trabalho de momento de inercia de area e polar

CENTRO UNIVERSITÁRIO UNA

Ana Baeta, Ana Lopez, Atila Cruz,

Breno S., Cristiano O, Décio M.,

Douglas Lemos, Welerson B.

MOMENTO DE INÉRCIA DE ÁREA E

MOMENTO POLAR DE INÉRCIA

Disciplina: Mecânica do SólidosProfessor: Adilson Amaro Lima RodriguesTurma: EMG2BN-A – Turno: Noite

Belo Horizonte2011

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INDICE

1. INTRODUÇÃO....................................................................................................3

2. MOMENTO DE INÉRCIA DE ÁREA...................................................................3

2.1. APLICAÇÃO...................................................................................................................................4

3. MOMENTO POLAR DE INÉRCIA.....................................................................5

4. DIFERENÇA ENTRE OS DOIS CONCEITOS....................................................5

5. COMPONENTES ESTRUTURAIS OU PEÇAS MECÂNICAS............................6

5.1. PEÇA A...........................................................................................................................................6

5.2. PEÇA B.............................................................................................................................................7

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1. INTRODUÇÃO

Este trabalho tem por objetivo conceituar o Momento Polar de Inércia e Momento de Inércia

de Área, demonstrando através de cálculos sua aplicabilidade. O momento de inércia é uma

característica geométrica importante no dimensionamento dos elementos de construção, pois

fornece noção da resistência da peça. Apesar da semelhança em formulação e em alguns

teoremas, não deve ser confundido com momento de inércia de massa, que é usado no estudo

da rotação de corpos rígidos.

2. MOMENTO DE INÉRCIA DE ÁREA

É a Integral do produto dos elementos de área de um objeto pelo quadrado de sua distância a

um eixo. Geralmente é dado em mm4 ou cm4. Ele é um valor sempre positivo por depender do

quadrado das distancias do eixo.

Quanto maior o momento de Inércia de um corpo, mais difícil será fazê-lo girar.

J = A Y2.dA.

Jx – A.d2 Jy = A.d2

Quanto for somar momentos de inércia, deve-se analisar se o centro de gravidade é o mesmo

para todas. Caso positivo, procedo a soma. Se não, devo aplicar o teorema de Steiner para

cada peça.

Ix’maior = Ix’menor +Ad2

Onde: d é a distancia do centro de gravidade da peça até o centro de gravidade do conjunto.

A = Área da Peça; Ix’menor é o momento de inércia que tem o centro de gravidade diferente do

centro de gravidade do conjunto.

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2.1. APLICAÇÃO

O momento de Inércia de Área numa seção transversal de uma viga em relação a

um eixo que passa pelo seu centro de gravidade, mede a sua rigidez (resistência a

flexão em relação ao eixo). O momento de inércia é utilizado para calcular a

tensão de flexão.

σFLEX = (MF * r) / J

MF – é o momento fletor (esforço de dobramento), que é calculado pelo produto

da Força (F) pelo Comprimento (d)

MF = F.d

r – é o centro de gravidade em relação a um eixo.

A Deformação Elástica deve ser proporcional a tensão aplicada. Quando uma viga

é fletida, aumenta seu comprimento do lado convexo, enquanto diminui seu lado

côncavo. Existem então tensões de compressão e tração.

Obs.: No centro as fibras continuam com o mesmo comprimento. A tensão é

máxima nas fibras mais afastada do centro.

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3. MOMENTO POLAR DE INÉRCIA

É o momento de inércia de um elemento de área em relação a um ponto é o produto da

área desse elemento pelo quadrado da sua distância ao ponto considerado.

Momento de inércia de uma superfície em relação a um ponto é a soma dos momentos de

inércia, em relação ao mesmo ponto dos elementos qual a constituem.

Levando em consideração o teorema de Pitágoras.

r2 = x2 + y2

Então:

O momento de inércia de uma superfície em relação a um ponto é a soma dos momentos

de inércia em relação aos eixos que passem pelo ponto considerado.

4. DIFERENÇA ENTRE OS DOIS CONCEITOS

Momento de Inércia de Área não deve ser confundido com o momento polar de

inércia, que é uma medida da capacidade de um objeto de resistir a torção (torção),

apenas, embora, matematicamente, eles são semelhantes: se o sólido para o qual o

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http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=pt-BR&langpair=en%7Cpt&rurl=translate.google.com.br&twu=1&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Torsion_(mechanics)&usg=ALkJrhiYDRU6gTPqTUpcoPbbtHbAT6zaAg


momento de inércia é calculado tenha espessura uniforme na direção do eixo de rotação, e

também tem área uniforme. Momento polar de inércia é aplicado a eixos enquanto

momento de inércia de área é aplicado as demais vigas e objetos.

5. COMPONENTES ESTRUTURAIS OU PEÇAS MECÂNICAS

5.1. PEÇA A

Seja altura (h) = 40mm, comprimento (b) = 20mm e largura (em = ea) = 5mm,

teremos: Peça Simétrica

Xcg = 10mm Ycg = 20mm

CÁLCULO DA ÁREA

A1 = A2 = 5mm x 20mm = 100mm2

A3 = 5mm x 30 mm = 150mm2

6

3

1

2


CÁLCULO DO MOMENTO DE INERCIA DE ÁREA

Ix’1 = Ix’3 = ( bh3 )/12 = 20*53 / 12 = 208,33mm4

Ix’2 = ( bh3 )/12 = 5*303 / 12 = 11250mm4

Obs: Como o centro de gravidade das peças 1 e 3 são diferentes da peça 2, devo

aplicar o teorema de Steiner.

Ix’s = Ix’1 + Axd2 Ix’s = 208,33mm4 + 100mm2x17,52

Ix’s = 30833,33mm4

Como Ix’1 e Ix’3 são simétricos em relação ao centro de gravidade Ycg, posso

multiplicar o momento de inércia de uma por 2 e somar ao momento de inércia da

peça 2.

Ix’ = Ix’2 + 2Ix’s Ix’ = 11250mm4 + 2(30833,33mm4) Ix’ = 72916,66mm 4

Iy’1 = Iy’3 = ( b3h )/12 = 2035 / 12 = 3333,33mm4

Iy’2 = (b3h) / 12 = 5330 / 12 = 312,5mm4

Como o centro de gravidade Xcg é igual nas três peças, basta somar os momentos de

inércia: Iy’ = 2(3333,33mm4)+ 312,5mm4 = 6979,16 mm 4

5.2. PEÇA B

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Seja diâmetro (d) = 20mm e largura (e) = 5mm, teremos:

Ycg = 10mm Xcg = 10mm

CÁLCULO DA ÁREA

A1 = πr2 = π10mm2 = 314,16mm2

A2 = πr2 = π5mm2 = 78,54mm2

Ix’1 = (πd4 )/64 = π*204 / 64 = 7854mm4

Ix’2 = (πd4 )/64 = π*104 / 64 = 491mm4

Iy’1 = (πd4 )/64 = π*204 / 64 = 7854mm4

Iy’2 = (πd4 )/64 = π*104 / 64 = 491mm4

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Como o centro de gravidade das peças é o mesmo eu posso subtrair.

Ix’ = Ix’1 - Ix’2 = 7363 mm4

Iy’ = Iy’1 - Iy’2 = 7363 mm4

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Referencia Bibliográfica

Site: http://pt.wikipedia.org/wiki/Momento_de_in%C3%A9rcia_de_%C3%A1rea

Livro: Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais (SARKIS MELCONIAN – 18º

Edição)

Livro: Curso de mecânica dos Sólidos A (PEREIRA, JOSÉ C. – 2003)

Livro: Resistência dos materiais (R. C. Hibbeler – 3ª Edição)

Livro: Fundamentos de resistência dos materiais (Daniella A. Bento – CEFET-SC)

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http://pt.wikipedia.org/wiki/Momento_de_in%C3%A9rcia_de_%C3%A1rea

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