trânsito de energia optimizado com inclusão de produção eólica

Trânsito de Energia Optimizado

com inclusão de Produção Eólica

Pedro Miguel Prudêncio Martins Domingos

Dissertação para obtenção do Grau de Mestre em

Engenharia Electrotécnica e de Computadores

Júri

Presidente: Professor Doutor Paulo José da Costa Branco

Orientador: Professor Doutor José Manuel Dias Ferreira de Jesus

Vogal: Professor Doutor Pedro Alexandre Flores Correia

Novembro de 2012

i

Agradecimentos

Agradeço em primeiro lugar ao meu orientador por todo o conhecimento transmitido, paciência, e

disponibilidade que sempre demostrou durante a realização deste trabalho.

Muito obrigado aos meus pais e ao meu irmão por todo apoio e incentivo que me deram durante todo

o meu percurso académico.

Não posso deixar de agradecer a todos os meus grandes amigos que me acompanharam ao longo de

todo o curso, pois sem eles teria sido tudo mais difícil.

Um agradecimento especial à Maria Barradas, Ricardo Lucas e Ana João por todo o apoio e

companhia que me concederam ao longo deste trabalho.

ii

Abstract

The Electrical Energy Systems (EES) are characterized by their dynamism and for being subject to

frequent changes. Over time, networks and interconnections are expanded and the demand also

increases.

Over the past years the inclusion of renewable energy sources in EES has increased, with special

emphasis on intermittent renewable energy sources, such as wind, which launches a new challenge in

the system operation optimization.

Thus, the EES are gradually complex, requiring the development of tools to solve the Power Flow

(PF), minimizing operating costs and maximizing the renewable energy benefits.

This study purposes to develop software that performs the Optimal Power Flow (OPF) with inclusion of

wind generation, while applying several operational constraints, and to study the impact of it in the

system and in the operating costs.

Two different algorithms have been developed for solving the OPF (Newton and Interior Point

Algorithm). They have been analyzed in order to pick up the one with best performance.

In order to study several scenarios of generation and wind load distribution, the software has been

tested using real cases from data provided by Redes Energéticas Nacionais (REN).

Keywords: Optimal Power Flow, wind Energy, Newton, Interior Point, cost minimization, constrains.

iii

Resumo

Os Sistemas Eléctricos de Energia (SEE) são caracterizados pelo seu dinamismo e por serem alvo de

alterações frequentes. Com o passar do tempo as redes e interligações são expandidas, e o consumo

aumenta.

Nos últimos anos tem existido um aumento da inclusão de fontes de energia de origem renovável nos

SEE, com especial destaque para as fontes de energia renovável intermitentes, como é o caso do

vento, que lançam um novo desafio na optimização do funcionamento do sistema.

Assim os SEE são cada vez mais complexos, sendo necessário desenvolver ferramentas que

permitam resolver o Trânsito de Energia (TE), minimizando os custos de operação e maximizando o

proveito das energias renováveis.

O presente trabalho visa desenvolver uma ferramenta computacional que realize o Trânsito de

Energia Optimizado (TEO) com inclusão de geração eólica e aplicando diversas restrições

operacionais, estudando assim o impacto da mesma no sistema e nos custos de operação.

São desenvolvidos dois Algoritmos distintos para a resolução do TEO (Método de Newton e Algoritmo

de Ponto Interior), sendo analisado o desempenho de cada um por forma a escolher-se o que obtiver

melhores resultados.

Com o objectivo de estudar vários cenários possíveis de geração, carga e distribuição do vento, o

programa desenvolvido será testado recorrendo a casos reais partindo de dados fornecidos pela

Redes Energéticas Nacionais (REN).

Palavras-chave: Trânsito de Energia Optimizado, Energia Eólica, Newton, Ponto Interior,

minimização do custo, restrições operacionais.

v

Nomenclatura

Número total de geradores

Número de geradores térmicos

Número de geradores eólicos

Número de barramentos da rede

Número de variáveis do sistema (não contabilizando restrições)

Número de variáveis do sistema (contabilizando restrições)

Número de restrições de desigualdade

Função objectivo

Conjunto das restrições de igualdade

Conjunto das restrições de desigualdade

Lagrangeano / Função de custo aumentada (sem restrições de desigualdade)

Função de custo aumentada com restrições de desigualdade

Variáveis de estado (ou conjunto de todas as variáveis no método de Newton)

Variáveis de controlo

Variáveis fixas

Multiplicadores de Lagrange referentes às restrições de igualdade

Multiplicadores de Lagrange referentes às restrições de desigualdade (Ponto interior)

Coeficientes de Kuhn-Tucker

Jacobiano (Método de Newton)

Limite superior da variável x

Limite inferior da variável x

Função barreira

Linearização da função objectivo (Programação Linear)

Variável de folga – limite superior

Variável de folga – limite inferior

Erro de previsão da potência eólica disponível

Desvio da previsão

Função de distribuição acumulada (fda) da variável aleatória X

Função de densidade de probabilidade (fdp) da variável aleatória X

Factor de penetração do vento

Probabilidade de não satisfação da carga

Potência activa gerada pelos geradores térmicos convencionais

Potência activa gerada

Potência gerada pelos geradores eólicos

Potência disponível prevista para os geradores eólicos

Função de custo dos geradores térmicos convencionais

Função de custo dos geradores eólicos

Função de penalidade referente à não utilização de toda a potência eólica disponível

vi

Função de reserva requerida referente à subestimação da potência eólica

Coeficiente de custo de penalidade (subestimação da potência eólica)

Coeficiente de custo de reserva (sobrestimação da potência eólica)

Função de custo marginal do gerador i

vii

Índice

Agradecimentos ................................................................................................................................... i

Abstract .............................................................................................................................................. ii

Resumo ............................................................................................................................................. iii

Nomenclatura ..................................................................................................................................... v

Lista de Figuras ................................................................................................................................. ix

Lista de Tabelas ................................................................................................................................ xi

1. Introdução ....................................................................................................................................1

1.1. Motivação e Formulação do Problema .................................................................................1

1.2. Objectivos............................................................................................................................2

1.3. Organização da Dissertação ................................................................................................2

2. Estado da Arte .............................................................................................................................3

2.1. Trânsito de Energia Optimizado (TEO) ................................................................................3

2.1.1. Método do Gradiente ...................................................................................................3

2.1.2. Método de Newton .......................................................................................................5

2.1.3. Tratamento das restrições de desigualdade .................................................................7

2.1.4. Programação Linear .....................................................................................................8

2.1.5. Algoritmo de Ponto Interior ......................................................................................... 10

2.1.6. Comparação dos Métodos ......................................................................................... 12

2.2. Inclusão de Geração Eólica no TEO .................................................................................. 13

2.2.1. Variabilidade e Previsibilidade da Energia Eólica........................................................ 13

2.2.2. Caracterização do Vento ............................................................................................ 14

2.2.3. Probabilidade de satisfação do consumo.................................................................... 15

2.2.4. Subestimação e Sobrestimação Eólica ....................................................................... 16

3. Implementação do TEO ............................................................................................................. 19

3.1. Modelo e Formulação Matemática ..................................................................................... 19

3.1.1. Método de Newton ..................................................................................................... 19

3.1.2. Alterações na implementação do Algoritmo de Ponto Interior ..................................... 27

3.2. Fluxogramas dos Algoritmos Desenvolvidos ...................................................................... 31

3.3. Newton Vs Ponto Interior ................................................................................................... 34

3.3.1. TEO – Rede de 12 barramentos ................................................................................. 34

3.3.2. TEO – Rede de 57 barramentos ................................................................................. 45

3.3.3. Conclusões ................................................................................................................ 51

4. Simulação e Resultados ............................................................................................................. 53

4.1. Resultados Computacionais .............................................................................................. 55

4.2. Resultados Finais .............................................................................................................. 65

5. Conclusões e Trabalho Futuro ................................................................................................... 67

viii

5.1. Sumário e Principais Conclusões ....................................................................................... 67

5.2. Trabalho Futuro ................................................................................................................. 68

6. Referências Bibliográficas .......................................................................................................... 69

ix

Lista de Figuras

Figura 2.1 – Fluxograma de uma estratégia para a solução do TEO pelo método de Newton ..............6

Figura 2.2 – Função de custo com característica não linear ................................................................9

Figura 2.3 – Linearização da função de custo não linear .....................................................................9

Figura 2.4 – Fluxograma de uma estratégia para a solução do TEO com LP ..................................... 10

Figura 3.1 – Fluxograma da estratégia utilizada na resolução do TEO utilizando o Método de Newton

......................................................................................................................................................... 32

Figura 3.2 – Fluxograma da estratégia utilizada na resolução do TEO utilizando o Método de Ponto

Interior .............................................................................................................................................. 33

Figura 3.3 – Topologia da rede ......................................................................................................... 34

Figura 3.4 – Evolução da potência activa e reactiva e dos módulos das tensões ao longo das

iterações – Método de Newton .......................................................................................................... 36


iterações – Ponto Interior .................................................................................................................. 38


iterações – Método de Newton .......................................................................................................... 40

Figura 3.7 – Esquema unifilar da rede de 57 barramentos ................................................................. 46

Figura 3.8 – Evolução da potência activa e reactiva ao longo das iterações – Método de Newton ..... 47

Figura 3.9 – Evolução da potência activa e reactiva ao longo das iterações – Ponto Interior .............. 48

Figura 3.10 – Evolução da potência activa e reactiva ao longo das iterações – Ponto Interior ............ 50

Figura 4.1 – Curvas de custo e custo marginal referentes ao caso 1 ................................................. 54

Figura 4.2 – Curvas de custo e custo marginal referentes aos casos 2 e 4. ....................................... 54

Figura 4.3 – Curvas de custo e custo marginal referentes aos casos 3 e 5. ....................................... 55

Figura 4.4 – Evolução das potências activa e reactiva geradas: (a) caso 1; (b) caso 2; (c) caso 3. .... 56

Figura 4.5 – Evolução temporal das potências activa e reactiva total geradas e da carga global: (a)

caso 1; (b) caso 2; (c) caso 3. ........................................................................................................... 57

Figura 4.6 – Evolução temporal do custo total de operação: (a) caso 1; (b) caso 2; (c) caso 3. .......... 58

Figura 4.7 – Evolução temporal da potência eólica prevista (rosa), disponível (azul) e útil (verde): (a)

caso 2; (b) caso 3. ............................................................................................................................ 58

Figura 4.8 – Evolução das potências activa e reactiva geradas: (a) caso 1; (b) caso 2; (c) caso 3. .... 59


caso 1; (b) caso 2; (c) caso 3. ........................................................................................................... 60

Figura 4.10 – Evolução temporal do custo total de operação: (a) caso 1; (b) caso 2; (c) caso 3. ........ 61

Figura 4.11 – Evolução temporal da potência eólica prevista (rosa) disponível (azul) e útil (verde): (a)

caso 2; (b) caso 3. ............................................................................................................................ 61

Figura 4.12 – Evolução das potências activa e reactiva geradas: (a) caso 1; (b) caso 2; (c) caso 3. .. 62


caso 1; (b) caso 2; (c) caso 3. ........................................................................................................... 63

Figura 4.14 – Evolução temporal do custo total de operação: (a) caso 1; (b) caso 2; (c) caso 3. ........ 64

x

Figura 4.15 – Evolução temporal da potência eólica prevista (rosa) disponível (azul) e útil (verde) : (a)

caso 2; (b) caso 3. ............................................................................................................................ 65

Figura 4.16 – Evolução temporal da potência eólica prevista (rosa) disponível (azul) e útil (verde) com

penalidades ((a)) e sem penalidades ((b)): (a) caso 3; (b) caso 5. ..................................................... 65

xi

Lista de Tabelas

Tabela 2.1 – Vantagens e Desvantagens dos métodos propostos para a resolução do TEO ............. 12

Tabela 3.1 – Dados da rede de 12 barramentos ................................................................................ 35

Tabela 3.2 – Dados dos geradores ................................................................................................... 35

Tabela 3.3 – Dados das Tensões nos barramentos ........................................................................... 36

Tabela 3.4 – Resultados da simulação do exemplo 1 (Newton) ......................................................... 37

Tabela 3.5 – Resultados da simulação do exemplo 1 (Ponto Interior) ................................................ 38


Tabela 3.7 – Coeficientes de Kuhn-Tucker referentes à simulação do exemplo 3 .............................. 40


Tabela 3.9 – Coeficientes de Kuhn-Tucker e factores de penalização do vento referentes à simulação

do exemplo 4 .................................................................................................................................... 42

Tabela 3.10 – Resultados da simulação do exemplo 4 (Ponto Interior) .............................................. 42

Tabela 3.11 – Resultados da simulação do exemplo 5 (Newton) ....................................................... 44

Tabela 3.12 – Coeficientes de Kuhn-Tucker e factores de penalização do vento referentes à

simulação do exemplo 5.................................................................................................................... 44

Tabela 3.13 – Resultados da simulação do exemplo 5 (Ponto Interior) .............................................. 45

Tabela 3.14 – Resultados da simulação do exemplo 6 – barramentos de geração (Newton) ............. 47

Tabela 3.15 – Resultados da simulação do exemplo 6 – barramentos de geração (Ponto Interior) .... 48

Tabela 3.14 – Resultados da simulação do exemplo 6 – barramentos de geração (Newton) ............. 50

Tabela 3.15 – Resultados da simulação do exemplo 6 – barramentos de geração (Ponto Interior) .... 51

Tabela 4.1 – Custos médios de operação (mensais e totais) [ ...................................................... 66

Tabela 4.2 – Desvios médios da potência eólica útil em relação à prevista em pu ............................. 66

1

1. Introdução

1.1. Motivação e Formulação do Problema

Anteriormente ao Trânsito de Energia Optimizado (TEO), a optimização dos Sistemas de Energia

Eléctrica (SEE) era feito através do Despacho Economico (DE), no entanto o DE apresenta um

modelo grosseiro no tratamento dos SEE, pois restringe-se apenas a

, (1.1)

onde se despreza a influência da potência reactiva e se consideram as tensões constantes em todos

os barramentos, não sendo consideradas restrições operacionais que condicionam o funcionamento

do sistema.

Com o desenvolvimento computacional, o TEO veio solucionar estes problemas, pois através de um

número muito elevado de equações consegue ultrapassar as limitações do DE.

Simplificando, é possível atribuir ao TEO a seguinte relação:

Ou seja, ao DE convencional serão adicionadas as equações to trânsito de energia e as restrições

operacionais necessárias por forma a se obter um modelo rigoroso da operação de sistema.

Matematicamente, o problema do TEO pode ser formulado da seguinte forma:

(1.2)

Em que é a função objectivo a ser minimizada (função de custo dos geradores), representa as

restrições de igualdade (equações do TE) e as restrições de desigualdade (limites de operação do

sistema).

As variáveis representam, respectivamente, o conjunto das variáveis de estado, controlo

e fixas respectivamente.

Os limites de operação do sistema poderão ser de vários tipos, tais como:

Potências activas ou reactivas geradas;

Módulos das tensões nos barramentos;

Potências transitadas nas linhas e transformadores;

Relações de transformação.

TEO = Despacho económico + Trânsito de Energia

2

A integração de geração eólica no TEO constitui um desafio interessante devido ao facto deste tipo

de produção de energia se comportar de uma forma diferente da geração convencional. A sua

intermitência e imprevisibilidade são factores a ter em conta, pois irão influenciar a alocação de

unidades da rede. Assim sendo, será ponderada a introdução de penalidades, por forma a mensurar

os custos adicionais provenientes desses mesmos factores e, assim, estudar os efeitos reflectidos

nos custos globais do sistema.

1.2. Objectivos

O grande crescimento da energia eólica tem criado um desafio no que diz respeito à inserção deste

tipo de energia renovável nos SEE’s. Isto deve-se ao facto de o vento ser uma fonte de energia

intermitente e de elevada imprevisibilidade. Estes factores limitam a operação, pois há que ter em

conta a reserva necessária quando se tem bastante potência eólica instalada, sendo necessário um

estudo de afectação de unidades por forma a concluir se a inserção de energia eólica na rede é ou

não economicamente viável.

O objectivo desta dissertação é desenvolver uma ferramenta computacional que realize o TEO de

uma rede constituída por geradores térmicos convencionais e geradores eólicos, assim como estudar

a influência dos últimos no custo de operação do sistema perante casos distintos.

Serão desenvolvidos dois algoritmos distintos, sendo feita uma comparação entre os mesmos, onde

serão analisadas vantagens e desvantagens a nível do desempenho, tendo em conta factores como a

minimização de custo e de perdas, aproveitamento da energia eólica, viabilidade, optimalidade e

velocidade de convergência de cada algoritmo.

1.3. Organização da Dissertação

A presente dissertação é dividida em 5 capítulos

No primeiro capítulo, Introdução, é identificado o problema a ser estudado e são definidos os

principais objectivos desta dissertação.

No segundo capítulo, Estado da Arte, é feita uma análise dos principais métodos utilizados até hoje

na resolução do problema do Transito de Energia Optimizado, assim como os métodos utilizados na

modelação do vento e na integração da energia eólica no TEO.

No terceiro capítulo, Implementação do TEO, são apresentados os modelos e formulação matemática

de ambos os algoritmos, assim como a descrição do funcionamento dos mesmos.

No quarto capítulo, Simulação e Resultados, será descrito o funcionamento do software criado,

apresentadas simulações com a respectiva análise de resultados e apresentadas as devidas

conclusões.

No quinto capítulo, Conclusões e Trabalho Futuro, serão inferidas as considerações finais sobre esta

tese e apresentadas ideias para a continuação do trabalho aqui apresentado.

3

2. Estado da Arte

2.1. Trânsito de Energia Optimizado (TEO)

O TEO foi pela primeira vez discutido em 1962 por Carpentier [14], tendo percorrido um longo

caminho até à implementação de um algoritmo que resolvesse o problema com sucesso.

Sendo um problema que pode atingir dimensões consideráveis e tendo uma elevada complexidade

matemática, as ferramentas computacionais são essenciais para a resolução do TEO, estando assim

o sucesso dos algoritmos dependente da tecnologia à disposição

Vários métodos foram desenvolvidos, entre os quais se destacam:

Métodos do Gradiente: Apresenta uma convergência lenta e torna-se um método inadequado

no que toca à resolução de restrições de desigualdade [3].

Método de Newton: Tem uma convergência rápida e custos computacionais reduzidos, no

entanto pode apresentar alguns problemas ao lidar com restrições de desigualdade [3].

Programação Linear (LP): Consiste numa linearização de todas as funções não lineares,

lidando bem com todo o tipo de restrições [3].

Algoritmo de Ponto Interior (IP): Algoritmo bastante rápido que lida muito bem com restrições

de desigualdade [3].

2.1.1. Método do Gradiente

Neste método o mínimo da função objectivo é determinado através de uma série de passos que

apontam na direcção da descida mais ingreme [1]. Esse mínimo pode ser obtido pelo método dos

multiplicadores de Lagrange, sendo o Lagrangeano dado por

, (2.1)

onde representam o conjunto das variáveis de estado, controlo e fixas respectivamente.

Aqui estão apenas incluídas as restrições de igualdade, sendo o conjunto dos multiplicadores de

Lagrange referentes às mesmas.

O mínimo é então obtido igualando a zero as derivadas parciais do Lagrangeano em ordem a

:

[

] [

] [

] (2.2)

[

] [

] [

] (2.3)

[

] (2.4)

4

O gradiente do Lagrangeano, que será nulo no ponto óptimo, é dado pelo vector correspondente à

derivada em ordem às variáveis de controlo:

(2.5)

Este conjunto de equações não linear pode ser resolvido pelo seguinte método iterativo [1]:

(2.6)

É neste último passo que reside o maior problema deste método. A convergência é fortemente

afectada pelo parâmetro cuja escolha é feita por tentativa e erro. Enquanto um valor muito baixo

deste parâmetro leva a um elevado número de iterações, um valor demasiado alto dá lugar a

oscilações em torno do mínimo, podendo assim levar à divergência.

As restrições de desigualdade podem ser resolvidas pelo teorema de Kuhn-Tucker, utilizado também

no método Newton que será posteriormente estudado em detalhe.

Estimar variáveis de controlo

Resolver transito de energia pelo método de Newton-Raphson (eq 2.4)

Resolver (2.2) em ordem a [λ]

Utilizando o [λ] obtido calcular o gradiente [ L] a partir de (2.3)

Se [ L] for inferior à tolerancia especificada o minimo foi encontrado, caso contrário calcular o novo vector das variáveis de controlo através da equação (2.6) e voltar ao

2º passo.

5

2.1.2. Método de Newton

Será um dos métodos utilizado na dissertação. Devido à sua robustez, rápida convergência,

facilidade de implementação e por ter um bom grau de precisão, torna-se um método eficaz.

Neste método não existe distinção entre as variáveis de controlo (potências activa e reactiva

geradas) e as de estado (modulo e argumento das tensões), assim é possível definir:

Generalizando o problema, este consiste em

, (2.7)

em que representa o conjunto de restrições de igualdade (Trânsito de Energia) e o

conjunto das restrições de desigualdade (limites das variáveis).

Considerando que não são impostos limites às variáveis, o Lagrangeano ou função de custo

aumentada escreve-se [1]:

(2.8)

A solução óptima é obtida através do método iterativo dado por

, (2.9)

sendo k o número da iteração.

Tal como no método do gradiente, a convergência é obtida quando for menor que a tolerância

especificada.

Se forem infringidos limites das variáveis, a respectiva restrição de desigualdade poderá ser tratada,

por exemplo, pelas condições de Kuhn-Tucker, descritas no subcapítulo 2.1.3, ficando assim a função

de custo aumentada descrita por:

[ ] , (2.10)

onde representa os coeficientes de Kuhn-Tucker aplicados às restrições de desigualdade

referentes aos limites infringidos.

6

O parâmetro na equação (2.9) representa o Jacobiano da função de custo aumentada,

esta mesma equação pode ser escrita da seguinte forma

[

] [

] , (2.11)

em que representa agora o conjunto de todas as variáveis do sistema e [ ] .

Na figura (2.1) é apresentado um fluxograma que mostra de forma simplificada a aplicação do método

de Newton [1]:

Figura 2.1 – Fluxograma de uma estratégia para a solução do TEO pelo método de Newton

Em problemas de grande dimensão, a matriz com as equações referentes à infração de limites

incluídas, pode ficar mal condicionada devido à sua elevada esparsidade (elevado numero de zeros),

o que poderá levar a erros no calculo das soluções e a flutuações em torno dos limites das variáveis,

7

causando situações de divergência. Outro problema que este método pode apresentar, é o facto de a

solução poder convergir para pontos de sela, obtendo-se assim resultados errados.

2.1.3. Tratamento das restrições de desigualdade

Abordagem por Kuhn-Tucker [1]

É o método referido no tratamento das restrições activas nos 2 métodos apresentados até este ponto.

Ao ser infringido o limite superior ou inferior de uma variável (apenas de controlo no caso do método

do gradiente, podendo ser de estado no método de Newton), tem-se:

(2.12)

Então a variável em questão é fixada no seu limite inferior ou superior na iteração seguinte, deixando

de ser uma variável de controlo ou de estado, ou seja, passa a ser uma variável fixa (vector p o

método do gradiente), sendo adicionado ao Lagrangeano penalidades referentes às correspondentes

restrições de desigualdade

, (2.13)

em que e são os coeficientes (ou multiplicadores) de Kunh-Tucker referentes aos limites

superior e inferior respectivamente.

Se for obtido um valor negativo para os coeficientes, então a variável em questão pode ser “libertada”

pois a restrição deixará de ser activa.

Contudo, esta metodologia não é trivial, pois ao se fixarem grande parte das variáveis quando

ocorrem infracções (superiores ou inferiores) poderá levar à divergência do método ou até à obtenção

de uma solução não óptima.

Abordagem por Funções de Penalidade [9]

Esta abordagem não consiste em fixar as variáveis mas sim tornar mais “doloroso” violar as

respectivas restrições, adicionando funções de penalidade à função de custo aumentada

, (2.14)

em que são constantes (coeficientes de penalidade) que definem com que

intensidade a respectiva restrição deve ser satisfeita.

A função de penalidade pode ser baseada nas condições de Kuhn-Tucker, assumindo na

relação (2.14), as seguintes formas:

8

(2.15)

Abordagem por Funções de Barreira [9]

Num método de barreira, dado um ponto que reside no interior da região viável Ω (dentro dos

limites), há que impor um custo tão grande quanto maior for a aproximação à zona limite de Ω,

criando assim uma "barreira" para impedir que se saia dessa região viável.

Ou seja, uma função de barreira é qualquer função que satisfaça:

para qualquer que satisfaça

se

Utilizando funções de barreira na função de custo aumentada que tem vindo a servir de exemplo, a

mesma fica da seguinte forma

, (2.16)

sendo denominado parâmetro de barreira e b(x) uma função barreira não negativa e continua

no interior da região viável.

A referida função barreira, tal como as funções de penalidade podem assumir diversas formas, tais

como:

(2.17)

(2.18)

As funções (2.16) e (2.17) são denominadas barreira clássica ou inversa e barreira logarítmica

respectivamente.

2.1.4. Programação Linear

A programação linear foi um método que ganhou muitos adeptos desde que foi pela primeira vez

implementado, não só por ser simples, robusto e fiável, mas também por requerer um reduzido

armazenamento computacional.

Na formulação do TEO com LP apenas são utilizadas as variáveis de controlo, não sendo realizada a

optimização do trânsito de potência reactiva, o que constitui uma limitação deste método.

As funções de custo dos geradores têm uma grande influência neste método, pois terão de ser

linearizadas no caso de não serem lineares. Nas centrais térmicas, por exemplo, estas funções são

por vezes modeladas como sendo quadráticas, como a apresentada na figura seguinte:

∑

∑

9

Figura 2.2 – Função de custo com característica não linear

Uma forma de ultrapassar este problema é efectuando uma linearização por troços de forma a

aproximar a curva original utilizando segmentos de recta:

Figura 2.3 – Linearização da função de custo não linear

As restrições de igualdade (equações do TE) podem ser linearizadas, por exemplo, recorrendo ao

desenvolvimento em serie de Taylor (1ª ordem), ou usando coeficientes de sensibilidade. No entanto,

outra limitação deste método reside no facto de as linearizações serem aproximações, levando

inevitavelmente a erros nos resultados obtidos [12].

Uma formulação matemática para um problema generalizado de programação linear pode ser dado

por

, (2.19)

em que corresponde à linearização da função objectivo e às linearizações das

restrições de desigualdade e igualdade.

Na figura (2.4) é apresentado um fluxograma com um possível processo de resolução do TEO

utilizando Programação Linear [3].

Fi

Pi

Fi

Pi

10

Figura 2.4 – Fluxograma de uma estratégia para a solução do TEO com LP

2.1.5. Algoritmo de Ponto Interior

Designa-se por ponto interior aquele em que todas as variáveis se encontram dentro dos seus limites.

O método de ponto interior pode ser aplicado tanto em problemas de programação linear como em

problemas de programação não linear (Newton por exemplo), apresentando resultados promissores

em ambos os casos [3].

A aplicação directa deste método num problema não linear (Método de Ponto Interior Directo)

consiste em transformar restrições de desigualdade em restrições de igualdade, por meio da

introdução de variáveis de folga (baseadas nas condições de Kuhn-Tucker) e na adição de uma

função logarítmica à função objectivo, para garantir a não negatividade das variáveis de folga, ou

seja, utilizando uma barreira logarítmica, tal como foi apresentado na secção 2.1.3.

Usando a mesma formulação matemática feita no capítulo introdutório:

11

(2.20)

As variáveis de folgas são variáveis sempre positivas, sendo inicializadas da seguinte forma [8]:

(2.21)

(2.22)

em que e

são as variáveis de folga referentes ao limite inferior e superior respectivamente

da restrição de desigualdade .

Utilizando a função barreira definida em (2.16) e (2.18), e inserindo as variáveis de folga, a

modificação do problema conduz à seguinte formulação [11]:

(2.23)

Com as novas restrições de igualdade, terão que ser introduzidos multiplicadores para as mesmas,

ficando assim a função da seguinte forma [11]:

[ ] (2.24)

em que [ ] representa o conjunto dos multiplicadores de Lagrange referentes às

novas restrições de igualdade (limites das variáveis).

Actualmente a maioria dos problemas de optimização com restrições de desigualdades são

resolvidos por métodos de ponto interior [3], pois além da robustez do método, este reduz o número

de iterações necessárias e tem uma elevada probabilidade de convergência. No entanto a

inicialização de e e as respectivas actualizações ao longo das iterações condicionam bastante a

eficácia e velocidade deste método. Existem várias técnicas eficientes de actualização das variáveis e

de inicialização dos multiplicadores de Lagrange . No entanto a inicialização do parâmetro de

barreira ainda é um desafio, sendo feita usualmente por tentativa-erro [8].

Sendo este o outro método utilizado neste trabalho, no subcapítulo 3.1.2 serão apresentadas técnicas

de inicialização e actualização das variáveis identificadas como sendo as mais indicadas para o

problema estudado.

∑ ( )

12

2.1.6. Comparação dos Métodos

De seguida é apresentada uma tabela comparativa dos 4 métodos apresentados nesta secção onde

serão atribuídas pontuações (de 1 a 5) às características mais importantes no desempenho dos

algoritmos, assim como principais pontos críticos dos mesmos. [1] [3] [8] [10]

Tabela 2.1 – Vantagens e Desvantagens dos métodos propostos para a resolução do TEO

Convergência Precisão Velocidade Complexidade Notas

Gradiente

Convergência fortemente dependente da escolha de . Torna-se difícil de lidar com as restrições de igualdade.

Newton

O elevado número de limites infringidos aumenta a complexidade do problema e a esparsidade da matriz , podendo levar à divergência.

Programação Linear

Os pontos escolhidos para a linearização assim como a aproximação efectuada na mesma podem condicionar tanto a convergência como a precisão do método.

Ponto Interior

A única e grande desvantagem deste método é a forte dependência das condições iniciais, principalmente da inicialização do parâmetro de barreira.

13

2.2. Inclusão de Geração Eólica no TEO

A energia eólica, devido à sua previsibilidade limitada e intermitência, é considerada problemática

para a operação dos sistemas de energia. A possibilidade de indisponibilidade do vento leva à

necessidade de existir energia de reserva suficiente, sendo que no caso de ocorrerem variações

súbitas de velocidade, a falta de energia eólica terá que ser rapidamente compensada pelas unidades

convencionais, caso contrário poderão ocorrer:

Grandes variações de tensão;

Grandes variações de frequência;

Colapso do sistema.

É então importante existir uma boa exactidão na previsão do vento.

O impacto da energia eólica no TE torna-se assim uma questão cada vez mais importante com a

crescente integração deste tipo de tecnologia nos sistemas de energia. Alguns dos factores

essenciais para esta análise são os custos de operação, custos de reserva e emissões.

Na análise dos modelos apresentados nesta secção, serão apenas referidas as alterações nas

funções objectivo e/ou restrições a serem efectuadas nos modelos do TEO apresentados no

subcapítulo anterior.

2.2.1. Variabilidade e Previsibilidade da Energia Eólica

Para uma análise da energia eólica em grande escala é usual modelar a sua produção através de

dados meteorológicos e curvas agregadas velocidade-potência.

Para manter o equilíbrio entre a geração e o consumo ao longo do tempo as variações na carga e na

geração eólica têm que ser combinadas por uma energia reguladora suficiente. As variações na

potência podem contrabalançar ou amplificar as variações da carga, sendo necessário analisar as

variações agregadas de modo a determinar a energia reguladora. Uma abordagem possível para esta

situação é considerar a energia eólica uma carga negativa [6], no entanto esta situação não será

abordada, pois trata-se de um caso em que toda a energia eólica necessária é despachada, ou seja,

esta não teria um custo associado, o que não se verifica na realidade.

Análise da previsão de dados [7]:

Erro de previsão:

(2.25)

Desvio numa determinada hora:

(2.26)

em que representa a média de todos os medidos, a potência instalada e o numero de

horas analisadas.

√∑

( )

14

Em termos de simulação, tanto na previsão do consumo como na previsão da energia eólica, poderão

ser usados 3 horizontes temporais [7]:

Anual: Calendarização da manutenção

Semanal: Produção e optimização do custo

Horário (ou outro curto espaço de tempo): Despacho

2.2.2. Caracterização do Vento

A função de probabilidade considerada a mais adequada para descrever o comportamento do regime

de ventos é a distribuição de Weibull.

A caracterização aqui usada foi adaptada de [2] e [6].

As expressões matemáticas da função de distribuição acumulada (fda) e de densidade de

probabilidade (fdp) de Weibull são dadas respectivamente por (2.27) e (2.28):

(

)

(2.27)

(

)

(

)

(2.28)

em que é a velocidade do vento, um factor de escala [m/s] e um factor de forma [sem

dimensão].

Em (2.29) estão as relações entre a potência eólica gerada e a velocidade do vento:

(2.29)

Sendo e as velocidade de “cut in” e “cut out” respectivamente e a potência nominal do

gerador.

Aplicando à referida distribuição tem-se:

[(

) ]

(

)

(2.30)

[(

) ]

[(

) ]

(2.31)

onde

para simplificar.

De seguida serão apresentadas duas abordagens distintas de inclusão da energia eólica no TEO.

15

2.2.3. Probabilidade de satisfação do consumo

Nesta abordagem [6] há que definir a variável aleatória . Este parâmetro aqui introduzido trata-se

de uma tolerância especificada que representa a não satisfação da carga, ou seja, é a probabilidade

de a geração total não satisfazer o consumo.

Assim, este modelo consiste em adicionar à formulação do DE ou do TEO a seguinte restrição:

∑

, (2.32)

em que W representa o despacho de toda a energia eólica, a carga a ser satisfeita e as perdas

globais do sistema.

Como é necessário garantir que o consumo seja satisfeito, terá que tomar valores relativamente

baixos, sendo aceitável que esta probabilidade assuma valores inferiores a 10% [6].

Definindo , a relação (2.31) pode ser escrita da seguinte forma:

∑ ∑

, (2.33)

sendo a função de distribuição acumulada da variável aleatória W.

Substituindo em (2.30) tem-se:

∑

( )

∑

(2.34)

De onde se pode tirar:

∑

[

]

| [

]|

(2.35)

| [

]|

(2.36)

em que representa o factor de penetração do vento.

Esta variável caracteriza a contribuição da variação estocástica da energia eólica no sistema, tendo

as seguintes propriedades:

∑

Ou seja, um aumento da tolerância leva a que se assuma um factor de penetração do vento mais

elevado, sendo assim necessária uma menor geração de potência referente aos geradores térmicos

convencionais.

16

Neste método apesar de a energia eólica produzida poder ter um custo associado, o mesmo não

entrará na optimização, pois toda a potência disponível é utilizada a não ser que esta ultrapasse o

valor do consumo.

Assim este tipo de abordagem poderá ser útil em estudos de viabilidade de projectos de parques

eólicos, usando para isso as distribuições de probabilidade referidas no capítulo 2.2.2.

2.2.4. Subestimação e Sobrestimação Eólica

No DE e no TEO há que ter em conta a satisfação da potência eólica prevista, havendo assim a

necessidade de existirem reservas para o caso dessa potência ser menor que a agendada. O caso

contrário, ou seja, a sobrestimação da potência eólica também tem que ser tida em conta, pois nesse

caso poderá haver geradores alocados desnecessariamente. Serão assim introduzidas funções de

custo para a subestimação e sobrestimação da potência gerada por cada gerador eólico [5].

Este modelo consiste em adicionar às funções de custo dos geradores térmicos convencionais e

eólicos as duas funções referidas no parágrafo anterior.

Assim a função objectivo, a ser utilizada pelo operador do sistema, é dada por

(2.37)

onde:

– Número de geradores convencionais

– Número de geradores eólicos

– Potência gerada pelo gerador convencional i

– Potência gerada pelo gerador eólico i

– Potência disponível prevista do gerador i

– Função de custo do gerador convencional

– Função de custo do gerador eólico

– Função de penalidade referente à não utilização de toda a potência disponível no

gerador eólico.

– Função de reserva requerida referente à subestimação da potência disponível no

gerador eólico

Usualmente as funções de custo dos geradores térmicos são modeladas como quadráticas (2.38),

assumindo-se, no caso dos geradores eólicos, funções de custo lineares (2.39) [5].

(2.38)

(2.39)

As funções de custo referentes à subestimação e sobrestimação são dadas por (2.40) e (2.41)

respectivamente [5], sendo o segundo termo de cada expressão valido no caso de se estar a utilizar a

fdp da distribuição de Weibull (equação 2.30) na estimação da energia eólica:

( ) ∑ ( )

∑

∑

∑

17

(2.40)

(2.41)

em que e são os coeficientes do custo de penalidade (subestimação) e de reserva

(sobrestimação) respectivamente.

Como esta metodologia aborda a previsão de dados, sendo introduzidas penalizações aos erros de

estimação, assim como à não utilização da totalidade da energia eólica disponível, torna-se uma

abordagem mais robusta do que a proposta no ponto anterior que apenas se foca na probabilidade de

satisfação do consumo. Assim será esta a abordagem utilizada para inclusão da energia eólica no

TEO.

( ) ( ) ∫ ( )

( ) ( ) ∫ ( )

19

( ) ∑ ( )

∑

∑ ( )

∑

∑ ( )

∑

( ) ( )

( )

3. Implementação do TEO

3.1. Modelo e Formulação Matemática

Devido às vantagens já referidas no ponto (2.1.6) os dois métodos utilizados nesta dissertação serão

o Método de Newton e o Método do Ponto Interior, métodos cuja principal diferença reside no

tratamento feito às restrições de desigualdade, como já foi referido.

Primariamente será apresentada a formulação referente ao Método de Newton com as restrições de

desigualdade resolvidas através das condições de Kuhn-Tucker, sendo posteriormente

apresentadas as alterações que permitem a aplicação do algoritmo de Ponto Interior.

A inclusão de Energia Eólica será feita através do modelo apresentado em (2.2.4) intitulado

“Subestimação e Sobrestimação Eólica”.

3.1.1. Método de Newton

Rescrevendo a formulação do problema do TEO feita em (2.7) para o Método de Newton, tem-se

, (3.1)

onde serão impostos limites superiores e inferiores para as seguintes variáveis (restrições de

desigualdade):

Potências activas geradas

Potências reactivas geradas

Tensões em todos os barramentos

As restrições de igualdade serão as equações do Transito de Energia.

Assim, desenvolvendo a formulação feita em (3.1), conclui-se que o objectivo é minimizar a função de

custo :

(3.2)

Sujeito a [1]:

Balanço de potência activa e reactiva na rede:

20

∑ ( ) ( )

∑ ( ) ( )

(3.3)

(3.4)

Limite de Potência activa e reactiva gerada:

(3.5)

(3.6)

Limites de tensão em cada barramento:

(3.7)

Onde as Potências injectadas nos barramentos são dadas por:

(3.8)

(3.9)

Recorrendo aos Multiplicadores de Lagrange, a função de custo sujeita às restrições de igualdade

definidas em (3.3) e (3.4) transforma-se na seguinte Função de Custo Aumentada:

(3.10)

Se os limites referentes às restrições de desigualdade forem infringidos então, terá que se adicionar

ao Lagrangeano as equações de Kuhn-Tucker referentes a essas restrições, tal como foi feito em

(2.13):

(3.11)

Relembrando a equação definida no subcapítulo 2.1.2, onde este método foi definido, o nosso

problema fica reduzido à equação matricial representada em (3.12), sendo esta expandida em (3.13)

[4].

[

] [

] (3.12)

Em que representa o Jacobiano da função de custo aumentada, o vector das variáveis a

calcular e o desvio das mesmas, que terá que ser calculado a cada iteração até

que o valor dos seus elementos chegue perto de 0 (convergência).

∑

∑ ( ) ( )

∑

∑ ( ) ( )

∑ ( )

∑ ( )

∑ ( )

∑ ( )

∑ ( )

∑ ( )

21

[

]

[

]

[

]

(3.13)

22

De seguida [

] serão expandidas e divididas em funções, de modo a se obter uma melhor

apresentação de todas as derivadas em jogo.

É importante referir que nas derivadas seguintes representa o conjunto de todos os

geradores, sem haver diferenciação entre térmicos e eólicos.

O conjunto de todas as variáveis é então dado por:

[

] (3.14)

Por forma a simplificar as expressões (3.27) a (3.33) será utilizada a seguinte notação:

Com esta notação, são assim apresentadas as Condições de Optimalidade [4]:

(3.15)

(3.16)

∑| || |( ( ) ( ))

(3.17)

∑| || |( ( ) ( ))

(3.18)

∑| || |( ( ) ( ))

∑ | || |( ( ) ( ))

∑| || |( ( ) ( ))

∑ | || |( ( ) ( ))

(3.19)

23

∑| |( ( ) ( ))

∑ | |( ( ) ( ))

∑| |( ( ) ( ))

∑ | |( ( ) ( ))

(3.20)

(3.21)

(3.22)

(3.23)

(3.24)

(3.25)

(3.26)

(3.27)

(3.28)

24

De seguida, fazendo uso das funções deduzidas acima, serão calculados os elementos não nulos

do Jacobiano [4]:

(3.29)

(3.30)

(3.31)

(3.32)

(3.33)

∑

( )

∑

( )

∑

( )

∑

( )

∑

( )

∑

( )

∑

∑

∑

∑

( ) ( )

∑

∑

∑

∑

( ) ( )

( )

25

(3.34)

(3.35)

(3.36)

(3.37)

Estando agora definidos todos os elementos da equação (3.13), é possivel representar a mesma na

forma (2.38), ou seja, com o cálculo de , que é feito a cada iteração deste algoritmo.

∑

( )

∑

( )

( ) ( )

( )

∑

∑

∑

∑

( ) ( )

( )

26

[

]

[

]

[

]

(3.38)

A matriz acima representada, além de apresentar dimensões bastante elevadas para redes de grandes dimensões, é esparsa, pois apresenta diversos

elementos nulos. Esta esparsidade aumenta significativamente com o número de restrições infringidas, pois sem restrições e usando o método de Newton

com as restrições de desigualdade resolvidas por aplicação directa das condições de Kuhn-Tucker, esta equação matricial fica na forma (3.39). No caso de

serem usadas funções barreira (ou pelo método de ponto interior) todas as restrições permanecem na matriz, ou seja, a dimensão será sempre fixa.

27

(3.39)

3.1.2. Alterações na implementação do Algoritmo de Ponto Interior

Neste subcapítulo serão apresentadas as alterações a serem realizadas na formulação feita para o

Método de Newton, introduzindo variáveis de folga e funções barreira para o tratamento das

restrições de desigualdade tal como foi feito na secção 2.1.5.

(3.40)

Como as restrições de igualdade serão tratadas através de funções de barreira logarítmicas, tal como

foi referido na secção 2.1.5, introduzindo as variáveis de folga, assim como os respectivos

multiplicadores de Lagrange, a Função de Custo Aumentada (3.1.1) fica da seguinte forma:

(3.41)

Desenvolvendo os dois últimos termos da equação (3.41) deduz-se a expansão representada em

(3.42):

[ ]

[

]

[ ]

∑ ( )

∑[ ( )

]

∑

∑ (

)

28

(3.42)

O conjunto de variáveis é agora dado por

[ ] (3.43)

em que:

[

] (3.44)

[

] (3.45)

De seguida serão apresentadas as alterações nas Condições de Optimalidade:

Nas equações (3.15), (3.16) e (3.20), referentes às derivadas do Lagrangeano em ordem a

, e apenas terão que se substituir os coeficientes de Kuhn-Tucker análogos aos

multiplicadores de Lagrange:

As equações (3.21) à (3.26) deixam de existir dando lugar às derivadas em ordem às variáveis de

folga e aos novos multiplicadores de Lagrange:

(3.46)

(3.47)

(3.48)

∑[ ( )

]

∑ (

)

∑ (

)

∑ (

)

∑ (

)

∑ (

)

∑ (

)

29

(3.49)

(3.50)

(3.51)

(3.52)

Quanto aos elementos não nulos do Jacobiano, nas equações (3.29) à (3.36) todos os resultados se

mantêm, lembrando que as derivadas em ordem aos coeficientes de Kuhn-Tucker serão agora em

ordem aos multiplicadores de Lagrange

Assim, apenas serão adicionadas as equações seguintes:

(3.53)

(3.54)

(3.55)

Ao contrário do que acontece com o Método de Newton a dimensão do Jacobiano, aparte das

equações referentes à subestimação e sobrestimação da energia eólica, tem uma dimensão fixa e

com mais elementos (restrições de desigualdade) devido à inserção das variáveis de folga.

Uma grande vantagem deste método é o facto de o mau condicionamento da matriz deixar de ser

um problema. Assim a inversão da matriz terá um resultado exacto sem nenhum erro induzido. Para

contornar este problema, no Método de Newton foi utilizada a função que calcula a inversa

generalizada de uma matriz, contornando assim o facto de esta ser mal condicionada.

A equação (3.38) fica agora com a forma representada em (3.56).

30

(3.56)

Quanto à inicialização das variáveis, ponto crucial neste algoritmo, devido aos bons resultados

obtidos nas simulações, foi sugerido o seguinte método [8]:

Inicialização das variáveis de folga feita através das do valor inicial das restrições de

desigualdade multiplicado por um factor correctivo:

(3.57)

Escolhendo foram obtidos bons resultados.

Escolhendo um valor de , uma forma eficiente de inicializar os multiplicadores de

Lagrange referentes às restrições abrangidas pela barreira é dada pela equação

, (3.58)

em que é uma matriz diagonal constituída pelas variáveis de folga e é vector de

dimensão preenchida por elementos unitários.

Não existe nenhuma forma universal de inicializar , no entanto, de uma forma grosseira é

possível definir uma inicialização compreendida no intervalo .

A redução do parâmetro de barreira, sendo o número o número da iteração, é dada pela seguinte

fórmula [8]:

(3.59)

em que é denominada lacuna de complementaridade, sendo calculada através da equação

(3.60), e é chamado parâmetro de centragem, factor que representa o compromisso entre

a viabilidade e a optimalidade do algoritmo, sendo que para valores próximos de 0 (1) é dada ênfase

à optimalidade (viabilidade). No estudo realizado foram obtidos melhores desempenhos com valores

de compreendidos entre 0.1 e 0.2. Como a viabilidade pode ser garantida em algumas iterações é

aconselhável começar com um valor mais alto e ir reduzindo progressivamente, por exemplo,

começar em 0.2 e acabar em 0.1.

(3.60)

[ ]

[

]

[ ]

31

No que diz respeito á actualização das variáveis terá que se realizar distinção entre variáveis primais

(variáveis de controlo, estado e folga) e duais (multiplicadores de Lagrange), sendo a actualização

feita em primeira instância pelas equações [8]

(3.61)

, (3.62)

em que e

são parâmetros que definem a dimensão do passo realizado na iteração, sendo

definidos por [8]

(3.63)

(3.64)

em que

Como existe dependência entre as variáveis primais e duais não é viável a utilização as equações

(3.61) e (3.62), sendo necessário definir um parâmetro comum , dado por [8]:

(3.65)

A actualização das variáveis é então feita através da equação (3.66) [8].

(3.66)

3.2. Fluxogramas dos Algoritmos Desenvolvidos

O funcionamento dos modelos apresentados nos subcapítulos anteriores podem ser descritos pelos

fluxogramas das figuras 3.1 e 3.2. Os algoritmos foram implementados em Matlab® sem recurso a

qualquer toolbox de optimização.

O programa que implementa o algoritmo recebe como input o ficheiro com a configuração da rede

onde estão presentes os seguintes dados:

Número de barramentos.

Valores das bases de potência, tensão e impedância.

Números e posições de geradores, cargas, condensadores (compensação do factor de

potência) e transformadores (com as respectivas relações de transformação definidas).

Matriz das admitâncias, condutâncias e susceptâncias nodais.

Valores dos coeficientes das funções de custo.

No ponto 1 de ambos os fluxogramas é feita a inicialização das variáveis através das previsões de

carga e da potência eólica esperada. Estas previsões poderão ser feitas através da distribuição de

Weibull, no entanto, na simulação serão utilizados os dados fornecidos pela Rede Energética

Nacional (REN).

As equações referentes à sobrestimação e subestimação da energia eólica não se encontram

presentes na primeira iteração, sendo posteriormente adicionadas se a potência eólica real for

diferente da prevista ou se existir excedente de potência eólica disponível.

| |

| |

32

Não

Sim

Sim

Método de Newton:

Figura 3.1 – Fluxograma da estratégia utilizada na resolução do TEO utilizando o Método de Newton

No ponto 8 do algoritmo referente ao método de Newton o teste efectuado consiste em verificar se os

coeficientes de Kuhn-Tucker referentes aos limites infringidos são negativos. Se tal acontecer a

variável fixa é reintegrada no sistema, ou seja:

(3.67)

sendo o vector das variáveis fixas.

9.

?

1. Inicialização

das variáveis

2. Se necessário ordenar a matriz das admitâncias para

que os barramentos com geradores sejam os primeiros

na mesma, respeitando assim a nomenclatura.

[ ]

[ ]

6.

4. Calculo dos

desvios

3. Construção das

matrizes e [

]

5.

10.FIM

7. Reconstruir e [

] adicionando as

equações necessárias referentes às

condições de Kuhn-Tucker no caso dos

limites das potências e/ou tensão serem

infringidos.

8. Se existirem variáveis fixas

provenientes de iterações anteriores é

testada a viabilidade da reentrada das

mesmas no Jacobiano.

33

Não Sim

Ainda no ponto 8, todas as variáveis anteriormente fixadas (já não se encontravam presentes no

Jacobiano), incluindo os respectivos coeficientes de Kuhn-Tucker, são reintegrados nas condições

atuais através de uma função externa, sendo de seguida calculados os vectores auxiliares e

. Se uma variável anteriormente fixada já não infringe os limites impostos esta é reintegrada no

Jacobiano. Este passo é feito por forma a evitar realizar todas as combinações possíveis de

integração das variáveis, pois isso acarretaria um peso computacional elevado tornando o processo

muito demorado.

Método de Ponto Interior

Figura 3.2 – Fluxograma da estratégia utilizada na resolução do TEO utilizando o Método de Ponto Interior

1. Inicialização das variáveis segundo a

metodologia apresentada na secção 3.1.2

2. Se necessário ordenar a matriz das admitâncias para

que os barramentos com geradores sejam os primeiros

na mesma, respeitando assim a nomenclatura.

4. Calculo dos

desvios

3. Construção das

matrizes e [

]

5.

7. FIM 6.

?

34

3.3. Newton Vs Ponto Interior

Neste ponto, a análise destes dois métodos será realizada aplicando-os primariamente a uma rede de

doze barramentos, onde estão presentes três geradores e cinco cargas. Posteriormente será utilizada

uma rede de cinquenta e sete barramentos do IEEE.

Serão estudados cenários distintos de limites nas variáveis e o efeito causado pela existência de

geradores eólicos na rede, assim como variações nas funções de custo dos geradores.

3.3.1. TEO – Rede de 12 barramentos

Por simplificação de análise, pois trata-se de uma rede com apenas três geradores, a maior parte das

simulações irá ser realizada com a rede de 12 barramentos representada na Figura 3.3. Os dados

referentes à mesma estão presentes na tabela 3.1.

Figura 3.3 – Topologia da rede [1]

Nesta secção não será analisada a influência do vento no TEO, mas sim o desempenho dos dois

algoritmos em estudo no que toca á velocidade de convergência, custo total de operação e perdas

totais do sistema.

35

Tabela 3.1 – Dados da rede de 12 barramentos [1]

Dados dos barramentos

Bar Tensão Carga Compens. Transv.

nº (graus)

1 1,0 220 0,0 0,0 0,0

_______

__________

2 1,0 220 0,0 0,0 0,0

3 1,0 220 0,0 0,0 0,0

4 1,0 220 0,0 25,0 10,0

5 1,0 220 0,0 0,0 0,0

6 1,0 220 0,0 30,0 12,0

7 1,0 220 0,0 0,0 0,0

8 1,0 220 0,0 100,0 40,0

9 1,0 220 0,0 0,0 0,0

10 1,0 60 0,0 90,0 40,0 10,0

11 1,0 60 0,0 125,0 65,0 15,0

12 1,0 60 0,0 100,0 50,0 15,0

Dados dos Ramos

De Para Tipo

Impedância Longitudinal

Admitância Transversal

Potência Nominal

Relação de Transformação

nº nº

1 4 Linha 0,0000 0,0576 0,0000 250

___________

4 5 Linha 0,0170 0,0920 0,1580 250

5 6 Linha 0,0390 0,1700 0,3580 150

3 6 Linha 0,0058 0,0586 0,0000 300

6 7 Linha 0,0119 0,1008 0,2090 150

7 8 Linha 0,0085 0,0720 0,1490 250

8 2 Linha 0,0063 0,0625 0,0000 250

8 9 Linha 0,0120 0,1610 0,3060 250

9 4 Linha 0,0100 0,0850 0,1760 250

5 10 Transf. 0,0000 0,0800 0,0000 150 0,95

7 12 Transf. 0,0000 0,0800 0,0000 150 0,95

9 11 Transf. 0,0000 0,0800 0,0000 150 0,90

Base de Potência:

Nas Tabelas 3.2 e 3.3 estão os dados padrão dos geradores e das Tensões nos barramentos (rede

de 12 barramentos).

Tabela 3.2 – Dados dos geradores

Gerador

1 3,0 0,2 2,0 -1,0 750 20 0.055

2 3,0 0,2 2,0 -1,0 3000 12 0.0425

3 3,0 0,2 2,0 -1,0 1600 10 0.060

36

O valor inicial da potência gerada em cada gerador é calculado dividindo a carga total pelo número de

geradores, sendo que no caso de existirem geradores eólicos o valor inicial destes é igual à potência

eólica prevista (dado introduzido pelo utilizador).

Tabela 3.3 – Dados das Tensões nos barramentos

Tipo de Barramento

Geração 1,1 0,9

Sem geração 1,05 0,95

O despacho de unidades é feito de uma maneira simplificada. Existindo geradores, se a carga

total multiplicada por um factor definido pelo utilizador (1,2 por exemplo significa um incremento de

20% do valor total da carga) for satisfeita pelos ( ) geradores mais baratos, o mais caro é

desactivado.

Nos exemplos apresentados nesta secção, além de alterações no tipo (térmico ou eólico) e custo dos

geradores será alterado o valor da carga. Para isso é definida uma nova variável, o factor de carga

( ). Este parâmetro é multiplicado pela carga (activa ou reactiva) de referência, presente na tabela

3.1 ( ). Por exemplo, com , todos os valores de e presentes na referida tabela

ficam reduzidos a metade.

Exemplo 1

Rede: 12 barramentos

Dados padrão das tabelas 3.2 e 3.3.

Método de Newton:

Figura 3.4 – Evolução da potência activa e reactiva e dos módulos das tensões ao longo das iterações – Método de Newton

37

Como se pode verificar na tabela 3.4, apenas os níveis de tensão nos barramentos 6, 10 e 12

atingiram o seu limite (1,05 pu), accionando assim as condições de Kuhn-Tucker referentes aos

respectivos limites superiores das tensões.

De realçar que na 1ª iteração todos os níveis de tensão ultrapassaram os seus limites superiores. Aí

todas as condições de Kuhn-Tucker foram activadas sendo seguido o procedimento apresentado nos

pontos 7 e 8 da figura 3.1, onde é descrito o funcionamento do algoritmo.

Tabela 3.4 – Resultados da simulação do exemplo 1 (Newton)

Barr. Custos

Horários

Custos Marginais

1 (GT) 3365,23 31,23 102,10 43,12 1,06 0,00 31,23 0,00

2 (GT) 7429,29 29,95 211,17 67,20 1,08 7,19 29,95 0,00

3 (GT) 4861,01 29,71 164,24 20,76 1,07 7,20 29,71 0,00

4 1,03 -3,09 31,23 0,00

5 1,02 -4,01 31,56 0,03

6 1,05 2,33 30,22 0,02

7 1,02 -0,88 30,77 0,04

8 1,03 0,59 30,69 0,14

9 1,00 -5,54 31,47 0,26

10 1,05 -7,67 31,55 -0,09

11 1,01 -10,92 31,52 0,29

12 1,05 -4,93 30,76 -0,19

Custo Total

15655,53

Carga Total

470,00

Perdas 7,51

Método de Ponto Interior:

38


iterações – Ponto Interior

É bem visível na Figura 3.6 uma diferença de funcionamento dos dois métodos. Além de a barreira

logarítmica utilizada não permitir que os níveis de tensão subam para níveis elevados, também faz

com que estabilizem mais rapidamente (3 iterações).

Tabela 3.5 – Resultados da simulação do exemplo 1 (Ponto Interior)

Barr. Custos

Horários

Custos Marginais

1 (GT) 3423,06 31,43 103,94 40,06 1,00 0,00 30,72 -0,22

2 (GT) 7345,55 29,71 208,36 62,89 1,03 7,50 29,52 -0,21

3 (GT) 4843,30 29,64 163,65 24,08 1,02 7,43 29,29 -0,22

4 0,98 -3,27 30,71 -0,21

5 0,97 -4,25 31,04 -0,10

6 1,00 2,36 29,77 -0,17

7 0,98 -0,99 30,30 -0,05

8 0,98 0,55 30,21 -0,05

9 0,95 -5,86 30,92 -0,02

10 0,99 -8,15 31,05 -0,12

11 0,95 -11,56 30,93 0,04

12 1,00 -5,27 30,31 -0,07

Custo Total

15611,91

Carga Total

470,00

Perdas 5,95

Neste primeiro exemplo nota-se um desempenho ligeiramente melhor do algoritmo de Ponto Interior.

A nível de velocidade não existe uma diference significativa. No entanto, quanto ao custo total de

operação, o algoritmo de Ponto Interior tem um melhor desempenho. Isto deve-se ao facto de os

níveis de tensão e consequentemente da potência reactiva serem mais reduzidos, o que dá origem a

uma redução das perdas totais do sistema em relação ao método de Newton.

Exemplo 2


A única alteração em relação aos dados padrão é o facto de todos os geradores terem os

coeficientes de custo iguais aos definidos para o gerador 3.

Com este exemplo pretende-se analisar a influência de se ter geradores com funções de custo iguais,

contrastando com os resultados obtidos no exemplo anterior.

39

Como seria de esperar, quando as funções de custo são iguais para todos os geradores, as potências

geradas pelos mesmos são muito semelhantes, tratando-se de um problema de minimização das

perdas. Assim, em relação ao exemplo 1, são deduzidas as mesmas conclusões, no entanto as

diferenças entre o custo e as perdas nos dois métodos não são tão acentuadas.

Método de Newton:

Custo Total de Operação 14085,20

Perdas 5,73


Custo Total de Operação 14051,57

Perdas 4,57

Exemplo 3


Alterações em relação aos dados padrão:

Aqui apenas serão apresentados os resultados referentes ao método de Newton, já que no caso do

algoritmo de Ponto Interior os resultados foram próximos dos obtidos no exemplo 1.

Método de Newton:

Aqui é importante analisar os coeficientes de Kuhn-Tucker referentes às potências activa e reactiva

que no presente caso deixam de ser nulos, pois estes representam o quanto se paga a mais devido

às imposições dos respectivos limites. Como seria de esperar tanto a potência reactiva como a activa

do gerador 2 (o mais barato) atingem os respectivos limites obrigando os restantes geradores a

produzir mais, levando inclusive a que a potência reactiva do gerador 2 viole o seu limite superior.

É fácil de observar que também aqui o algoritmo de Ponto Interior leva vantagem, pois este manteve

sensivelmente o mesmo custo, enquanto que com o Método de Newton existe um aumento

considerável do mesmo.

40


iterações – Método de Newton


Barr. Custos

Horários

Custos Marginais

1 (GT) 3555,05 31,89 108,11 50,00 1,06 0,00 31,89 0,02

2 (GT) 7098,62 28,99 199,95 49,96 1,05 6,43 30,58 0,44

3 (GT) 5015,64 30,32 169,40 33,63 1,07 6,97 30,33 0,00

4 1,03 -3,27 31,90 0,03

5 1,02 -4,23 32,19 -0,08

6 1,05 2,02 30,86 0,06

7 1,01 -1,45 31,51 0,46

8 1,02 -0,12 31,42 0,55

9 1,00 -5,95 32,21 0,45

10 1,05 -7,89 32,17 -0,37

11 1,00 -11,42 32,30 0,51

12 1,04 -5,59 31,58 0,50

Custo Total

15669,30

Carga Total

470,00

Perdas 7,46

Tabela 3.7 – Coeficientes de Kuhn-Tucker referentes à simulação do exemplo 3

Barr.

1 (Ger) 0,00 0,00 0,10 0,00

2 (Ger) 1,65 0,00 10,57 0,00

3 (Ger) 0,00 0,00 0,00 0,00

41

Exemplo 4



Gerador 3 – Eólico com uma geração prevista de e uma potência disponível de

. Não há produção de reactiva. Coeficiente de custo

No presente exemplo, além de uma carga significativamente inferior aos casos anteriores, verifica-se

a presença de uma geração eólica elevada. Com isto está garantida a satisfação da carga apenas

com duas unidades de geração (1 térmica + 1 eólica), sendo despachada a unidade mais cara

(gerador 1).

Nesta situação não será possível usar toda a potência eólica disponível, pois o gerador térmico tem

uma potência mínima de funcionamento igual a 0,2 pu, sendo assim desperdiçada parte da potência

eólica, o que leva ao aparecimento do coeficiente de penalidade (referente há não utilização de

toda a potência eólica disponível).

Método de Newton:


Barr. Custos

Horários

Custos Marginais

1 (GT) 750,00 20,00 0,00 0,00 1,01 0,00 10,77 0,00

2 (GT) 3257,00 13,70 20,00 -8,44 0,99 2,30 10,60 0,15

3 (GE) 1928,84 -18,37 172,99 -0,01 1,03 14,01 10,00 0,16

4 1,01 0,00 10,77 0,00

5 1,01 1,69 10,68 -0,03

6 1,02 8,46 10,22 0,14

7 1,00 3,52 10,51 0,16

8 1,00 1,55 10,63 0,14

9 1,00 -1,04 10,78 0,06

10 1,05 0,21 10,68 -0,13

11 1,03 -3,15 10,79 0,06

12 1,04 1,85 10,52 0,17

Custo Total

5935,84

Carga Total

188,00

Perdas 4,99

42

Tabela 3.9 – Coeficientes de Kuhn-Tucker e factores de penalização do vento referentes à simulação do exemplo 4

Barr.

1 (GT) 0,00 0,00 0,00 0,00

2 (GT) 0,00 0,89 0,00 0,00

3 (GE) 0,00 0,00 0,29 0,00 28,36 0

O aparecimento de um custo marginal negativo para o gerador eólico é justificável pelo facto do valor

de ser superior ao do coeficiente de custo do gerador eólico, como se pode verificar em (3.68). Isto

significa que ao se produzir mais 1 unidade no gerador eólico referido o custo total de

operação diminui.

(3.68)

O coeficiente representa a penalidade associada à não utilização de toda a energia eólica

disponível.



Barr. Custos

Horários

Custos Marginais

1 (GT) 750,00 20,00 0,00 0,00 0,96 0,00 10,06 -5,19

2 (GT) 3266,04 13,76 20,66 -3,66 0,95 1,88 10,23 -3,51

3 (GE) 1859,71 -11,08 174,61 0,00 0,98 13,14 10,47 -5,52

4 0,96 0,01 10,07 -4,99

5 0,96 1,61 10,06 -5,40

6 0,98 7,91 10,18 -5,32

7 0,96 3,23 10,11 -4,42

8 0,95 1,33 10,22 -3,30

9 0,95 -0,97 10,10 -4,06

10 0,99 0,24 9,93 -5,88

11 0,97 -2,92 9,93 -4,63

12 0,99 1,70 9,96 -4,95

Custo Total

5875,75

Carga Total

188,00

Perdas 7,27

( ( ))

43

Comparando os resultados de ambos os métodos, facilmente se conclui que, embora o método de

Ponto Interior tenha convergido bastante mais rapidamente, os resultados são muito semelhantes.

Não tendo em conta os coeficientes o método de Newton teria um custo total de operação

ligeiramente mais reduzido, no entanto como o valor de é ligeiramente superior no método de

Newton este apresenta um custo também superior. Assim sendo, deduz-se que o calculo desta

variável afecta de forma significativa o custo final de operação no caso de haver também um desvio

razoável entre a potência gerada e a disponível na geração eólica.

Exemplo 5





Neste exemplo é possível analisar o comportamento dos algoritmos perante uma situação em que se

tem um consumo superior ao padrão e também o facto de se ter uma potência disponível prevista no

gerador eólico superior à real (Potência máxima do gerador eólico).

Em ambos os algoritmos foi utilizada toda a potência eólica disponível no gerador 3, sendo assim o

coeficiente é nulo. Por outro lado o coeficiente (penalização referente há sobrestimação do

vento) toma um valor negativo.

Assim, analogamente ao que foi deduzido em (3.68), é obtido o custo marginal da equação (3.69),

que ao contrario do exemplo 5 já não é negativo, pois agora , o dobro do valor

introduzido no exemplo anterior, e superior ao modulo de (em ambos os algoritmos).

(3.69)

( ( ))

44

Método de Newton:


Barr. Custos

Horários

Custos Marginais

1 (GT) 5207,63 37,16 155,98 153,51 1,1 0,00 37,16 0,00

2 (GT) 9329,60 34,93 269,75 168,44 1,1 7,74 34,93 0,00

3 (GE) 4377,98 7,36 199,85 0,00 0,97 9,82 33,61 3,66

4 1,03 -4,52 37,22 0,77

5 0,97 -6,06 38,14 2,25

6 0,96 2,60 35,35 3,44

7 0,96 -2,36 36,79 2,85

8 1,00 -0,44 36,34 1,56

9 0,96 -8,13 37,90 1,87

10 0,98 -11,43 38,59 2,50

11 0,94 -15,93 38,48 2,32

12 0,96 -8,56 37,45 3,28

Custo Total

18914,99

Carga Total

611,00

Perdas 14,57

Tabela 3.12 – Coeficientes de Kuhn-Tucker e factores de penalização do vento referentes à simulação do exemplo 5

Barr.

1 (GT) 0,00 0,00 0,00 0,00

2 (GT) 0,00 0,00 0,00 0,00

3 (GE) 14,38 0,00 3,10 0,00 0,00 -12,64

45



Barr. Custos

Horários

Custos Marginais

1 (GT) 4998,19 36,53 150,29 59,99 1,09 0,00 33,72 -0,06

2 (GT) 9183,65 34,57 265,55 64,22 1,09 7,60 32,92 -0,06

3 (GE) 4341,57 8,58 199,89 0,00 1,06 7,34 32,77 0,14

4 1,05 -3,97 33,72 -0,06

5 1,03 -5,30 33,97 0,04

6 1,05 1,66 33,14 0,12

7 1,03 -2,04 33,52 0,19

8 1,04 -0,25 33,43 0,11

9 1,02 -6,93 33,89 0,13

10 1,05 -9,60 33,98 0,00

11 1,01 -12,99 33,91 0,15

12 1,04 -6,84 33,55 0,22

Custo Total

18523,42

Carga Total

611,00

Perdas 4,74

Quanto à rapidez de convergência dos dois algoritmos, mantém-se o que já foi referido anteriormente,

ou seja, o algoritmo de Ponto Interior apresenta um melhor desempenho, tal como o que acontece

com o custo total de operação, pois o Método de Newton conduz a perdas mais elevadas.

É importante salientar que usando o algoritmo de Ponto Interior, devido à accionamento da função de

penalidade associada à sobrestimação da potência eólica, foi necessário ensaiar vários parâmetros

de barreira até se obter um que levasse à convergência do método respeitando os limites das

variáveis. Esta dificuldade é comum ocorrer em situações em que existem penalidades associadas ao

vento relativamente elevadas.

3.3.2. TEO – Rede de 57 barramentos

Na Figura 3.4 está representado o esquema unifilar da rede de 57 barramentos do IEEE cujos dados

estão presentes no Apêndice A. Nesta mesma rede os geradores encontram-se nos barramentos 1,

3, 8 e 12. Nos barramentos 2, 6 e 9 estamos na presença de condensadores síncronos (Produção e

consumo de Potência Reactiva), no entanto será realizada a substituição destes elementos por

geradores, por forma a ter-se um maior número destes elementos na rede.

Com a rede de 57 barramentos será analisado o comportamento dos algoritmos com uma rede de

maior dimensão. Os geradores térmicos terão funções de custo iguais com os respectivos

coeficientes presentes na Tabela 3.2 (Gerador 3).

46

Figura 3.7 – Esquema unifilar da rede de 57 barramentos

Exemplo 6


Dados padrão (Apêndice A) – Apenas Geradores Térmicos

No presente exemplo, tal como no exemplo 2, o desempenho do algoritmo depende da eficiência com

que as perdas são minimizadas, concluindo-se assim o mesmo, ou seja, o algoritmo de Ponto Interior

leva vantagem.

47

Método de Newton:

Figura 3.8 – Evolução da potência activa e reactiva ao longo das iterações – Método de Newton

Tabela 3.14 – Resultados da simulação do exemplo 6 – barramentos de geração (Newton)

Barr. Custos

Horários

Custos Marginais

1 (GT) 6096,53 34,34 202,83 10,53

2 (GT) 5896,79 33,63 196,95 5,28

3 (GT) 6204,96 34,72 205,97 11,17

6 (GT) 6762,80 36,59 221,61 38,64

8 (GT) 6796,43 36,70 222,53 62,74

9 (GT) 6736,76 36,51 220,90 13,16

12 (GT) 6890,14 37,01 225,07 37,01

Custo Total 45384.4

Carga Total 1468,80

Perdas 27,05

48


Figura 3.9 – Evolução da potência activa e reactiva ao longo das iterações – Ponto Interior

Tabela 3.15 – Resultados da simulação do exemplo 6 – barramentos de geração (Ponto Interior)

Barr. Custos

Horários

Custos Marginais

1 (GT) 6169.92 34,59 204,95 -28.11

2 (GT) 6043,79 34,15 201,29 27,86

3 (GT) 6239,51 34,84 216,67 1,86

6 (GT) 2583,52 36,00 217,13 18,34

8 (GT) 6600,02 36,06 217,13 45,26

9 (GT) 6561,38 35,92 216,06 -13,43

12 (GT) 4454,35 36,24 218,63 95,49

Custo Total 44852,5

Carga Total 1468,80

Perdas 12,89

49

Exemplo 7









Ao contrário do que foi observado nos exemplos anteriores, aqui o algoritmo de Newton tem um

desempenho ligeiramente superior, quer no número de iterações até à obtenção da convergência,

quer no custo total de operação. Este último resultado deve-se principalmente ao facto da

minimização de perdas ter ocorrido de uma forma mais eficiente no método referido.

Método de Newton:

Figura 3.15 – Evolução da potência activa e reactiva ao longo das iterações – Método de Newton

50

Tabela 3.14 – Resultados da simulação do exemplo 6 – barramentos de geração (Newton)

Barr. Custos

Horários

Custos Marginais

1 (GT) 6989,85 37,33 227,75 15,45 0,00 0,00 0,00 0,00

2 (GE) 3999.99 20,00 200,00 0,00 14,74 0,00 0,13 0,00

3 (GT) 7158.67 37,87 232,24 41,45 0,00 0,00 0,00 0,00

6 (GE) 2699.98 15,00 180,00 0,00 25,68 0,00 0,37 0,00

8 (GT) 8081.90 40,69 255,75 92,72 0,00 0,00 0,00 0,00

9 (GE) 1499.69 10,00 149,97 0,00 22,34 0,00 0,07 0,00

12 (GT) 8000.15 40,48 253,73 45,17 0,00 0,00 0,00 0,00

Custo Total

38430.2

Carga Total

1468,80

Perdas 30,65


Figura 3.10 – Evolução da potência activa e reactiva ao longo das iterações – Ponto Interior

51

Tabela 3.15 – Resultados da simulação do exemplo 6 – barramentos de geração (Ponto Interior)

Barr. Custos

Horários

Custos Marginais

1 (GT) 7003.40 37,37 228,12 -8.85

2 (GE) 3999.51 20,00 199,98 0,00

3 (GT) 7151.47 37,84 232,05 24,57

6 (GE) 2699.98 15,00 180,00 0,00

8 (GT) 8084.57 40,70 255,81 94,17

9 (GE) 1499.26 10,00 149,93 0,00

12 (GT) 8001.81 40,45 253,77 76,57

Custo Total 38440.0

Carga Total 1468,80

Perdas 30,85

Utilizando a rede de 57 barramentos verifica-se que o domínio em termos de desempenho por parte

do algoritmo de Ponto Interior já não é tão evidente, sendo que nos diversos testes realizados

utilizando esta rede ambos tiveram desempenhos bastante semelhantes.

3.3.3. Conclusões

Com todos os exemplos aqui apresentados e outros testes feitos no estudo e desenvolvimento destes

dois algoritmos, foi possível concluir que de um modo geral o algoritmo de Ponto Interior apresenta

resultados significativamente melhores para redes mais pequenas, sendo que essa superioridade

torna-se menos evidente com o crescimento da rede.

É importante referir que utilizando o modelo de geradores eólicos proposto nesta dissertação (função

de custo linear e funções de penalidade associada à estimação da potência eólica) a convergência no

método de ponto de interior fica bastante mais difícil, tendo que se testar diferentes parâmetros de

barreira e/ou aumentar o valor da variável até encontrar uma conjugação que leve ao sucesso do

método. Isto deve-se ao facto de este método funcionar melhor com funções objectivo convexas,

como é o caso das funções quadráticas propostas para os geradores térmicos e também devido às

funções de penalidade associadas ao vento poderem causar violações da barreira.

Outro factor que poderá dificultar a convergência em ambos os métodos ocorre quando existe uma

sobrestimação ou sobrestimação do vento, levando a que os coeficientes e/ou tomem valores

diferentes de zero. Quando ocorrer uma destas duas situações, tal como aconteceu nos exemplos 4 e

5 poderá existir uma flutuação em torno do resultado, não se obtendo a tolerância de convergência

proposta.

No que diz respeito à resolução das situações de insucesso dos algoritmos, enquanto que no método

de Ponto Interior é realizada a alteração dos parâmetros iniciais e , no Método de Newton apenas

é possível alterar as condições iniciais (quanto mais próximas estas forem do resultado final maior

será a probabilidade de sucesso), tornando o primeiro um método bastante mais versátil.

Por tudo o que foi dito nesta secção, e por ser utilizada a rede de 12 barramentos no capítulo

seguinte, Simulação e Resultados, será utilizado o método de Ponto Interior nas simulações

realizadas.

53

4. Simulação e Resultados

Neste capítulo o programa desenvolvido será utilizado em simulações diárias realizadas em intervalos

temporais de quinze minutos, ou seja, para cada dia o programa referido será executado das 00h às

23:45 de 15 em 15 minutos, fazendo um total de 96 execuções.

Por simplificação da análise dos dados, a rede utilizada será a de doze barramentos. Como foi visto

no capítulo anterior, o algoritmo de Ponto Interior obteve um desempenho mais satisfatório nesta

rede, logo será este o método utilizado na realização das simulações.

Os dados referentes ao consumo previsto, consumo real, energia eólica prevista e energia eólica real,

foram fornecidos pela Redes Energéticas Nacionais (REN) e adequadamente adaptados à rede em

estudo. A Informação cedida é referente ao ano de 2011, tendo sido seleccionados 4 meses deste

ano para alvo de estudo desta dissertação: Janeiro, Abril, Julho e Outubro, cada um correspondendo

a uma estação do ano diferente.

Serão estudados cinco casos distintos:

1. 3 Geradores Térmicos.

2. Geradores 1 e 2 – Térmicos.

Gerador 3 – Eólico com o custo de com penalidades de estimação.


Gerador 3 – Eólico com o custo de com penalidades de estimação.


Gerador 3 – Eólico com o custo de 15€/MW sem penalidades de estimação.


Gerador 3 – Eólico com o custo de 25€/MW sem penalidades de estimação.

Os coeficientes de custo dos geradores térmicos estão presentes na tabela 3.2.

Nas Figuras 4.1 a 4.3 são representadas graficamente as curvas de custo e custo marginal referentes

às situações referidas. Nas mesmas não foram considerados os coeficientes de custo , e pois

não são relevantes para a optimização visto serem custos independentes da potência gerada pelo

respectivo gerador.

Assim existe um caso em que só existem geradores térmicos e quatro onde existe geração térmica e

eólica. Nos casos 2 e 4 o respectivo custo da geração eólica é baixo em relação ao custo da térmica,

por sua vez, nos cenários 3 e 5 o mesmo é mais elevado estando assim os restantes geradores com

custos competitivos em relação ao eólico.

Os casos 4 e 5 foram aqui introduzidos para medir o peso das penalizações de subestimação e

sobrestimação da energia eólica.

54

Figura 4.1 – Curvas de custo e custo marginal referentes ao caso 1

Figura 4.2 – Curvas de custo e custo marginal referentes aos casos 2 e 4.

55

Figura 4.3 – Curvas de custo e custo marginal referentes aos casos 3 e 5.

De seguida serão então feitas as comparações entre as situações referidas utilizando alguns dos dias

simulados.

4.1. Resultados Computacionais

Na primeira parte desta secção será feita uma análise de cenários distintos de distribuição de energia

eólica. Para este fim será feita a simulação do dia em questão aplicando os casos descritos no início

do presente capítulo.

As potências representadas graficamente têm os seus valores em [ ]. Já os custos de operação

estão representados em [ ].

As Figuras representadas nesta secção são constituídas por blocos de três imagens referentes aos

casos 1, 2 e 3. Os casos 4 e 5 não terão representação gráfica pois esta é muito semelhante aos

análogos casos 2 e 3.

1º Cenário

Na primeira situação aqui analisada há uma produção significativa do gerador eólico (gerador 3)

durante o período vazio, contrastando com o período de ponta em que a geração do mesmo é

bastante reduzida.

Analisando a Figura 4.4 (b) e (c), e seguindo o mesmo raciocínio do capítulo 3.3, como no período de

vazio a energia eólica prevista é elevada, a satisfação do consumo fica assegurada com um gerador

térmico e um eólico, sendo assim desligado o gerador mais caro (gerador 1).

56

(a)

(b) (c)

Figura 4.4 – Evolução das potências activa e reactiva geradas: (a) caso 1; (b) caso 2; (c) caso 3.

(a)

57

(b) (c)

Figura 4.5 – Evolução temporal das potências activa e reactiva total geradas e da carga global: (a) caso 1; (b) caso 2; (c) caso 3.

(a)

(b) (c)

58

Figura 4.6 – Evolução temporal do custo total de operação: (a) caso 1; (b) caso 2; (c) caso 3.

Da análise da Figura 4.6 verifica-se que a inclusão de um gerador eólico reduz o custo de operação

no período do vazio, no entanto fora do mesmo existem pontos em que o facto de existir geração

eólica aumenta o custo.

É então relevante analisar o custo médio diário nas três situações:

Caso 1: ;

Caso 2: ;

Caso 3: ;

Como podemos verificar, a diferença entre o custo médio dos casos 1 (sem gerador eólico) e 3

(gerador eólico com custo de ) é pouco significativa. Verifica-se que nas simulações

realizadas nas quais existem cenários de vento idênticos, por diversas ocasiões o custo médio de

produção é mais elevado quando se tem um gerador eólico com o custo referido (Caso 3).

(a) (b)

Figura 4.7 – Evolução temporal da potência eólica prevista (rosa), disponível (azul) e útil (verde): (a) caso 2; (b) caso 3.

Na Figura 4.7 é analisada a diferença entre a potência prevista, disponível e útil referente ao gerador

eólico (gerador 3). Na Figura 4.7 (a), correspondente à situação em que temos o referido gerador com

o custo mais reduzido, toda a potência disponível é despachada, o que não se verifica no situação em

que o custo é mais elevado (Figura 4.7 (b)), pois no período de vazio já não é economicamente viável

utilizar toda a potência eólica disponível.

59

2º Cenário

No segundo caso aqui exposto, por oposição ao que se verifica no primeiro cenário, existe mais

potência eólica disponível no período de ponta em relação ao vazio. Esta situação, considerando a

geração eólica mais barata que a térmica, é a ideal para os SEE, pois é possível desactivar

geradores mais caros se a satisfação do consumo for assegurada, tal como acontece no presente

exemplo em que o gerador 1 é desligado entre as 16h e as 21h.

(a)

(b) (c)


60

(a)

(b) (c)


Como se pode verificar na Figura 4.10, ambas as imagens onde existe geração eólica apresentam

custos mais reduzidos em relação ao caso 1 (três geradores térmicos) em toda a gama de valores.

É importante realçar que quando se tem a produção eólica com o custo reduzido (Figura 4.9 (b)) e o

gerador mais caro desligado há uma redução significativa do custo.

No que diz respeito ao despacho da energia eólica, analisando as imagens da Figura 4.11 retiram-se

as mesmas conclusões do cenário anterior.

61

(a)

(b) (c)


(b) (c)

Figura 4.11 – Evolução temporal da potência eólica prevista (rosa) disponível (azul) e útil (verde): (a) caso 2; (b) caso 3.

62

3º Cenário

Depois de serem apresentadas situações em que existiam níveis elevados de produção eólica ou na

ponta ou no vazio, é agora analisada uma situação em que durante todo o dia essa mesma produção

é predominante em relação aos restantes geradores e aproximadamente estável.

Como se pode verificar na Figura 4.12 o gerador mais caro é desactivado nos períodos em que o

consumo é mais elevado (Figura 4.13), sendo que no período de vazio aproximadamente 80% da

geração fica entregue ao gerador eólico.

(a)

(b) (c)


63

(a)

(b) (c)


Analisando os custos totais de operação da Figura 4.14, e comparando as imagens correspondentes

aos casos 1 (só geração térmica) e 3 (gerador eólico com custo competitivo), verifica-se novamente

que no vazio a diferença do custo é pouco significativa. No entanto no período restante verificam-se

custos mais elevados na primeira situação. Isto deve-se ao facto de as curvas com que foram

modelados os geradores térmicos serem quadráticas, fazendo com que a partir de um determinado

ponto este tipo de tecnologia seja menos económica do que a eólica (custos lineares).

64

(a)

(b) (c)


(b) (c)

65

Figura 4.15 – Evolução temporal da potência eólica prevista (rosa) disponível (azul) e útil (verde) : (a) caso 2; (b) caso 3.

Por fim, na Figura 4.16 analisa-se graficamente a alteração a nível da produção do gerador eólico

quando não são aplicadas penalizações de estimação do vento (casos 4 e 5).

Como se pode verificar na Figura 4.16, o facto de não existir a penalização referente ao não

aproveitamento de toda a potência eólica disponível (Figura 4.16 (b)), leva a um menor

aproveitamento da mesma. Este facto leva a que, na maioria das situações, haja um custo de

operação menor quando não são aplicadas penalizações associadas ao vento, como se poderá

constatar no capítulo seguinte.

(a) (b)

Figura 4.16 – Evolução temporal da potência eólica prevista (rosa) disponível (azul) e útil (verde) com penalidades ((a)) e sem penalidades ((b)): (a) caso 3; (b) caso 5.

4.2. Resultados Finais

Como foi referido no início do presente capítulo, foram simulados panoramas distintos de consumo e

de vento através de dados adaptados à rede em estudo. Os meses utilizados, Janeiro, Abril, Julho e

Outubro, além de disporem de inúmeros cenários distintos, representam estações do ano

diferenciadas fornecem uma larga gama de perfis de consumo.

No total foram realizadas 11808 execuções do programa desenvolvido correspondendo aos 123 dias

utilizados na simulação.

Na Tabela 4.1 estão representados os custos médios calculados para cada mês nos cinco casos

estudados neste capítulo, assim como os custos médios do conjunto dos mesmos meses.

66

Tabela 4.1 – Custos médios de operação (mensais e totais) [

Janeiro Abril Julho Outubro Total

Caso 1 14,9301 12,6034 13,1059 12,7180 13,3395

Caso 2 13,4074 11,2133 11,4461 11,3403 11,8518

Caso 3 14,6653 12,2145 12,6727 12,3859 12,9846

Caso 4 13,3978 11,2109 11,4411 11,3370 11,8469

Caso 5 14,6477 12,2089 12,6405 12,2498 12,9445

Como se pode verificar, através do caso 1 (sem geração eólica), o mês de Janeiro é o que apresenta

o custo médio mais elevado pois, sendo um mês de Inverno o consumo é mais elevado.

Como foi visto na Figura 4.16, o facto de existir a penalidade associada à não utilização de toda a

potência eólica disponível, conduz a um maior aproveitamento da mesma, sendo aplicados custos

adicionais quando esta não é utilizada na totalidade. No entanto, o peso destas penalizações não é

muito significativo tal como se verifica analisando a diferença entre os custos totais (presentes na

Tabela 4.1) nos casos 2 e 4 e nos casos 3 e 5:

;

Como se pode verificar, a diferença de custos é maior quando se tem a energia eólica com o preço

mais elevado (casos 3 e 5).

Por fim é importante verificar os desvios médios da potência eólica útil em relação à prevista. Visto

ser uma ampla gama de resultados, este estudo é importante na medida em que proporciona uma

referência em relação energia de reserva necessária. O desvio superior significa que a potência

eólica gerada é superior à prevista, tendo o desvio inferior o significado contrário.

Tabela 4.2 – Desvios médios da potência eólica útil em relação à prevista em pu

Caso 2 Caso 3 Caso 4 Caso 5

Desvio superior 0,0416 0,0333 0,0419 0,0381

Desvio inferior 0,0269 0,0195 0,0254 0,0418

Nos casos de 2 a 4 verifica-se que o desvio superior é maior que o inferior. Isto deve-se ao facto de

que em cerca de 80% dos dias (calculo efectuado a partir dos dados fornecidos pela REN) a potência

eólica disponível ser superior à prevista e também devido à existência das penalizações que

abrangem os casos 2 e 3. No caso 5 o mesmo já não se verifica pois, como não existe a penalização

de subestimação do vento e a energia eólica possui custos competitivos em relação à térmica o nível

de produção desce consideravelmente, invertendo-se assim o domínio do desvio superior.

67

5. Conclusões e Trabalho Futuro

5.1. Sumário e Principais Conclusões

Este último capítulo apresenta as principais conclusões deduzidas no estudo realizado nesta

dissertação assim como sugestões para trabalhos futuros no âmbito da mesma.

Os principais objectivos deste trabalho eram o desenvolvimento de uma ferramenta computacional

que resolvesse o Trânsito de Energia Optimizado com inclusão de produção eólica e estudar os

efeitos desta dessa mesma produção perante cenários distintos de carga e disponibilidade do vento.

Ambos os objectivos foram alcançados, sendo que foram desenvolvidos dois programas que

resolvem o problema citado recorrendo a dois algoritmos distintos (Método de Newton e Algoritmo de

Ponto Interior).

No início deste trabalho foi identificado o estudo a ser estudado tendo sido efectuado uma breve

descrição do mesmo.

No segundo capítulo, foram analisados alguns métodos utilizados para resolver o problema do TEO,

entre os quais os dois métodos utilizado, realizando-se assim a primeira abordagem dos mesmos.

Foram também analisados metodologias de caracterização do vento, assim como a sua integração no

problema do TEO.

O capítulo 3 forneceu a análise teórica do problema, onde foram analisados os dois métodos

escolhidos e feita a sua formulação e descrição do funcionamento dos algoritmos. Através das

comparações feitas entre os dois métodos, e utilizando para isso alguns exemplos propostos, conclui-

se que o método de Ponto Interior conduzia na generalidade a melhores resultados, tanto a nível de

optimização como do desempenho computacional, tendo sido escolhido este algoritmo para se

realizarem as simulações finais. A grande limitação do método de Ponto Interior reside no facto de ser

altamente dependente das condições iniciais, mais concretamente da inicialização do parâmetro de

barreira , o que por vezes cria um obstáculo na convergência do método.

No quarto capítulo foram realizadas simulações utilizando uma ampla gama de dados fornecidos pela

REN e adequadamente adaptados a uma rede de 12 barramentos utilizada no estudo deste capítulo.

Inicialmente foram analisados em detalhe alguns cenários de consumo e distribuição do vento

perante 5 casos distintos:

1. Apenas geradores térmicos

2. Dois geradores térmicos e um eólico com custo reduzido e com penalidades de

estimação.

3. Dois geradores térmicos e um eólico com o custo competitivo e com penalidades de

estimação.

4. Dois geradores térmicos e um eólico com o custo reduzido e sem penalidades de

estimação.

5. Dois geradores térmicos e um eólico com o custo competitivo e sem penalidades de

estimação.

Desta análise concluiu-se que, dependendo do custo da energia eólica e de se terem ou não

penalidades associadas, nem sempre é vantajoso ter este tipo geração, mais concretamente em

períodos de vazio onde o consumo é relativamente baixo. Nestes mesmos períodos, no caso em que

o custo de produção da energia eólica é competitivo em relação à térmica (casos 3 e 5), devido ao

facto de os primeiros serem modelados por funções de custo lineares, para potências reduzidas estes

poderão tornar-se menos económicos (ver Figura 4.3). Além deste facto também existem as

68

penalidades associadas à estimação do vento presentes no caso 3 que, sendo accionadas,

aumentam o custo de produção do gerador eólico. No entanto em situações de ponta, onde o

consumo é bastante mais elevado, o facto de se ter geradores eólicos pode tornar-se bastante

vantajoso pois nesse caso há uma redução ou mesmo eliminação nos geradores com custos

superiores.

Ainda no capítulo 4 foi realizada uma estimativa para os casos 2 a 5 do desvio da energia eólica útil

em relação à prevista, providenciando assim informação útil em relação à energia de reserva a ter em

conta.

É importante frisar que o estudo efectuado neste último capítulo foi feito com base nas funções de

custo atribuídas aos geradores aqui utilizados. Para um estudo mais eficiente e completo teriam de se

estudar mais combinações e utilizar diferentes funções de custo, baseadas em dados o mais próximo

possível da realidade.

5.2. Trabalho Futuro

O trabalho desenvolvido nesta dissertação atingiu com sucesso os objectivos propostos, no entanto

algumas melhorias podem ser realizadas no software desenvolvido, assim como efectuar um estudo

mais intensivo a nível simulações realizadas.

A nível do sofware, mais concretamente no algoritmo de Ponto Interior, poderão ser feitas as

seguintes melhorias:

Melhor a eficácia de estimação e actualização do parâmetro de barreira. Actualmente a

inicialização desta variável é feita testando sequencialmente valores compreendidos entre

0.01 e 100, sendo escolhido o primeiro valor que garanta a convergência, tornando o

procedimento demorado e não garantido sempre a melhor optimização possível;

O valor inicial das variáveis de controlo, mais concretamente as potências geradas influencia,

em conjugação com o parâmetro de barreira, a convergência do método. Uma inicialização

mais eficiente destas variáveis poderia melhorar a rapidez e probabilidade de convergência

do algoritmo.

Ainda a nível do programa desenvolvido, poderão ser incluídas as seguintes restrições operacionais:

Potências transitadas nas linhas e transformadores

Relações de transformação

Quanto às simulações efectuadas, num futuro dever-se-ão utilizar mais redes, assim como testar

mais cenários de vento e carga, e principalmente um maior número de combinações de funções de

custo. Deste modo será possível aproximar o modelo ainda mais à realidade, pelo que se obtém um

estudo mais completo que permitirá inferir novas conclusões.

69

6. Referências Bibliográficas

[1] Paiva, J. P. Sucena, “Redes de Energia Eléctrica, uma análise sistémica”, IST Press, 2ª Edição

[2] Castro, R., “Uma Introdução às Energias Renováveis: Eólica, Fotovoltaica e Mini-Hídrica”, IST

Press, 1ª Edição

[3] Wollenberg, B. F. e Wood, A. J., “Power Generation Operation and Control”, John Wiley & Sons,

Inc., 2ª Edição

[4] Jesus, J. F., “Folhas das aulas teóricas de Análise de Redes 1 – Trânsito de Energia Optimizado”

[5] John Hetzer, David C. Yu e Kalu Bhattarai, “An Economic Dispatch Model Incorporating Wind

Power”, IEEE Transactions on Power Conversion, vol. 23, no. 2, June 2008

[6] Xian Liu e Wilsun Xu, “Economic Load Dispatch Constrained by Wind Power Availability: A Here-

and-Now Approach”, IEEE Transactions on Sustainable Energy, vol. 1, no. 1, April 2010

[7] Bart C. Ummels, Madeleine Gibescu, Engbert Pelgrum, Wil L. Kling e Arno J. Brand, “Impacts of

Wind Power on Thermal Generation Unit Commitment and Dispach”, IEEE Transactions on Energy

Conversion, vol. 22, no. 1, March 2007

[8] Florin Capitanescu, Mevludin Glavic e Louis Wehenkel, “An interior-point method based optimal

power flow”, Department of Electrical Engineering and Computer Science – service of Stochastic

Methods, University of Liège, Belgium

[9] Robert M. Freund, “Penalty and Barrier Methods for Constrained Optimization”, Massachusetts

Institute of Technology, February 2004

[10] Pandya K. S. e Joshi S. K., “A Survey of Optimal Power Flow Methods”, Journal of Theoretical

and Applied Information Technology

[11] Richard H. Byrd, Mary E. Hribar e Jorge Nocedal, “An Interior Point Algorithm for Large Scale

NonLinear Programing”, December 1998

[12] Simões J. A. A. S., “OPF - Sequential Linear Programing”, FEUP, Setembro 2007

[13] Vide P. S. P. S. C., “Estimação de Estado em sistemas Eléctricos de Energia”, FEUP, 2005

[14] Weber J. D., “Implementation Of Newton-Based Optimal Power Flow Into A Power System

Simulation Environment”, B.S., University of Wisconsin – Platteville, 1995

71

Apêndice A Dados da rede de 57 barramentos [13]

Dados dos barramentos

Bar Tensão Carga Compens. Transv.

nº

1 1,0 220,0 0,0 0,6 0,2

______

______

2 1,0 220,0 0,0 0,0 0,9

3 1,0 220,0 0,0 0,4 0,2

4 1,0 220,0 0,0 0,0 0,0

5 1,0 220,0 0,0 0,1 0,0

6 1,0 220,0 0,0 0,8 0,0

7 1,0 220,0 0,0 0,0 0,0

8 1,0 220,0 0,0 1,5 0,2

9 1,0 220,0 0,0 1,2 0,3

10 1,0 220,0 0,0 0,1 0,0

11 1,0 220,0 0,0 0,0 0,0

12 1,0 220,0 0,0 3,4 0,2

13 1,0 220,0 0,0 0,2 0,0

14 1,0 220,0 0,0 0,1 0,1

15 1,0 220,0 0,0 0,2 0,1 10,0

16 1,0 220,0 0,0 0,4 0,0

______

17 1,0 220,0 0,0 0,4 0,1

18 1,0 220,0 0,0 0,3 0,1

19 1,0 220,0 0,0 0,0 0,0

20 1,0 220,0 0,0 0,0 0,0

21 1,0 220,0 0,0 0,0 0,0

22 1,0 220,0 0,0 0,0 0,0

23 1,0 220,0 0,0 0,1 0,0

24 1,0 220,0 0,0 0,0 0,0

25 1,0 220,0 0,0 0,1 0,0 5,9

26 1,0 220,0 0,0 0,0 0,0

______

27 1,0 220,0 0,0 0,1 0,0

28 1,0 220,0 0,0 0,0 0,0

29 1,0 220,0 0,0 0,2 0,0

30 1,0 220,0 0,0 0,0 0,0

31 1,0 220,0 0,0 0,1 0,0

32 1,0 220,0 0,0 0,0 0,0

33 1,0 220,0 0,0 0,0 0,0

34 1,0 220,0 0,0 0,0 0,0

35 1,0 220,0 0,0 0,1 0,0

36 1,0 220,0 0,0 0,0 0,0

72

37 1,0 220,0 0,0 0,0 0,0

38 1,0 220,0 0,0 0,1 0,1

39 1,0 220,0 0,0 0,0 0,0

40 1,0 220,0 0,0 0,0 0,0

41 1,0 220,0 0,0 0,1 0,0

42 1,0 220,0 0,0 0,1 0,0

43 1,0 220,0 0,0 0,0 0,0

44 1,0 220,0 0,0 0,1 0,0

45 1,0 220,0 0,0 0,0 0,0

46 1,0 220,0 0,0 0,0 0,0

47 1,0 220,0 0,0 0,3 0,1

48 1,0 220,0 0,0 0,0 0,0

49 1,0 220,0 0,0 0,2 0,0

50 1,0 220,0 0,0 0,2 0,1

51 1,0 220,0 0,0 0,2 0,1

52 1,0 220,0 0,0 0,0 0,0

53 1,0 220,0 0,0 0,2 0,1 6,3

54 1,0 220,0 0,0 0,0 0,0

______ 55 1,0 220,0 0,0 0,1 0,0

56 1,0 220,0 0,0 0,1 0,0

57 1,0 220,0 0,0 0,1 0,0

Dados dos Ramos

De Para Tipo

Impedância Longitudinal Admitância Transversal

Relação de Transformação

nº nº

2 1 Linha 0,0083 0,028 0,129

______

3 2 Linha 0,0298 0,085 0,0818

4 3 Linha 0,0112 0,0366 0,038

5 4 Linha 0,0625 0,132 0,0258

6 4 Linha 0,043 0,148 0,0348

6 5 Linha 0,0302 0,0641 0,0124

7 6 Linha 0,02 0,102 0,0276

8 6 Linha 0,0339 0,173 0,047

8 7 Linha 0,0139 0,0712 0,0194

9 8 Linha 0,0099 0,0505 0,0548

10 9 Linha 0,0369 0,1679 0,044

11 9 Linha 0,0258 0,0848 0,0218

12 9 Linha 0,0648 0,295 0,0772

12 10 Linha 0,0277 0,1262 0,0328

13 9 Linha 0,0481 0,046 0,0406

13 11 Linha 0,0223 0,0732 0,0188

13 12 Linha 0,0178 0,058 0,0604

14 13 Linha 0,0132 0,0434 0,011

15 1 Linha 0,0178 0,091 0,0988

15 3 Linha 0,0162 0,053 0,0544

73

15 13 Linha 0,0269 0,0869 0,023

15 14 Linha 0,0171 0,0547 0,0148

16 1 Linha 0,0454 0,206 0,0546

16 12 Linha 0,018 0,0813 0,0216

17 1 Linha 0,0238 0,108 0,0286

17 12 Linha 0,0397 0,179 0,0476

18 4 Linha 0 0,43 0

19 18 Linha 0,461 0,685 0

20 19 Linha 0,283 0,434 0

21 20 Transf. 0 0,7767 0 1,043

22 21 Linha 0,0736 0,117 0

______ 23 22 Linha 0,0099 0,0152 0

24 23 Linha 0,166 0,256 0,0084

25 24 Transf. 0 1,182 0 1,0

26 24 Transf. 0 0,0473 0 1,0

27 26 Linha 0,165 0,254 0 ______

28 27 Linha 0,0618 0,0954 0

29 7 Transf. 0 0,0648 0 0,967

29 28 Linha 0,0418 0,0587 0

______

30 25 Linha 0,135 0,202 0

31 30 Linha 0,326 0,497 0

32 31 Linha 0,507 0,755 0

33 32 Linha 0,0392 0,036 0

34 32 Transf. 0 0,953 0 0,975

35 34 Linha 0,052 0,078 0,0032

______

36 35 Linha 0,043 0,0537 0,0016

37 36 Linha 0,029 0,0366 0

38 22 Linha 0,0192 0,0295 0

38 37 Linha 0,0651 0,1009 0,002

39 37 Linha 0,0239 0,0379 0

40 36 Linha 0,03 0,0466 0

41 11 Transf. 0 0,749 0 0,955

42 41 Linha 0,207 0,352 0

43 11 Transf. 0 0,153 0 0,958

43 41 Linha 0 0,412 0 ______

44 38 Linha 0,0289 0,0585 0,002

45 15 Transf. 0 0,1042 0 0,955

45 44 Linha 0,0624 0,1242 0,004

46 14 Transf. 0 0,0735 0 0,9

47 46 Linha 0,023 0,068 0,0032

______ 48 38 Linha 0,0312 0,0482 0

48 47 Linha 0,0182 0,0233 0

49 13 Transf. 0 0,191 0 0,895

49 38 Linha 0,115 0,177 0,003

______ 49 48 Linha 0,0834 0,129 0

50 49 Linha 0,0801 0,128 0

51 10 Transf. 0 0,0712 0 0,93

74

51 50 Linha 0,1386 0,22 0

______ 52 29 Linha 0,1442 0,1879 0

53 52 Linha 0,0762 0,0984 0

54 53 Linha 0,1878 0,232 0

55 9 Transf. 0 0,1205 0 0,940

55 54 Linha 0,1732 0,2265 0

56 40 Transf. 0 1,195 0 0,958

56 41 Linha 0,553 0,549 0 ______

56 42 Linha 0,2125 0,354 0

57 39 Transf. 0 1,355 0 0,98

57 56 Linha 0,174 0,26 0

trânsito de energia optimizado com inclusão de produção eólica

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