura de papel.

𝑸𝟏𝟎: Como construir os focos da hipérbole?

Os focos da hipérbole podem ser construídos pela ferramenta Ponto do

GeoGebra e assim como no caso de elipse elegemos os pontos 𝐹1 e 𝐹2 para

representá-los.

𝑸𝟏𝟏: Como construir uma reta análoga aos vincos produzidos no papel no caso

de hipérbole?

Demarcados os focos da hipérbole é necessário construir uma circunferência

(fixa) auxiliar centralizada em um desses pontos. Neste sentido, tomamos como centro

desta circunferência o ponto 𝐹1 e utilizamos a ferramenta “círculo dado centro e um

de seus pontos” de tal maneira que a circunferência auxiliar tenha a medida do raio

menor que a distância focal e que o ponto sobre a circunferência seja livre para

deslizar sobre ela, assim como fizemos para a construção da representação da elipse,

figura 176.

273

Figura 176 – Circunferência auxiliar da hipérbole com centro em F1


Na construção em dobradura de papel, sobrepomos os pontos da

circunferência sobre o foco 𝐹2 para marcar os vincos no papel, fazendo a função da

reta mediatriz do segmento definido por eles. Então, considerando esses dois pontos,

podemos construir a mediatriz 𝑠 do segmento definido pelos pontos 𝑄 e 𝐹2, utilizando

a ferramenta “mediatriz”, dados dois pontos ou um segmento, figura 177.

Figura 177 – Mediatriz de segmento para a construção da hipérbole


𝑸𝟏𝟐: Qual relação existe entre os pontos sobre a circunferência com o ponto 𝑭𝟐

em relação à reta mediatriz?

Os pontos desta circunferência são simétricos ao foco 𝐹2 em relação à reta

mediatriz do segmento definido por esses pontos e por este foco, figura 178.

274

Figura 178 – Pontos Q e F2 em relação a mediatriz no caso de hipérbole


Assim, como fizemos anteriormente, podemos simular os efeitos da dobradura

de papel, habilitando o rastro na reta mediatriz e fazer o ponto Q percorrer a

circunferência de modo a produzir quase que instantaneamente, pelo dinamismo do

software, a figura 179.

Figura 179 – Diversas retas mediatrizes no caso de hipérbole


𝑸𝟏𝟑: Como determinar o ponto que a mediatriz tangencia a hipérbole?

Já constatamos que a reta mediatriz de segmento, na dobradura de papel é, ao

mesmo tempo, a reta tangente à hipérbole. Sendo assim, devemos traçar uma reta

pelos pontos 𝐹1 e 𝑄 para em seguida, utilizar a ferramenta “interseção entre dois

objetos”, selecionando a reta mediatriz e a reta traçada 𝑡 para determinar o ponto 𝑃,

figura 180.

275

Figura 180 – Ponto P da hipérbole


𝑸𝟏𝟒: Há alguma relação entre os segmentos 𝑷𝑭𝟐 e 𝑷𝑸?

De maneira semelhante ao que fizemos para a parábola e elipse, este

questionamento vem no sentido de levar ao aluno a afirmar que esses segmentos são

congruentes pela propriedade da mediatriz de que qualquer ponto sobre a reta

mediatriz de segmento é equidistante à extremidade do segmento em questão, figura

181.

Figura 181 – Congruência entre os segmentos PQ e PF2


Desta forma, encontramos um ponto 𝑃 pertencente ao lugar geométrico da

hipérbole de modo que podemos, finalmente, utilizar a ferramenta “lugar geométrico”

do GeoGebra, selecionando o ponto 𝑃 e o ponto 𝑄, que é livre para deslizar sobre a

circunferência fazendo surgir na tela do computador a hipérbole da figura 182.

276

Figura 182 – Hipérbole pela ferramenta lugar geométrico


A partir destes questionamentos, construímos um mapa de questões, quadro

10, para sintetizar cada etapa das construções de uma cônica.

Quadro 10 – Mapa de questões para o desenvolvimento da AEI no 9º Ano

𝑄0: Como construir a representação de uma cônica pela ferramenta Lugar Geométrico do GeoGebra?

𝑄1 Como construir uma reta análoga aos vincos produzidos no papel no caso de parábola?

𝑄2: Qual relação existe entre os pontos sobre a reta 𝑑 com o ponto 𝐹 em relação à reta mediatriz?

𝑄3: Como determinar o ponto que a mediatriz tangencia a parábola?

𝑄4: Há alguma relação entre os segmentos 𝐹𝑃 e 𝑃𝑄?

𝑄5: Como construir os focos da elipse?

𝑄6: Como construir uma reta análoga aos vincos produzidos no papel no caso de elipse?

𝑄7: Qual relação existe entre os pontos sobre a circunferência com o ponto 𝐹2 em relação à reta mediatriz?

𝑄8: Como determinar o ponto que a mediatriz tangencia a elipse?

𝑄9: Há alguma relação entre os segmentos 𝑃𝐹2 e 𝑃𝑄?

𝑄10: Como construir os focos da hipérbole?

𝑄11: Como construir uma reta análoga aos vincos produzidos no papel no caso de hipérbole?

𝑄12: Qual relação existe entre os pontos sobre a circunferência com o ponto 𝐹2 em relação à reta mediatriz?

𝑄13: Como determinar o ponto que a mediatriz tangencia a hipérbole?

𝑄14: Há alguma relação entre os segmentos 𝑃𝐹2 e 𝑃𝑄?


O estudo das cônicas nesta geometria é importante, pois serve de base para o

ensino desses objetos em outras geometrias em que é possível associar os resultados

obtidos à um referencial cartesiano. Assim, poderemos tratar as cônicas na geometria

analítica, linear e do taxi a partir do 1º ano do ensino médio.

277

4.2 Atividades de Estudo e Investigação para o 1º Ano do EM

Além dos conhecimentos aprendidos no ensino fundamental, no 1º Ano do

ensino médio os alunos se aprofundam em questões relativas à gráficos, tabelas e

equações e na disciplina de Física, estudam cinemática, mais especificadamente, o

movimento retilíneo uniforme que representa um conhecimento que deverá ser

mobilizado para a resolução das Atividades de Estudo e Investigação desenvolvidas

nessa seção.

Sendo assim, elaboramos uma atividade de localização para tratarmos a

parábola na geometria analítica e na geometria do táxi e elaboramos outra atividade

para discutir o sistema de navegação LORAN-C que envolve conhecimentos de

hipérbole.

4.2.1 Uma possível localização para a residência de Charles

Nesta atividade relacionamos os modelos da geometria analítica e geometria

do táxi, em que não apresentamos uma questão geratriz em forma de pergunta, mas

um contexto para a situação, nos moldes de Garcia, Barquero, Florensa e Bosch

(2019). Neste sentido, elaboramos nossa 𝑄0:

𝑸𝟎: Charles é um profissional de segurança privada e cursa faculdade de

segurança pública em uma cidade fictícia. Para efeitos de comodidade, em

associar suas atividades acadêmicas e profissionais, procura uma residência

que fique a igual distância da faculdade e da rua que irá monitorar. Desta forma,

pode ser solicitado aos alunos que resolva tal situação.

A princípio podem ser entregues folhas de papel milimetrado ou ser

disponibilizado um software para que os alunos possam representar um plano

cartesiano e utilizar uma malha em que cada quadrinho simbolize um quarteirão e que

as distâncias entre uma esquina e a esquina seguinte seja uma unidade de

comprimento, u.c.

𝑸𝟏: Como você representaria as possibilidades de moradia de Charles,

considerando um plano cartesiano em que as coordenadas da faculdade sejam

𝑭 (𝟏, 𝟑) e que a equação da reta para representar a rua seja 𝒚 = −𝟏?

278

Representar uma reta e um ponto, dadas as suas coordenadas no plano

cartesiano, para alunos do 1º ano do ensino médio é uma tarefa habitual a esta altura

no ensino. Assim, após demarcar a reta de equação 𝑦 = −1 e marcar o foco de

coordenadas 𝐹 (1, 3), imaginamos que o primeiro ponto, com possibilidade de fixar a

residência de Charles seria o ponto de coordenadas (1, 1), por estar exatamente entre

a faculdade e a rua a ser monitorada por Charles. Porém, o aluno perceberá, quando

for demarcar os outros pontos com essas características, que os possíveis lugares

para fixar a residência não necessariamente se situariam em um local apropriado.

Esta constatação representa uma limitação da geometria analítica, pois em

situações reais é necessário considerar a disposição da rua e dos quarteirões

conforme dispostos em uma planta da cidade.

𝑸𝟐: É possível identificar o lugar geométrico desses pontos, na geometria

analítica?

Os conhecimentos da geometria sintética podem ser aplicados nesta situação,

quando relacionamos as relações de lugar geométrico, considerando as coordenadas

do ponto que representa a faculdade, a equação da reta que representa a rua a ser

monitorada e as coordenadas de um ponto genérico 𝑃(𝑥, 𝑦).

O lugar geométrico desses pontos pode ser identificado ao mobilizar o tipo de

tarefa 𝑇𝐺𝐴5, em que utilizamos a tarefa 𝑡𝐺𝐴51, relativa a determinar uma equação para

a parábola, e considerar a figura183.

Figura 183 – Uma possível localização para a residência de Charles


Considerando as orientações do enunciado, o ponto genérico 𝑃 estará no lugar

geométrico se e somente se a distância entre ele e a faculdade e entre ele e a rua a

279

ser monitorada forem iguais, 𝑑(𝑃, 𝐹) = 𝑑(𝑃, 𝑟), resultado obtido no tipo de tarefa 𝑇𝐺𝑆10,

em que caracterizamos a parábola enquanto lugar geométrico. Portanto, podemos

escrever a equação √(𝑥 − 1)2 + (𝑦 − 3)2 = |𝑦 + 1| que, depois de manipulada, passa

a ter a forma de 𝑥2 − 2𝑥 − 8𝑦 + 9 = 0. Esta é a equação que representa o lugar

geométrico da parábola, tendo como o foco o ponto 𝐹(1,3) e como reta diretriz

representada pela equação 𝑦 = −1, figura184.

Figura 184 – Parábola como possibilidades de residência para Charles


𝑸𝟑: A partir dessas possibilidades de localização da moradia de Charles, como

identificar o lugar geométrico desses pontos na geometria do táxi?

Ainda que seja uma geometria desenvolvida no século XIX por Herman

Minkowski a geometria do táxi é desconhecida por muitos. Neste sentido, imaginamos

que para responder esse questionamento deve-se pensar no comportamento de um

táxi que trafega por uma determinada região do espaço urbano.

𝑸𝟒: O que é geometria do táxi?

Como visto na dimensão epistemológica, a geometria do táxi se desenvolveu

no século XIX com o objetivo de responder questões que a geometria euclidiana não

pode responder como, por exemplo, a menor distância entre dois pontos na superfície

terrestre nem sempre será uma reta.

Diante disso, a geometria do táxi difere da geometria euclidiana pela maneira

de medir distâncias. Assim, a distância entre dois pontos na geometria do táxi é a

soma das diferenças absolutas de suas coordenadas.

𝑸𝟒.𝟏: Como medir distâncias entre dois pontos nessa geometria?

280

Considerando a métrica euclidiana e a métrica do táxi, em que mobilizamos o

tipo de tarefa 𝑇𝐺𝑇1, construímos, em um mesmo gráfico, a distância entre dois pontos

nestas duas geometrias.

Na figura185 a distância entre os pontos 𝐴 e 𝐵 pode ser calculada pela métrica

euclidiana por meio da equação 𝑑𝐸 = √( 𝑥𝑏 − 𝑥𝑎)2 + ( 𝑦𝑏 − 𝑦𝑎)2. Agora, na geometria

do táxi, essa distância deve ser calculada por 𝑑𝑇 (𝐴, 𝐵) = |𝑥𝑏 − 𝑥𝑎| + |𝑦𝑏 − 𝑦𝑎|,

considerando as diferenças absolutas entre as coordenadas.

Figura 185 – Métrica do táxi e euclidiana


𝑸𝟒.𝟐: Como medir distâncias entre ponto e reta nesta geometria?

Na dimensão epistemológica, ainda no tipo de tarefa 𝑇𝐺𝑇1 , em que

relacionamos a métrica euclidiana com a métrica do táxi, tratamos de três

possibilidades de se medir a distância entre um ponto e uma reta, utilizando como

base uma circunferência dada nessa geometria. Com isso, encontramos uma

definição análoga à da geometria euclidiana para a geometria do táxi como sendo

𝑑𝑇(𝑂, 𝑟) = |𝑎𝑥0+𝑏𝑦0+𝑐)|

𝑚𝑎𝑥{|𝑎|,|𝑏|} em que 𝑂(𝑥0, 𝑦0) seria o ponto dado, 𝑎𝑥0 + 𝑏𝑦0 + 𝐶 = 0 é a

equação da reta 𝑟 e o denominador é máximo para 𝑎 ≠ 0 e 𝑏 ≠ 0.

Deste modo, podemos descrever o lugar geométrico dos pontos que serão

possíveis moradas de Charles, mobilizando o tipo de tarefa 𝑇𝐺𝑇2 e considerando as

coordenadas da faculdade, 𝐹(1,3), e da rua 𝑦 = − 1, figura 186.

281

Figura 186 – Possíveis lugares para residência de Charles na GT


A equação da parábola na geometria do táxi pode ser obtida igualando as

distâncias de um ponto do lugar geométrico até o foco e deste mesmo ponto até a reta

diretriz. Como exemplo, tomamos o ponto genérico 𝑃(𝑥, 𝑦), o ponto 𝐹(1,3) e a reta

diretriz 𝑦 = −1. Assim, |𝑥 − 1| + |𝑦 − 3| = |𝑦 + 1| que, após ser manipulada, toma a

forma de |𝑥 − 1| + |𝑦 − 3| − |𝑦 + 1| = 0, representando o lugar geométrico dos

pontos no plano que satisfazem as condições impostas pelo problema.

𝐐𝟓: É possível determinar, em uma terceira representação gráfica, esse mesmo

lugar geométrico nessas duas geometrias?

A partir do exposto, podemos comparar as representações gráficas da parábola

na geometria do táxi, 𝐺𝑇, e na geometria analítica, 𝐺𝐴, considerando os dados do

problema de Charles, utilizando as equações da parábola nestas duas geometrias,

em que utilizamos os resultados dos questionamentos anteriores desta atividade e o

software GeoGebra para construir a figura 187.

Figura 187 – Parábola na GT e na GA


282

Finalizando a atividade, elaboramos um mapa de questões, quadro 11, que

nortearam o desenvolvimento do percurso, desde a questão inicial até à construção

da representação gráfica anterior.

Quadro 11 – Localização da casa de Charles

𝑄0: Charles é um profissional de segurança privada e cursa faculdade de segurança pública em uma cidade fictícia. Para efeitos de comodidade, em associar suas atividades acadêmicas e profissionais, procura uma residência que fique a igual distância da faculdade e da rua que irá monitorar. Desta forma, pode ser solicitado aos alunos que resolva tal situação.

𝑄1: Como você representaria as possibilidades de moradia de Charles, considerando um plano

cartesiano em que as coordenadas da faculdade sejam 𝐹 (1, 3) e que a equação da reta para

representar a rua seja 𝑦 = −1?

𝑄2: É possível identificar o lugar geométrico desses pontos, na geometria analítica?

𝑄3: A partir dessas possibilidades de localização da moradia de Charles, como identificar o lugar geométrico desses pontos na geometria do táxi?

𝑄4: O que é geometria do táxi?

𝑄4.1: Como medir distâncias entre dois pontos nessa geometria?

𝑄4.2: Como medir distâncias entre ponto e reta nesta geometria?

Q5: É possível determinar, em uma terceira representação gráfica, esse mesmo lugar geométrico nessas duas geometrias?


4.2.2 O sistema LORAN-C

Esta atividade trata do sistema de navegação hiperbólico, LORAN-C, que utiliza

conhecimentos de hipérbole para a obtenção das linhas de posição (LDP) de modo a

permitir encontrar a posição de uma embarcação. Segundo Bortolotti (2015) este

sistema foi desenvolvido por Alfred Lee Loomis no contexto da segunda guerra

mundial em que, após o ataque a Pearl Harbor pelos japoneses, os EUA viram a

necessidade de identificar a posição do inimigo tanto para o combate quanto para

evitá-lo.

De acordo com este autor, o LORAN (Long Range Navigation), a bordo de um

navio, deve estar conectado a um conjunto de estações transmissoras compostos por

uma transmissora mestra e outras secundárias que emitem ondas de rádio de modo

que seja permitido identificar o transmissor por meio do atraso no sinal de transmissão

devida à diferença de distância das estações ao navio.

Adaptamos esta atividade, deste autor, por entendermos que ela relaciona os

modelos da geometria sintética e geometria analítica, além de mobilizar

conhecimentos de cinemática para determinar distâncias, por meio da equação da

velocidade média que os alunos já aprenderam nesta etapa escolar. Neste sentido, o

aluno poderá recorrer às construções geométricas por régua e compasso ou por

auxílio de algum software.

283

Inicialmente, alguns parâmetros devem ser esclarecidos, como a medida da

velocidade de propagação da onda eletromagnética ser de aproximadamente

3.108𝑚/𝑠 ou 162.000 milhas náuticas por segundo, o fato de que os sistemas de

navegação operarem de forma sincrônica e que o alcance máximo dos sinais das

estações ser de aproximadamente 6400𝐾𝑚 ou 4mil milhas.

𝑸𝟎: Como localizar um navio por onda eletromagnética?

Para responder este questionamento sugerimos que o aluno possa dispor de

quaisquer meios físicos ou eletrônicos para efetuar buscas e assim prosseguir com a

atividade. Desta forma, a única restrição imposta é que o navio seja localizado apenas

por onda eletromagnética, sugerindo a questão 𝑸𝟏.

𝑸𝟏: O que é uma onda eletromagnética?

Em uma busca rápida na internet, os alunos verificarão que as radiações

eletromagnéticas podem ser absorvidas, refletidas, refratadas, difratadas e até mesmo

polarizada, podendo inclusive sofrer interferências. Neste sentido, Maxwell, físico que

sintetizou todo o conhecimento a respeito da eletricidade e do magnetismo, acreditava

que essas radiações poderiam ser entendidas como um tipo de ondas

eletromagnéticas, que se diferenciam uma das outras pela frequência e pelo

comprimento de onda de cada tipo de radiação.

As radiações eletromagnéticas, em termos de comprimento de onda e

frequência, podem ser representadas por meio de um espectro eletromagnético, figura

188.

Figura 188 – Espectro eletromagnético

Fonte: Oliveira et al. (2010, v. 3, p.248)

284

Baseado nesta figura, o aluno poderá perceber que existem um tipo de onda

para cada situação, o que os levaria a se questionar sobre o tipo de onda utilizado

para a comunicação.

𝑸𝟐: Que tipo de onda é utilizada para comunicação com um navio?

Se observarmos o espectro eletromagnético, que compreende todas as ondas

eletromagnéticas com suas respectivas frequências e comprimentos de onda,

poderemos verificar que os aparelhos que emitem as ondas necessárias para a

comunicação com embarcações utilizam ondas de rádio. Neste espectro, essas ondas

são de menor frequência, operando na faixa entre 103𝐻𝑧 e 10

8𝐻𝑧, compreendendo as

ondas de rádio amadores, radiodifusão (rádio e televisão), rede de computadores,

telefonia móvel, comunicação via satélite, radares, entre outras aplicações.

𝑸𝟑: Como se propaga esse tipo de onda?

As ondas eletromagnéticas podem se propagar tanto em nossa atmosfera, e

em meios materiais, quanto no espaço não havendo a necessidade de um meio

material para se propagar. Como por exemplo, a luz do sol que percorre o espaço

entre o Sol e o planeta Terra, onde existe vácuo, para depois entrar em nossa

atmosfera.

𝑸𝟒: Como é feita a comunicação com navios por meio deste tipo de onda?

Para que haja uma comunicação é necessária a presença de um mecanismo

eletrônico denominado transmissor que estará localizada em uma estação

transmissora e de um receptor que poderá ser um computador a bordo de um navio,

podendo inclusive estar situados a quilômetros de distância um do outro. Cada

emissora de rádio ou TV e instituições como a polícia militar e as forças armadas,

possuem faixas de frequências exclusivas de transmissão para que não haja

interferências nas comunicações. Desta forma, conseguimos sintonizar, na mesma

frequência, os aparelhos de rádio e de TV de tal maneira que o sinal seja transmitido

e recebido adequadamente.

𝑸𝟓: Um transmissor é suficiente para localizar um navio?

Na busca em responder à questão 𝑸𝟎, pensamos em como deve ser a

configuração mínima de estações transmissoras para determinar com exatidão a

localização do navio. Neste sentido, começamos nossa investigação pensando na

285

hipótese de haver apenas um transmissor que emita ondas de rádio em todas as

direções. Assim, considerando as características deste tipo de ondas, elaboramos a

questão 𝑸𝟓𝟏.

𝑸𝟓𝟏: Considerando apenas um transmissor 𝑻𝟏 e que o tempo de recepção do

sinal seja de 300 𝝁𝒔, qual a localização do navio?

Considerando apenas um transmissor, depois que a onda eletromagnética é

emitida em todas as direções, construímos uma possível configuração para

determinar a posição do navio, figura 189.

Figura 189 – Distância do transmissor T1 até o navio N


Por meio desta construção, podemos perceber que é impossível localizar o

navio, pois ele poderá estar em qualquer posição da circunferência descrita nesta

figura, a uma distância ∆𝑆 da estação transmissora. Essa distância inclusive pode ser

medida.

𝑸𝟓𝟐: A que distância do transmissor ele se encontra?

A partir da equação da velocidade média 𝑉𝑚 =∆𝑠

∆𝑡, determinamos que a distância

do transmissor até o navio é ∆𝑆 = 𝑉𝑚. ∆𝑡. Assim, ∆𝑆 = 3.108.300.10

−6 e ∆𝑆 = 90000𝑚

ou ∆𝑆 = 90𝐾𝑚. Desta forma, se o tranmissor estiver em terra firme, a embarcação

estará situada em qualquer parte desta circunferência em mar aberto. Portanto, surge

a necessidade de incluir mais uma estação transmissora de modo que consideramos

o questionamento 𝑸𝟔.

𝑸𝟔: Considerando um segundo transmissor 𝑻𝟐 como medir a distância dele até

o navio?

286

Para determinar essa distância o mesmo procedimento, adotado em 𝑄52, pode

ser feito de modo a concluir que o segundo transmissor também está à uma distância

do navio que corresponde à medida do raio de uma circunferência que pode ser

medida daquela mesma maneira.

𝑸𝟔𝟏: Considerando os transmissores 𝑻𝟏 e 𝑻𝟐 é possível localizar o navio?

Dois transmissores podem emitir ondas de maneira sincrônica que serão

captadas por um navio que, por sua vez, está a uma distância diferente de cada um

deles. A distância entre esses transmissores é conhecida e não varia com o tempo de

modo que o sinal de cada transmissor vai levar um tempo diferente para ser captado

pela embarcação. O Navio irá medir essa diferença de tempo e por consequência

determinar a diferença de distância entre ele e os transmissores. Contudo, essa

conclusão é o máximo que pode ser obtido com relação à localização do navio.

𝑸𝟔𝟐: Há outros pontos no mapa que fornecem a mesma diferença de tempo de

recepção dos sinais?

A partir da resposta anterior, podemos estabelecer uma infinidade de pontos

nos quais poderiam se encontrar um navio, porém ainda não será possível determinar

sua localização de maneira exata. Desta forma, considerando a diferença de tempo

de recepção do sinal dos dois transmissores e as relações cinemáticas estabelecidas

na atividade, podemos afirmar da existência destes pontos, pois suponhamos que o

sinal do transmissor 𝑇1 tenha levado um tempo 𝑡 para ser percebido e o sinal do

transmissor 𝑇2 tenha levado um tempo 𝑡 + ∆𝑡. Como a velocidade da onda

eletromagnética é uma constante conhecida, podemos obter as seguintes

expressões: 𝑣 = 𝑑(𝑇1,𝑁)

𝑡 e 𝑣 =

𝑑(𝑇2,𝑁)

𝑡+∆𝑡 .

Com isso, também podemos escrever que 𝑣𝑡 = 𝑑(𝑇1, 𝑁) e 𝑣𝑡 = 𝑑(𝑇2, 𝑁) − 𝑣∆𝑡

e, após uma manipulação destas duas relações, chegamos à expressão que abarca

todos os pontos por onde o navio poderá estar 𝑑(𝑇2, 𝑁) − 𝑑(𝑇1, 𝑁) = 𝑣∆𝑡. A expressão

do primeiro membro da equação apresenta uma diferença de distâncias e a expressão

do segundo membro da equação é uma constante positiva definida pela multiplicação

da velocidade da onda eletromagnética pelo tempo transcorrido. Em outras palavras,

essa equação é semelhante à que desenvolvemos na geometria sintética no tipo de

tarefa 𝑇𝐺𝑆10 em que caracterizamos a hipérbole como lugar geométrico pela tarefa

𝑡𝐺𝑆103.

287

Construindo uma configuração que represente esta situação, figura 190,

verificamos que a curva característica é uma hipérbole ℎ, com os focos representados

pelos transmissores 𝑇1 e 𝑇2 e, portanto, o navio 𝑁 estará sobre essa hipérbole.

Figura 190 – O navio N sobre a hipérbole h


𝑸𝟔𝟑: É possivel determinar uma equação analítica que descreva as possíveis

localizações do navio?

No modelo da geometria analítica, podemos transportar para um referencial

cartesiano esta figura geométrica, e utilizar sua simetria de modo a construir o gráfico,

considerando as estações 𝑇1 e 𝑇2 como os focos da hipérbole, 𝐹1 e 𝐹2,

respectivamente, figura 191.

Figura 191 – Duas estações e a posição do navio


288

A equação reduzida da hipérbole do tipo 𝑥2

𝑎2−

𝑦2

𝑏2= 1, em que mobilizamos o

tipo de tarefa 𝑇𝐺𝐴5, pela tarefa 𝑡𝐺𝐴53, pode ser determinada utilizando os parâmetros

encontrados anteriormente, como 𝑎 = 𝑣∆𝑡

2 e 𝑐 =

𝐹1𝐹2

2. Portanto, do teorema de

pitágoras obtemos a relação 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 e com isso, podemos escrever 𝑏2 = 𝑐2 − 𝑎2.

Assim, 𝑏2 = (𝐹1𝐹2

2)

2

− (𝑣∆𝑡

2)

2

e, a equação reduzida desta cônica, passa a ter a forma

de 𝑥2

(𝑣∆𝑡

2)

2 − 𝑦2

(𝐹1𝐹2

2)

2

− (𝑣∆𝑡

2)

2= 1.

É possível determinar essa equação uma vez que a distância entre os

transmissores, localizados nos focos da hipérbole, é conhecida e a distância entre os

vértices desta cônica é constante e igual a 𝑣∆𝑡. Portanto, essa equação representa o

lugar geométrico por onde o navio deve estar.

𝑸𝟔𝟒: Se o receptor do navio registrar um intervalo de tempo entre os sinais dos

transmissores de 300𝝁𝒔 em qual ou quais pontos o navio pode estar?

Consideramos as circunferências centralizadas em 𝑇1 e 𝑇2 espaçadas entre si

em intervalos de 100𝜇𝑠 e considerando a velocidade de propagação da onda de rádio

ser 300.000 𝐾𝑚/𝑠, pela equação da velocidade média, conseguimos determinar o raio

de cada uma delas, ou seja, fazendo 𝑉𝑚 =∆𝑠

∆𝑡. Assim, 300000.100.10

−6𝐾𝑚 = ∆𝑆 e,

portanto, ∆𝑆 = 30𝐾𝑚. Neste sentido, apresentamos esta configuração na figura 192.

Figura 192 – Ondas de rádio dos transmissores T1 e T2


289

Por meio desta configuração, verificamos que essa diferença de tempo, produz

4 sinais que se intersectam na figura, no entanto podem ser infinitos os pontos

interseções, pois estão sobre o lugar geométrico da hipérbole construída.

𝑸𝟔𝟓: A que distância dos transmissores o navio deve estar?

Verificamos ainda que, se o navio estiver a 60 Km de 𝑻𝟏, estará a 150 𝐾𝑚 de

𝑻𝟐 e se estiver a 90 km de 𝑻𝟏, estará a 180 𝐾𝑚 de 𝑻𝟐. Este fato se repete para o outro

ramo da hipérbole. Portanto, o fator constante da hipérbole mede 90 𝑘𝑚.

𝑸𝟔𝟔: Como determinar a equação desta hipérbole?

Considerando um referencial cartesiano de tal maneira que as coordenadas de

𝑻𝟏 (−90, 0) e as coordenadas de 𝑻𝟐(90, 0), podemos apresentar a equação reduzida

da hipérbole, novamente mobilizando a tarefa 𝑡𝐺𝐴53, centralizada em (0, 0) e, como

visto em 𝑄63, a partir da simetria do gráfico apresentado na figura 193.

Figura 193 – Equação reduzida da hipérbole pela diferença de tempo entre T1 e T2


Por meio desse gráfico, identificamos os coeficientes 𝑎 = 45𝐾𝑚 e 𝑐 = 90𝐾𝑚,

de modo a poder escrever a equação da hipérbole. 𝑥2

452 −

𝑦2

902−45

2 = 1. No entanto,

ainda não é possível identificar a posição do navio, sugerindo inserir mais uma estação

transmissora.

𝑸𝟕: Inserindo um transmissor 𝑻𝟑 como determinar sua distância até o navio?

Até este momento, não foi possível determinar com exatidão a localização do

navio, mas apenas inferir que sua localização deve ser um dos ramos da hipérbole

290

com focos nos transmissores 𝑇1 e 𝑇2. Neste sentido, devemos acrescentar mais um

transmissor de modo a poder avançar na busca da resposta de 𝑄0. Assim, inserindo

um transmissor 𝑇3 podemos determinar sua distância até o navio 𝑁 pelo mesmo

procedimento adotado em 𝑄52, sendo conhecida a velocidade de propagação da onda

e o tempo de recepção do sinal pelo navio.

𝑸𝟕𝟏: É possível construir uma equação que relacione 𝑻𝟏 e 𝑻𝟑 ou 𝑻𝟐 e 𝑻𝟑?

Agora com três estações 𝑇1, 𝑇2 e 𝑇3, é possivel estabelecer as equações

cinemáticas, como em 𝑄62, que relacione estas estações e determinar duas equações

de hipérboles. A primeira foi definida com as estações 𝑇1 e 𝑇2 e a segunda poderá ser

entre 𝑇1 e 𝑇3 ou 𝑇2 e 𝑇3, haja vista que o navio receberá o sinal com uma diferença de

tempo, pois os transmissores estão a uma distância diferente do navio.

Se relacionarmos 𝑇1 e 𝑇3, por exemplo, podemos construir a equação da

hipérbole, tendo seus focos na posição destes transmissores, como sendo

representada pela equação 𝑑(𝑇3, 𝑁) − 𝑑(𝑇1, 𝑁) = 𝑣∆𝑡1.

𝑸𝟕𝟐: De posse das equações de 𝑸𝟔𝟐 e 𝑸𝟕𝟏, é possível localizar o navio?

O procedimento realizado para os pares de transmissores 𝑇1 e 𝑇2 e 𝑇1 e 𝑇3

permitem encontrar duas equações analíticas que representam duas hipérboles que

possuem um foco em comum. Como apresentado anteriormente, os sinais emitidos

por esses transmissores são sincrônicos e um computador consegue determinar a

posição do navio pela interseção destas duas hipérboles, instantaneamente. No

entanto, pode haver mais de uma interseção nesta configuração, surgindo então o

questionamento 𝑄73.

𝑸𝟕𝟑: Em qual dos ramos dessas hipérboles se encontrará o navio?

A hipérbole é a cônica que determina um padrão, para encontrar a posição do

navio, que foi denominado por de Linhas de Posição – LDP. Portanto, com apenas

uma hipérbole há uma infinidade de pontos pelos quais o navio pode ser encontrado.

Já com duas hipérboles, essa infinidade de pontos diminui para alguns pontos,

acarretando, no entanto, duas ambiguidades, uma temporal e outra posicional devido

à simetria desta cônica. Neste sentido, é possível resolver a ambiguidade temporal

estabelecendo um atraso na emissão do sinal em que a estação mestra, como

291

exemplo 𝑇1, envia um sinal e somente depois de receber esse sinal a estação 𝑇2 ou

secundária emitirá o dela. Porém não resolve o problema da ambiguidade posicional.

𝑸𝟕𝟒: Qual a localização do navio?

Estes procedimentos são realizados por um computador determinando a

posição do navio pela interseção das duas hipérboles construídas. Esta posição, por

sua vez, pode ser determinada mobilizando o tipo de tarefa 𝑇𝐺𝐴2 em que, de posse

das equações das duas hipérboles envolvidas no problema é possível estudar suas

interseções.

Assim, podemos concluir a atividade, afirmando que são necessários no

mínimo três transmissores para localizar o navio com exatidão, podendo ocorrer,

portanto configurações com mais transmissores. Com três transmissores

apresentamos um possível formato para a situação, figura 194.

Figura 194 – Interseção entre duas hipérboles no sistema LORAN


Nesta figura são apresentados três transmissores, 𝐸1, 𝐸2 e 𝑀, formando, por

meio de ondas de rádio, duas hipérboles com um foco em comum, em que M

representa o transmissor localizado na estação mestra e os outros dois estão sobre

as estações secundárias. De acordo com Bortolotti (2015) a diferença de tempo para

a percepção dos sinais dos transmissores não pode ser muito pequena, nem

tampouco pode um transmissor estar muito próximo do navio para que não atrapalhe

na precisão em localizá-lo.

Para esta atividade, apresentamos o quadro 12 que sintetiza o conjunto de

questões levantadas e que traçaram o caminho a ser percorrido para sua execução.

292

Quadro 12 – Mapa de questões para a descoberta da localização do navio

𝑄0: Como localizar um navio por onda eletromagnética?

𝑄1: O que é uma onda eletromagnética?

𝑄2: Que tipo de onda é utilizada para comunicação com um navio?

𝑄3: Como se propaga esse tipo de onda?

𝑄4: Como é feita a comunicação com navios por meio deste tipo de onda?

𝑄5: Um transmissor é suficiente para localizar um navio?

𝑄51: Considerando apenas um transmissor 𝑇1 e que o tempo de recepção do sinal seja de 300 𝜇𝑠, qual a localização do navio?

𝑄52: A que distância do transmissor ele se encontra?

𝑄6: Considerando um segundo transmissor 𝑇2 qual seria a distância dele até o navio?

𝑄61: Considerando os transmissores 𝑇1 e 𝑇2 é possivel localizar o navio?

𝑄62: Há outros pontos no mapa que fornecem a mesma diferença de tempo de recepção dos sinais?

𝑄63: É possivel determinar uma equação analítica que descreva as possíveis localizações do navio?

𝑄64: Se o receptor do navio registrar um intervalo de tempo entre os sinais dos transmissores de 300𝜇𝑠 em qual ou quais pontos o navio pode estar?

𝑄65: A que distância dos transmissores o navio deve estar?

𝑄66: Como determinar a equação desta hipérbole?

𝑄7: Inserindo um transmissor 𝑇3 como determinar sua distância até o navio?

𝑄71: É possível construir uma equação que relacione 𝑇1 e 𝑇3 ou 𝑇2 e 𝑇3?

𝑄72: De posse das equações de 𝑄62 e 𝑄71, é possível localizar o navio?

𝑄73: Em qual dos ramos dessas hipérboles se encontrará o navio?

𝑄74: Qual a localização do navio?



Nesta etapa de ensino os alunos já tomaram conhecimentos a respeito de

bissetriz, de mediatriz, de plano cartesiano, de gráficos e já aprenderam a manusear

ferramentas do desenho geométrico como régua, compasso e esquadro. Além disso,

na disciplina de Física, no 2º ano do ensino médio, estudam a ótica geométrica, que

envolve diferentes tipos de espelhos para a formação de imagens e algumas leis como

as de reflexão e estudaram, no ano anterior, as Leis de Kepler para o movimento

planetário.

Para o segundo ano elaboramos duas Atividades de Estudo e Investigação

sendo que na primeira os alunos serão impelidos a construir um telescópio refletor de

tal maneira a discutir conhecimentos acerca da parábola e da hipérbole, por meio de

suas propriedades reflexivas. Já a segunda, envolve conhecimentos relacionados à

elipse e as posições do planeta Terra no Afélio e no Periélio.

4.3.1 O Telescópio Refletor

O primeiro telescópio que tomamos conhecimento, segundo Eves (2011), foi

desenvolvido por Galileu e presenteado ao Doge de Veneza que logo percebeu sua

293

aplicação em questões paramilitares. Contudo, esses telescópios utilizavam o

princípio da refração, em que a luz do objeto muda de um meio para o outro de acordo

com as propriedades das lentes. Em 2009, comemoramos 400 anos das primeiras

observações.

Paralelamente ao desenvolvimento dos telescópios refratores, foram criados e

aperfeiçoados os telescópios refletores, pois era possível à época construir espelhos

com a objetiva maior do que a lente objetiva e corrigir o problema da aberração

cromática que consistia no aparecimento de diversas cores quando a luz era refretada.

Um exemplo deste fenômeno é o da dispersão da luz branca que se decompõe nas

sete cores do arco – íris.

Ao que tudo indica, Newton construiu o primeiro telescópio refletor em 1668

constituído por três elementos ópticos um espelho parabólico, um espelho plano e

uma lupa para ampliar a imagem na posição onde fica o olho do observador. De

acordo com Araújo Sobrinho (2005) a preocupação de Newton não era construir um

telescópio com melhores definições de imagens, mas apresentar a possibilidade em

construir um telescópio por meio de espelhos e corrigir a aberração cromática. Pouco

tempo depois da criação do telescópio newtoniano em 1672, Cassegrain construiu um

telescópio diferente do de Newton, pois em vez do espelho secundário ser plano, ele

utilizou, no lugar, um espelho hiperbólico e com o avanço de tecnologias para a

fabricação de lentes e espelhos, os telescópios também foram aprimorados, no

entanto os refletores tinham uma vantagem em ser fabricados por ser necessário polir

apenas um dos lados do bloco de vidro que também não precisava ser de excelente

qualidade, pois a luz não precisa atravessar o espelho como no caso das lentes.

Pensamos ser importante o estudo das cônicas a partir da construção de

telescópios refletores nesta etapa de ensino, considerando o desenvolvimento

tecnológico deste instrumento de modo a possibilitar a análise das propriedades

reflexivas das cônicas. Pensamos também, que nesta etapa escolar, o aluno já

estudou diferentes tipos de espelhos e as características das imagens fornecidas por

eles na disciplina de física.

Ante ao exposto, desenvolvemos nossa Atividade de Estudo e Investigação a

partir de 𝑸𝟎.

𝑸𝟎: Como construir um telescópio refletor?

294

Este questionamento tem como objetivo conduzir a atividade para tratar das

propriedades reflexivas e não deixar a pergunta suficientemente ampla para nos

conduzir a caminhos que fogem aos nossos propósitos, uma vez que existem vários

tipos de telescópios com suas diferentes maneiras de explicar a observação de um

objeto.

𝑸𝟏: O que são telescópios?

Os telescópios são instrumentos capazes de coletar a luz de objetos distantes,

permitindo estender a capacidade dos olhos humanos em observar objetos, por meio

da ampliação de imagens que podem ser aprimoradas com a utilização de técnicas

que aumentam a qualidade da imagem, sua resolução e sua fiabilidade.

𝑸𝟐: Quais tipos de telescópios existem?

Em uma busca rápida na internet é possível perceber que os telescópios podem

ser de três tipos, os refletores que se utilizam de espelhos para captar a imagem e

ampliá-la por meio da reflexão da luz, os refratores, compostos por lentes nas quais a

luz sofre uma refração, uma mudança de meio, mudando também a velocidade da luz

e provocando um desvio na imagem, e os catadióptricos que combinam a refração e

a reflexão, possuindo então características dos dois anteriores.

𝑸𝟐𝟏: Quais tipos de espelhos são utilizados no dia a dia?

O espelho mais utilizado no dia a dia é o espelho plano, principalmente em

banheiros, closets e em lojas de roupas e acessórios. Além deste, são utilizados

também os espelhos curvos, parabólico ou côncavo, presentes em faróis de carro e

telescópios, os hiperbólicos ou convexos utilizado em telescópios e para vigilância em

estabelecimentos, na entrada de edifícios e em ônibus urbanos e os elípticos,

utilizados em consultórios dentários para que a intensidade da luz não ofusque a visão

do paciente e seja direcionada para o local examinado pelo dentista.

Na figura 195, apresentamos os espelhos parabólico e hiperbólico em que no

primeiro, os raios de luz provenientes de objetos distantes que incidem paralelamente

ao eixo de simetria 𝐹𝑉 reflete no espelho e passa pelo foco, convergindo os raios

luminosos, enquanto no segundo, estes mesmos raios são refletidos de tal maneira

que os seus prolongamentos dos raios luminosos passem pelo foco, divergindo os

raios refletidos.

295

Figura 195 – Espelhos parabólico e hiperbólico

Fonte: Oliveira et al. (2010, v. 2, p. 357)

𝑸𝟐𝟐: No caso de telescópios refletores que tipo de espelho usar?

Destes três espelhos mencionados, precisamos de um que tenha a propriedade

de convergir os raios luminosos para um ponto, buscando a imagem que está a

alguma distância considerável. Neste sentido, o espelho plano não seria uma opção

uma vez que sua característica é de ter a imagem igual ao objeto. Já o espelho

convexo, os raios luminosos espalham quando nele são incididos e o espelho elíptico

é fechado de modo que os objetos que estão a uma distância considerada não é

possível captar.

Desta forma, a opção seria o espelho parabólico em que os raios de luz

provenientes de objetos a uma distância considerável e que incidem paralelamente

ao eixo do espelho é refletido para um ponto, aumentando nesse ponto a intensidade

luminosa.

𝑸𝟐𝟑: Como se forma a imagem em um espelho parabólico?

Na figura 196, apresentamos a formação da imagem 𝐼 de um objeto distante 𝑂,

formada por meio das caracteríticas deste espelho que são: raio luminoso que incide

no espelho parabólico paralelamente ao eixo de simetria 𝐹𝑉 reflete passando pelo

foco, raio luminoso que que incide no espelho parabólico reflete paralelamente ao eixo

𝐹𝑉 e raio luminoso que incide no vertice do espelho reflete, formando com o eixo de

simetria deste espelho um ângulo igual ao de incidência. Apenas dois destes raios,

quando se intersectam são suficientes para determinar a posição da imagem.

296

Figura 196 – Formação de imagens em espelhos parabólicos de objetos distantes

Fonte: Oliveira et al. (2010, v.2, p. 357)

𝑸𝟐𝟒: Qual justificativa matemática para afirmar que os raios de luz que incide

paralelamente no espelho parabólico, obrigatoriamente devem passar pelo

foco?

Esta justificativa matemática foi apresentada em nosso MER por meio do tipo

de tarefa 𝑇𝐺𝑠9, em que por meio da tarefa 𝑡𝐺𝑠91 justificamos o comportamento dos raios

luminosos em espelhos parabólicos, baseado no teorema de Poncelet.

Como consequência deste teorema, foi demonstrado também, nesta mesma

tarefa, que um feixe de luz que incide paralelamente ao eixo de simetria de um refletor

em um formato de paraboloide de revolução, é refletido e converge para o foco.

𝑸𝟑: Como se forma a imagem?

A imagem de um objeto a uma distância considerável do instrumento será

formada pela interseção dos raios luminosos refletidos e, por consequência a imagem

será invertida em relação ao objeto que está sendo visto. Neste sentido, a figura 189,

apresentada em 𝑸𝟐𝟑 mostrou como fica esta configuração entre objeto, imagem e

espelho parabólico.

𝑸𝟑𝟏: Em que posição no telescópio deve ficar o olho humano para ver a imagem?

O telescópio de Newton como é conhecido o telescópio mais simples tem uma

abertura de tal maneira a ficar 90º com o eixo de simetria do espelho parabólico, em

uma posição denominada de ocular da mira de observação onde deve ser colocada

297

uma lupa para ampliar a imagem. Na figura 197, esta posição está representada pelo

focalizador.

Figura 197 – Telescópio Newtoniano

Fonte: Cunha (2017, p. 189)

𝑸𝟑𝟐: A partir da posição do olho humano qual outro elemento ótico deve ser

inserido para projetar a imagem nessa posição?

Como o olho humano fica na posição perpendicular ao eixo de simetria do

espelho parabólico é necessário a inserção de outro elemento ótico que não cause

deformação na imagem, de tal maneira que seja colocado antes do foco deste espelho

para que a imagem seja focalizada na abertura ocular do telescópio. Neste sentido, o

espelho plano deve ser colocado fazendo um ângulo de 45º com o eixo do espelho

parabólico para projetar a imagem na direção e posição desejada.

𝑸𝟑𝟑: Quais materiais e ferramentas usar para a confecção de um telescópio com

esses dois espelhos?

Em uma busca na internet é possível perceber que existem lojas especializadas

que vendem kits de espelhos já prontos para serem instalados, sendo necessária

apenas a escolha das dimensões dos espelhos com base nas especificações do tubo

de PVC em que serão instalados. Estes kits são de grande ajuda, pois confeccionar

os espelhos para moldá-los, de acordo com os interesses da atividade, seria uma

tarefa difícil e exigiria a habilidade e as ferramentas de um profissional. O tripé em que

se apoiará o telescópio também pode ser adquirido em lojas especializadas ou pode

ser usado algum suporte de câmeras filmadoras.

As ferramentas necessárias para a confecção do telescópio são furadeira e

parafusadeira, serra tico-tico, serra de corte para madeira, ferro e alumínio, e brocas

serra-copos, além de esquadro e trena para medir. Apresentamos no anexo E um

298

exemplo, para algumas dimensões definidas por Cunha (2017, p. 189), no entanto

outras medidas podem ser consideradas, dependendo da escolha dos estudantes na

atividade.

De posse dessas informações teóricas, até aqui levantadas, a respeito das

características dos espelhos os alunos poderão proceder na construção do telescópio

conhecido por “Telescópio de Newton”.

𝑸𝟒: Existe outro espelho que pode ser inserido no telescópio além do espelho

plano?

Navegando na internet, será possível perceber que outros elementos ópticos

podem ser inseridos, no entanto, em se tratando de telescópios refletores, pode ser

inserido, no lugar do espelho plano, o espelho hiperbólico, de tal maneira que a

observação seja feita de modo semelhante à de uma luneta e não como o Newtoniano,

perpendicular ao tubo do telescópio. Esse dispositivo é denominado de “Telescópio

tipo Cassegrain”, figura 198.

Figura 198 – Telescópio de Cassegrain

Fonte: Lima (2013, p. 83, apud COSMOBRAIN, 2013)

Segundo Tonin e Gazzoni (2003), Cassegrain aperfeiçoou o telescópio de

Newton, mantendo o espelho parabólico como primário e substituindo o espelho

plano, secundário, por um espelho hiperbólico de tal maneira a coincidir seus eixos e

coincidir também o foco do espelho parabólico com um dos focos do espelho

hiperbólico, como na figura anterior. Essas, observações de curvatura e foco do

espelho são informadas nas especificações destes objetos apresentadas pelo

fornecedor.

𝑸𝟓: Qual a função do espelho hiperbólico?

299

A partir dessa configuração, os raios de luz que são refletidos pelo espelho

parabólico são direcionados para foco desta cônica, por meio da propriedade reflexiva

discutida anteriormente. Como o foco da parábola coincide com um dos focos

hipérbole, esses raios luminosos são refletidos e seguem em direção ao outro foco da

hipérbole no qual é posto um orifício para que a luz passe por ele e chegue a uma

lente ocular capaz de corrigir a trajetória da luz para chegar aos olhos do observador.

𝑸𝟔 Qual justificativa matemática pode ser apresentada para explicar o

comportamento dos raios refletidos no espelho hiperbólico?

Esta justificativa foi apresentada pelo tipo de tarefa 𝑇𝐺𝑠9, em que, por meio da

tarefa 𝑡𝐺𝑠92, demonstramos que o raio de luz que incide numa superfície espelhada

hiperbólica, direcionada a um de seus focos, é refletido passando pelo outro foco.

De posse destas constatações teóricas, percebemos que são dois os tipos de

telescópios refletores, o de Newton, que utiliza propriedades reflexivas do espelho

plano e parabólico, e o de Cassegrain que utiliza propriedades reflexivas do espelho

parabólico e hiperbólico.

Com isso, apresentamos no quadro 13, os questionamentos para nortear a

atividade.

Quadro 13 – Mapa de questões para construir um telescópio refletor

𝑄0: Como construir um telescópio refletor?

𝑄1: O que são telescópios?

𝑄2: Quais tipos de telescópios existem?

𝑄21: Quais tipos de espelhos são utilizados no dia a dia?

𝑄22: No caso de telescópios refletores que tipo de espelho usar? 𝑄23: Como se forma a imagem em um espelho parabólico?

𝑄24: Qual justificativa matemática para afirmar que os raios de luz que incide paralelamente no espelho parabólico, obrigatoriamente devem passar pelo foco?

𝑄3: Como se forma a imagem?

𝑄31: Em que posição no telescópio deve ficar o olho humano para ver a imagem?

𝑄32: A partir da posição do olho humano qual outro elemento óptico deve ser inserido para projetar a imagem nessa posição?

𝑄4: Existe outro espelho que pode ser inserido no telescópio além do espelho plano?

𝑄5: Qual a função do espelho hiperbólico?

𝑄6: Qual justificativa matemática pode ser apresentada para explicar o comportamento dos raios refletidos no espelho hiperbólico?


4.3.2 Determinando a posição do planeta terra

A análise da dimensão epistemológica das cônicas nos permitiu perceber que

a elipse foi usada por Kepler para explicar o movimento planetário, representando uma

300

aplicação das cônicas muitos séculos depois de seu desenvolvimento pelos antigos.

Nesta explicação, o planeta Terra descreve uma trajetória elíptica ao redor do sol que,

por sua vez, encontra-se em um dos focos desta cônica como descrito na primeira lei

de Kepler.

Esta atividade de estudo e investigação foi baseada em Esquef e Ribeiro (2012)

e modificada de acordo com os objetivos desta pesquisa, em que propomos um estudo

da elipse envolvendo os modelos da geometria sintética e da geometria analítica de

tal maneira que construímos nossa 𝑄0.

𝑸𝟎: Qual a excentricidade do planeta Terra em função do periélio e do afélio?

A princípio, este questionamento fará com que os alunos busquem por

quaisquer meios, físicos ou digitais para entender a respeito do movimento planetário.

Nestas buscas inclusive, procurarão esclarecer alguns termos que não estejam

familiarizados.

𝑸𝟏: O que são Afélio e Periélio?

Este questionamento pode ser respondido por meio de buscas simples na

internet ou por algum livro de física básica do primeiro ano do ensino médio. Assim,

apoiamos em Oliveira et al. (2010, v.1) para afirmar que o afélio é o ponto da órbita

de maior distância entre o Sol e a Terra, medindo 152100000Km e que o periélio é o

ponto, desta mesma órbita, mais próximo ao sol, distando dele147100000Km.

𝑸𝟐: Como representar o movimento da terra em sua órbita, considerando esses

dois pontos?

De posse do conhecimento de elipse e das posições do Afélio e do Periélio, é

possível construir uma figura geométrica, considerando também os focos desta cônica

como na figura 199 que está fora de escala.

301

Figura 199 – Configuração da órbita da terra


Nesta figura os pontos 𝐴 e 𝑃 representam a posição do afélio e do periélio,

respectivamente, estando o sol posicionado em 𝐹1. Se o sol estivesse em 𝐹2

deveriamos trocar as posições do afélio com a do periélio.

𝑸𝟑: O que é necessário para determinarmos a posição do planeta terra nestas

condições?

Para determinarmos a posição do planeta terra será necessário o uso de

coordenadas e, portanto, o uso de um plano cartesiano, relacionando o modelo da

geometria sintética com o modelo da geometria analítica. Assim, construímos um

gráfico que permitirá obter uma equação para elipse em função do afélio 𝐴 e do periélio

𝑃, de modo que o eixo de simetria maior da elipse contenha os focos e as posições

do Afélio e do Periélio, sobre o eixo 𝑥 e o eixo y passe pelo foco 𝐹1, com 𝐶(𝑥′𝑐, 𝑦′𝑐) o

centro da órbita planetária. Além disso, construímos outro sistema de coordenadas

𝑥′𝐶𝑦′, fazendo coincidir o eixo das abscissas 𝑥 com o eixo das abscissas 𝑥’ (Figura

200).

302

Figura 200 – Gráfico que representa a órbita da Terra


A partir do gráfico desta figura, percebemos que qualquer ponto na trajetória

elíptica terá a mesma ordenada, 𝑦 = 𝑦′, nos dois referenciais 𝑥′𝐶𝑦′ e 𝑥𝐹1𝑦 e terá as

abscissas relacionadas por 𝑥 = 𝑥′ + 𝑐. Com isso, podemos escrever a equação

reduzida da elipse, 𝑥′2

𝑎2+

𝑦′2

𝑏2= 1, considerando o sistema 𝑥′𝐶𝑦′ que, ao passar para o

sistema 𝑥𝐹1𝑦, terá a forma (𝑥−𝑐)2

𝑎2+

(𝑦)2

𝑏2= 1. Assim, relacionamos as organizações 𝑇𝐺𝐴4

e 𝑇𝐺𝐴5 do nosso MER, na geometria analítica, determinamos uma equação que

representa uma elipse nesta configuração, tomando por 𝑎 e 𝑏 a medida do semieixo

maior e menor da elipse, respectivamente.

𝑸𝟒: Em função do Afélio e do Periélio, como seria a equação desta órbita?

Com base nesta mesma figura podemos obter algumas informações quanto

aos parâmetros da elipse em que 𝐴 + 𝑃 = 2𝑎 e 𝑃 + 2𝑐 = 𝐴, permitindo encontrar 𝑎 e

𝑐 em função do afélio e do periélio. Com isso, escrevemos 𝑎 = 𝐴+𝑃

2 e 𝑐 =

𝐴−𝑃

2 e pela

relação pitagórica 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2, obtemos (𝐴+𝑃

2)

2

= (𝐴−𝑃

2)

2

+ 𝑏2 que expandimos e

manipulamos, de modo a obtermos 𝑏2 = 𝐴. 𝑃. Esta informação permitirá reescrever a

equação da elipse como sendo (𝑥−

𝐴−𝑃

2)

2

(𝐴+𝑃

2)

2 + 𝑦2

𝐴.𝑃= 1 explicitando-a em termos de Afélio

e Periélio.

𝑸𝟓: É possível determinar a excentricidade da elipse com esses parâmetros?

303

Na dimensão econômico-institucional, mais precisamente na análise dos livros

didáticos, a excentricidade de uma cônica era obtida por meio dos elementos figurais

da elipse, como as relações pitagóricas que podem ser obtidas por meio das medidas

dos semieixos menor e maior da elipse e da distância focal.

Esses elementos figurais também foram identificados em nosso MER por meio

do tipo de tarefa 𝑇𝐺𝐴7 que tratou da excentricidade das cônicas por meio da expressão

𝑒 = 𝑐

𝑎 . Portanto, a partir do que apresentamos anteriormente a excentricidade poderá

ser reescrita em função do afélio e do periélio, 𝑒 = 𝐴−𝑃

2𝐴+𝑃

2

que simplificando fica 𝑒 = 𝐴−𝑃

𝐴+𝑃.

𝑸𝟔: o que aconteceria com a configuração da elipse se os focos se aproximarem

ao ponto de 𝑨 = 𝑷?

Analisando a expressão 𝑒 = 𝐴−𝑃

𝐴+𝑃, podemos inferir que se a distância do afélio e

do periélio se igualarem, a elipse vai se tornando cada vez mais circular, tendo como

limite o valor para excentricidade com 𝐴 = 𝑃 e então 𝑒 = 0. Além disso, a expressão

da elipse, (𝑥−

𝐴−𝑃

2)

2

(𝐴+𝑃

2)

2 + 𝑦2

𝐴.𝑃= 1, passa a ter a forma de

𝑥2

𝐴2+

𝑦2

𝐴2= 1 que representa uma

equação da circunferência de raio igual a 𝐴. A circunferência portanto, é uma elipse

degenerada de excentricidade igual a zero.

𝑸𝟕: O que aconteceria com a configuração da elipse se 𝑨 ≫ 𝑷?

Se analisarmos a mesma expressão, 𝑒 = 𝐴−𝑃

𝐴+𝑃, com a condição de que A ≫ P a

elipse vai se achatanto e se aproximando de um segmento de reta. No caso extremo

em que 𝑒 =𝐴

𝐴 a excentricidade se tornará próxima de 𝑒 = 1 e que é justamente o

número que representa a excentricidade de uma parábola.

Para ilustrar o que foi analisado em 𝑄6 e 𝑄7 apresentamos a figura 201 para

representar diferentes valores para excentricidade no intervalo 0 ≤ 𝑒 < 1.

304

Figura 201 – Elipse com diferentes valores de excentricidade

Fonte: Oliveira et al. (2010, v.1, p. 339)

Nesta figura, identificamos que o primeiro valor de excentricidade 𝑒 = 0

representa uma circunferência e na medida em que esses valores, para a

excentricidade, vão aumentando a figura geométrica se transforma em diferentes

elipses até se aproximar de um segmento de reta com 𝑒 próximo de 1.

𝑸𝟕: A partir das medidas do afélio e do periélio, qual deve ser a excentricidade

da órbita do planeta terra?

De posse da expressão 𝑒 = 𝐴−𝑃

𝐴+𝑃 o aluno será capaz de substituir as medidas

do afélio e do periélio, obtidas em 𝑄1. Assim, escrevemos 𝑒 = 152100000−147100000

152100000+147100000 ,

podendo determinar a excentricidade da órbita terrestre fazendo, 𝑒 =5000000

299200000 e,

portanto, 𝑒 = 0,0167112299.

Esse número mostra o quão uma elipse, que representa a trajetória do planeta

terra em torno do sol, se aproxima de uma circunferência, pois a excentricidade é

muito próxima de zero.

Com base nesta atividade, sintetizamos no quadro 14 um mapa de questões

para determinar a posição e a excentricidade do planeta terra, considerando os pontos

Afélio e Periélio.

Quadro 14 – Mapa de questões para determinar a excentricidade do planeta terra

𝑄0: Qual a excentricidade do planeta Terra em função do periélio e do afélio?

𝑄1: O que são Afélio e Periélio?

𝑄2: Como representar o movimento da terra em sua órbita, considerando esses dois pontos?

𝑄3: O que é necessário para determinarmos a posição do planeta terra nestas condições?

𝑄4: Em função do Afélio e do Periélio, como seria a equação desta órbita?

𝑄5: É possivel determinar a excentricidade da elipse com esses parâmetros?

𝑄6: o que aconteceria com a configuração da elipse se os focos se aproximarem ao ponto de 𝐴 = 𝑃?

𝑄7: O que aconteceria com a configuração da elipse se 𝐴 ≫ 𝑃?

𝑄8: A partir das medidas do afélio e do periélio, qual deve ser a excentricidade da órbita do planeta terra?


305


Para o terceiro ano do ensino médio apresentamos duas atividades de estudo

e investigação em que a primeira é relacionada à elipse como órbita de um corpo

celeste ao redor de uma estrela, conhecidos cinco pontos de sua trajetória, e a

segunda, está associada à projeção da sombra de um abajur em uma parede.

4.4.1 Uma cônica por cinco pontos e uma órbita celeste

Esta atividade envolve aspectos ligados às leis de Kepler, conteúdo de Física

do primeiro ano do ensino médio, e relacionados às cônicas como possíveis formas

de trajetória para os corpos celestes. Para tanto, são necessários os conhecimentos

do modelo da geometria sintética, geometria analítica e geometria linear dispostos em

nosso MER.

Consideramos a seguinte situação, adaptada de Pedroso (2015), de que um

grupo de estudantes do ensino médio foi incentivado por seu professor a descrever o

movimento de um corpo celeste em torno de uma estrela conhecidos cinco pontos de

sua trajetória e expressos por suas coordenadas, 𝑃1(−2,2), 𝑃2(−2,0), 𝑃3(1, −3),

𝑃4(3, −3) e 𝑃5(3, −1). Com o objetivo de caracterizar este movimento elaboramos o

seguinte questionamento inicial:

𝑸𝟎: Qual a excentricidade da órbita deste corpo celeste?

Em princípio os alunos não terão condições de afirmar qual a trajetória descrita

por esse corpo de posse apenas das coordenadas destes cinco pontos, pois é sabido

da Física que um corpo celeste pode ter uma órbita parabólica, elíptica ou hiperbólica

e, portanto, a excentricidade ficaria inicialmente indeterminada, pois falta elementos

para fazer tal afirmativa.

O tipo de trajetória que um corpo celeste está submetido pode ser obtido a partir

da análise de como a lei da gravitação universal de Newton e as leis de Kepler atuam

sobre ele, determinando sua velocidade, sua energia e por consequência, sua

excentricidade. Segundo Pequini (2015), o corpo celeste descreverá uma órbita

elíptica quando sua velocidade for menor que a velocidade de escape, será parabólica

quando a velocidade for igual a velocidade de escape e será hiperbólica quando sua

velocidade for maior que a velocidade de escape.

306

𝑸𝟏: Como representar graficamente esses pontos?

O aluno pode dispor de vários recursos para representar esses pontos em um

plano cartesiano, como por exemplo pode ser usado um papel milimetrado ou algum

software. Neste sentido, utilizamos o software GeoGebra para construir a figura 202,

em que inserimos os pontos 𝑃1, 𝑃2, 𝑃3, 𝑃4 e 𝑃5.

Figura 202 – Cinco pontos da trajetória do corpo celeste


Ainda que estes pontos deem uma percepção de que a trajetória deste corpo

seja fechada como uma elipse, é necessário fazer uma análise de todos os pontos

dessa trajetória para determinar o lugar geométrico em que se encontram e, a partir

daí, caracterizar o movimento.

𝑸𝟐: Qual o lugar geométrico desses cinco pontos?

Pensamos que este questionamento permite desafiar o aluno a analisar a

equação geral do segundo grau em duas variáveis para descrever o lugar geométrico

destes pontos.

Essa equação geral, 𝐴𝑥2 + 𝐵𝑦2 + 𝐶𝑥𝑦 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0, foi objeto de estudo

na dimensão epistemológica em que utilizamos os modelos da geometria analítica e

da geometria linear, por meio dos tipos de tarefas 𝑇𝐺𝐴3, 𝑇𝐺𝐴4 e 𝑇𝐺𝐿1. Assim, a partir da

substituição das coordenadas destes pontos nesta equação, será possível construir

um sistema de equações para determinar o lugar geométrico de todos os pontos e

este lugar geométrico será representado por apenas uma única cônica caso 𝐴 ≠ 0, ou

𝐵 ≠ 0, ou 𝐶 = 0, ou todos esses termos serem diferentes de zero. Assim sendo,

substituímos então:

307

Para 𝑃1(−2,2): 4𝐴 − 4𝐵 + 4𝐶 − 2𝐷 + 2𝐸 + 𝐹 = 0

Para 𝑃2(−2,0): 𝐴 − 3𝐵 + 9𝐶 + 𝐷 − 3𝐸 + 𝐹 = 0

Para 𝑃3(1, −3): 4𝐴 − 2𝐷 + 𝐹 = 0

Para 𝑃4(3, −3): 9𝐴 − 3𝐵 + 𝐶 + 3𝐷 − 𝐸 + 𝐹 = 0

Para 𝑃5(3, −1): 9𝐴 − 9𝐵 + 9𝐶 + 3𝐷 − 3𝐸 + 𝐹 = 0

A partir desta substituição, construímos um sistema linear em que

consideramos 𝐴 ≠ 0 para fazermos 𝑏 =𝐵

𝐴, 𝑐 =

𝐶

𝐴, 𝑑 =

𝐷

𝐴, 𝑒 =

𝐸

𝐴 e 𝑓 =

𝐹

𝐴, modificando o

sistema anterior para:

−4𝑏 + 4𝑐 − 2𝑑 + 2𝑒 + 𝑓 = −4;

−3𝑏 + 9𝑐 + 𝑑 − 3𝑒 + 𝑓 = −1;

0𝑏 + 0𝑐 − 2𝑑 + 0𝑒 + 𝑓 = −4;

−3𝑏 + 𝑐 + 3𝑑 − 𝑒 + 𝑓 = −9;

−9𝑏 + 9𝑐 + 3𝑑 − 3𝑒 + 𝑓 = −9.

Este sistema nos permite construir uma matriz 5𝑥6 da seguinte maneira:

𝐶 =

[ −4 4 −2 2 1 −4−30−3−9

9019

1−233

−30−1−3

1111

−1−4−9−9]

. De posse da matriz 𝐶, utilizaremos a técnica

do escalonamento para encontrar os valores das variáveis 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒 e 𝑓 de modo a

poder determinar uma equação que descreva a órbita deste corpo celeste. Neste

sentido, usaremos as linhas, um, dois, três, quatro e cinco representadas pelos

símbolos 𝐿1, 𝐿2, 𝐿3, 𝐿4 e 𝐿5, respectivamente.

Escalonamos a matriz 𝐶 a partir do seguinte processo:

Substituímos a linha 2 por 4𝐿2 − 3𝐿1, a linha 4 por 4𝐿4 − 3𝐿1 e a linha 5 por

4𝐿5 − 9𝐿1 com o objetivo de zerar os elementos 𝑐12, 𝑐14 e 𝑐15 e encontramos a matriz

308

𝐶 =

[ −4 4 −2 2 1 −40

000

24

0−80

10

−21830

−18

0−10−30

1

11−5

8

−4−24

0 ]

. A partir daí, com o intuito de zerar os

elementos 𝑐42 e 𝑐12substituimos a linha 4 por 𝐿2 + 3𝐿4 e a linha 1 por 6𝐿1 − 𝐿2 e

reescrevemos a matriz anterior por 𝐶 =

[ −24 0 −22 30 5 −32

000

0

2400

0

10−264

30

−180−48

−30

1

14

−5

8−4−64

0 ]

.

Por esse mesmo raciocínio, vamos zerar os elementos 𝑐13, 𝑐23, 𝑐43 e 𝑐53

substituindo 𝐿1 por −𝐿1 + 11𝐿3, 𝐿2 por 𝐿2 + 5𝐿3, 𝐿4 por 𝐿4 + 32𝐿3 e 𝐿5 por 𝐿5 + 15𝐿3,

respectivamente. Assim, a matriz anterior pode ser reescrita com novos elementos

𝐶 =

[

24 0 0 −30 6 1200

00

0

24

00

0

0

−20

0

−18

0−48

−30

6

136

10

−12

−4−192

−60 ]

.

No passo seguinte, dividimos as linhas 𝐿1, 𝐿2 e 𝐿4 por 6, trocamos a linha 4 pela

linha 5 e reescrevemos a matriz novamente, 𝐶 =

[

6 0 0 5 16 200

00

0

6

00

0

0

−20

0

−3

0−30

−8

1

110

6

−2

−4−60

−32]

. Em

seguida, zeramos 𝑐14, 𝑐24 e 𝑐54, substituindo 𝐿1 por 𝐿4 + 6𝐿1, 𝐿2 por 𝐿4 − 10𝐿2 e 𝐿5 por

−8𝐿4 + 30𝐿5, respectivamnete, 𝐶 =

[

36 0 0 0 106 600000

−60000

0−200

00−30

0

01

10100

−40−4−60−480]

.

Pela configuração desta matriz é possível identificarmos os coeficientes 𝑏, 𝑐, 𝑑,

𝑒 e 𝑓, fazendo 100𝑓 = −480 e, portanto 𝑓 = −24

5. Substituindo esse resultado nas

outras equações obtivemos 𝑒 =2

5, 𝑑 = −

2

5, 𝑐 = 1, 𝑏 =

6

5 e encontramos 𝐵 = 6, 𝐶 = 5,

𝐷 = −2, 𝐸 = 2 e 𝐹 = −24, após concluirmos que 𝐴 = 5.

De posse destes resultados, podemos escrever a equação geral da cônica que

representa o lugar geométrico de todos os pontos por onde passará esse corpo

celeste 𝟓𝒙𝟐 + 𝟔𝒙𝒚 + 𝟓𝒚𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟐𝒚 − 𝟐𝟒 = 𝟎, no entanto, observando apenas esta

309

equação, não sabemos de qual cônica estamos tratando, pois apresenta todos os

coeficientes não nulos.

𝑸𝟑: Qual a cônica representada por essa equação?

Ao analisarmos a equação proveniente do escalonamento percebemos que a

cônica possui os parâmetros 𝐴 ≠ 0, 𝐵 ≠ 0 e 𝐶 ≠ 0, indicando possuir um centro.

Levando em conta que esta cônica está rotacionada, pois o parâmetro do termo misto,

𝑥𝑦, não é zero e está transladada uma vez que os termos em primeiro grau também

são diferentes de zero, temos várias possibilidades de identificar a cônica em questão

bem como representá-la em um plano cartesiano. Sendo assim, elaboramos 𝑸𝟒 para

prosseguir a atividade.

𝑸𝟒: Quais as coordenadas do centro desta cônica?

Como os parâmetros 𝐷 e 𝐸 são diferentes de zero significa que esta cônica está

transladada em relação à origem do sistema cartesiano de modo que podemos fazer

uma mudança de variável, 𝑥 = 𝑥0 + 𝑥′ e 𝑦 = 𝑦0 + 𝑦′, e substituir na equação e obter

5(𝑥0 + 𝑥′)2 + 6(𝑥0 + 𝑥′)(𝑦0 + 𝑦′) + 5(𝑦0 + 𝑦

′)2− 2(𝑥0 + 𝑥

′) + 2(𝑦0 + 𝑦′) − 24 = 0.

Para encontrar as coordenadas do centro desta cônica trabalhamos apenas

com os termos em primeiro grau nas variáveis 𝑥’ e 𝑦’ após desenvolvermos a equação

anterior, resolvendo os termos ao quadrado e agrupando os termos semelhantes.

Considerando a variável 𝒙:

Da equação geral, considerando apenas a variável 𝑥, fica apenas a parcela

5( 𝑥0 + 𝑥′)2 + 6(𝑥0 + 𝑥′)(𝑦0 + 𝑦

′) − 2(𝑥0 + 𝑥′) = 0 que, após sofrer um tratamento,

passa a ter a forma 5𝑥02 + 10𝑥0𝑥

′ + 5𝑥 ′2 + 6𝑥0𝑦0 + 6𝑥 ′𝑦0 + 6𝑥 ′𝑦 ′ − 2𝑥0 − 2𝑥 ′ = 0. Desta

expressão os termos em primeiro grau na variável 𝑥′ que nos interessa é a equação

10𝑥0𝑥′ + 6𝑥 ′𝑦0 − 2𝑥 ′ = 0. Tomando 𝑥 ′ = 0, pois 𝑥 ′(10𝑥0 + 6𝑦0 − 2) = 0, podemos

escrever que 𝟏𝟎𝒙𝟎 + 𝟔𝒚𝟎 = 𝟐.

Considerando a variável 𝒚:

Fazendo o mesmo procedimento para a variável 𝑦, deve ser considerada

apenas a parcela 6(𝑥0 + 𝑥′)(𝑦0 + 𝑦

′) + 5(𝑦0 + 𝑦′)

2+ 2(𝑦0 + 𝑦

′) = 0 que desenvolvida

toma a forma 6𝑥0𝑦0 + 6𝑥0𝑦′ + 6𝑥 ′𝑦0 + 6𝑥 ′𝑦 ′ + 5𝑦2 + 10𝑦0𝑦

′ + 5𝑦 ′2 + 2𝑦0 + 2𝑦 ′ = 0.

Desta expressão, consideramos somente os termos em primeiro grau na variável y’

310

responsáveis pela translação nesta direção. Assim, 6𝑥0𝑦′ + 10𝑦0𝑦

′ + 2𝑦 ′ = 0 e

tomando 𝑦 ′ = 0, pois 𝑦 ′(6𝑥0 + 10𝑦0 + 2) = 0 e então 𝟔𝒙𝟎 + 𝟏𝟎𝒚𝟎 = −𝟐.

A partir dessas equações construímos um sistema { 𝟏𝟎𝒙𝟎 + 𝟔𝒚𝟎 = 𝟐𝟔𝒙𝟎 + 𝟏𝟎𝒚𝟎 = −𝟐

que nos

fornece como resultado as coordenadas do centro desta cônica como sendo 𝑂(1

2, −

1

2).

𝑸𝟓: Qual a equação reduzida desta cônica?

Consideramos essas coordenadas do ponto 𝑂’ para reescrever a equação geral

5(1

2+ 𝑥′)2 + 6(

1

2+ 𝑥′)(𝑦 ′ −

1

2) + 5 (𝑦 ′ −

1

2)

2

− 2(1

2+ 𝑥 ′) + 2(𝑦 ′ −

1

2) − 24 = 0 que, após

ser desenvolvida e agrupado os termos semelhantes, pode ser reescrita na forma

5𝑥 ′2 + 6𝑥 ′𝑦 ′ + 5𝑦 ′2 = 25. Portanto, eliminamos os termos responsáveis pela translação

e reescrevemos a equação nas coordenadas 𝑥’ e 𝑦’, no entanto, ainda existe um termo

misto que é responsável pela rotação da cônica.

Esta parte mista pode ser eliminada tanto pelo modelo da geometria analítica,

a partir do tipo de tarefa 𝑇𝐺𝐴4, quanto pelo modelo da geometria linear, pelo tipo de

tarefa 𝑇𝐺𝐿1. No entanto, por economia processual, utilizaremos o modelo da geometria

linear, por meio da técnica da diagonalização, nos possibilitando encontrar uma

equação reduzida da cônica nas variáveis 𝑥’’ e 𝑦’’.

Tomamos a matriz desta cônica, 𝑀 = [5 33 5

], e identificamos o polinômio

característico, 𝑝(𝑡) = 𝑑𝑒𝑡 [5− 𝑡 3

3 5− 𝑡]. Assim, pelo cálculo deste determinante,

obtemos a expressão 𝑝(𝑡) = 𝑡2 − 10𝑡 + 16 que fornece como autovalores as soluções

𝑡 ′ = 8 e 𝑡 ′′ = 2. Assim, a equação nas novas variáveis, 𝑥′′ e 𝑦′′ será 8𝑥 ′′2 + 2𝑦 ′′2 = 25,

concluindo que a cônica que descreve o lugar geométrico destes pontos é uma elipse

expressa na forma reduzida pode escrita por 𝑥′′2

25

8

+ 𝑦′′2

25

2

= 1.

𝑸𝟔: Quais são as coordenadas dos focos e dos vértices da elipse na forma

reduzida?

Por esse questionamento, os alunos serão impelidos a obter a relação

pitagórica que pode ser obtida relacionando os elementos figurais da elipse a partir do

triângulo retângulo formado pelos eixos maior e menor da elipse com a distância focal,

311

da mesma maneira que fizemos na Atividade de Estudo e Investigação 4.3.2, do

segundo ano do ensino médio.

A relação pitagórica, 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2, para este caso tem os valores de 𝑎 = √25

2 e

de 𝑏 = √25

8 . Portanto, 𝑐2 =

25

2−

25

8 que fornece como resultado 𝑐 = √

75

8 e as

coordenadas do foco da elipse nesta posição será 𝐹1′′ (0, √

75

8) e 𝐹2

′′ (0, −√75

8) e os

vértices terão como coordenadas 𝐴1 (0, √25

2), 𝐴2 (0, −√

25

2), 𝐵1 (√

25

8, 0) e

𝐵2 (−√25

8,0) apresentadas na figura 203.

Figura 203 – Posição dos focos da elipse


𝑸𝟕: Quais são as coordenadas dos focos da elipse na posição original?

Para responder esse questionamento é necessário que o aluno percorra o

caminho inverso ao que foi tomado. Primeiro nós fizemos uma translação para depois

fazermos a rotação e encontrar e equação reduzida da elipse. Agora, vamos fazer

uma rotação para encontrar os pontos nas coordenadas 𝑥’ e 𝑦’ e depois faremos uma

translação para, finalmente encontrarmos a posição de 𝐹1 e 𝐹2, voltando à posição

original desta figura geométrica.

Tomando o modelo da geometria analítica e as relações trigonométricas que

lhes são próprias para o estudo das cônicas apresentado na dimensão epistemológica

pelo tipo de tarefa 𝑇𝐺𝐴4 deve ser observado que, quando 𝐴 = 𝐶, na equação geral das

312

cônicas significa que cos2𝜃 = 0 e, portanto, 𝜃 =𝜋

4, identificando que o ângulo de

rotação é de 45º.

Esta rotação permite que consideremos as equações {𝑥 ′ = 𝑥 ′′𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑦′′𝑠𝑒𝑛𝜃

𝑦 ′ = 𝑥 ′′𝑠𝑒𝑛𝜃 + 𝑦′′𝑐𝑜𝑠𝜃 e

as coordenadas de 𝐹1′′ (0, √

75

8) e 𝐹2

′′ (0, −√75

8) bem como do ângulo de 45º, uma vez

que 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑐𝑜𝑠𝜃 = √2

2.

Considerando as coordenadas de 𝐹1′′, as equações da rotação podem ser

reescritas por

{

𝑥 ′ =

√2

2(0−√

75

8)

𝑦 ′ =√2

2(0+√

75

8)

, determinando as coordenadas de 𝐹1′ como sendo

𝐹1′ (−

√75

4,√75

4).

Podemos substituir também as coordenadas 𝐹2′′ nas equações da rotação

{

𝑥 ′ =

√2

2(0 +√

75

8)

𝑦 ′ =√2

2(0−√

75

8)

e determinar as coordenadas do foco 𝐹2′ como sendo

𝐹2′ (√75

4, −

√75

4).

Agora, para encontrar as coordenadas dos focos da elipse original é preciso

considerar a translação que foi realizada e para fazer o caminho inverso, utilizando as

equações da translação, 𝑥 = 𝑥0 + 𝑥′ e 𝑦 = 𝑦0 + 𝑦′.

Como o centro da cônica tem coordenadas 𝑂 (1

2, −

1

2) então podemos

reescrever essas equações considerando coordenadas de 𝐹1′, 𝑥 =1

2−√75

4, obtendo

como resultado 𝑥 = 2−√75

4 e 𝑦 = −

1

2+

√75

4 e, então 𝑦 =

−2+√75

4.

Já para encontrar as coordenadas do foco 𝐹2 deve ser substituído nas

equações da translação as coordenadas de 𝐹2′, 𝑥 =1

2+√75

4, obtendo como resultado

𝑥 = 2+√75

4 e 𝑦 = −

1

2−√75

4 que resulta em 𝑦 =

−2−√75

4.

313

Para concluir, recorrendo à primeira lei de Kepler que diz que as órbitas

descritas por planetas em torno do sol (estrela) são representadas por elipses, onde

o sol ocupa um dos focos, podemos afirmar que a posição da estrela para esta órbita

elíptica deve ser o ponto 𝐹1 (2−√75

4,−2+√75

4) ou o ponto 𝐹2 (

2+√75

4,−2−√75

4).

𝑸𝟖: Como representar, em um mesmo gráfico, as três configurações desta

elipse?

Para ter uma melhor precisão da trajetória deste corpo celeste em torno da

estrela os alunos podem dispor de algum software e das três equações da elipse

encontrada, 5𝑥2 + 6𝑥𝑦 + 5𝑦2 − 2𝑥 + 2𝑦 − 24 = 0, 5𝑥′2 + 6𝑥′𝑦′ + 5𝑦′2 − 25 = 0 e

𝑥′′2

25

8

+ 𝑦′′2

25

2

= 1.

Para construir a figura 204, inserimos essas equações no campo de entrada do

software GeoGebra de modo a termos a percepção da elipse após sofrer translação

e a rotação apresentada.

Figura 204 – Elipse original, transladada e rotacionada


Nesta figura 𝑒1 simboliza a elipse original, 𝑒2 corresponde a elipse 𝑒1 após sofrer

uma translação e 𝑒3 representa a elipse 𝑒2 após sofrer uma rotação.

𝑸𝟗: Como calcular a excentricidade da órbita deste corpo celeste?

Independentemente das transformações geométricas ocorridas, a

excentricidade da órbita deste corpo é a mesma em quaisquer posições desta elipse

no plano cartesiano. Portanto, podemos obter a excentricidade desta cônica utilizando

314

a relação geométrica 𝑒 =𝑐

𝑎 que, após substituir os valores de 𝑐 e de 𝑎, pode ser

reescrita como 𝑒 =√

75

8

√25

2

e obter como resultado 𝑒 = √3

2. Assim, encerramos a atividade

e respondemos o questionamento inicial acerca da excentricidade da órbita deste

corpo e da posição da estrela em questão.

Para sintetizamos o percurso efetuado nesta atividade, apresentamos um mapa

de questões para caracterizar a cônica que passa por esses cinco pontos, quadro 15.

Quadro 15 – Mapa de questões para caracterizar uma cônica por cinco pontos

𝑄0: Qual a excentricidade da órbita deste corpo celeste?

𝑄1: Como representar graficamente esses pontos?

𝑄2: Qual o lugar geométrico desses cinco pontos?

𝑄3: Qual a cônica representada por essa equação?

𝑄4: Qual as coordenadas do centro desta cônica?

𝑄5: Qual a equação reduzida desta cônica?

𝑄6: Quais são as coordenadas dos focos da elipse na forma reduzida?

𝑄7: Quais são as coordenadas dos focos da elipse na posição original?

𝑄8: Como representar, em um mesmo gráfico, as três configurações desta elipse?

𝑄9: Como calcular a excentricidade da órbita deste corpo celeste?


4.4.2 A projeção da sombra de um abajur

Esta atividade, adaptada de Alves Junior (2015), relaciona os modelos da

geometria sintética, projetiva e analítica de modo a caracterizar o tipo de cônica que

surge como projeção da luz de um abajur em uma parede de modo a apresentar uma

equação que defina seu comportamento, a partir das dimensões geométricas deste

móvel, figura 205. Por meio desta figura, são percebidas duas curvas, uma acima e a

outra abaixo do abajur projetadas ao fundo na imagem.

Figura 205 – Projeções da luz de um abajur

Fonte: Alves Junior (2015, p. 51)

315

𝑸𝟎: Como determinar as curvas que são projetadas na parede por um abajur?

Em um primeiro momento, pode ser que venha em mente em dizer que a

projeção representa uma hipérbole, com base apenas ao que fora estudado no

modelo da geometria projetiva, pelo tipo de tarefa 𝑇𝐺𝑃1, em que as cônicas são vistas

como projeções de circunferências, no entanto como o objetivo é desencadear um

processo de estudo e investigação, propomos outras questões que nos conduza para

os objetivos dessa atividade.

𝑸𝟏: Como mostrar o tipo de curva que é projetada?

Este questionamento aparece pelo fato de que, como resposta a questão 𝑸𝟎,

podem surgir algumas afirmações no sentido de dizer que a parábola é a cônica em

questão e que existem duas parábolas, uma com concavidade voltada para cima e a

outra, para baixo, diferenciando-se apenas pela geometria do abajur que possuem

dimensões diferentes para cada base do tronco de cone.

𝑸𝟏.𝟏: Quais são as dimensões geométricas do abajur?

Um caminho possível para mostrar o tipo de curva que é projetada e considerar

a configuração do abajur, figura 206, e nominar algumas de suas dimensões.

Figura 206 – Dimensões do abajur


Nesta figura, o abajur representa um tronco de cone circular, com as medidas

dos raios das bases, maior e menor, representadas por 𝑅 e 𝑟, respectivamente. A

lâmpada 𝐿 é posicionada no eixo central, deste objeto, a uma distância 𝐶 da base

superior e a uma distância 𝑏 da base inferior.

𝑸𝟏.𝟐: Como relacionar a geometria do abajur com a luz que sai da lâmpada?

316

Inicialmente consideramos a parte superior da projeção da figura 206, para

relacionar o ângulo 𝜃 com a abertura deste móvel, obtendo a relação 𝑡𝑎𝑛𝜃 =𝑟

𝑐 para

depois levar essa figura geométrica à um referencial tridimensional.

𝑸𝟐: De que maneira é possível transportar essa figura geométrica para um

sistema de coordenadas cartesianas?

Como o abajur é uma figura espacial, precisamos de um sistema de

coordenadas tridimensional 𝑂𝑋𝑌𝑍 e, para evitar um tratamento laborioso, escolhemos

uma posição, convenientemente neste referencial, figura 207, em que a lâmpada

esteja posicionada na origem deste sistema e que o eixo do tronco de cone coincida

com o eixo 𝑍.

Figura 207 – Parte superior do abajur no sistema tridimensional de coordenadas

Fonte: Alves Junior (2015, p. 52)

Considerando um ponto genérico 𝑃 (𝑥, 𝑦, 𝑧) na borda superior do tronco de cone

e considerando 𝑧 = 𝐴𝑃, altura do ramo superior da figura em relação ao plano 𝑋𝑂𝑌,

podemos obter o raio da circunferência pela relação 𝑂𝐴 = √𝑥2 + 𝑦2. Além disso,

considerando o plano 𝐴𝑂𝐵, obtemos a 𝑡𝑎𝑛𝜃 =𝑃𝐵

𝑃𝐴 que é equivalente à 𝑡𝑎𝑛𝜃 =

𝑟

𝑐. Com

isso, a partir da figura, podemos extrair a relação de que 𝐴𝑂 = 𝑃𝐵 e 𝑃𝐴 = 𝑧 e

escrever 𝑟

𝑐𝑧 = √𝑥2 + 𝑦2.

𝑸𝟑: Como ajustar o tronco de cone no referencial tridimensional com a projeção

da curva na parede?

Observando o abajur e a parede é necessário ajustar a posição do tronco de

cone de modo que o plano 𝑋𝑂𝑍 fique paralelo à parede. A partir daí, consideramos 𝑑

a distância entre a lâmpada e a parede de modo que a equação que descreverá o

317

plano da parede seja 𝑦 = 𝑑, obtendo então o sistema de equações: {𝑟

𝑐𝑧 = √𝑥2 + 𝑦2

𝑦 = 𝑑 .

Portanto, a curva procurada é a interseção entre essas duas equações, ou seja,

representa o lugar geométrico dos pontos de coordenadas (𝑥, 𝑦, 𝑧) que são soluções

deste sistema.

𝑸𝟒: Como obter a equação da curva projetada?

Para obter esta equação devemos resolver esse sistema de equações de modo

a apresentar uma relação representativa da curva estudada. Assim, substituindo 𝑦 por

𝑑 encontramos 𝑟

𝑐𝑧 = √𝑥2 + 𝑑2 que, após receber um tratamento, passa a ter a forma

de 𝑧2

(𝑐𝑑

𝑟)2 −

𝑥2

𝑑2= 1, respondendo à questão 𝑸𝟎. Então a projeção da luz do abajur em

uma parede representa uma cônica denominada de hipérbole que depende da

geometria do abajur e da distância da lâmpada à parede.

Essa abordagem foi feita para o ramo superior da projeção luminosa,

considerando 𝑧 > 0. O mesmo procedimento pode ser feito para o ramo inferior com

𝑧 < 0, acarretando a mudança da equação obtida apenas pelas novas dimensões

geométricas consideradas, trocando 𝑐 por 𝑏 e 𝑟 por 𝑅. Deste modo, aquela equação

da hipérbole toma a forma de 𝑧2

(𝑏𝑑

𝑅)

2 − 𝑥2

𝑑2= 1.

Concluindo, sintetizamos essa atividade apresentando o conjunto de questões

levantadas no quadro 16.

Quadro 16 – Mapa de questões para determinar a curva projetada de um abajur

𝑄0: Como determinar as curvas que são projetadas na parede por um abajur?

𝑄1: Como mostrar o tipo de curva que é projetada?

𝑄1.1: Quais são as dimensões geométricas do abajur?

𝑄1.2: Como relacionar a geometria do abajur com a luz que sai da lâmpada?

𝑄2: De que maneira é possível transportar essa figura geométrica para um sistema de coordenadas cartesianas?

𝑄3: Como ajustar o tronco de cone no referencial tridimensional com a projeção da curva na parede?

𝑄4: Como obter a equação da curva projetada?


No nosso entender, as Atividades de Estudo e Investigação desenvolvidas para

o ensino de cônicas na educação básica permitem que os estudantes mobilizem

conhecimentos de etapas anteriores ao 9º ano do Ensino Fundamental e não apenas

318

conhecimentos de geometria, que se articulam para dar condições de apreensão

destes objetos.

Com isso, ainda que nosso intuito tenha sido de construir um Modelo Didático

de Referência para o ensino de cônicas nesta etapa escolar, percebemos que

diversas propriedades matemáticas foram necessárias para prosseguir nas

atividades, corroborando com o que preconiza a TAD, na dimensão ecológica, em que

os conteúdos não são vistos de maneira isolada, mas articulados em uma cadeia

alimentar, em que cada um é importante para a sobrevivência do outro.

Ressaltamos que as questões, elaboradas em cada atividade, não estão

dispostas de maneira rígida e inflexível, pois outras questões podem surgir quando for

necessário aplicar as atividades com professores ou alunos. Neste sentido, podemos

refinar as atividades e ampliar o seu alcance quanto aos conhecimentos envolvidos.

Ante ao exposto, imaginamos que as características do nosso MDR em termos

de Atividade de Estudo e Investigação tem potencial para construir ou reconstruir

conhecimentos voltados ao ensino e à aprendizagem das cônicas na educação

básica, alcançando o último de nossos objetivos específicos, de maneira que

passamos a apresentar nossas considerações finais.

319

5 CONSIDERAÇÕES FINAIS

Esta investigação foi realizada com o objetivo de identificar quais contribuições

podem emergir do estudo das três dimensões do problema didático e permitir a

construção de um Modelo Didático de Referência que apoie o desenvolvimento de

Atividades de Estudo e Investigação voltadas ao ensino e à aprendizagem das cônicas

na escola básica. Nesta faixa escolar, nos limitamos ao 9º ano do ensino fundamental

e aos três anos do ensino médio.

Ao longo do tempo, em que estivemos fazendo as análises de materiais e

leituras para o desenvolvimento desta tese, percebemos a amplitude das

contribuições que estavam sendo identificadas, de modo que subdividimos este

objetivo, que se tornou geral, em objetivos específicos para buscar um melhor

detalhamento destas contribuições e ser capaz de responder nossa questão de

pesquisa:

Quais contribuições podem emergir do estudo das três dimensões do

problema didático para a construção de um Modelo Didático de Referência

que apoie o desenvolvimento de Atividades de Estudo e Investigação voltadas

ao ensino de cônicas na escola básica?

O estudo da dimensão epistemológica possibilitou alcançar dois dos cinco

objetivos específicos traçados e a compreender os diferentes aspectos em que as

cônicas foram tratadas ao longo da história da matemática.

No primeiro objetivo específico identificamos os saberes e as razões de ser que

propiciaram o desenvolvimento das cônicas. Neste sentido, investigamos na história

as demandas oriundas de cada contexto que levaram à origem e ao desenvolvimento

destes objetos. Desta forma, observamos que as cônicas começaram a ser

desenvolvidas com o intuito de resolver problemas de natureza geométrica como o da

quadratura da parábola, da quadratura do círculo, da duplicação do cubo, da

trissecção do ângulo e o problema de Pappus. Com isso, percebemos a primeira razão

de ser das cônicas.

Neste contexto, os cortes no cone tiveram dois enfoques, o de Arquimedes e o

de Apolônio. Arquimedes, utilizou os cones, retângulo, acutângulo e obtusângulo com

o plano de corte intersectando a geratriz de cone e formando com ela um ângulo de

320

90º, para obter a parábola, elipse e hipérbole, respectivamente. Já no caso de

Apolônio, as cônicas foram unificadas por meio de apenas um cone duplo em que o

plano de corte deve incidir e formar com o eixo do cone diferentes ângulos. Esses

geômetras utilizavam a propriedade symptome para obter relações geométricas das

cônicas de modo a sair do espaço e tratá-las no plano, inclusive por meio desta

propriedade foi possível denominar cada uma das cônicas em que a parábola era vista

por uma aplicação de áreas sem faltas ou excessos, a elipse uma aplicação de áreas

por falta e a hipérbole uma aplicação de áreas por excessos.

Algum tempo depois, com Pappus de Alexandria, identificamos que as cônicas

foram tratadas para resolver o problema da trissecção do ângulo, e, a sistematização

da matemática grega promovida por ele, influenciou gerações em séculos posteriores,

pois a tradução de seus trabalhos, no século XVI, fez surgir o interesse pelas

construções dos gregos, denominados lugares geométricos, contribuindo com

trabalhos de futuros estudiosos como os de La Hire no século XVII que apresentou

uma definição focal para as cônicas. Além disso, o problema de Pappus teve um papel

fundamental na história, pois, por meio dele, Descartes abriu caminho para o

desenvolvimento da geometria analítica.

Outras contribuições vieram dos matemáticos e astrônomos árabes Al-Quhi,

Ibn Sahl e Omar Khayyam. Al-Quhi, no século X, determinou os centros das

circunferências tangente a uma reta dada e um ponto dado e determinou as posições

dos centros das circunferências que são tangentes a outras internamente ou

externamente para tratar a parábola, a elipse e a hipérbole, respectivamente, em que

usou os métodos geométricos elaborados pelos geômetras gregos. Percebemos que

esta abordagem, em um contexto mais atual, as cônicas puderam ser definidas como

o lugar geométrico dos centros das circunferências que se comportam nessas

condições de modo que demonstramos sua equivalência matemática com a definição

focal das cônicas apresentadas segundo La Hire.

Já Ibn Sahl utilizou as cônicas para construir espelhos e lentes e explicar o

comportamento dos raios luminosos de fontes próximas ou solar. Com isso,

identificamos a razão de ser das cônicas neste período que foi estudar o

comportamento da luz.

Omar Khayyam, por sua vez, nos séculos XI e XII, contribuiu para o

desenvolvimento de soluções de equações cúbicas, com coeficientes positivos,

321

apresentando soluções geométricas por meio de cônicas, sendo que das 19 equações

que encontrou, 14 necessitavam de cônicas para serem resolvidas. Neste sentido,

apresentamos uma maneira de resolver um tipo de cúbica pela intersecção entre uma

parábola e uma semicircunferência.

No século XVI, mais precisamente com Kepler identificamos que as cônicas

foram construídas pelos instrumentos de Kepler e a elipse foi descoberta como a curva

que descreve a trajetória dos planetas ao redor do sol. Esta aplicação da geometria

grega no movimento celeste, impulsionou novamente o estudo das cônicas e nos

possibilitou perceber uma razão de ser da elipse que foi a de explicar o movimento

planetário. Além disso, Galileu, mostrou outra razão de ser neste período para a

parábola quando estudou o movimento de esferas em diferentes planos. Atualmente,

as leis de Kepler e a cinemática são estudadas na escola básica na disciplina de física

e com isso, percebemos que as cônicas podem alimentar um estudo de outras áreas

do conhecimento para além da matemática.

Ainda neste século, identificamos que os renascentistas tiveram a preocupação

de compreender aspectos ligados à profundidade e a tridimensionalidade, iniciando o

desenvolvimento da geometria projetiva. Com isso, Desargues pôde apresentar uma

maneira de construir representações de cônicas como projeções de circunferências.

Desta forma, foi possível perceber que a geometria projetiva se importa com a maneira

em que vemos os objetos, ao passo que a geometria sintética se preocupa com as

medidas das formas planas e espaciais. Assim, identificamos uma razão desta

geometria devida à preocupação com a perspectiva para a representação de objetos.

O advento da geometria analítica, entre outros aspectos, permitiu superar

algumas limitações da geometria sintética, pois novas técnicas foram necessárias

para resolver problemas que inicialmente eram puramente geométricos, constituindo

uma razão de ser desta geometria. O problema de Pappus, por exemplo, teve solução

a partir de equações de cônicas com Descartes. Assim, as cônicas passaram a ser

abordados por meio de equações e gráficos, em que os entes geométricos passaram

a ser descritos com o uso de coordenadas.

Percebemos também que nos séculos XVI e XVII, a geometria sintética,

geometria analítica e geometria projetiva coexistiam, não surgindo apenas trabalhos

de natureza teórica, mas também de natureza prática, como os de Van Schooten, que

construiu instrumentos para traçar as cônicas no plano. Este conhecimento, por sua

322

vez, foi utilizado pela necessidade em construir relógios, lentes ou artefatos para fins

comerciais e neste sentido, identificamos, outra razão de ser para esses objetos

matemáticos.

No século XIX, verificamos que houve uma busca em caracterizar as cônicas

pela abordagem de Dandelin, Quételet e Morton que consiste na inserção de esferas

no cone de tal maneira que permita obter as relações geométricas das cônicas e a

mostrar que podemos partir de um estudo das cônicas no espaço, pelos cortes entre

o plano e o cone, e determinar suas relações geométricas no plano, possibilitando

estudá-las de forma sistemática e articuladas. Além disso, essa abordagem permitiu

unificar o estudo destes objetos, considerando a relação de excentricidade, em que

analisamos os intervalos de atuação de cada cônica, utilizando apenas fatores

geométricos. Permitiu ainda, relacionar a definição das cônicas por sua excentricidade

com o raio polar das cônicas e relacionar a geometria sintética com a geometria

analítica para obter as equações cartesianas que descrevem os lugares geométricos.

Ainda neste século, identificamos o desenvolvimento de uma geometria não

euclidiana pela necessidade de responder questões que a geometria analítica não

respondia, relativas ao deslocamento que fazemos, no trânsito, em nossas atividades

diárias. Esta geometria foi denominada por geometria do táxi e permite trabalhar com

situações reais, considerando os aspectos urbanos de uma cidade. Neste sentido, se

diferencia da geometria euclidiana por meio da métrica em que as equações e os

gráficos, relativos às cônicas, passaram a ter outra forma, respeitando a métrica

considerada.

Para além dessas geometrias, verificamos que o desenvolvimento da Álgebra,

neste século, se deu entre outros aspectos pelas contribuições de Cayley e Sylvester,

integrando a linguagem de matrizes e determinantes à geometria analítica. A

abordagem de cônicas, a partir desses preceitos, foi denominada de geometria linear

e complementa o estudo das cônicas na geometria analítica, tornando a solução

menos custosa por meio da técnica da diagonalização.

A partir do desenvolvimento do objetivo anterior, explicitamos nosso MER,

identificando as diferentes geometrias em que as cônicas estão inseridas, em termos

praxeológicos. Assim, alcançamos nosso segundo objetivo específico, apresentando

um estudo para a geometria sintética, geometria analítica, geometria linear, geometria

do táxi e geometria projetiva.

323

Na geometria sintética identificamos doze tipos de tarefas para estudar as

cônicas em que construímos representações de acordo com Arquimedes, Apolônio,

Al-Quhi, Kepler, Van Schooten e por régua e compasso. Além disso, apresentamos

uma solução geométrica de uma cúbica por meio de cônicas, segundo Khayyam,

justificamos o comportamento dos raios luminosos em espelhos cônicos,

determinamos as relações das cônicas enquanto lugar geométrico e relacionamos os

cortes feitos em um cone por um plano com as relações de lugar geométrico das

cônicas e com a definição de excentricidade.

Na situação que envolveu a construção de cônicas segundo Al-Quhi

apresentamos uma demonstração das relações de lugar geométrico por meio de

tangências de circunferências, mostrando que o enfoque dado ele pode ser entendido

como lugar geométrico dos centros das circunferências que tangenciam a reta diretriz

e passam pelo foco, quando tratamos de parábola. Quando passar por um ponto e

tangenciar internamente outra circunferência quando tratamos de elipse e quando

passar por um ponto e tangenciar externamente outra circunferência quando tratamos

de hipérbole.

O estudo das cônicas nesta geometria foi complementado com o Modelo

Didático de Referência e permitiu identificar uma OMR constituída pela aglutinação de

quatro OML. A primeira OML é relativa aos cortes no cone pelo plano segundo

Arquimedes e Apolônio por meio da tecnologia referente à semelhança de triângulos

e de propriedades de triângulo retângulo inscrito em um semicírculo. A segunda OML

diz respeito as construções de representações das cônicas por meio da dobradura de

papel, pelo software GeoGebra com as ferramentas “rastro” e “L.G” e da parábola pelo

método de Kepler e pelo parabológrafo. Estas construções têm em comum a

tecnologia relativa às propriedades de mediatriz de segmento.

A terceira OML é relativa à abordagem das cônicas como sendo os centros das

circunferências que satisfazem certas condições e a construção da parábola por régua

e compasso, tendo como tecnologia as propriedades de tangência de circunferências.

Já a quarta e última OML é referente às cônicas pela abordagem de Dandelin,

Quételet e Morton que trataram, estes objetos, a partir dos cortes de um cone por um

plano separadamente por sua definição focal e de forma unificada pela excentricidade

em que utilizam como tecnologia as propriedades de tangência às esferas.

324

Identificamos ainda que o teorema de Dandelin promove uma articulação no

domínio da geometria sintética quando parte dos cortes no cone, a partir do espaço,

para obter as relações das cônicas no plano. Além disso, promove uma articulação

entre a geometria sintética com a geometria analítica uma vez que à essas relações

de lugar geométrico podem ser associadas coordenadas cartesianas. Desta maneira,

possibilita que a Organização Matemática Regional se relacione com domínios de

outras geometrias.

Por outro lado, percebemos que construir Organizações Matemáticas Locais,

regionais e globais para o ensino de cônicas em outras geometrias não é uma tarefa

fácil, tendo em vista que as justificativas das técnicas empregadas, para o

cumprimento das tarefas, geralmente são muito mais do que uma, existindo, portanto,

muito mais do que uma tecnologia. Além disso, essas tecnologias podem estar

inseridas em diferentes campos da matemática, entrelaçadas e articuladas para

sustentar a existência das cônicas enquanto objeto de ensino.

Na geometria analítica, identificamos sete tipos de tarefas em que

apresentamos uma solução para a duplicação do cubo, resolvemos equações cúbicas

por meio das cônicas, obtivemos as equações canônicas das cônicas, a partir de

gráficos e da definição das cônicas na geometria sintética, a equação geral das

cônicas em caracterizamos cada uma delas pela análise dos coeficientes da equação

geral do segundo grau em duas variáveis. Obtivemos também, as equações reduzidas

a partir da definição de excentricidade e uma equação cartesiana para as cônicas a

partir do raio polar obtido na geometria sintética. Desta forma, apresentamos

correlações entre as geometrias sintética e analítica.

Já na geometria linear complementamos o modelo da geometria analítica em

que identificamos um tipo de tarefa que é o de reconhecer e determinar a equação

canônica da cônica a partir da equação geral do segundo grau em duas variáveis. Na

geometria do táxi encontramos também dois tipos de tarefas, uma para relacionar a

métrica do táxi com a métrica euclidiana e a outra para construir gráficos considerando

a métrica desta geometria.

Finalmente, na geometria projetiva as reflexões usadas na geometria sintética

foram trazidas para essa geometria de modo a permitir a construção das cônicas por

325

meio de projeções de circunferências, em que justificamos a existência ou não de

pontos no infinito tanto geometricamente quanto analiticamente.

O estudo desta dimensão permitiu responder alguns questionamentos que

denominamos por 𝑞11, 𝑞12 e 𝑞13 em referência às indagações de Gascón (2011). Neste

sentido, afirmamos que as cônicas, parábola, elipse e hipérbole, são objetos

matemáticos que foram desenvolvidos ao longo da história desde a Grécia antiga até

o século XX por diferentes motivos, de acordo com a matemática em evidência e a

necessidade de cada período histórico. Hoje esses conhecimentos são utilizados no

ensino em diferentes níveis, no entanto, como nesta tese consideramos apenas a

escola básica, construímos um estudo que envolveu as geometrias, sintética,

analítica, linear, do táxi e projetiva que podem ser trabalhadas nessa faixa etária de

ensino.

Por consequência desta necessidade, as razões de ser das cônicas em

questões matemáticas e extra matemáticas também foram diferentes em cada período

de modo que identificamos cinco: resolver problemas de natureza geométrica, estudar

o comportamento da luz, explicar o movimento planetário, explicar o movimento de

corpos próximos à superfície terrestre e resolver questões de natureza prática como

no caso de construções de relógios, espelhos e outros artefatos. Já as diferentes

geometrias desenvolvidas têm suas razões de ser explicadas pela necessidade de

responder questões que outra geometria não foi capaz de responder ou ainda de

complementar alguma geometria já existente, como na situação que envolveu a

geometria linear.

Por meio do estudo desta dimensão, percebemos que estudar as cônicas com

profundidade é antes de tudo conhecer um pouco da história da própria matemática,

de tal maneira que a cada momento de maior evidência de uma ou de outra geometria,

as cônicas sempre foram objetos de investigação com o objetivo de entender qual

seria a maneira de apresentá-las por meio de uma nova ferramenta matemática com

seus axiomas próprios, acarretando, ao longo do tempo, em diferentes aplicações que

perpassam por diferentes áreas do conhecimento, na construção civil, no

automobilismo, na saúde, na computação, na física e na própria matemática.

Para desenvolver o terceiro objetivo específico, em que tratamos da

identificação do modelo que predomina no ensino de cônicas na escola e das

326

limitações e restrições, no que tange às possíveis articulações que podem ser

estabelecidas dentro e fora da matemática, estudamos alguns documentos oficiais a

respeito das cônicas, fizemos um estudo das cônicas ao longo da história do ensino

brasileiro, a partir do colégio Pedro II, no século XIX, passando pelas reformas de

Campos, Capanema, ajuste de 1951, Movimento da Matemática Moderna e

analisamos os livros do PNLD em vigor até 2020, mas que foram distribuídos em 2021

até a implementação do novo ensino médio.

Considerando que a dimensão epistemológica é nuclear e condiciona as outras

duas dimensões e que elas são interligadas entre si, nos foi possível fazer algumas

afirmações acerca do modelo dominante, considerando as indagações propostas, no

sentido de Gascón (2011) para a dimensão econômico-institucional, 𝑞21, 𝑞22 e 𝑞23.

O modelo dominante na escola básica, considera esses objetos na geometria

sintética de maneira incompleta, uma vez que este conteúdo é apresentado

rapidamente pelos cortes do plano, com o objetivo de o aluno reconhecer as formas

das cônicas, para em seguida fazer uso das relações geométricas no plano sem

qualquer conexão com os cortes realizados. As relações apresentadas também são

vistas rapidamente para estudar as cônicas na geometria analítica.

Podemos afirmar que essa passagem da geometria sintética para a geometria

analítica também é feita de maneira abrupta com o objetivo de tomar as relações do

lugar geométrico com um plano cartesiano para obter as equações reduzidas de modo

a trabalhá-las sistematicamente, focando quase que exclusivamente na memorização

destas equações e no seu uso.

Um estudo unificado destes objetos é percebido apenas com os cortes do cone

segundo Apolônio, em que as cônicas são estudadas, de acordo com o ângulo de

incidência do plano de corte com o eixo do cone, e pela equação geral da cônica que

está apresentada apenas no livro de Dante (2016), em uma seção isolada, e, ainda

sim, desconectada do que foi apresentado em suas subseções anteriores.

Percebemos que algumas tarefas encontradas em nosso MER são utilizadas

no modelo dominante, como por exemplo, as tarefas relativas as construções de

cônicas pelo corte segundo Apolônio e pelos instrumentos de Kepler, porém não são

apresentados nenhum discurso tecnológico/teórico para justificar uma relação entre

os cortes feitos no cone com as relações de lugar geométrico usadas pelo método de

327

Kepler, como também não há nenhuma justificativa matemática para as construções,

evidenciando, quase que exclusivamente, o bloco prático/técnico.

Na geometria analítica identificamos, também, algumas tarefas presentes em

nosso MER e que dizem respeito à construção de gráficos e à obtenção das equações

reduzidas, contudo, as atividades que são propostas aos alunos são de natureza

pontuais, com o objetivo de manipular as equações e, de um modo geral, sem

justificativas teóricas.

Verificamos que as desarticulações encontradas no ensino de cônicas na

escola básica pode ser, em parte, superada com o retorno ao currículo da abordagem

de Dandelin, afastado no Movimento da Matemática Moderna, tanto para promover

articulações na geometria sintética, quanto para servir de ponte entre as geometrias

sintética e analítica. Assim, esse retorno, promoverá um melhor equilíbrio ecológico

para a sobrevivência das cônicas enquanto objeto de ensino.

Quanto às limitações, identificamos que as cônicas são estudadas mais

especificamente no terceiro ano do ensino médio e que são reservadas poucas aulas

para o seu ensino, de modo que os alunos não têm a oportunidade de aprofundar

seus estudos, tornando o conhecimento restrito e dificultando sua compreensão.

Pensamos que essas limitações podem ser superadas mediante a distribuição

do ensino de cônicas ao logo da escola básica, a partir do 9º ano do ensino

fundamental e em todo o ensino médio, de tal maneira que elas possam ser vistas em

sua completude e de forma articulada, considerando a matemática para este nível

escolar.

Para o quarto objetivo específico, nos propusemos a construir uma cadeia

alimentar, no sentido da TAD, para apresentar os conhecimentos necessários para o

ensino das cônicas, para apresentar as diferentes maneiras em que as cônicas podem

ser vistas, nessa etapa escolar, e apresentar quais os objetos podem ser alimentados

por elas. Além disso, verificamos as condições de sobrevivência deste conteúdo na

escola considerando os questionamentos feitos na dimensão ecológica, 𝑞31 e 𝑞32.

Verificamos que de certa forma as cônicas já fazem parte de um conjunto de

conteúdos matemáticos que são estudados na escola básica e que existem vários

conhecimentos matemáticos que precisam ser mobilizados para o seu ensino. Neste

sentido, devem ser mobilizados os conhecimentos de ponto, de reta, de plano, de

328

corpos sólidos, de interseção entre corpos sólidos, de semelhanças triangulares, de

propriedades de tangências às esferas e às circunferências. Conhecimentos das

propriedades de mediatriz, de bissetriz, de simetrias, de propriedades algébricas,

trigonométricas e de transformações geométricas.

Devem ser mobilizados também, os conhecimentos de referencial cartesiano e

o transporte de elementos geométricos para este referencial, além da linguagem

própria da geometria analítica. Associado ao plano cartesiano, devem ser mobilizados

as propriedades de matrizes, de determinantes e as operações inerentes à álgebra

linear. Além desses, são necessários os conhecimentos de equações modulares, de

segmentos de retas e de números absolutos no referencial cartesiano, quando se

tratar da geometria do táxi.

Finalmente, são necessárias as propriedades relativas ao paralelismo, ao

perpendicularismo, às propriedades de tangência e de simetrias e as projeções de

circunferência, de retas e de segmentos de retas.

Quanto a alimentar um estudo de outros objetos, os conhecimentos a respeito

das cônicas podem ser mobilizados para estudar as quádricas que são objetos

tridimensionais como os paraboloides, os elipsoides e os hiperboloides, voltadas ao

ensino superior e para explicar fenômenos físicos, bem como algumas aplicações em

diversas áreas do conhecimento.

Para desenvolver o quinto objetivo específico, baseado no estudo destas três

dimensões, construímos um Modelo Didático de Referência, de tal maneira que

desenvolvemos Atividades de Estudo e Investigação para a escola básica, a começar

pelo 9º ano em que foi proposta a construção de representações de uma cônica.

Nesta atividade buscamos construir as cônicas por meio de diferentes métodos,

procurando um encadeamento de ideias, de tal maneira que uma construção leve à

outra, destacando principalmente o bloco tecnológico/teórico, geralmente esquecido

na educação básica. Para tanto, dispomos das construções por Apolônio, pelo método

de Kepler, por régua e compasso, pela dobradura de papel e pelo software GeoGebra.

Esses dois últimos, não encontrados na parte epistemológica, mas na análise de

trabalhos que versam sobre este tema e que tiveram preocupações de natureza

didática com o ensino desses objetos.

329

No 1º ano do ensino médio desenvolvemos duas Atividades de Estudo e

Investigação, em que na primeira tratamos de um estudo da parábola na geometria

analítica e na geometria do táxi e na segunda, estudamos a hipérbole por meio do

sistema LORAN-C. Assim, propomos uma atividade, na qual percebemos ser possível

relacionar a métrica euclidiana com a métrica do táxi, a partir da localização de pontos

no plano cartesiano, apresentando as formas gráficas da parábola nestas duas

geometrias, bem como cada equação representativa.

Para estudar as cônicas alguns conhecimentos de outras áreas devem ser

mobilizados, como os de cinemática e de propagação de ondas, necessários para

analisar o sistema LORAN-C. Assim, propomos a segunda atividade relacionada a

hipérbole, mostrando ser possível articular a geometria sintética com a geometria

analítica. Desta forma, verificamos que houve uma sinergia entre a matemática e a

física para avançar na solução do problema, mostrando que os conhecimentos a

respeito das cônicas embasam o estudo de outras áreas para além da matemática.

Para o 2º ano do ensino médio também elaboramos duas atividades, em que

na primeira tratamos de discutir questões teóricas, relativas à construção de um

telescópio refletor, relacionando conhecimentos matemáticos com conhecimentos

físicos da óptica geométrica. Com isso, percebemos a possiblidade de estudar as

propriedades reflexivas da parábola e da hipérbole na geometria sintética, verificando

a posição dos espelhos primário e secundário de acordo com o comportamento dos

raios luminosos que incidem e refletem em cada um deles.

Na segunda atividade articulamos novamente a física com a matemática por

meio de uma sequência de questões, envolvendo o movimento planetário e pontos

importantes da trajetória elíptica como o Afélio e o Periélio. Assim, verificamos ser

possível estudar a elipse relacionando a geometria sintética, a geometria analítica e a

primeira lei de Kepler. Desta forma, pudemos determinar a posição do planeta Terra

em termos do Afélio e do Periélio e determinamos o valor da excentricidade da órbita

terrestre como sendo bem próxima da de uma circunferência, possibilitando entender

a dificuldade encontrada por Kepler de abandonar a ideia de uma órbita circular por

uma órbita elíptica. Além disso, esta atividade possibilitou mostrar o comportamento

da excentricidade da elipse a partir da análise comparativa das posições destes dois

pontos.

330

No 3º ano do ensino médio preparamos duas Atividades de Estudo e

Investigação para tratar do movimento de um corpo celeste, a partir de cinco pontos

de sua trajetória e para tratar da curva representativa da projeção da sombra de um

abajur em uma parede.

Na primeira, percebemos a possibilidade em trabalhar as cônicas na geometria

sintética, na geometria linear e na geometria analítica, bem como utilizar a primeira lei

de Kepler, pondo em conexão, novamente, a física e a matemática. Assim, pensamos

ser possível que o aluno perceba a necessidade de utilizar a equação geral da cônica

para determinar o movimento deste corpo celeste. Com isso, utilizamos o

escalonamento de matrizes, resolvemos equações, fizemos uso das transformações

geométricas no plano, rotação e translação, e utilizamos a técnica da diagonalização

para identificarmos a elipse como a órbita deste corpo, determinando sua

excentricidade e identificando a posição da estrela que ele orbita.

Na segunda e última atividade, analisamos a sombra de um abajur projetada

em uma parede, em que relacionamos a geometria analítica, geometria sintética e

geometria projetiva, mostrando ser possível caracterizar o tipo de cônica por essa

projeção. Desta forma, identificamos duas hipérboles e explicitamos suas equações

que dependem, exclusivamente da geometria do Abajur.

Como consequência de nosso estudo e do desenvolvimento de nossos

objetivos específicos, sugerimos possíveis alterações no currículo da escola básica

para ensinar as cônicas e justificar, em cada ano, a sua inserção. As análises feitas

na seção 3.2 permitiram perceber que as competências elencadas na BNCC (2019)

são bastante gerais e não trazem as cônicas de forma explícita, já no currículo do

estado de São Paulo as cônicas são vistas no terceiro ano do ensino médio, quase

que exclusivamente na geometria analítica, portanto este conteúdo existe na

instituição porque ela o reconhece, nos permitindo sugerir alterações, ainda que de

forma singela, no currículo que está posto neste Estado e na maneira como as cônicas

estão dispostas nos livros didáticos do PNLD, em vigor até 2020 e distribuídos até a

implementação do novo ensino médio.

Em princípio, consideramos ser necessário que nas formações de professores

o indivíduo seja capaz de articular as disciplinas específicas da matemática em sua

formação com as disciplinas didáticas e pedagógicas. Com isso, será mais autônomo

331

e reflexivo no que consiste a sua prática de tal maneira a não ficar presos a manuais

previamente concebidos.

Percebemos que a parábola, a partir do 9º ano do ensino fundamental, é vista

associada à noção de função quadrática e associada à noção de grandezas

diretamente proporcionais ao quadrado de outra. Já a hipérbole, pelo mesmo motivo,

é associada a noção de grandezas inversamente proporcionais a outras e, ainda que

no 3º ano do ensino médio as cônicas sejam objetos de estudo, o curto intervalo de

tempo para estudá-las, geralmente não é suficiente, não permitindo ao estudante se

familiarizar com as propriedades geométricas que as caracterizam.

Desta forma, para que o ensino de cônicas não fiquem restrito às essas noções

matemáticas sugerimos que a parábola, a elipse e a hipérbole sejam vistas a partir do

9º ano do ensino fundamental, antes da introdução de função, pois neste momento da

vida escolar os alunos já estudam o plano cartesiano, o teorema de Pitágoras, a

mediatriz, a bissetriz, sendo a mobilização destes conhecimentos necessária para

estudar as cônicas enquanto lugar geométrico nas diferentes geometrias elencadas.

No primeiro ano do ensino médio os alunos estudam os números absolutos, as

equações modulares e as funções modulares, de tal maneira que pensamos ser

possível inserir a geometria do táxi que considera aspectos relacionados ao

urbanismo de uma cidade. Neste sentido, como os currículos sempre têm trazido a

preocupação em apresentar questões relacionadas ao cotidiano dos alunos, essa

geometria pode ter um papel importante nesta inserção. Por isso, elaboramos uma

atividade que relaciona a métrica da geometria do táxi com a métrica euclidiana para

trabalharmos com equações e gráficos na geometria analítica e na geometria do táxi

de maneira articulada.

No segundo ano do ensino médio os alunos já aprenderam os conteúdos de

matrizes, de determinantes, equações lineares, de tal maneira que sugerimos que se

insira no currículo ao menos a técnica da análise do determinante para que o

estudante seja capaz de determinar o gênero da cônica mais rapidamente do que

pode ser feito na geometria analítica e de maneira menos custosa.

No terceiro ano sugerimos que se abordem questões relativas à geometria

projetiva de modo a permitir relacionar os modelos da geometria sintética, projetiva e

analítica e a caracterizar o tipo de cônica, para tratar de situações como a apresentada

332

na projeção de uma luz de um abajur na parede. A geometria projetiva pode ser

estudada nesta etapa escolar, uma vez que a base para sua compreensão está na

geometria sintética e analítica vistas em séries anteriores.

Pontuamos que futuras investigações podem ser desenvolvidas, considerando

uma formação de professores ou alunos da escola básica, utilizando como

metodologia a Engenharia Didática no sentido de Barquero e Bosch (2015), dividida

em quatro fases: preliminar, a priori, experimental e a posteriori. Neste sentido, este

trabalho representa as duas primeiras fases, nas quais fizemos um estudo das três

dimensões do problema didático, construímos um MER para a educação básica e

identificamos os fenômenos didáticos relacionados às cônicas. Em seguida, de posse

destes resultados, construímos um MDR para ser aplicado na fase três de

experimentação. Finalmente, na quarta fase será feita a confrontação e validação das

hipóteses iniciais que podem conduzir à formulação de novos problemas e reiniciar o

ciclo.

Evidenciamos, com base na pesquisa realizada, que o MER construído ainda

pode ser ampliado por investigações futuras, com foco no ensino superior,

considerando as contribuições da geometria projetiva e dos diversos teoremas que

dela surgem para tratar as cônicas, considerando a geometria hiperbólica, a geometria

elíptica e a geometria afim que possuem um sistema axiomático distinto da geometria

euclidiana.

Outras Atividades de Estudo e Investigação também podem ser propostas

visando explorar outros aspectos do nosso Modelo Epistemológico de Referência que

não foram tratados em nosso Modelo Didático de Referência, ampliando-o.

A partir das atividades que envolveram órbitas de corpos celestes,

percebemos que pesquisas futuras podem ainda ampliar o nosso MER envolvendo

aplicações matemáticas para explicar, com mais propriedade, como se dão as órbitas

parabólicas, elípticas e hiperbólicas, em termos de velocidade, energia e

excentricidade, bem como mostrar a importância do uso de coordenadas polares

nestes movimentos. Assim, será possível conceber situações problemáticas que

relacionem elementos da matemática e da física.

333

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343

ANEXO A – APOLÔNIO E A EXCENTRICIDADE DAS CÔNICAS

Proposição 236 (ALBUQUERQUE, 2014, p. 17)

345

ANEXO B – A TRISSECÇÃO DO ÂNGULO

Proposição 31 (ALBUQUERQUE, 2014, P. 92)

347

ANEXO C – APOLÔNIO E A ELIPSE POR CINCO PONTOS

Proposição 13 (ALBUQUERQUE, 2014, p. 20)

351

ANEXO D – RESOLUÇÃO DE UMA CÚBICA SEGUNDO KHAYYAM

Resolver geometricamente a cúbica 𝑥3 + 𝑏2𝑥 + 𝑎3 = 𝑐𝑥2 dados os segmentos de reta 𝑎, 𝑏 e 𝑐 (SOUZA, 2015, p. 562).

355

ANEXO E – MATERIAIS PARA A CONFECÇÃO DE UM TELESCÓPIO

Materiais utilizados por Cunha (2017, p. 189):

− Kit de espelhos para telescópio, composto por um espelho esférico ou parabólico,

denominado primário e um espelho plano, secundário. − Kit de oculares (recomenda-

se valores entre 15 e 30 mm) − Lente Barlow 2x e/ou 3x − Tubo de alumínio pintado

de preto fosco internamente com espessura de 1 mm, com diâmetro ligeiramente

superior ao espelho primário. Em nosso caso, um tubo de 220 mm para espelho de

200 mm. − Focalizador para telescópios, com saída padrão de 1,25” ou 2” − Luneta

buscadora − Barra rosqueada M8, para fazer a aranha (As barras têm por padrão 1

metro de comprimento, porém necessitamos pouco Espelho primário Espelho

secundário Focalizador Aranha190 menos que a metade disso). − 3 Parafusos Philips

para madeira, com 5 cm de comprimento. − 15 porcas e arruelas para a barra

rosqueada M8 − Cola de silicone − Cola adesivo instantâneo. − Placas de madeira ou

MDF para o suporte da aranha e do espelho secundário. − Diversos parafusos de

diversos formatos e tamanhos (não há um tipo específico, podem ser adaptados

conforme a necessidade) para o suporte do espelho primário: − Placa de MDF ou

madeira, circular, do mesmo diâmetro do espelho − Placa de MDF ou madeira,

circular, do mesmo diâmetro do tubo do telescópio. − 3 parafusos grandes (diâmetro

de 8 mm com comprimento de 8 cm) com arruelas e porcas borboletas, para fazer o

alinhamento do espelho primário. − 4 molas de 5 cm de comprimento e diâmetro no

qual os parafusos entrem com folga, com grande coeficiente de elasticidade (bem

rígidas) − Pedaço de um tubo de PVC de 200 mm para unir o focalizador com o tubo

de alumínio.

um modelo didÁtico de referÊncia baseado em …

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