torção

Plano de estudo Introducao Secao transversal circular cheia Secao transversal circular vazada Aplicacao Referencias

Resistencia dos materiais 1

Prof. Dr. Iedo Alves de Souza

Assunto: torcao em barras de secao transversal circular

DECE: UEMA & DCC: IFMA

Dr. Iedo A. Souza (2008)

Plano de estudo

Introducao

Torcao em barras de secao circular cheia

Torcao em barras de secao circular vazada

Aplicacao

Referencias

Plano de estudo

Introducao

Aplicacao

Referencias

Plano de estudo

Introducao

Aplicacao

Referencias

Plano de estudo

Introducao

Aplicacao

Referencias

Plano de estudo

Introducao

Aplicacao

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Plano de estudo

Introducao

Aplicacao

Referencias

Plano de estudo

Introducao

Aplicacao

Referencias

IntroducaoConvencao de sinal e classificacao da estrutura

IntroducaoCalculo da reacao TA: equacao de equilıbrio

IntroducaoCalculo da reacao TA: esforcos solicitantes

IntroducaoEfeitos causados pelo momento torcor

Uma secao transversal gira em relacao a outra

Aparecem tensoes de cisalhamento variando de forma linear

τl .dxdr .dt = τ.dtdr .dx =⇒ τl = τ

IntroducaoTeorema de Cauchy e seguranca contra a ruptura

Em planos perpendiculares, as tensoes de cisalhamento sao iguaisentre si, e convergem ou divergem de uma mesma aresta.

bb′ = dφD2 = γdx b1b′1 = dφr = γrdx

dφ.D2

dφ.r = γdxγrdx

γr = 2rD γ

τ = Gγ G = E2(1+ν) p/γ = r τr = Gγr γr = τr

Nota: ν = coeficiente de Poisson

τr = 2rD τ , fazendo o raio igual a D

τ ≤ τ = τrCs

dφ.D2

dφ.r = γdxγrdx

γr = 2rD γ

τ ≤ τ = τrCs

dφ.D2

dφ.r = γdxγrdx

γr = 2rD γ

τ ≤ τ = τrCs

Secao transversal circular cheiatensao de cisalhamento

Mt =∫A τrdA.r =⇒ Mt =

∫ D2

02rD τ.2πrdr .r

Mt = πτD3

16 ∴ τ = 16MtπD3

∫ D2

02rD τ.2πrdr .r

Mt = πτD3

16 ∴ τ = 16MtπD3

∫ D2

02rD τ.2πrdr .r

Mt = πτD3

16 ∴ τ = 16MtπD3

Secao transversal circular cheiaDeslocamento

Giro de uma secao generica x:∫ ϕ(x)

0 dϕ =∫ x

GD .τdx

ϕ(x) =∫ x

GD .16MtπD3 dx = 32

∫ x0

MtGD4 dx = 32Mtx

ϕ(x) = MtxGIt

0 dϕ =∫ x

GD .τdx

ϕ(x) =∫ x

∫ x0

MtGD4 dx = 32Mtx

ϕ(x) = MtxGIt

0 dϕ =∫ x

GD .τdx

ϕ(x) =∫ x

∫ x0

MtGD4 dx = 32Mtx

ϕ(x) = MtxGIt

Secao transversal circular vazadaTubo de parede grossa: tensao cisalhante

Considera-se tubo de parede grossa quando e > d20

Secao transversal circular vazadaTubo de parede grossa: tensao cisalhante

Considera-se tubo de parede grossa quando e > d20

Secao transversal circular vazadaTubo de parede grossa: deslocamento angular

∫ ϕ(x)0 dϕ =

∫ x0

16MtDπ(D4−d4)

ϕ(x) = 32MtxπG(D4−d4)

= MtxGIt

=⇒ It = π(D4−d4)32

∫ ϕ(x)0 dϕ =

∫ x0

16MtDπ(D4−d4)

= MtxGIt

=⇒ It = π(D4−d4)32

∫ ϕ(x)0 dϕ =

∫ x0

16MtDπ(D4−d4)

= MtxGIt

=⇒ It = π(D4−d4)32

Secao transversal circular vazadaTubo de parede fina: tensao de cisalhamento

Considera-se tubo de parede fina quando e ≤ d20

Secao transversal circular vazadaTubo de parede fina: deslocamento angular

∫ ϕ(x)0 dϕ =

∫ x0

2GD .τdx =

∫ x0

πdm2e

ϕ(x) = 4MtxπGdm

3e= Mtx

GIt=⇒ It = πdm

Secao transversal circular vazadaTubo de parede fina: deslocamento angular

∫ ϕ(x)0 dϕ =

∫ x0

2GD .τdx =

∫ x0

πdm2e

ϕ(x) = 4MtxπGdm

3e= Mtx

GIt=⇒ It = πdm

AplicacaoExemplo-01

Dois eixos macicos de aco (G = 77 GPa) sao conectados pelasengrenagens mostradas (Figura abaixo). Determinar o angulo de

torcao da extremidade A, quando nesse ponto um torque T de 340N.m e aplicado1.

1Resp.: φA = 5, 19◦

AplicacaoExemplo-01

Dois eixos macicos de aco (G = 77 GPa) sao conectados pelasengrenagens mostradas (Figura abaixo). Determinar o angulo de

torcao da extremidade A, quando nesse ponto um torque T de 340N.m e aplicado1.

1Resp.: φA = 5, 19◦

AplicacaoExemplo-02

No eixo mostrado abaixo, calcule τmax indicando onde ocorre. SendoG= 800 t

cm2 , calcule os giros que o eixo sofre nas secoes I, II e III 2.

2Resp.: τI = 0, 33 tcm2 ; τII = 0, 32 t

cm2 ; τIII = 0, 38 tcm2 ;φI =

8, 15(10)−3rad ;φII = 2, 18(10)−3rad ;φIII = 8, 47(10)−3rad .

AplicacaoExemplo-02

No eixo mostrado abaixo, calcule τmax indicando onde ocorre. SendoG= 800 t

cm2 , calcule os giros que o eixo sofre nas secoes I, II e III 2.

2Resp.: τI = 0, 33 tcm2 ; τII = 0, 32 t

cm2 ; τIII = 0, 38 tcm2 ;φI =

8, 15(10)−3rad ;φII = 2, 18(10)−3rad ;φIII = 8, 47(10)−3rad .

AplicacaoExemplo-03

As extremidades A e D de dois eixos macicos de aco, AB e CD,estao engastadas. As extremidades B e C sao conectadas por

engrenagens, como indicado. Sabendo-se que a tensao decisalhamento admissıvel e 50 MPa para cada eixo, determinar o

maior torque T que pode ser aplicado na engrenagem B3.

3Resp.: T= 4,12 kN.m

AplicacaoExemplo-03

As extremidades A e D de dois eixos macicos de aco, AB e CD,estao engastadas. As extremidades B e C sao conectadas por

engrenagens, como indicado. Sabendo-se que a tensao decisalhamento admissıvel e 50 MPa para cada eixo, determinar o

maior torque T que pode ser aplicado na engrenagem B3.

3Resp.: T= 4,12 kN.m

AplicacaoExemplo-04

Os cilindros macicos AB e BC estao unidos em B e engastados emA e C. Sabendo-se que AB e de alumınio (Gal=26 GPa) e BC e delatao (Gl=39 GPa), determinar para o carregamento mostrado: (a)a reacao em cada extremidade fixa; (b) a maxima tensao cisalhante

em AB; (c) a maxima tensao cisalhante em BC4.

4Resp.: (a)MA= 9,68 kN.m; MC= 2,82 kN.m;(b) τAB = 29, 7MPa (c)τBC = 34, 1MPa

AplicacaoExemplo-04

Os cilindros macicos AB e BC estao unidos em B e engastados emA e C. Sabendo-se que AB e de alumınio (Gal=26 GPa) e BC e delatao (Gl=39 GPa), determinar para o carregamento mostrado: (a)a reacao em cada extremidade fixa; (b) a maxima tensao cisalhante

em AB; (c) a maxima tensao cisalhante em BC4.

4Resp.: (a)MA= 9,68 kN.m; MC= 2,82 kN.m;(b) τAB = 29, 7MPa (c)τBC = 34, 1MPa

AplicacaoExemplo-05

O eixo composto mostrado consiste em uma camisa de latao (Gl=39GPa) com 5,5 mm de espessura, colado a um nucleo de aco (Ga=77GPa) com diametro de 40 mm. Sabendo-se que o eixo e submetido

a um torque de 600 N.m, determinar: (a) a maxima tensaocisalhante na camisa de latao; (b) a maxima tensao cisalhante no

nucleo de aco; (c) o angulo de torcao de B, relativo a A5.

5Resp.: (a)17,47 MPa; (b)27,6 MPa; (c) 2,05 ◦

AplicacaoExemplo-05

O eixo composto mostrado consiste em uma camisa de latao (Gl=39GPa) com 5,5 mm de espessura, colado a um nucleo de aco (Ga=77GPa) com diametro de 40 mm. Sabendo-se que o eixo e submetido

a um torque de 600 N.m, determinar: (a) a maxima tensaocisalhante na camisa de latao; (b) a maxima tensao cisalhante no

nucleo de aco; (c) o angulo de torcao de B, relativo a A5.

5Resp.: (a)17,47 MPa; (b)27,6 MPa; (c) 2,05 ◦

AplicacaoExemplo-06

Calcular o momento torcor T admissıvel para a Figura abaixo.Dados: E = 2.100 t

cm2 ; G = 700 tcm2 ; σ = 1, 2 t

cm2 ; τ = 0, 8 tcm2 . As

barras AB e CD tem 1 centımetro de diametro e 1 metro decomprimento 6.

6Resp.: T = 12, 566 t.cm

AplicacaoExemplo-06

Calcular o momento torcor T admissıvel para a Figura abaixo.Dados: E = 2.100 t

cm2 ; G = 700 tcm2 ; σ = 1, 2 t

cm2 ; τ = 0, 8 tcm2 . As

barras AB e CD tem 1 centımetro de diametro e 1 metro decomprimento 6.

6Resp.: T = 12, 566 t.cm

AplicacaoExemplo-07

Sendo G = 800 kN/cm2, calcular qual deve ser o o coeficiente demola k (kN/cm2), indicado na Figura abaixo, para que o giro da

barra rıgida seja 0,01 radiano.

AplicacaoExemplo-07

Sendo G = 800 kN/cm2, calcular qual deve ser o o coeficiente demola k (kN/cm2), indicado na Figura abaixo, para que o giro da

barra rıgida seja 0,01 radiano.

AplicacaoExemplo-08

Dois eixos cheios de aco estao ligados por engrenagens. Sabendoque para cada eixo G = 77,2 GPa, e que a tensao de cisalhamentoadmissıvel e de 55 MPa, determine (a) o maior torque To que pode

ser aplicado a extremidade A do eixo AB e (b) o angulocorrespondente pelo qual a extremidade A do eixo AB gira7.

7Resp.: (a)To = 561lb.in; (b)φ = 12, 02o

AplicacaoExemplo-08

Dois eixos cheios de aco estao ligados por engrenagens. Sabendoque para cada eixo G = 77,2 GPa, e que a tensao de cisalhamentoadmissıvel e de 55 MPa, determine (a) o maior torque To que pode

ser aplicado a extremidade A do eixo AB e (b) o angulocorrespondente pelo qual a extremidade A do eixo AB gira7.

7Resp.: (a)To = 561lb.in; (b)φ = 12, 02o

Referencias

1 http://www.set.eesc.usp.br2 BEER, F.P. et al. Resistencia dos materiais. Ed. McGraw-Hill.3 DI BLASI, C.G. Resistencia dos materiais. Liv. Freitas Bastos.4 HIGDON, A. et al. Mecanica dos materiais. Ed. Guanabara

Dois.5 LANGENDONCK, T. et al. Resist. dos materiais. Ed. da USP.6 NASH, W.A. Resistencia dos materiais. Ed. McGraw-Hill.7 RACHID, M. et al. Exercıcios de resistencia dos materiais. Ed.

da UFSCar.8 SCHIEL, F. Introducao a Resistencia de materiais. Ed.

HARBRA.9 SHAMES, I.H. Introducao a mecanica dos solidos. Ed.

Prentice-Hall.10 TIMOSHENKO, S.P. e GERE, J.E. Mecanica dos solidos.

Livros Tecnicos e Cientıficos Ed..

Referencias

1 http://www.set.eesc.usp.br2 BEER, F.P. et al. Resistencia dos materiais. Ed. McGraw-Hill.3 DI BLASI, C.G. Resistencia dos materiais. Liv. Freitas Bastos.4 HIGDON, A. et al. Mecanica dos materiais. Ed. Guanabara

Dois.5 LANGENDONCK, T. et al. Resist. dos materiais. Ed. da USP.6 NASH, W.A. Resistencia dos materiais. Ed. McGraw-Hill.7 RACHID, M. et al. Exercıcios de resistencia dos materiais. Ed.

da UFSCar.8 SCHIEL, F. Introducao a Resistencia de materiais. Ed.

HARBRA.9 SHAMES, I.H. Introducao a mecanica dos solidos. Ed.

Prentice-Hall.10 TIMOSHENKO, S.P. e GERE, J.E. Mecanica dos solidos.

Livros Tecnicos e Cientıficos Ed..

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