VISUALIZAO DE FUNES E FRACTAIS Carlos Alexandre Liberato LopesRelatrio 1RELATRIO 1Professor: JOS GERALDO FRANCO MXASAluno: Carlos Alexandre Liberato Lopes- 1 -VISUALIZAO DE FUNES E FRACTAIS Carlos Alexandre Liberato LopesRelatrio 1Contedo1.Apresentao............................................................................................................................42.Fractais de Julia........................................................................................................................53.Fractal de Mandelbrot............................................................................................................204.Fractais do Mtodo de Newton..............................................................................................354.1Fractal de Newton...........................................................................................................364.2Fractal Newtonbasin........................................................................................................424.3Fractal ComplexNewton..................................................................................................444.4Fractal Complexbasin......................................................................................................535.Fractal de Lorenz...................................................................................................................566.Fractais fn...............................................................................................................................626.1fn(z) + fn(c).....................................................................................................................626.2fn * fn..............................................................................................................................666.3fn ( z * z )........................................................................................................................696.4fn * z+z........................................................................................................................726.5fn + fn..............................................................................................................................757.Fractais IFS............................................................................................................................787.1Binary..............................................................................................................................797.2Coral................................................................................................................................807.3Coral2..............................................................................................................................817.4Crystal.............................................................................................................................827.5Dragon.............................................................................................................................837.6Fern..................................................................................................................................847.73DFern.............................................................................................................................857.8Floor................................................................................................................................867.9Koch3..............................................................................................................................877.10Spiral.............................................................................................................................887.11Swirl5............................................................................................................................897.12Tree................................................................................................................................907.13Triangle..........................................................................................................................917.14Zigzag2..........................................................................................................................927.153dTetrahedron................................................................................................................937.163d5Tetrahedron..............................................................................................................947.173dHexahedron...............................................................................................................957.183dCube..........................................................................................................................967.193dOctahedron................................................................................................................977.203dDuodecahedron..........................................................................................................987.21Fractint..........................................................................................................................998.Fractais L-systems................................................................................................................1028.1Koch1............................................................................................................................1038.2Koch2............................................................................................................................1038.3Koch3............................................................................................................................1048.4Koch6............................................................................................................................1058.5Dragon...........................................................................................................................1068.6Peano1...........................................................................................................................1068.7Cesaro............................................................................................................................1078.8DoubleCesaro................................................................................................................1088.9FlowSnake.....................................................................................................................1098.10CantorDust..................................................................................................................1098.11Snowflake2..................................................................................................................1138.12SnowflakeColor...........................................................................................................113- 2 -VISUALIZAO DE FUNES E FRACTAIS Carlos Alexandre Liberato LopesRelatrio 18.13Island1.........................................................................................................................1148.14Island2.........................................................................................................................1148.15Quartet.........................................................................................................................1158.16SnowFlake1.................................................................................................................1168.17SnowFlake3.................................................................................................................1178.18Tree1............................................................................................................................1188.19Peano2.........................................................................................................................1188.20Sierpinski1...................................................................................................................1198.21Koch4..........................................................................................................................1208.22Plant07.........................................................................................................................1218.23Plant08.........................................................................................................................1228.24Hilbert..........................................................................................................................1228.25Sierpinski3...................................................................................................................1238.26Peano3.........................................................................................................................1248.27Koch5..........................................................................................................................1248.28Sierpinski2...................................................................................................................1258.29SierpinskiSquare..........................................................................................................1268.30Pentagram....................................................................................................................1268.31QuadKoch....................................................................................................................1278.32Fass1............................................................................................................................1288.33Fass2............................................................................................................................1298.34QuadGosper.................................................................................................................1308.35Plant01.........................................................................................................................1318.36Plant02.........................................................................................................................1328.37Plant03.........................................................................................................................1338.38Plant04.........................................................................................................................1348.39Plant05.........................................................................................................................1358.40Plant06.........................................................................................................................1368.41Plant09.........................................................................................................................1378.42Plant10.........................................................................................................................1388.43Plant11.........................................................................................................................1398.44Curve1.........................................................................................................................1408.45Curve2.........................................................................................................................1418.46Curve3.........................................................................................................................1428.47Curve4.........................................................................................................................1438.48Leaf1............................................................................................................................1448.49Leaf2............................................................................................................................1458.50Bush.............................................................................................................................1478.51MyTree........................................................................................................................1478.52ColorTriangGasket......................................................................................................1488.53SquareGasket...............................................................................................................1498.54DragonCurve...............................................................................................................1508.55Square..........................................................................................................................1518.56KochCurve...................................................................................................................1518.57Penrose1......................................................................................................................1528.58ColorPenrose1.............................................................................................................1538.59Penrose2......................................................................................................................1548.60Penrose3......................................................................................................................1558.61Penrose4......................................................................................................................1568.62DoublePenrose.............................................................................................................1578.63Sphinx..........................................................................................................................1588.64PentaPlexity.................................................................................................................159- 3 -VISUALIZAO DE FUNES E FRACTAIS Carlos Alexandre Liberato LopesRelatrio 18.65CircularTile..................................................................................................................1609.Fractais com Quatrnios.......................................................................................................1619.1QuatJul..........................................................................................................................1619.2Quat...............................................................................................................................17010.Fractais com Hipercomplexos............................................................................................17210.1HypercomplexJ............................................................................................................17210.2Hypercomplex.............................................................................................................17511.Fractal de Henon................................................................................................................17912.Fractal de Rossler...............................................................................................................18013.Fractal de Sierpinski...........................................................................................................18214.Fractais Gerados por Frmulas..........................................................................................18314.1Dragon.........................................................................................................................18314.2DeltaLog......................................................................................................................18414.3DAFRM01...................................................................................................................18514.43daMand01..................................................................................................................18614.5Julike...........................................................................................................................18714.6Mask............................................................................................................................18814.7JMask..........................................................................................................................18914.8PseudoZeePi................................................................................................................19014.9IkeNewtMand..............................................................................................................19114.10REB004A................................................................................................................19215.Referncias.........................................................................................................................193- 4 -VISUALIZAO DE FUNES E FRACTAIS Carlos Alexandre Liberato LopesRelatrio 11. APRESENTAOPretende-senesterelatriodescrever certosobjetosfractais, atravsdaexibiodeseusmodelos geradores e da reproduo de algumas imagens. No h inteno de demonstrar teoremas da Geometria Fractal ou de qualquer outro ramo da Matemtica. Entretanto, foram acrescentadas algumas informaes pertinentes, dotadas de relevncia no assunto, a fim de no renegar o texto aridez, ainda que por parte deste aluno o conhecimento matemtico necessrio e suficiente para alcan-las esteja distante da realidade acadmica presente.1Quanto s imagens que ilustram o trabalho, algumas foram colhidas em stios da internet e, nestes casos, hrefernciaquantoorigem.Amaioria, porm, foicriadaatravsdosoftwarexfractinte transladada para este documento. Destas, grande parte foi construda com o uso de 1000 iteraes, nmero de razovel ponderao a fim de torn-las mais ricas em detalhes e servir como preveno a uma qualidade submissa aos meios de reproduo, nem sempre desejvel.Contudonofoi organizadoumndicedefiguras, consideradoaqui desnecessrioumavezquea descrio de cada forma fractal est localizada imediatamente abaixo.Seguindo a proposta, as fontes de pesquisa utilizadas consistememnotas de aula e textos disponibilizados para estudo, manual do software xfractint, pginas eletrnicas da WEB e publicaes diversas, tudo arrolado ao fim do trabalho no item Referncias.Otrabalhofoi desenvolvidonoeditor detextosBrOffice.org2.0Writer edepoisexportadopara arquivo de formato pdf, atravs da ferramenta agregada especfica para tal finalidade. 1 E na esperana de que a ignorncia no futuro perfaa um conjunto de medida nula.- 5 -VISUALIZAO DE FUNES E FRACTAIS Carlos Alexandre Liberato LopesRelatrio 12. FRACTAIS DE JULIAJ em 1905 os matemticos franceses Gaston Julia e Pierre Fatou estudavam a dinmica de funes racionais da esfera de Riemann por processos iterativos no lineares, o que levou ao trabalho de Julia apresentado em 1918 acerca - entre outras matrias - das colees de pontos geradas em tais sistemas. Em razo da dificuldade poca em representar graficamente esses conjuntos, poucos esboos foram produzidos.Umaequaonolinear propostapor ambosmuitosimples: dadaumaconstantecomplexac, tomamosa iterao zn+1= zn2+c, com z0variando no corpo dos complexos. O chamado conjunto de Julia para essa equao formado pelos complexos que no divergem2quandonaumenta indefinidamente. Dessa forma, existem infinitos conjuntos de Julia: um para cada valor de c.Comofunes racionais esuascomposies emparticular, casodas funes recursivas so analticas (holomorfas), as funes quadrticas que geram os conjuntos de Julia (aqui denotadas por juliac) preservam ngulos orientados onde a derivada no se anula. Assim sendo, se 1 e 2 representam as razes quadradas complexas de c, entojuliac ummapa conforme em1,2e, subseqentemente, se J o conjunto gerado por juliacpara uma constante cem1,2ento o conjunto J invariante por juliac, ou seja, a imagem juliac (J) = J.Pode-se definir ainda um conjunto de Julia Jassociado funo juliaccomo fecho do conjunto de pontos zC tais que a k-sima iterao ( juliac )k(z)=z para algum inteiro k1 e o mdulo da derivada [( juliac )k]'(z) maior do que 1. Vemos assim que por definio J fechado e limitado, logo compacto. O complementar de J o chamado conjunto F de Fatou, que aberto e de dinmica simples.Dizemos que a rbita de z0 a seqncia que se obtm (a dinmica catica de uma partcula) a partir de um ponto inicial z0 no plano complexo e que varia em conformidade com a funo iterativa juliac (neste caso) que a rege. Fcil ver, em virtude da invarincia de J por juliac, que se um ponto z est em Jento toda iterao de ztambm est, isto , a rbita de zest contida em J. Se a rbita de z escapa de J ento ela diverge e conclumos que z no pertence a J.Da dicotomia existente entre os pontos do plano complexo que pertencem ou no ao conjunto Jem estudonasceocritrioparaidentificarmosumfractaldeJulia:seafronteiraJpossuidimenses topolgica e de Hausdorff distintas, tem-se um fractal.OsfractaisdeJuliapodemserexaminadospelaimplementaodoseguintealgoritmo, conhecido como mtodo de tempo de fuga: dadas uma constante complexa ce uma constante realRchamada valor defuga(paraos fractais deJuliaadmite-seR=2)3, associamos acadanaturalnumacor diferente, tal que cada ponto z0 do plano de Argand-Gauss pintado com a cor n, conforme se tem |zn|2 imagem da composio de uma rotao com uma homotetia aplicada sobre o fractal de Newton. Afinal, os atratores de Newton no presente casosoask-simasrazesdocomplexoreestas, porsuavez, soiguaissk-simasrazesda unidade multiplicadas pela raiz principal de r.Conseqentemente os atratores de Newton so as razes da unidade multiplicadas pork.r(pode ser uma expanso ou uma contrao) e giradas pela origem de um ngulo (Argr)/k.14 Dessa maneira, no h descontinuidade no fractal, assim entendida como ruptura da forma sobre o semi-eixo real negativo.(a) k = 3; r = i (b) k = 3; r = 0.729i(c) k = 4; r = 2.828427125 + 2.828427125i (d) k = 5; r = 3 + 4iFigura 30: Fractais ComplexNewton. Para os valores de r indicados sob as imagens e em referncia ao fractal de Newton para os mesmos valores de k informados, temos: (a) rotao por um ngulo de /6; (b) rotao por um ngulo de /6 e contrao de ordem 0.9; (c) rotao por um ngulo de /16 e expanso de ordem prxima a 2; (d) rotao por um ngulo de aproximadamente 7/50 e expanso de ordem aproximadamente 1.3076605.13 Veja nota 11.14 Arg r denota o argumento principal de r, pertencente ao intervalo real (,].- 30 -VISUALIZAO DE FUNES E FRACTAIS Carlos Alexandre Liberato LopesRelatrio 1Tomando valoresinteirosdek2,para cadarofractalComplexNewton limitado(contidonum disco de centro na origem), invariante por rotaes de 2/k, sendo as razes do polinmio p(z) dadas pork.1/reArg r +2nnk com n=0, ..., k1.Figura 31: Fractal ComplexNewton para k=2 e r=2.752.85i.Figura 32: Fractal ComplexNewton com k=4 e r=1.5+2i.- 31 -VISUALIZAO DE FUNES E FRACTAIS Carlos Alexandre Liberato LopesRelatrio 1Por outro lado, para valores fracionrios de kpositivos ou negativos (com partes imaginrias nulas), nem sempre obtemos simetria e invarincia por rotaes, observando s vezes descontinuidades.Figura 33: Fractal ComplexNewton com parmteros k=3. 7 e r=7: simetria em torno do eixo real.Figura 34: Fractal ComplexNewton para k=3.7 e r=7i: assimtrico e descntnuo no semi-eixo real negativo.- 32 -VISUALIZAO DE FUNES E FRACTAIS Carlos Alexandre Liberato LopesRelatrio 1Figura 35: Para k=3.7 e r=7, o fractal ComplexNewton no invariante sob rotaes diferentes de 2.Figura 36: Descontinuidade, varincia sob rotaes e assimetria: fractal ComplexNewton com k=3.7 e r=7i.- 33 -VISUALIZAO DE FUNES E FRACTAIS Carlos Alexandre Liberato LopesRelatrio 1Figura 37: Fractal ComplexNewton com grau k=1.99509 e r=1.07. Observamos reas com coloraes (tempos de fuga) contguas e outras cujas fronteiras tm interseo vazia. O fractal, porm, a linha que limita o conjunto colorido, separando-o da grande rea branca volta.(a) (b)(c) (d)Figura38: Ampliaesdofractaldafigura37, sobreosretngulos:(a)[0.811339, 1.163245] [0.568937, 0.832867]; (b) [1.052135, 1.095134][0.802094, 0.834343]; (c) [1.088829, 1.090847][0.831567, 0.833080]; e (d) [1.089939, 1.089956] [0.832222, 0.832223].- 34 -VISUALIZAO DE FUNES E FRACTAIS Carlos Alexandre Liberato LopesRelatrio 1Por fim, se a parte imaginria de k no-nula ento o fractal possui uma descontinuidade ao longo do semi-eixo real negativo, o que devido periodicidade do argumento de k.Figura 39: Fractal ComplexNewton parak=3+3ier=1Figura 40: O fractal ComplexNewton com parmetrosk=5ier=0.550.45i um tanto excntrico.- 35 -VISUALIZAO DE FUNES E FRACTAIS Carlos Alexandre Liberato LopesRelatrio 1Figura 41: O fractal ComplexNewton (k=0.7+2.5i,r=20.08i) e a descontinuidade sobre o semi-eixo real negativo.Figura 42: A descontinuidade propaga-se em nveis infinitesimais no fractal ComplexNewton anterior.- 36 -VISUALIZAO DE FUNES E FRACTAIS Carlos Alexandre Liberato LopesRelatrio 14.4 Fractal ComplexbasinComo no modelo anteiror, utilizamos o polinmio p(z)=zkrcom ke rcomplexos, mas os pixelsso coloridos da mesma maneira que ocorre no fractal Newtonbasin: de acordo com a raiz para a qual o complexo z0associado converge, identificando assim as bacias pertinentes a cada atrator de Newton. As observaes feitas ao grau k do polinmio no fractal anterior podem ser aplicadas no presente caso.A seguir, podemos ver algumas formas com idnticos valores para o grau k do polinmio p(z) e para o termo independente r de alguns fractais do modelo anterior, ComplexNewton.Figura 43: Fractal complexbasin com parmetros k=4 e r=1.5+2i.Figura 44: Fractal complexbasin para k=3.7 e r=7.- 37 -VISUALIZAO DE FUNES E FRACTAIS Carlos Alexandre Liberato LopesRelatrio 1Figura 45: Fractal complexbasin com k=3.7 e r=7i.Figura 46: Fractal Complexbasin parak=3+3ier=1- 38 -VISUALIZAO DE FUNES E FRACTAIS Carlos Alexandre Liberato LopesRelatrio 1Figura 47: Fractal Complexbasin com parmetrosk=5i e r=0.550.45i .Figura 48: Fractal Complexbasin com k=0. 7+2. 5i e r=20.08i.- 39 -VISUALIZAO DE FUNES E FRACTAIS Carlos Alexandre Liberato LopesRelatrio 15. FRACTAL DE LORENZNadcadade1950, EdwardLorenzcomeouatrabalharnoBoston Tech(depoisMIT), ondeera pesquisador emMeteorologia. poca, amodelagemdeeventosclimticosfundamentava-seem coletneasdeobservaesfeitasaolongodosanos, maisdoqueempreceitosdaFsica. Lorenz estudava as equaes dos rolos de conveco da atmosfera e a metodologia empregada engendrava uma linearidade nas previses que no produzia um resultado satisfatrio, sequer a mdio prazo, pois a realidade mostrava padres no repetitivos em todas as variveis.Lorenz props e passou a estudar um mtodo no-linear e determinstico para o exame da questo, publicando em 1963 um artigo onde analisava a estabilidade dos escoamentos fluidos na atmosfera. Tomando x, y e z como variveis de um espao tridimensional, a intensidade do movimento do fluido determinada por x, enquanto y e z apontam as variaes de temperatura respectivamente nas direes horizontal e vertical. Ainda levam-se em considerao trs parmetros reais positivos:(nmero de Prandtl),r(nmerodeRayleigh)eb, ondeebsocaractersticasdofluidoedepropriedades geomtricas, e r relaciona-se com a diferena de temperatura.Seus resultados mapeavam a evoluo temporal do estado de um sistema dinmico e eventualmente demonstravam rbitas errticas, que jamais se repetiam ou se cruzavam. Tais rbitas perfaziam um caminho infinitamente longo confinado em um espao finito, em torno de dois pontos para os quais tendiam a soluo do sistema. Entretanto as rbitas no eram peridicas nem convergiam, motivo pelo qual tais pontos passaram a ser denominados atratores estranhos.Os atratores de Lorenz esto localizados nos centros de duas espirais planas entrelaadas e em diedro, demaneiraqueasrbitasoraestoemuma, oraemoutra, comquantidadesdevoltasaleatrias, tomando a forma de uma borboleta. Essas rbitas que definem o fractal de Lorenz so regradas pelo seguinte sistema de equaes diferenciais no-lineares de primeira ordem:dxdt =c( xy)dydt =rxyxzdzdt=xybzAsoluoumafunovetorial deumavarivel (otempo, comomencionado)cujaimagemo conjunto das rbitas15. As chamadas equaes de Lorenz tomam = 10, r=28 e b = 8/3. Para r24.06 os atratores passam a agir como repulsores e as rbitas evoluem caoticamente em razo do termo no-linear xy na terceira equao, produzindo a imprevisibilidade e formando o fractal.Numericamente, para visualizao do conjunto de rbitas no computador, as diferenciais so tratadas comovaloresreais easderivadas,dx/dtpor exemplo, comofraes, preferencialmentetomando valores mnimos. A iterao ocorre multiplicando as fraes pelo denominador comum dt, de forma que obtemos novos valores xn+1, yn+1 e zn+1 pelo sistema:xn+1=xn+(axndt )+(ayndt )yn+1=yn+(bxndt )( yndt )( znxndt )zn+1=zn(czndt )+( xnyndt )15 A utilizao do termo funo no parece apropriada aqui em virtude do comportamento catico das rbitas. Uma srie estatstica hetergrada temporal talvez represente melhor o conjunto.- 40 -VISUALIZAO DE FUNES E FRACTAIS Carlos Alexandre Liberato LopesRelatrio 1Em seguida, os pontos obtidos pela iterao acima descrita so unidos por segmentos de reta, os quais so projetados sobre o plano do monitor.Figura 49: Evoluo no tempo do fractal de Lorenz. Com r=28 as rbitas possuem comportamento catico, sem periodicidade nem convergncia, percorrendo espirais sobre planos em ngulo (imagens produzidas pelo tipo lorenz do xfractint)Variaes do fractal de Lorenz podem ser obtidas pela simples alterao dos parmetros , r e b. Alm disso, podem-se realizarrotaes dos eixos e alteraes de perspectivaque resultamemnovas projees. Aliando a isso a escolha apropriada de cores, se o usurio estiver munido de culos 3D ou de dispositivo similar pode experimentar a sensao de profundidade, visualizando o fractal em trs dimenses.A seguir, imagens produzidas respectivamente pelos tipos lorenz3D, lorenz3D1, lorenz3D3 e lorenz3D4 do xfractint, que ilustram tais casos.- 41 -VISUALIZAO DE FUNES E FRACTAIS Carlos Alexandre Liberato LopesRelatrio 1Figura 50: Fractal de Lorenz lorenz3D com valores padro.Figura 51: Fractal de Lorenz lorenz3D1 com rotaes de 60 no eixo x, 25 no eixo ye 45 no eixo z, e translaes de 15 e 20 unidades, respectivamente sobre os eixos x e y.- 42 -VISUALIZAO DE FUNES E FRACTAIS Carlos Alexandre Liberato LopesRelatrio 1Figura 52: Fractal de Lorenz lorenz3D3 com valores padro.Figura 53:Fractal de Lorenz lorenz3D4 com valores padro.- 43 -VISUALIZAO DE FUNES E FRACTAIS Carlos Alexandre Liberato LopesRelatrio 16. FRACTAIS fnNos tpicos a seguir, os ttulos indicamprecisamente o modo de construo dos fractais que descreveremos. As formas que utilizamparmetros de perturbao possuemuma infinidade de variaes, uma para cada possvel valor dos parmetros. Contudo, o que de fato desenha o fractal e lhe d o formato bsico a ser deformado pelos parmetros so as combinaes de funes utilizadas (trigonomtricas, trigonomtricas hiperblicas, exponencial, logaritmo, raiz quadrada, mdulo, funo identidade, funo nula, etc.)Todos os modelos so baseados em algoritmos de tempo de fuga, de forma que os pixels so coloridos em conformidade com o nmero de iteraes operadas sobre um valor inicial at que o mdulo do nmero complexo resultante ultrapasse (ou no) um determinado valor real.Assim, por exemplo, se estabelecermos um valor de fuga igual a 2, ento o pixel c ter a cor k, onde k o menor natural para o qual zk+12 e zk216.6.1 fn(z) + fn(c)Aqui associamos a cada valor inicial complexo c=z0 o correspondente pixel da tela, que ser colorido pela cor atribuda k-sima iterao. Tomando z e p entre os complexos, comfn1efn2funes complexas de varivel complexa, definimos a iteraozk+1= f n1( zk)+pf n2( c)Figura 54: Fractal produzido pela frmula iterativa acima, onde p=0.1icom fn1(z) = sen(z) e fn2(z) = cos(z). A fronteira das regies coloridas tem dimenso fracionria.16 Aqui usamos k para as iteraes a fim de no haver confuso com o ndice n atribudo s funes.- 44 -VISUALIZAO DE FUNES E FRACTAIS Carlos Alexandre Liberato LopesRelatrio 1Figura 55: Ampliao do fractal anterior em [0.455795, 0.654486] [1.579409, 1.430391].Figura 56: Parte do fractal produzido por fn1(z) = exp( z),fn2(z) = tg(z) e parmetro p=1.- 45 -VISUALIZAO DE FUNES E FRACTAIS Carlos Alexandre Liberato LopesRelatrio 1Figura 57: Fractal gerado pela funo recursiva zk+1 = exp( zk ) + pixel1 (parmetro p=1).Figura 58: Detalhe do fractal produzido pela iterao zk+1 = exp( zk )+(0.46150.499i) ctg( pixel).- 46 -VISUALIZAO DE FUNES E FRACTAIS Carlos Alexandre Liberato LopesRelatrio 1Figura 59: Fractal dado por zk+1 = senh( zk )+c (onde fn2 a funo identidade, c=pixel e p=1).Figura 60: Detalhe do fractal anterior, no retngulo [0.681641, 0.977081] [2.255320, 2.476901].- 47 -VISUALIZAO DE FUNES E FRACTAIS Carlos Alexandre Liberato LopesRelatrio 16.2 fn * fnAqui toma-se o valor inicial z0 = pixel, definindo-se a recursividade por zk+1= f n1( zk)fn2( zk).Por induopodemosprovarquezn=( fn1fn2)n( pixel )ondenindicatantoan-simaiterao como a n-sima autocomposio defn1f n2e atribui a cada pixel a cor a ele associada.Figura 61: Fractal gerado comfn1=z efn2=cos z.Figura 62: Detalhe do fractal da figura anterior.- 48 -VISUALIZAO DE FUNES E FRACTAIS Carlos Alexandre Liberato LopesRelatrio 1Figura 63: Fractal criado pela iterao de | z | exp z.Figura 64: Fractal dado por exp z sen z.- 49 -VISUALIZAO DE FUNES E FRACTAIS Carlos Alexandre Liberato LopesRelatrio 1Figura 65: Fractal para fn1 = cotg z e fn2 = z2 , simtrico em relao Figura 66: Fractal produzido pela iterao de z1 log z.- 50 -VISUALIZAO DE FUNES E FRACTAIS Carlos Alexandre Liberato LopesRelatrio 16.3 fn ( z * z )Para este modelo tambm tomamos o valor inicial z0 = pixel, porm atribuindo-lhe a cor associada a fn, conforme a lei de recursividade zn+1=fn( znzn)Figura 67: Fractal com fn = tg.Figura 68: Fractal gerado com fn = senh e a opo bailout value igual a 10000.- 51 -VISUALIZAO DE FUNES E FRACTAIS Carlos Alexandre Liberato LopesRelatrio 1Figura 69: Fractal com fn = tg.Figura 70: Fractal anterior ampliado na regio [0.050354, 0.050245] [2.374078, 2.373996].- 52 -VISUALIZAO DE FUNES E FRACTAIS Carlos Alexandre Liberato LopesRelatrio 1Figura 71: Fractal para fn = cotgh.Figura 72: Detalhe ampliado do fractal.- 53 -VISUALIZAO DE FUNES E FRACTAIS Carlos Alexandre Liberato LopesRelatrio 16.4 fn * z+zOs valores iniciais desta forma ainda so os pontosz0 = pixel, tomando tambm constantes complexas p1 e p2, de maneira que a iterao dada por zn+1=p1fn( zn)zn+p2zn.Figura 73: Fractal desconexo dado pela funo sen, com parmetros p1 = 0.9 + 0.4i e p2 = 0.3 0.1i.Figura 74: Detalhe do fractal anterior no retngulo [0.224891, 0.224890] [1.644278, 1.644277]- 54 -VISUALIZAO DE FUNES E FRACTAIS Carlos Alexandre Liberato LopesRelatrio 1Figura 75: Fractal produzido pela funo cos xx, onde cos xx (z) = cos(Re z)cosh(Im z) + isen(Re z)senh(Im z), e com parmetros p1 = 0.19iep2 = 1.Figura 76: Parte do fractal anterior em [1.569527, 1.569544] [3.049437, 3.049424].- 55 -VISUALIZAO DE FUNES E FRACTAIS Carlos Alexandre Liberato LopesRelatrio 1Figura 77: Fractal criado sobre a funo no-linear z2 e parmetros p1 = 1 ep2 = 1.1 + 0.3002i.Figura 78: Fractal gerado com parmetros p1 = 0.01 + 0.6iep2 = 0.6 0.01i, onde fn a raiz quadrada.- 56 -VISUALIZAO DE FUNES E FRACTAIS Carlos Alexandre Liberato LopesRelatrio 16.5 fn + fnEste ltimo modelo tambm toma cada valor inicial z0=pixel, usando ainda dois parmetros complexos p1 e p2 e duas funesfn1efn2operando sob a iteraozn+1=p1fn1( zn)+p2fn2( zn).Figura 79:Fractal produzido pela frmula iterativa acima, ondep1= p2= 1,fn1(z) = sen zefn2(z) = cos z. A fronteira das regies coloridas tem dimenso fracionria.Figura 80: Fractal gerado com as mesmas funes do anterior, mas com parmetros p1 = 1.8 + 0.1i ep2 = 0.1i.- 57 -VISUALIZAO DE FUNES E FRACTAIS Carlos Alexandre Liberato LopesRelatrio 1Figura81:Com fn1(z)= | z |,fn2(z)=.zeparmetrosp1=10.1i,p2=0.5+0.1i, estaformanosremeteaos fractais de Julia.Figura82: Ofractal acima, geradocom fn1(z) =exp( z ),fn2(z) =cos(z),p1=10.1iep2=0.85+0.6i, possui aparncia semelhante ao fractal de Julia da figura 4.- 58 -VISUALIZAO DE FUNES E FRACTAIS Carlos Alexandre Liberato LopesRelatrio 1Figura 83: O intrincado fractal produzido pela iterao zn+1 = 0.5308 (z n )2 + 0.5308 ( z n ) 1.Figura 83: Detalhe do fractal anterior.- 59 -VISUALIZAO DE FUNES E FRACTAIS Carlos Alexandre Liberato LopesRelatrio 17. FRACTAIS IFSO sistema de funes iteradas (abreviatura IFS em ingls) trabalha fundamentalmente com algoritmos baseados em lgebra linear, precisamente com transformaes lineares e afins. A partir de um pequeno conjunto de parmetros numricos capaz de operar facilmente em espaos de dimenso dois ou trs. Porissotemlargautilizao, porexemplo, nacompressodeimagens, armazenandoemarquivos pequenos a informao de pesados arquivos de imagens, ricas em cores e detalhes.Desenvolvido por Michael Barnsley, a essncia do sistema est no ilimitado detalhamento, na autosemelhana e na invarincia por escala, definindo fractais. As sucessivas transformaes de cada subconjuntodepontosemrplicasdoconjuntopor meiodeumalgoritmosimplespermite, por exemplo, criar formas similares s encontradas na natureza, como folhagens e cristais.Podemosclassificarosistemadefunesiteradas conformeotipodealgoritmo:determinstico ou randmico. Em ambos os casos, tomamos como parmetros17nmeros a,b,c,d,ee f. No caso dos algoritmos randmicos ainda usamos parmetros p, que representam probabilidades, portanto positivos e menores do que ou iguais unidade e que somam exatamente 1.Dito isto, consideremos um conjunto de N transformaes afins Tj, com 1j N, e tais que(xn+1yn+1)=Tj(xnyn)=(ajbjcjdj)(xnyn)+(ejfj)onde cada transformao afim Tj possui os seus parmetros.Definimos o fractal determinstico A como o limite de An quando n para An+1=Uj=1NTn( An) .No caso do xfractint, a implementao se d pela leitura do arquivo de definies. Para cada fractal h uma matriz na qual cada linha corresponde a uma transformao Tj cujos parmetros correspondem s colunas. Por exemplo, a matriza1 b1 c1 d1 e1 f1 p1a2 b2 c2 d2 e2 f2 p2a3 b3 c3 d3 e3 f3 p3indica que se trata de um espao bidimensional, que um algoritmo randmico e que existem trs transformaes (linhas) Tj as quais possuem os parmetros (colunas) aj, bj, cj, dj, ej, fj e pj.Fosse o algoritmo determinstico, bastaria no escrevermos a ltima coluna (a das probabilidades). O uso de probabilidades equivale a dar maior ou menor peso s transformaesTjutilizadas, o que pode vir a otimizar o processamento, tanto pelo ganho de velocidade nos clculos j que no todos os pontos precisaro ser determinados quanto pela qualidade da imagem produzida em virtude do maior ou menor acmulo de pontos em algumas regies.A seguir, reproduzimos todos os fractais listados no arquivo fractint.ifs do xfractint, gerados com 400 iteraes em mdia, e transcrevemos as suas matrizes definidoras.17 Raciocnio vlido para um espao bidimensional; em espaos m-dimensionais devemos ter em mos m2+m+mp parmetros, onde mp nulo se o algoritmo determinstico ou igual a 1, se randmico.- 60 -VISUALIZAO DE FUNES E FRACTAIS Carlos Alexandre Liberato LopesRelatrio 17.1 BinaryFractal de algoritmo randmico, bidimensional, com 3 transformaes por iterao.Matriz de definio:a b c d e f p0.5 0.0 0.0 0.5 -2.563477 -0.000003 0.3333330.5 0.0 0.0 0.5 2.436544 -0.000003 0.3333330.0 -0.5 0.5 0.0 4.873085 7.563492 0.333333Figura 84: fractal IFS Binary.- 61 -VISUALIZAO DE FUNES E FRACTAIS Carlos Alexandre Liberato LopesRelatrio 17.2 CoralFractal de algoritmo randmico, bidimensional, com 3 transformaes por iterao.Matriz de definio:a b c d e f p0.307692 -0.531469 -0.461538 -0.293706 5.401953 8.655175 0.400.307692 -0.076923 0.153846-0.447552-1.2952484.152990 0.150.000000 0.545455 0.692308 -0.195804 -4.893637 7.269794 0.45Figura 85: fractal IFS Coral.- 62 -VISUALIZAO DE FUNES E FRACTAIS Carlos Alexandre Liberato LopesRelatrio 17.3 Coral2Fractal de algoritmo randmico, bidimensional, com 3 transformaes por iterao.Matriz de definio:a b c d ef p0.307692 -0.531469 -0.461538 -0.2937065.4019538.655175 0.3333330.307692 -0.0769230.153846 -0.447552 -1.2952484.152990 0.3333330.0000000.5454550.692308 -0.195804 -4.8936377.269794 0.333333Figura 86: fractal IFS Coral2.- 63 -VISUALIZAO DE FUNES E FRACTAIS Carlos Alexandre Liberato LopesRelatrio 17.4 CrystalFractal de algoritmo randmico, bidimensional, com 2 transformaes por iterao.Matriz de definio:a b c d e f p0.696970 -0.481061 -0.393939 -0.662879 2.14700310.3102880.7478260.090909 -0.4431820.515152 -0.094697 4.2865582.9257620.252174Figura 87: fractal IFS Crystal.- 64 -VISUALIZAO DE FUNES E FRACTAIS Carlos Alexandre Liberato LopesRelatrio 17.5 DragonFractal de algoritmo randmico, bidimensional, com 2 transformaes por iterao.Matriz de definio:a b c def p0.824074 0.281482 -0.212346 0.864198 -1.882290-0.1106070.7874730.088272 0.520988 -0.463889 -0.3777780.7853608.0957950.212527Figura 88: fractal IFS Dragon- 65 -VISUALIZAO DE FUNES E FRACTAIS Carlos Alexandre Liberato LopesRelatrio 17.6 FernFractal de algoritmo randmico, bidimensional, com 4 transformaes por iterao.Matriz de definio:a b c d e f p000 0.16 0 0 0.010.850.04 -0.04 0.85 0 1.6 0.850.2 -0.260.23 0.22 0 1.6 0.07-0.150.280.26 0.24 0 0.44 0.07Figura 89: fractal IFS Fern.- 66 -VISUALIZAO DE FUNES E FRACTAIS Carlos Alexandre Liberato LopesRelatrio 17.7 3DFernFractal de algoritmo randmico, tridimensional, com 4 transformaes por iterao.Matriz de definio:ab c d e f gh i j k l p0.000.00 0 0.0 0.18 0.0 00.0 0.00 0 0.0 0 0.010.850.00 0 0.0 0.85 0.1 0 -0.1 0.85 0 1.6 0 0.850.20 -0.20 0 0.2 0.20 0.0 00.0 0.30 0 0.8 0 0.07-0.200.20 0 0.2 0.20 0.0 00.0 0.30 0 0.8 0 0.07Figura 90: fractal IFS 3DFern.- 67 -VISUALIZAO DE FUNES E FRACTAIS Carlos Alexandre Liberato LopesRelatrio 17.8 FloorFractal de algoritmo randmico, bidimensional, com 3 transformaes por iterao.Matriz de definio:a bc d e f p0.0 -0.50.5 0.0-1.7323663.3661820.3333330.50.00.0 0.5-0.0278915.0148770.3333330.00.5 -0.5 0.01.6208043.3104010.333333Figura 91: fractal IFS Floor.- 68 -VISUALIZAO DE FUNES E FRACTAIS Carlos Alexandre Liberato LopesRelatrio 17.9 Koch3Fractal de algoritmo randmico, bidimensional, com 5 transformaes por iterao.Matriz de definio:a bcdefp0.307692 -0.0000000.0000000.2941184.119164 1.604278 0.1515150.192308 -0.2058820.6538460.088235 -0.688840 5.978916 0.2537880.1923080.205882 -0.6538460.0882350.668580 5.962514 0.2537880.307692 -0.0000000.0000000.294118 -4.136530 1.604278 0.1515150.384615 -0.0000000.000000 -0.294118 -0.007718 2.941176 0.189394Figura 92: fractal IFS Koch3.- 69 -VISUALIZAO DE FUNES E FRACTAIS Carlos Alexandre Liberato LopesRelatrio 17.10 SpiralFractal de algoritmo randmico, bidimensional, com 3 transformaes por iterao.Matriz de definio:a b c de f p0.787879 -0.424242 0.242424 0.8598481.758647 1.408065 0.895652-0.1212120.257576 0.151515 0.053030 -6.721654 1.377236 0.0521740.181818 -0.136364 0.090909 0.1818186.086107 1.568035 0.052174Figura 93: fractal IFS Spiral.- 70 -VISUALIZAO DE FUNES E FRACTAIS Carlos Alexandre Liberato LopesRelatrio 17.11 Swirl5Fractal de algoritmo randmico, bidimensional, com 2 transformaes por iterao.Matriz de definio: a bcd e f p 0.745455 -0.459091 0.4060610.887121 1.460279 0.691072 0.912675-0.424242 -0.065152 -0.175758-0.218182 3.809567 6.741476 0.087325Figura 94: fractal IFS Swirl5.- 71 -VISUALIZAO DE FUNES E FRACTAIS Carlos Alexandre Liberato LopesRelatrio 17.12 TreeFractal de algoritmo randmico, bidimensional, com 4 transformaes por iterao.Matriz de definio:abc d e f p000 0.5 0 0 0.050.42 -0.420.42 0.42 0 0.2 0.40.420.42 -0.42 0.42 0 0.2 0.40.100 0.1 0 0.2 0.15Figura 95: fractal IFS Tree.- 72 -VISUALIZAO DE FUNES E FRACTAIS Carlos Alexandre Liberato LopesRelatrio 17.13 TriangleFractal de algoritmo randmico, bidimensional, com 3 transformaes por iterao.Matriz de definio:a b c d e f p0.5 0 0 0.5 0 0 0.330.5 0 0 0.5 0 1 0.330.5 0 0 0.5 1 1 0.34Figura 96: fractal IFS Triangle.- 73 -VISUALIZAO DE FUNES E FRACTAIS Carlos Alexandre Liberato LopesRelatrio 17.14 Zigzag2Fractal de algoritmo randmico, bidimensional, com 2 transformaes por iterao.Matriz de definio:a b c d e f p-0.632407 -0.614815 -0.545370 0.659259 3.840822 1.282321 0.888128-0.0361110.4444440.210185 0.037037 2.071081 8.330552 0.111872Figura 97: fractal IFS Zigzag2- 74 -VISUALIZAO DE FUNES E FRACTAIS Carlos Alexandre Liberato LopesRelatrio 17.15 3dTetrahedronFractal de algoritmo randmico, tridimensional, com 4 transformaes por iterao.Matriz de definio:a b c d e f g h ijkl p0.50 0 0 0 0.50 0 0 0 0.500.000.001.00 0.250.50 0 0 0 0.50 0 0 0 0.500.000.87 -0.50 0.250.50 0 0 0 0.50 0 0 0 0.50 -0.87 -0.50 -0.50 0.250.50 0 0 0 0.50 0 0 0 0.50 0.87 -0.50 -0.50 0.25Figura 98: fractal IFS 3dTetrahedron.- 75 -VISUALIZAO DE FUNES E FRACTAIS Carlos Alexandre Liberato LopesRelatrio 17.16 3d5TetrahedronFractal de algoritmo randmico, tridimensional, com 5 transformaes por iterao.Matriz de definio:a b c d e f g h i jk l p0.44 0 0 0 0.44 0 0 0 0.440.000.001.00 0.200.44 0 0 0 0.44 0 0 0 0.440.000.87 -0.50 0.200.44 0 0 0 0.44 0 0 0 0.44 -0.87 -0.50 -0.50 0.200.44 0 0 0 0.44 0 0 0 0.440.87 -0.50 -0.50 0.200.44 0 0 0 0.44 0 0 0 0.440.000.000.00 0.20Figura 99: fractal IFS 3d5Tetrahedron.- 76 -VISUALIZAO DE FUNES E FRACTAIS Carlos Alexandre Liberato LopesRelatrio 17.17 3dHexahedronFractal de algoritmo randmico, tridimensional, com 5 transformaes por iterao.Matriz de definio:a b c d e f g h i jk l p0.44 0 0 0 0.44 0 0 0 0.440.000.000.90 0.200.44 0 0 0 0.44 0 0 0 0.440.87 -0.500.00 0.200.44 0 0 0 0.44 0 0 0 0.44 -0.87 -0.500.00 0.200.44 0 0 0 0.44 0 0 0 0.440.001.000.00 0.200.44 0 0 0 0.44 0 0 0 0.440.000.00 -0.90 0.20Figura 100: fractal IFS 3dHexahedron.- 77 -VISUALIZAO DE FUNES E FRACTAIS Carlos Alexandre Liberato LopesRelatrio 17.18 3dCubeFractal de algoritmo randmico, tridimensional, com 8 transformaes por iterao.Matriz de definio:a b c d e f g h i jk l p0.35 0 0 0 0.35 0 0 0 0.351.001.001.00 0.120.35 0 0 0 0.35 0 0 0 0.351.001.00 -1.00 0.130.35 0 0 0 0.35 0 0 0 0.351.00 -1.001.00 0.120.35 0 0 0 0.35 0 0 0 0.351.00 -1.00 -1.00 0.130.35 0 0 0 0.35 0 0 0 0.35 -1.001.001.00 0.120.35 0 0 0 0.35 0 0 0 0.35 -1.001.00 -1.00 0.130.35 0 0 0 0.35 0 0 0 0.35 -1.00 -1.001.00 0.120.35 0 0 0 0.35 0 0 0 0.35 -1.00 -1.00 -1.00 0.13Figura 101: fractal IFS 3dCube.- 78 -VISUALIZAO DE FUNES E FRACTAIS Carlos Alexandre Liberato LopesRelatrio 17.19 3dOctahedronFractal de algoritmo randmico, tridimensional, com 6 transformaes por iterao.Matriz de definio:a b c d e f g h i jk l p0.40 0 0 0 0.40 0 0 0 0.400.000.001.00 0.170.40 0 0 0 0.40 0 0 0 0.401.000.000.00 0.160.40 0 0 0 0.40 0 0 0 0.400.001.000.00 0.170.40 0 0 0 0.40 0 0 0 0.40 -1.000.000.00 0.170.40 0 0 0 0.40 0 0 0 0.400.00 -1.000.00 0.160.40 0 0 0 0.40 0 0 0 0.400.000.00 -1.00 0.17Figura 102: fractal IFS 3dOctahedron.- 79 -VISUALIZAO DE FUNES E FRACTAIS Carlos Alexandre Liberato LopesRelatrio 17.20 3dDuodecahedronFractal de algoritmo randmico, tridimensional, com 12 transformaes por iterao.Matriz de definio:a b c d e f g h i jk l p0.28 0 0 0 0.28 0 0 0 0.280.000.000.96 0.090.28 0 0 0 0.28 0 0 0 0.280.000.850.43 0.080.28 0 0 0 0.28 0 0 0 0.280.810.260.43 0.080.28 0 0 0 0.28 0 0 0 0.28 -0.810.260.43 0.090.28 0 0 0 0.28 0 0 0 0.280.50 -0.690.43 0.080.28 0 0 0 0.28 0 0 0 0.28 -0.50 -0.690.43 0.080.28 0 0 0 0.28 0 0 0 0.280.500.69 -0.43 0.090.28 0 0 0 0.28 0 0 0 0.28 -0.500.69 -0.43 0.080.28 0 0 0 0.28 0 0 0 0.280.81 -0.26 -0.43 0.080.28 0 0 0 0.28 0 0 0 0.28 -0.81 -0.26 -0.43 0.090.28 0 0 0 0.28 0 0 0 0.280.00 -0.85 -0.43 0.080.28 0 0 0 0.28 0 0 0 0.280.000.00 -0.96 0.08Figura 102: fractal IFS 3dDuodecahedron.- 80 -VISUALIZAO DE FUNES E FRACTAIS Carlos Alexandre Liberato LopesRelatrio 17.21 FractintFractal de algoritmo randmico, bidimensional, com 22 transformaes por iterao.Matriz de definio: abcde f p 0.00 -0.110.220.00 -6.25 4.84 0.06 0.110.020.000.11 -6.30 5.99 0.03 0.060.020.000.10 -6.25 4.51 0.02 0.00 -0.110.220.00 -4.34 4.84 0.06 0.080.000.000.11 -4.50 5.99 0.02 0.000.11 -0.080.00 -4.30 6.15 0.02-0.090.00 -0.01 -0.13 -4.15 5.94 0.02 0.060.11 -0.130.00 -4.69 4.15 0.04 0.03 -0.110.230.11 -2.26 4.43 0.07 0.030.11 -0.250.00 -2.57 4.99 0.07 0.060.000.000.11 -2.40 4.46 0.02 0.000.11 -0.190.00 -1.62 4.99 0.06 0.09-0.010.000.10 -0.58 2.96 0.03-0.090.000.00 -0.11 -0.65 7.10 0.03 0.120.00 -0.000.111.24 6.00 0.030.000.11 -0.220.000.68 4.80 0.06-0.120.000.00 -0.136.17 7.18 0.03 0.00-0.110.220.006.78 4.84 0.06 0.000.08 -0.250.022.21 4.95 0.07 0.00 -0.110.220.004.10 4.84 0.06 0.00 -0.110.220.005.25 5.23 0.06 0.080.11 -0.250.003.57 4.99 0.08- 81 -VISUALIZAO DE FUNES E FRACTAIS Carlos Alexandre Liberato LopesRelatrio 1Figura 103: fractal IFS Fractint.- 82 -VISUALIZAO DE FUNES E FRACTAIS Carlos Alexandre Liberato LopesRelatrio 18. FRACTAIS L-SYSTEMSEm 1968 o bilogo Aristid Lindernmayers publicou artigo que versava sobre o crescimento de plantas, dandoaoconhecimentodetodos omtodosimples queutilizavapararegistrar os padres que encontrava, batizando-odelivingsystems(L-systems). Oraciocnioreside em, a partir de um elemento (segmento de reta, polgono, etc.), acrescentar iteradamente outros entes geomtricos elementares, chegando a conjuntos realmente representativos das observaes. Ainda que artificiais, as figuras produzidas soimediatamente identificadas, e podemser trabalhadas tambmde forma simples, resultando em impressionante realismo.Ofractalgeradopelarecursividadeinfinita. Paraefeitosprticoseporfidelidadesformasque representam, contudo, usa-se um nmero finito de iteraes. O elemento inicial chamado axiome corresponde iterao de nmero 0; os apndices seguintes consistem em alteraes de ngulo (em graus), acrscimo e partio de segmentos, marcao de pontos, seleo de cores, conectivos lgicos, entre outros, executados em conformidade com o cdigo que os define.Ainda queomtodotenha sidocriado comoobjetivo de descreverodesenvolvimento de plantas, presta-se tambm a produzir formas abstratas e, assim como nos fractais IFS, existe um arquivo (no caso,fractint.l)queregistraocdigodecadamodelo.Talforma, aoserescolhidanainterfacedo programa, tem seu cdigo interpretado e executado pelo nmero de iteraes que determinarmos.Apropostainicial consistiaemexaminarmosasimagensproduzidascom0, 1, 2e20iteraes. Entretanto, analisemos o fractal Koch1, que dos mais simples. De fato, so necessrias 7 operaes (3 segmentos e 4 alteraes de ngulo) para criar o axiom. A partir da primeira iterao, cada segmento transforma-se por meio de oito operaes em novos quatro segmentos, de maneira tal que a cada nova iterao so realizadas 4 vezes o nmero de operaes executadas na iterao anterior. Computar-se-ia assim, aps 20 iteraes, um nmero enorme de operaes: 8.796.093.022.207, da ordem de 1013.Esteumvalor muitoalmdorazovel emrelaocapacidadeoperacional damquinaque utilizamos (CPU Pentium 3.40 Ghz, 2 Gb de memria e 512 Kb de Lcache). Na prtica, o tempo de processamento da imagem do fractal de Koch1 com dez iteraes foi de cerca de 1 segundo. Logo, necessitaramos de 220 segundos para exibio da imagem com 20 iteraes, o que nos tomaria mais de 291 horas. Isso representa mais de 12 dias ininterruptos de processamento!Alm do alto custo operacional, o detalhamento da imagem melhora muito pouco (s vezes piora) a partir de alguma k-sima iterao, seja pela resoluo do monitor, seja por limitao do olho humano. Por isso, reproduziremos as formas existentes no arquivo fractint.l utilizando 0, 1, 2, k e m iteraes, onde k um nmero razovel e m um nmero a partir do qual a imagem perde detalhes, conforme o caso (por vezes tomamos k=m). Antes, porm, elencamos os comandos para utilizao do sistema:Angle determina a frao de 360 a ser utilizada no cdigoAxiom descreve a forma inicial (iterao zero)F desenha para frente18 (um segmento de reta)G move para frente (sem desenhar)+ incrementa ngulo (sentido trigonomtrico)incrementa ngulo (sentido antitrigonomtrico)| inverte o sentido (se o ngulo for mpar, usa o maior possvel menor do que 180)D desenha para frenteM move para frente\nn incrementa ngulo de nn graus (sentido trigonomtrico)/nn incrementa ngulo de nn graus (sentido antitrigonomtrico)18Para frente aqui significa manter direo e sentido anteriores, como um vetor; a direo inicial padro a horizontal, e o sentido da esquerda para a direita. O comprimento do segmento igual ao do precedente.- 83 -VISUALIZAO DE FUNES E FRACTAIS Carlos Alexandre Liberato LopesRelatrio 1Cnn seleciona a cor nnnn diminui a cor em nn! inverte as direes (o sentido de rotao dos comandos +, e| )@nnn multiplicao comprimento deumsegmentopornnn (se nnnfor precedidode I indica o inverso; precedido de Q, raiz quadrada; I e Q podem ser usados em conjunto)[ armazena ngulo e posio para possvel retorno ao ponto] retorna ao ponto onde foram armazenados ngulo e posioOutros caracteres podem ser usados no cdigo. Apesar de ignorados para desenho, podem armazenar translaes complexas.8.1 Koch1Cdigo:{Angle 6Axiom F--F--FF=F+F--F+F}Iterao 0 Iterao 1Iterao 2 Iterao 10Figura 104: Fractal L-systems Koch1.- 84 -VISUALIZAO DE FUNES E FRACTAIS Carlos Alexandre Liberato LopesRelatrio 18.2 Koch2Cdigo:{Angle 12Axiom F---F---F---FF=-F+++F---F+}Iterao 0 (um quadrado) Iterao 1Iterao 2 Iterao 10Figura 105: L-system Koch2.- 85 -VISUALIZAO DE FUNES E FRACTAIS Carlos Alexandre Liberato LopesRelatrio 18.3 Koch3Cdigo:{Angle 4Axiom F-F-F-FF=F-F+F+FF-F-F+F}Iterao 0 (um quadrado) Iterao 1Iterao 2 Iterao 8Figura 106: L-system Koch3.- 86 -VISUALIZAO DE FUNES E FRACTAIS Carlos Alexandre Liberato LopesRelatrio 18.4 Koch6Cdigo:{ axiom f+f+f+f f=f-ff+ff+f+f-f-ff+f+f-f-ff-ff+f angle 4}Iterao 0 (um quadrado) Iterao 1Iterao 2 Iterao 7Figura 107: L-system Koch6.- 87 -VISUALIZAO DE FUNES E FRACTAIS Carlos Alexandre Liberato LopesRelatrio 18.5 DragonCdigo:{Angle 8Axiom FXF=y=+FX--FY+x=-FX++FY-}Iterao 0 (segmento horizontal) Iterao 1Iterao 2 Iterao 16Iterao 20Figura 108: L-system Dragon.- 88 -VISUALIZAO DE FUNES E FRACTAIS Carlos Alexandre Liberato LopesRelatrio 18.6 Peano1Cdigo:{Angle 4Axiom F-F-F-FF=F-F+F+F+F-F-F-F+F}Iterao 0 (um quadrado) Iterao 1Iterao 2 Iterao 4Iterao 6Figura 109: L-system Peano1.- 89 -VISUALIZAO DE FUNES E FRACTAIS Carlos Alexandre Liberato LopesRelatrio 18.7 CesaroCdigo:{Angle 34Axiom FXF=X=----F!X!++++++++F!X!----}Iterao 0 (segmento horizontal) Iterao 1Iterao 2 Iterao 20Figura 110: L-system Cesaro.- 90 -VISUALIZAO DE FUNES E FRACTAIS Carlos Alexandre Liberato LopesRelatrio 18.8 DoubleCesaroCdigo:{Angle 4axiom D\90D\90D\90D\90D=\42!D!/84!D!\42}Iterao 0 (um quadrado) Iterao 1Iterao 2 Iterao 20Figura 111: L-system DoubleCesaro.- 91 -VISUALIZAO DE FUNES E FRACTAIS Carlos Alexandre Liberato LopesRelatrio 18.9 FlowSnakeCdigo:{angle=6;axiom FLL=FL-FR--FR+FL++FLFL+FR-",R=+FL-FRFR--FR-FL++FL+FR",F=}Iterao 0 (segmento horizontal) Iterao 1Iterao 2 Iterao 5Iterao 7Figura 112: L-system FlowSnake.- 92 -VISUALIZAO DE FUNES E FRACTAIS Carlos Alexandre Liberato LopesRelatrio 18.10 CantorDustCdigo:{Angle 6Axiom FF=FGFG=GGG}Figura 113: CantorDust com iterao 0 (axiom): segmento horizontal.- 93 -VISUALIZAO DE FUNES E FRACTAIS Carlos Alexandre Liberato LopesRelatrio 1Figura 114: L-system CantorDust com 1 iterao: segmento sem o tero mdio.Figura 115: L-system CantorDust com 2 iteraes: segmentos sem os teros mdios.- 94 -VISUALIZAO DE FUNES E FRACTAIS Carlos Alexandre Liberato LopesRelatrio 1Figura 116: L-system CantorDust com 20 iteraes: quase invisvel.- 95 -VISUALIZAO DE FUNES E FRACTAIS Carlos Alexandre Liberato LopesRelatrio 18.11 Snowflake2Cdigo:{angle 12axiom FF=++!F!F--F--F@IQ3|+F!F--F=F--F!+++@Q3F@QI3|+F!F@Q3|+F!F}Iterao 0 (segmento horizontal) Iterao 1Iterao 2 Iterao 4Iterao 6Figura 117: L-system SnowFlake2.- 96 -VISUALIZAO DE FUNES E FRACTAIS Carlos Alexandre Liberato LopesRelatrio 18.12 SnowflakeColorCdigo:{angle 12axiom FF=--!F