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Tópicos deMecânica Clássica



Publicações Matemáticas

Tópicos deMecânica Clássica

Artur LopesUFRGS

impa



Copyright 2012 by Artur Lopes

Impresso no Brasil / Printed in Brazil

Capa: Noni Geiger / Sérgio R. Vaz

Publicações Matemáticas

• Introdução à Topologia Diferencial – Elon Lages Lima

• Criptografia, Números Primos e Algoritmos – Manoel Lemos

• Introdução à Economia Dinâmica e Mercados Incompletos – Aloísio Araújo

• Conjuntos de Cantor, Dinâmica e Aritmética – Carlos Gustavo Moreira

• Geometria Hiperbólica – João Lucas Marques Barbosa

• Introdução à Economia Matemática – Aloísio Araújo

• Superfícies Mínimas – Manfredo Perdigão do Carmo

• The Index Formula for Dirac Operators: an Introduction – Levi Lopes de Lima

• Introduction to Symplectic and Hamiltonian Geometry – Ana Cannas da Silva

• Primos de Mersenne (e outros primos muito grandes) – Carlos Gustavo T. A. Moreira e Nicolau

Saldanha

• The Contact Process on Graphs – Márcia Salzano• Canonical Metrics on Compact almost Complex Manifolds – Santiago R. Simanca

• Introduction to Toric Varieties – Jean-Paul Brasselet

• Birational Geometry of Foliations – Marco Brunella

• Introdução à Teoria das Probabilidades – Pedro J. Fernandez

• Teoria dos Corpos – Otto Endler

• Introdução à Dinâmica de Aplicações do Tipo Twist – Clodoaldo G. Ragazzo, Mário J. Dias

Carneiro e Salvador Addas Zanata

• Elementos de Estatística Computacional usando Plataformas de Software Livre/Gratuito –

Alejandro C. Frery e Francisco Cribari-Neto

• Uma Introdução a Soluções de Viscosidade para Equações de Hamilton-Jacobi – Helena J.

Nussenzveig Lopes, Milton C. Lopes Filho• Elements of Analytic Hypoellipticity – Nicholas Hanges

• Métodos Clássicos em Teoria do Potencial – Augusto Ponce

• Variedades Diferenciáveis – Elon Lages Lima

• O Método do Referencial Móvel – Manfredo do Carmo

• A Student's Guide to Symplectic Spaces, Grassmannians and Maslov Index – Paolo Piccione e

Daniel Victor Tausk

• Métodos Topológicos en el Análisis no Lineal – Pablo Amster

• Tópicos em Combinatória Contemporânea – Carlos Gustavo Moreira e Yoshiharu Kohayakawa

• Uma Iniciação aos Sistemas Dinâmicos Estocásticos – Paulo Ruffino

• Compressive Sensing – Adriana Schulz, Eduardo A.B.. da Silva e Luiz Velho

•

O Teorema de Poncelet – Marcos Sebastiani• Cálculo Tensorial – Elon Lages Lima

• Aspectos Ergódicos da Teoria dos Números – Alexander Arbieto, Carlos Matheus e C. G.

Moreira

• A Survey on Hiperbolicity of Projective Hypersurfaces – Simone Diverio e Erwan Rousseau

• Algebraic Stacks and Moduli of Vector Bundles – Frank Neumann

• O Teorema de Sard e suas Aplicações – Edson Durão Júdice

• Tópicos de Mecânica Clássica – Artur Lopes

IMPA - [email protected] - http://www.impa.br - ISBN: 978-85-244-0335-4



Prefacio

O presente livro e uma sequencia natural do material apresentadono texto [Lo] do mesmo autor.

Os primeiros tres capıtulos do texto introduzem conceitos de Te-oria Ergodica e sua relacao com a Mecanica Classica. Nestes capıtulosapresentamos exemplos de sistemas em que aparece o fenomeno KAM.

Como veremos a fundamentacao matematica da Mecanica Es-tatıstica “a la Gibbs” necessita de fato de resultados de Teoria Ergo-dica como o Teorema de Birkhoff. Referimos [Rue] e [PP] ao leitor

para maiores detalhes sobre este assunto.Os capıtulos de 5 a 6 abordam o Formalismo Simpletico. Para

se analisar sistemas mecanicos de maneira intrınseca em variedadesdiferenciaveis se necessita deste formalismo. Estes resultados podemser generalizados (ver [AM]) para dimensao infinita e permitem aanalise da equcao de Korteg-de Vries, etc...

A equacao de Hamilton-Jacobi e sua relacao com o Princıpio deHuyghens e o tema dos capıtulos 7 a 10. Nesta parte do livro eabordado a relacao entre frentes de onda e raios de luz que foi a

motivacao principal para a introducao do ponto de vista hamiltonianona Mecanica Classica.

No capıtulo 11 (em conjunto com M. Sebastiani) apresentamosalgumas propriedades de integrais oscilantes que permitem o me-lhor entendimento da otica oscilatoria (que foi abordado no capıtulo10) e que estao tambem relacionadas com o limite semi-classico daMecanica Quantica.

O apendice capıtulo 12 apresenta algumas definicoes e exemplosde aplicacoes de primeiro retorno induzidas em capıtulos, pontos

periodicos hiperbolicos, elıpticos, etc... conceitos estes que aparecemanteriormente no texto.

Referimos o texto [DL] ao leitor para resultados gerais sobreEquacoes Diferenciais Ordinarias que serao aqui utilizados.

Ressaltamos que o livro [FMP] apresenta uma grande quantidadede material de Mecanica Classica de uma maneira muito elegante ecom muitos detalhes nas demonstracoes.



Indice

1. A Acao Associada a Bilhares Convexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2. O Teorema Ergodico e a Hipotese de Boltzmannn . . . . . . . . . . . 17

3. A Teoria de Aubry para Quasi-Cristais e Exemplos doTipo KAM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4. Formas Diferenciais em Variedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

5. Formalismo Simpletico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

6. Linhas de Vortex em Mecanica Hamiltoniana ...............140

7. E.D.P: Metodo das Caracterısticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

8. E.D.P: Metodo da Solucao Completa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

9. O Princıpio de Huygens em Mecanica Hamiltoniana . . . . . . . . 176

10. A Equacao da Onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

11. O Metodo da Fase Estacionaria - em conjunto comMarcos Sebastiani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

12. Apendice: Aplicacao de Primeiro Retorno . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

Bibliografias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247



Capıtulo 1

A Acao Associada a

Bilhares Convexos

Vamos considerar a seguir bilhares determinados por uma curva con-vexa e sua relacao com fluxos Hamiltonianos. Este exemplo possibili-

tara introduzir de maneira natural alguns conceitos basicos do pontode vista estatıstico (nao determinıstico) de se entender a mecanica.Na proxima secao apresentaremos ao leitor os rudimentos da Te-

oria Ergodica. Nos reportaremos a alguns exemplos tratados na pre-sente secao para ilustrar algumas propriedades que la serao descritas.

Considere o movimento livre de uma partıcula de massa 1 no planosujeito a acao do Hamiltoniano

1

2 p21 + p22

.

Como sabemos a trajetoria da partıcula se dara segundo umalinha reta e pelo Teorema da Conservacao da Energia Total (queneste caso, e tambem a Energia Cinetica) a velocidade ao longo datrajetoria tera modulo

p21 + p22 = c = constante.

Vamos descrever alguns resultados basicos na Teoria dos Bilhares(ver [CM] e [CRZ]).

Suponha a existencia de um recipiente circundando a partıcula detal modo que vai impedir que a partıcula va embora para o infinito.

1



2 [CAP. 1: A ACAO ASSOCIADA A BILHARES CONVEXOS

Mais precisamente, suponha que exista uma curva infinitamentediferenciavel C de Jordan (sem auto-intercecao), que e parametrizada

por g : [0, c] → C ⊂R2

no sentido anti-horario, g diferenciavel eg(0) = g(c). Considere a condicao inicial (q 0, p0) ∈ R4 da partıcula

de tal modo que q 0 esteja contida no interior da regiao D delimitadapela curva C e que a velocidade inicial p0 seja tal que p0 = 1 (logopor conservacao de energia este modulo se mantera constante igual a1 para sempre).

Vamos supor que a regiao D e estritamente convexa (sem seg-mentos retos), isto e, que dados dois pontos quaisquer q 1, q 2 ∈ D, osegmento de reta unindo q 1 a q 2 esta estritamente contido no interiorda regiao delimitada por D.

A evolucao temporal da partıcula

(q (s), p(s)) = (q 1(s), q 2(s), p1(s), p2(s))

a partir da condicao inicial (q 0, p0) = (q 10, q 20 , p10, p20) ∈ R4 sera tal quecada vez que a trajetoria q (s) ∈ R

2, s ∈ R colide com a curva C ,ela reflete de tal modo que o angulo de incidencia com a tangente acurva C seja igual ao angulo de reflexao (ver Figura 1.1).

Desta maneira, se a trajetoria for tal que q 0 esta inicialmentena parte D interior a curva C , ela jamais saira de D. Vamos su-por tambem que as reflexoes sao elasticas, ou seja, nao ha perda deenergia. Sendo assim, este movimento estara restrito a superfıcietridimensional em R

4 determinada por p21 + p22 = 1.Este modelo e uma boa aproximacao para o que acontece com as

partıculas de um gas contido em um recipiente fechado. O problemaem que estamos interessados nesta secao e analisar o que acontececom a evolucao temporal (q (s), p(s)) de “uma”partıcula que no tempoinicial s = 0 esta exatamente em q 0 ∈ D (ou em C ) e com vetorvelocidade p0. Problemas de acustica tambem podem ser modelados

por bilhares.Considere g : [0, c] → C (c e o comprimento da curva) uma para-

metrizacao da curva C pelo comprimento de arco, isto e g′(t) = 1.Vamos supor sem perda de generalidade que a curva C tenha com-primento igual a 1 (caso contrario faca uma mudanca de variaveis),ou seja que c = 1.

Como entre cada batida o movimento e trivial (e descrito poruma linha reta) podemos simplificar o problema tridimensional (na



3

superfıcie p21 + p22 = 1) para um problema bidimensional em queq 0 ∈ C da seguinte maneira: a posicao inicial (q 0, p0) ∈ R

4 tal que

( p

1

0)

2

+( p

2

0)

2

= 1 e q 0 = (q

1

0 , q

2

0) ∈ C , pode ser descrita por (t, ϕ) ondet ∈ [0, 1] e tal que g(t) = q 0, e ϕ ∈ −π2 , π2

e o angulo de p0 com

a normal a C em q 0 apontando para dentro de C (ver Figura 1.2).Por convencao assumimos que ϕ = −π/2 corresponde a tangente tda curva (orientada no sentido anti-horario).

O vetor p0 sempre aponta para dentro da curva C , logo seu angulocom a normal (apontando para dentro da curva) varia de −π/2 a π/2como foi dito acima.

Por uma questao de conveniencia em vez de ϕ, vamos usar avariavel θ = sin ϕ

∈(−

1, 1).Segundo a convencao g′(t) corresponde a θ = −1.Para descrever com mais exatidao a analogia que existe entre o

modelo do bilhar e propriedades de sistemas hamiltonianos vamosusar a seguinte notacao, vamos associar t = q e θ = p. Sendo assim,denotaremos indistintamente t = q = g(t) e tambem θ = p.

Dada a condicao inicial (t0, θ0), considere a trajetoria (q (s), p(s))(solucao do fluxo Hamiltoniano comecando em (q 0, p0) = (t0, θ0))q (s) ∈ D e apos a primeira colisao e respectivo rebote obteremos(q 1, p1), q 1

∈C . Denotaremos por (t1, θ1) os novos valores obtidos

nas coordenadas (t, θ) de tal jeito que g(t1) = q 1 e exatamente oponto de C onde a trajetoria q (s) determinada por (q (s), p(s)) vaicolidir com C pela primeira vez (ver Figura 1.2). O angulo θ1 eobtido como o valor do seno do angulo (do vetor refletido) com anormal (ver Figura 1.2).

O fato de assumir que a curva C e estritamente convexa implicaque T (t0, θo) = (t1, θ1) esta bem definida e e continua. Devemosassumir que a curva e parametrizada por uma funcao de Classe C 2

para que resulte um difeomorfismo a aplicacao de primeiro retorno.

Fica assim, determinado um difeomorfismo

T : [0, 1) × (−1, 1) → [0, 1) × (−1, 1),

onde T (t0, θ0) = (t1, θ1).A diferenciabilidade do difeomorfismo e C 1.Vamos denotar por

E = [0, 1) × (−1, 1)




a regiao bidimensional em que T vai estar definida. E representauma secao transversal (ver secao 12 para consideracoes gerais sobre

o assunto) na superfıcie tridimensional p

2

1 + p

2

2 = 1.Reduzimos assim um problema com tempo contınuo em dimensao3 para um problema de dimensao 2 com tempo discreto, ou seja adinamica temporal para o fluxo φt, t ∈ R transforma-se na dinamicatemporal para T n, n ∈ N, onde T : E → E e um difeomorfismo. Estesegundo problema, em princıpio, e mais simples e vai apresentar asprincipais caracterısticas do primeiro.

Para entender o que acontece com com a evolucao temporal φs(q, p),s ∈ R, da partıcula com posicao inicial (q, p) = (t, θ), q ∈ C , basta

saber o que acontece com as sucessivas batidas determinadas por T em C , ou seja pela orbita de (q, p) = (t, θ) dada por

(t, θ) , T (t, θ) , T (T (t, θ)) , ..., T n(t, θ) ,...,

pois entre cada batida a trajetoria e uma linha reta. A linha quebradacorrespondendo aos varios rebotes desta evolucao temporal t ∈ R

pode ser facilmente reconstruıda a partir da informacao da orbita de(t0, θ0).

Note que se a fronteira do bilhar for constituıdo por uniao de

curvas diferenciaveis como na Figura 1.4 e 2.1, existirao singulari-dades devido aos vertices e isto cria uma pequena dificuldade (quepode ser eliminada conforme veremos na proxima secao) na definicaode T . Alguns destes bilhares (como o da Figura 2.1) chamados dis-persores ou de Sinai (ver [Mar] para definicao), apresentam caos epodem ser rigorosamente analisados adaptando tecnicas de sistemashiperbolicos da Teoria dos Sistemas Dinamicos e Teoria Ergodica (verRo[1]). Os bilhares analisados aqui sao focalizadores (em oposicao aosdispersores) e tambem podem exibir como veremos em alguns casos

comportamento caotico mas para sua analise rigorosa as tecnicas em-pregadas sao de natureza distinta (e na verdade mais difıcil) do queas utilizadas no caso dispersor.

Bilhares sao os exemplos naturais mais simples em que se observacaos (ver Figura 2.2).

Para o leitor familiarizado com a teoria geometrica das equacoesdiferenciais ordinarias (ver [LL] e [So]) esclarecemos que o procedi-mento acima (tomar a iteracao do difeomorfismo T em vez do fluxo



5

Figura 1.1:

φt) e similar a tomar uma secao de Poincare (global) para umaequacao diferencial. Neste sentido, a aplicacao T pode ser enten-dida da seguinte maneira. O movimento do bilhar se da na regiaoinvariante tridimensional p21 + p22 = 1. A regiao E (secao transversalde acordo com a secao 12) vai ser constituıda pelos pontos da forma(q, p) onde q esta na curva C (bordo de D) e p e um vetor de norma1 em q e apontando para dentro da curva C .

Dada uma condicao inicial em E , a aplicacao T vai determinar oprimeiro retorno (seguido de uma simetria do angulo de incidenciacom a normal a curva) da trajetoria (que se desloca na regiao tridi-mensional) a secao transversal E (ver Figura 1.5).

Observacao 1.1. Note que em geral se comecarmos com uma con-dic˜ ao inicial (q 0, p0), e denotando por ( pn, q n) = T n(q 0, p0), se se-guirmos os iterados (q n, pn), tentando prever exatamente onde ele vai estar no tempo (digamos) 1000, (isto e, qual o valor exato de (q 1000, p1000)) enfrentaremos serias dificuldades. Um pequeno erro

na aproximac˜ ao do valor exato de (q 1, p1) se propaga para (q 2, p2)e assim por diante, fazendo com que a previs˜ ao do valor exato de (q 1000, p1000) seja bastante difıcil. O ponto de vista acima descritopode ser entendido como o ponto de vista determinıstico. Para o tipode problema que estamos considerando (bilhares em regi˜ oes convexas)ser´ a melhor analisar a quest˜ ao do ponto de vista da an´ alise estatıstica das trajet´ orias. Para isto ser´ a necess´ ario mostrar que T preserva ´ area, o que vai ser feito a seguir.




Notacao: Como estamos identificando t com q = g(t) (para sim-plificar a notacao), denote

S (q 0, q 1) = q 0 − q 1 = S (q, Q)

(ou alternativamente

S (t0, t1) = g(t0) − g(t1),

onde g(t0) = q = q 0, g(t1) = q 1 = Q) o comprimento do segmentoligando q 0 a q 1. Como D e estritamente convexo, este segmento estainteiramente contido em D.

Proposicao 1.1. Seja (q 1, p1) = T (q 0, p0). Para q 0 fixado, ∂S (q0,q1)∂q1=

− p1.

Demonstracao: Como sabemos d<z(t) , z(t)>dt = 2 < z′(t) , z(t) >,

entao usando a notacao descrita acima onde q 0 = g(t0) e q 1 = g(t1)

∂S (q 0, q 1)

∂q 1=

d

< g(t1) − g(t0) , g(t1) − g(t)) >

dt1=

1g(t1) − g(t0) < g′(t1) , g(t1) − g(t0) > .

Como g′

(t1) = 1 por hipotese, usando a expressao

< u, v >= uv cos (angulo formado por u e v),

obtemos que ∂S (q0,q1)∂q1

e o cosseno do angulo entre (g(t1) − g(t)) e

g′(t1), ou seja e igual ao cosseno do angulo de incidencia da partıcula

em g(t1) com a tangente g′(t1) neste ponto. Como p1 = θ1 = sin φ1e o seno do angulo com a normal apos o rebote, concluımos quedS (q0,q1)dq1

= − p1.

A troca de sinal e devido ao angulo refletido.

Analogamente pode se mostrar que para q 1 fixado ∂S (q0,q1)∂q0

= p0.Sendo assim S define uma transformacao que preserva area. Seguirado que foi descrito acima que:



7

Figura 1.2:

Proposicao 1.2. Fixe dois pontos q 1 e q 3 em C e considere A(q ) =

A(t) a func˜ ao de t = q ∈ [0, 1) (estamos usando a notac˜ ao, de iden-tificar g(t) = q ∈ C ) tomando valores reais, tal que para todo valor q ∈ C ,

A(q ) = S (q 1, q ) + S (q, q 3) = q 1 − q + q − q 3.

Ent˜ ao, e equivalente dizer que A(q ) = S (q 1, q ) + S (q, q 3) tem um ponto crıtico em q 2 e dizer que a trajet´ oria do bilhar em D, sai de q 1, colide a seguir com C em q 2 ∈ C e finalmente bate em q 3 ∈ C .

Demonstracao: Pela ultima proposicao,∂S (q1,q2)

∂q2 = − p2. Demaneira analoga se pode mostrar que ∂S (q2,q3)

∂q2= p2.

Sendo assim, a partir do que vimos na ultima proposicao, a condi-cao da igualdade do angulo de incidencia e o angulo de reflexao entreos segmentos q 1, q 2 e q 2, q 3 no ponto q 2 e equivalente a dizer que q 2satisfaz

∂S (q 1, q )

∂q +

∂S (q, q 3)

∂q = 0.

Esta ultima condicao, por sua vez, e equivalente a A(q ) ter q 2

como ponto crıtico.

A conclusao e que (q 1, p1) = T (q 0, p0) satisfaz as equacoes

∂S (q 0, q 1)

∂q = p0

e∂S (q 0, q 1)

∂q 1= − p1.




Figura 1.3:

Um calculo facil permite obter que

∂ 2S (q 0, q 1)

∂q 0∂q 1=

p0 p1S (q 0, q 1)

> 0

ou seja,∂ 2S (t0, t1)

∂t0∂t1 =

Senθ0Senθ1S (t0, t1) > 0

Mais tarde retornaremos a analisar esta expressao. Note que po-demos tomar tambem S (q, Q) = −q − Q sem que alteremos emnada o que foi descrito acima, apenas fazendo com que

∂ 2S (q 0, q 1)

∂q 0∂q 1< 0.

Mais tarde analisaremos transformacoes T obtidas a partir de S

e que satisfazem a ultima expressao acima.Como vimos no Capıtulo 3 [L], se T (q 0, p0) = (q 1, p1) e obtido

atraves de uma aplicacao geradora de mudanca de coordenadas

S (q 0, q 1) tal que ∂ 2S (q0,q1)∂q0∂q1

= 0 como acima, entao T preserva area.Note que foi necessario usar as coordenadas θ = sin ϕ e nao ϕ paraobter que T : E → E preserva area.

Logo, para tal T vale que para qualquer aberto A, os conjuntosA e T (A) tem a mesma area.



9

Figura 1.4:

Definicao 1.1. A aplicac˜ ao q 1 − q = S (q, q 1) : [0, 1] × (−1, 1) → R

e denominada Ac˜ ao associada ao bilhar definido pela curva C .

Uma conclusao que podemos obter do fato acima demonstradoe que todos os pontos do bilhar sao nao errantes (ver Definicao 5,

Capıtulo 3 [L]). Isto segue de imediato do fato que T preserva area edo Teorema de Poincare (Teorema 5, Capıtulo 3).

O Exemplo 13, Capıtulo 1 [L], constituıdo por duas partıculascolidindo num intervalo, pode ser transformado num problema sobretrajetorias no bilhar triangular. A demonstracao que a aplicacao nobordo do bilhar preserva area tambem pode ser aplicada a tal bi-lhar. Concluimos portanto que no caso do sistema de duas partıculascolidindo num intervalo, todos os pontos sao nao errantes.

O fato do difeomorfismo T do bilhar convexo preservar area, per-

mitira tambem usar tecnicas probabilısticas na analise das trajetoriasdo sistema mecanico em consideracao. Estes resultados serao apre-sentados na proxima secao.

O resultado acima, sobre conservacao de area e verdadeiro parauma grande classe de interessantes e diferentes tipos de bilhares. Aevolucao das trajetorias do bilhar vai depender no entanto de maneiraessencial da forma da curva C . Vamos mostrar isto atraves de algunsexemplos.




Figura 1.5:

Definicao 1.2. Dizemos que V : E → R e uma integral primeira de T se V (q, p) e contınua e constante ao longo das ´ orbitas T n(q 0, p0) =(q n, pn).

A existencia de tal V : [0, 1) × (−1, 1) → R implica na existenciade uma integral primeira V para φt em p21 + p22 = 1. Isto ocorreporque, o sistema a tempo contınuo φt na superfıcie tridimensional

p21+ p22 = 1, e obtido a partir de T apenas acrescentando retas ligandox a T (x). Cada curva invariante em [0, 1) × (−1, 1) determina por-tanto uma superfıcie bidimensional invariante para φt na superfıcietridimensional em p21 + p22 = 1.

Exemplo 1.1. O cırculo. Considere C um cırculo de raio 1. Em vez da parametrizac˜ ao do cırculo por (cos 2πt, sen 2πt ), 0 ≤ t ≤ 1 vamos usar as coordenadas 0 ≤ s < 2π para a posic˜ ao q e −π/2 ≤ ϕ < π/2para o ˆ angulo com a normal. No caso do cırculo e f´ acil ver que S (q, Q) = S (s0, s1) = 2 sen ((s1 − s0)/2).

Por propriedades elementares de geometria o angulo ϕ nao va-ria ao longo de uma orbita e T e dado por T (s0, ϕ0) = (s1, ϕ1) =(s0 + 2ϕ0, ϕ0) E facil ver que se a condicao inicial for (s0, ϕ0) =



11

(q 0, p0) ∈ [0, 2π) × (−π/2, π/2), entao para todo n, T n(q 0, p0) =(q n, pn) e tal que pn = p. Sendo assim se plotarmos varias trajetorias

(q, p), T (q, p), T

2

,...,T

n

(q, p), onde (q, p) sao diferentes condicoesiniciais, obteremos uma decomposicao do espaco de fase (q, p) ∈[0, 2π) × (−π/2, π/2), da forma apresentada na Figura 1.7.

Logo, a funcao V (q, p) = p (ou seja V (s, ϕ) = ϕ) e constante aolongo de cada orbita. Portanto, tal V e uma integral primeira dobilhar.

Como T (s0, ϕ0) = (s0 + 2ϕ0), φ0) considere apenas a acao de T na primeira ordenada g(s0) = s0 + 2ϕ0 (mod 1). Se 2ϕ0 for daforma racional vezes 2π e facil ver que todo ponto s0 sera periodico.Caso 2ϕ

0for da forma irracional vezes 2π entao, conforme a proxima

secao, ocorre que para qualquer s0 fixado a orbita gj(s0), j > 0 seradensa em [0, 1). Neste ultimo caso, naturalmente, nao existem orbitasperiodicas.

Sendo assim, concluımos que a dinamica da evolucao temporalde T n(s0, ϕ0) fica completamente entendida e de acordo com a Fi-gura 1.5. Se quisermos podemos mudar novamente coordenadas econsiderar alternativamente o problema nas coordenadas T n(t0, θ0)obtendo os resultados analogos. Optamos pelas coordenadas (s, ϕ)apenas porque as formulas de T e S neste caso ficam mais simples.

Exemplo 1.2. A elipse. Tomando v´ arias condic˜ oes iniciais (q, p) ∈[0, 1) × (−1, 1) diferentes e tomando as correspondentes ´ orbitas

(q, p), T (q, p),...,T n(q, p),...

obteremos uma decomposic˜ ao do espaco de fase (q, p) ∈ [0, 1)×(−1, 1)da forma apresentada na Figura 1.7.

A funcaoV (q, p) =

q 2 − ǫ2 cos2 ν

1 − ǫ2 cos2 ν

(onde ǫ e a excentricidade da elipse e ν e o angulo de p com o eixo dosx), por sua vez, e constante ao longo das orbitas do bilhar na elipse.

Um exame das curvas de nıvel de tal G nos determina a Figuraque 1.7 descreve orbitas associadas a diversas condicoes iniciais. Damesma maneira como no cırculo algumas curvas de nıvel serao tais




Figura 1.6:

que as orbitas de condicoes iniciais sobre elas serao densas nela e emalgumas outras curvas tal nao ocorre.

E possıvel mostrar tambem que em algumas curvas de nıvel o tjde (tj , θj) = T (t0, θ0), j > 0 explora densamente on intervalo [0, 1] eem outras nao; a Figura 1.7 e 1.8 ilustra tal fato.

A existencia de tal V : [0, 1) × (−1, 1) → R por sua vez implica naexistencia de uma integral primeira V para φt em p21 + p22 = 1. Por-tanto, da mesma maneira como no caso do cırculo, obtemos neste casouma integral primeira para o sistema a tempo contınuo associado.

Exemplo 1.3. O ovo (ver Figura 1.8). Tomando v´ arias condic˜ oes iniciais (q, p) diferentes e tomando as correspondentes ´ orbitas

(q, p), T (q, p),...,T n(q, p)obteremos uma decomposic˜ ao do espaco de fase da forma apresentada na Figura 1.8. Note que mesmo que a elipse e o ovo tenham for-mas semelhantes, o espaco de fase do bilhar com fronteira dada peloovo apresentado na Figura 1.8 e bastante diferente dos dois exem-plo anteriores. Este sistema, aparentemente pelo que mostra a Fi-gura 1.8 n˜ ao existe func˜ ao contınua V (definida em todo E e n˜ ao



13

constante) que seja constante em cada ´ orbita T n(x), n ∈ N para cada x = (q, p) ∈ E .

O Exemplo 1.3 (ver Figura 1.8) mostra uma combinacao de com-portamentos distintos (dependendo da orbita ou seja da condicao ini-cial escolhida); existe uma evidencia numerica que existem algumascurvas invariantes por T e tambem regioes bidimensionais invariantespor T (que nao sao uniao de curvas invariantes conforme Figura 1.8).

Neste caso aparece o que se convenciona chamar de ilhas KAM eque sera analisado mais tarde no texto.

Nas curvas invariantes que aparecem na figura podem haver orbitasperiodicas, trajetorias com orbita densa, etc...

Exemplo 1.4. O est´ adio circular e o bilhar tal que a curva C tem a forma apresentada na Figura 1.4. ´ E constituıdo por duas retas paralelas com comprimento l > 0 e por duas metades de um cırculo.

Tomando apenas “uma certa”condicao inicial (q 0, p0) e plotandoa orbita de (q, p) ate ordem n=999, isto e, plotando o conjunto

(q, p), T (q, p),...,T 999(q, p)

obtemos Figura 1.7 (figura da direita). A orbita T j(q 0, p0), j ∈1, 2,...,n parece se distribuir de maneira uniforme sobre E , istoe o numero de j ∈ 1, 2,...,n − 1 em um aberto qualquer fixado Adividido por 1000 parece ser proporcional a area de A.

Note que podem existir orbitas no estadio circular que nao temo comportamento acima descrito: por exemplo orbitas periodicas deperıodo dois como aparece na Figura 1.6.

Na verdade para a ”maioria”das condicoes iniciais (q 0, p0) as or-bitas no estadio circular T j(q 0, p0) terao uma distribuicao uniformecomo no caso da Figura 1.7 (figura da direita). Explicar o sentidoda palavra ”maioria”sera um dos objetivos da proxima secao. Esteexemplo sera um dos assim chamados sistemas ergodicos.

Observacao 1.2. Note que o comportamento da trajet´ oria T n(q, p)neste ´ ultimo Exemplo 1.4 e totalmente distinto dos dois primeiros Exemplos 1.1 e 1.2, onde cada trajet´ oria esta confinada a uma curva (um conjunto unidimensional) por causa da integral primeira V .




Figura 1.7: Espaco de fase respectivamente do cırculo, elipse e esta-dium.

O comportamento descrito pelo Exemplo 1.4 mostra uma situacaoque e tambem diferente do Exemplo 1.3. No presente caso a tra-

jetoria T n(x), x ∈ [0, 1) × (−1, 1) de um ponto escolhido ao acaso noExemplo 1.4 parece tentar explorar toda a regiao bidimensional E .Mais precisamente, a orbita T n(x) tenta ocupar densamente todoo espaco E = [0, 1)×(−1, 1) e neste caso, nao parece existirem curvasinvariantes para tal T em E .

Este ultimo bilhar Exemplo 1.4 e o prototipo de um sistemaergodico (os Exemplos 1.1, 1.2 e 1.4 nao o sao) conceito que seratornado preciso na proxima secao.

Para finalizar algumas consideracoes gerais sobre bilhares.

Observacao 1.3. Generalizando o que foi afirmado na Proposic˜ ao1.2 e f acil ver que se q 0, q 1, q 2,...,q n s˜ ao sucessivas batidas em C de uma ´ orbita T j(q 0, θ0) ent˜ ao para q 0, q n fixos a func˜ ao

A(x1, x2,...,xn−1) = S (q 0, x1) + S (x1, x2) + ... +

+ S (xn−2, xn−1) + S (xn−1, q n)

A : E n−1 → R tem (q 1, q 2,...,q n−1) como ponto crıtico. Temos assim uma vers˜ ao a tempo discreto do princıpio mınima ac˜ ao. Esta propri-edade ser´ a analisada posteriormente com mais detalhe e tambem em outros casos similares.

Note que para bilhares focalizadores (como descritos acima) seem vez de considerarmos S (q 0, q 1) = ||q 0 − q 1|| tomarmos S (q 0, q 1) =−||q 0 − q 1|| determinaremos tambem uma T que descreve a dinamica



15

Figura 1.8: O ovo e seu espaco de fase.

do bilhar (troca apenas a orientacao da curva). A condicao obtida

antes ∂ 2S (q0,q1)∂q0∂q1

> 0 neste ultimo caso troca para ∂ 2S (q0,q1)∂q0∂q1

< 0. No

caso S (q 0, q 1) =

||q 0

−q 1

||a condicao de mınimo para A da observacao

acima significa obter trajetorias com mınimo comprimento. No outrocaso o princıpio de mınima acao determina trajetorias com maximocomprimento.

Para bilhares dispersores (ver Figura 2.1) podemos tambem consi-derar S (q 0, q 1) = ||q 0−q 1|| ou S (q 0, q 1) = −||q 0−q 1|| correspondendo

respectivamente a ∂ 2S (q0,q1)∂q0∂q1

< 0 e ∂ 2S (q0,q1)∂q0∂q1

> 0 (observe a troca de

sinal em comparacao com o caso focalizador).

O bilhar descrito pela Figura 2.1 em que o bordo do bilhar e

constituıdo por uma serie de curvas diferenciaveis com a concavidadepara fora (que fazem um angulo nao nulo nas intercecoes) e conhecidocomo bilhar de Sinai. Pode-se mostrar que o espaco de fase nestecaso e semelhante ao do caso do estadium, isto e, tomando um pontoinicial (q 0, p0) fixado no bordo, os iterados (q n, pn) = T n(q 0, p0) sedistribuem de maneira uniforme no espaco de fase. Referimos o leitora [Si], [Ma] e [Ta] para resultados gerais sobre o assunto.

Alguns tipos diferentes de bilhares sao analisados em [S] e [LS.]




A conclusao a que chegamos ao fim desta secao e que mesmopara um campo Hamiltoniano sem energia potencial, a dinamica da

evolucao temporal do sistema mecanico associado pode ser muitocomplexa, se assumirmos a existencia de um recipiente contendo acondicao inical e com a qual a trajetoria do sistema colide elastica-mente.

Exercıcios

1. Mostre que V (q, p) = p do Exemplo 1.1, e constante ao longo

das trajetorias do bilhar no cırculo.

2. Mostre que V (q, p) = q2−ǫ2 cos2 ν 1−ǫ2 cos2 ν do Exemplo 1.2, e constante

ao longo das trajetorias do bilhar na elipse.



Capıtulo 2

O Teorema Ergodico e a

Hipotese de Boltzmann

Nesta secao vamos apresentar de maneira suscinta o Teorema Ergodicoe algumas de suas consequencias. Primeiramente vamos apresentar o

Teorema Ergodico com tempo discreto e mais para o fim desta secaoo Teorema Ergodico com tempo contınuo.Informamos ao leitor que o objetivo da presente secao e apenas

apresentar ideias e descrever resultados interessantes. Referimos paraos excelentes textos [M] e [KH] para a fundamentacao matematicarigorosa do que segue abaixo. O autor do presente livro escreveutambem notas [L2] onde estes topicos sao apresentados com todorigor matematico.

Ao fim da presente secao, o Exemplo 2.15 e um dos mais im-

portantes deste texto. Neste exemplo, mostraremos que sob certascondicoes, vale a hipotese de Boltzmann (ver consideracoes a seguir)em torno de um ponto de equilıbrio de um sistema integravel.

Como vimos anteriormente quando analisamos o bilhar na Secao1, o entendimento do comportamento das orbitas do fluxo Hamilto-niano

H (q 1, q 2, p1, p2) = p21 + p22

restrito a um recipiente delimitado por uma curva C (na qual exis-

17



18 [CAP. 2: O TEOREMA ERGODICO E A HIPOTESE DE BOLTZMANN

te um rebote quando a orbita colide com a curva) pode ser obtidopela iteracao de uma aplicacao T induzida em uma secao transversal

bidimensional E (pelo primeiro retorno). Vamos apresentar um re-sultado matematico que vai possibilitar entender melhor a evolucaotemporal de tal sistema mecanico. Lembre que o difeomorfismo T induzido pelo bilhar em C preserva area, pois e obtido atraves deuma aplicacao geradora S (ver Proposicao 1.2 e Lema 11.1, Capıtulo3 [L]).

Definicao 2.1. Uma probabilidade P definida em um conjunto abertoX do Rn e uma lei que associa a cada subconjunto A ⊂ X um valor P (A)

∈[0, 1].

Uma probabilidade deve satisfazer tambem as seguintes proprie-dades:

1) P (∅) = 0 ( ∅ e o conjunto vazio)2) P (X ) = 1.

3) P

∪∞i=1Ai

=∞i=1 P (Ai) se os conjuntos Ai forem todos

disjuntos.

Na Secao 10 do Capıtulo 3 (ver Exemplo 51 em [L]), introduzimos

um caso particular de probabilidade. Outras serao consideradas aseguir.

Observacao 2.1. N˜ ao dissemos nada a respeito da classe de subconjuntos A de X onde est´ a definido tal probabilidade P .

P precisa ser definida numa sigma-algebra (ou seja, uma colec˜ aode conjuntos F tal que

a) X ∈ F ,b) se A

∈ F ent˜ ao X

−A

∈ F e c) para toda colec˜ ao enumer´ avel An ∈ F vale que ∪nAn ∈ F ).

Para nao entrar em detalhes tecnicos, vamos apenas esclarecerque muitas vezes que nem todos os subconjuntos A terao um valor deprobabilidade P (A). Felizmente, os conjuntos A que tem importanciano desenvolvimento que segue terao sempre um valor bem definidode probabilidade. O leitor interessado na formalizacao matematicade tais conceitos, que envolvem Teoria da Medida, sigma-algebras,



19

Figura 2.1:

etc..., podem encontrar uma otima exposicao do assunto em [Fe] e[Rud].

A classe de subconjuntos A que vamos necessitar utilizar aqui(e que terao um valor bem definido de probabilidade) incluem entreoutros os abertos com bordo diferenciavel por partes.

Nosso ponto de vista aqui sera apenas dar uma ideia dos conceitosprincipais sem entrar em detalhes matematicos mais sofisticados.

Vamos descrever brevemente agora que tipo de probabilidades P vamos considerar a seguir.

Considere X ⊂ Rn, subconjunto aberto limitado com o bordo

constituido por uma curva diferenciavel por partes, e uma funcaocontinua nao negativa ψ definida em X , tal que

X

ψ(x)dx =

X

ψ(x)dx1dx2...dxn = 1.

Se A for um conjunto aberto A ⊂ X com o bordo definido poruma curva diferenciavel por partes, utilizando a definicao usual deintegral do Calculo a varias variaveis,

A

ψ(x)dx existe e vamos definir




Figura 2.2:

a probabilidade P = P ψ sobre conjuntos A desta forma por P (A) =

Aψ(x)dx.

E facil ver que P satisfaz as leis 1) 2) 3) da Definicao 2.1 acima,para a colecao dos abertos A ⊂ X com bordo diferenciavel por partes(e suas unioes contaveis).

Desta maneira obtemos a partir de ψ uma probabilidade P = P ψdefinida em X associando valores P (A) a subconjuntos abertos A deX com bordo diferenciavel por partes.

Por exemplo, para um paralelepıpedo B = (a1, b2)×(a2, b2)× ...×(an, bn) ⊂ X ⊂ R

n, obteremos que P (B) = b1a1

... bnan

ψ(x)dx1...dxn.As probabilidades P que estaremos interessados nesta secao serao

sempre do tipo acima descrito P = P ψ. ψ sera denominada densidadeda probabilidade P = P ψ. Se ψ e constante diremos que P ψ e a“probabilidade uniforme”em X . Neste caso,

P (A) =area de A

area de X.

Fixada uma probabilidade P , a classe de conjuntos A ⊂ X so-bre os quais necessitamos definir o que seria a probabilidade P (A),



21

Figura 2.3:

no entanto, deve ser maior do que a classe dos abertos com bordodiferenciavel por partes. Sera necessario por exemplo, no TeoremaErgodico, falar sobre certos conjuntos A que nao sao abertos, mastem relevancia no entendimento da evolucao temporal do sistema.Estes conjuntos serao denominados de conjuntos de probabilidadetotal.

Muitos dos resultados que apresentaremos a seguir valem paraprobabilidades mais gerais P (nao so do tipo P ψ), mas para naoentrarmos em problemas tecnicos desnecessarios, vamos considerarapenas probabilidades deste tipo.

Definicao 2.2. Dada uma probabilidade P em X , dizemos que um conjunto A ⊂ X ⊂ R

n tem probabilidade zero para P se para qualquer ǫ existe uma sequencia de paralelepıpedos Bi , i ∈ N contidos em X ⊂ R

n tal que A ⊂ ∪∞i=1Bi e

∞i=1 P (Bi) < ǫ.

Para conjuntos A deste tipo, sera verdade que P (A) = 0 (ver [Fe]e [Rud]).O criterio de mostrar que um certo conjunto tem probabilidade

zero, mostrando que satisfaz a Definicao 2.2 e extremamente util.

Exemplo 2.1. Considere a probabilidade uniforme em [0, 1], que atribui probabilidade b − a para todo intervalo [a, b] ⊂ [0, 1]. Para esta probabilidade o conjunto dos racionais em [0, 1], isto e Q ∩ [0, 1](ou qualquer conjunto enumer´ avel) tem probabilidade zero. Isto segue




do fato que, dado ǫ, os conjuntos da forma Bǫi = Bi, i ∈ N

Bi = x ∈ [0, 1] | |x − q i| < 1

2i ǫ

2

cobrem Q, onde q i ∈ Q∩[0, 1], i ∈ N e uma enumerac˜ ao dos racionais em [0, 1]. Note que o comprimento total coberto pela uni˜ ao dos Bi, i ∈N, e menor que ǫ qualquer dado.

Dada a probabilidade P = P ψ em X , a integral de uma funcao ϕ :X → R com respeito a P , e por definicao

X

ϕ(x)ψ(x)dx, expressaoque e denotada por

ϕ(x)dP (x).

Dado um conjunto A vale sempre que I A

(x)dP (x) = P (A)Se P e a probabilidade uniforme em X , entao

ϕ(x)dP (x) =

Xϕ(x)dx

area de X .

Exemplo 2.2. Conjuntos de probabilidade zero aparecem natural-mente na Teoria das Series de Fourier. Suponha que duas func˜ oes f e g s˜ ao iguais em todos os pontos do intervalo [0,1], menos num con-

junto A de probabilidade uniforme 0 (no qual podem eventualmente

ser distintos), sendo assim,

1

0f (x)dx =

1

0g(x)dx. Este fato segue

facilmente da definic˜ ao de integral (ver [Li1] e [Fe]). Concluımos

ent˜ ao que duas func˜ oes que diferem apenas num conjunto de medida zero tem a mesma integral com respeito a dx.

Como as funcoes f (x)ei2πxn e g(x)ei2πnx tambem sao iguais emtodos os pontos do intervalo (0, 1), menos num conjunto A de proba-bilidade 0, entao 1

0

f (x)ei2πxndx =

10

g(x)ei2πnxdx.

Logo as duas funcoes f e g como acima possuem a mesma seriede Fourier, porque possuem os mesmos coeficientes de Fourier:

1

2π

10

f (x)ei2πxndx =1

2π

10

g(x)ei2πxn , ∀n ∈ Z.

A recıproca tambem e verdadeira: duas funcoes que tem todos oscoeficientes de Fourier iguais sao iguais a menos de um conjunto deprobabilidade dx nula.



23

Logo, a Serie de Fourier, nao distingue uma f e g que sao iguaisa menos de um conjunto de probabilidade uniforme zero.

Exemplo 2.3. Seja X = [0, 1] × [0, 1]. Se P (A) = ´ area de A, para cada A ⊂ [0, 1] × [0, 1] (esta probabilidade como vimos antes e cha-mada de uniforme), ent˜ ao um conjunto tem probabilidade zero para P , se puder ser coberto por uni˜ oes de retˆ angulos tal que a soma das ´ areas destes retˆ angulos pode ser tomada arbitrariamente pequena.

Exemplo 2.4. Considere em X = [0, 1] o conjunto A obtido da se-guinte maneira. Primeiro retire o terco central do intervalo [0,1],a seguir retire dos dois intervalos que sobraram os tercos do meio.

Obteremos assim 4 intervalos. Retire novamente de cada um dos 4 intervalos os tercos medios e prossiga assim indefinidamente. Na etapa n teremos ao todo 2n intervalos disjuntos. O conjunto que sobra deste procedimento de retirar infinitamente tercos dos intervalos que v˜ ao sobrando, e mostrado de maneira aproximada na Figura 2.3. Este conjunto e denominado conjunto de Cantor. Considere a probabili-dade P tal que P ([a, b]) = b − a para qualquer intervalo [a, b] ⊂ [0, 1].O conjunto de Cantor tem probabilidade 0 para tal P . Para provar isto, basta cobrir o conjunto de Cantor por uni˜ ao de intervalos tal

que a soma dos intervalos e arbitrariamente pequena.

Note que os 2n intervalos que restam do procedimento na etapan, contem C e tem soma total dos comprimentos igual a 2n 1

3

n. Como

23

nconverge a zero, entao o conjunto de Cantor tem probabilidade

zero em [0,1] para a probabilidade uniforme.

O conjunto de Cantor nao e um conjunto aberto. Como o conjuntode Cantor tem probabilidade zero e portanto um conjunto “ralo”(ouseja, muito pequeno) no intervalo [0, 1]. Este conjunto e o exemplo

mais elementar de fractal (ver definicao em [Fa]).Note que foi fundamental usar o criterio da Definicao 2.2 para

dizer que o conjunto de Cantor tem probabilidade zero.

Os conjuntos de probabilidade zero sao considerados desprezıveisna analise probabilıstica. Ou seja, se uma propriedade e valida paratodos os pontos de E , menos para um conjunto de probabilidade zero,entao do ponto de vista probabilıstico tal propriedade e verdadeira.Se escolhessemos um ponto ao acaso no intervalo [0,1] de acordo com




a Probabilidade P do ultimo exemplo, este ponto nao estaria no conjunto de Cantor, pois este conjunto tem probabilidade 0.

Definicao 2.3. Para uma certa probabilidade P definida em X , di-zemos que um conjunto B tem probabilidade total para P se X − Btem probabilidade zero para P .

Exemplo 2.5. O conjunto dos irracionais no intervalo [0,1], istoe o conjunto [0, 1] − Q, tem probabilidade total para a probabilidade uniforme, pois Q ∩ [0, 1] tem probabilidade zero.

Diz-se que uma propriedade e valida em P -quase toda parte, seela e valida num conjunto de probabilidade total para P . Quando sediz que um ponto x e escolhido ao acaso segundo um probabilidadeP , x e na verdade ao acaso dentro de um conjunto de probabilidadetotal B. Este ponto de vista (ou seja se preocupar apenas com o quee verdadeiro P -quase toda parte) e a essencia da Teoria da Probabi-lidade.

Definicao 2.4. Um ponto x escolhido num conjunto de probabili-dade total e denominado de um ponto “generico no sentido proba-bilıstico”(para a probabilidade P ).

Nosso objetivo a seguir e analisar do ponto de vista estatıstico (ouprobabilıstico) a evolucao temporal da orbita T n(x) de um difeomor-fismo T : X → X . Iremos considerar uma probabilidade P sobre X e tentaremos fazer afirmacoes que tenham sentido do ponto de vistaprobabilıstico. Isto e, o que se pode dizer para as orbitas T n(x) sex for escolhido num conjunto de probabilidade total para P ? Emoutras palavras, desejamos obter propriedades das orbitas T n(x) depontos x escolhidos ao acaso de acordo com a probabilidade P (ouseja pontos x genericos).

As probabilidades P que sao uteis para o entendimento da evolucaotemporal das orbitas T : X → X , devem ter algum tipo de relacaocom T .

Esta relacao sera descrita pela proxima definicao.

Definicao 2.5. Dizemos que P probabilidade sobre X e invariante para um difeomorfismo T se P (T (A)) = P (A) para qualquer conjuntoA ⊂ X .



25

Exemplo 2.6. Na ´ ultima sec˜ ao mostramos que o difeomorfismo T associado ao bilhar convexo preserva ´ area em E = [0, 1) × (−1, 1)

(Proposic˜ ao 1.2, Capıtulo 1). Logo, se P e definido por

P (A) =´ area de A

2,

ent˜ ao P e invariante para tal T . Neste caso a densidade ψ(t, θ) = 12 ,

define P ψ = P .

Note que no caso da Figura 2.1 (bilhar dispersor) tınhamos difi-culdade em definir T : E → E porque algumas trajetorias T (t0, θ0)poderiam bater numa quina. Como estamos utilizando um ponto de

vista probabilıstico ficaremos satisfeitos se T estiver bem definido emum subconjunto K ⊂ E de P -probabilidade total. Em muitos casostal propriedade e verdadeira e a analise dinamica que faz sentido serana verdade de T : K → K (ver [Ma]).

No caso do bilhar dispersor (ou outro qualquer com quinas) con-sidere L = (q 0, p0)| tal que T (q 0, p0) bate numa quina ou p1 = 1ou −1 (ou seja a reta a partir de q com angulo p intersecta umaquina ou fica tangente a um lado). E facil ver que nos casos mais co-muns o conjunto L e uma curva diferenciavel por partes e tem medidabidimensional em E nula.

Considere agora K = E − ∪n∈ZT nL. E facil ver que em K todosos iterados de T n estao bem definidos e perdemos do conjunto E umconjunto de medida 0 (pois P (E ) = P (K ) = 1). Nada foi perdido doponto de vista probabilıstico com esta restricao.

Exemplo: Seja T (x) = x + λ (mod 1), T : [0, 1] → [0, 1], ondeλ e uma constante, entao a probabilidade uniforme (ou seja dx) einvariante para T . Isto segue trivialmente do fato que a inclinacaodo grafico de T e 1, logo para cada intervalo A a imagem T (A) tem

o mesmo comprimento total (pode ser a uniao de dois intervalos)que A.

Considere agora uma funcao ϕ : E → R, que na maioria das vezesvai representar algum observavel do sistema (por exemplo, o valor daposicao t (neste caso ϕ(t, θ) = t) na curva C do bilhar consideradona secao anterior).

Ao longo da evolucao temporal do sistema comecando em x (ouseja, a orbita x, T (x), T 2(x),...,T n(x),... comecando no ponto x ∈




Figura 2.4:

E ) estaremos interessados em calcular o valor medio de ϕ, denotadopor

ϕm(x) =1

m(ϕ(x) + ϕ(T (x)) + ... + ϕ(T m−1(x)))

ao longo da orbita de x do tempo 0 ate o tempo m − 1.Fazendo o numero de iteracoes m tender a infinito, obteremos a

media assintotica media do observavel ϕ ao longo da evolucao tem-poral iniciada em x:

ϕ(x) = limm→∞ 1

m(ϕ(x) + ϕ(T (x)) + ... + ϕ(T m−1(x))).

Estaremos assim obtendo uma informacao de natureza assintoticadesta evolucao temporal. Um dos topicos de maior interesse daMecanica Estatıstica e saber o que acontece em termos probabilısticos(em x) com as medias temporais ϕ(x) e sua dependencia em x.

O fısico L. Boltzmann estava interessado em entender o sistemade partıculas (da ordem de 1023 partıculas) de um gas delimitado por



27

um recipiente fechado. Um sistema com tantas partıculas e difıcil deser analisado do ponto de vista determinıstico. O sistema com ape-

nas “uma”partıcula colidindo elasticamente com a fronteira de umaregiao bidimensional que apresentamos na secao anterior ja apresentadificuldades de analise determinıstica como vimos anteriormente (verObservacao 1.1, Capıtulo 1 em [L]). Prever a evolucao temporal deuma partıcula apos decorrido em tempo t muito grande e muito difıcil(devido a acumulacao de erros nas aproximacoes), imagine analisarum numero enorme de partıculas (1023) como acontece em um gasem um compartimento fechado. Sendo assim, faz mais sentido, per-guntar sobre a probabilidade de encontrar uma partıcula numa regiaoD do recipiente. Este e o ponto de vista probabilıstico da Mecanicae que e o objeto da Mecanica Estatıstica. Estaremos interessados emfazer afirmacoes para pontos x “genericos no sentido probabilıstico”.

Para fixar ideias vamos considerar a evolucao temporal

T (x), T 2(x),...,T n(x)quando x = (q, p) descreve a posicao de “uma”partıcula de um gasque esta em q com velocidade p. Considere agora ϕ um observavel dosistema (θ, ou temperatura, etc...), isto e, ϕ e uma funcao do espacode fase x = (q, p)

∈E tomando valores em R. O que se pode dizer

do valor medio ϕ(x)?

A Hipotese Ergodica de Boltzmann: A Hipotese Ergodica de Boltzmann, que foi enunciada por L. Boltzmann no meio do seculo XIX, afirmava que fixado um nıvel de energia H 0, este valor ϕ(x) n˜ ao deveria depender de x neste nıvel de energia H 0 (no caso de um gas num recipiente fechado).

Bem, a referida hipotese em termos tao amplos nao resultou serverdadeira. Primeiro, vamos tentar entender em termos Matematicos

mais precisos o que L. Boltzmann estava querendo afirmar com a suaHipotese Ergodica. Mais tarde, tentaremos esclarecer o que nao foiconfirmado de tal hipotese.

Em termos matematicos mais precisos, o que L. Boltzmann estavaafirmando, na verdade, e que deve existir uma probabilidade naturalP definida no nıvel de energia X = (q, p), H (q, p) = H 0, tal quedado uma funcao ϕ sobre X , deveria existir uma constante c tal quepara P -quase todo ponto x no conjunto X (o nıvel de energia H 0), o




valor ϕ(x) e igual a c. P seria uma probabilidade natural invarianteassociada ao sistema de partıculas de um gas. Ou seja, que existiria

um conjunto B contido no nıvel de energia H 0 tal que P (B) = 0 epara qualquer x ∈ X − B, deveria ser verdade que ϕ(x) = c. Emoutras palavras, que ϕ e constante para pontos genericos no sentidoprobabilıstico.

O Teorema de Birkhoff que sera apresentado a seguir vai se referira questao mencionada acima.

A evolucao temporal das condicoes iniciais x que sao fisicamenteobservadas no sistema constituido pelo gas sao as trajetorias quecomecam em x, onde x e escolhido num conjunto de probabilidade

total em relacao a uma probabilidade natural P . Esta propriedade e ofundamento do ponto de vista probabilıstico da Mecancia Estatıstica.A probabilidade P e chamada algumas vezes de estado de Gibbs(terminologia usada em homenagem ao matematico W. Gibbs) dosistema mecanico (ver [Ru], [E], [BS] e [KH] para referencias). Parasimplificar estamos supondo que o gas vai ser descrito por uma unicapartıcula para evitar analisar problemas relativos as colisoes entrepartıculas do gas.

Nao vamos definir aqui o que e um estado de Gibbs, mas queremos

apenas mencionar que no caso do bilhar numa curva convexa ele ea probabilidade uniforme em E = [0, 1) × (−1, 1) (conforme Exem-plo 2.6).

Definicao 2.6. Seja P uma probabilidade invariante para um dife-omorfismo T : X → X . Dizemos que P e erg odica se toda vez que T (A) = A, A ⊂ X , ent˜ ao P (A) = 0 ou P (A) = 1.

Em outras palavras, uma probabilidade P e ergodica quando naoexistem conjuntos invariantes pela acao de T que nao sejam triviais

(dizemos que um conjunto A ⊂ X e trivial se P (A) = 0 ou P (A) = 1).

Observacao 2.2. Note que e sempre verdade (ver Definic˜ ao 1.2) que P (∅) = 0 ( ∅ e o conjunto vazio) e P (X ) = 1 (onde X e o conjuntoonde P est´ a definido), e ainda que T (∅) = ∅ e T (X ) = X , por isto a necessidade de enunciar a definic˜ ao de probabilidade erg´ odica como foi feito acima (e n˜ ao apenas dizendo que n˜ ao existem conjuntos invariantes). Os conjuntos X e ∅ s˜ ao triviais.



29

Figura 2.5:

Exemplo : A transformacao T (x) = x + λ (mod 1), onde λ e umaconstante irracional, T definida no intervalo [0, 1) (ou no cırculo S 1)e ergodica para dx.

Seja A tal que T −1(A) = A, entao I A(x) = I T −1(A)(x) = I A(T (x))para todo x ∈ [0, 1).

Expresse I A(x) como Serie de Fourier

I A(x) =∞

n=−∞ane2πinx.

Como I A(x) = I A(T (x)) temos que

I A(x) =∞

n=−∞ane2πinx =

∞n=−∞

ane2πin(x+λ) = I A(T (x)).

Portanto

∞n=−∞

ane2πinx =∞

n=−∞ane2πinλe2πinx.




Como os coeficientes de Fourier sao unicos ane2πinλ = an paratodo n ∈ Z . Como λ e irracional entao nλ nao e inteiro para todo

n (a menos que n = 0). A conclusao e que an = 0 para todo n = 0.Portanto I A is constante (a menos de um conjunto de medida zero),mas como so assume os valores 0 ou 1, ela e, a menos de um conjuntode medida zero a funcao constante 0 ou a funcao constante 1. Logoµ(A) =

I A(x)dx =

0dx = 0 ou µ(A) =

I A(x)dx =

1dx = 1

(porque funcoes que diferem apenas em um conjunto de medida zerotem a mesma integral).

Se λ e racional T (x) = x + λ (mod 1) nao e ergodica.

Observacao 2.3. Um g´ as em um recipiente fechado, ao longo da sua

evoluc˜ ao temporal, tender´ a a ocupar densamente todo o espaco dis-ponıvel, n ao deixando espaco para existirem regi˜ oes invariantes. Esta observac˜ ao traduz em termos fısicos aproximados o que o conceito de ergodicidade expressa em termos matem´ aticos.

O fato da transformacao bilhar preservar area e do fluxo Hamil-toniano preservar volume os qualificam para os metodos de TeoriaErgodica [A3].

Seja um difeomorfismo T : E → E , P = P ϕ probabilidade inva-riante sobre E para T e ϕ : E

→R funcao tomando valores reais

(observavel). O proximo resultado e valido em geral e nao precisare-mos assumir que T e a transformacao induzida pelo primeiro retornoa uma secao transversal de um fluxo Hamiltoniano no bilhar convexo.

Um dos resultados Matematicos mais relevantes para a MecanicaEstatıstica e o Teorema Ergodico de G. Birkhoff (1935) que afirma oseguinte:

Teorema 2.1. (Teorema de Birkhoff) Seja ϕ : E → R contınua,P = P ψ probabilidade erg´ odica para T : E → E e suponha que ϕ(y)dP (y) < ∞, ent˜ ao, existe c ∈ R tal que para todo ponto x,generico no sentido probabilıstico em relac˜ ao a probabilidade P , vale que

c = ϕ(x) = limm→∞

1

m(ϕ(x) + ... + ϕ(T m−1(x))).

O valor c pode ser obtido como

c =

ϕ(y)dP (y),



31

ou seja, a integral de ϕ em relac˜ ao a P .

Para a prova e para consideracoes mais gerais sobre o Teoria

Ergodica, referimos o leitor para [PY], [M1], [CFS] e [KH]. Esta Te-oria permite um melhor entendimento de questoes fundamentais daMecanica Estatistica [PP] e [Ru]. O ponto de vista do formalismoDLR da Mecanica Estatistica e descrito em [G].

Em resumo o teorema de Birkhoff diz que existe um conjunto Atal que P (A) = 1 tal que para todo x ∈ A vale que a media temporalassintotica

ϕ(x) = limm

→∞

1

m

n−1

j=0

ϕ(T j(x))

e igual a integral espacial ϕ(y)dP (y) =

E

ϕ(y)ψ(y)dy.

Observacao: Mostramos em exemplo anterior que T (x) = x + λ(mod 1) e ergodica para a probabilidade uniforme (a P tal P ([a, b]) =b − a). E facil ver por inducao que T n(x) = x + nλ (mod 1). Seja

[a, b] intervalo qualquer e considere ϕ(x) = I [a,b](x).Podemos aplicar o teorema ergodico tambem neste caso e concluir

que existe K ⊂ [0, 1] tal que P (K ) = 1 e para todo x ∈ K

ˆI [a,b](x) = limm→∞

1

m

n−1j=0

I [a,b](T j(x)) =

I [a,b](y)dP (y) = b − a > 0.

Note que T j(x) ∈ [a, b], se e so se, I [a,b](T j(x)) = 1. Portanto,para x

∈K a orbita

T n(x)

|n

∈Z

visita o conjunto [a, b].

Logo as orbitas T n(x)|n ∈ Z, para x quase todo ponto (emrelacao a P ), vao determinar conjuntos densos em [0, 1].

Exemplo 2.7. Considere o est´ adio circular ( l > 2) do Exemplo 1.4e que foi descrito na sec˜ ao anterior.

Um resultado n˜ ao trivial obtido recentemente por [Bu] afirma que a probabilidade natural P (a ´ area) associada ao bilhar no est´ adio e erg´ odica, isto e, a aplicac˜ ao induzida no bordo pelo primeiro retorno




T : [0, 1) × (−1, 1) → [0, 1) × (−1, 1) e erg odica para a probabilidade uniforme.

Considere a, b valores em [0,1) e ϕ : E →R

a func˜ ao indicador de A = (a, b) × (−1, 1).Para A um subconjunto de X , I A(z), a func˜ ao indicador de A, e

a func˜ ao tal que I A(z) = 1 se z ∈ A e I A(z) = 0 se z n˜ ao est´ a est´ a em A.

´ E f´ acil ver que

I A(x)ψ(x)dx = A ψ(x) = P (A).

No caso em considerac˜ ao neste exemplo de bilhares em E = [0, 1)×(−1, 1) ψ(x) e constante igual a 1/2.

A func˜ ao ϕ = I A n˜ ao e contınua (tem descontinuidades numa curva diferenci´ avel por partes), mas o Teorema Erg´ odico tambem e v´ alido para tal tipo de func˜ ao ϕ (ver [M1] e [CFS]).

´ E f´ acil ver que para x fixo e m ∈ N e ϕ = I A

1

m(ϕ(x) + ϕ(T (x)) + ... + ϕ(T m−1(x))

e igual a

# j ∈ 0, 1,...,m − 1 tal que T j(x) ∈ (a, b) × (−1, 1)m

.

Sendo assim o limite

ϕ(x) = limn→∞

1

m(ϕ(x) + ϕ(T (x)) + ... + ϕ(T m−1(x)) ),

neste caso expressa o valor medio de vezes que a trajet´ oria comecandoem x bate na regi˜ ao do bordo do bilhar compreendida entre g(a) e g(b),(onde g e a parametrizac˜ ao do bordo do bilhar). Neste caso ϕ(x)vai descrever o que chamamos de tempo de ocupac˜ ao assint´ otico da regi˜ ao A.

O conceito de tempo de ocupacao ja foi apresentado antes naDefinicao 25, Capıtulo 3 [L], mas vamos repeti-lo a seguir.

Definicao 37*: Considere T : E → E difeomorfismo, A ⊂ E e x = (q, p) ∈ E . Dizemos que x tem um tempo de ocupac˜ ao assintotico de A igual a oA(x) se existe o limite

limn→∞

# vezes que T j(q, p) ∈ A, j ∈ 1, 2,...,nn

= oA(x).



33

O valor c = ϕ(x) = I A(x) = oA(x) e constante para todo x (fora

de um conjunto de probabilidade 0) pelo Teorema de Birkhoff, e eigual a

ϕdP =

I AdP 2 = P (A) = area de A = (b − a). Portanto,

gracas ao Teorema Ergodico podemos calcular no Exemplo 2.7 o valorexato do tempo de ocupacao assintotica oA(x) do conjunto A para xquase toda parte; este valor e b − a.

Sendo assim, podemos fazer a seguinte previsao: no bilhar noestadio com l = 2 (que e ergodico), se formos observar a partıculadepois de 1000 rebotes, dentre estes 1000 rebotes, aproximadamenteum numero (b

−a)1000 deles foram no arco de curva compreendido

entre g(a) e g(b).Vamos relembrar agora a Definicao no Capıtulo 1 de ponto perio-

dico.Dizemos que uma orbita T n(q, p), n ∈ N e periodica se existe

m ∈ N tal T m(q, p) = (q, p). Neste caso

T n(q, p) , n ∈ N = (q, p), T (q, p),...,T m−1(q, p).

O valor m e denominado perıodo de (q, p).

Observacao 2.4. Note que o resultado sobre o tempo de ocupac˜ aooA(x) = ϕ(x) no est´ adio l > 0 n˜ ao pode ser verdade para tˆ odas as condic˜ oes iniciais x = (q, p). Na Figura 1.5, mostramos duas tra-

jet´ orias a e b na parte interna do est´ adio, que correspondem a ´ orbitas peri´ odicas para T de perıodo dois, respectivamente (q a, pa), T (q a, pa)e (q b, pb), T (q b, pb). Na Figura 1.6 mostramos tambem no espacode fase (q, p) ∈ [0, 1) × (−1, 1) as duas ´ orbitas acima mencionadas.Estas ´ orbitas naturalmente v˜ ao determinar tempos de ocupac˜ ao dife-rentes para o conjunto A que aparece na Figura 3.25. O tempo de ocupac˜ ao assint´ otico de A para a ´ orbita a e zero e para a ´ orbita b e

um.Note que o comportamento desta duas trajet´ orias e totalmente

distinto do comportamento da trajet´ oria descrita pela Figura 1.7 apre-sentada na ´ ultima sec˜ ao. Para “qualquer ponto inicial x escolhido aoacaso” de acordo com a probabilidade uniforme, a ´ orbita T n(x) gera a Figura 1.7.

N˜ ao existe contradic˜ ao entre a Figura 1.7 e 1.6, pois no ´ ulimocaso a posic˜ ao da condic˜ ao inicial (q 0, p0) e muito particular, e esta




fora do conjunto de probabilidade total para o qual vale o Teorema de Birkhoff. A explicac˜ ao para este fato e que estas duas condic˜ oes

iniciais (q a, pa) e (q b.pb) n˜ ao ser˜ ao condic˜ oes “genericas”no sentidoestabelecido pela Definic˜ ao 2.4 e pelo Teorema Erg´ odico. No entanto,se escolhermos ao acaso (de acordo com P uniforme) a condic˜ aoinicial (q 0, p0), ent˜ ao (q 0, p0) ser´ a generica e portanto vai satisfazer a propriedade que o tempo ocupac˜ ao oA para um certo conjunto A

fixado, existe e independe da condic˜ ao inicial. Isto e o que afirma oTeorema Erg´ odico para ϕ = I A!

´ E importante destacar que na an´ alise matem´ atica e probabilıstica dos bilhares, as ´ orbitas peri´ odicas (principalmente as de perıodo muitoalto) desempenham um papel importantıssimo no entendimento da dinˆ amica das trajet´ orias.

Exemplo 2.8. No caso do sistema de duas partıculas

x = (x1, x2, v1, v2)

que foi considerado no Exemplo 13 da Sec˜ ao 4, Capıtulo 1 [L], existe um conjunto A denso (ver Definic˜ ao 13, Capıtulo 1 [L]) em R2 tal que quando as massas m1 e m2 s˜ ao tais que (m1, m2) ∈ B, ent˜ ao e possıvel mostrar (ver [KMS]) que a probabilidade natural P associada ao bilhar triangular e erg´ odica.

Logo, no caso em que (m1, m2) ∈ A, as medias ϕ(x) para qualquer func˜ ao contınua ϕ definida sobre o bilhar triangular s˜ ao as mesmas,independentes da condic˜ ao inicial x (contanto que x seja escolhidoao acaso de acordo com a probabilidade P ).

Podemos portanto, analogamente ao procedimento do exemplo an-terior, obter o valor exato oB, onde B corresponde ao evento: a posic˜ ao x1 e x2 ao colidirem est˜ ao no intervalo (0.2, 0.5). Do Te-orema Erg´ odico segue que oB = P (B) e oB independe de x (para x num conjunto de probabilidade total). O valor oB pode ent˜ ao ser calculado facilmente a partir de P .

Quando√ m2√ m1

∈ Q, o sistema acima considerado n˜ ao e erg odico.

Acreditamos que com estes dois ultimos exemplos tenha ficadotransparente a importancia do Teorema Ergodico de Birkhoff para aanalise de propriedades estatısticas das orbitas dos fluxos Hamiltoni-anos.



35

Note que se P e ergodica e e sempre positiva em abertos entao parax P-quase toda parte a orbita x, T (x),..,T n(x),... e um conjunto

denso; de fato, dado um aberto A como P (A) > 0 entao

0 < P (A) =

I A(x)dP (x) = oA(x) =

limn→∞

1

m(I A(x) + I A(T (x)) + ... + I A(T m−1(x)) ).

Neste caso algum I A(T j(x)) e igual a 1.Para um sistema ergodico, o Teorema de Birkhoff descreve a ma-

neira matematica exata como deve ser entendida a hipotese de Boltz-

mann.A teoria de Kolmogorov-Arnold Moser (KAM) (ver [KH] e Secao13, Capıtulo 3 [L]) desenvolvido no meio deste seculo mostrou quepara uma grande quantidade de Hamiltonianos a propriedade da er-godicidade nao e valida. Vamos a seguir, atraves de um exemplo, daruma breve ideia porque nao e verdade a Hipotese de Boltzmann emsua formulacao mais geral.

Consideraremos agora o bilhar no ovo (Exemplo 1.4, Capıtulo 1)e T a aplicacao induzida no bordo do bilhar conforme mostra Figu-

ra 1.8.Observacao 2.5. No caso do bilhar no ovo, existe uma evidencia numerica de haver um uni˜ ao finita de curvas fechadas invariantes γ i, i ∈ 1,..,n para T (ver Figura 1.8), mostra claramente que tal T n˜ ao e erg odica. Isto porque

( [0, 1) × (−1, 1) ) − ∪iγ i

possui um conjunto invariante de probabilidade uniforme positiva (por exemplo a uni˜ ao das partes internas das γ i).

Isto pode ser observado numericamente em um computador, con-siderando ´ orbitas comecando em condic˜ oes iniciais que est˜ ao respec-tivamente no interior e no exterior da curva.

Concluımos ent˜ ao que existe uma evidencia numerica de que tal sistema n˜ ao e erg odico.

Este fato contraria ent˜ ao a Hip´ otese Erg´ odica de Boltzmann pois T representa a evoluc˜ ao temporal de uma partıcula de uma g´ as num recipiente fechado.




O leitor poderia argumentar que j´ a para o bilhar no cırculo (Exem-plo 1.2) o difeomorfismo T n˜ ao e erg odico para a probabilidade uni-

forme em [0, 1) × (−1, 1) (uma linha horizontal l = (θ0, t) invariante por T determina em [0, 1) × (−1, 1) duas componentes invariantes por T de medida uniforme n˜ ao nulas). Para ser mais preciso, cabe ressaltar que a Hip´ otese Erg´ odica de Boltzmann e em geral relaxada e enunciada para um conjunto denso de possıveis bordos de bilha-res. O exemplo acima e persistente, isto e, para curvas diferenci´ aveis convexas γ , que est˜ ao C 1 pr´ oximas da curva do ovo, o espaco de

fase da aplicac˜ ao T induzida pelo bilhar em γ continua a determinar curvas invariantes. Sendo assim, existem ao menos duas regi˜ oes bi-dimensionais invariantes de probabilidade positiva e portanto pode-se dizer que existem bilhares que n˜ ao podem ser aproximados por bilha-res tais que o correspondente T seja erg´ odico para a probabilidade uniforme em [0, 1) × (−1, 1). Portanto, o exemplo do bilhar no ovonos parece indicar indicar numericamente que a Hip´ otese Erg´ odica de Boltzmann n˜ ao e verdadeira em geral. No exemplo do est´ adio cir-cular da sec˜ ao anterior, por usa vez, a hip´ otese e confirmada pois osistema e erg´ odico.

Na verdade nao estamos mostrando matematicamente que a Hi-

potese Ergodica de Boltzmann nao e verdadeira, estamos apenas su-gerindo atraves de exemplos e figuras obtidas no computador queexiste uma forte evidencia numerica de que esta hipotese nao e ver-dadeira. Na Teoria KAM se obtem resultados matematicos precisosque mostram exemplos onde a hipotese nao e verdadeira (ver [KH]).

Na Secao 3 vamos mostrar para aplicacao “standard”a existenciade curvas invariantes, e assim dar uma demontracao matematica deque realmente a hipotese ergodica em alguns casos particulares nao everdadeira.

Em alguns outros casos particulares importantes, no entanto, ahipotese de Boltzmann resultou ser verdadeira como por exemplo emvariedades de curvatura constante negativa (ver [KH] e [A2]).

Vamos agora analisar o Teorema Ergodico para tempo continuo.

Definicao 2.7. Considere para todo t ( −∞ < t < ∞), uma transformac˜ ao S t do espaco X em si mesmo, S t : X → X , que satisfaca a seguinte condic˜ ao: para quaisquer t1, t2, S t1 S t2 = S t1+t2 . Chama-remos tal famılia de um sistema dinˆ amico a tempo contınuo.



37

Exemplo 2.9. Dada uma equac˜ ao diferencial x′ = G(x), x ∈ Rn, o fluxo φt associado a tal equac˜ ao (conforme Definic˜ ao 21, Capıtulo 1

[L]) e um exemplo de um sistema dinˆ amico a tempo contınuo S t = φt.Exemplo 2.10. Considere α n´ umero real e defina S t : R → R por S t(x) = x + tα, para todo real t. S t e um sistema dinˆ amico a tempocontınuo.

Exemplo 2.11. Considere α n´ umero real e defina S t : [0, 1) → [0, 1)por S t(x) = x + tα (mod 1) para todo real t. Este sistema dinˆ amicoser´ a muito importante em nossas futuras considerac˜ oes.

Definicao 2.8. A probabilidade µ e dita invariante em relac˜ ao ao

sistema dinˆ amico S t se, para todo conjunto B ⊂ X e para qualquer t real, µ(S tB) = µ(B).

Uma maneira equivalente de dizer que uma medida µ e invariantepara S t: Para toda funcao contınua φ e para todo t real vale que

φ(x)dµ(x) =

φ(S t(x))dµ(x).O Teorema de Liouville (Teorema 4, Capıtulo 3 [L]) mostra que

se φt e o fluxo associado a um Hamiltoniano H , entao para todo t, epara todo aberto A vale que area φt(A) = area de A.

Logo, neste caso, o sistema dinamico S t = φt deixa invariante a

probabilidade uniforme.O Exemplo 33 do Capıtulo 3 [L] mostra um exemplo de proba-

bilidade invariante sobre uma curva γ obtida atraves do tempo deocupacao assintotico.

Exemplo 2.12. ´ E f´ acil ver que o sistema dinˆ amico S t do Exem-plo 2.11 deixa invariante a probabilidade µ definida sobre [0,1) por µ( [a, b] ) = b − a. Esta probabilidade, como vimos antes se chama probabilidade uniforme em [0,1).

Dada uma ´ orbita peri´ odica γ (s), s∈

[0, b], tal que γ (0) = γ (b)defina a medida µ tal que para toda func˜ ao contınua φ temos

φ(x)dµ(x) =

b0

φ(γ (s))ds.

A medida µ assim definida e invariante; de fato, para t fixo φ(S t(x))dµ(x) =

b0

φ(S t(γ (s)))ds =




b0

φ(S t(S s(γ (0)))ds =

b0

φ(S t+s(γ (0)))ds.

Fazendo a mudanca de vari´ avel s → s + t, obtemos φ(S t(x))dµ(x) =

b0

φ(S s(γ (0))ds =

b0

φ(γ (s))ds =

φ(x)dµ(x).

Definicao 2.9. O fluxo S t e dito erg odico para µ se para todo conjunto A ⊂ X tal que S t(A) = A, ∀t ∈ R, ent˜ ao µ(A) = 0 ou µ(A) = 1.

Vamos agora considerar S t = φt o fluxo associado a um campo devetores Hamiltoniano H em (q, p)

∈R2n restrito a uma superfıcie de

Hamiltoniano H constante.Suponha que a superfıcie S de energia constante H 0 seja com-

pacta. Neste caso, como veremos na Secao 5, existe sempre umaprobabilidade invariante P para o fluxo Hamiltoniano φt restrito a su-perfıcie H (q, p) = H 0 de Hamiltoniano constante. Esta probabilidadeP e a probabilidade P = P H 0 = P k

∇Hcom densidade ψ = k

∇H sobre H (q, p) = H 0 (ver Secao 5) onde k e apenas uma constantepara normalizar a probabilidade P .

Tal probabilidade P definida sobre S e positiva em abertos deS , ou seja, dado x ∈ S e ǫ > 0, entao P (B(x, ǫ) ∩ S ) > 0, ondeB(x, ǫ) = y ∈ R2n | |x − y| < ǫ.

Vamos tentar colocar a afirmacao de Boltzmann de uma maneiramatematicamente mais precisa do que a que foi feita pelo mesmo noseculo XIX.

A Hipotese Ergodica de Boltzmann: A Hipotese Ergodica de Boltzmann para Hamiltonianos e analoga a anteriormente descrita (no caso em que o tempo e discreto n ∈ N).

A Hipotese Ergodica para Hamiltonianos afirma que para todo va-lor de energia H 0, P H 0 e ergodico para o fluxo φt restrito a H (q, p) = H 0.

E importante nao confundir a acao de fluxo φt sobre o espaco(q, p) ∈ R

2n com a acao (restrita) do fluxo φt sobre uma superfıciede Energia constante H 0.

A questao da validade ou nao da Hipotese Ergodica de Boltzmanninfluenciou sobremaneira a Fısica e a Matematica do seculo XX.



39

Contra-exemplo 68: Lembre que o fluxo Hamiltoniano φt preservavolume em R

2n ou seja preserva a probabilidade uniforme em cada

subconjunto aberto limitado invariante X ⊂R2n

. A probabilidadeP em X = R2n neste caso nao e ergodica para φt. Isto porque umsistema com uma integral primeira nao pode ser ergodico (lembre queH e integral primeira) como veremos a seguir.

Se tomarmos o aberto limitado A ⊂ X (com probabilidade posi-tiva para P portanto) dos pontos x ∈ R2n tal que E 1 < H (x) < E 2,entao o fluxo Hamiltoniano φt deixa A invariante pelo Teorema deConservacao do Hamiltoniano e no entanto 1 > P (A) > 0. Logo, em-bora o fluxo Hamiltoniano deixe invariante a probabilidade P , nao everdade que P e ergodico para φt.

Outra questao de natureza distinta e: sera que φt e ergodicoquando restrito a uma superfıcie S de energia constante H 0?

Teorema 2.2. (Teorema de Birkhoff) Seja um Sistema Dinˆ amico S tdefinido em X , preservando a probabilidade erg´ odica P = P ψ. Ent˜ aopara toda func˜ ao contınua f tal que

X

f (x)dP (x) = X

f (x)ψ(x)dx <∞, existe uma constante c e existe um conjunto B de probabilidade total tal que para todo ponto x ∈ B

c = limt→∞1

t t0

f (S τ x)dτ = limt→∞1

t t0

f (S −τ x)dτ.

O valor c naturalmente depende de f e pode ser obtido como

c =

X

f (y)dP (y) =

X

f (y)ψ(y)dy.

Vamos recordar mais uma vez a definicao de tempo de ocupacaoassintotico (ver Secao 10, Capıtulo 3 [L]), desta vez no caso de tempocontınuo t ∈ R.

Definicao 37**: Dado um conjunto A ⊂ X e uma condic˜ ao inicial x ∈ X ,

limt→∞

1

t

t0

I A(S τ x)dτ = oA(x)

e chamado de tempo de ocupac˜ ao assintotico de A comecando em x.

Uma consequencia importante do teorema anterior e que, no casode P ser ergodico para S t, entao para todo x em um conjunto B de




probabilidade total para P , a orbita de x pelo sistema dinamico S t(x)determina um tempo de ocupacao assintotico de um conjunto aberto

qualquer A ⊂ X tal que o(A)(x) = P (A).Isto e verdade, porque pelo Teorema 2.2, dado um subconjunto Ae considerando f = I A acima obtemos

limt→∞

1

t

t0

I A(S τ x)dτ =

X

I A(z)dP (z) =

=

A

dP (z) = P (A) = c = constante

para x em um conjunto B de probabilidade total para µ.Logo, se um sistema e ergodico, existe B tal que P (B) = 1 e para

x ∈ B o tempo de ocupacao assintotico de um conjunto aberto A naodepende do valor x.

A analogia do Teorema Ergodico com tempo contınuo t ∈ R parao Teorema Ergodico com tempo discreto n ∈ N visto anteriormentee transparente.

Examinaremos, agora, um tipo importante de sistema dinamicocom tempo contınuo: o grupo de translacoes a um parametro no toro.

Seja X =Torn = S 1 × S 1 × ... × S 1 (n fatores) o toro de dimensaon. Um ponto desse espaco pode ser representado pelo sistema denumeros complexos z = (z1, z2,...,zn), |zk| = 1, 1 ≤ k ≤ n. Note quee possıvel escrever zk = e2πixk (xk ∈ R); entao, o mesmo ponto z podeser identificado com o sistema de numeros reais x = (x1, x2,...,xn) ∈[0, 1)n, definidos mod 1 (neste caso, podemos assumir que 0 ≤ xk <1). A primeira notacao e conhecida como multiplicativa, e a segunda,como aditiva.

Sendo assim iremos identificar o toro com o conjunto [0, 1)n onde

identificamos faces opostas do paralelepıpedo. Definiremos o sistemadinamico das translacoes no toro Torn pela expressao

S tz = (z1e2πiλ1t, z2e2πiλ2t,...,zne2πiλnt)

ou, equivalentemente, com

S tx = (x1 + λ1t( mod 1), x2 + λ2t( mod 1),...,xn + λnt( mod 1)),



41

onde λ1, λ2,...,λn sao numeros reais fixos. Cada S t e dita umatranslacao no toro, e por isso S t e chamado um grupo de translacoes

a um parametro em Tor

n

, definido pelo vetor λ = (λ1, λ2,...,λn).Note que a probabilidade uniforme no toro dµ =nk=1 dxk e

invariante em relacao a S t. Isto porque, como S t(A) e apenas umtransladado de A, ∀A, entao S t(A) e A tem a mesma area. Logo S tpreserva o volume dx1...dxn. Note que µ(Torn) = 1. Sendo assim sedefinirmos µ(A) =

A dx1...dxn, a probabilidade uniforme µ resulta

ser invariante para o sistema dinamico S t em [0, 1)n.O conjunto dos vetores a(t) = (e2πiλ1t, e2πiλ2t,...,e2πiλnt), −∞ <

t < ∞, define a trajetoria do zero atraves da evolucao temporal dosistema dinamico S

t.

O Sistema Dinamico S t acima definido e muitas vezes chamadocondicionalmente periodico, sendo λk (1 ≤ k ≤ n) suas frequencias.

Exemplo 2.13. O exemplo mais simples de tais sistemas S t foi apresentado nos Exemplos 2.11 e 2.12: para α fixo, S t(x) = x +αt(mod1), α = 0. Neste caso a probabilidade invariante P e a proba-bilidade uniforme em [0, 1). Uma pergunta natural e quando que P e erg´ odica para tal S t.

Vamos mostrar agora que tal P e sempre ergodica para tal S t.

Observacao 2.6. Pode-se mostrar (ver [M1]) que um fluxo S te erg odico para µ, se e s´ o se, vale que para toda func˜ ao f tal que X fdµ < ∞ e f (S t(x)) = f (x) para todo x, ent˜ ao e porque f (x) =

const. = X f dµ para um conjunto de pontos x em um conjunto B

de probabilidade total para µ.

Vamos usar o resultado mencionado na observacao acima paramostrar que S t e ergodico para a probabilidade uniforme.

Considere fixado um ponto x ∈ [0, 1). Observe que variando t,S t(x) percorre todos os valores possıveis y do intervalo [0, 1). Logo,para uma dada funcao f , f (S t(x)) = f (x) significa que para todoy ∈ [0, 1), f (y) = f (x). Logo f e constante. Sendo assim pela ultimaobservacao S t e ergodico.

Vamos apresentar agora uma outra prova da ergodicidade da S tacima definida, e que vai motivar a demonstracao do proximo teo-rema. Considere um funcao f que seja invariante para S t, ou seja,




f (S t(x)) = f (x) para qualquer x ∈ [0, 1). Escreva f em serie deFourier

f (x) = s∈Z cse

2πisx

.

Como f e invariante

f (S t(x)) =s∈Z

cse2πis(x+αt) =s∈Z

cse2πisαte2πisx =

=s∈Z

cse2πisx = f (x).

Logo, concluımos pela unicidade da Serie de Fourier de uma funcao,que ∀s ∈ Z, ∀t ∈ R, cse2πisαt = cs, ou seja que se cs = 0, para todot vale que e2πiαst = 1. Portanto α s = 0, e como α = 0, isto e im-possıvel a menos que s = 0. Portanto, cs = 0 para s = 0. Logo f econstante em quase toda parte com relacao a probabilidade uniformeP pois sua serie de Fourier e constante igual a c.

Logo, pela ultima observacao S t(x) = x + αt e sempre ergodico.

Sera que S t(x1, x2,..,xn) = (x1 + λ1t(mod1),...,xn + λnt(mod1))tambem e ergodico para a probabilidade uniforme? A resposta e

: nem sempre! Sera necessario assumir alguma hipotese sobre osλ1,..,λn. Estas condicoes serao estabelecidas pelo proximo teorema.

Teorema 2.3. Para que um fluxo condicionalmente peri´ odico S t seja erg´ odico e necess ario e suficiente que os n´ umeros λ1, λ2,...,λn sejam racionalmente independentes, isto e, que igualdades da forma s1λ1 +s2λ2 + ... + snλn = 0, onde s1, s2,...,sn ∈ Z sejam possıveis apenas quando s1 = s2 = ... = sn = 0.

Demonstracao:

Vamos utilizar o criterio estabelecido pela ultima observacao parademonstrar o resultado desejado.

Primeiro, provaremos a suficiencia. Suponhamos que os numeros

λ1, λ2,...,λn

sejam racionalmente independentes.Vamos mostrar que qualquer f tal que f (S t(x)) = f (x), e tal que

f e constante fora de um conjunto de probabilidade uniforme nula.



43

A funcao f em Torn tomando valores reais, pode ser expandidaem uma serie de Fourier que convirja na media quadratica, ou seja,

f (x) =s

cs e2πi(s1x1+s2x2+...+snxn),

onde s = (s1, s2,...,sn) ∈ Zn, e a soma e tomada sobre a famılias des ∈ Zn.

Da invariancia de f obtemos

f (S tx) =s

cs e2πi[s1(x1+λ1t)+s2(x2+λ2t)+...+sn(xn+λnt)]

=s

cs e2πi(s1λ1+s2λ2+...+snλn)t . e2πi(s1x1+s2x2+...+snxn) = f (x)

=s

cse2πi(s1x1+s2x2+...+snxn),

a menos de um conjunto de probabilidade uniforme zero (lembre quea serie de Fourier de uma funcao f e definida a menos de um conjuntode probabilidade uniforme 0.

Em virtude da unicidade do coeficiente de Fourier,

cs = cse2πi(s1λ1+...+snλn)t,

isto e, para todo s ou cs = 0 ou e2πi(s1λ1+...+snλn)t = 1. A segundaigualdade so e valida quando (s1λ1 + ... + snλn)t = p, onde p ∈ Z.Como t e arbitrario, isto acontece apenas se s1λ1 + ... + snλn = 0,ou seja, se s1 = ... = sn = 0, pois estamos supondo que λ1,...,λneram racionalmente independentes. Logo, para todo s = (0, 0,..., 0),temos que cs = 0. Note que o argumento nao pode ser aplicado a c0.Portanto, todos os coeficientes de Fourier cs tais que s

= 0 sao nulos.

Logo, temos que f (x) = c0 = constante a menos de um conjunto deprobabilidade zero. Portanto, pela Observacao 2.6, concluımos queP e ergodica.

Agora, provaremos a necessidade. Suponhamos que haja um vetornao-nulo s = (s1,...,sn) com coordenadas inteiras tais que s1λ1+ ...+snλn = 0. Entao, a funcao f tal que

f (x) = e2πi(s1x1+...+snxn)




nao e constante (mod 0), mas e invariante em relacao a S t pois

f (S tx) = e2πi[s1(x1+λ1t)+...+sn(xn+λnt)]

= e2πi(s1λ1+...+snλn)t.e2πi(s1x1+...+snxn) = f (x).

Portanto, S t nao e ergodico, o que e uma contradicao. Assim,completamos a prova do teorema.

Exemplo 2.14. Segue do teorema acima que o sistema dinˆ amico

S t(x1, x2) = (x1 + t (mod1), x2 + αt (mod1))

e erg odico, se, e somente se, α e irracional.

Considere agora o Hamiltoniano H (q, p) = p21 + p22 + ... + p2n.Para p0 = (λ1, λ2,...,λn) fixado considere o subconjunto D do

R2n constituıdo pelos pontos da forma

(q, p0) = (q 1, q 2,...,q n, p1,...,pn) = (q 1, q 2,...,q n, λ1,...,λn),

onde (q 1, q 2,...,q n) ∈ [0, 1]n.

Podemos considerar que este sistema Hamiltoniano oriundo de talH (q, p) esta definido em q ∈ Rn (mod 1), descrevendo assim um fluxoHamiltoniano no toro [0, 1)n.

E facil ver que D e invariante para o fluxo Hamiltoniano φt geradopor H . Por exemplo, D pode ser obtido atraves de superfıcies de nıvelde integrais primeiras do tipo V i(q, p) = pi = λi. E tambem facil vera projecao π1 (φt ) (onde π1(q, p) = q ) do fluxo φt e na verdade igualao S t(q ) = π1 φt(q, p0) acima descrito.

Como a velocidade p(t) das solucoes (q (t), p(t)) do HamiltonianoH e constante igual a p

0= (λ

1,...,λ

n) entao podemos pensar que

S t e apenas uma mudanca de coordenadas π1 do fluxo Hamiltoni-ano (restrito a D) determinado por tal H . Sendo assim entender aevolucao temporal do sistema dinamico S t das translacoes no toro ena verdade entender a evolucao de um sistema mecanico periodicosem energia potencial.

Observacao 2.7. Com relac˜ ao ao Teorema acima h´ a um esclareci-mento importante a fazer: em todos os nossos argumentos, a condic˜ ao



45

de ergodicidade do fluxo no toro, foi equivalente a independencia ra-cional dos n´ umeros λ1,...,λn; ora, nem sempre a condic˜ ao de inde-

pendencia racional dos n´ umeros λ1,...,λn e verdadeira (por exem-plo, se todos os λi forem racionais). Felizmente, o conjunto dos (λ1,...,λn) que n˜ ao s˜ ao racionalmente independentes, tem probabi-lidade zero em relac˜ ao a probabilidade de dλ1...dλn em [0, 1)n (ver Exercıcio 5).

Sendo assim, escolhendo um conjunto de valores (λ1,...,λn) aoacaso em Rn de acordo com a probabilidade uniforme em dλ1...dλnobteremos um sistema que tem ´ otimas propriedades estatısticas. Por-tanto, do ponto de vista probabilıstico podemos afirmar que o sistema observado na natureza (escolhendo os λ1,...,λn com probabilidade to-tal em Rn) possui propriedades estatısticas ´ otimas para as trajet´ orias comecando em x num conjunto de probabilidade total.

Dizemos que um sistema tem propriedades estatısticas ´ otimas se para um conjunto de probabilidade total de condic˜ oes iniciais, as tra-

jet´ orias visitam uma dada regi˜ ao A com a mesma frequencia assin-t´ otica.

Note que a afirmac˜ ao do sistema ter ´ otimas propriedades estatıs-ticas n˜ ao pode ser feita para “todos”os possıveis sistemas λ1,...,λncondicionalmente peri´ odicos.

Exemplo 2.15. Considere um ponto de equilıbrio de um sistema Ha-miltoniano natural unidimensional H (q, p) = 1

2 p2 + V (q ) onde V (q )

tem mınimo local em 0. Suponha que d2V (q)dq2 |q=0 > 0. O sistema Ha-

miltoniano em torno do ponto (0, 0) e integr avel e as curvas de nıvel para o Hamiltoniano s˜ ao curvas fechadas envolvendo o ponto (0, 0).

Conforme vimos na Secao 7, Capıtulo 3 expressao (3.5) [L], ofluxo Hamiltoniano pode ser localmente escrito em coordenadas acao

- angulo (θ, I ) atraves da equacao

θ = w(I ) , I = 0.

As solucoes deste sistema, como vimos antes sao da forma(θ(t), I (t)) = (θ0 + w(I 0) t, I 0), onde (θ0, I 0) e a condicao inicial.

Logo, em variaveis acao-angulo, o fluxo Hamiltoniano φt restritoa curva de nıvel I = I 0 = constante, e da forma φt(θ0, I 0) = (θ0 +w(I 0)t, I 0).




A partir de φt, considerando apenas a variavel θ, obtemos no nıvelde energia correspondente a I 0 o sistema dinamico

S t(θ) = θ + w(I 0) t (mod 1).

Este sistema dinamico foi analisado anteriormente e e sempreergodico.

Retornando as variaveis (q, p) o resultado analogo sera tambemverdadeiro.

Desta maneira, pelo que vimos acima, o fluxo Hamiltoniano φtrestrito a uma curva de Energia constante, proxima ao ponto deequilıbrio e ergodico. Sendo assim, a Hipotese Ergodica de Boltz-

mann e verdadeira neste caso.Sera que a mesma propriedade e valida para o caso analogo n-

dimensional?Considere agora o sistema n-dimensional H (q, p) = | p|2

2 + V (q )com q e p em R

n e suponha que V (q ) tenha mınimo local em q =0 ∈ R

n. Suponha ainda que V (q ) = 12a21q 21 + .. + 1

2a2nq 2n. Estahipotese nao e muito restritiva, na verdade, pode-se mostrar que emum sentido generico, todo campo Hamiltoniano da forma H (q, p) =

| p

|2 + V (q ) que tem mınimo local q 0 para V , pode ser represen-

tado localmente atraves de mudancas de coordenadas deste forma(ver [A-M] e [Milnor]).

A equacao de Hamilton, neste caso, e separavel em n equacoes

q ′′

i − aiq i = 0, i ∈ 1, 2,...,n.

Nao e difıcil ver que cada plano (q i, pi) e invariante pelo fluxo Ha-miltoniano φt, que cada trajetoria (q i(t), pi(t)) e periodica no plano(q i, pi) e que sao validos em cada um destes planos (q i, pi) os resul-tados que obtivemos na Secao 7, Capıtulo 3 [L], obtendo variaveisacao-angulo (θi, I i) e frequencias wi = w(I i) = ai, i ∈ 1, 2,...,n.O fluxo Hamiltoniano φt em coordenadas acao-angulo e dado por(θi(t), I i(t)) = (θi0 + ai t (mod1), I i0).

E facil ver que o conjunto dos (θ1, I 1, θ2, I 2,...,θn, I n) tal que

I 1 = I 10 , I 2 = I 20 ,...,I n = I n0

define uma superfıcie S invariante para o fluxo Hamiltoniano.



47

Logo fixada a condicao inicial (θ10, I 10 , θ20, I 20 ,...,θn0 , I n0 ), de maneiraanaloga ao caso unidimensional tratado acima, nas coordenadas

(θ1,..,θn) o fluxo Hamiltoniano φt restrito a S se escreve como

S t(θ10,...,θn0 ) = (θ1(t), θ2(t),...,θn(t)) =

= (θ10 + ait(mod1),...,θn0 + ant(mod1))

e define em S uma translacao S t condicionalmente periodica no sen-tido anteriormente considerado.

Pergunta: O fluxo Hamiltoniano e ergodico quando restrito a talsuperfıcie S ?

Como veremos, a resposta e afirmativa se os ai sao racionalmenteindependentes.

Note que o resultado a seguir nao e para a superfıcie de Ener-gia constante E , mas para a superfıcie S acima definida (e que estaestritamente contida num nıvel de Energia E ).

A partir do Teorema 2.3 e da Observacao 2.7, concluımos que nocaso do sistema mecanico com potencial V (q ) = 1

2a21q 21 + ... + 12a2nq 2n,

o fluxo φt = S t e ergodico em S se os a1,...,an sao escolhidos aoacaso de acordo com a probabilidade uniforme. Em funcao do que

foi dito acima no caso de um sistema mecanico real, assumir que osai satisfazem tal propriedade e uma hipotese bastante razoavel.

O resultado obtido para (θ1, I 1,...,θn, I n) pode ser tranferido viamudancas de coordenadas para o sistema Hamiltoniano inicial nasvariaveis (q, p). Sendo assim, podemos afirmar neste caso, que lo-calmente em torno do ponto de equilıbrio (0, 0) no plano (q, p), aHipotese de Boltzmann vale para a superfıcie com variavel AcaoI i0, i ∈ 1, 2,..,n constante, se o potencial V (q ) = 1

2a21q 21 + ... 12a2nq 2ne tal que os ai, i

∈ 1,..,n

sao escolhidos ao acaso de acordo com

a probabilidade uniforme em Rn. Sendo assim, localmente e nestesentido um pouco mais fraco (restricao sobre uma escolha ao acasodos ai), a Hipotese de Boltzmann e verdadeira.

Chamamos a atencao para um fato: a ergodicidade do fluxo S tnao implica a ergodicidade do difeomorfismo T = S t para um valor tfixo.

Agora nos concentraremos no estudo de uma das muitas aplicacoesdos sistemas dinamicos no toro: o problema de Lagrange, que surgiu




de algumas questoes de Mecanica Celeste e que tem estimulado odesenvolvimento da teoria das funcoes quase periodicas.

Considere um sistema constituıdo por n pendulos com hastes detamanhos distintos acoplados um ao outro e com o extremo inicialfixo (ver Figura 2.4). Sejam n numeros complexos a1, a2,...,an (nvetores no plano). Examinaremos a curva no plano complexo dadapela equacao

z(t) = a1e2πiλ1t + a2e2πiλ2t + ... + ane2πiλnt.

O significado geometrico da funcao z e o seguinte: suponhamosque haja um vetor a1 no plano, que o vetor a2 esteja ligado a extre-

midade de a1 e que cada um dos outros esteja ligado a extremidadedo anterior. Se a1 girar em torno de sua origem fixa (o ponto (0,0))com velocidade angular constante λ1, a2 girar ao mesmo tempo emtorno de sua origem (a extremidade de a1) com velocidade angular λ2

e assim por diante, a curva dada por z e a trajetoria da extremidadedo vetor an. A Figura 2.5 ilustra o caso em que n = 3.

Suponhamos que z(t) nao se anule para nenhum t. Entao podemosrepresentar z(t) na forma

z(t) = r(t)e2πiφ(t),

onde φ e uma funcao contınua de t (veja a Figura 2.5).Lagrange formulou a seguinte pergunta: “Existe

ω = limt→∞

1

tφ(t),

e, se existir, como podemos determina-lo?” Em outras palavras,com que velocidade angular media a extremidade do vetor an giraem torno da origem do vetor a1?

A resposta, no caso em que

|a2| + |a3| + ... + |an| < |a1| , (2.1)

e simples de ser obtida, pois φ(t) = λ1t + α(t), onde α e uma funcaolimitada, ou seja, |α(t)| ≤ αmax. Claramente, temos que ω = λ1.

Isto se deve ao fato que a rotacao limite de z(t) e determinadaapenas por a1, pois as outras hastes sao muito curtas em relacao aa1.



49

Se a desigualdade (2.1) nao for valida, o problema torna-se razo-avelmente difıcil, sendo que o proprio Lagrange o resolveu somente

com dois vetores.Consideraremos, agora o caso generico com n hastes, onde exibi-remos a relacao entre esse problema e a teoria ergodica.

Tomando os logaritmos de ambos os lados da equacao de z(t),obtemos

φ(t) = Re

1

2πilog z(t)

,

(onde Re(z) representa a parte real de z, isto e, Re(a + bi) = a) eentao

dφ

dt(t) = Re

1

2πi

z′(t)

z(t)

= Re

nk=1λkake

2πiλkt

nk=1

ake2πiλkt=

= Re

nk=1

λk|ak|e2πi(xk+λkt)nk=1

|ak|e2πi(xk+λkt),

onde x = (x1, x2,...,xn) determina a posicao inicial dos vetores a1,

a2, ..., an, ou seja,

ak = |ak|e2πixk , 1 ≤ k ≤ n

(note que, utilizando a igualdade anterior, podemos escrever

z(t) = |a1|e2πi(x1+λ1t) + |a2|e2πi(x2+λ2t) + ... + |an|e2πi(xn+λnt)).

Consideremos o toro Torn = [0, 1)n e o fluxo condicionalmenteperiodico determinado pelo vetor λ = (λ1, λ2,...,λn). A medida uni-forme µ no toro (visto como subconjunto do Rn) e invariante para o

fluxo como ja vimos antes. Suponhamos inicialmente que os numerosλ1,...,λn sejam racionalmente independentes, de forma que o fluxocorrespondente seja ergodico.

Usando a notacao aditiva, definamos a seguinte funcao em Torn:

f (x) = f (x1,...,xn) = Re

nk=1

λk |ak| e2πixk

nk=1

|ak| e2πixk. (2.2)




Entao, e valida a igualdade

dφ

dt (t) = f (S tx),

e, por isso,

φ(t2) − φ(t1) =

t2t1

f (S τ x)dτ.

O limite que desejamos encontrar pode ser, portanto, reescritocomo

limt→∞

φ(t)

t= limt→∞

1

t t

0

f (S τ x)dτ.

Se a funcao f fosse limitada e contınua, este limite existiria paratodo x ∈Torn e seria, de acordo com o teorema ergodico, igual a

Tornfdµ.

Contudo, o denominador em (2.2) pode se anular. A condicao

n

k=1 |ak

|e2πixk = 0 (2.3)

e, na verdade, um sistema de duas equacoes em relacao a x1,...,xn(tanto a parte real como a imaginaria da soma devem ser iguais azero). Isso implica que os pontos onde a equacao (2.3) vale constituemuma subvariedade diferenciavel de codimensao 2 em Torn = [0, 1)n.Portanto, o conjunto de todas as trajetorias que a interceptam e umasubvariedade de dimensao n − 1, e sua probabilidade uniforme em[0, 1)ne zero. Entao, para uma trajetoria escolhida aleatoriamente, aequacao (2.3) nao vale com probabilidade 1. Usando essas considera-coes, suponhamos que o teorema ergodico seja aplicavel e substitua-mos a integral ao longo da trajetoria pela integral sobre o toro.

Temos que

Torn

f dµ = Re

Torn

nk=1

λk |ak| e2πixk

nk=1

|ak| e2πixkdx1dx2...dxn =

nk=1

λk |ak| W k,



51

onde

W k = Re Torn

e2πixknj=1

|aj | e2πixj

dx1...dxn.

E importante interpretarmos esse resultado. Para tal fim, deve-mos reescrever a integral sobre o toro na forma de integrais iteradas,efetuando a integracao em relacao a xk. Entao,

W k = Re

Torn−1

10

e2πixk

B + |ak| e2πixkdxk

dx1...dxk−1dxk+1...dxn,

onde B e o somatorio de todos os termos tais que j = k.Quando xk varia de 0 a 1, o ponto Z = B + |ak| e2πixk descreveum cırculo C no plano complexo na Figura 2.5. Portanto, 10

e2πixk

B + |ak| e2πixkdxk =

1

2πi |ak| 10

Z ′(xk)

Z (xk)dxk =

1

2πi |ak| C

1

Z dZ.

A ultima expressao e igual a 1|ak|, se o disco delimitado por C contem a origem; caso contrario, e igual a zero.

O cırculo delimita um disco contendo a origem se

|B

|<

|ak

|.

Logo,

W k =1

|ak|P

(x1,...,xk−1, xk+1,...,xn) ∈ Torn−1| |B| < |ak|

,

onde P e a probabilidade de Lebesgue em Torn−1.A independencia racional de λ1,...,λn implica a de

λ1,...,λk−1, λk+1,...,λn.

Portanto, o fluxo em Torn−1 tambem e ergodico. Como, nessecaso, o tempo relativo que uma trajetoria escolhida aleatoriamentepermanece em um dado conjunto mensuravel e igual a probabilidadedeste, o resultado obtido pode ser interpretado da seguinte maneira:|ak| W k e a parte desse tempo em que a rotacao do vetor ak contribuipara a funcao φ.

O problema de Lagrange ilustra um fato que e bastante natural emMecanica Classica: existe um conjunto desprezıvel de situacoes ruins,




mas para condicoes iniciais fora deste conjunto de probabilidade zero,um resultado bastante forte e preciso do ponto de vista estatıstico

pode ser enunciado para o sistema mecanico em consideracao.

Exercıcios

1. Mostre que se A = γ for uma curva diferenciavel em [0, 1]×[0, 1],entao A tem probabilidade zero para probabilidade uniforme em[0, 1] × [0, 1].

2. Considere P a probabilidade uniforme em [0, 1]. Mostre que se

F e um difeomorfismo de classe C 1 de [0, 1] em si mesmo e Atem probabilidade zero, entao F (A) tem probabilidade zero.

3. Seja T (x) = 2x (mod 1), T [0, 1] → [0, 1]. Mostre que T e in-variante e e ergodica para a probabilidade uniforme P . Su-gestao: considere um conjunto A e escreva I A em serie deFourier. A seguir, suponha que T −1(A) = A, e conclua queI T −1(A)(x) = I A T (x) = I A(x). O resultado e obtido igua-lando os correspondentes coeficientes de Fourier de I A e I A T .

4. Mostre que se λ e irracional, entao T (x) = x + λ (mod 1),T [0, 1] → [0, 1], e tal que existe um conjunto K ⊂ [0, 1] tal quepara todo x ∈ K a orbita de x e densa em [0, 1].

5. Mostre que uma superfıcie de dimensao d < n em Rn temprobabilidade uniforme 0 em R

n

6. Mostre que o conjunto dos pontos (x1, x2,..xn) racionalmenteindependentes tem medida total em R

n.



Capıtulo 3

A Teoria de Aubry para

Quase-Cristais e

Exemplos do Tipo

KAM

Vamos descrever a seguir uma versao discretizada da Acao de umSistema Hamiltoniano que e semelhante em um certo sentido ao pro-cedimento que utilizamos na secao 11 na qual analisamos bilharesdeterminados por curvas convexas. Neste modelo o fenomeno deno-minado KAM (de Arnold, Kolmogorov e Moser) ira aparecer e iremosfazer uma analise matematica do problema em primeira aproximacao.

Ressaltamos que alguns dos resultados apresentados nesta secaonao estao de todo formalizados de maneira matematicamente rigo-rosa. Nosso objetivo e apresentar algumas das ideias e conceitosprincipais como motivacao para o estudo da Teoria de Aubry-Mather[CRZ], [Au1], [Au2], [CI], [Fat], [M2], [MH], [MF], [dL], [B] e [LC].

A equacao de Hamilton para o Hamiltoniano natural H (q, p) =12 p

2 − V (q ), q , p ∈ R e

q = p

53



54 [CAP. 3: A TEORIA DE AUBRY

˙ p =∂V

∂q .

Trocamos o sinal do potencial V acima apenas para obter ao fi-nal de nossas consideracoes um sistema a tempo discreto dentro danotacao de Aubry [Au1] e [Au2].

Uma versao em diferencas finitas de tal equacao e

q i+1 = q i + pi+1∆t

pi+1 = pi + ∆t∂V

∂q i|qi .

Tomando ∆t = 1, obtemos

G(q i, pi) = (q i+1, pi+1) = (q i + pi+1, pi∂V

∂q i|qi).

O leitor pode facilmente checar que tal transformacao do planono plano preserva area, bastando para isso mostrar que a matrizJacobian tem determinante 1.

Aplicacoes do tipo acima representam uma versao discretizadadas equacoes de Hamilton e preservam area como veremos em breve(ver Lema 3.1).

Na verdade existe um modelo com real significado fısico que podeser representado por tal aplicacao. Este modelo (ver [B], [MF], [Au1],[Au2] e [Me] para mais detalhes) sera brevemente descrito abaixo.

A teoria que vamos considerar agora aparece na analise de algunsmodelos fısicos para ions mergulhados em plasma. Consideraremostambem alguns exemplos da Teoria KAM que aparecem no modelo.

Nao iremos fazer uma analise completa da equacao das curvasque aparecem nos fenomenos da Teoria KAM (Kolmogorov-Arnold-Moser), mas iremos apenas dar uma visao esquematica de como ana-

lisar a equacao associada as curvas KAM em primeira aproximacao.O problema com esta simplificacao permitira ao leitor ter uma ideiaporque aparecem pequenos denominadores e propriedades da Teoriados Numeros (ver [Le] e [Kh] para referencia) e das Series de Fourier(ver [Fi] e [Ju] para referencia) na Teoria. Com esta simplificacaoestaremos evitando certos detalhes tecnicos complicados (mas im-portantes [A2], [H] e [Ba]), e cuja dificuldade esta acima do nıvel quedesejamos manter no presente texto.



55

Considere na reta real o Potencial V (u) periodico de perıodo 1e assuma tambem que V (0) = 0, V ′( 0 ) = 0 e V ′′(u) > 0, ∀u ∈(−1/2, 1/2] (ou alternativamente em (0, 1]). Vamos considerar (Fi-gura 3.1) como um caso particular importante o exemplo em que

V (u) =1

2(1 − cos2πu).

O modelo que vamos analisar e descrito por varios atomos cujaposicao ui ∈ R e descrita por arranjos uii∈Z, onde i ∈ Z. Estesatomos formam uma cadeia e estao acoplados de forma que cadaatomo na posicao ui sofre influencia apenas dos atomos vizinhos nas

posicoes ui−1 e ui+1.Nosso objetivo e analisar os arranjos uii∈Z que tem significado

fısico real. A seguir vamos descrever como sao tais arranjos.

O termo de energia cinetica na reta real sera dado por

W (u) =1

2u2,

que vai ser na verdade uma funcao da distancia entre ui+1 e ui. Maisprecisamente, a energia cinetica sera dada por

W (ui+1 − ui) =1

2(ui+1 − ui)

2.

Fazendo um analogia com a Mecanica Classica, o valor ui+1−ui1

faz o papel da velocidade (ou momento) no modelo, e assim por suavez 1

2(ui+1 − ui)2 desempenha o papel da Energia Cinetica.

A ideia neste modelo e substituir equacoes diferenciais da MecanicaClassica por equacoes de diferencas. Deste modo, de maneira analoga,

e natural introduzir um parametro externo λ que vai estabelecer aaltura do poco do potencial λV .

De maneira analoga ao caso classico (nao discretizado), o La-grangiano natural S agindo sobre cada partıcula, e Energia Cineticamenos Energia Potencial, ou seja a acao individualizada ligando ui aui+1 vai ser dada por

S (ui+1, ui) = λV (ui) + W (ui+1 − ui) (3.1)




Definicao 3.1. Considere um arranjo uii∈Z. Para n < m fixados,a Ac˜ ao Total do arranjo uii∈Z de n a m e dada por

φ(ui) =m−1i=n

λV (ui) + W (ui+1 − ui) =m−1i=n

S (ui+1, ui).

A Acao Total de n a m e a soma das Acoes individuais (3.1) ecorresponde na Mecanica Classica a

Sdq.

Definicao 3.2. Um arranjo uii∈Z vai ser minimal para a Ac˜ aoTotal, se para todo n e m fixos n < m, e para todo arranjo vi tal

que vn = un e vm = um vale que

φ(ui) =m−1i=n

λV (ui) + W (ui+1 − ui) ≤ φ(vi) =

=m−1i=n

λV (vi) + W (vi+1 − vi).

A condicao de um arranjo ser minimal, acima definida, e clara-

mente inspirada pelo Princıpio de Mınima Acao (ver Secao 9, Capı-tulo 3 [L]).

Definicao 3.3. Um arranjo uii∈Z e crıtico para a Ac˜ ao Total se para todo n e m, n < m fixados vale que

∂φ

∂ui= 0, ∀ i ∈ n + 1, m − 1.

Isto e, um arranjo e crıtico se mantendo os extremos un e um fixos

e variando as posicoes intermediarias ui, a expressao acima e crıticapara tais variacoes ui. Note a semelhanca da ultima expressao coma Proposicao 1.2 da Secao 1 sobre bilhares convexos.

Todo arranjo minimal e claramente crıtico, embora a recıprocanao seja sempre verdadeira. Na teoria que vamos brevemente des-crever a seguir, do ponto de vista fısico e tambem do ponto de vistamatematico, os resultados interessantes concernem os arranjos mini-mais e nao apenas os arranjos crıticos.



57

Os arranjos que sao fisicamente observados no problema acimadescrito sao na verdade os arranjos minimais.

Primeiramente vamos determinar um metodo para encontrar ar-ranjos crıticos.Note que para um arranjo uii∈Z, cada valor ui, n < i < m

aparece na acao total φ de n a m em apenas dois termos

S (ui+1, ui) + S (ui, ui−1) =

λV (ui) + W (ui+1 − ui) + λV (ui−1) + W (ui − ui−1).

Para calcular a expressao do arranjo crıtico, derivamos a ultimaexpressao em relacao a ui e considerando V , W como acima, obtere-mos

0 = λV ′(ui) − (ui+1 − ui) + (ui − ui−1).

Logo, obtemos a equacao

0 = λV ′(ui) + 2ui − (ui+1 + ui−1),

a qual toda solucao crıtica uii∈Z deve satisfazer.Sendo assim, obtemos de maneira equivalente

−λ2 V ′(ui) = ui − ui+1 + ui−12 . (3.2)

Por exemplo, como V (0) = 0 e W (0) = 0, concluımos que oarranjo ui = 0, ∀i ∈ Z, e crıtico para acao total.

Uma interpretacao pictorica da expressao (3.1) e que a forca (me-nos a derivada do potencial)

−λ

2V ′(ui)

e equilibrada pelo deslocamento de ui da posicao de equilıbrio (pontomedio ui+1+ui−1

2 ) da corda elastica ligando ui−1 a ui+1 (Lei de Hooke)conforme mostra Figura 3.28.

Deste ponto de vista, o arranjo uii∈Z parece descrever umelastico fixo na posicao un e um, em que pela Lei de Hooke, o afasta-mento do elastico na posicao ui da posicao intermediaria ui−1+ui+1

2 ,e equilibrada pela forca criada pelo potencial agindo em cada retax = i.




O modelo acima descreve exatamente quase-cristais, que sao objeto de estudo recente em Fısica da Materia e da Teoria do Plasma

[Au].Voltemos agora a analisar que propriedades podemos obter sobreos arranjos crıticos definidos acima.

A expressao (3.2) para um arranjo crıtico uii∈Z pode ser ex-pressa numa relacao de tres termos como

ui+1 = λV ′(ui) + 2ui − ui−1.

No modelo em que V (u) = 12(1−cos2πu), um arranjo crıtico (ver

Definicao 3.3) pode ser calculado conforme (3.2) por uma relacao de

tres termosui+1 = λπ sin2πui + 2ui − ui−1.

Logo o arranjo uii∈Z pode ser calculado a partir de u0 e u1

inicial pela relacao de tres termos acima descrita.Passando a uma relacao de pares (ui+1, ui) obtemos

ui+1

ui

= T

uiui−1

=

2ui + λπ sin2πui − ui−1

ui

a partir de coordenadas iniciais (u1, u0) ∈ R2

.As solucoes crıticas uii∈Z sao obtidas portanto atraves das or-

bitas de T .E natural interpretar o momento pi como uma nova variavel,

pi = ui − ui−1,

em funcao da analogia do problema descrito acima com a versaodiscretizada da Mecanica Classica no espaco de fase ( p, q ) = ( p, u).

Vamos a seguir expressar a aplicacao T mencionada anteriormente

em coordenadas ( p, u).Antes disso, note tambem que se uii∈Z e arranjo crıtico, ui +

1i∈Z tambem e arranjo crıtico. Este fato nos sugere considerar osui (mod 1) para simplificar o problema.

Algumas vezes vamos considerar os ui tomados (mod 1) e outrasvezes nao. No primeiro caso (ui, pi) esta em [0, 1)×[0, 1) e no segundocaso (ui, pi) esta em R

2.Para nao confundir o leitor vamos reservar a letra q para u (mod 1).



59

Seja q i o valor ui (modulo 1), como pi+1 = ui+1−ui (mod 1) (quee o mesmo que q i+1 − q i (mod 1)), obtemos a transformacao acima

definida T agindo sobre ( pi, q i) ∈ [0, 1) × [0, 1) como

T

piq i

=

pi+1

q i+1

=

pi + λπ sin2πq i (mod 1)

pi+1 + q i (mod 1)

que e conhecida como a aplicacao padrao, ou standard.Logo a iteracao de uma orbita T n( p0, q 0) = ( pn, q n), n ∈ Z a

partir de uma condicao inicial ( p0, q 0), vai definir na segunda variavelui o arranjo uii∈Z (a menos de um inteiro) a solucao crıtica doproblema acima descrito. Uma infinidade de solucoes

q i

i

∈Z sao

possıveis, basta tomar diferentes condicoes iniciais ( p0, q 0). Faremosa seguir (Definicao 3.4, Capıtulo 3) uma restricao que vai determinarum arranjo uii∈Z de maneira unica.

Observo que tomar q i (mod 1) e bastante natural (ou seja suporque o espaco de configuracao e compacto), mas tomar pi (mod 1),em princıpio nao. No caso do modelo de quase-cristais, no entanto,e natural esta segunda hipotese. Estas duas hipoteses de qualquer jeito permitem considerar a iteracao de T num espaco compacto (ouseja fechado e limitado).

Duas trajetorias minimais nao podem se cruzar duas vezes comona Figura 3.2. Esta propriedade e conhecida como a condicao Twist(ver [CRZ] para mais detalhes).

Considerando potenciais V mais gerais (V (u) ou V (q ) sempreperiodico de perıodo 1) obterıamos de maneira analoga uma T defi-nida em [0, 1] × [0, 1] → [0, 1] × [0, 1] por

T

piq i

=

pi+1

q i+1

=

pi + λV

′

(q i) pi+1 + q i

.

Nao estamos colocando o termo (mod 1) na expressao acima, masela esta implıcita no modelo em consideracao.

A aplicacao padrao preserva area. Mostraremos na verdade nocaso mais geral (nao somente para V (q ) = 1

2(1 − cos2πq )), que aaplicacao T , obtida acima a partir de um potencial V qualquer, pre-serva area. As Figuras desta secao que descrevem iteracoes de T parao caso de V (u) = 1

2(1−cos2πu) ocorrem tambem em outras situacoesquando se considera um V geral.




Vamos usar, a partir de agora, indistintamente as letras q ou u eo contexto vai indicar qual da duas estamos considerando.

Note a semelhanca da aplicacao acima definida com a que apresen-tamos no comeco desta secao e associada a discretizacao da equacaode Hamilton.

Lema 3.1. A aplicac˜ ao T dada por

T

piui

=

pi+1

ui+1

=

pi + λV

′

(ui) pi+1 + ui

(3.3)

preserva ´ area.

Demonstracao:Vamos considerar S (Q, q ) = S (un+1, un) abaixo.Desejamos mostrar que

∂S

∂un(un+1, un) = − pn

e∂S

∂un+1(un, un+1) = pn+1

A segunda equacao acima descreve trivialmente o que acontececom a variavel pn pela iteracao de T ( p, u), pois

S (un+1, un) = λV (un) +1

2(un+1 − un)2

e pn+1 = (un+1 − un).A equacao das trajetorias crıticas

0 =∂φ

∂un=

∂S

∂un(un+1, un) +

∂S

∂un(un, un−1).

Ora, como vimos

∂S

∂un(un, un−1) = un − un−1 = pn.

Portanto, da equacao da trajetoria crıtica

∂S

∂un(un+1, un) = − ∂S

∂un(un, un−1) = − pn (3.4)



61

Logo fica definida atraves de S uma funcao geradora de mudancasde coordenadas

( pn, un) = ( p, q ) → ( pn+1, un+1) = −(P, Q)

atraves de

S (Q, q ) = S (un+1, un) = λV (un) +1

2(un+1 − un)2 =

= λV (q ) +1

2(Q − q )2. (3.5)

Note que −(P (q, p), Q(q, p)) preservar area e equivalente a

(P (q, p), Q(q, p))preservar area.

A funcao ( pn, q n) → ( pn+1, q n+1) assim definida e a T anteri-ormente considerada. Fica assim determinado (ver Proposicao 17,Capıtulo 3 [L]) que a transformacao T preserva area e e da forma

T

pnun

=

pn+1

un+1

.

onde

∂S ∂un

(un+1, un) = − ∂S ∂un

(un, un−1) = − pn

e∂S

∂un+1(un+1, un) = pn+1.

Existem infinitos possıveis arranjos uii∈Z. Necessitamos imporcondicoes de fronteira do seguinte tipo:

limn−n′→∞un

−un′

n − n′ = l

para assim determinar uma solucao crıtica unica a partir de l.

Definicao 3.4. Dada uma configurac˜ ao crıtica uii∈Z, o valor ldado por

limn−n′→∞

un − un′

n − n′= l

e chamado distˆ ancia media atˆ omica (ou n´ umero de rotac˜ ao).




Na definicao acima devemos considerar u1 e nao q i.Em princıpio nao ha garantia de que exista tal limite para uma

configuracao qualquer. l tambem e chamado de numero de rotacaoda configuracao uii∈Z.Estamos considerando na expressao acima que os un, un′ nao sao

tomados (mod 1). Sendo assim l representa uma inclinacao media doconjunto de pontos (i, ui), i ∈ Z, vista com subconjunto de pontosdo R2.

Observe que quanto mais proximo de zero for l, o deslocamentopara a direita de n produzira muitos pontos muito proximos ui (mod1). Neste caso a distancia media entre elementos ui devera ser muitomenor do que para inclinacoes grandes de l. Fica assim justificado onome de distancia media atomica.

Outra interpretracao de l e a seguinte: como un−un′ =ni=n′+1 pi,

podemos pensar que l e o momento medio da trajetoria. Isto porque

un − un′

n − n′=

ni=n′+1 pi

n − n′.

Propriedade Importante: E possıvel mostrar (ver [Ba]) que fixadol, sob certas condicoes, obtem-se um unico arranjo minimal

ui

i∈Z

(no sentido da Definicao 3.2) com tal valor de distancia media atomical (momento medio).

Fazendo analogia com a Mecanica Classica, fixados posicao e mo-mento medio, desejamos encontrar de maneira unica uma solucaouii∈bfZ (que sera mınima) com aquela posicao inicial e com aquelemomento medio.

No caso λ = 0, entao ui = il+α (linear em i) e solucao, e portanto,ao menos neste caso trivial, sabemos que existe a inclinacao mediaassociada a tal

ui

.

No caso λ = 0, se l e irracional, a solucao ui = il + α (modulo 1)sera densa em [0,1] (ver [A2]).

A questao relevante no modelo acima descrito e analisar no casogeral λ = 0, o arranjo minimal associado a cada valor l. Isto epara cada condicao de fronteira l, deseja-se encontrar propriedadesda solucao minimal com inclinacao media l.

Nesta direcao, o seguinte Teorema (ver [Ba]), que nao sera de-monstrado, e de fundamental importancia.



63

Teorema 3.1. Dada uma configurac˜ ao uii∈Z mınima, existem le α tal que para qualquer i, os valores ui e il + α (n˜ ao estamos

considerando mod 1) est˜ ao no mesmo intervalo [mi, mi + 1] onde mie um n umero inteiro.

Segue portanto deste teorema que toda solucao minimal tem umvalor de distancia media atomica l.

Definicao 3.5. O valor α acima apresentado e denominado a fase da configurac˜ ao crıtica ui.

O proximo teorema vai apresentar um resultado bastante precisosobre as solucoes minimais

uii∈

Z. Antes necessitamos algumas de-finicoes e resultados da Teoria dos Numeros (ver [A2], [Kh] e [Le]para referencias gerais sobre os topicos que serao considerados aqui).

Definicao 3.6. Um n´ umero l > 0 e do tipo Diofantino se existe γ > 0, r > 2 tal que ∀ p, q ∈ N

l − p

q

> γ 1

q r. (3.6)

Um numero deste tipo e mal aproximado por racionais , ou seja,ele e “muito irracional”.Lembre (ver Definicao 2.2, Capıtulo 2) que um subconjunto D da

reta tem medida zero se para qualquer ǫ pequeno existe uma cober-tura de D por intervalos [ai, bi], i ∈ N tal que

∞i=1(b1 − ai) < ǫ.

Ou seja D e desprezıvel em termos de comprimento, embora possaser um conjunto ate mesmo denso em R (por exemplo o conjunto dosracionais tem medida zero).

Lembre tambem (ver Definicao 2.3, Capıtulo 2) que dizemos queum subconjunto A tem medida total na reta, se o seu complementare desprezıvel, ou seja que o seu complementar tem medida zero.

Observacao 3.1. Se r > 2 e γ > 0 est˜ ao fixados, e possıvel mostrar (veja [A2]) que o conjunto de n´ umeros que satisfazem (3.6) na defi-nic˜ ao acima, tem medida total em R. Sendo assim, se escolhermos um n´ umero ao acaso de acordo com a probabilidade uniforme em R, este n´ umero ser´ a Diofantino. Nem todos os n´ umeros reais s˜ aoDiofantinos.




Figura 3.1:

Todo numero irracional pode ser aproximado por fracoes contınuas,isto e, x pode ser expresso da seguinte forma

x = n0 +1

n1 + 1n2+

1n3+...

, (3.7)

onde os ni sao numeros naturais.O procedimento e o seguinte: dado x, subtraia sua parte inteira,

obtendo x − n0 ∈ (0, 1). Portanto, 1x−n0 > 1. Seja n1 a parte inteira

de 1

x−n0, logo x1 = 1

x−n0 −n1

∈(0, 1].

Portanto x = n0 + 1n1+x1

.

Aplique agora o mesmo procedimento a x1, isto e, considere n2 aparte inteira de 1

x1e x2 = 1

x1− n2 ∈ (0, 1] obtendo assim

x = n0 +1

n1 + 1n2+x2

.

Repetindo o mesmo procedimento para x2 e indutivamente assim

por diante obtemos a expansao de x em fracoes contınuas (3.7). Osnumeros x tal que tal procedimento termina em algum instante n(isto e, xn = 0 ou xn = 1) sao os numeros x racionais.



65

1 1.5 2 2.5

0

0.5

1

1.5

2

1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.7 1.8 1.9 2 2.1 2.2 2.3

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

1 1.5 2 2.5 3

0

0.5

1

1.5

2




1 1.5 2 2.5 3

0

0.5

1

1.5

2

1.2 1.3 1.4 1.5 1.6

0

0.25

0.5

0.75

1

1.25

1.5

1.75

1.6 1.8 2 2.2 2.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1 1.5 2 2.5 3

p

0

0.5

1

1.5

2

t h e t a

Seja x irracional e k ∈ N, vamos denotar por

pkq k = n0 +

1

n1 + 1n2+

1

n3+...+1nk

o aproximante de ordem k de x, onde pk, q k ∈ N.

O seguinte resultado e demonstrado em [A2].

Teorema 3.2. Para qualquer n´ umero real irracional x, aproximado



67

for frac˜ ao contınua da forma

x = n0

+1

n1 + 1n2+1

n3+...

ni ∈ N, i ∈ N, e v alido que x − pkq k

<1

q 2k.

Ou seja r > 2 na definicao de numero Diofantino e uma propri-edade nem sempre satisfeita para x qualquer, mas tomando γ = 1 er = 2 e sempre possıvel aproximar qualquer numero real x por racio-

naispkqk como acima no ultimo Teorema. No que segue, sera essencial

assumir que l e do tipo Diofantino satisfazendo (3.6) com r > 2.

A expansao em fracoes contınuas surgiu inicialmente em Mate-matica como um procedimento eficaz para aproximar um numeroirracional x por numeros racionais. A aproximcao de x de ordem ke obtida quebrando a expansao em fracoes contınuas no termo nk,obtendo assim um numero racional pkqk .

Em geral a aproximacao por fracoes contınuas e melhor que asoutras maneiras conhecidas (o erro decai como 1

q

2

k

como se pode ob-

servar pela ultima desigualdade).Posteriormente, a expansao em fracoes contınuas se mostrou util

e fundamental para analisar uma serie de questoes de Aritmetica etambem em questoes de Mecanica Classica e Geometria Diferencial.

Note que quanto maiores forem os ni, maiores serao os correspon-dentes q k, permitindo assim melhores aproximacoes por racionais donumero irracional considerado.

Exemplo 3.1. O n´ umero π e aproximado em frac˜ oes continuas de

ordem 3 por p3q 3

=333

106

A aproximac˜ ao e de 6 casas decimais.

Exemplo 3.2. O n´ umero real β dado pela raz˜ ao ´ aurea satisfaz

β = 1 +1

1 + 11+ 1

1+...

=

√ 5 + 1

2




e portanto e super mal aproximado por racionais (os q k crescem deva-gar porque os ni = 1 s˜ ao os menores possıveis). Logo podemos dizer

que a raz˜ ao ´ aurea e o mais irracional dos n´ umeros reais.Para mostrar que este n´ umero β tem a expans˜ ao em frac˜ oes con-tınuas acima basta observar que β satisfaz a equac˜ ao

1 +1

β = β.

Vamos agora apresentar o resultado mais importante desta secaoe que e apresentado de maneira resumida em [Au].

Teorema 3.3. Suponha que l, a distˆ ancia media entre ´ atomos, seja irracional para uma certa configurac˜ ao minimal uii∈Z, ou seja,uii∈Z satisfaz

(ui − ui+1) + (ui − ui−1) = −λV ′(ui) (mod1). (3.8)

e ainda e mınima no sentido da Definic˜ ao 51, Capıtulo 3.Ent˜ ao existe f mon´ otona crescente tal que

ui = f (il + α) (mod1).

a) Se f e descontınua, o conjunto das descontinuidades e denso.b) Se o n´ umero l e Diofantino, ent˜ ao existe λcrıtico(l) tal que

para λ < λcrıtico(l) a func˜ ao f e contınua.



69

1.6 1.625 1.65 1.675 1.7 1.725

0

0.5

1

1.5

2

1.7 1.8 1.9 2 2.1 2.2 2.3

0

0.25

0.5

0.75

1

1.25

1.5

1.75

1.94 1.96 1.98 2 2.02 2.04 2.06

0.85

0.9

0.95

1

1.05

1.1

1.15

2.275 2.3 2.325 2.35 2.375 2.4

0

0.5

1

1.5

2




1.06 1.08 1.1 1.12 1.14

0

0.5

1

1.5

2

0.96 0.98 1 1.02 1.04

0

0.5

1

1.5

2

0.86 0.88 0.9 0.92 0.94

0

0.5

1

1.5

2

1 1.25 1.5 1.75 2 2.25

p

0

0.5

1

1.5

2

t h e t a

A diferenciabilidade de f vai depender da diferenciabildade de V e tambem do valor λ. Dependendo de λ, em alguns casos f e continuamas nao e diferenciavel, em alguns casos f e apenas diferenciavel de

classe C k

e em alguns casos f e analıtica.E usual e mais pratico, em vez de dizer que existe f como acima,

dizer que existe g tal que

ui = f (il + α) = (il + α) + g(il + α). (3.9)

A existencia de f e claramente equivalente a existencia de g. Va-mos a seguir mostrar que existe tal g.



71

Figura 3.2:

Observacao 3.2. No caso de haver uma func˜ ao continua f , associ-

ado a um certo valor l irracional, as iterac˜ oes da aplicac˜ ao padr˜ ao T a partir de um ponto inicial ( p0, u0) (ou seja u0, u1) v˜ ao determinar um arranjo ui denso (mod 1) em [0, 1], com inclinac˜ ao media l e tal que a correspondente ´ orbita associada T n( p0, u0) = ( pn, un) deter-mina atraves do conjunto dos seus pontos de acumulac˜ ao em R2 uma curva de Jordan fechada no espaco de fase ( p, u). Estas curvas s˜ aochamadas de curvas KAM. O exemplo de uma curva KAM aparece nas Figuras 3.3 e 12.12.

Vamos explicar ao leitor como determinar a curva KAM em [0, 1]×[0, 1] no caso acima descrito. Ora ( pn, un) = (un − un−1, un), logo

( pn, un) = (f (nl + α) − f (nl + α − l), f (nl + α)).Logo, ( pn, un) (mod 1) esta sobre a curva

(f (u) − f (u − l) (mod1) , f (u) (mod1)).

Se l e irracional, il + α determina um conjunto denso (mod 1)de pontos no intervalo (0, 1) e portanto, como afirmamos, o conjuntodos pontos de acumulacao de (un, pn) (mod 1) determina a curva

(f (u) − f (u − l) (mod1) , f (u) (mod1)) , u ∈ (0, 1).

Nem sempre a um valor irracional l vai corresponder uma curvaKAM.

Quando f nao e continua (caso a) do Teorema 3.3, Capıtulo 3),fica entao determinado pelo fecho da orbita T n( p0, u0) um conjunto“ralo”tipo Cantor (tambem chamado de conjunto de Aubry-Mather)conforme mostra Figura 2.3.




Demonstracao do item b) do Teorema 3.3: Nao vamos daruma demonstracao completa do item b) do Teorema 3.3, mas apenas

analisar o problema em primeira aproximacao. Vamos considerar λpequeno (λ < λcrıtico) e l Diofantino. Neste caso existira f continuae nosso objetivo a seguir e dar uma ideia aproximada porque talpropriedade e verdadeira (referimos o leitor a [He], [LC], [Ba] e [MF]para uma demonstracao completa).

Vamos ver como aparece de maneira natural a condicao do numerol ser Diofantino no problema em consideracao. Substituindo ui =il + α + g(il + α) na equacao (ui − ui+1) + (ui − ui−1) = −λV ′(ui)obtemos

−λV ′(ui) = il + α + g(il + α) − ((i + 1)l + α)

−g((i + 1)l + α) + il + α + g(il + α) − ((i − 1)l + α) − g((i − 1)l + α) =

2g(il + α) − g(il + α + l) − g(il + α − l).

Desejamos saber se existe uma g analıtica (ou continua ao menos)satisfazendo a expressao acima

−λV

′

(ui) = 2g(il + α)

−g(il + α + l)

−g(il + α

−l) (3.10)

Nosso procedimento sera tentar descobrir que tipo de equacaodeve satisfazer tal g na variavel u.

l e irracional, logo os numeros da forma il+α ∈ Z determinam umconjunto denso em [0, 1) (mod 1) conforme foi visto na secao anterior.

Observacao 3.3. No caso geral (λ > λcrıtico) , nem sempre para um arranjo uii∈Z crıtico e verdade que os ui s˜ ao densos no inter-valo [0,1] (embora o conjunto dos il + α seja denso em [0,1] se l e

irracional).Isto se deve do fato que |un+1 − un| ≤ l + 2 (ver Teorema 3.1) e

da equac˜ ao (3.2)

λV ′(ui) = (ui+1 + ui−1) − 2ui ≤ 2(l + 2),

logo

V ′(ui) ≤ 2(l + 2)

λ.



73

Portanto, se λ for grande, V ′(ui) vai poder assumir apenas valores pequenos. Seja z tal que V ′(z) = 0, ent˜ ao somente uma pequena

vizinhanca A = u|V ′(u) <

4l

λ de z poder´ a ser visitada pela ´ orbita uii∈Z.Sendo assim, neste caso, o conjunto dos ui n˜ ao ser´ a denso em

[0, 1). Em muitos destes casos o fecho do conjunto dos ui (mod 1)e um conjunto tipo Cantor de medida zero. Neste caso o raciocınioque faremos a seguir, usando series de Fourier n˜ ao se aplica.

No que segue e essencial assumir que os ui (mod 1) sejam densosem [0,1), e isto ocorre quando λ < λcrıtico.

A equacao (3.10) para g em primeira aproximacao e dada por

λV ′

(u) = 2g(u) − g(u + l) − g(u − l). (3.11)

A primeira aproximacao resulta de supor que g(il + α) e pequenoe portanto que ui seja aproximadamente igual a il + α (pois ui −(il + α) = g(il + α)). Como os ui sao densos, podemos substituirna equacao (3.10) os ui e os il + α por u ∈ [0, 1) e obter assim aequacao para g dada por (3.11). Esta aproximacao e verdadeiramentemuito grosseira, mas o esquema da demonstracao matematica comecaresolvendo a equacao em primeira aproximacao e depois resolvendouma sequencia de melhores aproximacoes da equacao (3.10) (ver [H]).Nao demonstraremos esta parte mais sofisticada do teorema aqui enos contentaremos apenas em entender a questao da primeira apro-ximacao. Desta maneira nao entraremos em questoes de dificuldadetecnica bastante grande.

Com as hipotese acima em mente, vamos proseguir na analise daequacao (3.9) para g em primeira aproximacao, ou seja da equacao(3.11) para g.

Expandindo V ′ em Serie de Fourier, obtemos

V ′(u) =∞

m=−∞V mei2πmu.

Vamos tentar obter g em Serie de Fourier

g(u) =∞

m=−∞gmei2πmu.




Substituindo esta expressao na equacao (3.11), obtemos

g(u) = −λ2

∞m=−∞

V m(1 − cos2πml) ei2πmu. (3.12)

Observe a existencia de pequenos denominadores na equacao aci-ma. Isto porque o termo no denominador do quociente de cada termoda serie acima vai ficar proximo de zero, pois cos 2πml vai estar, paracertos valores de m, muito proximo de 1 (isto segue do fato que oconjunto ml,n ∈ Z e denso (mod 1) em [0,1]). Sendo assim nao hagarantia de que para todos valores de u a serie formal (3.12) definida

acima convirja. Note no entanto que V m tambem vai a zero e podemhaver compensacoes do denominador e numerador de cada termo daserie (3.12).

Se uma serie converge absolutamente, ela converge. Sendo assim,uma condicao suficiente para convergencia da serie (3.12) acima e V m

1 − cos(2πml)

<K

m1+B(3.13)

K , B > 0, ou seja, V m1 − cos2πml

1/2 <K

m1+B2

. (3.14)

Ou seja, neste caso, o denominador de cada termo da serie podeser pequeno, mas V m e menor ainda.

Observacao 3.4. Note que a condic˜ ao suficiente acima descrita,exige apenas que na ´ ultima express˜ ao 1+B

2 > 12 . A seguir vamos mos-

trar que tal propriedade e verdadeira para certos n´ umeros l do tipoDiofantino.

Quando 2πml est´ a pr´ oximo de 2π(mod 1), ent˜ ao pela F´ ormula de Taylor

(1 − cos2πml) ∼ 1

24π2(lm − n)2

onde n e o inteiro mais pr´ oximo de lm (estamos tomando a f´ ormula de Taylor em torno de 2πn).



75

Logo

V m

1 − cos(2πml) <V m

K (4π)2

(lm − n)2

.

Se assumirmos que V ′

(x) e analıtica complexa na faixa em que a parte imagin´ aria de x e menor que ρ, ent˜ ao existe k, ρ tal que

|V m| < k exp−2π|m|ρ (3.15)

Este resultado (3.15) pode ser facilmente obtido da formula in-tegral de Cauchy de Variavel Complexa (ver [N]), e considerandoum contorno retangular no plano complexo passando pelos pontos

−π ,π ,π + ρi,

−π + ρi. Integrando neste contorno e usando o fato que

as integrais em dois lados do retangulo cancelam, segue o resultado.Se V

′

(z) nao e analıtica, mas apenas ν vezes diferenciavel, entao

|V m| <k1

mν +1(3.16)

para uma certa constante k1 (ver [Fi] secao 2.8).Logo se V

′

e ν vezes diferenciavel,

V m

1 − cos2πml 12

≤k2

m(ν +1)/2(lm − n),

onde k2 e uma constante.Se l e numero Diofantino, de (3.6)l − n

m

> γ 1

mr, r > 2.

O valor de r sera especificado em breve.Logo

|lm − n| > γ 1

mr−1

ou seja

γ 1

|lm − n| < mr−1.

Concluindo

V m1 − cos2πml

12

< K 3mr−1

m(ν +1)/2= K 3

1

mν+12−r+1

,




para uma certa constante K 3.Tomando ν suficientemente grande

ν + 12

− r + 1 (3.17)

fica maior que 12 e assim, segundo a Observacao 3.4, segue que (3.14)

e verdadeira e assim a serie de Fourier da g que desejamos obterconverge.

Desta maneira, mostramos que sob certas condicoes existe solucaog contınua (em primeira aproximacao) da equacao (3.9) da curvaKAM (ver Observacao 3.2).

Vamos fazer uma analise mais delicada da questao acima consi-derada.

Estamos interessados em propriedades que sao validas para todol em um conjunto de medida total. Sendo assim, podemos assumirr = 2 + ε com ε pequeno (ver Observacao 3.1 antes do teorema)e concluir que para um conjunto de medida total de valores l (osnumeros Diofantinos), para valores λ menores que λcrıtico, existeuma curva KAM.

Neste caso, se V ′

for apenas tres vezes diferenciavel ja obtemos

de (3.17) (ver Observacao 3.4) que3 + 1

2− r + 1 = 2 − 2 − ε + 1 >

1

2

pois

ε <1

2

Sendo assim se V ′

for tres vezes diferenciavel, a condicao (3.13) evalida para tal g e a Serie de Fourier (3.12) de g converge, embora g

nao seja necessariamente diferenciavel (apenas contınua).A conclusao final e que se V

′

for tres vezes diferenciavel, entao g(ou seja f ) satisfazendo (3.8) e (3.9) existe e contınua e e expressaatraves da Serie de Fourier (3.9) acima descrita.

Se V ′ for mais de tres vezes diferenciavel entao as curvas obtidasserao diferenciaveis. Quanto maior a classe de diferenciabilidade deV ′, maior sera a classe de diferenciabilidade da g que define a curvaKAM.



77

E realmente um fato muito interessante o fato que propriedadestopologicas (a existencia de curvas KAM ou a existencia de conjuntos

de Cantor invariantes, conforme aparece no conjunto das 16 figuras)dependem de propriedades de diferenciabilidade de V ′ e tambem depropriedades numericas de l.

Considere um valor l de distancia media atomica fixado.Se V ′ for analıtica, entao pode-se mostrar que para pequenos va-

lores de λ, a funcao g e analıtica.Pode-se mostrar que para valores de λ um pouco maiores, a curva

invariante e diferenciavel, mas nao analıtica (mesmo que V ′ sejaanalıtica).

Para valores de λ moderadamente grandes, a aplicacao padraodefinida acima, vai apresentar exemplos em que a g acima consideradae realmente continua mas nao diferenciavel e este fato vai assegurara existencia de curvas KAM nao diferenciaveis.

Em todos os casos considerados acima, existe curva KAM.No conjunto das oito figuras, logo apos a Figura 1.14, para varios

valores de λ, plotamos varias orbitas no espaco de fase de variasaplicacoes padrao T = T λ associados ao potencial λV (u) = λ1

2(1 −cos2πu).

No conjunto das oito figuras antes da Figura 1.5 mostramos oespaco de fase de varias orbitas para T quando λ = 0. Note a seme-lhanca deste caso com o bilhar no cırculo do Exemplo 1.1, Capıtulo 3.

As figuras do meio das oito correspondem a valores nao muitograndes nem muito pequenos de λ.

A ultima figura do primeiro conjunto mostra o espaco de fase deT para o valor λ que fica localizado um pouco antes da destruicao daultima curva KAM. Esta curva tem numero de rotacao l = β a razaoaurea.

Um fato relevante a ser destacado e que a medida que aumen-

tamos λ mais e mais as g associadas a l Diofantinos vao deixandode ser contınuas. Este fenomeno e conhecido como a destruicao dascurvas invariantes em teoria KAM. A medida que estas curvas vaosendo destruidas, aparecem conjuntos ’ralos”tipo Cantor e tambemregioes bidimensionais invariantes (ver Figura 3.32). As regioes bidi-mensionais ocupam uma parte cada vez maior de [0, 1]× [0, 1] ate quefinalmente para valores muito grandes de λ elas parecem ocupar todoo [0, 1] × [0, 1] (ver ultima figura do conjunto dos primeiros oito).




Figura 3.3:

As dezesseis figuras foram obtidas da seguinte maneira, tomandoum ponto ( p0, u0) inicial ao acaso, iteramos 10,000 vezes a condicaoinicial e plotamos esta trajetoria de

( p0, u0), T ( p0, u0),...,T 10000( p0, u0).

Observacao 3.5. Note que muitas das evidencias numericas que aparecem nas figuras obtidas em computador n˜ ao correspondem sem-

pre a conclus˜ oes verdadeiras. Por exemplo, para λ grande, a ´ ultima figura do conjunto das oito primeiras, mostra que aparentemente osistema e erg´ odico quando restrito a uma regi˜ ao bidimensional (es-cura) de ´ area positiva. Poderia ocorrer que certas ´ orbitas ficam encer-radas em regi˜ oes bidimensionais invariantes muito pr´ oximas da pr´ o-pria ´ orbita. O que se assemelha a uma ´ orbita que parece ocupar den-samente o espaco de fase, na verdade seria apenas um ponto elıptico(ver definic˜ ao na ´ ultima sec˜ ao do texto, Definic˜ ao 12.4) de perıodo



79

muito grande. Este fato n˜ ao poderia ser percebido pela resoluc˜ ao docomputador que gerou tais figuras. Tal situac˜ ao que parece ins´ olita,

de fato corre com alguns parˆ ametros da aplicac˜ ao “padr˜ ao”(ver [Du]).As figuras obtidas de simulac˜ oes no computador podem ser de grande valia no entendimento da riqueza de fenˆ omenos que aparecem num sistema mecˆ anico. Note que a Figura 1.8 parece descrever a exis-tencia de pontos elıpticos. Elas por si s´ o, no entanto, nao asseguram a veracidade matem´ atica do fenˆ omeno que parecem descrever.

Conclusao: Considere um potencial V analıtico. Para um valorpequeno de λ, nao existem mais curvas invariantes para T com l ra-

cional. Elas sao destruidas e dao lugar a orbitas periodicas. Naoexistem tambem curvas com l irracional nao Diofantino. Subsistemvarias curvas KAM com l Diofantino, mas a medida que aumenta-mos λ, mais e mais destas curvas vao sendo destruidas, dando razaoao aparecimento de conjuntos fractais (muito pequenos, quase im-perceptiveis) e a regioes bidimensionais invariantes. Quando umacurva KAM e destruida, aparece em geral uma sequencia alternadade pontos periodicos elıpticos e hiperbolicos (ver ultima figura do se-gundo conjunto). Aparecem assim pontos hipebolicos que geram as-sim um conjunto tipo ferradura (ver [R02] [Ka ][PM]). A secao 6.3 em[DL] descreve este fenomeno. Entremeado neste conjunto, aparecem“ilhas elıpticas”. Estas “ilhas elıpticas” em torno dos pontos elipti-cos, por sua vez, possuem curvas invariantes e cada um desta curvastem numero de rotacao (ou distancia media atomica) l em torno decada ponto elıptico. Estas curvas, por sua vez, se tem numero derotacao l (em torno do ponto elıptico) racional ou nao Diofantino,logo sao destruidas ao aumentar o parametro λ . Restam as cur-vas (em torno deste ponto elıptico) com l Diofantino, as quais vaosendo destruidas a medida que o parametro λ aumenta criando novas

sequencias de pontos hiperbolicos e elıpticos e assim por diante. Paravalores de λ muito grande, aparentemente, so existe uma regiao bidi-mensional invariante, ou seja a probabilidade uniforme P e ergodicopara T . Dizemos aparentemente, por causa da Observacao 3.5 acima.

Existe uma conjectura que diz que para valores λ grandes, o conjunto de tais λ que determinam T = T λ nao ergodica, e muito pequenoem termos da medida uniforme em λ ∈ R (ver [Du] para maiores con-sideracoes a respeito do assunto). Este resultado implicaria entao que




para λ grande, a maioria das transformacoes T seria ergodica para aProbabilidade uniforme.

A evolucao do espaco de fase com o parametro λ descrita acimae o que se chama de fenomeno KAM.A destruicao das curvas invariantes acima descritas, correspondem

a destruicao de toros invariantes em torno de pontos elıpticos deaplicacoes de Poincare de primeiro retorno, conforme foi descrito nofim da Secao 7, Capıtulo 1 [L].

Aplicacoes do tipo padrao formam uma classe mais geral de apli-cacoes denominadas de tipo “twist”ou tambem chamadas “aplicacoesque giram para a direita”.

Esta classe de aplicacoes e objeto de intenso estudo nos ultimosanos (ver [MF] e [M2]).

Definicao 3.7. Seja T : [0, 1] × [0, 1] → [0, 1] × [0, 1], obtida a partir de uma func˜ ao geradora S (x, X ), dizemos que T (x, y) e do tipo que gira para a direita, se T = (T 1, T 2), e existe C > 0 tal que

C <∂T 1∂y

< C −1. (3.18)

Tal T preserva ´ area (ou seja, preserva dxdy.Para aplicacoes do tipo acima podemos considerar o problema

analogo: determinar as q i onde T (q 0, p0) = (q i, p1) tais que se q 0,q 1, q 2,...,q n sao sucessivas iteradas na variavel q de uma orbitaT j(q 0, p0) entao para q 0, q n fixos a funcao

A(x1, x2,...,xn−1) =

= S (q 0, x1) + S (x1, x2) + ... + S (xn−2, xn−1) + S (xn−1, q n),

A : E n−1 → R tem (q 1, q 2,...,q n−1) como ponto crıtico (ou mınimo),etc....

E facil ver que a aplicacao T definida por (3.3) gira para a direitapois ∂T 1

∂u = λV ′′

(u) > 0 e e obtida atraves de uma funcao geradoraS (q, Q).

Exemplo 3.3. (Bilhares convexos) Considere como na sec˜ ao ante-rior a ac˜ ao S (ui, ui+1) = |ui−ui+1|, ou seja a distˆ ancia entre o ponto



81

ui e ui+1 no bordo do bilhar, e a ac˜ ao total de n a m como a soma

mi=n S (ui, ui+1). As trajet´ orias do bilhar determinam configurac˜ oes

crıticas para a ac˜ ao total. A aplicac˜ ao T que determinamos para obilhar convexo e portanto an´ aloga a T que estamos considerando na presente sec˜ ao.

O difeomorfismo T do bilhar convexo e a aplicac˜ ao induzida peloprimeiro retorno ao bordo do bilhar convexo. A aplicac˜ ao T preserva ´ area como vimos na Proposic˜ ao 17, Capıtulo 3 [L]. ´ E f´ acil mostrar que tal T satisfaz (3.18) (ver [LC] e [CRZ] para prova). Logo, utilizando a S acima, a transformac˜ ao T induzida pelas batidas do bilhar no bordode um bilhar convexo define uma aplicac˜ ao que gira para a direita.

Seja T : [0, 1] × [0, 1] → [0, 1] × [0, 1], obtida a partir de umafuncao geradora S (x, X ), dizemos que T (x, y) e do tipo que gira paraa esquerda, se T = (T 1, T 2), e existe C > 0 tal que

−C −1 <∂T 1∂y

< −C.

No caso do bilhar do Sinai (ver definicao na secao 1) se conside-rarmos a acao S (q, Q) = |q − Q| obteremos uma funcao T que girapara esquerda.

Esclarecemos ao leitor que a teoria em que ”minimizamos

S (q 0, x1) + S (x1, x2) + ... + S (xn−2, xn−1) + S (xn−1, q n)

para aplicacoes que giram para a direita”e a mesma teoria em que”maximizamos


para aplicacoes que giram para a esquerda”(ver [LC]).Note no entanto que a teoria em que ”minimizamos


para aplicacoes que giram para a esquerda”e diferente a teoria emque ”minimizamos





para aplicacoes que giram para a direita”. No primeiro caso estare-mos localizando conjuntos ”proximos”de pontos de sela e no segundo

conjuntos ”proximos”de pontos elıpticos. Na ultima figura do pri-meiro conjunto de oito vemos uma alternancia de pontos elıpticos epontos hiperbolicos em cada anel. Fixado uma aplicacao T que girapara a direita ”minimizar”ou ”maximizar”S vai determinar que tipode conjunto estamos tentando encontrar. As curvas KAM aparecemapenas no problema em que minimizamos S .

Sendo assim no caso do bilhar do Sinai (ver definicao na secao1) e mais interessante considerar a acao S (q, Q) = −|q − Q| obtendoassim uma funcao T que gira para direita.

Dada uma orbita periodica de um sistema Hamiltoniano, se aaplicacao de primeiro retorno T tem um ponto fixo elıptico, em geralesta T e localmente uma aplicacao que gira para a direita. Referimoso leitor para [M2] para uma prova deste fato.

A teoria acima possui uma extensao para lagrangianos periodicose mais recentemente foi extendida para lagrangianos Autonomos. Oleitor pode encontrar um texto cobrindo tais assuntos em [CI] e [Fat].

Existe tambem uma teoria analoga para transformacoes expan-sivas e sistemas tipo Anosov (ver [CLT]) em que se considera entreoutras coisas o expoente de Lyapunov.

Sendo assim, esperamos ter convencido ao leitor da importanciado entendimento dinamico das aplicacoes que giram para a direi-ta. Este entendimento possibilitaria a melhor compreensao de variosproblemas importantes da Mecanica Classica. Muito trabalho aindasera requerido para chegar ao entendimento matematico completo dadinamica de tais aplicacoes.

Exercıcios

1. Mostre que a transformacao T associada ao bilhar, consideradana Secao 11, e do tipo que gira para a esquerda.

2. Mostre que os numeros Diofantinos tem probabilidade total nareta.



Capıtulo 4

Formas Diferenciais emVariedades

Nesta secao vamos apresentar de maneira resumida as principais pro-

priedades das formas diferenciais em variedades diferenciaveis, queserao necessarias para o entendimento da proxima secao que analisarao formalismo simpletico. Referimos a [MC1] para o leitor que desejaruma exposicao mais completa do assunto abordado nesta secao.

O objetivo de considerar formas diferenciais como faremos a se-guir, sera apresentar no futuro (ver proxima secao) uma versao daMecanica Clssica que seja intrınseca, isto e, que seja definida semapelo a coordenadas locais. Lembre que, por exemplo, para definiro campo Hamiltoniano usamos a estrutura do R2n (necessitamos de

variaveis q e p separadas) de maneira essencial. Muitas vezes emproblemas fısicos concretos, nao e natural supor que o sistema emconsideracao seja um subconjunto do R2n. Isto vai nos conduzir aoconceito de variedade diferenciavel. Para definir o campo Hamiltoni-ano necessitaremos tambem do conceito de formas diferenciais.

Dado p ∈ Rn, chamaremos de espaco tangente a R

n em p, edenotaremos Rn p = (T Rn) p, o conjunto de todos os vetores tangentesv do Rn, cuja origem esta localizada no ponto p.

83



84 [CAP. 4: FORMAS DIFERENCIAIS EM VARIEDADES

Mais precisamente, v ∈ Rn p determina a classe de todas as curvasγ (t) ∈ Rn tal que γ (0) = p e γ ′(0) = v.

Rn

p e um espaco vetorial, e seu dual sera (R

n

p )∗, isto e, o conjuntode todos as transformacoes lineares f : Rn p → R.

Definicao 4.1. Uma k-forma w em Rn p e por definic˜ ao uma func˜ aodo tipo

w : Rn p × Rn p × · · · × R

n p

k vezes

→ R

tal que w e linear em cada coordenada.A forma w e dita alternada se ∀ i < j,

w(v1, v2,...,vi,...,vj ,...,vk) = − w(v1, v2,...,vj ,...,vi,...,vk).

Denotaremos para cada p ∈ Rn por Ωk(Rn

p ), o conjunto das func˜ oes k-lineares alternadas em Rn p tomando valores reais.

Note que se houver repeticao de um elemento v na k-upla, entao

w(v1, v2,...,v,...,v,..,vk) = − w(v1, v2,...,v,...,v,...,vk)

e portanto w(v1, v2,...,v,...,v,...,vk) = 0.

Exemplo 4.1. Em R3 a 3-forma w tal que w(v1, v2, v3) e o de-terminante da matriz que tem como colunas (v1, v2, v3) e alternada.Por exemplo, esta 3-forma satisfaz w(v1, v2, v3) = −w(v2, v1, v3) =w(v2, v3, v1).

Exercıcio: Mostre que se v1 e combinacao linear de v2, v3,...,vn,isto e, v1 =

ki=2 αivi, entao w(v1, v2,...,vn) = 0. Em particular

para uma 2-forma w(v, v) = 0.

Este ultimo conjunto Ωk(Rn p ) com a operacao de soma de funcoes,e multiplicacao por escalar definidas de maneira usual, ((f + g)(x) =f (x) + g(x) e (cf )(x) = cf (x), ∀x ∈ Rn p ), e um espaco vetorial.

Exemplo 4.2. Seja dx2 : R3 → R a projec˜ ao na segunda coordenada,

dx2(y1, y2, y3) = y2.

Ent˜ ao, dx2 ∈ R3∗ p , para qualquer p ∈ R3.



85

As transformac˜ oes lineares dxi : Rn → R, tal que

dxi(y

1, y

2,...,y

n) = y

i

s˜ ao transformac˜ oes (ou funcionais) lineares, que formam uma base para Ω1(Rn p ).

Observacao 4.1. Ω1(Rn p ) = (Rn p )∗.

Note que dxi satisfaz dxi(ej) = δ i,j , i, j = 1, 2,...,n, onde δ i,j = 0se i = j e δ i,j = 1 se i = j.

Definicao 4.2. Uma 1-forma ou forma exterior de grau 1 em um aberto A do Rn, e uma aplicac˜ ao ω definida em A ⊂ Rn tomandovalores em Ω1(Rn p ), que associa a cada ponto p ∈ A ⊂ R

n, uma func˜ ao linear ω( p) : Rn

p → R.Como dx1, dx2,...,dxn e base do espaco das transformac˜ oes linea-

res, ω( p) poder´ a ser escrito como:

ω( p) = a1( p)dx1 + a2( p)dx2 + ... + an( p)dxn.

Se cada ai : A

⊂Rn

→R for diferenciavel

∀ p

∈A

⊂Rn, diremos

que ω e uma 1-forma diferenciavel ou forma exterior diferenciavel degrau 1.

Por abuso de notacao, falaremos de uma forma diferencial em Rn

quando nos referirmos a uma 1-forma diferencial sobre um abertoA ⊂ R

n.

Definicao 4.3. Se ϕ1, ϕ2, ..., ϕk, s˜ ao 1-formas lineares, podemos obter um elemento

ϕ1 ∧ ϕ2 ∧ · · · ∧ ϕk

de Ωk(Rn p ), definindo:

(ϕ1 ∧ ϕ2 ∧ · · · ∧ ϕk)(v1, v2, . . . , vk) = det([ϕi(vj)]).

Segue das propriedades do determinante, que (ϕ1 ∧ ϕ2 ∧ · · · ∧ ϕk)e k-linear, alternada. E facil ver que (ϕ1 ∧ · · · ∧ ϕk) ∈ Ωk(Rn p ).

Em particular (dx1) ∧ · · · ∧ (dxk) ∈ Ω(Rn p ). Denotaremos (dx1) ∧· · · ∧ (dxk) por (dx1 ∧ · · · ∧ dxk).




Proposicao 4.1. O conjunto (dxi1 ∧ dxi2 ∧ · · · ∧ dxik), i1 < i2 <· · · < ik, onde ij ∈ 1, 2, . . . , n, forma uma base para Ωk(Rn p ).

Demonstracao: Primeiramente veremos que os elementos desteconjunto sao linearmente independentes. Suponha que

i1<···<ikai1···ikdxi1 ∧ · · · ∧ dxik = 0.

Considere fixado j1 < ... < jk, ji ∈ 1, 2, . . . , n, tal que o corres-pondente aj1···jk nao seja nulo. Entao para qualquer k-upla de ındicesi1 < ... < ik, dxi1 ∧ · · · ∧ dxik aplicado a (ej1 , . . . , ejk) resulta ser

(dxi1 ∧ · · · ∧ dxik)(ej1 , . . . , ejk) =

= det

dxi1(ej1) dxi1(ej2) · · · dxi1(ejk)...

......

...dxik(ej1) dxik(ej2) · · · dxik(ejk)

.

Lembramos que

dxi(ej) =

0, se i = j1, se i = j

Logo (dxj1 ∧ · · ·∧dxjk)(ej1 , . . . , ejk) = 1 e portanto aj1,...jk(dxj1 ∧· · · ∧ dxjk)(ej1 , . . . , ejk) = aj1,...,jk .

Mantendo-se fixo (ej1 , . . . , ejk) e fazendo-se todas as escolhas pos-sıveis (diferentes desta) para i1 < i2 < · · · < ik, il ∈ 1, 2, . . . , n,obteremos:

−aj1j2···jk =∗

i1<···<ikai1···ik(dxi1 ∧ · · · ∧ dxik)(ej1 , . . . , ejk),

onde o ∗significa que evitamos (i1,...,ik) = ( j1, . . . jk) no somatorioacima.

Note agora que se (i1, i2, · · · , ik) e diferente de ( j1,...,jk) entao

(dxi1 ∧ · · · ∧ dxik)(ej1 , . . . , ejk) = 0.

Logo,i1<···<ik

ai1···ik(dxi1 ∧ · · · ∧ dxik)(ej1 , . . . , ejk) = 0 ⇒ aj1···jk = 0.



87

Obtivemos portanto uma contradicao.Logo o conjunto (dxi1 ∧ dxi2 ∧ · · · ∧ dxik) p, i1 < i2 < · · · < ik,

onde ij ∈ 1, 2, . . . , n, e linearmente independente em Ωk

(Rn

p ).Mostraremos agora que se f ∈ Ωk(Rn p ), entao f e uma combinacaolinear da forma:

f =

i1<···<ikai1···ikdxi1 ∧ · · · ∧ dxik .

Para vermos isto, basta definirmos ai1···ik = f (ei1 , . . . , eik) (lem-bramos que f e k-linear alternada).

Definicao 4.4. Uma k-forma (ou forma exterior de grau k) em um aberto A, A ⊂ R

n (k ≥ 1) e uma aplicac˜ ao ω que a cada p ∈ A ⊂ Rn

associa ω( p) ∈ Ωk(Rn p ).Como vimos na ´ ultima proposic˜ ao, ω pode ser escrito como:

ω( p) =

i1<···<ikai1···ik( p)(dxi1 ∧ · · · ∧ dxik),

ij ∈ 1, 2, . . . , n onde ai1···ik : A ⊂ Rn → R.

Se estas func˜ oes ai1···ik forem diferenci´ aveis, ω e chamada uma k-forma diferenci´ avel.

Por abuso de linguagem, as k-formas sobre abertos A do Rn seraochamadas de k-formas diferenciais em R

n.

Observacao 4.2. A k-upla (i1, . . . , ik), i1 < · · · < ik ser´ a indicada por I , e a notac˜ ao a ser usada a partir de agora ser´ a:

ω = I aI dxI ,

dxI = dxi1 ∧ · · · ∧ dxik .Convenciona-se que uma 0-forma diferenci´ avel em Rn e uma func˜ ao

diferenci´ avel f : A ⊂ Rn → R.

Se ω e ϕ s˜ ao duas k-formas,

ω =I

aI dxI , ϕ =I

bI dxI ,




podemos definir a soma:

ω + ϕ = I

(aI + bI )dxI

e a multiplicac˜ ao de ω por escalar c ∈ R

cω =I

c aI dxI .

Estas propriedades determinam que o conjunto das k-formas di-ferenciais em A aberto do Rn e um espaco vetorial.

Definicao 4.5. Se ω e uma k-forma e ϕ uma s-forma, podemos definir uma operac˜ ao chamada produto exterior ω ∧ ϕ, obtendo uma k + s-forma.

Se

ω =I

aI dxI , I = (i1, . . . , ik) k-forma

ϕ = J bJ dxJ , J = ( j1, . . . , js) s-forma .

Por definic˜ ao,

ω ∧ ϕ =I,J

aI bJ dxI ∧ dxJ ,

onde dxI ∧ dxJ = dxi1 ∧ ... ∧ dxik ∧ dxj1 ∧ ... ∧ dxjs.

Note que esta definicao e compatıvel com a Definicao 4.3.

Por exemplo, (2dx1+5dx3)∧(5dx2+4dx3) = 10dx1∧dx2+8dx1∧dx3 − 25dx2 ∧ dx3.

Proposicao 4.2. Se ω e uma k-forma, ϕ uma s-forma e θ uma r-forma, teremos:

(a) (ω ∧ ϕ) ∧ θ = ω ∧ (ϕ ∧ θ)

(b) (ω ∧ ϕ) = (−1)ksϕ ∧ ω

(c) ω ∧ (ϕ + θ) = ω ∧ ϕ + ω ∧ θ quando r = s.



89

Demonstracao: (a) e (c) sao consequencias das definicoes acima.Para o item (b), sejam ω =

I aI dxI e ϕ =

J bJ dxJ , onde I =

(i1, . . . , ik) e J = ( j1, . . . , js)ω ∧ ϕ =

I,J

aI bJ dxi1 ∧ · · · ∧ dxik ∧ dxj1 ∧ · · · ∧ dxjs =

=I,J

aI bJ (−1)dxi1 ∧ · · · ∧ dxik−1 ∧ dxj1 ∧ dxik ∧ dxj2 ∧ · · · ∧ dxjs =

=I,J

(−1)kaI bJ dxj1 ∧ dxi1 ∧ dxi2 ∧ · · · ∧ dxik ∧ dxj2 ∧ · · · ∧ dxjs ,

fazendo a mesma inversao para dxj2 , dxjn , . . . , d xjs , ao final teremosrealizado este raciocınio s-vezes, teremos s-vezes (−1)k a frente deaI bJ , ou seja, (−1)ks, portanto ϕ ∧ ω = (−1)ksω ∧ ϕ.

Note que uma n-forma diferenciavel w em um aberto A do Rn esempre da forma w(x) = c(x) dx1 ∧ dx2 ∧ ... ∧ dxn, onde c : A → R euma funcao diferenciavel.

Fixado x, para determinar c(x), basta tomar w(x)(e1, e2,...,en) =c(x), onde ei, i ∈ 1, 2,..,n e a base canonica do Rn.

Definicao 4.6. Seja f : A ⊂Rn

→ R

m

uma func˜ ao diferenci´ avel,ent˜ ao a derivada df p : Rn p → Rmf ( p) induz para cada ponto p ∈ A uma

transformac˜ ao linear f ∗ p : Ωk(Rmf ( p)) → Ωk(Rn p ) do seguinte modo:

dado w ∈ Ωk(Rmf ( p)), f ∗(w) = w1 ∈ Ωk(Rn p ) e tal que

w1(v1, . . . , vk) = f ∗ p (ω)(v1, . . . , vk) = ω(df p(v1), df p(v2), . . . , df p(vk)),

onde v1, v2, . . . , vk ∈ Rn p .Fazendo p variar em Rn, obtemos uma aplicac˜ ao f ∗ que leva k-

formas diferenciais do Rm em k-formas diferenciais do Rn.

Convenciona-se que f ∗(g) = g f se g e uma 0-forma do Rm.Enunciaremos a seguir algumas propriedades de f ∗.

Proposicao 4.3. Se f : A ⊂ Rn → Rm e diferenci avel ent˜ ao:

(a) f ∗(ω1 + ω2) = f ∗(ω1) + f ∗(ω2), onde ω1 e ω2 s˜ ao k-formas.(b) f ∗(ω1 ∧ ω2) = f ∗(ω1) ∧ f ∗(ω2) onde ω1 e ω2 s˜ ao 1-formas.(c) f ∗(gω) = f ∗(g)f ∗(ω) onde g e uma 0-forma do Rm e ω uma

k-forma do Rm.




Demonstracao:

(a) f ∗(ω1 + ω2)( p)(v1, v2, . . . , vk) =

= (ω1 + ω2)(f ( p))(df p(v1), . . . , df p(vk)) == ω1(f ( p))(df p(v1, . . . , df p(vk)) + ω2(f ( p))(df p(v1), . . . , df p(vk)) =

= f ∗(ω1)( p)(v1, . . . , vk) + f ∗(ω2)( p)(v1, . . . , vk).

(b) f ∗(ω1 ∧ ω2)( p)(v1, v2) = (ω1 ∧ ω2)f ( p)(df p(v1), df p(v2)) =

= det

ω1 f ( p)(df p(v1)) ω1 f ( p)(df p(v2))ω2 f ( p)(df p(v2)) ω2 f ( p)(df p(v2))

=

= det f ∗(ω1)( p)

(v1) f ∗(ω1)( p)

(v2)f ∗(ω2)( p)(v1) f ∗(ω2)( p)(v2)

=

= (f ∗(ω1)( p) ∧ f ∗(ω2)( p))(v1, v2).

(c) f ∗(gω)( p)(v1, . . . , vk) = (gω)(f ( p))(df p(v1), . . . , df p(vk)) =

= (g f )( p)f ∗(ω)( p)(v1, . . . , vk) = f ∗(g)( p)f ∗(ω)( p)(v1, v2, . . . , vk).

Estamos prontos agora para mostrar que a operacao f ∗ e equiva-

lente a substituicao de variaveis.Seja f : A ⊂ R

n → Rm uma funcao diferenciavel que associa

(x1, . . . , xn) a (y1, y2, . . . , ym) da seguinte maneira:

y1 = f 1(x1, . . . , xn)y2 = f 2(x1, . . . , xn)...ym = f m(x1, . . . , xn).

Seja ω = I aI dyI uma k-forma do Rm, usando a ultima pro-

posicao, temos que: f ∗(ω) = f ∗(I aI dyI ) =

I f ∗(aI )f ∗(dyi1) ∧

f ∗(dyi2)∧· · ·∧f ∗(dyik). Ora f ∗(dyi)(v) = dyi(df (v)) = d(yif )(v) =df i(v) e f ∗(aI ) = aI f = aI (f ), pois aI e uma o-forma (usamosdefinicao de f ∗ para 0-formas). Assim,

f ∗(ω) =I

aI (f 1(x1, . . . , xn), . . . , f m(x1, . . . , xn))df i1∧df i2∧···∧df ik



91

onde f i e df i sao funcoes de xj ,

df i =

nj=1

∂f i∂xjdxj ,

portanto aplicar f ∗ a ω equivale a substituir em ω as variaveis yi esuas diferenciais pelas funcoes xk e df (xk).

Vimos na proposicao anterior que a adicao comuta com a substi-tuicao de variaveis (f ∗(ω1 + ω2) = f ∗(ω1) + f ∗(ω2)) veremos agoraque o produto exterior de duas formas diferenciais quaisquer tambemcomutam com a substituicao de variaveis.

Na Secao 6, Capıtulo 3 [L], quando consideramos mudancas devariavel

F (x, y) = (X (x, y), Y (x, y)),

a expressao de uma forma W na variavel (X, Y ) era calculada navariavel (x, y). O Teorema 16 e a Proposicao 17, Capıtulo 3 [L],sao casos particulares da propriedade geral apresentada pela ultimaexpressao. Por exemplo, expressar a forma diferencial W = dX ∧ dY na variavel (X, Y ) atraves de outra forma diferenciavel w na variavel(x, y) corresponde a tomar w = F ∗(W ), isto e, w = F ∗(dX

∧dY ) =

(∂X∂x dx + ∂X∂y dy) ∧ (∂Y ∂x dx + ∂Y

∂y dy).

Exercıcio: No caso geral, dados abertos A, B do Rn,o difeomorfismof : A → B, e W (y) = c(y) dy1 ∧ ... ∧ dyn uma n-forma diferencialem B, entao a n-forma diferencial w = f ∗(W ) em A e dada porw(x) = c(f (x)) (det Df (x)) dy1 ∧ ... ∧ dyn = z(x) dy1 ∧ ... ∧ dyn. Istosegue do fato que w(e1, e2,..,en) = z(x).

Proposicao 4.4. Seja f : A ⊂ Rn → R

m uma aplicac˜ ao diferenci´ a-vel que a cada (x1, . . . , xn)

∈A

⊂Rn, associa

(y1, . . . , ym) = (f 1(x1, . . . , xn), . . . , f m(x1, . . . , xn))

∈ Rm ent˜ ao:(a) f ∗(ω∧ϕ) = f ∗(ω)∧f ∗(ϕ), onde ω e ϕ s˜ ao formas diferenciais

em Rm.(b) (f g)∗(ω) = g∗(f ∗(ω)), onde g : R p → R

n e uma aplicac˜ aodiferenci´ avel.




Demonstracao: Sejam ω =I aI dyI , ϕ =

I bJ dyJ .

Sabemos que: ω ∧ ϕ = I,J aI bJ dyI ∧ dyJ .

(a) f ∗(ω ∧ ϕ) = I,J aI (f 1, . . . , f m)bJ (f 1, . . . , f m)df I ∧ df J =f ∗(ω) ∧ f ∗(ϕ)

(b) (f g)∗(ω) =I aI ((f g)1, . . . , (f g)m)d(f g)I =

=I aI (f 1(g1, . . . , gn), . . . , f m(g1, . . . , gn))df I (dg1, dg2, . . . , d gn)

= g∗(f ∗(ω))

Dada uma 0-forma diferenciavel, ou seja, uma funcao diferenciavel,podemos obter uma 1-forma, efetuando a operacao de derivacao so-bre f . Vamos definir agora uma operacao sobre uma k-forma, a qualchamaremos de diferencial exterior, que associa esta k-forma a uma(k + 1)-forma.

Definicao 4.7. Se ω =I aI dxI e uma k-forma diferencial, a di-

ferencial exterior de ω ser´ a a ( k + 1)-forma diferencial definida da seguinte maneira:

dω =

I daI ∧ dxI .

Proposicao 4.5. (a) d(ω1 + ω2) = dω1 + dω2, ω1 e ω2 s˜ ao k-formas.

(b) d(ω1 ∧ ω2) = dω1 ∧ ω2 + (−1)kω1 ∧ dω2, ω1 uma k-forma e ω2

e uma s-forma.

(c) d(dω) = d2ω = 0.

(d) d(f ∗(ω)) = f ∗(dω), onde ω e uma k-forma em Rm e f : A ⊂Rn → R

m e uma aplicac˜ ao diferenci´ avel.

Observacao 4.3. O item (d) nos diz que esta operac˜ ao de tomar derivada independe das coordenadas que usamos para representar ω.

Demonstracao:

(a) Sejam ω1 =I aI dxI e ω2 =

I bI dxI duas k-formas e

ω1 + ω2 =I (aI + bI )dxI .

d(ω1+ω2) =I d(aI +bI )∧dxI =

I daI ∧dxI +

I dbI ∧dxI =

dω1 + dω2



93

(b) ω1 =I aI dxI uma k-forma e ω2 =

J bJ dxJ uma s-forma,

ω1 ∧ ω2 =

I,J aI bJ dxI ∧ dxJ

d(ω1∧ω2) = I,J d(aI bJ )∧dxI ∧dxJ = I,J daI bJ ∧dxI ∧dxJ +I,J aJ dbJ ∧ dxI ∧ dxJ =

= dω1 ∧ ω2 + (−1)kI,J aI dbJ (−1)k ∧ dxI ∧ dxJ = dω1 ∧ ω2 +

(−1)kω1 ∧ dω2.

(c) Demonstraremos este item usando inducao em k.Primeiramente provaremos a validade da assercao, para 0-formas.Seja f : A ⊂ R

n → R.

d(df ) = d ni=1

∂f ∂xi

dxi

=ni=1

d ∂f

∂xi

∧ dxi =

=ni=1

nj=1

∂ 2f

∂xi∂xjdxj ∧ dxi

=

=

i<j∂ 2f

∂xi∂xjdxj ∧ dxi +

i>j∂ 2f

∂xi∂xjdxj ∧ dxi = 0,

pois os coeficientes sao iguais e dxj ∧ dxi = −dxi ∧ dxj , portantod(df ) = 0.

Suponhamos agora, por hipotese de inducao, que tenhamosd(dω) = 0, para uma k-forma ω, mostraremos que o mesmo vale parauma (k + 1)-forma.

Toda a (k +1)-forma pode ser escrita como soma de (k +1)-formasdo tipo ω ∧ dxi. Pelo que provado no item (a), a soma comuta com adiferenciacao externa, portanto, temos que provar o item (c) apenas

para as (k + 1)-formas do tipo ω ∧ dxi.d(d(ω ∧ dxi)) = d(dω ∧ dxi + (−1)kω ∧ d(dxi)), ora xi : Rm → R

e uma 0-forma, logo d(dxi)) = 0, sendo assimd(d(ω ∧dxi)) = d(dω ∧dxi) = d(dω)∧dxi+ (−1)kdω ∧d(dxi) = 0,

pois d d(ω) = 0 por hipotese de inducao, e d(dxi)) = 0 tambem.

(d) Da mesma forma que fizemos no item (c), a demonstracaosera feita por inducao em k.

Provaremos o resultado inicialmente para uma 0-forma g : Rm → R.




f ∗(dg) = f ∗mi=1

∂g

∂yi dyi =

mi=1

∂g

∂yi

nj=1

∂f i∂xj dxj =

j

∂ (g

f )

∂xj dxj =

= d(g f ) = d(f ∗g).

Suponhamos agora que d(f ∗ω) = f ∗(dω), para ω uma k-formaprovaremos que este resultado e valido para uma k + 1-forma.

Toda a k + 1-forma e escrita como uma soma finita de formas dotipo ω ∧ dxi, mas tanto f ∗, como “d”, comutam com a soma (pro-posicoes anteriores), assim, temos apenas que provar este resultado

para k + 1-formas do tipo ω ∧ dxi.f ∗(d(ω ∧dxi)) = f ∗(dω ∧dxi+ (−1)kω ∧d(dxi)) = f ∗(dω ∧dxi) =

f ∗(dω) ∧ f ∗(dxi), mas por hipotese de inducao f ∗(dω) = d(f ∗(ω)).Portanto,

f ∗(d(ω ∧ dxi)) = d(f ∗(ω)) ∧ f ∗(dxi) =

= d[f ∗(ω) ∧ f ∗(dxi)] = d(f ∗(ω ∧ dxi)).

Definicao 4.8. A integral de uma k-forma diferenci´ avel w em Rn,sobre uma superfıcie k-dimensional S ⊂ R

n, parametrizada por uma ´ unica g(x1,...,xk), g : U ⊂ R

k → Rn, U simplesmente conexo, (tal superfıcie e dita simples conforme Definic˜ ao 12, Capıtulo 1) e por definic˜ ao

S w =

U wg(x)

∂g

∂x1,

∂g

∂x2,...,

∂g

∂xkdx1dx2...dxk

Esta definicao engloba todas as definicoes de integral de formadiferencial (integral de linha, de superfıcies, sobre abertos etc.) apre-sentadas na Secao 6, Capıtulo 3.

Observacao 4.4. Note que conforme o exercıcio proposto anterior-mente para uma n-forma diferencial

a(x) dx1 ∧ dx2 ∧ ... ∧ dxn



95

em Rn, e f : A ⊂ Rn → R

n vale que

f ∗x(a(x) dx1

∧...

∧dxn) = a(f (x)) (det Jac f )(x)dx1

∧...

∧dxn.

Deste modo se g1 : U 1 → S e g2 : U 2 → S forem duas cartas coordenadas para S , aplicando este resultado para f = g1 (g2)−1,segue da f´ ormula de mudanca de vari´ aveis que

U 1

wg1(x)

∂g1∂x1

,∂g1∂x2

,...,∂g1∂xk

dx1dx2...dxk =

U 2wg2(x)

∂g2∂x1

,∂g2∂x2

,...,∂g2∂xk

dx1dx2...dxk.

Logo, S

w independe da escolha da carta coordenada e e assim um conceito intrınseco.

Esta propriedade e similar a que foi considerada na Sec˜ ao 10,Capıtulo 3 [L], sobre integrais de superfıcies.

Exercıcio: Mostre que dado f : A ⊂ Rn → A ⊂ Rn e w k-forma

diferencial, entao f ∗(w) = w, se e somente se, para toda superfıcieS ⊂ A de dimensao k

S

w = S

f ∗(w).

Para a integral de uma forma diferencial sobre a superfıcie simplesS estar bem definida, devemos fixar uma orientacao sobre S (verCapıtulo 3 [L]).

Para integrar superfıcies k dimensionais nao simples, que sao ob-tidas atraves de varias cartas g, utilizaremos particoes da unidadeque serao apresentadas em breve (ver Definicao 4.25).

Este procedimento sera uma alternativa ao procedimento de co-lar superfıcies k dimensionais simples que foi desenvolvido na secaoCapıtulo 3 [L]. Este procedimento podera tambem ser utilizado paraintegrar formas diferenciais em variedades.

Note que uma n-forma em Rn e sempre da forma a(x)dx1 ∧ dx2 ∧

... ∧ dxn.

Definicao 4.9. Uma n-forma diferencial em Rn com a(x) ≥ 0 e chamada uma forma volume sobre Rn.




Figura 4.1:

Note que segue da definicao acima que para uma forma volumew = a(x)dx1 ∧ dx2 ∧ ... ∧ dxn em Rn, e para um aberto A ⊂ R

n A

w =

A

a(x)dx1dx2...dxn.

Vamos agora introduzir o conceito de variedade diferenciavel.Seja M um conjunto. Um sistema de coordenadas locais ou carta

local em M e uma aplicacao bijetiva f α : U α → f α(U α) de um sub-conjunto U α ⊂ M sobre um aberto f α(U α) ⊂ R

n.

Dizemos que n e a dimensao de f α : U α → f α(U α).Para cada p ∈ U α tem-se f α( p) = (x1( p),...,xn( p)). Os numerosxi = xi( p), i = 1,...,n sao chamados as coordenadas do ponto p ∈ M no sistema f α.

Definicao 4.10. Um atlas de dimens˜ ao n sobre um conjunto M e uma colec˜ ao U de sistemas de coordenadas locais f α : U α → R

n em M , cujos domınios U α cobrem M . Os domınios U α dos sistemas de coordenadas f α ∈ U s˜ ao chamados as vizinhancas coordenadas de U .



97

Definicao 4.11. Um conjunto M no qual existe um atlas de di-mens˜ ao n chama-se uma variedade de dimens˜ ao n. Em outras pala-

vras, M e uma variedade de dimens˜ ao n se, e somente se, cada pontox de M existe f α : U α → Rn carta local com x ∈ U α.

Usaremos a seguinte notacao: gα : V α → U α ⊂ M e a inversa def α : U α → V α ⊂ R

n. Logo V α e um aberto em Rn.

Sendo assim, um variedade M de dimensao n pode ser alternativa-mente definida por um atlas U cartas gα : V α → M , tal que ∪αgα(V α)cobre todo M e onde para todo α, V α e aberto de Rn.

Exemplo 4.3. Toda superfıcie M ⊂ Rm de dimens˜ ao n e uma va-

riedade de dimens˜ ao n.

Dados os sistemas de coordenadas locais f α : U α → Rm e f β :

U β → Rn no conjunto M , tais que U α ∩ U β = ∅, cada ponto p ∈

U α ∩ U β tem coordenadas xi = xi( p) no sistema f α e coordenadasyi = yi( p) relativamente ao sistema f β.

A correspondencia

(x1( p),...,xn( p)) ↔ (y1( p),...,yn( p))

estabelece uma bijecao ϕαβ = f β f −1α : f α(U α ∩ U β) → f β(U β ∩ U α)

que e chamada mudanca de coordenadas.As mudancas de coordenadas sao ditas C ∞ se elas sao de ClasseC k para todo k ∈ N. Todas as variedades, mudancas de coordenadas,funcoes etc., que consideraremos no texto serao assumidas ser declasse C ∞.

Definicao 4.12. Um atlas U de dimens˜ ao n sobre um conjunto M diz-se diferenci´ avel, de classe C ∞ ( k ≥ 1), se todas as mudancas de coordenadas ϕαβ = f β f −1

α , f α, f β ∈ U s˜ ao aplicac˜ oes de classe C ∞.

Como ϕαβ = (ϕβα)−1, e ϕβα e diferenciavel segue-se que os ϕαβsao, de fato, difeomorfismos de classe C ∞ (ver Figura 4.1). Em par-ticular, se escrevemos ϕαβ : (x1,...,xn) → (y1,...,yn), entao o deter-minante jacobiano

det

∂yi

∂xj

e nao nulo em todo ponto de f α(U α ∩ U β).




Definicao 4.13. Uma variedade diferenci´ avel, de dimens˜ ao n e classe C ∞ e um par ordenado (M, U ) onde M e um conjunto e U e um atlas

de dimens˜ ao n e classe C ∞ sobre M .Na maioria das vezes vamos omitir o U quando nos referimos a

uma variedade M .O espaco Rn e naturalmente uma variedade diferenciavel com um

atlas U com uma unica carta f α : U α = Rn → R

n, onde f α(x) = x.

Definicao 4.14. Uma variedade orient´ avel M e uma variedade diferenci´ avel que admite um atlas cobrindo toda a variedade e de tal jeito que as mudancas de carta coordenadas ϕαβ sempre satisfazem a propriedade que que

det

∂yi

∂xj

> 0.

Figura 4.2:

O conjunto de cartas que satisfazem tal propriedade e chamadode uma orientacao para a variedade. Quando falamos de uma varie-dade M orientavel, estamos implicitamente dizendo que fixamos umaorientacao em M , ou seja que fixamos um atlas como acima.



99

Exercıcio: O espaco Rn com o atlas U , constituıdo pelas cartas

f 1(x) = x e f 2(x) = 2x e uma variedade orientavel.

Exemplo 4.4. O Plano Projetivo P 2 e uma variedade diferenci´ avel de dimens˜ ao dois como veremos a seguir. O plano projetivo P 2 e oconjunto das retas r de R3 que passam pela origem (0,0,0) de R3.Uma tal reta e determinada por um ponto (x,y,z) = (0, 0, 0) de R3 e os pontos (λx,λy,λz), λ = 0, determinam a mesma reta. Portanto,P 2 e o espaco quociente de R3−(0, 0, 0) pela relac˜ ao de equivalencia que identifica (x,y,z) com (λx,λy,λz), λ = 0; os pontos de P 2, que s˜ ao retas r passando pela origem, ser˜ ao indicados por r = [x,y,z] =

(x1, y1, z1)

|tal que existe λ

= 0, tal que (x,y,z) = λ(x1, y1, z1)

.

Qualquer elemento (x1, y1, z1) ∈ [x,y,z] pode ser tomado comorepresentante da classe, isto e, [x,y,z] = [x1, y1, z1].

Definimos em P 2 subconjuntos U 1, U 2, U 3 por:

U 1 = [x,y,z]; x = 0,

U 2 = [x,y,z]; y = 0,

U 3 = [x,y,z]; z = 0

e aplicacoes gi : R2 → U i, i = 1, 2, 3, por:

g1(u, v) = [1, u , v],

g2(u, v) = [u, 1, v],

g3(u, v) = [u,v, 1]

onde (u, v) ∈ R2.Em termos geometricos, U 2 e o conjunto das retas de R3 que

passam pela origem e nao pertencem ao plano xOz.

Afirmamos que as funcoes

f α1 = g−11 , f α2 = g−1

2 , f α3 = g−13 ,

determinam um atlas C ∞ sobre P 2. Com efeito, cada aplicacao gi,i = 1, 2, 3, e evidentemente biunıvoca e

i

gi(R2) = P 2.




A ultima igualdade segue do fato que dado qualquer reta r, toman-do um ponto (x,y,z) sobre ela e supondo (sem perda de generalidade)

que x = 0, entao g1(y/x, z/x) = rResta mostrar que f αi(U i ∩ U j) e aberto em R2 e que f −1

αj f αie aı diferenciavel. Demonstraremos este fato para i = 1, j = 2; osoutros casos sao inteiramente analogos.

Os pontos de f α1(U 1 ∩ U 2) sao da forma (u, v), com u = 0, v = 0.Portanto f α1(U 1 ∩ U 2) e aberto em R

2 e

f α2 f −1α1 (u, v) = f α2 [1, u , v] = g−1

2

1

u, 1,

v

u

=

1

u,

v

u

e evidentemente diferenciavel, como querıamos.Logo, P 2 admite um atlas C ∞.Pode-se mostrar que o plano projetivo nao e uma variedade orien-

tavel (ver por exemplo [Li3]).Passaremos agora a estender as variedades diferenciaveis as nocoes

de Calculo diferencial que sao validas em abertos do Rn.Superfıcies diferenciaveis de dimensao 2 podem ser obtidas via um

processo de colagem a partir de abertos do R2 (ver Figuras 4.2 e 4.3).

Definicao 4.15. Seja S uma variedade diferenci´ avel de dimens˜ ao n.Uma func˜ ao ϕ : S → R e diferenci avel em p ∈ S se para alguma parametrizac˜ ao gα : V α → S , V α ⊂ IRn com p ∈ gα(V α), tem-se que ϕ gα : V α → R e diferenci avel no ponto g−1

α ( p).Diremos que ϕ e diferenci avel em S se e diferenci´ avel para todo

p ∈ S . A func˜ ao ϕ gα e chamada a express˜ ao de ϕ na parametriza-c˜ ao gα.

E claro que esta definicao independe da parametrizacao, pois segβ : V β

→S e outra parametrizacao, com p

∈gα(V α)

∩gβ(V β), entao

ϕ gβ = (ϕ gα) (g−1α gβ),

e assim ϕ gβ e diferenciavel, se e somente se, ϕ gα e diferenciavel(pois e composta de aplicacoes diferenciaveis).

Um caso particular importante da definicao acima e dado a seguir.

Definicao 4.16. Seja S uma variedade de dimens˜ ao n. Uma curva λ : I = (−ǫ, ǫ) ⊂ R → S e diferenci avel em t ∈ I se, para alguma



101

Figura 4.3:

parametrizac˜ ao gα : V α → S , com λ(t) ∈ gα(V α), tem que g−1α λ :

I → Rn e diferenci avel em t.

A curva g−1

α λ = f α λ e chamada a express˜ ao local de λ na parametrizac˜ ao gα.

A verificacao de que esta definicao independe da parametrizacaoescolhida e analoga a anterior.

Gostarıamos agora de definir a nocao de vetor tangente a umavariedade diferenciavel S , e aı encontramos a nossa primeira dificul-dade. Se a variedade S de dimensao n esta contida no meio ambienteRk, entao dada uma curva x(t) cuja imagem esta contida em S faz

sentido x(t + δt)

−x(t)

∈Rk. A seguir tomando

limδt→0

x(t + δt) − x(t) ∈ Rkδt

= v ∈ Rk,

obtemos o vetor tangente.Quando S e definida intrinsecamente, S nao e e nem esta contida

num espaco vetorial, logo x(t + δt) − x(t) ∈ Rk nao faz sentido.Nosso problema se reduz entao a definir de maneira alternativa o

vetor tangente a uma curva diferenciavel λ : I → S . Por exemplo,




quando S ⊂ R3 e superfıcie de dimensao 2, o vetor tangente de λ

e simplesmente o vetor velocidade λ′(t) de λ, como vetor de R3.

Como nao temos a estrutura ambiente deR3

, precisamos destacaruma propriedade caracterıstica do vetor tangente que nao dependado espaco ambiente.

Para isto, seja v um vetor de R2, com origem em p ∈ R2 e compo-nentes (α, β ). Escolha-se uma curva diferenciavel λ : I = (−ǫ, ǫ) →R2 com λ(0) = p e λ′(0) = v = (α, β ).

Se λ(t) = (u1(t), u2(t)), podemos escrever que

α = u′1(0),

β = u′2(0).

Observe-se agora que dada uma funcao ϕ, diferenciavel em umavizinhanca de p, podemos restringir ϕ a λ(t) e tomar a “derivadadirecional”de ϕ em relacao a v, isto e

d(ϕ λ)

dt

t=0

=

∂ϕ

∂u1

du1

dt+

∂ϕ

∂u2

du2

dt

t=0

=

= α ∂

∂u1t=0

+ β ∂

∂u2t=0

ϕ.

Desta maneira, a “derivada direcional segundo v”e um operadorL sobre funcoes diferenciaveis que so depende de v. Esta sera a pro-priedade que tomaremos no caso geral para definir o vetor tangentea uma curva.

O vetor v esta associado de maneira unica ao α e β que definemo operador L = Lλ sobre funcoes ϕ tomando valores reais

Lλ(ϕ) = L(ϕ) = α ∂ ∂u1

t=0

+ β ∂ ∂u2

t=0

ϕ.

Em outra palavras, optamos por determinar o vetor v por suaacao sobre funcoes diferenciaveis em vez de tomar o ob jeto geometricov ∈ Rk.

Note que o operador acima depende de α e β e nao da expressaoescolhida para λ (lembre que varias possıveis curvas λ tem a mesmatangente v = (α, β )).



103

Um vetor tangente sera considerado a seguir como um destes o-peradores L : D p → R obtidos a partir de um λ, agindo sobre D p, o

conjunto das funcoes ϕ diferenciaveis em p.Definicao 4.17. Seja λ : I → S uma curva diferenci´ avel em uma variedade diferenci´ avel S de dimens˜ ao n com λ(0) = p, e seja D po conjunto das func˜ oes ϕ : S → R, diferenci´ aveis em p. O vetor tangente a curva λ no ponto p e a func˜ ao real L = Lλ : D p → R tal que para cada ϕ ∈ D p,

L(ϕ) =d

dt(ϕ λ)

t=0

.

Um vetor tangente em p ∈ S e o vetor tangente de uma curva dife-renci´ avel λ : I → S , com λ(0) = p.

Muitas curvas distintas λ poderao determinar o mesmo operadorL = Lλ.

Denotaremos por T pS o conjunto de tais vetores tangentes, ouseja de tais operadores L. Algumas vezes, por abuso de linguagem,vamos denotar o vetor tangente L = Lλ por λ′(0), onde λ e um dos

λ tais que Lλ = L. Pode-se mostrar (ver consideracoes a seguir) queo espaco T pS de tais L = Lλ para diferentes λ, e um espaco vetorialde dimensao n.

Note que varios λ podem determinar um mesmo L = Lλ. No casode superfıcies de dimensao 2 em R

3, os λ que geram o mesmo L saoaqueles que determinam o mesmo vetor λ′(0) = v ∈ R

3. Isto seguedo fato que os α e β acima ficam neste caso determinados de maneiraunica a partir de v.

Algumas vezes, tais L da Definicao 4.17 serao tambem denotadospor v

∈T pS .

Fixada uma parametrizacao gα(u1, u2,...,un), e um ponto p ∈ S

usaremos a notacao

∂ ∂ui

0

∈ D p para denotar o operador L definido

pela curva

x(t) = gα(u1, u2,...,ui1 , ui + t, ui+1,...,un),

onde gα(u1, u2,...,un) = p. Note que x(0) = p.




Para mostrar que a nocao acima L = Lλ possui as proprie-dades usuais dos vetores tangentes, considere uma parametrizacao

gα : V α → S , com gα(0, 0,..., 0) = p.

Seja ϕ uma funcao diferenciavel em uma vizinhanca de p e supo-nhamos que ϕ gα se escreva como ϕ(u1, u2,...,un). Entao e claroque

λ′(0)(ϕ) =dϕ(u1(t), u2(t),...,un(t))

dt

t=0

=

= α1∂

∂u10

+ ... + αn∂

∂un0(ϕ)

onde αi = u′i(0). Decorre daı que

λ′(0) = α1

∂

∂u1

0

+ ... + αn

∂

∂un

0

onde ∂

∂ui

0

, i ∈ 1,...,n

sao os vetores tangentes em p respectivamente as curvas

ui → λ(0,...,ui,..., 0).

Seja T o espaco vetorial gerado por∂

∂ui

0

, i ∈ 1, 2,...,n

onde as operacoes sao definidas como operacoes sobre funcoes.

Em resumo, como nao podemos falar do vetor tangente da ma-neira usual para superfıcies, estamos substituindo o vetor tangentepela sua acao sobre funcoes ϕ diferenciaveis.

Lema 4.1. O conjunto T p(S ) dos vetores tangentes v = Lλ a S em p ∈ S coincide com T . O vetor (α1,...,αn) ∈ R

n definido comoacima, e chamado de express˜ ao local do vetor v segundo a carta gα.A aplicac˜ ao que leva (α1,...,αn) em v e um isomorfismo de espacos vetoriais.



105

Demonstracao: Pelo que acabamos de ver T p(S ) ⊂ T . Reciproca-mente, se v ∈ T , entao existem α1,...,αn ∈ R tal que

v = α1

∂

∂u1

0

+ ... + αn ∂

∂un

0

.

Seja λ : I → S uma curva, cuja expressao nas coordenadas(u1, u2,...,un) da parametrizacao gα e u1(t) = αit,... un = αnt.Entao

Lλ = λ′(0) = α1

∂

∂u1

0

+ ... + αn

∂

∂un

0

,

isto e, v∈

T p

(S ).Decorre daı que a soma de elementos L de T p(S ), definida como

soma de funcoes, e ainda um elemento de T p(S ) e o mesmo se passa

com o produto por um numero real. E imediato verificar que, comestas operacoes, T p(S ) e um espaco vetorial. Alem disso,

∂

∂u1

0

,...,

∂

∂un

0

sao vetores linearmente independentes que geram T p(S ). Portanto

T p(S ) tem dimensao n e e chamado o plano tangente de S em p.

A base ∂

∂u1

0

,...,

∂

∂un

0

de T p(S ) e chamada a base associada a parametrizacao f no ponto p.

Voltemos a extensao das nocoes de Calculo as variedades diferen-ciaveis.

Definicao 4.18. Dada uma variedade S , o fibrado tangente a S e oconjunto ∪ p∈S T p(S ) = T S .

Note que o fibrado tangente tem uma estrutura de variedadediferenciavel de dimensao 2n. De fato, dado uma parametrizacaogα,β(u1,...,un), a funcao Gα,β(u1,...,un, u1,..., un) que associa a cada(u1,...,un) e a cada vetor

(u1,..., un)




o operador L definido por por

L = u1 ∂

∂u10

+ ... + un ∂

∂un0

,

determina cartas coordenadas de R2n em T S . Estas cartas, e facilver, determinam em T S uma estrutura de variedade diferenciavel.

Um campo de vetores G numa variedade M de dimensao n e umaescolha de um vetor v( p) = G( p) ∈ T pM para todo p ∈ M . O campode vetores e diferenciavel se para alguma (todas) carta coordenadaf α = g1α tal que p ∈ U α, a expressao local de G( p) em R

n (ver Lema4.1), atraves da carta coordenada f α, em coordenadas locais em R

n

define um campo de vetores diferenciavel em Rn.Uma curva λ(t) em M e uma solucao da equacao diferencial asso-

ciada ao campo de vetores G, com condicao inicial p0 no tempo t0, seλ′(t) = G(λ(t)) e λ(t0) = p0. Passando para cartas locais f α, a exis-tencia e unicidade de solucoes de campos de vetores diferenciaveis Gem variedades segue de imediato do Teorema 10.8 [DL] de existenciae unicidade. A solucao λ(t) em M e obtida atraves da carta coorde-nada f α e da solucao da equacao diferencial de primeira ordem emf α(U α)

⊂Rn. Para valores grandes de t (muito maiores que t0) a

solucao pode sair fora de uma carta coordenada. A solucao λ(t), nestecaso, e obtida pela expressao em cada carta local e “colada”pedacoa pedaco em M .

Definicao 4.19. Seja uma aplicac˜ ao h : S 1 → S 2 e p ∈ S 1. Diz-se que h e diferenci avel em p, se existem sistemas de coordenadas g1 : V 1 → S 1 e g2 : V 2 → S 2 com p ∈ g1(V 1) e h( p) ∈ g2(V 2),tais que g−1

2 h g1 e diferenci avel em g−11 ( p). A aplicac˜ ao h diz-se

diferenci´ avel em S 1 se for diferenci´ avel em p para todo p ∈ S 1.

De uma maneira analoga ao que consideramos nas definicoes an-teriores, verifica-se que a definicao acima nao depende dos sistemasde coordenadas escolhidas.

Definicao 4.20. Um difeomorfismo h : S 1 → S 2 e uma aplicac˜ aobijetiva de S 1 sobre S 2, tal que h e sua inversa h−1 : S 2 → S 1 s˜ aodiferenci´ aveis.



107

Definicao 4.21. A derivada de uma aplicac˜ ao diferenci´ avel h : S 1 →S 2 em p ∈ S 1 e a aplicac˜ ao dh p : T pS 1 → T h( p)S 2 que a cada operador

v = L ∈ T pS 1 (agindo em D p) associa o operador v = L = dh p(v) ∈T h( p)S 2 (agindo em Dh( p)), da seguinte maneira: se L = Lλ = λ′(0), para alguma curva λ : I → S 1 com λ(0) = p, ent˜ ao dh p(v) =

(h λ)′(0) = L = Lhλ. ´ E f´ acil ver que dh p independe da curva λ e que e uma aplicac˜ ao linear. Vamos denotar a derivada de hpor dh : T S 1 → T S 2, repetindo o processo acima em cada ponto

p ∈ S 1, onde T S 1 (respectivamente T S 2) denota o fibrado tangente a S 1 (respectivamente S 2).

Observacao 4.5. Com a noc˜ ao de diferencial, podemos obter a se-

guinte interpretac˜ ao da base de T p(S ), associada a uma parametri-zac˜ ao gα : V α → S . Suponhamos que gα(q ) = p, q = (0, 0,..., 0),e sejam e1,...,en os vetores da base canonica de Rn (e que est˜ aoassociados aos operadores

∂

∂ui,

i ∈ 1, 2,...,n). Ent˜ ao

dgαq(ei) =d

duigα(0,...,ui,..., 0)ui=0

= (∂

∂ui) p,

formam um base de T pS , se variamos i ∈ 1, 2,...,n.Mais precisamente, para i ∈ 1, 2,...,n fixo e para cada ϕ ∈ D p

∂

∂ui p(ϕ) =

d

duiϕ gα(0,...,ui,..., 0)

ui=0

e um elemento da base de T pS .Convem estendermos a definic˜ ao de variedade, dada anterior-

mente, de modo a incluir as variedades com “bordo”. A definic˜ aoacima apresentada de variedade diferenci´ avel n˜ ao inclui, por exem-plo, o conjunto M (o cilindro com bordo) dado por

M = (x,y,z) ∈ R3; 1 = x2 + y2, 1 ≥ z0 ≥ 0,

pois a intersec˜ ao V ∩M de qualquer vizinhanca V em R3 de um ponto p = (x,y,z0) do “bordo”de M com M n˜ ao e sequer homeomorfa a um aberto de R2.




Observamos, entretanto, que V ∩ M e homeomorfa a um abertodo semi-plano (u, v) ∈ R

2; v ≤ 0, enquanto que os pontos de M

que n˜ ao est˜ ao no bordo se comportam como pontos de uma variedade de dimens˜ ao 2. Isso nos sugere uma nova definic˜ ao de variedade que inclui a situac˜ ao mencionada.

Um aberto do Rn e sempre uma variedade de dimensao N .Chamaremos de semi-espaco superior H n ⊂ R

n ao conjunto dadapor

H n = (x1,...,xn) ∈ Rn; x1 ≥ 0.

Um aberto V de H n e a intersecao de um aberto U de Rn com

H n, isto e, V = U ∩ H n.Diremos que uma funcao f : V → R, definida de um aberto V de

H n e diferenciavel se existir uma funcao f : U → R de um aberto U de Rn contendo V , tal que a restricao de f a V seja igual a f . Se f e diferenciavel em V a diferencial df p e definida por df p = df p.

Se o aberto V nao contem pontos da forma (0, x2,...,xn) entao,V e um aberto de Rn e a definicao coincide com a usual. Se p eda forma (0, x2,...,xn), df p esta definida para todos os vetores de Rn

com origem p, e nao apenas para os que “apontam”para o semi-espaco

superior H n

. Tomando curvas diferenciaveis em V passando por p, efacil mostrar que a definicao de df p nao depende da extensao f de f .

A definicao de aplicacao diferenciavel f : V → Rn, V aberto em

H n e estabelecida de maneira analoga.Daremos agora uma definicao de variedade com bordo, de modo

a incluir a definicao (Definicao 4.13) anterior de variedade como casoparticular.

Definicao 4.22. Uma variedade diferenci´ avel (de dimens˜ ao n) com

bordo regular e um conjunto M e um atlas de aplicac˜ oes gα : V α ⊂H n → M de V α ⊂ H n tomando valores em M tais que:1)

α

gα(V α) = M

2) para todo par α, β , com gα(V α)∩gβ(V β) = W = ∅, os conjuntos g−1α (W ), g−1

β (W ) s˜ ao abertos em H n e as aplicac˜ oes g−1β gα, g−1

α gβ ,aı definidas, s˜ ao diferenci´ aveis em H n (no sentido acima descrito).



109

Figura 4.4:

Denotaremos por f α : U α ⊂ M → H n as inversas dos respectivos gα : V α → M .

Um ponto p ∈ M e chamado um ponto do bordo de M se para um sistema de coordenadas g−1

α = f α : U α → H n em torno de p se tem g−1α ( p) = f α( p) = (0, x2,...,xn).

Note que para algumas cartas gα podem ter domınio V α em aber-tos em

(x1,...,xn)

|x1 > 0

e outras domınios V α que possuem pon-

tos da forma (0, x2,..,xn).Estas ultimas cartas vao cobrir pontos do bordo de M .

Exercıcio: O cilindro (x,y,z) | x2 + y2 = 1 , 0 ≤ z ≤ 1 e umavariedade com bordo.

As definicoes de diferenciabilidade de funcoes, plano tangente,orientabilidade, etc., para variedades com bordo sao introduzidas demaneira inteiramente analoga as correspondentes definicoes para va-riedades.

Proposicao 4.6. A definic˜ ao de ponto de bordo independe do sistema de coordenadas.

Demonstracao: Seja g1 : V 1 → M um sistema de coordenadas emtorno do ponto p do bordo de M tal que g1(q 1) = p, onde q 1 e daforma (0, x2,...,xn).

Suponhamos, por absurdo, que em outro sistema de coordenadasg2 : V 2 → M se tenha g2(q 2) = p, onde q 2 e da forma (x1,...,xn),




x1 = 0.Seja W = g1(V 1) ∩ g2(V 2); aplicacao

g−11 g2 : g−1

2 (W ) → g−11 (W )

e um difeomorfismo. Como q 2 e da forma (x1,...,xn) com x1 = 0,existe uma vizinhanca U de q 2, V ⊂ g−1

2 (W ) que nao intercepta oeixo x1.

Restringindo g−11 g2 a U , teremos uma aplicacao diferenciavel

g−11 g2 : U → H n

com jacobiano nao nulo em q 2 ∈ U . Pelo teorema da funcao inversa(ver [Li1]), g−11 g2 leva uma vizinhanca V ⊂ U de q 2 em Rn difeo-

morficamente sobre uma vizinhanca g−11 g2(V ) ⊂ g−1

1 g2(U ) de q 1em Rn; mas entao, g−1

1 g2(V ) conteria pontos de forma (x1,...,xn)com x1 > 0, o que contradiz o fato de g−1

1 g2(V ) ⊂ g−11 (S ). Portanto

a hipotese de que q 2 e da forma (x1,...,xn) com x1 = 0 leva a umacontradicao.

O conjunto dos pontos de bordo de M que e, portanto, bem deter-minado, e chamado o bordo de M e indicado por ∂M . Se ∂M = ∅, aDefinicao 4.19 coincide com a Definicao 4.13 de variedade diferencial.

Proposicao 4.7. O bordo ∂M de uma variedade diferenci´ avel de dimens˜ ao n com bordo e uma variedade diferenci´ avel de dimens˜ aon − 1.

Demonstracao: Seja p ∈ M um ponto do bordo de M e gα :V α → M um sistema de coordenadas em torno de p, i.e., V α ⊂ H n eaberto, gα e biunıvoca e gα(q ) = p, onde q = (0, x2,...,xn) ∈ U .

Seja¯

Z α = V α∩(x1, x2,...,xn−1, xn) ∈Rn

; x1 = 0. Identificando(x1, x2,...,xn) ∈ Rn; x1 = 0

com Rn−1, Z α e um conjunto aberto de Rn−1.

Se denotarmos por gα a restricao de gα a Z α, entao pela Pro-posicao 4.6, gα(Z α) ⊂ ∂M . E facil ver que a famılia (Z α, gα) euma estrutura diferenciavel em ∂M . A definicao de orientacao eapresentada na Definicao 4.14.



111

Proposicao 4.8. Seja M uma variedade com bordo ∂M . Se M e orient´ avel, uma orientac˜ ao de M induz uma orientac˜ ao em ∂M .

Demonstracao: Fixemos uma orientacao em M , isto e, escolha-mos uma famılia gα : V α → M de sistemas de coordenadas tal quegα(V α) cobre M , e se gα(V α) ∩ gβ(U β) = ∅ entao a mudanca decoordenadas tem jacobiano positivo. Consideremos a famılia dos V αtal que gα(V α) ∩ ∂M = ∅. Como vimos na proposicao anterior, afamılia (Z α, gα) e uma estrutura diferenciavel em ∂M .

Basta entao mostrar que se gα e gβ sao dois sistemas de coorde-nadas tais que gα(Z α) ∩ gβ(Z β) = ∅, a mudanca de coordenadas

uα

2 = uα

2 (uβ

2 ,...,uβ

n)...

uαn = uαn(uβ2 ,...,uβn)

satisfaz a condicao∂ (uα2 ,...,uαn)

∂ (uβ2 ,...,uβn)> 0.

Para isso, observamos que a mudanca de coordenadas de gα : V α

→M

a gβ : V β → M satisfaz as condicoes

0 = uα2 (0, uβ2 ,...,uβn)

uα2 = uα2 (uβ2 ,...,uβn)

...

uαn = uαn(0, uβ2 ,...,uβn),

e portanto

∂ (uα1 ...uαn)∂ (uβ1 ...uβn)

(0, uβ2 ,...,uβn) =

∂uα1

∂uβ1(0, uβ2 ,...,uβ2 )

∂ (uα2 ,...,uαn)

∂ (uβ2 ,...,uβn)(0, uβ2 ,...,uβn) > 0.

Alem disso,∂uα1

∂uβ1(0, uβ2 ,...,uβn) > 0,




pois uα1 = 0 em (0, uβ2 ,...,uβn) e torna-se negativo com uβ1 . Portanto

∂ (uα

2

,...,uα

n

)

∂ (uβ2 ,...,uβn) > 0.

Toda variedade diferenciavel e uma variedade diferenciavel combordo.

Definicao 4.23. Dada uma variedade diferenci´ avel com V de di-mens˜ ao n, uma k-forma w em V e uma aplicac˜ ao k-linear alternada

em cada fibra T zM, z ∈ V . Em outras palavras, wz(v1, v2,...,vk) para cada z ∈ V fixo, e linear em cada vi, i ∈ 1, 2,...,n e e tambem alternada.

Por exemplo as 1-formas sao aplicacoes 1-lineares, e assim, paracada z sao transformacoes lineares em cada T zM tomando valoresreais.

Definicao 4.24. Uma k-forma diferenci´ avel w em uma variedade diferenci´ avel V e uma k-forma em V tal que para cada carta de

coordenadas locais gα : V α ⊂ V → R

n

, nas coordenadas locais (x1, x2,...,xn), a forma w e expressa como

I

aI (x1, x2,...,xn)dxI

e os aI (x1, x2,...,xn) s˜ ao diferenci´ aveis em (x1, x2,...,xn).Denotamos Ωk(V ) o conjunto das k-formas diferenci´ aveis em V .

As definicoes introduzidas anteriormente para formas diferenciais

em Rn se estendem de maneira analoga para formas diferenciais emvariedades V .

Por exemplo, a derivada dw de w ∈ Ωk(V ) e uma (k + 1)-formadiferenciavel dw ∈ Ωk+1(V ) tal que em coordenadas locais e igual aderivada de w (em coordenadas locais). Em geral qualquer conceitoque seja local, como derivada, etc. definido em R

n vai se extenderpara uma variedade diferenciavel V de maneira semelhante a maneiraacima utilizada.



113

Seja M variedade de dimensao n e N variedade de dimensao r,dada uma aplicacao f : M → N , e uma k-forma diferencial w ∈Ω

k

(N ), f ∗(w) ∈ Ω

k

(M ) e obtida atraves da expressao local de f eusando a definicao anterior para f ∗ p : Ωn(Rr) → Ωk(Rn). Portanto,

f ∗(Ωk(N )) ⊂ Ωk(M ).

Figura 4.5:

Ainda, se w1 ∈ Ωk(V ) e uma k-forma e w2 ∈ Ωj(V ) e uma j-forma, a (k + j)-forma w1∧ w2 ∈ Ωk+j(V ) e por definicao dada local-mente pelo produto exterior destas duas formas em cartas locais. To-dos estes conceitos estao bem definidos. A forma w1 ∧ w2 ∈ Ωk+j(V )e chamada de produto exterior de w1 e w2.

Vamos considerar a partir de agora que o leitor esta familiarizadocom as analogas definicoes de formas diferenciais sobre Rn para asvariedades diferenciaveis M .

Lembre que o suporte de uma k-forma w (respectivamente, umafuncao φ) e o conjunto dos pontos q tal que wq (respectivamente φ)nao e nula.

Uma subvariedade A contida na variedade V , e uma variedade talque seu conjunto de pontos x ∈ A esta contido em V e a aplicacao deinclusao i : A → V e diferencivel (como aplicacao entre variedades).Exigimos ainda que a aplica cao i tenha derivada injetiva me todosos pontos.




Seja V variedade de dimensao n. Para definir integral de uma k-forma w ∈ Ωk(V ) sobre uma sub-variedade A de dimensao r contida

na variedade V (ver Definicao 4.33), necessitaremos de algum cuidadoespecial (integrar nao e um conceito local como derivar). Em primeirolugar, se a forma w que desejamos integrar tem suporte no domınio U αde uma carta coordenada f α : U α ⊂ V → R

n, entao a sub-variedadeA, em cordenadas locais x ∈ R

n, vai resultar numa superfıcie dedimensao k em R

n.A integral de w em A e neste caso a integral da forma w em A

(superfıcie n-dimensional) nas coordenadas locais (x1, x2,...,xn) emRn (ver Definicao 4.8). Nao e difıcil ver que tal conceito esta bem

definido.O problema e como definir integral no caso em que o suporte

da forma w nao cabe inteiramente dentro do domınio de uma cartacoordenada.

Definicao 4.25. Seja M variedade diferenci´ avel, um conjunto coor-denadas locais f αi : U αi ⊂ M → R

n, i ∈ N. Considere um conjuntode func˜ oes diferenci´ aveis 0 ≤ φi, i ∈ N definidas em M tomando va-lores em R tal que

∞i=1 φi(x) = 1 e tal que o suporte de cada φi(q )

esta contido em U αi. Vamos supor ainda que em cada carta U αi ape-

nas um n´ umero finito das φj s˜ ao n˜ ao nulas. Tal conjunto de func˜ oes φi, i ∈ N e chamada de uma partic˜ ao da unidade para M .

Pode-se mostrar (ver por exemplo [MC1]) que dada uma variedadediferenciavel M sempre existe uma particao da unidade para M .

A partir de uma particao da unidade podemos definir a integralde uma k-forma w como veremos em breve.

Referimos o leitor a [Li4] para referencias sobre produto internoe formas quadraticas.

Definicao 4.26. Uma estrutura Riemanniana em uma variedade di-

ferenci´ avel M de dimens˜ ao n e uma escolha de uma forma quadr´ atica W (v), v ∈ T M q, q ∈ M definida positiva em cada plano tangente T M q. Vamos tambem exigir que tal forma quadr´ atica W quando ex-pressa em coordenadas locais gα : V α ⊂ M → R

m seja tal que os coeficientes aij(x1,...,xn) de

ni,j=1

ai,j(x1,...,xn)vivj



115

sejam diferenci´ aveis em (x1,...,xn) ∈ gα(V α).Acima, vi, i ∈ 1, 2,...,n denota as componentes do vetor tan-

gente v nas coordenadas x = (x1,...,xn).M munida de tal estrutura e denominada variedade Riemanniana.

Uma forma quadratica W esta sempre associada de maneira unicaa um produto interno < , >=< u, v >, u, v em T M q tal que valeW (v) =< v, v >, ∀v ∈ T M q. Reciprocamente, podemos definir <u,v >, u, v ∈ T M q a partir de W por < u, v >= 1

2(W (u + v) −W (u) − W (v)).

Denotaremos a variedade diferenciavel M com tal estrutura Rie-manniana por (M, <, > ).

Note que cada carta local gα determina uma metrica Riemanniana

ni,j=1

ai,j(x1,...,xn)vivj

em um aberto no Rn no sentido anteriormente considerado (ver De-finicao 1, Secao 2 e Definicao 20, Secao 7 do Capıtulo 2.)

Proposicao 4.9. Toda variedade diferenci´ avel admite uma metrica

Riemanniana.

Demonstracao: Sejam f i : U i→Rn coordenadas locais e φi : M →R

funcoes diferenciaveis que determinam uma particao da unidade.Se v e vetor tangente a M no ponto p e se p ∈ U i, denotaremos

vi1 ,...,vin as coordenadas de v segundo f i.Seja W i(v) = v2i1 + ... + v2in se v ∈ U i e W i(v) = 0 se v nao esta

em U i.Entao W = φW i e uma metrica Riemanniana em M . Para

provar isto, basta lembrar que a soma anterior e localmente finita.

O comprimento de uma curva γ (t), t ∈ [a, b] contida em M eobtida considerando varias cartas f i : U i → R

n, i ∈ 1,...,s de talmodo que o traco da curva γ esteja contido em ∪si U i , pois γ [a, b] ecompacto (ver Definicao 4.32, Capıtulo 3). A seguir, dividimos [a, b]em intervalos [a, a1], [a1, a2], [a2, a3], ..., [as−1, b] que definem umaparticao de [a, b] de tal modo que γ [ai, ai+1] ⊂ U i. Podemos calcularo comprimento de γ [ai, ai+1] passando a uma carta local f i : U i → R

n




(use a Definicao 18, Secao 7, Capıtulo 2 para o comprimento de umacurva γ |[ai,ai+1] segundo uma metrica Riemanniana num aberto do

R

n

). O comprimento de γ , denotado por γ , e por definicao asoma dos comprimentos das curvas γ [ai, ai+1]. Pode-se mostrar queeste procedimento esta bem definido, isto e, nao depende das cartasescolhidas.

Vamos apresentar as seguir algumas definicoes e propriedades deespacos metricos. Referimos o leitor a [Li2] para uma exposicao com-pleta sobre o topico.

Definicao 4.27. Um espaco metrico M e um conjunto munido com uma func˜ ao d(x, y), x, y

∈M , d : M

×M

→R, chamada distˆ ancia

(ou metrica) tal que a) d(x, y) ≥ 0 e ainda vale que d(x, y) = 0, se e s´ o se, x = y;b) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), ∀x,y,z ∈ M ;c) d(x, y) = d(y, x).Vamos denotar tal espaco por (M, d).

Exemplo 4.5. Quando considerarmos M o espaco Rn, ent˜ ao d(x, y)= x − y (onde e a norma Euclidiana) define uma metrica, istoe, as propriedades a), b), c) acima s˜ ao satisfeitas para tal d. Para

abertos doRn

, se nada for dito, estaremos considerando a metrica d(x, y) = x − y.

Definicao 4.28. Um aberto A no espaco metrico (M, d) e um conjunto A ⊂ M tal que ∀x ∈ A, existe ǫ > 0 tal que

y ∈ M | d(x, y) < ǫ ⊂ A.

Definicao 4.29. Um conjunto F contido em (M, d) e dito fechadose o conjunto M − F e aberto.

Definicao 4.30. Uma aplicac˜ ao contınua F : M 1 → M 2, entre dois espacos metricos (M 1, d1) e (M 2, d2), e uma aplicac˜ ao F tal que, para todo ponto x ∈ M 1, vale que para todo ǫ > 0, existe δ > 0 tal que se d(x, y) < δ ent˜ ao d(f (x), f (y)) < ǫ.

Definicao 4.31. Um homeomorfismo h entre os espacos metricos (M 1, d1) e (M 2, d2) e uma aplicac˜ ao bijetiva tal que h e h−1 s˜ aocontınuas.



117

Uma cobertura de um espaco metrico M e uma colecao de abertosAi contidos em M (onde i varia num conjunto qualquer de ındices)

tal que M ⊂ ∪iAi.Definicao 4.32. Um espaco metrico M e dito compacto se toda co-bertura por abertos admite uma subcobertura finita.

Exemplo 4.6. Para uma superfıcies S de dimens˜ ao k em Rn, sempre podemos considerar a metrica induzida pelo Rn, ou seja d(x, y) = x−y, x, y ∈ S define uma metrica em Rn. ´ E possıvel mostrar que toda superfıcie S que e fechada no espaco Rn e que seja tambem limitada (isto e, existe K

∈R tal que

∀x, y

∈S, d(x, y)

≤K ) e compacta

com relac˜ ao a tal metrica. Logo, neste caso, e possıvel selecionar a partir de um atlas qualquer de S , um novo atlas com apenas um n´ umero finito de cartas coordenadas. Isto porque, o domınio U α de cada carta coordenada de um atlas e um aberto de S e S e compacta.

Dada uma variedade diferenci´ avel M com uma estrutura Rieman-niana, vamos mostrar que sempre e possıvel obter uma metrica (nosentido da Definic˜ ao 4.24) a partir da metrica Riemanniana.

Exemplo 4.7. Considere (M, < , >) variedade Riemanniana. E-

xiste uma distˆ ancia natural d = d< ,> em M associada a estrutura Riemanniana < , >, definida para (x, y) ∈ M por

d(x, y) = inf γ | γ [a, b] → M,

γ e curva em M ligando γ (a) = x a γ (b) = y.

E possıvel mostrar que tal d define realmente uma metrica em M (ver [MC1] [Li3]).

Vamos supor a partir deste momento pelo resto do texto que a

variedade M que vamos considerar esteja equipada com uma metricaRiemanniana < , > e com a distancia d = d< ,> associada a estruturaRiemanniana < , > do Exemplo 4.7.

Sempre se pode equipar uma variedade M com uma estruturaRiemanniana como vimos na Proposicao 4.9 acima.

Quando falarmos de um aberto em M variedade Riemanniana,estaremos nos referindo a Definicao 4.28 e usando a distancia d acimadescrita.




E facil mostrar que toda variedade diferenciavel compacta M (comuma metrica Riemanniana) admite um atlas com um numero finito

de cartas coordenadas. Isto segue do fato que os domınios das cartascoordenadas locais U αi sao abertos de M .

Dada uma estrutura Riemanniana numa variedade V , sempre queconsiderarmos A subvariedade de V (ver Definicao 4.33, Capıtulo 3),estaremos considerando em A a estrutura Riemanniana obtida pelarestricao da estrutura Riemanniana de V a A.

Definicao 4.33. Quando dizemos que A e uma subvariedade da va-riedade V (que possui uma metrica Riemanniana < , >), estamos querendo dizer que o subconjunto de pontos de A est´ a contido em V , que a func˜ ao inclus˜ ao i : (A, d1) → (V, d2) tal que i(x) = x e um homeomorfismo de A sobre i(A) ⊂ V (com respeito a metrica d1associada a estrutura Riemanniana induzida em A e d2 a metrica as-sociada a estrutura Riemanniana em V ) e ainda que para todo p ∈ Aa derivada di p : T pA → T pV e injetiva.

Suponha que A seja subvariedade da variedade V . Quando dize-mos que A e compacta, isto significa que estamos considerando em Aa distancia d< ,> = d< ,>A obtida pela metrica Riemanniana < , >A,

restricao da metrica Riemanniana de V a A. Sendo assim e possıvelmostrar que A esta contida numa uniao finita de domınios U αi de car-tas de V . Na proxima definicao estaremos utilizando as consideracoesfeitas acima.

Exemplo 4.8. Um exemplo de espaco metrico e o conjunto F das func˜ oes contınuas F = f | f : (a, b) → R

n, f contınua , com a distˆ ancia d tal que d(f, g) = supremo f (x) − g(x)x∈(a,b), onde f, g ∈ F .

Exemplo 4.9. Um exemplo de espaco metrico e o conjunto F ∗ das func˜ oes C 1, F ∗ = f | f : (a, b) → R

n, f e de classe C 1, com a distˆ ancia d tal que d(f, g) = supremo f (x) − g(x) , f ′(x) −g′(x)x∈(a,b), onde f , g ∈ F ∗.

A distancia do Exemplo 4.9 foi anteriormente considerada naSecao 2, Capıtulo 2.



119

Figura 4.6:

Definicao 4.34. Dizemos que um conjunto B contido em um espacometrico M e denso em (M, d), se para todo x ∈ M e ǫ > 0, existe y

∈B tal que d(x, y)

≤ǫ.

A definicao acima generaliza a Definicao 13, Capıtulo 1 e e aDefinicao 6, Capıtulo 3.

Muitas das propriedades interessantes de um sistema mecanico,embora nao acontecam para todos os possıveis sistemas, sao no en-tanto verdadeiras para sistemas que estao num subconjunto densoB de tais sistemas (ver por exemplo no fim da Secao 7, Capıtulo 1,Exemplo 13, Capıtulo 1, consideracoes apos Definicao 13, Capıtulo 1

e consideracoes antes do Teorema 5, Capıtulo 3).Apos as consideracoes anteriores, estamos agora prontos para defi-

nir a integral de uma forma diferencial numa variedade diferenciavel.

Definicao 4.35. Dada uma k-forma diferenci´ avel w ∈ Ωk(V ) na variedade Riemanniana diferenci´ avel V de dimens˜ ao r e uma partic˜ aoda unidade φi, i ∈ N para V , a integral da k-forma w em uma sub-variedade diferenci´ avel compacta A, A ⊂ V de dimens˜ ao k (k ≤ r) e




dada por

A w =∞

i=1 A φi(q )wq.

Cada uma das integrais da soma da express˜ ao da direita est´ a bem definida pois a k-forma φi w tem suporte em finitas U i, domınio da carta coordenada xi.

Pode-se mostrar que tal conceito esta bem definido e a integralnao depende da particao da unidade φi, i ∈ N escolhida (ver [MC1]).

Exercıcio: Mostre que dado f : V → V , V variedade diferenciavel, ew k-forma diferencial sobre V , entao f ∗(w) = w, se e somente se, para

toda subvariedade S ⊂ V de dimensao k, vale que S w = S f ∗(w).

O resultado principal desta secao e o Teorema de Stokes, que valeem grande generalidade e que sera apresentado a seguir.

Teorema 4.1. (Teorema de Stokes) Considere V variedade Rieman-niana diferenci´ avel de dimens˜ ao r. Dada uma n-forma diferenci´ avel w ∈ Ωn(V ), n ≤ r − 1 e uma variedade compacta C de dimens˜ aon + 1 com bordo ∂ (C ) de dimens˜ ao n, C subvariedade de V , ent˜ ao

C dw =

∂C w.

Para sermos mais precisos deverıamos escrever a expressao acimacomo:

C

dw =

∂C

i∗w,

onde i e a inclusao de ∂ (C ) em V (ver Definicao 4.33).No caso em que o bordo de C tenha varias componentes cone-

xas, no Teorema acima, devemos considerar em cada uma delas umaorientacao. Este procedimento de expressar ∂ (C ) como soma de com-ponentes orientadas, por exemplo, ∂ (C ) = G1 + G2 + G3, em que asorientacoes das variedades Gi de dimensao n dependem duma ori-entacao da superfıcie C , foi descrito acima na Proposicao 4.8 (vertambem Secao 5, Capıtulo 3).

O teorema de Stokes vai dizer no caso do exemplo mencionadoacima que

C

dw =

G1

w +

G2

w +

G3

w.



121

Referimos o leitor a [MC1] para uma demonstracao do teoremaacima.

Vamos considerar agora um exemplo de variedade diferenciavel(que vai ser importante para o que segue) obtida a partir de outravariedade diferenciavel M . Vamos definir agora o fibrado cotangentea variedade M .

Definicao 4.36. Para cada q ∈ M fixado, T M q e o espaco vetorial tangente a M em q . Considere T ∗M q o conjunto das transformac˜ oes lineares de T M q em R. O conjunto T ∗M e por definic˜ ao o conjunto∪qT ∗M q. Este conjunto ser´ a denominado fibrado cotangente a varie-dade M .

Vamos assumir que M possua uma estrutura Riemanniana < , >.Vamos agora equipar T ∗M com um atlas diferenciavel a partir de umatlas diferenciavel de M .

Dado q ∈ M considere < , >q=< , >. E facil ver que para cadaq fixo e l ∈ T ∗M q, existe um unico η = ηl ∈ T M q tal que para todoz ∈ T M q, l(z) =< η, z >.

Fica assim definida uma aplicacao que leva l em ηl e que estabeleceum isomorfismo de T ∗M q em T M q.

Como estamos supondo que M possui uma estrutura Riemanni-ana < , >, se f α : U α ⊂ M → Rn e carta coordenada local, entaoX α : ∪x∈V αT ∗M x → R

2n dado por X α(q, l) = (f α(q ), df αq(ηl)) definecarta coordenada local.

E possıvel mostrar (ver [Li3]) que variando as possıveis cartaslocais f α, as correspondentes cartas X α assim obtidas definem umaatlas diferenciavel para T ∗M .

Chama-se de fibra tangente sobre q o conjunto dos v ∈ T M q.Considere M variedade de dimensao n. Fixada uma carta f α :

U α→Rn de M , tal que f α(x) = q, x

∈U α

⊂M, q = (q 1, q 2,...,q n)

∈Rn, e i ∈ 1, 2,...,n considere a aplicacao projecao πi, tal queπi(q, p) = q i.

Fica assim definida a transformacao linear dq i : T M q → R dife-rencial de tal πi. Estas transfromacoes dq i formam uma base doconjunto das transformacoes lineares de T M q em R. Sendo assim,dada uma transformacao linear p : T M q → R e usual denotar tal pem coordenadas locais q = f α(x) como p = p1dq 1 + ... + pndq n.

Chama-se de fibra cotangente sobre q o conjunto dos p ∈ T ∗M q.




Um vetor v tangente a T ∗M em (q, p) e portanto um elemento emT ( T ∗M ) que pode ser identificado com todas as curvas (q (t), p(t))

tal que (q (0), p(0)) = (q, p) e ainda que (q ′(0), p′(0)) determinam omesmo v ∈ T ( T ∗M ) (ver Definicao 4.17).

Exercıcios

1. Mostre que a esfera x2 + y2 + y2 = 1 em R3 admite um atlas

C ∞ que a torna uma variedade orientavel.

2. Mostre que o conjunto dos planos passando pela origem em R3

possui uma estrutura de variedade diferenciavel.

3. Calcule dF para a transformacao F : S → S , onde S e a esferade centro (0,0,0) e raio 1 em R

3 e F (x,y,z) = (−x, −y, z).

4. Calcule a integral da 2-forma diferencial w = x1dx1 ∧ dx2 +x2dx2 ∧ dx3 + x3dx3 ∧ dx4 em Ω(R4) sobre a superfıcie de di-mensao 2 dada por x2

1 + x22 + x2

3 + x24 = 1 e x1 = 0.1.

5. Calcule a integral de dp1 ∧ dq 1 + dp2 ∧ dq 2 sobre a superfıcie dedimensao dois q 21+q 22+ p21+ p22 = 1 e q 1 = 0.1 em (q 1, q 2, p1, p2)

∈R4.



Capıtulo 5

Formalismo Simpletico

Nosso objetivo nesta secao e apresentar a equacao de Hamilton demaneira intrınseca, ou seja de uma maneira que seja independentede coordenadas locais. Usaremos para isto o formalismo das formasdiferenciais. Vamos considerar nesta secao sistemas autonomos. Ossistemas nao autonomos serao analisados na proxima secao.

Na Mecanica Hamiltoniana as variaveis posicao e momento saoindependentes (na Mecanica Lagrangeana a posicao e a velocidadenao sao independentes). Este ponto de vista e desejavel na MecanicaQuantica [ABC].

Em primeiro lugar vamos considerar o espaco dual de Rn. Lembreque este espaco, denotado por Rn∗, e por definicao o espaco dastransformacoes lineares l : Rn → R (ver Definicao 4.36).

Para cada ponto q do Rn considere Rnq o espaco tangente a Rn

em q e Rn∗q o espaco cotangente em q .

Uma base de Rn∗q e dada por dq 1, dq 2,...,dq n.O conjunto dos elementos (q, l) onde q ∈ Rn e l ∈ Rn∗q e chamado

de fibrado cotangente e e denotado por T ∗Rn = ∪qRn∗q .Note que Rn∗ = T ∗Rn e uma variedade de dimensao 2n.Nesta secao vamos introduzir o estudo de sistemas Hamiltonia-

nos em variedades no caso em que o Hamiltoniano nao dependa dotempo t.

Na proxima secao vamos considerar o caso nao autonomo.

123



124 [CAP. 5: FORMALISMO SIMPLETICO

Em primeiro lugar cumpre destacar que a expressao

q =

∂H

∂p ˙ p = −∂H

∂q , (5.1)

(q, p) ∈ R2n, usa explicitamente a estrutura do R2n, em que dividi-

mos algumas coordenadas como p e outras como q . Caso tenhamos aintencao de definir um Hamiltoniano e as equacoes de Hamilton (emsistemas mecanicos em que o espco de configuracao e uma variedadediferenciavel M ) de uma maneira analoga a (5.1), e necessario ex-pressar tais equacoes de uma maneira independente da estrutura doR2n.

Para este fim sera natural introduzir formas diferenciais para ex-pressar as equacoes de (5.1).Considere

J =

0 E −E 0

onde E e a matriz identidade em R

n. Sendo assim J e uma matriz2n × 2n.

Note que J 2 = −I (a matriz identidade). J vai ser a expressaomatricial local do que vamos chamar abaixo de forma simpletica.

No caso em que n = 1 obtemos

J =

0 1−1 0

Considere agora a 2-forma diferencial

w(z, v) = Jz,v =

= zn+1v1 + zn+2v2 + ... + z2nvn − z1vn+1 − z2vn+2 − ... − znv2n,

z, v ∈R2n

onde , e o produto interno Euclidiano. Note que we alternada. Tal forma diferencial sera denominada mais tarde desimpletica.

Para cada valor de i ∈ 1, 2,...,n, considere a 2-forma dpi ∧dq i nas variaveis (q, p) = (q 1, q 2,...,q n, p1, p2,...,pn) ∈ R

2n. Noteque para η = (η1,...,ηn, ηn+1,...,η2n), θ = (θ1,...,θn, θn+1,...,θ2n) aexpressao de dpi ∧ dq i quando aplicado a estes vetores e dada por

dpi ∧ dq i(η, θ) = θiηn+i − ηiθn+i.



125

Logo w pode ser escrita como w(η, θ) =ni=1 dpi ∧ dq i(η, θ) =

dp ∧ dq (η, θ).

Observe agora que dado H (v, w) :R2n

→R

J

∂H ∂q1...∂H ∂qn∂H ∂p1...∂H ∂pn

=

∂H ∂p1...∂H ∂pn

− ∂H ∂q1

...− ∂H ∂qn

.

Sendo assim as Equacoes de Hamilton em R2n podem ser escritas

de maneira compacta como

(q, ˙ p) = J (∇H ) = (∂H

∂p1,...,

∂H

∂pn, −∂H

∂q 1,...,

∂H

∂q n).

J (∇H ) define assim o campo de vetores Hamiltoniano.Como sabemos,

dH =∂H

∂q 1 dq 1 + ... +∂H

∂q n dq n +∂H

∂p1dp1 + ... +

∂H

∂pn dpn

e uma 1-forma diferencial em ∈ R2n. Seja um vetor η ∈ R2n,

η = (η1,...,η2n).

Note que

dH (η) =n

i=1

∂H

∂q i

ηi +n

i=1

∂H

∂pi

ηn+i =

(ηn+1,...,η2n, −η1,..., −ηn),

∂H

∂p1,...,

∂H

∂pn, −∂H

∂q 1,..., − ∂H

∂q n

=

Jη,J (∇H ) = w(η, J (∇H )).

Em outras palavras ε = J (∇H ) = (∂H ∂p , −∂H ∂q ) e o unico vetor em

R2n tal que para todo η, vale que w(η, ε) = dH (η).




Observacao 5.1. Podemos portanto afirmar que ε =

∂H ∂p , −∂H

∂q

e

o ´ unico vetor tal que para todo η ∈R2n

w(η, ε) = (dp1 ∧ dq 1 + ... + dpn ∧ dq n) (η, ε) = dH (η).

A expressao acima e a que realmente pode ser tratada de maneiraintrınseca para fins de definicao do campo de vetores Hamiltonianocomo veremos a seguir.

Vamos definir o Campo Hamiltoniano de maneira intrınseca emuma variedade n-dimensional.

Dada uma superfıcie de configuracao M , o campo Hamiltonianopara ser definido de maneira intrınseca, devera ser definido sobre V ,onde V e o fibrado cotangente T ∗M = V .

Definicao 5.1. Sobre uma variedade V de dimens˜ ao 2n, diz-se que uma 2-forma w em V e n ao degenerada se para todo x ∈ V , vale que ∀ ε ∈ T xV = 0 existe um η ∈ T xV tal que wx(η, ε) = 0.

Definicao 5.2. Uma forma w e chamada de forma simpletica sobre uma variedade V se w satisfaz dw = 0 e e tambem n ao degenerada.

Uma variedade V com uma 2-forma simpletica w e chamada de uma variedade simpletica e ser´ a denotada por (V, w).

Exemplo 5.1. A 2-forma ni=1 dpi ∧ dq i define uma estrutura sim-

pletica sobre R2n.

Lembre que um campo de vetores G em uma superfıcie V dedimensao r e uma escolha de um vetor tangente G(x) ∈ T V x paracada x ∈ V .

Como vimos anteriormente, nesta secao,

(q, ˙ p) = J (∇H ) =

∂H

∂p, −∂H

∂q

= G(q, p),

define o campo de vetores Hamiltoniano.

Vamos a seguir definir campos de vetores Hamiltonianos sobrevariedades simpleticas.



127

Definicao 5.3. Considere uma variedade simpletica (V, w). Para cada vetor ε ∈ T V x tangente a variedade simpletica (V, w) no ponto

x, associamos a 1-forma wε tal que ∀ η ∈ T V x, wε(η) = w(η, ε).

Denote por A : T V → T ∗V a aplicac˜ ao tal que A(ε) = wε, onde ε ∈ T V x e wε ∈ T ∗V x foi definida acima.

Observe que A e isomorfismo linear entre dois espacos vetoriais de mesma dimens˜ ao. Isto porque, A e injetiva de T V x no espaco das 1-formas em T V ∗x , isto e, A(ε) = 0 implica que ε = 0 (isto segue

facilmente de ∀ ε = 0 existe um η tal que wx(η, ε) = 0, ε , η ∈ T V x).Considere agora In a inversa de A

In : T V ∗ → T V.

Definicao 5.4. Dado H : V → R qualquer, onde (V, w) e uma vari-edade simpletica, o campo Hamiltoniano em M determinado por H e por definic˜ ao In(dH ). Isto e, para x ∈ V fixo In(dH ) = ε ∈ T V x,onde wε(η) = w(η, ε) = dH (η), ∀η ∈ T V x. Fica definido assim um campo de vetores ε(x) = G(x) para todo x ∈ V , que ser´ a denominadocampo de vetores Hamiltoniano associado a H .

A definicao acima e absolutamente natural apos as consideracoesque fizemos anteriormente nesta secao (ver Observacao 5.1). Conside-rando H (q, p) definido sobre (q, p) ∈ T ∗Rn e w = dp∧dq recuperamosa expressao do campo Hamiltoniano quando estamos nas coordenadaslocais de R2n.

Observe que para diferentes estruturas simpleticas w sobre a mes-ma variedade V , podemos ter diferentes campos Hamiltonianos.

Note que dH (e uma transformacao linear agindo em T M x) e w(e uma transformacao bilinear agindo em T M x) sao definidos intrin-secamente, logo o vetor ε foi definido de maneira intrınseca.

Vamos agora usar coordenadas locais x = (q, p) em V = T ∗M (ver Definicao 4.36), p = p1dq 1 + ... + pndq n transformacao linear deT M q em R (M variedade de configuracao) e denotar x = (x1,...,x2n)por

x = (q 1,...,q n, p1,...,pn)

e vetores tangentes por

(q ′1,...,q ′n, p′1,...,p′n) ∈ T ( T ∗M )x.




Proposicao 5.1. Seja M variedade de dimens˜ ao n. O fibrado cotan-gente T ∗M , tem uma estrutura simpletica natural w. Essa estrutura

simpletica w, em coordenadas locais e dada por dp1∧dq 1+dp2∧dq 2+... + dpn ∧ dq n.

Demonstracao: Considere p : T M q → R uma transformacao lineare (q, p) ∈ T ∗M .

Vamos primeiramente definir uma 1-forma v em T ∗M . A 2-formaw = dv, derivada de tal forma v sera a forma simpletica que busca-mos.

Seja ε ∈ T (T ∗M )(q,p) um vetor tangente do fibrado cotangenteno ponto (q, p) onde p

∈T ∗M q.

Um vetor tangente ε em T (T ∗M )(q,p) e representado por umacurva (q (t), p(t)) ∈ T ∗M, t ∈ (−ǫ, ǫ), tal que (q ′1,...,q ′n, p′1,...,p′n) =(q ′(0), p′(0)) = ε e (q (0), p(0)) = (q, p).

Considere agora a projecao π : T ∗M → M tal que π(q, p) = q .Para ε um vetor em T (T ∗M ), temos que dπ(ε) ∈ T M (pois dπ :T (T ∗M ) → T M e a derivada da projecao π).

Definimos a 1-forma v em T ∗M por

v(ε) = p(dπ(ε)) , ∀ε ∈ T (T ∗M )(q,p).

Afirmamos que esta 1-forma v em coordenadas locais se escrevecomo pdq =

ni=1 pidq i.

Vamos mostrar agora a afirmacao mencionada acima. Considerecoordenadas locais (q, p) para T ∗M .

Por definicaoπ : T ∗M → M

(q, p) → q = (q 1, q 2,...,q n)

Logo dπ : T (T ∗

M )→

T M e apenas (dq 1

, dq 2

,...,dq n

). Logodπ(ε) = (q ′1,...,q ′n).

A transformacao linear p definida em T M q tem coordenadas locais

p1, p2,...,pn,

isto e p e a transformacao p1dq 1 + p2dq 2 + ... + pndq n.Finalmente, v(ε) = p(dπ(ε)) = piq ′1 + ... + p2q ′2 =

ni=1 pidq i(ε).

Fica portanto demonstrada a afirmacao que v = pdq .



129

Considere agora w = dv.E claro que dw = ddv = 0 (ver Proposicao 4.5, Capıtulo 2).

Note que em coordenadas locais w = n

i=1 dpi ∧ dq i = dp ∧ dq .E facil ver tambem que w e nao degenerada, pois se ε = (ε1,...,ε2n) =0, entao existe εi = 0 (suponhamos que i esteja entre os primeiros n dovetor ε para simplificar a notacao que segue). Portanto w(η, ε) = 0,onde η = (η1,...,η2n) e escolhido de tal modo que ηj = 0, para

j = n + i e ηn+i = 1 (este fato segue da forma local de w(z, v) =<Jz,v >=

ni=1 dpi ∧ dq i).

Se o termo nao nulo εi esta entre os ultimos n elementos do vetorε, um raciocınio analogo pode ser aplicado.

Concluımos assim que w como definida acima e uma forma sim-pletica.

Um resultado mais geral que o anterior, mas que nao sera demons-trado no texto e o teorema de Darboux (ver [A1] para prova).

Teorema 5.1. (Teorema de Darboux) Dada uma variedade simpletica V de dimens˜ ao 2n e uma forma simpletica w, para todo ponto x ∈ V ,e possıvel encontrar um sistema de coordenadas f α em torno de xtal que f α : U α → R2n, f α(x) = (q 1, q 2,...,q n, p1, p2,...,pn), tal que nestas coordenadas w e da forma n

i=1dpi ∧

dq i

= dp∧

dq .

Vamos mostrar agora um resultado muito importante.Seja (M, w) uma estrutura simpletica e H : T M ∗ → R Hamilto-

niano. Assuma que In(dH ) define o campo de vetores HamiltonianoG(x) e seja φt : T ∗M → T ∗M o correspondente fluxo de difeomorfis-mos associado ao campo, isto e,

d

dt

t=0

φtx = In(dH )(x) = G(x).

Esse fluxo se chama o fluxo Hamiltoniano associado ao Hamilto-niano H .

Uma variedade diferenciavel A de dimensao dois com bordo esimplesmente conexa se ela e difeomorfa a um aberto simplesmenteconexo do R2.

Teorema 5.2. O fluxo Hamiltoniano φt sobre T M ∗ preserva a es-trutura simpletica natural w = dp ∧ dq , isto e, (φt)

∗w = w.




Demonstracao: Temos que mostrar (ver exercıcio apos Definicao4.35) que qualquer subvariedade (que sem perda de generalidade po-

demos assumir ser simplesmente conexa) A de dimensao 2, A ⊂ T ∗M com bordo diferenciavel por partes e tal que A

w =

φt(A)

w.

Considere a superfıcie de dimensao 3 , A × (0, τ ) ⊂ T ∗M × R esua imagem pelo fluxo φt,

J τ =

∪t

∈(0,τ )

∪x∈A (φt(x), t)

⊂T ∗M

×R,

entao, ver Figura 4.4,

∂J τ = −( ∪t∈(0,τ ) ∪x∈∂A (φt(x), t) + φτ A − A.

Denotaremos ∪t∈(0,τ ) ∪x∈∂A (φt(x), t) = Bτ , que e a superfıcie dedimensao 2 (que depende de τ ).

Note que w e uma forma diferencial em T M ∗ e assim podemospensar que e uma forma diferencial sobre T M ∗ ×R que nao dependeda segunda variavel. Quando formos usar a seguir o teorema de Sto-kes, lembre que a contribuicao da integral em ∪t∈(0,τ )∪x∈δA(φt(x), t),nao vai depender do t na parte (., t) acima. Sendo assim, para simpli-ficar a notacao, algumas vezes vamos omitir a parte correspondentea t nas integrais abaixo.

Primeiro, vamos mostrar que

d

dτ

Bτ

w =

φτ (∂A)

dH =

(φτ (δA),τ )

dH,

isto e, vamos mostrar equivalentemente que Bτ

w =

τ 0

φt(∂A)

dH

dt.

Seja f (s), 0 < s ≤ 1 parametrizacao de ∂A.Entao ϕ(s, t) = (φt(f (s)), t) = φt(f (s)), 0 < s ≤ 1, 0 < t < τ ,

define uma parametrizacao da superfıcie Bτ de dimensao 2.



131

Por definicao de integral de uma 2-forma diferencial

Bτ

w = τ 0

10

w(η, ε)dsdt

onde

ε =∂ϕ

∂te

η =∂ϕ

δs,

pois ϕ(s, t) = φt(f (s)) parametriza Bτ .

Note que ε e o vetor que define o campo Hamiltoniano.Por definicao de campo Hamiltoniano

dH (η) = dH (∂ϕ

∂s) = w(η, ε)

(ver Definicao 5.4).Logo

τ 0

φt(∂A)dH dt = τ

0 1

0dH ∂ϕ(s, t)

∂sdsdt =

Bτ w.

Assim concluımos que

d

dτ

Bτ

w =

φτ (∂A)

dH.

Ora pelo Teorema de Stokes,

φt(∂A)

dH = ∂ (φt(∂A))

H = 0

pois ∂ (φt(∂ (A))) = ∅.Logo

Bτ

w

e constante.




Quando τ → 0, Bτ

w converge a ∂A

w = 0 (afinal estamos in-tegrando uma 2-forma em uma superfıcie com regiao bidimensional

convergindo a uma curva quando τ vai a zero).Logo Bτ

w = 0 (5.2)

para todo τ .Como w e simpletica satisfaz dw = 0 entao:

0 =

J τ

dw. (5.3)

Pelo teorema de Stokes J τ

dw =

∂J τ

w =

φτ (A)

w − A

w − Bτ

w. (5.4)

Juntando as expressoes (5.3) e (5.4) obtemos

0 =

J τ

dw =

∂J τ

w =

φτ (A)

w − A

w − Bτ

w.

Como o termo Bτ w e zero por (5.2) concluımos que φτ (A)

w =

A

w,

ou seja, φt preserva a forma simpletica w.

Definicao 5.5. Dizemos que uma k-forma diferencial w e um inva-riante integral absoluto para g : T ∗M → T ∗M se

g(C ) w = C wpara toda variedade C de dimens˜ ao k contida em T ∗M .

Equivalentemente, w e invariante integral absoluto para g : T ∗M →T ∗M se g∗(w) = w.

A proposicao anterior mostrou que g∗(w) = w quando g = φt eo fluxo Hamiltoniano para t fixo obtido a partir de H e w a formasimpletica natural (Proposicao 5.1).



133

Exemplo 5.2. Se g preserva ´ area em R2 ent˜ ao w = dq ∧ dp e um invariante integral absoluto de g.

Proposicao 5.2. Se w1 e w2 s˜ ao invariantes integrais de g, ent˜ aow1 ∧ w2 tambem e invariante integral de g.

Demonstracao: Segue imediatamente do fato que

g∗(w1 ∧ w2) = (g∗w1) ∧ (g∗w2) = w1 ∧ w2

(ver Proposicao 4.3 c)).

A 2n-forma diferencial (w)n define um elemento de volume em

T ∗M (ver Definicao 4.9). Note que em coordenadas locais

wn = (dp ∧ dq )n = dp1 ∧ dp2 ∧ ... ∧ dpn ∧ dq 1 ∧ dq 2 ∧ ... ∧ dq n.

Proposicao 5.3. O fluxo Hamiltoniano φt preserva o elemento de volume (w)n.

Demonstracao: Segue imediatamente do fato que g∗(wn) = (g∗w)n

= (w)n, quando g = φt, t fixo, e do Teorema 5.2.

Definicao 5.6. Uma transformac˜ ao g, g : T ∗M → T ∗M que pre-serva w, isto e, g∗w = w, e dita canˆ onica.

Note que se g e canonica, g tambem preserva o elemento de volume(w)n, pois g∗(wn) = (g∗w)n = (w)n.

Definicao 5.7. Uma k-forma w e dita invariante relativo para g :T ∗M → T ∗M se

∂C w = g(∂C ) w

para toda subvariedade C de dimens˜ ao k com bordo contida em T ∗M .

Proposicao 5.4. Se w e invariante relativo para g : T ∗M → T ∗M ent˜ ao dw e invariante absoluto para g.

Demonstracao: Seja w invariante relativo e C subvariedade de di-mensao k + 1 com bordo ∂ (C ) contida em T ∗M . Note que o bordode ∂ (C ) e vazio.




Logo pelo Teorema de Stokes

C dw =

∂C w = g(∂C ) w =

∂ (g (C )) w = g(C ) dw.

Logo, concluımos que dw e invariante absoluto.

Vamos agora demonstrar a versao simpletica do teorema de con-servacao do Hamiltoniano. Observe como a demonstracao fica abre-viada atraves do uso do formalismo simpletico.

Teorema 5.3. (Lei de Conservacao de Energia) A func˜ ao H e cons-tante ao longo das trajet´ orias do fluxo Hamiltoniano.

Demonstracao: A derivada direcional de H na direcao θ e dH (θ).Por definicao In(dH ) e o Campo Hamiltoniano. Seja entao η =In(dH ).

Entao dH (η) = w(η,In(dH )) = w(η, η) = 0 (pois como w ealternada w(η, η) = −w(η, η)).

Logo, H e constante ao longo do fluxo Hamiltoniano.

Dado um Hamiltoniano H (q, p), q ∈ M , variedade m-dimensional,vamos mostrar agora que existe uma densidade natural 1

∇H (x) que

define uma medida invariante para o fluxo Hamiltoniano restrito auma superfıcie (2m − 1) dimensional de Energia total constante.

Considere uma superfıcie S de dimensao m − 1 em Rm. Dadom-vetores v1, v2,...,vm em R

m, o volume determinado por estes ve-tores e expresso por dx1 ∧ ... ∧ dxm(v1, v2,...,vm) (ver Definicao 4.3).O procedimento natural de induzir em S uma maneira de medir vo-lume m − 1 dimensional em cada plano T S x e o seguinte: dadosu1, u2,...,um−1 ∈ T S x, definimos o volume w(u1,...,um−1) determi-nado por u1,..,um−1 como

w(u1,...,um−1) = dx1 ∧ ... ∧ dxm(η, u1, u2,...,um−1),

onde η e o vetor normal unitario (aqui estamos usando a metricaRiemanniana) em S .

Geometricamente falando, estamos considerando um paralelepı-pedo m dimensional com altura η e dizendo que o volume m − 1dimensional da base e o volume m-dimensional do paralelepıpedoη, u1,..,um−1 (isto porque η tem altura 1).



135

As consideracoes geometricas feitas acima devem esclarecer o lei-tor para o procedimento que sera utilizado na proxima proposicao.

Vamos denotar por w

n

a forma volume usual emR2n

= dq 1 ∧ ... ∧dq n ∧ dp1 ∧ ... ∧ dpn.

Proposicao 5.5. Seja M = Rn variedade Riemanniana de dimens˜ ao

n com a metrica Riemanniana definida por <, >. Considere um Hamiltoniano H (q, p) e w forma simpletica natural (ver Proposic˜ ao56, Capıtulo 3) sobre R2n = V = T ∗M = T ∗(Rn). Ent˜ ao a forma w (( 2n − 1)-forma diferencial) sobre uma superfıcie compacta E =(q, p) | H (q, p) = c ( 2n−1 dimensional) de Hamiltoniano constante (assuma que

∇H (x)

n˜ ao se anule em E ) dada por

wx(v2, v3,...,v2n) =1

∇H (x)wnx(ηx, v2,...,v2n)

e invariante para φt restrito a esta superfıcie E .

Demonstracao: Para c ∈ R fixo considere a variedade de dimensao2n − 1

E c = E = x ∈ T ∗M |H (x) = c.

Como sabemos pelo Teorema de Conservacao do Hamiltoniano,

E e invariante por φt.A forma wn e forma volume sobre T ∗M . Se M for o R2n entao

wn = dp1 ∧ ... ∧ dpn ∧ dq 1 ∧ ... ∧ dq n. A forma volume natural sobrea superfıcie E de dimensao 2n − 1 e a forma w tal que ∀ x ∈ E

wx(v2,...,v2n) = wnx(ηx, v2,...,v2n)

onde ηx e o vetor normal a E (estamos assumindo uma orientacaoem E ) com norma 1 (estamos assumindo que existe uma metrica

Riemanniana, ou seja, que ηx, ηx = ηx2

= 1).Considere sobre E a 2n − 1 forma diferencial

wx =1

∇H (x) wx,

isto e,

wx(v2, v3,...,v2n) =1

∇H (x)wnx(ηx, v2,...,v2n).




Vamos mostrar que w = φ∗t ( w) para qualquer t ∈ R. Logo φt vaideixar invariante uma forma volume sobre E .

Antes, mostramos na Secao 2, Capıtulo 3 que H φt = H , ∀t ∈R

.LogodH dφt(x) = dH.

Portanto, ∀η ∈ T ∗M x,

∇H φt(x), dφt(x)(η) = (dH dφt(x))(η) = dH (η) = ∇H x, η.

Aplicando a ultima expressao a η = ∇H x, obtemos ∇H x, ∇H x =∇H x2 = ∇H φt(x), dφt(x)(∇H x) .

Como∇

H e normal a variedade E , temos que

ηx =∇H x

∇H xe

ηφt(x) =∇H φt(x)

∇H φt(x).

Logo a ultima igualdade pode ser reescrita como

∇H (x)

∇H φt(x) = ∇H φt(x)

∇H φt(x) , dφt(x)(ηx) = ηφt(x), dφt(x)(ηx).

Logo a projecao de dφt(x)(ηx) sobre ηφt(x) e

∇H (x)∇H φt(x)

.

Sendo assim

dφt(x)(ηx) = ∇H x

∇H φt(x)ηφt(x) + z1

onde z1 ∈ T E φt(x).Note que se v2, v3,..., v2n e uma base de T E φt(x), entao existem

αi, i ∈ 2,..., 2n tal que

z1 =2ni=2

αivi.



137

Logo

wnφt(x)(z1, v2, v3,..., v2n) = wnφt(x) 2ni=2

αivi, v2,..., v2n =

2ni=2

αiwnφt(x)

(vi, v2, v3,..., vi,..., v2n) = 0.

E facil ver a partir da ultima expressao que para qualquerv2, v3,...,vn ∈ T E φt(x), wnφt(x)(z1, v2,...,v2n) = 0.

Portanto, para qualquer v2, v3,...,vn ∈ T E φt(x)

wnφt(x)(dφt(x)(ηx), v2,...,v2n) = wnφt(x)

∇H x∇H φt(x)

ηφt(x), v2,...,v2n

.

(5.5)Vamos agora mostrar que φ∗t w = w.Ora, φ∗t (x)( w)(v2,...,v2n) = wφt(x)(dφt(x)(v2),...,dφt(x)(v2n))

=1

∇H φt(x)wnφt(x)(ηφt(x), dφt(x)(v2),...,dφt(x)(v2n))

=1

∇H xwnφt(x)

∇H x∇H φt(x)

ηφt(x), dφt(x)(v2),...,dφt(x)(v2n)

=1

∇H xwnφt(x)(dφt(x)(ηx), dφt(x)(v2),...,dφt(x)(v2n))

=1

∇H xwnx (ηx, v2,...,v2n).

A ultima igualdade segue de φ∗t (x)(wn) = wn (Proposicao 5.3,

Capıtulo 3) e a penultima de (5.5).Concluımos portanto que w define uma densidade invariante para

φt restrito a superfıcie de Hamiltoniano constante E c. Este fato seguede que

wx(v2, v3,...,v2n) =1

∇H (x)wnx(ηx, v2,...,v2n)

e invariante para φt, t ∈ R.




Para obter uma probabilidade a partir de w devemos multiplicarw pela constante k = 1

Ew

.

Deixamos a cargo do leitor estender o resultado acima para varie-dades simpleticas.

Para concluir esta secao, vamos agora descrever o procedimentonatural para se obter um Hamiltoniano a partir de uma LagrangianoL(q, q ), definido sobre uma variedade de configuracao M , q ∈ M ,q ∈ T M q.

Para um Lagrangiano L, e para (q, q ) fixo, vamos considerar queo momento p ∈ Rn∗q e dado por p = dL

dq(q, q ), isto p e a transformacao

linear derivada de L em relacao a q no ponto (q, q ).

Sendo assim, fixada a base dq 1, dq 2,...,dq n, a 1-forma diferencial(famılia de transformacoes lineares dependendo de q ) p = ∂L∂ q nesta

base e dada por

p =∂L

∂ q 1dq 1 + ... +

∂L

∂ q ndq n.

Desta maneira dLdq quando expressa na base dq 1, dq 2,...,dq n, de-

termina o que anteriormente chamavamos de momento p.Sendo assim, para cada q fixo fica associado a q ∈ Rn de maneira

bem definida um elemento p ∈ Rn∗q (contanto que a condicao da

Observacao 4, Capıtulo 3), que vai ser o momento.Uma questao importante e a seguinte: como obter H (q, p), (q, p) ∈

T ∗M , a partir de L(q, q ), (q, q ) ∈ T M .Para (q, q ) fixo considere p = ∂L

∂ q∈ T ∗M q.

Para q fixo obtemos assim uma associacao de q com p, defi-nindo uma aplicacao Bq : T V q → T ∗V q tal que Bq(q ) = p. Esta

aplicacao e bijetiva se por exemplo ∂ 2L∂ q > 0, conforme a Observacao

4, Capıtulo 3.Vamos supor no que segue que tal Bq seja bijetivo para todo

q ∈ V .Considere um Lagrangiano L(q, q ). Para (q, p) fixados, definimos

H (q, p) como

H (q, p) = p(B−1q ( p)) − L(q, B−1

q ( p)) = p(q ) − L(q, q ),

onde Bq(q ) = p.Acima, p(B−1

q ( p)) significa aplicar a transformacao linear p novetor tangente q = B−1

q ( p).



139

Note que o Lagrangiano e naturalmente definido no fibrado tan-gente T M de uma variedade M de configuracao, enquanto que o

Hamiltoniano e naturalmente definido no fibrado cotangente T ∗M da variedade de configuracao.

Conclusao: Dada uma funcao H (q, p) definida no fibrado cotangentea uma variedade M e possıvel definir um campo de vetores sobre ofibrado cotangente denominado campo Hamiltoniano. Isto porque, ofibrado cotangente tem uma estrutura simpletica natural.

Quando desejamos fazer alguma conta, podemos considerar umcerto sistema de coordenadas locais e assim obter resultados sobre osistema.

E mais natural proceder de maneira intrınseca como foi feitoacima, pois nao existe razao para um certo sistema de coordenadasser privilegiado em relacao aos outros.

As trajetorias deste campo de vetores podem ser definidas tambemcomo os extremais da acao

γ

pdq onde os extremos do caminho γ

estao fixos em γ (t1) = a, γ (t2) = b.Este campo nao e determinado por um unico possıvel Hamilto-

niano H , pois podemos somar a esta funcao uma forma w tal quedw = 0, e claramente a Definicao 96 nao vai alterar o campo Hamil-

toniano que vamos obter.Dada uma funcao sobre o fibrado tangente a uma variedade M ,

podemos obter um sistema Lagrangiano sobre o fibrado tangente. Amaneira de relacionar os dois sistemas foi descrita acima.

Exercıcios

1. Para o Hamiltoniano do pendulo sem atrito, calcule para cadanıvel de energia constante a densidade ψ do Teorema 63.

Assuma que o nıvel de energia nao passe pelo ponto (0,0) ou(π, 0).

2. Mostre que o toro S 1 × S 1 admite um estrutura simpletica.



Capıtulo 6

Linhas de Vortex em

Mecanica Hamiltoniana

Nesta secao vamos considerar apenas campos Hamiltonianos nao au-tonomos H (q,p,t). Vamos desenvolver o formalismo que permite

definir neste caso as equacoes de Hamilton de maneira intrınseca.O ponto de vista sera intrınseco e o leitor pode perceber que as

as demostracoes utilizando tal ponto de vista serao simples e naoenvolvem demasiado calculo.

Proposicao 6.1. Dado uma 2-forma w em R2n+1, existe ξ = 0 tal que w(ξ, η) = 0, ∀ η ∈ R2n+1.

Demonstracao: Uma forma diferencial e por definicao alternada,portanto e dado por w(ξ, η) =

Aξ,η

onde A e matriz alternada.

Ora o determinante de tal matriz (2n + 1) × (2n + 1) e zero poisA∗ = −A e det A = det A∗ = det(−A) = (−1)2n+1 det A = − det A.

Logo existe um auto-vetor ξ = 0 com auto-valor 0 e, portanto,w(ξ, η) = Aξ,η = 0, η = 0.

Definicao 6.1. Uma 2-forma e dita n˜ ao singular se

dimξ ∈ R2n+1|w(ξ, η) = 0, ∀ η ∈ R2n+1 = 1.

140



141

Definicao 6.2. Dada uma 2-forma w n˜ ao singular, em cada ponto doR2n+1, o subespaco de dimens˜ ao 1 definido por algum ξ da Proposic˜ ao

6.1 e chamada direc˜ ao de vortex.Definicao 6.3. Seja w 2-forma diferencial n˜ ao singular. Uma curva diferenci´ avel em R2n+1 cuja tangente em cada ponto est´ a na direc˜ aode vortex naquele ponto da 2-forma w e chamada uma linha de vortex da 2-forma w.

Os teoremas de existencia e unicidade de equacoes diferenciaisordinarias asseguram localmente a existencia das linhas de vortex,bastando para isso assumir condicoes de suavidade (C ∞) da 2-formaw nao singular. Observe que enquanto a solucao de uma equacao dife-rencial depende do tempo de maneira bem definida, a linha de vortexe uma curva, para a qual poderıamos ter varias parametrizacoes peloparametro t.

As linhas de vortex determinam o que se chama um campo delinhas e nao um campo de vetores (ver [MC3]).

Proposicao 6.2. Considere em R2n+1 o Hamiltoniano H ( p, q, t), a 1-forma w1 = pdq − Hdt e a 2-forma w2 = dw1. Ent˜ ao as soluc˜ oes do sistema Hamiltoniano

q = dH dp

˙ p = −dH dq

s˜ ao linhas de vortex de w2.

Demonstracao: Suponha que w2 seja nao singular. Sendo assimbasta mostrar que ξ = (H p, −H q, 1) em (q,p,t) e direcao de vortex da2-forma w2 no ponto (q,p,t). Primeiro mostraremos este ultimo fato,e deixaremos ao leitor o trabalho de mostrar que w2 e nao singular.

Ora, denote η por (q 1, p1, t1)

w2(ξ, η) = dw1(ξ, η) =

dp∧dq − dH

dp(dp∧dt)− dH

dq (dq ∧dt)

(ξ, η) =

= [(−H qq 1 − H p p1) − H p(H qt1 − p1) − H q(−H pt1 − q 1) = 0.

Logo ξ = (H p, −H q, 1) e a direcao de vortex e as solucoes de˙ p = Hp e q = −Hq sao curvas de vortex.

Exercıcio: Mostre que a forma w2 definida acima e nao singular.



142 [CAP. 6: LINHAS DE VORTEX EM MECANICA HAMILTONIANA

Exemplo 6.1. Vamos calcular em um exemplo a forma w2 = dw1

quando w1 = pdq − Hdt. Seja

H ( p, q ) =p2

2+

ω20

2q 2

o Hamiltoniano do oscilador harmˆ onico. Logo

w1 = pdq − Hdt = pdq −

p2

2+

ω20

2q 2

dt

e w2 = dw1 = dp ∧ dq − pdp ∧ dt − qw20dq ∧ dt.

Ora,

q = dH dp

= p

˙ p = −dH

dq = −ω2

0q.

Neste caso, temos realmente para η = (q 1, p1, t1) e ξ = (H p, −H q, 1) = ( p, w2

0q, 1) que

w2(ξ, n) = [dp ∧ dq − pdq ∧ dt − qω20dq ∧ dt] (ξ, n) =

(−ω20qq 1 − pp1) − p(−ω20qt1 − p1) − qω0( pt1 − q 1) = 0.

Este exemplo serve apenas como ilustrac˜ ao do resultado mais geral anteriormente demonstrado.

A conclus˜ ao importante do resultado que obtivemos acima e que e possıvel expressar as curvas soluc˜ oes do Hamiltoniano atraves de

formas diferenciais, sem usar a estrutura global do R2n+1. Isto per-mitir´ a introduzir as equac˜ oes de Hamilton (caso n˜ ao autˆ onomo) em uma variedade diferenci´ avel M . Deixamos a cargo do leitor fazer tal extens˜ ao.

Considere em R2n+1 duas curvas fechadas γ 1 e γ 2 tal que γ 2 e

obtida aplicando o fluxo Hamiltoniano a curva γ 1 (ver Figura 4.5).

Definicao 6.4. Duas curvas fechadas na situac˜ ao acima ser˜ ao de-nominadas de “relacionadas pelo fluxo Hamiltoniano”.

Definicao 6.5. A forma w1 = pdq −Hdt ser´ a chamada de invariante de Poincare-Cartan.



143

Teorema 6.1. Sejam γ 1 e γ 2 duas curvas fechadas relacionadas pelo fluxo Hamiltoniano, ent˜ ao

γ 1 pdq − Hdt =

γ 2 pdq − Hdt.

Demonstracao: Seja w1 = pdq − Hdt a forma de Poincare-Cartan,entao pelo Teorema de Stokes,

σ

dw1 =

γ 1

w1 − γ 2

w1

onde σ e o tubo bidimensional que tem como bordo as duas curvasγ 1 e γ 2 orientadas na direcao positiva.

As curvas γ 1 e γ 2 da Figura 4.5 correspondem respectivamente aγ 1 e

−γ 2.

A integral de σ

dw1 = 0,

pois o vetor (−H p, H q, 1), tangente a superfıcie com bordo σ, se anulapara a forma dw1. Isto se deve a uma Proposicao que foi anterior-mente demonstrada.

Considere agora uma curva γ 1 contida em um plano t1 = cons-tante.

Sendo assim, considerando o campo (−H p, H q, 1) e a sua evolucaocom t, e facil ver que a curva γ 2 que se obtem aplicando o fluxoφt a curva γ 1, e tal que γ 2 tambem esta contida em um plano t =constante, digamos t = t1. Neste caso, a proposicao acima diz apenasque

γ 1

pdq =

γ 2

pdq.

Isto porque

γ 1 Hdt =

γ 2 Hdt = 0,

uma vez que nao existe componente na direcao t para os vetorestangentes a γ 1 ou γ 2.

Observe que todas as consideracoes que fizemos acima sao validasem variedades diferenciaveis. Em outras palavras, nao usamos emnenhum momento propriedades do espaco R2n+1.

Proposicao 6.3. O fluxo (−H q, H q, 1) preserva volume em R2n+1.



144 [CAP. 6: LINHAS DE VORTEX EM MECANICA HAMILTONIANA

Demonstracao: Seja γ 1 curva fechada simples contida em t1 =constante e γ 2 outra curva obtida pela evolucao do fluxo no tempo

t2. Entao pelo teorema de Stokes em R2n ≡ R

2n × t1, temos γ 1

pdq =

∆1

dp ∧ dq

onde ∆1 e a regiao de R2n ≡ R2n × t1 tal que δ ∆1 = γ 1 (ver Fi-gura 4.5). Da mesma forma se φt(∆1) = ∆2 entao δ ∆2 = γ 2 emR2n = R

2n × t2, e ainda pelo teorema de Stokes

γ 1

pdq = ∆2

dp ∧ dq.

Como vimos antes γ 1

pdq =

γ 2

pdq,

logo segue-se que

∆1 dp ∧ dq =

∆2 dp ∧ dq.

Como o resultado vale para qualquer ∆1 (note que φt(∆1) = ∆2

e φt( γ 1) = γ 2) concluımos que φt preserva dp ∧ dq . Como

(dp ∧ dq )n = dp1 ∧ ... ∧ dpn ∧ dq 1 ∧ ... ∧ dq n,

concluımos que o fluxo Hamiltoniano φt em R2n preserva volume.

Observe que o resultado acima foi provado para Hamiltonianos

H (q,p,t) que dependem do tempo. Ja havıamos mostrado antes esteresultado, o teorema de Liouville, mas a demonstracao acima podeser aplicada tambem a ao fibrado cotangente T ∗M de uma variedadediferenciavel M .

Deixamos a cargo do leitor extender os resultados acima obtidosno Rn para variedades diferenciaveis M de dimensao n.

Conclusao: A partir de um Hamiltoniano H (q,p,t), definido sobreo produto cartesiano do fibrado tangente a uma variedade M por R,



145

foi possıvel definir um campo de vetores Hamiltoniano sobre o fibradocotangente a M .

Este campo de vetores pode tambem ser caracterizado como osextremais de γ

pdq −Hdt, em que os extremos (e os tempos) γ (t1) = a

e γ (t2) = b estao fixos.Este campo nao e determinado por um unico possıvel Hamiltoni-

ano H , pois podemos somar a esta funcao uma forma w = dG, e osvalores da acao irao se alterar por uma valor fixo G(b) − G(a). Logo,irao determinar os mesmos extremais.

Exercıcio1. Considere o Hamiltoniano H (q,p,t) = p2 + q 2 + t. Calcule as

linhas de vortex em R3 para tal Hamiltoniano.



Capıtulo 7

Equacoes Diferenciais

Parciais: Metodo das

Caracterısticas

Para analisar com mais profundidade a equacao diferencial de Hamil-ton-Jacobi necessitaremos primeiro analisar alguns aspectos da teoriageral das equacoes diferenciais de primeira ordem. Referimos o leitorpara [Jo], [I] e [Ju] para uma exposicao mais completa sobre o assunto.

Nosso objetivo nas proximas secoes, sera explicar a relacao dasfrentes de ondas com raios de luz. Esta relacao e um dos pontoscentrais na formulacao da Mecanica Hamiltoniana.

Primeiramente, necessitaremos analisar alguns topicos da teoriadas equacoes diferenciais parciais.

Vamos comecar analisando um exemplo bem simples que vai an-tecipar as principais propriedades dos exemplos mais complexos deequacoes diferenciais que serao analisados a seguir.

Considere a equacao diferencial parcial de 1a ordem

x∂u

∂x+ y

∂u

∂y= 0. (7.1)

Desejamos encontrar quem e a funcao u(x, y) que satisfaz tal

146



147

equacao. Em geral existem infinitas solucoes, pois se u e solucaoentao βu + α tambem e solucao (β, α ∈ R sao constantes quaisquer).

Observe que se u e solucao de (7.1), entao u(x, y) = B determinauma curva cuja tangente (x′, y′) em (x, y) e colinear com (x, y). Istoporque

∇u =

∂u

∂x,

∂u

∂y

e normal a curva de nıvel e por hipotese de u ser solucao de (7.1),

(x, y), ∇u = 0.

Vamos tentar determinar a expressao analıtica de tais curvas

u(x, y) = constante = B.

Suponha que possamos obter a mencionada curva atraves da ex-pressao u(x, y(x)) = B onde y(x) e obtido a partir de x pelo Teoremada Funcao Implıcita. Temos, portanto, que (1, y′(x)) e tangente a estacurva, logo a partir do que afirmamos acima devemos ter que

y′(x)

1 =

y(x)

x .

Logoy′(x)

y(x)=

1

x,

e portanto,d

dx(log y(x)) =

d

dxlog x.

Sendo assim, log(y(x)) = log x+c, c

∈R, e finalmente y(x) = ax para

algum a ∈ R. Logo u e constante em semi retas passando pela origem,e portanto as curvas de nıveis de u sao tais semi-retas. Observe queem (x, y) = (0, 0) nao podemos fazer as consideracoes acima.

Note que se estabelecermos como condicao de fronteira os valoresde u em uma curva diferenciavel Γ que e cortada por cada uma dassemi-retas y = ax em apenas um ponto da curva Γ, pelo que de-duzimos anteriormente, os valores da “possıvel”(ainda nao sabemosse existe) solucao u ficam necessariamente determinados. O valor



148 [CAP. 7: METODO DAS CARACTERISTICAS

u(x, y) tem que ter o valor de u, oriundo da condicao de fronteira,na intercecao da reta y = ax com a curva Γ. Isto e, se este ponto de

intercecao for (x0, y0), entao escolheremos o valor u(x, y) para todoponto (x, y) desta semi-reta y = ax, como u(x, y) = u(x0, y0). Com auniao deste feixe de retas cobre um aberto do plano, entao podemosdefinir u em um subconjunto aberto do plano.

Vamos mostrar que a u assim definida na verdade e realmentesolucao de (7.1).

Fixado (x, y), pela maneira como estamos definindo u, a reta y =ax e curva de nıvel de u, logo ∇u e perpendicular a esta reta. Como(x, y) esta nesta reta, segue que < ∇u, (x, y) >= 0. Logo a u definidaacima realmente satisfaz a equacao diferencial (7.1).

Em geral o problema que pode ocorrer e que a curva Γ (ondee fixada a condicao de fronteira) intercepte uma destas semi-retasy = ax em mais de um ponto. Neste caso poderıamos ter o problemade nao poder obter u de maneira bem definida. Se nao ocorrer estasituacao, no entanto, entao o problema esta bem posto e a solucaoexiste e esta bem definida (e unica) da maneira como foi escolhidoacima.

Em outras palavras, a condicoes natural inicial (ou de fronteira)do problema de Cauchy deve ser fixar o valor de u em uma curva Γque intercepta cada semi-reta passando pela origem em apenas umponto.

Agora vamos analisar a equacao linear geral de primeira ordem.Considere a equacao diferencial parcial de 1a ordem em R

2

a(x, y)∂u

∂x+ b(x, y)

∂u

∂y= 0. (7.2)

Gostarıamos de encontrar a solucao desta equacao de uma ma-

neira semelhante a utilizada no exemplo anterior.Da maneira analoga como no exemplo anterior, primeiro resolve-

remos o sistema de equacoes diferenciais ordinarias de 1a ordem

dx

dt= a(x, y)

dy

dt= b(x, y). (7.3)



149

Observe agora o que acontece com a restricao de u (solucao de(7.2)) as solucoes de (7.3):

d

dtu(x(t), y(t)) =

∂u

∂xx′ +

∂u

∂yy′ =

∂u

∂xa(x, y) +

∂u

∂yb(x, y) = 0.

Logo u e constante ao longo das solucoes de (7.3).

Sendo assim, se (x(t), y(t)) e uma solucao de (7.3), entao

∇u(x(t), y(t)), (x(t), y(t)) = 0.

Logo, cada curva (x(t), y(t)) deve satisfazer a propriedade que

(x(t), y(t)) esta na reta tangente a curva u(x, y) = c.Se tomarmos agora uma curva Γ cortando em um e so um ponto

cada curva solucao de (7.3), e fixando os valores de u em Γ de-terminaremos a solucao u(x, y) (pois u e constante em solucoes de(7.3)). Do mesmo modo como no exemplo anterior, basta dar o va-lor u(x, y) = u(x0, y0) para cada (x, y) sobre uma curva γ solucaode (7.3) tal que Γ ∩ γ = (x0, y0). Uma curva com tais propriedadesdefine a condicao natural de fronteira do problema.

Definicao 7.1. As curvas soluc˜ oes de (7.3) s˜ ao chamadas curvas caracterısticas de (7.2).

Exemplo 7.1. Considere a equac˜ ao

y∂u

∂x− x

∂u

∂x= 0, (7.4)

com a condic˜ ao de fronteira (ou inicial) u(s, 0) = s2, 0 ≤ s.Uma outra maneira de especificar a condic˜ ao de fronteira acima

e estabelecer que est´ a fixa uma curva em R3

dada por (x(s), y(s), u(s)) = (s, 0, s2),

no espaco das vari´ aveis (x,y,u). Esta maneira, na verdade, e a que usaremos na seq¨ uencia desta sec˜ ao.

Neste caso a equac˜ ao diferencial ordin´ aria que define as carac-terısticas e

x = y




Figura 7.1:

y = −x.

As soluc˜ oes desta equac˜ ao s˜ ao do tipo

(x(t), y(t)) = (r cos(t), −r sin(t)).

Para cada valor s considere (xs(t), ys(t)) a soluc˜ ao da equac˜ ao diferencial ordin´ aria com condic˜ ao inicial (s, 0). Pelo que vimos acima,devemos escolher u(xs(t), ys(t)) = u(s, 0) = s2. Em outras palavras,

u e constante em cırculos.Se usarmos coordenadas (s, t) ent˜ ao u(s, t) = s2, ou alternativa-

mente em coordenadas polares u(r, θ) = r2.Se desejarmos encontrar a soluc˜ ao u na vari´ avel (x, y), ou seja

obter u(x, y), devemos substituir r =

x2 + y2, θ = arctan y/x em u(r, θ) e obter u(x, y) = x2 + y2. Fica assim determinada a soluc˜ aodo problema (7.4) por um metodo que se baseou fundamentalmente nas curvas caracterısticas.

Vamos considerar novamente o caso geral (7.2).

Definicao 7.2. Dada a equac˜ ao diferencial parcial

a(x, y)∂u

∂x+ b(x, y)

∂u

∂y= 0,

chamamos de superfıcie integral da equac˜ ao diferencial uma superfıcie na vari´ avel (x,y,u) ∈ R

3 obtida como gr´ afico de u(x, y), onde u e soluc˜ ao da equac˜ ao diferencial.



151

Observacao 7.1. Uma condic˜ ao necess´ aria e suficiente para que uma superfıcie S ⊂ R

3 seja uma superfıcie integral de (7.2) e que

para cada (x,y,u) ∈R3

, o vetor (a(x, y), b(x, y), 0) esteja no planotangente a superfıcie S em (x,y,u). Isto porque como o vetor nor-mal η = (∂u∂x , ∂u∂y , −1) e ortogonal a superfıcie em (x,y,u) (isto e, η e

perpendicular ao plano tangente), ent˜ ao

η, (a,b, 0) =∂u

∂xa +

∂u

∂yb + 0 = 0.

Portanto, segue que (a,b, 0) estar no plano tangente a S em (x,y,u)e uma condic˜ ao necess´ aria e suficiente para S ser superfıcie integral.

Esta relac˜ ao e v alida para a equac˜ ao linear (7.2). Vamos definir em breve superfıcie integral para uma EDP qualquer e neste caso a an´ alogoa relac˜ ao ser´ a mais complexa.

Dada a equac˜ ao diferencial (7.2), uma maneira geometrica de ob-ter o conjunto de pontos S que define uma superfıcie integral para esta equac˜ ao e satisfazendo uma condic˜ ao de fronteira inicialmente fixada e a seguinte: para cada condic˜ ao inicial (x(s), y(s), u(s)), considere (xs(t), ys(t)) curvas caracterısticas (soluc˜ ao de (7.3)) com condic˜ aoinicial no tempo t = 0 igual a (x(s), y(s)). Considere em R3 a su-

perfıcie S obtida pela uni˜ ao das curvas

(xs(t), ys(t), u(s)),

onde s, t variam sem restric˜ ao (ver Figura 4.6).

Pictoricamente, para obter S , estamos varrendo a condicao inicial

(x(s), y(s), u(s))

com curvas caracterısticas, ou seja solucoes de (7.3).Vamos mostrar agora que realmente tal superfıcie S assim obtidae uma superfıcie integral de (7.2) com a condicao de fronteira dada.

E obvio que S satisfaz a condicao de fronteira.Suponha agora que (x, y) possa ser obtido como (xs(t), ys(t)) para

algums valor de s, t. Para cada s fixo, o vetordxs(t)

dt,

dys(t)

dt,

du(s)

dt

= (x′s(t), y′s(t), 0) = (a(x, y), b(x, y), 0)




esta no plano tangente a S em (x,y,u). Sendo assim pela Observacao45, S determina superfıcie integral satisfazendo a condicao de fron-

teira.Note que foi necessario supor que (xs(t), ys(t)) cobre um abertodo R2 para poder concluir a afirmacao acima. Na verdade (s, t) de-veria ser considerado como novas coordenadas adaptadas a solucaodo problema. Voltando as antigas coordenadas (x, y) por mudancade variavel podemos obter

u(s(x, y), t(x, y)) = u(x, y)

como funcao de (x, y).

O procedimento acima e a essencia do metodo das caracterısticas.Encontramos a solucao u de uma EDP resolvendo uma EDO. E maisconveniente pensar no conjunto geometrico S ⊂ R

3 de pontos dografico da solucao u em vez de diretamente com u(x, y) pois assim po-demos ter a liberdade de considerar coordenadas (s, t) mais apropri-adas (em funcao das caracterısticas) e finalmente encontrar a solucaofinal u em coordenadas (x, y) apenas atraves de um procedimento demudancas de coordenadas.

Vamos agora considerar o caso geral de uma equacao diferencial

parcial de primeira ordem.Considere uma funcao diferenciavel de Classe C 2, F : R5 → R,

F (x,y,z,p,q ).

No contexto que vamos considerar a seguir z vai expressar a funcaoz(x, y) (sera portanto uma variavel dependente) solucao da EDP quesera definida a partir de F e

p = ∂z∂x , q = ∂z∂y

(serao tambem dependentes).A equacao diferencial parcial geral de primeira ordem pode ser

expressa atraves da condicao

0 = F

x,y,z(x, y),

∂z

∂x,

∂z

∂y

= F (x,y,z,p,q ), (3.55)



153

Figura 7.2:

para uma certa F fixada.Dada uma curva (x(s), y(s), z(s), p(s), q (s)), a < s < b (que faz o

papel de condicao de fronteira) desejamos encontrar a solucao z(x, y)da EDP geral de primeira ordem de tal jeito que a solucao z(x, y)satisfaca a condicao de fronteira z(x(s), y(s)) = z(s). Os valores(q (s), p(s)) devem satisfazer certas condicoes como veremos a seguir.

Definicao 7.3. Uma superfıcie integral da equac˜ ao diferencial parcial F = 0 e uma superfıcie S em R3 tal que e gr´ afico de uma func˜ aoz(x, y) que satisfaz

F (x,y,z(x, y), zx(x, y), zy(x, y)) = 0.

Encontrar superfıcies integrais equivale a resolver (3.55).Nesta secao, vamos desenvolver metodos geometricos que se apli-

cam a situacoes bem gerais e que sao semelhantes aos anteriormenteusados. Atraves da condicao de fronteira, vamos escolher condicoesiniciais e a seguir vamos varre-las com feixes de caracterısticas (queserao adequadamente definidas) e assim finalmente iremos identificar




Figura 7.3:

uma superfıcie integral S . Encontrar a solucao final em uma certavariavel (por exemplo (x, y)) e apenas uma questao de mudanca decoordenadas.

Procedendo de maneira semelhante a que fizemos antes, as carac-terısticas serao obtidas como curvas solucoes de equacoes diferenciaisordinarias de tal jeito que F (x,y,z,p,q ) e constante igual a zero ao

longo destas curvas solucoes (x(t), y(t), z(t), p(t), q (t)). Nosso obje-tivo inicial e encontrar a equacao diferencial ordinaria em R5 que vaidefinir solucoes com estas propriedades.

Afirmamos que se desejarmos que (x(t), y(t), z(t), p(t), q (t)) satis-faca a propriedade acima descrita F (x(t), y(t), z(t), p(t), q (t)) = 0,entao esta curva deve satisfazer:

dx

dt= F p (7.5)



155

dy

dt= F q (7.6)

dzdt

= pF p + qFq. (7.7)

Mais duas equacoes serao adicionadas mais tarde para dpdt e dq

dt .

Primeiro queremos justificar a necessidade de assumir que as tresequacoes acima sejam satisfeitas.

Para (x0, y0, z0) fixados, resolvemos em p a equacao

F (x0, y0, z0, p , q ( p)) = 0.

A equacao do plano tangente a superfıcie integral S passando por

(x0, y0, z0)

determina que

(z − z0) = p(x − x0) + q (y − y0) =∂z

∂x(x0, y0) +

∂z

∂y(x0, y0).

Sendo assim, teremos (z − z0) = p(x − x0) + q ( p)(y − y0).Derivando a ultima expressao em p obtemos

0 = (x − x0) + (y − y0)dq

dp. (7.8)

Derivando em p a equacao F (x0, y0, z0, p , q ( p)) = 0 obtemos

F p + F qdq

dp= 0. (7.9)

Eliminandodq

dp

das duas ultimas equacoes ((7.8) e (7.9)), obtemos

x − x0

F p=

y − y0F q

.




Assumindo agora que a curva (x(t), y(t), z(t)) esta na superfıcieintegral e que (x(0), y(0), z(0)) = (x0, y0, z0) entao

F pF q

=x(t) − x0

y(t) − y0=

x(t)−x0t

y(t)−y0t

.

Fazendo o limite em t tender a zero, obtemos

x′(t)

F p=

y′(t)

F q.

Isto justifica tomar x′(t) = F p e y′(t) = F q.Vamos agora justificar z′ = pF p + qF q.Ora

dz

dt=

∂z

∂x

dx

dt+

∂z

∂y

dy

dt= px′ + qy′.

Como assumimos que x′ = F p e y′ = F q, concluımos que z′ =F p p + F qq .

Concluımos portanto que (7.5), (7.6) e (7.7) sao condicoes naturaispara as caracterısticas.

Seja a equacao diferencial ordinaria emR5

dada pordx

dt= F p (7.10)

dy

dt= F q (7.11)

dz

dt= pF p + qF q (7.12)

dpdt

= −F x − pF z (7.13)

dq

dt= −F y − qF z (7.14)

Estas equacoes sao denominadas equacoes das caracterısticas.

Definicao 7.4. As soluc˜ oes do sistema de equac˜ oes diferenciais or-din´ arias acima s˜ ao denominadas de caracterısticas.



157

Nosso objetivo e mostrar que F e constante ao longo das carac-terısticas.

Antes porem, devemos justificar a escolha das equacoes das ca-racterısticas.Ora (7.10), (7.11) e (7.12) sao nada mais que (7.5), (7.6) e (7.7).

Devemos portanto justificar apenas (7.13) e (7.14).Suponha que (x(t), y(t), z(t), p(t), q (t)) pertence ao conjunto de

pontos de uma superfıcie integral. Ora p(x(t), y(t)) e q (x(t), y(t))satisfazem

dp

dt= px

dx

dt+ py

dy

dt= pxF p + pyF q (7.15)

e

dq dt

= q x dxdt

+ q y dydt

= q xF p + q yF q. (7.16)

Derivando F (x,y,z,p,q ) = 0 em relacao a x obtemos

0 =

F x + F z

∂z

∂x+F p

∂p

∂x+ F q

∂q

∂x

= F x + F z p

+F p px + F qq x. (7.17)

Derivando F (x,y,z,p,q ) = 0 em relacao a y obtemos

0 =

F y + F z

∂z

∂y+F p

∂p

∂y+ F q

∂q

∂y

= F y + F zq +F p py + F qq y (7.18)

Como∂ 2z

∂y∂x

= py = q x =∂ 2z

∂x∂yentao juntando (7.15) e (7.17) e juntando (7.16) e (7.18) derivamos(7.13) e (7.14), ou seja,

dp

dt= −F x − F z p

dq

dt= −F y − F zq.




Fica assim justificado (7.13) e (7.14) e portanto as equacoes dascaracterısticas. Vamos entao considerar a equacao diferencial or-

dinaria nao linear emR5

dada por (7.10), (7.11), (7.12), (7.13) e(7.14). Denotaremos tal equacao por r′ = G(r) onde r ∈ R5 e

G : R5 → R5.

Vamos voltar agora a considerar o problema de Cauchy que esta-vamos interessados em resolver, ou seja F (x,y,z,p,q ) = 0 com umacerta condicao de fronteira dada por (x(s), y(s), z(s), p(s), q (s)). De-sejamos encontrar pelo metodo das carcterısticas z(x, y) satisfazendoas condicoes iniciais

(x(s), y(s), z(s), p(s), q (s)).

Observacao 7.2. Note que estas 5 quantidades n˜ ao podem ser esco-lhidas independentemente pois devem obedecer as relac˜ oes

dz

ds=

∂z

∂x

dx

ds+

∂z

∂y

dy

ds= p

dx

ds+ q

dy

ds

e F (x(s), y(s), z(s), p(s), q (s)) = 0.

Sendo assim a condic˜ ao inicial ser´ a dada apenas por (x(s), y(s), z(s)). Os valores ( p(s), q (s)) devem ser escolhidos satis-

fazendo as equac˜ oes acima.Por exemplo, se escolhemos z(s) constante sobre (x(s), y(s)), ent˜ ao

as duas equac˜ oes acima s˜ ao F (x(s), y(s), z(s), p(s), q (s)) = 0 e p(s)x′(s) + q (s)y′(s) = 0.

Como dissemos antes, a maneira correta de entender a condic˜ aoinicial na verdade e a seguinte, dada uma curva γ no plano, parame-trizada por (x(s), y(s)) escolhemos os valores de z (ou u) em γ . Isto

equivale a escolher de fato a condic˜ ao (x(s), y(s), z(s)).Vamos agora encontrar a soluc˜ ao pelo metodo das caracterısticas.Para cada valor s fixado considere a curva em R5

(xs(t), ys(t), zs(t), ps(t), q s(t)) =

soluc˜ ao de r′ = G(r) com condic˜ ao inicial

r(0) = (x(s), y(s), z(s), p(s), q (s)).



159

Figura 7.4:

Denotaremos por

x = x(s, t) = xs(t)

y = y(s, t) = ys(t)

z = z(s, t) = zs(t)

p = p(s, t) = ps(t)

q = q (s, t) = q s(t)

os valores obtidos com o procedimento acima.

Vamos considerar agora a superfıcie S ⊂R3

obtida varrendo a condic˜ ao de fronteira (x(s), y(s), z(s)) por curvas (xs(t), ys(t), zs(t))obtidas a partir das curvas caracterısticas. Vamos mostrar que a S assim definida e uma superfıcie integral.

Para mostrar que S define uma superfıcie integral, vamos agora derivar

F (xs(t), ys(t), zs(t), ps(t), q s(t))

em relac˜ ao a t.




Usando as equac˜ oes das caracterısticas

dF

dt = F xdx

dt + F ydy

dt + F zdz

dt + F pdp

dt + F qdq

dt =

= F xF p + F yF q + F z( pF p + qF q) − F p(F x + pF z) − F q(F y + qF z) = 0.

Logo F e constante e n˜ ao depende de t. Como assumimos que

(x(s), y(s), z(s))

est´ a na superfıcie integral e ( p(s), q (s)) foram escolhidos de tal jeitoque F (x(s), y(s), z(s), p(s), q (s)) = 0, concluımos que

F (xs(t), ys(t), zs(t), ps(t), q s(t)) = 0

para qualquer s, t. Logo S e superfıcie integral satisfazendo a condic˜ aode fronteira. S pode ser definida como a superfıcie bidimensional definida por (xs(t), ys(t), zs(t)) (ver [Jo]).

Suponha que (x(s, t), y(s, t)) cobre um aberto do plano (x, y), in- jetivamente em (s, t). Uma condic˜ ao suficiente para tal propriedade ocorrer localmente e (x′(s), y′(s)) n˜ ao ser colinear com (F p, F q) =(x′(t), y′(t)) sobre a curva de condic˜ oes iniciais. Se conseguirmos in-verter a relac˜ ao entre as vari´ aveis (x(s, t), y(s, t)), obtendo(s(x, y), t(x, y)), poderemos expressar a soluc˜ ao z(x, y) como

z(x, y) = z(s(x, y), t(x, y)),

onde z(s, t) = zs(t) foi obtida acima (ver [Jo]).

O conceito de superfıcie integral permite pensar de maneira geo-metrica, sem se preocupar com as variaveis (x, y), e assim descrever

a solucao em coordenadas mais naturais que sao (s, t). Finalmente,podem obter z(x, y) atraves do desenvolvimento acima.A equacao de Hamilton-Jacobi e uma equacao diferencial parcial

de primeira ordem, e o metodo das caracterısticas e um procedimentonatural para calcular solucoes desta equacao.



161

Exercıcios

1. Calcule a equacao das caracterısticas para a equacao diferencialparcial de Hamilton-Jacobi

0 = 1 − H

x,y,

∂z

∂x,

∂z

∂y

= F (x,y,z,zx, zt).

2. Encontre as caracterısticas da equacao diferencial parcial x2zx+y2zy = 0, z(x, y) ∈ R, (x, y) ∈ R

2. A seguir determine umacurva de condicoes iniciais tal que esteja bem definida a solucaodo problema de Cauchy.



Capıtulo 8


Parciais: Metodo da

Solucao Completa

Na secao anterior usamos o metodo das caracterısticas para resolver aequacao diferencial parcial geral de primeira ordem F (x,y,z,p,q )=0.Nesta secao vamos nos concentrar no metodo da solucao completapara resolver (3.55). Este metodo tambem sera importante para acorreta analise da equacao de Hamilton-Jacobi.

Antes disso devemos analisar envoltorias de curvas e sua relacaocom a propagacao de ondas. Primeiramente no entanto, vamos ana-lisar o caso mais simples de envoltorias de funcoes de uma variaveltomando valores reais.

Considere f (x, c) = f c(x) uma famılia a um parametro c ∈ R, defuncoes, como por exemplo f c(x) = sin(x + c).

Definicao 8.1. Dada uma famılia de curvas f c, a envolt´ oria das curvas (x, f c(x)) e o bordo da regi˜ ao de dimens˜ ao 2 obtida em R2

pela uni˜ ao de todas as curvas (x, f c(x)), c ∈ R.

Vamos mostrar que no caso do exemplo acima mencionado a en-voltoria e a uniao das retas y = 1 e y = −1.

162



163

Para cada x0 ∈ R fixado, os dois pontos da envoltoria que estaosituados na reta vertical passando por x0 podem ser determinados da

seguinte maneira: considere para cada possıvel valor de c os possıveisvalores f (x0, c). Estes valores f (x0, c) vao determinar um intervalo depossıveis valores. Os valores extremos deste intervalo devem corres-ponder ao supremo e ao ınfimo de g(c) = f (x0, c), onde g e encaradocomo uma funcao da variavel c. Logo tomando os dois valores c =cx0 tal que g′(c) = 0 (ou seja ∂f

∂c = 0) temos que f (x, cx0) esta naenvoltoria da famılia f c.

Exemplo 8.1. Para f c(x) = sin(x + c), obtemos do desenvolvimentoacima a equac˜ ao

0 =∂f

∂c(x, c) = cos(x + c),

logo

(x + c) =π

2ou − π

2,

portanto, teremos f c(x) = sin(x + c) = 1 ou f c(x) = sin(x + c) = −1.Logo a envolt´ oria da famılia f c e a uni ao das retas y = −1 e y = 1

(ver Figura 7.1).

Exemplo 8.2. (Transformada de Legendre) Seja f : R → R e a famılia de retas em R2

g(x, p) = g p(x) = xp − f ( p).

p faz o papel do parˆ ametro da famılia de func˜ oes g p.Para cada p ∈ R fixado xp − f ( p) e a equac˜ ao de uma reta na

vari´ avel x. A envolt´ oria u desta famılia de retas e encontrada da seguinte maneira: encontre p0 tal que

∂g

∂p(x, p0) = 0,

a seguir tome u(x) = xp0 − f ( p0).

Dado x, estas equac˜ oes equivalem a escolher p tal que x = f ′( p)e u(x) = xp − f ( p), ou seja, u e a Transformada de Legendre de f .



164 [CAP. 8: METODO DA SOLUCAO COMPLETA

Figura 8.1:

Alternativamente, podemos expressar as condicoes acima na ma-neira mais familiar ao leitor, conforme Secao 3 deste capıtulo: u(x) ea transformada de Legendre de f se

u(x) = sup p∈R

xp − f ( p).

Vamos analisar agora famılias de superfıcies em R3 parametriza-

das por c ∈ R. Por exemplo f (c,x,y) = f c(x, y) = sin(x + c) + y,c ∈ R.

Definicao 8.2. A envolt´ oria da famılia de superfıcies cujo gr´ afico e (x,y,f c(x, y)) e por definic˜ ao o bordo da regi˜ ao de dimens˜ ao 3 obtida como uni˜ ao dos pontos do R3 da forma (x,y,f c(x, y)).

Para cada (x, y) o ponto da envoltoria da forma (x,y,z) e aqueletal que z = f c0(x, y), onde se g(c) = f c(x, y) entao c0 e obtido como o



165

maximo ou mınimo para g na variavel c. Em outras palavras devemosencontrar c0 = c0(x, y) tal que g′(c0) = 0, ou seja c0 tal que

∂f

∂c(c,x,y) = 0,

e a seguir considerar (x,y,z) onde z = f c0(x, y).A funcao u(x, y) = f c0(x,y)(x, y) define entao atraves do seu grafico

(x,y,u(x, y)) a envoltoria da famılia. f c

Exemplo 8.3. Seja f c(x, y) = sin(x + c) + y, ent˜ ao c = c(x,y) deve satisfazer

∂f ∂c

(c,x,y) = cos(x + c) = 0.

Ou seja,

x + c =π

2ou x + c = −π

2,

logo

z = sin

π

2

+ y = 1 + y ou z = sin

−π

2

+ y = −1 + y.

A envolt´ oria da famılia e, portanto, a uni˜ ao de dois planos (x,y, 1+y) e (x,y, −1 + y).

Agora vamos voltar a considerar o problema de resolver equacoesdiferenciais parciais.

A equacao diferencial parcial geral de 1a ordem para a funcaode duas variaveis z(x, y) e suas derivadas zx = p e zy = q pode serescrita como

F (x,y,z,p,q ) = 0, (8.1)onde F : R5 → R tem derivadas parciais de segunda ordem contınuas.Considere a condicao de fronteira dada por uma curva (x(t), y(t), z(t)).

Um exemplo de tal tipo de equacoes diferenciais e F (x,y,z,p,q ) =(z − px − qy)2 + (1 + p2 + q 2) = 0. Este exemplo sera analisado embreve.

Nosso objetivo inicial sera obter novas solucoes de F = 0 a partirde famılias de solucoes de F = 0.




O fato de z(x, y) ser solucao de (8.1) nos da uma relacao no ponto(x0, y0, z0) entre

p =∂z

∂x(x0, y0, z0) e q =

∂z

∂y(x0, y0, z0).

Vamos considerar agora uma famılia f c(x, y) = z = f (x,y,c) desolucoes de (8.1), ou seja, para cada c fixado, z(x, y) = f c(x, y) esolucao de F = 0.

Vamos mostrar que a envoltoria desta famılia de solucoes nos de-termina uma outra solucao de F = 0.

A funcao g(x, y) cujo grafico e a envoltoria da famılia pode ser

obtida da seguinte maneira: para (x, y) fixados, encontre c0 tal que

∂f

∂c(x,y,c0) = 0, (8.2)

e entao obteremos z = g(x, y) = f (x,y,c0).Note que c0 = c0(x, y) na verdade depende de (x, y).A envoltoria g sera f (x,y,c(x, y)) e satisfara entao a equacao

∂g

∂x=

∂f

∂x+

∂f

∂c

∂c

∂x=

∂f

∂xe

∂g

∂y=

∂f

∂y+

∂f

∂c

∂c

∂y=

∂f

∂y.

Como f c(x, y) e solucao de (8.1) entao para f c(x, y) = f c(x,y)(x, y)= g(x, y) a relacao F (x,y,f c(x, y), p , q ) = 0 e valida e portanto

F (x,y,g(x, y), p , q ) = 0

pois p =

∂f

∂x=

∂g

∂xe q =

∂f

∂y=

∂g

∂y.

Portanto g tambem satisfaz a equacao diferencial parcial (8.1).Note que nas consideracoes acima, nada foi dito sobre condicoes defronteira.

Obter mais uma solucao g a partir de uma famılia f c nao pa-rece contribuir muito para a solucao geral do problema (8.1). No



167

entanto, se considerarmos famılias a dois parametros de solucoesz(x, y) = f a,b(x, y) = f (x,y,a,b), estaremos obtendo atraves de en-

voltorias uma informacao nao trivial como veremos a seguir. O pontofundamental e que desejamos encontrar solucoes da EDP, F = 0, massujeita a uma certa curva de valores de fronteira (x(s), y(s), z(s))dada. Uma famılia a um parametro de solucoes nao permite isto, esera necessario considerar famılias a dois parametros.

Escolha uma famılia a um parametro (a(s), b(s)) no espaco deparametros (a, b). Esta famılia sera determinada em breve no texto.

Considere a famılia a um parametro s ∈ R, z = f (x,y,a(s), b(s))e sua envoltoria (ver expressao (8.2)) z = f (x,y,a(s), b(s)) (onde ssatisfaz 0 = ∂f

∂s

= ∂f

∂a

a′ + ∂f

∂b

b′) que e tambem uma solucao de F = 0como vimos antes .

Vamos mostrar agora que dada uma curva de condicoes iniciaisem R3

(x(s), y(s), z(s)),

podemos tentar obter uma superfıcie integral que contenha tal curvaa partir de uma escolha conveniente de (a(s), b(s)).

Seja entao (x(s), y(s), z(s)) uma curva, a qual desejamos encon-trar uma superfıcie integral que a contenha.

Considere as duas equacoesz(s) − f (x(s), y(s), a , b) = 0 (8.3)

z′ − ∂f

∂xx′(s) − ∂f

∂yy′(s) = 0 (8.4)

obtendo assim uma relacao de a e b em funcao de s (para s fixadotemos duas equacoes a duas incognitas). Obtemos assim a(s) e b(s)de tal jeito que satisfazem (8.3) e (8.4).

Com essa escolha de a(s) e b(s) vamos determinar uma famılia

a um parametro que vai determinar atraves da sua envoltoria umasupefıcie integral passando por (x(s), y(s), z(s)).

Considere a famılia a um parametro

z = f s(x, y) = f (x,y,a(s), b(s)) (8.5)

e como vimos acima a sua correspondente equacao da envoltoria

z = f (x,y,a(s0), b(s0)) (8.6)




Figura 8.2:

onde s0 = s0(x, y) satisfaz

0 =∂f

∂s=

∂f

∂aa′(s) +

∂f

∂bb′(s). (8.7)

Seja g(x, y) a envoltoria da famılia (8.5), isto e:

g(x, y) = f (x,y,a(s0(x, y)), b(s0(x, y))),

onde s = s0(x, y) e obtido para (x, y) fixo satisfazendo (8.7).Note que conforme ja vimos antes, e sempre verdade que tal en-

voltoria g(x, y) determina uma superfıcie integral que e solucao daEquacao Diferencial Parcial. A questao que nos interessa e se acurva inicialmente dada pertence a superfıcie integral S que obti-vemos. Afirmamos que (x(s), y(s), z(s)) esta na superfıcie integralda envoltoria g(x, y), ou seja satisfaz (8.6) e (8.7). Isto e verdadepois (8.6)

z(s) = f (x(s), y(s), a(s), b(s))

vem de (8.3) e da maneira como s foi escolhido.Devemos mostrar agora que (8.7) e (8.4) sao equivalentes.



169

Ora de (8.3) z(s) = f (x(s), y(s), a(s), b(s)), logo derivando emrelacao a s

z′(s) = ∂f ∂x

x′(s) + ∂f ∂y

y′(s) + ∂f ∂a

a′(s) + ∂f ∂b

b′(s)

A expressao (8.4) nos diz que

z′ =∂f

∂xx′(s) +

∂f

∂yy′(s)

portanto∂f

∂a

a′(s) +∂f

∂b

b′(s) = 0.

Isto mostra que (8.7) e equivalente a (8.4).Logo se a(s) b(s) satisfazem (8.3) e (8.4), entao obtemos atraves de

g(x, y) acima, envoltoria da familia f s, a solucao da EDP satisfazendoa condicao de fronteira dada.

Portanto dado uma curva (x(s), y(s), z(s)) em R3, atraves do

metodo exposto acima, podemos obter uma superfıcie integral quea contenha.

Definicao 8.3. Uma famılia f a,b(x, y) a dois parˆ ametros (a, b) de soluc˜ oes de (8.1) e chamada uma soluc˜ ao completa de (8.1).

O metodo descrito acima, que permite atraves de uma famılia adois parametros (uma solucao completa conforme a definicao acima)encontrar uma superfıcie integral a partir de condicoes de fronteira echamado de metodo da solucao completa.

Exemplo 8.4. Vamos resolver agora, atraves do metodo da soluc˜ aocompleta a EDP

u − ∂u

∂xx − ∂u

∂yy2

−

1 +

∂u

∂x

2

−

∂u

∂y

2= 0.

Isto e F (x,y,z,p,q ) = (z − px − qy)2 − (1 + p2 + q 2) = 0. Seja a famılia a dois parˆ ametros a e b (com a2 + b2 < 1)

z =−a

1 − (a2 + b2)

x+−b

1 − (a2 + b2)

y+1

1 − (a2 + b2)

= f a,b(x, y)




de soluc˜ oes (uma soluc˜ ao completa).Dada a curva z = 1, x = 1/2cos θ, y = 1/2sin θ, 0 ≤ θ ≤ 2π

ent˜ ao (8.3) significa:

z =−ax − by + 1

1 − (a2 + b2),

ou seja, 1 − (a2 + b2) +

a

2cos θ +

b

2sin θ − 1 = 0. (8.8)

J´ a (8.4) significa

0 − (a) 1 − (a2 + b2)

(− sin θ)

2+

−b

2

cos θ 1 − (a2 + b2)

= 0,

ou seja,

a sin θ − b cos θ = 0. (8.9)

De (8.8) e (8.9) se obtem a(θ) = 4/5cos θ, b(θ) = 4/5sin θ.Logo a soluc˜ ao que buscamos z(x, y) (envolt´ oria da famılia a um

parˆ ametro θ)

z = −43

x cos θ − 43

y sin θ + 53

que fornece como soluc˜ ao o cone

z = −4

3

x2 + y2 +

5

3.

A equacao de Hamilton-Jacobi e de primeira ordem, e o metodo dasolucao completa sera utilizado em breve para analisar tal equacao.

Anteriormente estavamos considerando envoltorias de funcoes. A-gora iremos considerar envoltorias de curvas, obtendo resultados quetambem serao muito importantes em Mecanica Hamiltoniana.

Vamos agora considerar famılias de curvas. Estas curvas seraodadas implicitamente.

Definicao 8.4. A envolt´ oria de uma famılia de curvas dadas impli-citamente ser´ a a curva que define o bordo da uni˜ ao de todas as curvas da famılia.



171

Considere a famılia a um parametro de curvas implicitamente da-das por f (x,y,α) = 0, α ∈ R. Para cada α, 0 = f α(x, y) = f (x,y,α)

define implicitamente na variavel (x, y) uma curva da famılia. Comoencontrar a curva C (ou curvas) que determinam a envoltoria dafamılia f α?

Teorema 8.1. Se a famılia a parˆ ametro α de curvas determinada por

f α(x, y) = f (x,y,α) = 0

tem uma curva envolt´ oria, ent˜ ao esta curva pode ser encontrada im-plicitamente atraves da equac˜ ao que se obtem substituindo α = αx,y,

soluc˜ ao de ∂f (x,y,α)

∂α= 0. (8.10)

em f (x,y,α) = 0.Fica assim determinado implicitamente a envolt´ oria por

0 = g(x, y) = F (x,y,αx,y).

Demostracao: Supondo por exemplo

∂f

∂y(x, y, α) = 0

entao para (x,y,α) perto de (x, y, α) tem-se

f (x,y,α) = 0 ⇔ y = g(x, α)

com g diferenciavel. Pelo resultado anterior (8.2), a envoltoria dafamılia de curvas gα(x) e dada por

∂g

∂α(x, α) = 0.

Como f (x, g(x, α), α) = 0 para todo (x, α) proximo de (x, α), obtem-se, diferenciando com relacao a α,

0 =∂f

∂y(x, g(x, α), α)

∂g

∂α(x, α) +

∂f

∂α(x, g(x, α), α)




e em particular, em (x, α):

0 =∂f

∂y (x, g(x, α), α)∂g

∂α (x, α) =0

+∂f

∂α (x, g(x, α) =y

, α) =∂f

∂α (x, y, α),

i.e., a envoltoria das curvas e dado equivalentemente por

∂f

∂α(x, y, α) = 0.

O caso∂f

∂x (x, y, α) = 0

e analogo.

Exemplo 8.5. Vamos encontrar a envolt´ oria da famılia de cırculos

f (x,y,α) = x2 + y2 − 2αx − 2αy + α2 = 0

usando o ´ ultimo Teorema.

Esta famılia representa cırculos de raio α centrados nos pontos da reta diagonal (α, α), ou seja, a famılia (x − α)2 + (y − α)2 = α2.Ora

∂f

∂α= −(2x + 2y − 2α) = 0,

logo α = (x+y). Substituindo α = αx,y por (x+y) em f (x,y,α) = 0,obtemos 0 = f (x,y,α) = (x−α)2+(y−α)2−α2 = y2+x2−(x+y)2 =−2xy.

Obtemos portanto a equac˜ ao da envolt´ oria como xy = 0, ou seja

a equac˜ ao retas que definem os eixos de x e dos y. Geometricamente e bem f acil se observar que realmente os eixos do x e y s˜ ao a soluc˜ aodo problema (ver Figura 7.2).

Vamos agora aplicar o resultado acima em uma situacao que seraextremamente importante na teoria de propagacao de ondas.

Exemplo 8.6. Seja uma func˜ ao φ : R2 → R tal que para cada T ,φ(x, y) = T determina uma curva de nıvel diferenci´ avel ΣT .



173

Suponhamos que φ tem a seguinte propriedade: para T , ∆ > 0 a curva ΣT +∆ e obtida como a envolt´ oria por cırculos de raio ∆ sobre

a curva ΣT (ver Figuras 7.3 e 7.4).Vamos mostrar que a func˜ ao φ deve satisfazer a equac˜ ao

1 =

∂φ

∂x

2

+

∂φ

∂y

2

. (8.11)

Esta equac˜ ao e conhecida como equac˜ ao eikonal da ´ otica geome-trica.

Seja (x1(α), x2(α)) uma parametrizac˜ ao de ΣT . Ent˜ ao a famılia

f (x,y,α) = (x1(α) − x)2 + (x2(α) − y)2 − ∆2 = 0

vai definir implicitamente a equac˜ ao de cırculos (na vari´ avel (x, y))de raio ∆, centrados nos pontos da curva ΣT .

As Figuras 8.1 e 8.2 d˜ ao uma ideia dos distintos envolt´ orios ob-tidos a partir de um objeto unidimensional generico.

Como vimos antes a envolt´ oria da famılia e obtido como a curva na vari´ avel (x, y) que satisfaz as equac˜ oes ∂f ∂α = 0 e f (x,y,α) = 0.

Sendo assim obtemos as equac˜ oes:

0 = ∂f ∂α

= 2(x1(α) − x)x′1(α) + 2(x2(α) − y)x′2(α),

e (x1(α) − x)2 + (x2(α) − y)2 = ∆2.Resolvendo o sistema acima vamos encontrar (x(α), y(α)) para-

metrizac˜ ao de ΣT +∆ dependendo do ponto (x1(α), x2(α)) sobre a curva ΣT . O ponto (x(α), y(α)) est´ a na envolt´ oria e dista ∆ de (x1(α), x2(α)).

Da equac˜ ao [(x1(α) − x(α))x′1(α) + (x2(α) − y(α))x′2(α)] = 0 con-cluımos que para todo ∆(x1(α)

−x(α), x2(α)

−y(α)) e perpendicu-

lar ao vetor tangente (x′1(α), x′2(α)). Em outras palavras, (x1(α) −x(α), x2(α) − y(α)) e normal a ΣT para todo ∆.

Como sabemos v∆ = −((x1(α) − x(α)), x2(α) − y(α)) para todo∆ (pequeno) e colinear com ∇φ (que e perpendicular a superfıcie de nıvel) e v∆ tem sempre norma ∆.

Portanto,∇φ

∇φ =v∆

v∆ .




Como

∇φ,

∇φ

∇φ =

∇φ

,

ent˜ ao ∇φ,

v∆∆

= ∇φ.

Ora

∇φ, u = ∇φ, (u1, u2) = lim∆→0

φ(x + u1∆, y + u2∆) − φ(x, y)

∆,

logo

∇φ =

∇φ,

v∆∆

=

lim∆→0

1

∆

φ

x1(α) + ∆

x(α) − x1(α)

∆

,

x2(α) + ∆ (y(α) − x2(α))

∆ −φ(x1(α), x2(α))

lim∆→0

1

∆[φ(x(α), y(α)) − φ(x1(α), x2(α))] = lim

∆→0

∆ + T − T

∆= 1.

Sendo assim, ∇φ = 1, ou seja,∂φ

∂x

2

+

∂φ

∂y

2

= 1.

Concluımos, portanto, que uma funcao φ satisfazendo a proprie-dade das envoltorias por cırculos de mesmo raio para as superfıciesde nıvel ΣT , deve satisfazer a equacao diferencial parcial acima.

Esta equacao foi denominada anteriormente de Equacao de Ha-milton-Jacobi autonoma para o Hamiltoniano H (q, p) = p21+ p22. Estaequacao nao e linear. Para resolve-la vamos aplicar os metodos paracalcular as solucoes de equacoes diferenciais parciais de 1a ordem naolineares a partir de condicoes de fronteira que consideramos antes.



175

Figura 8.3:

Exercıcio

1. Calcule pelo metodo da solucao completa a solucao da equacaodiferencial parcial

∂S

∂x

2

+1

4

∂S

∂y

2

= 1,

com a condicao inicial (x(s), y(s), S (s)) = (s, 0, 1).



Capıtulo 9

O Princıpio de Huygens

em Mecanica

Hamiltoniana

Vamos analisar a seguir a evolucao de uma frente de onda em umplano (o caso mais geral em R

n e semelhante). Para fixar ideias,vamos supor que desejamos analisar a seguinte questao: largamosuma pequena pedra ou um galho de arvore na superfıcie de um lagoem repouso. A superfıcie do lago sera entao percorrida por umafrente de onda que se propaga a partir da excitacao inicial causadapela pedra ou galho (ver respectivamente Figuras 8.1 e 8.2).

Vamos denotar por Σt a posicao espacial em R2 da frente de onda

no tempo t.

Observe nas Figuras 8.1 e 8.2 que a frente de onda Σt+∆ e (a parteexterna da) envoltoria por cırculos de raio ∆ centrados na frente deonda Σt. Essa propriedade e observada na natureza e em essenciaexpressa o seguinte fato. A frente de onda Σt+∆ poderia ser obtidalancando ao mesmo tempo t varias pedrinhas sobre a posicao dafrente de onda Σt. Esperando decorrer o tempo ∆ cada pedrinhaindividualmente cria um cırculo (de raio ∆) de frente de onda. Aenvoltoria destes cırculos determina a frente de onda Σt+∆.

176



177

Essa propriedade e o que se denomina (em termos simplificados)o princıpio de Huygens.

O mesmo princıpio e tambem valido para a propagacao da luz apartir de um ponto p0 onde acendemos a luz no tempo inicial t0. Aluz tem velocidade finita e a separacao entre a regiao iluminada numtempo T e a regiao ainda nao iluminada e a frente de onda.

Em certos cristais a luz nao se propaga em linha reta e as frentesde onda nao sao necessariamente cırculos. Podem haver direcoes emque a luz tem mais facilidade de se propagar. Este fato se deve muitasvezes a estrutura molecular do cristal e e conhecido como anisotropia,ou nao-homogeneidade do meio.

Para descrever matematicamente a evolucao da frente de onda,vamos supor que existe uma funcao S (x, t), S : Rn × R→ R que vaidescrever de maneira implıcita a posicao da frente de onda, isto e,dado t1 ∈ R, t1 > 0, S (x, t1) = 0, vai definir a hipersuperfıcie Σt1 emRn, que define a frente de onda no tempo t1. Vamos supor sempre

que ∂S

∂x1

2

+

∂S

∂x2

2

+ ... +

∂S

∂xn

2

= 0.

Referimos o leitor para [BF] e [Jo] para uma explanacao maiscompleta dos topicos a serem apresentados a seguir.

Exemplo 9.1. Considere S (x, t) =

x21 + ... + x2

n − t, ent˜ ao para t > 0 a frente de onda Σt ser´ a a esfera com raio t, ou seja, o conjuntodos (x1,...,xn) tal que

x21 + ... + x2

n − t = 0.

No caso n = 2, a func˜ ao S descreve a evoluc˜ ao da frente de onda de uma pequena pedra lancada no tempo t = 0 na superfıcie de um lago (na posic˜ ao (0, 0)). ´ E f´ acil ver geometricamente que a

propriedade da envolt´ oria das curvas de nıvel por cırculos e verdade para tal S . Estamos neste caso supondo que a propagac˜ ao da onda e isotr´ opica e homogenea (vamos definir estes conceitos mais precisa-mente em breve).

Note que tal S satisfaz a equac˜ ao diferencial

∂S

∂x1

2

+

∂S

∂x2

2

= −∂S

∂t= 1,



178 [CAP. 9: O PRINCIPIO DE HUYGENS EM MECANICA HAMILTONIANA

ou equivalentemente

∂S ∂x1

2

+ ∂S ∂x2

2

= −∂S ∂t

= 1.

Note que esta equac˜ ao corresponde a equac˜ ao de Hamilton-Jacobi para o Hamiltoniano H (q, p) =

p21 + p22. Este fato ser´ a analisado

com mais detalhe em breve.

Exemplo 9.2. Considere para x ∈ R2, S (x, t) =

x21 + 4x2

2 − t,

ent˜ ao as frentes de onda s˜ ao elipses

x21 + 4x2

2 − t = 0. Nesse casoestaremos descrevendo a evoluc˜ ao da frente de onda de um dist´ urbioinicial no tempo 0 feito no ponto (0,0). A propagac˜ ao n˜ ao e ho-mogenea pois a onda se propaga mais rapidamente na direc˜ ao x1.

S satisfaz neste caso a equac˜ ao diferencial ∂S

∂x1

2

+1

4

∂S

∂x2

2

= −∂S

∂t,

ou equivalentemente

∂S ∂x1

2+

14

∂S ∂x2

2= −∂S

∂t.

Note que esta equac˜ ao corresponde a equac˜ ao de Hamilton-Jacobi as-

sociada ao Hamiltoniano H (q, p) =

p21 + 14 p

22.

Este exemplo ser´ a analisado mais uma vez em breve.

Neste texto estaremos analisando, prioritariamente, propagacaohomogenea e isotropica. Sendo assim, a frente de onda Σt+∆ e ob-

tida como a envoltoria de cırculos de mesmo raio com centro emΣt. No outro caso terıamos que fazer envoltorios com elipses e a ex-centricidade de tais elipses depende da posicao no caso de um meionao-homogeneo e anisotropico.

Considere uma S (x, t) : Rn+1 → R, que define implicitamente aposicao das frentes de onda conforme definimos anteriormente. Parasimplificar nossas consideracoes vamos supor ainda mais que existaS (x) : Rn → R tal que S (x, t) = S (x) − t (esta expressao e analoga



179

a expressao S (q, t) = S (q ) − wt que usamos anteriormente quandoestavamos analisando solucoes da equacao de Hamilton-Jacobi na

Secao 8, Capıtulo 3 [L]).Que tipo de restricoes tal funcao S deve satisfazer?Suponha, 0 = S (x, t) = S (x)− t, para t fixo, vai descrever a curva

que estabelece a frente de onda no tempo t. Pelo princıpio de Huygensa curva de nıvel no tempo t+∆ e obtida como a envoltoria de cırculos(o meio e homogeneo e isotropico) de raio ∆ e centrados sobre a curvade nıvel no tempo t. Esta situacao, no caso do plano, e exatamenteaquela que analisamos na secao anterior e sabemos portanto que nestecaso S deve satisfazer a equacao da eikonal

∂S ∂x1

2

+ ∂S

∂x2

2

= 1.

E possıvel tambem mostrar no caso geral do Rn, que a funcao S deve satisfazer

∂S

∂x1

2

+

∂S

∂x2

2

+ ... +

∂S

∂xn

2

= 1.

Esta equacao e tambem denominada equacao da eikonal e e um

caso particular de equacao de Hamilton-Jacobi autonoma (ver (3.13)Secao 8, Capıtulo 3 [L]). A relacao desta equacao com a equacao deHamilton sera o objetivo das nossas proximas consideracoes.

A relacao entre raios de luz e frentes de onda vai nos possibili-tar entender a razao da introducao do ponto de vista de “frentes deonda” de Hamilton de entender a Mecanica Classica. Vamos a seguirexplicar melhor esta relacao.

Na verdade este ponto de vista e, nada mais nada menos, que oprincıpio de Huygens para a Mecanica Hamiltoniana.

Voltando ao caso geral, considere S (x, t) que vai descrever paracada tempo t, a frente de onda no tempo t atraves da curva obtidaimplicitamente pela equacao S (x, t) = 0.

Suponha que x(t) vai descrever uma curva em Rn tal que ∀ t ∈ R,

x(t) ∈ Σt. Em outras palavras, x(t) vai estar sempre na frente deonda. Sendo assim, S (x(t), t) = 0, ∀ t ∈ R, t > 0 e, portanto,

∂S

∂x1x′1 +

∂S

∂x2x′2 + ... +

∂S

∂xnx′n +

∂S

∂t= 0




ou seja

∇S, x′

=

−

∂S

∂t

.

Observacao 9.1. Considere S (x, t) que descreve atraves de S (x, t) =0 a evoluc˜ ao temporal de uma frente de onda causada por uma fonte pontual luminosa localizada em um ponto x0. Para t fixo, a en-volt´ oria dos caminhos z(s), s ∈ [0, t] (todos com velocidade constante z′(s) = 1, s ∈ (0, t)) com ponto inicial x0 = z(0) e ponto final z(t)determina a frente de onda. Um caminho x(s) entre tantos possıveis z(s), que est´ a localizado de tal jeito que x(t) est´ a na frente de onda S (x, t) = 0 vai representar o raio de luz fisicamente observ´ avel. Este

caminho x(s) e o que realmente se chama de raio de luz.

Ora, ∇S e perpendicular a Σt, logo a componente do vetor x′(t)na direcao ∇S

∇S (normal a frente de onda) e

−∂S ∂t

∇S .

Em geral, nem sempre ∇S , o gradiente da funcao frente de onda

S , e x′(t), o vetor tangente ao raio de luz x(t), sao colineares, mas seo meio e homogeneo e isotropico, isto acontecera como veremos embreve.

Definicao 9.1. A velocidade de propagac˜ ao da frente de onda e por definic˜ ao o vetor velocidade de propagac˜ ao normal a superfıcie Σt,ou seja

−∂S ∂t

∇S 2∇S.

Definicao 9.2. O m´ odulo do vetor velocidade de frente de onda e dado por

−∂S ∂t

∇S > 0.

O modulo do vetor frente de onda e a grandeza mais importanteque vai descrever a evolucao temporal da frente de onda. A lei quedetermina tal evolucao sera descrita a seguir.



181

Assuma agora que S (x, t) = φ(x)−t, isto significa que a velocidadede propagacao da onda e

− ∂S ∂t

∇S =1

∇S =1

∇φ .

Como ja vimos antes no caso do plano, se o princıpio de Huygense verdadeiro para φ entao ∇φ = 1.

Sendo assim, assumir que S (x, t) e da forma φ(x) − t e assumirque a velocidade de propagacao da frente de onda e igual a 1. Sedesejassemos analisar uma situacao em que a velocidade da frentede onda e w entao deverıamos tentar encontrar S do tipo S (x, t) =

φ(x) − wt.Neste caso, e facil ver que a equacao que descreve tal S e

∇S = w.

Fica portanto justificado porque e bastante comum quando bus-camos encontrar solucoes da equacao de Hamilton-Jacobi tentar en-contrar solucoes da forma S (q, t) = S (q ) − wt.

Vamos analisar agora a propagacao de ondas de um ponto de vistabastante geral. Vamos descrever a lei fısica que S (x, t) deve satisfazer.

O modulo do vetor velocidade da propagacao da onda deve sa-tisfazer uma lei que e chamada de propriedade constitutiva do meiocontınuo. Essa lei, que como veremos a seguir e bastante natural,envolve uma funcao H 0(x, p), onde x ∈ R

n, (mas definida apenaspara valores unitarios, ou seja p ∈ R

n, p = 1) que vai descreverpropriedades microscopicas do meio. A lei determina que o modulodo vetor velocidade de propagacao da onda

−

∂S ∂t

∇S satisfaca

−∂S ∂t

∇S = H 0

x,

∇S

∇S

. (9.1)

A equacao diferencial parcial acima estabelece uma dependenciade ∂S

∂t em x e no vetor unitario ∇S ∇S . Esta dependencia e estabele-

cida por H 0 e expressa uma lei agindo a nıvel local (microscopico)




no sistema em consideracao. H 0 vai descrever a falta de homogenei-dade e anisotropia (ou nao) que existe no meio. Esta lei local (9.1)

vai determinar propriedades globais (macroscopicas) do sistema (porexemplo a forma das frentes de onda a partir de uma perturbacaoinicial em um certo ponto do meio) como veremos a seguir.

Atraves de consideracoes de natureza fısica e geometrica e naturalagora estabelecer que H seja homogenea na segunda variavel, ou seja,que

H (x,λp) = λH 0(x, p). (9.2)

Por exemplo, se estivermos analisando uma metrica Riemamnni-

ana < , > como Hamiltoniano, e mais natural neste caso, considerarH = √ < , > em vez de H =< , >. Desta maneira a integral γ Hdt

de uma curva γ depende apenas do traco da curva (dos pontos dacurva) e nao da parametrizacao utilizada.

∀ λ ∈ R, ou seja que para um vetor nao unitario, H tem umadependencia linear no comprimento do vetor p. Sendo assim a partirde (9.1), a equacao constitutiva do meio para S (x, t) que descreve aevolucao de uma frente de onda torna-se

∂S

∂t + ∇S H 0(x, ∇S

∇S ) =∂S

∂t + H (x, ∇S ) = 0. (9.3)

Esta equacao foi denominada anteriormente (Definicao 26, Secao8, Capıtulo 3 [L]) de equacao de Hamilton-Jacobi.

O Hamiltoniano H desempenha portanto na Mecanica Hamilto-niana o papel da lei constitutiva do meio na propagacao de frentesde onda.

Se S (x, t) for da forma S (x, t) = φ(x) − t, entao a equacao acima

torna-se0 =

∂S

∂t+ H (x, ∇S ) = −1 + H (x, ∇φ),

ou seja H (x, ∇φ) = 1.

Esta equacao foi denominada em (3.13) na Secao 8, Capıtulo 3[L], de equacao de Hamilton-Jacobi autonoma.

Como dissemos antes, no caso isotropico e homogeneo, devemosconsiderar a metrica Euclidiana H (x, p) =

p21 + p22 e entao teremos



183

a equacao

−∂S ∂t

= H (x, ∇S ) = ∂S ∂x1

2

+ ∂S ∂x2

2

.

Se S (x, t) = φ(x) − t, entao a equacao acima significa

1 =

∂φ

∂x1

2

+

∂φ

∂x2

2

.

A conclusao portanto e que a equacao constitutiva

0 = ∂S ∂t

+ H (x, ∇S )

e apenas uma descricao geral do princıpio de Huygens e determinauma equacao do tipo Hamilton-Jacobi.

Se H no caso bidimensional e dado por H (x, p) =

p21 + p22, entaoesta ultima equacao e a equacao da eikonal.

Sendo assim a equacao de Hamilton-Jacobi, neste caso particu-lar, expressa a lei constitutiva do meio e esta equacao determina apropagacao de frentes de onda num meio homogeneo e anisotropico.

Podemos extrapolar o raciocınio acima e pensar que o Hamilto-niano H (x, p) determina uma lei constitutiva no espaco da variavelx (de configuracao), e que a equacao de Hamilton-Jacobi descrevefrentes de onda de solucoes do sistema mecanico.

A dependencia de H 0(x, p) em p caracteriza a anisotropia do meio.

Definicao 9.3. No caso em que H 0(x, p) n˜ ao depende de p, o meioe dito isotr´ opico.

Definicao 9.4. Se H 0(x, p), por sua vez n˜ ao depende de x, dizemos que o meio e homogeneo.

Exemplo 9.3. Seja o Hamiltoniano H (q, p) = a(q ) p21 + 2c(q ) p1 p2 +b(q ) p22 (ou H (q, p) =

a(q ) p21 + 2c(q ) p1 p2 + b(q ) p22), q = (x1, x2), p =

( p1, p2), e suponha que exista soluc˜ ao da forma S (q, t) = S (q )−t para a EDP de Hamilton-Jacobi associada, ent˜ ao

0 = −1 + H (q, p) =∂S

∂t+ H (q, p) =

∂S

∂t+

H (q, p)




vai descrever em geral a evoluc˜ ao de frentes de onda no plano em um meio anisotr´ opico e n˜ ao homogeneo.

Note que no caso de propagac˜ ao de ondas num meio contınuo, por causa de (9.2), o H (q, p) deve ser

H (q, p) =

a(x) p21 + 2c(x) p1 p2 + b(x) p22,

mas como vimos na equac˜ ao acima, tanto faz tomar a raiz quadrada ou n˜ ao, para fins de calcular a equac˜ ao de Hamilton-Jacobi.

Voltaremos a analisar este exemplo em breve.

Acreditamos que neste momento tenha ficado transparente a rela-cao do princıpio de Huygens com a Mecanica Hamiltoniana, em par-ticular com a equacao de Hamilton-Jacobi. A propagacao de frentesde onda e a inspiracao principal para este ponto de vista da MecanicaClassica.

Uma boa justificativa porque os raios de luz podem ser inter-pretados como geodesicas aparece na Observacao 9.1 e subsequenteconclusao no fim da proxima secao.

A questao relevante do ponto de vista Fısico e a seguinte: consi-dere um sistema Hamiltoniano definido por H (q, p) e

(q (t), p(t)) = (x1(t), x2(t), p1(t), p2(t))

solucao do problema mecanico. Desejamos analisar a partir de umafrente de onda de condicoes iniciais de posicao e velocidade (q, p) =(q (s), p(s)) = (x1(s), x2(s), p1(s), p2(s)), s ∈ (a, b), a evolucao destafrente de onda com o tempo t segundo o sistema mecanico. Isto e,desejamos descobrir a funcao

(q (s, t), p(s, t)) = (x1(s, t), x2(s, t), p1(s, t), p2(s, t)) =

= (xs1(t), xs2(t), ps1(t), ps2(t))

que determina a posicao da condicao inicial

(q (s), p(s)) = (x1(s, 0), x2(s, 0), p1(s, 0), p2(s, 0))

apos decorrido tempo t.



185

Em outras palavras gostarıamos de determinar a evolucao tem-poral de um feixe (uma frente de onda) de condicoes iniciais. Como

veremos a seguir, a Mecanica Hamiltoniana permite tal tratamento.Vamos agora analisar a evolucao de frentes de onda de condicoesiniciais no espaco de fase da Mecanica Hamiltoniana.

Considere um Hamiltoniano H , por exemplo

H (q, p) = U (q ) +1

2

2i=1

p2i = U (x1, x2) +1

2

2i=1

p2i (9.4)

sendo assim, a equacao

0 =∂S

∂t+ H

q,

∂S

∂q

=

∂S

∂t+ H (q, ∇S )

de Hamilton-Jacobi, obtida anteriormente na Mecanica Hamiltonianae analoga a equacao que descreve a evolucao de uma onda em um meiocontınuo.

Note que para um sistema mecanico em geral da forma (9.4), aexpressao (9.2) nao e verdadeira.

Supondo por separacao de variaveis que S e da forma S (q, t) =φ(q )−t, entao a equacao diferencial parcial F = 0 associada a equacaode Hamilton-Jacobi e

0 = F (x1, x2, φ , p1, p2) = U (x1, x2) +1

2( p21 + p22) − 1 =

U (x1, x2) +1

2((

∂φ

∂x1)2 +

∂φ

∂x2)2

− 1 = H (x1, x2, p1, p2) − 1,

onde p1 =

∂φ

∂x1, p2 =

∂φ

∂x2.

Vamos voltar a considerar um Hamiltoniano qualquer a partirdeste momento.

A equacao diferencial parcial nao linear de Hamilton-Jacobi

H (q, p) − 1 = H (q, ∇φ) − 1 = 0,




pode ser resolvida atraves do metodo das caracterısticas como foidesenvolvido na Secao 7. As equacoes das caracterısticas para a F

definida acima neste caso sao

x′1 =∂F

∂p1=

∂H

∂p1

x′2 =∂F

∂p2=

∂H

∂p2

φ′ = p1∂F

∂p1+ p2

∂F

∂p2

p′1 = −∂F

∂x1= −

∂H

∂x1

p′2 = − ∂F

∂x2= − ∂H

∂x2(9.5)

As primeiras duas e as ultimas duas equacoes acima definem assolucoes do campo de vetores Hamiltoniano no plano (x1, x2, p1, p2).

Logo as caracterısticas de equacao de Hamilton-Jacobi projetadasno espaco (x1, x2, p1, p2) sao as solucoes das equacoes de Hamilton.

O Teorema de Hamilton-Jacobi (Teoremas 22 e 23), que apre-

sentamos na Secao 9 [L], afirma que se pode passar diretamente dasolucao completa para as caracterısticas da EDP de Hamilton-Jacobi.

A terceira equacao de (9.5) afirma que as caracterısticas (solucoesda equacao de Hamilton) (x1(t), x2(t), p1(t), p2(t)) sao tais que afuncao

φ(x1(t), x2(t))

satisfazdφ

dt

=2

i=1

piH pi =2

i=1

piF pi .

Note que o resultado sobre caracterısticas acima e valido paraum Hamiltoniano qualquer H (q, p) e nao apenas para Hamiltonianosnaturais do tipo H (q, p) = 1

2

ni=1 p2i + V (q ).

O metodo que vamos descrever a seguir vai determinar a evolucaode uma frente de onda (q (s, t), p(s, t)) a partir de (q (s), p(s)). Destamaneira poderemos determinar a evolucao temporal de feixes de con-dicoes iniciais do problema mecanico (ver Propriedade Importante



187

a seguir). Esta questao e fundamental em Mecanica Estatıstica eMecanica Quantica (ver [OA]). A propriedade importante descrita a

seguir, nao e para um sistema mecanico qualquer, mas apenas paraum sistema associado a uma metrica Riemanniana. Lembre que emuitas vezes possıvel transformar por mudanca de parametro tempo-ral um problema mecanico em um problema geometrico (ver Teorema20 e Corolario 21, Capıtulo 2 [L]).

Propriedade Importante: Seja o Hamiltoniano

H (q, p) = a(q ) p21 + 2c(q ) p1 p2 + b(q ) p22

q = (x1

, x2

), p = ( p1

, p2

), e seja S (q, t) = φ(q )−

t soluc˜ ao da respectiva equac˜ ao de Hamilton-Jacobi

0 =∂S

∂t+ H

q,

∂S

∂q

,

ou seja φ satisfaz

1 = H

q,

∂φ

∂q

,

e a condic˜ ao inicial (ou de fronteira) (q (s), φ(s)) = (q (s), 1).Ent˜ ao S (x1, x2, t0) = S (x, t0) = 0 vai determinar para cada t0fixo, a posic˜ ao de q (s, t1) = (x1(s, t1), x2(s, t1)), t1 = t1(t0), das curvas

(xs1(t), xs2(t)),

projec˜ ao no plano (x1, x2) das curvas (xs1(t), xs2(t), ps1(t), ps2(t)), soluc˜ ao do campo Hamiltoniano comecando no tempo t = 0 em

(x1(s), x2(s), p1(s), p2(s)),

s ∈ (a, b). Note que p(s) = ( p1(s), p2(s)) deve satisfazer a Observac˜ ao 7.2 da Sec˜ ao 7.

A Propriedade Importante segue do seguinte fato:

S (x, t) = S (x1, x2, t) = S ((x1(s, t), x2(s, t), t)

depende apenas de t (linearmente em t de fato) e as caracterısticassao as solucoes do problema mecanico como vimos acima.




Seja φ(x1, x2) solucao da equacao de Hamilton-Jacobi

0 = H (x1, x2, p1, p2)

−1 = H (q,

∇φ( p))

−1 = F (x1, x2, φ , p1, p2),

que sera analisada a seguir pelo metodo das caracterısticas.A funcao φ(x1(s, t), x2(s, t)) satisfaz

d (φ(x1(s, t), x2(s, t))

dt=

∂φ

∂x1x1s′(t) +

∂φ

∂x2x2s′(t) =

p1H p1 + p2H p2 = p1(2a(q ) p1 + 2c(q ) p2) + p2(2c(q ) p1 + 2b(q ) p2) =

2H (q (s, t), p(s, t)).

E facil ver pela Observacao 46 que para o HamiltonianoH (q, p) = a(q ) p21 + 2c(q ) p1 p2 + b(q ) p22,

a condicaoF (x1(s), x2(s), φ(s), p1(s), p2(s)) =

= H (x1(s), x2(s), p1(s), p2(s)) − 1 = 0

significa que H (q (s, 0), p(s, 0)) = 1 para todo s.Pelo Teorema de conservacao do Hamiltoniano (Teorema 2, Capı-

tulo 3 [L]) H (q (s, t), p(s, t)) e constante igual a 1. Logo, para todo sd (φ(x1(s, t), x2(s, t))

dt= 2.

Concluımos portanto que

dS (x, t)

dt=

d(φ(x) − t)

dt= 2 − 1 = 1.

Se assumirmos φ(x1(s, 0), x2(s, 0)) = φ(x1(s), x2(s)) = 1, ∀s ∈(a, b) entao S (x1(s, t), x2(s, t), t) = 1 + t.Fica assim justificada a afirmacao da Propriedade Importanteacima enunciada. Em breve apresentaremos exemplos em que uti-lizaremos a propriedade acima descrita (Exemplos 9.5, 9.6 e 9.7).

Considere agora o caso particular em que H (x, p) = p21 + p22, S solucao da equacao da eikonal

∂S

∂x1

2

+

∂S

∂x2

2

= 1



189

com a condicao inicial da frente de onda na posicao

q (s) = (x1

(s), x2

(s))∈R2

dada. Entao, pela Propriedade Importante φ(x) − t = S (x, t) = 0,vai descrever implicitamente a posicao espacial da frente de onda notempo t1.

Vamos considerar no tempo t = 0, condicoes iniciais (x1(s), x2(s))e perguntar a posicao desta frente de onda apos decorrido tempo t.Vamos utilizar o resultado mencionado pela Propriedade Importantevisto anteriormente.

Vamos tentar resolver este problema atraves dos dois metodos

desenvolvidos antes: o metodo da integral completa e o metodo dascaracterısticas.

Primeiro vamos aplicar o metodo das caracterısticas.Usando a notacao da Secao 7, a Equacao diferencial parcial de 1a

ordem nao linear ∂φ

∂x1

2

+

∂φ

∂x2

2

= 1

pode ser expressa como 0 = F (x1, x2, φ , p1, p2) = 1 − ( p2

1 + p2

2) =1 − (φ2x + φ2

y) onde p1 = φx e p2 = φy.Vamos analisar neste caso a expressao das equacoes das carac-

terısticas da EDP, F (x1, x2, φ , p1, p2) = 0 . Neste caso, a equacaoe

p21 + p22 − 1 = 0,

ou seja, neste caso F ( p1, p2) = p21 + p22 − 1.Usando a expressao das equacoes das caracterısticas obtemos

dx1

dt= 2 p1

dx2

dt= 2 p2

dφ

dt= 2 p21 + 2 p22

dp1dt

= 0




dp2dt

= 0. (9.6)

Observacao 9.2. Note que no caso acima, o vetor gradiente da frente de onda ∇φ = p e colinear com x′.

Observacao 9.3. Das equac˜ oes das caracterısticas acima, as carac-terısticas (x1(t), x2(t), φ(t), p1(t), p2(t)) devem portanto satisfazer

d2x1

dt2=

d

dt

dx1

dt

=

d

dt(2 pi) = 0

e

d2x2

dt2= d

dt

dx2

dt

= d

dt(2 p2) = 0.

Note que os valores p1(t) e p2(t) s˜ ao constantes.Da equac˜ ao acima segue que x1(t) e x2(t) s˜ ao lineares em t, ou

seja, x1(t) = 2 p1t + c1 e x2(t) = 2 p2t + c2.A conclus˜ ao e que a projec˜ ao das caracterısticas no plano x =

(x1, x2) s˜ ao linhas retas.Finalmente, φ′(t) = 2 p21 + 2 p22 = 2( p21 + p22) = 2 × 1 = 2, pois por

hip´ otese p2

1 + p2

2 = 1.Logo φ(t) = 2t + c3.Sendo assim, concluımos finalmente que as caracterısticas s˜ ao re-

tas em R5.

Vamos agora usar os resultados obtidos anteriormente para cal-cular solucoes da EDP via o metodo das caracterısticas.

Exemplo 9.4. Vamos calcular a soluc˜ ao da equac˜ ao diferencial par-cial ∂φ

∂x1

2

+ ∂φ

∂x2

2

= 1,

sujeita as condic˜ oes

(x1(s), x2(s), φ(s), p1(s), p2(s)) = (cos s, sin s, 1, cos s, sin s).

Observe que p1(s) e p2(s) s˜ ao compatıveis com (x1(s), x2(s), φ(s))como e necess ario assumir no problema em considerac˜ ao (Sec˜ ao 7).



191

As caracterısticas j´ a foram calculadas acima, e portanto as carac-terısticas (xs1(t), xs2(t), φs(t), ps1(t), ps2(t)) obtidas a partir das condic˜ oes

iniciais (cos s, sin s, 1, cos s, sin s),

s˜ ao

xs1(t) = 2 p1(s)t + cos s = 2 cos(s)t + cos(s)

xs2(t) = 2 p2(s)t + sin s = 2sin(s)t + sin(s)

φs(t) = 2t + 1

ps1(t) = cos s

ps2(t) = sin s.

Observacao 9.4. Note que a partir de p(s) = ( p1(s), p2(s)) fixado, ovetor ps(t) = ( ps1(t), ps2(t)) n˜ ao se altera, ou seja neste caso particular,o momento se conserva.

Antes de expressar a func˜ ao φ nas coordenadas (x1, x2), devemos relacionar as coordenadas (s, t) e as coordenadas (x1, x2).

Ora, (x1(s, t), x2(s, t)) = (cos s(2t+1), sin s(2t+1)), logo x21+x2

2 =cos2 s(2t + 1)2 + sin2 s(2t + 1)2 = (2t + 1)2.

Portanto,

t =1

2

x21 + x2

2 − 1

e como x1 = cos s(2t + 1) ent˜ ao

s = arccosx1

2t + 1= arccos

x1 x21 + x2

2

.

Em conclus˜ ao

(s(x1, x2), t(x1, x2)) =

arccos

x1 x21 + x2

2

,1

2

x21 + x2

2 − 1

.

Como φ(s, t) = 2t + 1, concluımos que a soluc˜ ao φ(x1, x2) satisfazendo as condic˜ oes iniciais pre-fixadas e φ(x1, x2) =

x21 + x2

2.Sugerimos ao leitor calcular φ2

x1 + φ2x2 para testar e certificar-se

que realmente a φ acima descrita satisfaz φ2x1

+ φ2x2

= 1.




A evolucao de (q (s, t), p(s, t)) a partir da frente de onda no tempot = 0, dada por (q (s), p(s)) = (cos(s), sin(s), cos(s), sin(s)) pode ser

seguida para tempos t subsequentes atraves de φ, isto e, φ(q 1, q 2) = tdetermina a posicao no tempo t da frente de onda acima considerada.A conclusao neste caso, e que as frentes de ondas sao cırculos com

o mesmo centro.

Exemplo 9.5. Vamos agora tentar encontrar a soluc˜ ao da equac˜ aodiferencial parcial φ2

x+φ2y = 1 atraves do metodo da soluc˜ ao completa.

Devemos tentar primeiramente encontrar uma famılia f a,b(x1, x2) a dois parˆ ametros (a, b) ∈ R2 de soluc˜ oes de φ2

x + φ2y = 1.

Vamos tentar encontrar a soluc˜ ao pelo metodo de separac˜ ao de

vari´ aveis. Suponhamos que φ possa ser escrita da forma φ(x1, x2) =f (x1) + g(x2).

Substituindo φ na equac˜ ao φ2x1

+ φ2x2

= 1, obtemos f ′(x1)2 +g′(x2)2 = 1.

Como f ′(x1)2 = 1−g′(x2)2, ent˜ ao f ′(x1) n˜ ao depende de x1. Logof ′(x1) e constante. Da mesma forma g′(x2) tambem e constante.

Como f ′(x1)2 + g′(x2)2 = 1, podemos escrever f ′(x1) = cos a e g′(x2) = sin a.

Portanto, f (x1) = x1 cos a + c1 e g(x2) = x2 sin a + c2.

Finalmente concluımos que f (x1, x2, a , b) = f (a,b)(x1, x2) = x1 cos a + x2 sin a + b

e uma famılia completa de soluc˜ oes da equac˜ ao diferencial parcial φ2x1 + φ2

x2 = 1.

Exemplo 9.6. Vamos agora encontrar a soluc˜ ao de φ2x1 + φ2

x2 = 1com as condic˜ oes iniciais (x1(s), x2(s), φ(s)) = (cos s, sin s, 1), 0 ≤t ≤ 2π.

Como vimos antes no par´ agrafo sobre envolt´ orias, primeiro deve-

mos encontrar (a(s), b(s)) soluc˜ ao de 1 = z(s) = x1(s)cos a(s) + x2(s)sin a(s) + b(s)

= cos s cos a(s) + sin s sin a(s) + b(s) (9.7)

e

0 = z′(s) =∂f

∂x1x′1(s) +

∂f

∂x2x′(s) = (− cos a(s)sin s + sin a(s)cos s).

(9.8)



193

´ E f´ acil derivar que a(s) = s, b = 0 s˜ ao as soluc˜ oes do sistema (9.7) e (9.8).

Devemos portanto considerar a famılia a um parˆ ametro s, dada por

f t(x1, x2) = x1 cos a(s) + x2 sin a(s) + 0 = x1 cos s + x2 sin s.

A envolt´ oria desta famılia nos permitir´ a obter a soluc˜ ao z(x1, x2).Fixe (x1, x2) ∈ R2, vamos encontrar quem e s(x1,x2) que satisfaz

0 =∂f

∂s= −x1 sin s + x2 cos s

e f (x1, x2) = x1 cos s + x2 sin s.Seja θ e r > 0 tal que x1 = r cos θ e x2 = r sin θ.Logo

0 = −x1 sin+x2 cos s = −r cos θ sin s + r sin θ cos s = −r sin(s − θ),

implica que

s(x1,x2) = arctanx2

x1.

Portanto, u(x1, x2) = x1 cos s(x1,x2) + x2 sin s(x1,x2) =

= x1x1

r+ x2

x2

r=

x21 + x2

2 x21 + x2

2

=

x21 + x2

2.

Sendo assim obtivemos a soluc˜ ao da equac˜ ao da eikonal com a condic˜ ao inicial (q (s), p(s), 1) utilizando o metodo da soluc˜ ao com-pleta.

A partir da soluc˜ ao da equac˜ ao de Hamilton-Jacobi u, sabemos pela Propriedade Importante que podemos determinar a evoluc˜ ao das frentes de onda de soluc˜ oes do sistema mecˆ anico (q (s, t), p(s, t)) a partir de condic˜ oes iniciais (q (s), p(s)).

Exemplo 9.7. Seja a matriz

M =

a c

c b

,




positiva definida e que define uma metrica Riemanniana

L =Mv,v

= av2

1+ 2cv1v2 + bv2

2.

Neste caso, (ver (3.1) na Sec˜ ao 2, Capıtulo 3 [L])

H (x, p) =1

4M −1 p, p

e o Hamiltoniano associado ao Lagrangiano L dado pela metrica Ri-emanniana (com coeficientes a, b, c constantes). Note que 1

4M −1

tambem e positiva definida.Sendo assim, se S (q, t) e da forma S (q )

−t, a equac˜ ao

0 =∂S

∂t+ H (x, ∇S ) =

∂S

∂t+

1

4M −1∇S, ∇S =

−1 +

1

4M −1∇S, ∇S

= −1 +

1

4M −1∇S, ∇S

vai descrever a evoluc˜ ao de frentes de onda em um meio homogeneomas n˜ ao isotr´ opico.

Note que H tambem define uma forma quadr´ atica positiva defi-nida, pois se M e positiva definida, M −1 tambem e.

Das equac˜ oes das caracterısticas obtemos que p(t), q (t) s˜ ao cons-tantes pois a equac˜ ao diferencial definida por F n˜ ao depende de z, x1, x2.Sendo assim o vetor normal as distintas superfıcies de nıvel (evo-luindo no tempo) a partir de um vetor inicial dado e constante.

Se assumirmos por exemplo que

1

4M −1 =

1 00 1/4

,

ou seja que

M =

1/4 00 1

,

ent˜ ao a equac˜ ao de Hamilton-Jacobi associada e

0 = −1 +

∂S

∂x1

2

+1

4

∂S

∂x2

2

.



195

Uma soluc˜ ao de tal equac˜ ao j´ a foi considerada no exemplo S (x, t) =

x21 + 4x2

2 − t.

Neste caso um dist´ urbio inicial no ponto (0,0) vai gerar frentes de onda com forma de elipses. Um propriedade macrosc´ opica, a forma da frente de onda, e ent˜ ao determinada por uma propriedade mi-crosc´ opica.

S descreve a evoluc˜ ao em um meio homogeneo anisotr´ opico.

Exemplo 9.8. Uma metrica Riemanniana pode ter os coeficientes

a(x1, x2), b(x1, x2), c(x1, x2)

dependendo da vari´ avel (x1

, x2

). Considerando L o Lagrangiano as-sociado a metrica Riemanniana

L = a(x1, x2) p21 + 2c(x1, x2) p1 p2 + b(x1, x2) p22,

e seu correspondente Hamiltoniano H (ver (3.1) Sec˜ ao 2, Capıtulo 3).Ent˜ ao a equac˜ ao constitutiva natural ao problema e dado por

−∂S

∂t= H (x, ∇S )

onde H (x, p) = H (x1, x2, p1, p2) =

1

4

b(x1, x2) p21 − 2c(x1, x2) p1 p2 + a(x1, x2) p22ac − b2

.

Para simplificar a notac˜ ao, podemos reescrever a express˜ ao acima considerando

a =1

4

b

a

˜

b − c

2, c =

1

4

−c

a

˜

b − c

2, b =

1

4

a

a

˜

b − c

2.

Obtemos assim o Hamiltoniano

H (x, p) = a(x1, x2) p21 + 2c(x1, x2) p1 p2 + b(x1, x2) p22. (9.9)

Supondo S (x, t) = t − φ(x) temos ent˜ ao a equac˜ ao de Hamilton-Jacobi para tal H (ou para

√ H , tanto faz)

1 = a(x1, x2) p21 + 2c(x1, x2) p1 p2 + b(x1, x2) p22,




onde p1 = φx1 , p2 = φx2 .

Sendo assim a equac˜ ao constitutiva do meio (ou seja a equac˜ ao

de Hamilton-Jacobi) determina a equac˜ ao diferencial parcial 0 =F (x1, x2, φ , p1, p2) = a(x1, x2) p21 + 2c(x1, x2) p1 p2 + b(x1, x2) p22 − 1,onde p1 = φx1 e p2 = φx2 .

Note que F n˜ ao depende de φ, mas depende neste caso de x1 e x2. Sendo assim, as equac˜ oes das caracterısticas n˜ ao determinar˜ aomais (como no Exemplo 9.4) que p(t) e constante. Isto se deve a dependencia de H (x, p) em x e em p. A falta de homogeneidade e isotropia do meio e descrita pela metrica Riemanniana L (ou mais precisamente pela metrica Riemanniana H ). Note que neste caso

n˜ ao estamos considerando nenhum termo correspondente a energia potencial. O Hamiltoniano neste caso e dado pelo m´ odulo ao quadra-dado do vetor velocidade considerando a norma descrita pela metrica Riemanniana. Lembre que para fins de c´ alculo do traco das curvas soluc˜ oes do sistema (ver Sec˜ ao 7), tanto faz tomar a raiz quadrada ou n˜ ao na express˜ ao do Hamiltoniano acima.

Afirmamos que as geodesicas desta metrica Riemanniana nas co-ordenadas (q, p) desempenhar˜ ao o papel das caracterısticas, pois a equac˜ ao das caracterısticas para

0 = F (x1, x2, z , p1, p2) = a(x1, x2) p21+2c(x1, x2) p1 p2 +b(x1, x2) p22−1

s˜ ao

x′1(t) =∂F

∂p1= 2ap1 + 2cp2

x′2(t) =∂F

∂p2= 2cp1 + 2bp2

p′1(t) = −∂F

∂x1

p′2(t) = − ∂F

∂x2.

e determinam as equac˜ oes das equac˜ oes geodesicas. Esta afirmac˜ ao foi demonstrada anteriormente para um Hamiltoniano qualquer, istoe, mostramos que as caracterısticas s˜ ao as trajet´ orias do sistema Ha-miltoniano (que no caso em considerac˜ ao s´ o possui energia cinetica).



197

As geodesicas s ao portanto as caracterısticas da equac˜ ao diferen-cial parcial

0 = F (x1, x2, z , p1, p2) = a(x1, x2) p21+2c(x1, x2) p1 p2+b(x1, x2) p22−1.

A velocidade da luz e finita e ap´ os uma normalizac˜ ao podemos supor que esta velocidade e igual a 1, sendo assim, fixado um pontoinicial q 0 onde no tempo 0 se acende a luz, a frente de onda

T e o

conjunto dos pontos de plano (x1, x2) que distam T de q 0.As envolt´ orias por raios de luz (ou por geodesicas) determinam as

frentes de ondas num cristal conforme Observac˜ ao anterior.A conclus˜ ao final e que as geodesicas fazem o papel dos raios de

luz e das caracterısticas. Esta conclus˜ ao traduz fielmente a relac˜ aoentre a Mecˆ anica Hamiltoniana e a propagac˜ ao de frentes de onda.Note que no caso da metrica Riemanniana da esfera, a frente de

onda T emitida a partir de um polo q 0, ap´ os um certo tempo T 0

ir´ a colapsar no outro polo (ver Figura 3.10 b)).Este fenˆ omeno, que nem sempre ocorre, e denominado de criac˜ ao

de c´ austicas. Em termos matem´ aticos dizemos que o aparecimentodas c´ austicas est´ a associado a existencia de pontos conjugados. Refe-rimos o leitor a [MC3] para maiores considerac˜ oes sobre este t´ opico.

Exercıcio: No caso da metrica hiperbolica

1

2

x1

2

x22

+x2

2

x22

,

o momento p1 = ∂L∂ x1

= x1x22

= x1. Calcule a equacao de Hamilton-

Jacobi associada.

Observacao 9.5. Em geral, para um H como acima (9.9), oriundode uma metrica Riemanniana

(x′1, x′2) = (2ap1 + 2cp2, 2cp1 + 2bp2). (9.10)

Logo em geral x′ e p′ n˜ ao s˜ ao colineares.

No caso da metrica Euclidiana, no entanto, x e p sao colineares(ver Observacao 48).




Observacao 9.6. As equac˜ oes das caracterısticas afirmam, no casode uma metrica Riemanniana geral, as geodesicas s˜ ao as caracterıs-

ticas (projetadas em (x1,...,xn)). Uma frente de onda t causada por uma perturbac˜ ao pontual em q 0 e constituıdo pelo conjunto dos pontos que distam t de q 0.

Note que p e perpendicular a frente de onda, pois ∇S = p, mas ovetor q n˜ ao necessariamente (se o meio n˜ ao for homogeneo e aniso-tr´ opico) conforme mostra a express˜ ao (9.10) na Observac˜ ao 9.5 (ver Figura 8.3).

Em conclusao, podemos afirmar que as consideracoes feitas ante-riormentes sobre raios da luz e geodesicas como geradores de frentes

de onda, foi a inspiracao para o ponto de vista de Hamilton de ten-tar analisar a Mecanica Classica atraves de um ponto de vista deperturbacao por frentes ondas de um meio contınuo.



Capıtulo 10

A Equacao da Onda

O que chamamos de raio de luz nas secoes anteriores, correspondiaa geodesicas de uma metrica Riemanniana. Na verdade, uma carac-terıstica importante do raio de luz fısico real e o seu carater ondu-latorio, o qual nao foi considerado na nossa analise anterior [Lu].

A luz e um fenomeno eletromagnetico, que obedece as equacoesde Maxwell (ver [Go]). A partir desta equacao, pode se mostrar quea luz obedece a equacao da onda em R

3.

Abstraindo o carater ondulatorio da luz, conseguimos nas secoesanteriores entender o relacionamento da Acao com as frentes de ondae as geodesicas.

Vamos descrever agora brevemente a luz (por abuso de linguagemvamos chamar de raio de luz) como uma onda e relacionar o que foidescrito anteriormente com este novo ponto de vista (ver Observacao10.2 ao fim desta secao).

Referimos o leitor para [Go] para referencias gerais sobre o as-sunto.

Para isto necessitaremos considerar a equacao da onda em R3

∂ 2φ

∂x21

+∂ 2φ

∂x22

+∂ 2φ

∂x23

− η2

c2∂ 2φ

∂t2= 0 (10.1)

onde η e uma constante.

199



200 [CAP. 10: A EQUACAO DA ONDA

A solucao φ(x1, x2, x3, t) vai descrever a evolucao da onda em ummeio com ındice de refracao η. O valor c e a velocidade da luz que e

uma constante universal.Vamos primeiro tentar entender o que representa enfim um raiode luz no tempo t0 e relacionar tal conceito com a equacao acima. Oraio de luz (individualizado) no tempo t0 vai ser representado por

φ(x1, x2, x3) = φ(x1, x2, x3, t0) =

= φ0ei (<x , r>−w t0) = φ0ei ( (x1,x2,x3 ) , ( r1,r2,r3 ) −w t0 ), (10.2)

onde φ0 e uma constante, r = (r1, r2, r3) e um vetor constante e wa constante que vai determinar a frequencia da oscilacao temporal.Existe uma relacao entre w e r que sera descrita em breve.

Vamos agora tentar explicar ao leitor porque e natural considerartal φ para descrever um raio de luz (individualizado).

φ0 determina a amplitude do raio de luz.O raio de luz “individualizado”descrito acima e tal

c

= (x1, x2, x3) | φ(x1, x2, x3, t0) = c

t0, c∈R, determina planos perpendiculares a direcao (r1, r2, r3).

Um raio de luz no tempo t0 e portanto descrito por uma serie deplanos, por isso e tambem denominado de uma onda plana.

Note que para um t0 fixo o raio de luz contem uma informacaoem todo o espaco de posicoes R3 (sao os varios planos de nıvel).

O leitor pode observar que qualquer funcao g(α), onde

α = (x1, x2, x3), (r1, r2, r3) =< x, r >

tambem determinaria planos como superfıcies de nıvel.

Para descrever o raio de luz, assumimos tambem uma periodi-cidade espacial (o raio de luz tem um carater ondulatorio) de φ.Isto explica o termo ei<x,r> na expressao acima para φ. Em vezde usar senos e cossenos estamos usando a notacao complexa paraei (x1,x2,x3),(r1,r2,r3) que e mais compacta. A periodicidade espacialde φ vai depender do modulo

2π

r .



201

Vamos denominar este valor do perıodo de fase otica.Sendo assim, para t0 fixo, o valor de φ se repete espacialmente na

direcao r com perıodo

2π

r .Esta periodicidade espacial vai acontecer tambem de maneira tem-poral para x fixo quando variarmos t0. Isto e expresso pelo termoei wt0 na expressao φ = φ0ei(x,r−wt) = φ0eix,re−iwt. Logo para xfixo, de tempos em tempos (com frequencia w) repetem-se os valoresde φ.

Fica assim descrito de maneira geral como devemos entender oraio de luz individualizado φ(x, t) = φ0ei(x,r−wt). Para cada w er fixos, associamos um raio de luz φ = φr,w. Tal φ = φ(x, t) =

φ0e

i(

x,r

−wt)

e uma funcao que depende de (x, t).Considere w fixo e uma funcao f (x) = f t0(x) que vai descreverum feixe da raios de luz no tempo t0.

A variavel real α = x, r como vimos antes vai determinar umaperiodicidade em eix,r = eiα e sendo assim podemos encara-lo comoum gerador de funcoes f (x) na variavel x via Transformada de Fou-rier. Ou seja f (x) vai ser uma combinacao de φr para diferentes r (ouseja um feixe de raios individualizados de luz φr dado pela expressao(10.2)). Mais precisamente, dado f (x), considere a transformada de

Fourier f (r) tal que f (x) = f (r)(ei<r,x>)dr.Logo

f (x, t) = f (x) e−i w t = (

f (r)(ei<x,r>)dr)e−iwt =

f (r)ei(<x,r>−wt)dr (10.3)

vai representar um feixe de raios de luz (note que w e constante eindepende de r).

f e determinada pela distribuicao (ver [Ju] para definicao) f .O que chamamos de luz e na verdade uma combinacao dos raios

de luz individuais (10.2) dados por φ0ei(α−wt) = φ0ei(x,r−wt) viatransformada de Fourier como acima.

Se f e o Delta de Dirac no ponto r0 com massa φ0, entao

f (x)e−iwt = φ0ei<x,r0>e−iwt = φ0ei(<x,r0>−wt).

Recuperamos assim o raio de luz individualizado (10.2).




O raio individualizado φ0ei(α−wt) e na verdade uma abstracaodo ponto de vista Fısico. A luz, quando observada, em geral e um

“pacote”com varios raios de luz individualizados (10.2), como apareceem (10.3).Para a correta definicao do raio de luz, falta ainda mais uma

restricao. Vai existir uma relacao entre r e w que vai advir daequacao da onda anteriormente apresentada.

Vamos agora relacionar o raio de luz com a equacao da onda. Oraio de luz fisicamente observado e tambem solucao da equacao daonda (ver [Go]).

Substituindo o raio de luz “individualizado”φ(x, t) = φ0ei(r,x−w t)

na equacao da onda

∆φ − η2

c2∂ 2φ

∂t2= 0,

η constante, obtemos que φ e solucao da equacao acima no caso emque

r =η w

c. (10.4)

Sendo assim, existe uma relacao entre a periodicidade espacial re a periodicidade temporal w, determinada pela equacao diferencialparcial acima.

A igualdade (10.4) acima e chamada de relacao de dispersao. Fi-nalmente, com esta relacao entre w e r, o raio de luz fica precisamentebem definido.

Como sabemos, a equacao da onda acima descrita (10.1) e linear.Sendo assim, uma combinacao linear f (x)e−w i t de tais funcoes raiode luz individualizados φ = φr (via Transformada de Fourier) tambemvai ser solucao da equacao linear da onda

∂ 2φ

∂x21

+∂ 2φ

∂x22

+∂ 2φ

∂x23 −

η2

c2

d2φ

dt2

= 0,

η constante.Fica portanto esclarecido em que sentido φ = f (x)e−i w t (um feixe

de raios de luz) e solucao da equacao da onda com η fixo.Vamos agora investigar o caso em que η(x) nao e constante, e e

fracamente variavel (ver Observacao 10.1 a seguir) com a posicao x.A otica geometrica e o ramo da ciencia interesssado em analisar

o caso em que η e fracamente variavel com a posicao. Uma relacao



203

muito interessante e importante com a equacao de Hamilton-Jacobivai aparecer.

Considere η(x) uma funcao noR3

e a equacaodφ2

dx21

+dφ2

dx22

+dφ2

dx23

− η2(x)

c2d2φ

dt2= 0 (10.5)

A analise que vamos fazer neste caso corresponde aos raios de luzem um meio nao homogeneo.

Uma solucao φ para a equacao com η variavel, nao vai mais nestecaso ser uma onda plana. A solucao que se busca e da forma

φ = eA(x)+i(S (x) k0

−w t)

. (10.6)

w e uma constante, eA(x) vai representar a amplitude, o termoei S (x) k0 representa as frentes de onda espaciais (antes quando S erada forma

S (x) = x, restas frentes de onda eram planas) e k0 e uma constante. O termoe−i w t representa a periodicidade temporal. A(x) e S (x) tomam va-lores reais.

Fica assim descrito de maneira esquematica a informacao que nostraz a expressao do raio de luz φ num meio em que η varia composicao.

O problema em consideracao supoe que no infinito η e constante,ou seja, que a regiao em que η(x) depende de x esta localizada apenasem um aberto limitado.

Logo, para pontos x muito distantes, vale que a onda φ(x, t) secomporta como uma onda plana. Logo, para tais pontos x, a solucao(10.6) deve ser da forma (10.3). Sendo assim, vale tambem a relacao

de dispersao (10.4) mencionada anteriormente.Neste caso e usando a notacao acima, esta relacao significa

k20 =

w2

c2. (10.7)

Vamos tentar agora relacionar a teoria descrita acima com a Te-oria de Hamilton-Jacobi. Em particular desejamos tentar entendermelhor o papel desempenhado por S .




Ora ∇φ = φ∇(A + ik0S ) e ∆φ = φ[ ∆(A + ik0S ) + ∇(A +ik0S ) 2].

Esta ultima expressao e igual a

∆φ = φ[ ∆A + ik0∆S + ∇A2 − k20 ∇S 2 + 2ik0 ∇A, ∇S ].

A equacao da onda (usando (10.6)) torna-se entao

ik0 [ 2∇A, ∇S + ∆S ] φ + [ ∆A + ∇A|2 − k20 ∇S 2 + η2k2

0 ] φ = 0.

Como A, S sao reais, a equacao da onda representa

∆A + ∇A2

+ k

2

0 ( η

2

− ∇S 2

) = 0

e∆S + 2 ∇A, ∇S = 0.

Logo, se S e A satisfazem tais equacoes, φ descreve um raio deluz.

Observacao 10.1. Vamos assumir agora que k20 e muito grande em

termos relativos com a parte ∆A + ∇A2. Esta hip´ otese traduz em termos matem´ aticos precisos a afirmac˜ ao que “ η(x) e fracamente vari´ avel com a posic˜ ao x”feita anteriormente.

Portanto, com esta hip´ otese,

∆A + ∇A2k20

+ (η2 − ∇S 2) = 0

significa aproximadamente que η2 − ∇S 2 = 0, ou seja, que S sa-tisfaz a Equac˜ ao de Hamilton-Jacobi

∂S ∂x1

2

+ ∂S ∂x2

2

+ ∂S ∂x3

2

= η2(x). (10.8)

Esta equac˜ ao e a Equac˜ ao de Hamilton-Jacobi (9.3) para o Ha-miltoniano

H (q, p) = p21 + p22 + p23 − η2(x) + 1. (10.9)

Sendo assim, como vimos antes a func˜ ao S soluc˜ ao da equac˜ ao(10.8) acima, deve corresponder a Ac˜ ao de um sistema mecˆ anico.



205

O termo η corresponde a falta de homogeneidade do meio no casodos raios de luz num cristal.

Por exemplo, se η e constante igual a 1, a partir de (10.8) determi-namos que S deve satisfazer a equac˜ ao de Hamilton-Jacobi autˆ onoma associada ao Hamiltoniano p21+ p22+ p23, ou seja a equac˜ ao da eikonal.

Note que uma vez que se obtem S , a func˜ ao A satisfazendo

∆S + 2 ∇A, ∇S = 0,

pode ser facilmente obtida por integrac˜ ao. Desta maneira, com as hip´ oteses acima, obtemos a soluc˜ ao

φ = eA(x)+i(S (x) k0

−w t)

.

Observacao 10.2. O Lagrangiano associado a tal Hamiltoniano(10.9) e

L(q, p) = 4( p21 + p22 + p23) + η2(x) − 1.

Pelo Teorema de Mauperitus (Teorema 20, Sec˜ ao 7, Capıtulo 2)o problema mecˆ anico associado a tal Lagrangiano, e equivalente a considerar um Lagrangiano da forma

˜L(x1, x2, x3, p1, p2, p3) = M (x)( p1, p2, p3), ( p1, p2, p3),

onde M (x) e uma matriz positiva definida que depende da posic˜ ao x.Ou seja, as equac˜ oes da equac˜ ao de Hamilton do sistema (10.9) s˜ aogeodesicas (a menos de reparametrizac˜ ao do tempo) de uma metrica Riemanniana L (ver Sec˜ ao 6, Capıtulo 2 [L]).

Conclusao: Concluımos que o S que aparece na expressao do feixeda raios de luz φ deve ser aproximadamente igual a solucao da equacaode Hamilton-Jacobi para um problema de Mecanica Classica (se k0for tomado bem grande). Portanto, S corresponde aproximadamentea acao de um sistema mecanico. No limite, tomando k0 = ∞, entaoS e realmente a acao de um sistema mecanico definido pelo Hamil-toniano (10.9), como descrito acima. As superfıcies com S constantevao representar superfıcies de fase constante. A Teoria de Hamilton-Jacobi nos diz entao que a Mecanica Classica corresponde a OticaGeometrica (fazendo um limite em que k2

0 vai a ∞). Este tipo deresultado e essencial na Teoria semi-classica da Mecanica Quantica.




Finalmente, a partir do que foi dito acima, podemos justificar asconsideracoes das secoes anteriores onde afirmamos que o raio de luz

deve ser visto como uma geodesica, na verdade corresponde a suporque o raio de luz (10.3) que consideramos nesta secao esta situadoem um meio em que k2

0 e muito grande (mais precisamente k0 = ∞).Essa relacao compatibiliza dois pontos de vista que no passado

foram antagonicos: o ponto de vista de Newton que a luz e um raiocorpuscular e o ponto de vista de Hamilton que a luz e na verdadeuma frente de onda.



Capıtulo 11

O Metodo da Fase

Estacionaria e suas

Aplicacoes em Otica

por Artur Lopes e Marcos Sebastiani

11.1 Introducao

Vamos considerar aqui funcoes C ∞ definidas em semi-reta reaise tomando valores complexos F (τ ) : (d, +∞) → C onde d e uma

constante real.Definicao 11.1. H (τ ) e de decrescimento r´ apido se para todo N vale que H (τ )τ N → 0 quando τ → ∞ e o mesmo e v´ alido para as deri-

vadas de ordem k de H , ou seja para todo N vale que dkH (τ )dτ k τ N →0,

quando τ → ∞.

Definicao 11.2. F (τ ) e G(τ ) tem mesmo comportamento assint´ oticose F (τ ) − G(τ ) e de decrescimento r´ apido e utiliza-se a notac˜ ao

207



208 [CAP. 11: O METODO DA FASE ESTACIONARIA

F (τ ) ∼ G(τ )

Duas funcoes F e G que tem o mesmo comportamento assintotico

sao quase que indistinguıveis para valores de τ grandes.O τ tem o significado de frequencia em Otica e no Eletromag-

netismo. Estamos interessados entao apenas em situacoes em que afrequencia τ vai a infinito, ou seja, quando ela e muito grande. Nestecontexto, se H (τ ) tem decrescimento rapido, podemos dizer que paraτ grande podemos substituir ela pela funcao nula (H (τ ) ∼ 0).

Nosso objetivo principal e analisar o assintotico de expressoes daforma

F (τ ) = ∞

−∞f (x)eiτφ(x)dx

quando τ vai para infinito [1], [5], [6], [7] e [8].Para se ter uma breve ideia da complexidade do problema consi-

dere φ(x) = x: note que neste caso quando τ esta fixo, mas e muitogrande, o termo eiτx oscila muito com x, ou seja, uma pequena va-riacao de x faz variar bastante eiτx; a ideia heurıstica basica aqui eque essas oscilacoes irao produzir cancelamentos e um comportantobem definido aparece disto tudo quando τ vai a infinito.

Em Otica o f (x) representa a amplitude, τ a frequencia e o φ(x)

a fase de uma onda que e descrita pela expressao acima [3], [4] e[8]. O limite quando τ vai a infinito conduz a assim chamada OticaGeometrica [2] Section 9-8 .

Vamos assumir em todo o texto que f e de classe C ∞.Uma outra importante aplicacao do calculo do assintotico de tais

integrais e no estudo do limite semi-classico da Mecanica Quantica:neste caso τ = 1/h e h vai a zero [3], [5] e [2].

Como decorrencia natural do que vamos analisar no texto vamosapresentar brevemente a fundamentacao matematica da teoria das

series nao convergentes. H. Poincare foi o primeiro matematico aintroduzir tais series.



209

11.2 Fase Estacionaria

Proposicao 11.1. Seja f ∈ C ∞0 (IR), ou seja uma func˜ ao C ∞ com suporte compacto, ent˜ ao

F (τ ) =

∞−∞

f (x)eiτxdx

e de decrescimento r´ apido.

Demonstracao: De fato, segue de propriedades de Series de Fourier(apenas integracao por partes) que

F (τ ) = ∞−∞

f (x)eiτxdx = −1iτ

∞−∞

df (x)dx

eiτxdx

e repetindo a integracao por parte n vezes, obtemos

F (τ ) =−1n

(iτ )n

∞−∞

dnf (x)

dnxeiτxdx.

Entao |τ nF (τ )| ≤ (b − a)Maxa≤x≤bdnf (x)dnx , onde o intervalo (a, b)

contem o suporte de f e a, b sao constantes reais.

Logo F (τ )τ n

e limitada para todo n, portantoF (τ )τ n−1 tende a zero para todo n quando τ vai a infinito. Re-sultado analogo vale para as derivadas k-esimas. Logo, tal F (τ ) temdecrescimento rapido.

Utilizando o ponto de vista de equivalencia ∼, podemos dizer, doponto de vista da Definicao 11.2 que podemos substituir F (τ ) por 0para τ grande, ou seja

F (τ ) = ∞

−∞

f (x)eiτxdx ∼ 0.

Vamos agora analisar em geral outros tipos de funcoes F (τ ), comopor exemplo

F (τ ) =

∞−∞

f (x)eiτφ(x)dx

onde φ(x) e uma funcao qualquer que supomos doravante analıtica.No exemplo anterior φ(x) = x.E possıvel mostrar mais geralmente que:




Proposicao 11.2. Se φ′

(x) n˜ ao tem zeros no suporte de f ent˜ aovale que

F (τ ) = ∞−∞

f (x)eiτφ(x)dx ∼ 0.

Demostracao: Para cada τ tal que φ′

(τ ) = 0, podemos escolher umintervalo aberto U τ = (τ −ǫ, τ +ǫ) disjunto do suporte de f . Por outrolado, para cada τ tal que φ

′

(τ ) = 0 podemos escolher um intervaloaberto U τ = (τ − ǫ, τ + ǫ) tal que φ

′

(x) = 0, ∀x ∈ U τ . Tomandouma particao da unidade subordinada ao recobrimento assim obtido,basta provar que a

b

f (x)eiτφ(x)dx ∼ 0,

quando (a, b) contem o suporte de f e φ′

(x) = 0 em [a, b]. O resultadosegue da proposicao 1 pela mudanca de coordenadas φ(x) = y.

Se φ′

(a) = 0, φ′′

(a) = 0 dizemos que a e ponto estacionario or-dinario (e crıtico nao degenerado para φ). Se φ

′

(a) = 0, φ′′

(a) = 0dizemos que a e ponto de caustica.

Um caso importante foi estudado por Fresnel, que corresponde a

φ(x) = x2

. Neste caso x = 0 e ponto estacionario ordinario para φ.Lembre que ∞

−∞eix

2τ dx =1√ τ

∞−∞

eiy2

dy =

√ π√ τ

eiπ/4

Desejamos calcular

F (τ ) =

∞

−∞

f (x)eiτx2

dx

Ora

F (τ ) − f (0)

√ π√ τ

eiπ/4 =

∞−∞

f (x)eiτx2

dx − f (0)

∞−∞

eiτx2

dx =

= limR→∞

R−R

(f (x) − f (0))eiτx2

dx.



211

Seja g(x) tal que f (x) −f (0) = xg(x), onde g ∈ C ∞(R) e g′

= cx2

para x fora do suporte de f .

Ora R−R

(f (x) − f (0))eiτx2

dx =

R−R

xg(x)eiτx2

dx =

eiτx2

g(x)

2iτ |x=Rx=−R − 1

2iτ

R−R

g′

(x)eiτx2

dx.

Se R e grande, g(R) = − f (0)R e g(−R) = f (0)

R .Decorre daı que

limR→∞

R−R

(f (x) − f (0))eiτx2

dx = − 1

2iτ

∞−∞

g′

(x)eiτx2

dx.

Sendo assim,

F (τ ) = eiπ/4f (0)√

πτ −1/2 +i

2τ

∞−∞

g′

(x)eiτx2

dx.

Note que por hipotese de g, para cada τ fixo

i2τ

∞−∞

g′(x)eiτx2dx

e uma constante finita; esta integral vai a zero quando τ vai a infinito.Como τ −1 vai a zero mais rapido que τ −1/2 quando τ vai a infi-

nito, o termo f (0)√

πτ −1/2 domina o termo i2τ

∞−∞ g

′

(x)eiτx2

dx naconvergencia a zero de F (τ ) quando τ vai a infinito.

Fazendo o mesmo procedimento m vezes obtemos:

Proposicao 11.3. Para todo m vale que se F (τ ) = ∞

−∞f (x)eiτx

2

dx,

ent˜ ao

F (τ ) =mk=0

eiπ/4√

π(i/2)kf 2k(0)

(2k)!!τ −k−1/2+

+(i/(2τ ))m+1

∞−∞

h(x)eiτx2

dx,

onde h(x) e uma func˜ ao em C ∞ tal que h(x)x2 e limitada e onde (2k)!! = 2 4 6...(2(k − 1)) (2k).




A funcao h acima e obtida recursivamente seguindo o procedi-mento do caso m = 1. O termo dominante na convergencia a zero da

expressao acima e de ordem τ −1/2

. Podemos afirmar que em primeiraaproximacao o termo dominante de F (τ ) e eiπ/4f (0)√ πτ −1/2.Gostarıamos de fazer m tender a infinto para se ter entao uma

expressao completa de F (τ ) em serie, mas este procedimento podeincorrer em problemas de convergencia da serie; esta e a razao paraintroduzir a seguir o conceito de uma serie convergir assintoticamentea uma funcao F (τ ).

Definicao 11.3. Dizemos que ∞

0 gk(τ ) converge assintoticamente a F (τ ) ∈ C se fixados quaisquer r, s, existe M tal que para m fixo,

m ≥ M

(drF (τ )

drτ −

mk=0

drgk(τ )

drτ )τ s

e limitada quando τ → ∞.

Usaremos a notacao F (τ ) ∼ ∞0 gk(τ ) que estende a notacao

anterior.Note que a serie acima nao converge na maioria dos casos pelo

teorema de E. Borel [8]; os termos f 2k(0)(2k)!! podem ser qualquer coisa!!!

A expressao acima, no entanto, faz completo sentido matematico,se interpretada de acordo com a ultima definicao.

Observamos que por definicao F (τ )′ ∼ ∞

0 g′

k(τ )Usando a notacao acima, podemos concluir das consideracoes an-

teriores que

F (τ ) ∼∞k=0

eiπ/4√

π(i/2)kf 2k(0)

(2k)!!τ −k−1/2 (11.1)

Quando na definicao acima falamos em derivada r-esima de F estamos pensando na expressao formal da derivada, ou seja, por e-xemplo para r = 1 usamos que

F ′(τ ) =

∞−∞

ix2f (x)eiτx2

dx

quando

F (τ ) =

∞−∞

f (x)eiτx2

dx.



213

Mais geralmente, por inducao

F (j)

(τ ) = ∞−∞(ix

2

)j

f (x)eiτx2

dx.

Note que dependendo de f o termo√

π(i/2)k f 2k(0)(2k)!! pode ser qual-

quer coisa. De qualquer modo atraves de (1), no caso φ(x) = x2, fo-mos capazes de caracterizar o comportamento assintotico de F paraτ grande.

Vamos apresentar a seguir, a tıtulo de ilustracao, um exemploque embora nao seja exatamente o caso considerado acima da a ideia

exata das questoes que desejamos analisar aqui.O caso que vamos apresentar a baixo tem a vantagem de utilizarapenas resultados elementares de Calculo Diferencial e Integral.

Considere a funcao F (τ ) tomando valores reais como funcao davariavel τ (vamos estar interessados apenas em valores grandes de τ ):

F (τ ) =

∞0

e−τx

1 + xdx.

Note que F (τ ) vai a zero quando τ vai a infinito.

Note que a principal diferenca do caso acima para o caso anteri-ormente considerado da fase estacionaria (consideramos agora o casoparticular que corresponde na notacao anterior a f (x) = 1/(1 + x) eφ(x) = x), e que consideramos e−τx e nao e−iτx; no entanto as ideiasbasicas que funcionam num caso funcionam no outro.

Vamos mostrar que tal funcao F para valores grandes de τ podeser aproximada por uma serie de potencias que tem uma expressaobem simples:

∞

n=0

(

−1)nn!

τ n+1.

Observe que tal serie nao e convergente!!! A utilidade de consi-derar tal serie deriva do seguinte fato: F (2) e mal aproximado por∞n=0

(−1)nn!2n+1 , mas F (10) (neste caso τ = 10 pode ser considerado

grande) e aproximado com erro percentual de menos de 0, 0006 por3n=0

(−1)nn!10n+1 , ou seja os primeiros tres termos de

∞n=0

(−1)nn!10n+1 sao

tais que |

3n=0

(−1)nn!10n+1 − F (10)| ≤ F (10)0, 0006.




Desejamos enfatizar que estamos dizendo acima que F (τ ) e apro-

ximado por ∞n=0

(−1)nn!τ n+1 apenas para valores grandes de τ !!!

A seguinte definicao para F tomando valores reais e analoga aanteriormente considerada para F tomando valores complexos.

Definicao 11.4. Dizemos que ∞

0 gk(τ ) converge assintoticamente a F (τ ) ∈ R, quando τ vai a infinito, se fixados quaisquer r, s, existe M tal que para m fixo, m ≥ M

|drF (τ )

drτ −

mk=0

drgk(τ )

drτ |τ s

e limitada quando τ → ∞.Neste caso dizemos que

F (τ ) ∼∞n=0

gn(τ ).

Existe uma diferenca fundamental entre series convergentes∞n=0 anτ n = G(τ ) e series assintoticas, quando τ vai a infinito,

∞n=0 anτ n ∼ F (τ ).

No primeiro caso, dado ǫ e τ , existe N tal que

|N n=0 anτ n

−G(τ )| < ǫ, enquanto no segundo caso, dado ǫ e N existe K > 0 talque |N

n=0 anτ n−F (τ )| < ǫτ −N para τ > K . Note que o K dependede ǫ e N ; estamos considerando na aproximacao um erro percentualque leva em conta a grandeza do valor de τ utilizado.

Sendo assim, o que ocorre de fato no caso nas series assintoticas,e que para τ fixo a proximacao e boa para N pequeno, mas fica ruimpara N de ordem maior que τ .

No nosso caso gn(τ ) = (−1)nn!τ n+1 e afirmamos que

F (τ ) ∼ ∞n=0

(−1)nn!τ n+1

,

Vamos elaborar um pouco sobre o sentido do ∼; mais exatamentevamos considerar a questao apenas para r = 0.

Ora,

1 − (−1)N xN

1 + x= 1 − x + x2 − · · · + (−1)N −1xN −1,



215

portanto, para todo x

11 + x

=

N −10

(−1)nxn + (−1)N

xN

1 + x.

Usando a expansao acima na forma integral de F obtemos

F (τ ) =N −1n=0

(−1)nn!

τ n+1+ (−1)N

∞0

e−τxxN

1 + xdx.

Note que a parte esquerda do somatorio acima coincide com os

primeiros N termos de ∞n=0

(−1)nn!τ n+1 , sendo assim o erro na aproxi-

macao de F por ∞n=0

(−1)nn!τ n+1 e

E N (τ ) = (−1)N ∞0

e−τxxN

1 + xdx,

logo

|E N (τ )| = ∞

0

e−τxxN

1 + xdx <

∞

0

e−τxxN

1dx =

N !

τ N +1,

Visto de outro modo

|F (τ ) −N −1n=0

(−1)nn!

τ n+1|τ N +1 ≤ N !

e N ! e uma constante.Sendo assim, na Definicao 11.4, dado s = N + 1 devemos escolher

M = N . Note que para s = N + 1 fixado, a constante N ! e muito

grande (se N e grande) mas fixa.Acreditamos que com o exemplo acima ficou claro o sentido daafirmacao

F (τ ) ∼∞n=0

(−1)nn!

τ n+1,




11.3 Fase nao degenerada

Voltamos agora a considerar o caso em que F toma valores com-plexos.

Vamos considerar agora o caso em que φ(x) possui varios pon-tos crıticos isolados p1, p2,.... Sejam V i respectivamente vizinhancasdisjuntas dos pontos pi.

Considere U m colecao de abertos tal que ∪m,iU m ∪ V i = R, talque pi nao esta em nenhum U m e ainda que a cobertura de R sejalocalmente finita.

Seja θm, ǫi uma particao da unidade subordinada a particao. Es-

tamos usando a notacao que θm tem suporte em U m e ǫi tem suporteem V i.Sendo assim

F (τ ) =m

∞−∞

θm(x)f (x)eiτφ(x)dx +m

∞−∞

ǫm(x)f (x)eiτφ(x)dx.

Observamos que ambas as somas sao finitas e que basta pela Pro-posicao 11.2 examinar

m

∞−∞ ǫm(x)f (x)e

iτφ(x)

dx.

ou seja, basta examinar individualmente

H (τ ) =

∞−∞

f (x)eiτφ(x)dx

quando o suporte de f esta em um intervalo (−δ, δ ) e 0 e ponto crıticoisolado de φ (podemos transladar o problema e colocar o ponto crıticono ponto 0).

No caso em que 0 e nao degenerado φ′(0) = 0, φ′′(0) = 0), existeuma mudanca de coordenadas local x = x(y) tal que φ(x(y)) = y2.Neste caso recaımos na Proposicao 11.3, pois

H (τ ) =

∞−∞

f (x)eiτφ(x)dx =

∞−∞

f (x(y))eiτy2

x′(y)dy

=

∞−∞

g(y)eiτy2

dy.

(11.1)



217

Vamos considerar com mais detalhe agora o caso em que todosos pontos crıticos de φ sao nao-degenerados. Neste caso, temos que

escolher com mais cuidado os intervalos abertos U m, V j .E claro que φ(x) − φ( pj) = (x − pj))2ψj(x), onde ψj e analıtica eψj( pj) = 1

2φ′′( pj). Seja µj = sgnφ′′( pj). Definimos a nova variavel

y = (x − pj)

µjψj(x)

na vizinhanca de pj . Temos

dy

dx

( pj) > 0.

Tomamos V j = ( pj − δ j , pj + δ j) tal que seja valida a mudanca devariavel neste intervalo. Depois escolhemos os U m tais que

U m ∩

pj − δ j2

, pj +δ j2

seja vazio para todos m e j. Nestas condicoes:

+∞−∞

ǫj(x)f (x)eiτφ(x)dx =

pj+δj pj−δj

ǫj(x)f (x)eiτφ(x)dx =

= eiτφ( pj) pj+δj pj−δj

ǫj(x)f (x)eiτ (φ(x)−φ( pj))dx =

= eiτφ( pj) y( pj+δj)y( pj−δj)

ǫj(x(y))f (x(y))eiµjτy2 dx

dydy =

= eiτφ( pj) +∞−∞

ǫj(x(y))f (x(y))

dx

dy

eiµjτy

2

dy,

onde ǫj(x(y)) = 1 na vizinhanca de 0. Seja:

cjk =

d2k

f (x(y))dxdy

dy2k

(0).




Observamos que os cjk podem ser efetivamente calculados porqueas derivadas de x(y) calculam-se derivando sucessivamente a identi-

dade y = (x − pj) µjψj(x) respeito de y.

1o¯ caso) φ′′( pj) > 0. Neste caso, µj = 1. Pelo visto antes,

+∞−∞

ǫj(x(y))f (x(y))dx

dyeiτy

2

dy ∼ √ πei

π4

+∞k=0

i

2

kcjk

(2k)!!τ −k−

12 .

2o¯ caso) φ′′( pj) < 0. Neste caso, µj = −1. Observemos que:

+∞−∞

g(y)e−iτy2dy = +∞−∞

g(y)eiτy2dy

para toda g ∈ C ∞0 (IR). Entao,

+∞−∞

ǫj(x(y))f (x(y))dx

dye−iτy

2

dy ∼ √ πe−i

π4

+∞k=0

− i

2

kcjk

(2k)!!τ −k−

12 .

Finalmente,

+∞−∞

f (x)eiτφ(x)dx ∼

∼ √ π

+∞k=0

i

2

kei

π4

φ′′( pj)>0

eiτφ( pj)cjk+(−1)ke−iπ4

φ′′( pj)<0

eiτφ( pj)cjk

τ −k−

12

(2k)!!.

Por definicao

cj0 = f ( pj)dx

dy(0) = f ( pj)

dy

dx( pj)

−1

=f ( pj)

µjψj( pj)=

√ 2f ( pj)

|φ′′( pj)

|.

Logo, da anterior resulta: +∞−∞

f (x)eiτφ(x)dx =

=

√ 2π

φ′′( pj)>0

f ( pj)ei(τφ( pj)+

π4) |φ′′( pj)| +

√ 2π

φ′′( pj)<0

f ( pj)ei(τφ( pj)−

π4) |φ′′( pj)|

τ −

12 +0(τ −1)



219

para τ → +∞.Fica entao determinado o termo dominante de F (τ ) como o termo

a esquerda da ultima linha (vai a zero como τ −12

).

11.4 Aplicacao as integrais de Airy generalizadas

Seja

F (τ ) =

+∞−∞

eiτφ(x)dx

onde φ(x) e um polinomio, a coeficientes reais, do qual todos os pon-tos crıticos sao nao degenerados e cujo grau e n ≥ 2.

Lema 11.1. A integral precedente converge para todo τ ∈ IR, τ > 0e define uma func˜ ao C ∞ de τ em (0, +∞).

Seja I um intervalo que contem no seu interior todas as raızes deφ(x), φ′(x) e φ′′(x). Seja f ∈ C ∞0 (IR) tal que f (x) = 1 se x ∈ I . Sejag(x) = 1 − f (x).

Entao +∞−∞

eiτφ(x)dx =

+∞−∞

f (x)eiτφ(x)dx +

+∞−∞

g(x)eiτφ(x)dx.

Como f tem suporte compacto o Lema 11.1 segue imediatamentedo lema seguinte, que provaremos depois.

Lema 11.2.

+∞

−∞

g(x)eiτφ(x)dx,

τ > 0, converge e define uma func˜ ao C ∞ de τ que tem decrescimentor´ apido para τ → +∞.

O Lema 11.2 nos diz tambem, que para ter o desenvolvimentoassintotico de F (τ ) basta ter o de +∞

−∞f (x)eiτφ(x)dx.




Mas este ultimo se calcula como antes, observando ainda que f = 1na vizinhanca de cada ponto crıtico de φ.

Vamos aplicar o anterior a funcao de Airy

Ai(t) =1

2π

+∞−∞

cos

1

3ω3 + tω

dω

e estudar seu comportamento para t → ±∞.Consideremos primeiro para t → −∞.Entao consideramos, para t → +∞, a funcao:

G(t) = Ai(−t) =

1

2π +∞−∞ cos1

3 ω3

− tωdω.

Mudando de variavel: t = τ 23 obtemos

F (τ ) = G(τ 23 ) =

1

2π

+∞−∞

cos

1

3ω3 − τ

23 ω

dω.

Mudemos agora a variavel de integracao: ω = τ 13 (1 + x):

F (τ ) = τ 1

3

2π +∞−∞

cos1

3τ (1 + x)3 − τ (1 + x)

dx

=τ 13

2π

+∞−∞

cos

1

3x3 + x2 − 2

3

τdx.

Logo,

F (τ ) =τ 13

2πRe

+∞

−∞

eiτ

13x3+x2− 2

3

dx

e estamos no caso anterior com:

φ(x) =1

3x3 + x2 − 2

3.

Os pontos crıticos sao p1 = −2 e p2 = 0. Temos que:

φ( p1) =2

3, φ′′( p1) = −2, φ( p2) = −2

3, φ′′( p2) = 2.



221

Obtemos:

F (τ ) =τ 13

2πRe

√ 2π

ei− 2

3 τ +π4

√ 2

+√

2πei 2

3 τ −π4

√ 2

τ −

12 + 0(τ −1)

= π−12 τ −

16 cos

2

3τ − π

4

+ 0(τ −

23 )

Logo,

G(t) = π−12 t−

14 cos

2

3t32 − π

4+ 0(t−1)

resultado que melhora o de Olver pagina 103 mas que resulta tambemde Olver pagina 392.

O mesmo metodo aplicado a Ai(t) para t → +∞ mostra queAi(t) ∼ 0 para t → +∞.

Prova do Lema 11.2. Vamos notar C ∞k (IR) os espaco das funcoesC ∞f : IR → I C tais que, para todo j = 0, 1, · · · , vale

djf

dxj

= 0(

|x

|−k)

para x → ±∞.Por exemplo, se f ∈ C ∞(IR) e se existe K > 0 tal que

f (x) =p(x)

q (x)

se |x| ≥ |K |, onde p, q sao polinomios e (grau q -grau p) ≥ k, entaof ∈ C ∞k (IR).

Alem disso, se f ∈ C ∞k ((IR) e p(x) e um polinomio de grau m ≤ kentao p(x)f (x) ∈ C ∞k−m((IR).

Afirmacao: Para cada k = 1, 2, 3, · · · existe h ∈ C ∞k (IR) tal que +∞−∞

g(x)eiτφ(x)dx = µ(τ )

+∞−∞

h(x)eiτφ(x)dx

(τ > 0) onde µ(τ ) = cte.τ −r com r ≥ k.




Com efeito,

+∞−∞ g(x)eiτφ(x)

dx =

1

iτ +∞

−∞

g(x)

φ′(x) eiτφ(x)

iτ φ′(x)dxg(x)

φ′(x)∈ C ∞(IR)

porque g e nula sobre um aberto que contem os zeros de φ′

. Logo,

+∞

−∞ g(x)e

iτφ(x)

dx =

1

iτ g(x)

φ′(x) e

iτφ(x)+∞

−∞ +

i

τ +∞

−∞ g1(x)e

iτφ(x)

dx

onde

g1(x) =p(x)

q (x)

para |x| bastante grande, com p, q polinomios e grau q -grau p = n(lembremos que (g(x) = 1 para |x| bastante grande). Logo, comog(x) = 1 para |x| bastante grande e grau φ′ ≥ 1,

+∞−∞ g(x)eiτφ(x)

dx =

i

τ +∞

−∞ g1(x)eiτφ(x)

dx

onde g1(x) ∈ C ∞n (IR). Iterando este procedimento, decorre a afirmacao.Da afirmacao com k = 2, ja resulta que +∞

−∞g(x)eiτφ(x)dx

e convergente e define G : (0; +∞) → IC.Seja dado m(= 0, 1, 2,...). Tomamos k > mn +2. Pela afirmacao:

G(τ ) = µ(τ ) +∞−∞

h(x)eiτφ(x)dx

onde a integral converge absolutamente, junto com todas as suasderivadas respeito de τ ate a ordem m. Como µ(τ ) = constante τ −r

com r ≥ k, decorre daı que G(τ ) e derivavel ate a ordem m e

djG

djτ = 0(τ −k)



223

para 0 ≤ j ≤ m. Como m e arbitrario, G ∈ C ∞(0, +∞) e G ∼ 0.

11.5 Fase com Pontos de Caustica

O anterior da conta do caso em que os pontos crıticos sao naodegenerados.

Supondo, por outro lado, que o ponto crıtico seja degenerado(caustica), existe uma mudanca de coordenadas local tal que φ(x(y)) =ym, m ≥ 3.

Vamos portanto analisar o caso φ(x) = xm, m

≥3 (o caso φ(x) =

−xm e obtido a partir deste por conjugacao).Vamos assumir inicialmente, para simplificar, que f possa ser es-

crito como f (x) = xkg(x), onde g e constante igual a 1 numa vizi-nhanca de 0.

Como φ(x) = xm, m ≥ 3, temos entao para cada k fixo que que

F k(τ ) =

∞−∞

xkg(x)eiτxm

dx =

∞−∞

f (x)eiτxm

dx

satisfaz

F ′k(τ ) =

∞−∞

ixmf (x)eiτxm

dx = 1/(mτ )

∞−∞

(xf (x)) (ixm−1mτ eiτxm

)dx.

Integrando por partes,

F ′k(τ ) = −1/(mτ )

∞−∞

(xf (x))′ eiτxm

dx =

−1/(mτ ) ∞−∞ f (x)eiτxm

dx − 1/(mτ ) ∞−∞ xf ′(x) eiτxm

dx =

−1/(mτ )F k(τ ) − 1/(mτ )

∞−∞

xf ′(x) eiτxm

dx.

Ou seja,

mτ F ′k(τ ) + F k(τ ) = − ∞−∞

xf ′(x) eiτxm

dx.




Ora,

xf ′(x) = kxkg(x) + xk+1g′(x) = kf (x) + xk+1g′(x).

Como 0 nao esta no suporte de g′(x), a Proposicao 11.2 nos dizfinalmente que mτ F ′k(τ ) + (k + 1)F k(τ ) e de decrescimento rapido.

Como F k esta ımplicito na ultima equacao, nao sabemos aindadeterminar o assintotico de F k(τ ) =

∞−∞ xkg(x)eiτx

m

dx, onde g econstante igual a 1 numa vizinhanca de 0, mas sabemos que satisfazmτ F ′k(τ )+(k +1)F k(τ ) ∼ 0. Vamos a seguir determinar o assintoticode F k(τ ), mas antes precisamos uma definicao que vai contemplar apossibilidade de termos o conceito de uma serie nao convergente ser

solucao de uma equacao diferencial (no sentido assintotico).

Definicao 11.5. Sejam p0(τ ), p1(τ ),..,pn(τ ) polinˆ omios. Dizemos que a func˜ ao C ∞, y(τ ), e soluc˜ ao da equac˜ ao diferencial assint´ otica linear

pn(τ )dny(τ )

dτ n+ ... + p1(τ )

dy(τ )

dτ + p0(τ )y(τ ) ∼ 0,

se n

j=0 pj(τ )

djy(τ )

dτ j

e de decrescimento r´ apido.

A partir da definicao acima note que as consideracoes feitas ante-riormente mostram que F k(τ ) e solucao de

mτ dy(τ )

dτ + (k + 1)y(τ ) ∼ 0,

ou equivalentemente

mτ dy(τ )

dτ + (k + 1)y(τ ) = b(τ )

onde b(τ ) e de decrescimento rapido.Uma solucao particular da equacao acima e

y(τ ) =−1

mτ −(k+1)/m

∞τ

x(k+1−m)/mb(x)dx



225

que e de decrescimento rapido.A solucao geral e cτ −(k+1)/m + y(τ ).

Decorre daı que existe constante ck tal que F k(τ ) e assintotica-mente equivalente a

ckτ −(k+1)/m. (11.2)

Concluımos portanto a analise do assintotico de

F k(τ ) =

∞−∞

xkg(x)eiτxm

dx

no caso em que g e constante igual a 1 numa vizinhanca de 0. O valor

das constantes ck devem ser determinados em cada caso.Vamos agora analisar o caso um pouco mais geral de f (x) =

xkg(x) (sem hipoteses sobre g) com g qualquer em C ∞0 , mas paraisto precisamos antes da seguinte:

Proposicao 11.4. Dado g ∈ C ∞0 e N ≥ 0 existe K ≥ 0 tal que

τ N dj

dτ j

∞−∞

xkg(x)eiτxm

dx = τ N dj

dτ j

∞−∞

f (x)eiτxm

dx

e limitada para τ → ∞ e para todo j se k ≥ K .

Demonstracao: Se k ≥ m, integrando por partes temos ∞−∞

xkg(x)eiτxm

dx = 1/(miτ )

∞−∞

xk−m+1g(x)iτmxm−1eiτxm

dx =

−1/(miτ )

∞−∞

(xk−m+1g(x))′eiτxm

dx

e (xk−m+1g(x))′ = xk−mh(x) onde h(x) esta em C ∞0 , o que permiteiterar o calculo. O resultado segue de derivar a expressao variasvezes.

O caso em que φ(x) e analıtica (nao so da forma xm) e obtidoa partir da proposicao 4 e atraves de mudanca de variavel como em(2) acima. Isto da conta do caso F (τ ) =

∞−∞ xkg(x)eiτφ(x)dx com

g ∈ C ∞0 .




Vamos agora, finalmente, analisar o caso mais geral de um f (x)qualquer e φ(x) analıtica, isto e, o caso F (τ ) =

∞−∞ f (x)eiτφ(x)dx

com f ∈ C ∞0 .Escreva

f (x) = a0 + a1x + a2x2 + ... + ak−1xk−1 + xkg(x)

onde g ∈ C ∞0 .Podemos substituir na analise f (x) por f (x)h(x) onde h(x) tem

suporte em uma pequena vizinhanca de 0 (usando uma particao daunidade) ou seja, basta analisar o assintotico de

F (τ ) = ∞−∞

h(x)(a0+a1x+a2x2+...+ak−1xk−1+xkg(x))eiτφ(x)dx =

∞−∞(h(x)a0+h(x)a1x+h(x)a2x2+...+h(x)ak−1xk−1+xkh(x)g(x))eiτφ(x)dx.

Para o assintotico dos primeiros termos usamos (3) e para o termo

∞

−∞xkh(x)g(x)eiτφ(x)dx

usamos a Proposicao 11.4.Resulta portanto que para F (τ ) =

∞−∞ f (x)eiτφ(x)dx com f ∈

C ∞0 . existe desenvolvimento assintotico da forma

F (τ ) =∞k=0

ckτ −(k+1)/m.

O primeiro valor ck nao nulo do desenvolvimento acima, carac-

teriza o termo principal de decaimento de F (τ ) quanto τ → ∞, ouseja ckτ −(k+1)/m e o termo principal do ponto de vista assintotico.O valor de tal k e denominado de expoente inicial ou invariante deMalgrange. Referimos o leitor para [8] onde sao apresentadas consi-deracoes gerais sobre tal invariante.

O texto acima ilustra de maneira breve a fundamentacao matema-tica da teoria das series de potencias nao convergentes e sua relacaocom as integrais oscilantes e otica.



Capıtulo 12

Apendice - Aplicacao de

Primeiro Retorno para


Ordinarias

Considere uma equacao diferencial ordinaria x′ = f (x) definida parax num aberto A em que f e de classe C 1. Vamos supor que as solucoesx(t) estao sempre definidas para todo t real. Por definicao, para t fixo,φt(x) = y quando a solucao x(t) de x′(t) = f (x(t)), x(0) = x e talque x(t) = y.

Podemos considerar entao o fluxo φt : A → A, para todo t real.

φt e um difeomorfismo de A em A.Recomendamos o leitor a [DL] e [So] para resultados gerais sobre

equacoes diferenciais ordinarias e sistemas Hamiltonianos.

Uma solucao x(t) de x′ = f (x) e dita periodica se existe t > 0 talque x(t) = x(0), ou seja φt(x) = x. Fica assim determinada a orbitaperiodica γ = φs(x)|s ∈ [0, t).

Uma secao local de x, e um conjunto V obtido pela intersecao deum hiperplano de dimensao n − 1 V ⊂ R

n (um espaco afim n − 1

227



228 [CAP. 12: APENDICE: APLICACAO DE PRIMEIRO RETORNO

Figura 12.1:

dimensional) passando por x, com uma vizinhanca U ⊂ Rn de x

(V = H ∩ U ), tal que f (y) ∈ H (colocando a origem do vetor noponto y, conforme figuras 12 e 13), ∀y ∈ V = H ∩ U .

Observacao 12.1. Se V sec˜ ao local em x, ent˜ ao os vetores f (y) = 0para todo y em V .

Seja γ uma orbita periodica de perıodo t0 e V = H ∩ U secaolocal passando por x ∈ γ . Podemos definir a aplicacao T de V emH , que associa v ∈ V a y = T (v) tal que y e o menor valor t > 0,tal que φt(v)

∈H . Note que T (x) = x = φt0(x). Logo como φt(x) e

contınuo em t e em x entao T esta bem definido para V secao localpequena passando por x (ver Figuras 29 e 30).

Se T (x) = x dizemos que x e ponto fixo de T .

A aplicacao T e denominada de aplicacao de primeiro retorno dasecao local V . A aplicacao de primeiro retorno permite analisar ocomportamento das orbitas vizinhas de γ .

Note que os tempos de primeiro retorno de pontos em x(t) (de-finido γ ) e de outras solucoes y(t) proximas (comecando na secao



229

Figura 12.2:

V ) nao sao os mesmos (apenas aproximadamente os mesmos pelacontinuidade do fluxo)

De fato, por exemplo se T (v) = v para todo v ∈ V , concluımosque todas as orbitas de x

′

= f (x) que passam por V sao periodica.

Vamos supor definida uma aplicacao diferenciavel z(u) = v defi-nida num aberto u ∈ V ⊂ R

n−1 bijetiva sobre v ∈ V ⊂ Rn. Assim,

podemos expressar T nas novas coordenadas u como T : V → V

como T (u) = z−1 ( T (z(u)) ). Podemos supor sem perda de generali-dade que z(0) = x. Quando falarmos da acao de T em V , estaremosna verdade falando da acao de T em V e quando falarmos em xestaremos nos reportando ao u = 0.

Nas Figuras 12.1 e 12.2 mostramos um exemplo em que o campode vetores esta definido no plano e portanto H tem dimensao 1.

A razao para tudo isto e que podemos falar agora na derivadaDT (v) da funcao T . Para sermos absolutamente precisos deverıamos




Figura 12.3:

falar da derivada DT (u) de Rn−1 mas modulo a identificacao acimanao vamos mais a partir de agora destacar tal diferenca.

Na Figura 12.4 as orbitas em torno de γ tem uma tendencia a seafastarem de γ .

Note na Figura 12.3 que as orbitas em torno de γ tem umatendencia a se aproximarem de γ .

Por sua vez, na Figura 12.5 as orbitas em torno de γ tem uma

tendencia a se afastarem de γ por uma lado e a se aproximarem deγ por outro lado.

Este comportamento e capturado pela aplicacao de primeiro re-torno T . A Figura 12.6 ilustra a aplicacao de primeiro das equacoesdiferenciais que tem como espaco de fase respectivamente as Figuras12.3, 12.4 e 12.5.

Note a posicao do grafico de T em relacao a diagonal ∆ na Figura12.6.



231

Figura 12.4:

O ponto fundamental e que nao pode ocorrer o que aparece naFigura 12.7, pois os vetores f (x) sempre apontam para o mesmo lado(ver Figura 12.8).

Definicao 12.1. Se a derivada DT (x) da aplicac˜ ao de primeiro re-torno T (associada ao ponto fixo x) definida na sec˜ ao local V da ´ orbita γ tiver todas as raızes do polinˆ omio caracterıstico com m´ odulomenor que 1, ent˜ ao a trajet´ oria γ e chamada de orbita peri´ odica atra-tora.

Teorema 12.1. Se x e tal que a derivada DT (x) da aplicac˜ ao de primeiro retorno T (associada ao ponto fixo x) definida na sec˜ ao

local V da ´ orbita γ tiver todas as raızes do polinˆ omio caracterısticocom m´ odulo menor que 1, ent˜ ao a iterac˜ ao T n(v) = xn de um pontov ∈ H converge ao ponto fixo x quando n vai a infinito.

Demonstracao: Como o fluxo e de classe C 1 (pois o campo e declasse C 1) pode-se mostrar que a matriz derivada DT (v) varia conti-nuamente com v ∈ V . Desta maneira, para uma vizinhanca pequenaB de V , |DT (v)| < c < 1 para todo v ∈ B. Logo pela desigualdadedo valor medio (ver [Li1]) |T (x)−T (v)| < c|x−v| (T e uma contracao




Figura 12.5:

Figura 12.6:



233

Figura 12.7: A figura descrita acima nao pode ocorrer de Γ e umasecao transversal

quando definida numa pequena vizinhanca M de x conforme definicaoque aparece no Capıtulo 3). Sendo assim, como T n(x) = x, porinducao |x − T n(v)| < cn|x − v| e concluımos que T n(v) → x quandon → ∞.

No caso f bidimensional e portanto T unidimensional a condicaoacima significa apenas que |T

′

(x)| < 1. Neste caso, as orbitas dassolucoes da equacao diferencial que cortam V se aproximam de γ conforme o teorema acima.

O papel dos autovalores da matriz DT da aplicacao de primeiroretorno T (associada a uma orbita periodica) serem em modulo menorque 1 desempenha um papel analogo ao dos autovalores da derivadaDF do campo de vetores F no caso de pontos de equilıbrio.

Se todos autovalores de DT tem modulo menor que 1 entao pode-mos dizer que γ se comporta assim como uma especie de “poco” (emanalogia com pontos de equilıbrio tipo poco) atraindo as trajetorias(com tempo crescente) com condicoes iniciais em um aberto proximo




de si. Tal γ e um exemplo do que se chama um atrator periodico emequacoes diferenciais.

Definicao 12.2. Se a derivada DT (x) de T em x (ponto fixo de T ) tiver todas raızes do polinˆ omio caracterıstico maiores que 1, a trajet´ oria γ e chamada de ´ orbita peri´ odica repulsora.

No caso unidimensional a condicao acima significa apenas que|T

′

(x)| > 1.Nesse caso, as orbitas das solucoes da equacao diferencial que

cortam V se afastam de γ . Podemos dizer que γ se comporta comouma especie de ”fonte”(em analogia com pontos de equilıbrio tipo

fonte) repelindo (com o tempo crescente) as trajetorias com condicoesiniciais proximas de si. Tal γ e um exemplo do que se chama umrepulsor em equacoes diferenciais.

O papel da secao local e basicamente discretizar o tempo. Adinamica de φt(x) em torno de γ pode ser analisada pela dinamicade T n(v) na secao local.

Note por exemplo que apenas partir do grafico T do ultimo casoda 12.5 podemos deduzir que neste caso as trajetorias das solucoesperto de γ se aproximam por um lado e se afastam pelo outro. Tudoisto segue apenas da analise da secao local e da aplicacao de primeiroretorno. Note que neste caso T ′(x) = 1.

Se o fluxo preserva area entao nao pode ocorrer nem 12.4 nem12.3.

Outra maneira de discretizar o tempo e considerar φ1(y) = F (y).F como vimos e um difeomorfismo e podemos obter varias proprie-dades de φt(x) atraves dos iterados F n(x) = φn1 (x) = φn(x).

Este ponto de vista de analisar a dinamica de uma equacao dife-rencial atraves de uma secao local T ou de um difeomorfismo F , temproduzido uma serie de resultados importantes na Teoria dos Sistema

Dinamicos. O tempo torna-se uma variavel discreta e nao contınua.A hipotese de os autovalores da aplicacao de primeiro retorno T

em x terem todos modulo menor que 1 desempenha no caso de orbitasperiodicas uma papel analogo a hipotese de todos os autovalores deDf (x0) terem parte real negativa quando x0 e de equilıbrio.

Antes de prosseguirmos desejamos enfatizar que numa secao trans-versal Γ local os vetores f (v) (com v ∈ Γ) apontam todos semprepara um mesmo lado. Sendo assim as trajetorias solucoes x(t) da



235

Figura 12.8:

equacao diferencial x′ = f (x) que batem na secao Γ entram sempre

pelo mesmo lado e saem pelo outro. Mais exatamente, “nao” podeocorrer algo do tipo descrito pela Figura 35.

A Figura 12.13 descreve o que deve ocorrer em duas batidas sub-sequentes numa secao transversal T da trajetoria x(t) solucao daequacao diferencial.

Podemos considerar a partir de um Hamiltoniano H ( p, q ) definidoem R

2n tomando valores reais a equacao de Hamilton (Definicao 3,Capıtulo 3 [L]). Obtemos assim uma EDO em R

2n. Os conceitosdescritos acima podem ser aplicados neste caso.

Vamos agora descrever brevemente como pode ser rico o compor-tamento dinamico das trajetorias do fluxo de uma equacao diferencialautonoma em torno de uma orbita periodica. Referimos o leitor para[DL], [PM] e [R] para demonstracao dos resultados que vamos consi-derar a seguir. Nosso objetivo nesta secao e tao somente ilustrar comfiguras alguns dos comportamentos que caracterizam tais sistemasem R

3.




Considere uma secao transversal P passando por z0 = z(t0) per-tencente a uma trajetoria periodica z(t) ∈ Rn de uma equacao di-

ferencial de primeira ordem x′ = G(x) (neste caso o vetor tangentez′

(t0) nao esta em P ). Na Figura 12.9 mostramos a aplicacao T in-duzida por P de primeiro retorno no caso do R3. Esta transformacaoT : P → P de primeiro retorno esta definida localmente em umavizinhanca V em torno de z0, de tal jeito que para y ∈ V ⊂ P ,T (y) = x(t1) ∈ P , onde t1 e o valor do tempo na primeira vez que atrajetoria x(t) (solucao de x

′

= G(x) tal que x(0) = y) retorna a P .O plano P e chamado de secao transversal em z(t0).

Figura 12.9:

Vamos considerar a seguir especificamente o caso tridimensional,ou seja a aplicacao T de primeiro retorno para z(t), orbita periodicapara x

′

= G(x), G : R3 → R3, como mostra a Figura 12.9 ou 12.10.

O comportamento das trajetorias em torno da orbita periodicapode ser analisado atraves da aplicacao T definida em uma vizinhancade z0 = z(t0) em P , onde neste caso P e um plano bidimensional.Note que T e um difeomorfismo local em torno de z0 = z(t0) ∈ P .



237

Note tambem que z0 e ponto fixo para T , isto e, T (z0) = z0.

Definicao 12.3. Dizemos que a ´ orbita peri´ odica z(t) ∈ R

3

e hiper-b´ olica, se DT (z0) tem todos autovalores reais (no caso s˜ ao dois) com m´ odulo diferente de 1. O ponto z0 ser´ a dito ponto fixo hiperb´ olicopara a aplicac˜ ao T de primeiro retorno.

Definicao 12.4. Dizemos que a ´ orbita peri´ odica z(t) ∈ R3 e elıptica,se DT (z0) tem os autovalores (no caso s˜ ao dois) com m´ odulo igual a 1. O ponto z0 ser´ a dito ponto fixo elıptico para a aplicac˜ ao T de primeiro retorno.

Os dois casos acima descrevem situacoes excludentes e que cobremtodas as possibilidades (note que se os dois autovalores s ao igual a 1,dizemos que o ponto e elıptico)

Figura 12.10:




Figura 12.11:

Definicao 12.5. O conjunto est´ avel de z0, ponto fixo hiperb´ olico para T de primeiro retorno a P , e o conjunto dos pontos y ∈ P tal que

limn→∞

T n(y) = z0.

Este conjunto e denotado por γ e(z0).

Definicao 12.6. O conjunto inst´ avel de z0, ponto fixo hiperb´ olico

para T de primeiro retorno a P , e o conjunto dos pontos y ∈ P tal que lim

n→−∞T n(y) = z0.

Este conjunto e denotado por γ i(z0).

Na Figura 12.9 mostramos a posicao dos dois conjuntos em tornodo ponto hiperbolico z0. E possıvel mostrar para z0 hiperbolico quequando a matriz DT (z0) possui um autovalor real maior que 1 outro



239

real menor que 1 (ver [PM], [Ro2]) entao os conjuntos γ i(z0) e γ e(z0)sao realmente curvas passando por z0 e a dinamica em torno deste

ponto e descrita pela Figura 12.9. Mais exatamente, as condicoesiniciais y ∈ γ e(z0) convergem a z0 atraves da evolucao temporalT n, n > 0 e as condicoes iniciais y ∈ γ i(z0) convergem a z0 paraa evolucao temporal com tempo negativo T n(y), n < 0.

Figura 12.12:

Se z0 e tal que a matriz DT (z0) possui os dois autovalores commodulo menor que 1 (ver [PM], [Ro2]), entao a dinamica em torno




deste ponto z0 e descrita por um atrator (ver [DL]). Mais exatamente,as iteracoes T n(z) para z condicao inicial convergem a z0.

Este fenomeno nao ocorre num sistema Hamiltoniano autonomopois o fluxo preserva volume 2 n dimensional (Capıtulo 3 [L]).

Figura 12.13:

E tambem possıvel mostrar para z0 hiperbolico que quando a ma-triz DT (z0) possui os dois autovalores modulo maior que 1 (ver [PM],[Ro2]), entao a dinamica em torno deste ponto z0 e descrita por umrepulsor (ver [DL]). Mais exatamente, as iteracoes T −n(z), n > 0 de zcondicao inicial convergem a z0. As iteracoes positivas T n(z0), n > 0,saem de qualquer vizinhanca de z0 para n suficientemente grande.

Pontos y fora de γ e(z0) e fora de γ i(z0) possuem a propriedadeque T n(y), para algum n positivo e para algum n negativo, vao sair



241

fora da vizinhanca V em trono de z0 onde T pode ser definida.

Observacao 12.2. ´ E possıvel mostrar que a Figura 12.9 ilustra tam-

bem localmente o espaco de fase das iterac˜ oes de K (x) = dT (z0)(x)(onde dT (z0) = DT (z0) e a matriz derivada de T ) em torno do ponto

fixo K (0) = 0 no caso hiperb´ olico. Mais precisamente, K n(y) para diferentes y (condic˜ oes iniciais em uma vizinhanca de 0 ∈ R2) tambem tem uma evoluc˜ ao temporal semelhante a Figura 12.9, que e a figura da evoluc˜ ao temporal em torno de z0 ∈ P do sistema n˜ ao linearizadoT (x) : P → P .

Em resumo, localmente em torno de um ponto hiperbolico z0, a

dinamica de T e de seu linerizado dT sao semelhantes (ver [PM] e[Ro2] para demonstracao).

Na Figura 12.14 mostramos uma orbita periodica em R3 em que

aparece o fenomeno da ferradura. Isto segue do fato da varieda-de estavel e variadade instavel de um ponto x0 se interceptarem.Mostramos na Figura 12.15 como se comporta a transformacao dePoincare T na secao transversal. Neste caso e possıvel mostrar queocorrem infinitas orbitas periodicas para o campo de vetores. Maisprecisamente se mostra que existem infinitos pontos periodicos para

T de perıodos arbitrariamente grandes (ver [Ro2]).Este fenomeno descoberto por H. Poincare no problema dos trescorpos teve grande impacto na Mecanica Classica e na moderna Te-oria dos Sistemas Dinamicos. Ele ilustra a grande complexidadedinamica que ocorre nesta situacao (ver[Ro2] para mais detalhes).

Nas Figuras 12.10, 12.11 e 12.12 mostramos um exemplo do quepode acontecer em alguns casos para a evolucao temporal de pon-tos elıpticos. Cada ponto inicial y tem a tendencia de rodar emtorno de z0 ao longo de sua evolucao temporal T n(y), n > 0. Nestecaso, o comportamento de T e aproximadamente o comportamentoda evolucao temporal de K n(x), n > 0, onde K e a derivada de T emz0, K = dT (z0) da transformacao de primeiro retorno T da orbitaelıptica z(t).

Observacao 12.3. ´ E importante destacar que, diferentemente docaso hiperb´ olico (ver Observac˜ ao 12.1 e Figura 8.3), nem sempre a evoluc˜ ao temporal em torno de um ponto fixo elıptico vai seguir a evoluc˜ ao temporal K n(x) da derivada K = dT (z0), sugerida pela




Figura 12.14:

Figura 12.12. Fenˆ omenos extremamente complexos podem suceder nocaso de uma ´ orbita elıptica e estes exemplos s˜ ao descritos na assim chamada teoria KAM (ver [HK]).

A Figura 12.9 descreve o que acontece com as trajetorias do fluxoφt do campo de vetores x

′

= G(x) em torno de uma orbita periodicahiperbolica z(t).

A Figura 12.12, mostra o que aconteceria se a orbita periodicaelıptica fosse tal que a T de primeiro retorno tivesse em torno de z0um comportamento descrito pela Figura 3.3. Neste caso haveria umcontınuo de toros envolvendo z(t), cada toro sendo invariante pelofluxo (fenomeno KAM). O fenomeno de destruicao de toros invari-



243

Figura 12.15:

antes por perturbacoes e de fundamental importancia em SistemasDinamicos [HK].

Definicao 12.7. Seja um difeomorfismo T : A → A, ent˜ ao um pontox tal que exista n > 0 satisfazendo T n(x) = x e dito ponto peri´ odico.O menor de tais possıveis valores n > 0 e chamado de perıodo de x.

Um ponto fixo e um caso particular de ponto periodico.Na Figura 12.13 mostramos a trajetoria periodica x(t) (ver Defini-

cao 22) de um campo de vetores G e mostramos tambem como podeaparecer de maneira natural um ponto periodico x (ver Definicao12.7) proximo ao ponto fixo para a aplicacao de primeiro retorno T(no caso um ponto de perıodo 2) associada a uma orbita periodicaz(t) do campo de vetores G.

Se x e periodico para T , entao

T j(x), j ∈ N = x, T (x), T 2(x),...,T n−1(x).

Note que se x e periodico para T com perıodo n, entao

x, T (x), T 2(x),..,T n−1(x)tambem sao pontos periodicos para T e tem perıodo n.

O conjunto x, T (x), T 2(x),..,T n1(x) e chamado de orbita doponto periodico x por T




Definicao 12.8. Um ponto peri´ odico x do difeomorfismo F com perıodo n e dito hiperb olico, se x e ponto fixo hiperb´ olico para T = F n.

E facil ver que se x e periodico hiperbolico, cada ponto pertencentea sua orbita tambem e hiperbolico.

Definicao 12.9. O conjunto est´ avel (respectivamente inst´ avel) γ e(x)(respectivamente γ i(x)) de um ponto peri´ odico hiperb´ olico x e a uni aodos conjuntos est´ aveis (respectivamente inst´ aveis) de sua ´ orbita.

Definicao 12.10. Um ponto peri´ odico x do difeomorfismo F com perıodo n e dito elıptico, se x e ponto fixo elıptico para T = F n.

Um fluxo que preserva area no plano tem propriedades especiais.Fixada uma secao transversal H a aplicacao de primeiro retorno deveser a identidade; nao pode ocorrer o que e descrito pela Figura 12.3e 12.4. Isto porque a area da regiao A seria maior do que a area daregiao B e o fluxo φt (para t o tempo de primeiro retorno da trajetoriax(t)) levaria A em φt(A) = B (aproximadamente). Note que os tem-pos de retorno de pontos em x(t) e de outras solucoes y(t) proximas(comecando na secao) nao sao os mesmos (apenas aproximadamenteos mesmos pela continuidade do fluxo).

Definicao 12.11. Uma sec˜ ao H transversal ao fluxo (definido por uma equac˜ ao diferencial x′ = f (x)) e dita global quando para qualquer ponto x no espaco A onde est´ a definida a equac˜ ao diferencial vale que existe t > 0 e s < 0 tal que φt(x) ∈ H e φs(x) ∈ H , onde φ e o

fluxo. Neste caso a ”toda”a dinˆ amica do fluxo da equac˜ ao diferencial x′ = f (x) pode ser capturada pela aplicac˜ ao de primeiro retorno T definida em H .

Nosso objetivo acima foi apenas descrever de maneira sumariao que acontece em torno das orbitas periodicas z(t) de um sistema

mecanico. Como vimos, este comportamento depende fundamental-mente da aplicacao de primeiro retorno T induzida em uma secaotransversal P passando por z0.

O estudo da iteracao de difeomorfismos e extremamente impor-tante na Teoria dos Sistemas Dinamicos e sua analise permite o enten-dimento da aplicacao T de primeiro retorno a uma secao transversal.Esta Teoria permite tambem analisar a dinamica de F = φt0 , t0 fixo,onde φt e o fluxo associado a um campo de vetores.



245

A partir do que foi discutido acima, o leitor pode assim percebera extrema complexidade que pode suceder na evolucao temporal das

condicoes iniciais y em torno de uma orbita periodica de uma equacaodiferencial, em especial dos sistemas Hamiltonianos.Nao foi possıvel apresentar provas dos resultados acima descritos,

pois isto implicaria em ter que escrever nesta secao um livro com-pleto de Sistemas Dinamicos. Nosso objetivo foi apenas apresentaralgumas ideias centrais que aparecem na pesquisa atual envolvendo oentendimento da dinamica global de Sistemas Mecanicos. Referimoso leitor para [DL], [So], [PM], [R], [M], [CL], [S] e [HS] para referenciassobre varios aspectos da Teoria dos Sistemas Dinamicos.



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