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Tópico 7 – Bandas de Energia

Prof. Romis Attux – DCA/FEEC/UNICAMP

Primeiro Semestre / 2017

Obs.: O conteúdo dos slides se baseia fortemente no livro texto [Callister, 2011]. As figuras são do material de apoio.

EE410 - Turma A - Prof. Romis Attux

Prelúdio

• Adentraremos agora o universo das propriedades elétricas dos materiais. Porém, vamos fazê-lo de forma parcial por enquanto, estudando neste tópico o conceito-chave de bandas de energia. Posteriormente, visitaremos diversos assuntos ligados à condução de eletricidade em sólidos.

• Primeiramente, recordemos a lei de Ohm, que relaciona corrente e tensão que fluem através de um material, visto como um resistor.

V = RI

onde R é a resistência (em ohms) do material, V é a tensão aplicada (em volts) e I é a corrente elétrica (em ampères).


Motivação – Visão Microscópica – Circuito Integrado


• A dot map showing location of Si (a semiconductor): -- Si shows up as light regions.

(b)

0.5 mm

(a)

• A dot map showing location of Al (a conductor): -- Al shows up as light regions. (c)

Figs. (a), (b), (c) from Fig. 18.27, Callister

& Rethwisch 9e.

Resistividade e Condutividades

• A resistividade de um material é independente de sua área de seção reta e comprimento, e é dada por:

𝜌 =𝑅𝐴

𝐿

onde L é o comprimento da amostra, A é a área de sua seção transversal e R é a sua resistência.

• Podemos definir a condutividade elétrica de um material como o inverso de sua resistividade, isto é:

𝜎 =1

𝜌


Condutores, Isolantes, Semicondutores

• Os sólidos possuem uma vastíssima faixa de valores de condutividade, faixa esta que abrange quase 30 ordens de grandeza. Talvez nenhuma outra propriedade física dos sólidos seja comparável nesse sentido.

• Uma maneira usual de classificar os materiais é de acordo com a facilidade com que conduzem corrente elétrica. Isso gera três classes: condutores, semicondutores e isolantes.

• Os metais são bons condutores de eletricidade – a condutividade é da ordem de 107 (-m)-1. No outro extremo estão os materiais isolantes, que possuem condutividade muito baixa – entre 10-10 e 10-20 (-m)-1. Por fim, os semicondutores possuem condutividade intermediária – 10-6 a 104 (-m)-1.

• Trataremos neste curso apenas do processo de condução eletrônica, sem levar em conta a possibilidade de condução iônica.


Mecanismos de Condução

• Ao se aplicar um campo elétrico a um material, nem todos os elétrons reagem gerando uma corrente elétrica. O número de elétrons disponíveis para condução depende do arranjo de níveis eletrônicos com respeito à energia, bem como à maneira pela qual os estados são ocupados pelos elétrons.

• A física subjacente a esses fatos é bastante complexa, e procuraremos simplificá-la para nossos fins didáticos.


Recordar é Viver...

• Estudamos anteriormente o processo de determinação da estrutura eletrônica dos átomos. As camadas são definidas pelo número quântico principal (n), enquanto o número l definia as subcamadas.

• Para cada uma das subcamadas s, p, d, f há respectivamente um, três, cinco e sete estados. Há ainda o spin, que duplica esses números em termos de ocupação eletrônica. O processo de preenchimento dos orbitais obedece à noção de mínima energia e ao princípio da exclusão de Pauli.


O Que Ocorre Nos Sólidos?

• Os sólidos podem ser visualizados como sendo N átomos que, originalmente separados, passam a se ligar para formar o arranjo ordenado que se encontra num arranjo cristalino, por exemplo.

• A distâncias de separação relativamente grandes, cada átomo pode ser estudado como uma “ilha”, como um ente isolado, mas, quando os átomos se agrupam, ocorrem perturbações causadas pelos elétrons e núcleos adjacentes.

• Pela força do princípio da exclusão de Pauli, cada estado atômico isolado se divide então numa série de estados eletrônicos distintos e próximos, dando origem às bandas de energia.

• A extensão dessa divisão depende da proximidade interatômica e se manifesta inicialmente com as camadas eletrônicas mais externas.


Bandas de Energia – Ilustração para 12 Átomos


Adapted from Fig. 18.2, Callister & Rethwisch 9e.

Bandas de Energia

• Em cada banda de energia, os estados eletrônicos continua a ser discreto, mas a diferença entre estados adjacentes é demasiado pequena.

• No espaçamento em condições de equilíbrio, a formação de bandas pode não ocorrer para as subcamadas mais próximas ao núcleo.

• Podem, ademais, surgir espaçamentos (gaps) de energia entre bandas adjacentes – tais estados energéticos não estão, em geral, disponíveis para ocupação eletrônica.

• O número total de estados em cada banda é sempre igual aos estados contribuídos pelos N átomos que interagem. Por exemplo, uma banda s terá N estados, e uma p terá 3N estados (sem falar no spin).


Bandas de Energia


Fig. 18.3, Callister &

Rethwisch 9e.

Bandas e Energia de Fermi

• A energia de Fermi EF é a mais alta energia de um estado preenchido à temperatura de zero kelvin.

• Há quatro estruturas principais encontradas em sólidos a 0 K. A figura a seguir ilustra cada uma delas.


Tipos de Estruturas de Bandas


filled band

Energy

partly filled band

empty band

GAP

fille

d s

tate

s

Partially filled band

Energy

filled band

filled band

empty band

fille

d s

tate

s

Overlapping bands

Energy

filled band

filled valence band

fille

d s

tate

s

GAP

empty

band conduction

Energy

filled band

filled valence band

fille

d s

tate

s

GAP ?

empty

band conduction

Tipos de Estrutura de Bandas

• No primeiro tipo, a banda mais externa está apenas parcialmente preenchida com elétrons (até EF). Essa estrutura é característica de alguns metais, como o cobre, que possuem um único elétron de valência s. Cada átomo possui um elétron em 4s, mas um sólido de N átomos comportaria na banda correspondente 2N elétrons. Portanto, apenas metade das posições estaria preenchida.

• Na segunda estrutura, há uma superposição entre uma banda vazia e uma preenchida. O magnésio possui uma estrutura desse tipo. Cada átomo de magnésio possui dois elétrons em 3s. No entanto, na formação do sólido, a banda associada a 3s se sobrepõe à banda 3p. Nesse caso, a zero kelvin, o nível de Fermi é dado por aquele abaixo do qual, para N átomos, N estados estão preenchidos (dois elétrons por estado).


Tipos de Estruturas de Bandas

• O terceiro tipo de estrutura corresponde à de um isolante. Há uma banda de valência preenchida separada de uma banda de condução vazia e um espaçamento (gap) entre elas. O espaçamento é considerado alto, o que explica a dificuldade de os elétrons atingirem condições de condução.

• O quarto tipo de estrutura corresponde à de um semicondutor. Há também uma banda de valência e uma de condução, mas o gap entre ambas é menor, o que explica um aumento na condutividade.


Elétrons Livres e Lacunas

• Apenas elétrons com energia maior que EF podem participar do processo de condução, ou seja, reagir portando carga na presença de um campo elétrico. Esses elétrons “de condução” são chamados de elétrons livres.

• Outra entidade, com carga elétrica positiva, que ocorre em semicondutores e isolantes, é chamada de lacuna. As lacunas possuem energia menor que EF e também podem conduzir.

• A condutividade elétrica é função direta do número de elétrons livres e lacunas. Além disso, em última análise, tal característica é o que distingue os condutores dos semicondutores e isolantes.


Mecanismo de Condução - Metais

• Para que um elétron possa conduzir, ele precisa ser excitado para um estado previamente vazio acima de EF. Para os metais, seja no caso da primeira estrutura, seja no caso da segunda estrutura, há estados de energia adjacentes ao estado preenchido mais próximo de EF.

• Portanto, muito pouca energia é necessária para “promover” esses elétrons – tipicamente, a energia fornecida por um campo elétrico é capaz de realizar várias dessas “promoções”.

• Ao falarmos da ligação metálica, mencionamos que os elétrons de valência formam um gás eletrônico relativamente livre. No entanto, é preciso ainda fornecer certa energia para haja condução efetiva.


Mecanismos de Condução - Isolantes e Semicondutores

• No caso de isolantes e semicondutores, os estados imediatamente acima da banda de valência preenchida não estão disponíveis. Portanto, para gerar elétrons e lacunas livres, é preciso fornecer energia suficiente para vencer o gap que existe entre a banda de valência e a banda de condução.

• Esse processo de excitação, se bem-sucedido, gera um elétron livre na banda de condução e uma lacuna na camada de valência.

• O gap é, muitas vezes, da ordem de vários eV. Frequentemente, a energia vem de uma fonte não elétrica como o calor ou a luz. Quanto menor for o gap, maior será a probabilidade de encontrar elétrons na banda de condução. É por isso que os semicondutores tem maior condutividade que os isolantes.


Mecanismo – Isolantes e Semicondutores


Fig. 18.6 (b), Callister &

Rethwisch 9e.

Isolantes e Semicondutores – Alguns Comentários

• Pelo mesmo motivo apontado, um aumento de temperatura tende a um aumento de condutividade, com maior chance de “promoção” por parte dos elétrons.

• Do ponto de vista das ligações estudadas, podemos refletir um pouco da seguinte maneira: a maioria dos materiais isolantes contém ligações iônicas ou fortemente covalentes (fortes, portanto). Isso dificulta a geração de elétrons livres.

• As ligações predominantemente covalentes dos materiais semicondutores são menos intensas, justificando o menor gap.


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