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Tobias Bleninger

Universidade Federal do Paraná (UFPR)

Departamento de Engenharia Ambiental(DEA)

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MATEMÁTICA APLICADA I

Tobias Bleninger

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Informações gerais

• Disciplina: Matemática Aplicada I

TT 009, 5° semestre, 6 créditos, disciplina obrigatória, carga horária: 90h

• Professor: Tobias Bleninger

Tel.: 3361 3212, [email protected]

Departamento de Engenharia Ambiental (DEA)

Centro Politécnico, Bloco V, sala 9.22

• Horário aula: Segundas, Quartas e Sextas 7:30-9:10h

• Sala aula: ?, Centro Politécnico

• Consultas: Por favor, agendar por email ou telefone

• Home Page: http://people.ufpr.br/~tobias.dhs/matapI.htm

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Avaliações

• 1 Prova P1 (sem consulta)

• 2 Exercícios de casa:

• E1 (individual)

• E2 (em grupo com apresentação oral e arguição)

• Nota N = (E1*0,3 + P1*0,7 + E2)/2

• se N ≥ 7 aprovado com nota final NF = N

se N < 4 reprovado

se 4 ≤ N < 7 prova final F

se (F+N)/2 ≥ 5 aprovado com nota final NF = (F+N)/2

se (F+N) < 5 reprovado

• Presença: se faltas maior de 25% reprovado

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Calendário (1ª parte)

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Calendário (2ª parte)

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Bibliografia

• Kreyszig, E., 1999, Advanced Engineering Mathematics, Wiley &

Sons, ISBN: 0-471-15496-2

• Steven Chapra, Applied Numerical Methods with MATLAB, McGraw

Hill, 3rd edition, 2011

• Steven Chapra, Metodos Numéricos para Engenharia, 5a edicao,

McGraw Hill, Sao Paulo, 2008

• Nelson, L.D., 2011, Apostila de Matemática Aplicada a Engenharia,

Departamento de Engenharia Ambiental, UFPR (disponível para

copiar, por favor buscar na sala do Professor)

• Mais informações e referencias online na pagina da disciplina:

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Perguntas

• Fizeram Métodos Numericos?

• Quem sabe programa (e o que)?

• Quem tem notebook ou PC?

• Qual sistema operacional?

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Definição e objetivos

• A Matemática Aplicada cria a habilidade de

aplicar métodos matemáticos a conceitos e

modelos da engenharia ambiental.

• Serão apresentados e estudados exemplos de

aplicações e elaborados cálculos relacionados a

problemas típicos de Mecânica dos Fluidos,

Fenômenos de Transporte, nos ambientes

atmosféricas, águas superficiais e subterrâneos

e processos tecnológicos.

• A introdução e aplicação de ferramentas

computacionais acompanha muitos resoluções

de problemas matemáticas assim fazendo parte

da disciplina.

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Porque?

• Modelos matemáticos são ferramentas que ajudam

em projetos da engenharia para determinar

características relevantes (por exemplo

velocidades, níveis, concentrações, ...).

• Especialmente antes da construção (simulação e

previsão).

• Assim, complementando estudos com modelos

reduzidos e estudos em campo.

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Como?

1. Definir as equações governantes de um fenômeno físico para um

problema com objetivo e condições definidos.

2. Caso ideal: fenômeno não depende do problema nem do lugar da

aplicação ( soluções universais)

3. Caso comum: fenômeno não tem descrição suficiente e depende do

lugar e da aplicação ( requer calibração e verificação)

a. Calibração: modificando (forçando) parâmetros para reproduzir resultados

medidos (requer dados)

b. Verificação: testando o modelo calibrado com dados novos (mais dados)

4. Definir condições iniciais e nos contornos (dados)

a. Caso ideal: condições suficientemente conhecidos ( soluções estáveis)

b. Caso comum: condições insuficientes ( matemática/modelo pode

"explodir")

5. Cálculos podem ser bastante trabalhosos ou somente resolvido

numericamente: uso de computadores

6. Visualizações: uso de computadores

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Exemplos dos alunos dos anos anteriores

1. Predador-presa

2. Streeter-Phelps

3. Reator e edos em geral

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lotka_e_edo.pptx

lotka_e_edo.pptx

lotka_e_edo.pptx

streeterphelps.pptx

streeterphelps.pptx

streeterphelps.pptx

reator_e_ode.pptx

reator_e_ode.pptx

reator_e_ode.pptx

reator_e_ode.pptx

reator_e_ode.pptx

reator_e_ode.pptx

reator_e_ode.pptx

reator_e_ode.pptx

reator_e_ode.pptx

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Enseada

Santos

Praia Grande 1

Praia Grande 2

Emissários da Baixada Santista

Municipality Population Collect Treatment

Santos/S.Vincete

Praia Grande

856.726

562.376

80

46

80

46

Guarujá 432.586 55 55

Fonte: Brambilla, SABESP

Exemplo 1

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Santos Harbout, Brazil

So

urc

e: P

refe

itura

de

Pra

ia G

ran

de

, Bra

zil

Santos Bay, Brazil

Nov. 2003 (peak season!): 78 of 128 beaches declared „not appropriate for bathing“

outfall

Definir as equações governantes de um fenômeno físico

para um problema com objetivo e condições definidos.

Exemplo 1

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www.tobias.bleninger.info Exemplo 1

Definir as equações governantes de um fenômeno físico

para um problema com objetivo e condições definidos.

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Exemplo 1

Turbulent jet

D

H

h Particle

settling

Deposition

pattern

Entrainment of

Ambient fluid

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Exemplo 1

1. Definir as equações governantes de um fenômeno físico para um

problema com objetivo e condições definidos.

• We make the rigorous assumption, to express particle motions only with terminal particle settling velocity at small particle Reynolds numbers assuming that there is no influence of other particles settling nearby: ws = gDp²/(18 )(p- l)/l (for Rep= < 1)

• Time averaged velocity field of liquid phase is superimposed by the particle settling field assuming that particles follow average fluid motions.

- centerline velocity (Neves 1998): Uc(x) = 6.20(D/x)U0.

- longitudinal velocity (Schlichting and Gersten 1997): U(r,x) = 3/(80.017)M0/(M0

0.5x)/[1+((r,x))²]² with (r,x) = 1/(8(3/)0.51/0.017r/x

- transversal velocity (Schlichting and Gersten 1997): W(r,x)=0.5(3M0/)0.5(r,x)/x[1-((r,x))²]/[1+((r,x))²]² e (r,x)= 1/(8(3/)0.51/0.017r/x



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Analytical Model

Velocidades horizontais das particulas

• Up(x, z) = Ul(x,z) (velocidade do liquido)

Velocidades verticais das particulas

• Wp(x,z) = Wl(x, z) - ws, ws = const

gradient dx/dz, where dx = Ul(x,z)dt and dz = (Wl(x,z) - ws)dt.

∫xdx = ∫zUl/(Wl - ws)dz

(x-x0) = ∫zUl/(Wl - ws)dz

(x-x0)/Lm = ∫z/Lm Ul/(Wl - ws)dz/Lm

Ul(x,z), dx

(Wl(x,z)-ws), dz

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Analytical Model

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Exemplo 1



a. Calibração: modificando (forçando) parâmetros para reproduzir resultados

medidos (requer dados)

b. Verificação: testando o modelo calibrado com dados novos (mais dados)

4. Definir condições iniciais e nos contornos (dados)

a. Caso ideal: condições suficientemente conhecidos ( soluções estáveis)

b. Caso comum: condições insuficientes ( matemática/modelo pode

"explodir")

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T. Bleninger, G. H. Jirka

Experiments

Fresh water

Excess water

Excess

water

valves

syringe 1,556

Tank

Headworks

Detail B

discharge pipe

[m]

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Exemplo 1

Turbulent jet

D

H

h Particle

settling

Deposition

pattern

Entrainment of

Ambient fluid

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Experiments

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Experiments

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Experiments

y

z

x

(xmax, 0, z)

Nmax

Centreline of sedimentation

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Dimensional Analysis

maximum deposition location xmax located on line (x, 0, z=-h), below axis of jet. xmax is independent of y and for low concentration particle-laden jets also independent of particle discharge rate N0 xmax/Lm = f(-z/Lm) where ymax = 0

xmax/Lm = 0.0992ln(-z/Lm) + 0.9305

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maximum deposition rate of particles Nmax/N0 at xmax/Lm is independent of

geometric parameters: Nmax/N0 = C

An exception are jets having strong interactions with the ground or the surface,

which have effects we are not considering here.

Nmax/N0 = 0.0018

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characteristic longitudinal distribution is centerline of sedimentation (x, 0, z = -h). If self-similarity is given it is Nc = f(Nmax, xc, xmax)

Nc/Nmax = f(xc/xmax)

Nc(xc)/Nmax = e^(-0.5[ln(x/xmax)/0.517]2

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To verify self-similarity also for transversal profiles we need to find a

relation for N= f(Nc, y, y0.5). The latter parameter is chosen for the half-

width of Gaussian type particle distributions.

y0.5(x) = 0.101x, which is smaller in comparison to jet velocity half width

r0.5(x) = 0.114x

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N/Nc = f(y/y0.5)

N/Nc = e^(-0.5y/y0.5)2

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N/Nmax = e^(-0.5y/y0.5)2 e^(-0.5[ln(x/xmax)/0.517]2

y/y0.5(x)

jet

x/xmax

N/Nmax

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Analytical Model

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Exemplo 2

Definição:

Equações diferenciais parciais (edp) são equações contendo

• duas (ou mais) variáveis independentes x e y

• a função procurada f(x,y)

• derivadas de f da ordem n

Motivação:

Problemas mais importantes na engenharia ambiental: edp2

Problemas de condução/difusão, equação do calor, de onda

Equação do calor (ec1):

0 < x < l , t > 0

l: condutividade térmica, c: calor especifico a p const., :

densidade, a: difusividade térmica

la

pc2),(

2

22 txF

x

T

t

T

a

x

Tqx

l

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Definição do problema

Equação do calor

0 < x < l , t > 0

),(2

22 txF

x

T

t

T

a

homogêneo

de valor de contorno 1

X

X X

0

)0()(

)0()0(

2

1

0 0 von Neumann

(fluxo fixo)

Dirichlet

(T fixo)

cc1: cc2:

condição inicial (ci):

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Equação do calor homogênea:

Ilustração do problema de valor de contorno 1

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2

22

x

T

t

T

a

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2

22

x

T

t

T

a

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Solução do problema de contorno 1

Observações:

falta mostrar convergencia e continuidade, mas se pode mostrar

t T(x,t) 0 com limites maiores

assim ln= -n²²/l² , n=1,2, ... são auto valores com a

auto função

²

²²²expsin),(

1

tnxnctxT

n

n

a

xncxu nn

sin)(

Matematica!

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T(x, t=const.)

T(x, t=const.)

T(x, t=0)=T0

Fonte: Hancock, 2006

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T(x=const., t)

T(x=const., t)

T0

Fonte: Hancock, 2006

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www.tobias.bleninger.info Equação do calor : Aplicações

Medições de temperatura numa parede em inverno (nublado).

Tar,amb = 6-10°C, Tpar,amb = 14-30°C, Tpar,int.=Tar,int = 20°C Tar,amb < Tpar não ocorre

condensação. Obs.: distribuição permanente não corresponde com medições!

Fonte: Rationeller Bauen, 1983

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http://www.math.cornell.edu/~bterrell/

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Modelagem da refrigeração controlada de barras de aço (trilha) no processo de produção.

Objetivo: definir condições de contorno (refrigeração controlada) e/ou condições iniciais

(produção controlada) para obter uma distribuição de temperatura equilibrada para cada

momento. Fonte: Dipl. Math. Jens Saak

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Equação de difusão

Concentração:

Fluxo de massa:

D: difusividade molecular de A em B

Equação de difusão:

F(x,t): fonte ou sumidor (reações, transformações)

),(2

2

txFx

CD

t

C

x

CDjx

total

substncia

V

MC

),(:

2

22 txF

x

T

t

Tcompare a

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Dr.-Ing. Tobias Bleninger

Soluções da equação de difusão

Mistura de fluidos com concentrações diferentes (experimento)

F(x,t) = 0

Condições iniciais C(x,0) = C0(x)

• transparente: água com Csal = 0

• colorido: água com Csal = C0

Condições de contorno:

• superfície: C(,t)= 0

• fundo: C(-,t)= C0

Solução (análogo eq. do calor)

02.08.2015

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Soluções da equação de difusão

Mistura de fluidos com concentrações diferentes (experimento)

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Referências

Boyce, W. E., DiPrima, R. C., 1998, “Equações Diferenciais

Elementares e Problemas de Valores de Contorno”, traduzido do

inglês por Horacio Macedo, LTC - Livros Técnicos e Científcos

Editora S.A., Rio de Janeiro, ISBN 85-216-1131-5

Kreyszig, E., 1999, “Advanced Engineering Mathematics”, John Wiley

& Sons, Inc., New York, ISBN 0-471-15496-2

Hancock, M. 2006, “Linear Partial Differential Equations”, MIT Open

Course Ware, Massachusetts Institute of Technology,

http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-303-linear-partial-

differential-equations-fall-2006/

Robert E. Terrell, 2011, “PDE applets heat equation in 1d and 2d“,

Cornell University, Department of Mathematics,

http://www.math.cornell.edu/~bterrell/

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