teste2 versao1

Professora: Rosa Canelas Ano Letivo 2012/2013

1

Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis

10º Ano de Matemática – A

TEMA 1 – GEOMETRIA NO PLANO E NO ESPAÇO I

2º Teste de avaliação – versão1

Grupo I

1. Uma certa pirâmide tem 41 vértices, quantas arestas tem?

(A) 20 (B) 40 (C) 60 (D) 80

2. Na figura está representada uma planificação de um cubo.

Em qual das opções seguintes pode estar esse cubo?

3. Na figura estão representados um triângulo isósceles [ABC] e um quadrado

inscrito nesse triângulo. A altura relativa à base [AB] é o segmento de reta

[CD], representado a tracejado.

Sabe-se que AB 4cm= e que CD 8cm= .

Quanto mede em centímetros o lado do quadrado?

(A) 9

4 (B)

5

2 (C)

8

3 (D)

11

4

• As cinco questões deste grupo são de escolha múltipla.

• Para cada uma delas são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correta.

• Escreva na sua folha de respostas a letra correspondente à alternativa que selecionar para cada questão.

• Se apresentar mais do que uma resposta, a questão será anulada, o mesmo acontecendo se a letra transcrita

for ilegível.

• Não apresente cálculos ou justificações.

• Cada resposta certa vale 10 pontos, cada pergunta errada, não respondida, ou anulada, vale 0 (zero) pontos.


2

4. Na figura, está representado um cubo de aresta 4.

Os pontos A, B e C são vértices da mesma face do cubo.

O ponto D pertence a uma das arestas do cubo e DC 3=

Qual é o valor da área da secção produzida no cubo pelo plano

ABD?

(A) 10 (B) 12 (C) 20 (D) 25

5. Na figura está representado um sólido que se pode decompor no cubo

[ABCDEFGH] e a pirâmide triangular não regular [GIJK].

Sabe-se que:

• o cubo tem aresta 6.

• o ponto I é o ponto de intersecção do segmento [BK] com a

aresta [GF].

• o ponto J é o ponto de intersecção do segmento [DK] com a

aresta [GH].

• o ponto G é o ponto médio do segmento [CK].

Qual é o valor do volume da pirâmide [GIJK]?

(A) 36 (B) 27 (C) 18 (D) 9

Grupo II

1. Considere o trapézio [ABCD] representado no

referencial o.m. da figura.

1.1. Escreva as coordenadas de todos os

seus vértices.

1.2. Desenhe, no referencial da figura, o

simétrico deste trapézio em relação à

bissectriz dos quadrantes ímpares.

1.3. Calcule o valor exato do perímetro do

trapézio.

1.4. Defina por uma condição a reta BC.

1.5. Os lados do trapézio e o seu interior são

Nas questões deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos

os cálculos ou esquemas que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias.

Atenção: quando não é indicada a aproximação que se pede para um resultado,

pretende-se sempre o valor exato.


3

NM

GH

C

FE

A B

D

V

constituídos por um conjunto de pontos do plano. Defina o lugar geométrico desses

pontos através de uma condição.

2. Considere a condição y 3 y 2≥ − ∧ ≥ .

2.1. Represente, num referencial o.m. xOy do plano, o conjunto de pontos definido pela

condição dada.

2.2. Escreva a sua negação.

3. Observe a figura ao lado.

3.1. Escreva, em IR2, uma condição que defina a região do plano

assinalado a sombreado na figura (sem incluir a fronteira).

3.2. Escreva, sem usar o símbolo ~, a negação da condição obtida.


[ABCDEFGH] é um cubo.

[VHEFG] é uma pirâmide quadrangular regular cujas faces laterais

são triângulos equiláteros.

M e N são pontos médios das arestas [GF] e [HE]

respectivamente.

Sabendo que o volume do cubo é 64 cm3, determine:

4.1. A área da secção definida no sólido pelo plano NVM.

Sugestão: comece por desenhar a secção.

4.2. A posição relativa das retas HD e VF.

4.3. A amplitude do ângulo formado pelas retas HD e VF.

5. Na figura está representado um cilindro de altura h e raio da

base r.

Sejam A e B os centros das bases do cilindro.

Considere um ponto P que se desloca ao longo do segmento

[AB], nunca coincidindo com o ponto A, nem com o ponto B.

Cada posição do ponto P determina dois cones cujos vértices

coincidem com o pontoo P e cujas bases coincidem com as

bases do cilindro.Mostre que a soma dos volumes dos dois

cones é constante, isto é, não depende da posição do ponto P.

Sugestão - designe por a altura de um dos cones.

FIM

Questão 1 2 3 4 5 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 2.1 2.2 3.1 3.2 4.1 4.2 4.3 5 TOTAL Cotação 10 10 10 10 10 10 10 10 10 15 15 10 15 10 15 5 10 15 200


4

Formulário

Geometria Perímetro do círculo: 2 rπ , sendo r o raio do círculo

Áreas Paralelogramo: base altura×

Losango: diagonal maior diagonal menor

2

×

Trapézio: base maior base menor

altura2

+×

Polígono regular: perímetro

apótema2

×

Círculo: 2rπ , sendo r o raio do círculo

Superfície esférica: 24 rπ , sendo r o raio da esfera

Volumes Prismas e cilindro: área da base altura×

Pirâmide e cone: 1

área da base altura3× ×

Esfera: 34r

3π , sendo r o raio da esfera

Álgebra Fórmula resolvente de uma equação do segundo grau da forma

2ax bx c 0+ + = : 2b b 4ac

x2a

− ± −=


5




2º Teste de avaliação – versão1 – proposta de resolução

Grupo I

1. (D) Uma certa pirâmide tem 41 vértices, quantas arestas tem?

Se tem 41 vértices a base tem 40 vértices e há 40 arestas da base e 40 arestas alterais pelo

que no total temos 80 arestas.

2. (A) Na figura está representada uma planificação de um

cubo.

Esse cubo é

3. (C) Na figura estão representados um triângulo isósceles

[ABC] e um quadrado inscrito nesse triângulo. A altura relativa à base [AB] é o

segmento de reta [CD], representado a tracejado.

Sabe-se que AB 4cm= e que CD 8cm= .

Quanto mede em centímetros o lado do quadrado?

Se o lado do quadrado for a podemos utilizar a semelhança de dois triângulos

fazendo 4 a 32 8

32 4a 8a 12a 32 a a8 8 a 12 3= ⇔ − = ⇔ = ⇔ = ⇔ =

−

4. (C) Na figura, está representado um cubo de aresta 4.

Os pontos A, B e C são vértices da mesma face do cubo.

O ponto D pertence a uma das arestas do cubo e DC 3=

Qual é o valor da área da secção produzida no cubo pelo plano

ABD?

A secção é um rectângulo com um lado que mede 4 e outro lado que

é a hipotenusa de um triângulo rectângulo com um cateto 3 e outro 4.

2 2 2 2l 4 3 l 25 l 5= + ⇔ = ⇔ =

A área é então 20 por ser 4 5 20× =


6

5. (D) Na figura está representado um sólido que se pode decompor no cubo [ABCDEFGH] e a

pirâmide triangular não regular [GIJK].

Sabe-se que:

• o cubo tem aresta 6.

• o ponto I é o ponto de intersecção do segmento [BK] com a

aresta [GF].

• o ponto J é o ponto de intersecção do segmento [DK] com a

aresta [GH].

• o ponto G é o ponto médio do segmento [CK].

Atendendo a que os triângulos [KBC] e [KGI] são semelhantes

podemos escrever 12 6 6 6

IG IG 36 12IG

×= ⇔ = ⇔ =

O volume da pirâmide [GIJK] é

3 36

2V 93

××

= =

Grupo II

1. Considere o trapézio [ABCD]

representado no referencial o.m. da figura.

1.1. As coordenadas de todos os seus

vértices são ( )A 0,0 , ( )B 4,0 , ( )C 4,2

e ( )D 2,2

1.2. No referencial da figura, o simétrico

deste trapézio em relação à bissectriz

dos quadrantes ímpares é o trapézio

[ADEF].

1.3. Calculemos o valor exato do

perímetro do trapézio. Para isso

precisamos de calcular AD o que

faremos utilizando o teorema de

Pitágoras:

22 2AD 2 2 AD 2 2= + ⇔ =

Assim o perímetro é P 2 2 2 2 4 8 2 2= + + + = + u.c.

1.4. Uma condição que define a reta BC é x 4= .

1.5. Os lados do trapézio e o seu interior são constituídos por um conjunto de pontos do plano.

O lugar geométrico desses pontos através de uma condição é definido por:

0 y 2 x 4 y x≤ ≤ ∧ ≤ ∧ ≤


7

2. Consideremos a condição y 3 y 2 y 2≥ − ∧ ≥ ⇔ ≥ .

2.1. Representemos, num referencial o.m. xOy do plano, o

conjunto de pontos definido pela condição dada.

2.2. A negação da expressão dada é:

( )~ y 3 y 2 y 3 y 2 y 2≥ − ∧ ≥ ⇔ < − ∨ < ⇔ <


3.1. Em IR2, uma condição que defina a região do plano

assinalado a sombreado na figura (sem incluir a fronteira) é

y 2 x 2> − ∧ >

3.2. Sem usar o símbolo ~, a negação da condição obtida é:

( )~ y 2 x 2 y 2 x 2> − ∧ > ⇔ ≤ − ∨ ≥


[ABCDEFGH] é um cubo.

[VHEFG] é uma pirâmide quadrangular regular cujas faces laterais

são triângulos equiláteros.

M e N são pontos médios das arestas [GF] e [HE]

respectivamente.

Sabendo que o volume do cubo é 64 cm3, determinemos:

4.1. A área da secção definida no sólido pelo plano NVM é a área

de um quadrado mais a área de triângulo isósceles.

Se o volume do cubo é 64 cm3 então a aresta mede

3a 64 4= =

NV MV= são alturas dos triângulos equiláteros de lado 4 cm pelo que podemos dizer que

medem 3

4 2 32× = cm ou caso não nos lembremos da relação entre o lado e a altura

aplicar o Teorema de Pitágoras concluindo que:

2 22 2NV 2 4 NV 16 4 NV 12 NV 2 3+ = ⇔ = − ⇔ = ⇔ = cm

Vamos novamente aplicar o teorema de Pitágoras para obter a altura h do triângulo

[MNV]:

( )2

2 2 2h 2 2 3 h 12 4 h 8 h 2 2 cm+ = ⇔ = − ⇔ = ⇔ =

Agora já podemos calcular a área da secção que é a soma da área de um quadrado com

4 cm de lado e com a área de um triângulo com base 4 cm e altura 2 2 cm.

NM

GH

C

FE

A B

D

V


8

( )2 2

sec ção

4 2 2A 4 16 4 2 cm

2

×= + = +

4.2. As retas HD e VF são concorrentes não perpendiculares.

4.3. Para calcularmos a amplitude do ângulo formado pelas

retas HD e VF vamos desenhar um esquema da secção

produzida no sólido pelo plano FVH. Esse plano divide o

sólido ao meio e o triângulo [HFV] é retângulo isósceles

pois os seus catetos são iguais aos lados do quadrado e

a hipotenusa é a diagonal do quadrado. Prolongando os

lados [VF] e [HD], eles encontram-se no ponto que

chamamos P formando um novo triângulo retângulo

isósceles, sendo, por isso, a amplitude do ângulo das

duas retas 45º.

5. Na figura está representado um cilindro de altura h e raio da base

r.

Sejam A e B os centros das bases do cilindro.

Considere um ponto P que se desloca ao longo do segmento

[AB], nunca coincidindo com o ponto A, nem com o ponto B.

Cada posição do ponto P determina dois cones cujos vértices

coincidem com o ponto P e cujas bases coincidem com as bases

do cilindro. Mostremos que a soma dos volumes dos dois cones é

constante, isto é, não depende da posição do ponto P.

Façamos PB a= e PA h a= − e calculemos o volume V soma

dos volumes dos dois cones:

( ) ( )2 22 2r h a r a h ar a r hV

3 3 3 3

π × − π + −π × π= + = =

Concluímos que o volume obtido não depende do valor a e por isso não depende da posição

do ponto P ele é sempre um terço do volume do cilindro independentemente da posição do

ponto P.

45º

45º

45º

45º

4490º

90º

4 2

P

V

B

F

D

H


9




2º Teste de avaliação – versão1 – Critérios de classificação

Grupo I (50 pontos)

Cada resposta certa vale 10 pontos, cada pergunta errada, não respondida, ou anulada, vale 0

(zero) pontos.

1 2 3 4 5

D A C C D

Grupo II (150 pontos)

1. 55

1.1. 10

1.2. 10

1.3. 10

•••• Calcular a medida de AD 5

•••• Calcular o perímetro pedido 5

1.4. 10

1.5. 15

•••• Identificar as fronteiras 5

•••• Definir os semiplanos 5

•••• Identificar as operações com as condições 5

2. 25

2.1. 15

•••• Identificar a fronteira 5

•••• Definir o semiplano 5

•••• Apresentar no referencial devidamente identificado 5

2.2. 10

•••• Negar as condições 5

•••• Negar a operação 5

3. 25

3.1. 15

•••• Identificar as fronteiras 5

•••• Definir os semiplanos 5

•••• Identificar a operação com as condições 5


10

3.2. 10

•••• Negar as condições 5

•••• Negar a operação 5

4. 30

4.1. 15

•••• Desenhar a secção 3

•••• Calcular a aresta do cubo 2

•••• Calcular a altura dos triângulos 4

•••• Calcular a área do quadrado 2

•••• Calcular a área do triângulo 2

•••• Calcular a área da secção 2

4.2. 5

4.3. 10

•••• Desenhar um esquema da situação 3

•••• Identificar as medidas dos lados 2

•••• Identificar os ângulos dos triângulos 2

•••• Concluir o ângulo das duas retas 3

5. 15

•••• Fazer PB a= e PA h a= − 5

•••• Calcular a soma dos volumes dos cones 5

•••• Justificar a independência 5

Total AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA 200

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