métodos estocásticos da engenharia ii - capítulo 5...

Métodos Estocásticos da Engenharia IICapítulo 5 - Inferência: testes de hipóteses

Prof. Magno Silvério Campos

2019/1

(UFOP/EM/DEPRO) Métodos Estocásticos da Engenharia II 2019/1 1 / 62

Bibliografia

Bibliografia

Essas notas de aulas foram baseadas nas seguintes obras:1 CANCHO, V.G. Notas de Aulas sobre Noções de Estatística e

Probabilidade. São Paulo: USP, 2010.2 HINES, W.W.; et al. Probabilidade e Estatística na Engenharia. 4.

ed. Rio de Janeiro: LTC, 2006.3 MENDES, F. C. T. Probabilidade para Engenharias. Rio de

Janeiro: LTC, 2010.4 MEYER, P.L. Probabilidade: Aplicações à Estatística. 2. ed. Rio

de Janeiro: LTC, 1983.5 MONTGOMERY, D.C.; RUNGER, G.C. Estatística Aplicada e

Probabilidade para Engenheiros. 6. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2016.

Aconselha-se pesquisá-las para se obter um maior aprofundamento e ummelhor aproveitamento nos estudos.


Conteúdo Programático

Conteúdo Programático

1 Seção 1 - Conceitos básicos sobre Testes de HipótesesHipóteses estatísticas;Testes de hipóteses estatísticas;Erro Tipo I e Erro Tipo II;Potência de um teste;Testes Bilaterais e Testes Unilaterais;Nível descritivo (valor P);Conexão entre Testes de Hipóteses e Intervalos de Confiança;Procedimento Geral para testes de Hipóteses;

2 Seção 2 - Testes de Hipóteses para uma única amostra3 Seção 3 - Testes de hipóteses para duas amostras


Seção 1 - Conceitos básicos sobre Testes de Hipóteses

Hipóteses estatísticas

Exemplo - [Cancho(2010)]Considere que uma indústria compra de um certo fabricante, pinos cujaresistência média à ruptura é especificada em 60 kgf (valor nominal daespecificação). Em um determinado dia, a indústria recebeu um grandelote de pinos e a equipe de engenharia da indústria deseja verificar se olote atende às especifições. Considere que a resistência dos pinos do loteé uma variável aleatória X, tal que , X ∼ N(µ, 25).



Definição - [Montgomery e Runger(2016)]Uma hipótese estatística é uma afirmação sobre os parâmetros de umaou mais caracteristícas da população.

Em todo problema de teste de hipóteses, duas hipóteses complementaressão consideradas. Uma hipótese denominada de hipótese nula, sendorepresentanda por H0, (pois ela expressa que não há mudança). Umaoutra hipótese, que será aceita caso H0 seja rejeitada, é denominadahipótese alternativa e é denotada por H1. Tem-se:

Rejeitar H0 ⇒ Aceitar H1

Aceitar H0 ⇒ Rejeitar H1

No exemplo, as hipóteses são

H0 : µ = 60 (1)

H1 : µ 6= 60 (2)

Essa hipótese é chamada de hipótese composta porque especifica mais deum valor para o parâmetro. No caso que especifique somente um únicovalor, a hipótese é chamada de hipótese simples, por exemplo a hipótesedada em (??).



Para se realizar um teste de uma hipótese estatística retira-se umaamostra da população em estudo e com base na observação dos resultadosdessa amostra toma-se a decisão de aceitar H0 ou de rejeitar H0.

Por exemplo, suponha que a equipe técnica da indústria tenha decididoretirar uma amostra aleatória de tamanho n = 16, do lote recebido, medira resistência de cada pino e calcular a resistência média X̄ (estimador deµ).

Além disso, sabe-se que X̄ ∼ N(µ, 2516).

Então, para quais valores de X̄ a equipe técnica deve re-jeitar H0 e portanto não aceitar o lote?



Definição - [Montgomery e Runger(2016)]A variável aleatória cujo valor é utilizado para determinação da decisãoa ser tomada em um teste de hipóteses é denominada estatística de teste.

Se o lote está fora de especificação, isto é , H1 : µ 6= 60, espera-se que X̄seja inferior ou superior a 60 kgf.

Suponha que equipe de engenharia tenha decidido adotar a seguinte re-gra: rejeitar H0 se X̄ for maior que 62,5 kgf ou menor que 57,5 kgf.



O conjunto Rc = {X̄ < 57, 5 ou X̄ > 62.5} é o conjunto de valores paraos quais rejeita-se H0 : µ = 60, 0 sendo denominado região de rejeiçãoou região crítica do teste.

Os valores de X̄ que pertencem ao intervalo [57,5 ; 62,5], constituem aregião de aceitação (Ra = Rcc). Os valores que estão na fronteirasentre a região crítica e a região de aceitação, são denominados valorescríticos.

Portanto, a regra consiste em, rejeitar H0 a favor de H1 se o valor assu-mido pela estatística de teste pertencer à região crítica. Isto é, se ocorrero evento (X̄ ∈ Rc), rejeita-se H0.

Caso contrário, se o valor assumido por X̄ pertencer à região de aceitaçãoRa, isto é, se o evento (X̄ ∈ Ra) ocorrer não se rejeita H0.



X̄

Figura 1 - Regra de decisão para testar H0 : µ = 60 contra H1 : µ 6= 60.Fonte: Adaptado de [Montgomery e Runger(2016)], p.243



Erro Tipo I e Erro Tipo II

Erro Tipo IA rejeição da hipótese nula H0 quando ela for verdadeira é definida comoerro tipo I.

Erro Tipo IIA falha em rejeitar a hipótese nula H0 quando ela for falsa é definidacomo erro tipo II.

Tabela: Decisões em um teste de hipóteses.

Decisão H0 é verdadeira H0 é falsaAceitar H0 Decisão correta Erro tipo IIRejeitar H0 Erro tipo I Decisão correta



Dado que a decisão tomada em um teste de hipóteses é baseada em variá-veis aleatórias (estatística de teste), é possível calcular as probabilidadesdos erros tipos I e II.

A probabilidade de erro tipo I é denominada de nível de significância doteste e será denotada por α. Isto é,

α = P (Erro tipo I) = P (rejeitar H0| H0 é verdadeira)



No exemplo dos pinos, o erro tipo I irá ocorrer se X̄ < 57, 5 ou X̄ > 62, 5quando a resistência média no lote de pinos for µ = 60 kgf.

Para este exemplo, observe que, se H0 é verdadeira, isto é, H0 : µ = 60então,X̄ tem distribuição normal com média µ = 60 e σX̄ = σ√

n= 1, 25.

Portanto, a probabilidade do erro tipo I é calculada como:

α = P (X̄ < 57, 5 ou X̄ > 62, 5) = P (X̄ < 57, 5) + P (X̄ > 62, 5)

= P (X̄ − µσX̄

<57, 5− 60

1, 25) + P (

X̄ − µσX̄

>62, 5− 60

1, 25)

= P (Z < −2) + P (Z > 2) = 0, 02275 + 0, 02275 = 0, 0455.



Este resultado, que está ilustrado na figura a seguir, significa que há4,55% de chance que uma amostra aleatória extraída do lote de de pinosleve à rejeição da hipóteses nula H0 : µ = 60, quando a verdadeiraresistência média dos pinos é, de fato, igual a 60 kgf.

Fonte: [Cancho(2010)], p.131



Ao avaliar um procedimento de teste de hipóteses é importante determi-nar a probabilidade de erro tipo II, o qual denota-se por β. Isto é,

β = P (Erro tipo II) = P (aceitar H0| H0 é falso)

Para o exemplo dos pinos, o erro tipo II irá ocorrer se 57, 5 ≤ X̄ ≤ 62, 5quando a resistência média do lote é diferente de 60 kgf.

Portanto, para que seja possível calcular o valor de β, deve-se considerarum valor particular para µ sob a hipótese alternativa. Como exemplo,suponha que é muito importante para a indústria rejeitar a hipótese nulaH0 : µ = 60, quando a resistência dos pinos do lote µ for igual a 63,5 kgf.

Nessa situação, para verificar se o teste é de fato adequado, a indústriapoderia calcular o valor de β para µ = 63, 5 e então avaliar se esse valoré suficientemente baixo.



Cálculo de β para µ = 63, 5.

Nesse caso, X̄ ∼ N(63, 5, 2516). Portanto, a probabilidade de erro tipo II

é calculada como:

β = P (Erro tipo II) = P (57, 5 ≤ X̄ ≤ 62, 5|H1 : µ = 63, 5)

β = P (57, 5− 63, 5

1, 25≤ X̄ − µ

σX̄≤ 62, 5− 63, 5

1, 25)

= P (−4, 80 ≤ Z ≤ −0, 80) = P (Z ≤ −0, 80)− P (Z < −4, 80)

= 0, 21186− 0, 00000 = 0, 21186



Este resultado, que está ilustrado na figura a seguir, significa que parao teste de H0 : µ = 60 contra H1 : µ 6= 60, com base na amostra detamanho n = 16, quando o valor verdadeiro da resistência média dospinos é µ = 63, 5, a probabilidade de que a hipótese nula (que neste casoé falsa) não seja rejeitada é igual a 21,186%.

Fonte: [Cancho(2010)], p.132



Potência de um teste

Definição - [Montgomery e Runger(2016)]O poder de um teste de hipóteses é a probabilidade de rejeitar H0

quando H0 é falsa.

Poder = P (Rejeitar H0|H0 falsa)

= 1− P (Não rejeitar H0|H0 falsa) = 1− β

O poder de um teste de hipóteses pode ser interpretado como aprobabilidade de rejeitar de maneira correta uma hipótese nula falsa, oque representa a decisão correta.



Exemplo - [Cancho(2010)]Considere o exemplo dos pinos, onde se testam as hipóteses

H0 : µ = 60,

H1 : µ 6= 60

Suponha que o valor verdadeiro da média é µ = 63, 5. Para o tamanhoda amostra n = 16, com região de aceitação 57, 5 ≤ X̄ ≤ 62, 5 foi vistoque β = 0, 21186. Logo, o poder do teste correspondente é:

Poder = 1− β = 1− 0, 21186 = 0, 78814

Esse teste tem poder igual a 0,78814 para detectar a diferença médiaentre a resistência igual a 60 kgf e a outra de 63,5 kgf estabelecida porH1.Isso significa que, se a verdadeira resistência média dos pinos é 63,5 kgf,esse teste rejeitará de maneira correta H0 : µ = 60 e detectará essadiferença em 78,814% das vezes que for utilizado.



Observação 1Os erros tipo I e tipo II estão relacionados. Uma diminuição na probabili-dade de um tipo de erro sempre resulta em um aumento da probabilidadedo outro, desde que o tamanho da amostra n não varie.

Observação 2Um aumento do tamanho da amostra reduzirá β, desde que α seja man-tido constante.

Observação 3O poder de um teste pode ser aumentado por meio do aumento de n oudo aumento do nível de significância α.



Testes Bilaterais e Testes Unilaterais

Testes bilateraisSe a hipótese nula e a alternativa de um teste de hipóteses são:

H0 : θ = θ0

H1 : θ 6= θ0

onde θ0 é uma constante conhecida, o teste é chamado de teste bilateral,pois é importante detectar diferenças a partir do valor hipotético de θ0

que se encontre em qualquer lado de θ0 .

Em um teste desse tipo a região crítica é dividida em duas partes, coma mesma probabilidade em cada cauda da distribuição da estatística deteste.




Testes unilaterais esquerdosEm muitos problemas tem-se interesse em testar hipóteses do tipo:

H0 : θ = θ0

H1 : θ < θ0.

Neste caso tem-se um teste unilateral esquerdo, porque a região derejeição não é dividida em duas partes, ficando localizada apenas nacauda esquerda da distribuição da estatística de teste.




Testes unilaterais direitosEm muitos problemas tem-se interesse em testar hipóteses do tipo:

H0 : θ = θ0

H1 : θ > θ0.

Assim, tem-se um teste unilateral direito. Nesse caso, a região críticafica localizada na cauda direita da distribuição da estatística de teste.




Resumo de Testes Bilaterais e UnilateraisConsidere por exemplo o teste de hipótes para a média. Temos as se-guintes situações, destacadas na figura a seguir.

Ra : Região de Aceitação de H0 ⇒ Rc = {Ra}c : Região Crítica



Nível Descritivo (Valor P)

De acordo com o procedimento descrito anteriormente para o teste dehipóteses, no final toma-se uma decisão de rejeição ou de não-rejeiçãoda hipótese nula. Esta dicotomia é, na realidade, artificial. De fato,(i) a fixação de um nível de significância é arbitrária e(ii) os dados amostrais podem contradizer a hipótese nula em maior ou

menor grau.

Com o objetivo de evitar essas dificuldades, a abordagem do valor P temsido largamente adotada na prática.

Definição - [Hines e outros(2006)]O valor P é o menor nível de significância que conduz à rejeição dahipótese nula H0, com os dados fornecidos.



Conexão entre Testes de Hipóteses e Intervalos deConfiança

Há uma ralação íntima entre o teste de uma hipótese acerca de um pa-râmetro, ou seja, θ, e o intrevalo de confiança para θ.

Se [l, u] for um intervalo de confiança 100(1 − α)% para o parâmetro θ,o teste com nível de significância α das hipóteses

H0 : θ = θ0

H1 : θ 6= θ0.

conduzirá à rejeição de H0 se e somente se θ0 não estiver no IC[l, u] de100(1− α)%.



Procedimento Geral para Testes de Hipóteses

O uso da seguinte seqüência de etapas na metodologia de aplicação detestes de hipóteses é recomendado [Hines e outros(2006)]:

1 A partir do contexto do problema, identifique o parâmetro deinteresse.

2 Estabeleça a hipótese nula H0.3 Especifique uma hipótese alternativa apropriada, H1.4 Escolha um nível de significância, α.5 Determine uma estatística apropriada de teste.6 Estabeleça a região de rejeição para a estatística.7 Calcule quaisquer grandezas amostrais necessárias.8 Decida se H0 deve ou não ser rejeitada e reporte isso no contexto

do problema.


Seção 2 - Testes de Hipóteses para uma única amostra

Testes para a média de uma Distribuição Normal comvariância conhecida

Considere uma amostra aleatória de tamanho n de uma população nor-mal com média µ (desconhecida) e variância σ2. Inicialmente, considera-se o caso do teste unilateral esquerdo, para de imediato generalizar oprocedimento. Suponha que tem-se interesse em verificar as seguinteshipóteses(i)

H0 : µ = µ0

H1 : µ < µ0

onde µ0 é um valor numérico da média populacional.



(ii) A estatística do teste é a média amostral X̄. Se população é normal(ou se amostra é grande, n ≥ 30, mesmo que a população não é normal)a distribuição de X̄ é N(µ0, σ

2/n) e a variável aleatória

Z =X̄ − µ0

σ/√n∼ N(0, 1).

(iii) É razoável, rejeitar H0 em favor de H1, se a média amostral X̄ édemasiado pequena em relação µ0.

A região crítica, então poderia ser obtida, selecionando um k da médiaamostral, de maneira que Rc = {X̄ < k} onde k é tal que P (X̄ < k|H0 :µ = µ0) = α. Ou

P

(X̄ − µ0

σ/√n<k − µ0

σ/√n

)= P (Z <

k − µ0

σ/√n

) = α



Fazendo-se −zα = k−µ0σ/√n, vem

k = µ0 +−zασ√

n.

Logo,Rc = {X̄ < µ0 +

−zασ√n}.

-Fonte: [Cancho(2010)], p.137

(iv) Conclusão: se x̄ ∈ Rc = {X̄ < µ0 + −zασ√n}, rejeita-se H0, e, em caso

contrário, não se rejeita H0.



ObservaçãoA situação foi aplicada em um teste de hipóteses unilateral esquerdo.Porém, podemos aplicar o mesmo raciocício aos testes unilaterais direitose bilaterais!

Basta para isso, saber localizar a região crítica. Por exemplo, para oteste de uma média, as regiões críticas para cada teste são mostradas nafigura abaixo:



Testes para a média com variância conhecida

Hipótese nula:

H0 : µ = µ0

Estatística de Teste:

Z0 =X̄ − µ0

σ/√n∼ N(0, 1) se H0 é verdadeira.

Região Crítica:

Hipótese Alternativa Critério de rejeição de H0

H1 : µ 6= µ0 |z0| > zα2

H1 : µ > µ0 z0 > zαH1 : µ < µ0 z0 < −zα



Exemplo - [Montgomery e Runger(2016)]Os sistemas de escapamento de uma aeronave funcionam devido a umpropelente sólido. A taxa de queima desse propelente é uma caracterís-tica importante do produto.

As especificações requerem que a taxa média de queima tem de ser50cm/s. Sabe-se que o desvio-padrão da taxa de queima é σ = 2cm/s.

O experimentalista decide especificar uma probabilidade do erro TipoI, ou nível de significância, de α = 0, 05. Ele seleciona uma amostraaleatória de n = 25 e obtém uma taxa média amostral de queima dex̄ = 51, 3cm/s.

Que conclusões poderiam ser tiradas?



Valores P (ou nível descritivoPara os testes anteriores de distribuição normal, é relativamente fácilcalcular o valor de p. Se z0 for o valor calculado da estatística de teste,então o valor de p será:

p =

2[1− Φ(|z0|)] para um teste bilateral

1− Φ(|z0|) para um teste unilateral superiorΦ(|z0|) para um teste unilateral inferior.

Onde, Φ(•) é a função de distribuição cumulativa normal padrão.



Testes para a média de uma Distribuição Normal comvariância desconhecida

Considere uma amostra aleatória de tamanho n de uma populaçãonormal com média µ (desconhecida) e variância σ2 (tambémdesconhecida).

Hipótese nula:

H0 : µ = µ0


T0 =X̄ − µ0

S/√n∼ t(n−1) se H0 é verdadeira.

sendo S o desvio-padrão amostral.



Região Crítica:


H1 : µ 6= µ0 |t0| > t(α2, n−1)

H1 : µ > µ0 t0 > t(α, n−1)

H1 : µ < µ0 t0 < −t(α, n−1)



Exemplo - [Hines e outros(2006)]A força de rompimento de uma fibra têxtil é uma variável aleatória dis-tribuída normalmente. As especificações exigem que a força média derompimento seja igual a 150 psi.

O fabricante gostaria de detectar qualquer afastamento significante dessevalor. Assim, ele deseja testar:

H0 : µ = 150psiH1 : µ 6= 150psi.

Seleciona-se uma amostra aleatória de 15 espécimes de fibra edeterminam-se suas forças de rompimento. A média e a variância amos-trais são, respectivamente, x̄ = 152, 18 e s2 = 16, 63.

Considerando um nível α = 0, 05 de significância, que conclusões podemser tiradas?



Testes para a variância de uma Distribuição Normal

Considere uma amostra aleatória de tamanho n de uma populaçãonormal e variância σ2 (desconhecida).

Hipótese nula:

H0 : σ2 = σ20


χ20 =

(n− 1) · S2

σ20

∼ χ2(n−1) se H0 é verdadeira.

sendo S o desvio-padrão amostral.



Região Crítica:


H1 : σ2 6= σ20 χ2

0 < χ2(1−α

2, n−1) ou χ2

0 > χ2(α2, n−1)

H1 : σ2 > σ20 χ2

0 > χ2(α, n−1)

H1 : σ2 < σ20 χ2

0 < χ2(1−α, n−1)



Exemplo - [Montgomery e Runger(2016)]Uma máquina de enchimento automático é usada para encher garrafascom detergente líquido. Uma amostra aleatória de 20 garrafas resultaem uma variância amostral S2 = 0, 0153 onça fluida2.

Se a variância do volume de enchimento exceder 0,01 onça fluida2, existiráuma proporção inaceitável de garrafas cujo enchimento não foi completoe cujo enchimento foi em demasia.

Há evidência nos dados da amostra que sugira que o fabricante tenha umproblema com garrafas com falta ou excesso de detergentes?

Use α = 0, 05 e considere que o volume de enchimento tenha uma distri-buição normal.



Testes para a proporção de uma população, paraAmostras GrandesO procedimento para os testes de hipóteses para proporção populacionalé basicamente igual ao procedimento para o teste para uma média popu-lacional. Considere o problema de testar a hipótese que a proporção desucessos de um ensaio de Bernoulli é igual a valor especifico, p0.

Hipótese nula:

H0 : p = p0


Z0 =Y − np0√np0 · (1− p0)

∼ N(0, 1) se H0 é verdadeira.

sendo Y o número de sucessos na amostra.(UFOP/EM/DEPRO) Métodos Estocásticos da Engenharia II 2019/1 43 / 62


Região Crítica:


H1 : p 6= p0 |z0| > zα2

H1 : p > p0 z0 > zαH1 : p < p0 z0 < −zα



Exemplo - [Montgomery e Runger(2016)]Um fabricante de semicondutores produz controladores usados em apli-cações no motor de automóveis.

O consumidor requer que a fração defeituosa em uma etapa crítica defabricação não exceda 0,05 e que o fabricante demonstre uma capacidadede processo nesse nível de qualidade, usando α = 0, 05.

O fabricante de semicondutores retira uma amostra aleatória de 200 apa-relhos e encontra que 4 deles são defeituosos.

O fabricante pode demonstrar uma capacidade de processo para o con-sumidor?


Seção 3 - Testes de Hipóteses para duas amostras

Testes para a diferenças de médias de PopulaçõesNormais com variâncias conhecidasSe x̄1− x̄2 forem as médias de duas amostras aleatórias independentes detamanhos n1 e n2, provenientes de populações normais com variânciasconhecidas σ2

1 e σ22, respectivamente, então pode-se querer realizar os

seguintes testes:

Hipótese nula:

H0 : µ1 − µ2 = ∆0


Z0 =X̄1 − X̄2 −∆0√

σ21n1

+σ22n2

∼ N(0, 1) se H0 é verdadeira.



Região Crítica:


H1 : µ1 − µ2 6= ∆0 |z0| > zα2

H1 : µ1 − µ2 > ∆0 z0 > zαH1 : µ1 − µ2 < ∆0 z0 < −zα



Exemplo - [Montgomery e Runger(2016)]Um idealizador de produtos está interessado em reduzir o tempo de seca-gem de um zarcão. Duas formulações de tinta são testadas; a formulação1 tem uma química-padrão e a formulação 2 tem um novo ingredientepara secagem, que deve reduzir o tempo de secagem.

Da experiência, sabe-se que o desvio-padrão do tempo de secagem é iguala 8 minutos e essa variabilidade inerente não deve ser afetada pela adiçãodo novo ingrediente. Dez espécimes são pintados com a formulação 1 eoutros dez espécimes são pintados com a formulação 2. Os 20 espécimessão pintados em ordem aleatória.

Os tempos médios de secagem das duas amostras são X̄1 = 121min eX̄2 = 112min, respectivamente.

Quais as conclusões que o idealizador de produtos pode retirar sobre aeficiência do novo ingrediente, usando α = 0, 05?



Testes para a diferenças de médias de PopulaçõesNormais com variâncias desiguais e desconhecidasSe x̄1, x̄2, s2

1 e s22 forem as médias e as variâncias amostrais de duas

amostras aleatórias de tamanho n1 e n2, respectivamente, provenientesde duas populações normais independentes, com variâncias desconhecidase desiguais, então pode-se querer realizar os seguintes testes:

Hipótese nula:

H0 : µ1 − µ2 = ∆0


T ∗0 =X̄1 − X̄2 −∆0√

(S21n1

+S22n2

)∼ t(ν) se H0 é verdadeira.

sendo ν dado por:(UFOP/EM/DEPRO) Métodos Estocásticos da Engenharia II 2019/1 51 / 62


ν =

(S21n1

+S22n2

)2

(S21n1

)2

n1+1 +

(S22n2

)2

n2+1

− 2.

Se ν não for um número inteiro, arredonde para o menor inteiro mais próximo. Região Crítica:


H1 : µ1 − µ2 6= ∆0 |t ∗0 | > t(α2, ν)

H1 : µ1 − µ2 > ∆0 t∗0 > t(α, ν)H1 : µ1 − µ2 < ∆0 t∗0 < −t(α, ν)



Exemplo - [Hines e outros(2006)]Um fabricante de aparelhos de vídeo está testando projetos de microcir-cuitos para determinar se eles produzem fluxos equivalentes de corrente.

A engenharia de desenvolvimento obteve os seguintes dados:

Planejamento 1 n1 = 15 x̄1 = 24, 2 s21 = 10

Planejamento 2 n2 = 10 x̄2 = 23, 9 s22 = 20

Desejamos testar, com α = 0, 10:

H0 : µ1 = µ2

H1 : µ1 6= µ2

onde se supõe que ambas as populações sejam normais, mas mas nãoestamos propensos a admitir que as variâncias desconhecidas σ2

1 e σ22

sejam iguais.



Testes para a variância de duas distribuições normais

Se s21 e s2

2 forem as médias e as variâncias amostrais de duas amostrasaleatórias de tamanho n1 e n2, respectivamente, provenientes de duaspopulações normais independentes, então pode-se querer realizar os se-guintes testes:

Hipótese nula:

H0 : σ21 = σ2

2


F0 =S2

1

S22

∼ F(n1−1, n2−1) se H0 é verdadeira.



Região Crítica:


H1 : σ21 6= σ2

2 f0 > f(α2, n1−1, n2−1) ou f0 < f1−α

2, n1−1,n2−1

H1 : σ21 > σ2

2 f0 > f(α, n1−1, n2−1)

H1 : σ21 < σ2

2 f0 < f1−α, n1−1, n2−1)



Exemplo - [Montgomery e Runger(2016)]Camadas de óxidos em pastilhas de semicondutores são atacadas comuma mistura de gases, de modo a atingir a espessura apropriada. Avariabilidade na espessura dessas camadas de óxidos é uma característicacrítica da pastilha. Uma baixa variabilidade é desejada para as etapassubequentes do processo.

Duas misturas diferentes de gases estão sendo estudadas para determinarse uma delas é superior na redução da variabilidade de espessura dascamadas de óxido. 20 pastilhas são atacadas com cada gás.

Os desvios-padrão da espessura de óxido são S1 = 1, 96 ângstroms eS2 = 2, 13 ângstroms, respectivamente.

Há qualquer evidência que indique ser um gás preferível em relação aooutro? Use α = 0, 05.



Testes para a diferença nas proporções de duaspopulações, com amostras grandes

Suponha que as duas amostras aleatórias independentes, de tamanho n1

e n2, sejam retiradas de duas populações e sejam Y1 e Y2 os númerosde observações que pertencem à classe de interesse nas amostras 1 e 2,respectivamente. Além disso, considere que a aproximação da binomialpela normal seja aplicada a cada população, de modo que os estimadoresP̂1 = Y1

n1e P̂2 = Y2

n2tenham distribuições normais aproximadas. Estamos

interessados em realizar os seguintes testes:



Hipótese nula:

H0 : p1 = p2


Z0 =P̂1 − P̂2√

P̂ · (1− P̂ ) · ( 1n1

+ 1n2

)∼ N(0, 1) se H0 é verdadeira.

onde P̂ = Y1+Y2n1+n2

.

Região Crítica:


H1 : p1 6= p2 |z0| > zα2

H1 : p1 > p2 z0 > zαH1 : p1 < p2 z0 < −zα



Exemplo - [Hines e outros(2006)]Dois tipos diferentes de computadores de controle de tiro estão sendoconsiderados, para uso pelo exército americano, em baterias de seis ca-nhões de 105 mm. Os dois sistemas de computadores são submetidos aum teste operacional, no qual se conta o número total de acertos no alvo.O sistema 1 teve 250 acertos em 300 rodadas, enquanto o sistema 2 teve178 acertos em 260 rodadas.

Há razão para se acreditar que os dois sistemas diferem? Use α = 0, 05.



Cancho, V., 2010. Notas de aulas sobre noções de estatística eprobabilidade - São Paulo: USP.

Hines, W., outros, 2006. Probabilidade e Estatística na Engenharia.Rio de Janeiro: LTC.

Montgomery, D., Runger, G., 2016. Estatística Aplicada eProbabilidade para Engenheiros. Rio de Janeiro: LTC.


métodos estocásticos da engenharia ii - capítulo 5...

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