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ANÁLISE E PROJETO DE TENSO-ESTRUTURAS TÊXTEIS PARA COBERTURAS

Vinicius Maia Barreto de Oliveira

TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇÃO DOS

PROGRAMAS DE PÓS-GRADUAÇÃO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE

FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS

NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE DOUTOR EM CIÊNCIAS EM

ENGENHARIA CIVIL.

Aprovada por:

________________________________________________

Prof. Ronaldo Carvalho Battista, Ph.D.

________________________________________________

Prof. Fernando Luiz Bastos Ribeiro, D.Sc.

________________________________________________

Prof. Michèle Schubert Pfeil, D.Sc.

________________________________________________

Prof. Djenane Cordeiro Pamplona, Ph.D.

________________________________________________

Prof. Raul Rosas e Silva, Ph.D.

________________________________________________

Prof. Ruy Marcelo de Oliveira Pauletti, D.Sc.

RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL

NOVEMBRO DE 2003

ii

OLIVEIRA, VINICIUS MAIA BARRETO DE

Análise e projeto de tenso-estruturas têxteis

para coberturas [Rio de Janeiro] 2003

XX, 139 p. 29,7 cm (COPPE/UFRJ, D.Sc.,

Engenharia Civil, 2003)

Tese - Universidade Federal do Rio de

Janeiro, COPPE

1. Tenso-estruturas

2. Membranas têxteis

3. Elementos Finitos

I. COPPE/UFRJ II. Título ( série )

iii

Aos meus pais, Luiz e Lízia, meus irmãos, Vicente e Viviane

e à Lu.

iv

Agradecimentos Ao professor Ronaldo pelos mais diversos conhecimentos transmitidos durante todo o período de desenvolvimento da pesquisa. Ao Fernando pelo auxílio de grande importância na parte numérica da tese. Aos amigos Bension e Efrain Akerman, que me facilitaram as condições de moradia aqui no Rio de Janeiro. Ao Abimael Fernando Dourado Loula pelo apoio na minha chegada ao Rio. Aos amigos Silvoso, Jaime, Roberto, Wendell, Jardel, Guilherme, Sidclei, Cláudio Márcio, pelo companherismo. Aos amigos da Pengec, Rodrigo, Augusto e Igor, pelo apoio e compreensão dos adiamentos da conclusão desse trabalho. Ao CNPq, pelo apoio financeiro. E a todos que de alguma forma, em algum momento, me ajudaram a atingir esta meta.

v

Resumo da Tese apresentada à COPPE/UFRJ como parte dos requisitos necessários para

a obtenção do grau de Doutor em Ciências (D.Sc.)

ANÁLISE E PROJETO DE TENSO-ESTRUTURAS TÊXTEIS PARA COBERTURAS


Novembro/2003

Orientadores: Ronaldo Carvalho Battista

Fernando Luiz Bastos Ribeiro

Programa: Engenharia Civil

No presente trabalho apresentam-se todas as etapas do desenvolvimento de uma

ferramenta computacional especialmente feita para auxiliar a análise e o projeto de tenso-

estruturas têxteis. O programa resultante, denominado TENSOTEX, foi desenvolvido com

base numa formulação não-linear utilizando-se o método dos elementos finitos, sendo

capaz de realizar de maneira integrada todas as etapas da análise estrutural e de projeto.

Apresenta-se, passo a passo, o desenvolvimento completo de um projeto de uma

tenso-estrutura têxtil típica, de maneira a exemplificar a utilização do TENSOTEX e

analisar e discutir todas as etapas realizadas. A primeira etapa consiste em determinar a

geometria espacial da superfície que o tecido deve ter para que fique todo tracionado, além

de atender aos requisitos arquitetônicos. A segunda etapa consiste na definição da

geometria planificada dos moldes para o corte do tecido. Na terceira etapa, as peças de

tecido cortadas num plano são montadas para formar a tenso-estrutura e, finalmente, são

analisadas as tensões no tecido e os esforços nos cabos e estais de ancoragem.

Como não foram encontrados na literatura técnica dados geométricos e resultados

numéricos ou experimentais completos de uma tenso-estrutura têxtil para a validação do

programa, são feitas comparações com os resultados numéricos obtidos com outros

métodos de cálculo, os quais, para isto, também tiveram que ser implementados

computacionalmente.

vi

Abstract of Thesis presented to COPPE/UFRJ as a partial fulfillment of the requirements

for the degree of Doctor of Science (D.Sc.)

ANALYSIS AND DESIGN OF ROOF TEXTILE TENSILE STRUCTURES


November/2003

Advisors: : Ronaldo Carvalho Battista

Fernando Luiz Bastos Ribeiro

Department: Civil Engineering

This work presents all the development stages of a computational tool, especially

tailored to aid the textile tensostructures design. This program, called TENSOTEX, was

developed on the basis of a nonlinear formulation for the finite element method, and

makes it possible to do in an integrated manner all the stages of the structural analysis and

design.

The complete development of a typical tensile structure design is presented step by

step, in order to make an application example of TENSOTEX, as well as to analyze and

discuss all design stages. The first stage consists in determining the spatial geometry of the

fabric surface, reaching a state of overall stretching, and moreover fulfilling the

architectural requirements. The second stage consists in the definition of the fabric cutting

pattern. In the third stage, the pieces of fabric are assembled to form the tensostructure

and finally, the stresses in the fabric and the forces in the cables and anchorage stays are

analyzed.

Because complete geometric data and numerical or experimental results for a

typical textile tensile structure has not been found in the technical literature, other methods

of calculations were also implemented to compare results and validate the developed tool.

vii

Sumário

Índice de figuras x

Índice de tabelas xvii

Capítulo - 11 Introdução

1.1 Motivação/Objetivos 1

1.2 Escopo do trabalho 2

Capítulo - 22 Tensoestruturas

2.1 Classificação e ilustrações 4

2.1.1 Tensoestruturas de cabos 4

2.1.2 Tensoestruturas de tecido 6

2.2 Tenso-estruturas têxteis 8

2.2.1 Histórico 8

2.2.2 Características principais das atuais tenso-estruturas têxteis 13

Capítulo - 33 Projeto e Fabricação de uma Tenso-estrutura têxtil

3.1 Projeto 17

3.2 Detalhamento para Fabricação 20

3.3 Características dos tecidos 22

3.3.1 Resistência ao rasgamento 25

3.3.2 Resistência ao dobramento 26

3.3.3 Variação dimensional 27

3.3.4 Fluência/relaxação 27

3.3.5 Resistência ao Fogo 28

3.3.6 Resistência à tração 28

3.3.7 Durabilidade 32

3.3.8 Absorção de energia solar 33

3.4 Métodos de cálculo 34

viii

Capítulo - 44 Formulação do método dos elementos finitos para membranas e cabos

4.1 Formulação Lagrangeana Total 38

4.1.1 Obtenção forças internas e da matriz tangente K BTB 41

4.1.2 Matrizes para o elemento de membranas espaciais 45

4.1.3 Comparações com outras formulações 49

4.1.4 Matrizes para o elemento cabo-treliça 54

Capítulo - 55 Definição da Forma

5.1 Introdução 57

5.1.1 Modelos Físicos 58

5.1.2 Superfície mínima 60

5.1.3 Densidade de forças 60

5.1.4 Densidade de tensões 66

5.2 Determinação da forma via MEF 67

5.2.1 Metodologia 67

5.2.2 Exemplos simples de aplicação 69

5.2.3 Comparação com o método de Densidade de forças 75

Capítulo - 66 Determinação dos moldes para corte

6.1 Introdução 77

6.2 Definição das linhas de corte 79

6.3 Planificação utilizando modelos físicos 80

6.4 Planificação elemento a elemento 80

6.4.1 Exemplos 83

6.4.2 Método modificado 85

6.5 Planificação via MEF 87

6.5.1 Introdução / Metodologia 87

6.5.2 Exemplos simples de aplicação 93

ix

Capítulo - 77 Análise e projeto estrutural

7.1 Definições arquitetônicas 98

7.2 Características dos materiais 100

7.3 Definição da forma 102

7.4 Definição das linhas de corte 106

7.5 Definição dos moldes para corte 108

7.6 Análise de tensões 114

7.7 Cabos das bordas e intermediários e reações nos apoios 119

7.8 Comentários finais sobre a análise de tensões no tecido e nas estruturas de suporte 121

Capítulo - 88 Conclusões

8.1 Conclusões 124

8.2 Comentários finais e proposta para desenvolvimento de trabalhos futuros 125

Bibliografia 127

Anexo A – Descrição sumária do programa TENSOTEX 134

x

Índice de figuras

Figura 2-1– Estádio olímpico, Munique, Alemanha, 1972[71]. ...................................... 5

Figura 2-2– Pavilhão de São Cristóvão, Rio de Janeiro 1960. ........................................ 6

Figura 2-3 -Pneumatic Hall ‘Airtecture’. (a)Vista global[72]; (b)Vista lateral[53].............. 6

Figura 2-4 – Centro Cultural Tjapukai [66]. ....................................................................... 7

Figura 2-5 – Exemplo de utilização do tecido sem função estrutural. .......................... 7

Figura 2-6–Radome [64], 1946. .............................................................................................. 8

Figura 2-7 - Pavilhão americano na feira de Osaka, 1970[59]......................................... 8

Figura 2-8 - Tenda de índios norte americanos[65]. ......................................................... 9

Figura 2-9 – Tendas negras[67]. ........................................................................................... 9

Figura 2-10 - Tendas de Circos[16]. .................................................................................... 9

Figura 2-11 - Vierpunktsegel, Kassel, 1955[68]. .................................................................10

Figura 2-12 - Tanzbrunnen, Cologne, 1957[68]. ................................................................10

Figura 2-13 - La Verne College Student Activities Center, EUA, 1973[61]. ..............11

Figura 2-14 - Aeroporto de Jeddah, Arábia Saudita, 1985[62]......................................11

Figura 2-15– Estádio Rei Fahd, Arábia Saudita, 1985[62].............................................11

Figura 2-16 Columbus Center, Baltimore, EUA[73]-.....................................................12

Figura 2-17 - Stadio delle Alpi, Turin, Itália, 1990..........................................................12

Figura 2-18 - Estádio em Honk Kong, China, 1994, [60]. ............................................12

Figura 2-19 - Millenium Dome, Londres, Inglaterra, 2000. ..........................................13

Figura 2-20– Auditório Araújo Viana, Porto Alegre [63]. .............................................13

Figura 2-21 - Aeroporto de Denver, EUA[73]................................................................15

Figura 3-1 – Processo projetivo de uma tenso-estrutura têxtil. ....................................19

xi

Figura 3-2– Detalhe para re-tensionamento[53]. ............................................................20

Figura 3-3 – Detalhe para vedação[53]. ............................................................................21

Figura 3-4– União colada[75]. ............................................................................................21

Figura 3-5– União costurada[75]........................................................................................21

Figura 3-6– Ligação cabo-tecido[75]. ................................................................................22

Figura 3-7– Ligação estrutura-tecido-cabos[75]. .............................................................22

Figura 3-8 – Arranjo dos fios no tecido. (a) fios tecidos (b) fios sobrepostos .........23

Figura 3-9 – Tecido simples com aplicação da matriz. ..................................................25

Figura 3-10 – Ensaio de resistência ao rasgamento[55]. (a) Tongue tear test (b) Teste

trapezoidal (c) Teste axial com rasgo central ..........................................................26

Figura 3-11 – Ensaio de resistência ao dobramento [55]...............................................27

Figura 3-12 – Corpo de prova para teste axial e bi-axial [55]........................................29

Figura 3-13 – Arranjo para teste bi-axial [57]. .................................................................29

Figura 3-14 – Curva tensão-deformação para tecido de fibra de vidro com

PTFE[55]. .....................................................................................................................30

Figura 3-15 – Projeção da resistência a tração (tempo em anos)[64]...........................32

Figura 3-16 – Degradação da resistência por ataque ultravioleta [55]. ........................32

Figura 3-17 – Esquema de transmissão, absorção, reflexão e irradiação da energia

[64]. ................................................................................................................................34

Figura 4-1 – Graus de liberdade locais do elemento de membrana.............................46

Figura 4-2 – Geometria indeformada................................................................................49

Figura 4-3 – Geometria deformada. ..................................................................................50

Figura 4-4 – Condições de contorno ................................................................................50

Figura 4-5 – Malha de elementos triangulares. ................................................................51

Figura 4-6 – Malha de elementos quadriláteros...............................................................51

xii

Figura 4-7 - Elemento proposto. .......................................................................................51

Figura 4-8 - Elemento de casca quadrilátero. ..................................................................51

Figura 4-9 - Elemento do ANSYS de membrana. ..........................................................52

Figura 4-10 - Elemento do ANSYS de casca...................................................................52

Figura 4-11 – Comparação das curvas Deslocamento x Reação.........................................53

Figura 4-12 – Graus de liberdade locais do elemento de cabo-treliça.........................54

Figura 5-1 -Modelos físicos com membrana de sabão[49]. ...........................................59

Figura 5-2– Modelo físico com membrana de tecido[55]..............................................59

Figura 5-3 – Configuração inicial. ......................................................................................61

Figura 5-4 – Configuração final. ........................................................................................62

Figura 5-5 – Características geométricas do parabolóide hiperbólico. ........................64

Figura 5-6 – Malha do hiperbolóide parabólico. .............................................................65

Figura 5-7 – Forma encontrada para densidades iguais para cabos passivos e ativos.

........................................................................................................................................65

Figura 5-8 – Desvios geométricos ∆ obtidos com o método da densidade de forças.

........................................................................................................................................66

Figura 5-9 - Modelagem inicial. ..........................................................................................67

Figura 5-10 – Projeção horizontal. ....................................................................................68

Figura 5-11 – Vista em perspectiva. ..................................................................................68

Figura 5-12 – Graus de liberdade do elemento de membrana......................................69

Figura 5-13 – Malha inicial..................................................................................................69

Figura 5-14 – Deslocamentos impostos. ..........................................................................70


Figura 5-16 – Vista em Perspectiva. ..................................................................................71

Figura 5-17 – Tensões no tecido........................................................................................71

xiii

Figura 5-18 – Tesões no tecido após redução do módulo de elasticidade..................72

Figura 5-19 – Tesões no tecido após imposição de tensões iniciais. ...........................72

Figura 5-20 – Resposta do programa demonstrativo CADISI.....................................73

Figura 5-21 – Malha inicial plana. ......................................................................................73

Figura 5-22 – Deslocamentos impostos. ..........................................................................74


Figura 5-24 – Perspectiva. ...................................................................................................74

Figura 5-25 – Perspectiva de forma com deslocamento horizontal. ...........................74

Figura 5-26 – Malha inicial..................................................................................................75

Figura 5-27 – Deslocamentos prescritos. .........................................................................75

Figura 5-28 – Desvios geométricos ∆ obtidos com o MEF. ........................................76

Figura 6-1 – Superfície cônica. ...........................................................................................78

Figura 6-2 – Planificação da superfície cônica.................................................................78

Figura 6-3 – Superfície esférica. .........................................................................................78

Figura 6-4– Aproximação da superfície toróide[74]. ......................................................79

Figura 6-5 – Identificação dos padrões de corte tridimensionais, 64 tiras..................80

Figura 6-6 – Tira tridimensional destacada. .....................................................................81

Figura 6-7 – Planificação do primeiro elemento. ............................................................82

Figura 6-8 - Pontos de interseção. ....................................................................................82

Figura 6-9 - Escolha do ponto de interseção..................................................................83

Figura 6-10 – Continuação do processo...........................................................................83

Figura 6-11 – Tira antes da planificação. ..........................................................................84

Figura 6-12 – Dimensões principais da tira planificada. ................................................84

Figura 6-13 - Restrição do movimento planar de corpo rígido de um elemento

triangular. ......................................................................................................................85

xiv

Figura 6-14 - Dimensões principais da tira planificada considerando as deformações

iniciais. ...........................................................................................................................86

Figura 6-15 – Malha para superfície cilíndrica circular. (a) Projeção horizontal; (b)

raio; (c) perspectiva .....................................................................................................88

Figura 6-16 – Rotação da superfície discretizada. (a) Perspectiva; (b) vista lateral....89

Figura 6-17 – Malha da superfície cilíndrica planificada. ...............................................89

Figura 6-18 – Tensões residuais principais máximas (Smax) e mínimas (Smax) na

superfície cilíndrica planificada. ................................................................................90

Figura 6-19 - Malha da superfície esférica. (a) Vista lateral da superfície esférica;

(b)Perspectiva...............................................................................................................90

Figura 6-20 - Malha da superfície esférica planificada....................................................91


superfície esférica planificada. ...................................................................................91

Figura 6-22 – Malha da superfície esférica recortada. (a)Planta; (b) Perspectiva......92

Figura 6-23 – Malha da superfície esférica recortada planificada.................................92


superfície esférica recortada planificada. .................................................................93

Figura 6-25 – Dimensões principais da tira planificada sem tensões iniciais. ............93

Figura 6-26 – Tensões residuais máximas da tira planificada sem tensões iniciais....93

Figura 6-27 – Tensões residuais mínimas da tira planificada sem tensões iniciais. ...94

Figura 6-28 – Dimensões principais da tira planificada com tensões iniciais.............94

Figura 6-29 – Tensões residuais máximas da tira planificada com tensões iniciais. ..94

Figura 6-30 – Tensões residuais mínimas da tira planificada com tensões iniciais. ..95

Figura 6-31 – Tira tridimensional de tecido destacada...................................................95

Figura 6-32 – Dimensões principais da tira planificada com tensões iniciais e maior

refinamento. .................................................................................................................95

xv

Figura 6-33 – Tensões residuais máximas da tira planificada com tensões iniciais. ..96

Figura 6-34 – Tensões residuais mínimas da tira planificada com tensões iniciais. ..96

Figura 6-35 – Identificação dos padrões de corte tridimensionais, 32 tiras. ..............96


Figura 6-37 – Identificação dos padrões de corte tridimensionais, 16 tiras. ..............97


Figura 7-1 – Corte conceitual da cobertura principal [36]. ............................................99

Figura 7-2 – Planta conceitual da cobertura[36]............................................................100

Figura 7-3 – Malha inicial e numeração dos nós do contorno....................................102

Figura 7-4 – Vista lateral....................................................................................................103

Figura 7-5 – Vista Frontal. ................................................................................................103

Figura 7-6 – Vista em perspectiva da cobertura. ...........................................................104

Figura 7-7 – Vista superior................................................................................................104

Figura 7-8 – Vista em perspectiva da cobertura. ...........................................................105

Figura 7-9 – Vista lateral....................................................................................................105

Figura 7-10 – Vista Frontal. ..............................................................................................106

Figura 7-11 – Vista superior. ............................................................................................106

Figura 7-12 – Linhas de corte...........................................................................................107

Figura 7-13 – Malha gerada após a definição das linhas de corte. .............................108

Figura 7-14 – Pedaços planificados de tecido da tenda principal, arranjados lado a

lado. .............................................................................................................................109


lado. .............................................................................................................................110

Figura 7-16 – Pedaços planificados de tecido do caminho, arranjados lado a lado.111

Figura 7-17 – Pedaços planificados de tecido do caminho, arranjados lado a lado.112

xvi

Figura 7-18 – Detalhe do molde 01.................................................................................112

Figura 7-19 – Tensões residuais principais máximas (Smax) e mínimas(Smax) no

pedaço 01 planificado . .............................................................................................113


pedaço 02 planificado. ..............................................................................................114





Figura 7-23 – Tensões principais máximas no tecido após a montagem com

protensão dos cabos. ................................................................................................115

Figura 7-24 – Tensões principais mínimas no tecido após a montagem com


Figura 7-25 – Modificações nas linhas de corte. ...........................................................116

Figura 7-26 – Tensões residuais principais máximas (Smax) e mínimas (Smin) no

pedaço n° 57...............................................................................................................117


pedaço n° 72...............................................................................................................117





Figura 7-30 – Tensões (Sx) e forças (Fx) nos cabos após a montagem. ...................119

Figura 7-31 – Localização dos nós de apoio..................................................................120

Figura 7-32 [39]...................................................................................................................122

xvii

Índice de tabelas

Tabela 3-1 - Resistência ao Fogo [69]. 28

Tabela 3-2 - Características mecânicas típicas[69]. 31

Tabela 3-3 – Efeito da luz do sol [55], [69]. 34

Tabela 7-1 – Coordenadas do molde 01 113

Tabela 7-2 – Reações de apoio 120

xviii

Lista de Símbolos

A - Área transversal do elemento cabo-treliça

B - Matriz das relações deformação-deslocamento

B B0 B - Parcela constante da matriz B

B B1 B - Parcela linear da matriz B

DBABB - Densidade de força do elemento AB

D BFB - Matriz das densidades de força

D - Matriz constitutiva

FBABxB - Componente em x da força no elemento AB

F - Vetor de forças externas

FBxB - Vetor de forças na direção x

K BTB - Matriz de rigidez tangente

K B0 B - Matriz de rigidez linear

K B1 B - Matriz linearmente dependente de u

K B2 B - Matriz quadraticamente dependente de u

K Bσ B - Matriz das tensões iniciais ou geométrica

L - Comprimento do elemento cabo-treliça

LBABB - Comprimento do elemento AB

NBi B - Matriz das funções de interpolação do nó i

xix

NBi B - Função de interpolação do nó i

P - Vetor de forças internas

R - Matriz de rotação

t - Espessura do elemento de membrana

u - Campo de deslocamentos

P

nPu - Configuração de equilíbrio n

δu - Incremento de deslocamentos

u Bi B - Vetor de incógnitas do nó i

u P

eP - Campo de deslocamentos no elemento e

AUeE EA - Vetor de deslocamentos nodais do elemento e

u, v, w - Componentes do campo de deslocamentos

u Bi B, v Bi B, wBi B - Incógnitas nodais

xBAB - Coordenada x do nó A

X - Vetor de coordenadas x

ε - Tensor de Green

δε - Incremento de deformações

ε B0 B - Parcela linear das deformações

ε B1 B - Parcela não-linear das deformações

εBxB, εByB, εBz B - Componentes do tensor de Green

xx

γByz B, γBzx B, γBxy B- Componentes do tensor de Green

σ - Vetor de tensões

δσ - Vetor de incrementos de tensões

Ψ - Vetor de resíduo

Ω - Domínio da estrutura

AΩeE EA - Domínio do elemento e

ζ, η, Θ - Matrizes auxiliares

τ - Matriz de tensões iniciais

∆ - Área do elemento de membrana

λ Bij B - Co-seno do ângulo entre os eixo i e j

1 ⋅ Introdução

1

CCaappííttuulloo 11

1Introdução

1.1 Motivação/Objetivos

A beleza estética e a plasticidade das tensoestruturas têxteis constituem motivação

suficiente para que pesquisadores e engenheiros se empenhem no estudo, na

melhoria do entendimento do comportamento e no domínio de todas as etapas da

análise, do projeto e da fabricação desse tipo de estrutura.

A pesquisa sobre as tenso-estruturas têxteis no mundo começou já na segunda

metade do século XX e se encontra atualmente num estágio avançado, com

ferramentas computacionais desenvolvidas para automatização do projeto.

No Brasil, os estudos sobre essas estruturas são recentes e há a necessidade de se

avançar em sua pesquisa, para que haja um conhecimento mais amplo sobre o

assunto. É necessário o desenvolvimento no país de ferramentas computacionais

para automatizar, controlar todas as etapas de cálculo e análise de tensões

necessárias para o projeto dessas estruturas.

1 ⋅ Introdução

2

Em função dessa demanda, o presente trabalho teve como objetivo desenvolver

uma ferramenta computacional capaz de executar as principais etapas do projeto de

uma tenso-estrutura têxtil: a determinação da forma, definição dos moldes de corte

e análise de tensões após a montagem dos pedaços costurados de tecido. As duas

primeiras etapas são ainda hoje realizadas com o auxílio de modelos físicos em

escala geométrica reduzida, ou através de moldes definidos de forma empírica, assim

como fazem os artesãos, alfaiates e mestres baloeiros para a confecção de roupas e

balões, de complexas geometrias espaciais

O programa desenvolvido, denominado TENSOTEX, foi implementado em

linguagem FORTAN, baseado no método dos elementos finitos (MEF). Foi

desenvolvido a partir de um programa básico elaborado por RIBEIRO [50] para a

resolução de problemas não lineares de casca. No TENSOTEX foram

implementadas as rotinas relativas ao elemento de membrana com grandes

deformações e deslocamentos, além das demais rotinas necessárias para projetos de

tenso-estruturas têxteis.

Além das rotinas implementadas no programa TENSOTEX, foram criados outros

programas que aplicam métodos de análise comumente utilizados para permitir a

comparação de seus resultados com os do programa TENSOTEX.

1.2 Escopo do trabalho

No Capítulo 2 as tenso-estruturas são classificadas, apresentando algumas

ilustrações e um breve histórico da utilização de tenso-estruturas têxteis.

As principais diferenças entre o projeto de uma estrutura convencional e o de uma

tenso-estrutura têxtil são apresentadas no Capítulo 3, além das características dos

tecidos empregados, e de uma descrição sucinta dos detalhes especiais, tais como

costuras e ancoragens.

No Capítulo 4 é apresentada a formulação do MEF para cabos e membranas,

utilizados no desenvolvimento do programa TENSOTEX.

1 ⋅ Introdução

3

O Capítulo 5 apresenta a primeira etapa do projeto: a definição da forma. Os

principais métodos utilizados são apresentados de forma resumida e o procedimento

a ser implementado na ferramenta desenvolvida é aplicado e comparado a resultados

de outro método.

A segunda etapa do projeto está descrita no Capítulo 6: a determinação dos moldes

de corte. Nesta etapa é definida a geometria dos pedaços do tecido necessários para

a montagem da estrutura.

As várias fases de análise e do projeto são expostas no Capítulo 7, enfatizando a

análise de tensões após montagem das peças de tecido costuradas que compõem a

tenso-estrutura têxtil.

No Capítulo 8 são apresentadas as conclusões e sugestões para trabalhos futuros.

2 ⋅ Tensoestruturas

4


2Tensoestruturas

2.1 Classificação e ilustrações

As tensoestruturas podem ser classificadas em dois grandes grupos:

(i) tensoestruturas formadas por malhas de cabos ou fios de aço ou material

novo e resistente (por exemplo aramida ou Kevlar), cobertas com telhas

poliméricas translúcidas ou tecido

(ii) tensoestruturas formadas por membranas, que podem ser constituídas

pedaços de tecido costurados, também chamadas de tensoestruturas

têxteis, ou por outros materiais, como folhas de aço.

2.1.1 Tensoestruturas de cabos

Com o advento de fios e cordoalhas de aço duro, ou aço de protensão, com baixa

relaxação, houve uma impulsão na criação de tensoestruturas formadas por malhas

de cabos para coberturas de grandes vãos. A superfície formada por essa malha de


5

cabos pode ser coberta por folhas ou telhas de material plástico translúcido, ou

pedaços costurados de tecido.

Frei Otto projetou, entre outras, as tenso-estruturas de cabos para a cobertura do

pavilhão da Alemanha na Expo 1967, em Montreal, Canadá e a cobertura das

arquibancadas do estádio olímpico de Munique, de 1972 (figura 2-1).

Figura 2-1– Estádio olímpico, Munique, Alemanha, 1972[71].

A utilização de tenso-estruturas de cabos no Brasil tem como marcos importantes as

coberturas do Pavilhão de Exposições do Rio Grande do Sul, em São Paulo, de

1954, e a cobertura do Pavilhão de São Cristóvão, de 1960, no Rio de Janeiro (figura

2-2), projetada pelo arquiteto Sergio W. Bernardes e pelo engenheiro Paulo R.

Fragoso. Na época essas estruturas de cobertura se destacavam entre as maiores

tenso-estruturas formadas por malhas de cabos do mundo. A malha de cabos da

cobertura de São Cristóvão na forma de um hiperbolóide parabólico e se ancora

numa estrutura auto-equilibrada de concreto armado, cuja projeção horizontal é

uma falsa elipse com eixos, maior e menor, com dimensões externas de 250 metros

e 165 metros respectivamente.


6

Figura 2-2– Pavilhão de São Cristóvão, Rio de Janeiro 1960.

Essas malhas formam superfícies espaciais de dupla curvatura e os cabos seguem as

linhas das curvaturas principais. Numa das direções principais os cabos são passivos

(os de curvatura positiva, ou para cima, no Pavilhão de São Cristóvão) e na outra

direção os cabos são ativos, isto é, os cabos que são protendidos ou tensionados.

2.1.2 Tensoestruturas de tecido

As estruturas de tecido podem ser classificadas em dois grupos diferentes: em um

ficam as estruturas pneumáticas, como a da figura 2-3; no outro, ficam as tenso-

estruturas têxteis (figura 2-4), que é o objeto de estudo do presente trabalho.

(a)

(b)

Figura 2-3 -Pneumatic Hall ‘Airtecture’. (a)Vista global[72]; (b)Vista lateral[53]


7

Figura 2-4 – Centro Cultural Tjapukai [66].

O tecido também pode ser usado sem função estrutural (figura 2-5), substituindo as

telhas e tapamentos laterais. Neste caso, pode ser feito um cálculo observando-se a

falta de rigidez ao cisalhamento do tecido, além de levar em consideração que os

carregamentos transversais ao plano do tecido serão transferidos para a estrutura de

suporte por tensões de membrana, gerando esforços numa direção diferente da

direção dos carregamentos.

Figura 2-5 – Exemplo de utilização do tecido sem função estrutural.

Numa tenso-estrutura têxtil, como os cabos e o tecido não têm capacidade de

resistir a esforços de compressão, estes devem estar sempre tracionados para a

estrutura ser estável e não sofrer enrugamento. No caso das estruturas pneumáticas,

a tração é feita através da aplicação de uma pressão interna, enquanto nas tenso-

estruturas têxteis, aplica-se protensão tracionando os cabos.

Aproximadamente na mesma época em que Frei Otto criava na Alemanha as bases

para o desenvolvimento das tenso-estruturas têxteis, Walter Bird começava nos

EUA, nos anos 50, o seu trabalho com membranas tensionadas, relacionado com as

estruturas pneumáticas. Estruturas pneumáticas para radares, chamadas de

radomes (figura 2-6), estavam entre seus principais projetos.


8

Figura 2-6–Radome [64], 1946.

Horst Berger e David Geiger também foram importantes para o progresso das

estruturas de membrana, sendo Berger aquele que realmente estava ligado ao tipo de

tensoestrutura têxtil aqui estudado, enquanto Geiger trabalhava com coberturas

pneumáticas (air supported), como a que é apresentada na figura 2-7, a primeira

estrutura de membranas pneumática a ser analisada computacionalmente.

Figura 2-7 - Pavilhão americano na feira de Osaka, 1970[59].

Glockner também trabalhou com esse tipo de estrutura pesquisando principalmente

a estabilidade de estruturas infláveis axi-simétrica (Dacko e Glockner[13]).

2.2 Tenso-estruturas têxteis

2.2.1 Histórico

As tendas são certamente o tipo de moradia mais antigo do homem, excetuando-se

as cavernas. Foram encontradas, na Ucrânia, evidências de que o homem, há mais

de 40000 anos, usava ossos e presas de mamutes para sustentar peles de animais[55].

Os índios da América do Norte (figura 2-8) e asiáticos usavam tendas cônicas para

se proteger das intempéries.


9

Figura 2-8 - Tenda de índios norte

americanos[65].

Figura 2-9 – Tendas negras[67].

Os povos nômades faziam uso das estruturas de membranas constituídas de peles

de animais, que apresentam facilidade para serem desmontadas e transportadas,

como as tendas negras (figura 2-9). Nessa época as peles eram carregadas, enquanto

as partes mais pesadas, usadas como suporte, eram deixadas para trás. Com o passar

dos tempos as peles de animais passaram a ser substituídas por tecidos.

Com a popularização dos circos nos EUA, no século XIX, foram desenvolvidos

vários conhecimentos empíricos para a produção dessas tenso-estruturas têxteis

(figura 2-10), como a forma de cortar e costurar os tecidos, as ancoragens, técnicas

de montagem e desmontagem. Até hoje os circos ainda utilizam estruturas de

tecidos devido a sua facilidade de montagem, desmontagem e transporte,

permitindo freqüentes relocações.

Figura 2-10 - T Tendas de CircosT[16]T.T

Uma das empresas fabricantes de tendas é a Stromeyer, fundada em 1872 e que até

hoje está em funcionamento. Juntamente com Peter Stromeyer, Frei Otto começou


10

a trabalhar com tendas, chegando a publicar uma patente, em 1961, para a empresa

Stromeyer[48].

A cobertura de um palco (figura 2-11) projetada por Frei Otto, em 1955, pode ser

considerada como um marco da utilização das tenso-estruturas têxteis modernas.

Ele realizou outros projetos pioneiros tal como a cobertura para um salão de dança,

em 1958 (figura 2-12).

Figura 2-11 - T Vierpunktsegel, Kassel,

1955T[68]T.T

Figura 2-12 - T Tanzbrunnen, Cologne, 1957T[68]T.T

Inicialmente, as tenso-estruturas têxteis eram usadas apenas em estruturas

temporárias; isso porque os materiais empregados não tinham a durabilidade

necessária para serem utilizados em estruturas permanentes. Atualmente já existem

materiais que são fabricados com uma durabilidade garantida por pelo menos 20

anos.

Com o avanço dos métodos de cálculo automático, via modelagem numérica-

computacional, e com a melhoria da qualidade dos tecidos, essas coberturas tenso-

têxteis passaram a ser empregadas em edificações de grande porte, tais como

aeroportos, estádios esportivos e centros de convenções em várias partes do mundo.

Exemplos dessas coberturas são apresentados nas figuras a seguir.


11

Figura 2-13 - T TLa Verne College Student Activities Center, EUA, 1973[61].

Figura 2-14 - Aeroporto de Jeddah, Arábia Saudita, 1985[62].

Figura 2-15– Estádio Rei Fahd, Arábia Saudita, 1985[62].


12

Figura 2-16 Columbus Center, Baltimore, EUA[73]-.

Figura 2-17 - Stadio delle Alpi, Turin, Itália, 1990.

Figura 2-18 - Estádio em Honk Kong, China, 1994, [60].


13

Figura 2-19 - Millenium Dome, Londres, Inglaterra, 2000.

No Brasil os exemplos desse tipo de estruturas estão limitados à estrutura de

pequeno e médio porte. A figura 2-20 mostra a cobertura do Auditório Araújo

Viana, em Porto Alegre, RS, com dimensões de porte médio (D=67 m), que é um

exemplo de tenso-estrutura têxtil projetada e fabricada no Brasil.

Figura 2-20– Auditório Araújo Viana, Porto Alegre [63].

2.2.2 Características principais das atuais tenso-estruturas têxteis

As tenso-estruturas têxteis têm tido uma crescente utilização, sendo empregadas

como coberturas permanentes de grandes espaços públicos, como estádios

esportivos e aeroportos, além dos inúmeros exemplos de utilização de coberturas de

pequeno e médio porte.

Dentre os vários fatores que colocaram as tenso-estruturas têxteis em evidência no

mercado e têm contribuído para o crescimento do seu emprego em grandes

coberturas, podem ser destacados os seguintes: a forma arquitetônica marcante e

translúcida, a leveza estrutural, a facilidade de montagem e a evolução tecnológica na

indústria têxtil, produzindo tecidos resistentes e duráveis.


14

Essas características que tornam atrativa a escolha das tenso-estruturas têxteis como

uma vantajosa solução estrutural para coberturas, podem ser melhor especificadas

como se segue:

• Beleza estética da forma arquitetônica;

• Leveza da estrutura espacial;

• Facilidade de transporte das peças e montagem no local;

• Boa resistência ao fogo dos tecidos mais modernos;

• Boa iluminação natural com a utilização de tecidos translúcidos;

• Isolamento acústico produzido por coberturas de membrana dupla;

• Durabilidade dos tecidos;

• Custo competitivo para coberturas grande porte;

A escolha de uma solução tenso-têxtil, para grandes estruturas de coberturas,

geralmente leva em consideração o grande impacto visual que a forma estrutural

provoca, como é o caso do aeroporto de Denver (figura 2-21). Durante a noite, a

estrutura translúcida marca a paisagem a quilômetros de distância. Devido a este

efeito de luminosidade essas estruturas passam a ser referências turísticas de uma

cidade.


15

Figura 2-21 - Aeroporto de Denver, EUA[73].

Além da aparência, pode ser contabilizada uma outra vantagem dos tecidos, a leveza.

Esta característica se torna mais importante à medida que se aumenta o vão livre da

estrutura, já que a relação entre o peso da estrutura e a carga que ela suporta

aumenta consideravelmente para o caso de grandes vãos, tornando proibitivo o uso

de certos sistemas estruturais mais pesados, proporcionando uma grande vantagem

para estruturas leves. Com a redução do peso da estrutura, são reduzidos os

esforços nas estruturas de suporte e cargas nas fundações, principalmente quando

estes esforços são devidos a efeitos sísmicos, proporcionando uma grande vantagem

para cobertura de estruturas pré-existentes.

Os gastos com energia elétrica também podem ser reduzidos. Com o uso de tecidos

translúcidos, pode ser aproveitada a luz natural, reduzindo o uso de iluminação

artificial. Em climas quentes pode se economizar na refrigeração do ambiente, já que

o índice de reflexão do calor do sol é bastante alto.

A facilidade de montagem e de transporte, que possibilitam a utilização em

estruturas móveis, também agilizam o processo construtivo da estrutura. Desde a

fabricação, que pode ser feita em locais distantes e transportada com baixo custo,

até a montagem, que não exige equipamentos de grande porte, devido a leveza da

estrutura.


16

O custo do tecido certamente é muito maior do que o de telhas convencionais, mas

quando são consideradas todas as reduções de custo proporcionadas pelas tenso-

estruturas têxteis, estas se tornam competitivas.

Observando a série de vantagens apresentadas, a tenso-estrutura têxtil parece ser a

solução ideal para coberturas de grandes vãos, mas isso não reflete a realidade da

indústria da construção civil já que a principal desvantagem está associada às

incertezas em relação ao envelhecimento de materiais compósitos poliméricos

expostos aos raios ultravioletas, portanto em relação ao custo/durabilidade.

Contudo, dois fatores realmente dificultam a utilização do tenso-têxtil no Brasil: o

custo elevado dos tecidos importados de alta qualidade, duráveis e resistentes ao

fogo e o reduzido número de engenheiros com experiência no projeto, na fabricação

e na montagem desse tipo de estruturas, além da falta de ferramentas

computacionais abertas desenvolvidas no país, para que os projetistas brasileiros

possam conceber uma tenso-estrutura têxtil e analisar o desempenho final pós-

montagem e tensionamento.

3 ⋅ Projeto e Fabricação de uma Tenso-estrutura têxtil

17


3Projeto e Fabricação de uma Tenso-estrutura têxtil

3.1 Projeto

Num empreendimento moderno, é aconselhável que todos os profissionais ligados a

um projeto sejam reunidos em uma grande equipe. Com esta organização,

engenheiros e arquitetos podem analisar previamente características estruturais

importantes, como a locação das fundações, dimensões adequadas dos

componentes, criando projetos mais funcionais e de menor custo total.

No caso das tenso-estruturas têxteis esta interação é imprescindível, já que

praticamente todas as decisões do engenheiro estrutural afetam a forma final da

estrutura espacial. Mastros são deixados aparentes, cabos cruzam o ambiente, até a

posição das costuras marcam a membrana, principalmente se esta for translúcida.

Mesmo a forma geométrica, normalmente pré-definida pelos arquitetos, deve ser re-

definida de maneira precisa pelos engenheiros.


18

O projeto de uma tenso-estrutura têxtil engloba três fases inexistentes no projeto

estrutural convencional. Uma é a definição da forma espacial final, que deixa de ser

de responsabilidade exclusiva do arquiteto e passa a ter a colaboração do

engenheiro. A segunda é a definição dos padrões ou moldes de corte, que talvez

pudesse ser considerada uma tarefa exclusiva do fabricante, mas tem grande

influência no comportamento estrutural e depende de resultados de cálculos que

não são conhecidos pelo fabricante, tal como o campo de tensões. A terceira fase do

projeto é a remontagem dos pedaços de tecido planos na estrutura espacial

tensionada. Por fim a estrutura deve ser verificada como uma estrutura

convencional, analisando tensões nos tecidos e os esforços nos cabos de bordo, nos

cabos estais, nas estruturas de apoio e nas fundações. A figura 3-1 ilustra esse

processo.

Apesar desta definição de cada etapa separadamente, tanto a análise estrutural pode

indicar a necessidade de se refazer o primeiro passo, como a definição de padrões de

corte também pode indicar a necessidade de se refazer as duas análises anteriores.

A definição dos padrões de corte determina as direções das fibras do tecido, o que

pode tornar necessária uma reanálise da estrutura, considerando as características

ortotrópicas do material.

Esta recorrência de etapas projetivas pode tornar o processo muito trabalhoso, por

isso há a necessidade de criação de uma ferramenta computacional capaz de efetuar

cada uma das etapas e de interagir com os resultados das outras etapas.


19

Figura 3-1 – Processo projetivo de uma tenso-estrutura têxtil.


20

3.2 Detalhamento para Fabricação

O detalhamento da estrutura de suporte e do próprio tecido, se comparados com

estruturas correntes, são complexos. Numa estrutura convencional os ângulos de

ligação entre os diversos elementos da estrutura são bem definidos, muitas vezes são

ângulos retos, possibilitando a utilização de detalhes padronizados, de fácil

execução.

No detalhamento da tenso-estrutura deve ser dada uma atenção especial às ligações

da estrutura, sejam entre pedaços de tecido (costuras), entre tecido e cabos, entre

outras. Se não for tomado o devido cuidado, nestes pontos de concentração de

tensões podem ser criados pontos frágeis. Em alguns casos o detalhe ainda

possibilita a aplicação da protensão necessária no tecido e nos cabos, e até um

posterior re-tensionamento por perda de protensão, como o caso mostrado nas

figuras 3-2.

Figura 3-2– Detalhe para re-tensionamento[53].

A vedação da estrutura também pode gerar um problema de detalhamento quando

há um encontro da estrutura têxtil flexível com uma parede, neste ponto há uma

grande diferença de deslocamento da membrana e da parede, que é praticamente

nulo. Para solucionar este problema são usados elementos flexíveis, que vedam este

espaço entre a fachada e a membrana, figura 3-3.


21

Figura 3-3 – Detalhe para vedação[53].

Os pedaços de tecido cortados têm que ser unidos para formar a superfície da

cobertura. Essa união pode ser soldada, colada ou costurada. É importante que a

emenda transmita os esforços de membrana no tecido, afetando o mínimo possível

o comportamento global da estrutura. A resistência desta ligação é influenciada por

fatores como a adesão da matriz e a largura da emenda, que varia de 25 a 50 mm

para materiais com PVC e de 50 a 75 mm para silicone e PTFE[55].

Figura 3-4– União colada[75].

Figura 3-5– União costurada[75].


22

As figuras 3-6 e 3-7 apresentam outros detalhes típicos de ligação entre a estrutura

de apoio e o tecido, entre cabos e o tecido e entre cabo e estrutura. A primeira

apresenta, em amarelo, um detalhe interessante de um elemento de proteção para

canalizar a água, já a segunda apresenta um recorte feito usualmente nos cantos do

tecido para evitar a concentração de tensões nesses pontos, além de ilustrar as

ligações entre os cabos, estrutura de apoio e o tecido.

Figura 3-6– Ligação cabo-tecido[75].

Figura 3-7– Ligação estrutura-tecido-cabos[75].

3.3 Características dos tecidos

Nesta seção é feita uma breve descrição dos tecidos empregados em tenso-

estruturas, apresentando-se os tipos mais utilizados, suas principais características

físicas e algumas técnicas experimentais para determiná-las.


23

Os tecidos comumente utilizados são compostos por fibras e uma matriz. Apesar de

existirem tecidos sem a matriz, é mais comum utilizar os dois materiais. Existe ainda

a possibilidade de utilizar membranas poliméricas sem a presença de fibras.

As fibras normalmente não são nem longas, nem espessas o suficiente para que

possa ser usada diretamente no tecido, por tanto as fibras têm que ser unidas em

fios. Existem várias formas de unir as fibras, podendo ser dispostas paralelamente

ou torcidas juntas. O fio produzido pelas fibras torcidas tem uma rigidez axial

menor do que o outro, mas tem uma menor rigidez à flexão.

Os fios por sua vez devem ser combinados para produzir uma malha. Os fios

podem ser tecidos (figura 3-8 a) ou dispostos em camadas de fios paralelos

sobrepostas (figura 3-8 b).

(a) (b)

Figura 3-8 – Arranjo dos fios no tecido. (a) fios tecidos (b) fios sobrepostos

No primeiro caso, percebe-se a presença de fios retilíneos, que formam a urdidura e

são inicialmente esticados. Os outros fios, que formam a trama, são então

entrelaçados nos fios da urdidura como mostrado na figura 3-8 a. No segundo caso

os fios são apenas sobrepostos antes da aplicação da matriz.

Para o caso dos fios tecidos tem-se uma espessura maior, aproximadamente três

vezes o diâmetro de fio, enquanto no outro apenas duas vezes, assim o primeiro

apresenta um maior consumo da matriz. Além disso, as ondulações criadas nos fios


24

alteram as características mecânicas, criando um comportamento ortotrópico

acentuado.

Outros fatores ainda podem variar como o diâmetro dos fios, a quantidade de fios

por metro, o afastamento entre eles, o ângulo entre os fios da trama e da urdidura.

As variações desses parâmetros alteram as seguintes características:

• Adesão mecânica à matriz;

• Resistência ao rasgamento;

• Resistência à tração unidirecional e bi-direcional;

• Rigidez extensional;

Dentre os tipos de fibra, destacam-se quatro mais utilizadas: nylon, poliéster,

aramida, fibra de vidro. Esta última tem como vantagens a grande resistência à

tração, módulo de elasticidade elevado e resistência aos raios ultravioleta. Como

desvantagem a sua fragilidade que exige cuidados no transporte e montagem para

evitar dobramentos no tecido.

A malha criada com as fibras e não revestida com a matriz pode ser utilizada mais

convenientemente em estruturas temporárias em que não se exija a resistência às

intempéries. Para estruturas permanentes são empregados tecidos revestidos com

matriz polimérica (figura 3-9). A aplicação pode ser feita pelo derramamento da

matriz líquida sobre a malha e esperar a cura ou polimerização. A matriz pode ser

espalhada com uma espátula e pressionada contra o tecido, ou ainda pode ser

laminada.


25

Figura 3-9 – Tecido simples com aplicação da matriz.

As principais opções de material para a matriz são as seguintes:

• Policloreto de Vinila (Policloroetileno ou PVC ) – Resistente à luz

ultravioleta, usado com nylon e polyester;

• Politetrafluoretileno (PTFE ou Teflon) – Usado com fibras de vidro.

Quimicamente inerte, resistente à umidade, microorganismos e a chamas.

O têxtil resultante tem alta resistência à tração e alto módulo de

elasticidade, sendo mais caro que o tecido com matriz de PVC;

• Silicone – Também usado com fibras de vidro e tem características muito

próximas as do PTFE com fibra de vidro;

3.3.1 Resistência ao rasgamento

Essa característica dos tecidos mede a sua capacidade de resistir à propagação de um

rasgamento, que pode ter sido iniciado por acidente ou vandalismo. Existem vários

testes para determinar a resistência e cada uma das formas de rasgamento, que

podem ser vistos na figura 3-10.


26

Figura 3-10 – Ensaio de resistência ao rasgamento[55].

(a) Tongue tear test (b) Teste trapezoidal (c) Teste axial com rasgo central

Como a maioria dos colapsos de tenso-estruturas têxteis ocorre por rasgamento,

deve se dar uma atenção especial a esse modo de falha que reduz drasticamente a

resistência do tecido. Há uma relação importante entre a resistência à tração e ao

rasgamento dos tecidos, sendo que o aumento da resistência à tração pode levar a

uma redução da resistência ao rasgamento.

3.3.2 Resistência ao dobramento

Desde a fabricação do tecido até fase final de montagem da cobertura tenso-têxtil o

tecido passa por várias etapas de manuseio, tais como embalagem, desembalagem,

transporte, montagem, entre outras. Todo esse manuseio pode danificar o tecido,

principalmente os que têm fibras frágeis, como as de vidro. Uma das formas de

testar a resistência ao dobramento é repetir várias vezes o dobramento utilizando o

equipamento mostrado na figura 3-11.


27

Corpo de prova

Eixo

Equipamentode teste

Figura 3-11 – Ensaio de resistência ao dobramento [55].

3.3.3 Variação dimensional

A variação dimensional dos tecidos tem grande importância porque a mudança nas

dimensões do tecido altera a distribuição de tensões, podendo provocar

enrugamentos na superfície. Vários fatores podem influenciar a variação

dimensional, o processo de fabricação, a presença de água, além da temperatura.

A absorção de água por capilaridade nos fios altera as dimensões do tecido. A

intensidade desse efeito varia de um material para outro, sendo que o nylon é mais

susceptível a esse fenômeno do que o poliéster.

As deformações permanentes que ocorrem no tecido, principalmente após o

primeiro carregamento, têm efeito parecido com as outras formas de alteração das

dimensões. Algumas técnicas são usadas para minimizar esse efeito, como deformar

o tecido antes da montagem, ou tracionar a trama durante o processo de tecelagem.

3.3.4 Fluência/relaxação

Os tecidos apresentam uma relaxação acentuada. Ensaios feitos por SAITOH e

KUROKI [52], apud [25], com tecidos de PTFE com fibra de vidro, mostraram que

em 48 h as tensões reduziram 50%, para testes de relaxação biaxial. SAITOH[51]

também fez medidas de relaxação de longo prazo numa estrutura do Tsukuba

EXPO '85, identificando uma perda de 48% da tensão inicial após um ano.


28

A relaxação altera a distribuição das tensões no tecido e pode levar ao

destensionamento e enrugamento do tecido.

3.3.5 Resistência ao Fogo

A resistência ao fogo é também muito questionada, mas os resultados apresentados

pelos fabricantes para os testes de resistência ao fogo especificadas pela ASTM (E-

84, E-108 e E-136 [2, 3, 4] ), qualificam o material para serem usados em

construções do Tipo IITP

1PT, segundo a classificação de resistência a fogo do UBC

(Uniform Building Code).

Tabela 3-1 - Resistência ao Fogo [69].

Propriedades SHEERFILL IVA SHEERFILL V

Propagação de Chama (ASTM E-84) 5 max 0 max

Substratos incombustíveis (ASTM E-136) Aprovado Aprovado

Classificação quanto à resistência a fogo

de coberturas (ASTM E-108)

Classe A Classe A

3.3.6 Resistência à tração

Os testes de resistência aos esforços extensionais têm grande importância para a

caracterização dos tecidos, determinando resistência à tração, módulo de

elasticidade, coeficiente de Poisson, além de ductilidade, tenacidade, entre outros.

Os ensaios podem ser uniaxiais ou biaxiais (figura 3-12). O primeiro é bastante

usado para caracterizar o material, definindo tensão de ruptura, módulo de

elasticidade, entre outros. O bi-axial se aproxima mais dos carregamentos reais, com

tensões nas duas direções.

TP

1PT Para obter esta classificação os materiais que compõem o tecido têm que ser classificados como

incombustíveis pela ASTM E-136 e terem o valor de propagação de chama menor que 50, ASTM E-84.


29

Corteslongitudinais

Figura 3-12 – Corpo de prova para teste axial e bi-axial [55].

Figura 3-13 – Arranjo para teste bi-axial [57].

Exemplos de resultados obtidos em ensaios cruciformes, ou biaxiais, são

apresentado na figura 3-14, onde as relações entre as tensões nas duas direções são

indicadas (por exemplo 1:1), sendo que o primeiro valor representa o fator de

tensão na urdidura e o segundo na trama.


30

Trama1:2 Trama

0:1

Trama2:1

Trama1:1

Urdume1:0

Urdume2:1

Urdume1:1

Tensão (kN/m)

Deformação

30

20

10

0

1° Carregamento2° Carregamento3° Carregamento

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08

Figura 3-14 – Curva tensão-deformação para tecido de fibra de vidro com

PTFE[55].

Em função da própria constituição do tecido, formado por fios dispostos de modo

diferente nas duas direções, da urdidura e da trama, o seu comportamento tem

ortotrópia acentuada, respondendo de modo diferente à aplicação de cargas em cada

uma das direções.

A não linearidade dos tecidos também fica bastante evidenciada, sendo que a curva

tensão x deformação não apresenta nenhum intervalo linear. Além de ser não linear, o

comportamento também não é elástico, a não ser após vários ciclos de

carregamento [55]. Apesar dessas características, no presente trabalho será feita uma

modelagem elástica linear, já que as tensões de serviço são bastante pequenas, cerca

de 10% da tensão de ruptura do tecido.

Os ensaios biaxiais também mostram grandes diferenças nas curvas

tensão x deformação para as diferentes relações entre as tensões na trama e na urdidura.

Essa resistência à tração também pode não ser determinante para o desempenho do

tecido, uma vez que a resistência ao rasgamento pode limitar o valor das cargas.

Como o aumento da resistência à tração diminui a resistência ao rasgamento, chega-


31

se a um certo ponto em que o aumento da resistência à tração piora o desempenho

do tecido.

Outros fatores podem alterar a resistência à tração do tecido. Umidade e ataques

ultravioleta podem degradar o material, diminuindo sua resistência à tração. A

intensidade que ocorre essa degradação varia em função dos materiais das fibras e da

matriz.

A tabela 3-2 apresenta características determinadas pelo fabricante para dois tipos

diferentes de tecido.

Tabela 3-2 - Características mecânicas típicas[69].

Propriedades SHEERFILL I SHEERFILL II

Peso do tecido, kgf/m P

2P.

(ASTM 4851-88)

1,54 1,31

Espessura, mm.

(ASTM 4851-88)

0,914 nominal 0,762 nominal

Tração da tira, kN/m

(Velocidade do ensaio:

50.8 mm/min.)

(ASTM 4851-88)

A seco, Urdidura

A seco, Trama

171 média min.

158 média min.

137 média min.

98 média min..

Rasgamento Trapezoidal,

kN/m. (ASTM 4851-88)

Urdidura

Trama

17 média min.

21 média min.

12 média min.

11 média min.


32

3.3.7 Durabilidade

Os primeiros materiais utilizados em coberturas têxteis se deterioravam com

facilidade, isso reforçava o conceito que as estruturas feitas com tecido são

destinadas a construções temporárias e pouco resistentes aos efeitos do tempo. Mas,

atualmente, existem tecidos próprios para estruturas permanentes, de alta

durabilidade, que são garantidos por 20 anos ou mais [69]. A avaliação da resistência

de estruturas reais com até 20 anos tem mostrado que esses novos tecidos mantêm

níveis de resistência acima de 70% da resistência original (figura 3-15).

Figura 3-15 – Projeção da resistência a tração (tempo em anos)[64].

A figura 3-16 mostra que para diferentes tipos de material a durabilidade pode variar

bastante.

Figura 3-16 – Degradação da resistência por ataque ultravioleta [55].


33

Além da qualidade do tecido, outros fatores influenciam na durabilidade do tecido.

• Tensões localizadas elevadas, não observadas na análise podem levar ao

rasgamento do tecido;

• Deve-se dar uma atenção especial aos detalhes de todas as

descontinuidades do tecido, como costuras, ligações com cabos e

estruturas de apoio. Nesses pontos há a tendência de haver concentração

de tensões e abrasão do tecido. Deve-se detalhar a estrutura de apoio para

evitar que haja contato entre o tecido e partes pontiagudas da estrutura;

• Devido a pouca resistência dos tecidos a objetos cortantes ou

perfurantes, este tipo de estrutura é muito susceptível a atos de

vandalismo.

3.3.8 Absorção de energia solar

Pode parecer paradoxal que o material permeável à energia luminosa também seja

eficiente para evitar que o Sol aqueça o ambiente, mas isso pode ser explicado pela

baixa absorção de energia do tecido, como pode ser visto na tabela 3-3 e está

ilustrado na figura 3-17.


34

Tabela 3-3 – Efeito da luz do sol [55], [69].

Tipo 1 Tipo 2 Tipo 3 Tipo 4

Reflexão 10-50% 30-75% 65-75% 60-65%

Absorção 50-90% 13-68% 13-19% 12-20%

Transmissão 0 2-12% 6-22% 15-28%

Tipo 1 – Cobertura convencional

Tipo 2 – Tecido de Policloreto de Vinila (PVC)

Tipo 3 – Tecido de Politetrafluoretileno (PTFE ou Teflon) com fibra de vidro

Tipo 4 – Tecido de Silicone com fibra de vidro

LuzSolarEnergia refletida

InteriorCoberturaExterior

Energia transmitida

Energia absorvida

Energia irradiada

Energia irradiada

Figura 3-17 – Esquema de transmissão, absorção, reflexão e irradiação da energia

[64].

3.4 Métodos de cálculo

Numa tenso-estrutura têxtil, não só a protensão, mas também a forma é

extremamente importante para evitar o aparecimento de esforços compressivos. A

definição da forma não depende apenas do arquiteto, mas de uma interação entre

este e o engenheiro projetista, para que a geometria espacial seja estruturalmente

eficiente e atenda às necessidades estéticas e de espaço interno.

Uma vez definida a forma, tem que ser resolvido um novo problema: como

produzir esta superfície espacial a partir de pedaços planos de tecido? E como


35

determinar a correta geometria dos moldes para corte desses pedaços planos de

tecido? Para tanto, têm que ser definidas as linhas de corte e tem que ser feito um

mapeamento da estrutura espacial em duas dimensões, levando em conta o campo

de tensões que se deseja alcançar após a montagem global da estrutura espacial, por

meio das costuras de todos os pedaços planos de tecido.

O projeto segue com a análise estrutural propriamente dita, avaliando, para todas as

condições de carga, os resultados obtidos para deslocamentos, tensões no tecido, e

para os esforços nos cabos e nas estruturas de suporte. Uma observação deve ser

feita em relação ao comportamento não linear das estruturas, que pode aumentar a

complexidade e o tempo de análise, principalmente nos casos com carregamentos

dinâmicos.

O avanço na utilização dos tecidos como elementos estruturais de alto desempenho

foi seguido de uma evolução na análise e no projeto dessas estruturas. Apesar de

existirem outros nomes associados a utilização de tecidos de forma estrutural, Frei

Otto é tido como o precursor da análise de estruturas de membrana tensionadas.

Além de ser pioneiro, ele conseguiu criar bases para o desenvolvimento das tenso-

estruturas têxteis por ter documentado em seus livros[40] os resultados de sua

pesquisa.

No início da década de 70 começaram a aparecer as primeiras publicações de

métodos computacionais para a determinação da forma de tensoestruturas. Os

trabalhos de Barnes [08], apud[05] em 1971, Linkwitz e Schek, em 1971 [32], apud

[54] e de Argyris et al, em 1974 [01] foram as primeiras publicações sobre o

determinação da forma inicial; muitas outras se seguiram e algumas serão melhor

discutidas no capítulo específico.

Assim como no caso da definição da forma inicial, a definição dos moldes para

corte também começou com o uso de modelos físicos, passando depois para

métodos computacionais capazes de produzir resultados mais precisos. Alguns

trabalhos nesta área podem ser citados, tais como o do GRÜNDIG[21] e

MONCRIEFF[37], já no final dos anos 80 e início do anos 90 do século XX.


36

O programa TENSOTEX foi desenvolvido utilizando alguns conceitos já aplicados

por outros autores para estruturas de cabos e de tecidos. Todas as etapas do projeto

podem ser tratadas pelo programa que analisa tenso-estruturas de membranas,

baseado numa formulação não-linear pelo o método dos elementos finitos, que será

descrita no capítulo a seguir.

4 ⋅ Formulação do método dos elementos finitos para membranas e cabos

37


4Formulação do método dos elementos finitos para membranas e cabos

Apresenta-se neste capítulo a formulação do método dos elementos finitos utilizada

para a análise de membranas e cabos. Estruturas planas de membranas são

estruturas essencialmente não-lineares geometricamente, uma vez que só

apresentam rigidez aos carregamentos perpendiculares ao seu plano quando são

considerados efeitos geométricos de segunda ordem na presença de tensões de

tração na superfície média da estrutura. Na fase de determinação da forma espacial

da estrutura, os deslocamentos prescritos aplicados dão origem a grandes

deslocamentos e deformações elevadas. Sendo assim, é importante considerar na

formulação não-linear geométrica o tensor de deformações completo de Green.

Para este fim desenvolveu-se uma formulação Lagrangeana Total para o elemento

isoparamétrico triangular e para o elemento cabo-treliça, ambos com interpolação

linear. Descreve-se a seguir a formulação Lagrangeana Total, particularizada em

seguida para elementos de membrana e cabo-treliça.


38

4.1 Formulação Lagrangeana Total

Seja uma aproximação característica do método dos elementos finitos para o campo

de deslocamentos:

u = ⎝⎜⎜⎛

⎠⎟⎟⎞

uvw

= ∑i=1

nNi⋅ui (4-1)

sendo N Bi B a matriz contendo as funções de interpolação NBi B do nó i e uBi B as incógnitas nodais:

Ni = ⎣⎢⎢⎡

⎦⎥⎥⎤Ni 0 0

0 Ni 00 0 Ni

; ui = ⎝⎜⎜⎛

⎠⎟⎟⎞ui

viwi

(4-2)

As deformações, representadas pelo tensor de Green, são iguais a:

ε =

⎝⎜⎜⎜⎛

⎠⎟⎟⎟⎞

εx

εy

εz

γyz

γzx

γxy

= ε0 + ε1 (4-3)

onde ε B0 B e ε B1 B são as parcelas lineares e não lineares das deformações:

ε0 =

⎩⎪⎨⎪⎧

⎭⎪⎬⎪⎫

u,xv,yw,z

v,z + w,yw,x + u,zu,y + v,x

(4-4)

Aε1 =

⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧

⎭⎪⎪⎬⎪⎪⎫

12( )u2

,x + v2,x + w2

,x

12( )u2

,y + v2,y + w2

,y

12( )u2

,z + v2,z + w2

,z

u,z⋅u,y + v,z⋅v,y + w,z⋅w,y

u,x⋅u,z + v,x⋅v,z + w,x⋅w,z

u,x⋅u,y + v,x⋅v,y + w,x⋅w,y

E EA (4-5)


39

As deformações podem ser escritas na forma matricial

ε=⎣⎢⎡

⎦⎥⎤B0+

12⋅B1(u) ⋅u (4-6)

Variando a expressão acima obtém-se os incrementos de deformação:

δε = [ ]B0 + B1(u) = B(u)⋅δu (4-7)

As tensões de Piola-Kirchoff são iguais a:

σ =

⎝⎜⎜⎜⎛

⎠⎟⎟⎟⎞

σx

σy

σz

τyz

τzx

τxy

= D⋅ε (4-8)

sendo D a matriz constitutiva do material.

Como são desprezados os efeitos de não-linearidade física, da primeira variação de

(4-8) resulta:

δσ = D⋅δε (4-9)

As equações de equilíbrio da estrutura são representadas por

Ψ(u) = P(u) - F = 0 (4-10)

onde F é o vetor de forças externas, P(u) são as forças internas, definida pela

integral no domínio Ω

AP(u) = ⌠⌡Ω

BT⋅σdEΩ EA (4-11)

e Ψ(u) é o resíduo, que deve ser nulo quando a estrutura se encontra em equilíbrio.

Expandindo o resíduo Ψ(u) em série de Taylor na vizinhança de uma configuração

P

nPu obtém-se:


40

Ψ(n+1u) = Ψ(nu+n∆u) = Ψ(nu) + ∂Ψ(nu)

∂u⋅ n∆u + … = 0 (4-12)

Desprezando-se os termos de ordem maior que um, a expressão acima se reduz a

Ψ(nu) + KT⋅ n∆u = 0 (4-13)

onde K BTB é a matriz de rigidez tangente

KT = ∂Ψ(nu)

∂u (4-14)

A matriz K BTB pode ser obtida através da variação:

AδΨ(u) = ⌠⌡Ω

δBT⋅σdΩ + ⌠⌡Ω

BT⋅δσdΩ = KT⋅δuE EA (4-15)

Considerando que

A

⌠⌡Ω

BT⋅δσdΩ = ⌠⌡Ω

BT⋅D⋅BdΩ⋅δu =E EA (4-16)

e ainda

B(u)= B0 + B1(u) (4-17)

a segunda parcela de (4-15) pode ser escrita na forma

A

⌠⌡Ω

BT⋅δσdΩ = ⎝⎜⎛

⎠⎟⎞⌠

⌡Ω

B0T⋅D⋅B0dΩ + ⌠⌡

Ω

(B0T⋅D⋅B1+B1

T⋅D⋅B0)dΩ + ⌠⌡Ω

B1T⋅D⋅B1dΩ δuE EA (4-18)

ou ainda, de forma compacta:

A

⌠⌡Ω

BT⋅δσdΩ = ( )K0+K1+K2 δEu EA (4-19)

onde

AK0=⌠⌡Ω

B0T⋅D⋅B0dΩ E EA (4-20)

AK1= ⌠⌡Ω

(B0T⋅D⋅B1+B1

T⋅D⋅B0)dEΩ EA (4-21)


41

AK2 = ⌠⌡Ω

B1T⋅D⋅B1dΩ E EA (4-22)

A primeira parcela de (4-15) contém a matriz geométrica, ou matriz de tensões

iniciais K Bσ B:

A

⌠⌡Ω

δBT⋅σdΩ = Kσ δEuEA (4-23)

Finalmente, chega-se a expressão:

δΨ = ( )K0+K1+K2+Kσ δu = KTδu (4-24)

Portanto, uma vez conhecidas as matrizes B e K Bσ B, podem-se obter a matriz tangente

K BTB e o vetor de forças internas. Os procedimentos para a obtenção de B e K BTB são

descritos a seguir

4.1.1 Obtenção forças internas e da matriz tangente K BT B

Devido à característica das funções de interpolação utilizadas no MEF, as integrais

definidas em todo o domínio Ω são, na prática, efetuadas a nível de elemento

(domínio AΩeE

EA). Isto significa que as matrizes são calculadas elemento por elemento e

posteriormente são montadas globalmente ou não, dependendo da estrutura de

dados utilizadas para armazenamento das matrizes. Portanto, para obter as matrizes

B e K BTB a nível de elemento, é necessário definir o campo de deslocamentos para um

elemento genérico e

Aue = Ne⋅UeE EA (4-25)

sendo ANeE

EA as funções de interpolação do elemento e AUeE

EA o vetor dos deslocamentos

dos n nós do elemento.

ANe = [ ]N1 … Ni … Nn E EA (4-26)()

AUe = ( ) u1, v1, w1, …, un, vn, wnTE

EA (4-27)


42

No que se segue, todas as matrizes, vetores e integrais referem-se a um elemento

genérico. Por simplicidade e clareza do texto omite-se o índice e, com exceção do

símbolo AΩeE

EA que se refere ao domínio do elemento.

A matriz B, definida em (4-17), é separada em duas parcelas B B0 B e B B1 B. A matriz B B0 B

não depende dos deslocamentos e é composta pelas derivadas das funções de

interpolação,

B0 = [ ]B01 … B0i … B0n (4-28)

B0i =

⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡

⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤∂Ni

∂x 0 0

0 ∂Ni∂y 0

0 0 ∂Ni∂z

0 ∂Ni∂z

∂Ni∂y

∂Ni∂z 0

∂Ni∂x

∂Ni∂y

∂Ni∂x 0

(4-29)

A matriz B B0 B fornece a relação entre os deslocamentos e a parcela linear ε B0 Bdas

deformações.

ε0 =B0⋅U (4-30)

Similarmente, a parcela não linear das deformações pode ser escrita na forma:

ε1 =12B1⋅U (4-31)

ou equivalentemente,

ε1 = 12⋅ζ⋅η (4-32)


43

sendo,

Aζ = ⎣⎢⎡

⎦⎥⎤ξx 0 0 0 ξz ξy

0 ξy 0 ξz 0 ξx

0 0 ξz ξy ξx 0

T

E EA (4-33)

η = ⎩⎨⎧

⎭⎬⎫ξx

ξy

ξz

(4-34)

ξx =⎩⎪⎨⎪⎧

⎭⎪⎬⎪⎫

u,x v,x w,x

; ξx = ∂∂xN⋅U; ξx = Θx⋅U; (4-35)

ξy =⎩⎪⎨⎪⎧

⎭⎪⎬⎪⎫

u,y v,y w,y

; ξy = ∂∂yN⋅U; ξy = Θy⋅U; (4-36)

ξ,z =⎩⎪⎨⎪⎧

⎭⎪⎬⎪⎫

u,z v,z w,z

; ξz = ∂∂zN⋅U; ξz = Θz⋅U; (4-37 )

Empregando as notações

Θx = ∂∂xN (4-38)

Θy = ∂∂yN (4-39)

Θz = ∂∂zN (4-40)

Θ = ⎩⎨⎧

⎭⎬⎫Θx

Θy

Θz

(4-41)

Pode-se escrever

η = Θ⋅U (4-42)

ε1 = 12 ζ⋅Θ⋅U (4-43)


44

Comparando a expressão anterior com (4-31) conclui-se que:

B1 = ζ⋅Θ (4-44)

Deste modo, são obtidas as forças internas no elemento:

AP(U) = ⌠⌡Ω

eBT⋅σdΩ eE

EA (4-45)

com

B(U)= B0 + B1(U) (4-46)

A matriz geométrica K Bσ B é obtida a partir da equação (4-23), escrita para um

elemento genérico:

AKσ δu = ⌠⌡Ω

e

δBT⋅σdΩeE EA (4-47)

como B B0 B não depende de u, a primeira variação de B é dada por

δB= δB1 (4-48)

Utilizando a relação (4-44) e substituindo o resultado acima em (4-47) obtém-se

AKσ δu = ⌠⌡Ω

e

ΘT⋅δζT⋅σdΩeE

EA (4-49)

definindo a matriz de tensões iniciais, τ:

Aτ = ⎣⎢⎡

⎦⎥⎤σx⋅I3 τxy⋅I3 τxz⋅I3

τyx⋅I3 σy⋅I3 τyz⋅I3

τzx⋅I3 τzy⋅I3 σz⋅I3

E EA (4-50)

pode-se fazer a seguinte transformação

δζT⋅σ = τ Θδu (4-51)

onde I B3 B representa a matriz identidade de ordem 3.


45

Substituindo (4-51) obtém-se a matriz geométrica

AKnσ = ⌠⌡

Ωe

( )ΘT⋅τ⋅Θ dΩeE

EA (4-52)

4.1.2 Matrizes para o elemento de membranas espaciais

O elemento utilizado para a modelagem de membranas espaciais é o elemento

triangular de interpolação linear para os deslocamentos u, v e w, referidos à um

sistema de eixos locais x, y e z,

Aue = ⎩⎪⎨⎪⎧

⎭⎪⎬⎪⎫u

vw

E EA (4-53)

Aue = N⋅UE EA (4-54)

sendo N a matriz de funções de interpolação e U os deslocamentos nodais do

elemento:

N = ⎣⎢⎢⎡

⎦⎥⎥⎤N1 0 0 N2 0 0 N3 0 0

0 N1 0 0 N2 0 0 N3 00 0 N1 0 0 N2 0 0 N3

(4-55)

U =

⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧

⎭⎪⎪⎬⎪⎪⎫

u1v1w1 u2v2w2 u3v3w3

(4-56)


46

X

Z

y

z

x

u1

u3

u2

v1

v3

v2

w1

w3

w2

Y

Figura 4-1 – Graus de liberdade locais do elemento de membrana.

As funções de interpolação são obtidas a partir de:

N1 = x2⋅y3 - x3⋅y2 + ( )y2-y3 ⋅x+( )x3-x2 ⋅y

2∆ (4-57)

N2 = x3⋅y1 - x1⋅y3 + ( )y3-y1 ⋅x+( )x1-x3 ⋅y

2∆ (4-58)

N3 = x1⋅y2 - x2⋅y1 + ( )y1-y2 ⋅x+( )x2-x1 ⋅y

2∆ (4-59)

sendo xBi B e yBi B as coordenadas nodais e ∆ a área do elemento:

∆ = 12

⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪1 x1 y1

1 x2 y21 x3 y3

(4-60)

O campo de deformações é dado por.

Aε = ⎩⎨⎧

⎭⎬⎫εx

εy

γxy

=

⎩⎪⎨⎪⎧

⎭⎪⎬⎪⎫

∂u∂x

∂v∂y

∂u∂y +

∂v∂x

+

⎩⎪⎨⎪⎧

⎭⎪⎬⎪⎫

12⎣⎢⎡

⎦⎥⎤

⎝⎜⎛

⎠⎟⎞∂u

∂x

2

+ ⎝⎜⎛

⎠⎟⎞∂v

∂x

2

+ ⎝⎜⎛

⎠⎟⎞∂w

∂x

2

12⎣⎢⎡

⎦⎥⎤

⎝⎜⎛

⎠⎟⎞∂u

∂y

2

+ ⎝⎜⎛

⎠⎟⎞∂v

∂y

2

+ ⎝⎜⎛

⎠⎟⎞∂w

∂y

2

∂u∂x

∂u∂y +

∂v∂x

∂v∂y +

∂w∂x

∂w∂y

E EA (4-61)


47

e o campo de tensões:

σ = D⋅ε = ⎩⎨⎧

⎭⎬⎫σx

σy

τxy

(4-62)

A matriz B B0 B se reduz a

B0 = [ ]B01 B02 B03 (4-63)

B0i =

⎣⎢⎢⎡

⎦⎥⎥⎤∂Ni

∂x 0

0 ∂Ni∂y

∂Ni∂x

∂Ni∂y

(4-64)

e a parcela não-linear, B B1 B fica igual a:

B1 = ζ⋅Θ (4-65)

onde

Aζ = ⎣⎢⎡

⎦⎥⎤ξx 0 ξy

0 ξy ξx

T

E EA (4-66)

Θ = ⎩⎨⎧

⎭⎬⎫Θx

Θy (4-67)

Θx =∂N∂x =

⎣⎢⎢⎡

⎦⎥⎥⎤∂N1

∂x 0 0 ∂N2 ∂x 0 0

∂N3 ∂x 0 0

0 ∂N1 ∂x 0 0

∂N2 ∂x 0 0

∂N3 ∂x 0

0 0 ∂N1 ∂x 0 0

∂N2 ∂x 0 0

∂N3 ∂x

(4-68)

A matriz de tensões iniciais é

Aτ = ⎣⎢⎡

⎦⎥⎤σx⋅I3 τxy⋅I3

τyx⋅I3 σy⋅I3E EA (4-69)

Com as equações (4-67) e (4-69) obtém-se a matriz geométrica do elemento:

AKσ = ( )ΘT⋅τ ⋅Θ ⌠⌡Ω

e

dΩ e = ΘT⋅τ⋅Θ⋅∆⋅tE EA (4-70)

Onde t é a espessura do elemento.


48

Com as expressões acima, as matrizes do elemento ficam completamente definidas:

KT = K0+K1+K2+Kσ (4-71)

AP(U) = ⌠⌡Ω

eBT⋅σdΩ eE

EA (4-72)

Para rotacionar a matriz definida no referencial local para o global efetua-se a

seguinte operação:

AKTG =RT⋅KT⋅EREA (4-73)

PG =R⋅P (4-74)

Para a calcular da matriz de rotação R é necessário definir o sistema de eixos locais a

ser adotado.

Primeiro será definido o eixo local x como sendo na direção e sentido do primeiro

nó(i) para o segundo (j).

Ax =( λxX λxY λxZ) = ij→

⎪⎪ ⎪⎪ij→ E EA (4-75)

O vetor z é definido perpendicular ao plano do elemento, portanto pode ser

calculado pelo produto vetorial entre dois vetores não paralelos pertencentes ao

plano:

Az =( λzX λzY λzZ) = ij→× ik→

⎪⎪ ⎪⎪ij→× ik→E EA (4-76)

O vetor y é definido pelo seguinte produto vetorial:

y =( λyX λyY λyZ) = z × x)) (4-77)

Assim pode ser definida a matriz de rotação como:

R = ⎣⎢⎢⎡

⎦⎥⎥⎤

L 0 00 L 00 0 L

(4-78)


49

L = ⎣⎢⎢⎡

⎦⎥⎥⎤λ 0 0

0 λ 00 0 λ

(4-79)

λ = ⎣⎢⎡

⎦⎥⎤λx'x λx'y λx'z

λy'x λy'y λy'z

λz'x λz'y λz'z

(4-80)

4.1.3 Comparações com outras formulações

No processo de deformação de forma a relação tensão/deformação do material se

mantém linear, mesmo quando a estrutura é submetida a grandes deformações. Esta

situação é fictícia, portanto os resultados numéricos não podem ser comparados

com experimentais.

Existe um tipo de ensaio, feito para materiais elásticos especiaisTP

*PT, que será usado

para comparar a formulação proposta com outras e é apresentado a seguir.

Seja a placa fina retangular, mostrada na Figura 4-2, com dois bordos restritos e dois

bordos livres,

a

by

x

Figura 4-2 – Geometria indeformada.

Impondo-se deslocamentos a um dos bordos restritos chega-se à seguinte

configuração:

TP

*PT Materiais que podem experimentar deformações elásticas finitas sem apresentar deformações permanentes.


50

a

bε

y

x

Figura 4-3 – Geometria deformada.

Como os resultados que existem são para materiais hiper-elásticos, foi feita uma

comparação entre quatro modelagens numéricas:

• Elemento de membrana desenvolvido;

• Elemento de membrana do ANSYS(SHELL41);

• Elemento de casca de oito nós[50];

• Elemento de casca do ANSYS(SHEL181);

Para a criação do modelo numérico tirou-se partido da dupla simetria, modelando

apenas um quarto da membrana resultando o seguinte modelo:

a/2

b/2y

x Figura 4-4 – Condições de contorno

E os deslocamentos prescritos serão aplicados no bordo totalmente restrito. Tanto

para os modelos do ANSYS como para o elemento de membrana proposto a


51

discretização foi a mesma, apenas para o elemento de casca quadrangular de 8 nós a

discretização teve que ser diferente.

Figura 4-5 – Malha de elementos

triangulares.

Figura 4-6 – Malha de elementos

quadriláteros.

As figuras a seguir mostram as deformadas obtidas para cada um dos casos,

plotando-se ainda o campo escalar de deslocamentos transversais, na direção y.

Figura 4-7 - Elemento proposto.

Figura 4-8 - Elemento de casca quadrilátero.


52

Figura 4-9 - Elemento do ANSYS de membrana.

Figura 4-10 - Elemento do ANSYS de casca.

Pode-se perceber que os valores de deslocamentos na dir. y estão bastante próximos

para os três primeiros casos, só havendo uma certa diferença no último caso do

ANSYS.

Pode ser mostrada ainda uma outra comparação, superpondo num gráfico

(Figura 4-11) as curvas de reações resultantes, no bordo x=b/2, em função dos

deslocamentos impostos neste mesmo bordo. Com este gráfico pode ser visto com

clareza o comportamento não-linear da estrutura.


53

Curva Deslocamentos x Reações

0

100

200

300

400

500

600

700

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Deslocamento imposto

Rea

ções

Membranda proposta Casca - Ribeiro ANSYS - membrana ANSYS - casca Figura 4-11 – Comparação das curvas Deslocamento x Reação.

Notam-se nos gráficos da figura 4-11 total correlação entre os resultados obtidos

com o elemento aqui proposto e o de RIBEIRO [50]. Para o elemento de

membrana aqui desenvolvido, que não considera a variação de espessura há uma

variação volumétrica que tem como conseqüência o evidente ganho de rigidez. As

grandes discrepâncias observadas entre os resultados obtidos com o elemento de

membrana aqui proposto e os elementos do ANSYS podem ser explicadas como se

segue. A discrepância notada para o elemento de membrana do ANSYS pode ser

explicada pelo fato deste elemento ser formulado dentro da elasticidade linear, como

evidencia a resposta força x deslocamento. Já para o elemento de casca do ANSYS a

discrepância se deve ao efeito da redução da espessura do material considerado na

sua formulação, gerando assim uma perda de rigidez para grandes deformações.

A modelagem, talvez mais refinada, usada para o elemento de casca do ANSYS não

é de importância fundamental no presente trabalho, uma vez que o processo de

grandes deformações modelado é fictício, não tendo estas deformações influência

na forma final da superfície desejada. No entanto, o elemento de membrana linear

não pode ser usado por não levar em conta grandes deformações e deslocamentos,

efeitos esses necessários para a etapa de definição da forma da superfície do tecido.


54

4.1.4 Matrizes para o elemento cabo-treliça

O elemento utilizado para a modelagem de membranas espaciais é o elemento

triangular de interpolação linear para os deslocamentos u, v e w, referidos à um

sistema de eixos locais x, y e z,

Aue = ⎩⎪⎨⎪⎧

⎭⎪⎬⎪⎫u

vw

E EA (4-81)

Aue = N⋅UE EA (4-82)

sendo N a matriz de funções de interpolação e U os deslocamentos nodais do

elemento:

N = ⎣⎢⎢⎡

⎦⎥⎥⎤N1 0 0 N2 0 0

0 N1 0 0 N2 00 0 N1 0 0 N2

(4-83)

u =

⎩⎪⎨⎪⎧

⎭⎪⎬⎪⎫

u1v1w1 u2v2w2

(4-84)

X

Z

y

z

x

u1

u2

v1

v2

w1

w2

Y

Figura 4-12 – Graus de liberdade locais do elemento de cabo-treliça

As funções de interpolação são obtidas a partir de:

N1 = 1 - 1 L⋅x ; N2 =

1 L⋅x (4-85)


55

sendo L o comprimento do elemento:

O campo de deformações é dado por.

Aε = εx = ∂u∂x +

12⎣⎢⎡

⎦⎥⎤

⎝⎜⎛

⎠⎟⎞∂u

∂x

2

+ ⎝⎜⎛

⎠⎟⎞∂v

∂x

2

+ ⎝⎜⎛

⎠⎟⎞∂w

∂x

2

E EA (4-86)

e o campo de tensões:

σ = σx = E⋅εx (4-87)

A matriz B B0 B se reduz a

B0 = ⎣⎢⎡

⎦⎥⎤∂N1

∂x ∂N2

∂x (4-88)

e a parcela não-linear, B B1 B fica igual a:

B1 = ζ⋅Θ (4-89)

onde

ζ = ξx (4-90)

Θ = Θx =∂N∂x =

⎣⎢⎢⎡

⎦⎥⎥⎤∂N1

∂x 0 0 ∂N2 ∂x 0 0

0 ∂N1 ∂x 0 0

∂N2 ∂x 0

0 0 ∂N1 ∂x 0 0

∂N2 ∂x

(4-91)

A matriz de tensões iniciais é

Aτ = [ ]σx⋅I3 E EA (4-92)

Com as equações (4-91) e (4-92) obtém-se a matriz geométrica do elemento:

AKσ = ( )ΘT⋅τ ⋅Θ ⌠⌡Ω

e

dΩ e = ΘT⋅τ⋅Θ⋅A⋅LE EA (4-93)

Onde A é a área de seção transversal do elemento.

Com as expressões acima, as matrizes do elemento ficam completamente definidas:


56

KT = K0+K1+K2+Kσ (4-94)

AP(U) = ⌠⌡Ω

eBT⋅σdΩ eE

EA (4-95)

Para rotacionar a matriz definida no referencial local para o global efetua-se a

seguinte operação:

AKTG =RT⋅KT⋅EREA (4-96)

PG =R⋅P (4-97)

Para a calcular da matriz de rotação R é necessário definir o sistema de eixos locais a

ser adotado.

Primeiro será definido o eixo local x como axial, no sentido do primeiro nó(i) para o

segundo (j).

Ax =( λxX λxY λxZ) = ij→

⎪⎪ ⎪⎪ij→ E EA (4-98)

O vetor z é definido perpendicular ao plano formado entre o eixo do elemento e a

direção Y global e a direção x:

z =( λzX λzY λzZ) = x × Y (4-99)

Se a direção x for paralela a Y

z =( λzX λzY λzZ) = x × X (4-100)

O vetor y é definido pelo seguinte produto vetorial:

y =( λyX λyY λyZ) = z × x)) (4-101)

Assim pode ser definida a matriz de rotação como:

R = ⎣⎡

⎦⎤L 0

0 L (4-102)

L = ⎣⎢⎢⎡

⎦⎥⎥⎤λ 0 0

0 λ 00 0 λ

; λ = ⎣⎢⎡

⎦⎥⎤λx'x λx'y λx'z

λy'x λy'y λy'z

λz'x λz'y λz'z

(4-103)

5 ⋅ Definição da Forma

57


5Definição da Forma

5.1 Introdução

A definição da forma de uma cobertura convencional é feita levando em

consideração, principalmente, a estética e o espaço interno delimitado pela estrutura.

Poucos parâmetros estruturais são considerados, como vão livre e esbeltez

(i.e. razão altura da seção transversal dos componentes / vão principal).

Para as tenso-estruturas têxteis esta ordem de importância se inverte. As

características arquitetônicas apenas determinam as linhas gerais da forma, enquanto

as exigências para a eficiência estrutural definem a forma final.

A escolha de uma forma adequada pode trazer várias vantagens: melhor distribuição

dos esforços de membrana, diminuição no esforço de protensão e até redução no

gasto com tecido. Por outro lado, a escolha de uma forma inadequada pode resultar

no aparecimento de enrugamentos no tecido, que alteram a distribuição de esforços

e podem diminuir a vida útil da estrutura.


58

Enquanto as estruturas convencionais suportam os carregamentos principalmente

através da rigidez a flexão de seus elementos, as tenso-têxteis dependem de sua

forma e esforços internos para se tornarem estáveis. Isso acontece porque os

elementos que constituem as tenso-estruturas têxteis, cabos e tecido, não têm

capacidade de resistir à compressão, portanto, é necessária a definição de uma forma

em que os elementos da estrutura estejam sempre sob esforços trativos.

Ainda hoje existem vários métodos utilizados para resolver este problema, como os

listados a seguir:

Modelos físicos;

Densidade de forças;

Densidade de tensões;

Superfície mínima;

Método dos elementos finitos;

A existência de tantos métodos concorrentes mostra que não há ainda um método

consolidado como a melhor solução para o problema. A seguir será feita uma

descrição sucinta de cada um desses métodos, para depois apresentar o método a ser

usado no presente trabalho. Segundo HABER [22] o melhor é ter vários métodos

disponíveis para poder escolher o método mais adequado para o problema que se

deseja resolver.

5.1.1 Modelos Físicos

Os modelos físicos ainda têm grande importância, pois com eles é possível

experimentar várias possibilidades das estruturas tensionadas, além de facilitarem a

visualização tridimensional da cobertura.

Frei Otto definia a forma da superfície de estruturas de cabos, posteriormente de

tecidos, através de modelos feitos com arames e películas de sabão. Nestes, as


59

condições de contorno são determinadas pelos arames, que posteriormente são

embebidos numa solução de sabão, criando uma película que determinará a forma

da superfície (figura 5-1).

Figura 5-1 -Modelos físicos com membrana de sabão[49].

A membrana de sabão tem rigidez apenas à tração e nenhuma resistência ao

cisalhamento, portanto as superfícies geradas por esse tipo de modelo têm tensões

uniformes. Mesmo com esta grande vantagem estes modelos têm uma flexibilidade

muito maior que as membranas reais e não representam as características

ortotrópicas dos tecidos.

Outros tipos de modelos físicos também são usados, só que modelam a cobertura

com membranas de materiais como filme de PVC, “Lycra” entre outros. Estes

modelos podem ser usados ainda para fazer uma simulação do procedimento de

montagem.

Figura 5-2– Modelo físico com membrana de tecido[55].


60

5.1.2 Superfície mínima

Este método está baseado na minimização da área da superfície do tecido para um

contorno determinado. A superfície determinada é também encontrada com a

modelagem física com sabão. Nessa superfície as tensões são constantes, sendo o

cortante nulo.

A minimização pode ser feita através de métodos comuns de otimização, sejam

matemáticos ou não. A superfície mínima não é única para qualquer contorno

definido, mas para os casos práticos pode ser considerada uma solução única [20].

Para a simples minimização não é possível levar em consideração o efeito dos cabos

do contorno, mas GRÜNDIG [20] apresenta a possibilidade de levar em conta as

forças desse cabos, gerando uma superfície que não é mais mínima.

5.1.3 Densidade de forças

O método da densidade da força foi desenvolvido por Schek [54] para aplicação em

coberturas de cabos, mas pode também ser usado para membranas, considerando

um cabo equivalente a uma faixa do tecido.

O método da densidade de forças (MDF) considera que a superfície do tecido pode

ser discretizada através de uma malha de cabos equivalente. São definidas as

equações de equilíbrio desta malha, sobre determinado carregamento e condições de

contorno. O sistema gerado por essas equações é não linear, para torná-lo linear, é

utilizado o seguinte artifício matemático: a relação entre a força e o comprimento de

uma barra é considerada constante. Esta relação (F Bi B/LBi B) é chamada de “densidade de

força”.

Para deixar mais claro este processo de determinação de forma será mostrado um

pequeno exemplo bidimensional.


61

A B C

F

Figura 5-3 – Configuração inicial.

As equações de equilíbrio para o ponto B podem ser escritas da seguinte forma:

FAB x + FBC x = Fx (5-1)

FAB y + FBC y = Fy (5-2)

Sendo:

FAB x = ( )xB- xA ⋅FABLAB

(5-3)

FBC x = ( )xB- xC ⋅FBCLBC

(5-4)

FAB y = ( )yB- yA ⋅FABLAB

(5-5)

FBC y = ( )yB- yC ⋅FBCLBC

(5-6)

Mesmo se as forças forem consideradas constantes, o sistema é não linear e as duas

direções estão acopladas, já que o comprimento varia de forma não-linear com as

coordenadas x e y. Neste ponto define-se que a relação entre a força e o

comprimento de uma barra é constante (densidade de força DBi B=FBi B/LBi B), este artifício

matemático lineariza as equações e desacopla as duas direções.

( )xB- xA ⋅DAB + ( )xB- xC ⋅DBC = Fx (5-7)

( )yB- yA ⋅DAB + ( )yB- yC ⋅DBC = Fy (5-8)


62

Como as densidades de força (D BABB e DBBCB) e a força (F) são conhecidas, precisam ser

definidas as condições de contorno para transformação em um sistema

determinado.

Determinando um conjunto de valores:

DBABB=10 N/m

DBBCB=20 N/m

F=(0 ;-15) N;

A=(0,0; 0,0)m

C=(4,0; 0,0)m

Encontra-se a seguinte configuração de equilíbrio:

A

F

B

C

(2,6667;-0,5)

(0;0) (4;0)

Figura 5-4 – Configuração final.

Nota-se que as coordenadas iniciais dos pontos livres não alteram o resultado final

no MDF, mas teriam influência se fosse usado o sistema não linear descrito pelas

equações (5-1) e (5-2).

Para um problema tridimensional e com mais de um nó livre, haverá um sistema

linear para cada uma das direções, equivalente às equações (5-7) e (5-8) , que é

escrito matricialmente em (5-9), (5-10) e (5-11).

DF ⋅X = Fx (5-9)

DF ⋅Y = Fy (5-10)

DF ⋅Z = Fz (5-11)


63

DF =

⎣⎢⎡

⎦⎥⎤d11 … d1j … d1n

di1 … dij … din dn1 … dnj … dnn

(5-12)

X =

⎣⎢⎡

⎦⎥⎤

x1

xi

xn

(5-13)

Fx =

⎣⎢⎢⎡

⎦⎥⎥⎤fx1

fxi

fxn

(5-14)

A matriz D BFB é formada pelas densidades de força. Cada item d Bij B representa a

densidade de força do elemento que liga o nó i ao j, se esse elemento não existir a dBij B

é nulo.

Os vetores X, Y e Z são as coordenadas e incógnitas do problema e os vetores FBxB,

FBy B e FBz B determinam as forças aplicadas nos nós.

Este método foi implementado e usado para determinar a forma de um

hiperbolóide parabólico a seguir.

UExemplo

Como segundo exemplo é usada uma superfície descrita pela equação um

parabolóide hiperbólico (ver figura 5-5)

Az = - d1a2 ·x2 + d2

b2·y2E EA (5-15)

A projeção horizontal do contorno é elíptica e pode ser definida pela equação (5-16:

A

( ) x - x0 2

a2 + ( ) y - y0

2

b2 = E1 EA (5-16)


64

Sendo,

xB0 B e yB0 B – coordenadas do centro da elipse

a e b – os semi-eixos paralelos a x e a y respectivamente

Figura 5-5 – Características geométricas do parabolóide hiperbólico.

Considerando a geometria apresentada na figura 5-5 (com xB0 B=yB0 B=0, a = 100 m e

b = 75 m), define-se a seguinte equação para a projeção do contorno:

A

x2

1002 + y2

752 = E1EA (5-17)

Para a definição da malha só precisam ser definidas as conectividades e as

coordenadas do contorno. Foram criadas 21 linhas de cabos ativos e 21 de passivos,

afastadas entre si de 6,8m e 9,1m respectivamente. Para cada linha com x ou y

constante são definidas as coordenadas de dois pontos do contorno com a

equação (5-17). Por exemplo para y=6,8m x=±99.588m (equação (5-17)) e z=-

12,636m (equação (5-15)).


65

y

x6,8m

9,1m Figura 5-6 – Malha do hiperbolóide parabólico.

Para o caso de considerar densidades iguais para os cabos, a forma da figura 5-7.

xy

Figura 5-7 – Forma encontrada para densidades iguais para cabos passivos e ativos.

Aparentemente a forma se aproxima do parabolóide hiperbólico, mas é muito difícil

fazer essa avaliação visualmente. Para verificar a proximidade entre a geometria

encontrada e a definida pela equação (5-15) serão calculadas as diferenças entres as

coordenadas verticais(z) em cada nó, adimensionalizando com a eq. (5-18).

∆ = zeq(xn, yn) - zn

d1 + d2 (5-18)


66

Sendo

z BeqB a coordenada vertical definida com a (5-15), para as coordenadas de

um nó

x BnB;y BnB;z BnB são as coordenadas obtidas com os deslocamentos calculados

através do MDF,

Na figura 5-8 é mostrada numa escala de cores a distribuição de ∆ na superfície da

malha, atingindo um máximo de 14%.

Figura 5-8 – Desvios geométricos ∆ obtidos com o método da densidade de forças.

Se a relação de densidade de força for considerada igual a relação de tensões

apresentada por FERREIRA[14] como

A

Hx0 Hy0

= a2

b2 E EA (5-19)

Que resulta uma relação Dx

Dy = 1,778 , para esse caso, o desvio máximo passa a ser

de 0,4%.

5.1.4 Densidade de tensões

O método de densidade de tensões (MDT) proposto por MAURIN e MOTRO [35]

é uma adaptação do MDF, que usa elementos planos triangulares em vez de usar

elementos unidimensionais equivalentes para descrever a superfície de tecido.


67

Assim como o método em que se baseia, tem como principal objetivo linearizar as

equações de equilíbrio e diminuir o esforço computacional. A vantagem do MDT é

não transformar a superfície do tecido em uma malha de cabos equivalente.

Esse método pode também ser combinado ao MDF, considerando a presença dos

cabos de bordo.

5.2 Determinação da forma via MEF

Este é o método que tem a maior relação física com o problema. Foi usado pela

primeira vez por ARGYRIS [01], em 1974, aplicado à estruturas de cabos, enquanto

aqui o foco são as tenso-estruturas têxteis. A idéia básica consiste em fazer uma

análise não-linear das estruturas como será descrito a seguir.

5.2.1 Metodologia

O primeiro passo é definir uma malha inicial, correspondente à projeção horizontal

aproximada da forma desejada. Na figura 5-9 é mostrada a malha, sendo que em

vermelho estão representados os cabos de bordo.

y

x Figura 5-9 - Modelagem inicial.


68

Em seguida são aplicados deslocamentos prescritos aos nós do contorno, de modo

que estes alcancem as coordenadas desejadas. As posições dos nós livres serão

encontradas através da solução do sistema não linear da estrutura, produzindo a

seguinte forma final.

y

x

Figura 5-10 – Projeção horizontal. Figura 5-11 – Vista em perspectiva.

Este método tem a grande vantagem de poder integrar facilmente a definição de

forma com as análises posteriores. Como o interesse desta pesquisa é de

desenvolver uma ferramenta totalmente integrada para o projeto e análise de tenso-

estruturas têxteis, este foi o método escolhido.

A modelagem de uma tenso-estrutura têxtil com elementos de casca não linear

formulados para um referencial Lagrangeano Total, combinada com o método de

Newton-Raphson, apenas com controle de carga para solução das equações não

lineares resultantes apresentou dificuldades para a convergência numérica, devido às

pequenas espessuras modeladas. Mesmo utilizando programas comerciais, como o

ANSYS, a modelagem de tecidos com elementos de cascas de espessura reduzida

leva a problemas de convergência, pois perturbam a solução numérica das equações.

Para resolver problemas de convergência e ainda diminuir o número de graus de

liberdade foi formulado um elemento de membranas, triangular, plano, com apenas

três graus de liberdade em cada um dos três nós, apresentado no Capítulo 4.


69

u1

v1

w1u3

v3w3

u2

v2

w2

Figura 5-12 – Graus de liberdade do elemento de membrana.

Com este elemento foi atingida a convergência para os exemplos que serão

mostrados a seguir. Para estes exemplos não foi necessário introduzir nenhuma

técnica de controle de solução, como controle de deslocamentos. Também foi

mantido o referencial Lagrangeano total.

5.2.2 Exemplos simples de aplicação

O primeiro exemplo a ser mostrado já foi usado para ilustrar o início desta seção,

uma estrutura bastante simples, em forma de sela, com quatro pontos de apoio.

A estrutura plana inicial pode ser vista na Figura 5-13, onde só são identificados os

nós das extremidades, que têm graus de liberdade restritos.

0.50

0.50

1 11

111 121

Figura 5-13 – Malha inicial.

A estes nós são aplicados deslocamentos prescritos para que estes atinjam as

posições desejadas:


70

U B1 B=(0;0; -0,2)

U B11 B=(0;0;0,2)

U B111 B=(0;0;0,2)

U B121 B=(0;0;-0,2)

Figura 5-14 – Deslocamentos impostos.

As características do tecido utilizadas nesse exemplo foram as seguintes:

• Espessura – 0,9 mm

• Módulo de elasticidade – 1200 kN / m

• Tensão inicial – 6,6 MPa

• Coeficiente de Poison – 0,3

A característica dos cabos de bordo:

• Área – 15 mm²

• Módulo de elasticidade – 110000 MPa

• Tensão inicial – 100 MPa


71

Utilizando estes dados, chega-se à configuração de equilíbrio mostrada nas figuras

5-15 e 5-16.

Figura 5-15 – Projeção horizontal.

Figura 5-16 – Vista em Perspectiva.

As tensões obtidas ao final do processo são apresentadas na figura 5-17.

933E6 Pa

723E6

513E6

303E6

93E6 Figura 5-17 – Tensões no tecido.

Os valores das tensões apresentados têm valores exagerados em função das grandes

deformações a que o tecido foi submetido no processo. Um meio de resolver esse

problema é reduzir o módulo de elasticidade do tecido algumas ordens de grandeza.

Dessa forma a tensão final no tecido é mais próxima da tensão que se deseja que o

tecido apresente após protensão, como pode ser visto na figura 5-18


72

20,8E6 Pa

17,2E6

13,7E6

10,2E6

6,7E6 Figura 5-18 – Tesões no tecido após redução do módulo de elasticidade.

Mesmo apresentando tensões próximas às desejadas ainda pode ser feita uma nova

etapa em que a geometria obtida anteriormente é utilizada como a inicial, mas o

campo de tensão é constante e isotrópico e o módulo de elasticidade é o real, as

tensões resultantes desse processo são apresentadas na figura 5-19.

6,37E6 Pa

6,14E6

5,90E6

5,67E6

5,43E6 Figura 5-19 – Tesões no tecido após imposição de tensões iniciais.

Apesar de não ter dados numéricos para comparação, pode ser feita uma

comparação qualitativa entre este exemplo e a figura 2-11, ou usando o programa

CADISI e obtendo a resposta da figura 5-20.


73

Figura 5-20 – Resposta do programa demonstrativo CADISI.

O outro exemplo é o de uma tenda troco-cônica, que será discretizada inicialmente

como o anel de membrana ilustrado na Figura 5-21.

24.00

4.00

Figura 5-21 – Malha inicial plana.

Os nós do contorno externo (diâmetro de 24m), são fixos. Os nós do círculo

interno têm os deslocamentos x e y nulos, enquanto que os deslocamentos em z,

perpendicular ao plano, são de 9 metros (figura 5-22). Definindo a forma

apresentada nas figuras 5-23 e 5-24.


74

Figura 5-22 – Deslocamentos impostos.

Figura 5-23 – Projeção horizontal. Figura 5-24 – Perspectiva.

Aplicando deslocamentos horizontais ao exemplo anterior pode se obter outras

opções de forma, figura 5-25.

Figura 5-25 – Perspectiva de forma com deslocamento horizontal.


75

5.2.3 Comparação com o método de Densidade de forças

Para validar o método apresentado e comprar com o método das densidades de

força, o exemplo do hiperbolóide parabólico apresentado na figura 5-7 para o MDF

será resolvido utilizando o MEF. A malha de elementos finitos inicial utilizada é

apresentada na figura 5-26.

Figura 5-26 – Malha inicial.

Seguindo o procedimento, são determinados os deslocamentos prescritos no

contorno para que assumam as posições desejadas, definidas pela equação (5-17) e

está ilustrado na figura 5-27.

Figura 5-27 – Deslocamentos prescritos.


76

A solução utilizando o MEF dá uma solução mais precisa que o da densidade de

forças, apresentando um desvio ∆ (equação. (5-18)) de aproximadamente 0,03%,

que é praticamente desprezível. A distribuição geométrica desses desvios pode ser

vista na figura 5-28.

Figura 5-28 – Desvios geométricos ∆ obtidos com o MEF.

6 ⋅ Determinação dos moldes para corte

77


6Determinação dos moldes para corte

6.1 Introdução

No capítulo anterior foram geradas superfícies tridimensionais de dupla curvatura,

para dar seguimento ao projeto devem ser determinadas as dimensões dos diversos

pedaços de tecido que devem ser cortados e unidos entre si, com cabos e

ancoragem, para formar a superfície desejada.

Superfícies tridimensionais, de uma forma geral, podem ser planificáveis ou não. Por

exemplo, um cone pode ser perfeitamente montado a partir de um pedaço plano de

papel ou qualquer material, tal como pode ser visto nas figuras 6-1 e 6-2. Isto

porque o cone é definido por uma superfície de curvatura simples. Contrariamente,

uma semi-esfera não pode ser planificada de forma exata (figura 6-3).


78

Figura 6-1 – Superfície cônica.

Figura 6-2 – Planificação da superfície

cônica.

Figura 6-3 – Superfície esférica.

Se a forma desejada pode ser definida através de uma superfície regrada e de

curvatura simples, a planificação se torna uma tarefa relativamente fácil, que pode

ser estendida a formas resultantes da combinação de várias superfícies de curvatura

simples, mas em geral as coberturas tenso-têxteis não atendem a nenhum desses

requisitos.

Para o caso de superfícies de dupla curvatura, como é o caso da esfera, a

planificação exata é impossível. É necessária a adoção de uma aproximação, que é

feita considerando que a esfera é formada por várias superfícies planificáveis. Essa

aproximação fica bem clara quando uma curva de tubulação é feita da união de

vários pedaços cilíndricos, quando na verdade deveria ser uma superfície toróide

(figura 6-4).


79

Figura 6-4– Aproximação da superfície toróide[74].

6.2 Definição das linhas de corte

Este processo de planejar linhas de corte da superfície tridimensional planificada se

assemelha muito com o processo usado pelos alfaiates para definir os cortes que

devem ser feitos no tecido plano para formar um paletó, ou ainda o artesão de

balões infláveis, tomando o cuidado para que todas as peças de tecidos previamente

cortadas se ajustem perfeitamente, sem formar rugas e resultando na superfície

planejada.

A definição das peças de corte pode ser abordada como um problema de otimização

multi-objetivo. Deve ser minimizada a diferença entre a estrutura aproximada e a

real, o gasto de tecido e o gasto na costura, considerando como restrições à largura

máxima da tira do tecido, em função das dimensões dos rolos de tecido, a tolerância

na aproximação, etc. Como variáveis deste processo podem ser identificadas, entre

outras, o número de linhas de corte e as posições em que elas se encontram.

A definição da forma das tiras de tecido a serem cortadas ainda influencia na

estética, por isso algumas orientações básicas para as linhas de costuras podem ser

dadas, harmonizando o traçado das costuras com a forma da estrutura.

Só após a definição das peças de corte é que pode ser definida a direção das fibras

do tecido no modelo para análise. Então a etapa de análise é refeita, para levar em

conta os efeitos ortotrópicos da membrana. Esta reanálise vai gerar um novo campo

de tensões e alguns ajustes podem ser feitos nos moldes de corte para melhorar a

qualidade da superfície.


80

Após a definição das linhas de corte, tem que ser executada a planificação. A seguir

apresenta-se um método bastante simples, tomando como exemplo de definição de

forma e planificação a tenda tronco-cônica apresentada na 6-6 (a).

6.3 Planificação utilizando modelos físicos

A utilização de modelos físicos é um procedimento antigo, mas ainda usado. A

superfície é modelada fisicamente em escala, sobre essa superfície são posicionadas

tiras de papel, representado as tiras de tecido a serem cortadas, a partir dessas tiras

são determinadas as geometrias dos pedaços de tecido em escala reduzida.

6.4 Planificação elemento a elemento

Para empregar essa técnica é necessário que a tira de tecido seja discretizada com

apenas uma fileira de triângulos como na figura 6-6. Para obter tiras de tecidos mais

largas, usando esse processo, a discretização deve ser menos refinada.

Figura 6-5 – Identificação dos padrões de corte tridimensionais, 64 tiras.


81

(a)

1 2 3 4 5 (b)

Figura 6-6 – Tira tridimensional destacada.

O processo de planificação é simples, mas pode ser descrito de formas diferentes.

A primeira forma, que pode ser encontrada na literatura [55]: Mantendo o lado 1,

indicado na figura 6-6 (b), como eixo de rotação gira-se toda a tira até que o lado 2

alcance o plano horizontal, o processo é repetido, tomando o lado 2 como eixo,

rotacionando até que o lado 3 fique co-planar com os dois primeiros, seguindo com

este processo até que toda a tira de tecido esteja em um único plano.

Foi desenvolvida uma outra forma de obter o mesmo resultado que tem maior

facilidade de implementação computacional. O conceito básico é que a forma de

cada triângulo individualmente precisa ser mantida. Sabendo que um triângulo pode

ser definido pelo comprimento dos seus três lados fica simples desenvolver um

algoritmo para planificar a estrutura.

O processo começa com a escolha do primeiro triângulo a ser planificado, que deve

ser adjacente a apenas um triângulo da fileira. Definem-se os comprimentos dos seu

lados, posicionando-o arbitrariamente no plano ( figura 6-7).


82

L1

L2 L3

Figura 6-7 – Planificação do primeiro elemento.

Para a definição do elemento adjacente falta apenas definir a posição de um dos nós,

que não pertence ao primeiro. Fazendo a interseção dos círculos definidos na

figura 6-8, que tem centro nos dois nós do lado comum aos triângulos e raios iguais

ao comprimento dos lados do segundo elemento. Os dois pontos são determinados

pela solução do sistema de equações definido pela equação dos dois círculos.

A

⎩⎨⎧(x-x1)

2 + (y-y1)2 = 4⋅L32

(x-x2)2 + (y-y2)

2 = 4⋅L22 E EA (6-1)

L2

L3

Figura 6-8 - Pontos de interseção.

Escolhe-se a solução que estiver do lado oposto ao terceiro nó do primeiro

triângulo. Para determinar matematicamente qual dos nós está na posição desejada

(P4 ou P5, figura 6-9) são calculados os seguintes produtos vetoriais:

• Prod B1 B = A

⎯→P1P2 ×

⎯→P1P3E EA;

• Prod B2 B = A

⎯→P1P2 ×

⎯→P1P4E EA;

• Prod B3 B = A

⎯→P1P2 ×

⎯→P1P5E EA;


83

P5

P4

P1P3

P2

Figura 6-9 - Escolha do ponto de interseção.

O produto vetorial que tiver o sinal oposto ao ProdB1 B indicará o terceiro nó do

segundo triângulo, que para o caso da figura 6-9 é o P4.

O processo é continuado até que todos os elementos tenham sido planificados.

Figura 6-10 – Continuação do processo

6.4.1 Exemplos

Neste exemplo foi feita a planificação da tira do tecido mostrada na figura 6-11.


84

(a) Vista lateral

(b) Projeção Horizontal

Figura 6-11 – Tira antes da planificação.

Encontrando o resultado mostrado na figura 6-12, onde estão definidas apenas as

dimensões principais, para o corte é necessária a definição geométrica de toda a tira.

1.2155

13.8509

Figura 6-12 – Dimensões principais da tira planificada.

Esse método tem duas limitações, a primeira é que para poder fazer esse tipo de

planificação é necessário que a discretização seja pouco refinada, formado por uma

seqüência de elementos adjacentes. A outra limitação é que esse processo não leva

em conta as deformações/tensões na estrutura 3d.

Para suprir essa última deficiência foi desenvolvida uma forma de levar em conta o

efeito das tensões para o encolhimento do tecido.


85

6.4.2 Método modificado

Para poder contabilizar o efeito das tensões atuantes na superfície tridimensional foi

feita uma implementação um pouco diferente do procedimento anteriormente

exposto.

Para desenvolver um método da foma mais direta possível foram feitas algumas

simplificações A primeira delas é considerar linear a relação entre deslocamentos e

deformações. Esta suposição é aceitável já que a parte não linear pode ser

desprezada para o nível de tensões de trabalho. As deformações podem então ser

escritas da seguinte forma:

ε = ⎩⎨⎧

⎭⎬⎫εx

εy

γxy

=

⎩⎪⎨⎪⎧

⎭⎪⎬⎪⎫

∂u∂x

∂v∂y

∂u∂y +

∂v∂x

(6-2)

Mas ainda assim existem nove incógnitas (os deslocamentos nodais) para apenas três

equações, definidas pelas deformações.

A

TUn = u1 v1 w1 u2 v2 w2 u3 v3 w3 E EA (6-3)

Como os deslocamentos de corpo rígido não produzem deformações nos

elementos, alguns graus de liberdade serão considerados restritos, diminuindo o

número de incógnitas para apenas três (uB2 B, uB3 B, v B3 B). Isto é ilustrado na figura 6-13,

onde são aplicadas restrições para impedir o movimento de corpo rígido no plano

que contém o elemento.

u2

u3

v3

Figura 6-13 - Restrição do movimento planar de corpo rígido de um elemento

triangular.


86

Definem-se então as deformações em função destes três deslocamentos, e também a

relação inversa.

ε = ⎩⎨⎧

⎭⎬⎫εx

εy

γxy

=

⎩⎪⎨⎪⎧

⎭⎪⎬⎪⎫

u2 x2

v3 y3

u3 x3

- u2⋅ x3

x2⋅ y3

(6-4)

u2 = εx⋅ x2 (6-5)

v3 = εy⋅ y3 (6-6)

v3 = γxy⋅ y3 + εx⋅ x3 (6-7)

Podem-se definir então os novos comprimentos dos lados dos elementos

triangulares e realizar o processo como definido no item anterior.

Como as deformações são descontínuas, o cálculo do comprimento do lado comum

de triângulos adjacentes produzirá valores diferentes para cada um dos elementos

adjacentes. Para resolver esse problema foi considerado que o valor deste lado

comum será definido pela média entre os valores calculados. Com este

procedimento chega-se à forma da tira planificada mostrada na figura 6-14.

1.2113

13.7852

Figura 6-14 - Dimensões principais da tira planificada considerando as deformações iniciais.

A diferença percentual entre os resultados obtidos (fig. 6-12 e 6-14) é pequena

(≈0.5%), mas os efeitos desses desvios provocam grandes mudanças nos níveis de

tensões na estrutura após a montegem, justificando assim a adoção desse

procedimento para melhorar a aproximação obtida.


87

6.5 Planificação via MEF

6.5.1 Introdução / Metodologia

Apresenta-se a seguir o processo de planificação via MEF, que possibilita a sua

integração com o processo de definição de forma, com a vantagem de poder levar

em conta os efeitos das tensões na contração das peças de tecido e usar o

refinamento necessário da malha para análise estrutural.

O processo parte da discretização tridimensional do pedaço de tecido a ser

planificado, tal como este se encontra na estrutura completa; i.e. com mesmas

coordenadas nodais e com o mesmo campo de tensões. Para ilustrar esse processo e

comparar a resultados teóricos é utilizada uma malha para uma superfície cilíndrica

circular mostrada nas figuras 6-15 a-c.

O primeiro passo é separar da estrutura completa após a definição da forma cada

um dos pedaços de tecidos com seus dados geométrico e as tensões atuantes.

O modelo agora representa apenas uma das tiras, mas ainda está em três dimensões,

para fazer a planificação é aplicado a cada um dos nós um deslocamento vertical

igual ao valor da sua coordenada em Z. Deve se restringir, além dos graus de

liberdade na vertical, mais três para impedir deslocamentos de corpo rígido.

Para a robustez do processo de planificação, pode ser feita uma rotação da tira a ser

planificada, diminuindo assim os deslocamentos a serem aplicados na estrutura e

evitado problemas, como o que pode acontecer quando se tem mais de um ponto

com mesma projeção horizontal. Se isso acontecer, o resultado da planificação pode

ser o tecido dobrado.

Para o caso de estruturas perfeitamente planificáveis, as tensões resultantes do

processo de planificação são praticamente nulas. Quando se aplica esse processo a

superfícies de dupla curvatura, que não podem ser planificadas, as aproximações são

maiores e conseqüentemente as tensões geradas no tecido planificado.


88

Para se verificar esse fato, será mostrada a planificação de parte de um cilindro e de

uma calota esférica.

Começando pela modelagem do cilindro, que é formado por uma superfície de

curvatura simples planificável. Será usado um modelo que representa um quarto de

um cilindro de 5m de raio e 5m de comprimento como pode ser visto nas figuras

6-15 (a), (b) e (c).

R = 5m

L =

5mz

x

(a)

R =5m

z

x

C

(b)

5m 5m

z

x

y

C

(c)

Figura 6-15 – Malha para superfície cilíndrica circular. (a) Projeção horizontal; (b) raio; (c) perspectiva


89

Para facilitar a convergência do processo de solução dá-se um movimento de corpo

rígido para que os nós do modelo fiquem mais próximos do plano z=0, levando à

configuração apresentada nas figuras 6-16(a,b).

z

xy

(a)

x

z

C/2

(b)

Figura 6-16 – Rotação da superfície discretizada. (a) Perspectiva; (b) vista lateral

A partir desta nova posição (figura 6-16), são prescritos todos deslocamentos

verticais de modo que todos os nós fiquem com coordenada z nula. Devem ser

restritos três graus de liberdade horizontais para impedir apenas os movimentos de

corpo rígido, deixando a estrutura livre para se deformar, planificando-se sobre o

plano xy. O resultado desse processo pode ser visto na figura 6-17.

5 m

7,848 m

Figura 6-17 – Malha da superfície cilíndrica planificada.

O valor do comprimento desenvolvido do cilindro (7,848m), é muito próximo do

valor teórico (7,8539m), com um desvio de 0,076 %.


90

Pode ser observado ainda que os valores das tensões residuais (figura 6-18) são

muito pequenos, mostrando que a estrutura é de fato planificável. Assim como

comentado anteriormente, um maior refinamento reduz ainda mais os valores dos

desvios geométricos e das tensões residuais.

Figura 6-18 – Tensões residuais principais máximas (Smax) e mínimas (Smax) na superfície cilíndrica planificada.

Para a verificação da planificação de uma superfície de dupla curvatura será usada

uma parte de uma esfera de raio 5 m, delimitada por um ângulo sólido de 90°.

R = 5m (a)

(b)

Figura 6-19 - Malha da superfície esférica. (a) Vista lateral da superfície esférica; (b)Perspectiva


91

Resultando a seguinte superfície planificada.

8,255

2 m

8,2117 m

8,2338 m

Figura 6-20 - Malha da superfície esférica planificada.

Os valores dos comprimentos antes da planificação são de 7,854 m, o que resulta

numa diferença que varia de 4,55 a 4,84 %. Pode se ver ainda o efeito da

aproximação feita na planificação desta superfície através dos valores de tensão

resultante.

Figura 6-21 – Tensões residuais principais máximas (Smax) e mínimas (Smax) na superfície esférica planificada.

Para melhorar esta aproximação não adianta refinar a malha como no exemplo

anterior, a superfície que se deseja planificar é dividida em pedaços menores, como

na figura 6-22.


92

(a)

R = 5m

(b)

Figura 6-22 – Malha da superfície esférica recortada. (a)Planta; (b) Perspectiva

Tem como resultado:

7,970 m

7,987 m

3,98

5 m

Figura 6-23 – Malha da superfície esférica recortada planificada.

Reduzindo a diferença para 1,69 %, os valores de tensão também reduziram a

aproximadamente 40% do que apresentava anteriormente.


93

Figura 6-24 – Tensões residuais principais máximas (Smax) e mínimas (Smax) na superfície esférica recortada planificada.

6.5.2 Exemplos simples de aplicação

Para permitir a comparação do mesmo exemplo será feita a planificação da tira

apresentada na figura 6-6, sem considerar as tensões atuantes.

13.8509

1.2155

Figura 6-25 – Dimensões principais da tira planificada sem tensões iniciais.

A resposta obtida (figura 6-25) é exatamente igual à que se obtém pelo método

elemento a elemento original, não só nas dimensões mostradas, mas na posição de

todos os nós da malha. As tensões residuais principais, apresentadas nas figuras 6-26

e 6-27, têm valores aproximadamente nulos, demonstrando a perfeita planificação

deste exemplo.

Figura 6-26 – Tensões residuais máximas da tira planificada sem tensões iniciais.


94

Figura 6-27 – Tensões residuais mínimas da tira planificada sem tensões iniciais.

Utilizando o mesmo exemplo, mas considerando o campo de tensões presente nas

estrutura completa é obtido o resultado da figura 6-28. É notada uma diferença

mínima entre esse resultado e o do método elemento a elemento modificado, que

pode ser explicada pela aproximação para o comportamento linear.

1.2113

13.7850

Figura 6-28 – Dimensões principais da tira planificada com tensões iniciais.

Nesse caso, as tensões principais já não são nulas (figuras 6-29 e 6-30), mas os

valores são mínimos.

Figura 6-29 – Tensões residuais máximas da tira planificada com tensões iniciais.


95

Figura 6-30 – Tensões residuais mínimas da tira planificada com tensões iniciais.

Se for feita uma discretização mais refinada, retirando um pedaço da superfície

equivalente ao mostrado na figura 6-6, mas com maior número de elementos, tal

como é mostrado na figura 6-31.

Figura 6-31 – Tira tridimensional de tecido destacada.

Efetuando processo de planificação via elementos finitos, considerando o campo de

tensões atuantes, determina-se a planificação da tira destacada. Comparando as

dimensões básicas da figura 6-28 e 6-32, percebem-se pequenas diferenças

provocadas pela menor discretização da superfície no primeiro caso.

1.2113

13.8006

Figura 6-32 – Dimensões principais da tira planificada com tensões iniciais e maior refinamento.

As tensões residuais também mostram diferenças consideráveis. Isso se deve ao fato

de a tira discretizada com apenas uma fileira de triângulos, na ausência de tensões


96

iniciais, ser perfeitamente planificável. Quando a malha é refinada, esta passa a

representar a superfície com dupla curvatura, portanto, não planificável, gerando

tensões residuais.

Figura 6-33 – Tensões residuais máximas da tira planificada com tensões iniciais.

Figura 6-34 – Tensões residuais mínimas da tira planificada com tensões iniciais.

Mudando a definição das linhas de corte para a configuração apresentada na figura

6-35 em que o número de tiras de tecido passa de 64, para 32, diminuindo assim os

custos de costura.



97

Definindo tiras maiores

13.7778

2,3877



13.7511

4,6677


A precisão do processo se torna mais importante à medida que cresce o módulo de

elasticidade, uma vez que pequenos erros na definição dimensional acarretam em

diferença maior no valor das tensões atuantes no tecido.

7 ⋅ Análise e projeto estrutural

98


7Análise e projeto estrutural

Nesse capítulo são aplicados os conhecimentos anteriormente descritos e reunidos

no programa TENSOTEX, ferramenta criada utilizando o MEF para realizar a

análise de tensões e auxiliar o engenheiro nas etapas básicas do projeto de uma

estrutura tensotêxtil. Utiliza-se, para exemplificar esta aplicação, uma tenso-estrutura

têxtil típica, para a qual são desenvolvidas as etapas de um projeto completo da

forma mais próxima possível de um projeto real, sem contudo se estender aos

detalhes específicos das estruturas de apoio e ancoragem dos estais à terra.

7.1 Definições arquitetônicas

Nessa primeira etapa de concepção geométrica da estrutura já aparece a primeira

particularidade do projeto de uma estrutura tensotêxtil: O projeto arquitetônico não

pode definir rigidamente a forma estrutural. Na figuras 7-1 e 7-2 são apresentados

os croquis da cobertura a ser projetada.


99

Nota-se que a geometria da estrutura é definida apenas por algumas características

básicas, tais como a projeção horizontal aproximada, e alturas máximas e mínimas

para os trechos da cobertura.

Para a tenda principal, é definida uma altura de 7,0 m para o círculo central,

marcados na figura 7-2 com triângulos, e as posições dos nós do contorno inferior,

marcados com círculos.

Há também a cobertura tensotêxtil de um caminho, onde são definidos pontos altos

e baixos para garantir a curvatura e dar estabilidade à estrutura. Os pontos altos,

marcados por triângulos, têm altura de 5,0 m e os pontos baixos, marcados com

círculos, tem altura de 2 m.

Figura 7-1 – Corte conceitual da cobertura principal [36].


100

Figura 7-2 – Planta conceitual da cobertura[36].

7.2 Características dos materiais

A seguir serão apresentadas as características básicas do tecido a ser utilizado na

confecção da estrutura. Os valores foram retirados de informações fornecidas pelo

fabricante em seu sítio na internet [69]. Como não está disponível o módulo de

elasticidade do tecido, esse valor foi retirado de SHAEFFER[55].


101

Tecido utilizado: Sheerfill I

o Espessura – 0,914 mm

o Resistência a tração – 171 kN/m

o Protensão do tecido – 6 kN/m

o Módulo de elasticidade – 1200 kN / m

As características do tecido poderiam ser mais completas se fosse especificada sua

característica ortotrópica, descrita por dois módulos de elasticidade e dois

coeficientes de Poisson. Essas propriedades e outras não lineares do tecido

poderiam também ser determinadas através de ensaios.

As características dos cabos são mais fáceis de ser encontradas, já que existem

tabelas de diversos fabricantes que fornecem dimensões, resistência, rigidez e cargas

de ruptura.

Cabos: Cordoalha 6x7 Fios

o Diâmetro da cordoalha – 22,0 mm

o Área total –191,18 mmP

2P (0,395 d P

2P)

o Carga de ruptura – 293,3 kN

o Tensão de ruptura – 1534 MPa

o Protensão dos cabos (≈4% da tensão de ruptura) - 600 MPa

o Módulo de elasticidade 1,1 x 10 P

11P Pa


102

7.3 Definição da forma

O primeiro passo é definir a malha plana horizontal a ser utilizada na definição da

forma. Não é necessário que a geometria da malha seja exatamente a projeção

horizontal definida arquitetonicamente, principalmente porque estas definições são

conceituais e aproximadas.

8

1

2

33

27

4

6

910 1112

141618

202224

13151719

2123

5

7

3

37

32

30

31 39

38

36

35

26 34

25

2928

Detalhe do topo

x

y

Figura 7-3 – Malha inicial e numeração dos nós do contorno.


103

Para alcançar as alturas definidas pela arquitetura são aplicados deslocamentos

prescritos aos nós de contorno. Para o anel central da tenda principal (nós 9 a 24;

ver detalhe na figura 7-3) o deslocamento vertical imposto é de 5,0m. Para o

restante da estrutura, apenas os nós 33 a 39 são deslocados 3,0m em z. Os outros

nós do contorno, tanto da tenda principal quanto no restante da tenso-estrutura

têxlil têm todos os deslocamentos fixados.

Para a elaboração das figuras que serão mostradas a seguir foi utilizado um software

de visualização, no qual foi importado o arquivo de saída do programa

TENSOTEX, além de serem introduzidos alguns elementos ilustrativos, tais como

os pisos e as divisórias de fechamento do auditório da tenda principal.

As figuras 7-6 a 7-5 mostram vistas da forma da tenso-estrutura têxtil encontrada

com as condições de contorno indicadas pela arquitetura.

Figura 7-4 – Vista lateral.

Figura 7-5 – Vista Frontal.


104

Figura 7-6 – Vista em perspectiva da cobertura.

Figura 7-7 – Vista superior.

Definida a forma de equilíbrio para as dadas condições de contorno, é preciso

verificar se esta forma atende aos requisitos arquitetônicos. No presente caso,

percebe-se que ao redor da tenda principal a área de circulação não é totalmente

coberta. Para mudar a forma e cobrir completamente esta área há duas possíveis


105

soluções: definir uma nova projeção horizontal ou aplicar deslocamentos

horizontais aos nós do contorno.

A primeira solução é um pouco mais trabalhosa porque torna-se necessário refazer a

discretização; mas essa pode ser a única solução em casos de mudanças complexas.

Para o exemplo apresentado, foram aplicadas as duas formas de solução. Primeiro

foi alterada a projeção horizontal de toda a cobertura; mas com essa solução ficou

resolvido apenas o problema da cobertura do caminho fora da tenda principal.

Como a circulação da tenda principal permaneceu descoberta, foi colocada em

prática a segunda solução, deslocando horizontalmente os nós do contorno inferior

da tenda principal.

Figura 7-8 – Vista em perspectiva da cobertura.

Figura 7-9 – Vista lateral.


106

Figura 7-10 – Vista Frontal.

Figura 7-11 – Vista superior.

O resultado desta solução combinada é evidenciado apenas (comparar figuras 7-7 e

7-11) por meio da vista superior, na qual a cobertura completa da área de circulação

é facilmente notada.

7.4 Definição das linhas de corte

As linhas de corte neste exemplo foram definidas na criação da malha plana, para

tecidos fabricados com uma largura máxima de 2,00 m. As linhas forma definidas

sem relação direta com as linhas geodésicas, tal como usualmente utilizadas[21].


107

A figura 7-12 mostra todas estas linhas de corte definidas. Na tenda principal as

linhas foram definidas nas direções aproximadamente radiais, comumente utilizada

para esse tipo de forma geométrica. Para as outras linhas de corte foi utilizada uma

maneira simples e empirica (intuitiva) de definição geométrica.

Figura 7-12 – Linhas de corte.


108

Uma nova malha (figura 7-13) foi gerada para separar os elementos pertencentes a

cada um dos pedaços do tecido a serem planificados para definir os moldes de corte.

Figura 7-13 – Malha gerada após a definição das linhas de corte.

7.5 Definição dos moldes para corte

Com as linhas de corte definidas, dá-se prosseguimento ao processo de planificação

via MEF definido na seção 6.5. As figuras 7-14 a 7-16 apresentam a geometria dos

pedaços de tecido já planificados.


109

30

3

4

1 m

28

29

31 32

2

1

5

27

25

26

6

7

8


lado.


110

1 m

11

23

24

21

22 20

19

18

15

14

17

16

10

13

12 9


lado.


111

1 m

44

52

51 45

46

53

47

48

54

55

49

56 50

39

42 41 40 43

33

37 36 35 34

38

Figura 7-16 – Pedaços planificados de tecido do caminho, arranjados lado a lado.


112

1 m

57 67

68

69

63

62

64

58

59

61

71

70 65

66

60

Figura 7-17 – Pedaços planificados de tecido do caminho, arranjados lado a lado.

Uma melhor definição geométrica para corte e posterior montagem (costura) será

feita, como exemplo, para o molde número 1, identificando os números dos nós na

figura 7-18 e as coordenadas no plano na tabela 7-1. Observando-se nesta tabela que

a primeira coluna se refere à numeração local dos nós do pedaço

2969

4

2961

2885 2887 2883

2928

2890 2882 2886 2884 2892 2893 2891 2888

3063

2981

3104 3124

2934

3024

3083

3004

3044

2889

3014

3067

1

x

y

Figura 7-18 – Detalhe do molde 01.


113

Tabela 7-1 – Coordenadas do molde 01

Nó do pedaço Nó global xplano yplano

N° Pedaço

Nó do pedaço Nó global xplano yplano

N° Pedaço

1 4 0 0 1 16 2934 3,99161 0,23116 1 2 2882 0,61036 0,00221 1 22 2961 0,39908 0,26789 1 3 2883 1,09516 0,00363 1 24 2969 3,68792 0,34368 1 4 2884 1,51721 0,00454 1 25 2981 3,38421 0,45464 1 5 2885 1,9044 0,00506 1 29 3004 3,08156 0,56314 1 6 2886 2,26969 0,00529 1 31 3014 0,74838 0,54622 1 7 2887 2,61928 0,00527 1 32 3024 2,77832 0,66893 1 8 2888 2,95882 0,00508 1 34 3044 2,47702 0,77128 1 9 2889 3,29158 0,00473 1 36 3063 2,17805 0,86954 1 10 2890 3,62046 0,00426 1 37 3067 1,05767 0,83453 1 11 2891 3,94751 0,00371 1 38 3083 1,88486 0,96293 1 12 2892 4,27416 0,00312 1 39 3104 1,60232 1,0505 1 13 2893 4,60188 0,00249 1 40 3124 1,33298 1,13248 1 14 2928 4,29607 0,11734 1

As figuras 7-19 a 7-22 mostram as tensões residuais em alguns pedaços de tecido

planificados. Nas figuras 7-19 e 7-20 as tensões residuais ficam restritas a valores

menores que 3 MPa, enquanto que nas figuras 7-21 e 7-22 esses valores são

superiores em uma ordem de grandeza. Esse é um indicativo de que a planificação

dos dois primeiros pedaços foi mais precisa.

Figura 7-19 – Tensões residuais principais máximas (Smax) e mínimas(Smax) no pedaço 01 planificado .


114

Figura 7-20 – Tensões residuais principais máximas (Smax) e mínimas(Smax) no pedaço 02 planificado.



7.6 Análise de tensões

Após a planificação é feita a montagem da estrutura. As tensões residuais, calculadas

segundo o procedimento apresentado na Seção 7.5, são consideradas nulas e todos

os pedaços de tecido são reunidos. Esta reunião é que se chama de montagem da

tenso-estrutura têxtil.


115

As tensões resultantes no tecido após a montagem são apresentadas nas figuras 7-23

e 7-24.


protensão dos cabos.




116

Como a superfície tem dupla curvatura, a planificação dos pedaços é aproximada e a

distribuição de tensões após a montagem marca claramente a posição das costuras.

Além disso, pode-se perceber, na figura 7-24, a presença de tensões de compressão,

o que enrugaria o tecido. Essas tensões compressivas aparecem na estrutura em

função das tensões residuais originadas pela forte curvatura de alguns pedaços de

tecido planificados (34, 57, 61, 62 e 66, conforme numeração na figura 7-12). Esses

pedaços foram subdivididos, tal como apresentado na figura 7-25 por meio de áreas

sombreadas.

Figura 7-25 – Modificações nas linhas de corte.


117

Com a nova disposição das linhas de corte (figura 7-25) as tensões residuais nos

pedaços sombreados (72 a 76) foram reduzidas a cerca de 1/3 das originais. Como

pode ser observado nas figuras 7-26 e 7-27 ( que mostra como exemplo os pedaços

resultantes da subdivisão do pedaço 57) e nas figuras 7-28 e 7-29 não aparecem mais

as tensões de compressão após a montagem.


pedaço n° 57.


pedaço n° 72.


118






119

7.7 Cabos das bordas e intermediários e reações nos apoios

A figura 7-30 mostra a distribuição de tensões nos cabos de aço de montagem da

tenso-estrutura têxtil e ao lado desta figura é apresentada uma legenda com a

correlação entre as tensões e forças nos cabos (todos com a mesma ára de seção

transversal) Observa-se que as forças resultantes nos cabos para a forma final da

tenso-estrutura estão na faxia de cerca de 9% da força de ruptura.

Figura 7-30 – Tensões (Sx) e forças (Fx) nos cabos após a montagem.

A figura 7-31 mostra na malha de elementos finitos os pontos do contorno onde se

dão as reações de apoio. A tabela 7-2 apresenta, segundo a numeração desses pontos

na malha, os valores das componentes das reações de apoio. Observa-se que os

valores das resultantes dessas reações deverão ser utilizados para o projeto das

estruturas de apoio (mastros, aneis, estroncas, etc) e de ancoragem (estais, blocos de

reação, etc).


120

8

1

2

33

27

4

6

910 1112

141618

2022 24

13151719

2123

5

7

3

37

32

30

31 39

38

36

35

26 34

25

2928

Detalhe do topo

x

y

Figura 7-31 – Localização dos nós de apoio.

Tabela 7-2 – Reações de apoio

Nó Rx(kN) Ry(kN) Rz(kN) módulo Nó Rx(kN)Ry(kN)Rz(kN) módulo 1 4.927 22.238 33.544 40.546 21 0.370 -0.523 -3.635 3.691 2 30.645 28.716 7.041 42.583 22 0.124 0.596 -5.864 5.895 3 -33.930 -0.299 22.365 40.639 23 0.393 -0.159 -3.977 3.999 4 40.214 -0.289 6.455 40.730 24 0.221 -0.495 -2.590 2.646 5 -42.375 -1.361 7.082 42.984 25 -15.444 30.347 18.189 38.604 6 30.103 -29.050 6.708 42.368 26 3.798 33.460 50.474 60.676 7 -29.295 -30.488 6.857 42.834 27 15.178 7.949 48.339 51.286 8 -0.482 -42.235 6.788 42.780 28 -6.357 12.334 22.665 26.575 9 0.187 0.318 -2.923 2.946 29 -18.935 28.673 18.840 39.187 10 -0.217 -0.439 -5.414 5.436 30 -8.539 -10.282 30.053 32.891 11 0.455 -0.138 -4.631 4.655 31 3.834 -33.512 50.619 60.828 12 0.166 0.350 -2.953 2.978 32 -10.319-24.657 24.317 36.135 13 -0.349 0.332 -2.268 2.318 33 23.956 44.703 -39.620 64.358 14 0.205 -0.125 -3.277 3.286 34 -2.247 23.237 -54.342 59.144 15 0.107 0.335 -3.491 3.508 35 25.553 15.121 -26.018 39.478 16 0.577 0.252 -1.804 1.911 36 -52.132 0.476 -36.789 63.808 17 -1.021 0.190 -0.726 1.267 37 14.730 -33.523-71.261 80.118 18 -0.032 -0.138 -3.778 3.781 38 25.490 -15.189-25.967 39.430 19 -0.057 -0.850 -2.821 2.947 39 0.276 -25.587-53.301 59.125 20 0.223 -0.287 -2.886 2.909


121

7.8 Comentários finais sobre a análise de tensões no tecido e

nas estruturas de suporte

A análise estrutural, de forma geral, engloba todo o processo de projeto, desde a

definição da forma, até os planos de corte. Aqui será feita apenas uma abordagem

do comportamento estrutural sob os carregamentos impostos. Para tanto, serão

consideradas as várias etapas necessárias para essa análise através do MEF:

modelagem, descrição dos carregamentos, determinação dos deslocamentos, dos

esforços atuantes e, finalmente, a análise dos resultados.

A modelagem consiste em transcrever a forma idealizada, seja por arquitetos ou por

um processo de determinação de forma, para uma linguagem que possa ser resolvida

por métodos numéricos, definindo características dos materiais, condições de

contorno, além da discretização espacial.

O tecido e os cabos podem ser modelados com os mesmo elementos utilizados para

a determinação da forma, mas é necessária a inclusão de novos tipos de elemento,

capazes de modelar o comportamento não linear e da estrutura de suporte, como

elementos de pórtico.

Em seguida, devem ser definidos os carregamentos que atuam na estrutura, desde o

peso próprio da estrutura, até carregamentos dinâmicos de vento. Estes últimos

podem ser mais trabalhosos para os tenso-têxteis que, por não se adequarem às

formas padronizadas de normas, necessitam de testes em túnel de vento.

Uma vez definidos os carregamentos, deve-se solucionar o sistema de equações

resultante para obter os deslocamentos da estrutura. Nesta etapa de determinação da

configuração de equilíbrio da estrutura sob carregamento já não há grandes

deformações, entretanto os deslocamentos continuam exigindo uma análise não-

linear.

A não linearidade é acentuada pela falta de rigidez a compressão das membranas.

Para modelar este comportamento pode se utilizar o artifício de desconsiderar a


122

existência do elemento comprimido na modelagem, ou apenas considerar que o

módulo de elasticidade na direção comprimida seja nulo. Estes artifícios podem ser

fonte de instabilidades numéricas.

A instabilização, por compressão, dos elementos de membrana também pode ser

modelado detalhadamente como feito por Muttin [39], mas este tipo de estudo só

pode ser feito localmente devido ao refinamento (Figura 7-32) necessário para

descrever o enrugamento da membrana.

Figura 7-32 [39]

Em função destes problemas causados pela não linearidade, é necessária a utilização

de algoritmos bastante eficientes para que o tempo de processamento não se torne

excessivamente longo.

Uma vez conhecidos deslocamentos e tensões, devem ser feitas verificações que

comprovem a estabilidade estrutural.

Devem ser analisadas as tensões para evitar que excedam os limites determinados

por normas. Ainda tem que se evitar o aparecimento de tensões compressivas nos

tecidos. Para resolver possíveis problemas que apareçam nas tensões pode se

aumentar ou diminuir a protensão aplicada, ou até mudar a forma da estrutura.

Os deslocamentos também devem ser verificados para que se mantenham dentro

dos limites de utilização.


123

Finalmente, devem ser analisados, segundo as normas pertinentes, os elementos de

sustentação da cobertura, para então partir para o detalhamento.

Estas últimas análises são, na verdade, uma etapa de dimensionamento estrutural,

onde serão determinados as dimensões dos elementos de suporte, dos cabos,

espessura e tipo do tecido a ser usado, além dos valores de protensão a serem

aplicados.

8 ⋅ Conclusões

124


8Conclusões

8.1 Conclusões

A ferramenta desenvolvida no trabalho, o programa TENSOTEX, se mostrou

bastante eficiente para auxiliar o projeto de tenso-estruturas têxteis, realizando de

maneira integrada todas as etapas de análise e de projeto: definição da forma,

determinação dos moldes para corte, montagem e análise de tensões no tecido e

esforços nos cabos.

Como todas as etapas são feitas utilizando uma formulação Lagrangeana Total para

o MEF, a integração das diversas etapas foi feita de modo natural, sem ser

necessário, tal como no o método das densidades de forças, mudar a discretização

da malha de cabos equivalentes à membrana de tecido.

O MEF combinado com a formulação Lagrangeana e técnicas de solução

empregadas, também se mostrou bastante robusto, possibilitando a modelagem e

busca de forma de superfícies bastante complexas sem apresentar problemas de

8 ⋅ Conclusões

125

convergência. Também a técnica de planificação desenvolvida se mostrou bastante

eficiente, principalmente com a implementação do algoritmo para definir a rotação

a ser aplicada no pedaço do tecido antes da planificação.

A montagem e “costura” das peças planas de tecido da tenso-estrutura espacial e

análise de tensões se mostram de suma importância, determinando a necessidade de

mudança na malha das linhas de corte para evitar a presença de esforços de

compressão após a montagem.

Não foram encontrados na literatura exemplos completos, com dados físicos e

geométricos de uma tenso-estrutura têxtil, além de resultados experimentais e/ou

numéricos para a validação dos resultados obtidos com o programa TENSOTEX.

Assim, foram feitas comparações, para exemplos simples, com os resultados obtidos

com outros métodos implementados, tal como o da densidade de força, para a

determinação da forma. O método de planificação por tiras mostrou resultados

satisfatórios quando comparados aos resultados mais precisos obtidos com o

TENSOTEX.

8.2 Comentários finais e proposta para desenvolvimento de

trabalhos futuros

O assunto tratado é de grande relevância prática, principalmente se for levado em

conta o crescimento da demanda por tenso-estruturas têxteis no Brasil, as quais são

muitas vezes feitas sem as técnicas adequadas de análise e projeto.

É uma área relativamente nova no Brasil sob o ponto de vista de estudos e

pesquisas. Estudos apropriados envolvem desde o comportamento do material até

instabilidade dinâmica de membranas sob fluxo de ar.

8 ⋅ Conclusões

126

Alguns temas específicos para futuros trabalhos de pesquisa são indicados a seguir:

• Análise experimental de tecidos, para determinar tensões de ruptura,

resistência a fogo, durabilidade, características ortotrópicas, características

acústicas, etc;

• Otimização dos padrões de corte, minimizando o desperdício de tecido;

• Análise experimental de protótipos;

• Estudar o efeito das costuras na distribuição de tensões e rigidez;

• Estudar o enrugamento do tecido, provocado pela presença de tensões de

compressão no tecido;

• Análise dinâmica não linear – definição de algoritmos de melhor

desempenho, análise da instabilidade dinâmica das membranas, interação

aeroelástica entre fluido (ar) e a membrana;

• Otimização de forma – otimizar a forma em função das tensões, área de

tecidos e parâmetros dinâmicos;

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Anexo A – Descrição sumária do programa TENSOTEX

134


O programa TENSOTEX, foi implementado em linguagem FORTAN, baseado

num programa desenvolvido por RIBEIRO [50] para a resolução de problemas não-

lineares de cascas. Este programa foi transformado em uma rotina do TENSOTEX,

chamada MEF, e foram incluídos os elementos de membrana espacial e cabo-treliça

apresentados no Capítulo 4, além de outras sub-rotinas necessárias para executar as

projeto de uma tenso-estrutura têxtil.

A rotina MEF tem como parâmetros de entrada o nome de um arquivo de entrada e

um valor inteiro (lproc) que indica qual etapa do projeto deve ser executada, segundo

a tabela a seguir.

Tabela A.1 – Funções da rotina MEF

lproc Função

1 Definição da forma

2 Equalização das tensões

3 Planificação dos moldes

4 Reversão da planificação dos moldes

5 Montagem da tenso-estrutura

Para as lproc 1, 2 e 5 a rotina é executada apenas uma vez, enquanto que os outros

casos são executados para cada um dos np pedaços que formam a estrutura. A seguir

são apresentados os fluxogramas resumidos do programa principal, da rotina MEF e

uma descrição sumária da função de cada uma das sub-rotinas da rotina MEF.


135

Programa TENSOTEX

Início

Fim

Nome do arquivode entrada (arq1)

MEF , arq1, 1

MEF , arq2, 2

MEF , arq3(i), 3

MEF , arq4(i), 4

MEF , arq5, 5

i=1, np

i=1, np

Figura A-1 – Fluxograma principal do programa TENSOTEX


136

MEF, arq1, 1 MEF, arq2, 2 MEF, arq3(i), 3

ENTRADA ENTRADA ENTRADA

TUNI ADJTRIA3

DEFORM

DEFORM

NOCONT

SOLVE

SOLVE

GIRAPEDACO

PFORM, 3

PFORM, 3

GERACONT

PRTENS

PRTENS

DEFORM

EQUAL

PEDACOS

SOLVE

PFORM, 3

SPRTENS

COSTURA

MOLDES

ROTINA MEFDEFINIÇÃO DA

FORMA

ROTINA MEFEQUALIZAÇÃODAS TENSÕES

ROTINA MEFPLANIFICAÇÃO

DO MOLDE i

Figura A-2 – Fluxograma das rotinas das etapas principais de Análise/Projeto


137

MEF, arq4(i),4 MEF, arq5, 5

ENTRADA ENTRADA

DEFORM DEFORM

SOLVE SOLVE

PFORM, 3 PFORM, 3

PRTENS PRTENS

JUNTATIRA

ROTINA MEFREVERSÃO DAPLANIFICAÇÃO

DO MOLDE i

ROTINA MEFMONTAGEM

DA ESTRUTURA

Figura A-3 – Fluxograma das rotinas das etapas principais de Análise/Projeto

A.1 Descrição sumária das sub-rotinas

UENTRADA: U Sub-rotina para ler os dados de entrada:

• Coordenadas nodais

• Incidências dos elementos e material

• Forças ou deslocamentos impostos


138

• Condições de contorno

• Características dos materiais

• Tensões iniciais

• Numeração dos nós na estrutura completa (presentes apenas em arq3 e arq4)

• Numeração dos elementos na estrutura completa (presentes apenas em arq3 e

arq4)

• Número de subdivisões do processo incremental

• Tolerância para convergência

• Número máximo de iteração para alcançar a convergência

• Título do problema a ser resolvido

UADJTRIA3:U Sub-rotina que determina as adjacências dos elementos triangulares,

identificando os lados do contorno

COSTURA: Gera arquivos para reverter o processo de planificação

DEFORM: Rotina para saída de dados. Gera arquivos com a geometria deformada e

indeformada para Autocad (DXF) e View3d(PLT, GEO, VEC, SCL)

EQUAL: Gera o arquivo de entrada para a etapa de equalização de tensões

GIRAPEDACO: Define o plano local para fazer a planificação e transforma as

coordenadas dos nós para o referencial local

GERACONT: Gera as condições de contorno e os deslocamentos prescritos para efetuar

o processo de planificação

JUNTATIRA: Gera arquivo para montagem da estrutura completa, incluído as tensões

obtidas no processo de reversão da planificação;


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MOLDES: Gera arquivos de saída em DXF com a geometria dos moldes de corte,

identificação nos nós e do pedaço planificado

NOCONT: Utiliza os dados gerados na rotina ADJTRIA3 para identificar os nós do

contorno e guardar suas coordenadas para posterior montagem

PFORM,i: Rotina para formação da matriz de rigidez, vetor de forças internas e de

resíduo. Para i=3 calcula as tensões nos elementos

PRTENS: Gera arquivos de saída com tensões para GID (MSH, RES) e para VIEW3d

PEDACOS: Gera arquivos de entrada para a planificação dos pedaços do tecido

SOLVE: Loop incremental iterativo Newton Raphson. Além de solucionar o problema,

chama a DEFORM para gerar configurações deformadas intermediárias

TUNI: Aplica tensões uniformes nos cabos e no tecido, também reduz o módulo de

elasticidade

tese submetida ao corpo docente da ... oliveira, vinicius maia barreto de análise e projeto de...

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