Notas de Aula:

Aula 1- Trabalho e Energia Cintica.

1. Energia

Energia uma grandeza escalar associada a um ou mais estados da

matria. No possvel descrever claramente o significado dessa grandeza

fsica, a palavra vem do grego e significa trabalho. A explicao que pode colocar

algum sentido nessa grandeza seria que energia est associada a capacidade

de qualquer corpo de produzir trabalho, ao ou movimento.

Existem diversos tipos de energia, ns estudaremos as energias:

Cintica (associada ao movimento de corpos),

Potencial Gravitacional (associada a altura ou gravidade),

Potencial Elstica (referente a sistemas de molas),

Trabalho (referente a uma fora atuando num corpo).

A unidade utilizada para denotar energia o JOULE (J).

1.1 Trabalho (W)

Trabalho de uma fora definido matematicamente como sendo:

= . . (1.1)

Ou seja, podemos definir o trabalho como sendo o deslocamento

causado por uma fora quando aplicada a um corpo.

O trabalho mais bem escrito como sendo um produto escalar entre os

vetores fora e deslocamento, ou seja:

= . (1.2)

Como sabido, esse produto escalar entre dois vetores dado pelo

produto escalar entre esses dois vetores e o ngulo formado por eles:

Notas de Aula:

. = . . (1.3)

Portanto a equao 2 se torna a equao 1 a qual iremos trabalhar mais

diretamente.

A unidade de medida pode ser encontrada analisando cada um dos

termos da equao 1:

= []. . []

= [. ] = [ ] (1.4)

Exerccios Resolvidos

1.1 Uma fora de 12 N exercida

sobre uma caixa a um ngulo de

20o como mostrado n figura ao

lado. Qual o trabalho realizado

pela fora quando a caixa se

locomove por uma mesa a uma

distncia de 3 m?

Resoluo:

Os dados fornecidos pelo enunciado so:

= 12

= 20

= 3

=?

Ns vimos que o trabalho pode ser calculado pela equao 1, portanto:

= . .

= 12. 20. 3

= 33,8

1.2 Um caminho de 3000 kg deve ser embarcado em um navio por meio de

um guindaste que exerce uma fora de 31 kN para cima sobre o veculo. Essa

fora, suficiente para vencer a fora gravitacional e fazer com que o caminho

comece a subir, atua ao longo de uma distncia de 2 m. Determine (a) o trabalho

realizado pelo guindaste e (b) o trabalho realizado pela fora gravitacional.

Resoluo:

Notas de Aula:

Os dados fornecidos pelo enunciado so:

= 3000

= 31 = 31000

= 2

Aos trabalhos de cada fora podem ser calculados separadamente.

(a) O trabalho realizado pelo guindaste devido a fora que ele

exerce. O ngulo entre a fora e o deslocamento de zero

grau j que os dois esto na mesma direo e sentido como

mostrado ao lado. Portanto o trabalho ser:

= 31000. 0. 2

= 62000

Ou:

= 62

(b) Para calcularmos o trabalho da fora gravitacional ou fora peso,

primeiramente calculamos a fora peso devido a massa do veculo:

= .

= 3000 . 9,8

= 29400

Ou

= 29,4

Substituindo o valor da fora encontrado e o ngulo que nesse caso

de 180o, pois o peso e o deslocamento esto em sentidos opostos,

temos que o trabalho ser:

= 29400. 180. 2

= 58800

Ou

= 58,8

Notas de Aula:

1.2 Trabalho de uma Fora Varivel:

Quando temos uma fora varivel, utilizamos a equao:

= 2

1 (1.5)

Que nada mais do que calcularmos a rea abaixo do grfico formado

pela fora e o deslocamento.

Exerccios Resolvidos

1.3 Uma fora varia com x conforme mostrado na

figura ao lado. Determine o trabalho realizado por

essa fora sobre uma partcula ao se mover de x=0

at x=6 m.

Resoluo:

O trabalho realizado ser a integral dado pela

equao 5, portanto ser numericamente igual a rea.

A rea A1 :

1 = .

1 = 4 . 5 = 20

A rea A2:

2 =.

2

2 =2 . 5

2= 5

Portanto o trabalho total realizado ser:

Notas de Aula:

= 1 + 2

= 20 + 5 = 25

1.4 A fora = (32) + (4 ), com x em metros, age sobre uma partcula.

Qual o trabalho realizado sobre a partcula quando ela se desloca das

coordenadas (2m, 3 m) para (3 m, 0 m)?

Resoluo:

Aqui temos uma fora varivel, portanto devemos utilizar a equao 5:

= 2

1

Onde vamos substituir os respectivos valores,

= 32 + 4

Como ns temos duas direes, temos duas integrais:

= 32 + 4

2

1

2

1

= 32 + 4

0

3

3

2

=3

33|

2

3

+ 4 |3

0

= 3|23 + 4|3

0

= (27 8) + (0 12)

= 19 12

= 7

1.3 Energia cintica (Ec ou K)

A energia cintica (K ou Ec) a energia associada ao movimento de

corpos, quando maior a velocidade de um corpo maior sua energia cintica.

=1

22 (1.6)

Sua variao ser dada por:

Notas de Aula:

=1

2

2 1

2

2 (1.7)

A energia cintica definida como sendo a soma da mudana do

momento linear de um corpo, ou seja:

=

=

=

=1

22

Exerccios Resolvidos

1.5 Em 1896, em Waco, Texas, Willian Crush posicionou duas locomotivas em

extremidades opostas de uma linha frrea com 6,4 km de extenso, acendeu as

caldeiras amarrou os aceleradores para que permanecessem acionados e fez

com que as locomotivas sofressem uma coliso frontal, em alta velocidade,

diante de 30000 espectadores. Centenas de pessoas foram feridas pelos

destroos; vrias morreram. Supondo que cada locomotiva pesava 1,2 x 106 N e

tinha uma acelerao constante de 0,26 m/s2, qual era a energia cintica das

duas locomotivas imediatamente antes da coliso?

Resoluo:

Os dados fornecidos so:

= 1,2 106 cada uma.

= 0,26

2

= 6,4/2 = 3200

Para calcularmos a energia cintica utilizamos a equao 1:

=1

22

Precisaremos encontrar a massa e a velocidade das locomotivas. Primeiramente

vamos encontrar a velocidade, sabemos que a acelerao constante, portanto

podemos utilizar a equao da velocidade para o MRUV:

2 = 02 + 2

Notas de Aula:

2 = 0 + 2 0,26 3200

= 40,8 /

Para encontrar a massa, basta lembrarmos que o peso de um corpo dado pelo

produto entre sua massa e a acelerao da gravidade:

=

=

=1,2 106

9,8

= 1,22 105

Agora para encontrarmos a energia cintica de cada locomotiva basta substituir

na equao 1:

=1

2 1,22 105 40,82

= 1,0 108

Como foram duas locomotivas temos que multiplicar por 2 para encontrarmos a

energia total antes do choque.

Exerccios Fixao:

1.6 (01- Halliday) Em 10 de agosto de 1972 um grande meteorito atravessou a

atmosfera sobre o oeste dos Estados Unidos e do Canad como uma pedra que

ricocheteia na gua. A bola de fogo resultante foi to forte que pde ser vista

luz do dia, e era mais intensa que o rastro deixado por um meteorito comum. A

massa do meteorito era de aproximadamente 4x106 Kg; sua velocidade cerca de

15 km/s. Se tivesse entrado verticalmente na atmosfera terrestre ele teria

atingido a superfcie da Terra com aproximadamente a mesma velocidade. a)

Calcule a perda de energia cintica do meteorito que estaria associada ao

impacto vertical. b) Expresse a energia como um mltiplo da energia explosiva

de 1 megaton de TNT que 4,2x1015 J. c) A energia associada exploso da

bomba atmica de Hiroshima foi equivalente a 13 quilotons de TNT. A quantas

bombas de Hiroshima o impacto do meteorito seria equivalente?

Notas de Aula:

Resoluo:

Os dados fornecidos foram:

m = 4x106 Kg

v= 15 km/s

Primeiramente vamos colocar as unidades no SI:

v= 15 km/s = 15*1000 m/s = 15x103 m/s

a) A mudana na energia cintica do meteorito dada pela variao de sua

energia cintica:

= = = 1

2

2 =1

24106 (15103)2 = 51014

O sinal negativo da energia significa que ela foi perdida.

b) Para transformarmos em megatons, basta fazer uma regra de trs e

chegaremos em:

= 51014

4,21015= 0,1

c) O nmero de bombas equivalentes pode ser obtido dividindo a energia do

meteorito pela energia da bomba, s que primeiramente temos que

colocar as duas na mesma unidade, uma est em kilo e a outra em mega.

Vamos passar o que est em mega para kilo simplesmente multiplicando

por 1000:

=0,1 1000

13= 8

1.7 (04 - Halliday) Uma fora F aplicada a um corpo

quando este se move em linha reta, sofrendo um

deslocamento de 5 cm. O mdulo de F mantido

constante, mas o ngulo entre a fora e o

deslocamento pode ser escolhido. A figura ao lado mostra

o trabalho W realizado por F sobre o corpo para valores

de dentro de um certo intervalo; W0=25 J. Qual o

trabalho realizado por F se igual a a) 64 e b) 147?

Notas de Aula:

Resoluo:

Os dados fornecidos foram:

d= 5 cm

W0=25 J

a) O ngulo de 64. O trabalho pode ser calculado pela equao 1:

= . .

Notas de Aula:

Notas de Aula:

Bibliografia:

TIPLER, P. A.; MOSCA, G. Fsica para cientistas e engenheiros: mecnica, oscilaes e ondas, termodinmica. Vol. 1, 5 ed. Rio de Janeiro: LTC, 2006. ISBN: 9788521614623.

HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de fsica - mecnica. Vol. 1, 8 ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009. ISBN: 9788521616054.