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Programacin* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

Sugerencias didcticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Actividades de refuerzo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Actividades de ampliacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Propuesta de evaluacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Solucionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17*Tambin la podrs encontrar en el CD Programacin.

6

5

43

2

1

G U A D I D C T I C A UNIDAD 1

Nmeros reales

C O N T E N I D O

3 E S O

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2/152 Unidad 1 Nmeros reales

Aunque el concepto y el clculo con los nmeros fraccionarios ya se han trabajado en aos anteriores, es en este cursoen el que hay que formalizar un poco ms lo ya trabajado, introduciendo el concepto de nmero racional, e insistiendoen su propiedad definitoria de ser cociente de nmeros enteros.El manejo de la representacin decimal de los racionales y la conversin entre esta y la tradicional forma fraccionariadebe llevarnos de forma natural a reconocer la existencia de nmeros decimales ilimitados que no admiten esta ltimarepresentacin. As podremos introducir la necesidad de definir un nuevo tipo de nmeros, los irracionales, que junto alos racionales conforman el conjunto de los nmeros reales.Es muy importante conseguir que se reconozca la imposibilidad de manejar los nmeros irracionales de forma exacta,lo que nos obliga a introducir los conceptos de aproximacin decimal y de error cometido en la aproximacin. La apli-cacin de estos conceptos en las ciencias aplicadas y aun en la vida cotidiana hace de estas ideas un elemento esencialen el desarrollo del razonamiento numrico.En relacin con el punto anterior, podemos considerar la cuestin de la representacin grfica de los nmeros realescomo puntos en una recta. Muchas ideas importantes tales como la ordenacin de los reales, el valor absoluto o la defi-nicin de intervalos en R se introducen de forma intuitiva a travs de esta ayuda geomtrica.

Fracciones. Nmeros racionales. Fracciones equivalentes. Fraccin irreducible. Expresin decimal de un nmero racional. Necesidad de los nmeros irracionales. Expresin decimal de un nmero irracional. Nmeros reales. Aproximaciones decimales. Valor absoluto de un nmero real. Error absoluto y relativo de una aproximacin. La recta real. Intervalos y semirrectas.

Obtencin de fracciones equivalentes y de la fraccin irre-ducible.

Operaciones con nmeros racionales. Jerarqua de las operaciones. Representacin grfica de los racionales. Cambio entre las representaciones fraccionaria y deci-

mal de un nmero racional. Operaciones con nmeros irracionales mediante sus apro-

ximaciones decimales. Representacin grfica de un irracional. Distintas formas de representar intervalos y semirrectas

en R y cambio entre ellas. Inters por aplicar el sentido comn al uso de las apro-

ximaciones decimales en la resolucin de problemas con-cretos.

Unidad 1 Nmeros reales

CONTENIDOS

rogramacin de aula

OBJETIVOS CRITERIOS

DE EVALUACINCOMPETENCIAS

BSICAS

1. Saber reconocer los nmerosracionales y ser capaces derealizar con ellos las opera-ciones aritmticas bsicas.

1.1. Identificar, relacionar y representar gr-ficamente los nmeros racionales y uti-lizarlos en actividades cotidianas.

1.2. Estimar y calcular expresiones de nme-ros racionales con las operaciones bsi-cas y aplicar correctamente las reglas deprioridad. Matemtica

Interaccin con el mundo fsico Social y ciudadana

Tratamiento de la informaciny competencia digital2. Reconocer la necesidad de losnmeros reales para repre-

sentar la realidad, distin-guiendo entre racionales eirracionales, y entender losconceptos de aproximacinnumrica y de error en dichaaproximacin.

2.1. Distinguir las expresiones decimales

de los nmeros racionales e irraciona-les.2.2. Utilizar convenientemente las aproxi-

maciones decimales de los nmerosreales para realizar los clculos bsicos,estimando el error cometido.

2.3. Reconocer y construir subconjuntos dela recta real (intervalos y semirrectas).

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3/153Nmeros reales Unidad 1

Programacin de aula

ORIENTACIONES METODOLGICAS

1. Conocimientos previosTodo lo tratado desde primaria sobre fracciones. En particular, sus diferentes interpretaciones, como parte de la unidad,como divisin y como operador, y las operaciones bsicas con ellas.

Para las representaciones grficas se necesitan los teoremas de Tales y de Pitgoras.

2. Previsin de dificultadesDado que la primera parte del tema, el clculo con fracciones, ya se ha trabajado en cursos anteriores, hay que inten-tar no caer en la repeticin y evitar que los alumnos pierdan motivacin. Una posible solucin es no dedicar ms que unasesin al repaso de las operaciones con fracciones, posponiendo hasta el final la mayora de las actividades de este tipo.As se consigue llegar antes a los contenidos nuevos y mantener la atencin.

3. Vinculacin con otras reasAunque en las orientaciones dadas en los epgrafes se concreta ms este punto, conviene insistir a los alumnos en la ideade lo fundamental que es el clculo numrico en todos los campos de la ciencia, la tcnica y la sociedad en general.

Al tratar las aproximaciones y errores sera importante tomar ejemplos de las ciencias experimentales y de la tecnologa.

4. Esquema general de la unidadLa unidad comienza con la propiedad funda-

mental de las fracciones que permite recor-dar el concepto de fraccin equivalente y laintroduccin del concepto de nmero racio-nal.

Despus se trata la representacin grfica delos nmeros racionales y las operaciones bsi-cas con fracciones, as como las reglas de

jerarqua que afectan a dichas operaciones.

En el siguiente epgrafe se caracteriza a losracionales a partir de su representacin deci-mal, explicando los procedimientos para pasarde esta a la representacin fraccionaria y vice-

versa. A continuacin se introduce el conceptode nmero irracional como aquel cuya repre-sentacin decimal es ilimitada y no peridica, yse dan distintos ejemplos de estos nmeros.

Una vez introducidos los irracionales, se defi-ne el conjunto de los nmeros reales y el con-cepto de valor absoluto.

La imposibilidad de trabajar de forma exacta con los irracionales lleva al concepto de aproximacin decimal de un nme-ro y a su clasificacin de acuerdo con el error cometido.

El estudio de los reales finaliza con su representacin grfica en la recta real y con la definicin de algunos subconjun-tos importantes de esta, tales como los intervalos y las semirrectas.

5. TemporalizacinSe propone el desarrollo de los contenidos de la unidad en 8 sesiones:1. Fracciones, nmeros racionales y su representacin grfica.2. Operaciones con racionales.3. Expresin decimal y fraccionaria de un nmero racional.4. Nmeros irracionales y reales. Valor absoluto.5. Representacin grfica e intervalo.6. y 7. Actividades de repaso y consolidacin.8. Trabajo en competencias mediante la doble pgina final de la unidad.

En todas las sesiones, la exposicin terica debera ir acompaada de la realizacin de ejemplos y de ejercicios de losque se proponen tanto en los epgrafes como en las pginas finales de actividades.Por supuesto que el contexto de la clase es tambin un factor determinante en cuanto al nmero de sesiones necesa-rias para desarrollar la unidad.

NMEROS REALES

I R R A C I O N A L E S

R A C I O N A L E S ( f r a c c i o n e s

)

Intervalos y semirrectas

Representacin grfica

Operaciones y jerarqua

Expresiones decimales

Aproximacionesdecimales

Errores absolutoy relativo

Fraccionesequivalentese irreducible

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CONTRIBUCIN DE LA UNIDAD A LA ADQUISICIN DE COMPETENCIAS BSICASCompetencia lingstica

Esta competencia se trabaja a lo largo de toda la unidad, ya que la comprensin del texto es bsica para el aprovecha-miento de la misma. En particular, el texto de entrada, los problemas con enunciado contextualizado y las actividadescompetenciales finales desarrollan de forma ms especfica los descriptores recogidos en las subcompetencias comu-nicacin escrita y reflexin sobre el lenguaje .

Competencia matemticaEsta competencia impregna todas las secciones y actividades del libro, por lo que prcticamente se trabajan todas lassubcompetencias y descriptores.

No obstante, al estar dedicada esta unidad a los nmeros reales y sus operaciones, es la subcompetencia uso de ele-mentos y herramientas matemticos la que ms presencia tiene.

Competencia para la interaccin con el mundo fsicoHay a lo largo de la unidad varias referencias a la aplicacin de los contenidos matemticos expuestos a situaciones yproblemas de la vida real.

Competencia social y ciudadanaA travs del tema de entrada a la unidad y de la actividad final asociada se trabaja esta competencia en relacin con elprogreso tecnolgico y cientfico, a travs de la subcompetencia de desarrollo personal y social.

Competencia para el tratamiento de la informacin y competencia digitalLa unidad contiene variadas referencias a la utilizacin de medios tecnolgicos para la bsqueda de informacin y la reso-lucin de actividades interactivas. Se trabajan las subcompetencias de obtencin, transformacin y comunicacin de lainformacin y lo de uso de las herramientas tecnolgicas .

Competencia para aprender a aprenderA partir de las actividades de evaluacin planteadas en las pginas finales de la unidad, particularmente en la seccinde Autoevaluacin, se puede indagar en la adquisicin de esta competencia, especialmente en lo concerniente a lassubcompetencias de conciencia y control de las propias capacidades y de conocimiento del propio proceso de aprendi-zaje.

Otras competencias de carcter transversalAprender a pensar

El proyecto educativo de SM considera importante reforzar el desarrollo de la capacidad de reflexin y el sentido crticodel alumno. La unidad presenta oportunidades en las que las actividades exigen al alumno este ejercicio reflexivo y cr-tico.

En esta unidad se propone un tema de debate en internet en la actividad de Aprende a pensar sobre el uso responsabledel papel en la que, adems de la competencia de interaccin con el mundo fsico , citada explcitamente en la tabla dela pgina siguiente, se trabajan:

En las sugerencias didcticas de los epgrafes y de las actividades se proponen algunos temas de reflexin y debate enrelacin con las actividades sealadas.

COMPETENCIA SUBCOMPETENCIA

Lingstica Comunicacin escrita

Tratamiento de la informaciny competencia digital

Uso de las herramientas tecnolgicasUso tico y responsable de la informacin y las herramientas tecnolgicas

Aprender a aprender Manejo de estrategias para desarrollar las propias capacidades y generarconocimiento

Autonoma e iniciativa personal Desarrollo de la autonoma personal

ogramacin de aula


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Programacin de aula

Nmeros reales Unidad 1

TRATAMIENTO ESPECFICO DE LAS COMPETENCIAS BSICAS EN LA UNIDADA lo largo de la unidad se pueden trabajar diversas competencias bsicas que prescribe el currculo. Para esta unidad,en concreto, sugerimos realizar un trabajo ms intensivo con algunas de ellas, para las que se han seleccionado des-criptores competenciales especficos y actividades concretas de las propuestas en la unidad.

COMPETENCIA1.er nivel de concrecin

SUBCOMPETENCIA2. nivel de concrecin

DESCRIPTOR3.er nivel de concrecin

DESEMPEO4. nivel de concrecin

MatemticaUso de elementos yherramientasmatemticos.

Conocer y utilizar los elementosmatemticos bsicos (distintostipos de nmeros, medidas,smbolos, elementos geomtricos,etc.) en situaciones reales osimuladas de la vida cotidiana.

Conoce los distintos tipos de nmeros y las relacionesentre ellos.

Opera con rigor y precisin con los diferentes tipos denmeros.

Aplica los nmeros reales a la representacin desituacione reales concretas.

Actividades 21, 57 y 113.Pon a prueba tus competencias.

Interaccincon el mundo fsico

Conocimiento yvaloracin deldesarrollo cientfico-

tecnolgico.

Conocer y valorar la aportacin deldesarrollo de la ciencia y latecnologa a la sociedad.

Entiende la necesidad de la normalizacin para elprogreso humano.

Desarrolla tus competencias.

Pon a prueba tus competencias:Aprende a pensar.

Conocimiento delcuerpo humano ydisposicin para unavida saludable.

Desarrollar actitudes de cuidado yrespeto hacia el cuerpo humano,partiendo de su conocimiento.

Se interesa por la composicin de los medicamentos ysu funcin.

Actividad 21. Conoce los indicadores analticos de la salud, su

importancia y su control.

Actividad 57.

Argumentar de manera razonada lasconsecuencias de diferentes modosde vida.

Medio natural ydesarrollo sostenible.

Tener una adecuada percepcin delespacio fsico en el que se

desarrollan la vida y la actividadhumana, y la habilidad parainteractuar con el espaciocircundante.

Conoce la distribucin del agua en el planeta.

Actividad 113.

Reflexiona sobre el problema ecolgico que supone laindustria del papel.

Pon a prueba tus competencias:Aprende a pensar 11.

Socialy ciudadana

Desarrollo personal ysocial.

Conocer y comprender la realidadhistrica y social del mundo y sucarcter evolutivo.

Sita hechos y perodos histricos relevantes para elprogreso cientfico-tcnico.

Desarrolla tus competencias. Entiende la necesidad de la normalizacin para el

progreso humano.

Desarrolla tus competencias.Pon a prueba tus competencias: Aprende a pensar.

Tratamientode la informacin ycompetencia digital

Obtencin,transformacin ycomunicacin de lainformacin.

Buscar y seleccionar informacincon distintas tcnicas segn lafuente o el soporte, valorando sufiabilidad.

Busca en pginas de internet para complementar lainformacin.

Pon a prueba tus competencias: Aprende a pensar.En la red:

Visita la pgina librosvivos.net

Actividades: 7, 15, 25, 38, 45, 51 y 70.Investiga en la red, organiza tus ideas,autoevaluacin.

Uso de lasherramientas

tecnolgicas.

Conocer los diferentes recursostecnolgicos y utilizar los programas

informticos ms comunes.

Profundiza en la comprensin y el manejo de losprogramas informticos ms usuales.

Pon a prueba tus competencias:Reflexiona y deduce.

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EDUCACIN EN VALORESTanto los contenidos de la unidad como las actividades para el trabajo especfico de las competencias que se citan en latabla de la pgina anterior nos permiten desarrollar algunos aspectos relacionados con la educacin en valores :

Educacin medioambiental: actividad 113, aprender a pensar 11. Educacin para la convivencia y en comunicacin: actividades para realizar en grupo que se proponen en las suge-

rencias didcticas.

ATENCIN A LA DIVERSIDADHay que recordar que los ejercicios resueltos y propuestos en el libro de texto estn clasificados por un cdigo de colo-res segn su dificultad: verde, nivel bsico; naranja, nivel medio, y rojo, de alguna dificultad.De esta forma, el profesor podr adaptar el contenido de la unidad bien a las caractersticas particulares de la clase, biena las especficas de cada grupo de alumnos dentro de la misma.Adems, en este proyecto se incluyen los siguientes materiales, que complementan los ofrecidos en el libro del alumno:

Actividades de refuerzo. Una pgina fotocopiable con ejercicios para consolidar lo aprendido. Actividades de ampliacin. Una pgina fotocopiable con ejercicios para complementar y ampliar lo tratado en cada

unidad del libro. Propuesta de evaluacin. Una prueba que cubre los contenidos de la unidad y sirve para comprobar el grado de asi-

milacin y comprensin de los conceptos y procedimientos tratados.

Cuaderno de evaluacin de competencias. En l se propone una prueba por bloque de contenidos que sirve paraevaluar la adquisicin por parte del alumno de la capacidad para aplicar los contenidos matemticos tratados a situa-ciones en contextos reales, en conjuncin con el resto de competencias bsicas.

MATERIALES DIDCTICOS

ogramacin de aula


SM

Repaso de contenidos de cursos anteriores

Cuadernos de matemticas. 2. de ESO: N. 2: Nmeros fraccionarios y decimales. Cuaderno de refuerzo de matemticas: Aprende y aprueba. 3. de ESO.

Unidad 3. Nmeros fraccionarios.Refuerzo y ampliacin de contenidos de este curso

Cuaderno de refuerzo de matemticas: Aprende y aprueba. 3. de ESO. Unidad 1. Nmeros racionales y reales.

Cuadernos de matemticas. 3. de ESO: N. 1: Nmeros reales. Unidad II. Nmeros reales.

Cuaderno de matemticas para la vida. 3. de ESO. Cuaderno de resolucin de problemas I y II.

SMwww.smconectados.net

www.librosvivos.net

Otros

Pgina del proyecto Descartes:www.e-sm.net/3esomatprd01

Nmeros racionales en la pgina de educacin digital a distancia del Ministerio de Educa-cin.www.e-sm.net/3esomatprd02

Buscadores especficos de matemticas como www.e-sm.net/3esomatprd03 (en ingls).

Juegos de domin que contengan fracciones equivalentes. Calculadoras cientficas que incluyan la funcin de clculo con fracciones y las funciones de redondeo a

un nmero dado de decimales. Programas informticos de clculo matemtico como WIRIS que permitan realizar clculos en repre-

sentaciones exacta y aproximada.

O t r o s

m a t e r i a l e s

I n t e r n e t

B i b l i o g r f i c o s

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Sugerencias didcticas


Desarrolla tus competencias

1. Fracciones. Nmeros racionales

ACTIVIDADES POR NIVEL

4. Expresiones fraccionaria y decimalde un nmero racional

5. Nmeros irracionales. Caracterizacindecimal

Para introducir el nmero irracional se recurre a lostamaos normalizados DIN. Se hace una pequea reseahistrica que nos puede servir para reflexionar sobre cmomomentos histricos concretos han producido iniciativasque, aunque en principio locales, tenan una clara vocacinde universalidad, como fue la Revolucin Francesa.

Podemos promover un debate en la clase sobre la necesi-dad de la normalizacin, no solo en el tamao del papel, sinotambin en otros muchos mbitos de la vida cotidiana. Losalumnos pueden proponer ejemplos y discutir las ventajasde la unificacin.

Se puede tambin hablar sobre el papel de las institucio-nes nacionales y supranacionales en la regulacin de dife-rentes campos:

Polticas: ministerios en el caso de la Espaa autonmi-ca, Unin Europea, ONU

Cientficas: IUPAC. Lingsticas: Academia de la Lengua. Deportivas: FIFA, COI

Esto nos indica que, siempre que el tiempo lo permita, apartir de este tema inicial se pueden trabajar las compe-tencias sealadas en la tabla, interaccin con el mundofsico y social y ciudadana.

2

3. Operaciones con nmeros racionales Insistir en la necesidad de igualar los denominadores

para poder sumar y restar.

Valorar el introducir la divisin con la regla de la multi-plicacin en cruz.

Poner ejemplos que ilustren cmo el no respetar lasreglas de jerarqua lleva a resultados errneos.

Comprobar que las calculadoras de los alumnos respe-tan la jerarqua. Llevar alguna que no cumpla esta regla.

21. El ejercicio se puede tomar como base para hacer unabreve reflexin sobre dos temas importantes: la com-posicin de los medicamentos principios activos y exci-pientes y el consumo responsable de los mismos.

A partir del enunciado del ejercicio 24, se puede promo-ver una discusin sobre cul es la distribucin del tiem-po diario ms adecuada, incidiendo sobre todo en elproblema de la falta de suficiente descanso y el exceso detelevisin y ordenador.

Hay que insistir en la imposibilidad de expresar un nme-ro irracional como cociente de enteros. Para los alumnosms avanzados, se propone aqu realizar la demostracinpara algn irracional como, por ejemplo, . 2

Hay que conseguir que los alumnos recuerden lo ya apren-dido en cursos anteriores. Es fundamental que no dudena la hora de calcular fracciones equivalentes a una dada.Todos sabemos que la no simplificacin al realizar ope-

raciones y dar resultados es uno de los fallos sistemti-cos que cometen.

Conviene insistir en la definicin de racional como cocien-te de enteros para poder utilizarla al introducir los irra-cionales.

Bsico 2, 3, 71 a 78, 112

Medio 4 a 6, 113

Alto 85, 119, 121


2. Representacin de nmeros racionales Conviene recordar previamente el teorema de Tales y su

utilidad para dividir un segmento en un nmero dado departes iguales.

Insistir en la correcta utilizacin del material de dibujo:comps, escuadra y cartabn. Quiz sea conveniente repa-sar la representacin de los nmeros decimales.

Para aquellos alumnos ms avanzados conviene insistiren la propiedad de la recta racional de que entre dos pun-tos cualesquiera existen infinitos racionales distintos.

Bsico 9 a 12, 79, 80

Medio 13, 14

Bsico 18 a 20

Medio 21 a 24, 82 a 84, 114, 115

Alto 86, 87, 122


Remarcar la interpretacin de las fracciones como divi-siones indicadas de enteros para as llegar de forma natu-

ral a la expresin decimal de los racionales. Convendra repasar el clculo bsico con nmeros deci-

males, especialmente con aquellos alumnos que pre-senten problemas de base.

Insistir en la deduccin de la expresin de la fraccingeneratriz solo con aquellos alumnos sin problemas debase.

Remarcar que hay que homogeneizar la expresin de losnmeros racionales antes de realizar con ellos las ope-raciones aritmticas combinadas.

Bsico 26 a 28, 88 a 91

Medio 92


Bsico 30 a 33, 93, 94, 97

Medio 34 a 37, 120


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gerencias didcticas


6. Nmeros reales. Valor absoluto

9. Representacin grfica de los nmerosreales

7. Aproximacin decimal de los nmerosreales

Conviene recordar en este punto los diferentes proble-mas que llevan a la ampliacin de los conjuntos numri-cos: la resta en N , la divisin en Z, el clculo de races enQ.

Dependiendo del nivel del grupo, se puede plantear queen R no se resuelven todos los problemas con el ejemplode las races pares de nmeros negativos, dejando as lapuerta abierta a la necesidad de futuras ampliaciones delos nmeros reales. Este tema se puede retomar en launidad 2.

Es importante destacar el concepto de valor absoluto conel de distancia entre el punto que representa a un nme-ro y el cero.

Se puede introducir el valor absoluto de la diferencia dedos nmeros como la distancia entre sus puntos corres-pondientes en la recta (ejercicio 44).

10. Intervalos y semirrectas Insistir en las diferentes formas de expresar un subcon-

junto de R , y en cmo pasar de una a otra.

Organiza tus ideas Como una actividad que sirva para que trabajen el esque-

ma-resumen, los alumnos pueden asignar las activida-des realizadas en la unidad a los distintos contenidospresentados en el resumen. Sera suficiente con queencontraran dos o tres ejemplos de actividades para cadaapartado. De esta forma se les obliga a repasar el tra-bajo realizado y a reflexionar sobre los conceptos y pro-cedimientos adquiridos.

Una segunda actividad de inters puede ser que los alum-nos completen el resumen tanto con otros contenidospresentes en el tema, pero no incluidos en este esquema,como con contenidos de cursos anteriores relacionados,pero no tratados explcitamente en el tema.

Actividades113.

Una vez realizado el ejercicio, habra que hacer notara los alumnos, bien directamente, bien a travs de unadiscusin dirigida entre ellos, la mnima fraccin querepresenta el agua dulce utilizable respecto del volu-

y los hbitos saludables que sirven para controlarlo.Hay que recordar a los alumnos los graves problemasque se estn dando con la cada vez peor alimentacininfantil y juvenil.

Explicar cmo funciona la calculadora (redondeo delnmero en pantalla, truncamiento del nmero interno yfunciones de aproximacin incluidas) puede ayudar a quelos alumnos entiendan y manejen con soltura el proce-dimiento de la aproximacin decimal.

Es importante hacerles ver lo absurdo de manejar nme-ros con muchas cifras sin necesidad.

Bsico 47, 48, 98, 99Medio 49, 50, 101, 103

Alto 104, 105, 118


8. Errores de una aproximacin Aclarar la diferencia entre error absoluto y relativo toman-

do ejemplos de la vida cotidiana. Sealar la utilizacin que en otras materias de tipo cien-

tfico se hace de los conceptos de error aqu estudiados.Remarcar que el error es algo inherente a las medidasexperimentales.

El ejercicio 56 puede ser un buen ejemplo para introdu-cir lo sealado en el punto anterior. La determinacin delongitudes mediante metros y de tiempos a travs deluso de los relojes son tambin situaciones muy cerca-nas a los alumnos, susceptibles de utilizarse para ilus-trar el tema del error experimental. Se les puede motivarpara que busquen otros ejemplos de aparatos de medi-da e investiguen su utilidad y su precisin.

57. A partir del ejercicio se puede promover una discusinsobre qu es el colesterol, su influencia sobre la salud,

Al representar irracionales del tipo raz cuadrada, puedehacerse notar que cualquier entero puede escribirse comosuma de cuatro cuadrados, como mximo .

Para los alumnos ms interesados conviene resaltar laidea de que la recta real es densa, esto es, no deja hue-cos como la recta racional, y a cada punto le correspon-

de un nico nmero real y viceversa.Bsico 39 a 43, 94, 96Medio 44



Bsico 65 a 67, 107, 108Medio 68, 69, 110

Alto 111


Bsico 53, 54, 100Medio 55 a 57, 102

Alto 116, 117


Bsico 59 a 61, 106Medio 62, 63, 109

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Sugerencias didcticas


Pon a prueba tus competenciasAPRENDE A PENSAR:

NO PIERDAS LOS PAPELES!Esta actividad se puede ver como una continuacin del temapropuesto en la entrada de la unidad. Las tres primerasactividades son puramente matemticas, pero a partir dela cuarta, los alumnos deben emplear otras estrategiaspara conseguir los datos necesarios a fin de contestar lasdiferentes preguntas.

Sera muy conveniente plantear la actividad para gruposde tres o cuatro y recordar que necesitarn buscar infor-macin externa y, en algunos momentos, moverse por elaula para conseguir los datos requeridos.

El vdeo que se propone al final puede utilizarse para esti-mular la creatividad del alumnado. Dependiendo de su

men total que se encuentra en el planeta. A partir deaqu es fcil exponer las ideas bsicas sobre el con-sumo responsable del agua y el gran valor que repre-senta su cuidado y preservacin.

Si se dispone de tiempo, se puede debatir sobre lasgrandes diferencias en el consumo per cpita de aguaentre las distintas regiones del mundo, sealando eldespilfarro de este bien escaso que se produce en elmundo de sarrollado.

receptividad y del tiempo disponible, podra sugerrselesque pensaran en alguna aplicacin ms en la lnea de laspropuestas en el vdeo.

REFLEXIONA Y DEDUCE:CONFIGURAR PGINA

Esta actividad sirve para relacionar lo trabajado sobre lasdimensiones del papel con una de las herramientas infor-

mticas ms utilizadas: el procesador de textos. Por ello,es obvio que su realizacin requiere de un aula de ordena-dores, aunque la explicacin inicial se pueda realizar porparte del profesor en un aula con proyector o con pizarradigital.

Se trata de conseguir que los alumnos sepan configurarlas caractersticas, tamao, mrgenes, orientacin, de laspginas virtuales que se utilizan en el procesador y quedespus van a originar las pginas impresas.

En este caso se trata de una actividad individual que requie-re el trabajo y la experimentacin personal del alumno.

CALCULA CON INGENIO:UN ROMPECABEZAS IRRACIONAL

Esta actividad se propone para ser llevada a cabo indivi-dualmente. Tiene un carcter ldico-matemtico e inten-ta estimular la visin espacial de los alumnos.

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ctividades de refuerzo


Ms recursosen tu carpeta

En el CD Banco de actividades se pueden encontrar ms propuestas de actividades de refuerzo.

Unidad 1 Nmeros realesORIENTACIONES METODOLGICAS

No es fcil motivar a los alumnos con carencias para estudiar este tema. Normalmente ya se han enfrentado en nume-rosas ocasiones con el clculo y an no son capaces de desarrollarlo correctamente. Debemos conformarnos con quesean capaces de realizar correctamente los clculos bsicos aplicando bien la jerarqua. Tambin debemos conseguirque entiendan el significado de las aproximaciones. Insistir en las operaciones bsicas con fracciones, sin sobrepasar el nivel de 1. o 2. de ESO (dependiendo del tipo

de alumnos). Facilitar que aprendan a utilizar las reglas de jerarqua proponindoles la elaboracin de una chuleta que puedan uti-

lizar en cualquier momento (al menos durante la primera evaluacin). Utilizar ejemplos prcticos tomados de su entorno, en la lnea del uso tradicional de las fracciones. Intentar que, al menos, asimilen la idea de que no todos los nmeros importantes se pueden escribir como fraccio-

nes, especialmente y las races cuadradas no exactas. Insistir en lo absurdo y trabajoso que resulta emplear nmeros con muchas cifras (las que da la calculadora) y en la

utilidad de aproximar. Conseguir que repasen los clculos y que sean crticos con los resultados obtenidos. Un problema grave de este tipo

de alumnos es que no les importa llegar a la solucin correcta.

1. Cuatro quintos de 30: 24. La mitad de la cuarta parte: . Tres octavos de 32 = 12. Cinco sextos de

2.

3.

4. Irracionales: 1,11223344, y 8,0880888088880 Racionales exactos: 3,25 y 8,2.Racionales peridicos mixtos: 0,235353535 y 4,0444 Racional peridico puro: 12,2323

5.1 2 3

1 6 2 0

2 9 0

3 1 4 7

10

a) b) c) d5

14980

2312 )) e) f) g)

635

35 10

556

12

13

14

16

14

124

= =

12

512

=18

SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS

1. Concurso de clculoSi bien esta actividad es vlida para todos los alumnos, independientemente de su nivel, parece especialmente apro-piada para los que presenten mayor desmotivacin y carencias. Se trata de hacer grupos de 3 4 alumnos y proponer-les una batera de preguntas de aritmtica bsica con naturales, enteros y fracciones. Algunas tendrn que resolverlasmentalmente, y otras, con lpiz y papel, siempre en un tiempo dado. Se pueden establecer rebotes y un sistema depremios: subida de algn punto en la nota, anotaciones de felicitacin en la agenda escolar

2. Midiendo con cabezaSe trata de proponer actividades de medida de diferentes magnitudes para que adquieran mejor los conceptos de apro-

ximacin y de error. Se puede pedir la colaboracin de los departamentos de Fsica y Qumica, Biologa o Tecnologa. Loideal sera centrarse en medidas de longitudes, reas y volmenes (utilizando unidades de diferente precisin, mtricaso no), masa (bsculas de bao y balanzas de laboratorio) y tiempo (relojes de cocina, de pulsera y cronmetros).

ACTIVIDADES DE GRUPO

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P g

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f o

t o c

o p

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ACTIVIDADES de REFUERZO


1. Para calcular una fraccin de una cantidad, basta multiplicar la fraccin por esa cantidad. As, para hallarlos dos tercios de 24 haramos lo siguiente: . Relaciona cada frase con un resul-tado.

2. Al medioda nos hemos comido la mitad de una tortilla de patatas. A la hora de la merienda, Ana hatomado un tercio de la tortilla original, y para cenar, Luis se ha tomado tres cuartas partes del resto. Quporcin de la tortilla queda al final del da?En la figura, la parte blanca representa la porcin de tortilla que queda despus de cada comida.

Fjate que tras el medioda quedar la mitad de la tortilla .

Para saber lo que queda tras la merienda, restamos a ese

medio la tercera parte de lo que haba inicialmente , y por

ltimo tendremos que calcular la cuarta parte de lo que nos

queda multiplicando por un cuarto. Es decir, .

Aplicando las reglas de jerarqua, primero hacemos la ope-

racin del parntesis .

Sustituimos este resultado en la expresin original y hacemos la multiplicacin:

Queda de la tortilla.

3. Aplica las reglas de jerarqua para calcular y simplificar las siguientes expresiones.

4. Observa los ejemplos y completa la siguiente tabla identificando de qu tipo es cada nmero real.

5. Completa el crucigrama redondeando las cantidades a la cifra que te indicamos.Horizontales:1. De Madrid a Barcelona hay 621 kilmetros (a la decena).2. La valla mide de largo 89,7 metros (a la unidad).3. Tengo en la hucha 147,30 (a la unidad).Verticales:

1. Dos litros de aceite cuestan 5,80 (a la unidad). Ms solo que la2. El kilo de jamn pata negra cuesta 29,42 (a la dcima).3. Famoso agente secreto.

0,2353535 RacionalPeridico mixto 8,0880888088880 Irracional1,11222333444 12,232323

8,2 3,254,0444444444

12

13

14

a) b) c) d)27

54

38

103

34

12

53

37

1 25

+ +: e) f) g)1210

3 15

43

13

52

49

16

: 3

124

16

14

1 16 4

124

= =

12

13

36

26

3 26

16

= = =

13

12

23

24 2 243

2 3 83

16 = = =


24

12 18

512Los cuatro quintos de 30

La mitad de la cuarta parteLos tres octavos de 32

Los cinco sextos de un medio

Comida Merienda Cena

10 3162277660= , ...

1 2 3

1

23

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12/15

1. a) La segunda, al ser .

b) Al mezclar habr 9 litros de pintura y 60 de agua,

luego la proporcin es .

2.

3.

4. Irracionales: b y e. Racionales: a, c y d.

5. a) 42,7 cm y 60.b) Radio:E a = 1 mm yE r = 0,23%

ngulo:E a = 1 yE r = 1,7%

6.

Nos aproximamos al valor de , pero sin alcanzarlo.

7.

Representacin grfica

Por defecto Por excesoUnidad 1 2Dcima 1,4 1,5

Centsima 1,41 1,42Milsima 1,414 1,415

Diezmilsima 1,4142 1,4143

2 141421235= , ...

29923283

13

14

1 34

6+ + = = x

x horas

960

320

=

636

16

324

18

= > =

SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS

2

Actividades de ampliacin


Ms recursosen tu carpetaEn elCD Banco de actividades se pueden encontrar ms propuestas de actividades de ampliacin.

Unidad 1 Nmeros realesORIENTACIONES METODOLGICAS

Aparte de proponer problemas de una dificultad superior a los alumnos ms motivados, los contenidos de cursos pos-teriores que se pueden adelantar en este tema son de una importancia y complejidad importantes. Por ejemplo, lacompletitud de la recta real y el concepto de lmite de una sucesin de nmeros reales. Cada profesor debe valorar laconveniencia de tratar estas ideas, pero siempre deber hacerlo desde un punto de vista intuitivo y cualitativo.

1. Concurso de clculoSe trata de hacer grupos de 3 4 alumnos y proponerles una batera de preguntas de aritmtica bsica con natura-les, enteros y fracciones. Algunas tendrn que resolverlas mentalmente, y otras, con lpiz y papel, siempre en untiempo dado. Se pueden establecer rebotes y un sistema de premios: subida de algn punto en la nota, anotacionesde felicitacin en la agenda escolar

2. Medida y errorSe trata de proponer actividades de medida de diferentes magnitudes para que adquieran mejor los conceptos de apro-ximacin y de error. Se puede pedir la colaboracin de los departamentos de Fsica y Qumica, Biologa o Tecnologa.

Lo ideal sera centrarse en medidas de longitudes, reas y volmenes (utilizando unidades de diferente precisin, mtri-cas o no), masa (bsculas de bao y balanzas de laboratorio) y tiempo (relojes de cocina, de pulsera y cronmetros). Adiferencia de lo propuesto para el nivel bsico, aqu deberan disearse experiencias en las que se puedan introduciralgunas herramientas estadsticas para el tratamiento de los errores. Los alumnos deben adquirir la idea de que la repe-ticin de las medidas ayuda a disminuir los errores accidentales, pero no los sistemticos.

3. Busca los agujerosSe propondr a los alumnos que estudien el comportamiento de sucesiones de nmeros racionales cuyo lmite nosea racional. Se trata de que reflexionen sobre que la recta real es completa, a diferencia de la recta racional, en laque hay infinitosagujeros correspondientes a los nmeros irracionales. Conviene que discutan entre ellos el sentidode estas difciles ideas, utilizando para ello la imagen ms intuitiva de los puntos de una recta.

ACTIVIDADES DE GRUPO

a)b)c)d)

a)

b)

c)

d)

Desigualdades Valores absolutos

{ x 1} { x 2} x 1232

{1 x 7} x 4 3{ x 8} { x 0} No se puede.{ 11 x 3} x + 7 4

1 2

1,51,41 2

1,42

1,5

1,41

1,41 2

1,51,4 1,41 1,421,414 1,415

1,3 1,6

Grfica Intervalos

2-1 0 ( , 1] [2,+)1 70 (1, 7)

-8 0 ( , 8] ( 0, +)-11 -3 0 [ 11, 3]

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ACTIVIDADES de AMPLIACIN

P g

i n a

f o

t o c

o p

i a b l e


1. Para decorar una vivienda, un pintor diluye 3 litros de pintura en 24 litros de agua, y otro pintor, 6 litrosde pintura en 36 litros de agua.a) Cul es la preparacin ms cargada de pintura?b) Si mezclas las dos, qu proporcin hay entre pintura y agua?

2. Tres obreros hacen un trabajo en de hora. De forma individual, dos de ellos tardaran por separado

en hacer el trabajo 3 horas el primero y 4 horas el segundo. Cunto tiempo empleara el tercero enhacer todo el trabajo l solo?

3. Realiza la siguiente operacin simplificando al mximo el resultado.

4. Investiga si cuando sometemos a uno o varios nmeros irracionales a operaciones sencillas, los resul-tados obtenidos siguen siendo irracionales o, por el contrario, pueden ser racionales.

Ayuda: toma los nmeros irracionales , y estudia si los siguientes nmeros son raciona-les o irracionales.a) a2 b) a + 1 c) ab d) a : b e) a + b

5. Al medir las dimensiones de un sector circular, Aroa ha empleado una cinta mtrica graduada en mil-metros y un transportador de ngulos graduado en grados. Ha obtenido una estimacin de 42,65 cent-metros para el radio y 60,3 para el ngulo. Con estos datos, contesta a las siguientes cuestiones.

a) Cules son las dimensiones correctas que Aroa debe anotar?b) Cules son los errores absolutos y relativos mximos que ha cometido en sus medidas?

6. Ya sabes que el nmero , como todas las races no exactas de enteros, es irracional. Haz una tabla conlas mejores aproximaciones por defecto y por exceso de desde el orden de la unidad hasta la diez-milsima, y representa el resultado obtenido en la recta real. La sucesin de intervalos encajados, de extre-mos nmeros racionales, que obtienes va cercando cada vez ms al irracional . Imagina ahora que sigues

este procedimiento indefinidamente. Qu piensas que ocurre? Podramos llegar alguna vez a obtenerpor este mtodo?

7. Completa el siguiente cuadro, en el que se representan de distintas formas (grficamente, con interva-los, con desigualdades y con valores absolutos) diferentes subconjuntos de la recta real.

Grfica Intervalos Desigualdades Valores absolutos

a) 2-1 0b) (1, 7)c) { x 8} { x 0}d) x + 7 4

2

2

22

a y b= =2 8

12

16

34

43

12

58

14

+

: :

:34

16

13

27

23

12

38

13

43


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Pg

na f

o

oc

op

ab

e

PROPUESTA de EVALUACIN


APELLIDOS : NOMBRE :

FECHA : CURSO : GRUPO :

1. a) Dada la fraccin , halla tres fracciones equivalentes a ella y la fraccin irreducible correspondiente.

b) Cunto debera valer x para que la fraccin fuera equivalente a la anterior?

2. Utiliza el teorema de Tales para representar en una recta las fracciones .

3. Realiza las siguientes operaciones, simplificando al mximo el resultado.

4. Realiza las siguientes operaciones, simplificando al mximo el resultado.

5. Clasifica los siguientes nmeros en racionales (especificando de qu tipo son) o irracionales.a) 1,001002003004005 b) 3,23 c) 2,0123232323 d) e) 0,153153153 f)

6. Calcula la fraccin generatriz irreducible de los siguientes nmeros racionales.a) 1,32

b) 0,81

c) 21,456

7. a) Calcula las aproximaciones por exceso y por defecto, y el redondeo de orden la unidad, la dcima y lacentsima, para el nmero

b) Representa grficamente las aproximaciones obtenidas.

8. a) Calcula con una aproximacin de tres decimales por exceso y por defecto.

b) Redondea el resultado y calcula los errores absoluto y relativo cometidos.

9. Completa el siguiente cuadro, en el que se representan de distintas formas (grficamente, con inter-valos y con desigualdades) diferentes subconjuntos de la recta real.

10. Completa el siguiente cuadro, en el que se representan de distintas formas (grficamente, con inter-valos, con desigualdades y con valores absolutos) diferentes subconjuntos de la recta real.

Grfica Intervalos Desigualdadesa) 23 0b) ( 1, 5)c) {2 x 8}

Grfica Intervalos Desigualdades Valores absolutosa) 4 40b) ( 5, 5]c) { x 2} { x 2}d) x 1

15 13

+

7 2 6457513= ...

8

c)

23

38

16

12

28

53

23

12

23

12

+

+

:

: 56

a) b)5 25

13

46

34

13

+ ++ 32

16

4 53

64

13

a) b) c)32

25

203

26

13

29

4 + :

5534

152

:

75

23

y

x

180

1260


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Propuesta de evaluacin

1. a) (irreducible). b) x = 36.

2.

3.

4.

5. Irracionales: a, d y f. Racional exacto: b. Racional peridico puro: e. Racional peridico mixto: c.

6.

7. a) b)

8.

9.

10.Grfica Intervalos Desigualdades Valores absolutos

a) 4 40 [ 4, 4] { 4 x 4} x 4b) -5 5 ( 5, 5] { 5 x 5}

c) -2 20 ( , 2] [2, ) { x 2} { x 2} x 2d) 1 10 ( , 1) ( 1, ) { x 1} { x 1} x 1

Grfica Intervalos Desigualdades

a) 23 0 [ 3, 2] { 3 x 2}b) 1 50 ( 1, 5) { 1 x 5}c) 20 8 [2, 8) {2 x 8}

Exceso Defecto Redondeo Error absoluto Error relativo

4,207 4,206 4,206 0,000317 7,53 10 5

unidad dcima centsimaExceso 3 2,7 2,65

Defecto 2 2,6 2,64

Redondeo 3 2,6 2,65

a) b)132 132 1390

11990

0 81, ,= = = = = =8199

911

21456 214561000

c) , 22682125

c)

23

38

16

12

28

53

23

12

23

12

+

+

:

: =

+

56

23

38

112

3320

23

12

43

56

23

724

320

23

1

736

320

+ =

+=

+

223

17180

23

17120

= =

a) 5 25

13

46

34

5 11

+ = 55

1712

5 17180

900180

17180

883180

13

32

16

= = =

+ b) 4453

64

13

== + = + 13

32

16

73

76

13

32

718

= + = + =76

13

109

76

13

3527

4427

a) b)32

25

203

32

83

9 166

76

26

13

29

13

= = = + =: ++ = + = + = = 9 13 2

13

32

2 96

116

45

34

152

4 4 15c) :55 3 2

8

=

1260

24120

315

630

15

= = = =

SOLUCIONES DE LA PROPUESTA DE EVALUACIN

Propuesta de evaluacin


0 21 75

536

47

321

31 22 0

2 1

2,65

32 2,6 2, 7

2,64

u1_nº reales

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