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UNICAMPAula : Torção em Seções Genéricas

Torção em Seção Genéricas

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• Anteriormente considerou-se somente torção em seção não circulares.

• As seções não permanecem mais perpendiculares ao eixo longitudinal.

• A formulação para seções genéricas foi desenvolvida por Saint-Venant.

• Segue os Passos da Formulação Variacional.

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Definição da Cinemática• Cinemática da torção em seções genéricas

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• Hipóteses de Saint Venant– Cada seção sofre uma rotação rígida que só

depende de x , ou seja, θ = θ(x)– O deslocamento em x só depende de

y e z, ou seja, definiremos uma função u(x) = φ(y, z).

• Da formulação Variacional para seções circulares já havíamos obtido que:v = - zθ(x)w = yθ(x)

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• Adicionando a função u(x) = φ(y, z), teremos o campo vetorial de deslocamento dado por:

• Note que se u(x) = 0, cairemos no mesmo campo vetorial da cinemática para seções circulares.

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• Sendo assim, o conjunto das ações cinematicamente possíveis para uma seção genérica será dada por.

V = {u, x = 0, v = - zθ(x), w = yθ(x), u(x) = φ(y, z) e θ(x) é uma função suave}.

• Quando houver alguma restrição, determina-se o espaço Kinv de V.

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Deformação• Pela hipótese de Saint Venant, a função u(x) =

φ(y, z) depende somente de y e z e portanto εxx(x)=du(x)/dx = 0

• Para determinar a deformação angular para cada componente da tensão de cisalhamento, basta utilizar a mesma demonstração das seções circulares, apenas acrescentando a variação da função φ(y, z) em relação a cada uma de suas coordenadas ( por isso utiliza-se derivadas parciais).

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• Sendo assim, teremos que:γxy = dv(x, y, z)/dx + φ(y, z)/y

γxz = dw(x, y, z)/dx + φ(y, z)/z

γxy = -zdθ(x)/dx+ φ(y, z)/y

γxz = ydθ(x)/dx(x+ φ(y, z)/z

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• O espaço W das deformações será constituído por γxy e γxz

• Como visto anteriormente, existe um operador relacionando a cinemática à deformação. Neste caso, este operador será em forma matricial da seguinte maneira.

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Movimento de corpos rígidos• Para se analisar os movimentos de corpos

rígidos, basta impor que as deformações sejam simultaneamente nulas, ou seja,

γxy = dv(x, y, z)/dx + φ(y, z)/y =0

γxz = dw(x, y, z)/dx + φ(y, z)/z = 0

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• Integrando respectivamente em relação a y e a z teremos que:

• Pode-se igualar as expressões.

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• Como cada parte da equação depende de somente uma variável, temos que a equação será válida para todos os casos quandodθ(x)/dx = 0 , [f(z)-g(y)] = 0

• Isto implica que f(z) e g(y) são ctes, o que implica que φ(y, z) também deve ser cte.

• Logo o espaço dos movimentos rígidos deve ser dado por N (D) = {u; u V | θ (x) = θ constante e u(x) = C} .

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Potência Interna• A potencia interna associa as componente de

deformação com o estado interno de tensão. Neste caso estamos trabalhando com tensões de cisalhamento, o que implica que

• Substituindo as componentes de deformação, rearranjando e separando a integral em uma integral de área e de comprimento teremos:

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A primeira integral representa o momento torçor e a segunda integral de comprimento pode ser substituida por L, já que as funções não dependem de x. Teremos que

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• Fazendo uma análise dimensional da segunda derivada, observamos que ela apresenta dimensão de tensão que quando integrada resulta numa força, incoerente portanto com a cinemática de torção. Logo a segunda integral deve ser nula.

• Sendo assim a Pint será dada por

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• Que integrada por partes resulta em

• Para satisfazer esta expressão, devemos resolver a segunda integral, que deve ser nula. Integrando por partes e utilizando co-senos diretores teremos que

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E pode-se observar que a primeira parte possui dimensão de tensão e a segunda de força distribuída.

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Aplicação do PPVComo Pi=Pe, teremos que

E para seções genéricas a restrição

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• Para a determinação do momento torçor resolve-se apenas o PVC para torção

• Para resolver o empenamento, é preciso impor que os termos entre colchetes da equação de restrição sejam nulos, já que os empenamentos devem ser arbitrários.

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• Sendo assim teremos o seguinte PVC bidimensional

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• Através de manipulações matemáticas e da Lei de Hooke para um material elástico e isotrópico, introduz-se uma função (y,z) e escreve-se as componentes de tensão de cisalhamento em termos de (y,z)

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• Fazendo isto obteremos um PVC de segunda ordem mas com uma única função (y,z), que pode ser resolvido mais facilmente.

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• Com algumas manipulações, o momento torçor também pode ser expresso em termos da função (y,z).

• Observe que como a tensão de cisalhamento depende da geometria da seção transversal, a função (y,z) também vai depender

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• Observe a figura abaixo

• Neste caso, por exemplo, trata-se de uma elipse. A equação (y,z) deve ser algo próxima a equação que descreve a geometria.

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• A equação que satisfaz o problema de valor de contorno é dada por

• Onde m é encontrado através do PVC

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• A equação do momento torçor já foi obtida pela resolução do PVC anteriormente. Através da integral

• Obtém-se a função F(x) e com isso a função em (y,z).

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• Pela lei de Hookeτxy(x,y,z) = G*γxy(x,y,z)

• O τ pode se escrito em termos de (y,z) e a deformação angular como

γxy = -zdθ(x)/dx+ φ(y, z)/y

• A única função não conhecida é o empenamento e com isso podemos determina-lo. No caso da elipse será dado por

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Analogia da Membrana• A solução do problema de valor de

contorno para (y,z) não é fácil de ser encontrada, como pôde-se ver. Em muitos casos é possível utilizar a analogia de membrana de Prandtl.

• Essa analogia parte do princípio que o comportamento de uma membrana fina em uma chapa é idêntico ao de uma seção retangular com diferentes “formatos”

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• Sendo assim, Prandtl determinou as expressões para a máxima tensão de cisalhamento e para o ângulo de torção de uma seção retangular com base b e altura a.

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• Cuidado com ângulos reentrantes, pois estas equações não valem !!!!!!!

• Para verificar ou dimensionar, segue-se os procedimentos padrões

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• Exercício Prático 1 A figura abaixo mostra um eixo de seção circular cheia submetido ao carregamento indicado. Pede-se dimensionar estes eixos sendo dados L=2m, t0 = 1200N/m (com início em l/2), T = 1600Nm , tensão normal de cisalhamento= 50MPa e G=80GPa. Redimensione o eixo para uma seção como mostrada na figura, considerando a relação a/b=20 (C1=0,333). Qual o eixo mais leve? t0

L/2L/2

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