u1 4to cjsf 2019

Unidad No. 1: Funciones

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Armado y diseño de la Unidad: Prof. Andrea Gandolfi

Página web: http://acgandolfi.wix.com/matematica

Mail: [email protected]

Unidad No. 1

Funciones

Nombre: ………………………….………………

4to. Año -2019-

CJSF Prof. Andrea Gandolfi

Prof. Américo Castello


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Recordemos:

Intervalos:

CJSF 4to. Año


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Funciones

Sistema de coordenadas cartesianas. Puntos en el plano. Un sistema de coordenadas es un sistema de referencia. Para ubicarnos en el plano utilizamos un par de rectas perpendiculares llamadas ejes cartesianos. Los dos ejes forman un sistema de coordenadas. Al eje horizontal lo denominamos eje de abscisas y al eje vertical, eje de ordenadas. Cada punto en el plano tiene dos coordenadas, una para cada eje.

;P x y

El punto de intersección de los ejes ( el punto A) ; es el origen de coordenadas. Sobre cada eje se elige una escala (puede ser igual o diferente) y en relación con ella se ubican los números reales. Los ejes dividen al plano en cuatro cuadrantes, según el sentido antihorario.

1. Encontrar las coordenadas de todos los puntos.

Corresponde al eje de ordenadas

Corresponde al eje de abscisas

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2. Llenamos un recipiente de agua, vertiendo cada vez : ½ litro de agua y midiendo luego, la altura que va alcanzando el nivel. A partir de dicha experiencia obtenemos la siguiente tabla:

Volumen (l) 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5

Altura (cm)

3,5 4,8 5,7 6,5 7,2 7,8 8,3 8,8 9,3 9,7

a. Compara los resultados obtenidos, e indica si existe alguna relación. Justifica. (Podes ayudarte con la figura del recipiente)

b. Si representamos los pares de puntos en un sistema de ejes, obtenemos la siguiente gráfica:

c. ¿Qué significa el punto A en la gráfica? ¿Qué significa el punto B? ¿Por qué no está

en la gráfica?

d. ¿Cuál es la altura del nivel cuando llevamos vertidos 0,25 litros? ¿y 2,5 litros? ¿y 4,2

litros?

e. Si la altura del nivel es de 8 cm. ¿Cuánta agua hemos vertido? ¿Se puede saber el valor exacto? ¿o una aproximación?

f. La curva es creciente, pues al aumentar el volumen aumenta la altura. Pero el ascenso es menor notable a medida que los litros aumentan. ¿A qué se debe?

g. La curva se ha trazado justo hasta hacer rebalsar el recipiente. Indica aproximadamente su capacidad total y su altura.

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3. Ahora llenamos un recipiente cilíndrico, y tras vaciar la primera jarra (1/2 litro), se midió 1,2 cm.

a. Completar la tabla. Volumen (l) 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5

Altura (cm)

b. Representa los puntos obtenidos en el sistema de ejes.

c. Compara los resultados obtenidos, e indica si existe alguna relación. Justifica.

d. ¿Cuál es la altura del nivel cuando llevamos vertidos 2,5 litros? ¿y 4,2 litros? Y “x” litros?

e. ¿Cuál es la altura del nivel cuando llevamos vertidos 2,5 litros? ¿y 4,2 litros?

4. Una represa, cuya capacidad es de 1116 millones de litros de agua, tiene una filtración. Desde el primer día del mes pierde agua de manera uniforme, a razón de 18 millones de litros diarios, aproximadamente.

a. Completa la siguiente tabla:

t (días) 0 1 5 10 50

C t

cantidad de agua

que hay en la represa

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b. Hallar la fórmula de la función que describe la cantidad de agua que permanece en la represa cada día.

c. Graficar la situación en el siguiente eje coordenado

d. ¿En cuánto tiempo se podría vaciar la represa, en el caso de que no se solucione el problema de pérdida de agua?

e. ¿En cuánto tiempo la represa tendría 70 millones de litros de agua?

Variable Independiente y dependiente (V.I y V.D)

En todos los problemas que estuvimos trabajando estamos relacionando dos variables, donde cada una la representamos en un eje coordenado.

La variable que graficamos en el eje de abscisas la denominamos variable independiente A partir de la variable independiente vamos generando los valores de la variable dependiente (que la graficamos en el eje de ordenadas).

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5. Completar la siguiente tabla, teniendo en cuenta los ejercicios anteriores:

Ejercicio Variable independiente

Variable dependiente

3

4

5

Dominio e Conjunto Imagen (Dom e Im)

Llamamos Dominio a todos los valores que toma o puede tomar la variable independiente.

Llamamos Conjunto Imagen a todos los valores que toma o puede tomar la variable dependiente.

Ejercicio Dominio Conjunto Imagen

3

4

5

El concepto de FUNCIÓN

6. Este gráfico representa la distancia recorrida por un remis durante un día de trabajo de 10 hs.

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a. Indicar:

i. Variable independiente: Variable dependiente:

ii. Dominio: Conjunto Imagen:

b. ¿Cuál fue la distancia recorrida luego de 3 horas de trabajo? ¿Es única la respuesta?

c. ¿Cuál fue la distancia recorrida luego de 6 horas de trabajo? ¿Es única?

d. ¿Fue siempre a la misma velocidad? ¿Cómo se dan cuenta? ¿Cuál fue la velocidad

en cada tramo?

e. ¿Se detuvo en algún momento? Si la respuesta es afirmativa, indiquen cuantos

kilómetros llevaba recorridos y cuento tiempo se detuvo. Si es negativa, expliquen cómo se dan cuenta.

7. Este gráfico representa la relación entre la cantidad metros cúbicos de gas que tiene un

tanque de un taxi y la distancia recorrida por el mismo.

a. ¿Cuántos m3 de gas consumió en total el taxi?

b. ¿Cuántos m3 de gas tenía el taxi cuando llevaba recorrido 60 km? ¿Y cuando llevaba recorrido 280km? ¿Cómo se dan cuenta?

c. ¿Qué sucedió cuando llevaba recorridos 120km y 240km? ¿Cómo se dan cuenta?

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d. ¿ ¿En algún momento del problema 7 sucede algo parecido, que para una hora de trabajo, recorra varios km ? ¿Por qué?

Al decir uno y solo uno queremos decir que:

Todo elemento del primer conjunto (V.I o también llamado conjunto de partida A) debe tener imagen. (propiedad de existencia)

La imagen de cada elemento del primer conjunto debe ser única. Es decir ningún elemento del primer debe tener más de una imagen. (propiedad de unicidad)

Formas de representación de una función

¿Representa una función? ¿Representa una función?

Una función es una relación entre dos variables en la que cada elemento de la

variable independiente le corresponde, uno y solo un, elemento de la variable

dependiente.

Diagrama• Se construye para representar las funciones utilizando dos

conjuntos que se conocen con el nombre de diagramas de Venn

Tabla• Se puede observar en la primera columna los elementos del dominio y, en la

segunda columna, los elementos del conjunto imagen.

: Im :Dom : Im :Dom

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: / ( )f A B f x y Nombre de la

función Relación entre

las dos

variablesDominio

Codominio o

segundo conjunto

Ventajas: las tablas permiten observar rápidamente la imagen de cada elemento.

Desventajas: no son adecuadas para observar tendencias o evolución del fenómeno si hay muchos elementos en el dominio.

¿Representa una función?

El siguiente gráfico muestra La presión de vapor de agua, medida en kPa (kilopascal), en función de la temperatura ºC.

Gráfico Cartesiano

• Cada elemento del dominio y su correspondiente imagen se pueden expresarmediante un punto que se denomina par ordenado (x, f (x)) en el plano coordenado.

Fórmula• Las variables se relacionan mediante una fórmula,a partir de ecuaciones

podemos calcular los valores exactos de las imagenes .

¡Importante!

Una función que puede presentarse en un

gráfico sin cortes es una "función

continua".

Si está formada por puntos o segmentos,

como en el ejemplo de la tabla de

valores, es una "función discontinua".

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; ; , la imagen de x y x f x x x

x dom Imy

8. Indicar si se cumplen las propiedades de existencia y unicidad. En caso de no cumplirse, justificar con ejemplos.

9. Dados los siguientes gráficos de relaciones definidas de , Indicar si se cumplen las propiedades de existencia y unicidad. En caso de no cumplirse, justifica:

a. b.

c. d.

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e. f.

10. Completen la siguiente tabla:

Definida de

Relación que le asigna a

cada x (número)…

fórmula Imagen de -1

Imagen de 2

Imagen de 1

¿Es función?

su siguiente f x 1f

su anterior f x

su doble f x

su opuesto f x

su inverso f x

su cuadrado f x

su raíz

cuadrada f x

su raíz cúbica f x

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Dominio de una función

Para alambrar un campo rectangular se necesitan 100m de alambre, ¿Cómo varía el

largo del campo en función del ancho?

Escribimos el largo (L) en función del ancho (x) como:

¿Cuál de los siguientes conjuntos representa los valores que puede tomar el ancho (x) para que tenga sentido este problema? Justificar cada caso.

0;50 0;50

Al conjunto de todos estos valores que puede tomar la variable

independiente (VI) lo denominamos Dominio de la función.

Al conjunto de todos estos valores que puede tomar la variable

dependiente (VD) lo denominamos Conjunto imagen de la función.

11. Determinen el dominio para que las siguientes relaciones sean funciones y calculen el conjunto

imagen de cada una: a.

b.

: Im :D o m : Im :D o m

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c.

d.

12. Completar la siguiente tabla:

Fórmula de la Función ¿Qué valor/les no tienen imagen?

Dominio

2 1f x x

5

1f x

x

24

xD xx

2 1

xf xx

2

19

f tt

4

1f t

t t

10f m m

3P x x

3 10f m m

4 2 10f m m

3 2 1f x x x

2 1xf x

x


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13. Determinen el dominio para que las siguientes relaciones sean funciones y calculen el conjunto imagen de cada una:

a.

b.

c.

d.

e.

f.




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Las funciones y las fórmulas

14. Dado un triángulo equilátero:

I. ¿Cuál es la fórmula del perímetro en función del lado?

II. Completa la siguiente tabla:

III. Representa los puntos de la tabla en el siguiente eje cartesiano:

IV. Dominio= Imagen=

15. El tanque de nafta de un automóvil contiene actualmente 55 litros de nafta, y consume, marchando a determinada velocidad, 0,09 litros por kilómetro recorrido.

a. Completen la tabla:

Distancia recorrida (Km.) 0 100 200 300 550

Nafta que queda en el tanque

55 41.5 0

b. Escriban la fórmula que permite calcular los litros que quedan el en tanque en función de

los kilómetros recorridos.

c. Grafiquen la situación

Lado 0.2 1 2 3 4 5

Perímetro

:

Im :

:

:

D om

VI

VD

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Análisis de Funciones

En el análisis de una función se identifica, entre otros datos, su dominio, imagen, ceros, conjunto de positividad y negatividad, intervalos de crecimientos y decrecimiento. Máximos y mínimos.

Raíces o ceros de una función

Los ceros o raíces de una función son aquellos valores del dominio cuya imagen es cero.

Gráficamente: son todos los puntos donde la función corta al eje de abscisas.

Analíticamente: los podemos calcular resolviendo la siguiente ecuación: 0f x

0C

Conjunto de positividad

Se denomina así al formado por los puntos del dominio que tienen imagen mayor que cero.

Gráficamente: son todos los puntos de la función que están sobre al eje de abscisas.

Analíticamente los podemos calcular resolviendo las siguientes inecuaciones: 0f x .

C

Conjunto de negatividad:

Se denomina así al formado por los puntos del dominio que tienen imagen menor que cero.

Gráficamente: son todos los puntos de la función que están por debajo al eje de abscisas.

Analíticamente los podemos calcular resolviendo las siguientes inecuaciones: 0f x .

C

Intersección con el eje de ordenadas: ;

Es el punto donde la función corta al eje de ordenadas.

Analíticamente se obtiene calculando la imagen de 0, es decir 0f , corresponde al par

0; 0f

:

Im :

D o m

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Intervalos de crecimiento

Es un subconjunto del dominio para el cual a mayores valores de la variable independiente le corresponden mayores valores de la variable dependiente.

I

Intervalos de decrecimiento

Es un subconjunto del dominio para el cual a mayores valores de la variable independiente le corresponden menores valores de la variable dependiente.

I

16. Dados los siguientes gráficos de funciones, se pide su análisis:

a.

Calcular analíticamente C0, C+ y C-

b.

0

:

Im:

:

:

:

:

:

:

Dom

C

C

C

I

I

eje ord

0

:

Im:

:

:

:

:

:

:

Dom

C

C

C

I

I

eje ord

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Calcular analíticamente C0

c.


d.


0

: Im:: :: :

: :

DomC CC II eje ord

0

: Im:: :: :

: :

DomC CC II eje ord

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e.


f.


0

: Im:: :: :

: :

DomC CC II eje ord

0

: Im:: :: :

: :

DomC CC II eje ord

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g.

h.

Si definimos la función : / 2 1f f x x

¿Qué tipo de función es?

0f 2f 2f Graficar en un sistema de coordenadas cartesianas, buscando las

imágenes de distintos valores

Indicar:

Calcular analíticamente C0 ,C+ y C-

ImDom

0CCC

II

ejeod

0

: Im:: :: :

: :

DomC CC II eje ord

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Si definimos la función 2: / 2f f x x

¿Qué tipo de función es?

0f 2f 2f Graficar en un sistema de coordenadas cartesianas, buscando las

imágenes de distintos valores

Indicar:

Calcular analíticamente C0 ,C+ y C-

17. Dadas las siguientes funciones, se pide:

a. ¿Qué tipo de función es?

b. Graficar en un sistema de coordenadas cartesianas, buscando las imágenes de distintos valores

c. Realizar su análisis (Dom, Im, C0 ,C+ y C- ; I+ e I-; ejeod

d. Calcular analíticamente C0 ,C+ y C-

: / 2 5a a x x

ImDom

0CCC

II

ejeod

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0ImDom C C CI I ejeod


: / 3b b x

2: / 3c c x x


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1: / 12

d d x x


Clasificación de funciones

Para que se cumpla la inyectividad, no puede pasar que:

¿Qué propiedad se tiene que cumplir de B A ?

Función Inyectiva

Una función :f A B es inyectiva si y solo si, a elementos distintos del

dominio (A) le corresponden imágenes distintas en el codominio (B).

Simbólicamente: 1 2 1 2 1 2, :x A x A x x f x f x

o lo que es lo mismo: 1 2 1 2f x f x x x ,

( a imágenes iguales, sus preimagenes tienen que ser iguales)

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Para que se cumpla la sobreyectividad, no puede pasar que:

¿Qué propiedad se tiene que cumplir de B A ?

a. A B

a

bc

d

e

1

2

3

b.

A B

a

bc

d

e

1

Función Sobreyectiva

Una función :f A B es sobreyectiva si y solo, si todos los elementos del

codominio (B) tiene preimagen en el dominio (A)

Simbólicamente: , /y B x A y f x

Con esto queremos decir que: ImB

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Función Inversa

Por ejemplo, la función : / 2 1f f x x es una función biyectiva y su

inversa es 1 1 1

: /2

xf f x

x f x x 1f x

Función Biyectiva

Una función es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva.

Se llama función inversa de una función biyectiva :f A B a la función

1 1: /f B A f y x si y solo si f x y .

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Ejercicios de repaso

1. Indicar cuáles de los siguientes gráficos definen una función en el dominio dado. Justificar especificando la o las condiciones de la definición que se verifican o que no se verifican.

a. Dom: 3; b. Dom: 2;2

2. Dado el siguiente grafico se pide:

3. A nivel del mar el agua hierve a 100 ºC. Cuando se comienza a ascender una montaña el punto de ebullición va cambiando en función de la altura, según esta fórmula ( ) 100 0,001 T h h , siendo T la temperatura en ºC y h la altura en metros.

a. ¿A qué temperatura hierve el agua a 1500 m de altitud?

b. ¿A qué temperatura hierve el agua en la cima del Everest (8848 m)?

c. ¿A qué altitud hierve el agua a 95 ºC?

d. Hallen la variable independiente y dependiente

4. Considere la función 21: / ( ) 3

2 f f x x .

a. Complete la siguiente tabla.

b. Graficar en un sistema de ejes.

c. Halle analíticamente el conjunto de ceros y la intersección con el eje de ordenadas

d. Indique los conjuntos de positividad y negatividad, conjunto imagen, dominio e intervalos de crecimiento y de decrecimiento.

0

ImDom

CCCII

ejeod

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5. Dadas las siguientes fórmulas de funciones, indicar su dominio:

a. 2

3( )

4

f x

x

b. ( ) 2 16 f x x

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