texto complementar - dma.uem.br · estereótipo do sábio distraído, ... afeganistão, o que lhe...

Universidade Estadual de Maringá

Departamento de Matemática

XXIV Semana da Matemática

De 05 a 09 de agosto de 2013

Texto Complementar

P01 Laurent Schwartz e a teoria das

distribuições Profª. Dra. Dra. Valéria Neves Domingos Cavalcanti

http://petmatematicauem.blogspot.com.br/

https://www.facebook.com/pages/PET-Matem%C3%A1tica-UEM/238266569652490

http://petmatematicauem.blogspot.com.br/

https://www.facebook.com/pages/PET-Matem%C3%A1tica-UEM/238266569652490

Laurent Schwartz e a Teoria das Distribuições

Valéria N. Domingos CavalcantiXXIV Semana da Matemática

Universidade Estadual de Maringá5 de agosto de 2013

Valéria N. Domingos Cavalcanti XXIV Semana da Matemática Unive rsidade Estadual de Maringá5 de agosto de 2013Laurent Schwartz e a Teoria das Distribuições

Breve Biografia

Laurent Schwartz: nasceu em Paris em 5 de março de1915 no seio de uma família de tradição judaica


Breve Biografia


Laurent Schwartz: faleceu em Paris no dia 4 de julho de2002, aos 87 anos de idade.


Breve Biografia



Obteve seu grau de PhD na Université Louis Pasteur emStrasbourg I na França em 1943.


Breve Biografia



Obteve seu grau de PhD na Université Louis Pasteur emStrasbourg I na França em 1943.

Recebeu a Medalha Fields, pela elaboração da Teoria dasDistribuições em 1950.


UM POUCO SOBRE A VIDA DE LAURENT SCHWARTZ


Sua atividade matemática não se limitou à Teoria dasDistribuições , que por si só já o colocaria numa posiçãoprivilegiada entre os matemáticos do século XX, tambémproduziu importantes contribuições em Áreas como AnáliseFuncional, Teoria da medida, Equações Diferenciais Parciais eProbabilidade.

Schwartz foi um expositor brilhante e excelente educador, e sepreocupou durante toda a sua vida com os problemas daeducação e do ensino. Em que pese sua imensa obra decriação matemática, Schwartz em nada se parece com oestereótipo do sábio distraído, alheio aos problemas do mundo.


Nos anos 1980, principalmente após a sua aposentadoriacomo Professor da Faculdade de Ciências de Paris e daEscola Politécnica em 1983, participou muito mais ativamenteda reforma do ensino universitário.

Como Presidente do Comitê Nacional para a avaliação dasUniversidades (período de 1985 a 1989), elaborou uma sériede relatórios para o governo nos quais insistia na necessidadede uma seleção mais rigorosa no ingresso dos estudantes e naconveniência dos professores universitários fazerem pesquisa.


Defensor apaixonado dos direitos humanos, anticolonialista einternacionalista, defendeu publicamente suas ideias, daguerra da Argélia à do Vietnã, passando pela invasão russa aoAfeganistão, o que lhe acarretou não poucos dissabores edificuldades, a ponto de correr risco a sua participação noCongresso de Harvard em 1950, para receber sua MedalhaFields .

Somente após seis meses de intensas negociaçõesinternacionais, o Departamento de Estado dos Estados Unidosaceitou, como um favor especial, conceder um visto provisóriode entrada para Schwartz , com proibição expressa de viajarpelo resto do país.


Os primeiros alunos orientados por Schwartz

André Martineau



André Martineau

Leopoldo Nachbin



André Martineau

Leopoldo Nachbin

J. François Treves



André Martineau

Leopoldo Nachbin

J. François Treves

Andre Unterberger



André Martineau

Leopoldo Nachbin

J. François Treves

Andre Unterberger

Alexander Grothendieck



André Martineau

Leopoldo Nachbin

J. François Treves

Andre Unterberger


Jacques-Louis Lions



André Martineau

Leopoldo Nachbin

J. François Treves

Andre Unterberger


Jacques-Louis Lions

Bernard Malgrange


Assim começa Schwartz sua autobiografiaEu sou um matemático, a Matemática preenche a minhavida ...

Em outro ponto, diz:...sempre quis mudar o mundo. Consagrei uma grandeparte de minha vida à política, adotando a "carreira" deintelectual engajado. Mas a Matemática seguiu sendoprimordial... Muitas vezes faço política por sentido dedever, mas a política não me interessa: minhas trêspaixões são a pesquisa, o ensino e a entomologia.

entomologia=ciência que estuda os insetos, no caso deSchwartz sua paixão eram as borboletas.


Figure: Laurent Schwartz.


TEORIA DAS DISTRIBUIÇÕES


Introdução

Os modelos fundamentais da Física-Matemática são regidospor equações diferenciais e, são aplicáveis (ao menos a priori)a fenômenos nos quais as variáveis físicas envolvidas sejamfunções suficientemente regulares do espaço e do tempo.

Nos fenômenos dinâmicos, isto é, aqueles em que a variáveltemporal está presente, os elementos físicos envolvidosexibem, frequentemente, descontinuidades essenciais naprática. Assim, por exemplo, uma corda de violino, deslocadaem seu ponto médio, vibra inicialmente de acordo com uma leida forma:


u(x , t) = 2 −12(|x − t − 1| + |x + t − 1|),

para uma escolha adequada das unidades e do referencial.

A derivada do deslocamento é, portanto, descontínua emx = 1 ± t .

Como a equação da onda, que rege o movimento da corda édada essencialmente por

∂2u∂t2 =

∂2u∂x2 ,

a função anterior não pode ser considerada como soluçãodesta no sentido habitual.


Assim surge a ideia de se obter uma noção generalizada dediferenciação, que estenda a habitual, e permita derivarfunções que não são deriváveis no sentido clássico, ou seja,no sentido de Fréchet.

Isso junto com a noção de solução generalizada de umaequação diferencial é a origem da Teoria das Distribuições .

Historicamente, a primeira noção de solução generalizada deuma equação diferencial parcial é a de se considerar que talfunção seja limite de uma sequência de soluções clássicas daequação. O método foi antecipado por Euler em 1765, durantesua grande polêmica com D’Alembert sobre a solução dacorda vibrante (isto é, a equação de ondas unidimensional).


Outra maneira de estender a noção de solução de umaEquação Diferencial é generalizar a noção de derivada e definircomo solução uma função cujas derivadas generalizadassatisfaçam a Equação Diferencial.

Entre os primeiros trabalhos nessa direção podemos citar anoção de derivada simétrica de B. Riemann em 1854.

f ′s(x0) = limh→0f (x0 + h) − f (x0 − h)

2h.

Posteriormente, podemos citar a extensão realizada por U.Dini,em 1878, substituindo simplesmente o limite ordinário nadefinição de derivada clássica pelos limites superior e inferior,à direita e à esquerda, em cada ponto.


São quatro as derivadas de Dini no ponto x0

f′+s (x0), f

′+

i (x0), f′−s (x0), f

′−i (x0),

dadas por:

f′+s (x0) = limsuph→0+

f (x0 + h) − f (x0)

h;

f′+

i (x0) = liminfh→0+

f (x0 + h) − f (x0)

h;

f′−s (x0) = limsuph→0−

f (x0 + h) − f (x0)

h;

f′−i (x0) = liminfh→0−

f (x0 + h) − f (x0)

h.


A criação da Integral de Lebesgue, originou, por outro lado, anoção de derivada em quase todo o ponto .

Porém, o método mais utilizado para estender a noção desolução de uma equação Diferencial de ordem n, consiste emencontrar uma outra Equação ou condição que, para funçõesde classe Cn seja equivalente à original, mas que, no entanto,tenha sentido para funções mais gerais.

Os objetos que satisfazem a Equação ou condição equivalentese denominam soluções generalizadas da Equação original.Em geral, a nova condição (ou Equação) é obtida por algumaforma de integração por partes.


Outro método muito relacionado com o anterior é o chamadométodo das funções testes, que é o método básico da Teoriadas Distribuições de Schwartz .

Esse método consiste em multiplicar a Equação Diferencial aestudar, por exemplo P(D)u = 0, por uma função testesuficientemente regular com suporte compacto, em um certodomínio, e o resultado se integra por partes:

< P(D)u, ϕ >:=

∫

P(D)u·ϕ = 0 =

∫

u·P(D)ϕ =< u, P(D)ϕ >, ∀ϕ.


Observemos que o operador diferencial se transfere à funçãoteste e a equação integro-diferencial resultante, a qual tem queser satisfeita para todas as funções testes,não supõe nenhumaregularidade da solução.

Definition

Sejam Ω um conjunto aberto do Rn e u : Ω → R uma função

contínua. Definimos o suporte de u e, escrevemos suppu, aofecho em Ω do conjunto x ∈ Ω; u(x) 6= 0.


O método descrito acima e denominado método das funçõestestes foi:

Antecipado por Lagrange em 1761.




Formulado explicitamente por N. Wiener em 1926




Formulado explicitamente por N. Wiener em 1926

Formulado depois por J. leray, S. Sobolev e R. Courant.De fato, a primeira aparição de uma solução generalizadade uma Equação Diferencial em um livro texto tem lugarna edição de 1937 do clássico Methoden derMathematischen Physik, de R. Courant e D. Hilbert.


Um outro importante antecedente das distribuições que estárelacionado com o método das funções testes, está no fato deque desde o século XIX, engenheiros, físicos e técnicosvinham usando diferentes cálculos operacionais para resolverfacilmente diversos tipos de equações funcionais.

Esses cálculos, que sofriam da falta de rigor matemático,conduziam, em muitos casos, a resultados satisfatórios. ATeoria das Distribuições trata de estudar e resolver a maiorparte desses problemas, pois constituem um conjunto que seassemelha muito ao universo matemático ideal dos físicos eengenheiros, no qual "tudo vale": as funções são semprederiváveis, as séries podem ser derivadas ou integradas termoa termo,etc.


A Schwartz deve-se a lúcida análise que conduziu à criaçãode uma teoria sistemática, coerente, muito potente, aplicável àsolução de problemas muito diversos.

Vamos à ela!!!


Espaço das funções testes

Dados α = (α1, α2, · · · , αn) ∈ Nn e x = (x1, x2, · · · , xn) ∈ R

n,representaremos por Dα o operador derivação de ordem α

definido por

Dα =∂|α|

∂x1α1∂x2

α2 · · · ∂xnαn

,

em que |α| =∑n

i=1 αi . Se α = (0, 0, · · · , 0), define-se Dαu = u.

Seja Ω um aberto do Rn.

Definition

Representamos por C∞(Ω) o espaço vetorial das funçõesϕ : Ω → K (onde K = R ou K = C) que são indefinidamentecontinuamente diferenciáveis em Ω


Definition

Denotaremos por C∞0 (Ω) o conjunto das funções ϕ : Ω → K

(onde K = R ou K = C) que são infinitamente diferenciáveisem Ω e que tem suporte compacto, onde o suporte de ϕ é ofecho do conjunto x ∈ Ω; ϕ(x) 6= 0 em Ω, ou seja,

supp (ϕ) = x ∈ Ω; ϕ(x) 6= 0Ω

.

Example

Seja Ω = R e considere a seguinte função

w(x) =

e− 1

1−x2 , |x | < 1,

0, |x | ≥ 1.

w é uma função C∞ com suporte igual à [−1, 1],ou seja,compacto. Desta forma, w ∈ C∞

0 (Ω).


Dizemos que uma sequência ϕν ⊂ C∞0 (Ω) converge para

zero, denotando ϕν → 0, se, e somente se, existe umsubconjunto compacto K de Ω, tal que:

i) supp (ϕν) ⊂ K ,∀ ν ∈ N;

ii) Dαϕν → 0 uniformemente sobre K , ∀α ∈ Nn.

Dizemos que uma sequência ϕν ⊂ C∞0 (Ω) converge para

ϕ ∈ C∞0 (Ω) quando a sequência ϕν − ϕ converge para zero

no sentido acima definido.

Definition

O espaço C∞0 (Ω), munido desta noção de convergência, é

denominado espaço das funções testes, e denotado por D(Ω).


Distribuição sobre um aberto Ω ⊂ Rn

Definition

Definimos como distribuição sobre Ω a toda forma linear econtínua em D(Ω). O conjunto de todas as distribuições sobreΩ é um espaço vetorial, o qual representa-se por D

′

(Ω),denominado espaço das distribuições sobre Ω.

Munimos D′

(Ω) da seguinte noção de convergência: Seja (Tν)uma sucessão em D

′

(Ω) e T ∈ D′

(Ω).

Diremos que Tν → T em D′

(Ω) se a sequência numérica〈Tν , ϕ〉 converge para 〈T , ϕ〉 em R, ∀ ϕ ∈ D(Ω).


Conceito de Derivada Fraca - Sobolev -1936

Antes do Conceito de Derivada no sentido dasDistribuições , introduzido por Schwartz , em meados de 1936S. Sobolev introduziu o conceito de Derivada Fraca com oobjetivo de sanar a falta de regularidade das funçõesenvolvidas numa Equação Diferencial.

Inicialmente, considere u, v definidas num aberto limitado Ω doR

n, cuja fronteira Γ é regular. Suponhamos que u e v possuamderivadas parciais contínuas em Ω = Ω ∪ Γ. Obtemos doTeorema de Gauss:

∫

Ω

u∂v∂xk

dx = −

∫

Ω

v∂u∂xk

dx +

∫

Γ

uvνkdΓ. (1)


Se u ou v se anula sobre Γ, da expressão (1) decorre que∫

Ω

u∂v∂xk

dx = −

∫

Ω

v∂u∂xk

dx .

A expressão anterior motivou a definição de derivada fracadada por Sobolev.

Definition

Denotaremos por L1loc(Ω) o espaço das (classes de) funções

u : Ω → K, onde K = R ou K = C, tais que |u| é integrável nosentido de Lebesgue sobre cada compacto K de Ω.


Definition

Uma função u ∈ L1loc(Ω) é derivável no sentido fraco em Ω,

quando existe uma função v ∈ L1loc(Ω) tal que

∫

Ω

u(x)∂ϕ(x)

∂xkdx = −

∫

Ω

v(x)ϕ(x)dx , para toda ϕ ∈ D(Ω).

Example

Seja Ω =] − 1, 1[ e u(x) = |x |. De modo a calcularmos aderivada fraca de u(x), devemos calcular a integral

∫ 1

−1|x |ϕ′(x)dx , ∀ϕ ∈ C∞

0 (] − 1, 1[).

Integrando-se por partes obtém-se:Valéria N. Domingos Cavalcanti XXIV Semana da Matemática Unive rsidade Estadual de Maringá5 de agosto de 2013Laurent Schwartz e a Teoria das Distribuições

Example

∫ 1

−1|x |ϕ′(x)dx = −

∫ 0

−1xϕ′(x)dx +

∫ 1

0xϕ′(x)dx = −xϕ(x) |0−1

+

∫ 0

−1ϕ(x)dx + xϕ(x) |10 −

∫ 1

0ϕ(x)dx

= −

∫ 0

−1signxϕ(x)dx −

∫ 1

0signxϕ(x)dx

= −

∫ 1

−1signxϕ(x)dx ,

em que signx = |x |x , x 6= 0.


Concluímos então que v(x) = signx ∈ L1loc(] − 1, 1[) é a

derivada fraca de u(x) = |x |.

Embora, o conceito de derivada tenha sido um marco naevolução do conceito de solução de uma equação diferencial,ele apresenta uma grave imperfeição no fato que nem todafunção de L1

loc(Ω) possui derivada neste sentido.

Apresentemos um exemplo de modo a ilustrar tal fato.


Example

Seja Ω =] − 1, 1[ e considere a função u(x) = signx . De modoa calcularmos a derivada fraca de u(x), devemos calcular aintegral abaixo para toda ϕ ∈ C∞

0 (] − 1, 1[)

∫ 1

−1signxϕ′(x)dx = −

∫ 0

−1ϕ′(x)dx +

∫ 1

0ϕ′(x)dx

Lembrando que ϕ se anula em −1, 1 temos que

∫ 1

−1signxϕ′(x)dx = −2ϕ(0), ∀ϕ ∈ C∞

0 (] − 1, 1[).

Resulta que se existisse a derivada fraca de u(x) = signx ,seria uma função v ∈ L1

loc(] − 1, 1[) tal que


Example∫ 1

−1v(x)ϕ(x)dx = 2ϕ(0), ∀ϕ ∈ C∞

0 (] − 1, 1[).

Demonstra-se, a seguir, a não existência de uma função vnestas condições. De fato, suponha que exista umav ∈ L1

loc(] − 1, 1[) verificando a expressão acima para todaϕ ∈ C∞

0 (] − 1, 1[). Resulta que xϕ ∈ C∞0 (] − 1, 1[), logo,

∫ 1

−1v(x)xϕ(x)dx = 2xϕ |x=0= 0, ∀ϕ ∈ C∞

0 (] − 1, 1[).

Considere o seguinte resultado: (Du Bois Raymond: ) Sejaf ∈ L1

loc(Ω) tal que∫

Ωf (x)ϕ(x)dx = 0, ∀ϕ ∈ C∞

0 (Ω), entãof = 0 quase sempre em Ω.


Example

Resulta, então que

xv(x) = 0, quase sempre em ] − 1, 1[.

Logo, v(x) = 0 quase sempre em ] − 1, 1[. Como

∫ 1

−1v(x)ϕ(x)dx = 2ϕ(0), ∀ϕ ∈ C∞

0 (] − 1, 1[),

segue queϕ(0) = 0, ∀ϕ ∈ C∞

0 (] − 1, 1[);

o que é um absurdo.

Desta forma concluímos que u(x) = signx não possui derivadafraca em L1

loc(] − 1, 1[).


Derivada no sentido das Distribuições

No intuito de sanar este tipo de problema, Laurent Schwartz,em meados de 1945, introduziu a noção de derivada nosentido das distribuições, a qual generaliza a noção dederivada formulada por Sobolev, como segue:

Definition

Seja T uma distribuição sobre Ω e α ∈ Nn. A derivada de

ordem α de T , no sentido das distribuições, é definida por:

〈DαT , ϕ〉 = (−1)|α|〈T , Dαϕ〉;∀ϕ ∈ D(Ω).


Verifica-se que DαT é ainda uma distribuição e que o operadorDα : D

′

(Ω) → D′

(Ω), tal que a cada T associa-se DαT , é lineare contínuo.

Remark

A conclusão é que toda distribuição sobre Ω possui derivadade todas as ordens, derivadas estas que são, também,distribuições sobre Ω. Portanto, a operação de derivação Dα

vive sem problemas no espaço D′

(Ω) das distribuições sobreΩ.


Remark

Notemos, ainda, que se u ∈ L1loc(Ω) então u ∈ D

′

(Ω) e, destaforma, u possui derivada no sentido das distribuições de todasas ordens.De fato, seja u ∈ L1

loc(Ω). Para toda ϕ ∈ D(Ω) existe a integral∫

Ω

u(x)ϕ(x)dx .

Definamos a seguinte forma linear:

< Tu, ϕ(x) >=

∫

Ω

u(x)ϕ(x)dx , ∀ϕ ∈ D(Ω).

Para mostrar que Tu é uma distribuição sobre Ω, é suficienteprovar que Tu é contínua sobre D(Ω).


Remark

Com efeito, seja ϕν uma sequência de D(Ω) convergente paraϕ em D(Ω). Então:

< Tu, ϕν > − < Tu, ϕ >=

∫

Ω

u(x)(ϕnu(x) − ϕ(x))dx

≤

∫

K|u(x)||ϕν(x)−ϕ(x)|dx ≤ maxx∈K |ϕν(x)−ϕ(x)|

∫

K|u(x)|dx .

Como a convergência de ϕν para ϕ em K é uniforme, resulta acontinuidade de Tu. Logo Tu é uma distribuição sobre Ω.


Remark

A seguir mostraremos que Tu é univocamente definida por u.Quando u e v são localmente integráveis em Ω e u = v quasesempre em Ω, da definição de Tu decorre que Tu = Tv .

< Tu, ϕ(x) >=

∫

Ω

u(x)ϕ(x)dx , ∀ϕ ∈ D(Ω).

Voltemos ao Lema de Du Bois Raymond (Du Bois Raymond: )Seja f ∈ L1

loc(Ω) tal que∫

Ωf (x)ϕ(x)dx = 0, ∀ϕ ∈ C∞

0 (Ω), entãof = 0 quase sempre em Ω.Concluímos que se Tu = Tv então u = v.O que nos permite identificar uma função de L1

loc(Ω) com umadistribuição sobre Ω.


Uma pergunta natural que surge é a seguinte: Todadistribuição sobre Ω é proveniente de uma função deL1

loc(Ω)?

A resposta é: Não.Um exemplo é dado a seguir:

Example

Seja Ω um aberto do Rn e x0 ∈ Ω. Representemos por δx0 a

forma linear definida em D(Ω) por

< δx0 , ϕ >= ϕ(x0), ∀ϕ ∈ D(Ω).

Temos que δx0 é uma distribuição sobre Ω, denominadadistribuição de Dirac ou delta de Dirac .


Example

Demonstraremos que δx0 não é definida por uma funçãou ∈ L1

loc(Ω). De fato, suponhamos que exista tal função, então:∫

Ω

u(x)ϕ(x)dx = ϕ(x0), ∀ϕ ∈ D(Ω).

Tomando |x − x0|2ϕ, esta função pertence à D(Ω), onde

|x − x0| representa a distância Euclidiana de x à x0. Portanto,

∫

Ω

u(x)|x − x0|2ϕ(x)dx = |x − x0|

2ϕ(x) |x=x0= 0, ∀ϕ ∈ D(Ω).

Novamente do lema de (Du Bois Raymond: ) resulta queu(x)|x − x0|

2 = 0 quase sempre em Ω, ou seja, u = 0 quasesempre em Ω, o que implica que ϕ(x0) = 0, ∀ϕ ∈ D(Ω), o queé uma contradição. E mostra o desejado.


MUITO OBRIGADA!


texto complementar - dma.uem.br · estereótipo do sábio distraído, ... afeganistão, o que lhe...

Documents