tese phd asgago

7/24/2019 Tese PhD ASGago

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UNIVERSIDADE TCNICA DE LISBOA

INSTITUTO SUPERIOR TCNICO

ANLISE ESTRUTURAL DE ARCOS, ABBADAS E CPULAS

Contributo para o Estudo do Patrimnio Construdo

Antnio Manuel Candeias de Sousa Gago

(Mestre)

Dissertao para obteno do grau de Doutor em Engenharia Civil

Orientador: Doutor Antnio Ressano Garcia Lamas

Jri:

Presidente: Reitor da Universidade Tcnica de Lisboa

Vogais: Doutor Antnio Ressano Garcia Lamas

Doutor Jos Manuel Car Baptista Viegas

Doutor Joo Jos Rio Tinto de Azevedo

Doutor Anbal Guimares da Costa

Doutor Artur Vieira Pinto

Doutor Jorge Manuel Vinagre Alfaiate

Engenheiro Joo Augusto da Silva Appleton

Dezembro de 2004


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memria dos meus pais


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RESUMO

O crescente interesse na recuperao do patrimnio construdo exige o domnio de meios de

previso do comportamento estrutural dos edifcios antigos. Os instrumentos correntemente

aplicados na anlise das estruturas modernas mostram-se inadequados para construes antigas

em alvenaria, particularmente para estruturas arqueadas (arcos, abbadas e cpulas), sendo

necessrio desenvolver novos modelos e ferramentas. Este o principal objectivo do presente

trabalho.

Os antigos mtodos de anlise so recuperados, corrigidos, justificados e desenvolvidos luz

da mecnica estrutural actual, de modo a obter metodologias simples que permitam avaliaes

preliminares e valores de referncia para anlises numricas.

Os modernos modelos computacionais, que possibilitam a simulao de comportamentos no

lineares, so estudados e calibrados de modo a adapt-los s estruturas das construes antigas.

Os mtodos dos elementos finitos e discretos so aplicados na modelao de estruturas

arqueadas reais, com vista a identificarem-se os parmetros mais relevantes e as suas principais

caractersticas.

Apresentam-se, tambm, resultados experimentais obtidos em ensaios de um modelo escala

real, os quais permitem a calibrao de modelos numricos.

Os modelos e metodologias desenvolvidos e aperfeioados so depois aplicados no estudo das

patologias estruturais de um edifcio monumental real - a igreja de So Francisco, em vora.


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ABSTRACT

The increasing interest in the conservation of architectural heritage requires the ability for the

simulation of the structural behaviour of old buildings. The design methods applied in the

analysis of modern structures are unsuitable for old masonry buildings, particularly for arched

structures (arcs, vaults and domes), hence the necessity to develop new methods and tools. This

is the main objective of the present work.

In order to develop simple methodologies for preliminary evaluations and reference values for

numerical analyses, old methods of analysis are recovered, corrected, justified and developed

using the concepts of modern structural mechanics.

Recent computational models are studied and calibrated in order to adapt them to old structures.

Finite and discrete elements methods are applied in the simulation of arched structures, aiming

at identifying the most important parameters and their main characteristics.

Results from experimental tests carried out on a full scale model are presented. They allow the

calibration of numerical models.

The developed models and methodologies are applied in the study of the church of So

Francisco, in vora, where structural damages are visible.


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PALAVRAS CHAVE

KEYWORDS

AbbadaAlvenaria

Arco

Cpula

Linha de Presses

Anlise Estrutural

Arch

Dome

Line of Thrust

Masonry

Structural Analysis

Vault


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AGRADECIMENTOS

A presente tese foi desenvolvida no mbito da actividade de investigao do autor no Instituto

de Engenharia de Estruturas, Territrio e Construo do Instituto Superior Tcnico.

O trabalho foi apoiado pela Fundao para a Cincia e Tecnologia atravs da bolsa de

investigao BD/18328/98, no mbito do programa PRAXIS XXI, e do projecto de investigao

Proteco do Patrimnio Construdo da Aco dos Sismos, PRAXIS I&D 3/3.1/CEG/2006/

95, actualmente designado por POCTI/CEG/2606/02.

A realizao desta tese no teria sido possvel sem a contribuio, directa ou indirecta, de

inmeras pessoas, s quais endereo os meus agradecimentos. A tarefa de mencionar nomes

algo ingrata, em virtude da impossibilidade de referir todos a quem reconheo dvida pelo apoio

prestado. No entanto, gostaria de referir alguns pela particular ateno que me dedicaram.

Ao Professor Antnio Ressano Garcia Lamas, supervisor cientfico deste trabalho e meu

orientador desde o incio da minha actividade docente no Departamento de Engenharia Civil e

Arquitectura do Instituto Superior Tcnico, desejo manifestar o meu profundo agradecimento.

Nunca ser demais realar todo o apoio e amizade que me tem prestado desde que iniciei acarreira docente. O seu acompanhamento ao longo destes mais de dez anos, os seus

ensinamentos e a sua influncia na minha opo de investigao na rea da reabilitao

estrutural de edifcios antigos, so objecto do meu especial agradecimento.

Ao Professor Joo Jos Rio Tinto de Azevedo manifesto o meu reconhecimento pelo apoio

prestado em diversas fases da minha carreira, em especial em alguns momentos difceis da

evoluo da presente tese.


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Ao Professor Jorge Manuel Vinagre Alfaiate agradeo o interesse pelo meu trabalho e o apoio

conferido na rea da anlise numrica no linear de estruturas de alvenaria.

Ao Engenheiro Artur Vieira Pinto do Centro Comum de Investigao da Comisso Europeia

(Joint Research Centre), em Ispra, Itlia, manifesto o meu agradecimento pela possibilidade de

ter integrado a equipe de investigao do projecto COSISMOe pela simpatia e apoio concedido

durante a minha estadia naquela instituio.

Ao Engenheiro Pierre Pegon do Centro Comum de Investigao da Comisso Europeia e ao

Engenheiro Jos Vieira de Lemos do Laboratrio Nacional de Engenharia Civil agradeo o

apoio nos programas de clculo CASTEM e UDEC, respectivamente, e o trabalho numrico

realizado no mbito do projecto COSISMO.

Direco Geral dos Edifcios e Monumentos Nacionais, nas pessoas do seu director geral,

Engenheiro Vasco Martins Costa, e do director regional da zona Sul, Arquitecto Jos Felipe

Ramalho, agradeo o apoio concedido ao projecto COSISMOe ao trabalho de investigao

referente igreja de So Francisco em vora.

Ao Professor Francisco Baptista Esteves Virtuoso desejo manifestar um especial agradecimento

pela inestimvel amizade e pelos preciosos conselhos e ensinamentos com que me entusiasmou

pela profisso que exero.

A todos os meus colegas da antiga seco de Mecnica Aplicada do Departamento de

Engenharia Civil do Instituto Superior Tcnico, em particular aos Professores Carlos de Sousa

Oliveira, Eduardo Ribeiro Pereira, Lus Coelho Guerreiro, Rita Nogueira Leite Pereira Bento,

Jorge Miguel Mascarenhas Proena e Antnio Pinto da Costa e ao Professor Lus Santos Castro

do ncleo de Anlise de Estruturas agradeo os incentivos para a realizao desta tese e o bom

ambiente de trabalho.

No posso deixar de reconhecer apoio que recebi do secretariado da antiga seco de Mecnica

Aplicada do Departamento de Engenharia Civil do Instituto Superior Tcnico ao longo da

minha carreira acadmica e em especial a boa disposio e eficincia da secretria Lurdes Piado

Farrusco que muito facilitaram a minha actividade de investigao.


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Ao Engenheiro Manuel Ritto Corra e ao Professor Nuno Guerra agradeo a disponibilidade e

as frutferas discusses que muito me auxiliaram e aos meus colegas Professor Joo Gomes

Ferreira e Engenheiro Joaquim Ramos Dias agradeo a amizade que nos une e a solidariedade

manifestada ao longo deste longo percurso de ps graduao que teve incio com o mestrado em

Engenharia de Estruturas.

Dedico este trabalho memria dos meus pais, porque tudo o que lhes devo no caberia nestas

pginas, e aos meus filhos Pedro e Joo pelo amor que lhes tenho e pela menor disponibilidade

que revelei durante a execuo deste trabalho.

O maior agradecimento no podia deixar de ser dirigido Carmo, minha mulher, pelo seu apoio

e estmulo e pelos sacrifcios que frequentemente lhe impus durante a execuo desta

dissertao.


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NDICE

Captulo 1 - Introduo

1.1 - Introduo ............................................................................................................ 1

1.2 - Objectivos ...........................................................................................................5

1.3 - Estrutura do Trabalho ..........................................................................................6

Captulo 2 - Enquadramento Histrico

2.1 - Introduo ............................................................................................................ 11

2.2 - A Construo em Alvenaria Atravs dos Tempos ...............................................11

2.3 - A Evoluo dos Mtodos de Dimensionamento ..................................................19

2.3.1 - Da Antiguidade ao Renascimento ............................................................19

2.3.2 - Do Renascimento ao Sculo XIX .............................................................22

2.3.3 - Do Sculo XIX Actualidade ..................................................................38

Captulo 3 - Metodologias Grficas e Analticas

3.1 - Introduo ............................................................................................................ 53

3.2 - Regra do Tero Central. Linha de Presses ......................................................54

3.3 - Anlise Geomtrica pelo Polgono Funicular ......................................................64

3.4 - Anlise Geomtrica pelo Mtodo de Fuller .........................................................69

3.5 - Mtodo Elstico de Pippard .................................................................................72

3.6 - Teoria da Anlise Limite Aplicada a Estruturas de Alvenaria .............................76

3.7 - Linhas de Presses. Analogia com Cabos Suspensos ..........................................85


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3.8 - Mtodos Analticos Baseados em Mecanismos ...................................................94

3.8.1 - Dimensionamento da Espessura dos Ps Direitos de Arcos ..................... 94

3.8.2 - Coeficientes de Segurana Geomtricos. Espessuras Mnimas ................106

3.8.3 - Arcos Sujeitos Aco de Cargas Concentradas. Cargas de Colapso .....136

3.9 - Estruturas Tridimensionais - Cpulas e Abbadas ..............................................148

3.9.1 - Abbadas ..................................................................................................150

3.9.1.1 - Metodologias Analticas ............................................................150

3.9.1.2 - Metodologias Grficas ..............................................................156

3.9.2 - Cpulas .....................................................................................................160

3.9.2.1 - Metodologias Analticas ............................................................160

3.9.2.2 - Metodologias Grficas .............................................................181

3.10 - Concluses .........................................................................................................182

Captulo 4 - Modelao Numrica de Estruturas em Alvenaria

4.1 - Introduo ............................................................................................................ 187

4.2 - Metodologias de Anlise Numrica em Estruturas de Alvenaria ........................188

4.2.1 - Elementos Estruturais e Macro-Elementos ............................................... 188

4.2.2 - Modelos Contnuos de Elementos Finitos ................................................189

4.2.3 - Modelos Descontnuos de Elementos Finitos ........................................... 196

4.2.4 - Modelos de Elementos Discretos ..............................................................200

4.3 - Caracterizao Experimental das Alvenarias Regulares ...................................... 202

4.4 - O Mtodo dos Elementos Finitos na Modelao da Alvenaria ............................210

4.4.1 - Estrutura do Mtodo dos Elementos Finitos na Anlise No Linear ........210

4.4.2 - Algoritmos de Soluo No Linear em Problemas Estticos ...................218

4.4.2.1 - Controle de Cargas e de Deslocamentos ...................................218

4.4.2.2 - Mtodo do Comprimento do Arco ............................................218

4.4.2.3 - Procedimentos Iterativos ...........................................................223

4.4.2.4 - Algoritmo de Pesquisa em Linha ..............................................224

4.4.2.5 - Critrios de Convergncia .........................................................225

4.4.3 - Modelos No Lineares para Materiais Quase-Frgeis .............................. 227

4.4.3.1 - Modelos Descontnuos - Modelos de Fenda Discreta ...............227

4.4.3.2 - Modelos Contnuos - Modelos de Fenda Distribuda ................232


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4.5 - O Mtodo dos Elementos Discretos na Modelao da Alvenaria ........................240

4.5.1 - Deformabilidade dos Blocos Discretos ....................................................240

4.5.2 - Interaco entre Blocos .............................................................................241

4.5.2.1 - Definio do Contacto - Contacto Pontual ................................241

4.5.2.2 - Deteco de Contactos e suas Actualizaes ............................242

4.5.2.3 - Representao Geomtrica dos Vrtices - Aproximao por Arcos

Circulares ..................................................................................245

4.5.2.4 - Contacto Vrtice - Aresta ..........................................................247

4.5.2.5 - Contacto Vrtice -Vrtice ..........................................................249

4.5.2.6 - Mudana de Tipo de Contacto ...................................................250

4.5.3 - Comportamento Mecnico dos Contactos ................................................250

4.5.4 - Clculo Estrutural ..................................................................................... 253

4.5.4.1 - Algoritmo de Clculo ................................................................ 253

4.5.4.2 - Ciclo de Clculo ........................................................................254

4.5.4.3 - Equaes de Movimento ...........................................................256

4.5.4.4 - Amortecimento ..........................................................................259

4.5.4.5 - Estabilidade Numrica .............................................................. 261

4.6 - Comparao dos Mtodos ....................................................................................262

4.7 - Estudos Numricos ...............................................................................................264

4.7.1 - Arco Circular - Modelos Descontnuos de Elementos Finitos .................264

4.7.1.1 - Anlises Geometricamente Lineares .........................................266

4.7.1.2 - Anlises Geometricamente No Lineares .................................267

4.7.1.3 - Efeitos da Modelao da Resistncia Traco das Juntas ......269

4.7.1.4 - Efeitos da Modelao da Resistncia Compresso dos

Blocos ........................................................................................ 272

4.7.2 - Arco Circular - Modelos de Elementos Discretos ....................................274

4.7.3 - Arco Circular - Modelos Contnuos de Elementos Finitos .......................276

4.7.4 - Arcos Ogivais - Modelos de Elementos Discretos ...................................278

4.8 - Estudo de Pontes em Arco com Vis ...................................................................281

4.9 - Simulao Numrica de Ensaios Experimentais em Pontes Reais ...................... 288

4.9.1 - Consideraes sobre Efeitos de Escala em Modelos de Estruturas

Arqueadas ..................................................................................................288

4.9.2 - Modelao Numrica do Ensaio da Ponte de Bridgemill .........................292


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4.9.3 - Modelao Numrica do Ensaio da Ponte de Bargower ..........................298

4.9.3.1 - Descrio da Ponte e do Ensaio Experimental ..........................298

4.9.3.2 - Modelo Numrico Simplificado ................................................300

4.9.3.3 - Modelo Numrico mais Sofisticado ..........................................305

4.10 - Concluses .........................................................................................................313

Captulo 5 - Projecto COSISMO

5.1 - Introduo ............................................................................................................ 317

5.2 - A Estrutura Ensaiada ............................................................................................320

5.2.1 - O Mosteiro de So Vicente de Fora ..........................................................320

5.2.2 - Estudos Preliminares ................................................................................322

5.2.3 - Estudos Numricos para Definio do Modelo Experimental .................324

5.2.4 - A Execuo do Modelo Experimental ......................................................332

5.2.5 - Sistemas de Aplicao das Cargas e Plano de Instrumentao ................336

5.3 - Ensaios Pseudo-Dinmicos ..................................................................................340

5.3.1 - Metodologia dos Ensaios Pseudo-Dinmicos ...........................................340

5.3.2 - Caractersticas do Laboratrio ELSA .......................................................344

5.4 - Resultados dos Ensaios Experimentais ................................................................345

5.4.1 - A Primeira Campanha de Ensaios - Modelo Experimental No

Reforado ..................................................................................................345

5.4.2 - A Segunda Campanha de Ensaios - Modelo Experimental Reforado ....357

5.5 - Modelao Numrica dos Ensaios .......................................................................364

5.5.1 - Modelos de Elementos Finitos ..................................................................365

5.5.2 - Modelos de Elementos Discretos ..............................................................370

5.6 - Concluses ...........................................................................................................375

Captulo 6 - Caso de Estudo, Igreja de So Francisco

6.1 - Introduo ............................................................................................................ 379

6.2 - Descrio do Edifcio e Anomalias Estruturais ...................................................381

6.2.1 - Introduo .................................................................................................381

6.2.2 - Descrio Geral do Edifcio ...................................................................... 383


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6.2.3 - Histria das Intervenes na Construo ..................................................384

6.2.4 - Descrio dos Danos Observados .............................................................391

6.3 - Inspeco e Monitorizao ...................................................................................394

6.3.1 - Introduo .................................................................................................394

6.3.2 - Inspeco - Danos Observados .................................................................396

6.3.3 - Monitorizao da Igreja ............................................................................406

6.4 - Estudos Numricos ...............................................................................................409

6.4.1 - Modelos de Elementos Finitos Elsticos e Lineares .................................409

6.4.2 - Modelos de Elementos Finitos no Lineares ............................................414

6.5 - Diagnstico ..........................................................................................................416

6.6 - Desenvolvimentos Futuros ...................................................................................417

Captulo 7 - Concluses e Desenvolvimentos Futuros

7.1 - Introduo ............................................................................................................ 419

7.2 - Concluses ...........................................................................................................421

7.3 - Perspectivas de Desenvolvimentos Futuros .........................................................426

Bibliografia Histrica .................................................................................................429

Bibliografia ..................................................................................................................433


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NDICE DE FIGURAS

Figura 1.1 - Mecanismo de colapso de um arco sob a aco de uma carga concentrada e exemplo

de colapso eminente de um arco realAdam,1995. ................................................. 4

Figura 2.1 - Produo de tijolos no antigo Egipto (tumulo de

Rekhmara - Thebes, 1500 A.C.). ...................................................................... 12

Figura 2.2 - Porta dos Lees - Micenas, Grcia (sculo XIII A.C.). ................................ 13

Figura 2.3 - Partenon - Atenas, Grcia (sculo V A.C.). ..................................................... 14

Figura 2.4 - Cpula do Panteo de Roma (sculo II D.C.). ................................................. 14

Figura 2.5 - Arcos embebidos nas paredes de alvenaria (Panteo de Roma) e parede de alvenaria

com elementos de madeira (Herculano, 62-79 D.C.)Adam,1995. ....................... 15

Figura 2.6 - Vista interiorViollet le Duc,1858e esquema estrutural de uma catedral gtica. .... 18

Figura 2.7 - Cpulas das baslicas de Santa Maria del Fiore (esq.) e de S. Pedro em

Roma (dta.). ...................................................................................................... 18

Figura 2.8 - Pgina do livro de apontamentos de Villard de Honnecourt. ........................... 20

Figura 2.9 - Regras empricas de Rodrigo Gil de Hontan para o dimensionamento da

espessura das colunas ou paredes que suportam um arco semi-circular. ......... 21

Figura 2.10 - Paralelograma de foras de Leonardo da Vinci. ............................................. 23

Figura 2.11 - Estudos sobre arcos e regra para a verificao da estabilidade de arcos de Leonardoda Vinci. ........................................................................................................... 23

Figura 2.12 - Regra de Derand para dimensionamento da espessura dos ps-direitos de

arcosMainstone,1988. ............................................................................................ 24

Figura 2.13 - Corrente suspensa de HookeHeyman,1988. ........................................................ 25

Figura 2.14 - Grficos de Philippe de la Hire: Esquerda - clculo dos pesos a suspender num

cabo para que este adquira uma dada geometria; Direita - clculo das dimenses das

aduelas para uma dada geometria do eixo do arco, desprezando o atrito e a coeso


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entre aduelas. .................................................................................................... 26

Figura 2.15 - Mecanismo tipo cunha deslizante proposto por Philippe de la Hire. ............. 27

Figura 2.16 - Diagrama de corpo livre correspondente ao mecanismo proposto por

La Hire. ............................................................................................................. 27

Figura 2.17 - Metodologia grfica proposta por La Hire para a determinao das espessuras dos

ps-direitos de arcos. ........................................................................................ 28

Figura 2.18 - Regra de Couplet para verificao da segurana de uma arco. ...................... 30

Figura 2.19 - Modelo de colapso considerado por Couplet e metodologia grfica para anlise do

equilbrio dos corpos rgidos formados pelas descontinuidade. ....................... 30

Figura 2.20 - Metodologia grfica de Couplet para anlise do arco com 120 de

abertura. ............................................................................................................ 31

Figura 2.21 - Mecanismos de colapso obtidos experimentalmente por Danyzy e publicados por

Frzier. .............................................................................................................. 32

Figura 2.22 - Modelo de Poleni para anlise da estabilidade da cpula de S. Pedro em

Roma. ............................................................................................................... 33

Figura 2.23 - Estudos de Bossut para a geometria das aduelas dum arco circular. .............. 35

Figura 2.24 - Modelo de Coulomb para anlise de arcos. .................................................... 36

Figura 2.25 - Mecanismos limites considerados por Coulomb. ........................................... 36

Figura 2.26 - Mecanismo considerado por Mascheroni no dimensionamento da espessura dos

ps-direitos dos arcos. ...................................................................................... 37

Figura 2.27 - Linhas de resistncia (a-b-c-d-e-f) e de presses (A-B-C-D-E). .................... 39

Figura 2.28 - Linha de resistncia limite correspondente ao impulso horizontal mnimo. .. 40

Figura 2.29 - Mtodo grfico de Mry. ................................................................................ 41

Figura 2.30 - Verificao da segurana de um arco e da espessura de um p direito. ......... 42

Figura 2.31 - Verificao da segurana de uma abbada e da espessura do seu p-

direitoSalinger,1942. ............................................................................................. 43

Figura 2.32 - Modelos de Barlow. ........................................................................................ 43

Figura 2.33 - Modelo de Gaud para o dimensionamento de cpulas atravs da analogia entre

arcos e correntes suspensas. ............................................................................. 45

Figura 2.34 - Modelos foto-elsticos de Robert Mark para o estudo das catedrais de Beauvais e

Bourges - aco do peso prprio da estruturaMark, 1982. .................................. 49

Figura 2.35 - Modelos de anlise limite para verificao da segurana de fachadas em alvenaria:

Esquerda - comportamento no plano; Direita - comportamento fora do


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xxi

planoGiuffr,1993. ................................................................................................ 50

Figura 2.36 - Modelao do comportamento estrutural de parede de alvenaria de tijolo atravs

de modelos de elementos finitos com interfaces no linearesLoureno,1996. ..... 51

Figura 2.37 - Modelo elstico linear da fachada completa da baslica de S. Pedro em

RomaMacchi,2001. ............................................................................................... 51

Figura 3.1 - Diferentes tipos de alvenaria de pedra (em cima: alados; em baixo: cortes

transversais). ..................................................................................................... 55

Figura 3.2 - Tenses normais e esforos actuantes na seco transversal de uma pea

linear. ................................................................................................................ 55

Figura 3.3 - Distribuio das tenses internas numa seco em funo da posio da sua

resultante. ......................................................................................................... 56

Figura 3.4 - Distribuio das tenses internas numa seco em funo da posio da sua

resultante (cont.). .............................................................................................. 57

Figura 3.5 - Diagrama de interaco M-N (seco recngular no resistente traco). .... 59

Figura 3.6 - Diagrama de interaco emax-N (seco recngular no resistente traco). 59

Figura 3.7 - Linhas de presses e de resistncia num arco, de acordo com as definies de

Timoshenko. ..................................................................................................... 60

Figura 3.8 - Regras do tero e da metade central. ................................................................ 61

Figura 3.9 - Diagrama de corpo livre de um troo de um arco. ........................................... 61

Figura 3.10 - Discretizao da carga aplicada no arco. ........................................................ 62

Figura 3.11 - Geometria do arco da ponte Teston em Kent (dimenses em metro). ........... 63

Figura 3.12 - Ponte de Teston - discretizao da carga permanente. ................................... 63

Figura 3.13 - Posio duma possvel linha de presses da ponte Teston para a aco do peso

prprio e de uma carga concentrada aplicada a 1/4 de vo e com intensidade

40 kN. ............................................................................................................... 65

Figura 3.14 - Traado de um polgono funicular. ................................................................ 65

Figura 3.15 - Linhas de presses correspondentes ao impulso mximo e ao impulso

mnimoSalinger,1942. ........................................................................................... 67

Figura 3.16 - Mtodo grfico de Mry. ................................................................................ 67

Figura 3.17 - Geometria dos polgonos funiculares em funo da localizao da resultante das

cargas. ............................................................................................................... 68

Figura 3.18 - Efeito favorvel do enchimento no extradorso do arco no perfil da linha de

presses: linhas de presses do peso prprio do arco (esq.) e dos pesos prprios do


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arco e do material de enchimento (dta). ........................................................... 69

Figura 3.19 - Mtodo de Fuller - espessura mnima admissvel de um arco circular submetido

aco do seu peso prprio - a)b) com menor discretizao do carregamento e

considerando os pontos do extradorso; c)d) com maior discretizao do

carregamento e considerando os pontos do intradorso. .................................... 70

Figura 3.20 - Mtodo de Fuller - espessura mnima admissvel para um arco circular submetido

acco do peso prprio do material de enchimento no extradorso. ............... 72

Figura 3.21 - Anlise elstica de Pippard. ............................................................................ 73

Figura 3.22 - Movimento relativo numa junta entre elementos. .......................................... 78

Figura 3.23 - Regio admissvel no espao das tenses. ...................................................... 79

Figura 3.24 - Regio admissvel real no espao das tenses. ............................................... 81

Figura 3.25 - anlise limite de um arco de perfil parablico. ............................................... 83

Figura 3.26 - Momento de "plastificao" em funo da localizao da carga

concentradaHeyman,1969. .................................................................................... 85

Figura 3.27 - Coeficiente de segurana geomtricoHeyman,1980b). ....................................... 85

Figura 3.28 - Determinao da linha de presses correspondente aco do peso prprio do

arco. .................................................................................................................. 86

Figura 3.29 - Geometria da linha de presses correspondente ao arco submetido apenas aco

do seu peso prprio - catenria invertida. ......................................................... 87

Figura 3.30 - Determinao da linha de presses correspondente aco de uma carga

uniformemente distribuda na largura do arco. ................................................ 88

Figura 3.31 - Determinao da linha de presses correspondente aco do peso prprio do

material de enchimento no extradorso do arco. ................................................ 89

Figura 3.32 - Famlia de linhas de presses correspondente aco do peso prprio do material

de enchimento no extradorso do arco, para um vo L = 20 m e uma altura total a +

h = 10 m. ........................................................................................................... 89

Figura 3.33 - Determinao do carregamento correspondente a uma linha de presses

circular. ............................................................................................................. 90

Figura 3.34 - Famlia de carregamentos correspondentes linha de presses circular. ...... 91

Figura 3.35 - Clculo da espessura de um arco com linha de presses coincidente com o

intardorso circular. ............................................................................................ 92

Figura 3.36 - Famlia de espessuras do arco correspondente linha de presses circular (cima)

e extradorso do arco correspondente a uma linha de presses coincidente com o


24/490

xxiii

intradorso circular (t/r = 0.125) (baixo). ........................................................... 93

Figura 3.37 - Possveis mecanismos de colapso de um arco apoiado sobre colunas ou paredes:

esq - mecanismo de escorregamento (de La Hire); dta - mecanismo rotacional (de

Coulomb-Mascheroni). ..................................................................................... 95

Figura 3.38 - Mecanismo de escorregamento de Philippe de la Hire - Diagramas de corpo

livre. .................................................................................................................. 96

Figura 3.39 - Mecanismo de escorregamento de Bernard Belidor - Diagramas de corpo

livre. .................................................................................................................. 97

Figura 3.40 - Espessuras mnimas admissveis de um arco circular calculadas atravs dos

modelos correspondentes s hipteses de Philippe de la Hire e Bernard

Belidor. ............................................................................................................. 99

Figura 3.41 - Espessuras mnimas admissveis dos ps direitos de arcos circulares para

diferentes valores do ngulo de atrito - hipteses de La Hire, de Belidor e de

Coulomb-Mascheroni. ...................................................................................... 100

Figura 3.42 - Espessuras mnimas admissveis dos ps direitos de arcos circulares determinadas

pelas hipteses de La Hire, Belidor e de Coulomb-Mascheroni. .................... 100

Figura 3.43 - Espessuras mnimas admissveis dos ps direitos de arcos circulares determinadas

pelas hipteses de La Hire, Belidor e de Coulomb-Mascheroni. ..................... 101

Figura 3.44 - Mecanismo rotacional de Coulomb-Mascheroni. ........................................... 101

Figura 3.45 - Diagrama de corpo livre do mecanismo rotacional. ....................................... 102

Figura 3.46 - Diagrama de corpo livre do mecanismo rotacional ........................................ 103

Figura 3.47 - Espessuras dos ps direitos em funo do ngulo de localizao da seco

fracturada. ......................................................................................................... 104

Figura 3.48 - Diagramas -e -para os mecanismos de escorregamento de La Hire e de

Belidor e para o mecanismo rotacional de Coulomb-Mascheroni. .................. 105

Figura 3.49 - Espessura mnima admissvel de um arco circular submetido apenas aco do

seu peso prprio. ............................................................................................... 107

Figura 3.50 - Diagramas de corpo livre - arco circular submetido apenas aco do seu peso

prprio. ............................................................................................................. 108

Figura 3.51 - Espessura mnima de um arco circular abatido. ............................................. 109

Figura 3.52 - Diagramas de corpo livre - arco circular submetido apenas aco do seu peso

prprio. ............................................................................................................. 110

Figura 3.53 - Mecanismo de colapso correspondente espessura mnima de um arco circular


25/490

xxiv

sujeito apenas aco do seu peso prprio. ..................................................... 110

Figura 3.54 - Variao da espessura mnima admissvel de um arco circular submetido apenas

aco do seu peso prprio e do impulso horizontal correspondente, em funo do

ngulo de abertura do arco. .............................................................................. 111

Figura 3.55 - Variao da espessura mnima admissvel de um arco circular com 20 m de vo,

submetido apenas aco do seu peso prprio, em funo da sua altura f = R(1-

cos), na hiptese de inexistncia de escorregamentos relativos. ................... 112

Figura 3.56 - Espessura mnima de um arco circular sujeito apenas aco de uma carga

uniformemente distribuda no seu vo. ............................................................ 112

Figura 3.57 - Diagramas de corpo livre - arco circular submetido apenas aco de uma carga


Figura 3.58 - Espessura mnima admissvel em funo do ngulo de abertura do arco (arco

circular submetido apenas aco de uma carga uniformemente distribuda). 115

Figura 3.59 - Impulso horizontal correspondente espessura mnima admissvel em funo do

ngulo de abertura do arco (arco circular submetido apenas aco de uma carga

uniformemente distribuda). ............................................................................. 116

Figura 3.60 - Diagramas de corpo livre - arco circular submetido aco do seu peso prprio e

de uma carga uniformemente distribuda no seu vo. ...................................... 117

Figura 3.61 - Variao da espessura mnima admissvel em funo do valor da carga uniforme,

para um arco circular sujeito aco do seu peso prprio e de uma carga


Figura 3.62 - Variao da espessura mnima admissvel de um arco sujeito aco do seu peso

prprio e de uma carga uniformemente distribuda no seu vo, em funo do seu

ngulo de abertura. ........................................................................................... 119

Figura 3.63 - Enchimento do extradorso do arco. ................................................................ 120

Figura 3.64 - Espessura mnima admissvel de um arco circular submetido apenas aco do

peso prprio do material de enchimento no seu extradorso. ............................ 120

Figura 3.65 - Diagramas de corpo livre - arco circular submetido aco do peso prprio do

material de enchimento no seu extradorso. ...................................................... 121

Figura 3.66 - Espessura mnima admissvel de um arco submetido aco do peso prprio do

material de enchimento no extradorso, em funo do ngulo de localizao da

articulao junto das impostas. ......................................................................... 123

Figura 3.67 - Variao da espessura mnima admissvel de um arco submetido apenas aco


26/490

xxv

do peso prprio do material de enchimento no seu extradorso, em funo do ngulo

de abertura do arco. .......................................................................................... 124

Figura 3.68 - Diagramas de corpo livre do arco circular submetido ao seu peso prprio e do

material de enchimento no extradorso. Em cima: mecanismo 1 - efeito do peso

prprio do arco preponderante; em baixo: mecanismo 2 - efeito do peso prprio do

enchimento no extradorso do arco preponderante. ........................................... 125

Figura 3.69 - Espessuras mnimas admissveis de um arco circular completo sujeito aco dos

pesos prprios do arco e do material de enchimento no extradorso, obtidas atravs

do mecanismo 1. ............................................................................................... 126

Figura 3.70 - Espessuras mnimas admissveis de um arco circular completo sujeito aco dos

pesos prprios do arco e do material de enchimento no extradorso - obtidas atravs

do mecanismo 2. ............................................................................................... 126

Figura 3.71 - Variao da espessura mnima admissvel de um arco circular completo sujeito

aco do seu peso prprio e do material de enchimento no extradorso. .......... 127

Figura 3.72 - Linhas de presses correspondentes aos impulsos horizontal mximo e mnimo

num arco circular completo. ............................................................................. 128

Figura 3.73 - Situaes limites correspondentes aos impulsos horizontais mximo e

mnimo. .............................................................................................................. 128

Figura 3.74 - Diagrama de corpo livre - situao limite de impulso horizontal mnimo, num arco

circular completo sujeito aco do seu peso prprio e de uma carga


Figura 3.75 - Variao do impulso horizontal mnimo Hmem funo do ngulo de localizao

da articulao nos rins do arco (q = 10 kN/m2, = 20 kN/m3, t = 1.00 m, R =

2.5;5.0;7.5 m). .................................................................................................. 130

Figura 3.76 - Variao de dHm/dem funo do ngulo de localizao da articulao nos rins

do arco (q = 10 kN/m2, = 20 kN/m3, t = 1.00 m, R = 7.5 m). ....................... 130

Figura 3.77 - Diagrama de corpo livre - situao limite de impulso horizontal mximo, de um

arco circular completo sujeito aco do seu peso prprio e de uma carga


Figura 3.78 - Variao do impulso horizontal mximo HMem funo do ngulo de localizao

da articulao nos rins do arco (q = 10 kN/m2, = 20 kN/m3, t = 1.00 m, R = 2.5

;5.0 ;7.5 m). ...................................................................................................... 132

Figura 3.79 - Variao de dHM/dem funo do ngulo de localizao da articulao nos rins


27/490

xxvi

do arco (q = 10 kN/m2, = 20 kN/m3, t = 1.00 m, R = 7.5 m). ....................... 133

Figura 3.80 - Variao dos impulsos horizontais mximo e mnimo em funo do ngulo de

localizao da articulao nos rins do arco, para a situao correspondente

espessura mnima admissvel (t = 0.106R) e para uma espessura superior mnima

(q = 0, = 20 kN/m3, t = 0.795 m e 1.00 m, R = 7.5 m). ................................ 133

Figura 3.81 - Variao dos impulsos horizontais mximo e mnimo correspondentes s anlises

com e sem considerao do efeito da tenso limite de compresso (q = 1000 kN/

m2, = 20 kN/m3, t = 1.50 m, R = 7.5 m, lim= 7 MPa). ............................... 136

Figura 3.82 - Mecanismo de colapso de um arco submetido aco de uma carga

concentrada. ........................................................................................................ 138

Figura 3.83 - Mecanismo cinematicamente admissvel de um arco submetido aco do peso

prprio do arco e do material de enchimento no seu extradorso, sobrecarga

uniforme e de uma carga concentrada. ............................................................. 139

Figura 3.84 - Clculo dos deslocamentos num mecanismo cinematicamente admissvel. .. 139

Figura 3.85 - Geometria do arco. ......................................................................................... 140

Figura 3.86 - Cargas de colapso em funo da localizao do ponto de aplicao e da relao

L/h - aco exclusiva do peso prprio do arco (pp = 26.8 kN/m3) - esq: valores em

kN; dta: valores normalizados. ......................................................................... 141

Figura 3.87 - Cargas de colapso em funo da localizao do ponto de aplicao e da relao L/

h - aco do peso prprio do arco (pp = 26.8 kN/m3) e do material de enchimento

no extradorso (= 20 kN/m3), que se considerou com 1.76 m de altura acima do

fecho (hsc = 1.76 m) - esq: valores em kN; dta: valores normalizados. ......... 141

Figura 3.88 - Localizao mais desfavorvel da carga concentrada - arco sujeito aco de uma

carga concentrada e do seu peso prprio. ......................................................... 142

Figura 3.89 - Arco abatido e linha de presses bi-linear correspondente aco

concentrada. ...................................................................................................... 142

Figura 3.90 - Disperso da carga concentrada atravs do material de enchimento no extradorso

do arco. ............................................................................................................. 143

Figura 3.91 - Efeito da disperso da carga concentrada atravs do material de

enchimento. ...................................................................................................... 143

Figura 3.92 - Modelo para considerao do impulso do material de enchimento no extradorso

do arco. ............................................................................................................. 144

Figura 3.93 - Efeito do impulso passivo do material de enchimento - arco circular (r = 5.18 m,


28/490

xxvii

t = 0.65 m, L/h = 2:1) sujeito aco do seu peso prprio (26.8 kN/m3), do peso

prprio do material de enchimento (20.0 kN/m3), que se considerou ter a altura

acima do fecho de 1.76 m (hsc = 1.76 m). ....................................................... 145

Figura 3.94 - Plastificao das seces do arco. .................................................................. 146

Figura 3.95 - Deslocamentos dos pontos de aplicao das foras. ...................................... 146

Figura 3.96 - Relaes fora-deslocamento do ponto de aplicao da carga concentrada num

arco circular. ..................................................................................................... 148

Figura 3.97 - Modelo simplificativo de comportamento estrutural de uma abbada de aresta e

respectiva analogia da esfera rolante proposta por Abraham em 1934Mark,1982. 150

Figura 3.98 - Troo elementar da abbada cilndrica. .......................................................... 151

Figura 3.99 - Abbada de aresta formada pela interseco de superfcis cilndricas. .......... 152

Figura 3.100 - Diagramas de corpo livre do troo da abbada de aresta. ............................ 153

Figura 3.101 - Localizao das reaces horizontais que resultam da existncia de arcos

botantes ou contrafortes, necessrias para o equilbrio da abbada de aresta. . 154

Figura 3.102 - Preenchimento dos encontros das abbadas de aresta, necessrio para a

mobilizao da reaco horizontal que equilibra a estruturaMark e Robison,1993. 154

Figura 3.103 - Corte horizontal da superfcie cilndrica da abbada de aresta. ................... 156

Figura 3.104 - Adaptao do mtodo de Mry na anlise da estabilidade de abbadas de

aresta. ................................................................................................................ 159

Figura 3.105 - Troo elementar da membrana de revoluoTimoshenko,1959. ........................ 161

Figura 3.106 - Membrana esfrica - esforos meridionais. .................................................. 162

Figura 3.107 - Resultados da soluo das equaes diferenciais de equilbrio de uma membrana

esfrica sujeita apenas aco do seu peso prprio. ........................................ 162

Figura 3.108 - Esquerda: Tenses circunferenciais na soluo da casca fina esfrica sujeita

apenas aco do seu peso prprio; Direita: Fendilhao meridional da cpula do

Prtenon em RomaMark e Robison,1993. ............................................................... 163

Figura 3.109 - Modelo de cpula esfrica com lanternim. ................................................... 163

Figura 3.110 - Resultados das solues das equaes diferenciais de equilbrio de uma

membrana esfrica com e sem lanternim, sujeita apenas aco do seu peso

prprio. ............................................................................................................. 164

Figura 3.111 - Esforos meridionais e circunferenciais para diferentes fases construtivas da

cpula esfrica sujeita apenas aco do seu peso prprio. ............................ 165

Figura 3.112 - Equilbrio do troo da cpula esfrica. ......................................................... 166


29/490

xxviii

Figura 3.113 - Esforos meridionais e circunferenciais numa membrana esfrica com

lanternim. .......................................................................................................... 167

Figura 3.114 - Troo elementar da superfcie de presses. .................................................. 169

Figura 3.115 - Superfcie de presses normalizada (aco do peso prprio da cpula). ..... 170

Figura 3.116 - Famlia de superfcies de presses. .............................................................. 171

Figura 3.117 - Geometria da cpula esfrica. ...................................................................... 172

Figura 3.118 - Diagrama de corpo livre do troo elementar da cpula. ............................... 173

Figura 3.119 - Superfcies de presses de cpulas esfricas de 40 m de raio, calculadas com base

na sua decomposio em duas partes (superior e inferior) - aco do peso prprio

da cpula. .......................................................................................................... 175

Figura 3.120 - Determinao da linha de presses correspondente aco do peso prprio de

uma lnula da cpula esfrica. ......................................................................... 176

Figura 3.121 - Famlia de linhas de presses correspondentes aco do peso prprio de uma

lnula da cpula esfrica (R = 10m). ............................................................... 177

Figura 3.122 - Decomposio da cpula em lnulas - mecanismo correspondente espessura

mnima admissvel. ........................................................................................... 177

Figura 3.123 - Diagrama de corpo livre - arco de largura varivel correspondente

decomposio de uma cpula esfrica em lnulas e submetida apenas aco do

seu peso prprio. ............................................................................................... 178

Figura 3.124 - Variao da espessura mnima admissvel de uma cpula circular submetida

apenas aco do seu peso prprio, em funo do ngulo de abertura da

cpula. .............................................................................................................. 180

Figura 3.125 - Viga em alvenaria solicitada por uma carga concentrada. ........................... 181

Figura 3.126 - Enchimento do extradorso da abbada da nave do mosteiro de Alcobaa. .. 181

Figura 3.127 - Decomposio da cpula em lnulas - Anlise grfica. ............................... 182

Figura 4.1 - Modelo de elementos estruturais (elementos de viga) do mosteiro de So Vicente

de Fora em Lisboa - configurao deformada do primeiro modo de

vibraoVaz,1997. ............................................................................................... 189

Figura 4.2 - Exemplo de discretizao de uma parede de alvenaria com aberturas atravs de uma

malha de macro-elementosBrencich e Lagomarsino,1997. ....................................... 189

Figura 4.3 - Modelos de comportamento elstico linear (Esq.: Baslica de Sta. Sofia em

IstambulCroci,1998; Centro: Torre de PisaMacchi et al.,1993;Dta.: Baslica de S.

Marcos em VenezaMola e Vitaliani,1997. .............................................................. 190


30/490

xxix

Figura 4.4 - Esquema da tcnica de homogeneizao de painis de alvenaria regular. ....... 191

Figura 4.5 - Energia de fractura Gf, diagrama -w (tenso normal-abertura da fenda). ...... 194

Figura 4.6 - Resultados da aplicao de um modelo de dano na anlise esttica da baslica de S.

Marcos em Veneza - ndices de dano para a aplicao de um peso prprio 4 vezes

superior ao realHanganu et al.,1997. ...................................................................... 195

Figura 4.7 - Modelao descontnua de paredes de alvenaria regular com elementos finitos -

Modelao detalhada (a) e simplificada (b) das juntas entre unidades. 1 ......... 97

Figura 4.8 - Modelao detalhada da alvenaria: interaco junta em argamassa -

unidadeCUR,1997. ............................................................................................... 197

Figura 4.9 - Modelao da propagao da fractura numa parede de alvenaria atravs da alterao

contnua da topologia da malha de elementos finitosCormeau e Shire,1995. ......... 199

Figura 4.10 - Modelo tridimensional de elementos discretos de uma ponte em

alvenariaLemos,1995. ........................................................................................... 200

Figura 4.11 - Diagramas representativos dos comportamentos frgil, quasi-frgil e plstico. 204

Figura 4.12 - Comportamentos tpicos de espcimes de alvenaria submetidos a ensaios de

traco, compresso e corte - comportamento quasi-frgilLoureno,1996. ......... 205

Figura 4.13 - Curvas tenso-deslocamento obtidas em ensaios experimentais de traco uniaxial

em alvenaria: (a) com argamassa de menor resistncia; (b) com argamassa de maior

resistnciaBackes,1985. ........................................................................................ 209

Figura 4.14 - Resultados experimentais de ensaios biaxiais em painis de

alvenariaPage,1981;1983. ..................................................................................... 209

Figura 4.15 - Modos de colapso de painis de alvenaria sob estados de tenso biaxiaisDhanasekar

et al.,1985. ........................................................................................................... 210

Figura 4.16 - Procedimento puramente incremental - desequilbrio entre a aco externa e o

vector das foras internas. ................................................................................ 217

Figura 4.17 - Procedimento incremental com iteraes de equilbrio. ................................. 218

Figura 4.18 - Controle de cargas (esquerda) e de deslocamentos (direita). ......................... 219

Figura 4.19 - Reveses (snap-backs) nas curvas de resposta global. .............................. 219

Figura 4.20 - Mtodo do comprimento do arco - representao esquemtica. .................... 220

Figura 4.21 - Mtodo do comprimento do arco - mtodo esfrico (spherical path method) e

mtodo do plano normal actualizado (updated normal path method). ......... 221

Figura 4.22 - Mtodo de Newton-Raphson. ......................................................................... 223

Figura 4.23 - Mtodo de Newton-Raphson Modificado. ..................................................... 223


31/490

xxx

Figura 4.24 - Determinao do multiplicador j+1por interpolao linear. ........................ 225

Figura 4.25 - Modelo para a formao das fendas por traco em elementos de interface. 228

Figura 4.26 - Modelo de corte de Coulomb para elementos de interface. ........................... 230

Figura 4.27 - Combinao do critrio de Coulomb com o critrio de fractura por traco. 231

Figura 4.28 - Modelos alternativos para comportamento das interfaces - em cima: critrio

parablico para traco/corte e compresso/corte; em baixo: multi-superfcie de

plasticidade com limite de compresso. ........................................................... 231

Figura 4.29 - Critrio de rotura por traco (esq.: experimental; centro e dta: modelos). ... 233

Figura 4.30 - Sistema local de eixos coordenados orientado segundo o plano da fenda. .... 235

Figura 4.31 - Arranjo em srie da deformao (normal e tangencial) do material intacto e da

fenda. ................................................................................................................ 238

Figura 4.32 - Contactos e domnios associados a dois blocos (esq. - blocos rgidos; dta. -

deformveis). .................................................................................................... 242

Figura 4.33 - Decomposio do domnio numa malha de clulas - caso

bidimensionalCundall,1988. ................................................................................. 244

Figura 4.34 - Arredondamento dos vrtices. ........................................................................ 246

Figura 4.35 - Definio da direco normal ao contacto (contacto vrtice lado e contacto vrtice-

vrtice). ............................................................................................................. 246

Figura 4.36 - Contacto do tipo vrtice-aresta. ...................................................................... 247

Figura 4.37 - Contacto do tipo vrtice-vrtice. .................................................................... 249

Figura 4.38 - Modelo de contacto com resistncia residual - comportamentos na direces

tangencial (esq.) e normal (dta.). ...................................................................... 252

Figura 4.39 - Modelo de corte - influncia da dilatnciaItasca,2000. ..................................... 253

Figura 4.40 - Ciclo de clculo no mtodo dos elementos discretosItasca,2000. ..................... 256

Figura 4.41 - Ordem de clculo no mtodo das diferenas finitas centrais. ........................ 257

Figura 4.42 - Amortecimento de Rayleigh - variao da taxa de amortecimento com a frequncia

angular. ............................................................................................................. 261

Figura 4.43 - Modelo bidimensional de elementos finitos do arco (espessura - 0.65 m; raio

interior - 5.18 m). ............................................................................................. 265

Figura 4.44 - Curvas carga-deslocamento das anlises numricas do arco isolado. ............ 266

Figura 4.45 - Mecanismo de colapso correspondente anlise do modelo MOD8. ............ 268

Figura 4.46 - Curvas carga-deslocamento das anlises do arco isolado com variao da

deformabilidade. ............................................................................................... 268


32/490

xxxi

Figura 4.47 - Curvas carga-deslocamento das anlises realizadas sem (cima) e com (baixo)

considerao dos efeitos geometricamente no lineares nos modelos do arco com

resistncia traco nas juntas. ........................................................................ 271

Figura 4.48 - Modelo de Mohr-Coulomb (esq.) e de Loureno (dta.) para modelao dos efeitos

de esmagamento por compresso. .................................................................... 272

Figura 4.49 - Curvas carga-deslocamento das anlises realizadas com considerao dos efeitos

geometricamente no lineares nos modelos do arco com limitao da resistncia

compresso. ...................................................................................................... 273

Figura 4.50 - Danos por compresso nos modelos de elementos finitos (esq. - MOD12; dta. -

MOD12a). ......................................................................................................... 274

Figura 4.51 - Malha de elementos de diferenas finitas no modelo de elementos discretos do

arco. .................................................................................................................. 275

Figura 4.52 - Sequncia do colapso do modelo de elementos discretos do arco. ................ 275

Figura 4.53 - Intensidades da carga de colapso num arco circular para diferentes localizaes da

carga concentrada (modelao pelo mtodo dos elementos discretos). ........... 276

Figura 4.54 - Modelos com elementos finitos de fenda distribuda - Danos por traco (esq. -

modelo de elementos quadrangulares; dta. - modelo de elementos triangulares;

cima - aco do peso prprio do arco; baixo - aco do peso prprio do arco, do

enchimento no extradorso e da carga concentrada a 1/3 de vo). .................... 277

Figura 4.55 - Curvas carga-deslocamento das anlises geometricamente lineares realizadas em

modelos contnuos do arco (com elementos finitos quadrangulares). .............. 278

Figura 4.56 - Geometria dos modelos dos arcos ogivais. ..................................................... 279

Figura 4.57 - Intensidades da carga de colapso num arco ogival com 5.18 m de altura, com e

sem considerao do carregamento do enchimento do extradorso do arco. .... 280

Figura 4.58 - Intensidades da carga de colapso num arco ogival com 10.36 m de vo com

considerao do carregamento do enchimento do extradorso do arco. ............ 280

Figura 4.59 - Modos de colapso do modelo de elementos discretos de um arco ogival - modelo

com 10.36 m de vo (esquerda - carga a 1/4 do vo; centro - carga a 1/3 do vo;

direita - carga a 1/2 do vo). ............................................................................. 281

Figura 4.60 - Arcos ogival e circular - geometria das linhas de presses. ........................... 281

Figura 4.61 - Esquemas de funcionamento estrutural de abbadas com vis. ..................... 282

Figura 4.62 - Ponte em arco com vis- Geometria. .............................................................. 282

Figura 4.63 - Modelos numricos tridimensionais do arco enviesado - Geometria e


33/490

xxxii

resultados. ............................................................................................................ 284

Figura 4.64 - Ensaios experimentaisAugarde e Davey,2001- Localizao das articulaes e

representao grfica das cargas ltimas. ......................................................... 285

Figura 4.65 - Cargas ltimas dos modelos tridimensionais. ................................................ 286

Figura 4.66 - Cargas ltimas dos modelos tridimensionais e planos. .................................. 287

Figura 4.67 - Variao percentual das cargas ltimas. ......................................................... 287

Figura 4.68 - Arco da ponte de BridgemillHendry et al,1985. .................................................. 292

Figura 4.69 - Esquema de aplicao da carga na ponte de BridgemillHendry et al,1985. ........ 293

Figura 4.70 - Modelo plano de elementos discretos da ponte de Bridgemill; (a) discretizao em

elementos discretos; (b) discretizao em elementos de diferenas finitas. ..... 294

Figura 4.71 - Deslocamento vertical do ponto de aplicao da carga. ................................. 297

Figura 4.72 - Modelo de elementos discretos da ponte de Bridgemill - deformada do arco. 297

Figura 4.73 - Deformada do modelo de elementos discretos do arco da ponte de Bridgemill (em

cima -deformada; em baixo - representao dos vectores dos

deslocamentos). .................................................................................................. 298

Figura 4.74 - Arco da ponte de BargowerHendry et al,1986. .................................................... 299

Figura 4.75 - Esquema de aplicao da carga na ponte de BargowerHendry et al,1986. .......... 301

Figura 4.76 - Modelo de molas para simulao do efeito de rigidificao horizontal que resulta

da existncia de enchimento. ............................................................................ 302

Figura 4.77 - Deslocamento vertical do ponto de aplicao da cargaGago et al,2003. ............ 303

Figura 4.78 - Configurao deformada do modelo de elementos finitos - Caso III. ........... 304

Figura 4.79 - Deslocamento vertical do ponto de aplicao da carga - anlises geometricamente

lineares. ............................................................................................................. 307

Figura 4.80 - Malha de elementos finitos - modelo mais sofisticado. ................................. 307

Figura 4.81 - Deslocamento vertical do ponto de aplicao da carga - anlises geometricamente

no lineares. ...................................................................................................... 308

Figura 4.82 - anlise limite do arco: contribuio do impulso passivo. ............................... 310

Figura 4.83 - Malha deformada. ........................................................................................... 311

Figura 4.84 - Tenses principais I(cima) II(baixo) (unidades kN/m2). .......................... 311

Figura 4.85 - Deformaes plsticas (xx- cima; yy- centro; xy- baixo). ........................ 312

Figura 5.1 - Vista do Mosteiro de So Vicente de Fora e de um dos seus claustro. 3 .......... 18

Figura 5.2 - Planta do mosteiro de So Vicente de Fora (Arquivo DGEMN). .................... 321

Figura 5.3 - Modelos tridimensionais de elementos finitos de comportamento elstico linear


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realizados no LNEC (esq.) e no JRC (dta.) - Configuraes de modos de

vibrao. ............................................................................................................. 323

Figura 5.4 - Modelo de interface no linear implementado no laboratrio ELSA. .............. 325

Figura 5.5 - Definio do modelo experimental: da fachada ao modeloPegon,1998. ............. 327

Figura 5.6 - Definio do modelo experimental: aco vertical correspondente ao peso prprio

da parede de alvenaria (interaco entre blocos e distribuies de tenso)Pegon e

Pinto,1996. ........................................................................................................... 328

Figura 5.7 - Esquema de aplicao das aces verticais e horizontais no modelo

experimental. ...................................................................................................... 329

Figura 5.8 - Aplicao incremental do peso prprio. ........................................................... 330

Figura 5.9 - Distribuies de tenso devidas ao peso prprio da parede de alvenariaPegon e

Pinto,1998. ........................................................................................................... 330

Figura 5.10 - Deslocamentos nos topos das colunas (esquerda) e distribuies de tenso (direita)

das estruturas peridicas sujeitas s aces estticas horizontais equivalentesPegon

e Pinto,1996. ......................................................................................................... 331

Figura 5.11 - Distribuies de tenso - variao do nmero de colunas nos modelosPegon e

Pinto,1998. ........................................................................................................... 333

Figura 5.12 - Modelo final do modelo com trs colunasPegon et al.,1999. .............................. 333

Figura 5.13 - Plano de execuo do modelo experimentalVaz,1996. ..................................... 334

Figura 5.14 - Fases de construo do modelo experimental. .............................................. 335

Figura 5.15 - Vistas do aspecto final do modelo experimental. ........................................... 335

Figura 5.16 - Reforo do modelo com o sistema de ancoragem CINTEC. .......................... 336

Figura 5.17 - Sistema de aplicao das cargas no modelo experimentalPinto e Gago,1999a)b). 337

Figura 5.18 - Distribuio das aces verticais aplicadas ao modelo experimental. ........... 338

Figura 5.19 - Esquema de instrumentao do modelo experimental - transdutores de

deslocamento. ................................................................................................... 339

Figura 5.20 - Instrumentao das seces das colunas e das suas bases. ............................. 340

Figura 5.21 - Implementao dos ensaios pseudo-dinmicos no laboratrio ELSA. .......... 343

Figura 5.22 - Sub-estruturao de ensaios pseudo-dinmicos. ............................................ 344

Figura 5.23 - Caractersticas da parede e plataforma de reaco do laboratrio ELSAPinto et al.,

1994. ................................................................................................................... 344

Figura 5.24 - Espectros de deslocamento para os sismos de epicentro prximo e

longnquo. ......................................................................................................... 346


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xxxiv

Figura 5.25 - Acelerogramas utilizados nos ensaios pseudo-dinmicos. ............................. 346

Figura 5.26 - Resultados do ensaio pseudo-dinmico correspondente ao sismo de pequena

intensidade (sismo prximo - perodo de retorno de 174 anos). ...................... 347

Figura 5.27 - Resultados do ensaio pseudo-dinmico correspondente ao sismo de intensidade

elevada (sismo longnquo - perodo de retorno de 975 anos). ......................... 347


elevada multiplicado por 1.5 ( 1.5 x sismo longnquo - perodo de retorno de 975

anos). ................................................................................................................ 348


elevada (sismo longnquo - perodo de retorno de 975 anos). ......................... 349


elevada multiplicado por 1.5 ( 1.5 x sismo longnquo - perodo de retorno de 975

anos). ................................................................................................................ 349

Figura 5.31 - Resultados do ensaio cclico correspondente ps-tenso dos cabos de

350 kN. ............................................................................................................. 350


350 kN. ............................................................................................................. 351


175 kN. ............................................................................................................. 351


175 kN. ............................................................................................................. 351

Figura 5.35 - Variao de rigidez da resposta do modelo nos ciclos do ensaio correspondente

ps-tenso dos cabos de 350 kN. ...................................................................... 353

Figura 5.36 - Rotao da seco da base da coluna central e perfil das rotaes mximas das

seces da coluna central - ensaio cclico correspondente ps-tenso dos cabos

de 350 kN. ........................................................................................................ 354

Figura 5.37 - Danos no modelo experimental aps a primeira campanha de ensaios. ......... 356

Figura 5.38 - Danos nos arcos das estruturas dos claustros do mosteiro de So Vicente de

Fora. .................................................................................................................. 357

Figura 5.39 - Reforo do modelo com barras de ao de 20 mm de dimetro, aderentes e pr-

esforadas. ........................................................................................................ 357


175 kN. ............................................................................................................. 358


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45 kN. ............................................................................................................... 359

Figura 5.42 - Resultados do ensaio cclico correspondente ps-tenso dos cabos nula. ... 359

Figura 5.43 - Resultados do ensaio cclico correspondente ps-tenso dos cabos nula. ... 360

Figura 5.44 - Perfis das rotaes mximas das seces da coluna central nos ciclos de 30 e 60

mm (em cima); variao de comprimento da parte superior do modelo nos ensaios

cclicos (no meio); variao de comprimento da parte superior do modelo e da

abertura das juntas nos ensaios cclicos (em baixo). ........................................ 362

Figura 5.45 - Variao do comprimento da parte superior do modelo (em cima) e da abertura

das juntas coluna-alvenaria (no meio) em funo do deslocamento horizontal

imposto no topo do modelo; variao da fora aplicada no topo do modelo com o

comprimento da parte superior do modelo (em baixo). ................................... 363

Figura 5.46 - Arranjo tridimensional dos blocos de calcrio das colunas do modelo. ......... 364

Figura 5.47 - Malha de elementos finitos do modelo tridimensional do modelo. ................ 365

Figura 5.48 - Elementos de interface tridimensionais. ......................................................... 366

Figura 5.49 - Modelo de junta de Coulomb com amolecimento (esq.) e lei de amolecimento

bilinear adoptada no modelo numrico tridimensional (dta.). .......................... 367

Figura 5.50 - Configurao deformada e distribuio de tenses equivalentes de Mohr-Coulomb

correspondentes anlise do modelo numrico tridimensional - vista anterior e

posteriorPegon et al.,1999. .................................................................................... 368

Figura 5.51 - Comparao dos resultados numricos e experimentais: a) Fora aplicada no topo

do modelo; b) Fora vertical medida nas clulas de carga do lado esquerdo da base

da coluna central; c) Fora vertical medida nas clulas de carga do lado direito da

base da coluna central; d) Deslocamento medido no transdutor 1 (ver localizao

do transdutor 1 na Figura 5.47). ....................................................................... 369

Figura 5.52 - Gerao das juntas entre blocos do modelo bidimensional a partir da configurao

tridimensional das seces. .............................................................................. 369

Figura 5.53 - Resultados da modelao bidimensional do modeloPegon et al. 1999. .............. 370

Figura 5.54 - Modelo de elementos discretos do modelo experimental (esq. - blocos discretos;

dta. - malha de elementos de diferenas finitas triangulares de deformao

constante). ......................................................................................................... 371

Figura 5.55 - Curvas carga-deslocamento obtidas numericamenteLemos,1998ae

experimentalmente. .......................................................................................... 373


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xxxvi

Figura 5.56 - Modelo da coluna com elementos discretos tridimensionais (esq.) e modelos

planos comparativos (dta.)Lemos,1998a. ............................................................. 374

Figura 5.57 - Resultados dos modelos de elementos discretos duma coluna do modelo

experimentalLemos,1998a. ................................................................................... 375

Figura 6.1 - Vista exterior e do interior da nave da Igreja de So FranciscoEspanca,1966. .... 381

Figura 6.2 - Danos na Igreja de So Francisco - fendas na abbada da nave e na fachada

principal. ........................................................................................................... 382

Figura 6.3 - Esquema dos encontros da abbada da nave: a) parede longitudinal interior; b)

parede longitudinal exterior; c) contraforte/parede transversal; d) abbada botante;

e) muro de carga dos arcos principais; f) terrao lateral; g) muro de remate da

cumeeira; h) coruchu; i) arco principal ou mestre; j) luneta; k) capela lateral; l)

galeria sobre capelas laterais. ........................................................................... 384

Figura 6.4 - Vistas da cobertura antes de 1937 (cima); Interveno de 1937 (no meio); Vista

actual da cobertura (baixo); e vista da fachada antes de 1837 (baixo), onde so

visveis os trabalhos de demolio de edifios para abertura do largo, o prtico da

entrada (a), as fendas na fachada principal (b) e o claustro Sul em runas (c) -

Imagens a preto e branco do arquivo da DGEMN. .......................................... 387

Figura 6.5 - Vistas superiores (pelo lado da cobertura) da fenda da luneta do 3 tramo do lado

Sul. .................................................................................................................... 393

Figura 6.6 - Plataforma elevatria para inspeco e monitorizao da abbada da Igreja de So

Francisco. ......................................................................................................... 395

Figura 6.7 - Alvos para registo topogrfico da evoluo dos deslocamentos no interior da

Igreja. ................................................................................................................ 395

Figura 6.8 - Extraco de carotes nas paredes da nave e na abbada. ................................. 396

Figura 6.9 - Levantamento da fendilhao da fachada principal da Igreja de So Francisco - vista

interior. ............................................................................................................. 397

Figura 6.10 - Levantamento da fendilhao da abbada da nave da Igreja de So

Francisco. ......................................................................................................... 398

Figura 6.11 - Pormenores da luneta do 1 tramo do lado Sul. .............................................. 400

Figura 6.12 - Pormenores da luneta do 1 tramo do lado Norte. .......................................... 400





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Figura 6.23 - Pormenores das lunetas do 7 tramo: esquerda - lado Norte;

direita - lado Sul. .............................................................................................. 404

Figura 6.24 - Fendilhao dos arcos principais (Esquerda - 1 arco; Direita. - 4 arco). ..... 404

Figura 6.25 - Fendilhao na nervura longitudial no cruzeiro. ............................................ 405

Figura 6.26 - Vista das paredes Norte (esquerda) e Sul (direita) do cruzeiro (7 tramo). .... 405

Figura 6.27 - Fendilhao da abbada botante da 1 tribuna da galeria Norte. .................... 406

Figura 6.28 - Instrumentao: sensores de deslocamento - preciso 0.1 mm (em cima); sensor

para registo de temperatura ambiente e humidade relativa - preciso 0.01 C e 0.01

% (em baixo direita); sistema de aquisio de dados (em baixo esquerda). 407

Figura 6.29 - Pormenor da instalao dos instrumentos de medio. .................................. 407

Figura 6.30 - Plano de instrumentao da abbada e das paredes da nave. ......................... 408

Figura 6.31 - Primeiro modelo de elementos finitos da abbada - simulao da abbada

completa atravs de condies de fronteira de simetria. .................................. 409

Figura 6.32 - Modelo 1 - condies de fronteira. ................................................................. 410

Figura 6.33 - Modelo 1 - tenses de traco nas faces inferior (esq.) e superior (dta.) da abbada

e orientaes das fendas que lhes corresponderiam. ........................................ 410

Figura 6.34 - Modelo 2 - modelo de elementos finitos da abbada e da estrutura de apoio. 411

Figura 6.35 - Modelo 2 - tenses principais de traco na face superior e deformadaGago e

Lamas,2001. ......................................................................................................... 411

Figura 6.36 - Modelo 3 - modelo completo com condies de fronteira assimtricas. ....... 412

Figura 6.37 - Modelo 3 - tenses principais de traco na face superior. ............................ 413

Figura 6.38 - Modelo 4 - junta entre elementos finitos para simulao da fenda. ............... 413

Figura 6.39 - Resultados da anlise numrica - Em cima: malha de elementos finitos (esquerda)

e danos na face inferior da abbada para pequenas rotaes da parede lateral, com

fendilhao da ligao luneta/parede (direita); Em baixo: danos na face superior da

abbada (esquerda) e na face inferior (direita) para um deslocamento horizontal no


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topo da parede de 10 cm, a que corresponde a uma diminuio do impulso

horizontal (resultante das foras transmitidas pela luneta parede) de 46.6%. 415

Figura 6.40 - Modos de deformao das paredes-contraforte. ............................................ 417

Figura 6.41 - Modelo CAD e modelo de elementos finitos tridimensionais. ....................... 418

Figura 7.1 - Igreja de So Francisco em Montemor - fendilhao da fachada principal. .... 427

Figura 7.2 - Igreja dos Agostinhos em Vila Viosa - esmagamento do revestimento em mrmore

das paredes junto do cruzeiro. .......................................................................... 428


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NDICE DE TABELAS

Tabela 1.1 - Localizao das juntas em rotura - ngulo medido com a horizontal. ......... 41

Tabela 2.1 - Geometria do arco da ponte TestonHeyman,1980a). ............................................ 63

Tabela 2.2 - Clculo da posio da linha de presses da ponte Teston. ............................... 64

Tabela 2.3 - Mtodo MEXEBD16/84;BD21/84. ........................................................................ 77

Tabela 3.4 - Propriedades mecnicas dos blocos e juntas do arco. ...................................... 265

Tabela 3.5 - Modelos tridimensionais dos arcos enviesados - Cargas ltimas. ................... 283

Tabela 3.6 - Relaes de semelhana para modelos estticos. ............................................. 290

Tabela 3.7 - Cargas de colapso dos modelos do arco isolado. ............................................. 291

Tabela 3.8 - Cargas de colapso dos modelos do arco isolado - relaes de semelhana. .... 291

Tabela 3.9 - Dimenses da ponte de Bridgemill. ................................................................. 293

Tabela 3.10 - Propriedades dos elementos de diferenas finitas e dos contactos pontuais. . 296

Tabela 3.11 - Dimenses da ponte de Bargower. ................................................................. 300

Tabela 3.12 - Propriedades dos elementos de interface. ...................................................... 301

Tabela 3.13 - Propriedades mecnicas do modelo de elementos finitos do arco isolado

(NLMAT). ..........................................................................

tese phd asgago

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