torÇao de peÇas de seÇao aberta com hastes de … · sanchez filho, emi l de souza ... meu...
TRANSCRIPT
TORÇAO DE PEÇAS DE SEÇAO ABERTA COM HASTES DE
PAREDES DELGADAS DE CONCRETO ARMADO
Emi l de Souza Sânchez Filho
TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇAO DOS PROGRAMAS DE
PÕS-GRADUAÇAO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JA
NEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSARIOS PARA A OBTENÇAO DO
GRAU DE MESTRE EM CIÊNCIAS DE.ENGENHARIA CIVIL (M.Sc.).
Aprovado por:
PROF. SYDNEY MARTINS GOMES DOS SANTOS
PRESIDENTE )
PROF. ADOLPHO POLI LLO
Rio de Janeiro, RJ. - BRASIL
JANEIRO de l9S!l
i i
SANCHEZ FILHO, Emi l de Souza
TORÇÃO DE PEÇAS DE SEÇÃO ABERTA COM PAREDES DE
HASTES DELGADAS DE CONCRETO ARMADO
xxii, 128 p., p_.29,7cm (COPPE/UFRJ, M.Sc. Engenharia
Civil, 1987)
Tese - Uni ve rs idade Federal do Ri o de Janeiro, COPPE/
UFRJ
l. Hastes de Paredes D~lgadas
11. Título (Série)
1 . COPPE/UFRJ
A
Sandra, Yuri e Natália
iv
AGRADECIMENTOS
Ao Professor vfrgilio de Bastos Freire Filho da Uni-
versidade Federal de Juiz de Fora, meu Mestre e iniciador na Re
sistência dos Materiais.
Ao Professor Sydney Martins Gomes dos Santos, Mestre,
orientador e interlocutor de méritos e saberes incontestáveis, a
quem sempre recorri nos momentos de dúvidas.
Aos companheiros da COPPE, em especial aos sinceros e
leais amigos, Eduardo Rizzatti, Miguel Angel Castro Cisterna e
Jul ián Quejada.
V
RESUMO DA TESE APRESENTADA A COPPE/UFRJ COMO PARTE DOS REQUISI
TOS NECESSÃRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM CIÊN
CIAS DE.ENGENHARIA CIVIL ( M.Sc.),
TORÇÃO DE PEÇAS DE SEÇÃO ABERTA COM HASTES DE PAREDES
DELGADAS DE CONCRETO ARMADO
Emi 1 de Souza Sánchez Fi 1 ho
JANEIRO de 1938
ORIENTADOR: Sydney Martins Gomes dos Santos
PROGRAMA Engenharia Civi 1
O presente trabalho analisa as peças de concreto arma
do sujeitas à solicitação de torção, diferindo o comportamento me
cânico das peças em hastes de paredes delgadas face à torção. de . Saint-Venant e torção de empenamento.
Uma rápida explanação do desenvolvimento ocorrido nas
três Últimas décadas no estudo da torção de peças de concreto ar
mado é realizado.
O desenvolvimento minucioso da Teoria de Vlassov para
torção visa suprir as carências bibliográficas em português e en
candear o raciocínio para uma análise em regime não-linear fissu
rado, caso geral do concreto armado.
vi
ABSTRACT OF THESIS PRESENTED TO COPPE/UFRJ AS FULFILLMENT OF
THE REQUIREMENTS FOR THE DEGREE OF MASTER OF SCIENCE tN.CIVIL
ENGINEERING (M.Sc.).
TORSION OF OPEN THIN-WALLED PIECES OF REINFORCED CONCRETE
Em i I d e Souza Sá n eh e z F i I h o "
Janeiro· de:1988.
CHAIRMAN: Sydney Martins Gomes dos Santos
PROGRAMA: Civil Engineering
The present work analyses pieces of Reinforced Concrete
sub j e e te d to s o I i e i ta t i o n o f To r s i o n , d e f e r i n g the mechan i e behav i or
of thin-walled pieces dueto Saint-Venant's and warping torsion.
A quick explanation of development of the last three
decades about torsion of pieces of reinforced concrete has been
real i zed.
The detai led development of Vlassov's Torsion Theory
supplies a bibliography in portuguese wich the original was
lacking and linkes the reasoning for an analysis in .pnonê-linear
cracked rule, general case of reinforced concrete.
vi
NOTAÇÕES
- areada seçao transversal
da pelos estribos
area; areada seçao compreendi-
A - areada seçao transversal fissurada c
Ash - armadura transversal
A. - area de uma barra longitudinal genérica 1
As! - arm~dura longitudinal
A - areada armadura na direção x e y, sy
- area definida pela linha média do perfil
respectivamente
do tubo
a - cota no sistema cartesiano; maior dimensão da seçao retan-
guiar
B - bimomento
B - bimomento na seçao fissurada c
b - cota no sistema cartesiano; menor dimensão da seçao retan-
guiar
V j i i
C - momento de inércia a torção (constante torsional)
C - momento de inércia ã torçao da peça fissurada cr
C G - rigidez torsional de Saint-Venant apos a fissuração cr cr
d1
, d2
- dimens~es da seçao transversal
E - môdulo de elasticidade longitudinal
E1
- môdulo de elasticidade longitudinal reduzido
E - módulo de elasticidade longitudinal do aço s
E - môdulo de elasticidade longitudinal do concreto c
E , E - momentos estáticos em relação aos eixos y e z, respect~ y z
vamente
E - momento setorial estático w
E - momento setorial estático em relação ao ~entro de cisalha WG
mento
E E - produtos setoriais de inércia em relação aos éi~os y.w' z.w
y e z, respectivamente.
ix
EJ - rigidez torsional ao empenamento w
(EJ) - rigidez torsional ao empenamento apos a fissuração w cr
e - deslocamento na direção do eixo n.
F - tensao na armadura longitudinal
- força na armadura transversal
força na armadura longitudinal
,tensao na armadura 0 transversal
- tensão de compressao máxima no concreto
- tensão de escoamento da armadura na direção x
respectivamente
f - tensão de escoamento do aço y
fs - tensão no aço
G - módulo, de elasticidade. transversal
H - altura do perfil
h - espessura da seçao vazada fictícia
e y
X
h . - espessura da seçao vazada fictícia WI
J - rigidez torsional de Saint-Venant da seçao fissurada cr
J , J - momento de inircia segundo os eixos y e z, respectiva -y z
mente
J - produto de inircia yz
Jp - momento de inircia polar
J - momento setorial de inircia w
J - momento setorial de inircia da seçao fissurada WC
* J - momento setorial de inircia devido ao empenamento transver- :. w
sal
J1
- lQ invariante do tensor de tensões
K - comprimento característico
L - largura da mesa do perfil
~- - vao
xi
M - momento fletor
M , M - momentos fletores segundo os eixos y e z, respectivame~ y z
M , M y; z c c
te
momentos fletores segundo os eixos y e z, respectiva
mente, da seção fissurada
md - momento torçor uniformemente distribufdo
m, m, m - momentos uniformemen.'fê:-distribuídos,'seg\irido os;eixos X y Z
x~ y.e z respectivamente.:··
N - açao normal
n - relaçao entre os módulos de elasticidade longitudinais
n , n - esforços normais atuantes no painel fissurado X y
P - açao normal
ph - perímetro da linha média dos estribos
px' py' p2
- carga uniformemente distribuída segundo os eixos x,
y e z, respectivamente
p0
- perímetro do fluxo de tensões cisalhantes
Xi i
Qy' Qz - esforços cisalhantes segundo os eixos y e z, respectiv~
mente
q - fluxo de tensões cisalhantes
R - raio
Rh - resultante da armaçao transversal
Ri - resultante da armaçao longitudinal
r - distância do eixo n ao centro de cisalhamento n
S - areada seçao transversal
s coordenada ao longo do eixo midio da seçao; espaçamento dos
estribos
T - momento torçor
T - torçao de Saint-Venant s
T - torção devida ao empenamento longitudinal w
* T - torçao devida ao empenamento transversal
w
xi
T - torçor Ültimo u
t - espessura da parede da seçao
u deslocamento linear segundo o eixo x; perímetro dos estri-
bos
* u deslocamento linear segundo o eixo x (empenamento transver
sal)
v - deslocamento linear segundo o eixos
W - trabalho
X,Y,Z - coordenadas cartesianas
X,Y - dimensões da seçao retangular plena
y , z c c
coordenadas cartesianas da seçao fissurada
ângulo; ângulo de inclinação das fissuras; coeficiente di
mensional
ªe - relação entre os módulos de elasticidade longitudinais
xiv
- coeficiente adimensionJl
Y~s - distorção devida ao empenamento longitudinal
Yxn - distorção devida ao empenamento transversal
E - deformação específica
n - deslocamento linear segundo o eixo Z; coeficiente ad.imenido
nal
e - ãngulo de torção
µ - coeficiente de Poisson
v - coeficiente de Poisson
- deslocamento 1 inear segundo o eixo y
a tensao normal
a - tensão de compressao no concreto; tensao na seçao fissurada e
a , a - tensões de compressao np.pai nel fi ssurado ex cy
- tensao normal de flexão na biela de concreto devido a tor
çao
XV
o1
, o1
- tensões de tração no painel fissurado X y
a a - tensões normais no painel fissurado x' y
0:, o- G/ - tensões principais 1 . 2' 3
, - tensao tangencial
'Q - tensão tangencial
T - tensao tangencial xn
's - tensao tangencial
devida a Q ou Q y z
* devida a T w
devida a T s
'xy - tensão tangencial no painel fissurado
'w - tensão tangencial devida a T w
1, 1 - taxas mecinicas das armaduras segundo os eixos x e y, X y
respectivamente
- curvatura· da biela comprimi da
~ - ingulo de ruptura do concreto
w - coordenada setorial
w - coordenada setorial da seçao fissurada 'C
xvi
INDICE
Páginas
1 NTRODUÇÃO ............•.•.......... , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O 1
CAPÍTULO 1 - CONCEITOS INICIAIS ....................•.
1 .1 - DEFINIÇÃO DAS PROPRIEDADES GEOME
TRICAS DE UMA SEÇÃO
1 • 1 • 1 - Conceituação
05
05
05
1 .1 .2 - Centro de Cisalhamento . . . .. .. .• 13
1 .1.3 - Sistemas de Coordenadas . ..•. .•. 15
1. 2 - DEFINIÇÃO DE PEÇAS COM HASTES DE
PAREDES DELGADAS
1 . 2. 1 - Prólogo
1 7
"·· 1 7
1.2.2 - Definições Clássicas . . . . .. . . . . . 17
1.2.2.1 - Vlassov ...........•.......... 17
1.2.2.2 - Kollbrunner .................. 18
1.2.2.3 - T.H.G. Megson ..........•..... 18
1.2.2.4 - Zbirohowski-Kõscia ........... 19
1 .2.3 - Caso Particular do Concreto Ar-
mado ........................... 20
XV i i
1 .3 - ESTUDO ANALÍTICO DO BIMOMENTO . . . . 22
1.3.1 - Equilíbrio Estãtico das Solicit~
çoes • . . • • • . . . . . . . . . . . . • • . . • . • . . 22
1 .3.1 .1 - Eixos Coordenados • . •. •• .. .. •• 22
1 .3.1 .2 - Carregamentos Atuantes .•• .. .• 22
1.3.2 - Hipóteses Bãsicas ••...........• 24
1 • 3. 3 - Condições de Equilíbrio 25
1 .3.lt - Condições Cinemãticas ..•. .• .• .• 28
1 • 3. 5 - Deformaçiec Específica. 32
1.3.6 - Tensões Normais - Bimomento.... 33
1 • 3 . 7 - Tensões Tangenciais 35
1 .. 3. 8 - Torção de Empenamento . • . • . . . . . . 36
1. 3. 9 - Equação Diferencial da T.or.çãô com
Empenamento 38
1 .3.10 - Equação Diferencial do Bimomento 40
1.3.11 - Particularidades do Compr.imento
Característico . • . . . . . . . . • . . • . . . 41
1 .3.12 - Considerações Finais • .. . . •. .. .. !ili
1. li - EMPENAMENTO TRANSVERSAL . . . • . • . . . • 46
XV i i i
CAPíTULO li - MECANISMOS DE RESISTENCIA A TORÇÃO...... 51
11 .1 - REVI SÃO DO ESTUDO DA TORÇÃO . • . . • 51
11.1.1 - Torção em Peças de Material Ho-
mogeneo . . .. • • . . • . . • . • • . • . . . • . . 51
11.1.1.1 - Seção Circular.............. 51
11.1.1.2 - Seção Retangular............ 53
11 .1. 1. 3 - Seção Composta de Retângu 1 os
de Paredes Delgadas 55
11. 1 .1. 4 - Seções Vazadas - Fôrmu 1 as de
Bredt . • • . . • . . • . . • . . • . . . • . • . . 57
11. 2 - TORÇÃO DE SAI NT-VENANT EM PEÇAS DE
CONCRETO ARMADO - COMPORTAMENTO ME
CI\NICO • . .• . • . . .• . . • . . • . • . . .• . . •. 60
11.2.1 - Considerações Iniciais........ 60
11 .2.2 - Peças Plenas Somente com Armad~
ra Longitudinal .••.••..•....•. 61
11.2.3 - Peças Plenas com Armadura Longi
tud i na 1 e Transversa 1 . . . . • . . . • 63
11.2.4 - Modelo da Treliça Espacial Gen~
rali zada . . • . . . . . . . . • . . . . • . . . . . 65
11.2.4.1 - Escôrço Histórico........... 65
11.2.4.2 - Conceitos Bisicos • .... ••.. .. 67
xix
11.2.4.3 - Modelo Mecânico . . . . . . . . . . . . . 67
11.2.4.4 - Seção Transversal em Caixão 68
11 .2.5 - Teoria do Campo de Compressão
Diagonal . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 72
1 1 • 2. 5. 1 - Escôrço Histórico 72
11.2.5.2 - Premissas Bisicas ........... 73
11.2.5.3 - Processo Iterativo de Anilise 75
11.2.5.4 - Comentirios Finais .......... 77
CAPÍTULO 111 - ANALISE DAS PEÇAS DE CONCRETO ARMADO SU
JEITAS A EMPENAMENTO 79
111.1 - CONSIDERAÇÕES INICIAIS . .... .... 79
111.2 - PEÇAS NÃO FISSURADAS COM COMPOR-
TAMENTO ELAST 1 CO • . . . . . . . . . . . • . . 79
111.2.1 - Hipóteses Simplificadoras..... 79
1 1 1 . 2. 2 - Anilise das Tensões 81
111 .3 - PEÇAS FISSURADAS COM COMPORTAME~
TO ELASTICO . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 82
111.3.1 - Equações de Equilíbrio Interno 82
111 .3.2 - Tensões em Peças Fissuradas . . 84
XX
CAPfTULO IV - ESTUDO DA RIGIDEZ TORSIONAL •.•.••••.•••• 88
1 V. 1 - INrRODUÇllO .•.•••••.•••••.••.••••. 88
IV.2 - TEORIAS EXISTENTES - TORÇ710 DE
SAI NT-VENANT • • • • • • • . • • • • . . • • . • • . 89
IV.2.1 - Mitodo de Hsu •• •• •• .• •• •• •• •• . 89
IV.2.2 - Mitodo de Karlsson-Elfgren . • •• 91
IV.3 - RiGIDEZ TORSlONAL'AO.EMPENAMEJHO. 92
IV.3.1 ·-Conceituação.................. 92
IV.3.2 - Modelo de Hwang-Hsu • • • • • • • • • • • 93
CAPTTULO V - DIMENSIONAMENTO DAS ARMADURAS' - ESTUDO DA
CHAPA ••.••••.•••.••••••.•.••••••• •. •. •• · 95
V. 1 - PRÕLOGO • • • • • . • • . . • . • • • • • • • • • • • . • . 95
V.2 - CONCEITOS DA TEORIA DA PLASTICIDADE
V. 2. 1 - Teoremas Fundamentais • • • • • • . • • • 96
V.2.2 - Comportamento dos Materiais • • • • 97
V.3 - FORMULAÇllO DA ANALISE 98
V.3.1 - Painel Fissurado •••••••.•••••.• 98
xi i
V.3.2 Método Estático •••••••••••••••• 1 O O
V.4 APLICAÇÃO A UM CASO PARTICULAR ••. 104
V. 4. 1 Cálculo Analítico ............. . 1 O 4
V.4.2 Elaboraçio de Tabela ••.•••.•••• 1 O 5
V.4.3 Gráfico ..•••••.••••••.•••.••••• 107
CAPÍTULO VI EXEMPLO NUMERICO •••••••.•••••••••.•.•••• 109
CAPÍTULO V 1 1. - CONCLUSÕES .. .. . • . • .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 119
BIBLIOGRAFIA •••••.•••••••.•••••••••••• , •••••.•••••. , ••• , 123
O 1
INTRODUÇAO
A Teoria da Elasticidade teve um grande desenvolvimen
to no Século XIX, em conjunto com sua variante técnica-aplicati
va que vem a ser a Resistência dos Materiais, contudo, até o pr~
meiro quarto do século atual houve uma redução ponderável nas
contribuições significativas ao corpo dessas ciências. O estudo
da torção, primeiramente solucionado por Saint-Venant, sonos i
dos da década de trinta recebeu grande impulso e generalização~
través da obra grandiosa do cientista soviético V.Z. Vlassov. P~
rem, a quase inexistência de intercâmbio técnico-científico en
tre o Ocidente e a União Soviética. fez com que os trabalhos des
se teminente Professor ficassem desconhecidos fora das frontéi
ras de seu país. A tradução de seus livros para o inglês e fra~
ces nos idos de sessenta, despertou o interesse da comunidade ci
entÍfica do Ocidente, surgindo contribuições várias aos concei
tos e expressoes iniciais.
No campo de pesquisa do comportamento das peças de co~
ereto armado sujeitas ã torção, décadas se passaram sem contri
buição substancial ao conceito do Modelo Mecânico da Treliça fo~
mulada .por Rausch em 1929. Em 1968, ano que pode ser considera
do como o de uma reavaliação do estudo da torção em peças de co~
ereto armado e protendido, o ACI (American Concrete lnstitute)
realizou em Detroit um Seminário, o qual contribuiu grandemente
para os estudos realizados posteriormente. Simultaneamente na
Europaemvários 0 lnstitutos de pesquisas.voltaram-se os cientistas
para uma reavaliação dos coBceitos e modelos mecânicos de resis-
02
tência à torçao no concreto armado. Embora diferindo no caminha
mente das pesquisas, os norte-~mericanos adotando o Modelo de
Flexão Obl Íqua (ou Esconsa) e os europeus o da Treliça Espacial
Generalizada, as conclusões obtidas pouco diferem em alguns ca-
sos; contudo, atualmente, face ao seu apurado rigor conceituai
baseado nas experiências de laboratório e grande capacidade de
generalização para quaisquer tipo,;de seção transversal e solici-
tação externa, o Modelo da Treliça Espacial Generalizada possui
maior aceitação. Estes modelos traduzem somente o comportamento
mecânico face à torção comumente denominada de Saint-Venant, e
x~stindo ainda vários pontos e tópicos carentes de pesquisa teó
rico-experimental mais apurada.
A análise de peças de concreto armado sujeitos a tor
çao com empenamento, ou seja, com surgimento de tensões normais
oriundas do Bimomento, foi relegada a um plano secundârio, a po!!_
to de engenheiros do gaba ri to de. Fritz Leonhard expressarem· o des
conhecimento do seu comportamento estrutural com a seguinte •.ex
pressão: "Para vigas com seções com rígidez à torção, as tensões
devidas ao impedimento do empenamento de~rescem com a fissuração
do concreto no Estádio.11, tendo por isso uma importância secun-
dá ria na segurança estrutural. Recomenda-se armar a região de
pertubação como para tensões de coação, visando 1 imitar a abertu
ra de fissuras". O desenvolvimento do. presente trabalho, 1 imita
do apenas a teoria matemática, mostrará quão distante da verdade
estão as palavras do eminente Professor, o que tão brilhante de
monstrou teoricamente Ki;\SCIA(3l. ThÜrlimann mais recentemente,
quando do estudo da Teoria da Treliça Espacial Generalizada diz
que "Para seçoes abertas sujeitas a empenamento, esta teoria so
03
ê aplicada para membros nos quais o empenamento nao ê restringi-
do no suporte ou por tipo de carregamento. Neste caso o torçor
ê absorvido somente pela torção de Saint-Venant. Em outros ca
sos o empenamento pode ser da mesma ordem de grandeza que a tor-
çao de Saint-Venant. Atê aqui as soluções não foram estudadas p~
ra a resistência última nesses casos. Relembrando que com a. oco.!:.
rência do fissuramento, a rfgidez torsional diminui mais signif!
cativamente que a rígidez a flexão. Isto impõe uma grande influ
ência da torção de empenamento na carga última".
A bibliografia pesquisada mostr.ou-se farta .em notações
e símbolos para um mesmo conceito ou expressão; optou-se então
pela manutenção da grafia de cada autor consultado, ressaltando
se que em casos esporidicos algumas alterações foram efetuadas.
Contudo, procurou-se definir as grandezas junto às expressões as
quais integram.
O presente trabalho, início de uma linha de pesquisa: ini
dita no Brasil, procura ser um ponto de partida para os que .. se.i!
teressam.peUo estudo da torção de empenamento em materiais homogê
neos ou concreto armado e, em especial, um fundamento para pes
quisas posteriores que. venham a ser realizadas.
O avanço tecnológico na execuçao de estruturas em con
creto armado, oriundo da criatividade arquitetônica dos projetos
e necessidades econômicas, fari em futuro próximo que o estudo da
torção mista tenha um maior desenvolvimento, desejando-se que ob
tenha um grau de conhecimento .igual ao da flexão, com teori·a's eco~:
sistentes e de fiei! aplicação pritica. Na irea de prê-moldados
04
protendidos diversos problemas patológicos ocorrem e os engenhel
ros, por desconhecimento da Teoria da Torção Mista nao conseguem
diagnosticar os casos que se lhe apresentam, conforme constatado
junto a profissionais atuantes no ramo.
05
CAPITULO I
CONCEITOS INICIAIS
J,l DEFINICÃO DAS PROPRIEDADES.GEOMÉTRICAS DE UMA SECÃO ' '
1. 1. 1 - Conceituação:
As peças de material homogêneo comumente estudadas pe
la:.Resistência dos Materiais,dãq,l_ugar .. ,a expressões da geometria
das massas a seguir relacionadas, complementadas pelo conce:itodas
c a r a c te ri s t i c a s s e to r i a i s a o se t r a ta r d e peças em h a s te s d e par~
des delgadas.
Areada seçao transversal:
S - f S dS ..... .
2
Dimensão: [ L]
Momentos de 1~ ordem (Momentos Estáticos):
E - f s zdS ........ '
y
Ez = f s ydS ........
- 3 DIMENSÃO: LL]
Momentos de 2~ ordem (Momentos de Inércia):
( 1 • 1 )
( 1 • 2) \.·
( 1 • 3)
06
J = JS y z 2 dS ......... ( 1 . li )
Jz = JS
y 2 dS ......... ( 1 . 5) 4
DIMENSÃO: [L]
Produto de Inércia:
yz d S ......•• ( 1 . 6)
DIMENSÃO: [ L] 4
O símbolo de integral denota a realização de integra
çao sobre toda a área da seção transversal, referenciada a um s.i..§.
tema arbitrário "ZOY".
Para as peças abertas, compostas de hastes de paredes
- -delgadas, estes elementos da geometria das massas nao sao sufici
entes para caracterizar todas as propriedades geométricas da se
ção transversal. VLASSOV( 29 ) definiu então os elementos comple
mentares necessários, tendo em conta o conceito de área setorial.
llrea setorial:
Para as peças de pequena espessura em comparaçao com as
demais dimensões da seção transversal, pode-se admitir a efeti
vação do estudo de suas propriedades geométricas tendo-se em con
ta a linha média de seu perfil (Fig. 1.1).
7
.. y
• z
Fi Q. I. t
. . Definida uma origem "O" qualquer, denominada pÕlo, pe
la qual fica definido o sistema de eixos "ZOY"; iniciando-se o
cami nhamento da coordenada "ds" situada sobre o contorno da 1 i
nha média a partir do ponto "I", delimita-se uma área elementar
11 dS 11• Seguindo a mesma orientação e abordagem do problema efe-
tuada por SANTOS( 7 ):
l\rea elementar:
fazendo:
d s = rds
2
dw = 2d S = rd s
Integrando sobre todo o contorno da 1 inha mjdia do perfil:
~ rd s ........•. ,., = f so ( 1 • 7l
08
2
A dimensão de "w" e a de uma a rea: [ L ]
A grandeza definida pela equaçao (7), VLASS0V(29
) cha
mou de coeficiente de empenamento, denominação que com o desen
volvimento do estudo das peças abertas de paredes em hastes del
gadas, mostrar-se-á justificada.
Sendo a expressao do coeficiente de empenamento obtida
através de um caminhamento sobre a 1 inha média da seção transver
sal, é necessário a adoção de uma convençao de sinais para este
coeficiente, a qual adota como positivo o sentido em que o vetor
+ "r" varre a área "S" do eixo "Oy" para o eixo "Oz" (sentido dos
ponteiros do relógio).
A origem para a medição da abscissa curvilínea "s", p~
de estar situada em um ponto qualquer da 1 inha média da
transversa 1.
seçao
A arbitrariedade na escolha do pólo implica em um estu
do da variação do valor do coeficiente de empenamento quando
da mudança de posição do mesmo. Demonstra-se a seguir (Fig.l .2)
que a definição do_pólo é primordial no cálculo da área setorial.
z dz
Fig. 1.2
09
Para o triângulo AOC:
1 A1 = dz•y
2
Para o triângulo BOC:
A2 = dy (z + dz) 2
Logo para o triângulo AOB, obtém-se:
A = 2
[ ydz - zdy - dy•dz ]
Desprezados os infinitésimos de ordem superior:
A = 2
[ ydz - zdy ]
como:
w = 2S
dw = ydz - zdy ...... . ( 1 • 8)
O sistema de eixos coordenados em relação ao qual e o~
tida a área setorial, deve ser escolhido de modo a facilitar os
cálculos.
Na(Fig. 1,3)estão indicados os sistemas coordenados, a
linha média do contorno da seção transversal e o ponto "l "a par_
ti r do qual sera medida a variação da abscissa curvilínea "s".
1 O
y Y, Y2
V º2
b º1 o
Oc_ _________ z
Fiq. 1.3
Fazendo "w 1 (s)" a area setorial em relação ao sistema
através de:
( 1 • 9)
As relações entre os sistemas de referência sao dadas
por:
z 2 =z 1 -a y 2 =y 1 -b
Logo, reescrevendo a equaçao (1 .9):
( 1 .9a)
Então:
1 1
(1)() (1)() w 2 ( s) =w i( s) - b (z - z
1 1
) + a ( y -y 1
1 ) ( 1 . 1 O)
O índice superior entre parênteses indica em relação a
qual sistema se refere a coordenada. Sendo as coordenadas dos
pontos 111
11 e referidas a um sistema de eixos arbitrários"ZOY",
pode-se escrever:
( 1 • 1 1 )
Observa-se então que o deslocamento do pólo faz com que
a area setorial apresente variação de sua grandeza, relacionand~
se linearmente com as coordenadas do sistema arbitrário "ZOY".
A mudança do ponto 11 111, origem em relação a qual foi
marcada a abscissa curvilínea "s", altera o valor numérico da ex
pressao (1.11), pois o limite de integração inferior influi de um
valor constante na magnitude final da área setorial
matematicamente traduzida por:
w = f: r d s = f: 1
r d s + (z 1 1 - z 1 )r ..... .
y
Fig. 1.4
(Fig. 1 .4),
(1.12)
12
Definidos o conceito e expressao matemática para o
coeficiente de empenamento, por simples analogia, ficam defini
das as demais propriedades setoriais da seção transversal.
Momento setorial estático:
Ew = f S w • d S •.......•
4
Dimensão: [ L J
Produtos Setoriais de Inércia:
= f y 0 wd S ••..•.. s
Dimensão: [ L JS
( 1 · 1 3)
( 1 • 1 4)
( 1 • 1 5)
O Índice 11 0" define o pÓlo em relação ao qual foi obti
do o produto setorial de inércia.
Momento setorial de inércia:
J w = f S w' • d S ...... .
6
Dimensão: [ L J
( 1 • 1 6)
l 3
1.1.2 - Centro de Cisalhamento
A definição de centro de cisalhamento, ponto em torno
do qual girará a seção transversal quando solicitada por um mo
mento torçor, é apresentada de maneira sucinta.
Para os sistemas coordenados mostrados na Fig. l.5 es-
tão indicados todos os elementos necessários para a dedução mate
mática que se segue.
y
o,~-------- z,
L-------------Z
Fiq. 1.5
Tendo- se em conta a exp res sao ( 1. 11) para os sistemas
11 Z G Y 11 , bar i cê n t r i c o e "Y I OI Z 1 " q u a l quer :
wG = w - b (z -z 1) + a (y -y 1
)
Com o ponto "A" (Centro de Cisalhamento) coincidente com
"0 1 " (origem do sistema de coordenadas arbitrário), tal que os
produtos setoriais se anulem:
l 4
= o
As relações entre as coordenadas dos dois sistemas se
escrevem:
b = y-y, a = z -z 1
Fazendo-se, por hipôtese, Ewz = EwY = O, tem-se:
Ewz = f5
wbdS
Substituindo o valor de "b":
O ponto "I" pode ser escolhido de modo a anular o mo
mento estático setorial:
f s wdS = o
Substituindo o valor de 11 wG":
onde:
1 5
Com as simplificações devidas ãs propriedades dos ei
xos baricêntricos principais de inércia, para os quais:
obtém-se:
JS YdS = JS yzdS = JS zdS = O
z = A
De maneira anâloga:
y = A
J y
1.1.3 - Sistemas de Coordenadas
( 1 • 1 7)
( 1 . 1 8)
Um sistema de coordenadas com pólo e raio inicial quais-
quer e denominado sistema bâsico, sendo definidas as seguintes
grandezas geométricas para o mesmo: S, Ey, E2 , Jy, J 2 , JYz' Ew,'
J w
Denomina-se sistema de eixos normalizados, o sistema
baricêntrico, com pÓlo qualquer e raio inicial tal que E = O,pa w -
ra o qual ficam definidas as grandezas geométricas:
Quando os eixos forem baricêntricos principais de inér
eia, o pÕlo for o centro de cisalhamento e o raio inicial for tal
que Ew = O, este sistema é denominado sistema de coordenadas prin
16
cipais, sendo as grandezas da geometria das massa as seguintes:
sas
O gráfico de posição das grandezas da geometria das mas
sugerido por V.M.W. Bornscheuer e transcrito por SANTOS( 7
)
ilustra de modo sugestivo as variáveis em função do sistema de
coordenadas adotado (Fig. 1 • 6) .
w· w
w
y z
F iQ. 1. 6
1 7
1.2 DEFINIÇÃO DE PEÇAS COM HASTES DE PAREDES DELGADAS
1.2.1 - Prólogo
A abordagem do estudo das estruturas compostas de p~
ças com hastes de paredes delgadas, se faz, primeiramente, atra
ves de uma definição concisa do que seja este tipo de elemento.
Os autores clássicos pouco divergem quando do estabelecimento de
um limite entre uma haste de paredes delgadas e uma haste espes
sa. Todas as definições formulam relações simples entre as di
mensoes geomêtricas das peças.
1.2.2 - Definições Clássicas
1.2.2.1 -Vlassov
Define as hastes com paredes delgadas como aquelas que
possuem a relação entre a maior espessura das paredes e a menor
dimensão da seção transversal e a relação entre a maior dimensão
da seção transversal e o comprimento da peça, ambas, menor ou
igual a um dêcimo.
e
1 O 1 O
onde:
18
t espessura da parede
dimensões transversais (altura ou largura)
comprimento da peça
1.2.2.2 - Kol lbrunner
Apresenta uma definição similar à anterior, caracter i
zando qualitativamente as peças com hastes de paredes delgadas
de eixo reto ou curvo, como as que possuem seção transversal que
contêm elementos de espessura pequena, relativamente as demais
dimensões, altura e largura.
1.2.2.3 - T.H.G. Megson
São os elementos estruturais cuja relação entre a es
pessura máxima das hastes que compõem a seção transversal e a me
nor dimensão dessa seçao (largura ou altura), não exceda a um
décimo.
t -max
b
t -max
b 1 O
espessura máxima da seçao
menor dimensão da seçao (largura ou altura)
1 9
1 .2.2.4 - Zbirohowski-KÕscia
Define hastes com paredes delgadas de maneira mais re-
finada, tendo em conta o "comprimento característico" das
tes, que se expressa atravês de:
onde:
G mõdulo de deformação transversal do material
E1
- mõdulo de elasticidade ou deformação longitudinal,
em conta o efeito de Poisson
Jt momento de inêrcia a torção
Jw momento de inêrcia setorial
has-
( 1 • 1 9)
tendo
Este autor estabelece os seguintes limites entre os va
rios tipos de hastes:
Hastes com paredes espessas:
- 1 k > 1 , O po 1 = 2,54 - 1
cm
Hastes com paredes espessas ou delgadas:
- 1 - 1 1,0 pol > k > 0,5 pol ou 2,54 cm-l > k > 1,27 cm-l
Hastes com paredes delgadas:
k < O, 5 po 1 - 1 = 1 , 2 7
20
- 1 cm
Complementa sua definição com a observação que o mome~
to de inércia principal setorial deverá ser diferente de zero
1.2.3 - Caso Particular do Concreto Armado
O concreto armado, como ficará demonstrado no Capítu
lo 111, apresenta um comportamento à torção diferente das estru
turas de aço, visto ser sujeito à fissuração, que altera sobre
maneira as "características geométricas da seção transversal". A
rígidez torsional de Saint-Venant "GJt"• sofre grande influência
neste tipo de comportamento peculiar ao concreto armado, decres
cendo para cerca de 20% de seu valor original (peça não fissura-
d a) . A rfgidez ao empenamento "E J "ou "EJ "para valores prá-1 w w
ticos, varia com a fissuração da peça, contudo, em menor magnit~
de que a rigidez torsional de Saint-Venant. Um estudo mais apu-
rado das rijLzas, torsional em fluxo de tens5es e de empenamen
to, será efetuado no Capítulo IV.
A sugestão de Kóscia de definir o tipo de haste de a
cordo com o valor do "comprimento característico", válida para
estruturas de aço, não se mostra eficiente para uma análise das
peças de concreto armado, visto que o valor de "k" apresentava-
riação para os diversos estágios de solicitação. Esta abordagem
não é recomendável para elementos de concreto armado.
2 1
A definição de Vlassov, levando em conta a relação en
tre dimensões da seção transversal e a relação entre uma dimen
sao transversal e o comprimento da peça, possibilita o enquadra
mento do estudo das peças com hastes de paredes delgadas em duas
categorias: longas e curtas. Aplica-se de maneira simples e efi
ciente aos elementos de concreto armado.
22
J,3 ESTUDO ANALÍTICO DO BIMOMENTO
1.3.1 - Equilíbrio Estático das Solicitações
1.3.1.1 - Eixos Coordenados
A Figura 1.7 ilustra o sistema de eixos cartesianos con
siderado sendo "A" sua origem. Introduz-se também uma coordena-
da setorial, isto é, orientada ao longo do eixo médio da
transversal. Para efetivação das deduções matemáticas,
seçao
conside
ra-se um ponto 11 8 11, qualquer, situado sobre o eixo médio da se
ção, o qual serve para orientação do sistema coordenado setorial.
dy
li
y
B
Fig. 1.7
1. 3. 1. 2 - Carregamentos Atuantes
Os carregamentos externos atuantes, no caso mais ge-
ral, sao apresentados na Figura 1.8. Com exceçao do carregame~
to "px"' os demais podem ser substituídos por sua resultante. A
23
hipótese da rfgidez transversal simplifica a análise, visto po
der-se deduzir parte das equações de equilíbrio estático como se
a peça fosse as usualmente consideradas na Resistência dos Mate-
r _ia is.
F i9 . 1 . 8
24
1 .3.2 - Hipóteses Básicas
No estudo das peças em hastes de paredes delgadas sao
feitas as seguintes premissas simplificadoras:
1) A forma da seçao transversal permanece inalterada.
2) A distorção na superfície média da haste é desprezada.
3) Um elemento linear perpendicular à superfície média da seçao
transversal, após a deformação da peça, permanece reto e per
pendicular a superfície média deformada, sem alteração de com
primento.
Além das hipóteses enumeradas, pode-se acrescentar no
presente estudo as seguintes considerações:
a) No regime de pequenas deformações, estas nao influenciam as
ações ou esforços na seção.
b) O eixo médio da seção transversal e retilíneo por partes.
c) A seçao transversal e constante por partes.
d) O material que compõe a peça possui comportamento rígido-plá~
tico ou elasto-plástico.
e) O comportamento como placa e desprezado face ao comportamento
como chapa.
CHAPA PLACA
Fig. 1.9
25
Supõe-se que a seçao apresente rigidez transversal su
ficiente para que seja considerada rígida. Esta premissa é fun-
damental para o desenvolvimento teôrico do presente estudo. A
consideração de material rígido-plástico, por ser mais geral, en
globa os materiais elasto-lineares, com as relações a seguir ob-
tidas servindo para este caso particular. A assertiva (e) perm.!_
te que seja desprezado o efeito da torção de Saint-Venant neste
estudo.
1 .3.3 - Condições de Equilíbrio
Seja a peça representada pela su.a superffci·emédi.a seçao
transversa 1. Considere-se um trecho elementar "dx"; para as
açoes representadas na Figura 1 .10, tendo-se em conta as equa-
ções de equilíbrio estático e adotando-se as hipôteses
anteriormente enunciadas, obtêm-se as seguintes relações:
Q•dQ'-d,l ' d,
'M•~-d li .., d:ii: J;
dM M,~·d•
Zr·dx d,
F i9. 1. 10
básicas
26
na direção O.Z:
(Q + z
dQ z
dx = o • dx) + p dx - Q z z
dQ z Pz = -
dx
- ( M + z
dM z • dx) - m z
dx + r dx•! dx + M + (Q }dx=O y 2 z y dx
dM z -- + º·y
dx
na direção OY:
dQ ( Q + _j_
Y dx • dx) + p dx - Q y y
- (My +
dQ p y = - _j_
dx
dM _y • d X) - my dx
dM my = - _j_
dx
na direção O.X.:
(T + ~-dx) dx
m X
= +. dT dx
-
........
1 dx + Pz dx •- dx 2
o ·,: ........
--·m dx-T=O X
- o
+ M - Qz dx = o y
( 1 • 2 O)
( 1 • 2 1 )
( 1 . 2 2)
( 1 . 2 3)
(1.24)
27
Para o caso particular em que "px" coincide com o eixo
"AX" tem-se:
(N + dN dx) + p dx - N = O X
dx
= - dN
dx (1.24a)
A rfgidez da seçao permite que na direção transversal
as açoes sejam substituídas por suas resultantes, o mesmo nao o
corre na direção longitudinal, visto que a peça pode empenar pa-
ra fora do plano da seção.
se reduz a uma resultante.
t z
A ação normal "p" (Figura 1.11) nao X
Fig.I. 11
28
1.3.4 - Condições Cinemáticas
Na Figura 1.12 a seçao transversal é dotada de um sis
tema setorial de coordenadas que em conjunto com o sistema car
tesiano baricêntrico mostrado, define, para cada ponto da peça,
os deslocamentos i;(s,x), n(s,x), 8(s,x) em relação ao ponto "G";
com a consideração de rijeza transversal, estes deslocamentos p~
dem ser escritos como funções i; (x), n (x), 8 (x).
II
z
Fig . r. 12
A distorção do eixo médio do contorno é considerada nu
la, traduzindo-se matematicamente por (Figura 1.13):
au av Yxs = + - = O
as ax ( 1 • 25)
Logo:
au av =-- ( 1 • 26) as ax
.. "C
s
29
õu du = as ·ds ----I
I I I I I I I -------
M
dx
Fig. 1.13
M --, --I I I I I I " ,:, --- >I" ,0,0
" > "C
X
As expressoes deduzidas por Vlassov partem da conside
raçao do eixo médio da seção transversal não deformada e o eixo
médio desta após a deformação (Figura 1.14), podendo-se escrever
para v(x,s), deslocamento do ponto "M" em relação ao deslocamen
to do ponto "A", a seguinte expressão:
v(x,s)=~(x)cosa(s)+n(x)sena(s)+h(s)8(x) ( 1 • 2 7)
onde os termos do membro direito da equaçao traduzem deslocamen
tos lineares e angulares, os quais estão definidos na Figura 1.14.
o<(. j
y
TANGENTE NO PONTO U
3 o
z
F i O. 1. 14
M
M'
DEFORMADA
Integrando a equaçao (1.26) ao longo da coordenada se
torial, obtém-se para o deslocamento u(x,s) do ponto "M":
u(x,s) = uo(x~
sendo uo {x).
- J: dV • ds dX
(1 .28)
ume função de integração.
Derivando-se em r e 1 ação a i:i x 11• e te n -
do em conta que o ângulo "a" e a distância "h" sao funções ape-
nas da coordenada setorial "s", chega-se a:
31
ov(x,s) = di';(x) cosa(s) + dn(x) sena(s) + d8(x) • h(s) ...•.. ( 1 . 2 9) dX dx dx dx
de considerações geométricas (Fig. 1.14), deduz-se:
cosa(s) = d z ( s)
( 1 . 3 O) ......... ds
sena(s) = d y ( s)
(1.31) ......... ds
h ( s) = dw(s)
(1 .32) ........ ds
As expressoes (1.30), (1.31) e (1.32) substituídas em
(1.29), originam:
ov(x,s) = i=;'(x) dzís) + n' (x) dy(s) + 8 , (x) dw(s) ( 1 • 3 3) dX ds ds ds
Expressão que 1 evada a equaçao ( 1. 28), fornece:
u(x,s) = u 0 (x) - [/=;' (x) J: dz(s) + n' (x) I: dy(s) +
+ 8' (x) J: dw(s) J ( 1 • 3 4)
Efetuando as integrações:
u(x,s) = uo (x) -F;' (x) (z-zo)-n' (x) (y-yo)-8' (x)(w-wo) .... (1.35)
32
Os produtos I;' (x)z 0 , n' (x)yo, 8' (x)wo, de constantes
numéricas por derivadas primeira de funções dependentes apenas
de "x", podem ser agrupadas à função uo (x,) , originando a ex
pressao final para o deslocamento do ponto "M" ao longo do eixo
u(x,s)=uo (x) -1;' (x)z(s)-n' (x)y(s)-e' (x)w(s) ( 1 • 3 6)
onde uo(x) e uma nova função de, 11 x 11•
As funções que compoem a equaçao ( 1. 36) sao:
u o (x ) deslocamento linear normal ao longo do eixo GX
i;' (x) deslocamento angular segundo o eixo GY
n 1 (X) deslocamento angular segundo o eixo GZ
6 ' (X) deslocamento angular segundo o eixo GX
z(s),y(s) - coordenadas cartesianas do ponto 11 M 11
w ( s) - coordenada setorial do ponto 11 M".
A função w(s) traduz o empenamento do ponto "M" para
fora do plano da seção transversal. Esta parcela foi inicialmen
te concebida por Vlassov em seu estudo sobre peças em hastes de
paredes delgadas.
1.3.5 - Deformação Específica
Para o ponto "M", qualquer, tendo-se em conta a conhe
cida fórmula da teoria da elasticidade para obtenção da deforma
ção específica segundo uma direção dada, escreve-se:
e(x,s) -
logo:
clu (x, s)
dX
33
(1.37)
6 (X, S) =u 1 (X, ) , -f; 11 (X) Z ( S) -n 11 (X) y ( S) -8 11 (X) W ( S) • • • ( 1 . 3 8) o
1.3.6 - Tensões Normais-Bimomento
Para um regime elástico linear determina-se a tensão
normal através de:
........... ( 1 • 3 9)
sendo:
E ( 1 • 4 O) 1 - v 2
onde:
E módulo de elasticidade longitudinal
E1 módulo de elasticidade longitudinal reduzido
v coeficiente de Poisson.
Substituindo a equaçao (1.38) em (1.39), tem-se:
o (x,s) = Edu' (x ) -f; 11 (x)z(s)-n 11 (x)y(s)-8 11 (x)w(s)] X O
( 1 • 4 1 )
Adotando-se um sistema de eixos principais e um diagr~
ma setorial principal, as seguintes considerações são assumidas:
34
E ; J yzdS; O yz s
E ; f wzdS; O , wy s
E ; J wydS; O wz s
E2
; J yd S ; O
s
Ey ; J zd S ; O
s
E - f wdS; O w - s
onde dS(s) ; dydz é um elemento de area e as expressoes anterio
res sao as conhecidas da geometria das massas.
Multiplicando-se a equaçao (1.41) por dS, ydS, zdS e
wdS, sucessivamente, realizando-se as integrações e eliminando
se os termos nulos, chega-se a:
com
N; J o(x,s)dS(s);
s
E1S u' (x) o
My; f o(x,s)z(s)dS(s)
s
M2
; f cr(x,s)y(s)dS(s); - E1 J2
11"(x)
s
( 1 • 4 2)
( 1 • 4 3)
( 1 . 4 4)
( 1 • 4 5)
B = J cr(x,s)w(s)dS(s) =
s
ou
N M z ( s) M
2y(s)
a (x,s) y = - + + X s J J y z
35
Bw ( s) + .........
J w
sendo as três primeiras parcelas do termo direito
(1 .47) já conhecidas da Resistência dos Materiais.
(1 .46)
( 1 • 4 7)
da equaçao
A expressao matemática (1.46) foi denominada bimomen-
to por Vlassov. O bimomento não pode ser determinado por sim-
pies considerações de equilfbrio e, portanto, uma ação fictfci~
auto-equilibrada e não influencia os deslocamentos lineares e an
guiares do eixo da peça e nem a rotação da seção transversal .Foi
um artiffcio lógico idealizado por Vlassov para explicar matemá
tica e fisicamente o empenamento da seção transversal.
1 .3.7 - Tensões Tangenciais
Seja o elemento retirado da peça em análise ( Figura
1.15).
s A
7 X
Px Fig. 1. 15
36
Para a condição de torção pura, tendo-se em conta que
a açao externa "p " é nula e a espessura da parede é variável ao X
longo do contorno médio e do comprimento do perfil, escreve-se a
seguinte equação baseada no equilíbrio estático do elemento:
acr(x,s)t(s)
dX = - a,(x,s)t(s)
as ( 1 .48)
frisando que ,(x,s)t(s) = q(x,s) denota o fluxo de cisalhamento.
1 ntegrando a equaçao ( 1 .48):
,(x,s) = - -t ( s)
acr(x,s)t(s)
ax • d s
Na tor~ão pura a tensão normal se reduz a:
cr(x,s) = - E16"' (x)w(s) ........
Substituindo-se (1.50) em (1.48) resulta:
onde Ew(s) = f w•dS denota o momento estático setorial.
s
1 .3.8 - Torção de Empenamento
( 1 . 4 9)
( 1 • 5 O)
( 1 • 5 1 )
O momento de torção em relação ao centro de cisalhamen
to produzido pelas tensões cisalhantes se escreve:
37
Tw(x) = J ,(x,s)t(s)h(s)ds
s
com dw = h(s)ds, tem-se:
Tw(x) = J ,(x,s)t(s)dw ....... .
s
Integrando esta Última equaçao por partes:
s o
- J = ,(x,s)t(s)
o s
a,(x,s) t(s)w(s)ds , as
e como as
( 1 . 5 2)
( 1 • 5 3)
con-
dições de contorno indicam tensão cisalhante nula nos bordos li
vres da peça, isto e, para s=O e s=so, logo:
ou
a,(x,s) t(s)w(s)ds · · · · · · as
Substituindo (1.48) em (1.54) vem:
-E,8'''(x)J w
e• ' ' (x) =
(1 .54)
( 1 • 5 5)
( 1 • 56)
Eliminando a variãvel 8"' (x) da expressao ( 1 .56) atra
ves da substituição de (1.51) nesta, tem-se:
38
,(x,s) = T (x) E (s) w w
( 1 . 57)
Ressalta-se a semelhança de (1.57) com a fÕrmula de
Zhuravski para as tensões cisalhantes na flexão simples.
O momento torçor total atuante na seçao e composto por
duas parcelas, uma referente ã torção de empenamento e outra re
ferente ã torção de Saint-Venant. Adota-se a forma aditiva para
formular esta relação:
T = T + T s w
( 1 • 5 8)
ou:
T ; 6' GJ - 6''' E1 J t w
. . . . . . . . ( 1 • 5 9)
Através do princípio da superposição dos efeitos pode
se escrever, para o caso geral de solicitação de torção e açao
cisalhante, a seguinte expressão:
T ; T Q + ( T +T ) s w
1 .3.9 - Equação Diferencial da Torção com Empenamento
( 1 • 6 O)
Ao segmento "dx" do elemento da peça, sujei to as sol i
ci tações torçoras indicadas na Figura 1.16, aplica-se a equaçao
de equilíbrio estático:
como
ou
39
Fig. 1. 16
dT = dT + dT , vem s w
dT s
-- + dx
dT w
Utilizando as relações
dT s
dx = GJ 6 11
t e dT
w
dx = E J e 1v
1 w
( 1 • 6 1 )
40
que substituídas em (1.61) resulta
= [ -1 ( 1 . 6 2)
sendo:
( 1 • 6 3)
A equaçao ( 1.62) e a equaçao diferencial da torção com
empenamento em função do ângulo de torção e docomprimento carac
terístico.
1 .3.10 - Equação Diferencial do Bimomento
A expressao ( 1 .62), tendo em conta as relações
e.. = - E J B 6IV = 1 w ' - E J B" 1 w
pode ser escrita da seguinte forma:
d 2 B dT - k2 B =
dx 2 dx
e
que e a equaçao diferencial do bimomento.
A solução de ( 1 .64) e da forma
dT
dx
( 1 • 6 4)
41
sendo "f" uma solução particular desta equaçao. p
A obtenção dos valores das constantes "c 1 " e "c 2 " e
feita através das condições de contorno do problema especffico em
estudo. Sendo para:
- Extremidades Engastadas
Rotação nula do eixo da peça - 8 = O
Inexistência de empenamento - 8' = O
- Extremidades Livres a Deformação
Dados - B; T = Ts + Tw
ou T = O s
- Engastes que Permitem Empenamento ("Apoio em Garfo")
Inexistência do Bimomento - B = O ou 8"=0
Rotação nula do eixo da peça - 8=0
1 .3.11 - Particularidades do Comprimento Caracterfstico
O comprimento caracterfstico possui importância funda-
mental no estudo das peças sujeitas a torção. Alguns autores a-
tribuem a este parâmetro a condlção d e fixar os l i mi te s d e d e-
finição do tipo do elemento em análise, ou seja, peças compostas
de hastes de paredes delgadas ou não. Porém, a essência da defi
nição desta variável é sua função de estabelecer a preponderân -
eia de um tipo de torção sobre o outro. Define pois se a torção
de empenamento prevalece sobre a torção de Saint-Venant ou vice-
versa, permitindo, de acordo com a sua magnitude, uma analogia
42
das fórmulas deduzidas para torção com as conhecidas
da flexão simples.
expressoes
Para valores de "k" próximos de zero ou nulos, a equa
çao (1.64) pode ser assimilada ã equação diferencial da linha e
lástica da flexão simples, simplificando os cálculos a serem efe
tuados.
similar a
Logo:
d 4 6
dx 4 = - ( 1 • 6 5)
( 1 . 6 6)
O caso particular em que k=O representa a torção de em
penamento pura, sendo nula a torção de Saint-Venant. O Quadro I.J
sintetiza a analogia existente.
Para valores muito grandes de "k" esta analogia nao se
aplica, como e o caso da torção de Saint-Venant pura,
J +O e k+00 • w
ou seja ,
A analogia demonstrada é intrínseca ã formulação does
tudo das peças abertas em hastes de paredes delgadas, visto as
premissas adotadas para esta análise serem as mesmas da flexão
simples. Estas peças especiais podem ser consideradas como pe-
ças bidimensionais referenciadas ao sistema de eixos "sOX".
QUADRO I.l
TIPO DE AÇÃO EXTERNA
Py Pz mt
CARREGAMENTO Q' E J slV Q' E1J n IV T' E1J 8
1v Py = - = Pz = - = mt = - = y l y z z ·w w
1 1 1
ESF.DE CIS. E MOM. TORÇOR Qy = M' = - E1J s Qz = M' = - E1J n ••• T = B' = - E1J 8 , •• y y z z ll) w
MOM. FLETOR E BIMOMENTO M = - E 1 J S 1 1 M = - E 1 J 2
n,, B = - E 1 J41 8 , ,
y y z
DEFLEXÃO s n e
ROTAÇÃO s' n' 8'
44
1.3.12 - Considerações Finais:
O conceito matemático de bimomento requer uma visual!
zaçao física para que o mesmo possa ser inserido nos cálculos
usuais de engenharia. A interpretação desta "solicitação" como
um "momento de segundo grau", isto devido à análise dimensional,
induz representá-la como indicado na Fig. 1 .18.
\.
Fig. 1.18
B = Ml', ( 1 . 6 7)
Nos cálculos hiperestáticos a representação adotada e
a da Figura 1.19.
a UI ® ~b r A A ("
15. ) )
l i j i
© l 1 l2 l3
Fig. 1 .19
A seta usual indica bimomento positivo na seçao esque~
da do apoio e a seta invertida indica bimomento negativo na se-
45
çao direita deste apoio, em tudo similar às notações e conceitos
da hiperestática clássica aplicada ao estudo da flexão.
Os apoios indicados na Figura 1.19 sao, da esquerda p~
ra a direita, em obediência a seqüência de ordenação, apoio sim
ples, "apoios em gar-Fos" e, finalmente, engastes.
O exemplo clássico de torção pura do perfil "I", reti-
rado de 0 ( 3) -
K SCIA , mostra claramente as deformaçoes sofridas pe-
lo mesmo e as solicitações que as originam (Figura 1.20).
ft rt ':::::- <q_ ~ -T l 9 lrs - + Tw
u > <:zt -Fig.1-ZO
A mesa e alma sofrem devido a torção de Saint-Venant
uma rotação 11 8 11, constante para todos os pontos. A torção de em
penamento origina um deslocamento linear "li" em cada mesa.
O bimomento, torção de empenamento e torção de Saint
Venant podem surgir em peças abertas em hastes de paredes delga
das sem que exista a ação externa de torção.
46
l,4 EMPENAMENTO TRANSVERSAL
As peças com espessura considerãvel ressaltam a pecu
liaridade da não uniformidade da distribuição de tensões normais
ao longo desta dimensão. A premissa de distribuição linear, não
uniforme, das tensões normais na espessura, acarreta uma flexão
em relação à 1 inha média do contorno, originando tensões cisalhan
tes.
---
Ú ( ,, 1)
y Fig. 1. 21
Referindo-se a peça em análise ao sistema cartesiano
principal e acrescentando-se um eixo "n" contido no plano da se
ção transversal e normal à 1 inha média do contorno (Figura ) .22),
pode-se estabelecer relações matemáticas para esse empenamento.
47
n
~'f-------~º·
X
y Fig. 1.22
As tensões cisalhantes "T "oriundas da flexão devida xn
a distribuição linear não uniforme de tensões normais, originam
uma torção de empenamento secundária IIT * li {j) • Considerando-se a d is
tância 11 r II do eixo 11 n11 ao centro de cisalhamento, tem-se, n
a torção pura, o deslocamento segundo este eixo dado por:
e = r • e n
para
(1 .68)
O estudo do empenamento transversal faz-se tendo em
conta os deslocamentos segundo o sistema de eixos "nO'x" (Figura
1.23), admitindo-se como válida a hipótese da distorção nula no
eixo médio do contorno.
onde:
48
n
__ -, * au* -------- / du = êls .ds - /
1
/ I
/ / e--"1 e --'O ---
m M 'O
o du*
1 d•
Fig. 1. 23
* 3e 3u + - : o 3n
Oo equilíbrio estãtico vem:
OT xn ao* X
+ --on ox
: o
/ /
/ " 'O
mi" "' '° H m
'O
M'
X
o* - tensão normal devido ao empenamento transversal. X
logo:
u* : - J n
u* = - r n
3e d n
3x
d8 n -
dx
dn
( 1 . 6 9)
(1.70)
( 1 • 7 1 )
49
Analisando-se as condições de contorno tem-se que para
n = O obtém-seu*= O, portanto:
* d 2 8 (J * E
3u E = = - r n -- .. . . . .
X ax n dx 2
Levando (1.72) em (1.70) e integrando:
'[ xn
= E r n
r ndn + To
J n
. . . .
Como To= T para n = O e T = O para n = ± xn xn
t
2
( 1 . 7 2)
isto
e, nao existe tensão cisalhante na superfície da peça, obtém-se:
E r 8 111
'[ = n ( 1 • 7 3)
xn 2
A tensao cisalhante "T "dada por (1.73) produzirá um xn
torçor de empenamento, denominado secundário, dado por:
J. r r t/ 2 1
T* = r 1 1 '[ dn d s ........ ( 1 • 7 4)
ú! n
1 Lt12
xn
l )
T* = - EJ* 8 111 ( 1 • 7 5) w w
Através do desenvolvimento da Equação ( 1. 74) chega-se
a seguinte expressão para o momento de inércia setorial secundá-
ri o:
J * = w 1 2
50
t 3 r 2 ds n
( 1 • 7 6)
O momento de inércia setorial total se compoe de duas
parcelas, uma devida ao empenamento longitudinal e a outra origl
nária do empenamento transversal segundo o eixo "n".
JTOTAL w
= J w
+ J* w
( 1 • 7 7)
O empenamento transversal só apresenta finalidade de
estudo para peças com espessura apreciável. Para corpos homogê-
KRPAN(3a)
neos, J;, segundo ,
prezível portanto.
é da ordem de 2 a 3% de "J" w ' des-
51
CAPiTULO II
MECANISMOS DE RESISTÊNCIA A TORCÃO '
II.l REVISÃO DO ESTUDO DA ToRCÃO '
11. 1. 1 - Torção em Peças de Ma teria 1 Homogêneo
11 .1 .1 .1 - Seção Circular
O estudo do comportamento das peças circulares de mat~
ria] homogêneo solicitadas à torção, foi desenvolvido primeira-
mente por Coulomb em 1784, sendo produto
comportamento das cargas elétricas(i).
de seu estudo sobre o
são a seguir apresent~
das , as hipóteses básicas e as relações obtidas para as peças,
cheias ou vazadas de parede fina, de seção circular.
Hipóteses:
a) A forma da seçao transversal permanece inalterada apos a de
formação de torção
b) Não há empenamento da seçao, isto e, a seçao permanece pla
na após a deformação de torção.
Das hipóteses pode-se concluir que a tensão de cisalha
mento e proporcional a deformação angular.
52
Fórmulas
Relação tensão-deformação: T=Gy ....... .
onde:
G módulo de elasticidade
T tensão de cisalhamento
y distorção
E módulo de elasticidade
µ coeficiente de Poisson
sendo:
G = E
2 ( 1 +µ)
A 8
e o,.
T
l
transversal
longitudinal
fig.11.1
A -L.._ B
D· e- D r
( 1 1 • 1 )
( 1 1 . 2)
53
Equação de compatibilidade: y = Re .......
onde:
R raio da seçao
e ângulo de torção
Equação de equil Íbrio:
onde:
T = GJ 8 p
Jp -momento de inércia polar da seçao
T -momento torçor.
( 1 1 • 3)
(11.4)
Uma outra apresentação da equaçao de equilíbrio e
(Fig. 11.1).
T = T.R
J p
(11.5)
11 .1 .1.2 - Seção Retangular
As hipóteses utilizadas para a seçao circular, quando
aplicadas a seções de forma retangular, apresentam discrepâncias
da ordem de 20%( 1), motivo pelo qual não podem ser aplicadas a
este estudo. Foi Saint-Venant quem primeiramente, em 1853, ob-
teve a solução para a torção aplicada a seções retangulares,atr~
vés da aplicação da teoria da elasticidade. Apresentam-se, res~
midamente, as relações obtidas para as peças retangulares maci
ças (Fig. 11.2).
54
Fórmulas:
Equação de equilíbrio: T T , = max a a b2
( 1 1 • 6)
onde:
a coeficiente dado na tabela 11 .1
a maior dimensão da peça
b menor dimensão da peça
Distorção: y = S a b 3 G
( 1 1 • 7)
onde:
S coeficiente dado na tabela 11 .1
i comprimento da peça
FiQ. 11.2
55
TABELA Il.1
a/b 1 1 ,il 1, 75 2 2,5 3 4 6 8 10 .. "' 0,208 0,231 0,239 0,246 0,258 0,267 0,282 0,299 0,307 0,313 0,333
~ 0,141 o, 196 0,214 0,229 0,249 0,263 0,281 0,299 0,307 0,313 0,333
11 1,000 0,859 0,820 0,795 0,766 0,753 0,745 0,743 0,742 0,742 0,742
11 .1.1.3 - Seção Composta de Retângulos de Paredes Delgadas
Para as seçoes em forma de T, L, U, etc ... , foi desen
volvida por BACH(i) uma formulação aproximada para o comportame~
to à torção. Apresentam-se, resumidamente, as hipôteses básicas
e as relações obtidas paras estes casos.
Hipõteses:
a) A espessura de cada parede do perfil e pequena, quando comp~
rada com as demais dimensões do mesmo.
b) A forma da seçao transversal permanece inalterada apos a de-
formação de torção (o ângulo de torção e o mesmo para
os componentes do perfil).
todos
1 L
FÕrmulas:
.. -t,
..
56
L
' ~1
t'
Fig. 11.3
1 l L
' • :1
t, t, .. -..
Relações geométricas: t 1 << L, t 2 << H, t 1 << H (Fig. 11 .3)
Equação de equilíbrio: T = Ge E
onde:
C = E 3
T = T X ,
max
.e
3
X3 Y - constante torsional
x3 v ..... .
X , - maior espessura de um componente retangular max
X - dimensão da peça
Y - dimensão da peça
( 1 1 . 8)
( 1 1 • 9)
57
11 .1.1 .4 - Seções Vazadas - Fórmulas de Bredt
As expressoes (ll.14)e(ll.17)aseguir deduzidas, conheci
das na 1 iteratura técnica corrente como 1~ e 2~ fórmula de Bredt,
sao de suma importância na análise de peças estruturais, sobret!:!_
do as de concreto armado, visto que no presente, as peças maci
ças do referido material são assimiladas à perfis fechados com
paredes de pequena espessura, daí uma explanação um pouco
detalhada destas expressões.
mais
A análise será feita tendo-se em consideração um corpo
prismático, vazado, com parede de pequena espessura, não necess~
riamente constante, de material elástico linear (Fig. 11.4).
A tensão de cisalhamento, por tratar-se de tubo de pa
rede fina, é admitida tangente à linha média do perfil, sendopo__r:_
tanto, iguais, as tensões nas faces interna e externa do mesmo.
O equilíbrio no elemento indicado na Fig, 11 .4 se estabelece a
través de:
- Ttl1x + (T + dT t,s) (t + dt t,s) •l',x = O ••••• ( 1 1 . 1 O) ds ds
sendo:
T tensão de cisalhamento
t espessura da parede
s comprimento sobre a linha média do perfil
x comprimento ao longo da peça
58
As
Visto se(Jundo
Fig. 11.4
Desprezando grandezas de ordem superior:
d
ds (-rt)=O ...... . (11.11)
Da expressao (11.11) resulta a importante conclusão de
que o fluxo de cisalhamento é constante ao longo do contorno me
dio do perfil.
A equaçao que traduz o equil Íbrio entre o momento de
torção externo e o produzido pelas tensões tangenciais se escre-
ve:
{Tt) ds ( 1 1 • 1 2)
A integral fechada em(ll.12) indica o somatório efetua-
59
do ao longo do perímetro do eixo médio do perfil.
onde:
T -+ r -A -
o
Da análise vetorial vem:
f+ +
rAd s +
= 2A i o
Logo conclui-se que:
T = T
2A t o
momento de torção
raio do eixo médio em relação
area definida pela 1 i nha média
ao ponto li o li
do per f i 1 do
( 1 1 . 1 3)
( 1 1 • 1 4)
tubo
No regime elástico 1 inear, com carregamento monotôni
co e crescente, faz-se uso do princípio da conservação da ener
gia, igualando-se o trabalho externo originário do momento tor
çor aplicado e a energia de deformação interna, ocasionada pela
deformação do eixo da peça. Ou seja:
WEXTERNO = WINTERNO (11.15)
ou:
T• 8 = ( 1 1 • 1 6) 2 2 G
60
Logo:
d6 T = (11.17)
sendo:
e ângulo de torção
G módulo de elasticidade transversal
t comprimento da peça.
II. 2 ToRcÃo DE SAINT-VENANT EM PEcAs DE CONCRETO ARMADO -' '
COMPORTAMENTO MECÂNICO
11.2.1 - Considerações Iniciais
As peças de concreto armado sujeitas a torção possuem
três estágios distintos de funcionamento. Para ações solicitantes
pequenas, a fissuração praticamente inexiste, podendo-se então
considerar a seção transversal como integral, aplicando-se os pr.9.
cedimentos utilizados em peças homogêneas e elásticas. Em um nf
vel intermediário de cargas, o qual é limitado arbitrariamente,
nao possuindo 1 imites definidos, as teorias elásticas, apesar do
aparecimento de fissuras, ainda podem ser utilizadas; porem, o
mecanismo de resistência interna da peça já possui modificação
considerável de funcionamento. No Último estágio, com a peça a
presentando fissuração desenvolvida, o mecanismo de resistência
passa a ser inelástico, requerendo um modelo matemático mais ela
ttorado, que traduza adequadamente o seu comportamento.
61
O estabelecimento dos limites entre os três estágios
é difícil, pois a peça apresenta fissuras para valores baixos de
solicitação. Como um valor arbitrário para limitar os estágios
elástico,com pouca fissura e inelástico, COLLINS( 4 ) recomenda o
valor da tensão do aço menor que a tensão de escoamento do mesmo
e a tensão máxima do concreto como 50% de sua resistência a com
pressao, isto é:
f < f s y
e
São transcritas as principais considerações sobre o
comportamento mecânico das peças de concreto armado, obtidas na
1 iteratura corrente.
11 .2.2 - Peças Plenas somente com Armadura Longitudinal
O comportamento das peças lineares de concreto armado,
cuja armação é composta apenas de armadura longitudinal, aprese~
ta a curva momento torçor versus ângulo de torção por unidade de
comprimento conforme indicado pela Fig. 11 .5.
T
o~---=-----------~ 8CR 8
Fig. 11.5
62
Para valores inferiores ao momento torçor de fissura-
çao (Cracked) TCR' o delineamento da curva momento torçor versus
ângulo de torção por unidade de comprimento é similar aos das p~
ças de concreto simples, não apresentando a armadura longitudi-
nal qualquer acréscimo ponderável na resistência da peça ao efel
to de torção. Por este motivo, o estudo das peças compostas ap~
nas de armadura longitudinal, pode ser desenvolvido, aproximada
mente, através da teoria de Saint-Venant aplicada ao concreto
simples, conforme indica HSU( 1 ). Para as peças com pequena taxa
de armadura longitudinal, a ruptura pode se dar imediatamente a-
pós ao momento torçor de fissuração. Peças com armadura longit~
dinal de grande monta, apresentam resistência a ruptura da ordem
de 15% superior ao torçor de fissuração (Fig. 11.6).
T
TMÁX ..;:;;;._...""'-;~=--FORTEMENTE ARMADA
FRACAMENTE ARMADA
o '---~---------=-e-8cR
Fig. 11.6
Os ensaios demonstram que somente a armadura longitudl
na 1 e i nüt i 1, indiferentemente de sua posição na seçao transver-
sal da peça, isto é, nos cantos ou distribuída nas faces. Ao se
desprezar os efeitos secundários, encavilhamento e"efeito de re
bi te"da armadura, a peça funciona, aproximadamente, como se de con
ereto simples fosse.
63
11 .2.3 - Peças Plenas com Armadura Longitudinal e Transversal
Os ensaios executados para as peças cuja a armaçao e
composta em igual percentagem de barras longitudinais e estribos
verticais, mostraram a existência na curva momento torçor versus
ângulo de torção por unidade de comprimento de duas fases distin
tas (Fig. 11.7).
600 ~ ~
~
' :!' 500
~
o ~ ~
o 400 ... o ... z ~ .. o 300 "
A TORÇOR ~E { 200 B F ISSU RAÇAO
100
( GC lsr. Venant o L--'-----'-----.l----'----'---'---'--'
O 20 40 60 80 100 120
ÃNGULO OE TORÇÃO POR UNIDADE OE COMPRIMENTO _, (10 DEG/IN)
Fig. li. 7
Na fase 1 a peça ensaiada apresenta uma linearidade fÍ
sica, nao apresentando ainda fissuração, o que corresponde ao
trecho "OA" do gráfico plotado. Após atingir um patamar de es-
coamento, trecho "AB", a peça se deforma ã torção com um carreg~
menta constante, apresentando as primeiras fissuras. Na fase 2,
já com a fissuração em pleno desenvolvimento, a peça atinge o es
tado final de ruptura, trecho "AC". Na fase 1, peça com respos-
ta 1 inear, a tangente do ângulo formado pelo trecho "OA" com o eixo hori-
64
zonta l é o mõdu lo de torção de Sai nt-Venant "CG", de fác i 1 obten
çao gráfica ou analiticamente. As dificuldades se tornam maio-
res quando da anã li se da fase 2, pois o mõdu 1 o de torção "CG" ª.!!
teriormente mencionado nao se aplica ao caso, sendo necessário
um cálculo mais apurado do mesmo, tendo em conta a fissuração da
peça.
A Fig. 11.8, transcrita de HSU(i), realça o comporta-
mento de várias peças com diferentes taxas de armadura total res
saltando que a rigidez torsional "CG" é pouco influenciada pelo
aumento da percentagem de armadura total das peças, corroboran-
do o fato de o cálculo da peça como concreto simples ser satisfa
tório. Esta e uma das razões para a consideração, no estágio i-
nicial não fissurado, de se aplicar a teoria de peças homogêneas
e elásticas.
600 fl ~
~
"é 500
~ o ~ ~
o 400 ,_ o ,_ z w ,. o ,. 300
TORÇOR ~E { 200 FISSURAÇAO
100
Pt, S.3%
lit ~,'
2.3%
Pt ~ PercenfoQem total de armadura ( illcluindo igual p1rc1ntoo111 dt armadura longltudinol e estribos J
(GC lst. Venant o L-..L...-L---'----'---'---'----'----'
O 20 40 60 80 100 120
ÃNGULO OE TORÇÃO POR UNIDADE OE COMPRIMENTO _, ( 10 DEG/ IN)
Fig. 11.8
O mecanismo de equ i 1 Íbr i o interno de uma peça de con
creto armado sujeita à torção faz com que junto as arestas (Fig.
11.9), as bielas de concreto (modelo da treliça generalizada) tr~
balhando à flexo-compressão e os estribos solicitados a tração,
originem um sistema de forças que tende a expulsar o capeamento
existente nestas arestas. Para carregamentos elevados o estribo
não é capaz de evitar o rompimento destas capas de concreto. E~
ta fragmentação do concreto de cobertura não influencia o momen
to torçor de ruptura, mas afeta o momento torçor de
ou seja, para maiores espessuras de cobrimento das
tem-se um acréscimo nesta grandeza.
fissuração,
armaduras,
·-..: .. ·. : ,O. . -.;· •. ··:· . :-' =- / Troçõo no Estribo~ - -,', 1.~ .. ........ ~.,.'f/ \!_ .. =-..•
I 1o·: ·:: . #. ·)· : : • :_ =-. j .. . .
:'• comprenõo no concreto
comprusõo no concreto
Face exterior .. •Õ V do concrt~ t f t
J--TrOÇÕO cobri1tento
na ESfribo ------J pleno
cobrimento fr01J1Rtntodo
Fi;.11.9
11.2.4 - Modelo da Treliça Espacial Generalizada
11.2.4.1 - Escôrço Histórico
A idéia de explicar o funcionamento do mecanismo inter
no de resistência à açao cortante das peças de concreto armado
através da concepção de um modelo de trel.iça, originou-se com
Ritter e Morsch nos primórdios do século. A capacidade do mode-
66
lo de treliça, inicialmente concebido com ângulo de inclinação
das bielas comprimidas igual a 45°, foi corroborada pelos ensaios
experimentais realizados, motivo pelo qual este processo de aná
lise foi adaptado às normas de diversos países e com algumas po~
cas modificações chegou aos dias atuais.
Em 1929, Rausch, seguindo a idêia original de Ri tter-
Morsch, desenvolveu uma tese sobre o modelo de treliça espacial
com bielas comprimidas a 45º, que se mostrava adequado para ana
lisar o comportamento de peças de concreto armado sujeitasà tor
-çao. Contudo, talvez devido ao fato de os ensaios à torção se-
rem poucos, esta teoria nâo recebeu acrêscimos importantes duran
te os anos seguintes.
A partir da dêcada de sessenta houve um súbito interes
se na pesquisa experimental das peças de concreto armado -prote~
dido sujeitas à solicitação de torção. Em 1968 foi rea 1 i zado na
cidade de Detroit um seminário do American Concrete lnstitute
(ACI), culminando com a publicação "Torsion of Structural Concrete
SP-18", que contêm interessante coletânea de ensaios realizados.
Os trabalhos dessa publicação norteavam-se pela teoria formulada
por Lessig, denominada teoria da flexão oblíqua
Theory).
(Skew Bending
Em contrapartida, surgia na Europa, principalmente na
Suíça, Alemanha e França, uma linha de pesquisa teórico-exper_!_
mental ,vis'ando a generalizar o modelo de treliça espacial. Este
modelo de análise, com alguns resultados coincidentes com os ob
tidos pela teoria da flexão oblíqua, possui mais arcabouço cientí
fico, ê adaptável a qualquer tipo de seção transversal e fornece
67
um tratamento uniforme aos casos de solicitações combinadas de
torção com flexão e torçao com flexão e cortante. A treliça es
pacial generalizada permite o estudo da r(gidez torsional apõs a
fissuração.
11.2.4.2 - Conceitos Básicos
A treliça espacial generalizada é um modelo da peça
fissurada, atuando pois em regime plástico; tendo-se em conta que
a mesma so estará sujeita à ruptura dúctil, isto é, que ela e
sub-armada, os dois teoremas básicos da plasticidade podem ser
aplicados.
Teorema Estático ("Lower-Bound"):
Dado um carregamento para o qual existe um estado de
tensões (ou esforços internos), estável e estaticamente admi ss í
ve l, este sera menor ou igual ao carregamento de colapso.
Teorema Cinemático ("Upper-Bound")
Dado um carregamento para o qual existe um estado cine
mático de deslocamentos, admissível e instável, este sera maior
ou igual ao carregamento de colapso.
11.2.4.3 - Modelo Mecânico
O modelo mecânico para uma seçao transversal genérica,
formada de trechos retilíneos (Fig. 11.10) e composta de armadu
ras longitudinais distribuídas ao longo do perímetro da seção (na
68
análise serao consideradas agrupadas nos cantos) as quais funcio
nam como "tirantes"; estribos verticais com espaçamento constan
te e bielas diagonais de concreto sujeitas à flexo-compressão sl
tuadas entre duas fissuras inclinadas. O ângulo das "diagonais
de compressão" com o eixo longitudinal da peça e considerado cons
tante para cada face da seção transversal.
IDEALIZAÇÃO
z
Fig.11.10
A consideração de seção sub-armada e a utilização de
um diagrama elasto-plástico perfeito para os tipos de aço, longl
tudinal e transversal, torna possível a aplicação dos dois teore
mas básicos da teoria da plasticidade.
il.2.4.4 - Seção Transversal em Caixão
A importância da seçao transversal em caixão provem do
fato que atualmente a concepção estrutural das pontes de grandes
vaos e de adotar este tipo de seção, com suas variantes multice-
1 u 1 ar. Outro fato que a destaca, é que as seçoes retangulares
maciças se comportam à torção como se em caixão fossem.
11. 11 ilustra o modelo considerado.
A Fig.
Ili'
~
69
' q
__!_ Ao tz;, t_ ..
----b"
b'
b
Fig. 11.11
2
.
J h' b
.
Através de considerações de equilíbrio, utilizando- se
a 1~ equação de Bredt, a tensão na diagonal comprimida,
da de um ângulo "a", se obtém através de:
T
2A0
tsenacosa
i nc 1 i na
( 1 1 • 1 )
E as equaçoes que permitem obter as forças na armaçao
longitudinal e nos estribos são, respectivamente:
R Q, l: F Q, T.u
( 1 1 . 2) = = cotga ............ 2A
o
Fh T.s tga ( 1 1 • 3) = ............... 2A
o
70
onde:
Rt = ~ Ft - resultante das forças longitudinais nas armaduras
u perímetro dos estribos
A0
área delimitada pelo perímetro dos estribos que interligam
as armaduras longitudinais agrupadas nos cantos da seção
s espaçamento dos estribos.
A aplicação do teorema estático permite escrever:
( 1 1 • 4)
( 1 1 • 5)
sendo 11 A 11 11 A 11 e 11 f 11 11 f 11 as areas das armaduras e ten-st ' sh yt 7h
sões de escoamento das mesmas, na direção longitudinal e trans-
versal, respectivamente.
Para o momento de torção último têm-se as relações:
donde:
T = u
Tu=
tga
2A A 0 •f 0 O Sx. yx.
u
s
/
A •f •u = sh yh
A •f •s st y t
t ga ..•.......... ( 1 1 • 6)
cotga ( 1 1 • 7)
( 1 1 • 8)
71
(A 0 •f 0 ){A h•f h) S,<, X"' s y (11.9)
u.s
O ângulo de inclinação das bielas comprimidas deve a
tender a seguinte limitação:
0,5 (; tga (; 2 ( l 1 • 1 O)
A equaçao (11.10) e uma adaptação da análise teórica
das considerações cinemáticas referentes a abertura das fissuras
e às deformações específicas nas armaduras longitudinais e trans
versais, à real idade dos ensaios efetuados
10 ESCOAMENTO
e:R DO AÇO
e:y LONGIT.
8 ER 2 -g;- = 1 +cot oc
6
5
4
2
o o• 15°
130º 45° so• 75º 90°
tg .. ~ / 2,0 015 IIIE
Fig.11.12
72
O modelo da treliça espacial generalizada, fecundo em
resultados teóricos comprovados pela experimentação, e estudado
minuciosamente por THÜRLLIMANN( 31) e LAMPERT et.:alii ( 32
)
As bielas de concreto sofrem uma solicitação de flexo
compressão, necessitando de uma superposição de efeitos de com
pressão uniforme e de flexão. A tensão devida à flexão pode a
tingir de duas a três vezes o valor da tensão proveniente da com
pressão uniforme.
(11.11)
onde:
a - tensão de compressao uniforme na biela devida a torção. c
ºF - tensao de flexão devida a torçao.
11 .2.5 - Teoria do Campo de Compressão Diagonal
11.2.5.1 - Escórço Histórico
Com o desenvolvimento do modelo da treliça espacial g~
n era 1 i z a d a , M I Te H E L l e e o L L f N s( 4 2 ) for m u 1 a r a m nos i d os d os anos
setenta a teoria do campo de compressão diagonal para a anál i
se de peças de concreto armado-pretendido sujeitas à torção. Es
ta teoria baseia-se na pesquisa de Wagner efetuada em 1929, so
bre o comportamento dos perfis de aço com almas delgadas face a
ação cortante, após a flambagem dos mesmos.
73
11 .2.5.2 - Premissas Básicas
O modelo mecânico adotado leva em conta as seguintes con
siderações:
1. Após a fissuração da peça a torção é resistida através de um
campo de tensões diagonais de compressao no concreto, que foL
ma uma espiral com inclinação constante ao longo do eixo lon
gitudinal da peça.
2. Impõe a igualdade entre o ângulo de inclinação da tensão pri~
cipal de compressao e o ângulo de inclinação da deformação es
pecífica principal de compressao.
A curvatura das bielas inclinadas é levada em conta,
sendo consideradas como espessuras das mesmas a distância entre
a face externa da peça e a 1 inha neutra da mesma, visto que a s~
licitação a que estão sujeitas é a de flexo-compressão(Fig.11.13).
A deformação específica "€ds" é suposta distribuída 1 inearmente
através da espessura da biela de compressão. Os coeficientes 110. 111
e "B" mostrados na Fig. 11.12 transformam o diagrama real de ten
sões em um diagrama retangular equivalente.
•1,
FLUXO DE CISALHAMENTO - q
74
Fig. 11.13
RESULTANTE DAS TENSÕES
fdticit;o
A relação entre a curvatura da biela comprimida e o
ângulo de torçao se escreve:
</> = 8 se n 2a. ........•..•. ( 1 1 • 1 1 )
Combinando esta expressao com a relação entre a curva
tura e a deformação específica de compressão da biela "6ds" reti
rada da Fig. 11.13, tem-se:
</> = (11.12)
De ( 11 .12) fica demonstrado que a deformação específl
ca máxima está situada na face externa da seção transversal.
Aplicando o princípio da mínima energia complementar,
obtém-se a equação de compatibilidade entre o ângulo de inclina
çao da tensão principal de compressão e as deformações específi
cas nas bielas de compressão, na armação longitudinal e na arma-
çao transversal.
onde:
6d + € (2) h p
o
75
ph perímetro da 1 inha média dos estribos
p0
perímetro do fluxo de tensões cisalhantes
( 1 1 . 1 3)
A posição da resultante de compressao na biela obtida
no diagrama retangular, é igual a O,Sa (Fig. 11 .13), o que dete~
mina a área delimitada pelo fluxo de cisalhamento
rímetro "p0
" do caminho deste fluxo.
IIA li
o e o pe-
A determinação completa de todos os parâmetros neces
sários a análise é obtida através de um processo iterativo, par-
tindo-se de valores inicialmente arbitrados para 11€ 11
ds ·
11.2.5,3 - Processo Iterativo de Análise
O roteiro da análise técnica e mostrado resumidamente
a seguir:
1. Arbitrar "6ds" (deformação específica da biela de compressao
na superfície da peça) e através do diagrama tensão-deforma
ção específica do concreto, obter os valores de "a'" e "S",
transformando-o em um diagrama retangular equivalente.
76
2. Estimar o valor de 11 a 11 (altura do diagrama retangular de ten
sões) através de:
a = Btd ........ . ( 1 1 • 14)
3. Com o valor de "a" dado por (11.14) e a geometria da seçao
transversal obter 11A 11 e 11P ,. o o .
4. Calcular a tensão na armadura longitudinal e transversa 1:
e Po [ ,, ph ", J ( 1 1 . 1 5) = -- + Ehtga -+ 2A tga Po sen2a
o
Sendo as expressoes (11.16) e (11.17) obtidas através
das relações geométricas e condições de equilíbrio:
a'B f A c o ( 1 - ! ) 2
- E ( 1 -ds
Sendo 11 s 11 o espaçamento entre estribos.
(11.16)
( 1 1 • 1 7)
Entrando-se com 11 6 11 e "E II no diagrama tensão-deforma h t
çao específica do aço das armaduras, tem-se 11 ft 11 e 11 fh 11' as ten-
sões nas armaduras longitudinal e transversal, respectivamente.
5. Calcular "a":
a = o. 1 f p
c o
+
77
o.'f S c
(11.18)
6. Comparar os valores de "a" obtidos nos passos "3" e "5". Se
nao forem iguais, repetir os passos 11 311,
11 411,
11 5 11 e 11 6 11 até
uma convergência.
7. Calcular o torçor e o ângulo de torção:
( 1 1 . 1 9)
e = E ds
( 1 1 . 20) 2 q
T = 2A0
q .. , ..••... (11.21)
Repetir os passos 11 1 11,
11 2 11,
11 3 11,
11 4 11,
11 5 11,
11 6 11, e 11 7 11
para vãrios valores de 11 €ds" para se ter uma completa
à torção.
11 .2.5.4 - Comentãrios Finais
resposta
Esta teoria analisa as seçoes simetricamente armadas
longitudinalmente com seção transversal genérica, sujeitas ape-
nas a so 1 i citação de torção. Pesquisa a taxa de armadura que g~
rante a ruptura dúcti 1 da peça (escoamento do aço). A aplicabi-
78
lidade desta análise se restringe ao caso de torção de
Venant, nao prediz, portanto, o comportamento de peças
à torção de empenamento.
Saint-
sujeitas
79
CAPÍTULO III
ANALISE DAS PECAS DE CONCRETO ARMADO SUJEITAS • A EMPENAMENTO
III.l CONSIDERACÕES INICIAIS •
Para as peças de concreto armado as fissuras surgem em
uma fase inicial, visto que as peças, mesmo durante a sua confec
çao, já apresentam fissuramento proveniente do tipo de cura ado
tado e retração hidráulica. Por este motivo a elaboração dos
cálculos, tendo-se em conta a consideração da seção plena não fis
surada em regime elástico e pura abstração, podendo-se na mai~
ria dos casos chegar-se a valores totalmente discrepantes da rea
1 idade.
A necessidade do estudo da análise elástica de tensões
de peças não fissuradas, visa, sobretudo, ao encadeamento de i
déias e estabelecimento de expressões mais gerais, procurando tr~
duzir da melhor maneira o comportamento real das peças. Adotando
esta sistemática, KàSCIA (,) obteve expressoes que relacionam a
fase elástica 1 inear não fissurada com a fase elástica fissura-
da.
III.2 PECAS NAO FISSURADAS COM COMPORTAMENTO ELÁSTICO
111.2.1 - Hipóteses Simplificadoras
As hipóteses básicas para a formu 1 ação de uma teoria de
80
análise de tensões, para peças homogêneas com comportamento 1 i-
near, sao:
a) as tensões sao proporcionais as deformações específicas;
b) o concreto nao resiste a tração
c) as superfícies planas permanecem planas
Em peças com paredes delgadas as mesmas podem empenar,
devendo-se então complementar com as seguintes hipóteses:
d) a forma da peça permanece inalterada sob a açao externa, is-
to ê, sofrendo uma rotação ou translação os pontos da peça
manterão sua posição relativa inalterada no plano da seçao
transversal, mas nao no sentido longitudinal.
e) a distorção na superfície média das hastes que compoem a pe
ça e desprezada.
f) um elemento linear perpendicular à superfície média da seçao
transversal, após a deformação da peça, permanece reto e pe.!:_
dicular à superfície média deformada, sem alteração do com
primento.
A hipótese (d) e justificada desde que a peça nao apr~
sente grandes deformações, pois considera a seção transversal s~
ficientemente rigida para absorver tensões transversais sem apr~
sentar deformações acentuadas. A hipótese (e) é uma general iz~
ção da hipótese (c), na qua 1 o efeito do cortante na deformab i 1 i
dade da seção ê desprezado; indica, portanto, que as tensões de
cisalhamento oriundas da torção de Saint-Venant, apresentam dis
tribuição linear e anti-simétrica em relação à linha média dahas
te que cornpoe a peça (Fig.
-- - -, --+i I t~7~-+
1 j -
81
1 1 1 • 1 ) •
1: -~ -----'----~ - ---- -t ----·--·-----------
1:
Fig. 111. 1
A hipótese (f) é a de Kirchhoff-Love para placas, jus
tificada pela pequena espessura das hastes na seção transversal
em relação às demais dimensões desta e ao comprimento da peça.
111 .2.2 - Anãl i se das Tensões
Adota-se na anãl ise de tensões a forma aditiva para a
obtenção da tensão máxima atuante, isto é, superpõem-se os efei
tos através da sorna algébrica das tensões para cada tipo de soli
citação atuante.
Para o caso geral de solicitação composta de momentos
fletores, esforço normal, cortante e bimomento, tem-se a expres
são para a tensão normal:
(J = p
A
B•w +
J w
(111.1)
82
Os termos indicados em (ltt.1) possuem o seguinte signifi-
cado:
a tensão normal resultante
P ação normal
M - momento fletor segundo o eixo OZ z My - momento fletor segundo o eixo OY
J2
momento de inércia segundo o eixo OZ
J - momento de inércia segundo o eixo OY y
Z abscissa
Y ordenada
B bimomento
w coordenada setorial
Jw momento de inércia setorial
A área da seção transversal.
A predominância de uma das parcelas da equaçao (111.1) so
bre as outras, é função dos esforços atuantes e das dimensões ge~
métricas da seção transversal. A parcela referente ao bimomen
to é geralmente desprezada em peças espessas; contudo, em estru
turas compostas de peças com hastes de paredes delgadas, sua con
tribuição é ponderável, sendo às vezes preponderante no somató
rio final das tensões normais.
III.3 PECAS FrssURADAS COM COMPORTAMENTO ELÁSTICO '
111.3.1 - Equações de Equilíbrio Interno
Para as peças fi ssuradas em regime elástico, KÕSCIA ( 3),
83
generaliza a hipótese das seçoes planas do seguinte modo: "As ten
sões internas em ambas seções, fissurada e nao fissurada, de con
ereto adequadamente armadas, se equivalem".
As relações entre as fases fissurada e nao
sao obtidas a partir das equações de equilíbrio:
fissurada
( 1 1 1 . 2)
a •Y •dA e e
(111.3)
a •Z•dA e e (111.4)
cr•w•dA - f a •w•dA - e e e
( 1 1 1 . 5)
Os índices nos termos a direita indicam tratar-se de
seçoes fissuradas (cracked) e as demais notaçoes possuem o mesmo
significado indicado anteriormente.
A indicação de f;·dA mostra
lizada na seção plena não fissurada e
tratar-se de integração rea
J ... dAc uma integração soe
bre a área de concreto fissurado. A segunda integração é efetua
da levando em conta a área de concreto comprimida e a area de con
ereto tracionado, através da utilização da relação entre os mo
dules secantes dos materiais.
84
A condição primordial para a validade da generalização
da hipótese das seções planas, é a armação adequada das peças,de
modo que o momento setorial de inércia da seção, fissurada ou
nao, sejam ambos ou nenhum deles igual a zero. Eliminando-se as
sim, a contradição de existir um momento de inércia setorial pa
ra a peça não fissurada com valor diferente de zero e igual a z~
ro para a peça fissurada, tornando impossível a formulação mate
mática do problema.
111 .3.2 - Tensões em Peças Fissuradas
As Figuras 111.2 e 111,3, retiradas de KÕSCIA( 3), ilus
tram o significado das notações utilizadas e convenção de sinais.
A formulação matemática para a tensão normal e obtida
de forma aditiva:
Mz Y My Z c c c c + --- +
JZc JYc
B w c c
onde para a seçao fissurada, leia-se:
a tensão na seçao fissurada (no aço ou no concreto) c
Ac área da seção fissurada
Y ordenada c
Zc abscissa
JZc momento de inércia segundo o eixo OZ
J - momento de inércia segundo o eixo Oy Yc
Bc bimomento
( 1 1 1 . 6)
85
WC coordenada setorial
J momento de inércia setorial WC
Mzc - momento fletor segundo o eixo 02
My c - momento fletor segundo o eixo OY.
X
;v~~ ? + My COMPRESSÃO - POSITIVO T TRAÇÃO-NEGATIVO
Fig.111.2
y
F iQ .111.3
As coordenadas (~Z.~Y) sao referentes ao centro de gr~
vidade da seção fissurada e os pontos "A" e "B", sao, respecti-
vamente, os centros de cisalhamento da seçao fissurada e nao fis
surada.
As relações geométricas entre os eixos principais da se
çao nao fissurada e fissurada se expressam por:
( 1 1 1 • 7)
As propriedades geométricas da seçao fissurada sao tra
duzidas através de:
A = Jc
dA c c
Jc z z c
JYc = cosa
J z y
86
.......
dA c
dA c
= Jc
y z dA c c
se na
J Y y dA c c c c c
---'------ -
J WC
sena
dA c
w2 c
cosa
........
Sendo a coordenada setorial da seçao fissura:
( 1 1 1 • 8)
( 1 1 1 . 9)
( 1 1 1 • 1 O)
( 1 1 1 • 1 1 )
onde "D" é uma constante de integração que depende da posição i -
nicial do centro de cisalhamento.
As novas coordenadas do centro de cisalhamento sao:
= - ( 1 1 1 . 1 2)
f z c
Y • dA c c ( 1 1 1 • 1 3)
87
As relações entre os esforços internos atuantes na se
çao fissurada e não fissurada, são obtidos facilmente através de
simples algebrismo, tendo-se em conta as relações e propriedades
geométricas de ambas as seções, donde:
Mzc = (M 2 - P•t:.Y) cosa - (MY - P•t:.Z) sena ... ( 111 .14)
Mvc = (M 2 - P•t:.Y) sena + (MY - P•t:.Z) cosa ...• ( 11 1. 15)
My J w •Y•dA + -c Jy A
w •Z•dA c
(111.16)
Este estudo mostra a necessidade da obtenção das carac
terísticas geométricas da seção transversal para um estágio fi~
surado. As relações deduzidas mostram a importância da fissura
ção no cálculo dos esforços solicitantes. As fórmulas obtidas re
!acionam apenas a ação normal e os momentos fletores, não incluem,
portanto, a ação cisalhante.
88
CAPITULO IV
ESTUDO DA j;.JGIDEZ TORSIONAL
IV.l INTRODUCÃO '
O Estudo da Rigidez Torsional de Saint-Venant no está
gio fissurado começou a ser abordado mais cientificamente nos i
dos dos anos setenta, partindo-se, primeiramente, de fórmulas em
píricas baseadas em ensaios de laboratório. Este procedimento
mostrou-se incapaz de predizer o comportamento de tipos qua i,s-
quer de seção transversal, visto a falta de arcabouço teórico p~
ra a sua genera I i zação.
Com a retomada da idéia da treliça espacial para o es-
tudo da torção, inúmeras teorias foram desenvolvidas; umas basea
das em condições de equilíbrio estático conjugadas com equaçoes
de compatibilidade de deformações específicas, outras fundamenta
das em conceitos de energia de deformação espec Íf i ca. Estes dois
caminhos de pesquisa visam generalizar o tipo de seção transver
sal e prever, aferindo-se através de testes de laboratório, o
comportamento da rigidez torsional no estágio Último de fissura-
çao.
A necessidade da obtenção de expressoes para exprimir
a rigidez torsional de Saint-Venant da peça fissurada advém do
fato que a fissuração acarreta uma queda de cerca de noventa po~
cento desta com relação ã rigidez torsional inicial da seção nao
89
fissurada. Para estruturas hiperestáticas, as condições de com-
patibi !idade de deformações requerem um conhecimento da rigidez
torsional, pré e pós fissuração. KARLLSON et alii (20) obtiveram,
para seções retangulares, redução de até 95% entre estas rijezas.
A rígidez à torção de empenamento da peça fissurada a-
presenta maior dificuldade de expressao. Para um tipo qualquer
de seçao transversal é obtida a curva B x 8", que pode ser traç~
da através de cálculos numéricos iterativos. Cada nível de soli
citação resultará em um valor específico de (EJW)CRº A fissura-
ção reduz o valor dessa variável, porem, em menor escala que a
sofrida pela rigidez torsional de Saint-Venant.
JV,2 TEORIAS EXISTENTES - TüRCÃO DE SA!NT-VENANT '
IV.2.1 - Método de HSU:
( l 2 3 ) A Teoria proposta por HSU ' parte de um novo con-
ceita para o módulo de cisalhamento da peça fissurada, podendo
ser aplicada a qualquer tipo de seção transversal. A premissa de
que o volume de concreto interior à armadura nao interfere na ri
gidez torsional, sendo o caminho do fluxo de cisalhamento parte
de uma camada de concreto que encobre exteriormente e internamen
te as armaduras, permite obter a rigidez torsional da peça maci-
ça fissurada como se vazada fosse. A expressão matemática obti-
da baseia-se no modelo da treliça espacial com bielas de concre
to inclinadas a 45ºe diferentes taxas volumétricas de armaduras,
sendo aplicável somente no caso de torção pura.
90
A expressao final obtida por HSU se escreve:
( 1 V . l ) 4nA l
u2( __ c + - + -)
onde:
GCR - Módulo de cisalhamento da peça fissurada
CCR - Momento de inércia a torção da peça fissurada
E - Módulo de elasticidade longitudinal do aço s
A - Areada seçao compreendida pelos estribos
A - Areada seçao transversal c
u - Perímetro dos estribos
h - Espessura da seçao vazada fictícia
E s
n = - Relação entre os módulos de elasticidade longitudinais E
c
p 9, - Taxa volumétrica da armadura longitudinal
Ph - Taxa volumétrica da armadura transversal.
91
IV.2.2 - Método de KARLSSON - ELFGREN:
Esta teoria para determinação da rigidez torsional pa
ra o caso de torção pura e baseada na analogia da treliça clássl
ca. Partindo-se da energia de deformação específica armazenada
por unidade de comprimento da peça fissurada, chega-se a expres
sao final de "JcR".
= JCR
+
sendo
onde:
E c
E s
A o
A sv
E c
4A
A rigidez torsional para a peça fissurada se escreve:
1 k h 1 i h
[ l 2 ..
I +-- I h 1 i + h 1 i + 1 + A2
~ h 16a A.
o = wi e = 1
b s I h 1 i ( 1 V. 2)
a sv e =
- Rigidez torsional no estágio fissurado
- Módulo de elasticidade longitudinal do concreto
- Módulo de elasticidade longitudinal do aço
- Area compreendida pelo caminho do fluxo de cisalha-
menta
- Area de uma perna de estribo
A. l
h . WI
92
- Area de uma barra longitudinal genérica
- Espessura da seçao vazada fictícia
Comprimento do trecho genérico medido de centro
centro das armaduras longitudinais
a
Es a = - Relação entre os módulos de elasticidade longitu-
e E c
d i n a i s
s - Espaçamento dos estribos.
!V.3 RiGIDEZ TORSIONAL AO EMPENAMENTO
IV.3.J Conceituação
O estudo da rígidez torsional ao empenamento da seçao,
ao contrãrio da rfgidez torsional de Saint-Venant, nao possui
uma teoria formulada com equações explíticas, as quais para uma
dada seção transversal forneceriam a ri'jeza pesquisada.
Para cada estãgio de solicitação a fissuração do con
creto acarreta uma mudança do centro de cisalhamento, modifican
do as propriedades setoriais da seçao e alterando o mecanismo me
cânico de resistência interna.
A continuidade da função que expressa o ângulo de tor
çao permite a elaboração de um modelo de anãlise iterativo, ali
cerçado na noção de módulo secante no ponto.
93
1 V. 3. 2 Modelo de HWANG-HSU
( 2 )
HWANG et ali i , baseados nas considerações relata -
das anteriormente, elaboraram um modelo de análise de rigidez to.::_
sional de empenamento da peça fissurada, como mostrado na Figura
IV. l., que denota para a função genérica B ~ B(8") a variação
da rijeza ao empenamento que vem a ser (EJw)CR'
Fig. IlZ'. 1
O gráfico B x 8" é traduzido por uma função contínua
que fornece para um ponto genérico duas rijezas, uma tangente e
outra secante, sendo esta ultima adotada O processo iterativo
elaborado pesquisa o valor de (EJw)CR' isto é, a rigidez torsio
nal ao empenamento na fase fissurada para um dado estágio de so
licitação. O valor obtido para (EJw)CR não engloba a parcela r~
ferente ao empenamento transversal, devendo-se adicionar os dois
valores provenientes do mesmo estágio de solicitação. O concre-
to não absorve ações trativas e os ditos efeitos secundários, en
94
cavilhamento e "efeito de rebite" sao desprezados. O aço traba-
lha apenas ã traçao e nao atua na região da seção transversal su
jeita ã compressao, o que parece ser uma simplificação sem res
paldo, pois as peças em hastes de paredes delgadas não possuem
dimensões transversais de concreto de grande monta, o que acarr~
ta pequena colaboração deste na rijeza torsional face ao aço
(maior módulo de deformação longitudinal). O trabalho experime~
tal dos autores anteriormente mencionados fornece valores maio
res que os obtidos teoricamente, o que corrobora a assertiva adi
cional da participação do aço na zona comprimida da seção trans
versa 1. Para peças super-armadas a ruptura pode ocorrer por em-
penamento transversal, assunto que carece de um estudo teórico
experimental mais aprimorado.
95
CAPÍTULO V
DIMENSIONAMENTO DAS ARMADURAS - ESTUDO DA CHAPA
V.l PRÓLOGO
O desmembramento das peças em hastes_de p~redes delga
das em partes, permite que cada elemento que a compoe possa ser
adequadamente dimensionado. O cálculo atravês da Teoria da Tre-
1 iça Espacial Generalizada nao se aplica à esses elementos estru
turais, tornando essenclaJ a pesquisa de um processo para obten
ção das armaduras necessárias para resistir à ação de torção. A
Teoria da Plasticidade mostra-se adequada a esse fim e sera o
meio adotado na análise efetuada a seguir.
Na bibliografia(2
) ê desenvolvido um processo de cálcu
lo da rfgidez torsional ao empenamento de peças em h~stei de P!
~edes delgadas, seção canal, em fase fissurada; porém, quando
da anã! ise do comportamento da armadura das peças, os ensaios de
laboratório indicaram discrepâncias com os valores calculados p~
ra a rfgidez torsional de Saint-Venant. Os autores corrigiram
essas divergências com a adoção de um coeficiente empírico - fa
to não recomendável - o que em nada vem esclarecer a natureza do
comportamento mecânico interno da peça.
O dimensionamento das armaduras longitudinal e trans
versal das peças em hastes-de paredes delgadas, na bibliografia
pesquisada mostrou-se impróprio, visto a adoção do Modelo da
Treliça Espacial Generalizada, teoria inadequada para o caso de
espessuras reduzidas das peças.
96
O presente capítulo procura desenvolver fórmulas apl i
cáveis a torção mista, tendo-se em conta o estudo da peça des
membrada em partes, as quais serãcestudadas como chapas. A apli
cação dos conceitos da Teoria da Plasticidade é primordial na ob
tenção das expressões para o dimensionamento das armaduras.
V.2 CONCEITOS DA TEORIA DA PLASTICIDADE
V.2.1 Teoremas Fundamentais
Os teoremas básicos da Teoria da Plasticidade - Teore
ma Estático e Teorema Cinemático - são essenciais para a justifl
cação rigorosa e a demonstração da consistência das equações fu~
damentais desse ramo da ciência aplicada. A utilização desses
teoremas torna possível a resolução de problemas sem a integra-
ção das equações diferenciais, o que torna esse procedimento, f~
ce as dificuldades dos casos práticos, tentador, quiçá único pa
ra atingir as soluções almejadas.
Foram desenvolvidos primeiramente por A.A.Gvozdev, emi
nente cientista soviético, em 1936 e posteriormente e independe~
temente por W.Prager nos idos da década de cinq~enta, pesquisador
esse que criou uma verdadeira "escola" para a Teoria "da Plastici
d ade.
Os teoremas nao serao aquí enunciados, pois já o foram
no Capítulo 11.
97
V.2.2 Comportamento dos Materiais
A Teoria da Plasticidade supoe o comportamento rígido-
plástico perfeito dos aços das armaduras, conforme mostrado na
Figura V.1.
f ft
- IDNITUDIIIAI. - TR&NSVEIISAL
fl----- ftl----
o € o
-, ----1 F1
Fig. V.1
O diagrama tensao x deformação para o concreto.e o usual,
ou seja, parábola, parábola-retângulo ou retangular.
A hipótese admitida para o comportamento do concreto é
de que o mesmo resista à tração, o que pode ser expresso através
do critério de Coulomb-Mohr conjugado com o critério de Rankine,
ilustrados na Figura V.2.
98
a,
o ft
Fig. 1Z'. 2
V.3 FORMULAÇÃO DA ANÁLISE
V.3.1 Painel Fissurado
O estudo do painel fissurado ~~r-se-á tendo em conta
tão somente o Método Estático; pesquisa-se assim a armadura para
a carga mínima de ruptura.
Seja o painel fissurado dado na Figura V.3, referencia
do a um sistema de eixos"XOY"com armaduras ortogonais edesiguars.
99
t To ---y
.. o+------x
Fig. V. 3
Sejam as tensões nas armaduras:
- longitudinal: F
- transversal Ft
Os esforços exteriores sao:
- n n , 1 x' y normais e cisalhantes
As tensões normais e tangenciais sao, respectivamente:
- o o ' '[ X' y xy
1 O O
V.3.2 Método Estático
O equilíbrio estático do painel fissurado, com fissu
ras inclinadas de um ângulo "a" em relação ao eixo "OX" e armadu
ras ortogonais e diferentes nas duas direções, permite escrever:
n = o + "f X X
'( =-, xy
V. 1
V.2
V.3
As tensões principais atuantes na chapa sao dadas por:
o + o / ['' O ) 2 X y + y '( 2 01 +
2 2 v.4
Oz = o V.5
o + o / (º -O )2 X y - X y + 2 03 = '(
2 2 V.6
ou ainda:
2
Txy = (ox - 03) (oy - 03) V.7
2 (01 - O ) (01 - O ) v.8 '~x y =
X y
= O + O = 01 + 03 X y
V.9
lo l
Definindo-se as taxas mecânicas das armaduras como:
onde:
- f c
A sx
f t c
A sy
f t· e
tensao de escoamento do aço na direção "x" e
respectivamente.
-tensao de compressao no concreto.
r imposta a condição:
-A equaçao V.12 garante que a ruptura nao ocorrera
direção "2", direção da tensão principal intermediária.
V. 1 O
V. 11
llyll,
V. 1 2
na
No desenvolvimento da análise, em obediência às expre~
soes V.4 e V.6, tem-se, para quaisquer valores de "o", X
11 0 11 e y
"T" que: 0 1 :>' O e o 3 < O, isto e, a tensão principal na direção
11 1" sera sempre de tração e a tensão principal na direção "3" se
rã sempre de compressão.
O critério de ruptura de Coulomb-Mohr em sua forma ge
ral se expressa:
l O 2
[ II <P
1 o ~ - f + o. tg2 -- + V. 1 3 c J 4 2
Para a chapa em estudo, tem-se:
[ II <P l 03 = - f + 01 tg2 + V. 1 4 c 4 2
)
sendo:
q, - angulo de ruptura do concreto.
Substituindo V.4 e V.6 em V.14 e utilizando o conceito
de taxas mecânicas das armaduras, chega-se a:
1
f c
- sen<t,
2
(q,2 + X
q,2) + q, q, 11 + --- +2 r--1 - senq,I 1 11 + sen<Pl
2
Y l sen<t, - l x Y l 1 - sen<P J (1>1>)·
X y
A fórmula V.15 é a expressao mais geral que
sen<t, 1 - sen<P
+ 1
V. 1 5
relaciona
as taxas mecânicas das armaduras, ângulo de ruptura e tensão de
compressão do concreto com a tensao de cisalhamento, atendendo a
a • - - -1 - c o n d I ç a o d e r u p t u r a a d o ta d a , q u e e o c r i te r i o d e Cou l omb-Moh r . A
suposição de que o concreto resista à tração, impõe uma 2~ condi
ção de ruptura, que é o critério de Rankine, o qual a tensão prin
cipal de tração 11 0 111 deverã atender, logo:
01i ft V. 16
l 03
sendo:
ft - tensão de ruptura a tração do concreto.
Substituindo V.4 em V.16 e utilizando o conceito de ta
xas mecânicas das armaduras, chega-se a:
T
f c
= <!> <!> X y
ft + - . (<!> +
X f
<!> ) y V. 1 7
c
A interseção das superfícies representadas por V.15 e
V.17 é obtida igualando-se essas expressões, o que resulta na
equaçao dada por:
2 <!> )
y [
-1 - sencJ,j'
se n<jl - 1 + <!> <!>
X y li+ l11 + sencJ,J
12
l L 1 sen'P J +
+ 2(<!> + <!> ) X y r sencj, ) + 1) _ ir~i 2
ll - sencj, [fc + <!> <!> +
X y
+ ft
( <!> = o V. 18 X
fc
A equação V.18, para casos particulares do ângulo de - .,f tll
ruptura "cj,", da relaçao - e de uma taxa mecânica suposta cons fc
tan te, leva a uma equaçao
taxa mecânica.
do 2~ grau, cuja variável é a outra
l 04
V.4 APLICAÇÃO A UM CASO PARTICULAR
V.4.1 Cálculo Analítico
Seja dado o caso particular cujas as características do
-concreto sao:
ft
f c
= 0,125, sen~ = 0,6 (~ - 37°)
As expressoes V.15, V.17 e V.18 se transformam, respe~
tivamente, em:
T
f c
T
f c
= 0,2
=
- 4(<1> 2 +<1> 2) + 17<1> q, +3(<1> +<!>) + 1
X y X y X y
<!> <!> + 0,125 (<!> + <!>) + 0,0156 X y X y
(<!> 2 + <!> 2) + 2,0000 <!> <!> + 0,0325 (<!> + <!> ) - 0,1523 = O
X y X y X y
Fazendo 11 <ll 11
X igual a li q, 11
y ' as expressoes calculadas
necem:
de V.19: T
0,5000 (valor máximo) f
c
V. 1 9
V.20
V.21
for
de V.19:
de V.20:
; <)l y
T
f c
T
f c
l o 5
= o 'o:
; 0,2000, condição de Coulomb-Mohr
= 0,1250, condição de Rankine
- da expressao V.21: Coulomb-Mohr conjugado com Rankine
T
f c
; 0,3125 para <P X
; <)l y
0,1875
Dos resultados anteriores observa-se que a elaboração
de tabelas para o dimensionamento do painel fissurado é de fácil
obtenção, tornando o dimensionamento possível para um caso geral
de solicitação.
V.4.2 Elaboração de Tabela
Os resultados anteriores possibilitaram a geraçao da
TabelaV.1 que possibilita o dimensionamento para o caso geral.
Os valores dentro do perímetro em traço forte foram ob
tidos através da equação V.20 - condição de Rankine - e são limi
tados superiormente pela equação V.21 (interseção das duas condi
ções de ruptura), sendo os limites máximos para a condição de
Rank i ne os dados pelos pares (<Jl ; <)l ) : X y
(0,0000; 0,3743); (0,1000; 0,2473); (0,2000; 0,1743);
(0,3000; 0,0986); (0,3743; 0,0000).
l o 6
WlELA Y.1
( ft/fc) = 0, 125 aen cp = 0,6
~ 'o/fc
º·º :>,IO o,20 0,30 0,40 Of,IJ 01ft) 0,70 OIJJ 0,90 1,00 X
º·º .1250 .1676 .20!5 .2304 .2'498 - - - - - -0.10 .1676 .2249 .2704 .3040 3162 .3231 .3250 - - - -0,20 .2015 .2704 .3200 .3464 .3667 .3816 .3919 .3980 .4000 - -0,30 .230I .3040 .3464 .3800 .4069 .4285 .4454 .4583 - - -~ 2498 .3162 .3667 .4069 .4682 .4673 .4899 - - - -
u
' , 0,50 - .3231 .3816 .4285 .4673 .SCXXJ - - - - -0/jO - .3250 .3919 4454 .4899 - - - - - -0,70 - - .3980 .4583 - - - - - - -
0/!JO - - .4000 - - - - - - - -0,90 - - - - - - - - - - -1,00 - - - - - - - - - - -
1 O 7
O caso particular em que as taxas mecânicas de arma
dura sao iguais e ambos os critérios de ruptura sao atendidos
simultaneamente, corresponde ao par (0,1875; 0,1875) sendo
T = 0,3125. f
c
Os ensaios de laboratório demonstram que somente a
armadura longitudinal é inútil, indiferentemente de sua posição
na seçao transversal da peça, isto é, nos cantos ou distribuída
nas faces. Ao se desprezar os efeitos secundários - encavi lhamen
to e"efeito de rebite"da armadura - a peça funciona,
mente~omosede concreto simples fosse.
V.4.3 Gráfico
aproximad~
Plotando-se os resultados obtidos na geraçao da Tabela
V.1,obtém-se o giáfico dado pela Figura V.4, o qual permite uma
visualização perfeita da relação entre as variáveis adotadas no
dimensionamento do painel fissurado.
0,5000
0,2304
;-1 0,IO 0,20 0,30 0,40
lll
~ o
0.50 0,60
.., CD
~ o
0,70
/Jy: 0,30
.!!.. =o 125: sen ro=o s ~ • T •
,/'\ .. ,a. + .. oe,
0,80 0,90 1,00
o ex,
1 09
CAPITULO VI
EXEMPLO NUMÉRICO
A viga de concreto armado mostrada na Figura VI .1, es
tá sujeita à solicitação de torção uniformemente distribuída ao
longo de seu vão. Pede-se efetuar uma análise do comportamento
estrutural da mesma e dimensionar as armaduras para a ação soli
citante. Os coeficientes de segurança são iguais à unidade.
Dados:
- aço CA-SOA: f (X) = y
f ( y) = y
soo MPa
- concreto f c
= 30 MPa
- 9, 5,00m
- mD 40 KNm/m9,
(J ~ (.)
"111 .., " ..
- -r -· --- ---, 1 1 ~ ' ' ' CG 1
~
1 .. " ' " '
y
' ' ' ' ,li l ' l 1
' J L.l. - ._ z
Fig. 'lZI. 1
l lo
FASE ELASTICA (seção homogênea):
- Centro de cisalhamento:
d = d; 18,5 cm
b 2
3
- Momentos de inércia:
c
J z = b 2 t 2
=
l b. t: 1 1
[~ + ~i
2 1 2
Jt - 1,0728 m4
J - 57,2624 m• z
J -121,9652m 6
w
- Comprimento característico:
k =
- Esforços
T s
T (0
= z' -
2
k
z
k - 0,06 m
internos:
cosh kz - cosh kz' + --
k senh kJl
cosh kz - cosh kz'
senh kJl
l l l
senh kz + senh B =
s en h k,Q,
Estes esforços, para as seçoes com cotas (0,00; 5,00),
(2,50; 2,50) e (5,00; 0,00), denominadas, respectivamente, de 1,
11 e 111, estão resumidos no Quadro VI .1.
QUADRO 'llI. 1
COTASlml ESFORÇOS INTERNOS SEÇAO ~ 'li Ts INml TwlNml 81Nm21
I 0,00 5,00 8,2 991,8 o
n 2.50 2,50 o o 1 058 ,2
m 5,00 0,00 -8,2 -991,8 o
- Tensões tangenciais:
Na figura Vl.2, é ilustrada a variação do momento seto
rial estático da seção e da coordenada setorial.
logo:
E ( C) = w
Fig. 'lZI. 2
- b1b2 (b1 - 2d)
t
4
t
4
t
4
l l 2
t
8
~ -'O .. '
E (A) = w
E ( B) = w
- 6,2149 m4
- 3,1860 m4
E(C)=-1,3850 m4
w
As expressões para cálculo sao dadas a seguir. Os va
lores obtidos foram transcritos no Quadro VI .2.
T s
T t s
T (JJ
T E ~ {.,~
de:
l l 3
As tensoes normais (Quadro Vi.2) foram obtidos através
a =
PCWTO
A
e
e
1
2
3
4
B • w
j (Jj
1T
---1 ,6
-0,5
0,5
-1 ,6
QUADRO "!ZI. 2
TENSÕES ( MPa.l ~. ~Ili
0,5 -8,4
0,5 - 4.3
0,5 • 1, 9
- -- -- -- -
- Dimensionamento das armaduras:
'l.s + g m
- 7,9
- 3,8
-1,4
----
A Figura Vl.3 esclarece a orientação dos eixos adota
dos para o dimensionamento dos painéis.
11 4
Bs2
y
A
1
Fig. 1lI. 3
painéis laterais: a tensão tangencial máxima está loca
lizada no ponto 11 A11 e a mínima em 11 8 11, isto é,
(A) T = 7,9 MPa T(B) = 3,8 MPa
A Tabela V.) fornece os seguintes resultados:
armadura mínima:
<I> = <I> = 0,20 X y
T = 0,3200 x 30 = 9,6 MPa > 7,9
armadura máxima: anti-econômica
<I> = <I> = 0,50 X y
l l 5
para um par de taxas mecânicas qualquer:
<I> ; 0,30 , <I> ; 0,10, T; 9,1 MPa > 7,9 X y
logo:
A ; s
X
A ; s y
<!> X
<!> y
f t b1 c
f y
f t c
f y
A s
4,86 cm 2 - 2 x 5$8
X
1 O O A
s = 3,60 cm 2 - estribos ~5C12 5
y
painel horizontal: através do procedimento anterior tem-se,
armadura mínima:
<!> ;<!> ;0,10 X y
T; 6,8 MPa > 3,8
armadura adotada:
<!> ; O , 2 O <!> O , 1 O T ; 8 , 1 MPa > 3,8 X y
<!> f t 100 A X c A 7,20 cm 2 - 9910, adotaremos ; ;
s f s X X y
<!> f t b2 A c A ; 2, 1 2 cm 2 - estribos d,5 e 2 o ;
sy f s y
y
1 0$ 1 O
As tensões normais máximas sao obtidas através das
expressões aditivas:
1 1 6
o ( 1 + <p ) f c X c
X
o = - ( 1 + <p ) f c y c y
ºr = <p f + ft X c X
ºr = <p f + ft y c y
logo,
painéis laterais o = - 39,0 M Pa, o =,-33,0 M Pa, c c
X y
ºr = 1 2 , 8 MPa ºr = 6,8 MPa X y
painel horizontal: o = - 36,0 MPa, o = - 33,0 MP a, e c X y
o = 9,8 MPa, ºr = 6,8 MPa CT
X y
Nos detalhes das armaçoes (Figura VI .4) nao serao con
siderados problemas de ancoragens da armadura longitudinal e ou
tros pormenores; está mostrado apenas a seção transversal com as
armaduras calculadas.
l l 7
10 010
/ ~ L/ 1/ \~
.. 13
5 .. 13 1
CO'
e ,j 19
º
O' .. 1 Q .. '
º !!! .., u <t UI 151
1
º 4
,,_ - == = ,_ t-.. 4
-F19."lZI.4
Comentários finais: é de fácil comprovaçao que as ten
soes normais devidas ao bimomento, considerando-se os esforços
elásticos com seção plena e homogênea, são desprezíveis.
do, a modificação do mecanismo interno de resistência da
Contu-
peça
apresenta grande variação com a fissuração do concreto, sendo que
tal fato não foi analisado no exemplo numérico. As armaduras cal
culadas, principalmente no sentido longitudinal da peça, deverão
ser verificadas para essa ação solicitante através de
.. d •d. b'bl' f'( 2). 1terat1vo~, os quais o escrito na 1 1ogra 1a e
processos
um exemplo;
nas conclusões deste trabalho serao tecidos comentários mais po~
menorizados a esse respeito.
118
Na bibliografia pesquisada nao foi encontrado um mêto
do racional de cálculo das armaduras de uma peça em haste de pa-
redes delgadas quando da solicitação de torçao; os autores que
se empenharam na análise dessas estruturas, adotam o Modelo da ô
Treliça Espacial, a 45 ou Generalizada, o qual ê inadequado pa-.
ra a análise em questão. Em ( 2 )
, ve-se claramente a discrepân-
eia que tal procedimento acarreta quando da comparaçao com os en
saios de laboratório.
119
CAPÍTULO VII
CONCLUSOES
A vasta bibliografia pesquisada, da qual procurou-se
extrair os conceitos fundamentais e as teorias que regem o com
portamento mecânico das peças sujeitas à ação de torção, princi
palmente as constituídas de hastes em paredes delgadas, mostrou
se carente no que se refere ao dimensionamento das armaduras des
se tipo peculiar de peça. Autores como Krpan, Collins, Hwang,
Hsu e KÕscia, adotam mêtodos inadequados a esse cálculo, porem,
após a ''adoção" de determinadas armaduras, procedem à análise da
resposta estrutural da peça assim armada. O desenvolvimento de
um processo de dimensionamento baseado em critêrios de ruptura
(Coulomb - Mohr em conjunto com o de Rankine), permite a resolu
ção do problema; contudo, um estudo pormenorizado levando-se em
conta o Teorema Cinemático da Teoria da Plasticidade faz-se ne
cessário.
tes:
Dentre as diversas conclusões, destacam-se as seguin-
Peças Espessas - Torção de Saint-Venant:
1) A rigidez torsional de Saint-Venant da peça fissura
da ê apenas uma fração, da ordem de 20 a 10%, do seu
valor inicial (seção homogênea plena) em regime elás
tico não fissurado.
l 2 O
2) O estudo da torção de Saint-Venant em peças de con-
ereto armado de seção plena ou vazada, apresentou
grande desenvolvimento nas Últimas duas décadas.
Contudo, um conhecimento mais satisfatório do mecanis
mo mecânico de resistência interna e o aprimoramente do modelo de
Treliça Espacial Generalizada, visando a interação das diversas
ações solicitantes (cisalhamento, flexão, torção e ação normal),
faz-se necessârio. Alguns tópicos, tais como, bielas comprimidas
e rigidez torsional para diversos estâgios de solicitação, neces
sitam de uma anâlise mais completa.
Peças em Hastes de Paredes Delgadas - Torção Mista:
1) A classificação das peças em hastes de paredes del
gadas de concreto armado deve ser feita, "a priori",
tendo-se em conta suas dimensões geométricas. O
"comprimento característico" não deve ser utilizado
como um 11 classificador 11, pois o mesmo varia para di
ferentes estágios de solicitação.
2) O modelo da Treliça Espacial Generalizada e a Teo
ria do Campo de Compressão Diagonal não se aplicam
ao dimensionamento das peças em hastes de paredes
delgadas.
3) Peças consideradas espessas podem apresentar campo~
tamento análogo ao de peças em hastes de paredes
delgadas, pois a fissuração reduz a rigidez torsio-
l 2 1
nal de Saint-Venant e a rigidez ao empenamento em
proporções diferentes, ocasionando uma mudança no
mecanismo mecânico de resistência interna, fenômeno
esse que em pesquisas futuras pode ser analisado a
través do estudo do "comprimento característico" p~
ra os diversos estágios de solicitação.
4) Um estudo teórico para o estágio elástico fissura
do, tendo-se em conta as tensões tangenciais faz-se
5)
necessário. ( 3 )
K0SCIA estudou somente o comporta-
menta estrutural face as tensões normais quando da
fissuração.
( 3 ) KÕSCIA demonstrou teoricamente que a açao do bi-
momento surge apos a fissuração das peças em hastes
de paredes delgadas, mesmo quando essa açao e nula
quando da seção plena não fissurada; a expressao ma
temática para essa peculiaridade é:
B c
w c
M dA +
J
X M J w ydA + ...:i.. c J A
X y
w xdA c
6) O centro de cisalhamento apresenta uma modificação
em sua posição original (peça não fissurada - seção
homogênea plena). A sua localização para cada está
gio de solicitação e fundamental para o estudo da
rígidez torsional ao empenamento.
122
7) O processo iterativo proposto por HWANG et ai i i (2
)
permite o cálculo da rigidez torsional ao empena
mento para diferentes estágios de solicitação. Es
se processo generalizou as expressões obtidas por
K0SCIA(1l, pois o regime de solicitação pesquisado
é não-1 inear, traduzido pelas curvas "o x E: 11 dos
materiais componentes do concreto armado.
8) Uma generalização do processo iterativo
( 2 ) em pode ser obtida tendo-se em conta a
descrito
contri-
buição da armadura nas regiões comprimidas, o que
modifica consideravelmente a carga Última.
9) A análise do painel fissurado, inicialmente desen-
(44) volvida por NIELSEN , mostrou-se um método ade-
quado à obtenção da armadura para as peças em has
tes de paredes delgadas.
10) O estudo do painel fissurado, tal como desenvolvi
do neste trabalho, permite a obtenção de tabelas
gerais ou programas de computador para o dimensio
namento das armaduras.
li) A condição<!> + <!> ,; 1 exclui a hipótese de ruptu-x y
ra na direção da tensão principal intermediária, o
que permite desprezar na análise desenvolvida a con
tribuição do empenamento transversal.
123
BIBLIOGRAFIA
( 1) HSU, T.T.C. - "Torsion of Reinforced Concrete" - Van Nostrand
Reinhold Company - 1984.
(2) HWANG, C.S; HSU, T.T.C. - "Mixed Torsion Analysis of Rein
forced Concrete Channel Beams - A Fourier Series Approach"
ACI Journal, Proceedings V.80, n? 5, Setembro - Outubro
1 983.
( 3) ZBIROHOWSKI-KOSCIA, K. F. - "Stress Analysis of Cracked Rein
forced and Prestressed Concrete Thin-Walled Beams and
Shells". - Magazine of Concrete Research, V. 20 n? 65,
Dezembro 1968.
( 4) KRPAN, P.; COLLINS, M.P. - "Predicting Torsional Response of
Thin-Walled Open Reinforced Concrete Members" - Journal
of Structural Division, ASCE, Vol. 107, n? ST6, Junho 1981.
( s) KRPAN, P.; COLLINS, M.P. - "Testing Thin-Walled Open Rein-
forced Concrete Structures in Torsion" Journal of
Structural Division, ASCE, Vol. 107, n? ST6, Junho 1981.
( 6) THURLIMANN, B. - "Shear Strength of Reinforced and Prestressed
Concrete Beams" - ACI Symposium, Abril 1976, Filadélfia,
E.U.A.
( 1) SANTOS, SYDNEY M.G. dos SANTOS - "Estudo das Hastes de Pare
des De 1 gadàs com Seção Aberta" - PUC Rio de Janeiro, '1967.
124
(a) SANTOS, SYDNEY M.G. dos SANTOS - "Notas de Aula - Estrutu -
rasem Hastes de Paredes Delgados - COPPE/UFRJ, 1983.
( 9) ILG, 1. - "Vigas Contfnuas com Hastes de Paredes Delgadas-
Estudo da Torção" - Tese de Mestrado, COPPE/UFRJ, 1983.
( 10) KAVYRCHINE, M. - "Quelques Aspects du Comportement du Béton
de Structures Lié a L' lnfluence des Zones Tendues ou Fis
surées" - Annales de I.T.B.T.P., Maio, 1980.
(11) PR(, M. - "Analyse Plastique des Poutres-Caissons en Béton
Armé Sous Chargement Combiné" - Annales de I.T.B.T.P, Ju
nho, 1980.
(12) YOUSSEF, M.A.; BISHARA, A.G. - "Dowel Action in Concrete
Beams Subject to Torsion" - Journal of the Structural
Division, ASCE, Vol. 106, n? ST6, Junho, 1980.
(13) COLLINS, M.P. - "Towards a Rational Theory for Reinforced
Concrete Members in Shear" - Journal of the Structural
Division, ASCE, Vol. 104, n? ST4, Abril, 1978.
(") ROY, S.K.; MURKHOPADHYAY, M. - "Prestressed Concrete T Beams
under Combined Bending an Torsion" - Proceedings
Civil Engineering, Dezembro, 1977.
lnst.
(15
) SOLANKI, H.T. - "Behaviour of Reinforced Concrete Beams in
Torsion" - Proceedings lnst. Civil Engineering,
l 9 8 3 •
Março,
125
(16) KHAN, A.H.; TOTTENHAM, H. - "The Method of Bimoment Distribu_!.
ion for the Analysis of Continuous Thin-Walled Structures
Subject to Torsion" - Proceedings lnst. Civi 1 Engineering,
Dezembro, 1977.
(11) SMITH, B.S., TARANATH, B.S. - "The Analysis of Tall Core-
Supported Structures Subject to Torsion"
lnst. Civil Engineering, Setembro, 1972.
Proceedings
(ia) EWIDA, A.A.; McMULLEN, A. - "Concrete Member under Combined
Torsion and Shear" - Journal of the Structural Division,
ASCE, Vol. 108, n? ST4, Abril, 1982.
(19) SOLANKI, H.T. - "Reinforced Concrete Beams in Pure Torsion"
Journal of the Structural Division, ASCE, Vol. 107, n?
ST12, Dezembro, 1981.
(20) KARLSSON, 1.; ELFGREN, L. - "Torsional Stiffness of Rein-
forced Concrete Member Subjected to Pure Torsion" - Mag~
zine of Concrete Researc.h, Vol. 24, n? 80, Setembro, 1972.
(21) SANDEGREN, D.S; YU, C.W. - "Torsional Stiffness of Rein-
forced Concrete Rectangular Members" -Magazine of Concrete
Research, Vol. 31, n? 109, Dezembro, 1979.
( 22) PR!:'., M. - "l"tude de la Torsion Dans le Bétom PréContrai nt
par la Méthode du Treillis Spatial Evolutiff" - Annales
de I.T.B.T.P., n? 385, Julho-Agosto, 1980.
126
(23) HSU, T.T.C. - "Post-Cracking Torsional Rigidity of Reinforced
Concrete Sections" - ACI Journal, Proceedings V. 70, n~
5, Maio, 1973.
(24) FAUCHART, J; DEMORIEUX, J.M; LACHIZE, J.P; MORISSET, A.;
VILLATOUX, J.P. - "Ruptures des Poutres de Sections Rec
tangulaire en Béton Armé ou PréContraint, par Torsion et
Flexion Circulaire Combinées" - Annales de I.T.B.T.P. n~
301, Janeiro, 1973.
(2s) COLLINS, M.P.; MITCHELL, D. - "Shear and Torsion Design of
Prestressed and Non-Prestressed Concrete Beams" - PCI
Journal, V. 25, n~ 5, Setembro-Outubro, 1980.
(2G) POPOV, E.P. - "Introdução ã Mecânica dos Sôlidos" - Editora
Edgard Blücher Ltda - 1978.
(21) FEODOSIEV, V.I. - "Resistencia de Materiales" - Editorial
Mir Moscou, 1972.
(2a) LANGENDONCK, T.V. - "Vocabulário de Teoria das Estruturas" -
Associação Brasileira de Cimento Portland, 1982.
(29) VLASSOV, B.Z. - "Pieces Longues en Voi les Minces" - E'.ditions
Eyrolles, 1962.
(3o) SHAMES, IRVING, H. - "Introdução à Mecânica dos SÕlidos"
Prentice/Hall do Brasil, 1983.
127
(31) THURLIMANN, B. - "Torsional Strength of Reinforced a nd
Prestessed Concrete Beams" - ACI Symposium, Abril, 1976,
Filadélfia, E.U.A.
(32) LAMPERT, P.; THURLIMANN, B. - "Ultimate Strenght and Design
of Reinforced Concrete Beams in Torsion and Bending"
lnternational Association for Bridge and Structural Engi
neering, Zurique, Suíça - Publicação 31-1, 1971.
( 3 3) COELHO, LUIZ HERKENHOFF - "Tensões Devi das ao B i -Momento em
Tabuleiros de Pontes de Concreto Armado Bi-Apoiadas e com
Contrapesos Maciços" - Tese de Mestrado, COPPE/UFRJ, 1984.
(34) MEGSON, T.H.G. - "Linear Analysis of Thin-Walled
Structures" - Surrey University Press, 1974.
Elastic
(35) PRESTES, JOSI: ANTONIO SOARES - "Análise Linear de Estrutu-
ras Planas com Elementos de Paredes Delgadas" - Tese de
Mestrado, COPPE/UFRJ, 1983.
(36) PR!:, M. - "Notas de Aula - Tópicos Especiais de Concreto Ar
ma do ou Protend ido", COPPE/UFRJ, 1980.
(37) PRI:, M. - "Torsion, Flexion et Effort Tranchant dans 1 es
Poutres - Caissons Rectangulaires en Bêton Précontraint"
- Tese de Doutorado, Université Pierre et Marie Curie
Paris, 1978.
128
(3a) KARPAN, P. - "The Behaviour of Open Thin-Walled, Restrained,
Reinforced Concret Members in Torsion" - Tese de Doutora
do, University of Toronto - Toronto, 1974.
(39) NIELSEN, M.P. - "On the Strength of Reinforced Concret Discs"
- ACTA Polytechnica Scandinavica, Ci 70, Copenhague, 1971.
("º) CARNEIRO, F.L.L.B. - "Aplicações da Teoria da Plasticidade
ao Concreto" - COPPE/UFRJ, n? 1 /68.
(<!) CARNEIRO, F.L.L.B. - "Notas de Aula - Aplicações da Teoria
da Plasticidade ao Concreto" - COPPE/UFRJ, 1985.
(•2) MITCHELL, D.; COLLINS, M.P. - "Diagonal Compression Field
Theory - A Rat iona l Model for Structura I Concrete in Pure
Torsion" - ACI Journal, Proceedings V. 71, Agosto, 1974.
(<3) REGAN, P.E. - "Design of Reinforced and Prestressed Concre
te Members" - COPPE/UFRJ, 1983.
(••) NIELSEN, M.P. - Limit Analysis and Concrete Plasticity
Prentice-Hall - 1984.
(••) KOLLBRUNNER, C.F.; Hajdin, N. - Dünnwandige Stibe, band 1 -
Springer-Verlag - 1975.
(os) GJELSVIK, A. - The Theory of Thin Walled Bars-Willey
lnterscience Publication - 1981.