topo i+ii+cor-compil extrait

Topographie et topomtrie - S. Milles, J. Lagofun

INTRODUCTION

INTRODUCTION

Cette introduction a pour but de justifier lordre des diffrentes parties abordes dans cetouvrage ainsi que leurs liens logiques dans lensemble complexe quest la topographie.

FINALIT DE LA TOPOGRAPHIEComme souvent, il est pratique de partir de la finalit pour remonter aux techniquesmises en uvre et les justifier ainsi.En schmatisant, on peut dire que la topographie a pour objectifs principaux de permettreltablissement de cartes et de plans graphiques sur lesquels sont reprsentes, sousforme symbolique, toutes les informations ayant trait la topologie du terrain et sesdtails naturels et artificiels. Cette cartographie de donnes existantes permettra parexemple de sorienter sur le terrain ou bien dtudier un projet de construction.

COMMENT ATTEINDRE CES OBJECTIFS

tablissement de cartes petite chelle

La premire ide qui vient lesprit est deffectuer des prises de vue ariennes par avionou par satellite puis de transcrire ces informations sur papier. Dveloppons cet exemple.

Perspective conique

Une photographie est une perspective conique et non une reprsentation plane. De plus,le relief napparat pas sur une photographie...


GODSIE, CARTOGRAPHIE

GODSIE,

CARTOGRAPHIE

GNRALITS ET DFINITIONSLa godsie est une des sciences de base ncessaires au topographe. Sa matrise nest pasindispensable : elle relve du domaine du spcialiste mais un aperu centr sur lesincidences de la forme et des caractristiques de la terre sur la topographie est indispen-sable. Ceci permet dintroduire et de justifier les problmes de projection plane et leursincidences sur la carte de base, les choix de points et de surfaces de rfrence pour unsystme de coordonnes gnral, etc. Mais, dfinissons dans un premier temps, levocabulaire de base.

Topomtrie : du grec topos signifiant le lieu et mtrie signifiant lopration de mesurer.Cest donc lensemble des techniques permettant dobtenir les lments mtriquesindispensables la ralisation d'un plan grande ou trs grande chelle (voir Lever dedtail, chap. 8).Ces lments ncessitent diffrentes mesures sur le terrain suivies de nombreux calculs,schmas et croquis. Cest un domaine vaste qui demande de nombreuses comptencesauxquelles loutil informatique est aujourdhui indispensable.Topographie : association de topos et de graphein qui, en grec, signifie dcrire. Cestdonc la science qui donne les moyens de reprsentation graphique ou numrique dunesurface terrestre.

La nuance entre ces deux techniques rside dans le fait quen topographie le terrain estreprsent in situ alors quen topomtrie les calculs et reports sont des phases ultrieuresau travail sur le site.

Topologie : cest la science qui analyse les lois gnrales de la formation du relief par lesdformations lentes des aires continentales appeles mouvements pirogniques,



attnus ultrieurement par les actions externes : rosion due la mer, au vent, la glace, leau et la neige.

Godsie : cest la science qui tudie la forme de la terre. Par extension, elle regroupelensemble des techniques ayant pour but de dterminer les positions planimtriques etaltimtriques dun certain nombre de points godsiques et repres de nivellement.

Cartographie : cest lensemble des tudes et oprations scientifiques, artistiques ettechniques intervenant partir dobservations directes ou de lexploitation dun docu-ment en vue dlaborer des cartes, plans et autres moyens dexpression. Ci-aprs, estdonne une classification des cartes en fonction de leur chelle et de leur finalit :

Canevas : cest lensemble des points connus en planimtrie et/ou en altimtrie avec uneprcision absolue homogne.

FORMES ET DIMENSIONS DE LA TERRE

Gode

En apparence la Terre a la forme dune sphre. En fait, elle est lgrement dforme parla force centrifuge induite par sa rotation autour de laxe des ples : la Terre nest pas uncorps rigide. Cette dformation est relativement faible : tassement de 11 km au niveaudes ples par rapport un rayon moyen de 6 367 km et renflement de 11 km au niveaude lquateur. Elle a donc laspect dun ellipsode de rvolution dont le petit axe est laxede rotation : laxe des ples (fig. 2.2.).

chelles Finalit

1/1 000 000 1/500 000 Cartes gographiques

1/250 000 1/100 000 Cartes topographiques petite chelle

1/50 000, 1/25 000 (base), 1/20 000 Cartes topographiques moyenne chelle (IGN)

1/10 000 Cartes topographiques grande chelle

1/5 000Plans topographiques dtude, plans durbanisme

1/2 000Plans doccupation des sols (POS), descriptifs parcellaires

1/1 000, 1/500 Plans parcellaires, cadastraux urbains

1/200Plans de voirie, dimplantation, de lotissement

1/100 Plans de proprit, plans de masse

1/50 Plans darchitecture, de coffrage, etc.



La Terre est une surface en quilibre. La surface du niveau moyen des mers et ocansau repos na pourtant pas une forme rgulire et ne concide ainsi pas avec un ellipsodede rvolution : elle nest pas rgulire mais ondule, prsente des creux et des bosses(fig. 2.1.). Par exemple, la surface de la mer se bombe au-dessus dun volcan et se creuseau-dessus des grandes fosses ocaniques parce que les reliefs crent des excs ou desdficits de matire produisant ainsi des variations locales du champ de pesanteur. Or lasurface dun fluide en quilibre est en tout point normale aux forces de pesanteur : on ditquelle est quipotentielle du champ de pesanteur. La Terre, non rigide, peut treconsidre comme un fluide ; la direction des forces de pesanteur varie dun endroit unautre en raison de la rpartition htrogne de la matire composant la Terre ; sa surfacenest donc pas rgulire.

La surface des mers et ocans au repos recouvrant toute la Terre est appele gode(fig. 2.1.) ; voir aussi le paragraphe 6.1.

Le gode, niveau des mers prolong sous les continents, est donc une surface gauche laquelle on ne saurait appliquer des relations mathmatiques de transformation. Il est lasurface de rfrence pour la dtermination des altitudes, autrement dit la surface deniveau zro. En ralit, la rfrence en altitude dpend du choix du repre fondamentalet du systme daltitude. Il sensuit que la surface de niveau zro est lgrement diff-rente du gode ; lcart est constant et reprsente laltitude du point fondamental au-dessus du gode (se reporter au paragraphe 6.3.).

Remarque

Lorsque le topographe (ou le maon) cale la bulle de son niveau, il matrialise un plantangent au gode qui correspond la surface dquilibre des eaux (pente dcoulementdes eaux nulle). On obtient ainsi partout lorientation de la verticale physique dunlieu. Il est intressant de noter quaucune autre rfrence noffre de telles facilits.

Fig. 2.1. : Ellipsode et gode



Ellipsode de rvolution

Dfinitions

La surface la plus proche du gode est un ellipsode de rvolution, cest--dire unvolume engendr par la rotation dune ellipse autour dun de ses deux axes. La terretournant autour de laxe des ples (de demi-longueur b, fig. 2.2.), cette rotation engendreun cercle quatorial de rayon a.

Les dimensions de lellipsode sont dtermines en comparant la distance par mesuresgodsiques et la diffrence de latitude par mesures astronomiques entre deux pointsdun mme mridien.

Un mridien est lintersection dela surface de lellipsode avec unplan contenant laxe des ples :cest donc une ellipse.

Un parallle est lintersection dela surface de lellipsode avec unplan perpendiculaire laxe desples : cest donc un cercle.

Tous les mridiens sont gauxentre eux ( quelques carts prs).Leur rayon de courbure diminuedes ples vers lquateur, doncleur courbure (inverse du rayon)augmente.

Il nexiste pas un ellipsode global unique mais plusieurs ellipsodes locaux dfinis pourchaque pays, chacun adoptant un ellipsode le plus proche possible du gode local. Ceciexplique que les ellipsodes diffrent dun pays lautre. Pour la godsie franaise, onutilise lellipsode dfini en 1880 par Clarke et dont les caractristiques, trs lgrementmodifies par lIGN par rapport lellipsode initial, sont les suivantes :

l Demi-grand axe : a = 6 378 249,20 ml Demi-petit axe : b = 6 356 515,00 m

l Aplatissement : 1

l Excentricit e :

1 f vient de flattening en anglais.

Fig. 2.2. : Ellipsode de rvolution

f a ba

------------

1293 466 021 3,-----------------------------------= =

e2 a

2 b2a

2---------------- 0 006 803 487 646,= =



Cest lellipsode de rfrence actuellement utilis comme surface de projection pourltablissement de cartes et plans assez tendus.

Il a t choisi le plus proche possible du gode, cest pourquoi :

l il est tangent au gode au Panthon, Paris ;l les carts entre gode et ellipsode ne dpassent pas 14 m en France (voir 6.1).

Ces caractristiques sont en cours de modification afin de mettre en place un systmeinternational, de plus en plus ncessaire. Le dveloppement du GPS et des travaux degodsie raliss au niveau europen imposent ces modifications (voir 5.3).

Autres ellipsodes

Comme nous lavons dit au paragraphe prcdent, dautres ellipsodes ont t ou sontutiliss. Leurs caractristiques sont les suivantes :

Lellipsode Clarke 1880 (IGN) est associ au systme national appel Nouvelle Trian-gulation Franaise utilisant la projection Lambert (voir 3.4).Le systme WGS 84 (World Gnral System 1984) sert de base au systme gocentriquede rfrence utilis en GPS (chap. 7 1). Son ellipsode IAGRS 80 est trs proche deGRS 80 (Geodetic Reference System 1980).Le systme European Datum 1950 utilise la projection Universal Transverse Mercator(voir 3.5).

Le tableau suivant donne les dcalages dorigine tx, ty et tz connus quelques mtres prsdans un repre gocentrique dfini au paragraphe 2.2.3.1. pour les couples IAGRS 80 -Clarke 80 et Hayford 09 - Clarke 80. Pour le premier couple, sont galement donns lefacteur dhomothtie k et les rotations daxes rx, ry, et rz.

Ellipsode grand axe a (m)

petit axe b (m)

Excentricit e1/aplat. 1/f

Syst. godsiquePoint fondamental

ProjectionMridien origine

Clarke 1880

6 378 249,200

6 356 515,000

0,082 483 256 763

293,466 021 3

NTF

Panthon

Lambert

Paris

Hayford 1909

6 378 388,000

6 356 911,946

0,081 991 890 22

297,000 000 0

ED 50

Potsdam

UTM

Greenwich

GRS 19806 378 137,000

6 356 752,300

0,081 819 218 06

298,257 025International

IAGRS 1980

6 378 137,000

6 356 752,314

0,081 819 191 31

298,257 222 101WGS 84



Ces paramtres permettent detransformer les coordonnes depoints dun systme un autre parune similitude euclidienne (adap-tation du type Helmert dfinie autome 2, chapitre 1, 10.3) troisou sept paramtres selon la pr-cision cherche (voir aussi tome 2chap. 5 8.2.8). Pour la cartogra-phie petite chelle, la prcisionde quelques mtres est suffisanteet on peut ainsi se contenter decette similitude trois paramtres.Pour plus de prcision (dcimtri-que), on utilise une similitude sept paramtres dtermins localement par observationde points connus dans deux systmes diffrents. Par exemple, dans les prochaines di-tions de ses fiches de points godsiques, lIGN proposera les paramtres de la transfor-mation trois ou sept paramtres la mieux adapte chaque lieu pour passer du systmeWGS 84 (ellipsode IAGRS 80) au systme NTF (ellipsode Clarke 80) puis au systmeRGF 93 (voir 5.3).

Systmes de coordonnes

Systme gocentrique

Un systme de rfrence gocen-trique est un repre (O, X, Y, Z)(fig. 2.3-a.) tel que :l O est proche du centre des

masses de la terre (au mieux quelques dizaines de mtresprs pour les systmes ralisspar godsie spatiale) ;

l laxe OZ est proche de laxe derotation terrestre ;

l le plan OXZ est proche du plandu mridien origine.

Dans un systme de rfrence godsique, un point de la crote terrestre est considrfixe bien quil soit soumis de faibles mouvements, dus aux mares terrestres, duneamplitude infrieure 30 cm et aux mouvements tectoniques, provoquant des dplace-ments infrieurs 10 cm par an.

De :Vers :

IAGRS 80 Clarke 80

Hayford 09 Clarke 80

tx (m) 168 84

ty (m) 60 37

tz (m) 320 437

rx (gon) 0

ry (gon) 0

rz (gon) 0,554

k = 1 + d 1 21,98 . 108

Fig. 2.3-a. : Coordonnes gocentriques



Systme Gographique

Laxe de rotation de la terre estlaxe des ples PP. Le cercle per-pendiculaire laxe des ples estlquateur. La demi-ellipse mri-dienne passant par les ples et parun point A est la mridienne de A(fig. 2.3-b.).Un point sur lellipsode estrepr par sa longitude et sa lati-tude (rapportes la normale (na) lellipsode en A).Elles sont dfinies ci-aprs.

l Longitude () : la longitude dun lieu A est langle didreform par le mridien du lieuavec le mridien origine. Elleest comprise entre 0 et 180 Est ou Ouest. Le mridien origine international est celuide Greenwich (observatoire de la banlieue de Londres).

l Latitude () : la latitude de A est langle que fait la verticale (na) de A avec le plande lquateur. Elle est comprise entre 0 90 Nord ou Sud. Les cercles perpendicu-laires la ligne des ples PP sont appels parallles : ils sont parallles au plan delquateur.

Hauteur ellipsodale (h) : un point A situ sur la surface de la terre et sur la mmeverticale que A, on associera une troisime coordonne correspondant la hauteur au-dessus de lellipsode, note h, mesure suivant la normale (na).

RemarquePar la suite, nous parlerons plus volontiers de coordonnes godsiques puisquellessont associes un ellipsode donc un systme godsique donn.

Systmes godsiques

Un systme godsique est dfini par :

l un ellipsode, choisi le plus proche possible du gode local ;l un systme de reprsentation plane ;l un point fondamental (sauf dans le cas dun systme gocentrique o il ny a pas de

point fondamental) dont les coordonnes sont dtermines par des mesuresastronomiques ; en ce point, la normale lellipsode est confondue avec la verticalecest--dire la normale au gode.

Fig. 2.3-b. : Coordonnes gographiques



Courbe quelconque sur une surface

Considrons une courbe gauche sur laquelle est dfinie en M une tangente Mt. Le planlimite P de deux tangentes infiniment voisines est appel plan osculateur et la perpendi-culaire la courbe situe dans ce plan est la normale principale ( ).En gnral, la normale principale est diffrente de la normale la surface ( ).

Les courbes telles que ( ) confondue avec ( ) sont appeles godsiques ; elles ont desproprits intressantes puisque :

l entre deux points, la godsique est la ligne de longueur minimale ;l la courbure dune godsique est la courbure de la section normale qui lui est

tangente.

Godsiques

Godsiques de la sphre

Les godsiques de la sphre sont des grands cercles. En tous points de ces cercles, lanormale principale passe par le centre de la sphre ; elle est donc confondue avec lanormale la sphre. Les angles compris entre une godsique et les mridiens sont tousdiffrents.

Pour aller du point M au point M, le plus court chemin est la godsique ; ces grandscercles, trajectoires de longueur minimale, sont appels orthodromie (fig. 2.9.).

N

n

Fig. 2.7. : (P) plan osculateur Fig. 2.8. : Godsique

N n


sergeDroite


On dfinit la loxodromie comme une courbe qui coupe tous les mridiens sous un azimutconstant Z (voir la dfinition dun azimut au 4.2) ; entre les deux points A et B, lechemin le plus court est la godsique ; la loxodromie, plus facile suivre, oblige parcourir un trajet plus long (fig. 2.10.).

Godsiques de lellipsode

Entre deux points A et B de lellipsode passe une godsique (G) qui reprsente latrajectoire la plus courte de A B. (G) est une courbe gauche, trs voisine des sectionsnormales (naB) et (nbA).Les angles mesurs depuis les points A et Bsont les angles didres entre les plans verticauxcontenant chacun des points viss A et B,larte tant la verticale de chaque station ; onassimile les verticales de chaque station auxnormales la surface et les traces des plansverticaux aux godsiques joignant les points.Le point B est repr depuis le point A parlazimut Az (fig. 2.11.). Langle est comptpositif en sens horaire depuis le mridien de Avers la vise AB, et la distance AB est la lon-gueur de la godsique.

Fig. 2.9. : Orthodromie Fig. 2.10. : Loxodromie

Fig. 2.11. : Godsique de lellipsode



Conclusion

Il nexiste pas de calculs trigonomtriques sur lellipsode. On est donc amen utiliserla trigonomtrie sphrique (tome 2 chap. 5 4.4) et adopter la sphre se rapprochantle plus de lellipsode dans la rgion considre.

Son rayon RN est gal :

Au voisinage du parallle 49 gon pour lellipsode Clarke 1880, on a RN = 6 377,53 km.

En reprenant les expressions de et , rayons de courbure dessections normales principales, ( 2.3.1.2), on obtient :

avec : a, longueur du demi grand axe de lellipsode en mtre;e, excentricit ( 2.2.2) ;, latitude de la rgion considre.

a) Calculez le rayon RN de la sphre au voisinage des parallles 52 gon et 55 gon.b) Calculez le rayon de la sphre RN aux latitudes extrmes de la France mtropolitaine(environ 47 et 57 gon).

a) 6 379,58 et 6 381,62 km.b) 6 376,16 et 6 382,96 km. On peut donc prendre comme valeur moyenne de RN enFrance : RN 6 380 km. On trouve aussi comme valeur moyenne du rayon terrestre

.

REPRSENTATION PLANE DE LELLIPSODE

Introduction

Tous les systmes de projection de la surface dun ellipsode sur un plan dformentles longueurs.

RN =

RNa 1 e2

1 e2 sin2-------------------------------=

Application

Rponse

R a b+2

------------= 6 367 km



Par suite, la reprsentation plane de lellipsode nest quune correspondance ponc-tuelle entre points de lellipsode M (, ) et points du plan m (E, N), E pour coordonneEst (ou x) et N pour Nord (ou y) (fig. 2.12.).Les figures traces sur lellipsode seront donc dformes quelle que soit la reprsenta-tion adopte.

Dformations des figures

Calcul du module linaire

Soit un arc de courbe sur lellipsodeauquel correspond un arc de courbe sur le plan (fig. 2.13.). On appelle modulelinaire m le rapport :

On remarque que le module linaire mvarie avec la position de I et la direction deIJ.

m est aussi appel module de rduction la projection : cest le rapport de la longueurde limage sur un plan de projection dune courbe la longueur de la courbe sur lellip-sode.

Fig. 2.12. : Reprsentation plane

Fig. 2.13. : Dformation dun arc

IJ

)

ij)

mijIJ------

dsdS------= =

))


sergeDroite


Indicatrice de tissot

En un point I, llment darc de longueur dS a pour image de longueur m . dS= ds. Lorsque J dcrit le cercle de centre I de rayon dS, j dcrit autour de i une ellipse derayon vecteur ds = m . dS. Limage du cercle de rayon dS = 1 est une ellipse de demi-axesa et b, appele indicatrice de Tissot (fig. 2.14.). Lindicatrice de Tissot reprsente localement les variations de m ; elle change de dimen-sions en tout point.

Altrations linaire et angulaire

Le coefficient daltration linaire est dfini par :

Laltration angulaire est la diffrence des angles entre les arcs lmentaires correspon-dants, soit .

Classification des reprsentations

Toutes les reprsentations dforment les distances. Il est toutefois possible de calculerdes correspondances.

l Si les angles entre courbes correspondantes sont gaux, on dit que la reprsenta-tion est conforme. m est uniquement fonction du point I et indpendant de la directionIJ ; lindicatrice de Tissot est un cercle (fig. 2.15.).

On utilise principalement deux types de reprsentation :

l le systme de projection conique o lellipsode est projet sur le cne tangent un parallle ; donc seule la rgion proche de celui-ci est correctement reprsente ;

IJ

)

ij)Fig. 2.14. : Indicatrice de Tissot

k ds dSdS

------------------ m 1= =

ij , ik( ) IJ , IK( )


sergeDroite


le systme de projection cylindrique o lellipsode est projet sur un cylindre circons-crit le long de lquateur ou dun mridien ; dans ce dernier cas, la reprsentation est ditecylindrique transverse (fig. 2.16.) ; le dveloppement du cylindre permet de ne repr-senter correctement que les seules rgions voisines du mridien de tangence.

l Si les surfaces des figures lmentaires sont gales, on dit alors que la reprsenta-tion est quivalente.

Par exemple, la projection de Bonne, utilise par F. Bonne au XVIIIe sicle pour tablir lacarte dtat-major au 1/80 000, est dduite de la projection conique dont le parallleorigine et le mridien origine sont conservs. On trace les parallles concentriques auparallle origine aprs avoir report leurs espacements le long du mridien origine. Ontrace ensuite les mridiens aprs avoir report leurs espacements sur chaque parallle ;on obtient alors des quadrilatres dont les dimensions (espacements des parallles et desmridiens) sont conserves, donc la superficie lest galement. Mais les angles et lesdistances tant dforms, ces altrations sont aujourdhui inacceptables pour dresser lesnouvelles cartes de base au 1/20 000.

Fig. 2.15. : Reprsentation conforme

Fig. 2.16. : Diffrentes projections planes



Le point de coordonnes gographiques = 6 50 lest de Greenwich et = 43 33nord est situ environ 325 km en abscisse UTM (voir carte fig. 2.36.). Commentretrouver lordre de grandeur de cette valeur ?

La longitude suprieure 6 est de Greenwich montre que nous sommes dans le fuseaun 32, cest--dire 9 6 50 soit 2 30 louest de lorigine du fuseau 32 dabscisse500 km. En notant que le rayon dun parallle est peu prs gal Rmoyen . cos, onobtient : (9 650)(pi / 180) 6380 cos(4333) 175 km. Labscisse sera denviron 500 175 325 km.

LECTURE DE CARTES

Carte de base

On a tabli au paragraphe 2.que le systme de reprsen-tation Lambert est une pro-jection de la France auvoisinage dune isomtrecentrale sur un cne tangent cette isomtre. Les mri-diens sont donc des droitesconvergentes vers limage pdu ple P et les paralllesdes arcs de cercles concen-triques de rayon 5.

Les feuilles de la carte deFrance au 1/25 000 sontdcoupes le long de mri-diens et parallles (ceciexplique quune carte IGNse lit toujours face au nordgographique) ; les cts Estet Ouest de la carte sontdonc convergents et lescts Nord et Sud sont des

arcs de cercles (fig. 2.33.). Si la convergence et la courbure sont difficilement dcelables,on constate quune carte du Nord est plus troite quune carte du Sud de la France.

Application

Rponse

Fig. 2.33. : Dcoupage de la carte de base


sergeDroite


a) Calculez la diffrence de largeur de deux cartes situes aux 49 et 55 gon de latitudesachant quune carte au 1/25 000 a une diffrence de longitude de 0,2 gon.b) Calculez et vrifiez graphiquement la convergence des mridiens en un point dunecarte.

a) 1,374 km = [0,2 . sin55 . mL .5o55 0,2 sin49 . mL .5o49] pi /200. Les valeurs demL .5o donnes au paragraphe 3.4.4.2. On peut retrouver un ordre de grandeur enconsidrant que le rayon approch dun parallle de latitude est gal Rmoy . cosavec Rmoy 6 380 km ; on obtient ici 0,2 (pi /200) . 6 380 . (cos49 cos55) = 1,377 km.b) Par exemple, Antibes, 3,66 gon.

Dfinition du nord

Sur une carte IGN, on remarque en lgende le croquisci-contre (fig. 2.34.). Il est mentionn : La dclinaisonmagntique correspond au centre de la feuille, au 1erJanvier 1993. Elle diminue chaque anne de 0,16 gon(0 08) .Le nord gographique et le nord magntique sont dis-tincts.

Le nord gographique est la direction du mridien dupoint (ici le centre de la carte) vers le ple Nord.Le nord magntique est la direction de laiguilleaimante, cest--dire du champ magntique terrestredu moment et du lieu. Le champ magntique terrestre,plus intense aux ples que dans les rgions quato-riales, est tel que ses lignes de champ ne suivent pas ladirection des mridiens mais laxe des ples gomagntiques est inclin de 11 30 surlaxe terrestre. Il est en outre sujet de lentes variations dorientation.Langle entre le nord gographique et le nord magntique est la dclinaison magntiqued : elle varie dans le temps et dans lespace (actuellement elle diminue denviron0,16 gon par an). Actuellement, la dclinaison est occidentale.Le Nord du quadrillage du systme de projection est la direction des ordonnes Ypositifs en ce point (fig. 2.35.) ; il est encore appel Nord Lambert.

Application

Rponse

Fig. 2.34. : Nord magntique



Dans le systme de projection Lambert, langle entre leNord gographique et la direction des ordonnes Ypositifs en un point est la convergence des mridiens ( 3.4.1.4).On appelle Azimut Az langle compt positivement ensens horaire depuis le nord gographique, Gisement Glangle compt positivement en sens horaire depuis lenord Lambert.

Implantez le nord magntique en un point du lycedu gnie civil dAntibes.

Cela revient calculer langle ( + d) que lon doit ouvrir depuis le nord Lambert(accessible sur le terrain partir de la connaissance de deux points du rseau IGN).1) Convergence des mridiens : elle est soit mesure graphiquement sur une carte(angle entre les limites de la carte et le quadrillage Lambert), soit calcule comme auparagraphe 3.4.5.2. 3,66 gon Antibes.2) Dclinaison magntique : de lordre de 1,02 gon au 1er janvier 1993, elle diminue de0,16 gon par an et vaudrait donc environ 0,22 gon au 1er janvier 1998 (dclinaisonoccidentale).Langle ouvrir depuis le nord Lambert pour obtenir le nord magntique est donc delordre de 3,88 gon vers lOuest Antibes.

Renseignements ports en marge de la carte

Les numros des repres dfinis ci-aprs correspondent ceux de la figure 2.36.

a) Repre 1 : numrotation des feuilles adjacentes.b) Repre 2 : en gnral, le dcoupage dune feuille au 1/25 000 se fait suivant lesmridiens et les parallles de 0,20 gon en 0,20 gon , reprsentant une superficie de lordrede 20 13 15 km. Le mridien origine est le mridien de Paris.

La longitude et la latitude des mridiens et parallles limitant la carte sont aussi donnesen degrs sur lellipsode Hayford 09 ; les longitudes sont exprimes par rapport aumridien international de Greenwich.

Fig. 2.35. : Les trois nords

Application

Rponse



c) Repre 3 : lchelle extrieure permet de dterminer les coordonnes gographiquesen degrs dans le systme europen (ellipsode de Hayford), le mridien 0 tant lemridien de Greenwich. Elles sont indiques toutes les cinq minutes sexagsimales.

Lchelle extrieure (12) est gradue toutes les minutes sexagsimales.d) Repre 4 : lchelle intrieure sert dterminer les coordonnes gographiques engons rapportes au systme godsique franais, le mridien origine tant le mridien deParis. Elles sont indiques tous les 0,10 gon.

Lchelle intrieure (11) est gradue tous les 0,01 gon.e) Repres 5 et 6 : lintrieur du cadre sont portes les amorces du quadrillage kilom-trique de la reprsentation conique conforme Lambert.

Un chiffre prcdant lordonne prcise la zone dans laquelle se situe la carte : 3 151indique que le point est situ en zone Lambert III, lordonne lire tant 151 km.

Fig. 2.36. : Extrait de carte au 1/25 000



La dtermination des points godsiques sest faite par la mthode de triangulation, quiconsiste mesurer les angles et quelques cts des triangles accols dont les sommetssont les points godsiques.

La rsolution de ces triangles donne les positions relatives des sommets. Le problmetant dimplanter sur le territoire un ensemble plus ou moins dense de points, on procdepar triangulations embotes (voir 5.2) ou ordres godsiques hirarchiss, respectantainsi le principe aller de lensemble au dtail . Cela permet dassurer une prcisionhomogne entre les diffrents ordres de rseaux.

Fig. 2.39. : Triangulation de 1er ordre



Historique de la triangulation 1

Le but initial de la triangulation consiste connatre la forme et les dimensions delellipsode terrestre, puis dautres objectifs sont venus sy ajouter ; ainsi elle a servi :l dossature la carte de France petite chelle ;l de base ltablissement des plans cadastraux moyenne chelle ;l de canevas pour les plans grande chelle tablis pour les grands travaux ;l aux besoins militaires.

Lvolution a impos des plans des chelles de plus en plus grandes et donc des canevasde plus en plus prcis :l en 1792, Mchain (1744 1804) et Delambre (17491822) ont mesur larc de mri-

dien de Dunkerque Barcelone en vue de la dtermination de lunit de longueur.Cette chane mridienne fut le point de dpart de la triangulation qui a servi de base la carte dtat-major au 1/80 000 ;

l en 1873 dbutent les travaux de la Nouvelle Triangulation Franaise (NTF). Maisil na pas t possible dutiliser les points de lancienne car la prcision sest avreinsuffisante, de nombreux points tant des pins, htres, rochers gravs, tours, duneconservation douteuse. On a donc cherch constituer plusieurs ordres de triangula-tion avec des vises suffisamment nombreuses situes dans les diffrents quadrants etde longueur homogne. Les points ont t matrialiss par des bornes dimportanceplus ou moins grande selon lordre ;

l en 1991, anne de la dernire campagne de godsie classique de lIGN, la NTF a tdclare acheve : elle stait rgulirement enrichie au fil des annes par densifica-tion partir du rseau de 1er ordre jusqu atteindre une densit dun point pour 9km2 environ avec le 4e ordre. Ses 70 000 sites godsiques (sans compter les pointsde 5e ordre) sont uniformment rpartis sur le territoire national avec une prcisionrelative moyenne de lordre de 105 (cest--dire plusieurs centimtres au mieux parrapport au point le plus proche).

l le nouveau systme godsique RGF 93 est en prparation (voir 5.3).

La nouvelle triangulation franaise (NTF)

Un sicle aura donc t ncessaire llaboration de ce rseau (de 1873 1991). Il estconstitu :l dun point fixe, le point godsique fondamental, qui est la croix du dme du

Panthon Paris dont on a dtermin avec le maximum de prcision les coordonnesgographiques dduites de lobservatoire de Paris de coordonnes gographiques :

= 0,0106 93 gon ; = 54,273 618 gon

1 Consulter Mesurer la terre, J.-J. Levallois et al., Presses ENPC, 1988.



On y a aussi mesur lazimut astronomique du ct de dpart de la triangulation.En ce point, la normale lellipsode et la verticale qui est la normale au gode sontconfondues ; lellipsode Clarke 80 y est tangent au gode. Laltitude et la hauteurellipsodale sont gales.

l de 15 bases godsiques dune dizaine de km mesures au fil Invar (prcision 1 cm)rparties tous les 250 300 km ; elles sont destines rajuster les dimensions destriangles ;

l des stations de Laplace, servant rorienter les cts des triangles chaque base ;par des vises astronomiques, on dtermine en ces points lazimut dun ct dutriangle.

Rseau de premier ordre

Il comprend les lments suivants :

l le 1er ordre de chane : trois chanes mridiennes ont t tablies (celle de Bordeaux,celle de Lyon et celle de France qui passe par Paris) et trois chanes parallles, deParis, Lyon et Toulouse (voir carte figure 2.39.). Ce sont des chanes de triangles de30 60 km de cts et, dans chaque quadrilatre form par deux triangles accols, ondtermine lorientation de la deuxime diagonale ; ainsi, les mesures sont en sur-nombre (huit angles par quadrilatre). Les angles sont mesurs avec seize ritrations.Le 1er ordre de chane a t calcul sur lellipsode en coordonnes gographiques parfractions insres entre deux bases (fig. 2.41.).

l le 1er ordre complmentaire, constitu par les points de 1er ordre compris dans lesmailles formes par les chanes mridiennes et parallles. Il est calcul dans le plande projection en coordonnes rectangulaires par blocs insrs entre les points prc-demment dtermins. Les angles ont t mesurs au thodolite T3 (Leica) avec seize

Fig. 2.40. : Rattachement du Panthon et de la base de Paris la mridienne de France



ritrations ; pour les rduire au plan de projection, on applique la correction de dv(voir 3.4.3.2).

Les triangulations de 1er ordre sont orientes par des azimuts astronomiques (stations deLaplace) et mises lchelle par des mesures de longueur. Les compensations ont tfaites par la mthode des moindres carrs (calculs en bloc).Il y a environ 860 points, formant 1 700 triangles de 30 40 km de cts ; 5 000 directionsont t observes. La prcision moyenne dune observation est de 2 dmgon, soit environ13 cm 40 km. En rgle gnrale, on considre que les points de 1er ordre sont dter-mins 10 cm prs, soit une prcision relative denviron 1/400 000 sur les cts.

Son manque de prcision tient plus la qualit non optimale des calculs : en effet lerseau sappuie sur un calcul de la mridienne de France datant des annes 1930 et sur lecalcul du 1er ordre termin vers les annes soixante ; il ntait pas possible cette poquede traiter la totalit des observations de 1er ordre, alors quaujourdhui il suffit de quel-ques minutes pour traiter les observations des 6 200 points de 1er et 2e ordre de la NTFgrce linformatique.

Fig. 2.41. : Imbrication du 1er ordre et du 1er ordre complmentaire



Rseaux de dtail

Pour atteindre la densit requise tout en maintenant le prcision relative du 1er ordre, ontablit successivement les rseaux embots suivants (fig. 2.42.) :l triangles de 2e ordre dont les cts mesurent 12 15 km environ : appuys sur les

points du 1er ordre, ils sont calculs par blocs dune dizaine de points ;l triangles de 3e ordre dont les cts mesurent 8 12 km environ : appuys sur les ordres

suprieurs, ils sont calculs comme ceux du 2e ordre ;l triangles de 4e ordre dont les cts mesurent 3 4 km environ : ces points sont

gnralement calculs en points isols partir de vises de 3 6 km.

Dans chaque triangle dun ordre donn, il y a environ trois points de lordre immdiate-ment infrieur.

Les angles ont t mesurs au thodolite T3 (Wild) avec huit ritrations pour le 2e ordreet au thodolite T2 (Wild) avec quatre ritrations pour les 3e et 4e ordres. Pour les 2e et3e ordres, les vises ont gnralement t observes dans les deux sens, ce qui permet defermer les triangles et de dceler ainsi les anomalies. Les compensations sont faites parla mthode des moindres carrs par groupe de deux dix points.

Rseau de cinquime ordre ou triangulation complmentaire

La densit du 4e ordre est insuffisante pour rattacher directement les cheminementstopographiques. Dans certaines zones, on a donc tabli une triangulation complmen-taire. Chaque dtermination a t faite en gnral par relvement (voir tome 2 chap. 1 6 et 7) avec deux ritrations au thodolite T2. Le Tableau suivant rcapitule les ordresde triangulation.

Fig. 2.42. : Imbrication des rseaux



Matrialisation des points godsiques

Borne godsique

Une borne est un bloc solide en granit dont la partie mergeant du sol est un cube de 15cm darte. La face suprieure horizontale porte une croix grave matrialisant le represuprieur.

La borne repose sur une dalle. Laborne et la dalle sont prises dansun bloc de bton. Sous celui-ci,spar de lui par une couche deterre meuble, est coul un blocde bton dans lequel est mnagun orifice circulaire au fondduquel se trouve un repremtallique infrieur recouvert decharbon de bois. La borne estplace de sorte que le represuprieur et le repre infrieursoient laplomb lun de lautre.

La profondeur de lensemble est environ 0,80 m, et le poids du bloc de granit est delordre dune tonne.

Mire godsique

Cest un ensemble de panneaux de forme gomtrique, en bois ou en mtal, ayant un axevertical centr au-dessus dune borne ou dun rivet (en montagne). Les mires godsi-ques permettent lobservation loigne de ces points. Les mires mtalliques sont dmon-tables. La hauteur des panneaux et la disposition des montants permettent de mettre unappareil en station sous la mire (fig. 2.44-a.).

Structure Ordre Espacement Nombre Prcision

Rseau principal1er 30 km 800 105

2e 10 km 5 000 105

3e et 4e 3 km 60 000 105

Rseau complmentaire 5e 20 000 diverse

Fig. 2.43. : Borne godsique



Signal

Le signal est une construction ayant un axe de symtrie vertical situ au-dessus dunrepre et permettant lobservation loigne de celui-ci. Le signal est en gnral god-sique : chemine, pylne etc. ; il est souvent prenne alors que les mires godsiques sontprovisoires.

Par extension est englob sous ce terme toute construction pouvant tre observe :chemines, pylnes, mires godsiques, balises.

Rpertoires de lIGN

LInstitut gographique national publie pour chaque feuille au 1/50 000 un rpertoirecomprenant :

l une rduction de cette feuille sur format A4 avec lemplacement de chaque pointgodsique et son numro dordre dans la feuille ;

l la fiche signaltique de chaque point : cest un document darchives et de diffusionqui contient :

l des renseignements dordre administratif : nom du point, nom et numro de la feuilleau 1/50 000, dpartement, numro de larrt de servitude, renseignementscadastraux ;

l des renseignements dordre technique : dsignation du type de borne et des represauxiliaires, indication dun point naturel connu pouvant servir dorientation sur unpoint inconnu, situation topographique, plan des environs, croquis de reprage, natureet date de la mission et les coordonnes planimtriques X, Y (E, N) centimtriques.

Laltitude H est dtermine par nivellement indirect godsique (chap. 6, 2) avec uneprcision dcimtrique.

Fig. 2.44-a. : Mires godsiques



Les repres de nivellement

Les altitudes des repres obtenues grce des tra-vaux coteux doivent tre conserves avec le plusde scurit possible. Les repres ont d tre placssur des difices publics : mairies, glises, gares, surdes ponts et, dfaut, sur des immeubles privs (ci-contre un repre IGN scell sur le mur de lgliseSainte-Thrse dAntibes ; diamtre rel : 75 mm).Lorsquun repre disparat, il est trs facile de lertablir partir des points les plus proches. Lestravaux sont moins importants que pour un point detriangulation.

Ci-dessous (fig. 2.53.), sont les repres du servicedu nivellement gnral de la France.

Ces repres sont nomms par leur initiale : M pour Mdaillon (ou Macaron), B pourBourdaloue, R pour Rivet, C pour Console.

Rpertoires de nivellement

LIGN publie un extrait de carte au 1/50 000 accompagn dun calque superposablecomportant le trac des cheminements et lindication des diffrents repres avec leurnumro ; puis sont fournis les rpertoires de tous les points des 1er, 2e, 3e et 4e ordre.

Sur la plupart des fiches des repres (celles tablies avant 1969), les altitudes ditesorthomtriques sont rayes mais laisses lisibles (voir fig 2.54.) ; elles sont encoreutilises car tous les nivellements tablis avant 1969 sont rattachs ce systme dalti-tude. Les nouvelles altitudes, dites normales, sont indiques en dessous.

Fig. 2.52-a. : Repre de nivellement

Fig. 2.53. : Repres du nivellement gnral



La mention altitude normale est porte sur les fiches didentification des repres denivellement IGN 69.

RemarqueUn service minitel de lIGN (08 36 29 01 29 9,21F/minute au 1/1/98) permetdaccder des fiches informatises. La recherche seffectue soit par commune soit parcentrode (recherche des repres les plus proches dun point de coordonnes Lambertdonnes : les recherches seffectuent dans un rayon de trois kilomtres autour du pointdonn).En 1997, lIGN a vrifi ou rfectionn les repres de nivellement implants le long de4948 km de routes ou voies ferres dans le centre de la France, en Normandie et enBretagne. La documentation relative environ 23 000 repres a t intgre dans labase de donnes, ce qui porte 382 000 le nombre de repres accessibles par minitel(laccs par internet nest pas encore possible ce jour).

Prcision

Les mesures ont t conduites pour assurer la meilleure prcision possible lensembledu rseau.

Ordre Erreur probable kilomtrique (mm)cart type

en mm/(km) * Tolrance en mm/(km) *

1er 1,3 2 5,2

2e 1,5 2,3 6

3e 2 3 8

4e 2,4 3,6 9,6

Fig. 2.54. : Extrait de rpertoire de points de nivellement



Pour une distance D exprime en km entre deux repres, lcart type de mesure vaut :

l premier ordre mm,

l deuxime ordre mm,

l troisime ordre mm,

l quatrime ordre mm.

2 D( )2 3 D,( )3 D( )3 6 D,( )


OUTILS MATHMATIQUES

Dessinez D3 parallle la droite D1 : COPIER cliquez sur la droitepuis validez (), du point MILieu de... au point A EXTrmit de...Pour obtenir les valeurs de a et b, voir le premier exemple.

LES ANGLES : UNITS ET CONVERSIONS

Dfinitions

Le radian (rad)

C'est l'angle au centre interceptant sur le cercle un arc delongueur gale son rayon (fig. 5.65.).Un angle de rad intercepte donc une longueur de R . rad sur lecercle.

Le primtre d'un cercle de rayon R est gal 2.pi.R.

La constante pi peut tre calcule ainsi :tan(pi / 4) = 1 do pi = 4 . arctan (1) = 3,14159...

Calculez au millimtre prs la longueur de larc dun demi-cercle de rayon 10 m.

L = pi . 10 = 31,416 m.

Le degr (deg ou )

C'est la 360e partie du cercle. Il est gnralement exprim en degrs dcimaux(121,636). On peut aussi lexprimer en degrs sexagsimaux dont les sous-multiplessont :

Fig. 5.64. : Droite parallle et droite perpendiculaire une autre droite

Fig. 5.65. : Le radian

Application

Rponse


sergeDroite

OUTILS MATHMATIQUES

l la minute sexagsimale : 1' vaut 1/60l la seconde sexagsimale : 1'' vaut 1/60e de minute soit 1 / 3 600

1 - Transformez 121,636 en degrs-minutes-secondes (la plupart des calculatricespermettent de le faire directement au moyen dune fonction pr-programme).2 - Transformez 35 12' 28" en degrs dcimaux.3 - Combien mesure un mile marin sachant quil intercepte un arc de mridien de 1' ?

1 - 0,636 sont 0,636 . 60 = 38,16 minutes et 0,16 minutes sont0,16 . 60 = 9,6 secondes ;la rponse est donc : 121 38' 10''.2 - 35 + 12 / 60 + 28 / 3 600 35,208.3 - Avec un rayon moyen de R = 6 367 km, 1 mile = 6 367 * 2.pi/360/60 = 1,852 km.

Le grade (symbole : gon)

Le terme grade reprsente lunit, gon est sa notation ; c'est par dfinition la 400epartie du cercle. Cest lunit usuelle du topographe.

On utilise aussi souvent les sous-multiples du grade, savoir : dcigrade (dgon), centi-grade (cgon), milligrade (mgon), dcimilligrade (dmgon).Un cgon est aussi une minute centsimale (1/100e de grade), note `.Un dmgon est aussi une seconde centsimale (1/10 000e de grade), note ``.Attention : ne pas confondre la notation des minutes ou secondes sexagsimales (' et '')avec la notation des minutes ou secondes centsimales (` et `` : lorientation des apostro-phes est inverse). Ces notations sont dailleurs viter absolument pour ne garder queles sous-multiples du grade.

Conversions

Elles sont faites par rgle de trois partir des galits suivantes : 2 pirad = 360 = 400 gon

1 - Convertissez 96 18' 46'' en grade puis en radian.2 - Sur la documentation Leica du T2, on lit : cart type = 0,8'' ; traduisez en gon.

1 - 96 + 18/60 + 46/3 600 = 96,313 . 400 / 360 = 107,014 gon . pi / 200 = 1,681 rad.2 - 0,8 / 60 / 60 * 400 / 360 = 0,00025 gon, soit 2,5 dmgon.

Application

Rponses

Application

Rponses


OUTILS MATHMATIQUES

Ordres de grandeur

Il est bon de connatre les quelques ordres de grandeur suivants pour apprcier laprcision des mesures angulaires ralises sur le terrain avec les diffrents appareils detopographie. Certains thodolites permettent dapprcier le dmgon.

Pour un angle petit et exprim en radian, on peut crire : sin et cos 1.

Exemples : sin(0,1rad) = 0,0998; sin(0,2rad) = 0,197cos(0,1rad) = 0,0995; cos(0,2rad) = 0,980

Comme 1 gon 1/64 rad, cela entrane quun cart dangle de 1 gon une distance de64 m donne 1 m en bout de vise.

De mme, on a : 1 cgon 1/6 400 rad 1 cgon 64 m donne 1 cm1 mgon 1/64 000 rad 1 mgon 64 m donne 1 mm1 dmgon 1/640 000 rad 1 dmgon 64 m donne 1/10 mm

Caractristiques dune vise

Sensibilit dune vise

Note s, cest le dplacement de lextrmit de la visepour une variation d'angle de 1 dmgon. La sensibilit s estproportionnelle la porte de la vise, cest--dire :

s est exprime en centimtre par dcimilligrade.

Soit, en simplifiant :

En changeant dunit pour les angles, on obtient :

Dplacement dune vise

Cest la valeur du dplacement de lextrmit de la vise pour une variation d'angledmgon.

scm/dmgon 0,157.Dkm

scm/mgon 1,57. Dkm

dcm = scm/dmgon . dmgon

Fig. 5.66. : Sensibilit dune vise

scm/dmgon 100 000 Dkm pi

200---------

110 000----------------=


sergeDroite

OUTILS MATHMATIQUES

performants crits par des professionnels : il est prfrable de se contenter dentre de bons utilisateurs. De plus, dans un but rel de programmation, il existeaujourdhui dautres langages plus performants et conviviaux comme le langageVisual-Basic, le langage C, etc.

RemarqueIl existe des outils informatiques qui permettent tous de calculer littralement les pluscomplexes des intgrales ou drives, de rsoudre numriquement toutes les quationspossibles imaginables, partir dune interface graphique simple et conviviale. Lelogiciel MATHCAD en est un exemple.

TRIGONOMTRIECe paragraphe rappelle lessentiel des relations trigonomtriques utiles au topographe.

Cercle trigonomtrique

Le cercle trigonomtrique ci-contre(fig. 5.1-c.) est de rayon 1, cest--dire : R = OM = 1.

En mathmatique, le sens de rotationpositif est dit trigonomtrique et cor-respond au sens de rotation inversehoraire. Les angles sont exprims enradians.

Par dfinition, le cosinus de langle est la projection sur laxe des abs-cisses x de lextrmit du vecteur

, le sinus tant la projection surlaxe des ordonnes y :

utilisation en topographie

Ces relations servent calculer les lments dun triangle rectangle, par exemple letriangle OMA ou le triangle OMB de la figure 5.1-c. dont on connat au moins deux

cos = XM , et sin = YM

On dfinit ensuite : , et

Fig. 5.1-c. : Cercle trigonomtrique

OM

tan sincos

------------= cotan cossin

------------

1tan

------------= =


sergeDroite

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donnes : une longueur et un angle, ou bien deux longueurs. La connaissance de deuxangles est insuffisante car il y a alors une infinit de solutions (voir paragraphe 3.3.4.).On identifie les sinus, cosinus, tangente et cotan-gente de la manire suivante (fig. 5.2.) :

Remarquesl La cotangente est linverse de la tangente

. Son seul intrt est la

simplification de certaines formules littrales. Pour les calculs, la seule connais-sance de la tangente est suffisante.

l Sur la calculatrice, la fonction cotangente napparat gnralement pas et sobtient par 1/tan, soit la combinaison de la fonction tangente suivie de la fonction 1/x etsurtout pas tan1( ) qui est la fonction rciproque de tan.

l Attention donc ne pas confondre sur votre calculatrice la fonction tan1 ( ) avec la fonction cotangente (1 / tangente) ; tan1 ( ) reprsente la fonction (arc tangente)rciproque de (tangente) qui permet dextraire langle dont la tangente prend unecertaine valeur X : tan1 X = donc X = tan, avec gon.

Nous reviendrons au paragraphe 1.3. sur le fait que la solution de tan1 X = ne donneque la racine comprise entre 100 et 100 gon. Il en est de mme pour sin1X = (voirparagraphe 3.3.5.).

Trouvez graphiquement sur le cercle trigonomtrique puis vrifiez sur votre calcula-trice que langle dont la tangente a pour valeur 1 est 50 gon.

Relations trigonomtriques de base

Les relations suivantes sont utiles au droulement de certains calculs littraux :

Voir fig. 5.3.

Fig. 5.2. : Triangle rectangle

sin ct oppos langle hypothnuse

--------------------------------------------------------

MBOM---------= =

cos ct adjacent langle hypothnuse

-----------------------------------------------------------

OBOM---------= =

tan ct oppos langle ct adjacent langle -----------------------------------------------------------

MBOB---------= =

cotan 1tan

------------=

X ] 100,100[

Application

cos2 sin2+ 1=

( )cos cos=( )sin sin=


OUTILS MATHMATIQUES

1 - Donnez une expression simplifie detan(a + b) en fonction de tana et tanb.2 - Exprimez sin(a b) et cos(a b).3 - Exprimez sin(2.a) et cos(2.a).

1 -

2 - cos(a b) = cosa . cosb + sina . sinb etsin(a b) = sina . cosb sinb . cosa3 - cos(2 . a) = 2 . cos2a 1 = 1 2 . sin2a etsin(2 . a) = 2 . sina . cosa

Identits remarquables

La figure 5.4. permet de retrouver les identits remarquables suivantes : on y reprsenteun point M sur le cercle trigonomtrique et sa projection sur les axes des sinus et cosinus,correspondant langle .

A partir de l, par symtries horizontales et verticales, on construit les projections corres-pondantes aux angles 100 , 100 + , 200 , 200 + , 300 , 300 + , et .

sin( )= sincos( )= cosDonc : tan() = tanet cotan() = cotansin(100 ) = coscos(100 ) = sinsin( +100) = coscos( +100) = sin sin(200 ) = sincos(200 ) = cossin( + 200) = sincos( + 200) = cossin(300 ) = coscos(300 ) = sinsin(300 + ) = coscos(300 + ) = sin

Fig. 5.3. : Relations trigonomtriques

a b+( )cos acos bcos asin bsin=a b+( )sin asin bcos bsin+ acos=

Application

Rponse

a b+( )tan atan btan+1 atan btan----------------------------------

a b+( )sina b+( )cos------------------------= =

Fig. 5.4. : Identits remarquables


OUTILS MATHMATIQUES

Dans les triangles semblables ST1O et ST1O, on peut crire : .

Comme , on peut dire

que les segments [OP] et [OP ] sont parallles : on dit que le cercle (C) est homothtiquedu cercle (C), homothtie de centre S.

On en dduit R = ST1 . tan , SO = ST1 / cos et tel que tan = .

Il reste rsoudre le triangle SPO dont on connat un angle et deux cts (voir 4.3.5.). Cet exercice est rsolu laide dune autre mthode au paragraphe 5.6. du chapitre 4.

RELATIONS DANS LES TRIANGLES

Relations de base

Seules les plus utilises sont tudies.

La notation ci-contre (fig. 5.12.) est tou-jours respecte : le ct de longueur a estoppos langle , b oppos langle

et c langle .

Somme des anglesInternes

Relation des sinus

Soit le triangle ABC ci-dessus (fig. 5.12.)inscrit dans le cercle de centre O et de rayon R. Si lon fait intervenir le triangle ABM tel

que la droite AM passe par le centre O du cercle, on retrouve en M langle puisque les

angles et interceptent la mme corde AB (voir 3.3.2.).De plus, langle est gal 100 gon (cest le cas particulier du paragraphe 3.3.2. olangle est gal 100 gon).

SOSO---------

ST1ST1-----------

RR-----= =

SPO( )sin PSO( )sinR

----------------------- SO PSO( )sinR

----------------------- SO SPO( )sin= = =

2--- 2---

T1PST1-----------

Fig. 5.12. : Relation des sinus

A B

C

A B C+ + 200 gon=

C

ACB ABM

ABM


OUTILS MATHMATIQUES

Donc dans le triangle rectangle ABM, on a .

Le cercle de rayon R est appel cercle circonscrit au triangle ABC.

Relation des cosinus

Dans le mme triangle ABC (fig. 5.13.), silon trace la perpendiculaire AB passantpar C (hauteur), on peut crire :

De mme, sur les autres cts, on obtient :

Thorme de Pythagore gnralis

Dans le triangle ABC (fig. 5.14.), on peut crire larelation vectorielle suivante : .Si lon en fait le produit scalaire membre membre,

on obtient : .

En distribuant, il vient :

.

En crivant le produit scalaire, il vient :

Cette relation peut se dmontrer pour chaque ct dutriangle et comme la quantit 2R est une constante,on en dduit la relation des sinus exprime ci-contre :

On obtient finalement :

On dmontre de mme que :

sinC c2R-------=

2R aAsin

-----------

bBsin

-----------

c

Csin-----------= = =

Fig. 5.13. : Relation des cosinus

c a Bcos b+ Acos=

b c Acos a+ Ccos=

a b Ccos c+ Bcos=

Fig. 5.14. : Pythagore

AC AB BC+=

AC AC AB BC+( ) AB BC+( )=

AC2 AB2 2AB+ BC BC2+=

AB BC AB BC AB BC( )cos AB BC 200 B( )cos AB BC Bcos = = =

b2 a2 c2 2ac+ Bcos=

c2 b2 a2 2ba+ Ccos=

a2

c2 b2 2cb+ Acos=


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Programmation en basic standard de la rsolution de triangles

Le programme suivant regroupe les quatre cas de figure possibles de la rsolu-tion d'un triangle. Il est donn en BASIC standard (avec les numros de ligne)pour tre adapt aux calculatrices programmables.

Trois donnes sont ncessaires. Les variables contenant les angles sont notes AA, ABet AC. Celles qui contiennent les cots sont notes CA, CB, CC. Par convention, le ctCA est oppos langle AA.

1 PRINT "Rsolution de triangles"2 INPUT "(1)ABc (2)abc (3)abC (4)abA"; NU3 ON NU GOTO 10, 100, 200, 3004 END5 REM On connat un ct et deux angles adjacents10 INPUT "Ct c (m) "; CC20 INPUT "Angle A (gon)"; AA30 INPUT "Angle B (gon) "; AB40 AC = 200 AA AB : REM Calcul direct de l'angle C50 CB = CC / SIN(AC) * SIN(AB) : REMCalcul direct du ct b60 CA = CC / SIN(AC) * SIN(AA) : REM Calcul direct du ct a80 PRINT "Angle C : "; AC ;"gon" : REMAffichage des rsultats90 PRINT "Ct b : ";CB; " m"95 PRINT "Ct a : ";CA; " m" : END99 REM Trois cots connus100 INPUT "Ct a (m) "; CA120 INPUT "Ct b (m) "; CB130 INPUT "Ct c (m) "; CC140 AA = ARCCOS((CC^2+CB^2CA^2)/(2*CC*CB))145 IF AA < 0 THEN AA=AA+200 : REM si A ngatif, ajouter 200 gon150 AB = ARCCOS((CA^2+CC^2CB^2)/(2*CA*CC))160 IF AB < 0 THEN AB=AB+200 : REM si B ngatif ajouter 200 gon180 PRINT "Angle A : "; AA ;"gon"190 PRINT "Angle B : "; AB ;"gon"195 PRINT "Angle C : "; 200 AA AB ;"gon" : END199 REM un angle et deux cts adjacents connus200 INPUT "Longueur du ct a (m) "; CA220 INPUT "Longueur du ct b (m) "; CB230 INPUT "Angle C (gon) "; AC240 CC = SQR(CA^2+CB^22*CA*CB*COS(AC))250 AB = ARCCOS((CA^2+CC^2CB^2)/(2*CA*CC))260 IF AB < 0 THEN AB=AB+200 : REM si B ngatif, ajouter 200 gon


OUTILS MATHMATIQUES

280 PRINT "Angle A : "; 200 AB AC ;"gon"290 PRINT "Angle B : "; AB ;"gon"295 PRINT "Ct c : "; CC ;"m" : END299 REM On connat un angle, le ct oppos et un autre ct300 INPUT "Longueur du ct a (m) "; CA320 INPUT "Longueur du ct b (m) "; CB330 INPUT "Angle A (gon) "; AA340 IF CA=100 THEN GOTO 390350 IF CA>CB*SIN(AA) AND AA>100 AND CACB*SIN(AA) AND AA

OUTILS MATHMATIQUES

SYSTMES DE COORDONNES RECTANGULAIRES ET POLAIRES

Transformation de coordonnes dun systme a lautre

Transformation de coordonnes cartsiennesen coordonnes polaires mathmatiques

Le point M (fig. 5.50.) est repr par ses coordonnescartsiennes (ou rectangulaires) : M (XM , YM).Les coordonnes polaires mathmatiques sont, dansl'ordre, le rayon polaire r et langle polaire : M (r , ).En convention polaire mathmatique, les angles tournentpositivement en sens trigonomtrique (inverse horaire) ;leur zro est sur laxe des abscisses et ils sont gnrale-ment exprims en radians, unit du systme international.

Les formules de transformation sont les suivantes :

La plupart des calculatrices possdent cette transformation sous forme de fonc-tion prprogramme. Par exemple, sur FX850, tapez POL( X , Y ) puis [EXE] ;la calculatrice affiche alors r ; tapez ensuite [Y] [EXE], elle affiche danslunit dans laquelle elle est rgle au moment du calcul (degr, grade ouradian).

Sur une calculatrice FX850P, tapez REC( r , ) puis [EXE] ; la calculatriceaffiche X. Ensuite [Y] [EXE] donne Y.

Transformez M(102,32 m ; 98,55 m) en coordonnes polaires mathmatiques avec unangle en degrs : vous devez trouver le point N de lexercice suivant.Transformez N(142,06 m ; 0,7666 rad) en coordonnes cartsiennes : on retrouve M.

on voit sur la figure 5.50. que

Les formules de transformation inverse sont :

Fig. 5.50. : Coordonnes cartsiennes et polaires

r XM2 YM

2+=

tanYMXM-------=

XM r cos=

YM r sin=

Applications


OUTILS MATHMATIQUES

Transformation de coordonnes cartsiennes en coordonnes polaires topographiques

Le point M (fig. 5.51.) est repr par ses coordonnescartsiennes (ou rectangulaires) : M (XM , YM).Les coordonnes polaires topographiques sont la distancehorizontale Dh et le gisement G : M (Dh , G).En convention polaire topographique, les angles tournentpositivement en sens horaire ; leur zro est sur laxe desordonnes et ils sont toujours exprims en grades (sym-bole gon) : cela vient des choix technologiques sur lesappareils de topomtrie.

Les formules de transformation sont les suivantes :

On peut utiliser une fonction de la calculatrice : il suffit dinverser les donnesX et Y pour obtenir le rsultat en convention topographique. Sur CASIO FX850P, taper POL( Y , X ) puis [EXE] ; la calculatrice affiche alors Dh ; tapezensuite [Y] [EXE], elle affiche G. Si ce dernier est ngatif, ajouter 400 gon pourobtenir le gisement dfinitif.

Les formules de transformation inverse sont :

Sur calculatrice FX850, tapez REC( Dh , G) puis [EXE] ; attention : la calculatriceaffiche dabord Y puis tapez [Y] [EXE] pour obtenir X.

Transformez M(102,32 m ; 98,55 m) en coordonnes polaires topographiques : vousdevez retrouver le point N de lexercice suivant.Transformez N(142,06 m ; 51,195 gon) en coordonnes cartsiennes : on retrouve M.

on voit sur la figure 5.51. que

XM = Dh . sinGYM = Dh . cosG

Fig. 5.51. : Coordonnes polaires topographiques

Dh XM2 YM

2+=

Gtan XMYM-------=

Applications


OUTILS MATHMATIQUES

Changement de repre

Translation de repre

Soit un point M dont les coordonnes (XM, YM) sontconnues dans un repre R(O, x, y) (fig. 5.52.).On veut connatre les nouvelles coordonnes de Mdans le repre R(O, x, y) dduit de R(O, x, y) partranslation de vecteur de coordonnes (XO ,YO), qui sont les coordonnes de la nouvelle ori-gine O dans lancien repre R(O, x, y). Les nou-velles coordonnes de M dans R(O, x, y) sont :

Dmonstration

Les nouvelles coordonnes de M dans R(O, x, y) sont reprsentes par le vecteur :

donc :

Rotation de repre

Soit un point M dont les coordonnes (XM , YM)sont connues dans un repre R(O, x, y) (fig. 5.53.)On veut connatre les nouvelles coordonnes deM(XM ; Y M) dans le repre R(O, x , y ) dduit deR(O, x, y) par rotation dangle . Les nouvellescoordonnes de M dans R (O, x , y ) sont :

RemarqueLa formule ci-dessus nest valable quenconventions mathmatiques, cest--dire sensde rotation trigonomtrique et zro des angles sur laxe des x. Il faut conserver le signede langle de rotation.

M XM XOYM YO

M XM = XM.cos + YM.sinY M = XM.sin + YM.cos

Fig. 5.52. : Translation de repre

OO

OM

OM OO OM+ OM OO= =XM XM XO =

YM YM YO =

Fig. 5.53. : Rotation de repre


OUTILS MATHMATIQUES

Dmonstration

On obtient directement les quations dmontrer en projetant les coordonnes X etY sur les axes x et y du nouveau repre(fig. 5.54. ).

Soit un point M de coordonnes (110,12 m ;78,77 m) dans un repre R (O, x, y). Cal-culez les nouvelles coordonnes du point Maprs rotation de repre de 18,767 gon et

translation de vecteur ( 3,14 m ; 9,8 m) ; est donn dans R(O, x, y).

Les coordonnes sont M( 88,36 ; 98,82) (voir les explication au paragraphe suivant).

Changement de repre : translation puis rotation

Attention : le rsultat du calcul dpend delordre dans lequel sont effectues les trans-formations. Lordre correct dpend du repredans lequel est exprim le vecteur de transla-

tion . Un mauvais choix peut amener uneerreur (voir lexercice prcdent).En effet, si lon commence par la rotationpour passer de R(O, x, y) R(O, x , y ), aumoment deffectuer la translation pour passerau repre R(O, x , y ), il faut que le vecteurde translation soit donn dans le repreintermdiaire R(O, x , y ) qui a subi unepremire rotation.

Si lon commence par la translation, ce problme ne se pose pas puisque le vecteur detranslation est exprim dans le repre de dpart dans lequel on effectue cette translationR(O, x, y). Reprenons lexemple du paragraphe prcdent.En commenant par la rotation dangle ( 18,767 gon), les coordonnes du point Mdeviennent (82,48 ; 107,37) dans le repre R(O, x , y ).

Fig. 5.54. : Dmonstration

Application

V

V

Rponse

Fig. 5.55. : Changement de repre

V


OUTILS MATHMATIQUES

Le vecteur de translation devient dans le repre intermdiaire R(O, x , y ) : x = 3,14 . cos( 18,767) + 9,88 . sin( 18,767) = 5,88

y = 3,14 . sin( 18,767) + 9,88 . cos( 18,767) = 8,54On retrouve, aux arrondis de calcul prs, le point M (88,36 ; 98,82).

La notation matricielle (voir 8.3.) donne : .

Cette notation, plus facile mmoriser, fait apparatre la matrice de rotation dangle .

Changement de repre : rotation puis translation

En topographie, ce problme se pose gnrale-ment lorsque lon souhaite passer dun reprelocal (O, x , y ) un repre gnral (O, X, Y)(fig. 5.56.) : le point M(xM ; yM) est connu enrepre local et on veut obtenir ses coordonnes(XM ; YM) en repre gnral.On connat les coordonnes dans le repregnral de lorigine O(XO ; YO) du repre localainsi que le gisement G de laxe des ordonnes durepre local dans le repre gnral.

Dans une premier temps, on effectue une rotationde repre dangle G = . Puis on effectue unetranslation de vecteur OO connu dans le repre (O, X, Y), donc :

La notation matricielle (voir 8.3.) donne : .

Programmation en basic standard

5 PRINT "Translation puis rotation de repre"10 INPUT "Angle de rotation (sens trigo, gon) :" ; A

20 PRINT "Coordonnes actuelles de la nouvelle origine :"

Dans ce cas, la formule gnrale est :M X

M = (XMXO).cos + (YMYO).sinYM = (XMXO).sin + (YMYO).cos

M XM = X O + xM . cosG yM . sinGYM = YO + xM . sinG + yM . cosG

MXM

YM cos sin

sin cos XM XO

YM YO

=

Fig. 5.56. : Changement de repre

M XMYM

XO YO

Gcos GsinGsin Gcos

xMyM

+=


OUTILS MATHMATIQUES

30 INPUT "X= ";XO : INPUT "Y= ";YO50 INPUT "Nombre de points calculer ";N : REM Nombre de points calculer60 FOR I=1 TO N : PRINT "Point N ";I : REM Dbut de la boucle de calcul80 INPUT "X= ";X : INPUT "Y= ";Y100 PRINT "Nouvelle Abscisse ";105 PRINT (XXO)*COS(A)+(YYO)*SIN(A)110 PRINT "Nouvelle Ordonne ";115 PRINT (YYO)*COS(A)(XXO)*SIN(A)120 NEXT I : END

Ce listing est fourni sur le cdrom de louvrage (fichier ROTATRAN.BAS) pour fonc-tionner avec le programme QBASIC.EXE.

criture dun tableau

Avec cet exemple simple, nous allons voir comment btir facilement et rapide-ment un tableau de calcul sous EXCEL. Dmarrez le programme EXCEL sousWindows, puis menu FICHIER / NOUVEAU pour commencer une nouvellefeuille vide.

Entrez tous les textes et donnes comme sur lexemple ci-dessus : cliquez dans une case,tapez le texte ou la valeur et validez par ENTRE. Les textes sont en noir, les donnes enbleu, les rsultats de formules en rouge et en italique.

A B C D E F

1 Angle de rotation (sens trigo, grades) : 18,767

2

3 Coordonnes de la nouvelle origine dans lancien repre :

4 (ou vecteur de translation Xo (m) = 3,140

5 Yo (m) = 9,880

6

7 Coordonnes Coord. aprs translat. Coord. aprs rotation

8 X (m) Y (m) X (m) Y (m) X(m) Y (m)

9

10 110,2 78,77 113,26 68,89 88,36 98,82

11 6,28 19,76 3,14 9,88 5,88 8,54

12 35,23 3,93 32,09 5,95 28,98 15,02

13 1,58 57,44 1,56 47,56 12,32 45,96

14 35,20 40,07 38,34 30,19 27,91 40,02

15 27,34 13,48 30,48 3,60 28,12 12,30


OUTILS MATHMATIQUES

Entrez en case C10 la formule suivante := A10 E$4Entrez en case D10 la formule suivante := B10 E$5Entrez en case E10 la formule suivante := C10 * COS(E$1 * PI( ) / 200) + D10 * SIN(E$1* PI( ) / 200)Entrez en case F10 la formule suivante := D10 * COS(E$1 * PI( ) / 200) C10 * SIN(E$1* PI( ) / 200) Slectionnez les cases C10 F15 et cliquez loption RECOPIER / VERS LE BAS dumenu EDITION (ou tapez CONTROL B) ; les formules se recopient en sadaptant :seules les rfrences prcdes dun $ ne changent pas.Voir aussi le tableau HELMERT.XLS dans lequel une feuille effectue ces calculs.

Rsolution graphique sur Autocad IT

Environnement de travail : angles en grades, sens de rotation trigonomtrique,zro sur laxe des abscisses ( lest) ; ces rglages sont effectus dans la case dedialogue CONTROLE DES UNITES du menu FORMAT (commandeDDUNITS).

Dessinez le point M dans le repre gnral :POINT 110.12 , 78.77

Changez de repre : commande SCU, optionOrigine au point 3.14 , 9.88. Rptez lacommande SCU option Z (angle de rotationautour de laxe des Z), angle (gon) 18.767 Demandez les coordonnes du point M dans lenouveau repre par la commande ID. Cescoordonnes saffichent en bas de lcran texte.

Si vous voulez dautres points, sauvegardez leSCU actuel (SCU / Sauvegarder), dessinez lesautres points dans le repre gnral (retour auSCU gnral par SCU), rappelez le SCUprcdent pour les identifier (SCU / Restaurer).

Changement de repre dans lespace trois dimensions

Un changement de repre dans lespace peut se dcomposer en trois translations et troisrotations indpendantes. On extrapole les formules valables en plan au cas gnral dunchangement de repre dans lespace. Les angles de rotation sont donns en sens positiftrigonomtrique (voir aussi la remarque relative la figure 5.57-b.).On cherche exprimer dans un repre (O, x, y, z) les coordonnes dun point M connudans le repre (O, x, y, z).

Fig. 5.57-a. : Changement de repre


MESURES ANGULAIRES

CALCUL DE GISEMENT Le gisement est un angle horizontal trs utilis par les topographes puisque trs pratiquedans les calculs.

Dfinition

Le gisement d'une direction AB estl'angle horizontal mesur positive-ment dans le sens horaire entre laxedes ordonnes du systme de projec-tion utilis et cette direction AB(fig. 3.26).On le note GAB (ou aussi VAB ).Mathmatiquement, cest langle po-sitif en sens horaire entre laxe des or-donnes du repre et le vecteur . Gest compris entre 0 et 400 gon.

Par exemple (fig. 3.26) : GAB est lan-gle entre le Nord (ordonnes) et la di-rection AB.

GBA est langle entre le Nord et ladirection BA.La relation qui lie GAB et GBA est :

Calcul dun gisement partir des coordonnes cartsiennes

Considrons les coordonnes de deux points A(EA, NA) et B(EB, NB) (voir fig. 3.26).

La relation suivante permet de calculer GAB : (1)

RemarquePour obtenir la valeur de G, il faut utiliser la fonction tan1 ( ) ou inverse tangente. Lesproblmes que pose lutilisation de cette fonction sont abords dans le chapitre 5 dutome 2 au paragraphe 2.3. Rappelons que pour lquation G = tan1 K, une calculatricene donne quune solution (100 < G < 100 gon) alors quil existe plusieurs antcdentspossibles.

Fig. 3.26. : Gisement de la direction AB

AB

GBA GAB 200+=

GABtanEB EANB NA--------------------=


MESURES ANGULAIRES

En effet, tanG = tan(200 + G) = tan(G 200). La calculatrice ne donne donc pasforcment le bon angle G correspondant au problme.

Application

Calculez partir de la formule (1) le gisement de la direction AB suivante :

A (10 ; 50) et B (60 ; 10)E = EB EA = +50

N = NB NA = 40

GAB = tan1 (50/40) = 57,045 gonEn observant le schma des points A etB placs sur le graphique ci-contre(fig. 3.27), on saperoit de l'incoh-rence de ce rsultat. Langle donn nestvisiblement pas gal 57,045 goncest--dire 57,045 + 400 = 342,955gon.

En fait, la calculatrice donne la valeurde l'angle auxiliaire g (fig. 3.28). Pourobtenir GAB , il faut donc tenir comptede la position du point B par rapport aupoint A ; on parle de quadrants :

l Quadrant 1 : B est l'est et au nordde A (E > 0 et N > 0).

GAB = g

l Quadrant 2 : B est l'est et au sud deA (E > 0 et N < 0).

GAB = 200 + g (avec g < 0)l Quadrant 3 : B est l'ouest et au sud

de A (E < 0 et N < 0).GAB = 200 + g (avec g > 0)

l Quadrant 4 : B l'ouest et au nord deA (E < 0 et N > 0).

GAB = 400 + g (avec g < 0)

Fig. 3.27. : Calcul de gisement

Fig. 3.28. : Diffrents quadrants


MESURES ANGULAIRES

Les valeurs de lexemple trait prcdemment mettent en vidence la ncessit de cecalcul et la vrification de la valeur du gisement de 142,955 gon, correspondant auschma de la figure 3.27.

Application : programmation du calcul

du gisement en basic standard

5 REM Entre des donnes10 INPUT "EA = " ; EA : INPUT "NA = " ; NA20 INPUT "EB = " ; EB : INPUT "NB = " ; NB25 REM Cas o N=030 IF (NB = NA AND EB > EA) THEN G = 100 : GOTO 8040 IF (NB = NA AND EB < EA) THEN G = 300 : GOTO 8045 IF (NB = NA AND EB = EA) THEN PRINT "Impossible" : END47 REM Valeur gnrale du gisement G50 G =ATAN((EBEA)/(NBNA))55 REM Cas des 2e et 3e quadrants60 IF NB < NA THEN G = 200 + G65 REM Cas du 3e quadrant70 IF (EB < EA AND NB > NA) THEN G = 400 + G80 PRINT "GAB = " ;G : END

Ce programme est fourni sur le cdrom dans le fichier GISEMENT.BAS pour uneutilisation avec QBASIC. Il constitue un sous-programme important de tous les pro-grammes de calcul de topographie.

Utilisation de la calculatrice

La programmation prcdente nest pas ncessaire si la calculatrice possde une fonctionde transformation de coordonnes rectangulaires en coordonnes polaires. Elle est uti-lise pour obtenir directement le gisement G (voir tome 2 chap. 5 8.1).Sur la calculatrice, la transformation fonctionne en conventions mathmatiques, elledonne donc langle polaire mathmatique. Pour obtenir le gisement, il suffit dintervertirles coordonnes E et N. La calculatrice donne alors deux rsultats : la distance DAB puisle gisement GAB (si ce dernier est ngatif, il faut ajouter 400 gon).

Exemple : sur FX 850P, tapez POL (NB NA , EB EA) [EXE] La calculatricedonne alors la distance AB.

Puis tapez [Y] [EXE], vous obtenez alors le gisement GAB .


MESURES ANGULAIRES

A linverse, si vous connaissez D et G, vous pouvez obtenir E et N ainsi :

REC (D , G) [EXE] La calculatrice donne alors N.[Y] [EXE] Vous obtenez ensuite E.

Tableau de calcul de gisement

Un tableau de calcul de gisement est propos sur le cdrom : il se nommeGISEMENT.XLS. Le gisement y est programm de quatre manires diffrentes.

1) En langage de programmation dExcel : Visual Basic (fonction gisement dutableau MENUTOPO.XLS).

2) En utilisant la mthode des quadrants (calcul du quadrant puis de langleauxiliaire).

3) En une formule classique pouvant tre reprise dans un autre programme(formule liste ci-aprs). Les coordonnes E et N de A tant en cases A1 et A2,les coordonnes E et N de B tant en case B1 et B2, la formule suivante donnele gisement de la direction AB :

Les dcalages de lignes sont uniquement destins la comprhension. Ils nesont pas introduits dans le tableau. Le cas B2 = A2 et B1 = A1 donne le rsultat Impossible ; on peut aussi donner comme rsultat 0.

4) En utilisant la fonction ATAN2() dExcel qui permet un calcul direct dugisement. La formule de calcul est alors la suivante :

= SI(ATAN2(B1A1,B2A2) > PI() /2,100 ATAN2(B1A1,B2A2)*200/PI() + 400,100 ATAN2(B1A1,B2A2)*200/PI())

Formule Commentaires

= SI(B2=A2),

SI(B1>A1 , 100 , SI(B1=A1, Impossible , 300 )), Cas o NB = NA

SI(B2

MESURES ANGULAIRES

Utilisation du gisement pour les calculs de coordonnes

En topographie, il est trs frquent deconnatre un point S (ES , NS ) et dechercher les coordonnes dun point Pvisible depuis S. On dit que P estrayonn depuis S si lon peut mesurerla distance horizontale DSP et le gise-ment GSP (fig. 3.29). Quel que soit lequadrant, on peut alors calculer lescoordonnes du point P par les for-mules suivantes :

A dfaut de mesurer directement GSP,on mesure un angle avec une direc-tion dont le gisement est connu oubien on calcule un G0 moyen destation (voir 6).

S (680 379,84 ; 210 257,06) est donn en coordonnes Lambert (m), calculez lescoordonnes de P tel que : DSP = 45,53 m et GSP = 172,622 gon.

P (680 398,82 ; 210 215,68)

Graphiquement, on peut utiliser le DAO pour calculer ou dessiner un gisement.

Lenvironnement de travail est : angles en grades, sens de rotation horaire, zroau Nord (bote de dialogue CONTROLE DES UNITES du menu FORMAT).

Calculez les coordonnes dun point rayonn P : tracez la droite SP, LIGNE du point680379.84,210257.06 au point @45.53

DROITES ET CERCLES

DROITES

ET CERCLES

Les calculs dintersection en topographie font gnralement appel des techniquesnouvelles par rapport aux mthodes classiques apprises en mathmatiques. En fait, lestopographes ont adapt les calculs aux donnes dont ils disposent sur le terrain pourarriver rapidement et prcisment au rsultat. Il faut donc se familiariser avec cesmthodes de calcul faisant intervenir gisements et distances plutt ququations dedroites ou de cercles...

INTERSECTION DE DEUX DROITES

Intersection par rsolution de triangle

Les droites sont le plus souvent connues parun point et un gisement (voir sur la figure 4.1.les deux droites AM et BN).Connaissant les coordonnes des deux pointsA et B, on calcule le gisement GAB et la dis-tance horizontale DAB.

On en dduit les angles :IAB = GAB GAMIBA = GBN GBA

Il reste rsoudre le triangle IAB dont unct et deux angles adjacents sont connus ; oncalcule par exemple la longueur du ct AI eton dduit les coordonnes de I de celles de A.

Fig. 4.1. : Intersection


DROITES ET CERCLES

On peut ainsi vrifier les calculs partir de B.

ExempleCalculez les coordonnes du point d'intersection I des droites D1 et D2 :l D1 passant par A (12,36 ; 15,62) a un gisement de 48,364 gon.l D2 passant par B (98,74 ; 6,56) a un gisement de 145,647 gon.

Il est ncessaire de faire un schma avant de commencer les calculs. La rponse estdonne au paragraphe 1.4.

Formules de Delambre

C'est la mthode la plus couramment employepar les topographes ; elle utilise deux formulesdonnant directement les coordonnes du pointd'intersection partir des donnes suivantes :

l coordonnes du point A (XA ; YA) et du pointB (XB ; YB) ;l gisements GAM et GBN nots GA et GB.

Les coordonnes du point dintersection I sont :

Attention : on calcule dabord lordonne Y que lon reporte dans labscisse X.

On peut aussi trouver pour lordonne Y les formulations suivantes :

l par inversion de A et B :

l par changement de signe :

Remarques

Puisque tanG = tan(200 + G), on peut donner les gisements des droites 200 gon prs.La formule ne donne pas de rsultat dans les cas suivants :

l Si GA ou GB sont gaux 100 gon ou 300 gon ; la fonction tangente est alors non dfinie (voir application).

Fig. 4.2. : Intersection par DelambreY YA

XA XB( ) YA YB( ) GBtanGBtan GAtan

--------------------------------------------------------------------+=

X XA Y YA( ) GAtan+=

Y YBXB XA( ) YB YA( ) GAtan

GAtan GBtan--------------------------------------------------------------------+=

Y YAXB XA( ) YB YA( ) GBtan

GAtan GBtan--------------------------------------------------------------------+=


DROITES ET CERCLES

l videmment, si les deux droites sont parallles, tanGA = tanGB donc le dnomina-teur de Y ne peut tre calcul.

l Le calcul de GA ou GB est inutile, seul celui de tanGA et tanGB est ncessaire.

La dmonstration de la formule de Delambre pour lintersection est dtaille ci-aprs.

et ; on en dduit que :

(3)

Lquation (3) donne la valeur Y et lquation (1) la valeur X.

1- Reprenez les donnes de l'exemple prcdent ( 1.1.) et vrifiez que vous retrouvezle mme point d'intersection.2- Trouvez la formule appliquer dans le cas o GA = 100 ou 300 gon.3- Donnez une expression de labscisse X indpendante de lordonne Y.

2- Y = YA et X = XB + (Y YB)tanGB.3- partir des quations (1) et (2) ci-dessus, on peut crire :YB YA = (X XA)cotanGA (X XB)cotanGB.

On en tire lexpression suivante : X = XA +

Une rsolution graphique est effectue au paragraphe 1.4.

Droites parallles

Il est frquent davoir besoin de calculer partir du point I dintersection de deux droites(D1) et (D2) (fig. 4.3.) les coordonnes du point dintersection I de deux droites (D1) et(D2) parallles ; on rencontre ce cas dans les calculs dalignements, par exemple.On peut calculer les coordonnes des points I1 et I2 par rayonnement partir de celles deI :

XI1 = XI + L2 . sinG2 XI2 = XI + L1 . sinG1YI1 = YI + L2 . cosG2 YI2 = YI + L1 . cosG1

GAtanX XAY YA----------------= GBtan

X XBY YB----------------=

X XA Y YA( ) GA (1)tan=X XB Y YB( ) GB (2)tan=

XA XB Y YB( ) GB Y YA( ) GAtantan=

XA XB Y GBtan GAtan( ) YB GBtan YA GAtan+=XA XB Y YA( ) GBtan GAtan( ) YA YB( ) GBtan+=

Applications

Rponses

YA YB XA XB( ) cotanGBcotanGB cotanGA

----------------------------------------------------------------------


DROITES ET CERCLES

On peut jouer sur les signes de L1 et L2 pour obtenir diffrentes solutions possibles pourle point I : si L1 et L2 sont ngatifs, le point I est extrieur langle et si L1 et L2sont positifs, I est intrieur , comme dans le cas de la figure 4.3.

On en dduit ensuite les coordonnes du point I par intersection des droites (D1) et (D2) laide des formules de Delambre ; ces droites passent par les points I1 et I2 et ont pourgisement respectif G1 et G2. On obtient :

XI = XI + L2 . sinG2 + L1 . sinG1 avec L1 = d2 /sin(200 ) = d2 /sin ;

YI = YI + L2 . cosG2 + L1 . cosG1 avec L2 = d1 /sin(200 ) = d1 /sin.

Remarques

Langle est toujours choisi infrieur 200 gon afin que son sinus reste positif.Les considrations de signes faites pour les distances L1 et L2 sappliquent d1 et d2.

Soit le point I de coordonnes I (2 819,794 ; 2 691,548). Soit les droites (D1) degisement G1 = 153,4427 gon et (D2) de gisement G2 = 260,5387 gon. Calculez lescoordonnes du point I, point de rencontre des parallles aux droites (D1) et (D2)dcales vers lextrieur, respectivement d1 = 35 m et d2 = 45 m.

Finalement :

Fig. 4.3. : Droites parallles

XI XId1 G2sin

sin--------------------

d2 G1sinsin

--------------------+ +=

YI YId1 G2cos

sin---------------------

d2 G1cossin

---------------------+ +=

Application


DROITES ET CERCLES

En appliquant la formule dmontre prcdemment : = 107,0960 gon ; I se trouvant lextrieur , on prend d1 et d2 ngatifs. Donc les coordonnes de I sont :X = 2 818,219 m et Y = 2 745,709 m.

Si on prend d1 et d2 positifs, on trouve le symtrique de I par rapport I :I (2 821,368 m ; 2 637,386m ) .Si on prend d1 ngatif et d2 positif, on trouve : I ( 2 878,701 m ; 2 678,304 m).Si on prend d2 ngatif et d1 positif, on trouve : I ( 2 760,886 m ; 2 704,791 m).

Une rsolution graphique est propose au paragraphe suivant.

Rsolution graphique

Rsolution des applications prcdentessur AutoCAD LT.

Environnement de travail : menu FORMAT /CONTROLE DES UNITES, angles en grades,sens horaire, zro au nord.

1- Intersection de deux droites

Trac du segment AM : LIGNE du point12.36,15.62 au point @100

OUTILS MATHMATIQUES

X, Y et Z sont inconnues et peuvent tre dtermines directement par :

X = avec et

Y = avec et Z = avec

Une application de ces formules est donne dans les tableaux de calcul aux moindrescarrs du chapitre 1.

l Distance dun point un plan :La distance PH dun point P un plan dfinipar deux vecteurs et concourants enun point M sexprime par :

PH est le rapport du dterminant de lamatrice 3 lignes, 3 colonnes forme des trois vecteurs ( , et ) par la norme duproduit vectoriel de par .

Dmonstration : PH =

est un vecteur normal unitaire.

Une application de cette formule est dtaille au chapitre 7 du tome 1, paragraphe 1.4.2.

QUATIONS DE DROITES

Droite donne par deux points et interpolation linaire

quation dune droite donne par deux points

Il existe deux manires d'crire l'quation de la droite D (fig. 5.58.) :

DtXDt----------- DtX Det

d b ch f gl j k

= Det Dta b ce f gi j k

=

DtYDt----------- DtY Det

a d ce h gi l k

=DtZDt----------- DtZ Det

a b de f hi j l

=

Fig. 5.57-c. : Distance dun point un plan

A B

PHDt PM, A, B( )

A B--------------------------------------=

PM A BA B

PM n PM A B

A B-------------------

Dt PM, A, B( )A B

--------------------------------------= =

n


OUTILS MATHMATIQUES

1- directement :

2- par lquation type : Y = a X + b

a et b sont obtenus par la rsolution dusystme suivant : YA = a XA + b

YB = a XB + b

Lquation de la droite passant par A(12,21 m ; 17,45 m) et B(65,47 m ; 44,44 m) est :Y = a.X + b avec a = 0,5068 et b = 11,26 m ; la rsolution graphique est dtaille auparagraphe 5.

Interpolation linaire

Le cas de la figure 5.58. correspond aussi la rsolution dune interpolation linaire(communment appele rgle de trois) : on connat labscisse XM dun point M de ladroite AB, on cherche son ordonne YM.

Le rsultat est donn par la formule suivante :

Dterminez laltitude H dun point M situ au point kilomtrique 125,124 km sur uneroute rectiligne dfinie par les deux points A et B suivants : A daltitude 130,231 m situ au point kilomtrique 124,321 km ; B daltitude 121,881 m situ au point kilomtrique 127,006 km.

HM = 130,231+ (125,124 124,321) . = 127,734 m.

Le coefficient directeur de cette droite est not a :

Lordonne lorigine de cette droite est not b : b = YA a . XA

Fig. 5.58. : quations de droites

X XAY YA----------------

XB XAYB YA------------------=

aYB YAXB XA------------------ tan= =

Application

YM YA XM XA( )YB YA( )XB XA( )

-----------------------+=

Exemple

Rponse121 881 130 231,,127 006 124 321,,----------------------------------------------


OUTILS MATHMATIQUES

Programmation en BASIC standard

Linterpolation linaire peut tre programme ainsi :

10 INPUT Abscisse du point 1 ;X1 : INPUT Ordonne du point 1 ;Y120 INPUT Abscisse du point 2;X2 : INPUT Ordonne du point 2 ;Y230 INPUT Abscisse du point cherch ;X40 PRINT Ordonne du point cherch : ; Y1+(XX1)*(Y2Y1)/(X2X1)

Droite de pente connue, passant par un point

Les donnes sont le point A (XA , YA) et la pentep (par exemple 25 %, p = 0,25).Par dfinition, on a : a = p (coefficient direc-teur de la droite).Il reste rsoudre (YA = a . XA + b) qui permetdobtenir b.

Donnez lquation de la droite de pente p = 20 % passant par le point A (12,21 m ;17,45 m).

Y = a.X + b avec a = 0,20, soit = 12,567 gon et b = 15,01 m ; la rsolution graphiqueest dtaille au paragraphe 8.5.

Droite perpendiculaire une autre droite

On connat la droite D1 d'quation : Y= a.X + b ; on cherche lquation de D2perpendiculaire D1 et passant par lepoint A(XA, YA).Le coefficient directeur de D2 est 1/a.

L'quation de D2 s'crit : Y = 1/a.X + c.

c est donn par YA = 1/a.XA + c.

Donc lquation de D2 est :

a = p = tanb = YA p.XA

Fig. 5.59. : Droite de pente connue

Application

Rponse

Fig. 5.60. : Droites perpendiculaires

Topograp

topo i+ii+cor-compil extrait

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