tfg joão paulo

7/23/2019 TFG Joo Paulo

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UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO SEMI-RIDO

DEPARTAMENTODECINCIASAMBIENTAISETECNOLGICAS

CURSO DE ENGENHARIA CIVIL

JOO PAULO DE BARROS CAVALCANTE

ESTUDO DE TRELIAS PLANAS NO REGIME NO LINEAR FSICO: REVISOE APLICAES COMPUTACIONAIS

MOSSOR-RN2014


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Monografia apresentada a UniversidadeFederal Rural do Semi-rido UFERSA,Departamento de Cincias Ambientais eTecnolgicas para a obteno do ttulo deEngenheiro Civil.

Orientador (a): Prof. M.Sc. Raimundo Gomesde Amorim Neto - UFERSA

MOSSOR-RN

2014


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O contedo desta obra de inteira responsabilidade de seus autores

Dados Internacionais de Catalogao na Publicao (CIP)Biblioteca Central Orlando Teixeira (BCOT)

Setor de Informao e Referncia

C376e Cavalcante,Joo Paulo de Barros.

Estudo de trelias planas no regime no linear fsico: revisoe aplicaes computacionais. / Joo Paulo de BarrosCavalcante. -- Mossor, 2014.

70f.: il.

Orientador: Prof. MSc. Raimundo Gomes de Amorim Neto.

Monografia (Graduao em Engenharia Civil)UniversidadeFederal Rural do Semi-rido. Pr-Reitoria de Graduao.

1. Elastoplstico. 2.Elementos finitos. 3. No-linearidadefsica. 4. Trelia. I. Titulo.

RN/UFERSA/BCOT /163-14 CDD ( 22.ed.) : 624.153Bibliotecria: Vanessa Christiane Alves de Souza Borba

CRB-15/452


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Monografia apresentada a UniversidadeFederal Rural do Semi-rido UFERSA,Departamento de Cincias Ambientais eTecnolgicas para a obteno do ttulo deEngenheiro Civil.

APROVADA EM: ______ /_____ /______

BANCA EXAMINADORA

__________________________________________________

Prof. M.Sc. Raimundo Gomes de Amorim NetoUFERSAPresidente

___________________________________________________Prof. D.Sc. Marcilene Vieira da NbregaUFERSA

Primeiro membro

___________________________________________________Prof. M.Sc. Joo Paulo Matos XavierUFERSA

Segundo membro


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Dedico este trabalho minha famlia e aos

meus amigos pela compreenso e incentivodurante o perodo de seu desenvolvimento.


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AGRADECIMENTOS

Aos meus pais, Joo Agripino Cavalcante e a Maria Daguia Barros por todo apoio,motivao e por tudo o que fizeram e ainda fazem por mim.

Ao meu orientador Raimundo Gomes de Amorim Neto, pela dedicao e compresso

durante este trabalho. Sempre me atendendo quando solicitei mesmo estando ocupado.

Guardo com grande satisfao sua amizade e uma baita admirao.

Ao coordenador do Curso de Engenharia Civil Prof. M.Sc. Raimundo Gomes de

Amorim Neto, por seus esforos para tornar o curso cada vez melhor e pelo comprometimento

com o aluno. Uma pessoa que com certeza, sempre guardarei na memria como a figura de

um grande professor e coordenador.

Aos meus parceiros Renato Alison, Tialison Romo, Dakson Cmara, Ronnifran Cabral,

Fabson Emerson e Edmilson Alves pela amizade durante esses dois anos de curso.

A toda equipe da Sete Engenharia e Projetos, em especial a Srgio Martins pela

compreenso e companheirismo durante esse perodo.

A todos colegas que fizeram parte da minha vida acadmica, todos tiveram um papel

importante nesta jornada.

A banca examinadora deste trabalho, por aceitar o convite disponibilizando do seu

tempo para contribuir com este trabalho.

A todos os professores do curso de Engenharia Civil da UFERSA-Mossor.


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Os professores abrem as portas, mas voc

precisa entrar sozinho.

Provrbio Chins


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RESUMO

Este trabalho trata de um estudo sobre a anlise de estruturas do tipo trelia, levandoem considerao os efeitos da no-linearidade fsica. A no-linearidade fsica caracterizada

pela relao desproporcional entre tenso e deformao, decorrente da alterao daspropriedades fsicas do material da estrutura, ou seja, o comportamento do material noobedece a lei Hooke. A teoria da elasticidade linear prev que as solicitaes levam umdeterminado material a um comportamento completamente elstico, j a plasticidade ficaevidenciada pela ocorrncia de deformaes permanentes. Por fim, o comportamento dosmateriais elastoplsticos resultante de uma resposta inicialmente elstica, e a partir de certoestado de tenso apresenta um comportamento predominantemente plstico. Os problemasno-lineares so consideravelmente mais complexos, desta forma imprescindvel autilizao de recursos computacionais como ferramenta de auxlio. Na anlise numrica

podemos destacar o Mtodo dos elementos finitos (MEF) que uma ferramenta que apresentavasta rea de atuao, demostra grande versatilidade e timo desempenho no mbitoestrutural. As trelias so estruturas compostas exclusivamente por membros retilneosconectados entre si em suas extremidades, onde seus mtodos de anlise lineares esto

bastante difundidos. Ento, este trabalho consta da anlise da no-linearidade fsica emtrelias, por meio do MEF, atravs do programa ANSYS, que um software capaz desolucionar problemas com grande rapidez e eficincia. Os resultados obtidos ilustram aimportncia que os efeitos da no-linearidade fsica apresentam na anlise de estruturas.

Palavras-chave:No-linearidade fsica. Trelia. Elastoplstico. Elementos finitos.


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LISTA DE FIGURAS

Figura 1 - Mtodo dos Ns.......................................................................................................24

Figura 2 - Mtodo das sees....................................................................................................25

Figura 3 - Diagramas tenses-deformaes..............................................................................27

Figura 4 - Relao Constitutiva elastoplstica perfeita.............................................................27

Figura 5 - Modelo de encruamento linear istropo...................................................................31

Figura 6 - Parmetro de encruamento linear istropo...............................................................33

Figura 7 - Encruamento Linear cinemtico...............................................................................33

Figura 8 - Trelia do centro de vivncia...................................................................................43

Figura 9 - Trelia adaptada.......................................................................................................44Figura 10 - Elemento LINK 1...................................................................................................45

Figura 11 - Modelo discretizado...............................................................................................45

Figura 12 - Deformada da trelia..............................................................................................46

Figura 13 - Deslocamentos mximos........................................................................................46

Figura 14 - Reaes de apoio....................................................................................................47

Figura 15 - Foras normais.......................................................................................................47

Figura 16 - Tenses axiais, deformaes plsticas e elsticas..................................................48Figura 17 - Deformaes elsticas............................................................................................49

Figura 18 - Tenses...................................................................................................................49

Figura 19 - Trelia Plana...........................................................................................................50

Figura 20 - Modelo Fsico Discretizado...................................................................................51

Figura 21 - Deformada da trelia..............................................................................................52

Figura 22 - Reaes de apoio....................................................................................................52

Figura 23 - Foras normais.......................................................................................................52Figura 24 - Tenses axiais, deformaes elsticas e plsticas..................................................53

Figura 25 - Tenses...................................................................................................................54

Figura 26 - Deformaes elsticas............................................................................................54

Figura 27 - Deformaes plsticas............................................................................................55


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LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS

- Deformao Elstica- Deformao Plstica

W - Trabalho Virtual

extW

- Trabalho virtual externo

U - Trabalho virtual interno

u - Vetor deslocamento

' - Deslocamento Virtual

A - Superfcie do slido

div - Divergente

E - Mdulo de elasticidade longitudinal

- Deformao Total

f - Fora por unidade de volume

grad - Gradiente

H - Mdulo de encruamento cinemtico

k - Mdulo plstico de encruamento istropo

MEF - Mtodo dos elementos finitos

n - Vetor posio

q - Deslocamento

r - Equilbrio local

sign(.) - Operador de sinais

t - Fora por unidade de superfcie

T - Tensor- Coeficiente de Poisson

- Parmetro que registra a histria do carregamento

- Incremento de deformao elstica

- Incremento de deformao plstica

- Incremento de tenso

- Incremento total de deformao

p - Acrscimo de tenso

- Incremento do parmetro que registra a histria do carregamento


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- Valor absoluto do incremento de deformao plstica

- Densidade

- Tenso

y - Tenso de escoamento

- Cisalhamento


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SUMRIO

1 INTRODUO....................................................................................................................121.1 JUSTIFICATIVAS.............................................................................................................13

1.2 OBJETIVOS.......................................................................................................................13

1.2.1 Objetivo geral.................................................................................................................13

1.2.2 Objetivos especficos......................................................................................................14

2 REFERENCIAL TERICO...............................................................................................15

2.1 MODELOS NO-LINEARES...........................................................................................15

2.1.1 No-Linearidade Geomtrica........................................................................................16

2.1.2 No-Linearidade Fsica..................................................................................................162.2 MTODOS NUMRICOS.................................................................................................17

2.3 PROGRAMA COMPUTACIONAL (ANSYS)..................................................................19

2.4 ESTUDO DAS TRELIAS................................................................................................21

2.4.1 Classificao das trelias...............................................................................................22

2.4.2 Anlise de trelias...........................................................................................................23

2.4.2.1 Anlise de trelias pelo Mtodo dos Ns......................................................................23

2.4.2.2 Anlise de trelias pelo Mtodo das Sees.................................................................24

3 ANLISE NUMRICA......................................................................................................263.1 COMPORTAMENTO ELASTOPLSTICO UNIDIMENSIONAL.................................26

3.1.1 Comportamento elastoplstico perfeito.......................................................................27

3.1.2 Comportamento elastoplstico com encruamento linear positivo............................30

3.1.2.1 Modelo de encruamento istopro.................................................................................30

3.1.2.2 Modelo de encruamento cinemtico.............................................................................33

3.1.2.3 Modelo Misto................................................................................................................34

3.2 ALGORITMO PARA VERIFICAO DO MODELO CONSTITUTIVO

ELASTOPLSTICO COM ENCRUAMENTO ISTROPO LINEAR...........................363.3 GENERALIZAO PARA O CASO DE UMA ESTRUTURA......................................38

4 MATERIAL E MTODOS.................................................................................................41

4.1 ROTEIRO GERAL PARA ANLISE COM O ANSYS...................................................41

4.1.1 Pr-Processamento.........................................................................................................41

4.1.2 Soluo............................................................................................................................41

4.1.3 Ps-Processamento.........................................................................................................42

5 RESULTADOS E DISCUSSES.......................................................................................43

5.1 EXEMPLO 1.......................................................................................................................435.2 EXEMPLO 2.......................................................................................................................50

6 CONCLUSES....................................................................................................................56


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REFERNCIAS......................................................................................................................57

APNDICE A..........................................................................................................................61

APNDICE B..........................................................................................................................64

APNDICE C..........................................................................................................................68


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1 INTRODUO

Na anlise de estruturas destacam-se a anlise linear e no-linear. A primeira destas,

caracteriza-se pela modificao da geometria da estrutura no interferir na distribuio dos

esforos e tenses, onde a relao entre tenses e deformaes linear. J a no-linear

proveniente da modificao da geometria ou das propriedades fsicas do material, estes dois

tipos de efeitos correspondem respectivamente a no-linearidade geomtrica e fsica. Sendo a

no-linearidade geomtrica relacionada a configurao deformada da estrutura, enquanto que

a no-linearidade fsica uma propriedade intrnseca dos materiais que provoca a perda de

rigidez dos elementos estruturais (AZEVEDO, 1985).

Entretanto, para problemas no-lineares, os processos de clculo so mais complexos,

requerendo o auxlio de recursos computacionais. Atualmente, existem diversos programas

capazes de simular o comportamento dos materiais dos quais so constitudas as estruturas.

Dentre estes programa pode-se citar o ANSYS, que foi pioneiro na aplicao do Mtodo dos

Elementos Finitos (MEF) (AMARAL et al., 2010).

O emprego do MEF como ferramenta de auxlio no dimensionamento de elementos

estruturais bastante difundido. De acordo com Soriano (2003), o mtodo nada mais que

uma anlise matemtica, onde um meio contnuo fragmentado em vrios elementos, cujos

mesmos mantm as propriedades idnticas s originais. Esses elementos sero descritos por

equaes diferenciais e resolvidos por modelos matemticos, onde tal processo torna-se

complexo se resolvido analiticamente.

As trelias so estruturas formadas unicamente por elementos retilneos que esto

conectados entre si em suas extremidades, onde so constitudas por elementos rgidos

(barras), que so projetadas com o objetivo de suportar cargas. Estas so largamente utilizadas

em projetos estruturais, pois possibilita leveza e praticidade na execuo de coberturas e

outras edificaes, por exemplo (BEER, 1994).

Conforme Rodrigues (1997), na maioria dos projetos de estruturas treliadas que

apresentam grandes deformaes, tais como edifcios altos, torres de transmisso, pontes e

outras, a considerao das no-linearidades fsica e geomtrica indispensvel, uma vez que

os efeitos produzidos por tal considerao provocam deslocamentos e esforos finais bastante

amplificados. Ento, a possibilidade de solucionar os problemas pertinentes a estas estruturas,

quando considerados os efeitos no-lineares atravs de mtodos alternativos torna-se por sua


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vez indispensvel. Uma possibilidade para aplicao eficaz nestes tipos de anlise remete ao

emprego do MEF.

Na prtica da engenharia bastante comum utilizar a teoria da elasticidade linear para

o clculo das estruturas, logo, as solicitaes consideram apenas o comportamento elstico

dos matrias constituintes. O comportamento elastoplstico caracterizado por uma resposta

do material, inicialmente elstica e, a partir de um determinado nvel de tenso, por um

comportamento essencialmente plstico (SEGININI, 2000). Ento, um modelo que ele isso

consigo mostra-se como uma melhor aproximao do comportamento das peas em servio.

Proena (1988) ressalta que o comportamento plstico de um material fica evidenciado

pelo aparecimento de deformaes irreversveis, ou permanentes, quando se anula a

solicitao a que o corpo est sujeita. Para simular este comportamento plstico pode-se fazer

o uso dos modelos elastoplstico perfeito e com encruamento linear positivo.

1.1JUSTIFICATIVAS

Devido ao avano tecnolgico e utilizao de materiais mais resistentes, estruturas

mais complexas e esbeltas esto sendo desenvolvidas, necessitando para isso mtodos

computacionais para a sua anlise, tendo em vista a dificuldade de se modelar ocomportamento real destas estruturas com preciso.

Outra motivao para realizao deste trabalho abrir o campo de pesquisa na

presente universidade, referente aos efeitos da no-linearidade na anlise de estruturas.

1.2OBJETIVOS

1.2.1 Objetivo Geral

O trabalho em questo tem como objetivo desenvolver um estudo sobre a modelagem

de estruturas, levando em considerao os efeitos da no-linearidade fsica, com nfase em

trelias.


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1.2.2 Objetivos especficos

Utilizao do MEF, visando representar o comportamento fisicamente no-linear de

estruturas.

Realizar aplicaes prticas, atravs da simulao de problemas propostos pela

ferramenta computacional ANSYS.


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2 REFERENCIAL TERICO

Durante este captulo ser apresentado a reviso bibliogrfica para que seja possvel

identificar os assuntos que esto ligados diretamente aos objetivos deste trabalho como,

estudo dos efeitos da no-linearidade em estruturas, anlise numrica, aplicao do MEF por

meio do software ANSYS, estudo do comportamento de trelias.

2.1MODELOS NO-LINEARES

A anlise de estruturas pode ser dividida em anlise linear e anlise no-linear. Em

projetos estruturais a anlise normalmente feita considerando-se o regime elstico linear,

todavia Dinis (2005) ressalta que na generalidade dos projetos de componentes estruturais,

considera-se que as solicitaes impostas levam a um comportamento elstico dos materiais

que os constituem, entretanto, em determinadas ocasies, como por exemplo, motivos de

segurana, indispensvel prever o comportamento dos componentes diante o aparecimento

de deformaes com caractersticas plsticas.

Conforme Rubert (1993), na maioria dos projetos de estruturas no so consideradas

as no-linearidades, a partir da justificativa de que tais efeitos produzem pouca ou quasenenhuma influncia no resultado de deslocamentos e esforos finais, porm, a

desconsiderao destes efeitos podem ocasionar em projetos inadequados.

Segundo Paula (2001), a anlise estrutural linear clssica pressupe proporcionalidade

entre carga e deslocamento. As condies para que essa proporcionalidade se verifique so:

resposta elstica linear do material e pequenos deslocamentos que so especificados pelas

normas vigentes. J na anlise no linear, incrementos constantes de carga no correspondem

a incrementos constantes de deslocamentos.O comportamento no linear pode estar relacionado ao comportamento do material ou

associado a mudanas da configurao da estrutura, denominadas respectivamente como no-

linearidade fsica e geomtrica. Em muitas situaes a anlise no-linear importante, como

no caso de estruturas muito esbeltas ou ento estruturas submetidas a aes excepcionais, tais

como terremotos ou furaces. Alm disto, uma anlise no linear torna-se necessria para a

verificao da capacidade resistente de estruturas existentes que sero submetidas a novos

carregamentos no previstos em projetos ou em casos onde as cargas foram subestimadas no

projeto estrutural (STRAMANDINOLI, 2007).


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Leite (2000) apresentou o processo e a formulao de elementos finitos para anlises

de trelias, considerando as no linearidades geomtricas e fsicas, onde utilizou-se um

software que capaz de resolver estas no linearidades, baseado num processo incremental-

iterativo, no qual verificado para cada iterao segundo um critrio de convergncia adotado

previamente.

2.1.1 No-Linearidade Geomtrica

A linearidade geomtrica fica atendida se as alteraes na configurao do sistema

estrutural forem consideravelmente pequenas, de maneira a permitir a utilizao de relaes

deformao versus deslocamento e equaes de equilbrio com base na geometria inicial.

Quando a variao de esforos e deslocamentos ocasionados pela mudana da geometria da

estrutura sob ao de carregamentos j no for to pequena, valores esses especificados pelas

normas vigentes, deve-se considerar a no-linearidade geomtrica, formulando as equaes de

equilbrio para a configurao deformada da estrutura (STRAMANDINOLI, 2007).

Segundo Rubert (1993), o estudo da no-linearidade geomtrica particularmente

importante para estruturas cuja esbeltez e deformabilidade excessivas fazem com que na

configurao final de equilbrio da estrutura surjam esforos internos, de acordo as normasvigentes, ditos de segunda ordem, cuja magnitude no pode ser desprezada.

De acordo com Segnini (2000), entende-se como no-linearidade geomtrica todo

efeito causado em uma estrutura devido as alteraes na geometria da mesma. As alteraes

na geometria podem ocorrer de diversas formas, tais como: grandes deformaes, grandes

rotaes e grandes deslocamentos.

Conforme Rojas (2001), a no-linearidade geomtrica surge devido a alterao da

geometria de referncia da anlise ao longo do processo de deformao do corpo, e podeocorrer devido a grandes deformaes, grandes deslocamentos e rotaes da configurao de

referncia.

2.1.2 No-Linearidade Fsica

De acordo com Segnini (2000), como linearidade fsica entende-se um comportamento

estrutural que segue a hiptese de uma relao tenso-deformao linear e, na teoria clssica,

o comportamento do material segue a lei de Hooke, enquanto a no-linearidade fsica,


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segundo Rodrigues (1997), caracterizada pela relao no linear entre tenso e deformao,

decorrente da modificao das propriedades fsicas do material estrutural.

A anlise no-linear fsica leva em considerao a perda de rigidez do material durante

a histria de carregamento da estrutura, sendo assim, a partir de certo valor de carga, os

elementos que compem a estrutura perdem a capacidade de recuperar a sua forma inicial,

quando descarregados, ou seja, acumulam deformaes permanentes chamadas deformaes

plsticas (BRANCO, 2002).

Proena (1988) estudou o comportamento elastoplstico de estruturas ligado aos

efeitos da no-linearidade fsica, destacando que a variao das propriedades mecnicas dos

materiais durante a aplicao das cargas, pode conduzir a uma resposta fora do regime

elstico, onde enfatiza o modelo elastoplstico perfeito e o elastoplstico com encruamento

linear.

Conforme Rojas (2001), a variao das propriedades mecnicas dos materiais quando

submetidos a esforos, pode acarretar, para a estrutura global, uma resposta de deslocamentos

fora do regime elstico, onde o surgimento deste tipo de no-linearidade pode ou no, de

acordo com o tipo de estrutura, estar combinada com a no-linearidade geomtrica.

2.2MTODOS NUMRICOS

Atualmente, o MEF tornou-se uma das ferramentas mais utilizadas para anlise no-

linear de estruturas, e, embora vrios modelos de elementos finitos j tenham sido

desenvolvidos, esse ainda um tema importante no meio tcnico-cientifico, tendo em vista a

dificuldade de se modelar o comportamento real das estruturas (STRAMANDINOLI, 2007).

De acordo com Garzn (2002), o MEF muito verstil e poderoso pois permite aos

engenheiros obter informaes sobre o comportamento de objetos com formas complexas emquase qualquer carga concebvel (cargas pontuais, presso, trmica, cargas dependentes do

tempo e etc). Permite resolver problemas estveis ou dependentes do tempo, lineares ou no-

lineares. Pode-se considerar efeitos especiais nos materiais, como: plasticidade, propriedades

dependentes da temperatura, deformaes. Os ramos de aplicao so variados, tais como:

mecnica dos slidos, mecnica dos fluidos, eletromagnetismo, transferncia de calor e

acstica, entre muitos outros.


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Por muito tempo, a aplicao do MEF limitou-se soluo de problemas lineares, isto

, aqueles nos quais h uma dependncia linear entre a fora externa aplicada sobre o corpo

em anlise e os deslocamentos por ele sofridos (ROJAS, 2001).

A versatilidade do mtodo no salva a necessidade de uma anlise detalhada dos

resultados obtidos antes de ser aplicado na soluo de um problema real. Os resultados podem

ser obtidos to bem apresentados que geram confiana na anlise, o que podem levar a erros.

Pode-se produzir grandes erros no modelamento devido ao uso de opes inadequadas do

programa ou devido a utilizao de dados errados. Os resultados de uma programa no so

confiveis, se o usurio no entender como o mesmo funciona, ou no tem noes fsicas

suficiente para compreender os resultados obtidos pelo programa.

O modo como o MEF formulado e aplicado varia de acordo com cada tipo de

problema. Conforme Azevedo (2003), h dois aspectos essncias que devem ser levados em

considerao para a fase precedente a anlise de estruturas, sendo eles, os tipos de anlises

que sero consideradas e os tipos de elementos estruturais, onde:

Tipos de anlises

- Anlise dinmica ou esttica

Aes sobre estruturas so em geral dinmicas. plausvel considerar que as aes

so aplicadas de uma maneira muito lenta, onde se tornam desprezveis as foras de inrcia,

onde este caso a anlise indica-se esttica.

- Anlise no linear e linear

A anlise linear ocorre quando as aes externas so muito pequenas quando

comparadas com as dimenses dos componentes das estruturas, caso contrrio uma anlise

no linear. Admite-se que no existe influncia da alterao da geometria da estrutura na

distribuio das tenses e dos esforos, o estudo feito com base que no haja deformaes.


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Tipos de estruturas

As estruturas podem ser classificadas quanto a sua geometria como reticuladas,

laminares e slidas. As estruturas reticuladas so constitudas por barras prismticas, cujas

dimenses transversais so muito pequenas quando comparadas com o comprimento do

respectivo eixo. As estruturas laminares so aquelas que tm a espessura muito inferior s

outras dimenses. As estruturas slidas so aquelas que no apresentam caractersticas para se

encaixar no grupo das laminares e reticuladas.

Conforme destaca Xavier (2008), o MEF consiste em um mtodo numrico

aproximado para anlise de diversos fenmenos que ocorrem em meios contnuos, e que so

descritos atravs de equaes diferenciais parciais, com determinadas condies de contorno e

possivelmente condies iniciais. A ideia principal do MEF consiste em dividir o domnio do

problema em sub-regies de geometria simples, devido ao fato das sub-regies apresentarem

dimenses finitas, estas sub-regies so chamadas de elementos finitos.

Segundo Liu e Quek (2003), o MEF um mtodo numrico que procura uma soluo

aproximada da distribuio de campos variveis no domnio do problema, determinando

vrios fatores e aes aos quais o nosso objeto de estudo est submetido, tendo comopropsito garantir a viabilidade econmica e a eficcia do produto a ser feito. Logo a

obteno de resultados de forma rpida e precisa vem sendo bastante requerida nos tempos

atuais, destacando-se o MEF, pois o mesmo sintetiza de forma abrangente uma srie de

funes para resoluo de problemas que constam em nosso cotidiano.

Rios (2002) exps atravs da utilizao do MEF a viabilidade de se utilizar mtodos

numricos para a soluo de problemas como a propagao de descontinuidade em estruturas,

principalmente em questes onde os comportamentos no-lineares so regidos pela evoluodo dano continuo, salientando as vantagens e imperfeies destes mtodos.

2.3PROGRAMA COMPUTACIONAL (ANSYS)

Dentre a grande variedade de ferramentas disponveis na anlise numrica de

estruturas, destacam-se os softwares que so elaborados tendo como base o Mtodo dos

Elementos Finitos. O ANSYS uma ferramenta numrica capaz de solucionar com grande

rapidez problemas que em geral se tornam de extrema dificuldade de serem realizados


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analiticamente, disponibilizando solues grficas que facilitam a visualizao e

entendimento do problema.

Garzon (2002) enfatiza que o ANSYS teve grande desenvolvimento nos ltimos anos

devido ao avano tecnolgico e por sua vasta rea de implementao e tambm por apresentar

benefcios aos seus usurios como simplicidade, agilidade, e diminuio nos custos de modo

geral. Em funo deste avano tecnolgico aparece a utilizao de estruturas mais complexas

e dos mais diversos tipos de materiais, surgindo assim a necessidade de encontrar modelos

que melhor se adaptem para representar o comportamento de tais estruturas.

A partir do ANSYS podem ser modeladas estruturas por elementos unidimensionais,

bidimensionais e tridimensionais de maneira que representem da melhor forma possvel a

estrutura, garantindo bom desempenho na formulao de todo processo.

Conforme Pereira (2005), a generalizao de meios de clculo automtico potentes

tem possibilitado o recurso cada vez mais frequente ao MEF, ento, este mtodo numrico

tornou-se o mais utilizado para adquirir solues aproximadas em problemas que so

descritos por termos de equaes com derivadas parciais.

Segundo Liu e Quek (2003), o processo da modelagem computacional utilizando o

MEF em geral composto por quatro etapas, sendo:

A) Modelagem da geometria

Quando ocorre a necessidade de solucionar problemas estruturais indispensvel

conhecer a geometria da estrutura, muito complexo representar as componentes e o formato

real das estruturas, logo existe a necessidade de simplificar o problema. Ento, utiliza-se uma

geometria que possa ser gerenciada, no caso de estruturas de superfcies curvas ocorre a

necessidade deste gerenciamento, onde necessrio aproxim-la em diversas sees retas,sendo importante ressaltar que quanto maior o nmero de sees melhor ser a representao

da geometria da estrutura, ocasionado melhor preciso nas solues.

B) Discretizao

A geometria da estrutura discretizada, onde o meio contnuo fragmentado em

pequenos pedaos chamados de elementos, onde a soluo para um elemento pode ser


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aproximada facilmente atravs de simples funes, como por exemplo, polinmios. As

solues para todos os elementos formam a soluo para o domnio do problema todo.

C) Propriedades do material

Para diversas situaes a serem simuladas existem vrios grupos de propriedades do

material que so fundamentais, pois a partir destas propriedades seremos capazes de obter

diferentes informaes como caractersticas, propriedades, comportamento e etc. As

propriedades do material so indispensveis, sendo necessrio especific-las, pois iro

interferir diretamente na simulao, e quanto melhor especificadas mais preciso e confivel

ser o resultado.

D)Especificao de limites e condies de carga

Esta etapa desempenha um papel decisivo na elaborao da simulao, pois so

determinadas as condies de contorno e carregamento. Introduzir as condies geralmente

feito facilmente utilizando um sistema computacional.

2.4ESTUDO DAS TRELIAS

Nesta seo ser mostrada a teoria que envolve as trelias, elemento estrutural

analisado neste trabalho. Ser descrita a definio de uma forma geral, apresentando suas

devidas classificaes e mtodo de anlise de acordo com a literatura.

As estruturas do tipo trelia, sejam planas ou espaciais, tem vasta aplicao na

engenharia, sendo que os mtodos de anlises lineares destes tipos de estruturas j estobastante difundidos.

De acordo com Beer (1994), trelia toda estrutura formada unicamente por

elementos retilneos conectados em juntas localizadas nas extremidades de cada elemento.

Nos membros de uma trelia atuam duas foras de mesmo mdulo e direo, mas de sentido

opostos. A trelia um dos principais tipos de estruturas utilizadas na engenharia, pois

oferece na maioria das vezes uma soluo prtica e econmica, principalmente no projeto de

coberturas, pontes, viadutos, torres e etc.


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2.4.1 Classificao das trelias

Conforme Soriano (2010) as trelias podem ser classificadas de acordo com a

disposio no espao, de acordo com a formao e de acordo com o equilbrio esttico.

De acordo com a disposio no espao tm-se as trelias planas e espaciais. Trelias

planas so aquelas onde os elementos pertencem a um nico plano, enquanto as trelias

espaciais so aquelas que apresentam seus elementos em planos diferentes, ou seja, suas

barras esto unidas de maneira a formar uma configurao tridimensional.

Quanto formao, as trelias podem ser classificadas como: trelias simples,

compostas e complexas (SORIANO, 2010; BEER, 1994 e HIBBELER, 2011).

Trelias simples

Uma trelia simples pode ser formada a partir de trs barras birotuladas ligadas em

forma de tringulo, qual so acrescentadas duas barras ligadas por meio de uma rtula, e

assim sucessivamente, com mais duas novas barras e uma rtula.

Trelias compostas

Toda trelia composta formada a partir de trelias simples de maneira que no haja

deslocamento relativo entre essas trelias e o conjunto no seja outra trelia simples.

Trelias complexas

toda trelia que no simples e nem composta.

De acordo com o equilbrio esttico as trelias podem ser hiposttica, isosttica e

hiperesttica (SUSSEKIND, 1983). Logo, com o nmero de barras representado por b, onde

r o nmero de componentes de reaes de apoio a determinar, e as equaes de equilbrio

em nmero igual a 2n, sendo n o nmero total de pontos nodais, tm-se as seguintes

condies e concepes:


25/71

23

Trelia Hiposttica

A desigualdade (b + r < 2n) condio suficiente para que uma trelia seja hiposttica.

A sua classificao como hiposttica devido ao fato de que o nmero de equaes de

equilbrio superior ao nmero de incgnitas.

Trelia Isosttica

A desigualdade (b + r = 2n) uma condio necessria, mas no suficiente, para que

uma trelia seja isosttica. Uma trelia isosttica quando o nmero de equaes de equilbrio

igual ao nmero de variveis a serem determinadas.

Trelia Hiperesttica

A desigualdade (b + r > 2n) uma condio necessria, mas no suficiente, para que

uma trelia seja hiperesttica. Uma trelia hiperesttica quando a aplicao das equaes de

equilbrio insuficiente para a determinao das reaes de apoio e dos esforos nas barras.

2.4.2 Anlise de trelias

A anlise de trelias feita basicamente atravs de dois mtodos, que so: Mtodo dos

Ns e Mtodo das Sees (SORIANO, 2010; BEER, 1994, HIBBELER, 2011).

2.4.2.1Anlise de trelias pelo Mtodo dos Ns

O Mtodo dos Ns consiste na resoluo das equaes de equilbrio dos pontos nodais

de uma trelia, de modo que os esforos nodais internos fiquem equilibrados pelas foras

nodais externas. A trelia pode ser desmembrada e para cada pino e barra pode ser desenhado

um diagrama de corpo livre. Cada barra est sujeita a duas foras, uma em cada extremidade,

estas foras possuem o mesmo mdulo, a mesma linha de ao e sentidos opostos (FIGURA

1).


26/71

24

Para que este mtodo torne-se simples, imprescindvel escolher uma sequncia de

ns para escrever as equaes de equilbrio, de tal forma que se obtenha no mximo dois

esforos desconhecidos em cada n, o que permitir a resoluo destas equaes.

Figura 1: Mtodo dos Ns.

Fonte: Meriam e Kraige (2011).

Este mtodo torna-se bastante eficaz quando ocorre a necessidade de determinar as

foras em todas as barras da trelia. A anlise feita a partir do diagrama de cada n que

compe a trelia.

2.4.2.2Anlise de trelias pelo Mtodo das Sees

Este mtodo apoia-se no fato de que, devido trelia est em equilbrio, logo, cada

uma de suas partes tambm esto em equilbrio. O mtodo consiste basicamente em seccionar

a parte da trelia que se deseja conhecer, em seguida aplicam-se as equaes de equilbrio no

trecho escolhido (FIGURA 2). Deve-se repetir o procedimento at que todas as barras da

trelia tenham seus esforos determinados.

O Mtodo das Sees mais eficiente quando se deseja determinar foras em somente

uma barra ou em poucas barras.


27/71

25

Figura 2: Mtodo das sees.

Fonte: Meriam e Kraige (2011).


28/71

26

3 ANLISE NUMRICA

Neste captulo so apresentados os fundamentos bsicos relacionados a teoria da

plasticidade, necessrios para a elaborao da relao constitutiva de um material de

comportamento elastoplstico. Tambm apresentada a formulao do comportamento

elastoplstico para o caso unidimensional, tanto para o modelo elastoplstico perfeito como

para o modelo elastoplstico com encruamento linear positivo e na sequncia feita a

generalizao para o caso de um slido ou estrutura. Faz-se uma reviso sobre os critrios de

plastificao utilizados e a formulao implementada com base nos estudos de Proena(2006),

Rojas (2001) e Azevedo (1985).

3.1COMPORTAMENTO ELASTOPLSTICO UNIDIMENSIONAL

De modo geral, os projetos estruturais admitem que as solicitaes acarretam a um

comportamento elstico dos materiais que os constituem. Entretanto, em algumas

circunstncias, por motivos de segurana, por exemplo, importante prever o comportamento

das estruturas diante o surgimento de deformaes com caractersticas plsticas.

Segundo Schmidt (2006), o comportamento plstico de um material pode sercaracterizado, a nvel macroscpico, pela ocorrncia de deformaes permanentes, ou seja,

irrecuperveis, observadas em um ciclo de carregamento e descarregamento. Normalmente, o

material apresenta um valor de tenso, denominado tenso de escoamento, que uma vez

atingido pode acarretar no acontecimento de deformaes plsticas.

Conforme Proena (1988), pode-se citar como caracterstica geral do comportamento

elastoplstico a irreversibilidade, no sentido que se trata de um processo que dissipa energia e

a no-viscosidade, esta condio enuncia o fato de que um incremento de deformaocorresponde, imediatamente, um incremento de tenso.

Segundo Azevedo (1985), conveniente diferenciar o comportamento no linear

elstico do elastoplstico, em quanto no primeiro o diagrama de descarga coincide com o de

carga (FIGURA 3.a), no segundo, aps o incio da plastificao os dois diagramas so

distintos, uma vez que as deformaes plsticas so irreversveis (FIGURA 3.b).


29/71

27

Figura 3: Diagramas tenses-deformaes.

Fonte:Azevedo (1985).

Nos modelos elsticos, cada estado de deformao () sempre est associado a umnico estado de tenso (). Enquanto no modelo elastoplstico, para se determinar a

intensidade de tenso respectiva a certa intensidade de deformao necessrio conhecer a

histria prvia da deformao plstica ( ). Justifica-se essa colocao no que segue.

3.1.1 Comportamento elastoplstico perfeito

Os materiais elastoplstico perfeito so aqueles onde a tenso solicitante jamaisultrapassa a tenso de escoamento e quando essa atingida e mantida, todo acrscimo de

deformao unicamente de natureza plstica.

Na figura 4, apresenta-se o modelo elastoplstico perfeito, onde no h encruamento, e

quando atingido o estado de tenso o material escoa indefinidamente.

Figura 4Relao Constitutiva elastoplstica perfeita.

Fonte: Schmidt (2006).


30/71

28

A partir da figura 4 observa-se que a deformao total composta pela soma das

parcelas elstica e plstica. No regime elastoplstico no existe proporcionalidade entre

tenso e deformao, sendo assim necessrio conhecer o histrico do carregamento, que

distinguido pelo nvel de deformao plstica acumulada.

Admite-se ento, que a deformao total () resultado da soma das parcelas elstica

( ) e plstica ( ), de modo que:

= + (1)

A lei de Hooke diz que as foras atuantes so proporcionais s deformaes elsticas

produzidas, e pode ser escrita como:

= E * (2)

Onde, a tensoe E o mdulo de elasticidade longitudinal do material.

Sendo,

= - (3)

Logo,

= E * ( - ) (4)

Observa-se que na equao (4) a tenso obtida atravs da parcela de deformao

plstica e da deformao total, onde a existncia da deformao plstica concede relao

constitutiva caractersticas de natureza no linear. O material entrar em processo de

escoamento quando o estado de tenso estiver situado sobre o patamar de escoamento, desta

forma, ocasionando aumento da deformao plstica, quando o material for submetido a um

descarregamento haver uma recuperao elstica do mesmo.

Desta forma, a relao constitutiva representada em termos de incrementos

infinitesimais de tenso e deformao. Ento, considerando a continuidade para as funes

que descrevem , e , no espao de uma anlise incremental as deformaes permanentes

surgem, ou sofrem alguma modificao, quando:

0 (5)

Onde a resposta imediata causa deformaes plsticas.

Portanto, a relao tenso-deformao pode ser enunciada em termos incrementais

pela seguinte expresso:

= E * (6)

= E * (- ) (7)


31/71

29

Considerando a relao tenso-deformao representado no diagrama da figura 4, em

um modelo elastoplstico perfeito, a tenso no pode ultrapassar, em valor absoluto, a tenso

de plastificao y. Portanto, os estados admissveis de tenso podem ser expressos pela

seguinte expresso:

f() = | | - y 0 (8)

Vale ressaltar que essa expresso responsvel por caracterizar o comportamento

plstico do material, apresentando uma participao fundamental no modelo constitutivo, pois

permite reconhecer o regime elstico e o elastoplstico.

O desenvolvimento da plastificao, onde 0, acontece apenas se f()= 0, ou

seja, quando | | = y. Se o estado de tenso for f()0, ento a resposta do material tem

exclusivamente comportamento elstico, tal que:

= (9)

Logo,

= 0 (10)

Portanto,

= E * ( + ) = E * = E * (11)

Numa segunda situao, considerando-se f() = 0, se o novo estado de tenso for

f(+) = 0, ento a resposta incremental gerou acrscimo de deformao plstica. Logo,

f() = 0 representa um requisito necessrio para que haja variao da deformao plstica no

incremento.

Usualmente, denomina-se 0 ao valor absoluto do incremento de deformao

plstica, se ela existir. O desenvolvimento da deformao plstica pode acontecer tanto na

trao como na compresso, portanto, valem as relaes:

= 0 se = y ( > 0 ) (12.a)

= - 0 se = - y ( < 0 ) (12.b)

Devido coincidncia de sinais entre e , introduz-se o operador de sinal, sign(.),

sendo assim, pode-se escrever:

= * sign() se f() = 0 com 0 (13)

Onde,

sign() = +1, para > 0; (14.a)

sign() = -1, para < 0. (14.b)


32/71

30

Se 0 ento f() = 0 e se f() < 0 ento = 0. Denominada de condio de

complementaridade, essas possibilidades podem ser reunidas na seguinte expresso:

* f() = 0 (15)

Seja um estado atual de tenso, onde f() = 0, considerando que no prximo

incremento exista > 0, ento o novo estado de tenso tambm dever verificar o critrio de

plastificao, ou seja, f(+) = 0. Ento, considerando a funo f continua pode-se fazer

uma linearizao em torno do nvel e escrever que:

f(+) = f() + f() (16)

Onde, > 0 implica em f() = 0.

As situaes de carregamento e descarregamento se descrevem, respectivamente,

como:

> 0 se f = 0; (17.a)

= 0 se f < 0. (17.b)

Resultando em uma nova condio denominada de condio de consistncia, expressa

por:

* f = 0 (18)

3.1.2 Comportamento elastoplstico com encruamento linear positivo

Neste caso, o intervalo elstico inicial modificado com o decorrer da evoluo da

plastificao, seja em tamanho (istropo), posio (cinemtico) e em uma combinao das

mesmas (misto).

3.1.2.1 Modelo de encruamento istropo

O encruamento est associado capacidade de ganho de resistncia a partir do

crescimento da deformao. O mesmo caracterizado pela alterao, em tamanho e/ou em

posio, do intervalo elstico inicial de tenses devido ao desenvolvimento da deformao

plstica.

importante ressaltar que a relao incremental representada na equao (6), continua

sendo vlida no modelo constitutivo elastoplstico com encruamento.

H mais de uma maneira de modelar o encruamento. O modelo de encruamento linearistropo mostrado na figura 5.


33/71

31

O encruamento denominado istropo quando acontece uma expanso do intervalo

elstico ([-y, y]) de modo simtrico ao seu centro e ocorre sempre que o incremento de

tenso implicar em evoluo da deformao plstica.

O limite elstico inicial modificado sucessivamente para (y + k1) e (y + k2) em

funo da histria de plastificao ocorrida no ciclo, onde a singela existncia de deformao

plstica em instante anterior, independente do sinal, o bastante para promover a expanso do

intervalo inicial das tenses admissveis. O parmetro k denominado de mdulo plstico de

encruamento istropo e (>0) uma medida que registra, justamente, a histria da deformao

plstica no ciclo.

Figura 5: Modelo de encruamento linear istropo.

Fonte: Proena (2006).

O encruamento pode ser introduzido na expresso do critrio de plasticidade por meio

de um acrscimo psobre o valor da tenso de plastificao y, sendo:

p = k, p = k com k > 0 e > 0 (19)

A lei de evoluo de est vinculada lei de evoluo da deformao plstica, onde

=| |. Sendo | | = , tem-se que = . Tendo em vista as condies exposta at

o momento, temos que a expresso do critrio de plastificao passa a ser representada da

seguinte forma:

f(,) = || - (y + k) 0 (20)


34/71

32

As condies de complementaridade e consistncia vistas anteriormente continuam

sendo vlidas para o modelo elastoplstico com encruamento istropo.

A condio de consistncia admite obter uma relao explicita para , sendo assim,

admite-se uma linearizao da funo de plastificao em torno de certo nvel de tenso e

considerando-se que:

)(

signf

(21)

= x sign() (22)

Desta forma, pode-se escrever:

**

fff (23)

f = sign() * E * ( - )k * (24)

f = sign() * E * - sign() * E * * sign() k * (25)

f = sign() * E * * (E + k) 0 (26)

Considerando-se f = 0, o que possibilita 0, resultando em:

)(

**)(

kE

Esign

(27)

Substituindo a equao (27) em (13) tem-se:

*

)(

*

)(

**

kE

kE

kE

EE se > 0 (28)

Substituindo a equao (27) em (6), obtm-se:

*

)(

*

)(

**

kE

kE

kE

EE

se > 0 (29)

Onde)(

*

kE

kE

define o mdulo elastoplstico tangente.


35/71

33

Atravs da figura 6 possvel visualizar a interpretao para o mdulo plstico de

encruamento k:

Figura 6: Parmetro de encruamento linear istropo


Onde,

k = (30)

3.1.2.2 Modelo de encruamento cinemtico

Diferente do modelo de encruamento istropo, no modelo de encruamento cinemtico

no existe alterao do tamanho do intervalo elstico inicial, porm h alterao de posio no

eixo das tenses, que ocorre de acordo com o desenvolvimento do processo de plastificao.

A figura 7 ilustra o modelo, onde o centro do intervalo se desloca em sentido e

quantidade controlados pela deformao plstica.

Figura 7: Encruamento linear cinemtico



36/71

34

A partir da figura 7 evidencia-se que o deslocamento do centro do intervalo plstico

fica caracterizado pela varivel q, e tem sua lei de evoluo representada pela seguinte

expresso:

q = H * (31)

Onde H o mdulo de encruamento cinemtico.

Ento o critrio de plastificao passa a ser representado por:

f(,q) = | - q| - y 0 (32)

Logo, o incremento de deformao plstica passa a ser caracterizado pelas

respectivas condies:

= 0 se - q = y (> 0) (33.a)

= - 0 se - q = - y (< 0) (33.b)

Introduzindo o operador de sinal, tem-se:

= * sign(- q) (34)

Onde,

sign( - q) = +1 se ( - q) > 0 (35.a)

sign( - q) = -1 se ( - q) < 0 (35.b)

Substituindo a equao (34) na (31), tem-se:

q = H * = * H * sign( - q) (36)

3.1.2.3 Modelo Misto

Atravs da combinao dos modelos istropo e cinemtico obtm-se um modelo

misto. Neste modelo tem-se uma nova formulao para o critrio de plastificao expressa

por:

f(,q,) = | - q| - (y + k) 0 (37)

As demais formulaes que complementam o modelo misto so:

= E * (- ) (38)

= * sign() (39)

* f = 0 com 0 e f 0 (40)

* f = 0 com f 0 (41)

q = * H * sign( - q) (42)

= (43)


37/71

35

De forma semelhante ao modelo do encruamento istropo, possvel obter uma

relao explicita para atravs da condio de consistncia, onde:

***

f

qq

ff

f (44)

||*

||

q

q

ff (45.a)

q

q

q

f

q

f ||*

||

(45.b)

As derivadas dos mdulos fornecem respectivamente:

)(

||

qsign

q

(46.a)

)(||

qsign

q

q (46.b)

A partir da soluo das derivadas referentes as equaes (45) e (46), tem-se:

f = sign( - q) * - sign( - q) * q - k * (47)

f = sign( - q) * E * (- ) - sign( - q) * * H * sign( - q) - k * (48)

f = sign( - q) * E * () - * (E + H + k) (49)

Na condio em que f = 0 obtm-se:

)(

**)(

kHE

Eqsign

(50)

)(

*

kHE

E

(51)

Portanto, a relao constitutiva em termos incrementais resulta em:

= E x () se = 0 (52)

*

)(

)(*

kHE

kHE se > 0 (53)


38/71

36

3.2 ALGORITMO PARA VERIFICAO DO MODELO CONSTITUTIVOELASTOPLSTICO COM ENCRUAMENTO ISTROPO LINEAR

Nas anlises pelo Mtodo dos Elementos Finitos de estruturas em regimeelastoplstico preciso implementar um procedimento em passo finito para a conferncia do

modelo constitutivo.

Ento, sendo conhecido o incremento finito de deformao total no passo, a

verificao do modelo constitutivo d-se em duas etapas, sendo denominadas de previso e

correo.

Na etapa de previso calcula-se o incremento de tenso considerando-se que o passo

tenha ocasionado somente deformao elstica, ou seja, no houve desenvolvimento dasdeformaes plsticas. Esta hiptese regida pelo critrio de plastificao, onde o sinal do

mesmo que confirmar ou no a evoluo das deformaes plsticas. Um sinal negativo

garante uma resposta puramente elstica, j um sinal positivo nega a hiptese de passo

elstico, sendo assim, passa-se a etapa de correo, onde o acrscimo finito de deformao

plstica calculado e so atualizados os valores totais da varivel de encruamento e de tenso.

importante observar que ao final de cada passo o estado de tenso deve verificar o

critrio de plastificao com a igualdade, sendo essa a condio fundamental empregada nas

etapas de previso e correo. Logo, em passo finito, as condies de complementaridade e

consistncia do modelo incremental so substitudas por:

*f(+) = 0 (54)

Seja um passo n do procedimento, onde so conhecidos a deformao total n, a

parcela de deformao plstica n, o parmetro de encruamento n e a tenso total n.

Considerando-se que tenha sido efetuado um novo passo de carregamento, sendo esse passo

n+1e que se conhece o acrscimo de deformao total n, onde esse acrscimo resulta na

modificao do estado conhecido. Logo, deseja-se determinar os valores dos acrscimos

n, ne n, onde as relaes que regem o modelo constitutivo sejam verificadas no novo

estado n+1, sendo expressas os valores das variveis de interesse ao final de cada novo passo

por:

n+1= n+n (55)

n+1= n+ n (56)

n+1= n+ n (57)


39/71

37

n+1= n+ n (58)

Os acrscimos devem ser tais que:

n+1= E * (n+1 - n+1) (59)

fn+1= |n+1| - (y + kn+1) 0 (60)

n= n* sign(n+1) (61)

n= n (62)

De acordo com o que foi dito, na etapa de previso admite-se que no h evoluo das

deformaes plsticas, sendo:

n= 0 (63)n= 0 (64)

Onde,

n= 0 (65)

A partir das relaes (60) e (59) obtm-se os valores de tenso total e da funo de

plastificao, expressos por:

n+1= E * (n+1- n) (66)

n+1= | n+1| - (y + kn) (67)

A hiptese referente a etapa de previso ser confirmada ou no em funo do sinal de

n+1, caso o resultado seja negativo ou zero a hiptese se confirma, ou seja, no passo

n= 0, sendo assim as variveis so atualizadas e expressas pelas seguintes relaes:

n+1= E * (n+1- n) (68)

n+1= n (69)

n+1= n (70)Entretanto, se o resultado de n+1for positivo implica que a hiptese inconsistente,

logo, no passo existe um acrscimo de deformao plstica que precisa ser calculado.

Portanto, nesta condio a determinao de n resulta da imposio de fn+1= 0, que para o

caso de encruamento linear escreve-se:

fn+1=| n+1| - (y + kn) (71)

Uma maneira para determinar o mdulo | n+1| consiste de substituir a equao (56) em

(59) e reescrev-la da seguinte forma:

n+1= E * (n+1 - n)- E * n (72)


40/71

38

Representando | n+1| como | n+1|*sign( n+1) e substituindo (61) em (72), tem-se:

| n+1|*sign( n+1) = E * (n+1 - n) - E * n* sign( n+1) (73)

Observa-se que a primeira parcela do lado direito da expresso coincide com a

equao (66). Utilizando a expresso | n+1|*sign( n+1), tem-se:

| n+1|*sign( n+1) = | n+1|*sign( n+1)- E * n* sign( n+1) (74)

(| n+1| + E * n) * sign( n+1) = | n+1|*sign( n+1) (75)

Observa-se que sign( n+1) = sign( n+1), logo:

| n+1| + E * n = | n+1| (76)

| n+1| = | n+1| - E * n (77)

Atravs da substituio das equaes (62), (57) e (77) em (60) pode-se escrever:

fn+1= | n+1| - (y + kn) - E * n - k * n (78)

Portanto, observa-se que a equao (78) possui um parcela igual a equao (67) e

considerando que fn+1= 0, obtm-se:

n)(

1

kE

f t

n

(79)

O incremento de deformao plstica representado pela seguinte expresso:

n= n* sign( n+1) (80)

A partir da, todas as variveis de interesse podem ser atualizadas conforme o

resultado anterior.

3.3GENERALIZAO PARA O CASO DE UMA ESTRUTURA

Seja um slido, ou uma estrutura, submetida num certo instante de tempo ao deuma fora fpor unidade de volume e tpor unidade de superfcie.

O equilbrio local em um ponto genrico do slido, representado propriamente pela

seguinte equao vetorial:

r = divT + f = 0 (81)

onde,

T: Tensor

div: DivergenteSendo que divT expresso por:


41/71

39

divT =

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

zyx

(82)

Logo,

divT =

zyxzyxzyx

zzyzxzzyyyxyzxyxxx

(83)

Sendo que a simetria de T garante a verificao do balano de momentos.

Quando uma deformao ocorre as tenses internas tendem a retornar o corpo a sua

posio de equilbrio.

Ento, admitindo-se que os pontos do slido venham a sofrer deslocamentos virtuais

compatveis e que respeitem as condies de contorno, ento a relao de equilbrio pode ser

ponderada e interpretada como um trabalho virtual, onde a mesma escrita da seguinte forma:

udVrW (84)

Sendo u o vetor deslocamento.

A partir da equao (82) e (81), tem-se:

VVV

udVfudVdivTudVr (85)

Seja,

div(T u ) = divT u +Tgrad u (86)

Temse,

divT u = div(T u )- Tgrad u (87)

Sendo,

A

undATdVuTdiv )( (85)

Onde,

grad: gradiente;

A:superfcie do slido;

n:vetor posio.

A partir das equaes (84) e (85), obtem-se:

VVVV

udVfudVTgradndAuTudVr . (86)

Empregando-se o teorema de Cauchy (Tn = t), onde o mesmo diz que as tenses

tangenciais sobre dois planos ortogonais so recprocas, temse:


42/71

40

tuTnunuT ... (87)

Levando em considerao que uTgradugradT s . (devido T ser simtrico) e

'*21

ugradugradugrad Ts (deformao virtual), a expresso do trabalho virtual

passa a ser expressa da seguinte forma:

VVVV

dVTudVfdAutudVr '... (88)

Denominando-se,

AV

ext udAtudVfW ..

como trabalho virtual externo;

V dVTU '. como trabalho virtual interno.

Ento, diz-se que o slido est em equilbrio se:

0W ou 0 extWU (89)

Ento, tem-se que para a soluo numrica de um caso genrico de uma estrutura as

nicas suposies usadas so o equilbrio e o conceito do meio contnuo, sendo o mesmo

vlido, portanto, para a anlise linear e no-linear geomtrica e fsica. Por fim, importante

ressaltar que o caso genrico no tema deste trabalho, desta forma no h necessidade de se

aprofundar no assunto, para mais consideraes sobre o referente tema pode-se consultar o

trabalho de Proena (1988).


43/71

41

4 MATERIAL E MTODOS

O MEF um mtodo numrico em engenharia, onde aplica-se em geral a problemas

em que no possvel obter solues satisfatrias atravs de mtodos analticos.

Durante este trabalho foi apresentado o referencial terico e os fundamentos bsicos

relacionados a anlise numrica utilizando o MEF.

Nesta seo pretende-se apresentar de maneira geral, as principais etapas do processo

de modelagem utilizando o ANSYS que sero utilizadas neste trabalho.

4.1 ROTEIRO GERAL PARA ANLISE COM O ANSYS

4.1.1 Pr-Processamento

Nesta etapa so realizados os seguintes procedimentos:

- Tipo de anlise;

- Determinao do tipo do elemento;

- Determinao da seo transversal da barra;

- Determinao das propriedades do material;- Elaborao da geometria da estrutura;

- Criao da malha de elementos finitos;

- Aplicao das condies de contorno e carregamento.

4.1.2 Soluo

Na etapa de Soluo os sistemas de equaes algbricas so montados e resolvidos deforma que representem eficientemente o sistema fsico do objeto em estudo. Esta etapa

dividida em:

- Escolha das opes de sada de resultados;

- Definio dos passos de deslocamento impostos e do seu nmero;

- Soluo do problema.


44/71

42

4.1.3 Ps-Processamento

Na etapa final, o ps-processamento, consiste na manipulao dos resultados

numricos obtidos, quer seja em forma de listas, tabelas ou grficos. Estes resultados podem

ser: deslocamentos nodais, deformao da geometria, frequncias naturais e modos de

vibrao e outros. Est etapa formada por:

- Visualizao dos resultados.


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5 RESULTADOS E DISCURSSES

Esta seo consta da aplicao do MEF em estruturas do tipo trelia, por meio do

programa ANSYS, com o objetivo de representar o comportamento no-linear das mesmas.

5.1EXEMPLO 1

Analisar pelo programa ANSYS a trelia plana apresentada na figura 9, onde a mesma

foi tema de estudo no trabalho de concluso de curso de Cavalcante (2011). As foras devem

ser simultaneamente aplicadas em cinco incrementos iguais. Determinar as reaes de apoio,

foras normais, deslocamentos mximos, tenses axiais e deformaes elsticas e plsticas

nas barras para cada passo de carregamento. A mesma isosttica, e consta de uma adaptao

da trelia que compe a cobertura do centro de vivncia da Universidade Federal Rural do

Semi-ridoAngicos. A trelia que compe a cobertura do centro de vivncia apresentada

na figura 8 e possui as seguintes caractersticas:

- Material elastoplstico com encruamento istropo linear.

- Densidade () = 7850 kg/m;

- Coeficiente de Poisson () = 0,30;- Mdulo de Elasticidade (E) = 200 GPa;

- Tenso de Escoamento () = 25,0 kN/cm;

- Mdulo Elastoplstico Tangente: 2000,0 kN/cm.

Todos os dados apresentados para este problema esto de acordo com as informaes

expostas por Cavalcante (2011) e Hibbeler (2004).

Figura 8: Trelia do centro de vivncia.

Fonte:Autoria Prpria.


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A figura 9 mostra a trelia adaptada submetida a suas devidas foras com seus

respectivos ns. Vale salientar que no clculo destas foras no foram levados em

considerao os efeitos do vento e do peso prprio da estrutura.

Figura 9: Trelia adaptada.

Fonte: Autoria Prpria.

O primeiro passo escolher o tipo de anlise que ser executada, pois essa simples

ao ir restringir os comandos e menus ao respectivo tipo de anlise escolhido, onde os

demais comandos so ocultados para facilitar a visualizao dos caminhos a se percorrer. Em

nosso problema o tipo de anlise o estrutural.

Para representar as barras que compem a trelia foi utilizado o elemento LINK 1

(FIGURA 10), que um elemento que pode ser aplicado na soluo de uma grande variedade

de problemas de engenharia. Dependendo da aplicao, este poder atuar como uma barra de

trelia, um elemento de ligao, uma mola e etc. O LINK 1 bidimensional, pode ser

submetido compresso e trao na direo de seu eixo, possuindo dois graus de liberdade

por n e translaes na direo dos eixos coordenados x e y.

O programa divide as propriedades do material em elsticas e plsticas, as informao

inseridas referentes as caractersticas elsticas so o coeficiente de poisson e o mdulo de

elasticidade longitudinal, enquanto as de carter plstico so representadas pelo mdulo

elastoplstico tangente e pela tenso de escoamento.


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Figura 10: Elemento LINK 1.

Fonte: Manual ANSYS (2007).

Aps escolha do elemento partiu-se para a discretizao da trelia. O modelo

numrico desenvolvido possui 81 elementos e 42 ns, conforme apresentado na figura 11.

A seguir foram impostas as condies de contorno e carregamento, onde a estrutura

treliada encontra-se biapoiada, conforme exposto na figura 11.

Figura 11: Modelo discretizado.


Partindo para a etapa de soluo, tem-se que a estrutura est submetida a um

carregamento distribudo simultaneamente em cinco incrementos iguais de carga.

Na etapa de Ps-processamento obtm-se os resultados requeridos no problema em

questo.

Atravs da figura 12 possvel visualizar o comportamento final da trelia na sua

condio deformada depois de submetida a todos os devidos incrementos de carregamento.


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Figura 12: Deformada da trelia.


Os deslocamentos mximos, reaes de apoio e foras normais para cada passo de

carregamento esto devidamente listadas na figura 13, 14 e 15, respectivamente.

A figura 16 apresenta para cada passo de carregamento as tenses, deformaes

elsticas e deformaes plsticas.

A trelia possui um grande nmero de elementos, logo, por questo de praticidade,

para a anlise dos resultados adotou-se somente um segmento dos resultados gerados pelo

ANSYS, conforme expostos nas figuras 15 e 16. A lista com todos os resultados encontra-sepresente no Apndice A.

Figura 13: Deslocamentos mximos.



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Figura 14: Reaes nos apoio.


Figura 15: Foras normais.



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Figura 16: Tenses axiais, deformaes plsticas e elsticas.


A partir das figuras 17 e 18 possvel visualizar os resultados das tenses e

deformaes elsticas finais, respectivamente, referentes ao ltimo incremento de carga.


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Figura 17: Deformaes elsticas.


Figura 18: Tenses.


A partir dos resultados contidos no Apndice A percebe-se que todas as barras

apresentam deformao plstica igual a zero, ou seja, o comportamento do material foi

puramente elstico. Ento, cada incremento constante de carga corresponde a um incremento

constante de deformao, obedecendo desta forma a lei de Hooke. As tenso e deformaes

aumentam ao passar de cada incremento de carga.

O modelo numrico para este exemplo encontra-se no Apndice B.


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5.2EXEMPLO 2

Neste exemplo, pretende-se analisar pelo programa ANSYS o problema proposto por

Proena (2006), conforme segue:

Analisar a trelia plana representada na figura 19, onde as foras devem ser

simultaneamente aplicadas em cinco incrementos iguais. Determinar as reaes de apoio,

foras normais, tenses axiais e deformaes plsticas e elsticas nas barras para cada passo

de carregamento. Representar a resposta estrutural mediante um grfico do parmetro de

carregamento contra o deslocamento vertical do n 1.

Dados complementares do problema:

- Material elastoplstico com encruamento istropo linear.

- Mdulo de Elasticidade Longitudinal: E = 20500,00 kN/cm;

- Coeficiente de Poisson: = 0,3;

- rea da seo transversal: 3,50 cm;

- Tenso de escoamento: y = 5,0 kN/cm;

- Mdulo elastoplstico tangente: 1000,0 kN/cm.

O exemplo em questo processado pelo ANSYS deve-se proceder as etapas de pr-

processamento, soluo e ps-processamento.

Figura 19: Trelia Plana.

Fonte: Autoria Prpria (2014).

De forma anloga ao exemplo anterior, adota-se o tipo de anlise estrutural. O

elemento utilizado para representar as barras foi o LINK 1, conforme descritivo

anteriormente. As propriedades do material requeridas pelo programa foram inseridas

conforme explicado no exemplo anterior.


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O modelo numrico desenvolvido possui 7 elementos e 5 ns. A figura 20 apresenta a

trelia discretizada com suas respectivas condies de contorno e carregamento.

Figura 20: Modelo Fsico Discretizado.


Partindo para a etapa de soluo, tem-se que a estrutura est submetida a um

carregamento distribudo simultaneamente em cinco incrementos iguais de carga.

Passando para a etapa de Ps-processamento obteve-se os resultados requeridos

inicialmente.

Atravs da figura 21 possvel visualizar o comportamento final da trelia na sua

condio deformada depois de submetida aos devidos carregamento.

As reaes de apoio, foras normais para cada passo de carregamento esto listadas na

figura 22 e 23, respectivamente.

O grfico 1 mostra os deslocamentos verticais no n 1 para cada incremento de carga,

onde os deslocamentos aumentam a medida que o carregamento aplicado, sendo assim

possvel visualizar as caractersticas no-lineares da trelia com o decorrer dos passos de

carga.


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Figura 21: Deformada da trelia.


Figura 22: Reaes de apoio


Figura 23: Foras normais.



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A figura 24 apresenta para cada incremento de carregamento, sua devidas tenses,

deformaes elsticas e plsticas para casa elemento.

Grfico 1: Deslocamento Vertical.


Figura 24: Tenses axiais, deformaes elsticas e plsticas.



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A partir das figura 25, 26 e 27 possvel visualizar os resultados das tenses,

deformaes elsticas e deformaes plsticas, respectivamente, referentes ao ltimo

incremento de carga.

Figura 25: Tenses.


Figura 26: Deformaes elsticas.



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Figura 27: Deformaes plsticas.


Ento, com base nos resultados obtidos a partir do ANSYS, percebe-se que em alguns

passos a resposta do material foi puramente elstica, ou seja, no houve deformaes

plsticas. A partir do 3 passo surgiram as deformaes plsticas, que foram evoluindo

medida que os demais incrementos de carga foram aplicados, onde essas deformaes

ocorreram nos elementos 5, 6 e 7. Observa-se que as barras no sofreram redistribuio das

tenses, sendo assim, no houve ganho de resistncia do material devido ao crescimento das

deformaes.

O modelo numrico para este exemplo encontra-se no Apndice C.


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5 CONCLUSES

No presente trabalho, procurou-se estudar e utilizar conceitos relativos aos efeitos da

no-linearidade fsica em estruturas do tipo trelia. Para tal, resolveram-se exemploselucidativos atravs do programa ANSYS, implementando as caractersticas elastoplsticas no

elemento estrutural analisado. Em primeiro lugar, ressalta-se a vantagem que a anlise

incremental oferece, pois permite a obteno das tenses, deformaes e outros, ao longo de

toda a histria do carregamento.

A partir dos resultados obtidos no Exemplo 1, percebe-se que a trelia analisada est

dimensionada no regime elstico linear, sendo que as deformaes de carter plstico foram

nulas. De acordo com os resultados e as especificaes das normas vigentes, presume-se queos coeficientes de segurana utilizados para o dimensionamento da trelia foram elevados,

tendo em vista que a tenso resultante do ltimo incremento de carga est distante de

ultrapassar a tenso de escoamento do material. Ressalta-se que neste exemplo no foram

considerados as cargas do vento e peso prprio.

J no Exemplo 2 tem-se que a trelia analisada apresenta deformao plstica a partir

do terceiro incremento de carga, onde a plastificao evolui no decorrer da aplicao dos

incrementos e ocorre em 3 barras. Os efeitos do encruamento no provocaram aumento deresistncia e no ocorreu redistribuio das tenses atuantes.

Em suma, com base na literatura e nos resultados obtidos, pode-se afirmar que a

implementao computacional em anlises no-lineares bastante eficiente e recomendvel,

pois em determinadas circunstncias indispensvel prever o comportamento das estruturas

diante o aparecimento de deformaes de carter plstico, garantindo desta forma um projeto

mais detalhado e confivel.

Ainda existe uma srie de estudos que podem ser explorados dentro da linha de

pesquisa referente a no-linearidade. Como sugesto para trabalhos futuros pode-se citar a

considerao dos efeitos da no-linearidade geomtrica e o estudo dos efeitos da no-

linearidade em outros elementos estruturais.


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57

REFERNCIAS

AMARAL, Alexandre Be et al. Anlises Estruturais. Paran: Ufpr, 2010. 56 p.

ANSYS 11. Complete Users Manual.lnc. Product Documentation, 2007.

AZEVEDO, lvaro Ferreira Marques. Anlise No Linear de Estruturas Planas de BetoArmado pelo Mtodo dos Elementos Finitos. Porto: Feup, 1985. 196 p.

AZEVEDO, lvaro Ferreira Marques. Mtodo dos elementos finitos. Porto: [s.n.], 2003.248 p. Notas de aulas.

BARROS, Felcio Bruzzi. Mtodos Sem Malha e Mtodo dos Elementos FinitosGeneralizados em Anlise No-Linear de Estruturas.2002. 221 f. Tese (Doutorado) -Curso de Engenharia de Estruturas, Universidade de So Paulo, So Carlos, 2002.

BEER, Ferdinand Pierre; JOHNSTON, Elwood Russel. Mecnica vetorial paraengenheiros. 5. ed. So Paulo: Pearson Makron Books, 1994. 793 p.

BRANCO, Andr Lus Lima Velame. Anlise No-Linear de Prticos Planos,

Considerando os Efeitos do Cisalhamento no Clculo de Esforos e Deslocamentos.2002.107 f. Dissertao (Mestrado) - Curso de Engenharia de Estruturas, Universidade de SoPaulo, So Carlos, 2002.

CAVALCANTE, Joo Paulo de Barros. Anlise Esttica de Trelia Via ModelagemNumrica.2011. 51 f. TCC (Graduao) - Curso de Cincia e Tecnologia, UniversidadeFederal Rural do Semi-rido, Angicos, 2011.

CODES, Rodrigo Amaral de. Formulaes e Mtodos de Soluo na Anlise No-Linearde Trelias Espaciais.1978. 173 f. Tese (Doutorado) - Curso de Engenharia, Universidade

Federal do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, 1978.

DUARTE FILHO, Luiz Alberto. Anlise esttica e dinmica, linear e no-lineargeomtrica, atravs de elementos hexadricos de oito ns com um ponto deintegrao.2002. 127 f. Dissertao (Mestrado) - Curso de Engenharia Civil, UniversidadeFederal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, 2002.

DINIS, Lcia Maria Jesus Simas; JORGE, Renato Manuel Natal. Teoria da Plasticidade.Porto: [s.n.], 2005. 66 p. Notas de aulas.

GARZN, Mximo Alejandro Roa; ALVARADO, Diego Alexander Garzn. Introcuccinal modelamento por elementos finitos con ANSYS. Bogot: [s.n.], 2002. 168 p.


60/71

58

HIBBELER, Russell Charles. Esttica: Mecnica para engenharia. 12. ed. So Paulo:Pearson, 2011. 512 p.

HIBBELER, Russell Charles. Resistncia dos materiais. So Paulo: Pearson, 2004. 674 p.

LEITE, Fbio Nogueira. Uma Formulao Terica Consistente para Anlise No Linearde Estruturas Treliadas Espaciais.2000. 125 f. Dissertao (Mestrado) - Curso deEngenharia de Estruturas, Universidade Federal de Minas Gerais, Belo Horizonte, 2000.

LIU, G. R.; QUEK, S. S..The finite element method: A practical course. Burlington:Elsevier Science, 2003. 348 p.

MADENCI, Erdogan; GUVEN, Ibrahim. The finite element method and applications inengineering using ANSYS. Tucson: Springer, 2006. 686 p.

MERIAM, James Lathrop; KRAIGE, Glenn L.. Esttica: Mecnica para Engenharia. 6. ed.Rio de Janeiro: Ltc, 2011. 384 p.

PAULA, Cristina Ferreira de. Contribuio ao Estudo das Respostas Numricas No-Lineares Esttica e Dinmica de Estruturas Reticuladas Planas.2001. 157 f. Tese(Doutorado) - Curso de Engenharia de Estruturas, Universidade de So Paulo, So Carlos,

2001.

PEREIRA, Orlando Jos Barreiros de Almeida. Introduo ao mtodo dos elementosfinitos na anlise de problemas planos de elasticidade. Instituto Superior Tcnico, p. 1-57,2005.

PROENA, Sergio Persival Baroncini. Anlise No-Linear de Estruturas. So Carlos:[s.n.], 2006. 31 p. Notas de aulas.

PROENA, Sergio Persival Baroncini. Sobre Modelos Matemticos do ComportamentoNo-Linear do Concreto: Anlise Crtica e Contribuies.1988. 330 f. Tese (Doutorado) -Curso de Engenharia de Estruturas, Universidade de So Paulo, So Carlos, 1988.

RIOS, Roberto Domingo. Aplicaes do mtodo dos elementos discretos em estruturas deconcreto.2002. 151 f. Tese (Doutorado) - Curso de Engenharia Civil, Universidade Federaldo Rio Grande do Sul, Porto Alegre, 2002.

RODRIGUES, Rogrio de Oliveira. Anlise Dinmica Bidimensional No-linear Fsica eGeomtrica de Trelias de Ao e Prticos de Concreto Armado.1997. 298 f. Tese

(Doutorado) - Curso de Engenharia de Estruturas, Universidade de So Paulo, So Carlos,1997.


61/71

59

ROJAS, Paulo Andrs Muoz; FILHO, Luiz Alberto Duarte, 2001, Anlise No-LinearGeomtrica e Material de Trelias, cadernos de engenharia, Porto Alegre, p.129.

RUBERT, Jos Benaque. Estudo do Desempenho de Algoritmos Numricos na Soluo deSistemas No-Lineares de Estruturas Formadas por Barras de Trelias.1993. 105 f.Dissertao (Mestrado) - Curso de Engenharia de Estruturas, Universidade de So Paulo, SoCarlos, 1993.

SAMPAIO, Tas Santos, GONALVES, Roberto Martins, 2007, Anlise numrica, viaMEF, de ligaes em trelias metlicas espaciais, cadernos de engenharia de estruturas, SoCarlos, v.9, n.38, p.29-61.

SAMPAIO, Tas Santos. Anlise numrica, via MEF, de ligaes em trelias metlicas

espaciais.2004. 273 f. Dissertao (Mestrado) - Curso de Engenharia de Estruturas,Universidade de So Paulo, So Carlos, 2004.

SNCHEZ, Cesar Antonio Aparicio. Estudo de impacto usando elementos finitos e anliseno linear.2001. 129 f. Dissertao (Mestrado) - Curso de Engenharia de Estruturas,Universidade de So Paulo, So Carlos, 2001.

SEGNINI, Sandra Cristina de Agostini. Estudo Comparativo de Formulaes para aAnlise No-Linear de Trelias.2000. 148 f. Tese (Doutorado) - Curso de Engenharia Civil,Universidade Estadual de Campinas, Campinas, 2000.

SCHMIDT, Dilnei. Anlise Elastoplstica com No-Linearidade Geomtrica deEstruturas Atravs de Elementos Hexadricos Tri-lineares com Um Ponto deIntegrao.2006. 99 f. Tese (Doutorado) - Curso de Engenharia Civil, Universidade Federaldo Rio Grande do Sul, Porto Alegre, 2006.

SORIANO, Humberto Lima. Esttica das estruturas. Rio de Janeiro: Cincia Moderna,2010.

SORIANO, Humberto Lima. Mtodo de Elementos Finitos em Anlise de Estruturas.SoPaulo: Universidade de So Paulo, 2003. 589 p.

SOUZA, Alex Sander Clemente de, GONALVES, Roberto Martins, 2006, Anlise terica eexperimental de trelias espaciais, cadernos de engenharia de estruturas, So Carlos, v.8,n.31, p.31-61.

STRAMANDINOLI, Renata S Brito. Modelo de Elementos Finitos para Anlise NoLinear Fsica e Geomtrica de Vigas e Prticos Planos de Concreto Armado.2007. 238 f.Tese (Doutorado) - Curso de Engenharia Civil, Universidade Federal de Santa Catarina,Florianpolis, 2007.


62/71

60

SUSSEKIND, Jos Carlos. Curso de anlise estrutural. 6. ed. Rio de Janeiro: Globo, 1983.366 p.

XAVIER, Carla Marques. Anlise de Modelos Submalha em Elementos Finitos.2008. 92 f.

Dissertao (Mestrado) - Curso de Engenharia Mecnica, Universidade Federal do RioGrande do Sul, Porto Alegre, 2008.


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APNDICE A


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APNDICE B

!==================================================================! UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO SEMI-RIDO! CURSO DE ENGENHARIA CIVIL! DISCENTE: JOO PAULO BARROS CAVALCANTE! ORIENTADOR: RAIMUNDO GOMES DE AMORIM NETO!==================================================================!*!=============================INCIO===============================/BATCH! /COM,ANSYS RELEASE 10.0 UP20050718 00:47:56 01/24/2014/input,menust,tmp,'',,,,,,,,,,,,,,,,1

/PREP7!*!===================CARACTERSTICAS DO MATERIAL==================ET,1,LINK1!*R,1,7,0,!*!*MPTEMP,,,,,,,,MPTEMP,1,0MPDATA,EX,1,,20500

MPDATA,PRXY,1,,0.3TB,BISO,1,1,2,TBTEMP,0TBDATA,,25,2000,,,,!========================NS E ELEMENTOS=========================

N,1,0,0,0,,,,N,2,0,80,0,,,,N,3,100,0,0,,,,N,4,100,87,0,,,,N,5,200,0,0,,,,N,6,200,94,0,,,,

N,7,300,0,0,,,,N,8,300,101,0,,,,N,9,400,0,0,,,,N,10,400,108,0,,,,N,11,500,0,0,,,,N,12,500,115,0,,,,N,13,600,0,0,,,,N,14,600,122,0,,,,N,15,700,0,0,,,,N,16,700,129,0,,,,N,17,800,0,0,,,,N,18,800,136,0,,,,N,19,900,0,0,,,,

N,20,900,143,0,,,,N,21,1000,0,0,,,,N,22,1000,150,0,,,,N,23,1100,0,0,,,,N,24,1100,143,0,,,,N,25,1200,0,0,,,,

N,26,1200,136,0,,,,N,27,1300,0,0,,,,N,28,1300,129,0,,,,N,29,1400,0,0,,,,N,30,1400,122,0,,,,N,31,1500,0,0,,,,N,32,1500,115,0,,,,N,33,1600,0,0,,,,N,34,1600,108,0,,,,N,35,1700,0,0,,,,N,36,1700,101,0,,,,N,37,1800,0,0,,,,N,38,1800,94,0,,,,

N,39,1900,0,0,,,,N,40,1900,87,0,,,,N,41,2000,0,0,,,,N,42,2000,80,0,,,,!*FLST,2,2,1

FITEM,2,1FITEM,2,3E,P51XFLST,2,2,1FITEM,2,1FITEM,2,2E,P51XFLST,2,2,1FITEM,2,2FITEM,2,4E,P51XFLST,2,2,1FITEM,2,3


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FITEM,2,4E,P51XFLST,2,2,1FITEM,2,1

FITEM,2,4E,P51XFLST,2,2,1FITEM,2,3FITEM,2,5E,P51XFLST,2,2,1FITEM,2,4FITEM,2,6E,P51XFLST,2,2,1

FITEM,2,5FITEM,2,6E,P51XFLST,2,2,1FITEM,2,5FITEM,2,7E,P51XFLST,2,2,1FITEM,2,6FITEM,2,8E,P51XFLST,2,2,1FITEM,2,7FITEM,2,8E,P51XFLST,2,2,1FITEM,2,7FITEM,2,9E,P51XFLST,2,2,1FITEM,2,8


FITEM,2,10FITEM,2,12E,P51X

FLST,2,2,1FITEM,2,11FITEM,2,12E,P51X

FLST,2,2,1FITEM,2,11FITEM,2,13E,P51XFLST,2,2,1FITEM,2,12FITEM,2,14E,P51XFLST,2,2,1FITEM,2,13FITEM,2,14

E,P51XFLST,2,2,1FITEM,2,13FITEM,2,15E,P51XFLST,2,2,1FITEM,2,14FITEM,2,16E,P51XFLST,2,2,1FITEM,2,15FITEM,2,16E,P51XFLST,2,2,1FITEM,2,15FITEM,2,17E,P51XFLST,2,2,1FITEM,2,16FITEM,2,18E,P51X


E,P51XFLST,2,2,1FITEM,2,19







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FITEM,2,41E,P51XFLST,2,1,1,ORDE,1FITEM,2,1

!*!==============CONDIES DE CONTORNO E CARREGAMENTO============/GOD,P51X, , , , , ,UX,UY, , , ,FLST,2,1,1,ORDE,1FITEM,2,41!*/GOD,P51X, , , , , ,UY, , , , ,FLST,2,8,1,ORDE,8FITEM,2,2

FITEM,2,6FITEM,2,10FITEM,2,16FITEM,2,28FITEM,2,34FITEM,2,38FITEM,2,42!*/GOF,P51X,FY,-2.086FLST,2,1,1,ORDE,1FITEM,2,22/GOF,P51X,FY,-4.172FINISH!================DEFINIO DO NMERO DE PASSOS===================/SOLANTYPE,0

NSUBST,5,5,5OUTRES,ERASEOUTRES,ALL,ALL

RESCONTRL,DEFINE,ALL,ALL,1TIME,2! /STATUS,SOLUSOLVE! LGWRITE,'TRELIA_UFERSA','','C:\USERS\JPBARROS\GOOGLE~1\LISTER~1\'!================================FIM===============================


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APNDICE C

!==================================================================

! UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO SEMI-RIDO! CURSO DE ENGENHARIA CIVI

tfg joão paulo

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