Transmissão de potência em fibra óptica dopada comgermânio com desalinhamento transversal

R. S. Grisotto1 and P. F. Gomes1

1Instituto de Ciências Exatas e Tecnológicas (ICET), Universidade Federalde Goiás (UFG), Jataí – GO, Brazile-mail: rafaelgrisotto@gmail.com

Resumo

Estudamos o coeficiente de transmissão e a potência transmitida (do inglêsfractional modal power, ou FMP) transmitido através de um sensor SMS com desali-nhamento transversal. Nós usamos o método de elementos finitos para calcular adistribuição dos modos resolvendo numericamente a equação de onda. Os resultadosmostram que a transmissão máxima pode ser obtida quando o desalinhamento émaior que zero nos modos exitados LPnm. Além disso, o FMP diminui à medidaque a temperatura aumenta, este efeito também determinado pelos modos exitados.

Palavras chaves: fibra óptica, desalinhamento transversal, MMF, SMF, SMS,potência transmitida

1 Introdução

Fibra óptica baseadas em dispositivos usando o sensor SMS tem sido intensamenteestudadas em pesquisas fundamentais e em aplicações como em deformação e em sensores detemperatura [1, 2], sensor do índice de refração [3, 4], filtro edge [5] e filtro passa banda [6].O dispositivo SMS (do inglês singlemode-multimode-singlemode) é composto de uma fibramultimodo (MMF) emendada entre duas fibras monomodo (SMFs) [7, 8], como ilustradona Figura 1(a). Neste dispositivo, a transmissão medida e a perda de potência depois dasduas interfaces depende de condições externas como a temperatura e deformação. Umimportante parâmetro externo é o desalinhamento transversal entre os dois eixos (paraleloscom o eixo z) das fibras nas duas interfaces. Isto é desejado com um alinhamento perfeito

a)

L

SMF SMF

sMMF

z axis

b)

Δy

Δx

y

x

MMF core

SMF core

2a

b

Figura 1: (a) Diagrama esquemático para a estrutura do sensor SMS. A fibra SMF são asextremidades verdes, a fibra MMF é o retângulo azul / vermelho de comprimento L, onde aparte vermelha é o comprimento aquecido r.(b) Ilustração do desalinhamento transversal entreas duas fibras no plano xy. O pequeno circulo vermelho (raio a) é o núcleo da fibra SMF e ogrande circulo azul (raio b) é o núcleo da fibra MMF. O deslocamento entre as duas fibras é~d = i∆x+ j∆y.

sem deslocamento transversal (no plano xy) entre eles, embora este deslocamento pode serútil em alguns casos [9]. Entretanto, na prática há sempre um pequeno desalinhamentolateral devido a precisão experimental. Técnicas experimentais têm sido desenvolvidaspara medir a transmissão após a primeira interface [10, 11, 12] permitindo o alinhamentopor medida do deslocamento com um microscópio ou maximizando a transmissão. Flammet al [13] mediram a transmissão de diferentes modos de uma SMF para uma MMF eobservaram que para os modos LP01 e o LP02 que têm simetria circular a transmissão temseu máximo quando as duas fibras estão alinhadas. Para modos com simetria não circular,como LP11 e LP21 os máximos são para um deslocamento diferente de zero. Quando astrês fibras não são axialmente alinhadas (deslocamento lateral maior do que zero) modosLPnm sem simetria circular irão ser exitados na fibra MMF [13]. Estas distribuições demodos podem ser aproximadas por fórmulas analíticas ou ser calculadas numericamente.No primeiro caso, para a SMF é geralmente utilizado à aproximação Gaussiana e para aMMF é usado parabólico [1] ou um perfil de step index [8]. Neste último pode ser utilizadoo método de diferenças finitas [5].

Neste trabalho, nós estudamos o coeficiente de transmissão e a potência transmitida(FMP) transmitida através de um sensor SMS como função tanto de um desalinhamentotransversal como da temperatura. Nós usamos os Método dos Elementos Finitos paracalcular a distribuição dos modos resolvendo numericamente a equação de onda.

2 Modelo

Nós escolhemos uma fibra multimodo dopada com germânio [14], que tem um maiorteor de Ge no núcleo de GeO2 do que na camada de revestimento de SiO2. O índice derefração n desta fibra foi calculado usando a dispersão de Sellmeier com 3 termos:

n(x, λ) =√

1 + A1λ2

λ2 − l21+ A2λ2

λ2 − l22+ A3λ2

λ2 − l23(1)

onde Ai (a força do oscilador) e li (comprimento de onda do oscilador) dependendo daconcentração de Ge em x (os valores destas constantes estão na Ref. [14]. Nós assumimosinterpolação linear entre os dois materiais para calcular o Ai e o li.

A fibra monomodo (SMF) tem o núcleo com raio a e índice de refração n1 e n0 parao núcleo e a camada de revestimento, respectivamente. Aos 24oC (temperatura ambiente),a fibra multimodo (MMF) tem núcleo com raio b e índice de refração n(xg, λ0) e n(xs, λ0)para o núcleo e a camada de revestimento (veja Eq. 1). A concentração de germânio parao núcleo e para a camada de revestimento são xg e xs, respectivamente. O raio para acamada de revestimento para ambas as fibras é c. Os valores de todos os parâmetros estãona Tabela 1.

Símbolo Valor Descriçãon0 1.4397 índice de refraçãon1 1.444 índice de refraçãoλ0 1.55 µm comprimento de ondaa 4 µm raio do núcleo da SMFb 30 µm raio do núcleo da MMFc 60 µm raio da camada de revestimentoxg 19.34 % núcleo Ge contentxs 3.3 % revestimento Ge content

Tabela 1: Parâmetros usados neste trabalho.

2.1 Potência transmitida

Em nosso modelo a luz incidente é guidada por uma fibra monomodo (SMF) acopladacom uma fibra multimodo (MMF), havendo um desalinhamento transversal entre oseixos das mesmas de ∆x e ∆y nas direções x e y respectivamente (veja Fig. 1(b)). Ocampo elétrico dos modos ópticos na fibra são calculados a partir da equação de onda:~∇× (~∇× ~E)−k2

0n2 ~E = 0 com k0 = (2π)/λ0. Nós rotulamos E1 como o modo da SMF e Ei

com i = 2, 3, 4, 5 e 6 como os modos da MMF. Nós resolvemos a equação de onda usandoo método de elementos finitos pelo COMSOL Multiphysics [16]. Na primeira interfacetemos:

E1(x, y) = Ψ(x, y, 0) =6∑i=2

TiEi(x, y) (2)

Como estamos cons considerando modos sem simetria circular, escrevemos modo dedependência espacial como x, y em vez de r =

√x2 + y2. O modo propagado na MMF a

uma distância z da primeira interface é:

Ψ(x, y, z) =6∑i=2

TiEi(x, y) exp(jβiz) (3)

onde j =√−1 e βi é a constante de propagação (também calculada no COMSOL) do

modo Ei. Os coeficientes Ti são as intensidades de transmissão através de uma interfaceconsiderando diferentes modos na fibra MMF. No nosso caso, calculamos eles como funçãodo desalinhamento transversal:

Ti(∆x,∆y) = S2i

N1Ni

(4)

A integral normalizada é Ni =∫∫|Ei|2 dx dy e a de superposição é Si =

∫∫E1Ei dx dy

com i = 1, 2, 3, 4, 5 e 6. Calculamos Ti para os deslocamentos −b < ∆x,∆y < b. Asintegrais são numericamente avaliadas na região quadrada −c < x, y < c usando a Regrade Simpson [17]. A transmissão total Tt é a soma de todos os modos de transmissão:

Tt =6∑i=2

Ti (5)

Todas os cálculos foram numericamente implementados na plataforma open source R [18],alguns destes códigos estão no apêndice D. A reflexão da onda incidente na primeirainterface entre a SMF e a MMF (devido à diferença entre os índices de refração) foinegligenciado [19].

2.2 Dispositivo SMS

Dispositivos SMS são compostos em geral por uma fibra monomodo, uma fibramultimodo e outra fibra monomodo(SMS) respectivamente, como está representado naFigura 2. Quando a luz propaga através de fibra monomodo para um fibra multimodo, elaexcita vários modos guiados que ocorrem na fibra multimodo. Isso leva a interferência entreos diferentes modos durante a propagação da luz através da secção da fibra multimodo.Essa excitação pode ser otimizada variando o comprimento de onda. A partir disso,podemos calcular fenômenos físicos interessantes como, a potência transmitida, a potênciaa partir da variação da temperatura entre outros.

Figura 2: Imagem ilustrativa de um dispositivo SMS.

2.3 Potência transmitida do dispositivo SMS

A transmissão através do sensor SMS envolve o coeficiente de transmissão por duasinterfaces com um efeito de interferência na segunda. Usando a Eq. 3, o FMP do dispositivoSMS considerando um comprimento L é [1, 20]:

Pt =∣∣∣∣∣

6∑i=2

T 2i exp[jL(β2 − βi)]

∣∣∣∣∣2

(6)

De modo a verificar melhor o efeito dos modos E1 e E2, nós também calculamos a potência,considerando apenas os primeiros dois modos:

P23 =∣∣∣T 2

2 + T 23 exp[jL(β2 − βi)]

∣∣∣2 (7)

A perda de potência da transmissão [24] é defina como:

Lt = 10 log(Pt) ∴ L23 = 10 log(P23) (8)

2.4 Efeito da temperatura t

Nós estudamos o efeito da temperatura t nas potências calculadas usando a depen-dência com a temperatura do índice de refração da MMF [1]:

n(t) = n0 + dn

dt(t− t0) (9)

onde n0 representa o índice de refração à temperatura ambiente t0 = 24oC e τ = dn

dté o

coeficiente thermo-óptico. Os valores de τ para o vidro de SiO com diferentes concentraçõesde GeO2 estão na Tabela 2, assumindo linear dependência com a concentração de Ge.

Nós consideramos apenas um pequeno segmento s < L da MMF para ser aquecido(veja a Fig. 1(a)). O comprimento s e o raio b da MMF à temperatura t são:

s(t) = s0 + αr0(t− t0) ∴ b(t) = b0 + αb0(t− t0)

x(%) 0 15 xg xs

τ0(10−5/oC) 1.06 [15] 1.24 [15] 1.29 1.1

Tabela 2: Valores para o coeficiente thermo-óptico[arrumar] τ = dn

dTpara a fibra com diferentes

concentrações de GeO2

onde s0 e b0 são os valores na temperatura t0. Usamos α = 5 × 10−5/oC, que é o valorsílica fundida [21]. Os coeficientes de transmissão Ti serão afetados pela temperaturadevido ao índice de refração n(t) e o raio do núcleo b(t). A fase é escrita como [1]:

ϕi(t) = [β2(t0)− βi(t0)](L− r0) + [β2(t)− βi(t)]r(t) (10)

onde βi(t) é a constante de propagação dependente da temperatura no i-ésimo modo.

Figura 3: Gráfico entre o índice de refração pela temperatura.

3 Resultados

3.1 Coeficientes de transmissão

Na fibra SMF apenas um modo foi obtido (Fig. 4(a)), enquanto na fibra MMF nóscalculamos 5 modos diferentes (Fig. 4(b) até 4(f)). Estes são identificados como modosópticos polarizados linearmente [22, 23]: E1 e E2 são LP01, E3 é LP11, E4 é LP21, E5

é LP02 e E6 é LP31. O desalinhamento transversal foi criado deslocando o modo E1 e

a) x ( µm )

y (

µm

)

E1 dislocated

−30 −20 −10 0 10 20 30−30

−20

−10

0

10

20

30

0.5

1

1.5

2

2.5

3x 10

7

b) x ( µ m )

y (

µ m

)

E2

−30 −20 −10 0 10 20 30−30

−20

−10

0

10

20

30

0

1

2

3

4

5

6

7x 10

6

c) x ( µ m )

y (

µ m

)

E3

−20 −10 0 10 20 30−30

−20

−10

0

10

20

0

1

2

3

4

5

6x 10

6

d) x ( µ m )

y (

µ m

)

E4

−30 −20 −10 0 10 20 30−30

−20

−10

0

10

20

30

0

1

2

3

4

5

6

7

x 106

e) x ( µ m ) y

( µ

m )

E5

−30 −20 −10 0 10 20 30−30

−20

−10

0

10

20

30

0

2

4

6

8

10

x 106

f) x ( µ m )

y (

µ m

)

E6

−30 −20 −10 0 10 20 30−30

−20

−10

0

10

20

30

0

1

2

3

4

5

6

7x 10

6

Figura 4: Gráfico de Ei(x, y). (a) LP01 modo E1 com ∆x = 15 µm e ∆y = 10 µm . (b) LP01modo E2. (c) LP11 modo E3. (d) LP21 modo E4. (e) LP02 modo E5. (f) LP31 modo E6.

30

25

20

15

10

5

Tran

smiss

ion

coef

ficie

nt (

%)

302520151050Δy (µm)

T5

T3 T2

T4 T6

Δx = 0

Figura 5: Transmissão Ti como função do desalinhamento transversal ∆y com ∆x = 0.

deixando os modos da MMF centrados na origem do plano xy. Por exemplo, o modo E1

plotado na Fig. 4(a) foi deslocado de ∆x = 15 µm e ∆y = 10 µm. A Fig. 5 mostra oscoeficientes de transmissão como função de ∆y (Eq. 4) com ∆x = 0. A transmissão serámáxima apenas quando os máximos de dois modos combinarem. Podemos ver claramenteque os modos de E2 e E5 têm transmissão máxima quando as duas fibras estão alinhadas.Adicionalmente, E5 tem o pico mais alto entre todos os modos, como previsto pela escalade cor da Fig. 4(e). A transmissão do modo fundamental T2 é o segundo mais alto e o T4

tem um menor máximo que é quase a mesma intensidade do máximo do T6. Todos estesresultados mostram a importância dos modos excitados no sinal transmitido.

Os coeficientes de transmissão calculados considerando um deslocamento arbitrárioTi(∆x,∆y) são mostrados nas Figs. 7(a) até 7(e). A escala de cor da Fig. 7(d) é a maior,de acordo com a Fig. 5. Nós também podemos ver que T3 tem um máximo no eixo ∆y,enquanto T6 tem no eixo ∆x, mostrando a falta de simetria circular para o deslocamento,

a) b)

Figura 6: (a) Gráfico do modo E1 com o modo E4 com ∆x = 7. (b) Mostra o modo E1 com omodo E7 com ∆x = 9

a) ∆x ( µm )

∆y

( µm

)

T2 (%)

−20 0 20−30

−20

−10

0

10

20

30

5

10

15

20

b) ∆x ( µm )

∆y

( µm

)

T3 (%)

−20 0 20−30

−20

−10

0

10

20

30

5

10

15

c) ∆x ( µm )

∆y

( µm

)

T4 (%)

−20 0 20−30

−20

−10

0

10

20

30

5

10

15

d) ∆x ( µm )

∆y

( µm

)

T5 (%)

−20 0 20−30

−20

−10

0

10

20

30

5

10

15

20

25

30

e) ∆x ( µm )

∆y

( µm

)

T6 (%)

−20 0 20−30

−20

−10

0

10

20

30

2

4

6

8

10

12

f) ∆x ( µm )

∆y

( µm

)

Tt (%)

−20 0 20−30

−20

−10

0

10

20

30

10

20

30

40

50

Figura 7: Gráfico de Ti(∆x,∆y). (a) T2 (b) T3. (c)) T4 (d) T5. (e) T6. (f) Transmissão totalTt (Eq. 5.

melhor visto no coeficiente de transmissão total Tt (mostrado na Fig. 7(f)). Ele tem ummáximo primário no centro e dois outros máximos secundários em (∆x,∆y) = (±6,∓16)com 97 % da intensidade do máximo primário.

A partir do cálculo da transmissão do modo E1 com os outros modos variando o∆, encontramos algumas figuras interessantes representadas na Figura 6. Na primeirapodemos observar a excitação do modo E4 a partir do modo E1, representado na Fig 4(d)com o ∆x = 7, gerando uma Figura não muito intuitiva, 6(a). A segunda, 6(b), que foigerada pela excitação do modo E6, Figura 4(f), com o ∆x = 9, mostra ainda ser menoscompreensível. Estas figuras com ∆ específicos facilitaram o entendimento dos Ti(∆x,∆y)encontrados e posteriormente a compreensão do Tt.

a) ∆x ( µm )

∆y

( µm

)

Pt (%)

−20 0 20−30

−20

−10

0

10

20

30

0.5

1

1.5

2

b) ∆x ( µm )

∆y

( µm

)

P23 (%)

−20 0 20−30

−20

−10

0

10

20

30

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

Figura 8: Gráfico da potência transmitida sobre o sensor SMS para um desalinhamento arbitrárioà temperatura ambiente T0 = 24oC (a) Potência de Pt (Eq. 6). (b) Potência P23 (Eq. 7).

3.2 Potência transmitida

Na Fig. 8(a) mostra o gráfico de Pt (Eq. 6), onde o máximo principal está no centro(sem deslocamento), dois máximos secundários em (∆x,∆y) = (±5,∓17) e outros trêsmáximos terciários em (∆x,∆y) = (±17,±5). As máximas intensidades dos secundários eterciários são 11 e 4.8 % da máxima intensidade do primário. Este resultado é diferente daFig. 7(f), onde todos os máximos são semelhantes em intensidade. No caso do sensor SMSexistem duas interfaces entre as duas fibras, o que reduz a intensidade no desalinhamentomáximo. O gráfico de P23 (Eq. 7) é mostrado na Fig. 8(b). O máximo primário estáno centro e os dois secundários estão em (∆x,∆y) = (±5,∓15) e tem 20 % do máximoda intensidade do primário. Não existe máximo terciário como existe na Fig. 8(a). Istoindica que os modos excitados diminuem a intensidade no centro, criando mais picos natransmissão para um desalinhamento maior que zero. Na verdade a Fig. 8(a) assemelha-seà soma das Figs. 7(a) e 7(b).

O efeito da temperatura é mostrado na Fig. 9 com o gráfico de Pt e P23 vs. ∆y paraas temperaturas 0, 10, 20 e 30oC. Para ∆y > 15 µm Pt e P23 são desprezíveis. É evidenteque Pt diminui significativamente com a temperatura, enquanto P23 é quase insensível. Istomostra que os modos excitados são aqueles que variam com a temperatura, responsávelpela variação observada em Pt. Outra característica é que a FMP só é considerável noscasos alinhados. A Fig. 9(b) mostra o gráfico da potência perdida L como função datemperatura. A potência perdida L23 (considerando apenas os modos E2 e E3) foi bastanteinsensível à temperatura, razão pela qual apenas à 30oC é mostrado. Para todos ∆y temosLt > L23, especialmente para ∆y > 15 µm, mostrando a importância dos modos excitados.Mais uma vez, a potência é a maior no caso alinhado.

2.5

2.0

1.5

1.0

0.5

0.0Frac

tiona

l Mod

al P

ower

(%

)2520151050

!y (nm)

Pt 0ºC Pt 10ºC, 20ºC Pt 30ºC P23 30 ºC

-50

-40

-30

-20

-10

0Po

wer

Los

s (d

B)

2520151050!y (nm)

Lt 0 ºC Lt 30 ºC L23 30 ºC

a)

b)

Figura 9: Transmissão sobre o sensor SMS vs ∆y para diferentes temperaturas. a). Potênciatransmitida Pt (Eq. 6) e P23 (Eq. 7). b) Potência perdida Lt e L23 (Eqs. 8).

4 Conclusões

Como conclusões, temos estudado a transmissão através de um dispositivo SMS porintegrais de superposição de modos eletromagnéticos avaliadas numericamente usandoo COMSOL Multiphysics e a plataforma open source R. Nós calculamos a transmissãoconsiderando 5 modos na fibra multimodo como função do desalinhamento transversalentre as fibras. Observamos que quando os modos sem simetria circular são consideradospode haver transmissão máxima com as duas fibras desalinhadas. Também incluímoso efeito da temperatura e observou-se que os modos excitados na MMF são os únicossensíveis à temperatura.

Apêndice A Equações de Maxwell

O eletromagnetismo descreve a interação do campos magnéticos e elétricos com suasfontes: cargas e correntes elétricas. Além disso a teoria descreve também as diversas pro-priedades elétricas e magnéticas observadas nos diferentes materiais. O eletromagnetismode Maxwell foi estabelecida no século XIX, começando em 1785 quando a lei de Coulombfoi testada e proposta, até em 1862 quando Maxwell unificou e escreveu conjuntamente as

chamadas equações de Maxwell:

~∇ · E = ρ

ε0(11)

~∇× E = −∂B∂t

(12)

~∇×B = 0 (13)

~∇× E = µ0J + µ0ε0∂E∂t

(14)

onde J é a densidade de corrente elétrica, ρ é a densidade volumétrica de carga elétrica, Eé o campo elétrico e B o campo magnético. A primeira equação é a Lei de Gauss, e podeser deduzida da Lei de Coulomb, ambas contendo a mesma física, e diz que carga elétricaaltera o número de linhas de campo elétrico. A segunda é a Lei de Faraday, na qual umcampo magnético variando no tempo gera um campo elétrico. A terceira é consequênciada inexistência de monopolo magnético. A quarta equação é a Lei de Ampere-Maxwell,que expressa o fato de que um campo magnético pode ser gerado por uma corrente elétrica(Lei de Ampere) ou por um campo elétrico variando no tempo. A lei de Ampere pode serdeduzida a partir da Lei de Biot Savart. Essas equações determinam a forma dos camposem todas as situações.

Apêndice B Equação de Onda

As equações de Maxwell são compostas de 4 equações diferenciais, parciais, de ordem1 e lineares. Matematicamente pode-se transformar esse conjunto em outro equivalentepara facilitar a solução: a chamada equação de onda. Para deduzi-la, assumimos queo sistema encontra-se no vácuo, logo ρ = 0 e J = 0. Vamos também usar a identidadevetorial

A × (B × C) = B(A ·C)−C(A ·B) (15)

O rotacional do rotacional do campo elétrico será:

~∇× (~∇× E) = ~∇(~∇ · E)−∇2E = −∇2E (16)

onde usamos a lei de Gauss (eq 11) no vácuo ~∇ ·E = 0. Agora vamos aplicar o rotacionalna Lei de Faraday (eq 12)

~∇× (~∇× E) = − ∂

∂t~∇×B = − ∂

∂t

(µ0ε0

∂

∂tE)

= −µ0ε0∂2E∂t2

(17)

Figura 10: Ilustração de uma onda com polarização linear, campo elétrico na direção y emagnético na direção x.

onde usamos lei de Ampere-Maxwell. Igualando as eqs 16 e eq 17 temos:

~∇2E = 1c2∂2E∂t2

(18)

onde c = 1√ε0µ0

. Esta é a equação de onda para o campo elétrico. Analogamente encontra-seuma equação idêntica para o campo magnético

~∇2B = 1c2∂2B∂t2

(19)

As 4 eqs. de Maxwell foram então transformadas em 2 equações diferenciais parciaisde segunda ordem. As equações reduziram de 4 para 2, mas agora são derivadas de segundaordem. Além do significado matemático, a equação de onda tem um grande significadofísico. Esta equação de onda também é satisfeita por fenômenos em outras áreas da física.Em geral, todo fenômeno oscilatório satisfaz essa equação, como por exemplo ondas emuma corda, ondas sonoras, etc... Essas duas equações mostram que cada componente doscampos elétrico e magnético tem soluções na forma de ondas propagantes com velocidadec (veja Figura 10). De fato, as ondas dos campos elétrico e magnético são chamadas deradiação eletromagnética. A luz, onda infravermelho, micro-ondas, raios X, raios UV-A eUV-B, ondas de rádio e TV, são todos exemplos de radiação eletromagnética.

Apêndice C Ferramentas Computacionais

C.1 Comsol Multiphysics

O COMSOL Multiphysics é uma ferramenta muito poderosa para modelagem esimulação de leis físicas, veja a tela inicial na Figura 11. Nesta ferramenta você defineconstantes, já no seu modelo, você define a geometria, variáveis, funções, materiais, as leisfísicas para cada um dos seus domínios da geometria. Num estudo especifico a partir da

Figura 11: Tela inicial do COMSOL Multiphysics.

Figura 12: Modelagem deste trabalho dentro do COMSOL.

física selecionada, você define um chute como um resultado próximo ao esperado. Após ocalculo, você escolhe qual parâmetro você quer saber sobre a simulação feita e gerar umgráfico dele, como por exemplo: campo elétrico, campo magnético e etc. Além disso, vocêpode calcular integrais a partir destes resultados. Na Figura 12, mostro o meu estudo desteprojeto, efetuando as integrais no campo elétrico E1 e no E3 dentro do próprio COMSOL.

C.2 Plataforma R

R é uma linguagem e um ambiente de desenvolvimento para computação estatísticae para gráficos. Sendo uma linguagem open source, R se tornou uma plataforma paravárias aplicações na computação com a criação de pacotes para diversas funcionalidades.Neste trabalho nos usamos uma interface gráfica de desenvolvimento chamada RStudio,mostrada na Figura 13.

Figura 13: Interface de desenvolvimento para a linguagem R.

Além disso, usamos vários pacotes do R, desde pacotes para resolver integrais atépacotes para montar gráficos. Uma grande vantagem de utilizar o R é que você tudo queestá acontecendo, todas as funções ou pacotes têm seus códigos abertos, assim você podepegar eles entender e quem sabe melhorar. Na Figura 14 está sendo mostrado o cálculo datransmissão entre os modos E1 e E2 a partir dos arquivos exportados do COMSOL.

Figura 14: Cálculo da transmissão utilizando o R.

Apêndice D Códigos Utilizados

Nesta seção mostro alguns códigos usados neste trabalho.

D.1 Código para calcular a transmissão

Este código1 é usado para calcular a transmissão entre o campo elétrico E1 exitandoo campo E2

1 ## Limpar todas as v a r i a v e i s2 rm( l i s t=l s ( ) )3 ## Função para pegar o tempo i n i c i a l .4 t1 = proc . time ( ) ;5 ## Di r e t o r i o de trabalho , onde deve e s ta os arqu ivos exportados do COMSOL6 setwd ( "~/dados/Comp/Pro je to_op t i c s / nova f i be r / " )7 ## Bib l i o t e c ada s n e c e s s a r i a s8 l i b r a r y ( pracma )9 l i b r a r y ( Bolstad2 )

10 ## Caregar o arquivo que f a z a Integracao pe lo metodo simpson11 source ( " simp2D .R" )12 ## Carrega a funcao des loca , e s t a funcao de s l o ca o campo E113 source ( " de s l o ca .R" )14 ## O comando ’ pr int ’ e s c r ev e na t e l a15 pr in t ( ’ Importando os arqu ivos . ’ )16 ## Faz a l e i t u r a do compo e l e t r i c o E2 da f i b r a MMF, e s t e arquivo ve io do

COMSOL. Depois transforma e s t e s dados em uma matr iz17 E2 <− read . csv ( "MMF2. csv " , head = F, numerals = c ( " a l low . l o s s " , "warn . l o s s "

, " no . l o s s " ) )18 E2 <− as . matrix (E2) ;19 ## Carrega o g r id onde es tao d e f i n i d o s os pontos e separa ent r e do i s

vetores , vetorx e vetory .20 vetorx <− read . csv ( " g r id2 . csv " , header = F , ) ;21 vetorx <− as . numeric ( vetorx )22 vetory <− vetorx ;23 ## A pa r t i r de s t e do i s vetores , c r i a−se uma matr iz e mais duas matr i ze s

para cada x e y da matr iz o r i g i n a l .24 matriz <− meshgrid ( vetorx , vetory ) ;25 matrizX <− matriz $X;26 matrizY <− matriz $Y;27 ## Def ine os l im i t e s a parte das matr i ze s c r i ada s .28 a <− min(matrizY ) ; b <− max(matrizY ) ;29 c <− min(matrizX ) ; d <− max(matrizX ) ;30 ## Mf e a qua l idade de l i nha s da matr iz que e s ta o campo E2 e Nf e a

quantidade de co lunas .31 Mf <− nrow (E2) ;32 Nf <− nco l (E2) ;33 pr in t ( ’ Removendo os NaN da f i b r a multimodo . ’ )34 ## Remove os va l o r e s NaN do E235 E2 [ ! i s . f i n i t e (E2) ] <− 0

1O texto dos comentários no código é escreito sem acentuação gráfica de propósito.

36 pr in t ( ’ Def in indo os modulos ao quadrado da f i b r a multimodo . ’ )37 ## Calcula o campo E2 ao quadrado .38 E2xE2 <− E2 ∗ E239 ## Faz a l e i t u r a do compo e l e t r i c o E0 da f i b r a SMF, e s t e arquivo ve io do

COMSOL. Depois transforma e s t e s dados em uma matr iz40 E0 <− read . csv ( " E1delta_0 . csv " , header = F) ;41 E0 <− as . matrix (E0)42 pr in t ( ’ Removendo os NaN da f i b r a monomodo . ’ )43 ## Remove os va l o r e s NaN da E144 E0 [ ! i s . f i n i t e (E0) ] <− 0 ;45 ## Cria um vetor com os va l o r e s ent re −12 atà c© 12 com step em 1 . Este e o

des locamente que o campo e l e t r i c o da E1 i r a f a z e r .46 r d e l t a <− seq (−12 ,12 ,1)47 ## Def ine o tamanho do deslocamento , quantos des locamentos .48 N3 <− l ength ( r d e l t a ) ;49 ## Cria uma matr iz de z e ro s do tamanho do deslocamento .50 T12 <− matrix (0 ,N3 ,N3) ;51 ## Neste laco , com l im i t e s d e f i n i d o s pe la quantidade de deslocamento , ne s t e

caso em x e em y .52 ##53 f o r (mx in 1 :N3) {54 f o r (my in 1 :N3) {55 s=s p r i n t f ( ’ [%g,%g ] ’ ,mx,my)56 pr in t ( c ( ’ Des loca ’ , s ) )57 ## A pa r t i r do campo E1 , c r i a uma nova matr iz chamada E1 com o deslocamento

em cada step .58 E1 = des l o ca (E0 , r d e l t a [mx] , r d e l t a [my] , vetorx ) ;59 ## A pa r t i r de s t e campo des locado , f a z o campo ao quadrado60 E1xE1 <− E1 ∗ E1 ;61 ## Calcula o campo E1 com o campo E2 .62 E1xE2 <− E1 ∗ E2 ;63 ## Metodo de in t eg racao de Simpson com o campo E^1 e com o campo E^264 S1 <− simpson ( vetorx , vetory , E1xE1) ;65 S2 <− simpson ( vetorx , vetory , E2xE2) ;66 ## Metodo de in t eg racao de Simpson com o E1xE267 P12 <− simpson ( vetorx , vetory , E1xE2) ;68 ## O re su l t ado e transformado em matriz .69 P12 <− as . matrix (P12 ) ;70 S1 <− as . matrix ( S1 ) ;71 S2 <− as . matrix ( S2 ) ;72 ## Calcula o r e su l t ado dos c o e f i c i e n t e s de t ransmissao73 T12 [mx,my] <− (P12∗P12) / ( S2∗S1 ) ;74 }75

76 }77 ## Cria uma matr iz com os l im i t e s do deslocamento para a geracao de uma

f i g u r a .78 rdeltaM <− meshgrid ( rde l ta , r d e l t a ) ;

79 rdeltaMX <− rdeltaM$X;80 rdeltaMY <− rdeltaM$Y;81 ## Def ine a d i f e r e n c a de tempo f i n a l − tempo i n i c a l e depo i s mostra e s t e

tempo .82 tempo <−( proc . time ( )−t1 ) [ 3 ]83 s=s p r i n t f ( ’ tempoo e %g ’ , tempo )84 pr in t ( c ( ’Fim ’ , s ) )85 tempo

Trans12.R

D.2 Código para o método de Simpson

Este código é usado para calcular o método de integração de Simpson em 2D. Eleusa o pacote Bolstad2.

1 simpson <− f unc t i on ( vetorx , vetory , fxy )2 {3 Ny <− l ength ( vetory )4 fy <− rep (0 ,Ny)5 f o r ( j j in 1 :Ny)6 {7 fx <− fxy [ j j , , drop=F]8 fy [ j j ] <− s i n t e g r a l ( vetorx , fx ) $ i n t9 }

10 Ixy <− s i n t e g r a l ( vetory , fy ) $ i n t11 re turn ( Ixy )12 }

simp2D.R

Referências

[1] S. M. Tripathi, A. Kumar, R. K. Varshney, Y. B. P. Kumar, E. Marin, and J.-P. Meunier,Strain and Temperature Sensing Characteristics of Single-Mode-Multimode-Single-ModeStructures. Journal of Lightwave Technology, 27 (2009) 2348-2356.

[2] R. X. Gao, Q. Wang, F. Zhao, B. Meng, S. L. Qu, Optimal design and fabrication of SMSfiber temperature sensor for liquid. Optics Communications, 283 (2010) 3149-3152..

[3] Q. Wu, Y. Semenova, P. Wang and G. Farrell, High sensitivity SMS fiber structurebased refractometer analysis and experiment. Optics Express, 19 (2011) 7937-7944..

[4] Y. Zhao, L. Cai, X.-G. Li, F.Meng, Z. Zhao, Investigation of the high sensitivity RIsensor based on SMS fiber structure. Sensors and Actuators A, 205 (2014) 186-190.

[5] A. Hatta, G. Farrell, P. Wang, G. Rajan, Y. Semenova, Misalignment limits for asinglemode-multimode-singlemode fiber-based edge filter. Journal of Lightwave Techno-logy, 27 (2009) 2482-2488.

[6] S. M. Tripathi, A. Kumar, E. Marin, and J.-P. Meunier, Single-Multi-Single ModeStructure Based Band Pass/Stop Fiber Optic Filter With Tunable Bandwidth. Journalof Lightwave Technology, 28 (2010) 3535-3541.

[7] A. M. Hatta, K. Indriawati, T. Bestariyan, T. Humada, and Sekartedjo, SMS FiberStructure for Temperature Measurement Using an OTDR. Photonic Sensors, 3 (2013)262-266.

[8] M. Kumar, A. Kumar, S. M. Tripathi, A comparison of temperature sensing cha-racteristics of SMS structures using step and graded index multimode fibers. OpticsCommunications, 312 (2014) 222-226.

[9] S. Dong, S. Pu, and H. Wang, Magnetic field sensing based on magnetic-fluid-cladfiber-optic structure with taper-like and lateral-offset fusion splicing. Optics Express,22 (2014) 19108.

[10] D. Flamm, D. Naidoo, C. Schulze, A. Forbes, and M. Duparré, Mode analysis with aspatial light modulator as a correlation filter. Optics Letters, 37 (2012) 2478-2480.

[11] T. Kaiser, D. Flamm, S. Schrter, and M. Duparré, Complete modal decomposition foroptical fibers using CGH-based correlation filters. Optics Express, 17 (2009) 9347-9356.

[12] C. Schulze, A. Dudley, D. Flamm, M. Duparr and A. Forbes, Measurement of theorbital angular momentum density of light by modal decomposition. New Journal ofPhysics, 15 (2013) 073025.

[13] D. Flamm, K.-C. Hou, P. Gelszinnis, C. Schulze, S. Schrter, and M. Duparré, Modalcharacterization of fiber-to-fiber coupling processes. Optics Letters, 38 (2013) 2128-2130.

[14] J. W. Fleming, Dispersion in GeO2SiO2 glasses. Applied Optics, 23 (1984) 4486-4493.

[15] Y. J. Kim, U. C. Paek, and B. H. Lee, Measurement of refractive-index variation withtemperature by use of long-period fiber gratings. Optics Letters, 27 (2002) 1297-1299.

[16] D. F. Santos, A. Guerreiro, and J. M. Baptista, Numerical Investigation of a RefractiveIndex SPR D-Type Optical Fiber Sensor Using COMSOL Multiphysics. PhotonicSensors, 3 (2013) 61-66.

[17] J. Kiusalaas, Numerical Methods in Engineering with Matlabr. Cambridge UniversityPress, (2005).

[18] R Core Team (2014), R: A language and environment for statistical computing. RFoundation for Statistical Computing, Vienna, Austria. URL http://www.R-project.org/.

[19] Q. Wang, G. Farrell, and W. Yan, Investigation on Single-Mode Multimode Single-Mode Fiber Structure. Journal of Lightwave Technology, 26 (2008) 512-519.

[20] F. Beltrán-Mejía, C. R. Biazoli and C. M. B. Cordeiro, Tapered GRIN fiber microsensor.Optics Express, 22 (2014) 30432-30441.

[21] S.Y. Huang, J. N. Blake, and B. Y. Kim, Perturbation effects on mode propagation inhighly elliptical core two-mode fibers. Journal of Lightwave Technology, 8 (1990) 23-33.

[22] T. Eidam, S. Hadrich, F. Jansen, F. Stutzki, J. Rothhardt, H. Carstens, C. Jauregui,J. Limpert and A. Tunnermann, Preferential gain photonic-crystal fiber for modestabilization at high average powers. Optics Express, 19 (2011) 8656-8661.

[23] J.W. Nicholson, L. Meng, J.M. Fini, R.S. Windeler, A. DeSantolo, E. Monberg, F.DiMarcello, Y. Dulashko, M. Hassan, and R. Ortiz, Measuring higher-order modes ina low-loss, hollow-core, hollow-core, photonic-bandgap fiber. Optics Express, 20 (2012)20494.

[24] R.X. Gao, W.J. Liu, Y.Y. Wang, Q. Wang, F. Zhao, S.L. Qu, Design and fabricationof SMS fiber refractometer for liquid. Sensors and Actuators A: Physical, 179 (2012)5-9.