processos estocásticos
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PROCESSOS ESTOCÁSTICOS
Definições, Principais Tipos, Aplicações em Confiabilidade de
Sistemas
CLARKE, A. B., DISNEY, R. L. Probabilidade e Processos
Estocásticos, Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos Editora,
1979.
CAMARGO, C. C. de, Confiabilidade Aplicada à Sistemas de
Potência, Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos Editora,
Santa Catarina: FEESC, 1981.
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PROCESSO ESTOCÁSTICO
“Fenômeno que varia em algum grau, de forma imprevisível,
à medida que o tempo passa”.
Variação do tráfego em um cruzamento;
Variação diária no tamanho do estoque de uma empresa;
Variação minuto a minuto do índice IBOVESPA;
Variação no estado de um sistema de potência;
Variação no número de chamadas feitas a uma central
telefônica.
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Imprevisibilidade?
A observação de uma seqüência de tempo inteira do
processo, em ocasiões diferentes, sob condições
presumivelmente diferentes:
Seqüências resultantes diferentes.
Comportamento de um sistema para uma seqüência ou
intervalo de tempo inteiro:
O resultado será uma função (ou seqüência de valores) e
não apenas um número.
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Parâmetros do Processo
Para analisar o processo estocástico é preciso especificar o
período de tempo T envolvido: quando ele será observado.
Se T é contínuo, T = {t : 0 ≤ t < ∞):
Trata-se de um Processo Estocástico de Parâmetros
Contínuos: Poisson.
Se T é discreto, T = {0, 1, 2, ...}:
Trata-se de um Processo Estocástico de Parâmetros
Discretos: Séries Temporais em geral.
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Realizações do Processo
A cada ponto t do conjunto T observa-se uma medida ou
variável aleatória Xt.
Se o ponto amostral for indicado por s:
Xt (s) para t T.
Tal função de t é chamada de processo estocástico ou
aleatório.
Uma única função Xt, que corresponde a um único ponto
amostral s é chamada de realização do processo
estocástico.
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Estados do Processo
O conjunto de valores que Xt pode assumir é chamada de
Espaço de Estados, e os valores específicos de Xt em dado
momento são os Estados do Processo.
Se Xt representa alguma contagem: Espaço de Estados
poderia ser uma seqüência finita ou infinita de inteiros.
Processo de Estado Discreto ou Cadeia Aleatória.
Se Xt representa uma medida: Espaço de Estados poderia
ser um intervalo de números reais.
Processo de Estado Contínuo.
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Parâmetros x Estados
Processo de Parâmetros Discretos e Estados Discretos
Estoque de peças em uma loja ao fim da semana.
0
10
20
30
40
50
60
70
80
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39
Semana
Qu
an
tid
ad
e
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Parâmetros x Estados
Processo de Parâmetros Discretos e Estados Contínuos
Médias amostrais dos diâmetros de pistões.X-bar: 74,001 (74,001); Sigma: ,00979 (,00979); n: 5,
5 10 15 20 25
73,988
74,001
74,014
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Parâmetros x Estados
Processo de Parâmetros Contínuos e Estados Discretos
No. de chamadas recebidas por um call-center em 6 horas
-5
0
5
10
15
20
25
30
35
0 1 2 3 4 5 6
Tempo
Ch
am
ad
as
10
Parâmetros x Estados
Processo de Parâmetros Contínuos e Estados Contínuos
Eletroencefalograma
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Análise de um Processo Estocástico
Para um valor t, Xt será uma variável aleatória que descreve o
estado do processo no tempo t.
Dada qualquer coleção finita t1, t2, ..., tn de tempos, então Xt1,
Xt2, ..., Xtn constituem um conjunto de n variáveis aleatórias com
distribuição conjunta.
A estrutura de probabilidades do processo Xt é totalmente
determinada desde que:
Distribuição conjunta de cada conjunto de variáveis aleatórias
é determinada.
Função de densidade de cada conjunto de variáveis aleatórias
é determinada.
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Análise de um Processo Estocástico
Consiste em determinar as
distribuições conjuntas e usá-las
para prever comportamento futuro,
dado o comportamento passado.
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Seqüências Independentes
Seqüências de variáveis aleatórias independentes com
distribuições idênticas como resultante de repetições
independentes da mesma experiência aleatória, onde a cada
realização um valor ou medida é associado.
Exemplo: equipamento eletrônico tem um capacitor que é
reposto toda vez que ele falha.
Tempo de vida X: X1, X2,...
Cada valor será positivo: processo de Renovação
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Processos de Nascimento e Morte
Modelam as alterações em uma “população”.
Estado do processo no instante t (Xt) representa o tamanho
da população no instante t.
Exemplos: pacotes presentes em uma rede local, fila com
servidor único.
Assume-se que “nascimentos” e/ou “mortes” múltiplos
ocorrem ao mesmo tempo com probabilidade zero.
As transições ocorrem apenas entre estados vizinhos.
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Processos de Nascimento e Morte
K - 1 K K + 1
1 nascimento
1 morte
1 nascimento
1 morte
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Processos de Nascimento e Morte
k: taxa de mortes quando a população é k.
k: taxa de nascimentos quando a população é k.
0=0: não há mortes quando a população é zero.
0≥ 0: podem ocorrer nascimentos quando a população é zero.
k Pk = k-1 Pk-1
0k
k 0,1P
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Processo de Poisson
Processo de nascimento puro pois a taxa de nascimento é
constante: .
Pk(t) = [(t) k e - t]/k! Para k≥0 e t≥0.
Probabilidade de haver k nascimentos no intervalo (0,t).
Número médio de nascimentos no intervalo (0,t) = t.
Processo de Parâmetros Contínuos e Estados Discretos.
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Processo de Poisson
Evento: “nenhuma chegada nos primeiros t minutos”
Equivalente à “primeira chegada após o tempo t”.
Seja t uma variável aleatória que represente o tempo de 0
até a 1ª chegada:
P(T > t) = e- t P(T ≤ t) = 1 - e- t = F(T)
f(T) = F(T)/t = e- t
T tem distribuição exponencial: E(T)=1/ V(T)=1/2
tt0
o e!0
e)t()t(P
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Processos de Markov
Processos “sem memória”: probabilidade de Xt assumir um
valor futuro depende apenas do estado atual (desconsidera
estados passados).
P(Xn=xn| X1=x1,X2=x2,...,Xn-1=xn-1) = P(Xn=xn|Xn-1=xn-1)
para n = 0, 1, 2, ...
Seja Xt um processo de Markov, i e j estados, e t tempos:
Pij = P[X( + t) = j | X() = i] ≥ 0 e t ≥ 0
Se Pij independe do tempo então o processo de Markov é dito
ESTACIONÁRIO ou homogêneo.
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Processos de Markov
Parâmetros Estados
Discretos Contínuos
Discretos Cadeias de Markov
com tempo discreto
Processos de Markov
com tempo discreto
Contínuos Cadeias de Markov
com tempo contínuo
Processos de Markov
com tempo contínuo
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Cadeias de Markov
Processo de Markov de parâmetros contínuos e estados
discretos.
Propriedades:
O sistema observado pode ser descrito como estando em um
estado de um conjunto de estados Si, discretos e exaustivos
e mutuamente exclusivos;
Trocas de estado são possíveis em qualquer intervalo de
tempo;
A probabilidade de mais do que uma troca durante um
intervalo infinitesimal de tempo é desprezível.
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Matriz de transição
O conjunto P(Xn|Xn-1) para n = 1, 2, ... constitui as
probabilidades de transição de um passo: probabilidades
iniciais.
Matriz N+1 por N+1 de elementos pij que satisfaz:
pij ≥ 0 ij = 0, 1, 2, ..., N pij = 1 para j=1,...,n e i.
NN1N0N
N11110
N00100
ij
p...pp
............
p...pp
p...pp
pP