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AGRUPAMENTO DE ESCOLAS

POETA ANTÓNIO ALEIXO

ESCOLA SECUNDÁRIA POETA

ANTÓNIO ALEIXO

Teste de Matemática A

10 º Ano Novembro de 2012

1.ª Parte

1) Considera as seguintes afirmações:

I – A interseção de dois planos é um ponto.

II - Há um poliedro convexo com 12 faces, 20 vértices e 30 arestas.

III - O icosaedro é um poliedro regular cujas faces são 12 triângulos equiláteros.

IV – Dois planos perpendiculares a um terceiro são perpendiculares entre si.

Podemos afirmar que:

(A) A I, II e a III são falsas (B) Só a II é verdadeira

(C) São as quatro falsas (D) Apenas a I e a IV são falsas

2) Na figura encontra-se representada uma peça obtida a partir de um

quadrado ABCD de 36 cm de perímetro, ao qual se retiraram dois

setores circulares de igual raio.

Sabendo que 2

3AM AB , pode concluir-se que o perímetro da peça

obtida é:

A) 12 12 B) 24 6 C) 6 12 D) 12 6

3) A área da circunferência inscrita no quadrado é .

O perímetro da circunferência circunscrita no mesmo quadrado é:

A) 4 2 B) 2 2

C) 2 D) 4

Para cada uma das cinco questões desta primeira parte, seleciona a resposta correta de entre as quatro

alternativas que são apresentadas e escreve na tua folha de teste a letra que lhe corresponde.

Não apresentes cálculos.

Se indicares mais do que uma resposta, a questão será anulada, o mesmo acontecendo se a resposta

for ambígua ou se a letra transcrita for ilegível.

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4) Um cone de vértice V é cortado por dois planos paralelos à sua base.

Obteve-se, assim, um círculo de centro J de raio 5 cm e outro de centro I de raio

8 cm .

Sabe-se ainda que:

12VJ cm

10OI cm

VI , em centímetros, é igual a:

A) 15,4 cm B) 24 cm C) 19,2 cm D) 7,5 cm

5) A secção produzida no cubo pelo plano é um trapézio se o plano passa nos pontos:

A) M, G e B B) M, F e A

C) E, F e D D) E, G e D

2.ª Parte

1. Na figura está representado um retângulo

ABCD e seis círculos iguais de raio r ,

tangentes uns aos outros como a figura sugere.

1.1. Mostra que o perímetro do trapézio

AEFD é dado por 6 2 2 r .

1.2. Admite que a área do retângulo ABCD

é igual a 864.

Determina o valor exato da área da

região colorida.

Nota: Começa por mostrar que o raio dos círculos mede 6.

Nas questões desta segunda parte apresenta o teu raciocínio de forma clara, indicando todos os

cálculos que tiveres de efetuar e todas as justificações necessárias.

Sempre que não se indicar a precisão pretendida no resultado, deves indicar o valor exato.

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2. O sólido seguinte é constituído por um cubo [ABCDEFGH] que partilha com uma

pirâmide a face [DCGH], conforme a figura ilustra.

2.1. Indica a posição relativa da reta CX com o

plano ABD ;

2.2. Indica duas retas não complanares que não

sejam perpendiculares

2.3. Completa

2.4. Seja P o ponto de interseção das diagonais da face [ABFE]. Sabe-se que:

A altura da pirâmide é um terço do comprimento da base do cubo.

1

3XD AD

Desenha e calcula o perímetro da secção resultante da intersecção do cubo

com o plano CXE .

Nota: desenha a secção no enunciado.

3. Na figura ao lado estão representados o cubo [ABCDEFGH] e a pirâmide [BCEHV].

3.1. Determina o volume exato da pirâmide sombreada, cuja

base está contida na face superior do cubo.

Sabe-se que:

a aresta do cubo mede 6 cm .

a altura da pirâmide [BCEHV] mede 9 cm .

3.2. Considera agora que a altura da pirâmide [BCEHV]

mede a cm e que a aresta do cubo mede 3

4 da altura

da pirâmide.

Mostra que 9

4cubo pirâmideV V .

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4. Os fortes abaluartados são um tipo de

fortificação que permaneceu popular de

meados do século XV até ao final do século

XIX. A forma destes fortes permitiam para além

de limitarem os ângulos de ataque eficazes

para a força inimiga ofensiva, maximizavam os

da força defensiva. Estas fortificações eram

construídas a partir de uma série de baluartes

triangulares interligados e/ou separados, que

rodeavam a cidade ou torre central. Na figura ao lado está uma vista aérea do Forte

Bourtange em Groningen, Holanda, um forte abaluartado.

O interior deste forte é um pentágono.

A figura seguinte é um esquema da parte

principal da forte.

Sabe-se que:

Os triângulos ADG , ABC ,

EFI , BJF e DEH são

triângulos equiláteros de lado

123,8 m

Os pentágonos ABFED e

KONML são regulares

A razão de semelhança entre ABFED e KONML é 1,238

A área do pentágono KONML é 217204,75 m

Determina a área da parte do forte representado na figura pelo polígono

ACBJFIEHDG

Apresenta o resultado, em metros, arredondado às décimas.

Caso seja necessário utiliza três casas decimais em calculos intermédios.

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FIM

Cotações

1ª Parte* 1.1 1.2 2.1 2.2 2.3 2.4 3.1 3.2 4 Total 5 × 10 = 50 20 20 10 10 10 20 20 20 20 200

*10 pontos por cada resposta certa. 0 pontos por cada resposta errada ou não respondida

Formulário: