ELEMENTOSDE TOPOLOGIAANO LECTIVO 19992000JOS CARLOS SANTOSObservaesEstes apontamentos so dirigidos aos alunos de Elementos de To-pologia e so parcialmente baseados nos apontamentos redigidos pelodoutor Manuel Ricardo Falco Moreira quando regeu a cadeira nos anoslectivos 199596 e 199697.So empregues as seguintes notaes:R+{x R| x0}R+{x R| x > 0}P(E) {partes de E}Vai-se considerar emR {, +} a relao de ordemque pro-longa a relao de ordemde R e para a qual se tem:(r R) : r+.Sempre que se falar de supremo ou de nmo de uma parte deR {, +} ser relativamente a esta relao de ordem. Observe-se que,com esta conveno, qualquer parte de R tem supremo e nmo.Um conjuntoC dir-se- numervel quandoC for nito ou quandoexistir alguma bijeo de N em C.A existncia ao lado de um pargrafo do smbolo ampliado, talcomo aquele que se encontra ao lado deste pargrafo, deve ser interpre-tado como querendo signicar curva perigosa; conveniente ler-seatentamente a passagem em questo.ndiceObservaes iiindice vLista de Figuras vii1 Espaos mtricos 11.1 Denies e propriedades elementares. . . . . . . . . . . 11.1.1 Mtricas e pseudo-mtricas . . . . . . . . . . . . . 11.1.2 Espaos mtricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2 Funes contnuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.1 Caso geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.2 Tipos particulares de funes contnuas . . . . . . 7Isometrias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7Homeomorsmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7Continuidade uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3 Abertos e fechados num espao mtrico . . . . . . . . . . 91.4 Sucesses. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.4.1 Sucesses convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . 201.4.2 Sucesses de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.5 Espaos mtricos completos . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.6 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422 Espaos topolgicos 552.1 Denies e motivao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552.2 Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582.2.1 Topologias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582.2.2 Vizinhanas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602.2.3 Funes contnuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622.2.4 Aderncia e interior . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672.2.5 Sucesses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70vi ndice2.2.6 Espaos topologicamente completos . . . . . . . . 732.3 Produtos de espaos topolgicos . . . . . . . . . . . . . . . 762.4 Espaos conexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 812.5 Espaos compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 862.5.1 Caso geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 862.5.2 Espaos mtricos compactos. . . . . . . . . . . . . 902.6 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 953 Espaos de funes 1153.1 O teorema de Stone-Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . 1153.2 Espaos compactos de funes. . . . . . . . . . . . . . . . 1213.3 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125ndice remissivo 127Lista de Figuras1.1 Desigualdade triangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Distncia entre dois conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3 Exemplo de continuidade no uniforme . . . . . . . . . . 91.4 Os discos abertos enquanto conjuntos abertos . . . . . . . 101.5 Polinmios de Bernstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.1 Construo de uma funo de R em S1. . . . . . . . . . . . 652.2 Fronteira de um disco aberto. . . . . . . . . . . . . . . . . 702.3 Completamento de R com uma innidade de pontos . . . 772.4 Grco de fn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 903.1 Exemplo de grco de funo linear por bocados . . . . . 118Captulo 1Espaos mtricos1.1 Denies e propriedades elementares1.1.1 Mtricas e pseudo-mtricasDenio 1.1Seja E um conjunto. Diz-se qued: E E R+ umapseudo-mtrica se satiszer as condies1. (x E) : d(x, x) = 0;2. (x, y E) : d(x, y) = d(y, x);3. (x, y, z E) : d(x, z)d(x, y) +d(y, z) (desigualdade triangular);se for esse o caso e se a funod no s satisfaz a condio 1, comotambm satisfaz a condio mais forte1

. (x, y E) : d(x, y) = 0x = y,ento diz-se que d uma mtrica ou uma distncia.A gura 1.1 ilustra o signicado geomtrico da desigualdade trian-gular.""""""""@@@@@qqqxzyd(x, z)d(x, y)d(y, z)Figura 1.1: Desigualdade triangular2 Espaos mtricosExemplo 1.1Naturalmente, se E for um conjunto, ento a funo nulade EE em R+ uma pseudo-mtrica, a qual se designa por pseudo-m-trica grosseira.Exemplo 1.2Um pouco mais interessante, xado um conjunto E, amtrica discreta:d: E E R+(x, y) _1 se x = y0 caso contrrio.Exemplo 1.3Sen N, ento usual considerar-se emCna mtricadenida por((x1, . . . , xn) , (y1, . . . , yn)) _n

k=1|xk yk|2.Exemplo 1.4Seja p N um nmero primo. Se r Q\ {0}, ento r podeser escrito sob a formar =abpncom a Z, b Z \ {0}, (a, p) = (b, p) = 1 e n Z; alm disso, n nico.Seja vp(r) = n. Se r, s Q dene-sedp(r, s) =_2vp(rs)se r =0 caso contrrio.Ento dp uma mtrica, que se designa por mtrica p-dica.Exemplo 1.5SejamXumconjuntoeFl(X)oconjuntodasfuneslimitadas de X em C. Neste conjunto pode-se denir a mtricad: Fl(X) Fl(X) R+(f, g)supxX|f(x) g(x)|,que se costuma designar por mtrica do supremo.Exemplo 1.6Sejama, b Rcoma 1.Veja-se tambm a gura 1.3 na pgina ao lado.1.3 Abertos e fechados num espao mtrico 9x yf(x)f(x)f(x+)f(y)f(y)f(y+)Figura 1.3: Neste exemplo, os intervalos ]x, x+[ e ]y, y+[ tm a mesma amplitude, mas so enviados em intervalosde amplitudes bastante diferentes. Quanto mais y se deslocarpara a direita mais a diferena se acentua, acabando porser to grande quanto se queira. Consequentemente, no possvel encontrar nenhum R+ tal que f(]x , x +[) ]f(x) , f(x) +[ para qualquer x R.1.3 Abertos e fechados numespao mtricoDenio 1.10Sejam(E, d) um espao mtrico,a E er R+. De-signa-se por bola aberta de centro a e raio r e representa-se por B(a, r) oconjunto{x E| d(x, a) < r};designa-se por bola fechada de centroa e raior e representa-se porB

(a, r) o conjunto{x E| d(x, a)r}.Usualmente, quando se est a trabalhar em subconjuntos de R2(coma mtrica usual) emprega-se o termo disco em vez de bola.10 Espaos mtricosObserve-se que a noo de funo contnua pode ser redenida emtermos de bolas abertas. De facto, se(E1, d1) e(E2, d2) so espaosmtricos ento, dadosx E1 e uma funof: E1 E2, dizer quef contnua em x o mesmo que dizer que( R+)( R+) : B(x, ) f1(B(f(x), )).Denio 1.11Seja (E, d) um espao mtrico e seja X E.1. Diz-se que X aberto se(x X)( R+) : B(x, ) X.2. Diz-se que X fechado se X

for aberto.Exemplo 1.15SeE for um espao mtrico discreto,ento qualquerparte de E aberta; consequentemente, qualquer parte de E fechada.Exemplo 1.16Qualquer bola aberta de um espao mtrico (E, d) umaberto de E. De facto, sejamx E e R+. Dado y B(x, ) pretende-semostrar que existe algum

R+ tal queB(y,

) B(x, ). Para tal,basta tomar

= d(x, y), pois tem-seu B(y,

) d(u, y) < d(x, y)= d(x, u)d(x, y) +d(y, u) < ;esta demonstrao ilustrada pela gura 1.4.xyFigura 1.4: Ilustrao da justicao de que os discos abertosde um espao mtrico so abertos1.3 Abertos e fechados num espao mtrico 11Exemplo 1.17Qualquer disco fechado de um espao mtrico(E, d) um fechado deE. Para o demonstrar, sejamx E e R+; quer-semostrar que o conjunto{y E| d(x, y)>} um aberto. Sejay umelemento desse conjunto e seja

= d(x, y) ; entoB(y,

) {y E| d(x, y) > }.Teorema 1.1Seja (E, d) um espao mtrico.1. Os conjuntos e E so simultanemente abertos e fechados em E.2. Se(Aj)jJ for uma famlia de abertos (respectivamente fechados)deE,ento o conjunto jJAj(resp. jJAj) um aberto (resp.fechado) de E.3. Se(Aj)jJ for uma famlia de abertos (respectivamente fechados)deE e seJ for nito, ento o conjunto jJAj (resp. jJAj) umaberto (resp. fechado) de E.Demonstrao: A primeira alnea trivial.Se(Aj)jJ for uma famlia de abertos deE e sex

jJAj, entox Aj para algum j J, pelo que, para algum R+,B(a, ) Aj _jJAj.Se (Aj)jJ for uma famlia de fechados de E, ento_

jJAj_

=_jJ_Aj

_que aberto.Se (Aj)jJ for uma famlia de abertos de E e se J for nito ento, sex

jJAj, seja, para cada j J, j R+ tal que B(zj, j) Aj. EntoB(x, min{j| j J})

jJAj.Finalmente, se(Aj)jJ for uma famlia de fechados deE e seJ fornito ento__jJAj_

=

jJ_Aj

_que aberto.12 Espaos mtricosUma observao importante referente a esta demonstrao a se-guinte: visto que, por denio, um subconjunto A de E fechado se e sse A

aberto, frequentementemente possvel, tal como nas demons-traes das duas ltimas alneas desta proposio, demonstrar umapropriedade relativa a conjuntos fechados recorrendo ao facto de j seter demonstrado algo anlogo referente a abertos. Por esse motivo, nosero explicitadas mais demonstraes deste tipo.Denio 1.12Se (E, d) um espao mtrico, x E e V E, diz-se queV uma vizinhana de x se V contm algum aberto A tal que x A.Repare-se que resulta de denio de conjunto aberto que seVvizinhana de x, ento, para algum R+, V B(x, ). Reciprocamente,se V contm algum disco B(x, ) (com R+) ento, uma vez que B(x, ) um aberto (veja-se o exemplo 1.16), V vizinhana de x.Exemplo 1.18Sea, b R comar, entoB(y, d(x, y) r) B(x, r) = , pelo que y/ B(x, r). No entanto, no verdade em geral que se tenha B(x, r) = B

(x, r). Por exemplo, em {0, 1} tem-se, relativamente mtrica usual, B(0, 1) = {0} = {0} e B

(0, 1) = {0, 1}.Exemplo 1.22Sejama, b R coma af(a) +/2 se x = apertence a B(f, ) mas no contnua, pelo queB(f, ) C([a, b]).2. Sef C([a, b]), ento, para cadan N existe alguma funocontnua fn B(f, 1/n), pelo que(x [a, b])(n N) : |f(x) fn(x)| 3, ento(xn)nN diverge. (Sugesto: Use o facto de que,para qualquern N, a funo deQ emQ denida pela frmulax xn contnua relativamente mtrica p-dica.)44) Sejam(E1, d1) e(E2, d2) dois espaos mtricos ef: E1 E2 umafuno. Diz-se quef preserva sucesses de Cauchy se para qualquersucesso de Cauchy (xn)nN em E1, (f(xn))nN tambm uma sucessode Cauchy.1. Mostre que se f preserva sucesses de Cauchy ento f contnua.2. Ser que se f for contnua, f preserva sucesses de Cauchy?3. E se f preserva sucesses de Cauchy, f uniformemente contnua?45) Sejam(E1, d1) e(E2, d2) dois espaos mtricos, f: E1 E2umafuno e X um subconjunto denso de E1. Suponha-se que para qualquersucesso(xn)nN de elementos deX que seja convergente,(f(xn))nNtambm convergente. Mostre que f contnua.46) Sejan N. Mostre queRn, munido com a mtrica usual, umespao mtrico completo.47) Mostre que qualquer espao mtrico discreto completo.48) Mostre que Q, munido da mtrica usual, no um espao mtricocompleto.49) Considere emC([0, 1]) as distnciasd (denida na pgina 42) ed

(denida na pgina 45). Para cadan N, sejafn C([0, 1]) a funodenida pela frmulafn(x) =___0 se x < 1/2 1/(2n)n(x 1/2) +1/2 se |x 1/2| < 1/(2n)1 se x > 1/2 +1/(2n).1.6 Exerccios 511. Mostre que, relativamente mtrica d, a sucesso (fn)nN umasucesso de Cauchy.2. Use a alnea anterior para provar que (C([0, 1]), d) no um espaomtrico completo.3. Mostre que (C([0, 1]), d

) um espao mtrico completo.50) SeE1 eE2 forem espaos mtricos, sendoE1 completo, ef for umafuno uniformemente contnua de E1 em E2, pode deduzir que f(E1) completo?51) Sejam(E, d) um espao mtrico completo ef: E E uma funocontnua e sobrejectiva. Suponha que existe um nmero K ]1, +[ talque(x, y E) : d(f(x), f(y))Kd(x, y).1. Mostre que f um homeomorsmo.2. Mostre que f possui um e um s ponto xo.52) Sejam (I, dI) e (E, dE) dois espaos mtricos, sendo (E, dE) completo.Considere em I E a mtricad: (I E) (I E) R((i, x), (j, y))max{dI(i, j), dE(x, y)}.Sejam F: I E E uma funo contnua e K ]0, 1[ tais que(i I)(x, y E) : dE(F(i, x), F(i, y))KdE(x, y).Mostre que:1. Para cada i I, existe um e um s i E tal que F(i, i) = i.2. A funoI Ei i contnua.53) Considere em R e em R2as mtricas usuais. Sejam A um aberto deR2,(x0, y0) A ef: A R uma funo contnua, limitada e tal quepara algum K ]0, +[ se tem((x, y1), (x, y2) A) : |f(x, y1) f(x, y2)|K|y1 y2|.52 Espaos mtricosPretende-se mostrar que existe um nmero real positivo tal que aequao diferencial_

(x) = f(x, (x))(x0) = y0(1.20)tem uma e uma s soluo no intervalo [x0 , x0 +].1. Seja ]0, +[ e seja C([x0 , x0 +]) o espao das funes cont-nuas de [x0 , x0 + ] em R. Mostre que C([x0 , x0 + ]) soluo da equao diferencial (1.20) se e s se(x [x0 , x0 +]) : (x) = y0 +_xx0f(t, (t)) dt.2. SejaM um majorante da imagem de|f| e seja ]0, +[ tal que < 1/K e que o rectnguloR =_(x, y) R2: |x x0| e |y y0|M_esteja contido em A. Dene-se Y como sendo o conjunto das funes C([x0 , x0 +]) tais que (x0) = y0 e que(x [x0 , x0 +]) : |(x) y0|M.Considere em C([x0, x0+]) a distncia d1 denida pela frmulad1(, ) = supx[x0,x0+]|(x) (x)|.Mostre que Y um fechado de C([x0 , x0 +]).3. Mostre que Y um espao mtrico completo.4. Para cada Y, seja T() C([x0 , x0 +]) a funo:(T())(x) = y0 +_xx0f(t, (t)) dt.Mostre que T est bem denida.5. Mostre que T(Y) Y.6. Mostre que T uma contraco.7. Deduza das alneas anteriores que a equao diferencial (1.20)temumaeumassoluoquetenhapordomnioointervalo[x0 , x0 +].1.6 Exerccios 5354) Considere uma sucesso (pn)nN de polinmios no nulos de R[x, y]e, para cada n N, o conjuntoVn= {(x, y) R2| pn(x, y) = 0}.1. Mostre que (n N) : Vn= .2. Conclua que existe algum ponto(x, y) R2tal que(n N) :pn(x, y) = 0.55) Considere uma sucesso (fn)nN de elementos de C([0, 1]) tal que(n N) : (fn+1)

= fn.Mostre que se (x [0, 1])(n N) : fn(x) = 0, ento f1 a funo nula.56) Dado a ]1, +[, considere a funofa: Q Rxax,a qual crescente e verica a condio(x, y Q) : fa(x +y) = fa(x)fa(y).1. Tendo em conta que limnNa1n= 1, mostre que para qualquer b R,fa],b]Q uma funo uniformemente contnua.2. Mostre que fa admite um nico prolongamento contnuo Fa de Rem R.3. VeriquequeFacrescenteeque(x, y R) : Fa(x+y) =Fa(x)Fa(y).Captulo 2Espaos topolgicos2.1 Denies e motivaoDenio 2.1Se E um conjunto, uma topologia em E um conjuntoT P(E) tal que1. , E T;2. se (Aj)jJ for uma famlia de elementos de T, ento

jJAj T;3. se (Aj)jJ for uma famlia de elementos de T e se J for nito, ento

jJAj T.Um espao topolgico um par ordenado (E, T), sendo E um conjuntoe T uma topologia em E.Sabe-se, pelo teorema 1.1, que o conjunto dos abertos de um espaomtrico E uma topologia em E. No entanto, h topologias que no soprovenientes de uma mtrica. Considere-se, por exemplo, o conjuntoE = {0, 1}. Se d: E E R+ for uma mtrica, ento a topologia T dosabertos de (E, d) T= {, {0}, {1}, E}.De facto, e E so abertos pois em qualquer espao mtrico e o espaotodo so abertos e, alm disso,{0} = B(0, d(0, 1));{1} = B(1, d(1, 0)).Por outro lado, verica-se facilmente que os conjuntosT1= {, {0}, E}= {, {1}, E}= {, E}56 Espaos topolgicosso topologias em E distintas de T.Repare-se que se E for um conjunto e d: E E R+ for uma pseu-do-mtrica, possvel denir em E as noes de bola aberta e de conjuntoaberto da mesma maneira que nas denies 1.10 e 1.11. No entanto, sese considerar novamente o conjunto E = {0, 1}, a nica pseudo-mtricaque pode ser a denida que no seja uma mtrica a pseudo-mtricagrosseira, i. e. a funo nula. Mas ento o conjunto dos abertos deEseria T3, de onde se deduz que T1 e T2 no so sequer provenientes deuma pseudo-mtrica.Denio 2.2Diz-se que um espao topolgico(E, T) metrizvel seexistir alguma mtrica d: E E R+ tal queT= {abertos de (E, d)}.J foi ento visto que h espaos topolgicos no metrizveis. Poroutro lado, no se deve cometer o erro de pensar que mtricas distintas do origem a topologias distintas.Considere-se, por exemplo, emZ amtrica usual e a mtrica discreta. Conforme j foi mencionado (veja-seo exemplo 1.15 na pgina 10), relativamente mtrica discreta qualquerconjunto aberto. Mas o mesmo ocorre em Z relativamente mtricausual, pois se A Z tem-seA =_xA{x} =_xAB(x, 1);logo, A aberto, pelo teorema 1.1.Denio 2.3SeE um conjunto, diz-se que duas mtricasd1 ed2denidas em E so equivalentes se os abertos de (E, d1) e de (E, d2) foremos mesmos.A observao que precede esta denio mostra que em Z a mtricausual e a discreta so equivalentes.H diversas razes que levam a ser desejvel a reformulao de algu-mas noes estudadas no captulo 1 no mbito dos espaos topolgicos.A ttulo de exemplo do que se entende por reformulao considere-se aseguinte denio.Denio 2.4Seja (E, T) um espao topolgico e seja X E. Diz-se queX aberto se X T; diz-se que X fechado se X

T.2.1 Denies e motivao 57Resulta imediatamente das denies que o teorema 1.1 permanecevlido se no seu enunciado se substituir espao mtrico por espaotopolgico.Tal como no caso dos espaos mtricos, se no houver risco de am-biguidade far-se- referncia apenas ao espao topolgico E e no aoespao topolgico (E, T), como j foi feito na denio precedente.H diversos motivos pelos quais muitas vezes conveniente traba-lhar com espaos topolgicos no lugar de espaos mtricos. Um destesmotivos reside no facto de que, mesmo que um espao topolgico sejametrizvel, muitas vezes mais natural trabalhar-se directamente coma topologia e no com uma mtrica. Por exemplo, sabe-se que em AnliseReal ao estudarem-se limites de sucesses necessrio denir separa-damente os conceitos de sucesso convergente e de sucesso cujolimite . No entanto, considere-se na recta acabadaRdef.=R {}a topologiaT assim denida: A T se e s seA satisfaz as seguintescondies:1. A R um aberto de R;2. se + A, ento A contm algum intervalo da forma ]a, +[;3. se A, ento A contm algum intervalo da forma ] , a[.Repare-se que se A R, ento A um aberto de (R, T) se e s se for umaberto de R relativamente topologia usual (i. e. a topologia provenienteda mtrica usual). Como ser visto, as sucesso de nmeros reais conver-gentes relativamente a esta topologia so as que so convergentes paraalgum nmero real relativamente topologia usual juntamente comaquelas que tm por limite . O espao topolgico (R, T) metrizvel;basta considerar, por exemplo, a bijecof:R [1, 1]x _x/(1 +|x|) se x R1 se x = e denir uma mtrica d emR pord:RR R+(x, y)|f(x) f(y)|.Pode-se aqui querer saber qual a origem da expressox/(1 + |x|). Aresposta a seguinte: qualquer expresso que desse origem a uma58 Espaos topolgicosbijeco contnua deR num intervalo]a, b[ deR cujo limite em+(respectivamente) fosseb (resp. a) teria servido. Poderia ter-seempregue, por exemplo,R Rxarctan(x)ou R Rx x1 +x2+1Mas precisamente o facto de haver muitas escolhas possveis, nenhumadas quais melhor do que as outras, que torna mais natural trabalharcom a topologia T do que com a mtrica d.Por outro lado, h muitos exemplos de topologias interessantes nometrizveis.Exemplo 2.1Se X R, diz-se que uma funo f: X R semi-cont-nua superiormente num ponto a X se( R+)( R+)(x X) : |x a| < = f(x) < f(a) +.A funoR Rx[x]embora descontnua semi-contnua superiormente. Se se denir em Ra topologiaT= {, R} {] , a[ | a R} ,ento, como ser visto, as funes semi-contnuas superiormente soaquelas que so contnuas se se considerar em X( R) a topologia usuale em R a topologia T.2.2 Generalidades2.2.1 TopologiasRepare-se que em qualquer conjunto E possvel denir as seguintestopologias:topologia discreta: trata-se da topologiaT=P(E); por outras pala-vras, a topologia para a qual qualquer parte deE um aberto.Naturalmente, o espao topolgico (E, T) metrizvel; basta consi-derar em E a mtrica discreta.2.2 Generalidades 59topologia grosseira: trata-se da topologia T= {, E}; por outras pala-vras, trata-se da topologia para a qual os nicos abertos de E soE e o conjunto vazio. SeE tiver mais do que um ponto, o espaotopolgico(E, T) no metrizvel, mas a topologia grosseira aque se obtm se se considerar emE a pseudo-mtrica grosseira.Sempre que se falar em topologia grosseira estar implcito que Etem pelo menos dois pontos.Denio 2.5Se (E, T1) e (E, T2) forem espaos topolgicos, diz-se que atopologia T1 mais na (respectivamente menos na) do que a topologiaT2 se T1 T2 (resp. T1 T2).claroqueatopologiagrosseira(respectivamentediscreta)amenos (resp. mais) na que pode ser denida num conjunto.Denio 2.6SeT for uma topologia eB T, diz-se ento queB uma base da topologiaT se qualquer elemento deT pode ser escritocomo reunio de elementos de B.Exemplo 2.2EmR, umabasedatopologiausualoconjuntodosintervalos abertos, uma vez que qualquer aberto pode ser escrito comoreunio de intervalos abertos. Mais geralmente, num espao mtricoqualquer o conjunto das bolas abertas uma base da topologia.Exemplo 2.3AtopologiausualemRtambmadmitecomobaseoconjunto dos intervalos abertos da forma ]r1, r2[ com r1, r2 Q.Exemplo 2.4Num conjunto E, uma base da topologia discreta {{x} |x E}.Quer-se agora denir a noo de sub-espao topolgico de um espaotopolgico. Para tal, veja-se que se (E, d) for um espao mtrico e X forum sub-espao mtrico de E ento1. seA for um aberto deE, A X um aberto deX, como se podededuzir das denies ou observando queA X=j1(X), sendoj : X E a incluso de X em E;2. seA um for aberto deX, ento existe, para cadaa A, alguma R+ tal que a bola (em X) de centro a e raio a est contida emX, pelo que em E se temA = X __aAB(a, a)_;em particular A a interseco de X com um aberto de E.60 Espaos topolgicosLogo, se T for a topologia de E, a topologia de X {A X| A T}. Istosugere que se adopte a seguinte denio:Denio 2.7Dado um espao topolgico(E, T),um seu sub-espaotopolgico um espao topolgico (F, T

) tal que F E e que T

= {AF|A T}.Mostra-se facilmente que esta denio faz sentido, i. e. que nascondies da denio T

efectivamente uma topologia.2.2.2 VizinhanasA denio de vizinhana que foi feita na pgina 12 no necessita dequalquer alterao no contexto dos espaos topolgicos.Denio 2.8Um espao topolgico diz-se separado se, para cada doispontos x1 e x2, existirem vizinhanas V1 e V2 de x1 e x2 respectivamenteque no se intersectam.Exemplo 2.5Um espao topolgico metrizvelE separado, pois sea topologia deE for proveniente de uma mtricad ex1, x2 E, entoB(x1, d(x1, x2)/2) e B(x2, d(x1, x2)/2) so vizinhanas de x1 e x2 respecti-vamente que no se intersectam.Exemplo 2.6Um espao topolgico grosseiro no separado.Exemplo 2.7O espao topolgico (R, T), onde T a topologia denidano exemplo 2.1, no separado, pois se a, b R e a < b, ento qualqueraberto que contm b tambm contm a.Proposio 2.1SeE um espao topolgico eA E, entoA umaberto se e s se for vizinhana de todos os seus pontos.Demonstrao: SeA for aberto ex A ento, pela denio de vizi-nhana, A vizinhana de x. Reciprocamente, se A for uma parte de Eque vizinhana de todos os seus pontos, ento, para cada x A, existealgum aberto Ax tal que x Ax e Ax A. Logo,A =_xA{x} _xAAx A,pelo queA =_xAAx;em particular, A aberto.2.2 Generalidades 61Denio 2.9Sejam E um espao topolgico, x E e V um conjunto devizinhanas de x. Diz-se que V um sistema fundamental de vizinhanasde x se qualquer vizinhana de x contiver algum elemento de V.Exemplo 2.8Num espao mtrico E, se x E ento o conjunto_B(x, r) | r R+_ um sistema fundamental de vizinhanas dex. Alis, seVfor umavizinhana dex, entoV contm alguma bola da formaB(x, 1/n) (n N), pelo que {B(0, 1/n) | n N} tambm um sistema fundamental devizinhanas de x. Repare-se que este conjunto numervel.Denio 2.10Diz-se que um espao topolgico 1-numervel se cadaponto de E tiver um sistema fundamental de vizinhanas numervel.A observao feita antes desta denio demonstra o seguinte resul-tado:Proposio 2.2Qualquer espao topolgico metrizvel 1-numervel.Exemplo 2.9Um exemplo de espao topolgico no 1-numervel dadoporR munido da topologiaTfinformada pelo conjunto vazio e pelaspartesA deR tais queA

nito, que se designa por topologia doscomplementares nitos. De facto, se(Vn)nNfor uma sucesso devizinhanas de um ponto x ento cada Vn contm um aberto An tal quex An, pelo queAn

nito e, por maioria de razo, Vn

tambm nito. Logo_

nNVn_

_=_nNVn

_ numervel; em particular distinto deR \ {x}. Ento existe algumnmero real a distinto de x que pertence interseco de todos os Vn,pelo queR \ {a} uma vizinhana dex em(R, Tfin) que no contmnenhum Vn.Denio 2.11SejaE um espao topolgico. Sex E, diz-se quex um ponto isolado de E se {x} for vizinhana de x. Diz-se que um conjuntoX E perfeito se no tiver pontos isolados. Diz-se que E um espaotopolgico perfeito se for um subconjunto perfeito de E.Exemplo 2.10Qualquer espao topolgico grosseiro E perfeito, umavez que o nico aberto no vazio de E o prprio E e, consequentemente,a nica vizinhana de qualquer ponto o espao todo.62 Espaos topolgicosExemplo 2.11Um espao topolgico discreto E no perfeito. De facto,se x E, ento {x} um aberto, pelo que uma vizinhana de x.Exemplo 2.12O conjunto de Cantor1C perfeito. Para o demonstrar,tome-sex C. Sejama0=0 eb0=1; por outras palavras, a0 (res-pectivamenteb0) o nmo (resp. supremo) do intervaloI0=[0, 1]. Oconjunto I1 a reunio de dois intervalos disjuntos com o mesmo compri-mento, um dos quais contm x; sejam a1 e b1 o nmo e o supremo desseintervalo respectivamente e observe-se que b1 a1< 1/2. O conjunto I2 a reunio de quatro intervalos disjuntos com o mesmo comprimento,um dos quais contmx; sejama2 eb2 o nmo e o supremo desse in-tervalo respectivamente e observe-se que b2 a2< 1/4. Prosseguindodeste modo, obtm-se duas sucesses (an)nZ+ e (bn)nZ+ de elementosdo conjunto de Cantor2tais que1. (n Z+) : x [an, bn];2. (n Z+) : 0 < bn an2n.Logo, ambas as sucesses convergem para x. Se R+, ento ]x, x+[contm alguman e algumbn. Como no podem ser ambos iguais ax,est provado que qualquer vizinhana dex contm algum ponto deCdistinto de x.2.2.3 Funes contnuasA proposio 1.3 mostra que, num espao mtrico, a condio f contnua em a pode ser reformulada em termos de vizinhanas.Denio 2.12Sejam E1 e E2 espaos topolgicos e a E1. Diz-se queuma funof: E1 E2 contnua ema se, para cada vizinhanaVde f(a), f1(V) for uma vizinhana de a. Caso contrrio, diz-se que f descontnua em a.Proposio 2.3SejamE1 eE2 espaos topolgicos. Sex for um pontoisolado de E1, ento qualquer funo f: E1 E2 contnua em x.1Este conjunto foi denido na pgina 39. Conforme foi a referido, a expressoconjunto de Cantor designa o conjunto C1/3, embora a demonstrao de que perfeitose aplique a qualquer C.2Resulta da denio do conjunto de Cantor que este contm os extremos de cadaum dos 2nintervalos que constituem In, para cada n Z+.2.2 Generalidades 63Demonstrao: SeVfor uma vizinhana def(x), entof1(V) {x}.Como {x} uma vizinhana de x, f1(V) tambm o .Quanto noo de funo contnua, j se sabe, pela proposio 1.4,que pode ser reformulada em termos de abertos e fechados.Denio 2.13Sejam E1 e E2 espaos topolgicos. Diz-se que f con-tnua se, para cada abertoA deE2,f1(A) for um aberto deE1. Casocontrrio, diz-se que f descontnua.Exemplo 2.13Se E1 e E2 forem espaos topolgicos, sendo E1 um espa-o topolgico discreto, qualquer funo de E1 em E2 contnua.Exemplo 2.14Considere-se emRa topologia T denida no exemplo 2.1.Seja X R e considere-se em X a topologia usual. Se f uma funo deX em R e se a X, ento armar que f contnua em a o mesmo quearmar que, para cada vizinhana V de f(a), f1(V) uma vizinhanade a. Mas, relativamente topologia T, um conjunto V vizinhana def(a) se e s se V contm algum intervalo da forma ] , b[ onde b umnmero real maior do que f(a), ou seja, se V contm algum intervalo daforma ] , f(a) +[ com R+. Por outro lado, armar que f1(V) uma vizinhana de a o mesmo que armar que f1(V) contm algumintervalo da forma ]a , a +[, para algum R+. Logo, f contnuaem a se e s se( R+)( R+) :]a , a +[ f1(] , f(a) +[),ou seja, se e s se( R+)( R+) : |x a| < = f(x) < f(a) +,como tinha sido armado no exemplo 2.1.Ao contrrio do que se passa com os espaos mtricos, onde verdadepor denio que uma funo contnua se e s se for contnua em todosos pontos, no contexto dos espaos topolgicos este resultado necessitade uma demonstrao.Teorema 2.1SejamE1eE2espaos topolgicos. Dada uma funof: E1 E2, so ento condies equivalentes:1. a funo f contnua em todos os pontos;2. a funo f contnua;64 Espaos topolgicos3. se F for um fechado de E2, ento f1(F) um fechado de E1.Demonstrao: Basta que se mostre que as duas primeiras condiesso equivalentes. Que as duas ltimas tambm o so j foi visto nodecorrer da demonstrao da proposio 1.4.3Suponha-se ento quef contnua em todos os pontos. SeA forum aberto deE2, quer-se mostrar quef1(A) um aberto deE1. Sex f1(A), ento f(x) A e, como A aberto, uma vizinhana de f(x).Logo, uma vez que f contnua em x, f1(A) vizinhana de x. Decorreento da proposio 2.1 quef1(A) um aberto, pois vizinhana detodos os seus pontos.Reciprocamente, se f for contnua, se x E1 e se V uma vizinhanadef(x), quer-se mostrar quef1(V) uma vizinhana dex. Para tal,basta ver que V contm, por denio, algum aberto A tal que f(x) A.Entox f1(A) f1(V). Comof contnua,f1(A) um aberto deE1, pelo que f1(V) uma vizinhana de x.Denio 2.14Diz-se que uma funo f: (E1, T1) (E2, T2) entre es-paos topolgicos um homeomorsmo se for uma bijeco contnua ese a inversa tambm for contnua.Exemplo 2.15Por exemplo, considere-se em R a topologia T denidano exemplo 2.1 e a topologia T denida de maneira anloga mas conside-rando agora os intervalos da forma ]a, +[. Verica-se ento facilmenteque(R, T) (R, T)xx um homeomorsmo de (R, T) em (R, T).Considere-se agora a seguinte situao: X um conjunto, Y umespao topolgico e f uma funo de X em Y. Existe alguma topologiaemX relativamente qualf seja contnua? A resposta armativa;basta considerar em X a topologia discreta. Naturalmente, h muitoscasos em que uma topologia menos na do que a discreta sucientepara que f seja contnua. De facto, qualquer topologia que contenha oconjunto_f1(A) | A aberto de Y_bastaparatornarfcontnua. Mostra-sefacilmentequeoconjuntoanterior uma topologia em X, que necessariamente a topologia menosna que se pode denir em X que torna contnua a funo f.3Este o motivo pelo qual ao demonstrar-se a proposio 1.4 se optou por demons-trar separadamente as duas equivalncias.2.2 Generalidades 65Denio 2.15Se X um conjunto, (Y, T) um espao topolgico e f uma funo de X em Y, designa-se por topologia inicial em X relativa-mente funo f a topologia_f1(A) | A T_.Observe-se que seE um espao topolgico eF um sub-espaotopolgico de E, ento a topologia de F a topologia inicial relativamente incluso i : F E.Exemplo 2.16Considere-se, por exemplo, a funo f de R na circunfe-rncia unitria S1assim denida (veja-se a gura 2.1): se x R, ento(x,0)f(x)(0,1)Figura 2.1: Construo de uma funo de R em S1.a semi-recta com origem em (0, 1) que passa por (x, 0) intersecta S1emdois pontos distintos, um dos quais (0, 1); sejaf(x) o outro ponto. Afunof injectiva e a sua imagem S1\ {(0, 1)}, podendo ento serprolongada a uma e uma s bijeco (que tambm vai ser representadaporf) do conjunto Rdef.=R {} emS1. Considere-se em R a topologiainicial T relativamente a f. Verica-se facilmente que o espao topolgico_R, T_ metrizvel; basta considerar a mtricadf: RR R+(x, y)f(x) f(y).Uma observao importante relativa a este mtodo de denir mtri-cas em conjuntos, i. e. partir de uma bijeco f de um conjunto X num es-pao mtrico Y e denir uma mtrica df em X por df(x, y) = d(f(x), f(y)), a seguinte:a funof uma isometria do espao mtrico(X, df) no66 Espaos topolgicosespao mtrico (Y, d). Em particular, deduz-se da proposio 1.12 que_R, df_ um espao mtrico completo.Antes de se passar ao prximo resultado conveniente observarque continua a ser verdade, no contexto dos espaos topolgicos, que acomposta de duas funes contnuas contnua. Mais precisamente, seX, Y e Z so espaos topolgicos, f: X Y uma funo contnua numpontoa X eg: Y Z uma funo contnua emf(a), entog f contnua em a. De facto, se V for uma vizinhana de g(f(a)), ento(g f)1(V) = f1_g1(V)_,pelo que (g f)1(V) uma vizinhana de a.Proposio 2.4Sejam X um conjunto, Y e Z espaos topolgicos, f umafuno deX emY eg uma funo deZ emX. Se se considerar emX atopologia inicial relativamente funo f, so condies equivalentes:1. a funo g contnua;2. a funo f g contnua.Demonstrao: Visto quef contnua, claro que seg for contnuaento f g tambm contnua. Reciprocamente, suponha-se que f g contnua. Se A for um aberto de X, quer-se ento provar que g1(A) um aberto de Z. Armar que A um aberto de X o mesmo que armarque A = f1(A

) para algum aberto A

de Y. Logog1(A) = g1_f1(A

)_= (f g)1(A

),que um aberto de Z.Naturalmente, se se considerar agora um espao topolgicoX, umconjuntoY e uma funof: X Y, levanta-se a questo anloga desaber qual a topologia mais na que torna contnua a funo f. Clara-mente, trata-se daquela que surge na prxima denio.Denio 2.16Se (X, T) um espao topolgico, Y um conjunto e f uma funo de X emY, designa-se por topologia nal emY relativamente funo f a topologia_A Y| f1(A) T_.2.2 Generalidades 67SejaP2(R) o conjunto das rectas deR3que passam pela origem.Considere-se a funo : R3\ {0} P2(R) que envia cada p R3\ {0}na recta que passa porp e por0. Ento pode-se considerar emP2(R)a topologia nalT relativamente a. O espao topolgico(P2(R), T)designa-se por plano projectivo.Pode-se mostrar, de modo anlogo ao que foi feito para a proposi-o 2.4, que vlido o seguinte resultado:Proposio 2.5Sejam Y um conjunto, X e Z espaos topolgicos, f umafuno deX emY eg uma funo deY emZ. Se se considerar emY atopologia nal relativamente funo f, so condies equivalentes:1. a funo g contnua;2. a funo g f contnua.Exemplo 2.17Por exemplo, sejaf: P2(R) R a funo assim de-nida: se r a recta de R3que passa pela origem e pelo ponto (x, y, z) =(0, 0, 0), entof(r) =xy +yz +zxx2+y2+z2 Esta funo est bem denida, i. e.f(r) depende unicamente da rectar e no do ponto(x, y, z) escolhido, pois se(a, b, c) for outro ponto der \ {(0, 0, 0)}, ento (a, b, c) = (x, y, z) para algum R\ {0} pelo queab +bc +caa2+b2+c2=2(xy +yz +zx)2(x2+y2+z2)=xy +yz +zxx2+y2+z2 A funo f ento uma funo contnua, pois f a funoR3\ {0} R(x, y, z) xy +yz +zxx2+y2+z2 2.2.4 Aderncia e interiorFoi denida na pgina 12 a noo de aderncia e de interior num es-pao mtrico e claro que se pode adoptar a mesma denico no contextodos espaos topolgicos.A proposio 1.2 tambm continua vlida nocontexto dos espaos topolgicos, embora a demonstrao tenha que serligeiramente modicada. Para se mostrar a primeira alnea, observe-seque seX for um subconjunto de um espao topolgicoE e seA for um68 Espaos topolgicosaberto de E contido em X, ento A X uma vez que, pela denio devizinhana, X vizinhana de todos os pontos de A. LogoX _AX,A abertoA.A m de demonstrar que esta incluso de facto uma igualdade, veja-seque sex for ponto interior deX, entoX vizinhana dex, i. e. existeum aberto A de E contido em X tal que x A e A X. Logo,x _AX,A abertoA.Observe-se que, tal como j foi observado na pgina 13, seE umespao topolgico e A E, entoA

= A

.Logo, qualquer resultado relativo a aderncias pode, passando aos com-plementares, ser transformando num resultado relativo a interiores ereciprocamente.Proposio 2.6Seja E um espao topolgico. Ento1. se A E, A A A;2. E = E e = ;3. se A E, ento A = A e A = A;4. se A, B E, ento .. A B = A B e A B = A B.Demonstrao: Cada alnea desta proposio contm duas armaes,das quais ser demonstrada apenas a primeira; a segunda pode deduzir--se da empregando a observao que precede o enunciado.As duas primeiras alneas so triviais e a terceira resulta de A serum aberto. Quanto quarta alnea, basta observar que:como A e B so abertos, a sua interseco tambm o , pelo queA B A B = A B .. A B;comoA B est contido emA e emB, .. A B est contido emA eem B, pelo que est contido na interseco.2.2 Generalidades 69Proposio 2.7SejamE1 eE2 espaos topolgicos ef uma funo deE1 em E2. So ento condies equivalentes:1. a funo f contnua;2. se A E1, ento f_A_ f(A).Demonstrao: Sef for contnua, A E1ea A, quer-se mostrarquef(a) f(A). SejaV uma vizinhana def(a). Entof1(V) umavizinhana dea, pelo que existe algumy f1(V) A. Mas entof(y) V f(A), pelo que este ltimo conjunto no vazio. Como istotem lugar para cada vizinhana de f(a), f(a) f(A).Suponha-se agora que f descontnua. Existe ento algum fechadoF de E2 tal que f1(F) no um fechado de E1 e, portanto, existe alguma f1(F) \ f1(F). Mas f(a)/ F. Est ento provado quef_f1(F)_ f (f1(F)),pois este ltimo conjunto est contido em F = F.Denio 2.17SeE um espao topolgico eX E, designa-se porfronteira de X e representa-se por Fr(X) o conjuntoX X

.Exemplo 2.18Em R2a fronteira de um disco aberto B(a, r) a circun-fernciaS(a, r)def.={x R2| x a = r}.De facto, se x S(a, r) e se t R+ (veja-se a gura 2.2), entox (a +t(x a))= |1 t|.x a = |1 t|.r,peloque, xadoR+, tem-sequea+t(xa)B(x, )seesset ]1 /r, 1 +/r[. MasentoB(x, )intersectaB(a, r)(poisx+t(a x) B(a, r) B(x, ) set ]1 r/, 1[) e intersectaB(a, r)

(poiso prpriox pertence a ambos os conjuntos). Est ento provado queS(a, r) Fr(B(a, r)). Reciprocamente, sex / S(a, r) entox B(a, r)oux B

(a, r)

. Mas sex B(a, r) ento, comoB(a, r) aberto e nointersectaB(a, r)

, x/ B(a, r)

. Analogamente, sex B

(a, r)

entox/ B(a, r). Consequentemente, x/ Fr(B(a, r)).70 Espaos topolgicosaxFigura 2.2: Fronteira de um disco aberto.Tal como no caso das denies de aderncia e de interior, a deniode conjunto denso, que foi feita na pgina 16, no necessita de qualqueralterao no contexto dos espaos topolgicos.Exemplo 2.19Vai-se mostrar que a funof: R2 P2(R)(x, y)(x, y, 1)tem imagem densa. Para tal, sejamp P2(R) eV uma vizinhana dep; quer-se mostrar que V contm algum ponto da imagem de f. Sabe-seque p da forma (x, y, z) e que V contm algum aberto A tal que p A.Dizer que A aberto o mesmo que dizer que 1(A) um aberto de R3.Como (x, y, z) 1(A) e este conjunto aberto, 1(A) contm algumelemento da forma(x, y, z

) comz

=0. Logo, (x, y, z

) A, ou seja,f(x/z

, y/z

) A V.Denio 2.18Diz-se que um espao topolgico separvel se possuiralgum subconjunto numervel e denso.Exemplo 2.20Por exemplo,R separvel relativamente topologiausualpoisQumsubconjuntonumerveledenso. Noentanto, Rno separvel relativamente topologia discreta, pois a aderncia dequelquer subconjunto (numervel ou no) o prprio conjunto.2.2.5 SucessesA noo de sucesso convergente pode ser reformulada em termos devizinhanas. De facto, v-se facilmente que seE um espao mtrico,2.2 Generalidades 71l E e (xn)nN uma sucesso de elementos deE, entol limite dasucesso (xn)nN se e s se para cada vizinhanaV dex existirp Ztal quenp = xn V.Denio 2.19Sejam E um espao topolgico e (xn)nN uma sucessode elementos de E. Diz-se que a sucesso convergente se, para alguml E, se tiver, para cada vizinhana V de l,(p N)(n N) : np = xn V;diz-se ento que l limite da sucesso (xn)nN e representa-sel = limnNxn.Se (xn)nN no for convergente diz-se que divergente.Exemplo 2.21Em qualquer espao topolgico as sucesses quase-cons-tantes so convergentes.Exemplo 2.22Considere-se emRa topologia T denida no exemplo 2.1.Se (xn)nN for uma sucesso convergente de elementos de (E, T) e se lfor limite da sucesso, ento qualquer nmero l

menor do que l tambm limite da sucesso, pois qualquer vizinhana de l contm um abertoque contm l, pelo que tambm contm l

.Exemplo 2.23Considere-se emR a topologia T denida na pgina 57.Armar que(xn)nN uma sucesso real convergente para+ omesmo que armar que qualquer vizinhana V de +contm os xn comn sucientemente grande. Mas armar que V vizinhana de + omesmo que armar que contm um aberto que contm +, ou seja, omesmo que armar que, para algum a R, ]a, +] V. Logo, (xn)nNconverge para +em_R, T_se e s se(a R)(p N)(n N) : np = xn> a,i. e. se e s se (xn)nN tem limite +, tal como este limite denido noscursos de Anlise Real. Analogamente, (xn)nN converge para em_R, T_se e s se tem limite . Finalmente, verica-se facilmente que,para uma sucesso real(xn)nN e para um nmero realx, x limiteda sucesso (xn)nN em R relativamente topologia usual se e s se omesmo ocorrer relativamente topologia T.72 Espaos topolgicosComo se pode ver pelo exemplo 2.22, no verdade que num espao topolgicoE qualquer sucesso convergente tem um e um s limite,embora este resultado permanea vlido se se supuser que E separado.De facto, sel E for limite de uma sucesso(xn)nN e sel

E \ {l},ento existem vizinhanas V e V

de l e de l

respectivamente que nose intersectam. Por denio de sucesso convergente, tem-sexn Vparan sucientemente grande, pelo que s se pode terxn V

numnmero nito de casos. Logo,l

no limite de(xn)nN. No entanto,continua a ser verdade que se uma sucesso de elementos de um espaotopolgico converge e se l limite da sucesso, ento l tambm limitede qualquer sub-sucesso da sucesso dada.Quanto s proposies 1.8 e 1.9 e ao corolrio 1.2, nenhum destesresultadosvlidoemgeralemespaostopolgicos, emborasejamvlidosemespaostopolgicos1-numerveis. Nademonstraodaprxima proposio ser visto como se usa esta hiptese. necessriocomear por introduzir um novo conceito.Denio 2.20Sejam E um espao topolgico e (xn)nN uma sucessode elementos de E. Para cada n N, sejaFn= {xm| mn} .Se x E, diz-se que x um ponto aderente de (xn)nN sex

nNFn.Naturalmente, uma sucesso pode no ter pontos aderentes; o caso,por exemplo, da sucesso (n)nN, encarada como sucesso de R munidoda topologia usual. Por outro lado, claro que sel for limite de umasucesso, ento l ponto aderente dessa sucesso.Proposio 2.8Sejam E um espao topolgico 1-numervel e (xn)nNuma sucesso de elementos de E. Ento os pontos aderentes de (xn)nNso os elementos de E que so limite de alguma sub-sucesso da sucesso(xn)nN.Demonstrao: Se x for limite de alguma sub-sucesso (xnk)kN da su-cesso (xn)nN, ento cada vizinhana V de x contm todos os xnk comkp, para algum p N. Se n N, existe algum kp tal que nkne, consequentemente, xnk V. Logo, x Fn.Reciprocamente, sex for ponto aderente da sucesso (xn)nN, seja(Vn)nNumsistemafundamentaldevizinhanasdex. ComoV12.2 Generalidades 73vizinhana de x e x F1, V1 contm algum termo xn1 da sucesso. ComoV1 V2 vizinhana de x e x Fn1+1, V1 V2 contm algum termo xn2da sucesso comn2>n1. Prosseguindo deste modo, obtm-se umasub-sucesso (xnk)kN de (xn)nN tal que(k N) : xnk k

j=1Vj.Vai-se mostrar que(xnk)kNconverge parax. Para tal, xe-se umavizinhanaVdex;quer-se mostrar que existe algump N tal quexnk V quando kp. Visto que (Vn)nN uma sistema fundamentalde vizinhanas de x, existe algum p N tal que Vp V. Logokp = xnk k

j=1Vj Vp V.Como foi observado antes do enunciado da proposio, esta demons-trao permite ver como se emprega a hiptese da 1-numerabilidade sese pretender demonstrar as proposies 1.8 e 1.9 e o corolrio 1.2 nombito dos espaos topolgicos1-numerveis. Repare-se que aquelesresultados permanecem em parte vlidos mesmo sem se supor essahiptese.Exemplo 2.24SeE1 eE2 so espaos topolgicos, a E1, (an)nN uma sucesso de elementos de E1 da qual a limite e f: E1 E2 umafuno contnua ema, entof(a) limite da sucesso(f(an))nN. Defacto, se V for vizinhana de f(a), ento f1(V) vizinhana de a, peloque an f1(V) para n sucientemente grande, ou seja, f(an) V paran sucientemente grande.2.2.6 Espaos topologicamente completosJ se mostrou que um grande nmero de noes introduzidas nocontexto dos espaos mtricos pode ser reformulada em termos da topo-logia dos espaos mtricos e, consequentemente, pode ser adaptada aosespaos topolgicos. Diz-se que uma tal noo uma noo topolgica.Uma noo que no possa ser reformulada em termos da topologia aquilo que se designa por uma noo mtrica. Como que se podevericar se uma noo ou no mtrica? Tome-se, por exemplo, a noode conjunto limitado. EmZ considerem-se a mtrica usual e a mtricadiscreta, as quais, como foi visto na pgina 56, so equivalentes; por74 Espaos topolgicosoutras palavras, do origem mesma topologia. Observe-se que N, que um subconjunto no limitado deZ relativamente mtrica usual, limitado relativamente mtrica discreta. Consequentemente, umsubconjunto de um espao mtrico ser ou no ser limitado no dependeunicamente da topologia envolvida e, portanto, a noo de conjuntolimitado uma noo mtrica.Analogamente, as noes de sucesso de Cauchy e de espao com-pleto so mtricas e no topolgicas. Para o demonstrar, considerem-seem ] 1, 1[ a mtrica usual (representada pela letra d) e a mtricad

: ] 1, 1[] 1, 1[ R+(x, y) x1 |x|y1 |y|.A topologia de (]1, 1[, d

) a usual, pois id: (] 1, 1[, d) (] 1, 1[, d

) um homeomorsmo. Mas, conforme foi observado na pgina 65,f: (] 1, 1[, d

) Rx x1 |x| uma isometria, relativamente mtrica usual em R. Logo,a sucesso (1 1/n)nN, que uma sucesso de Cauchy em ] 1, 1[relativamente mtrica usual, no o uma relativamente m-tricad

, pois se o fosse ento, pela proposio 1.11, a sucesso(f(1 1/n))nN (i. e. a sucesso (n 1)nN) seria uma sucesso deCauchy de R relativamente mtrica usual;relativamente mtrica usual,] 1, 1[ no completo, mas(] 1, 1[, d

) completo, como se deduz da existncia da isometria f eda proposio 1.12.Veja-se agora que seE for um espao topolgico metrizvel e se seconseguir mostrar que a sua topologia proveniente de uma mtrica dtal que (E, d) completo, ento, pelo teorema de Baire, qualquer famliade abertos densos de E tem interseco densa, pois os conceitos conjuntoaberto e conjunto denso so topolgicos. Isto sugere que se introduzao seguinte conceito:Denio 2.21Um espao topolgico diz-se topologicamente completose a sua topologia for proveniente de alguma mtricad tal que(E, d)seja um espao mtrico completo.2.2 Generalidades 75Com esta noo, pode-se reformular o teorema de Baire.Teorema 2.2 (Teorema de Baire) Num espao topolgico topologica-mente completo qualquer famlia numervel de abertos densos tem inter-seco densa.Embora possa parecer que tudo o que foi feito foi voltar a enunciaro teorema de Baire, este resultado de facto muito mais geral. Paracompreender porqu, considere-se] 1, 1[ munido da topologia usual.Naturalmente, esta topologia provm da mtrica usual e ] 1, 1[ munidodesta mtrica no um espao mtrico completo. No entanto, ] 1, 1[munido da topologia usual topologicamente completo, como foi vistona pgina ao lado. Logo, satisfaz as condies do teorema de Baire. mesmo possvel mostrar queR \ Q munido da topologia usual topologicamente completo! Basta considerar uma enumerao (qn)nNdos racionais e denir em R\ Q a distnciad(x, y) = |x y| +

n=12ninf_1,maxjn1|x qj|maxjn1|y qj|_. conveniente neste contexto redenir o conceito de completamento.Denio 2.22Se (E, T) for um espao topolgico metrizvel, um com-pletamento deE um completamento de (E, d), onded uma mtricada qual a topologia T seja proveniente.Se, por exemplo, se considerar R munido da topologia usual claroque o prprio conjunto R, munido da mtrica usual, um seu completa-mento. Mas no o nico! Vo ser vistos trs outros completamentos deR. Para cada um deles, vai-se considerar uma funo injectivaf de Rnum espao mtrico completo (E, d) e considerar em R a mtricadf: RR R+(x, y)d(f(x), f(y)).Como foi observado na pgina 65, f ento uma isometria de (R, df) naimagem de f. Em cada um dos casos, a mtrica df vai ser equivalenteusualef(R)vaiserumapartenofechadadeE, peloque, pelaproposio 1.12, (R, df) no ser completo. Um completamento deRser ento a aderncia de f(R) em (E, d).76 Espaos topolgicos1. Considere-sef: R Rxx. claro que a aderncia de f(R)(= R) em R R. Ento o completa-mento de (R, df) obtido acrescentando o ponto a R.2. Considere-se agoraf: R Rxx. claro que a aderncia def(R)(=R) emR R. Ento o comple-tamento de (R, df) obtido acrescentando os pontos +e aR.3. Finalmente, se se denirf: R R2x(ex, sen(ex))ento f(R) o conjuntoS =_(x, y) R2| x > 0 e y = sen(1/x)_(veja-se a gura 2.3). MasS=S {{0} [1, 1]}. Logo, este com-pletamento de R exige que se acrescentem a R uma innidade depontos.2.3 Produtos de espaos topolgicosSejamE1eE2espaostopolgicosesejam1e2asprojecesdeE1 E2 emE1 eE2 respectivamente. Por outras palavras, sejai(i {1, 2}) a funo de E1E2 em Ei tal que((x1, x2) E1E2) : i(x1, x2) = xi.Quer-se denir uma topologia em E1E2 tal que1. as funes 1 e 2 sejam contnuas;2. se Z um espao topolgico e se f uma funo de Z em E1 E2,ento f contnua se e s se 1 f e 2 f forem contnuas.2.3 Produtos de espaos topolgicos 7711Figura 2.3: Esta gura representa o conjuntoS dos pontos(x, y) R2comx>0 ey= sen(1/x). No difcil mostrarque o conjunto S\S formado pelo segmento de recta que une(0, 1) a (0, 1).No que se refere a esta ltima condio, veja-se que o que ocorre emAnlise Real: uma funof: R R2 contnua se e s se cada umadas suas componentes contnua.Sejam T1 e T2 as topologias de E1 e de E2 respectivamente. Para quea projeo1 seja contnua preciso que, seA T1,11(A) seja umaberto deE1 E2; posto de outro modo, preciso queA E2 seja umaberto de E1E2. Analogamente, para que a projeo 2 seja contnua preciso que, dado A T2, E1A seja um aberto de E1E2. Logo, seuma topologia T em E1E2 satisfaz a primeira das duas condies atrsenunciadas e seA1 eA2 so abertos deE1 e deE2 respectivamente,Ttem de conterA1 E2 eE1 A2. ComoT estvel para intersecesnitas, ter ento tambm de conter A1A2. SejaB = {A1A2| A1 T1 e A2 T2} .Veja-se que B no , em geral, uma topologia; por exemplo, se E1= E2=R (munido da topologia usual), ento ] 1, 1[] 2, 2[ e ] 2, 2[] 1, 1[pertencemaB, masnoasuareunio. Noentanto, claroqueainterseco de um nmero nito de elementos deB novamente umelemento de B. Consequentemente, o conjunto T formado pelas reuniesde elementos de B uma topologia da qual B uma base.Pelasuaconstruo, atopologiaTsatisfazaprimeiradasduascondies acima enunciadas. Vai-se ver agora que tambm satisfaz asegunda. Sejam ento Z um espao topolgico e f uma funo de Z emE1E2. claro que se f for contnua ento 1 f e 2 f so contnuas.78 Espaos topolgicosFalta ver que, reciprocamente, se 1 f e 2 f so contnuas ento f contnua. SejaA um aberto deE1 E2; quer-se mostrar quef1(A) um aberto de Z. Pela denio de T sabe-se que A da forma_jJA1,jA2,j,onde (A1,j)jJ e (A2,j)jJ so famlias de abertos de E1 e de E2 respecti-vamente. Comof1__jJA1,jA2,j_=_jJf1(A1,jA2,j)=_jJf1((A1,jE2) (E1A2,j))=_jJf1(A1,jE2) f1(E1A2,j)=_jJ(1 f)1(A1,j) (2 f)1(A2,j)e se est a supor que1 f e2 f so contnuas, est ento provadoque f1(A) um aberto de Z.Vai-se agora mostrar que a topologia usual deR2 a topologiaTatrs denida na caso particular em que E1= E2= R. De facto, seja Tua topologia usual.Tu T: Se A Tu ento A reunio de discos abertos. Mas se (x1, x2) R2er R+ ento, para cada(y1, y2) B((x1, x2), r) sabe-se que(veja-se o exemplo 1.16 na pgina 10):B((y1, y2), r (x1 y1, x2 y2)) B((x1, x2), r).Se se designar r (x1 y1, x2 y2) por r

, tem-se(y1, y2) _y1 r

2, y1 +r

2__y2 r

2, y2 +r

2_ B((y1, y2), r

).Logo,A reunio de produtos de intervalos abertos deR e, por-tanto, A T.T Tu: Se A T ento A reunio de conjuntos da forma A1A2 ondeA1 e A2 so abertos de R. Mas A1 e A2 so, por sua vez, reuniesde intervalos abertos de R, pelo que A1A2 reunio de conjuntosda forma]a1, b1[]a2, b2[. Como estes conjuntos pertencem aTu,A Tu.2.3 Produtos de espaos topolgicos 79Considere-se agora uma famlia (Ei)iI de espaos topolgicos. Como que se pode denir uma topologia em

iIEi que satisfaa as condiesanlogas s duas condies enunciadas na pgina 76? Poder-se-ia pensarque seria a topologia que tem por base os produtos de abertos dosEi.De facto assim caso I seja nito, mas no caso geral preciso levar emconta que se j I e se A um aberto de Ej ento, para que a projecoj:

iIEi Ej seja contnua, preciso que a topologia de iIEicontenha

iIAi ondeAi=_A se i = jEicaso contrrio.Como a topologia de iIEi vai ter que ser estvel para intersecesnitas, ento basta denir Bcomo sendo o conjunto dos produtos

iIAionde cadaAi um aberto deEi e, alm disso, tem-seAi=Ei exceptonum nmero nito de casos.Denio 2.23Se(Ei)iI for uma famlia de espaos topolgicos, de-ne-se a topologia produto no conjunto

iIEi como sendo a topologiaformada pelas reunies de conjuntos da forma

iIAi onde1. cada Ai um aberto de Ei;2. cada Ai, com um nmero nito de excepes, igual a Ei.Proposio 2.9Sejam(Ei)iI uma famlia de espaos topolgicos, Zum espao topolgico e f uma funo de Z em

iIEi. Ento f contnuarelativamente topologia produto se e s se, para cadai I,i f forcontnua.Esta proposio no ser demonstrada pois no h qualquer dife-rena substancial comparativamente com o que feito quanto ao produtode dois espaos topolgicos.Proposio 2.10Sejam(Ei)iIumafamliadeespaostopolgicos,(xn)nNumasucessodeelementosde(Ei)iIe(li)iIumelementode

iIEi. Ento (li)iI limite de (xn)nN relativamente topologiaproduto se e s se, para cada i I, li for limite da sucesso (i(xn))nN.Demonstrao: Como as projeces so contnuas, j se sabe (cf. exem-plo 2.24) que se(li)iI limite de(xn)nN ento, para cadai I,li limite da sucesso (i(xn))nN.80 Espaos topolgicosSuponha-seagoraque, paracadai I, lilimitedasucesso(i(xn))nN. Se V for uma vizinhana de (li)iI, ento V contm algumaberto A que contm (li)iI. Sabe-se, pela denio da topologia produto,que existe um conjunto nitoF I tal queA contm um conjunto daforma

iIAi tal que(li)iI

iIAi;se i I, Ai um aberto de Ei;se i I \ F, ento Ai= Ei.Para cada i F existe algum pi N tal que(n N) : npi = i(ln) Ai,poisAi uma vizinhana dei(ln). Logo, se denirp N porp=max{pi| i F}, ento(i I)(n N) : np = i(xn) Ai,ou seja(n N) : np = xn

iIAi A V.Observe-se que esta proposio permite encurtar a demonstrao deque Rn completo (veja-se o exemplo 1.35 na pgina 26).Para terminar esta seco, considere-se uma famlia (Ei)iI de espa-os topolgicos onde cadaEi igual aR (munido da topologia usual).Um elemento de

iIEi no ento mais do que uma funo de I em Re a topologia produto , neste caso, uma topologia denida no conjuntodas funes deI emR. A proposio anterior arma que uma suces-so (fn)nN de funes de I em R converge para uma funo f: I R(relativamente quela topologia) se e s se a sucesso real(fn(i))nNconvergir paraf(i), para cadai I. Logo, neste espao topolgico aconvergncia o mesmo que convergncia pontual. Repare-se que atopologia em questo no metrizvel seI for um conjunto innitono numervel, pois iIEi munido daquela topologia nem sequer 1-numervel.44Mais geralmente, se I for um conjunto innito no numervel e se, para cada i I,Ei tiver algum aberto distinto de e de Ei, ento

iIEi no 1-numervel. Tambmse pode mostrar que seI for numervel e se cadaEi for metrizvel, ento

iIEi metrizvel.2.4 Espaos conexos 812.4 Espaos conexosDenio 2.24Seja E um espao topolgico. Diz-se que E conexo seos nicos subconjuntos de E simultaneamente abertos e fechados foremE e . Caso contrrio, diz-se que E desconexo.Exemplo 2.25 claro que um espao topolgico grosseiro conexo eque um espao topolgico discreto com mais do que um ponto desco-nexo.Exemplo 2.26Os sub-espaos topolgicos conexos de R (relativamente topologia usual) so os intervalos. De facto, sejaI um intervalo novazio de R e seja A I uma parte no vazia de I que seja simultanea-mente aberta e fechada em I; vai-se mostrar que A =I. Fixe-se a Ae sejab I \ {a}; quer-se deduzir queb A. Vai-se supor queab anlogo. Sejas= supA [a, b]; visto queA um fechado deI e[a, b] I,A [a, b] um fechado de[a, b], pelo ques A [a, b] e, em particular, s A. Se se tivesse s < b, ento ter-se-ias= inf(I \ A) [s, b]; comoI \ A um fechado deI, (I \ A) [s, b] umfechado de [s, b], pelo que s (I \ A) [s, b] e, em particular, s I \ A, oque absurdo. Logo, b = s A.Reciprocamente, se A R no for um intervalo, ento existem a1 ea2 em A e existe algum x R\A tais que a1< x < a2. Logo, A] , x[ um aberto de A que no vazio (pois contm a1) nem igual a A (poisno contm a2). Consequentemente, A desconexo. importante observar que a noo de sub-espao conexo absolutae no relativa.A m de demonstrar resultados relativos a espaos topolgicos cone-xos, conveniente dispor-se do seguinte resultado:Lema 2.1Considere-se em{0, 1} a topologia usual. Um espao topol-gicoE conexo se e s se nenhuma funo contnua deE em{0, 1} forsobrejectiva.Demonstrao: Se existir uma funo f: E {0, 1} contnua e sobrejec-tiva, ento o conjuntof1({0}) aberto (pois{0} um aberto de{0, 1}),fechado (pois {0} um fechado de {0, 1}), distinto de E (pois armar quef1({0}) = E armar que f toma sempre o valor 0) e distinto de (poisarmar que f1({0}) = E armar que f toma sempre o valor 1).82 Espaos topolgicosReciprocamente, seE for desconexo ento sejaA uma parte deEsimultaneamente aberta, fechada, distinta de E e distinta de . Ento afunoE {0, 1}x _0 se x A1 caso contrrio contnua e sobrejectiva.Proposio 2.11Sejam E1 e E2 espaos topolgicos e f: E1 E2 umafuno contnua. Se E1 for conexo, ento f(E1) um sub-espao conexo deE2.Demonstrao: Seg: f(E1) {0, 1} for uma funo contnua, quer-semostrarquenosobrejectiva. Paratal, bastaverquesegfossesobrejectiva ento g f tambm o seria, pelo que E1 seria desconexo.Veja-se que este resultado uma generalizao do teorema dos valo-res intermdios. De facto, este teorema pode ser enunciado do seguintemodo: se I um intervalo de R e f: I R uma funo contnua, entof(I) um intervalo de R. Mas, pelo exemplo 2.26, os intervalos de R soos sub-espaos conexos de R.Proposio 2.12Sejam E um espao topolgico e B, C E. Se C for umsub-espao topolgico conexo de E e se C B C, ento B conexo.Demonstrao: Para se demonstrar esta proposio, vai-se aplicar aproposio 2.7 ao sub-espao topolgicoB deE e ao conjuntoC B.Veja-se que, em B, C = B. De facto, se F for um fechado de B que contmC, ento F = F B para algum fechado F de E. Mas, uma vez que F um fechado deE e queC F F,C F; em particular,B F, peloque, em B, o nico fechado que contm C B, i. e. em B tem-se C = B.Se f: B {0, 1} for contnua, ento, pela proposio 2.7,f(B) = f_C_ f(C). (2.1)Mas, uma vez que C conexo, f(C) = {0} ou f(C) = {1}. Em qualquer doscasos f(C) um conjunto formado por um nico ponto. Deduz-se entode (2.1) que f no sobrejectiva.Proposio 2.13Sejam E um espao topolgico e (C) uma famliadesub-espaosconexosdeE. Se C= , ento Cumsub-espao conexo de E.2.4 Espaos conexos 83Demonstrao: Sejaf:

C {0, 1} uma funo contnua e sejaa

C. Ento, para cada ,f(C)={f(a)}, poisC conexo.Como isto acontece para cada ,f__C_= {f(a)}.Isto mostra que, por exemplo, o conjunto dos pontos do plano que sesituam em alguma recta que passa pela origem e por algum outro pontocom ambas as coordenadas inteiras forma um sub-espao conexo de R2,pois cada uma daquelas rectas conexa (por ser homeomorfa a R) e aorigem pertence interseco.Proposio 2.14Seja (Ei)iI uma famlia de espaos topolgicos novazios. Ento

iIEi conexo se e s se cada Ei for conexo.Demonstrao: Se iIEi for conexo e sej I, ento, uma vez que aprojeco j:

iIEi Ej contnua e sobrejectiva, Ej conexo, pelaproposio 2.11.Reciprocamente, se cada Ei for conexo ento seja f:

iIEi {0, 1}umafunocontnua. Quer-semostrarquefconstante. Fixe-se(ai)iI

iIEi.Para cadaj I, considere-se a funoj: Ej

iIEi assim de-nida: sea Ej,entoj(a) =(xi)iI,ondexj=a e,sei I\{j},xi=ai. Entof j: Ej {0, 1} uma funo contnua. ComoEjconexo, trata-se de uma funo constante e toma ento sempre o valorf(j(aj)) = f ((ai)iI) .Logo, se(xi)iI diferir de(ai)iI num nico ndice tem-sef ((xi)iI)=f ((ai)iI).SejaD o conjunto dos elementos(xi)iI

iIEi tais quexi=aiexcepto eventualmente num nmero nito de pontos. A partir do quefoi visto atrs pode-se mostrar por induo quef|D constante. MasD denso em iIEi,pois se(yi)iI

iIEieV vizinhana de(yi)iI, ento V contm algum aberto da forma

iIAi onde cada Ai um aberto de Ei que contm yi e existe algum conjunto nito F I talque Ai= Ei se i I \ F. Mas ento se denir (xi)iI porxi=_yise i Faicaso contrrio,84 Espaos topolgicosento (xi)iI D

iIAi D V.Finalmente, como f contnua e f|D constante, decorre da proposi-o 2.7 que fD constante, ou seja, que f constante.Exemplo 2.27Por exemplo, considere-se o plano projectivo P2(R) e afunof: R2 P2(R)(x, y)(x, y, 1).ComoR2 conexo (pois, conforme foi visto na pgina 78, a topologiausual em R2coincide com a topologia produto) e a funo f contnua,f(R2) um sub-espao conexo de P2(R), pela proposio 2.11. Uma vezque foi visto no exemplo 2.19 quef(R2) uma parte densa deP2(R),deduz-se da proposio 2.12 que o plano projectivo conexo.Denio 2.25SeE um espao topolgico ex E, a componenteconexa de x a reunio de todas as partes conexas de E que contm x.Exemplo 2.28Num espao topolgico conexo, a componente conexa dequalquer ponto o espao todo.Exemplo 2.29Se se considerar emR \ Z a topologia usual, ento acomponente conexa de 1/2 o intervalo ]0, 1[. De facto, um sub-espaoconexo de R\ Z que contenha 1/2 s pode ser um intervalo contido em]0, 1[ que contenha 1/2. A reunio de todos estes intervalos ]0, 1[.Deduz-se da proposio 2.13 que a componente conexa de um ponto um conexo e deduz-se da proposio 2.12 que um fechado.Denio 2.26Diz-se que um espao topolgico E totalmente desco-nexo se tiver mais do que um ponto e se a componente conexa de cadax E for o conjunto {x}.Exemplo 2.30Qualquer espao topolgico discreto com mais do queum ponto totalmente desconexo.Exemplo 2.31Um sub-espao de R com mais do que um ponto total-mente desconexo se e s no contiver intervalos com mais do que umponto. Em particular, Q e R\ Q so totalmente desconexos. Alm disso,foi visto na pgina 41 que o conjunto de Cantor no contm intervaloscom mais do que um ponto, pelo que tambm totalmente desconexo.2.4 Espaos conexos 85Denio 2.27Seja E um espao topolgico. Designa-se por caminho(ou arco) uma funo contnua : [0, 1] E. Se a = (0) e se b = (1),diz-se que o caminho une o ponto a ao ponto b. A imagem de designa--se por trao de . Diz-se que o espao topolgico E conexo por arcos se,dados dois pontos a, b E, existir um caminho em E que una o ponto aao ponto b.Exemplo 2.32Qualquer sub-espao convexo C de um espao vectorialnormado conexo por arcos. Se a, b C, basta considerar o caminho[0, 1] Cta +t(b a).Por outro lado, observe-se que se E for um espao topolgico e se sedenir em E a relao binriaaCbdef. existe um caminho em E que une a a bento C mesmo uma relao de equivalncia:reexividade: sea E, basta considerar a funof: [0, 1] E quetoma sempre o valor a;simetria: se f: [0, 1] E um caminho em E que une um ponto a a umponto b, ento[0, 1] Etf(1 t) um caminho em E que une b a a;transitividade: se f1: [0, 1] E um caminho em E que une um pontoa a um ponto b e se f2: [0, 1] E um caminho em E que une oponto b a um ponto c, ento[0, 1] Et _f1(2t) se t1/2f2(2t 1) caso contrrio um caminho em E que une o ponto a ao ponto c.Consequentemente, para que um espao topolgicoE seja conexo porarcos basta que exista um ponto p E que possa ser unido a qualqueroutro ponto de E por um caminho.86 Espaos topolgicosProposio 2.15Qualquer espao topolgico conexo por arcos conexo.Demonstrao: Seja E o espao topolgico em questo, que se pode suporno vazio. Fixe-sep E e seja, para cadaq E,q um caminho queuna o pontop ao pontoq. EntoE a reunio dos traos de todos osq, os quais so conexos, pela proposio 2.11. Alm disso, o pontoppertence ao trao de todos os caminhosq, pelo queE conexo, pelaproposio 2.13.Foi visto no exemplo 2.27 que o plano projectivo conexo.Pode-sechegarmesmaconclusomostrandoqueR3\{0}conexoporar-cos e, consequentemente, conexo. Em seguida basta observar que afuno : R3\ {0} P2(R) contnua e sobrejectiva e aplicar a propo-sio 2.11.2.5 Espaos compactos2.5.1 Caso geralDenio 2.28SejaE um espao topolgico.Diz-se que uma famlia(Aj)jJ de partes deE uma cobertura deE seE=

jJAj; uma talcobertura diz-se aberta (respectivamente nita) se, para cada j J, Ajfor um aberto (resp. seJ for nito). As subfamlias de uma coberturaque sejam coberturas designam-se por sub-coberturas. Diz-se queE compacto se qualquer cobertura aberta de E possuir uma sub-coberturanita.Exemplo 2.33Qualquer espao topolgico nito compacto.Exemplo 2.34Um espao topolgico discretoE s pode ser compactose for nito, uma vez que a cobertura aberta{{x} | x E}no possui nenhuma sub-cobertura alm dela prpria.Exemplo 2.35O espao topolgico R, munido da topologia usual, no compacto. Basta ver que a cobertura aberta(] n, n[)nNno tem qualquer sub-cobertura nita.2.5 Espaos compactos 87 visto nos cursos de Anlise Real de funes de vrias variveis (eser demonstrado mais frente) que um sub-espao K de Rn compactose e s se K for fechado e limitado. importante observar que isto no verdade em geral em espaos topolgicos, por trs motivos.1. Um sub-espao topolgicoK de um espao topolgicoE pode sercompacto sem que K seja um fechado de E. Por exemplo, se emR seconsiderar a topologia grosseira ou a topologia dos complementaresnitos (denida no exemplo 2.9), ento qualquer sub-espao de R compacto, independentemente de ser ou no um fechado de R.2. Conforme foi mencionado na pgina 73, a noo de conjunto limi-tado mtrica e no topolgica. Consequentemente, o enunciados faz sentido em espaos mtricos.3. Mesmo em espaos mtricos o enunciado falso. Basta considerar,por exemplo, R munido da mtrica discreta. Ento R uma partefechada e limitada daquele espao, mas no um compacto.Observe-se que a noo de sub-espao compacto absoluta e norelativa. Por outro lado, se E um espao topolgico, K um sub-espaodeE e(Aj)jJ uma cobertura aberta deE, ento cadaAj da formaUj K ondeUj um aberto deE.Tem-se entoK

jJUj e seF Jento(Aj)jF uma sub-cobertura de(Aj)jJse e s seK

jJUj.V-se ento que o sub-espao K compacto se e s se, dada uma famlia(Uj)jJ de abertos de E cuja reunio contenha K, existe uma sub-famlianita com a mesma propriedade.Se E um espao topolgico e K E, frequente empregar a expres-so K um compacto de E para dizer que o sub-espao K compacto.Proposio 2.16Se F for um fechado de um espao topolgico compactoK, ento F compacto.Demonstrao: Seja (Uj)jJ uma famlia de abertos deK cuja reuniocontenha F. EntoK = F

_jJUj.ComoF

um aberto deK bem como cadaUj, o conjunto formado porF

e pelos Uj uma cobertura aberta de K. Uma vez que K compactoexiste alguma parte nita de J tal queK = F

_jUj88 Espaos topolgicose, portanto,F _jUj.Conforme j foi observado na pgina anterior, um sub-espao K deum espao topolgicoE pode ser compacto mesmo sem queK seja umfechado de E. No entanto, a prxima proposio mostra que isto s podeter lugar se E no for separado.Proposio 2.17Sejam E um espao topolgico separado e K um com-pacto de E. Ento K um fechado de E.Demonstrao: Vai-se mostrar queK

um aberto deE. Seja entox K

. Como E separado, para cada k K existem vizinhanas Vk eUk de k e de x respectivamente tais que VkUk= . Para cada k K, Vkcontm um aberto Ak que contm k. Mas ento (Ak)kK uma famliade abertos deE que contmK, pelo que existe algum conjunto nitoF K tal queK _kFAk.Mas por um lado

kFAk no intersecta

kFVk e, por outro lado, esteltimo conjunto uma vizinhana dex. Em particular, existe umavizinhana dex que no intersectaK, pelo queK

vizinhana dex.Como isto tem lugar para cada x K

, este conjunto aberto.Proposio 2.18SejamE1 eE2 espaos topolgicos,f: E1 E2 umafuno contnua eK um sub-espao compacto deE1. Entof(K) umsub-espao compacto de E2.Demonstrao: Seja(Aj)jJumacoberturaabertadef(K). Entooconjunto (f1(Aj))jJ uma cobertura aberta de K, pelo que, para algumsubconjunto nito F de J,K _jFf1(Aj),ou seja,f(K) _jFAj.2.5 Espaos compactos 89Corolrio 2.1SejamE1eE2espaos topolgicos ef: E1 E2umabijeco contnua. SeE1 for compacto eE2 for separado, entof umhomeomorsmo.Demonstrao: Para mostrar que f um homeomorsmo basta mostrarque f1 contnua e isto equivale, pelo teorema 2.1, a mostrar que seF um fechado deE1 entof(F) um fechado deE2. Mas seF umfechado de E1 ento F compacto, pela proposio 2.16. Logo, f(F) umcompacto, pela proposio anterior. Deduz-se ento da proposio 2.17que f(F) um fechado.Proposio 2.19Se K for um espao topolgico compacto e (Fn)nN foruma sucesso decrescente de fechados no vazios de E, ento

nNFn =.Demonstrao: Suponha-se, por reduo ao absurdo, que

nNFn= .Ento_nNFn

= K.Como K compacto, existe algum subconjunto nito F de N tal que_nFFn

= K,ou seja, tal que

nFFn= .Mas se m = max F ento, uma vez que a sucesso (Fn)nN decrescente,tem-seFm=

nFFn= ,o que contradiz a hiptese de que os Fn no so vazios.Decorre imediatamente desta proposio e da denio de pontoaderente de uma sucesso que se tem:Corolrio 2.2Se K for um espao topolgico compacto, qualquer suces-so de elementos de K tem pontos aderentes.90 Espaos topolgicosEm particular, se K for compacto e 1-numervel, deduz-se da propo-sio 2.8 que qualquer sucesso de elementos de K tem sub-sucessesconvergentes.Exemplo 2.36Considere-se o espao C(R) das funes contnuas de Rem R munido da mtrica do supremo. Vai-se usar o corolrio anteriorpara mostrar que B

(0, 1) (onde 0 a funo nula) no um sub-espaocompacto.5Para cada n N, sejafn: R Rx ___0 se x/ [n, n +1]2x 2n se x ]n, n +1/2]2n +2 2x se x [n +1/2, n +1[(o seu grco est representado na gura 2.4). Ento a distncia entren n+11Figura 2.4: Grco de fndois pontos distintos da sucesso (fn)nN igual a 1, pelo que nenhumasub-sucesso de (fn)nN convergente.2.5.2 Espaos mtricos compactosVai ser demonstrado para espaos mtricos um teorema do qual sevai poder deduzir que em Rnum sub-espao K compacto se e s se K um conjunto fechado e limitado.Denio 2.29Diz-se que um subconjunto A de um espao mtrico totalmente limitado se, para cada R+, A estiver contido na reuniode um nmero nito de bolas abertas de raio .Naturalmente, qualquer parte totalmente limitada de um espaomtrico limitada, mas o recproco falso.5Repare-se que isto fornece outro exemplo de um sub-espao no compacto F de umespao mtrico sendo F fechado e limitado.2.5 Espaos compactos 91Exemplo 2.37Se se considerar em R a mtrica discreta, ento R umsubconjunto limitado de si prprio, mas no totalmente limitado, poisno est contido na reunio de um nmero nito de bolas de raio 1.Exemplo 2.38EmRnqualquer subconjunto limitado A totalmentelimitado (relativamente mtrica usual). Comece-se por ver que A estcontido na reunio de um nmero nito de bolas de raio n. Basta verque se (x1, . . . , xn) A, ento(x1, . . . , xn) B_([x1], . . . , [xn]),n_. (2.2)Mas, como A limitado, A est contido em algum conjunto da forma[p1, q1] [p2, q2] . . . [pn, qn],onde cada pi e cada qi pertence a Z. Deduz-se ento de (2.2) que A estcontido na reunio das bolas de raio n e cujos centros so os n-uplosda forma (r1, . . . , rn), onde cada ri um inteiro do intervalo [pi, qi].Seja agora R+. J foi visto quenA est contido numa reunionita de bolas de raio n. Mas isto o mesmo que armar que A estcontido numa reunio nita de bolas de raio .Teorema 2.3Sejam E um espao mtrico e K E. As condies seguin-tes so equivalentes:1. K compacto;2. K completo e totalmente limitado;3. qualquersucessodeelementosdeKpossuiumasub-sucessoconvergente para um elemento de K.Demonstrao: A demonstrao ser feita segundo o esquema 1 2 3 1.Comece-se por supor que K compacto; pretende-se mostrar que K completo e totalmente limitado. Que totalmente limitado resulta de seter, para cada R+,K _xEB(x, )e deK ser compacto. Para se mostrar queK completo, considere-seuma sucesso de Cauchy(xn)nNde elementos deK. Sabe-se, pelocorolrio 2.2, que alguma sub-sucesso(xnk)kN da sucesso(xn)nNconverge para algum x E. Como K compacto ento um fechado de E,92 Espaos topolgicospela proposio 1.13, pelo que x K. Para terminar a demonstrao deque K completo basta demonstrar que (xn)nN converge para x. Sejaento R+. Existe p N tal que(k N) : kp = d(xnk, x) 0};B = {(x, y) R2: x > 0 e y > 0};C = {(x, y) R2: x2+y2< 1}.34) Verique que os seguintes sub-espaos de R3so dois a dois homeo-morfos:A = {(x, y, z) R3: x2+y2= 1};B = {(x, y, z) R3: x2+y2= 1 e |z| < 1};C = {(x, y, z) R3: x2+y2+z2= 1 e |z| = 1}.35) SejamA eC como no exerccio anterior. Para cadak R,sejaPk= {(x, y, z) R3: z = k}; para cada R, seja S o semi-planoS= {(cos , sen, 0) + (0, 0, ) : > 0 e R}.Considere homeomorsmos : C A satisfazendo as seguintes condi-es:1. Deixam xos os pontos de C A;2. Enviam circunfernciasC Pk (1 N = dn(xn, yn)/n < , ento tem-se:

n=1dn(xn, yn)2n 0};5. {(x, y) R2| xy0};6. (C([0, 1]), d), sendo d a mtrica denida na pgina 42;7. (C([0, 1]), d

), sendo d

a mtrica denida na pgina 45.62) Considere emR as topologiasTe, Td eT que foram consideradasno exerccio 20. Mostre que as nicas funes contnuas de(R, T) em(R, Te) ou em (R, Td) so as funes constantes.63) SejaY= {(x, sen(1/x)) | x R\ {0}} {(0, y) | 1y1}com a topologia de sub-espao de R2. Mostre que:1. Y conexo.2. Y tem trs componentes conexas por arcos.64) Considere emC a mtrica usual. Mostre queC \ {0} conexo porarcos.65) SejaM(n, C) o espao das matrizes quadradas de ordemn comentradas complexas. Seja GL(n, C) M(n, C) o subespao das matrizesde determinante no nulo e T(n, C) GL(n, C) o subespao das matrizestriangulares superiores (de determinante no nulo). Considere M(n, C)como espao mtrico identicando-o a Cn2; mais precisamente, considereem M(n, C) a distnciad((aij)1i,jn, (bij)1i,jn) = max1i,jn|aij bij|.1. Mostre que GL(n, C) um aberto de M(n, C).2. Mostre que T(n, C) conexo por arcos.2.6 Exerccios 1133. Mostre que GL(n, C) conexo por arcos (Sugesto: Usando o factode que qualquer matriz deM(n, C) semelhante a uma matriztriangular superior, mostre que existe uma famlia de subespaosde GL(n, C) homeomorfos a T(n, C) cuja interseco no vazia ecuja reunio igual a GL(n, C)).66) Considere os espaos de matrizes com coecientes reaisM(n, R),GL(n, R) e T(n, R) (as denies so anlogas s de M(n, C), GL(n, C) eT(n, C)). Seja O(n) M(n, R) o subespao das matrizes ortogonais (isto, matrizes em que a transposta igual inversa).1. Mostre queGL(n, R) eO(n) tm pelo menos duas componentesconexas por arcos (Sugesto: use a funo determinante).2. Dada uma matrizM GL(n, R), mostre que existe um caminhoemGL(n, R) que comea emM e acaba num elemento deO(n).(Sugesto: Para0 m n, sejaOm(n) o espao das matrizesA GL(n, R) tais que os m primeiros vectores coluna de A so doisa dois ortogonais e tm norma 1; observe queO0(n)=M(n, C) eque On(n) = O(n). Se m < n e (E1, E2, . . . , En) Om(n) (sendo E1,. . . , En vectores coluna), ento a aplicao : [0, 1] GL(n, R) (Rn)ndenida porj(t)=Ej sej =m + 1 em+1(t)=Em+1t

mk=1(Em+1.Ek)Ek um caminho entre (E1, . . . , En) e uma matriz(E1, E2, . . . , Em, E

m+1, . . . , En) em que E

m+1 ortogonal a E1, . . . , En.Depois: [0, 1] GL(n, R) denida porj(t)=Ej sej =m +1em+1(t) =(1+t(E

m+1

11))E

m+1umcaminhoentre(E1, . . . , Em, E

m+1, . . . , En) e um elemento de Om+1(n).)3. Mostre que T(n, R) tem 2ncomponentes conexas por arcos.Captulo 3Espaos de funesDenio 3.1SeF for um conjunto de funes de um conjuntoX emR, diz-se que F uma lgebra de funes de X em R se1. (f, g F) : f +g F;2. (f, g F) : f.g F;3. (f F)( R) : f F.SeF

for outra lgebra de funes deX emR, diz-se queF

umasub-lgebra de F se F

for uma lgebra de funes e se F

F.Exemplo 3.1Dado qualquer conjunto X, o conjunto de todas as funesde X em R uma lgebra de funes.Exemplo 3.2O mesmo acontece com o conjunto Fl(X) de todas as fun-es limitadas de X em R.Exemplo 3.3O conjunto de todas as funes polinomiais de Rnem Rforma tambm uma lgebra de funes.3.1 O teorema de Stone-WeierstrassSe E for um espao topolgico, ento o conjunto C(E) de todas as fun-es contnuas de E em R uma lgebra de funes. Para o demonstrar,sejam f, g C(E); quer-se mostrar que f +g e f.g so funes contnuas.Considerem-se as funes: E E Ex(x, x)e h: E E R2(x, y)(f(x), g(y)).Ento, se a (respectivamente p) representar a adio (resp. o produto)de R2em R, tem-sef + g =a h (resp.f.g =p h ). Logo, para116 Espaos de funesmostrar que f +g e f.g so funes contnuas, basta mostrar que , h, ae p so contnuas.1Ora1. visto nos cursos de Anlise Real de funes de vrias variveisque a adio e o produto so funes contnuas de R2em R;2. que contnua resulta imediatamente da proposio 2.9;3. nalmente, para mostrar queh contnua aplica-se igualmentea proposio 2.9. Para mostrar que a funo1 h: E E R contnua basta observar que seA for um aberto deR,ento(1 h)1(A)=f1(A) E, que um aberto deE E.Mostra-sede maneira anloga que 2 h contnua.Finalmente, se f C(E) e se R, quer-se mostrar que f C(E). Paratal, veja-se que a funo : R R denida por (x) = x contnuae que f = f.Sejam K um espao mtrico compacto e C(K) o conjunto das funescontnuas de K em R. Pelo corolrio 2.5, cada f C(K) limitada, peloque se pode considerar em C(K) a mtrica do supremo. Ser sempre comesta mtrica que se ir trabalhar em C(K).Proposio 3.1SejaK um espao topolgico compacto. SeF for umasub-lgebra de C(K), ento F tambm o .Demonstrao: preciso mostrar que se f, g F e se R, entof +g, f.g, f F. (3.1)Sejam (fn)nN e (gn)nN sucesses de elementos de F convergentes paraf e para g respectivamente; tais sucesses existem pela proposio 1.8. Am de se mostrar que se tem (3.1), basta mostrar que limnN(fn +gn) =f +g, que limnN(fn.gn) = f.g e que limnN(fn) = f, novamente pelaproposio 1.8. Vai-se mostrar que a segunda daquelas trs igualdades vlida; as outras so mais simples de demonstrar. Seja ento R+;quer-se mostrar que(p N)(n N) : np = sup|f.g fn.gn| < .Para tal, observe-se que, para cada n N,f.g fn.gn= (f fn).g +f.(g gn) (fn f).(gn g). (3.2)1A topologia que se est aqui a considerar emR e emR2 a usual. Convm lembrarque foi observado na pgina 78 que emR2a topologia usual idntica topologiaproduto de R por R3.1 O teorema de Stone-Weierstrass 117Seja M R+ tal que sup|f|, sup|g| < M e seja p N tal que se n N enp, ento tem-se:sup|f fn|, sup|g gn| < inf__3,3M_.Resulta ento da relao (3.2) e da escolha de p que, caso np,sup|f.g fn.gn| f(t) .118 Espaos de funesComoK compacto e cadaVx contm um aberto que contmx, existeum conjunto nito{x1, . . . , xn} K tal queK

nj=1Vxj. Sejafk=max{fx1,k, . . . , fxn,k}. Ento fk F e(x K) : fk(x) > f(x) .Alm disso,fk(k) = max{fx1,k(k), . . . , fxn,k(k)} = max{f(k)} = f(k).Existe ento uma vizinhana Uk de k tal que(t Uk) : fk(t) < f(t) +.Sek1, . . . , kmKforemtaisqueK

mj=1Ukjesesedenirg =min{fk1, . . . , fkm}, ento g F e, alm disso,como se tem fkj(x)>f(x) para cada j {1, . . . , m} e para cadax K, tem-se g(x) > f(x) para cada x K;para cadax K, existe algumj {1, . . . , m} tal quex Ukj, peloque g(x)fkj(x) < f(x) +.Logo, (x K) : |f(x) g(x)| < , i. e. sup|f g| < .Este teorema no uma generalizao do teorema de Weierstrass,pois em geral no verdade que se P1 e P2 so funes polinomiais deum intervalo [a, b] de R com valores em R, ento as funes max{P1, P2}emin{P1, P2}tambmsejampolinomiais. Umexemplodeaplicaodeste teorema, ainda no caso de um intervalo[a, b] deR, dado peloconjunto das funes lineares por bocados. So as funes cujo grco do tipo do da gura 3.1. Mais precisamente considere-se o conjuntoa bFigura 3.1: Exemplo de grco de funo linear por bocados3.1 O teorema de Stone-Weierstrass 119F das funes contnuasf: [a, b] R para as quais existem algumapartio{a0, a1, . . . , an} de[a, b] e nmeros reais1, . . . , n, 1, . . . , ntais que(i {1, 2, . . . , n})(x [ai1, ai]) : f(x) = ix +i. ento claro que F satisfaz as condies do teorema de Kakutani-Krein,pelo que um subconjunto denso de C([a, b]).Teorema 3.2 (Teorema de Stone-Weierstrass) Seja K um espao to-polgico compacto e seja F uma lgebra de funes contnuas de K em Rtal que:1. as funes constantes de K em R pertencem a F;2. se x e y so pontos distintos de K, ento existe alguma funo f Ftal que f(x) = f(y).Ento F um subconjunto denso de C(K).Demonstrao: Vai-se mostrar que F satisfaz as hipteses do teoremade Kakutani-Krein. Isto mostra queF denso;como tambm umfechado, F= C(K).Comece-se por ver que sex, y K e sea, b R (coma=b casox = y), ento existe alguma funo f F tal que f(x) = a e f(y) = b. Sex = y, basta tomar para f a funo constante que toma sempre o valor a.Caso contrrio, seja F tal que (x) = (y); dene-se entof: K Rt (t)(x)(y)(x)(b a) +aVai-se agora ver que sef pertence aF, ento|f| tambm pertence.Daqui vai-se poder deduzir que, se f, g F, ento max{f, g}, min{f, g} F,pois quemax{f, g} =f +g +|f g|2emin{f, g} =f +g |f g|2SejaM um majorante de|f|.Para cadan N existe, pelo teorema deWeierstrass, alguma funo polinomial Pn: [n, n] R tal que(t [n, n]) :|t| Pn(t)