TÓPICOS DE PROPAGAÇÃO GUIADA

por

Carlos Varandas1 e Horácio Fernandes2

1Professor Catedrático do IST 2Professor Auxiliar do IST

IST, Abril de 2001

1. INTRODUÇÃO

Um dos problemas fundamentais da Física Experimental e da Engenharia Electrotécnica consiste na

transmissão de energia electromagnética entre dois pontos, os quais podem estar separados por

alguns centímetros ou por milhares de kilómetros.

Esta transmissão deve ser feita em condições próximas das ideais, ou seja, sem perdas, sem

distorção e sem criar ruído na vizinhança do meio transmissor da energia electromagnética.

As soluções encontradas pelos físicos e engenheiros dependem essencialmente da frequência dos

sinais. Para frequências até alguns Gigahertzs, a transmissão da energia pode ser feita utilizando

dois condutores paralelos separados por um isolante (cabo eléctrico) ou por um condutor central

separado por um isolante de um grande número de condutores muito finos que rodeiam o condutor

central (cabo coaxial). Esta última solução é particularmente indicada na banda das

radiofrequências e para sinais de baixa potência. Os sinais de radiofrequência de potência elevada

são, normalmente, transmitidos por linhas de transmissão de energia. No caso das chamadas micro-

ondas (frequências entre 3 e 150 GHz), a energia electromagnética é transmitida utilizando um

único condutor oco (guia de ondas), com secção transversal rectangular (guia rectangular) ou

circular (guia cilíndrico) (Fig. 1). Os sinais de frequências muito elevadas (ondas sub-milimétricas e

ópticas) são transmitidas utilizando meios dieléctricos, de que as bem conhecidas fibras ópticas

constituem um exemplo típico.

Num laboratório de Física dos Plasmas, a propagação guiada assume importância particular nas

ligações dos emissores de micro-ondas às antenas emissoras e das antenas receptoras à electrónica

de tratamento dos sinais. Recordemos que as micro-ondas podem ser usadas na criação, no

aquecimento e no diagnóstico de um plasma bem como na geração não-indutiva de corrente de

plasma de um tokamak.

b

a a

Figura 1 – Guias rectangular e cilíndrico

1

2. FUNDAMENTOS TEÓRICOS

As equações de Maxwell

tDJHrot

∂∂

+= (1)

tBErot

∂∂

−= (2)

ρ=Ddiv (3)

0=Bdiv (4)

conduzem num meio sem perdas e sem fontes à seguinte equação

012

2

2 =∂∂

−tU

vUlap (5)

onde U representa indistintamente os campos eléctrico ou magnético e em que:

εµ12 =v (6)

sendo ε e µ a constante dieléctrica e a permeabilidade magnética do meio.

Se o meio for infinito, a equação (5) admite soluções do tipo onda plana electromagnética

)(),( 0kztjeUtzU −= ω (7)

em que

vk=ω (8)

A análise desta equação de dispersão permite concluir que todas as frequências se podem

propagar com velocidades de fase (vf) e de grupo (vg) iguais a v.

Como veremos mais tarde, quando a propagação está limitada ao interior de um condutor

metálico, nem todas as frequências se podem propagar e o meio passa a ser dispersivo, ou seja, as

velocidades de fase e de grupo passam a depender da frequência da onda.

Estas alterações nas características da propagação resultam das condições fronteira a que os

campos eléctrico e magnético têm de obedecer na superfície do condutor. De facto, as equações de

Maxwell obrigam a que as componentes tangencial do campo eléctrico (Et) e normal do campo

magnético (BN) sejam nulas na superfície de um condutor perfeito1.

0== Nt BE (9)

1 Os condutores de ouro, prata, cobre e bronze podem ser considerados, na prática, como condutores perfeitos.

2

Este resultado significa que apenas as ondas electromagnéticas cujos campos eléctrico e

magnético verificam a condição (9) se propagam no guia de ondas.

Na propagação guiada é costume considerar três tipos de modos:

• Transversais Eléctricas (TE), caracterizados pelo facto do campo eléctrico existir no plano

perpendicular à direcção de propagação.

• Transversais Magnéticos (TM), quando é o campo magnético que não tem componente

segundo a direcção de propagação.

• Transversais Electromagnéticas (TEM), quando os campos eléctrico e magnético existem no

plano normal à direcção de propagação.

Como já sabemos, as ondas planas electromagnéticas são puramente transversais. Ou seja, em

propagação guiada apenas os modos TEM admitem soluções do tipo onda plana electromagnética.

No caso dos modos TE e TM existe sempre um campo (o magnético nos modos TE e o eléctrico

nos modos TM) que tem componente segundo a direcção de propagação.

3. GUIA RECTANGULAR

3.1. Introdução

Consideremos o guia rectangular e o sistema de coordenadas cartesianas representados na Fig. 2.

Figura 2 – Secção transversal de um guia rectangular

Os campos dos modos que vamos estudar são do tipo

)(),,,(

zzktjeUtzyxU

−=

ω (10)

onde kz representa o número de onda segundo a direcção de propagação: o eixo dos Zs.

3

3.2. Modos Transversais Eléctricos 3.2.1. Introdução

Vamos admitir que o campo eléctrico apenas tem componentes nas direcções normais à direcção de

propagação

yy

xx uEuEE rr

+= (11)

Nestas condições, a equação vectorial (5) conduz às seguintes duas equações escalares

2

2

22

2

2

2

2

2 1tE

vzE

yE

xE xxxx

∂∂

=∂

∂+

∂∂

+∂

∂ (12)

2

2

22

2

2

2

2

2 1tE

vzE

yE

xE yyyy

∂∂

=∂

∂+

∂∂

+∂

∂ (13)

Para facilitar a resolução da equação (12) vamos admitir que:

)()()(

zzktjeygxfE x

−=

ω (14)

Substituindo (14) em (12) e simplificando obtemos:

fgjv

gfjkdy

gdfg

dxfd 2

22

22

2

2

2

)(1)( ω=−++ (15)

que podemos escrever na forma

011 22

2

2

2

2

=−

++ zk

vdygd

gdxfd

fω (16)

Esta equação é do tipo

=+ )()( yGxF constante = C (17)

pelo que a podemos decompor em duas equações

1)( CxF = (18a)

2)( CyG = (18b) ligadas através da condição

(19) CCC =+ 21

que, como veremos mais tarde, assume uma papel determinante na dedução da relação de dispersão

destes modos neste guia rectangular.

4

Nestas condições, a equação (16) conduz a

22

21xk

dxfd

f−= (20a)

2

2

21yk

dygd

g−= (20b)

com

2222

−=−−

vkkk zyx

ω (21)

As equações (20) são do tipo oscilador harmónico simples, pelo que admitem as seguintes

soluções:

xksenBxkAxf xx += cos)( (22)

yksenDykCyg yy += cos)( (23)

em que A, B, C, e D, são constantes de integração cujos valores são determinados a partir das

condições fronteira:

Ex = 0 para y=0 e y=b (em qualquer x) (24)

e

Ey = 0 para x=0 e x=a (em qualquer y)

Substituindo (22) e (23) em (14), obtemos

)(

)cos()cos(),,,(zzktj

eyksenDykCxksenBxkAtzyxE yyxxx

−++=

ω (25)

A condição significa que 0),,0,( =tzxE x

0)(

)cos( =−

+zzktj

eCxksenBxkA xx

ω (26)

ou seja C = 0 (27)

A condição significa que 0),,,( =tzbxE x

0)(

)cos( =−

+zzktj

ebksenDxksenBxkA yxx

ω (28)

donde concluímos que

5

0=bksen y (29)

o que conduz a πnbk y = (30)

ou seja

bnk yπ

= (31)

Nestas condições

)(

)cos(),,,(zzktj

eyksenDxksenBxkAtzyxE yxxx

−+=

ω (32)

Vamos agora calcular a componente do campo eléctrico segundo o eixo dos YY’. Podiamos

resolver a equação (13) utilizando o mesmo método que foi usado para a equação (12). Contudo, e

para demonstrar a riqueza das equações de Maxwell, vamos utilizar a equação

Div E = 0 (33a)

que podemos escrever na forma

0=∂

∂+

∂∂

+∂

∂z

Ey

Ex

E zyx

(33b)

Como Ez = 0

0=∂

∂+

∂∂

yE

xE yx

(34a)

ou seja

x

Ey

E xy

∂∂

−=∂

∂ (34b)

Substituindo (29) em (31b) obtemos:

)(

)cos(zzktj

eyksenDxkkBxksenAky

Eyxxxx

y −+−−=

∂∂ ω

(35)

donde concluimos que:

)(

cos)cos(),,,(zzkt

eykkDxkBxksenAktzyxE y

yxxx

y−

+−=ω

(36)

As condições fronteira

para e 0=yE 0=x ax = (em qualquer y)

conduzem a

6

0)(

coscos =−

−zzktj

eykkyDxkBk yxx

ω

ou seja

B = 0 (37)

e a

0),,,( =tzyaE y

0)(

cos =−

−zzktj

eykkDaksenAk y

yxx

ω

donde concluímos que

0=aksen x

ou seja

amkx

π= (38)

3.2.2. Relação de dispersão

Substituindo (35) e (28) em (21) obtemos a relação de dispersão dos modos transversais eléctricos

num guia rectangular

2

22

22

vk

bn

am

zωππ

−=

−

− (39)

que podemos escrever na forma

(40) 2222 vkzc += ωω em que

22

+

=

bn

am

cππω (41)

A análise destas equações permite tirar as seguintes conclusões:

(i) Nem todas as ondas se podem propagar na forma de modos TE num guia rectangular. De

facto, escrevendo (40) na forma:

221cz v

k ωω −= (42)

concluimos que apenas frequências maiores que ωc conduzem a propagação (para ω = ωc kz = 0 e

para ω<ωc kz é imaginário (puro)

7

(ii) A frequência de corte depende das dimensões do guia (a e b), da velocidade de propagação

no espaço livre do meio dieléctrico que preenche o guia e do grau do modo TE (m e n). Estes

inteiros (m e n) definem o número de meios comprimentos de onda “cabem” do guia, de modo a

que o campo eléctrico verifique as condições fronteiras nas paredes metálicas do guia. Note-se

ainda que quanto menores forem as dimensões do guia, maiores são as frequências de corte.

(iii) O meio é dispersivo, ou seja, as velocidades de fase e de grupo dependem da frequência

222

11

−

=−

==

ωωωω

ωω

ccz

fv

vk

v (43)

2

22 11

−===

∂∂

=ωω

ωω c

f

z

zg v

vvkv

kv (44)

(iv) Para frequências muito superiores à frequência de corte

vk ω

≅ (45)

ou seja as ondas propagam-se praticamente como se não existissem as paredes metálicas do guia.

A Fig. 3 apresenta o diagrama de dispersão dos modos TE10 e TE01

av

avc

ππω =

=

2

10 (46a)

b

vcπω =

01 (46b)

admitindo que a>b.

kz

π π

ω= k vz

a a

b

ω

8

A título de curiosidade, calculemos as frequências de corte destes dois modos para um guia

rectangular com a = 1 cm e b = 0.5 cm, preenchido por vácuo

GHzHza

cfc 15105.1102103

21 10

2

8

10=×=

××

== −

ππ

GHzHzBb

cfc 30103105.02

1021 10

2

8

01=×=

×××

== −

ππ

3.2.3. Estrutura dos campos eléctrico e magnético

Fazendo as substituições convenientes em (14) e (39) obtemos as seguintes expressões para as

componentes do campo eléctrico de um modo TEmn:

)(

coszzktj

eyksenxkEE yxoxx

−=

ω (47)

)(

coszzktj

eykxksenEE yxoyy

−=

ω (48)

em que

ADEox = (49)

e

yxoy k

DAkE −= (50)

O campo magnético destes modos pode ser determinado a partir da equação de Maxwell

tBErot

∂∂

−=r

(51a)

ou seja

0yx

zyx

EEzyx

uuu

tB

∂∂

∂∂

∂∂

−=∂∂

rrr

(51b)

z

xy

y

x

x

y

uy

Ex

Euz

Euz

EtB rrr

∂

∂−

∂∂

−∂

∂+

∂∂

=∂∂

(51c)

9

)(

)(coszzkt

ekjykxksenE zyxoyzE

tB yx −

−=∂

∂=

∂∂ ω

)(

cos2zzkt

eykxksenEkB yxoyx

−−=

ω

ω (52)

)(

)(coszzkt

ekjyksenxkEz

Et

Bzyxox

xy −−=

∂∂

=∂

∂ ω

)(

coszzkt

eyksenxkEkB yxoxzy

−−=

ω

ω (53)

=∂

∂−

∂∂

=∂

∂x

Ey

Et

B yxz

)()coscoscoscos(

zzktjeykxkEkykxkkE yxoyxyxyox

−−=

ω

)()coscoscoscos(12

zzktjeykxkEkykxkkE

jB yxoyxyxyox

−−=

ω

ω (54)

É interessante verificar, até para validar os nossos cálculos, que as componentes do campo

magnético verificam as condições fronteiras, ou seja:

Bx = 0 para x = 0 e x = a (55)

By = 0 para y = 0 e y = b (56)

3.3. Modos Transversais Magnéticos

O leitor poderá repetir o raciocínio expresso na secção anterior, admitindo agora que o campo

magnético é puramente transversal.

yy

xx uBuBB rrr

+= (57)

Irá concluir que os modos TMmn têm a mesma frequência de corte dos modos TEmn, embora,

obviamente, a estrutura dos campos seja, por definição, diferente.

10

4. GUIA CILÍNDRICO

4.1. Introdução

Vamos, agora, estudar a propagação de ondas electromagnéticas num guia cilíndrico de raio a.

Poderiamos usar um procedimento semelhante ao utilizado no caso do guia rectangular, com a

substituição das coordenadas cartesianas pelas cilíndricas. Contudo, vamos seguir uma outra

metodologia que permite evidenciar, uma vez mais, a riqueza e a flexibilidade das equações de

Maxwell.

Em coordenadas cilíndricas, a equação (5) escreve-se na forma

01112

2

22

2

2

2

22

2

=∂∂

−∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

tU

vzUU

rrU

rrU

rrrrr

ϕ (58)

em que

)(),(),,,(

zzktjerUtzrU

−=

ωϕϕ

rr (59)

Vamos resolver a equação (55) para a componente do campo segundo a direcção de propagação

(Ez num modo TM ou Hz num modo TE).

zzzz

UkUrr

Urr

U 22

2

22

2 11−=

∂∂

+∂∂

+∂

∂ϕ

(60)

com

22

22

zkv

k −=ω (61)

Admitindo que:

) (62) ()(),( ϕϕ FrRrU z =

podemos escrever (60) na forma

FRkd

FdrR

drdR

rFF

drRd 2

2

2

22

2

−=++ϕ

(63a)

ou seja

F

dFd

rkRdrdR

r

drdRdr

Rd

r2

2

222

2

2 ϕ−=++ (63b)

11

O primeiro membro desta equação depende apenas de r enquanto o segundo membro é uma

função de ϕ . Para que a equação se verifique, para todos os valores de r e de ϕ é preciso que cada

um dos seus membros seja igual a uma constante

2222

2

2 υ+=++ rkRdrdR

r

drdRdr

Rd

r (64a)

22

2

υϕ−=+

Fd

Fd

(64b)

Estas equações admitem soluções do tipo

)()()( krBNkrAJrR υυ += (65)

ϕυϕυϕ senDCF += cos)( (66)

onde Jυ (kr) e Nυ (kr) representam funções de Bessel de 1ª e 2ª espécie de ordem υ e A, B, C e D são

constantes de integração que se determinam a partir das condições fronteiras. Como os campos têm

de ser finitos para r=0, a constante B tem de ser nula dado que Nυ(0)=∞ .

Conhecidas as componentes E2 e Hz, as outras componentes dos campos eléctrico e magnético

podem ser determinadas resolvendo as equações

tBErot

∂∂

−=

tEHrot

∂∂

= ε

em ordem a E2 e Hz

∂

∂+

∂∂

−=ϕ

ωµ zz

zr H

rj

rEjk

kE 2

1 (67)

∂

∂+

∂∂

−−=r

HjErkj

kE

zzz ωµ

ϕϕ

21 (68)

∂

∂−

∂∂

−=r

HjkEr

jk

Hz

z

zr

ϕωε

21 (69)

12

∂

∂+

∂∂

rH

rkj

rE z

zz

ωε

−= j

kH ϕ

21 (70)

4.2. Modos Transversais Magnéticos

Os modos transversais magnéticos (TMnl) são caracterizados pela existência de uma componente

longitudinal do campo eléctrico definido por:

ϕnkrAJE nz cos)(= (71)

e que tem de ser nula para r=a

(72) nln PkaJ =)(

em que ρnl representa o zero de ordem l da função de Bessel Jn(x)=0.

As expressões (61) e (72) permitem determinar a relação de dispersão destes modos

22

22

znl k

va−=

ωρ (73)

que podemos escrever na forma

(74) 2222 vkzc += ωω

com

vanl

c

=

ρω (75)

4.3. Modos Transversais Eléctricos

Neste caso, a componente longitudinal do campo magnético é da forma

0 (76) cos)( nkrJBH nz =

pelo que, usando (69), concluimos que:

r

Hjk

E∂

∂=

2

21 ωµϕ (77a)

0cos)(' nrkJBk

jn

ωµ= (78b)

Esta componente do campo eléctrico tem de ser nula em r=a, pelo que

(79) 0' )( ρ=akJ n

ou seja

a

k nl'ρ

= (80)

onde ρnl representa o zero de ordem l da função de Bessel . 0)(' =xJ n

13

Uma vez mais usando as expressões (61) e (79) obtemos a relação de dispersão dos modos

transversais eléctrico num guia cilindrico

(81) 2222 vkzc += ωω

em que

vanl

c

'ρω = (82)

4.4. Comparação das frequências de corte dos modos transversais magnético e eléctrico

A consulta a uma tabela de zeros das funções de Bessel permite construir, utilizando as expressões

(72) e (78) a Figura 4 que representa as frequências de corte dos modos TE e TM de ordem inferior.

A análise desta figura permite concluir o seguinte:

(i) Ao contrário do que acontecia no guia rectangular, os modos TE e TM da mesma ordem

(mesmos valores de m e n) não possuem a mesma frequência de corte.

(ii) O modo fundamental, isto é, o modo com a menor frequência do corte é o modo

TE11(ρ’11=1.84).

(iii) O modo transversal magnético com menor frequência de corte é o modo TE01(p01=2.405).

5. CAVIDADE CILÍNDRICA

Quando truncamos um guia de ondas por dois condutores perfeitos, normais às paredes do guia,

obtemos uma cavidade electromagnética ressonante. A Figura 3 apresenta uma cavidade cilíndrica.

As estruturas dos campos electromagnéticos que se podem propagar nesta cavidade podem ser

deduzidas a partir das equações de Maxwell escritas em coordenadas cilíndricas.

14

rHrjz

ErzE µω

ϕ

ϕ−=

∂∂

−∂

∂ (83.a)

ϕµω Hjr

zEz

rE+=

∂∂

−∂

∂ (83.b)

zHrjrErE

rµω

ϕϕ −=

∂∂

−∂∂ )( (83.c)

rErjz

HrzH εω

ϕ

ϕ+=

∂∂

−∂

∂ (84.a)

ϕεω Ejr

zHz

rH+=

∂∂

−∂∂ (84.b)

zErjrHrH

rεω

ϕϕ +=

∂∂

−∂∂ )( (84.c)

A dedução das expressões gerais dos modos TEmnl e TMmnl é complexa, pelo que iremos centrar

a nossa atenção na estrutura do modo que possui a menor frequência de ressonância e que pode ser

facilmente excitado: TM010. Para este modo podemos considerar que não há variação do campo

eléctrico segundo z e dos campos eléctrico e magnético segundo ϕ. Nestas condições, e atendendo a

que Hz=0, as equações anteriores reduzem-se a:

ϕωµHjr

zE=

∂∂ (85.a)

zErjrHr

εωϕ =∂∂ )( (85.b)

as quais significam que o modo TM010 é caracterizado por um campo eléctrico que apenas tem

componente segundo z

(86) zzEE µr

r=

e por um campo magnético que apenas possui componente segundo ϕ.

15

ϕµϕ rr

HH = (87)

A resolução do sistema de equações (a3) conduz à seguinte equação diferencial

01 222

2

=+∂

∂−

∂∂ z

zz

Ekr

Err

E (88)

onde

εµω 22 =k (89)

Esta equação diferencial admite soluções matemáticas do tipo

(90) )()()( 0100 krNEkrJErzE += em que J0 (ϑ ) e N0 (ϑ ) representam as funções de Bessel e de Neumman de ordem zero.

Como a função de Bessel de 2ª espécie (função de Neumman) tem uma singularidade para r=0 e

como nesse ponto o campo eléctrico tem de ser finito, a constante de integração E1 tem de ser nula

01 =E (91)

A determinação da constante de propagação k é feita a partir da condição fronteira

(92) 0)( == RZE z

a qual implica que

(93)

0)(00 =kRJE

ou seja

(94) 01PKR =

em que P01 representa o primeiro zero da função de Bessel J0(r).

(95) 405.2=KR

donde concluímos que

R

K 405.2= (96)

O campo magnético Hϕ pode ser determinado a partir da equação (85.a)

))(0(0 KrJrj

EH

∂∂

=ωµ

ϕ (97)

)(10

krJZEj

ϕ= (98)

em que

16

εµ

=0z (99)

é a impedância de onda do meio que preenche a cavidade.

6. LINHA COAXIAL DE TRANSMISSÃO DE ENERGIA

6.1. Introdução

Uma linha coaxial de transmissão de energia é constituída por dois condutores cilíndricos,

concênctricos, separados por um dieléctrico de constante dieléctrica ε e permeabilidade magnética

µ.

Figura 3 – Secções longitudinal (à esquerda) e transversal (à direita) de uma linha coaxial de transmissão de energia

Esta estrutura de propagação de energia electromagnética pode propagar modos TEM cujo

campo eléctrico apenas tem componente segundo r

rrEE µr

r= (100)

com

)(0

kztjeErE −= ω (101)

e cujo campo magnético apenas tem componente segundo ϕ

ϕµϕ rrHH = (102)

com

)(0

kztjeHH −= ωϕ (103)

As amplitudes dos campos Er

e Hr

estão relacionadas através da expressão

00

0 ZHE

= (104)

17

em que Z0 representa a impedância de onda ou impedância característica do meio2.

Em vez de usarmos a estrutura dos campos eléctricos e magnético, vamos caracterizar a

propagação numa linha coaxial de transmissão de energia utilizando a diferença de potencial entre

os dois condutores (V) e a corrente que percorre cada condutor (I).

)()( krtjerVkztjeiVV ++−= ωω (105)

)()( kztjerIkztjeiII ++−= ωω (106)

Atendendo à definição de impedância de onda, esta equação pode ser escrita na forma:

)(

0

)(

0

kztjeZ

rVkztjeZ

iVI +−−= ωω (107)

6.2. Influência da impedância de carga nas características da propagação

Suponhamos, agora, que a linha está terminada, em z = 0, por uma impedãncia de carga ZL. Então

V tjerViVLω)( += (108)

e

tjeZ

rV

ZiV

LI ω

−=

00 (109)

Como, por definição de impedância,

LILV

LZ = (110)

temos que: 2 Se tivessemos considerado ondas que se propagam no sentido negativo do eixo dos Zs, então

00

0 ZHE

−=

18

rViVrViV

Z

ZrV

ZiV

rViVLZ

−

+=

−

+= 0

00

(111)

Vamos agora definir os coeficientes de reflexão de tensão

iVrV

vR = (112)

e de corrente

iIrI

IR = (113)

Em termos do coeficiente Rv a equação (111) pode ser escrita na forma

vRvR

ZLZ

−

+=

1

1

0 (114)

ou seja

0

0ZLZ

ZLZvR

+

−= (115)

Analogamente, podemos obter

0

0ZLZ

LZZIR

+

−= (116)

Vamos, agora, analisar os valores da tensão e da corrente medidos ao longo da linha, para vários

valores típicos da impedância de carga3.

1) Suponhamos que a linha está adaptada à impedância de carga

0ZLZ = (117)

Neste caso

3 É importante recordar que os voltímetros e os amperímetros medem o módulo da tensão ou da corrente, sendo insensíveis à fase.

19

0== IRvR (118)

o que significa que toda a energia incidente é absorvida pela carga.

Então

)( kztjeiVV −= ω (119)

e

)(

0

kztjeZ

iVI −= ω (120)

pelo que o voltímetro e o amperímetro vão, respectivamente, medir

iVV = (121)

e

iII = (122)

ou seja os módulos da tensão entre os condutores e da corrente que percorre cada condutor não

variam ao longo da linha.

2) Suponhamos que a linha está terminada por um curto circuito.

0=LZ (123)

Então

1−=vR (124)

e

1−=RI (125)

pelo que

)()( kztjeiVkztjeiVV +−−= ωω (126)

e

)(

0

)(

0

kztjeZ

iVkztjeZ

iVI ++−= ωω (127)

Num dado instante, temos que

kzseniVjjkzejkzeiVV 2)( −=−−= (128)

e

kzZ

iVjkzejkzeZ

iVI cos

0

2

0=

+−= (129)

A análise destas duas equações permite tirar as seguintes conclusões:

20

(i) Os módulos da tensão e da corrente variam com z.

kzsenVV i2= (130)

kzZV

I i cos2

0

= (131)

(ii) A amplitude da tensão (corrente) é o dobro da amplitude da tensão (corrente) da onda

incidente.

(iii) A tensão é nula em Z=0, como não podia deixar de ser devido à definição de curto-

circuito.

(iv) A tensão e a corrente têm uma desfazagem entre si de π/2 (devido ao factor j na equação

(128)). Ou seja, quando a tensão é nula a corrente é máxima (e vice-versa).

3) Suponhamos, agora, que a linha está em aberto

∞=LZ (132)

Como

LZ

ZLZ

Z

vR01

01

+

−

= (133)

e

10

10

+

−

=

LZ

ZLZ

Z

IR (134)

temos que

1=vR (135)

e

1−=IR (136)

Neste caso

tjeiVjkzejkzeV ω)( +−= (137)

tjeZ

iVjkzejkzeI ω

0

−−= (138)

21

donde obtemos

kziVV cos2= (139)

e

zksenZV

jI i

0

2−= (140)

Uma vez mais, os módulos da tensão e da corrente variam com Z, a amplitude da tensão

(corrente) é o dobro da amplitude da tensão (corrente) da onda incidente e a tensão e a corrente

estão desfasadas de π/2. Agora, e devido à definição de circuito aberto, é a corrente que é nula em

z=0.

6.3. Impedância de onda

A impedância de onda, que definimos através da equação (104), pode também ser calculada através

da expressão

0

00 C

LZ = (141)

em que L0 e C0 representam a inductância e a capacidade da linha por unidade de comprimento.

Para determinarmos L0 vamos admitir que o condutor interior é percorrido por uma corrente I.

Então, o campo magnético num ponto do dieléctrico é dado por

ϕµπ

µ rr

rIB

2= (142)

em que r representa a distância do ponto ao eixo da linha.

O fluxo magnético através de uma superfície rectangular, de comprimento l e de largura (a-b), é

dado por

drr

lIdsBa

b∫∫ ==Ψ1

2µµ (143)

baIl ln

2πµ

= (144)

Figura 4 – Superfície usada no cálculo do fluxo magnético

22

Então, pela definição, de inductãncia por unidade de comprimento, obtemos

ba

lIL ln

2πµ

=Ψ

= (145)

Vamos agora calcular a capacidade por unidade de comprimento, admitindo que o condutor

interior tem uma carga eléctrica Q. Então, o campo eléctrico num ponto à distância r do eixo da

linha é dado por:

rrlQE µ

επrr

2= (146)

pelo que a diferença de potencial entre os dois condutores é dada por

ba

lQdr

rlQVV

a

bext ln22int επεπ

==− ∫ (147)

Usando a respectiva definição, podemos agora calcular a capacidade da linha por unidade de

Comprimento

lVQC

∆=0 (148)

baln

2πε= (149)

Substituindo (149) e (145) em (141) obtemos a expressão da impedância de onda da linha

coaxial de transmissão de energia

0

00 C

LZ = (141)

εµ

π baln

21

= (150)

ba

elZ ln21π

= (151)

em que Zel representa a impedância de onda em espaço livre do meio dieléctrico que preenche o

espaço entre os dois condutores.

23

εµ

=elZ (152)

A análise das equações (150) e (151) permite tirar as seguintes conclusões:

(i) a impedância de onda da linha depende dos raios dos dois condutores (a e b) e das

características eléctricas e magnéticas do meio dieléctrico que preenche o es+aço entre

os dois condutores.

(ii) A impedância de onda da linha é nula quando a=b, ou seja, quando não há linha, mas

sim um único condutor.

(iii) Z0 é menor, igual ou maior que Zel quando baln é menor, igual ou maior do que 2π.

24