trabalho01-estocásticos
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Trabalho 01: Introdução a Processos Estocásticos (CEL070)Prof: Rafael Antunes Nóbrega
Felipe Meneguitti Dias201269006A
1) Introdução1.1) Mostre matematicamente que aplicando a transformação abaixo,
é Gaussiana quando X1 e X2 são variáveis aleatórias uniformes (0,1).
Obtenha o valor esperado e a variância resultantes.
1.2) Mostre matematicamente que as equações acima podem ser generalizadas como segue:
1.3) Aplique no MATLAB para obter Y1 com E[Y1] = 10 e E[(Y1-Y1)(Y1-Y1)] = 3 e Y2 com E[Y2] = 5 e E[(Y2-Y2)(Y2-Y2)] = 5 e mostre que Y1 e Y2 são independentes.
2) Desenvolvimento2.1)Seja:
Dividindo a segunda pela primeira:
Elevando a primeira e a segunda equações ao quadrado, e somando
1, 2 1 2( , )Y Yf y y
1 1 1 2
2 2 1 2
( , ) 2 ln( 1).cos(2. . 2)
( , ) 2 ln( 1). (2. . 2)
Y T X X X X
Y T X X X sen X
p
p
= = -
= = -
211 1 1 2 1 1 2
222 2 1 2 2 2 2
( , ) 2. ln( ).cos(2. . )
( , ) 2. ln( ). (2. . )
Y
Y
Y T X X Y X X
Y T X X Y X sen X
s p
s p
= = + -
= = + -
1 1 2
2 1 2
2.ln( ).cos(2. . )
2.ln( ). (2. . )
Y X X
Y X sen X
p
p
ì = -ïí
= -ïî
1 12 2 22 2 2
1 1 1
1tan(2. . ) 2. . tan . tan
2.
Y Y YX X X
Y Y Yp p
p- -æ ö æ ö
= Þ = Þ =ç ÷ ç ÷è ø è ø
2 21 2
2 21 1 2
2 22 1 2
2 2 2 21 2 1 2 2 1
1
12 2.( )
1 2 21 1
2.ln( ).cos (2. . )
2.ln( ). (2. . )
2.ln( ).(cos (2. . ) (2. . )) 2.ln( )
ln( )2
Y Y
Y X X
Y X sen X
Y Y X X sen X X
Y YX X e
p
p
p p
- +
ì = -ïí
= -ïî+ = - + = -
+= Þ =
-
1444442444443
Podemos escrever o jacobiano da seguinte forma:
Calculando as derivadas:
E assim:
Calculando este determinante:
Como:
2 21 2
2 21 2
211
1
2 22 2
1 1 2
212
2
2 12 2
2 1 2
.
2. .( )
.
2. .( )
Y Y
Y Y
XY e
Y
X Y
Y Y Y
XY e
Y
X Y
Y Y Y
p
p
æ ö+-ç ÷ç ÷è ø
æ ö+-ç ÷ç ÷è ø
¶= -
¶¶
=¶ +
¶= -
¶¶ -
=¶ +
2 2 2 21 2 1 2
2 2
1 2
2 12 2 2 21 2 1 2
. .| |
2. .( ) 2. .( )
Y Y Y Y
Y e Y eJ
Y Y
Y Y Y Yp p
æ ö æ ö+ +- -ç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷è ø è ø- -
=-
+ +
2 21 2
21| | .
2.
Y Y
J ep
æ ö+-ç ÷ç ÷è ø=
1, 2 1 2 1, 2 1 2( , ) | | . ( , )Y Y X Xf Y Y J f X X=
1 1
1 2
1 2
1 2
| |
X X
Y YJ
X X
Y Y
¶ ¶¶ ¶
=¶ ¶¶ ¶
Temos que:
Observe que a função é de fato uma função gaussiana.
1.2)`Sendo:
Desenvolvendo:
Dividindo a segunda equação pela primeira:
Temos, portanto:
2 2 2 21 2 1 2
2 2
1, 2 1 2 1, 2 1 2
1
1 1( , ) . . ( , ) .
2. 2.
Y Y Y Y
Y Y X Xf Y Y e f X X ep p
æ ö æ ö+ +- -ç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷è ø è ø= =1442443
1
2
21 1 1 2 1 1 2
22 2 1 2 2 1 2
( , ) 2. .ln( ).cos(2. . )
( , ) 2. .ln( ). (2. . )
Y
Y
Y T X X Y X X
Y T X X Y X sen X
s p
s p
ì = = + -ïí
= = + -ïî
1
2
21 1 1 2
22 2 1 2
( ) 2. .ln( ).cos(2. . )
( ) 2. .ln( ). (2. . )
Y
Y
Y Y X X
Y Y X sen X
s p
s p
ì - = -ïí
- = -ïî
2
1
222
1 1
(2. . ) . Y
Y
Y Ytg X
Y Y
sp
s-
=-
2
1
21 22
1 1
1.tan .
2.Y
Y
Y YX
Y Y
sp s
-æ ö-
= ç ÷ç ÷-è ø
Elevando as primeiras duas equações ao quadrado:
Somando as duas equações e isolando X1, temos:
A partir de X1 e X2, calculemos o jacobiano:
Como:
Temos:
que também é uma função gaussiana.
1
2
2 2 21 1 1 2
2 2 22 2 1 2
( ) 2. .ln( ).cos (2. . )
( ) 2. .ln( ). (2. . )
Y
Y
Y Y X X
Y Y X sen X
s p
s p
ì - = -ïí
- = -ïî
2 21 1 2 2
2 21 2
( ) ( )
2. 2.
1Y Y
Y Y Y Y
X es s
æ ö- -ç ÷- -ç ÷è ø=
1 2
2 1
1 2
2 1
1 2
1 21 21 12 2
2 2 1 1
2 22 2
1 1 2 22 2
2 2 1 1
( ) ( ). .
1 1. .
2. . 1 . 2. . 1 .
Y Y
Y Y
Y Y
Y Y
Y Y
Y Y Y YX X
Y Y Y Y
Y Y Y Y
Y Y Y Y
s s
s ss s
s sp p
s s
æ ö æ ö- - - -ç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷è ø è ø
æ ö æ öç ÷ ç ÷
- -è ø è øæ ö æ öæ ö æ ö- -ç ÷ ç ÷+ +ç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷- -è ø è øè ø è ø
1, 2 1 2 1, 2 1 2( , ) | | . ( , )Y Y X Xf Y Y J f X X=
2 21 21 22 21 2
1, 2
1 2
( ) ( )
2. 2.
1 2
1( , ) .
2. . .Y Y
Y Y Y Y
Y YY Y
f y y es s
p s s
- -- --
=
1.3) Código no MATLAB
N=1000000; ey1=10;exx=3;ey2=5;eyy=5;% informações do problema x1 = rand(1,N); % distribuição normal de x1x2 = rand(1,N); % distribuição normal de x2 y1 = ey1 + sqrt(-2*exx*log(x1)).*cos(2*pi*x2); % variável aleatória y1y2 = ey2 + sqrt(-2*eyy*log(x1)).*sin(2*pi*x2); % variável aleatória y2 figure(1)hist(y1,10000) %Gráfico y1 figure(2)hist(y2,10000) %Gráfico y1 cov(y1,y2) %cálculo da covariânciafigure(3)plot(y1,y2) %gráfico covariância
Desse código obtemos a matriz de covariância, e portanto: C(Y1,Y2) = C(Y2,Y1)=0 e portanto Y1 e Y2 são independentes.
3) Referências Bibliográficas
3.1) Peebles, Peyton Z 1987, Probability, random variables, and random signal principles, 2nd ed, McGraw-Hill, New York
3.2) http://professor.ufabc.edu.br/marcio.eisencraft/aleatorio/Aula9.pdf