teste05 a

Professora: Rosa Canelas Ano Letivo 2011/2012 1

Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis

12º Ano de Matemática – A

Tema III – Trigonometria e Números Complexos

5º Teste de avaliação – versão A

Grupo I

1. Considere todos os números de cinco algarismos que se podem formar com os algarismos 5, 6,

7, 8 e 9.

De entre estes números, quantos têm, exatamente, três algarismos 5?

(A) 5 43 2C A× (B) 5 2

3C 4× (C) 5 23A 4× (D) 5 4

3 2A C×

2. Considere a função g, de domínio IR, definida por: ( )xe se x 0

g xln x se x 0

≤=

>

Considere a sucessão de termo geral n

1u

n=

Qual é o valor de ( )nnlim g u→+∞

?

(A) +∞ (B) 1 (C) 0 (D) −∞

3. De uma função h, de domínio R, sabe-se que:

�� h é uma função par;

�� ( )( )xlim h x 2x 0→+∞

− =

Qual é o valor de ( )xlim h x→−∞

?

(A) +∞ (B) 2− (C) 0 (D) −∞

• As cinco questões deste grupo são de escolha múltipla.

• Para cada uma delas são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correta.

• Escreva na sua folha de respostas a letra correspondente à alternativa que selecionar para cada questão.

• Se apresentar mais do que uma resposta, a questão será anulada, o mesmo acontecendo se a letra transcrita

for ilegível.

• Não apresente cálculos ou justificações.

• Cada resposta certa vale 10 pontos, cada pergunta errada, não respondida, ou anulada, vale 0 (zero) pontos.


4. Na figura, está representada, num referencial o.n. xOy, parte do gráfico da função f ′ , primeira

derivada da função f.

Seja a IR+∈ um ponto do domínio de f, tal que ( )f a 0′ = .

Qual das afirmações seguintes é verdadeira?

(A) A função f tem um mínimo para x a= .

(B) A função f tem um ponto de inflexão para x a= .

(C) A função f é crescente em ] [0,a .

(D) A função f é decrescente em IR− .

5. Na figura está representado, em referencial o.n. xOy, uma circunferência, de centro na origem

do referencial e raio 2. O ponto P move-se ao longo da semicircunferência que limita a região

colorida. Sabe-se que:

�� OP 2= ;

�� ( )TOP radianos ,0 .= θ ≤ θ ≤ π

Qual das expressões seguintes dá a área da região colorida, em

função de θ ?

(A) 2 16sen cosπ − θ ⋅ θ (B) 8sen cosπ − θ ⋅ θ

(C) 2 8 sen cosπ − θ ⋅ θ (D) 4 16 sen cosπ − θ ⋅ θ

Grupo II

1. Uma empresa tem delegações espalhadas por vários países do mundo. Cada delegação é

identificada por um código constituído por 5 algarismos de 1 a 9. Por exemplo, em Portugal há

uma delegação cujo código é 22737.

Os dois primeiros algarismos (da esquerda) identificam o país a que pertence a delegação e

os três últimos algarismos identificam a delegação.

1.1. Escolhido, ao acaso, um código possível de ser utilizado em Portugal, qual é a

probabilidade de esse código ter exatamente dois algarismos iguais?

Nas questões deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos

os cálculos ou esquemas que tiver de efectuar e todas as justificações necessárias.

Atenção: quando não é indicada a aproximação que se pede para um resultado,

pretende-se sempre o valor exacto.


1.2. O código das delegações em França começa por 35. Qual é a probabilidade de escolher,

ao acaso, um código possível de ser utilizado em França e ter exatamente três algarismos

iguais?

2. Sejam f e g duas funções definidas, em IR, por:

( ) x 2 x 1f x 3 24 3+ −= − × e ( ) xg x 3 2 3= − ×

2.1. Resolva a condição ( ) ( )g x g 3>

2.2. Mostre, por via analítica, que: ( ) xf x 3=

2.3. Resolva, analiticamente, a condição ( ) ( )f x g x=

3. Considere a função f, real de variável real, definida por: ( ) 1f x x ln

x =

3.1. Determine, caso existam, as coordenadas do ponto do gráfico da função f, em que a

ordenada é metade da abcissa.

3.2. A função f tem um extremo absoluto. Determine o valor desse extremo.

3.3. A reta de equação y 2x e= − + é tangente ao gráfico da função num ponto P. Determine

as coordenadas desse ponto.

4. Na figura está representado um triângulo [ABC].

Tem-se que:

� x designa a amplitude, em radianos, do ângulo

BAC.

� a amplitude do ângulo BCA é igual ao dobro da

amplitude do ângulo BAC.

� a altura BD é igual a 10.

Seja ( )275 25tg x

g xtgx

−=

4.1. Mostre que a área do triângulo [ABC] é dada por ( )g x , para qualquer x 0,4π ∈

.

4.2. Considere o triângulo [ABC] quando x4π= . Classifique-o quanto aos ângulos e quanto

aos lados e prove que a sua área ainda é dada por ( )g x .

Questão 1 2 3 4 5 1.1 1.2 2.1 2.2 2.3 3.1 3.2 3.3 4.1 4.2 total

Cotação 10 10 10 10 10 10 10 15 15 10 15 20 15 20 20 200





5º Teste de avaliação – versão A – Proposta de reso lução

Grupo I

1. (B) Consideremos todos os números de cinco algarismos que se podem formar com os

algarismos 5, 6, 7, 8 e 9.

De entre estes números, 5 23C 4× têm, exatamente, três algarismos 5

2. (D) Considere a função g, de domínio IR, definida por: ( )xe se x 0

g xln x se x 0

≤=

>

Considere a sucessão de termo geral n

1u

n=

O valor de ( )nn

1lim g u lim ln

n→+∞

= = −∞

3. (A) De uma função h, de domínio R, sabe-se que:

�� h é uma função par;

�� ( )( )xlim h x 2x 0→+∞

− = (h tem uma assíntota de

equação y 2x= )

O valor de ( )xlim h x→−∞

= +∞ ?

4. (C) Na figura, está representada, num referencial o.n. xOy, parte do gráfico da função f ′ ,

primeira derivada da função f.

Seja a IR+∈ um ponto do domínio de f, tal que ( )f a 0′ = .

A afirmação “A função f é crescente em ] [0,a ”

é verdadeira porque a derivada é positiva nesnte

intervalo.


5. (C) Na figura está representado, em referencial o.n. xOy, uma circunferência, de centro na

origem do referencial e raio 2. O ponto P move-se ao longo da semicircunferência que limita a

região colorida. Sabe-se que:

�� OP 2= ;

�� ( )TOP radianos ,0 .= θ ≤ θ ≤ π

A área da região colorida, em função de θ é

Porque OA 2cos= θ e AP 2sen= θ a área colorida é

22A 2 2cos 2sen A 2 8sen cos

2π ×= − × θ × θ ⇔ = π − θ θ

Grupo II

1. Uma empresa tem delegações espalhadas por vários países do mundo. Cada delegação é

identificada por um código constituído por 5 algarismos de 1 a 9. Por exemplo, em Portugal há

uma delegação cujo código é 22737.

Os dois primeiros algarismos (da esquerda) identificam o país a que pertence a delegação e

os três últimos algarismos identificam a delegação.

1.1. Escolhido, ao acaso, um código possível de ser utilizado em Portugal, a probabilidade de

esse código ter exatamente dois algarismos iguais é a probabilidade de os 3 últimos

algarismos serem todos diferentes e diferentes de 2. Será então 8

33

A 336 112P

729 2439= = =

1.2. O código das delegações em França começa por 35. A probabilidade de escolher, ao

acaso, um código possível de ser utilizado em França e ter exatamente três algarismos

iguais é a probabilidade de nesses códigos haver três algarismos iguais a 3 ou iguais a 5

ou ainda iguais a um dos outros algarismos sem ser o 3 ou o 5. Assim o nº de casos

favoráveis é 322 C 8 7 55× × + = e o número de casos possíveis é 39 729= . Finalmente a

probabilidade é 55

P729

=

2. Sejam f e g duas funções definidas, em IR, por:

( ) x 2 x 1f x 3 24 3+ −= − × e ( ) xg x 3 2 3= − ×

2.1. Resolvamos a condição

( ) ( ) x 3 x 3 x 3g x g 3 3 2 3 3 2 3 2 3 2 3 3 3 x 3> ⇔ − × > − × ⇔ − × > − × ⇔ < ⇔ <

A solução é ] [,3−∞ .


2.2. Mostremos, por via analítica, que: ( ) xf x 3= . De facto temos que:

( ) x 2 x 1 x 2 x 1 x x xf x 3 24 3 3 3 24 3 3 9 3 8 3 3+ − −= − × = × − × × = × − × =

2.3. Resolvamos, analiticamente, a condição ( ) ( )f x g x= .

( ) ( ) x x x xf x g x 3 3 2 3 3 3 3 3 1 x 0= ⇔ = − × ⇔ × = ⇔ = ⇔ =

A solução é { }0 .

3. Consideremos a função f, real de variável real, definida por: ( ) 1f x x ln

x =

3.1. Determinemos, caso existam, as coordenadas do ponto do gráfico da função f, em que a

ordenada é metade da abcissa.

De

12

x 1 x 1 1 1 1 1 1y x ln x ln 0 x 0 ln x 0 e x

2 x 2 x 2 x 2 x e

= ⇔ = ⇔ − = ⇔ = ∨ = ∧ > ⇔ = ⇔ =

As coordenadas do ponto são 1 1

,e 2 e

.

3.2. A função f tem um extremo absoluto. Determinemos o valor desse extremo.

Comecemos por calcular a derivada de f: ( )2

11 1xf x ln x ln 1

1x xx

− ′ = + × = −

Calculemos os zeros da derivada:

( ) 1 1 1 1f x 0 ln 1 0 ln 1 e x 0 x

x x x e ′ = ⇔ − = ⇔ = ⇔ = ∧ > ⇔ =

Completemos a tabela para o estudo do sinal da derivada em IR+ :

x 0 1e

+∞

( )f x′ + 0 -

( )f x ր M ց

O valor do máximo é ( )1 1 1 1 1f ln ln e

1e e e ee

= = =

3.3. A reta de equação y 2x e= − + é tangente ao gráfico da função num ponto P.

Determinemos as coordenadas desse ponto começando por igualar a derivada a 2− .

( ) 11 1 1f x 2 ln 1 2 ln 1 e x 0 x e

x x x− ′ = − ⇔ − = − ⇔ = − ⇔ = ∧ > ⇔ =


A ordenada é ( ) ( )1f e eln e 1 e

e = = × − = −

As coordenadas de P são ( )e, e−

4. Na figura está representado um triângulo [ABC].

Tem-se que:

� x designa a amplitude, em radianos, do ângulo

BAC.

� a amplitude do ângulo BCA é igual ao dobro da

amplitude do ângulo BAC.

� a altura BD é igual a 10.

Seja ( )275 25tg x

g xtgx

−=

4.1. Mostremos que a área do triângulo [ABC] é dada por ( )g x , para qualquer x 0,4π ∈

:

base AD DC= + e 10

ADtgx

= e ( )10

CDtg 2x

=

A área do triângulo vai ser

( ) 2 2

10 101010 10 2tgxtgx10

tgx tg 2x 1 tg x 10 10 10tg xA 5

2 2 tgx 2tgx

+ × + × − − = = = + × =

2 2 220 10 10tg x 150 50tg x 75 25tg x5

2tgx 2tgx tgx+ − − −× = =

4.2. Consideremos o triângulo [ABC] quando x4π= . Quanto aos ângulos o triângulo é

retângulo e quanto aos lados é isósceles pois tem um ângulo reto e dois de 4π

radianos.

Provemos que a sua área que é 10 10

A 502×= = ainda é dada por ( )g x , calculando

275 25tg 75 25 14g 504 1tg

4

π−π − × = = = π





5º Teste de avaliação – versão A – Critérios de cla ssificação

Grupo I (50 pontos)

Cada resposta certa vale 10 pontos, cada pergunta errada, não respondida, ou anulada, vale 0 (zero) pontos.

1 2 3 4 5

B D A C C

Grupo II (150 pontos)

1. 20

1.1. 10

•••• Nº de casos favoráveis 5

•••• Nº de casos possíveis 3

•••• Probabilidade pedida 2

1.2. 10

•••• Nº de casos favoráveis 5

•••• Nº de casos possíveis 3

•••• Probabilidade pedida 2

2. 40

2.1. 15

•••• Escrever x 33 2 3 3 2 3− × > − × 5

•••• Resolver a inequação 10

2.2. . 15

•••• Escrever x

x 2 x 1 x 2 33 24 3 3 3 24

3+ −− × = × − × 6


x 2 x x33 3 24 9 3 8 3

3× − × = × − × 6

•••• Concluir que x x x9 3 8 3 3× − × = 3

2.3. 10

•••• Escrever x x3 3 2 3= − × 5

•••• Resolver a equação 5

3. 30

3.1. 15



y2

= 3

•••• Escrever 1 x

x lnx 2

=

3


•••• Calcular a ordenada e dar as coordenadas 2

3.2. 20

•••• Calcular a derivada 5

•••• Calcular os zeros da derivada 5

•••• Fazer a tabela de sinal da derivada 5

•••• Calcular o máximo 5

3.3. 15

•••• Igualar a derivada a 2− 3


•••• Calcular a ordenada 5

•••• Apresentar as coordenadas 2

4. 40

4.1. 20

•••• Concluir que base AD DC= + 2

•••• Calcular10

ADtgx

= 5

•••• Calcular ( )10

CDtg 2x

= 5

•••• Aplicar a fórmula de tg(2x) 6

•••• Obter a expressão pedida 2

4.2. 20

•••• Classificar o triângulo quanto aos ângulos 4

•••• Classificar o triângulo quanto aos ângulos 4

•••• Calcular a área 5

•••• Calcular g4π

5

•••• Concluir 2

Total ………………………………………………………………………………………………… 200

teste05 a

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