tese de mestrado - dez2002 - final
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MODELAGEM SÍSMICA DE ONDAS ELÁSTICAS E MIGRAÇÃO REVERSA NO
TEMPO EM MEIOS TRANSVERSALMENTE ISOTRÓPICOS
José Carlos Rosa Filho
TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇÃO DOS PROGRAMAS
DE PÓS-GRADUAÇÃO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO
DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A
OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM CIÊNCIAS EM ENGENHARIA CIVIL.
Aprovada por:
_______________________________________ Prof. Webe João Mansur, Ph.D.
_______________________________________ Prof. Djalma Manoel Soares Filho, D.Sc.
_______________________________________ Prof. José Antonio Marques Carrer, D.Sc.
_______________________________________ Dr. Eduardo Filpo Ferreira da Silva, D.Sc.
RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL
DEZEMBRO DE 2002
ii
Ficha Catalográfica
ROSA FILHO, JOSÉ CARLOS
Modelagem Sísmica de Ondas Elásticas e
Migração Reversa no Tempo em Meios
Transversalmente Isotrópicos [Rio de Janeiro] 2002
X, 152 p. 29,7cm (COPPE/UFRJ, M.Sc.
Programa de Engenharia Civil, 2002)
Tese - Universidade Federal do Rio de Janeiro,
COPPE
1. Modelagem e Migração de Dados Sísmicos
2. Meios Transversalmente Isotrópicos
I. COPPE/UFRJ II. Título (série)
iii
Dedicatória
DEDICATÓRIA
Dedico este trabalho à memória de meu pai,
José Carlos, e à minha mãe Maria Lúcia, aos quais
devo minha vida, e à minha irmã Vera Lúcia, pelo
incentivo à sua realização.
Não posso me furtar à lembrança de
igualmente dedicá-lo à minha esposa Marli e aos
meus filhos Bruno e Daniela, bem como agradecê-
los imensamente por, além de serem a razão
principal de todos os meus esforços,
compreenderem minhas aflições nessa busca pelo
conhecimento e colaborarem com a manutenção do
ânimo nessa empreitada.
iv
Agradecimentos
AGRADECIMENTOS
Agradeço a oportunidade de realizar este trabalho à
empresa Petróleo Brasileiro S.A. - PETROBRÁS, pela
disponibilidade de tempo que me proporcionou para a
realização deste trabalho, e ao Programa de Engenharia
Civil da Coordenação dos Programas de Pós-Graduação
de Engenharia da Universidade Federal do Rio de
Janeiro - PEC/COPPE/UFRJ, por me acolher entre seu
corpo discente durante o período de desenvolvimento
deste trabalho.
Ressalto um agradecimento especial ao meu
orientador, Professor Webe João Mansur, e ao meu
orientador e também colega, Geofísico Djalma Manoel
Soares Filho, pela orientação segura e apoio
incondicional em todas as fases deste trabalho, bem
como aos demais professores do supracitado Programa
de Pós-Graduação pela colaboração científica.
Agradeço ainda à minha tia, Maria do Carmo Silva
Soares, pelas sugestões e pela revisão ortográfica e
gramatical de todo texto desta Dissertação.
Gostaria ainda de manifestar meus agradecimentos
à colaboração e compreensão dos colegas e da gerência
do Serviço de Aquisição de Dados Sísmicos do Suporte
Operacional da Unidade de Exploração da PETROBRAS
- UN-EXP/SOP/ADS.
Finalmente, estendo meus agradecimentos a todos
os colegas da PETROBRAS e àqueles ao quais encontrei
no ambiente universitário que, de alguma maneira,
colaboraram para que este trabalho fosse desenvolvido.
v
Resumo
Resumo da Tese apresentada à COPPE/UFRJ como parte dos requisitos necessários
para a obtenção do grau de Mestre em Ciências (M.Sc.)
MODELAGEM SÍSMICA DE ONDAS ELÁSTICAS E MIGRAÇÃO REVERSA NO
TEMPO EM MEIOS TRANSVERSALMENTE ISOTRÓPICOS
José Carlos Rosa Filho
Dezembro/2002
Orientadores: Webe João Mansur
Djalma Manoel Soares Filho
Programa: Engenharia Civil
O objetivo deste trabalho foi a avaliação dos efeitos de um tipo de anisotropia,
especificamente isotropia transversa (sistema com simetria elástica hexagonal), na
propagação de ondas sísmicas em meios elásticos e na migração reversa no tempo
em dados sísmicos simulados. Neste trabalho foram desenvolvidos e implementados
algoritmos de modelagem sísmica e migração reversa no tempo para meios
transversalmente isotrópicos, através da generalização do algoritmo PS2, apresentado
em ZAHRADNÍK (1995), onde os parâmetros que caracterizam o meio são
introduzidos por integrações ao longo das linhas da malha. Além dos campos de
velocidade das ondas compressionais e cisalhantes e da densidade, as modelagens e
migrações pré-empilhamento em profundidade incorporaram os parâmetros de
isotropia transversa, apresentados em THOMSEN (1986), em cada ponto da malha,
mostrando que, mesmo que fraca, a anisotropia pode comprometer as análises sobre
os resultados obtidos.
vi
Abstract
Abstract of Thesis presented to COPPE/UFRJ as a partial fulfillment of requirements
for the degree of Master of Science (M.Sc.)
SEISMIC MODELING OF ELASTIC WAVES AND REVERSE TIME MIGRATION IN
TRANSVERSE ISOTROPIC MEDIA
José Carlos Rosa Filho
December/2002
Advisors: Webe João Mansur
Djalma Manoel Soares Filho
Department: Civil Engineering
The purpose of this work was the evaluation of the effects of a type of anisotropy,
specifically transverse isotropy (hexagonal symmetric system), on elastic media
seismic wave propagation and on reverse time migration of the simulated seismic data.
In this work, we developed and introduced algorithms of seismic modeling and reverse
time migration for transverse isotropic media by the generalization of the ZAHRADNÍK
(1995) PS2 algorithm where the media parameters are introduced by integrations
through the grid lines. Associated with the compressional and shear waves velocity
fields and density, modeling and depth prestack migration procedures incorporate
transverse isotropy parameter, as presented in THOMSEN (1986), at each grid point,
showing that, although weak, anisotropy can endanger analysis on obtained results.
vii
Sumário
Sumário
Pág.
Ficha Catalográfica..................................................................................................... ii
Dedicatória................................................................................................................. iii
Agradecimentos ........................................................................................................ iv
Resumo ....................................................................................................................... v
Abstract...................................................................................................................... vi
Sumário..................................................................................................................... vii
Capítulo 1.................................................................................................................... 1
1. Introdução.......................................................................................................... 1
1.1. Objetivos......................................................................................................... 1
1.2. Metodologia .................................................................................................... 2
Capítulo 2.................................................................................................................... 3
2. Fundamentos Teóricos ..................................................................................... 3
2.1. Ondas Mecânicas em Meios Elásticos............................................................ 3
2.1.1. Ondas Sísmicas ...................................................................................................5
2.1.1.1. Tipos de Ondas Sísmicas ...............................................................................5
2.1.1.2. Velocidades das Ondas Sísmicas ..................................................................9
2.2. Equação Básica da Elastodinâmica .............................................................. 14
2.2.1. Equação do Movimento .....................................................................................14
2.2.2. Solução da Equação da Onda, para Meios Elásticos Heterogêneos
Anisotrópicos, pelo Método de Diferenças Finitas.............................................19
2.2.2.1. Breve Histórico..............................................................................................23
2.2.2.2. Estabilidade e Controle de Dispersão...........................................................36
2.2.2.3. Condições Iniciais .........................................................................................37
viii
2.2.2.4. A Fonte..........................................................................................................37
2.2.2.5. Condições de Contorno ................................................................................38
2.3. Isotropia Transversa (TI = Transversal Isotropy)........................................... 43
2.3.1. Introdução à Anisotropia Elástica.......................................................................43
2.3.1.1. Meios Isotrópicos ..........................................................................................45
2.3.1.2. Meios Transversalmente Isotrópicos ............................................................47
2.3.2. Medidas de Anisotropia......................................................................................51
2.4. Migração de Dados Sísmicos........................................................................ 55
2.4.1. Breve Histórico ...................................................................................................60
2.4.2. Migração Reversa no Tempo (RTM = Reverse Time Migration) .......................63
Capítulo 3.................................................................................................................. 65
3. Metodologia Empregada ................................................................................. 65
3.1. Introdução..................................................................................................... 65
3.2. Geração dos Modelos de Velocidades e Anisotropia .................................... 65
3.3. Cálculo dos Módulos Elásticos (Cmn)............................................................. 67
3.4. Esquemas de Integração dos Parâmetros Elásticos ..................................... 67
3.5. Esquemas de Diferenças Finitas................................................................... 68
3.6. Fonte Sísmica............................................................................................... 70
3.7. Condições de Contorno ................................................................................ 70
3.8. Modelagem Sísmica ..................................................................................... 73
3.9. Migração Reversa no Tempo Pré-Empilhamento.......................................... 74
Capítulo 4.................................................................................................................. 76
4. Resultados e Discussões................................................................................ 76
4.1. Modelo 1....................................................................................................... 76
4.1.1. Discussão dos Resultados.................................................................................80
4.2. Modelo 2....................................................................................................... 80
4.2.1. Caso de ε = 0,0 e δ = 0,0 (Isotrópico): ...............................................................82
4.2.2. Caso de ε = 0,0 e δ = 0,1: ..................................................................................84
4.2.3. Caso de ε = 0,0 e δ = - 0,1: ................................................................................86
ix
4.2.4. Caso de ε = 0,0 e δ = 0,3: ..................................................................................88
4.2.5. Caso de ε = 0,0 e δ = - 0,3: ................................................................................90
4.2.6. Caso de ε = 0,1 e δ = 0,0: ..................................................................................92
4.2.7. Caso de ε = 0,1 e δ = 0,1: ..................................................................................94
4.2.8. Caso de ε = 0,1 e δ = - 0,1: ................................................................................96
4.2.9. Caso de ε = 0,1 e δ = 0,3: ..................................................................................98
4.2.10. Caso de ε = 0,1 e δ = - 0,3: ..............................................................................100
4.2.11. Caso de ε = 0,3 e δ = 0,0: ................................................................................102
4.2.12. Caso de ε = 0,3 e δ = 0,1: ................................................................................104
4.2.13. Caso de ε = 0,3 e δ = - 0,1: ..............................................................................106
4.2.14. Caso de ε = 0,3 e δ = 0,3: ................................................................................108
4.2.15. Caso de ε = 0,3 e δ = - 0,3: ..............................................................................110
4.2.16. Discussão dos Resultados...............................................................................112
Capítulo 5................................................................................................................ 113
5. Conclusões e Recomendações .................................................................... 113
Referências Bibliográficas..................................................................................... 115
Apêndices ............................................................................................................... 126
1. Apêndice A - Parâmetros Elásticos para Meios Isotrópicos....................... 126
1.1. Densidade (ρ) ............................................................................................. 126
1.2. Parâmetro de Lamé (λ) ............................................................................... 126
1.3. Módulo de Rigidez ou Cisalhamento (µ) ..................................................... 127
1.4. Módulo de Compressão ou Compressibilidade (k)...................................... 127
1.5. Módulo de Elasticidade, Estiramento ou Young (E) .................................... 128
1.6. Razão ou Coeficiente de Poisson (σ).......................................................... 128
1.7. Observações............................................................................................... 129
2. Apêndice B - Conceitos Básicos da Elastodinâmica.................................. 130
2.1. Vetor Deslocamento (ur
)............................................................................. 130
2.2. Tensor de Deformação (Eik) ........................................................................ 130
x
2.2.1. Tensor de Deformação Infinitesimal (eik) .........................................................132
2.2.1.1. Significado Físico do Tensor de Deformação Infinitesimal.........................132
2.2.1.1.1. Mudanças de Tamanho.....................................................................132
2.2.1.1.2. Mudanças de Forma.........................................................................133
2.3. Tensor de Tensões (τij) ............................................................................... 135
2.4. Relações entre Tensão e Deformação (Relações Constitutivas) ................. 136
3. Apêndice C - Desenvolvimento da Forma Geral do Tensor Elástico ......... 137
3.1. Hierarquia dos Meios Anisotrópicos ............................................................ 140
4. Apêndice D - Algumas das Feições Características das Ondas
Mecânicas Aplicadas em Sísmica ................................................................ 142
5. Apêndice E - Partição de Energia de Ondas Sísmicas ............................... 146
5.1. Divergência Esférica ................................................................................... 147
5.2. Absorção .................................................................................................... 147
5.3. Particionamento.......................................................................................... 148
1
Capítulo 1
1. Introdução
A crescente otimização de investimentos exigida pela exploração de petróleo tem
conduzido os cientistas ligados a essa área a enfocar seus esforços no
desenvolvimento de técnicas de exploração que utilizam cada vez mais estudos
detalhados sobre modelos, os quais tentam aproximar ao máximo as características do
problema para o qual se procura uma solução.
Com o advento da informatização do processo exploratório, o uso dessas
técnicas tornou-se rotineiro e seu desenvolvimento ganhou maior status nas
companhias de petróleo e, por causa disso, também nos centros de pesquisas.
Entre as inúmeras técnicas, podem-se destacar as modelagens numéricas e, no
caso mais específico da Geofísica Aplicada, as modelagens numéricas de propagação
de ondas sísmicas em modelos discretos que simulam as características geológicas
estruturais e estratigráficas da área em questão. Na realidade, essas modelagens
podem assumir direções inversas, partindo de modelos sintéticos à obtenção de dados
que caracterizam a resposta desses modelos, bem como partindo de dados reais à
obtenção de modelos que correspondam à resposta obtida.
1.1. Objetivos
O objetivo deste trabalho foi a avaliação dos efeitos de um tipo de anisotropia,
especificamente isotropia transversa (sistema com simetria elástica hexagonal), na
propagação de ondas sísmicas em meios elásticos e na migração reversa no tempo
em dados sísmicos simulados.
Ele é composto desta capítulo introdutório, seguido de um capítulo de
fundamentação teórica, acompanhado de breves históricos sobre modelagem e
migração reversa no tempo, um terceiro capítulo de apresentação detalhada da
metodologia aplicada, um quarto mostrando os resultados obtidos e, para finalizar, um
2
quinto capítulo apresentando algumas conclusões e recomendações para futuros
trabalhos.
Adicionalmente, nos Apêndices, são apresentados alguns conceitos que auxiliam
à compreensão da teoria apresentada no primeiro capítulo.
1.2. Metodologia
Para desenvolver o que foi descrito no parágrafo anterior, foram aplicados
métodos de modelagem, que simulam a propagação de ondas sísmicas em meios
elásticos, para o estudo da resposta de modelos sintéticos, que incorporam algumas
características do meio rochoso a essa propagação, e técnicas de migração sísmica,
que, a partir de dados sísmicos, tentam recompor o modelo sísmico correspondente.
Com esse enfoque, foram feitas avaliações dos efeitos de uma característica
física dos meios elásticos, conhecida como isotropia transversa (também conhecida
como isotropia de simetria elástica hexagonal ou polar), na propagação de ondas
sísmicas e na migração reversa no tempo.
Para realizar tanto a modelagem sísmica como a migração reversa no tempo,
foram desenvolvidos e implementados algoritmos de propagação e depropagação de
ondas sísmicas para meios com isotropia transversa, através da generalização de um
método apresentado em ZAHRADNÍK (1995), ao qual ele denomina algoritmo PS2,
onde os parâmetros elásticos que caracterizam o meio são introduzidos através de
integrações ao longo das linhas da malha de discretização do modelo.
Dentre os parâmetros elásticos que caracterizam o meio em cada ponto da
malha discreta, foram considerados os campos de velocidade das ondas
compressionais e cisalhantes, a densidade e os parâmetros de isotropia transversa
apresentados em THOMSEN (1986).
3
Capítulo 2
2. Fundamentos Teóricos
2.1. Ondas Mecânicas em Meios Elásticos
A propagação das ondas mecânicas está relacionada aos deslocamentos de
partículas do meio em relação às suas posições de equilíbrio, provocando movimentos
oscilatórios, de amplitudes limitadas, que resultam em mudanças de forma e volume
nas porções afetadas por essas perturbações.
Meios elásticos lineares são aqueles que obedecem à Lei de Hooke1:
"A tensão resultante (τ) da aplicação de uma força em um
material é diretamente proporcional à sua deformação (e)."
representada pela expressão matemática:
τ = E e, 2.1.1
onde E é o módulo de elasticidade2 e representa a relação de proporcionalidade entre
esforços e deformações, desde que as deformações não excedam a um limite de
elasticidade, a partir do qual essas deformações não são mais proporcionais aos
esforços aplicados e tornam-se permanentes (NYE, 1957). Em sua forma
generalizada, a Lei de Hooke pode ser representada por uma relação entre dois
tensores de 2ª e um de 4ª ordem (LOVE, 1927), relacionados, respectivamente, aos
esforços (τij), às deformações (ekl) e aos parâmetros elásticos (cijkl). As expressões
matemáticas que traduzem tal relação podem ser escritas nas seguintes formas
compactas:
τij = cijkl ekl 2.1.2
ou
1 Físico inglês Robert Hooke (1635 - 1703). 2 Quanto mais rígido for um material, maior o seu módulo de elasticidade.
4
l
kijklij x
u c ∂∂
=τ , 2.1.3
onde uk é a componente do vetor deslocamento ur
na direção k, onde o índice k
assume os valores 1, 2 e 3, correspondendo às direções x, y e z (ver Apêndice B,
Seção 2.2).
Em função das propriedades físicas do meio, esses deslocamentos são
transmitidos, com determinadas velocidades, às vizinhanças das posições originais,
que passam a oscilar em torno de suas respectivas posições de equilíbrio. Esse
processo de deslocamentos sucessivos permite a transmissão de energia (potencial e
cinética) para outras porções do meio sem a transmissão de matéria.
As propriedades dos meios que determinam as velocidades com que essa
energia é transmitida são a elasticidade, responsável pelas forças restauradoras nas
partes deslocadas de sua posição de equilíbrio, e a inércia, que determina como a
porção deslocada responde às forças restauradoras. Como, durante as oscilações, as
acelerações variam periodicamente em módulo e sentido, em decorrência da 2ª Lei de
Newton3, as forças que atuam nas partículas também variam da mesma maneira.
Essas forças, que atuam na partícula, qualquer que seja sua posição, sempre resultam
em aceleração na direção do respectivo ponto de equilíbrio (posição de estabilidade)
e, por isso, são chamadas de forças restauradoras.
Em relação ao comportamento da distribuição das propriedades físicas, os meios
elásticos podem ser classificados em:
• homogêneos: quando as propriedades físicas são as mesmas em qualquer porção
do meio e
• heterogêneos: quando as propriedades físicas são dependentes da porção em que
são observadas no meio.
Já em relação ao comportamento das propriedades físicas, em função da direção de
propagação das ondas, os meios elásticos podem ser classificados na forma:
• isotrópicos: se as propriedades físicas são as mesmas para qualquer direção e
• anisotrópicos: se as propriedades físicas são dependentes da direção de
propagação.
Essas classificações permitem que as rochas, conforme a escala de observação,
possam ser classificadas como meios elásticos homogêneos e isotrópicos, como no
3 Físico inglês Sir Isaac Newton (1643 - 1727).
5
caso de areias e arenitos, ou elásticos homogêneos e anisotrópicos, como no casos
dos folhelhos, ou ainda como elásticos heterogêneos e anisotrópicos, como no caso
da maioria das demais rochas clásticas (formadas de fragmentos de outras rochas).
2.1.1. Ondas Sísmicas
As ondas sísmicas são perturbações mecânicas que se propagam nos meios
rochosos. No âmbito da Sísmica de exploração, o fenômeno da propagação de energia
(à exceção da fase de geração) toma como hipótese que as rochas são meios
elásticos e, por essa razão, essas ondas são consideradas elásticas e as deformações
reversíveis durante sua propagação.
Os pontos do meio elástico que sofrem simultaneamente o mesmo distúrbio, ou
seja, que estejam igualmente deslocados da posição de equilíbrio no mesmo instante
de tempo, formam as chamadas frentes de ondas, que podem apresentar formas
simples (planas, esféricas ou cilíndricas) ou, no caso de meios com grandes variações
de propriedades elásticas, comumente encontradas em abordagens exploratórias,
podem assumir formas mais complexas.
Segundo estabelece o princípio de Huygens4, cada ponto de uma frente de onda
atua como se ele próprio fosse uma nova fonte de distúrbio, gerando suas próprias
frentes de onda que, coletivamente, constituirão uma nova frente de onda.
2.1.1.1. Tipos de Ondas Sísmicas
As ondas sísmicas podem ser divididas em várias categorias. Citando as mais
conhecidas tem-se:
• ondas internas: também conhecidas como ondas de corpo, por se propagarem por
toda a extensão dos corpos, e que podem ser classificadas de acordo com a
direção dos movimentos oscilatórios gerados pela sua propagação:
# ondas longitudinais: também chamadas compressionais, de rarefação, de
dilatação, volumétricas, primárias ou, simplesmente, P, e
# ondas transversais: também chamadas cisalhantes, distorcionais,
eqüivolumétricas, rotacionais, secundárias ou S;
• ondas superficiais: cuja propagação se restringe às regiões próximas às
superfícies livres e fronteiras dos corpos e que também podem ser classificadas de
várias maneiras, tais como:
4 Matemático holandês Christiaan Huygens (1629 - 1695).
6
# ondas Rayleigh5: também chamadas R, Rg, Lr ou retrógradas,
# ondas Love6: também chamadas Lq ou Q (do alemão Querwellen7) e
# ondas Stoneley8: também chamadas entubadas;
• ondas guiadas: também conhecidas por ondas canalizadas ou cativas e
• ondas aéreas: também chamadas ondas de choque.
As ondas P provocam deslocamentos na mesma direção da propagação da
onda (ver Figura 2.1.1.1.1), ou seja, uma alternância de compressões e distensões
das partículas que compõem o meio na direção da propagação da onda, ocasionando
alterações de volume sem alterar a forma (considerando as partículas como elementos
cúbicos infinitesimais, os ângulos entre as arestas não se alteram). Essas ondas
podem se propagar tanto em meios sólidos como fluídos e, quando comparadas aos
outros tipos de ondas sísmicas, apresentam pequenas amplitudes, períodos curtos e
velocidades altas. Quando se propagam em sólidos de Voigt9, onde a relação tensão-
deformação é proporcional à deformação e à razão de mudança da deformação,
recebem o nome de ondas de Voigt. Quando se propagam em líquidos e gases,
chamados meios acústicos e que só permitem a propagação de ondas P, recebem o
nome de acústicas. As ondas aéreas são ondas P, cuja propagação ocorre no ar.
As ondas S provocam deslocamentos no plano perpendicular à direção da
propagação da onda, ou seja, cisalhamentos ou rotações em direções perpendiculares
à direção de propagação, ocasionando alterações de forma (ângulos entre arestas dos
elementos cúbicos infinitesimais se deformam) sem alterar o volume.
Em relação ao deslocamento no
plano perpendicular à direção de
propagação, as ondas S podem subdividir-
se em dois tipos (ver Figura ao lado):
• ondas SH: com deslocamentos na
direção horizontal e
• ondas SV: com deslocamentos
perpendiculares aos relacionados às
ondas SH. Fig. 2.1.1.1.1 - Esquema ilustrativo da
direção de propagação das ondas P e S.
5 Físico inglês John William Strutt, conhecido como Lord Rayleigh (1842 - 1919). 6 Matemático inglês Augustus Edward Hough Love (1863 - 1940). 7 Querwellen = Transversa. 8 Sismologista inglês Robert Stoneley (1894 - 1976). 9 Físico alemão Waldemar Voigt (1850 - 1919).
7
As ondas S não se propagam em meios líquidos e, quando comparadas às
ondas P, mostram amplitudes e períodos maiores e velocidades mais baixas. Ondas
SH que se propagam dentro de camadas guias, limitadas entre camadas de
velocidades mais altas, são chamadas de ondas de Evison10.
As ondas Rayleigh se propagam nas superfícies livres do meio. Nelas, os
deslocamentos ocorrem no plano que contém a direção de propagação da onda e é,
simultaneamente, perpendicular à superfície na qual a onda se propaga. Essas ondas
resultam da combinação de deslocamentos longitudinais e transversais no referido
plano, que acabam por conferir às partículas dois tipos de movimentos elípticos (o eixo
maior da elipse dispõe-se ligeiramente inclinado em relação à direção de propagação
da onda):
• movimento elíptico progradante: se o meio sobreposto tem velocidade superior à
do meio sotoposto (Figura 2.1.1.1.2) e
• movimento elíptico retrogradante: se o meio sobreposto tem velocidade inferior à
do meio sotoposto (Figura 2.1.1.1.3).
Fig. 2.1.1.1.2 - Ilustração do movimento
elíptico progradante.
Fig. 2.1.1.1.3 - Ilustração do movimento
elíptico retrogradante.
Uma característica marcante das ondas Rayleigh é que as amplitudes dos
deslocamentos, que são bastante grandes nas superfícies em que se propagam,
decrescem exponencialmente com o aumento da distância à referida superfície. As
ondas Rayleigh são ondas dispersivas, com ciclos de freqüências e velocidades
distintos, e que, quando comparadas aos outros tipos de ondas sísmicas, apresentam
períodos longos e velocidades de propagação próximas às das ondas S. Em aquisição
de dados sísmicos para exploração de petróleo, esse tipo de onda é o principal
causador dos chamados cones de ruídos (ground roll).
As ondas Love se propagam na superfície do meio somente se este estiver
sobreposto a outro de velocidade mais alta. Os deslocamentos associados à sua
propagação ocorrem no plano da referida superfície e são transversais à direção de
10 Geólogo neozelandês Frank Foster Evison.
8
propagação da onda. Admite-se que a origem das ondas Love esta relacionada à
energia oriunda de reflexões aprisionadas entre camadas superficiais do meio. Essas
ondas são bastante dispersivas e, dentre as demais ondas, são as responsáveis pelos
maiores danos decorrentes de terremotos. Quando se propagam com períodos longos,
são denominadas de ondas L, e quando se propagam no manto superior, sob a crosta
oceânica, com períodos entre 1 e 4min, são chamadas de ondas G.
As ondas Stoneley são características de meios com interfaces entre sólidos e
líquidos e alguns casos excepcionais de interface sólido-sólido. O fato de serem
comuns em paredes de tubulações e paredes de poços de petróleo lhes rendeu o
nome de ondas entubadas.
As ondas guiadas são aquelas cuja propagação ocorre dentro de porções
restritas do meio ou em uma camada guia; quando o comprimento de onda é maior
que a espessura da camada, essa onda recebe o nome de onda de Lamb11.
Quando ocorrem associações entre dois ou mais modos de propagação de
ondas de mesma fase aparente, diz-se que as ondas resultantes são ondas
acopladas. Quando ocorrem acoplamentos entre ondas Rayleigh e aéreas, resultantes
da propagação dos sons das fontes sísmicas pelas camadas de ar próximas à
superfície do terreno (com velocidades próximas de 340m/s e freqüências em torno de
100Hz), surgem as chamadas ondas Rayleigh e aéreas acopladas, ou ACRW (Air
Coupled Rayleigh Waves), que têm velocidades e freqüências ligeiramente superiores
às das ondas aéreas. Ondas que envolvem deslocamentos dos tipos de ondas P e SV,
características de camadas de baixa velocidade, encaixadas entre camadas de
velocidades mais altas, são conhecidas como ondas Krey12.
Nos casos em que ocorrem conversões entre modos de propagação de ondas,
as ondas resultantes recebem o nome de convertidas.
Quando uma onda sísmica atinge uma interface entre dois meios elásticos, com
o ângulo crítico (ver Apêndice E, Equação 5.3.10), e se propaga paralelamente a essa
interface, com a velocidade do meio de maior velocidade, aparece a chamada onda
frontal (head wave).
Em sismologia, também são empregadas outras terminologias para ondas
sísmicas tais como:
• ground waves: nome genérico das que se propagam pela superfície terrestre;
• ondas circulares: que se propagam em círculos, paralelamente à superfície
11 Físico alemão Johann Heinrich Lambert (1728 - 1777). 12 Geofísico alemão Theodor C. Krey (1910 - ).
9
terrestre;
• ondas Lg: ondas guiadas que se propagam por grandes distâncias na crosta
terrestre com velocidades de aproximadamente 3500m/s;
• ondas Pn: ondas P refratadas na descontinuidade sísmica de Moho13, na base da
crosta terrestre, cuja profundidade varia de 4km (sob a crosta oceânica) até 70km
(sob grandes maciços da crosta continental) e onde a velocidade das ondas P
aumenta abruptamente de 6500m/s para 7600m/s;
• ondas I e K: ondas P que se propagam, respectivamente, nos núcleos interno e
externo da Terra;
• ondas J: ondas S que se propagam no núcleo interno da Terra e
• cablebreak waves: que se propagam através do cabo de sustentação de
ferramentas de perfis acústicos de poços e de cabos de aquisição de dados
sísmicos marítimos.
Outra forma de classificação das ondas pode ser em função do comportamento
das partículas durante o tempo de propagação. Nessa classificação, existem:
• pulso: onda única, onde as partículas permanecem em repouso até serem
atingidas por um distúrbio e em seguida retornam ao estado de repouso, e
• trem de ondas: onde as partículas são atingidas por vários pulsos sucessivos;
quando a seqüência de pulsos é periódica, produz-se um trem de ondas periódico,
que transmite às partículas um movimento também periódico (o mais simples é o
movimento harmônico simples provocado por uma onda harmônica simples).
2.1.1.2. Velocidades das Ondas Sísmicas
De maneira geral, as velocidades de propagação das ondas sísmicas nas rochas
dependem das propriedades elásticas dos elementos que fazem parte da constituição
mineralógica, da estrutura de cristalização dos minerais e dos planos de fraturamento.
Nas rochas ígneas e metamórficas, as variações de velocidade são bem menores,
quando comparadas às observadas nas rochas sedimentares, onde a porosidade,
bem como os materiais que as preenchem, desempenham papéis fundamentais.
Nas rochas ígneas e metamórficas, as velocidades de propagação das ondas
sísmicas aumentam na relação inversa à quantidade de sílica. Portanto, rochas ácidas
(>65% de sílica) têm velocidades de propagação de ondas sísmicas menores e rochas
básicas (45% a 52% de sílica) e ultrabásicas (<45% de sílica), maiores.
13 Sismologista croata Andrija Mohorovicic (1847 - 1936).
10
Nas rochas sedimentares, as variações de velocidade são bem maiores,
principalmente em função da variedade de materiais que constituem o arcabouço, a
matriz e o material cimentante e da complexidade microestrutural. Rochas
sedimentares de origem química, como calcários, dolomitos e evaporitos, podem não
desenvolver porosidade, o que faz seu comportamento, em relação à propagação de
ondas sísmicas, tornar-se semelhante ao das rochas ígneas e metamórficas. Em
rochas sedimentares de origem clástica, como arenitos e folhelhos, as velocidades de
propagação das ondas sísmicas variam com a densidade que, por sua vez, está
relacionada à porosidade e à natureza dos materiais que preenchem os poros (gás,
óleo ou água), cujas densidades também influem nas velocidades de propagação das
ondas sísmicas.
As ondas P têm as maiores velocidades de propagação entre as ondas sísmicas.
Em função disso, são as primeiras a chegar aos pontos de registro e daí, o nome
ondas primárias. Já as ondas S têm velocidades menores e, pelo fato de sua chegada
ser posterior à chegada das ondas P foram denominadas de ondas secundárias. Essa
diferença entre as velocidades das ondas P e S, associada à artifícios geométricos, é
utilizada em sismologia no cálculo da distância da fonte geradora dessas ondas.
A velocidade de propagação das ondas P (vp) pode se relacionar de várias
maneiras com alguns parâmetros físicos (ver Apêndice A) e outras características do
meio no qual se propagam. Algumas dessas relações são apresentadas a seguir:
• ) 21( )1(
)1( E 34
k 2vp σ−σ+ρ
σ−=
ρ
µ+=
ρµ+λ
= ; 2.1.1.2.1
expressão oriunda da equação da onda, onde λ é o parâmetro de Lamé14, µ é o
módulo de rigidez ou cisalhamento, ρ é a densidade, E é o módulo de elasticidade e
σ é o coeficiente de Poisson15. Nos casos onde o coeficiente de Poisson oscila em
torno de 0,25 e a densidade em torno de 2, a última relação pode ser aproximada
para Evp ≅ , evidenciando o fato de o módulo de elasticidade ser o fator mais
importante no controle da velocidade de propagação das ondas P.
•
−φ+
−
−
+σ+σ−
ρ=
mfm
r
m
2
m
r
r
rrp
k1
k1
kk
1 k1
kk
1
11
k 3 1
v ; 2.1.1.2.2
14 Matemático francês Gabriel Lamé (1795 - 1870). 15 Matemático francês Siméon Denis Poisson (1781 - 1840).
11
equação de Biot-Geertsma16, válida para meios porosos, onde ρ é a densidade, kr,
km e kf são, respectivamente, as compressibilidades da rocha seca, do grão e do
fluído de saturação, σr é o coeficiente de Poisson da rocha seca e φ é a porosidade.
Essa equação mostra que a velocidade de propagação das ondas P é sensível ao
tipo de fluido presente na rocha e, segundo CAMARGO (1987), é a equação que
melhor trata o problema de velocidade de propagação de ondas em meios porosos,
pressupondo um acoplamento perfeito entre o fluido e os grãos da matriz rochosa.
Ondas P que se propagam pelos fluídos intersticiais também são chamadas ondas
de Biot.
• ( )6
2
2
p1
P E qv
σ−= ; 2.1.1.2.3
equação de Gassmann17, válida para modelos teóricos formados por esferas,
segundo um padrão de volume mínimo, onde q é uma constante de
proporcionalidade, E é o módulo de elasticidade, P é a pressão e σ é o coeficiente
de Poisson.
• 4pv 3365,0=ρ ; 2.1.1.2.4
relação empírica de Gardner18, que não é válida para rochas evaporíticas (sal e
anidrita), onde ρ é a densidade. A razão para a aparente discrepância entre esta
expressão, que relaciona diretamente velocidade e densidade, e a Equação
2.1.1.2.1, onde a densidade aparece no denominador, é que as variações de
densidade são acompanhadas de variações maiores dos módulos elásticos λ e µ.
• 6p t z 6,46v = ; 2.1.1.2.5
relação empírica de Faust19, válida somente para rochas clásticas, onde a
compactação, controlada pela pressão litostática associada ao soterramento, é
função da profundidade z (em metros) e da idade t (em anos) da rocha e influi
inversamente na porosidade e diretamente na densidade.
• PmPfp v
1vv
1 φ−+
φ= ; 2.1.1.2.6
relação empírica de Wyllie20, ou time average equation, válida para rochas
16 Matemático belga Maurice Anthony Biot (1905 - 1985) e J. Geertsma. 17 Geofísico suiço Fritz Gassmann. 18 Matemático e físico irlandês Gerald H. F. Gardner. 19 Geofísico norte-americano Lawrence Y. Faust (1904 - 1966). 20 Geofísico norte-americano M. R. J. Wyllie.
12
sedimentares com frações sólida e fluida (sólidos e fluidos são considerados
homogêneos e isotrópicos, e os poros totalmente saturados), onde φ é porosidade,
vPf é a velocidade de propagação das ondas P na fração fluida da rocha e vPm é a
velocidade de propagação das ondas P na matriz da rocha. Nessa expressão, o
tempo de trânsito através da rocha seria igual à soma dos tempos de trânsito na
matriz e no fluido, sem levar em conta as relações das propriedades dos fluidos
com a profundidade e as relações entre os grãos na formação do esqueleto da
rocha. Essa expressão não se aplica a rochas pouco consolidadas, rochas com
porosidade secundária e anormalmente alta, bem como a carbonatos.
• vP = 331,5 + 0,607 Τ; 2.1.1.2.7
fórmula que estima a velocidade das ondas P no ar em função da temperatura Τ em
graus Celsius.
• vP = 1449,2 + 4,6 Τ - 0,055 Τ2 + 0,0003 Τ3 + (1,34 - 0,01 Τ) (s - 35) + 0,16 z; 2.1.1.2.8
fórmula que estima a velocidade das ondas P na água, onde Τ é a temperatura em
graus Celsius, s é a salinidade em partes por mil e z é a profundidade em metros.
Da mesma forma, a velocidade de propagação das ondas S (vs) também está
relacionada de várias maneiras com os parâmetros físicos e outras características do
meio no qual se propagam, tais como:
• )1( 2
Evs σ+ρ
=ρµ
= ; 2.1.1.2.9
expressão oriunda da equação da onda, onde µ é o módulo de cisalhamento, ρ é a
densidade, E é o módulo de elasticidade e σ é o coeficiente de Poisson. A
constatação de que as ondas S não se propagam em fluidos pode ser observada
na primeira relação, onde a velocidade de propagação das ondas S é dependente
do módulo de cisalhamento que, nos fluidos, é zero. Portanto, ao contrário do caso
das ondas P, a velocidade de propagação das ondas S não é afetada pelo tipo de
fluido presente nos sedimentos.
•
σ+σ−
ρ=
r
rrs 1
21 k 5,1
1v ; 2.1.1.2.10
equação de Biot-Geertsma, onde ρ é a densidade, kr é a compressibilidade da
rocha seca e σr é o coeficiente de Poisson da rocha seca.
Já as velocidades de propagação das ondas Rayleigh (vR) podem ser calculadas
13
de forma aproximada, através de relações empíricas entre as velocidades de
propagação das ondas P (vP) e S (vS) e o coeficiente de Poisson (σ), conforme se
segue:
PSSR v 5,0v 9,0v 1
12,187,0v ≅≅
σ+σ+
≅ . 2.1.1.2.11
Tomando-se as relações definidas nas Equações 2.1.1.2.1 e 2.1.1.2.9, pode-se
estabelecer uma razão entre as velocidades de propagação das ondas P e S,
expressa nas seguintes formas:
σ−
σ−=+
µ=
µµ+λ
=
211
34k 2
v
v
s
p, 2.1.1.2.12
que, para o caso específico dos sólidos de Poisson, nos quais λ=µ, podem ser
simplificadas para a forma:
3v
v
s
p = . 2.1.1.2.13
A relação entre as velocidades das ondas P e S também permite o cálculo do
coeficiente de Poisson (σ):
1vv
1v
v
21
2
s
p
2
s
p
−
−
=σ . 2.1.1.2.14
Além das formas citadas, as velocidades de propagação das ondas sísmicas
também podem estar relacionadas a outras características das rochas sedimentares
nas quais se propagam, tais como:
• pressão confinante associada à pressão litostática que, em bacias sedimentares,
aumenta com a profundidade na taxa aproximada de 0,226bar/m≅3,281psi/m≅1psi/pé e
relaciona maior pressão a menor volume, maior densidade e maior velocidade de
propagação (o aumento da densidade ρ é compensado por aumentos na constante
de Lamé λ e no módulo de cisalhamento µ); e
• pressão de poro, resultante do peso dos fluidos contidos nos poros, associada à
resistência desses fluidos à pressão litostática, e que relaciona maior resistência à
maior volume dos poros e, por conseqüência, menor densidade e menor velocidade
de propagação das ondas (em bacias sedimentares a pressão de poro aumenta
com a profundidade na taxa aproximada de 0,105bar/m≅1,524psi/m≅0,465psi/pé).
14
Em trabalhos de modelagem sísmica é comum a adoção de parâmetros físicos
médios obtidos a partir de medidas de laboratório e de campo. A seguir, é apresentada
uma tabela com valores aproximados de velocidades de propagação de ondas P (vp) e
S (vs), densidades (ρ) e coeficientes de Poisson (σ) para alguns tipos de litologia.
Nessa tabela, os valores apresentados em células sombreadas foram obtidos na
literatura corrente, já aqueles apresentados com caracteres em negrito foram obtidos a
partir de medidas de laboratório, enquanto os demais foram calculados pelas
respectivas Equações 2.1.1.2.13, 2.1.1.2.4 e 2.1.1.2.14, anteriormente apresentadas.
Tabela de Ordem de Grandeza de Valores Típicos de vp, vs, ρ e σ
1.430 - 1.590 2,07 - 2,12310 - 360 1,41 - 1,47
inconsolidada 200 - 800 115 - 462 1,27 - 1,79 0,25 - 0,25 saturada 1.500 - 2.000 400 - 600 1,90 - 2,10 0,46 - 0,45 seca 400 - 1.200 100 - 500 1,50 - 1,70 0,47 - 0,39 sem água 2.000 - 4.500 1.155 - 2.598 2,25 - 2,76 0,25 - 0,25 com água 3.130 - 5.520 1.730 - 3.600 2,09 - 2,64 0,28 - 0,13
500 - 1.500 289 - 866 1,59 - 2,09 0,25 - 0,255.000 - 6.000 2.800 - 3.400 2,70 - 3,10 0,27 - 0,26
com água 3.390 - 5.790 1.670 - 3.040 2,00 - 2,65 0,34 - 0,31 carboníferos 3.000 - 3.500 1.732 - 2.021 2,49 - 2,59 0,25 - 0,25 cretáceos ordovicianos 4.000 - 5.600 2.309 - 3.233 2,68 - 2,91 0,25 - 0,25
3.410 - 7.020 2.010 - 3.640 2,27 - 2,84 0,23 - 0,327.500 - 8.100 4.330 - 4.677 3,13 - 3,19 0,25 - 0,252.400 - 5.000 1.386 - 2.887 2,36 - 2,83 0,25 - 0,256.400 - 6.800 3.695 - 3.926 3,01 - 3,06 0,25 - 0,254.400 - 5.200 2.700 - 3.200 2,50 - 2,70 0,20 - 0,204.000 - 6.000 2.309 - 3.464 2,68 - 2,96 0,25 - 0,257.800 - 8.400 4.503 - 4.850 3,16 - 3,22 0,25 - 0,254.500 - 5.500 2.500 - 3.100 2,10 - 2,30 0,28 - 0,275.707 - 5.944 3.147 - 3.292 0,28 - 0,28
100 - 500 58 - 289 1,06 - 1,59 0,25 - 0,252,90
ρ (g/cm³) σ
2.200 1.270 2,57 0,25
ar
Vp (m/s) Vs (m/s)Material água
areia
arenitos
argila basaltos
calcários
dolomitos dunitos folhelhos e ardósias
sal
solo
gabros gnaisses granitos peridotito
anidrita
2.2. Equação Básica da Elastodinâmica21
2.2.1. Equação do Movimento
A propagação de ondas mecânicas em meios elásticos pode ser expressa pela
equação elastodinâmica, escrita em termos do vetor deslocamento de partículas
)t,x(u i
r. Essa equação é uma forma de expressar a 2ª Lei de Newton, no domínio da
mecânica do contínuo, considerando as forças de ação à distância e de contato em
um determinado volume.
21 Alguns conceitos de elastodinâmica, relacionados a esta Seção, são apresentados no Apêndice B.
15
Considerando-se que um meio elástico, pelo qual se propagam ondas sísmicas,
é formado por um conjunto de elementos volumétricos infinitesimais submetidos a
alguns tipos de esforços, pode-se imaginar que esses elementos estão sujeitos à ação
dos fenômenos de translação, rotação e deformação que, a depender do conjunto de
forças, podem ocorrer individualmente ou de forma combinada sobre as partículas.
Considerando, na Figura ao lado, o elemento
infinitesimal de superfície dS, o vetor unitário nr
, normal
ao elemento dS, e a força elementar Fdr
, que atua em
ambos os lados da superfície S, pode-se definir a
resultante das forças que atuam no elemento superficial
(força superficial ou tração) como:
Fig. 2.2.1.1 - Esforços que atuam no elemento
superficial.
=
→ dSFd
limT0dS
rr
. 2.2.1.1
Considerando, na Figura 2.2.1.2, o elemento volumétrico infinitesimal dV do
volume V, o elemento infinitesimal de superfície dS da superfície S, a força elementar
por unidade de volume Fr
e o vetor unitário nr
, normal a dS, pode-se definir as
resultantes dos esforços que atuam no corpo:
• forças de ação à distância: atuam em todo o volume
e podem ser expressas como:
∫∫∫V
i dV F ; 2.2.1.2
• forças de contato: atuam somente na superfície que
limita o volume e podem ser expressas na forma:
Fig. 2.2.1.2 - Esforços que atuam no elemento
volumétrico. ∫∫S
i dS T . 2.2.1.3
Aplicando-se a 2ª Lei de Newton e estendendo-se esse conceito para todos os
elementos infinitesimais que constituem o sistema pode-se obter a expressão:
∑∑==
=+N
1i
i
N
1i
ii )a m()TF( , 2.2.1.4
onde m representa a massa e ai, a aceleração das partículas.
Substituindo-se a massa e a aceleração pelas respectivas relações:
16
m = ρ V 2.2.1.5
e
2
2
dtud
dtdv
a == , 2.2.1.6
a Equação 2.2.1.4 pode assumir as formas:
∑∑∑===
∂∂
ρ=+N
1i
iN
1i
i
N
1i
i tv
V TF 2.2.1.7
ou
∑∑∑===
∂∂
ρ=+N
1i2
i2N
1i
i
N
1i
i tu
V TF 2.2.1.8
que, no domínio contínuo, podem ser escritas nas respectivas formas:
∫∫∫∫∫∫∫∫
∂∂
ρ=+V
i
S
i
V
i dV tv
dS T dV F 2.2.1.9
ou
∫∫∫∫∫∫∫∫
∂∂
ρ=+V
2i
2
S
i
V
i dV tu
dS T dV F . 2.2.1.10
Tomando-se esta última forma e aplicando as relações de tensão:
Ti = τij nj, 2.2.1.11
as relações de geometria:
dSi = ni dS 2.2.1.12
e o teorema da divergência de Gauss22 sobre o segundo termo do primeiro membro,
obtém-se:
∫∫∫∫∫∫∫∫∫
∂∂
ρ=
∂
τ∂+
V
2i
2
Vj
ij
V
i dV tu
dV x
dV F , 2.2.1.13
que ainda pode ser reduzida à forma:
0dV tu
x
F V
2i
2
j
iji =
∂∂
ρ−∂
τ∂+∫∫∫ . 2.2.1.14
22 Matemático alemão Johann Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855).
17
Como essa expressão é válida para qualquer volume, a equação básica da
elastodinâmica assume a forma diferencial:
0tu
x
F 2i
2
j
iji =
∂∂
ρ−∂
τ∂+ , 2.2.1.15
cuja validade é bastante generalizada.
Empregando-se a forma generalizada da Lei de Hooke na equação anterior,
obtém-se uma equação diferencial de 2ª ordem do tipo hiperbólico, válida para meios
elásticos heterogêneos anisotrópicos:
2i
2
nl
knijkl
ji t
u )x(
xu
)x(cx
F∂∂
ρ=
∂∂
∂∂
+ , 2.2.1.16
onde Fi é a densidade de força de ação à distância, cijkl(xn) o tensor elástico, ur
o vetor
campo de deslocamento, ρ(xn) a densidade, t o tempo, os índices n e i podem assumir
os valores 1, 2 e 3, relacionados às direções x, y e z, e os índices k e l podem assumir
os valores 1, 2 e 3. O tensor elástico cijkl(xn) e a densidade ρ(xn) são funções das
coordenadas xn e não variam em função do tempo. O desenvolvimento dessa equação
resulta em um sistema de três equações diferenciais parciais de 2ª ordem com vinte e
nove termos, que, em função das relações de simetria do tensor elástico cijkl, que
caracteriza a elasticidade do meio, podem ter esse número de termos diminuído.
Alternativamente, a equação elastodinâmica pode ser escrita na forma de um
sistema de equações diferenciais de 1ª ordem:
∂∂
=∂
τ∂∂∂
ρ=∂
τ∂+
l
knijkl
ij
in
j
iji
xv
)x(ct
tv
)x(x
F
, 2.2.1.17
onde vr
é o vetor campo de velocidades das partículas.
Para meios elásticos isotrópicos, o tensor elástico cijkl(xn) pode ser escrito em
função do parâmetro de Lamé λ(xn) e do módulo de cisalhamento µ(xn):
cijkl = λ(xn) δij δkl + µ(xn) [ δik δjl + δil δjk ]. 2.2.1.18
onde δ é o delta de Kronecker23 e ambos os parâmetros variam em função do espaço
mas não variam com o tempo.
23 Matemático alemão Leopold Kronecker (1823 - 1891); o delta de Kronecker é definido como:
≠=
=δjipara0jipara1
ij
18
Neste caso, a Equação 2.2.1.16 pode ser escrita na forma:
2i
2
ni
j
j
in
k
kijn
ji t
u )x(
x
u
xu
)x(xu
)x(x
F∂∂
ρ=
∂
∂+
∂∂
µ+∂∂
δλ∂∂
+ , 2.2.1.19
cujo desenvolvimento resulta em:
2i
2
ni
jn
jj
in
jk
kn
ii t
u )x(
x
u )x(
xxu
)x(xx
u )x(
xF
∂∂
ρ=
∂
∂µ
∂∂
+
∂∂
µ∂∂
+
∂∂
λ∂∂
+ . 2.2.1.20
No caso de meios elásticos homogêneos isotrópicos, onde os parâmetros ρ(xn),
λ(xn) e µ(xn) não variam em função das coordenadas espaciais e, portanto,
0x
)x(x
)x(
j
n
i
n =∂µ∂
=∂λ∂
para qualquer xn, a expressão anterior assume a forma:
2i
2
i
j
jj
i
jk
k
ii t
u
x
u
x
xu
x
xu
x F
∂∂
ρ=∂
∂
∂∂
µ+∂∂
∂∂
µ+∂∂
∂∂
λ+ . 2.2.1.21
Para o caso particular de meios elásticos homogêneos isotrópicos, chamados de
acústicos, onde µ=0, a expressão anterior pode ser reduzida à forma:
2i
2
k
k
ii t
u
xu
x F
∂∂
ρ=∂∂
∂∂
λ+ . 2.2.1.22
Retomando e desenvolvendo a equação básica da elastodinâmica para meios
elásticos heterogêneos anisotrópicos, e usando uma notação específica (ver Apêndice
C, Seção 3) pode-se obter as expressões de cada componente espacial:
21
2
2
345
33
245
31
355
33
155
31
256
32
156
3
3
335
32
225
31
115
3
2
346
23
246
21
356
23
156
21
266
22
166
2
3
336
22
226
21
116
2
2
314
13
214
11
315
13
115
11
216
12
116
1
3
313
12
212
11
111
11
tu
xu
Cxx
uC
xxu
Cxx
uC
xxu
Cxx
uC
x
xu
Cxx
uC
xxu
Cx
xu
Cxx
uC
xxu
Cxx
uC
xxu
Cxx
uC
x
xu
Cxx
uC
xxu
Cx
xu
Cxx
uC
xxu
Cxx
uC
xxu
Cxx
uC
x
xu
Cxx
uC
xxu
Cx
F
∂∂
ρ=
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂
+
, 2.2.1.23
19
22
2
2
344
33
244
31
345
33
145
31
246
32
146
3
3
334
32
224
31
114
3
2
324
23
224
21
325
23
125
21
226
22
126
2
3
323
22
222
21
112
2
2
346
13
246
11
356
13
156
11
266
12
166
1
3
336
12
226
11
116
12
tu
xu
Cxx
uC
xxu
Cxx
uC
xxu
Cxx
uC
x
xu
Cxx
uC
xxu
Cx
xu
Cxx
uC
xxu
Cxx
uC
xxu
Cxx
uC
x
xu
Cxx
uC
xxu
Cx
xu
Cxx
uC
xxu
Cxx
uC
xxu
Cxx
uC
x
xu
Cxx
uC
xxu
Cx
F
∂∂
ρ=
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂
+
2.2.1.24
e
23
2
2
334
33
234
31
335
33
135
31
236
32
136
3
3
333
32
223
31
113
3
2
344
23
244
21
345
23
145
21
246
22
146
2
3
334
22
224
21
114
2
2
345
13
245
11
355
13
155
11
256
12
156
1
3
335
12
225
11
115
13
tu
xu
Cxx
uC
xxu
Cxx
uC
xxu
Cxx
uC
x
xu
Cxx
uC
xxu
Cx
xu
Cxx
uC
xxu
Cxx
uC
xxu
Cxx
uC
x
xu
Cxx
uC
xxu
Cx
xu
Cxx
uC
xxu
Cxx
uC
xxu
Cxx
uC
x
xu
Cxx
uC
xxu
Cx
F
∂∂
ρ=
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂
+
. 2.2.1.25
A depender das relações de simetria entre os parâmetros elásticos (Cmn),
apresentadas pelos meios anisotrópicos, essas equações podem ser simplificadas, de
acordo com o caso de anisotropia (ver Apêndice C, Seção 3.1).
2.2.2. Solução da Equação da Onda, para Meios Elásticos Heterogêneos Anisotrópicos, pelo Método de Diferenças Finitas
O interesse da Geofísica nas informações estruturais (atributos relacionados ao
tempo) e estratigráficas (atributos relacionados à amplitude, freqüência etc.) contidas
em sismogramas de campo, tem estimulado o desenvolvimento de técnicas de
modelagens numéricas acuradas, que possibilitem a produção de sismogramas
sintéticos de modelos geológicos complexos, com várias configurações de fontes e
20
receptores. Dada a vastidão do assunto24, é praticamente impossível mencionar todos
os métodos de modelagem que calculam as contribuições de todos os tipos de ondas
sísmicas.
Embora não seja uma unanimidade, MILLER e KELLER (1998) agrupam as
técnicas de modelagem sísmica conhecidas em três categorias básicas:
• técnicas de aplicação da teoria do raio:
# traçado geométrico do raio25: que emprega modelos simplificados de
camadas planas homogêneas e trajetórias retilíneas dentro das camadas;
esse método permite análises de amplitudes para ondas planas (usando as
equações de Zoeppritz26 - ver Apêndice E, Seção 5.3) e de fenômenos como
reflexões múltiplas e ondas diretas;
# teoria assintótica do raio27: desenvolvida por CERVENÝ, na década de 70,
e baseada na aproximação da equação da onda pela equação iconal, que
utiliza velocidades relativas, admitindo variações suaves no modelo de
velocidade, e considera o termo expresso pela função inversa da freqüência
negligenciável para altas freqüências; esse método permite análises das
variações de amplitude dentro de um feixe de trajetórias de raios sísmicos
entre a fonte e o receptor;
# traçado do raio entre dois pontos28 ou traçado do raio curvo: que usa o
traçado de um raio inicial unindo a fonte ao receptor que, posteriormente, é
ajustado (perturbado) de forma a garantir uma trajetória de menor tempo para
o raio sísmico entre a fonte e o receptor;
• técnicas de aplicação da teoria da onda:
# método da refletividade29: desenvolvido por FUCHS, na década de 70, e
baseado na solução integral da equação da onda para modelos de camadas
horizontais; esse método permite a geração de sismogramas sintéticos com
todos os tipos de ondas, incluindo múltiplas e convertidas, modelagem de
fontes sísmicas, análises de relações de amplitudes, fator Q e alguns casos
de anisotropia;
24 Informações adicionais em CHAPMAN (1978), PILANT (1979), AKI e RICHARDS (1980), BEN-MENAHEM e SINGH (1981), KENNETT (1974, 1979, 1983) e SPUDICH e ASCHER (1983). 25 Informações adicionais em SHERIFF e GELDHART (1982 e 1983) e TELFORD et al. (1990). 26 Matemático alemão Karl Jacob Zoeppritz (1838 - 1885). 27 Informações adicionais em CERVENÝ et al. (1977), MAY e HRON (1978) e McMECHAN e MOONEY (1978). 28 Informações adicionais em THURBER (1987) e VIDALE (1988). 29 Informações adicionais em FUCHS e MÜLLER (1971), MÜLLER (1985) e SANDMEIER e WENZEL (1986).
21
# teoria generalizada do raio30: implementada por HELMBERGER, na década
de 70, e baseada na solução da equação da onda pela utilização da
aproximação de Cagniard-de Hoop31, que envolve a Transformada inversa de
Laplace32 e integração numérica no plano complexo; é um método bastante
empregado na interpretação de sismogramas de terremotos;
# método de diferenças finitas: que utiliza fórmulas de diferenças, obtidas a
partir de expansões em série de Taylor truncadas, para encontrar soluções
numéricas da equação da onda em modelos de velocidades discretizados e
controlados por determinadas condições de contorno;
# método de elementos finitos33: semelhante ao método de diferenças finitas,
porém, o processo de discretização é baseado em elementos com formas
geométricas diversas, que permitem uma melhor representação do problema
às custas de formulações matemáticas mais complexas (o erro cometido na
aproximação de cada elemento é minimizado por um método variacional ou
de resíduos ponderados), e polinômios que interpolam a variação da função
incógnita, dentro de cada elemento, os quais podem ser lineares ou de ordem
superior (elementos quadráticos e cúbicos).
• técnicas de aplicação dos sismogramas sintéticos de incidência vertical34, onde
um sismograma sintético é obtido pela simples convolução de um pulso sísmico
com uma função refletividade; essa técnica permite avaliações dos efeitos de
múltiplas e de atenuação.
Conforme visto, existem muitos métodos para solução numérica da equação da
onda; no entanto, este trabalho se aterá ao método de diferenças finitas, onde os
operadores diferenciais são substituídos por aproximações de diferenças. O grau de
proximidade entre as soluções obtidas com o método de diferenças finitas e soluções
analíticas clássicas tem sido objeto de avaliação de vários esquemas de aproximação
das derivadas parciais, principalmente nos casos de modelos geológicos que
apresentam grandes variações laterais de parâmetros elásticos.
Os métodos de diferenças finitas podem ser classificados em duas categorias:
• esquemas explícitos: computacionalmente mais simples e que, no caso dos
problemas de propagação de ondas, computa os deslocamentos das partículas, em
30 Informações adicionais em HELMBERGER, 1974; WIGGINS e HELMBERGER, 1974; LANGSTON e HELMBERGER, 1975; WALLACE, 1986. 31 Louis Cagniard e o físico holandês Maarten Valentijn de Hoop (1961 - ). 32 Matemático francês Pierre-Simon Laplace (1749 - 1827). 33 Informações adicionais em OLSON et al. (1984). 34 Informações adicionais em OSTRANDER (1984).
22
um determinado instante, a partir dos deslocamentos em etapas de tempos
anteriores;
• esquemas implícitos: computacionalmente mais complexos e que, no caso dos
problemas de propagação de ondas, computa os deslocamentos das partículas
através da solução de um sistema de equações lineares para cada etapa da
marcha de progressão no tempo;
e podem ser empregados em simulações de propagação de ondas em modelos
elásticos com os seguintes enfoques:
• formulação homogênea:
2i
2
l
k
jijkli t
uxu
xcF
∂∂
ρ=
∂∂
∂∂
+ ; 2.2.2.1
aplicável em modelos homogêneos por
partes, ou seja, compostos por camadas
homogêneas, com densidade (ρ) e
propriedades elásticas constantes (cijkl),
delimitadas por interfaces curvas, onde
algumas ou todas as propriedades variam
abruptamente; nesta formulação, são
usados operadores diferenciais para
meios homogêneos (velocidade constante
em todos os pontos inscritos dentro da
camada) e aplicam-se condições de
contorno explícitas em cada interface; e
Fig. 2.2.2.1 - Exemplo de formulação
homogênea (adaptada de KELLY et al., 1976).
• formulação heterogênea:
2i
2
nl
knijkl
ji t
u )x(
xu
)x(cx
F∂∂
ρ=
∂∂
∂∂
+ ; 2.2.2.2
mais abrangente e aplicável em modelos
onde a densidade ρ(xn) e as propriedades
elásticas cijkl(xn) variam em cada ponto da
malha discreta correspondente; nesta
formulação, são utilizados operadores
para meios heterogêneos em todo modelo
e as condições de contorno são satisfeitas
implicitamente nas fórmulas de
diferenças.
Fig. 2.2.2.2 - Exemplo de formulação
heterogênea (adaptada de KELLY et al., 1976).
23
A dificuldade no tratamento do meio rochoso advém do fato de ele ser
normalmente muito complexo, no qual os parâmetros físicos mudam de forma
contínua, aleatória ou abrupta, junto a contornos regulares e irregulares. As hipóteses
simplificadoras, usualmente aplicadas junto com a equação elástica da onda,
normalmente são inválidas para a maioria dos estudos de propagação de ondas na
Terra por se restringirem a sinais de alta freqüência, modelos de camadas plano-
horizontais e à coincidência de localização de fonte e receptor.
Por relevarem tais considerações, os métodos numéricos tais como as
diferenças finitas e elementos finitos tornaram-se muito utilizados na solução da
equação elástica da onda.
A principal vantagem da aplicação dos métodos de diferenças finitas e elementos
finitos em sismologia é que eles fornecem soluções acuradas para problemas que
contêm heterogeneidades laterais em escalas comparáveis com o comprimento de
onda das ondas sísmicas. A despeito da desvantagem de serem computacionalmente
intensos, nenhum outro método é mais apropriado para problemas dessa categoria.
A consciência de que não existem soluções analíticas exatas para a equação
elástica da onda, para muitos modelos de interesse exploratório, e que soluções para
modelos realistas só podem ser obtidas de maneira aproximada, causou a proliferação
de métodos de modelagem sísmica numérica.
Entre as inúmeras técnicas disponíveis, o método das diferenças finitas é um
dos mais versáteis e de fácil implementação. Nele, a equação que descreve a
propagação de ondas em meios elásticos é aproximada por fórmulas de diferenças
finitas apropriadas, que podem ser solucionadas com procedimentos numéricos
recursivos de marcha no tempo sobre uma malha espacial discreta. Como o método é
baseado na equação elástica da onda (não em soluções particulares como, por
exemplo, o método de traçado do raio) ele inclui tanto as ondas diretas como também
as ondas superficiais, frontais, convertidas, refratadas, aquelas observadas nas "zonas
de sombreamento", as difrações e ainda preserva as relações de amplitude dos
eventos sísmicos.
2.2.2.1. Breve Histórico
Um dos primeiros artigos de cunho sismológico a tratar numericamente o
fenômeno de propagação de ondas foi escrito por CHERRY e HURDLOW (1966).
PLAMONDON (1966) desenvolveu um método de diferenças finitas para computar os
deslocamentos associados a uma fonte esférica atuando sob a superfície do terreno e
24
PETSCHEK e HANSON (1968), entre outros, empregaram métodos diferentes para
computar os deslocamentos associados à propagação de ondas em meios plásticos,
elásticos e inconsolidados.
ALTERMAN et al. (1968, 1970 e 1972) empregaram métodos de diferenças
finitas, sob condições iniciais e de contorno específicas, para resolver problemas de
propagação de ondas em meios elásticos homogêneos isotrópicos.
MITCHELL (1969) comentou vários esquemas de diferenças finitas que podem
ser aplicados na solução da equação da onda, onde o problema bidimensional é
separado em problemas que utilizam esquemas implícitos unidimensionais. Nesse
trabalho, muitos outros métodos são discutidos. Para meios cujas heterogeneidades
variam em uma ou duas dimensões, a equação elástica da onda pode ser separada
em duas equações que descrevem a propagação das ondas P e SV, no plano que
contém o raio da onda incidente, e SH, no plano que contém a interface de incidência.
BOORE (1970) desenvolveu um método para computar a propagação de ondas
SH, em meios com heterogeneidades laterais aplicando diferenças para expressar as
derivadas das condições de contorno e AKI e LARNER (1970) e LARNER (1970)
empregaram métodos de integração numérica do número de onda ou vagarosidade
(wavenumber or slowness integration35, que utiliza a representação do campo de onda
transformado por Fourier36 para um meio estratificado através da integração do
número de onda horizontal ou vagarosidade; o método da refletividade pertence a
essa classe) para computar a propagação de ondas, em meios lateralmente
heterogêneos, através do método das ondas difratadas, enquanto CLAERBOUT e
colaboradores (1970a, 1970b, 197137) e LANDERS (1971) desenvolveram métodos
para computar a propagação de ondas através do método da perturbação (baseado
em torno de soluções conhecidas analiticamente).
Em BOORE (1972) foi aplicado um método explícito de diferenças finitas para
resolver problemas sismológicos relacionados à propagação de ondas SH em meios
isotrópicos e linearmente elásticos, onde as derivadas parciais e as condições de
contorno foram substituídas por aproximações por diferenças centrais criando um
sistema recursivo que calculava os deslocamentos, nos pontos de uma malha
retangular em função dos deslocamentos em tempos imediatamente anteriores. Nesse
trabalho, foi empregado o conceito de parâmetros elásticos equivalentes, baseado nas
35 Informações adicionais em KIND (1978), HONG e HELMBERGER (1978), CORMIER (1980), WANG e HERRMANN (1980), INGATE et al. (1983), LEE e LANGSTON (1983) e HA (1984). 36 Físico francês Jean Baptiste Joseph Fourier (1768 - 1830). 37 Claerbout e seus alunos, na Universidade de Stanford (CLAERBOUT e JOHNSON, 1971), aplicaram diferenças finitas de uma aproximação para a equação da onda em trabalhos de migração.
25
idéias de Tikhonov e Samarskii (MITCHELL, 1969, SAMARSKII, 1977), através do qual
os parâmetros elásticos são calculados a partir dos parâmetros elásticos reais,
utilizando um método de integração sobre o intervalo entre os nós da malha ∆x, onde:
x2x
xg2x
xg
dxdg
dxdu
cdxd
∆
∆
−−
∆
+≅=
2.2.2.1.1
e a fórmula de diferenças é definida na forma:
∆∆−−
−
∆−∆+
≅
∫∫∆−
∆+ x)xx(u)x(u
dx)x(c
1
1x
)x(u)xx(u
dx)x(c
1
1dxdu
cdxd
x
xx
xx
x
. 2.2.2.1.2
Para calcular os parâmetros elásticos da
malha nas proximidades das interfaces entre
os meios (ver Figura ao lado), o valor da
constante elástica equivalente no ponto mais
próximo à interface (por exemplo: cs) é
calculado da seguinte maneira:
Fig. 2.2.2.1.1 - Esquema de cálculo dos parâmetros elásticos equivalentes
(adaptada de BOORE, 1972). ba
S
c1
c
1c
ζ−+
ζ= , 2.2.2.1.3
enquanto nos demais pontos, o parâmetro assume o valor do meio em que se
encontrava, ou seja, cN=cL=cO=ca. BOORE salienta que alguns cuidados devem ser
tomados, quando a interface entre os meios coincide com o caminho dessa integração
(o raciocínio vale para a interface livre). Essa teoria foi testada em experimentos com
ondas Love e SH. A aproximação da derivada temporal foi feita por diferença central e
a amostragem no tempo (∆t) obedeceu ao critério de estabilidade:
OLSN
4
n t
µ+µ+µ+µρ∆
≤∆ , 2.2.2.1.4
onde ∆ é o intervalo de amostragem espacial, n é a dimensão do espaço no qual se
desenvolve o problema, ρ é a densidade e µ é o módulo de cisalhamento nas direções
N, S, L e O, válido para meios homogêneos.
NEDOMA (1972) usou uma formulação heterogênea, com aproximações
adicionais das derivadas dos parâmetros elásticos nas zonas de transição de
velocidade, em estudos de propagação de ondas SH em meios estratificados
heterogêneos.
26
Em ALFORD et al. (1974), soluções da equação acústica da onda, para meios
homogêneos infinitos bidimensionais, obtidas através de esquemas explícitos de 2ª e
4ª ordens do método de diferenças finitas, foram comparadas com aquelas obtidas
através de uma técnica convencional de expansão de autofunções (eigenfunctions)
para estudar a acurácia das soluções e as facilidades no tratamento de interfaces com
irregularidades geradoras de difrações.
Fig. 2.2.2.1.2 - Espectro de potência normalizado da fonte
mostrando maior freqüência, cuja magnitude é 50%, - upper half
power wavelength (adaptada de ALFORD et al., 1974).
Nos esquemas de 2ª ordem, a razão entre o
comprimento de onda da maior freqüência, cuja
magnitude no espectro de potência normalizado38
da fonte é 50% (ver Figura 2.2.2.1.2), e o
espaçamento da malha deve ser maior ou igual a
dez, ou seja, pelo menos dez amostras por
comprimento de onda correspondente à referida
freqüência; enquanto que, nos esquemas de 4ª
ordem, essa razão pode ser maior ou igual a cinco.
Em KELLY et al. (1976) foi feita uma comparação entre dois esquemas explícitos
de diferenças finitas, na propagação de ondas P e SV em modelos elásticos
bidimensionais complexos. Os esquemas usaram as formulações homogênea,
baseada nos trabalhos de ALTERMAN e KARAL (1968) e OTTAVIANI (1971), e
heterogênea, baseada nos trabalhos de KOLSKY (1963) e KARAL e KELLER (1959).
Na formulação homogênea, o meio foi considerado como uma coleção de regiões
homogêneas, caracterizadas por valores constantes de densidade e parâmetros
elásticos, cujos deslocamentos são descritos por fórmulas de diferenças finitas
aplicadas nas equações correspondentes àquelas regiões. Os termos das derivadas
parciais foram aproximados pelas respectivas fórmulas:
2xxxx
x)t,z,xx(u)t,z,x(u 2)t,z,xx(u
cxu
cx ∆
∆−+−∆+=
∂
∂∂∂
2.2.2.1.5
e
)]t,zz,xx(u)t,zz,xx(u
)t,zz,xx(u)t,zz,xx(u[zx4
czu
cx
zz
zzz
∆−∆−+∆+∆−
−∆−∆+−∆+∆+∆∆
=
∂
∂∂∂
, 2.2.2.1.6
onde a variável c assume os valores de λ+2µ e µ e ∆x e ∆z são, respectivamente, os
38 Gráfico normalizado que representa o quadrado da magnitude da Transformada de Fourier F(ω) da função que representa o comportamento da fonte no domínio do tempo f(t):
|F(ω)|2 = Re[F(ω)]2 + Im[F(ω)]2 onde Re[F(ω)] é a parte real e Im[F(ω)] é a parte imaginária da Transformada.
27
intervalos entres os nós da malha nas direções x e z. O mesmo raciocínio se aplica às
demais direções. Já a formulação heterogênea permitiu simulações de modelos mais
complexos, de densidade constante, e parâmetros elásticos calculados pelas fórmulas:
2)z,x(c)z,xx(c
z,2x
xc+∆±
=
∆± 2.2.2.1.7
e
( )2
)z,x(c)z,x2x(cz,xxc
+∆±=∆± , 2.2.2.1.8
onde a variável c assume o valor de λ+2µ e as aproximações das derivadas são feitas
pelas respectivas fórmulas discretas:
[ ]
[ ]2
xx
2
xxx
x
)t,z,xx(u)t,z,x(u z,2x
xc
x
)t,z,x(u)t,z,xx(u z,2x
xc
xu
cx
∆
∆−−
∆
−
−∆
−∆+
∆
+≅
∂∂
∂∂
2.2.2.1.9
e
[ ]
[ ]z x 4
)t,zz,xx(u)t,zz,xx(u )z,xx(c
z x 4)t,zz,xx(u)t,zz,xx(u )z,xx(c
zu
cx
xx
xxx
∆∆∆−∆−−∆+∆−∆−
−∆∆
∆−∆+−∆+∆+∆+≅
∂∂
∂∂
, 2.2.2.1.10
onde a variável c assume os valores de λ+2µ, λ e µ. O mesmo raciocínio se aplica aos
demais termos. Com essa metodologia, as descontinuidades foram substituídas por
zonas de transição, com gradientes de velocidade. Em ambas formulações, a
aproximação da derivada temporal foi feita por diferença central e o incremento
temporal obedeceu ao critério de estabilidade de ALTERMAN e LOEWENTHAL (1970):
2s
2p vv
t+
∆≤∆ . 2.2.2.1.11
onde ∆t e ∆ são, respectivamente, os intervalos de amostragem temporal e espacial e
vP e vS são, respectivamente, as velocidades de propagação das ondas P e S.
Também foram observadas relações de amplitudes e contrastes de impedância,
contribuições relacionadas às ondas diretas, refletidas, frontais, convertidas (PS),
superficiais (Rayleigh), difrações, reflexões das bordas do modelo etc., bem como
eventos relacionados à profundidade da fonte39 e os efeitos dispersivos atribuídos à
39 O evento relacionado ao efeito da profundidade da fonte sísmica no meio elástico é chamado de fantasma da fonte (ghost). Fontes superficiais não provocam o aparecimento desses efeitos.
28
malha. A identificação dos eventos sísmicos nos sismogramas foi realizada com a
ajuda dos tempos de chegada (traveltimes) calculados pela teoria do raio40 (o campo
de onda foi decomposto em sismogramas correspondentes aos modos de onda).
A generalização do método de diferenças finitas para a propagação de ondas P-
SV em superfícies poligonais arbitrárias foi apresentada por ILAN (1977), onde todos
os esquemas aplicaram o conceito de pontos fictícios da malha, que permite o
acoplamento da equação do movimento e das condições de contorno.
BARD e BOUCHON (1980) e ALEKSEEV e MIKHAILENKO (1980) também
desenvolveram métodos de integração numérica do número de onda (como AKI e
LARNER, 1970) para simular a propagação de ondas em meios lateralmente
heterogêneos.
Em KUMMER e BEHLE (1982) os trabalhos de BOORE (1970), NEDOMA (1972)
e KELLY et al. (1976) foram reavaliados, sob a óptica de uma nova formulação
homogênea de diferenças finitas de 2ª ordem. Para testar o método explícito de
esforços contínuos, que modela as descontinuidades, mas não representa uma
aproximação do problema de valor inicial correspondente, foi introduzida uma nova
representação por diferenças finitas, com formulação homogênea, onde o
acoplamento da equação da onda e das condições de contorno é feito por meio de
uma expansão de Taylor41 do campo de onda SH, em descontinuidades laterais de 1ª
ordem em meios lateralmente heterogêneos (ver Figura 2.2.2.1.3):
Fig. 2.2.2.1.3 - Conceito de malha deslocada
(adaptada de KUMMER e BEHLE, 1982).
∂
∂∆+=∆+
x)x(u
)x(u)x(u . 2.2.2.1.12
Em relação aos demais esquemas, esse representa uma aproximação
consistente de 2ª ordem das condições de contorno e permite uma melhoria
significativa na solução. Por meio de um novo critério de estabilidade:
∆∆
+
µ
µ+µ
ρ+ρµ∆≤∆
2
2
a
ba
baa
xz
1
)( zt ,
2.2.2.1.13
onde os índices a e b se referem às camadas a e b, o incremento de tempo pode ser
40 Informações adicionais em MÜLLER (1969) e BEN-MENAHEM e VERED (1973). 41 Matemático inglês Brook Taylor (1685 - 1731).
29
escolhido de modo que o erro fique confinado dentro de certos limites. Como
conseqüência, o teorema da equivalência de Lax42 (RICHTMYER e MORTON, 1967,
SMITH, 1985) garante que esse método converge para a solução exata
correspondente ao problema do valor inicial. Isso permite a modelagem de qualquer
interface suave. Um exemplo numérico, com uma wavelet43 de Ricker incidente
verticalmente na base do modelo, ilustra que esse método converge mais rapidamente
que outros esquemas.
GAZDAG (1981) estudou a modelagem de propagação de ondas utilizando a
equação unidirecional da onda no domínio da freqüência, e KOSLOFF e BAYSAL
(1982) apresentaram um método de diferenças finitas, onde as derivadas espaciais
eram representadas através da aplicação de Transformadas de Fourier, com três
amostras por comprimento de onda mínimo, permitindo uma redução nas dimensões
da malha. Já MIKHAILENKO e KORNEEV (1984) introduziram dois métodos de
diferenças finitas nos quais por meio de representações de Fourier do campo de
deslocamento elástico um dos métodos mostrou-se bastante eficiente para
modelagem de situações de trapas de petróleo, enquanto o outro podia ser aplicado
para estruturas mais complexas. No entanto, a computação da Transformada de
Fourier consome um tempo significativo de máquina.
Em 1984, MARFURT publicou um trabalho comparando a aplicação dos
métodos de diferenças finitas e elementos finitos na propagação de ondas, onde
ambos os métodos mostraram a necessidade de grande capacidade computacional.
OLSON et al. (1984) mostraram uma aplicação dos métodos de elementos finitos na
propagação de ondas na modelagem de sismogramas sintéticos.
SHTIVELMAN (1984) introduziu um método híbrido pelo qual a propagação de
ondas acústicas nas partes heterogêneas era executada por técnicas de diferenças
finitas e a continuação do campo de onda nas partes regulares calculada por meio das
equações integrais de contorno.
Em VIRIEUX (1984) é apresentado um método de diferenças finitas centrais
para simular a propagação de ondas SH em meios isotrópicos linearmente elásticos,
usando as velocidades de propagação das ondas e as tensões. Em VIRIEUX (1986) é
apresentada uma extensão desse método, baseada em um esquema de diferenças
finitas com malhas de velocidade e de tensão deslocadas de metade do valor do
intervalo de amostragem (malhas intercaladas), usado por MADARIAGA (1976), para
42 Matemático e físico americano Peter David Lax (1928 - ). 43 Wavelet: forma da perturbação; uma perturbação sísmica que tem uma forma definida é dita possuidora de uma “assinatura sísmica”.
30
fazer a partição da modelagem de propagação de ondas P-SV em meios
heterogêneos, usando um sistema de equações hiperbólicas de 1ª ordem para
velocidades e tensões. As interfaces internas do modelo foram representadas pelas
mudanças de densidade e parâmetros elásticos e as quatro interfaces de contorno
foram explicitamente consideradas de acordo com o tipo de problema (meios infinitos,
superfícies livres e rígidas). Os modelos foram excitados por fontes explosivas com as
formas de pulso gaussiano ou da 1ª derivada desses pulsos. As relações entre as
dispersões das velocidades de fase das ondas planas P e S e a razão de Poisson
permitem que o mesmo enfoque usado para meios elásticos seja usado para meios
fluídos sem que nenhum tratamento especial seja necessário para a interface líquido-
sólido. Depois de comparar simulações numéricas, VIRIEUX discute a discrepância
entre os resultados obtidos com as formulações homogênea e heterogênea
apresentadas em KELLY et al. (1976) e sugere a aplicação de técnicas de inversão ao
problema não-linear, usando a formulação de esforço-velocidade (GAUTHIER et al.,
1985) como alternativa para esse método.
Em KUMMER et al. (1987) foi empregado um esquema híbrido para propagação
de ondas em meios elásticos com heterogeneidade lateral que associa diferenças
finitas e equações integrais de contorno aplicadas, especificamente, onde funcionam
melhor, de acordo com suas restrições. Analogamente ao método de SHTIVELMAN
(1984), os campos de onda e tensões nas vizinhanças das heterogeneidades são
calculados com técnicas de diferenças finitas, usando o método de Tikhonov e
Samarskii (já comentado - BOORE, 1972); mas, na porção homogênea, a continuação
do campo de onda é calculada analiticamente através de representações
bidimensionais do teorema definido por de Hoop. A combinação dos métodos facilita a
computação do campo remoto para estruturas heterogêneas e permite a supressão
das contaminações de dispersão numérica pela minimização do domínio para o qual o
método de diferenças finitas é usado. Um exemplo numérico é usado para demonstrar
a aplicação no cálculo da resposta de uma onda plana para um meio homogêneo,
contendo uma lente elástica, e mostrar que esse esquema híbrido permite modelagens
tão eficientes e acuradas quanto os esquemas puros de diferenças finitas.
Em STEPHEN (1988) o foco de estudo é direcionado ao problema de
propagação de ondas sísmicas no fundo do mar (interface líquido-sólido), onde existe
um alto contraste dos coeficientes de Poisson e interfaces irregulares, com fortes
variações em relação às distâncias comparáveis ao comprimento de onda das ondas
sísmicas em mais de uma dimensão. Anteriormente, em STEPHEN (1984) e
DOUGHERTY e STEPHEN (1987) mostrou-se que os métodos de diferenças finitas
31
podiam ser empregados nos estudos dos efeitos das grandes estruturas do fundo do
mar, tais como colinas e vales, e em McLAUGHLIN et al. (1987), nos estudos dos
efeitos da geologia local. Nesse trabalho, STEPHEN revê e compara as formulações
de diferenças finitas para a equação elástica da onda, publicadas até então, e esboça
sua aplicabilidade em modelos contendo interfaces líquido-sólido irregulares,
representando o fundo do mar (muitas formulações falham ao resolver esse problema
de maneira acurada) e levanta questões sobre:
• os efeitos da rugosidade da superfície na propagação das ondas superficiais;
• o mecanismo de conversão de modo (compressional ⇔ cisalhante) nos pontos
difratores em um meio elástico;
• os deslocamentos, relacionados à incidência de ondas de corpo e superficiais,
próximos às colinas e vales do fundo oceânico;
• a partição de energia sísmica em uma borda elástica;
• os mecanismos da fonte sísmica e de propagação de ondas relacionados aos
ruídos de fundo no assoalho oceânico.
O trabalho discute aspectos computacionais dos cálculos, apresenta estatísticas
de performance e, ao final, salienta que a chave para obter esquemas estáveis e
acurados é a especificação de parâmetros em uma malha intermediária e sugere a
necessidade de testes sobre a acurácia desses métodos para fenômenos de
espalhamento e ondas superficiais.
LEVANDER (1988) melhorou a acurácia dos problemas relacionados às
interfaces, usando uma técnica com equações elástica e escalar da onda na forma de
um sistema de equações hiperbólicas de 1ª ordem, com malha intercalada, e
aproximações de 4ª ordem para a derivada espacial, em contrapartida aos métodos
apresentados por KUMMER e BEHLE (1982) e KELLY et al. (1976), que usam
condições de contorno explícitas nas interfaces.
DOUGHERTY e STEPHEN (1988) expressaram a equação vetorial elástica da
onda como um sistema equações de 2ª ordem, com o objetivo de otimizar a
quantidade de memória de computação necessária, e então aplicaram o conceito da
malha intercalada.
Em SOCHACKI et al. (1991) foi considerada a obtenção de sismogramas
sintéticos, através das equações elástica e acústica, com uma técnica que emprega o
teorema da divergência com vários esquemas numéricos, visando manusear
matematicamente os fenômenos físicos (incorporados nos esquemas numéricos pela
integração através das interfaces) que ocorrem nas interfaces durante a propagação
32
de ondas elásticas em meios heterogêneos. A equação derivada da equação acústica
da onda, empregando esquemas explícitos de diferenças finitas que incorporam
integrações, não é comum na Geofísica e, além de ser equivalente à equação escalar
da onda, pode ser aplicada para o caso de ondas SH. Para aplicar esse esquema de
integração para o caso das ondas P-SV, cada componente da equação elástica é
apresentada na forma de divergente, incorporando naturalmente a continuidade
exigida das tensões normais e tangenciais nas interfaces. O método é um
aperfeiçoamento daquele apresentado em MITCHELL (1969), BOORE (1972) e KELLY
et al. (1976 e 1982), cujo conceito fundamental é a integração das equações elástica e
acústica da onda através das interfaces. O processo é estável desde que o critério de
estabilidade de von Neumann44:
máxv 2t
∆≤∆ 2.2.2.1.14
onde ∆t é o intervalo de amostragem temporal, ∆ é o intervalo de amostragem espacial
e vmáx é a velocidade máxima, seja preservado em cada uma das regiões do modelo.
Em SEI (1993) a meta foi avaliar, em termos de custo computacional, qual o
ganho proporcionado pelo incremento da acurácia no espaço em esquemas de
diferenças finitas de ordem mais alta, para as equações acústica e elástica da onda,
uma vez assegurada a estabilidade numérica, ou seja, para qualquer coeficiente de
Poisson e qualquer módulo de elasticidade. Nesse trabalho são apresentadas regras
de prescrição de amostragem, em função do tamanho do domínio, para controlar os
erros relacionados à dispersão e à existência de uma ordem ótima de aproximação em
termos do total de operações aritméticas:
• amostragem espacial: seis pontos para o menor comprimento de onda, definido
pela velocidade mínima - vmín - e pelo período da freqüência máxima - Tfmáx - do
espectro da fonte:
6Tv fmáxmín=∆ 2.2.2.1.15
• amostragem temporal: vinte pontos para o menor período da freqüência máxima:
20T
t fmáx=∆ , 2.2.2.1.16
O estudo mostrou que o custo computacional não aumenta em função da ordem da
aproximação até a 8ª ordem no espaço.
44 Matemático húngaro János von Neumann ou John von Neumann, depois de sua naturalização americana (1903 - 1957).
33
Em ZAHRADNÍK (1995) o interesse foi a simplificação de aspectos que influem
na acurácia dos esquemas que diferiam no tratamento dos parâmetros elásticos
(valores locais ou médios). Nesse trabalho, a densidade foi considerada constante, a
malha de amostragem espacial era quadrada e a derivada temporal foi aproximada por
uma diferença central de 2ª ordem. Da mesma forma que em BOORE (1972),
KUMMER et al. (1987) e ZAHRADNÍK e HRON (1992), as derivadas comuns foram
aproximadas segundo a malha da Figura 2.2.2.1.4 da seguinte forma:
zg
zu
cz ∂
∂=
∂∂
∂∂
, 2.2.2.1.17
onde:
z2z
-zx,g 2z
z,xg
zg
∆
∆
−
∆
+=
∂∂
2.2.2.1.18
e
∆−
2z
z,xg e
∆+
2z
z,xg são dados por:
• z
)z-z,x(u)z,x(uc
2z
-zx,g N ∆∆−
=
∆ 2.2.2.1.19
e
Fig. 2.2.2.1.4 - Malha usada no esquema de aproximação
das derivadas simples. As tensões são representadas
por losangos e os deslocamentos por círculos.
• z
)z,x(u)zz,x(u c
2z
z,xg S ∆−∆+
=
∆+ . 2.2.2.1.20
Essa metodologia resultou na seguinte aproximação para essas derivadas comuns:
2NS
z)]z-z,x(u)z,x(u[c ])z,x(u)zz,x(u[ c
zu
cz ∆
∆−−−∆+=
∂∂
∂∂
. 2.2.2.1.21
As integrações dos parâmetros elásticos nos segmentos N e S das linhas da
malha resultaram nas respectivas médias:
∫∫∫ ∆
=∂∂
∆−∆
=
NN
NN
dzc1
z
dzc1
dzzu
)z-z,x(u)z,x(uz
c 2.2.2.1.22
e
∫∫∫ ∆
=∂∂
−∆+∆
=
SS
SS
dzc1
z
dzc1
dzzu
)z,x(u)zz,x(uz
c . 2.2.2.1.23
34
Observar que para ambos os casos (cS e cN) foi aplicado o teorema do valor
médio e um artifício para aproximar a função g em
∆+
2z
z e
∆−
2z
z da seguinte
maneira:
∫∫ ∂
∂
=
∆
N
N
dzc1
dzzu
2z
-zx,g 2.2.2.1.24
e
∫∫ ∂
∂
=
∆+
S
S
dzc1
dzzu
2z
zx,g . 2.2.2.1.25
A utilização dos parâmetros cS e cN, calculados através do inverso da média
ponderada de c1
, ao invés de valores locais serve para contornar o problema de
condições de continuidade do tensor de esforços nas descontinuidades, que são
violadas quando se utilizam parâmetros locais, e evitar a imprecisão e a dispersão
numérica do esquema com parâmetros locais, quando a descontinuidade passa entre
as linhas da malha.
Ao utilizar esquemas de 2ª ordem, as derivadas mistas espaciais foram
aproximadas de duas formas:
• forma curta:
Fig. 2.2.2.1.3 - As integrações são representadas pelas elipses, as tensões por
losangos e os deslocamentos por círculos.
} )]z,xx(u)zz,xx(u
)z,xx(u)zz,xx(u[ c )]zz,xx(u)z,xx(u
)zz,xx(u)z,xx(u[ c { z4
1xu
cz
N
S
2
∆−−∆−∆−+
∆++∆−∆+−∆+∆−+∆−−
∆+∆++∆+∆
=
∂∂
∂∂
2.2.2.1.26
onde os índices N e S correspondem, respectivamente, às direções de z
decrescente e z crescente.
35
• forma longa (análoga à proposta por SOCHACKI et al., 1991, e ZAHRADNÍK et al.,
1994, baseados na formulação integral das equações do movimento, e, por esta
razão, fisicamente justificáveis):
Fig. 2.2.2.1.4 - As integrações são
representadas pelas elipses, as tensões por losangos e os deslocamentos por círculos.
} )]z,xx(u)zz,xx(u
)z,x(u)zz,x(u[ c )]z,x(u)zz,x(u
)z,xx(u)zz,xx(u[ c )]zz,xx(u)z,xx(u
)zz,x(u)z,x(u[ c )]zz,x(u)z,x(u
)zz,xx(u)z,xx(u[ c { zx4
1xu
cz
NO
NE
SO
SE
∆−−∆−∆−
−+∆−−−∆−
−∆++∆−∆+−∆−∆−−∆−
−∆+++∆+−
−∆+∆++∆+∆∆
=
∂∂
∂∂
2.2.2.1.27
onde os índices SE, SO, NE e NO correspondem, respectivamente, às direções de
x e z crescentes, x decrescente e z crescente, x crescente e z decrescente e x e z
decrescente.
Ambas as formas obedecem às condições de continuidade nas interfaces
interiores; no entanto, na superfície livre as condições de tensão (τxz=τzz=0) são
violadas quando utilizado o formalismo do vácuo empregando a forma curta. Usando
esse formalismo para a superfície livre no esquema de forma longa, as componentes
tangenciais e normais da tensão desaparecem, como desejado.
Nesse trabalho, ZAHRADNÍK compara soluções empregando a forma longa na
superfície livre e a curta nos pontos internos da malha, com aplicações das formas
longa e curta em todo o modelo e observa que algumas soluções concordam, a
despeito da forma utilizada em uma ou outra região do modelo. Baseado no fato de
que a acurácia das derivadas espaciais mistas nos pontos internos da malha não é
degradada quando a quantidade de valores de esforços implícitos empregados diminui
de quatro (na forma longa) para dois (na forma curta), a forma curta é indicada por
economizar 50% das operações aritméticas e evitar instabilidades incondicionais
encontradas em alguns modelos resolvidos com a forma longa. No entanto, nos
pontos da superfície livre (quando tratados com o formalismo do vácuo, ou seja,
quando λ=µ=ρ=0) tal simplificação não é possível e a forma longa deve ser usada.
No final do trabalho, ZAHRADNÍK sugere um esquema elástico bidimensional de
diferenças finitas para malhas quadradas (∆x=∆z=h), chamado PS2, no qual as
derivadas espaciais nas formas curtas:
36
2OL
h)]z,h-x(u)z,x(u[ c])z,x(u)z,hx(u[ c
xu
cx
−−−+=
∂∂
∂∂
2.2.2.1.28
e
2N
2S
h)]z,h-x(u)h-z,h-x(u)z,hx(u)h-z,hx(u[c
h])hz,h-x(u)z,h-x(u)z,x(u)z,hx(u[c
xu
cz
−−+++
−+−−++
=
∂∂
∂∂
2.2.2.1.29
são usadas em todo o modelo, exceto na superfície livre, onde a forma longa das
derivadas mistas é usada para garantir a condição τxz=τzz=0 na primeira linha do
modelo, no contexto do formalismo do vácuo.
2.2.2.2. Estabilidade e Controle de Dispersão
A estabilidade é uma característica das soluções numéricas que confina a
variação nas soluções encontradas dentro de certos limites, considerados aceitáveis, à
medida que a progressão no tempo avança. É função do espaçamento da malha de
discretização e do grau de precisão do operador de diferenças finitas usado. Quanto
mais densa for a malha e maior a ordem do operador de diferenças finitas (maior
precisão do operador), melhor será a estabilidade do processo. Existem dois efeitos
relacionados ao uso de malhas discretas:
• falseamento na amostragem de séries contínuas (aliasing) e
• dispersão progressiva na propagação de ondas (dispersão da malha), que é tanto
maior quanto maior for o intervalo de amostragem da malha.
A dispersão numérica é um fenômeno intrínseco do processo de discretização
das variáveis que atua como controlador das velocidades de fase e de grupo das
frentes de ondas, de acordo com a dimensão da malha, a freqüência e o ângulo de
propagação, provocando uma separação de uma frente de onda em várias outras. A
dispersão causada pela malha produz um atraso nas frentes de ondas de altas
freqüências em relação às baixas provocando uma deformação do sinal. Quanto maior
a separação entre os pontos da malha discreta, maior é a dispersão das frentes de
onda relacionadas a cada freqüência que compõe o espectro de freqüência do sinal.
Conforme dito anteriormente, ALFORD et al. (1974) mostraram que em
esquemas de diferenças finitas de 2ª ordem são necessárias pelo menos dez
amostras por comprimento de onda correspondente à maior freqüência, cuja
magnitude é 50%, no espectro de potência normalizado da fonte; enquanto que, em
esquemas de 4ª ordem são necessárias pelo menos cinco amostras.
37
Um esquema de diferenças finitas é dito estável se obedece ao critério de
estabilidade de von Neumann:
máxv 2t
∆≤∆ . 2.2.2.2.1
onde ∆t e ∆ são, respectivamente, os intervalos de amostragem temporal e espacial e
vmáx é a velocidade máxima. Observa-se que, neste caso, tanto ∆ como ∆t são
condicionados um pelo outro e pelas características do meio (vp ou λ, µ e ρ).
2.2.2.3. Condições Iniciais
O início da simulação da propagação de ondas em meios elásticos necessita da
definição das condições em que o processo se inicia. Se, em t=0s, as velocidades e as
tensões são consideradas nulas, estabelece-se uma condição inicial de repouso. Uma
solução analítica para a propagação de ondas pode ser empregada para iniciar uma
solução por diferenças finitas enquanto a perturbação se propaga por esquemas
numéricos. Se o campo de onda inicial é zero na região de heterogeneidade, por
definição, a equação da onda e as condições de contorno serão satisfeitas. Essa
metodologia híbrida permite a produção de um impulso livre de fases indesejáveis.
2.2.2.4. A Fonte
Para iniciar o processo de propagação das ondas sísmicas, costuma-se
empregar uma fonte de perturbações, ou wavelet, descrita por uma função analítica.
O uso de fontes impulsivas pode provocar alguns problemas relacionados à
natureza discreta da malha. A discretização de fontes de ondas compressionais, com
comportamento temporal na forma da derivada de funções gaussianas, gera frentes de
ondas com ruído de baixa amplitude45.
BOORE (1972) lembra que a escolha da fonte deve considerar a possibilidade
de uma mistura de ondas, que pode causar a modulação do sinal no domínio da
freqüência, ao invés de onda única em função dos efeitos de falseamento na
amostragem na definição da fonte. Por essa razão, normalmente é escolhido um pulso
com espectro estreito no domínio espacial e largo no domínio da freqüência, onde as
amplitudes, acima da freqüência de Nyquist46, sejam praticamente nulas (o efeito de
falseamento na amostragem diminui à medida que diminui a amplitude das
45 O ruído da fonte pode ser atribuído ao fato de as soluções dos problemas analíticos contínuos e com diferenças discretas não serem idênticas. Essa diferença se propaga como ruído. 46 Engenheiro sueco-americano Harry Nyquist (1889 - 1976).
38
freqüências incluídas no espectro acima da freqüência de Nyquist). Um pulso com
essas características permite a melhor individualização dos eventos e a obtenção de
mais informações das propriedades físicas do meio.
KELLY (1976) lembra que a inclusão de uma fonte na modelagem de
propagação de ondas sísmicas requer cuidados especiais em relação às vizinhanças
do ponto onde se encontra a fonte e sugere a subtração dos deslocamentos
relacionados diretamente à fonte, calculados analiticamente para um meio infinito, do
deslocamento total em uma região ao redor do ponto onde se encontra a fonte. Esse
procedimento isola a fonte, cria condições de contorno que delimitam essa região (de
tamanho igual ao quadrado do tamanho da wavelet) e evita dificuldades relacionadas à
singularidade da fonte.
VIRIEUX (1986) ressalta que dependendo do problema abordado, o uso de
fontes explosivas com formas de uma função gaussiana, ou de suas derivadas de 1ª e
2ª ordem, está relacionado ao fato das tensões τ11 e τ22 serem definidas no mesmo
ponto da malha e a excitação da fonte ser simulada pela adição das mesmas
amplitudes incrementais à τ11 e τ22 no ponto em que a fonte se encontra. Como as
velocidades v1 e v2 não são computadas no ponto da fonte, amplitudes infinitas são
permitidas. Se a fonte for posicionada na superfície livre, o incremento é feito somente
na tensão τ22 e a presença de ondas Rayleigh torna-se muito forte.
2.2.2.5. Condições de Contorno
As condições de contorno de um determinado problema são introduzidas com a
intenção de limitar artificialmente a porção do espaço sobre o qual a solução de uma
equação diferencial parcial é calculada. Idealmente, os efeitos dessas condições de
contorno sobre a solução devem ser mínimos, de modo a aproximá-la, ao máximo, da
solução obtida no caso da inexistência dessas limitações artificiais. Como a eliminação
total desses efeitos é praticamente impossível, as condições de contorno devem ser
tais que sua influência possa ser facilmente identificada e desconsiderada na análise
dos resultados de interesse. A combinação entre a equação diferencial e as condições
de contorno adequadas forma o que se chama de "problema bem posto".
Dependendo das características do problema, as bordas podem ser tratadas
com diferentes condições de contorno:
• condições de radiação aproximadas, para meios infinitos, conforme
apresentadas em CLAYTON e ENGQUIST (1980), correspondentes às condições
de radiação de ondas planas;
39
• condições de tensões livres ou Neumann ou ainda de superfície livre;
• condições de velocidade nula, equivalente às condições de deslocamento nulo
ou Dirichlet47 ou de superfície rígida.
No caso da propagação de ondas, as condições de contorno, além de
resolverem os problemas de reflexões indesejadas relacionadas às fronteiras da
porção delimitada, devem ser estabelecidas de modo que sua relação de dispersão48
seja uma boa aproximação das relações de dispersão das ondas que se propagam no
interior do modelo.
Uma maneira de expressar essa aproximação é através do uso de equações da
onda unidirecionais como condições de contorno. Quanto melhor as condições de
contorno descreverem as ondas que se propagam, menores as reflexões. Essas
reflexões deveriam ser totalmente suprimidas quando as ondas incidentes
satisfizessem exatamente as condições de contorno. Normalmente, os efeitos
atribuídos às condições de contorno relacionadas com as superfícies livres são mais
fortes e facilmente reconhecíveis.
Conforme apresentado em GRANT e WEST (1965), as condições de contorno
na superfície livre do modelo exigem o desaparecimento das tensões nessa interface.
A condição de contorno impõe que as tensões normais e tangenciais obedeçam às
respectivas relações:
0zu
2
xu
zx =∂∂
ρµ+λ
+∂
∂ρλ
2.2.2.5.1
e
0zu
xu zx =
∂
∂+
∂∂
ρµ
. 2.2.2.5.2
Fig. 2.2.2.5.1 - Condições de contorno na superfície livre.
Já as condições de contorno nas
interfaces que separam os diferentes meios
elásticos (meios a, com λa, µa e ρa, e b, com λb,
µb e ρb, na Figura ao lado) impõem uma
continuidade dos deslocamentos e equilíbrio de
tensões. No caso das tensões normais, a
condição de contorno é:
47 Matemático francês Johann Peter Gustav Legeune Dirichlet (1805 - 1859). 48 Considerando um meio de velocidade v constante, a relação de dispersão é dada pela expressão:
2
22z
2y
2x v
ω=κ+κ+κ ,
onde κx, κy e κz são as freqüências espaciais (número de onda) nas direções x, y e z e ω é a freqüência angular temporal.
40
zu
2
xu
z
u
2x
u zb
b
bbxb
b
bza
a
aaxa
a
a
∂∂
ρµ+λ
+∂
∂ρλ
=∂
∂ρ
µ+λ+
∂∂
ρλ
, 2.2.2.5.3
onde uxa, uza, uxb e uzb são respectivamente os deslocamentos nas direções x e z nos
meios a e b; no caso das tensões tangenciais:
∂
∂+
∂∂
ρµ
=
∂
∂+
∂∂
ρµ
zu
xu
z
ux
u zbxb
b
bzaxa
a
a 2.2.2.5.4
e, no caso dos deslocamentos tangenciais e normais, respectivamente:
uxa = uxb 2.2.2.5.5
e
uza = uzb. 2.2.2.5.6
Aproximando as diferenciais normais por diferenças regressivas e as diferenciais
tangenciais por diferenças centrais, na superfície livre, que contém o eixo x e a origem
de z (z=0), as condições de contorno no caso das tensões normais são as seguintes:
0z
)t,z,x(u)t,0,x(u 2x 2
)t,0,xx(u)t,0,xx(u zaza
a
aaxaxa
a
a =∆
∆−−ρ
µ+λ+
∆∆−−∆+
ρλ
2.2.2.5.7
e, no caso das tensões tangenciais:
0x 2
)t,0,xx(u)t,0,xx(uz
)t,z,x(u)t,0,x(u zazaxaxa
a
a =
∆
∆−−∆++
∆∆−−
ρµ
, 2.2.2.5.8
onde ∆x e ∆z são os intervalos de amostragem nas direções x e z e o índice -∆z está
relacionado a uma posição fictícia da malha, acima da superfície livre que delimita o
modelo.
Nas interfaces que separam os meios elásticos tem-se, respectivamente, as
seguintes condições de contorno para as tensões normais e tangenciais:
z)t,z,x(u)t,zz,x(u
2
x 2)t,z,xx(u)t,z,xx(u
z)t,z,x(u)t,zz,x(u
2
x 2)t,z,xx(u)t,z,xx(u
zbzb
b
bbxbxb
b
b
zaza
a
aaxaxa
a
a
∆−∆+
ρµ+λ
+∆
∆−−∆+ρλ
=∆
−∆+ρ
µ+λ+
∆∆−−∆+
ρλ
2.2.2.5.9
e
∆
∆+∆−−∆+∆++
∆−∆+
ρµ
=
∆
∆−−∆++
∆−∆+
ρµ
x 2)t,zz,xx(u)t,zz,xx(u
z)t,z,x(u)t,zz,x(u
x 2)t,z,xx(u)t,z,xx(u
z)t,z,x(u)t,zz,x(u
zbzbxbxb
b
b
zazaxaxa
a
a
2.2.2.5.10
41
e, no caso dos deslocamentos:
uxa(x,z,t) = uxb(x,z+∆z,t) 2.2.2.5.11
e
uza(x,z,t) = uzb(x,z+∆z,t). 2.2.2.5.12
ILAN e LOEWENTHAL (1975) reportaram que esse método de obtenção da
representação de diferenças finitas para as condições de contorno pode criar um limite
de estabilidade dado pela razão entre vP e vS.
Em EMERMAN e STEPHEN (1983) é mencionado que, para os casos de ondas
com ângulos de incidência muito próximos da normal, as condições de contorno,
definidas em CLAYTON e ENGQUIST (1977) e FUYUKI e MATSUMOTO (1980),
normalmente empregadas com as equações elásticas da onda, são estáveis quando:
17,2vv
S
P < . 2.2.2.5.13
Nesse trabalho, EMERMAN e STEPHEN sugerem a utilização de condições de
contorno bastante estáveis para um esquema de diferenças finitas com intervalos de
amostragens espaciais ∆x e ∆z, nas direções x e z, e amostragem temporal ∆t,
qualquer que seja a relação S
P
vv
. Para tal, utilizam os seguintes operadores nas
bordas:
• borda inferior, onde z=Nz e x varia entre 2 e Nx-2:
0t
)]tt,zz,x(u)t,zz,x(u 2)tt,zz,x(u[v 21
t)]tt,z,x(u)t,z,x(u 2)tt,z,x(u[
v 21
z t 2)]tt,zz,x(u)tt,zz,x(u)tt,z,x(u)tt,z,x(u[
2xxx
S
2xxx
S
xxxx
=∆
∆−∆−+∆−−∆+∆−
+∆
∆−+−∆+
+∆∆
∆−∆−+∆+∆−−∆−−∆+
2.2.2.5.14
e
0t
)]tt,zz,x(u)t,zz,x(u 2)tt,zz,x(u[v 21
t)]tt,z,x(u)t,z,x(u 2)tt,z,x(u[
v 21
z t 2)]tt,zz,x(u)tt,zz,x(u)tt,z,x(u)tt,z,x(u[
2zzz
P
2zzz
P
zzzz
=∆
∆−∆−+∆−−∆+∆−
+∆
∆−+−∆+
+∆∆
∆−∆−+∆+∆−−∆−−∆+
; 2.2.2.5.15
• borda direita, onde x=Nx e z varia entre 2 e Nz-2:
42
0t
)]tt,z,xx(u )t,z,xx(u 2)tt,z,xx(u[v1
21
t)]tt,z,x(u)t,z,x(u 2)tt,z,x(u[
v1
21
x t 2)]tt,z,xx(u)tt,z,xx(u)tt,z,x(u)tt,z,x(u[
2xxx
P
2xxx
P
xxxx
=∆
∆−∆−+∆−−∆+∆−
+∆
∆−+−∆+
+∆∆
∆−∆−+∆+∆−−∆−−∆+
2.2.2.5.16
e
0t
)]tt,z,xx(u )t,z,xx(u 2)tt,z,xx(u[v1
21
t)]tt,z,x(u)t,z,x(u 2)tt,z,x(u[
v1
21
x t 2)]tt,z,xx(u)tt,z,xx(u)tt,z,x(u)tt,z,x(u[
2zzz
S
2zzz
S
zzzz
=∆
∆−∆−+∆−−∆+∆−
+∆
∆−+−∆+
+∆∆
∆−∆−+∆+∆−−∆−−∆+
; 2.2.2.5.17
• canto inferior direito, onde (x,z)=(Nx,Nz-1),(Nx-1,Nz) e (Nx,Nz):
0t
)t,z,x(u)tt,z,x(uv1
v1
t)t,z,x(u)tt,z,x(u
v1
v1
2
1
x)t,z,x(u)t,z,xx(u
z)t,zz,x(u)t,z,x(u
zz
SP
xx
SP
xxxx
=
∆−∆+
−+
∆−∆+
+
+∆
−∆++
∆∆−−
2.2.2.5.18
e
0t
)t,z,x(u)tt,z,x(uv1
v1
t)t,z,x(u)tt,z,x(u
v1
v1
2
1
x)t,z,x(u)t,z,xx(u
z)t,zz,x(u)t,z,x(u
zz
SP
xx
SP
zzzz
=
∆−∆+
++
∆−∆+
−
+∆
−∆++
∆∆−−
. 2.2.2.5.19
ENGQUIST (1976) apresentou um método de estabelecimento de condições de
contorno totalmente absorventes para ondas com determinados ângulos de incidência
e razoavelmente absorventes para ondas com outros ângulos de incidência que
funcionam tanto para a forma escalar como para a elástica da equação da onda. Neste
trabalho foram adotadas as condições de absorção de bordas propostas por CERJAN
et al. (1984) e os operadores propostos por EMERMAN e STEPHEN (1983), onde as
equações da onda são trocadas por equações unidirecionais que não permitem a
propagação de energia de volta ao interior do modelo, desde que os eventos não
atinjam as bordas com ângulos muito rasos, quando a eficácia do método se degrada.
A proposição de CERJAN postula um esquema alternativo simples e robusto
onde a redução da amplitude é gradual e não ocorre degradação em função do ângulo
de incidência. Admitindo que Φ(x,z,t) é a pressão observada em um tempo t=n∆t na
posição (n∆x, n∆z), a solução seguiria o seguinte esquema de integração no tempo:
43
∂Φ∂
+∂
Φ∂∆+
∆−Φ∆+Φ=∆+Φ
z)t,z,x(
x)t,z,x(
)z,x(v t2t
t,z,xt)t,z,x()tt,z,x(2
2
2
22P . 2.2.2.5.20
Neste caso, bordas laterais e superior com vinte amostras (Nad=20) e uma borda
inferior com quarenta amostras (Nad=40) são suficientes para atenuar sensivelmente
as reflexões, onde as amplitudes são multiplicadas pelo fator (ft):
2)nNad( 000225,0e)n(ft −−= . 2.2.2.5.21
No caso elástico, as condições de bordas de absorção podem afetar as variáveis
de campo reduzindo sua magnitude a cada passo de tempo, enquanto que, para o
método das equações de esforços, podem afetar as derivadas no tempo das
componentes de esforço.
2.3. Isotropia Transversa (TI = Transversal Isotropy)
Em boa parte dos problemas exploratórios, as rochas são consideradas meios
elásticos isotrópicos, embora a maioria delas sejam sabidamente anisotrópicas. Sabe-
se também que, quando uma perturbação elástica, de comprimento de onda muito
maior que a espessura das camadas (normal em problemas exploratórios), se propaga
por uma seqüência de camadas, o meio se comporta como homogêneo e anisotrópico
(BACKUS, 1962).
Uma das razões para se negligenciar o fenômeno de anisotropia é que as
equações que descrevem a propagação de ondas nesses meios apresentam
complicações algébricas consideráveis, mesmo para os casos mais simples.
Em LEVIN (1979), THOMSEN (1986), CRAMPIN et al. (1984) e BALL (1995)
foram apresentados trabalhos teóricos, de medidas de laboratório e estudos de campo
sobre anisotropia em rochas sedimentares e em BYUN (1984) é apresentado um
trabalho sobre isotropia transversa, uma forma de anisotropia simplificada, com eixo
de simetria elástica perpendicular ao plano de acamamento das rochas, que se
mostrou uma boa aproximação para descrever a anisotropia em rochas sedimentares.
2.3.1. Introdução à Anisotropia Elástica
Como já mencionado, meios linearmente elásticos são definidos como aqueles
nos quais as componentes das tensões são linearmente dependentes das
componentes de deformação e podem ser representadas pela expressão:
44
l
kijklij x
u c ∂∂
=τ . 2.3.1.1
onde cada índice da expressão pode assumir três valores (correspondentes às
direções x, y e z), resultando em nove relações envolvendo oitenta e um elementos do
tensor elástico cijkl. Em função da simetria das tensões (τij=τji), apenas seis das nove
equações são independentes e, por causa da simetria das deformações
∂∂
=∂∂
k
l
l
k
xu
xu
,
apenas seis dos nove termos de cada equação são independentes. Desenvolvendo a
Equação 2.3.1.1 (ver Apêndice C, Seção 3) e usando a notação de Voigt, pode-se
obter a seguinte representação matricial dessa equação:
∂∂
+∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂∂∂∂∂
=
τ
τ
τ
τ
τ
τ
1
2
2
1
1
3
3
1
2
3
3
2
3
3
2
2
1
1
666564636261
565554535251
464544434241
363534333231
262524232221
161514131211
6
5
4
3
2
1
xu
xu
xu
xu
xu
xu
xuxuxu
CCCCCC
CCCCCC
CCCCCC
CCCCCC
CCCCCC
CCCCCC
2.3.1.2
onde:
=
666564636261
565554535251
464544434241
363534333231
262524232221
161514131211
mn
CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC
C 2.3.1.3
é a matriz dos módulos do tensor elástico que, em função de sua simetria, costuma
ser apresentada na forma matricial triangular com apenas vinte e um elementos:
=
66
5655
464544
36353433
2625242322
161514131211
mn
CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC
C . 2.3.1.4
45
Dependendo da rotação aplicada aos eixos de coordenadas, cada classe de
simetria elástica tem uma representação matricial correspondente (ver Apêndice C,
Seção 3.1). Neste trabalho, apenas com os casos de isotropia e isotropia transversa
serão tratados.
2.3.1.1. Meios Isotrópicos
Os meios isotrópicos são casos especiais de meios anisotrópicos, onde o
número de constantes elásticas se reduz a dois. As constantes elásticas cijkl podem ser
expressas em termos da constante de Lamé (λ) e do módulo de cisalhamento (µ)
segundo a expressão:
cijkl = λ δij δkl + µ (δik δjl + δil δjk), 2.3.1.1.1
cujo desenvolvimento rconduz aos resultados:
c1111=c2222=c3333= λ+2µ, 2.3.1.1.2
c1122=c1133=c2211=c2233=c3311=c3322= λ 2.3.1.1.3
e
c1212=c1221=c1313=c1331=c2112=c2121=c2323=c2332=c3113=c3131=c3223=c3232= µ. 2.3.1.1.4
Substituindo-se os índices ijkl dos parâmetros elásticos pelos respectivos índices
mn da notação de Voigt, obtém-se os resultados na forma:
C11 = C22 = C33 = λ + 2 µ, 2.3.1.1.5
C12 = C13 = C21 = C23 = C31 = C32 = λ 2.3.1.1.6
e
C66 = C55 = C44 = µ, 2.3.1.1.7
e a matriz dos módulos do tensor elástico assume a forma:
−−−−−−
=
44
44
44
3344334433
4433334433
4433443333
mn
CC
CCC 2CC 2C
C 2CCC 2CC 2CC 2CC
C , 2.3.1.1.8
46
permitindo que a representação matricial da expressão generalizada da Lei de Hooke
possa ser escrita na seguinte forma:
∂∂
+∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂∂∂∂∂
−−
−−
−−
=
τ
τ
τ
τ
τ
τ
1
2
2
1
1
3
3
1
2
3
3
2
3
3
2
2
1
1
44
44
44
3344334433
4433334433
4433443333
6
5
4
3
2
1
xu
xu
xu
xu
xu
xu
xuxuxu
C
C
C
CC 2CC 2C
C 2CCC 2C
C 2CC 2CC
. 2.3.1.1.9
Aplicando as relações entre tensão e deformação às três componentes da
equação básica da elastodinâmica pode-se obter as expressões:
11
344
33
144
31
244
22
144
2
3
344
12
244
1
3
333
12
233
11
133
121
2
Fxu
Cxx
uC
xxu
Cxx
uC
x
xu
Cxx
uC
x2
xu
Cxx
uC
xxu
Cxt
u
+
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂
=∂
∂ρ
, 2.3.1.1.10
22
344
33
244
3
3
313
22
211
21
166
21
111
2
1
244
12
144
122
2
Fxu
Cxx
uC
x
xu
Cxx
uC
xxu
C 2xx
uC
x
xu
Cxx
uC
xtu
+
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
=∂
∂ρ
2.3.1.1.11
e
32
244
31
144
3
3
333
32
233
31
133
3
2
344
23
244
21
344
13
144
123
2
Fxu
Cxx
uC
x2
xu
Cxx
uC
xxu
Cx
xu
Cxx
uC
xxu
Cxx
uC
xtu
+
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂
=∂
∂ρ
. 2.3.1.1.12
47
2.3.1.2. Meios Transversalmente Isotrópicos
Um dos casos mais simples de anisotropia (ver Apêndice C, Seção 3.1), a
chamada isotropia transversa49, ou anisotropia de simetria elástica hexagonal, ou
ainda anisotropia de simetria elástica polar, tem apenas uma direção de anisotropia,
enquanto as outras duas são isotrópicas e equivalentes entre si.
Para meios transversalmente isotrópicos, onde a variação ocorre somente na
direção do eixo vertical (de larga aplicação em Geofísica), a matriz dos módulos
elásticos tem apenas cinco componentes independentes (C11, C13, C33, C44 e C66) e a
representação matricial da expressão generalizada da Lei de Hooke tem a seguinte
forma:
∂∂
+∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂∂∂∂∂
−
−
=
τ
τ
τ
τ
τ
τ
1
2
2
1
1
3
3
1
2
3
3
2
3
3
2
2
1
1
66
44
44
331313
13116611
13661111
6
5
4
3
2
1
xu
xu
xu
xu
xu
xu
xuxuxu
C
C
C
CCC
CCC 2C
CC 2CC
. 2.3.1.2.1
Uma comparação entre os casos isotrópico e transversalmente isotrópico mostra
que o primeiro é uma degeneração do segundo, onde os módulos elásticos adquirem
os seguintes valores:
C11 ⇒ C33, 2.3.1.2.2
C66 ⇒ C44 2.3.1.2.3
e
C13 ⇒ C33 - 2 C44. 2.3.1.2.4
Aplicando as relações entre tensão e deformação as três componentes da
equação básica da elastodinâmica, obtêm-se as expressões correspondentes a cada
uma das direções:
49 TIV: Isotropia Transversa Vertical (eixo de simetria elástica vertical),
TIH: Isotropia Transversa Horizontal (eixo de simetria elástica horizontal), muito empregada em estudos sismológicos de fraturamento em rochas de reservatórios.
48
11
344
33
144
31
266
22
166
2
3
313
12
266
12
211
11
111
121
2
Fxu
Cxx
uC
xxu
Cxx
uC
x
xu
Cxx
uC 2
xxu
Cxx
uC
xtu
+
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂
=∂
∂ρ
, 2.3.1.2.5
22
344
33
244
33
313
22
211
2
1
166
21
111
21
266
12
166
122
2
Fxu
Cxx
uC
xxu
Cxx
uC
x
xu
C 2xx
uC
xxu
Cxx
uC
xtu
+
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂
=∂
∂ρ
2.3.1.2.6
e
33
333
32
212
31
113
3
2
344
23
244
21
344
13
144
123
2
Fxu
Cxx
uC
xxu
Cx
xu
Cxx
uC
xxu
Cxx
uC
xtu
+
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂
=∂
∂ρ
. 2.3.1.2.7
Neste caso de isotropia transversal vertical (ou anisotropia polar vertical), para
cada direção existem três soluções independentes, polarizadas e mutuamente
ortogonais:
• onda qP (quasi-P ou quasi-longitudinal);
• onda SH (transversa), cujo vetor de polarização tem componentes nas direções
ortogonais à direção de anisotropia ou paralelas ao plano de simetria elástica (S||);
e
• onda qSV (quasi-SV ou quasi-transversa), cujo vetor de polarização tem
componentes paralelas à direção de anisotropia ou perpendiculares ao plano de
simetria elástica (S⊥).
Usando uma aproximação da teoria assintótica do raio, DALEY e HRON (1977)
mostraram uma relação de dependência direcional entre as velocidades de fase de
ondas planas nas três direções (ver Figura 2.3.1.2.1):
ρθ+θ−++
=θ 2
)(D)(sen ]CC[CC)(v
233114433
P , 2.3.1.2.8
ρθ−θ−++
=θ=θ⊥ 2)(D)(sen ]CC[CC
)(v)(v2
33114433SVS , 2.3.1.2.9
e Fig. 2.3.1.2.1 - Dependência direcional das
velocidades de fase. ρθ+θ
=θ=θ)(cos C )(sen C
)(v)(v2
442
66SH||S , 2.3.1.2.10
49
onde ρ é a densidade, θC é o ângulo entre o raio r de propagação da onda (que parte
da fonte) e o eixo vertical, θ é o ângulo de fase entre a normal nr
da frente de onda e o
eixo vertical (também chamado ângulo da normal de frente de onda) e D(θ) é uma
combinação quadrática de parâmetros elásticos expressa pela relação:
)(sen ] ) CC ( 4) C 2CC ( [
)(sen ] ) C 2CC ( ) CC () CC ( 2 [ 2
) CC ()(D
224413
2443311
24433114433
24413
24433
2
θ+−−+
+θ−+−−+
+−=θ
. 2.3.1.2.11
Essa complexidade do termo D(θ) é o principal obstáculo ao uso da anisotropia na
análise de dados sísmicos.
Observando-se a Figura 2.3.1.2.1, nota-se que a frente de onda é localmente
perpendicular ao vetor nr
normal à frente de onda, que aponta para a direção de
máxima variação da fase. Como a velocidade de fase vf(θ) é uma medida do avanço
da frente de onda ao longo do vetor normal )(n θr
, ela também é chamada de
velocidade da frente de onda. Uma vez que a frente de onda não seja esférica, fica
claro que θ≠θC.
Retomando essas equações, que envolvem os módulos elásticos C11, C13, C33,
C44 e C66, e aplicando uma notação que envolva apenas C33 e C44 (relacionados às
velocidades das ondas P e S) e as medidas de anisotropia ε, δ* e γ, pode-se obter
combinações apropriadas que permitam simplificações dos parâmetros de anisotropia,
de modo que assumam uma forma adimensional, se reduzam a zero no caso de
isotropia e a valores bem inferiores a um para os casos de isotropia transversa.
THOMSEN (1986) chegou às seguintes combinações, válidas para o caso de isotropia
transversa:
33
3311
C 2CC −
≡ε , 2.3.1.2.12
44
4466
C 2CC −
≡γ 2.3.1.2.13
e
233
44331144332
4413
C 2) C 2CC ( ) CC () CC ( 2
*−+−−+
=δ , 2.3.1.2.14
onde:
2PV33 v C ρ= , 2.3.1.2.15
50
2SV44 v C ρ= , 2.3.1.2.16
ρ é a densidade e e vPV e vSV são, respectivamente, as velocidades das ondas P e S
verticais.
Aplicando tais definições às Equações 2.3.1.2.8, 2.3.1.2.9, 2.3.1.2.10 e
2.3.1.2.11, pode-se rescrevê-las nas formas:
)(*D)(sen 1v)(v 2PVP θ+θε+=θ , 2.3.1.2.17
)(*D vv
)(sen vv
1v)(v)(v 2SV
2PV2
2SV
2PV
SVSVS θ−θε+=θ=θ⊥ , 2.3.1.2.18
)(sen 2 1v)(v)(v 2SVSH||S θγ+=θ=θ 2.3.1.2.19
e
−−
θ
ε+−ε+θδ
θ+
−
=θ 1
vv
1
)(sen vv
1 )(cos *
)(sen 412
vv
1
)(*D
2PV
2SV
22PV
2SV2
22PV
2SV
. 2.3.1.2.20
A complexidade das Equações 2.3.1.2.17, 2.3.1.2.18, 2.3.1.2.19 e 2.3.1.2.20
dificultam o entendimento de seu significado físico. Em função disso, uma 4ª medida
de anisotropia, chamada δ, foi definida como alternativa para δ*. Esse parâmetro
aparece como o parâmetro mais importante para a maioria das aplicações de
Geofísica. Expandindo-se essas equações em série de Taylor, com valores pequenos
para ε, δ* e γ, ângulo da normal de frente de onda θ fixo e tomando apenas os termos
lineares, o termo D*(θ) pode ser aproximado para a forma:
)(sen )(cos )(sen
vv
1
*)(*D 422
2PV
2SV
θε+θθ−
δ≈θ
2.3.1.2.21
que, substituído nas Equações 2.3.1.2.17, 2.3.1.2.18 e 2.3.1.2.19 linearizadas50,
permite, nos casos de anisotropia fraca, a obtenção das expressões:
vP(θ) = vPV [ 1 + δ sen2(θ) cos2(θ) + ε sen4(θ) ], 2.3.1.2.22
θθδ−ε+=θ )(osc )(sen ) (
vv
1 v)(v 222SV
2PV
SVSV 2.3.1.2.23
50 Aplicação da expansão de Taylor na raiz quadrada e retenção dos termos relacionados a 1ª derivada.
51
e
vSH(θ) = vSV [ 1 + γ sen2(θ) ]. 2.3.1.2.24
Essas equações mais simples podem ser combinadas de forma que, para θ
pequenos, cada termo contribua para o total com pequenas parcelas, permitindo a
troca de δ* por δ, definido por:
)CC( C 2)CC()CC(
vv
1
*
21
443333
24433
24413
2PV
2SV −
−−+=
−
δ+ε≡δ . 2.3.1.2.25
Como os parâmetros ε, δ e γ têm magnitudes de mesma ordem, a Equação
2.3.1.2.22 mostra que, para pequenos valores de θ (condição da maioria das
reflexões), sen2(θ)cos2(θ) é maior que sen4(θ); logo, o termo δsen2(θ)cos2(θ) domina os
efeitos de anisotropia.
O fator trigonométrico cos2(θ) do termo δsen2(θ)cos2(θ) assegura que a
dependência angular de vP(θ) é dominada pelo parâmetro δ, salvo aqueles casos
especiais em que ε é muito maior que δ.
No caso de propagação horizontal têm-se os seguintes casos:
vP(90°) = vPV [ 1 + ε ], 2.3.1.2.26
vSV(90°) = vSV 2.3.1.2.27
e
vSH(90°) = vSV [ 1 + γ ]; 2.3.1.2.28
e, no caso de propagação vertical:
vP(0°) = vPV, 2.3.1.2.29
vSV(0°) = vSV 2.3.1.2.30
e
vSH(0°) = vSV. 2.3.1.2.31
2.3.2. Medidas de Anisotropia
Dados obtidos em laboratório, com medidas de velocidades ultra-sônicas e, in
situ, com velocidades compatíveis à dos casos de exploração, mostram que muitas
rochas têm anisotropia entre fraca e moderada (<0,2).
52
Em seu trabalho, THOMSEN (1986) apresenta uma tabela de parâmetros de
anisotropia para algumas rochas sedimentares e alguns materiais particulares. Uma
versão dessa tabela, onde as informações relacionadas aos folhelhos são destacadas
com sombreado, é apresentada a seguir:
Adaptação da Tabela de Medidas de Anisotropia de THOMSEN (1986)
Amostra Situação Vp(m/s) Vs(m/s) ε δ∗ δ γ ρ(g/cm³)Gas-Sand water sand (Levin,1979) hypothetical 1.409 780 0,022 -0,002 0,018 0,004 2,030Lance (Schock et al.,1974) sandstone air dry 5.029 2.987 -0,005 -0,032 -0,015 0,005 2,430Mesaverde (1582 - Lin,1985) sandstone dry 3.688 2.774 0,081 0,010 0,057 0,000 2,730Mesaverde (1958 - Lin,1985) sandstone dry 4.237 3.018 0,036 -0,037 -0,039 0,030 2,690Mesaverde (3512 - Lin,1985) sandstone dry 4.633 3.231 -0,026 -0,004 -0,033 0,035 2,710Mesaverde (3850 - Lin,1985) sandstone dry 3.962 2.926 0,055 -0,066 -0,089 0,041 2,870Bandera (King,1964) sandstone sat 3.810 2.368 0,030 0,037 0,045 0,030 2,160Berea (King,1964) sandstone sat 4.206 2.664 0,002 0,023 0,020 0,005 2,140Taylor sandstone (Rai e Frisillo,1982) sat 3.368 1.829 0,110 -0,127 -0,035 0,255 2,500Mesaverde (4912 - Kelley,1983) immature sandstone sat,undrnd 4.476 2.814 0,097 0,051 0,091 0,051 2,500Mesaverde (4946 - Kelley,1983) immature sandstone sat,undrnd 4.099 2.346 0,077 -0,039 0,010 0,066 2,450Mesaverde (5481,3 - Kelley,1983) immature sandstone sat,undrnd 4.349 2.571 0,091 0,134 0,148 0,105 2,460Mesaverde (5555,5 - Kelley,1983) immature sandstone sat,undrnd 4.539 2.706 0,060 0,147 0,143 0,045 2,480Mesaverde (5837,5 - Kelley,1983) immature sandstone sat,undrnd 4.672 2.833 0,023 -0,013 0,002 0,013 2,470Mesaverde (6455,1 - Kelley,1983) immature sandstone sat,undrnd 4.418 2.587 0,053 0,173 0,158 0,133 2,450Mesaverde (6542,6 - Kelley,1983) immature sandstone sat,undrnd 4.405 2.542 0,080 -0,057 -0,003 0,093 2,510Mesaverde (7888,4 - Kelley,1983) sandstone sat,undrnd 4.869 2.911 0,033 0,030 0,040 -0,019 2,500Mesaverde (6423,6 - Kelley,1983) calcareous sandstone sat,undrnd 5.460 3.219 0,000 -0,345 -2,640 -0,007 2,690Mesaverde (5469,5 - Kelley,1983) silty limestone sat,undrnd 4.972 2.899 0,056 -0,041 -0,003 0,067 2,630Green River (Schock et al.,1974) shale air dry 3.292 1.768 0,195 -0,450 -0,220 0,180 2,075Oil Shale (Kaarsberg,1968) unknown 4.231 2.539 0,200 0,000 0,100 0,145 2,370Mesaverde (1599 - Lin,1985) shale dry 3.901 2.682 0,137 -0,078 -0,012 0,026 2,640Mesaverde (1968 - Lin,1985) shale dry 4.846 3.170 0,063 -0,031 0,008 0,028 2,690Mesaverde (350 - Lin,1985) shale dry 3.383 2.438 0,065 -0,003 0,059 0,071 2,350Mesaverde (3511 - Lin,1985) shale dry 4.359 3.048 0,172 -0,088 0,000 0,157 2,810Mesaverde (3883 - Lin,1985) shale dry 3.749 2.621 0,128 -0,025 0,078 0,100 2,920Anisotropic shale (Levin,1979) hypothetical 2.745 1.508 0,103 -0,073 -0,001 0,345 2,340Limestone shale (Levin,1979) hypothetical 3.306 1.819 0,134 -0,094 0,000 0,156 2,440LS anisotropic shale (Levin,1979) hypothetical 3.306 1.819 0,169 -0,123 0,000 0,271 2,440Sandstone shale (Levin,1979) hypothetical 3.009 1.654 0,013 -0,010 -0,001 0,035 2,340SS anisotropic shale (Levin,1979) hypothetical 3.009 1.654 0,059 -0,042 -0,001 0,163 2,340Dog Creek (Robertson e Corrigan,1983) shale in situ 1.875 826 0,225 -0,020 0,100 0,345 2,000Pierre (White et al.,1982) shale in situ 2.074 869 0,110 0,058 0,090 0,165 2,250Pierre (White et al.,1982) shale in situ 2.106 887 0,195 0,128 0,175 0,300 2,250Pierre (White et al.,1982) shale in situ 2.202 969 0,015 0,085 0,060 0,030 2,250Wills Point (Robertson e Corrigan,1983) shale in situ 1.058 387 0,215 0,359 0,315 0,280 1,800Cotton Valley (Tosaya,1982) shale sat,undrnd 4.721 2.890 0,135 0,172 0,205 0,180 2,640Green River (Podio et al.,1968) shale sat,undrnd 4.167 2.432 0,040 -0,013 0,010 0,030 2,310Green River (Podio et al.,1968) shale sat,undrnd 4.404 2.582 0,025 0,056 0,055 0,020 2,310Mesaverde (4903 - Kelley,1983) mudshale sat,undrnd 4.529 2.703 0,034 0,250 0,211 0,046 2,520Mesaverde (5501 - Kelley,1983) clayshale sat,undrnd 3.928 2.055 0,334 0,818 0,730 0,575 2,590Mesaverde (5858,6 - Kelley,1983) clayshale sat,undrnd 3.794 2.074 0,189 0,154 0,204 0,175 2,560Mesaverde (6563,7 - Kelley,1983) mudshale sat,undrnd 5.073 2.998 0,010 0,009 0,012 -0,005 2,680Mesaverde (7939,5 - Kelley,1983) mudshale sat,undrnd 4.296 2.471 0,081 0,118 0,129 0,048 2,660Shale (5000 - Jones e Wang,1981) shale sat,undrnd 3.048 1.490 0,255 -0,270 -0,050 0,480 2,420Shale (5000 - Jones e Wang,1981) shale sat,undrnd 3.377 1.490 0,200 -0,282 -0,075 0,510 2,420Wills Point (Robertson e Corrigan,1983) shale sat,undrnd 4.130 2.380 0,085 0,104 0,120 0,185 2,640Fort Union (Schock et al.,1974) siltstone air dry 4.877 2.941 0,045 -0,071 -0,045 0,040 2,600Mesaverde (5566,3 - Kelley,1983) laminated siltstone sat,undrnd 4.449 2.585 0,091 0,688 0,565 0,046 2,570Timber Mountain (Schock et al.,1974) tuff air dry 4.846 1.856 0,020 -0,003 -0,030 0,105 2,330
Mínimo 1.058 387 -0,026 -0,450 -2,640 -0,019 1,800Máximo 5.460 3.231 0,334 0,818 0,730 0,575 2,920
Média 3.855 2.269 0,098 0,031 -0,025 0,135 2,464
Na prática, a anisotropia é calculada a partir de cinco medidas de velocidade em
três direções (ver Figura 2.3.2.1):
53
Fig. 2.3.2.1 - Direções de medição de velocidades.
• duas na direção da isotropia (θ=90°):
# vP(90°) e vS(90°);
• duas na direção da anisotropia (θ=0°):
# vP(0°) e vS(0°) e
• uma com ângulo oblíquo (preferencialmente, θ=45°):
# vP(45°).
Com essas medidas os parâmetros de anisotropia ε, δ e γ são calculados
conforme as expressões:
PV
PVP
P
PP
vv)90(v
)0(v)0(v)90(v −°
≡°
°−°≡ε , 2.3.2.1
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( )ε−
−°≡
°
°−°−
°
°−°≡δ
vv 45v
4 0v
0v 90v
0v0v 45v
4 PV
PVP
P
PP
P
PP 2.3.2.2
e
( ) ( )( )
( )SV
SVSH
S
SSH
vv90v
0v0v90v −°
≡°
°−°≡γ . 2.3.2.3
A partir dessas informações pode-se chegar aos módulos elásticos Cmn:
2PV33 v C ρ= , 2.3.2.4
2SV44 v C ρ= , 2.3.2.5
C11 = ( 2 ε + 1 ) C33, 2.3.2.6
C C ) 2 2 ( C ) 1 2 ( C C C 4433233
2444413 +δ−+δ+±−= 2.3.2.7
e
C66 = ( 2 γ + 1 ) C44. 2.3.2.8
O parâmetro ε é, geralmente, o parâmetro empregado para se referir à
anisotropia de uma rocha; no entanto, δ, que é uma combinação diferente de módulos
elásticos e não inclui a velocidade horizontal, é o parâmetro que controla a anisotropia
vertical, que é crucial na propagação de ondas P quasi-verticais em meios
anisotrópicos. Como o termo ε pode ser negligenciado na propagação vertical, conclui-
se que ε torna-se irrelevante nestes casos.
54
Normalmente, a velocidade da onda P horizontal é maior que a da vertical; logo,
na maioria dos casos, ε>0. No entanto, isso é de pouca importância para entender a
anisotropia vertical, porque ε é multiplicado por sen4(θ) e a resposta da anisotropia
vertical é dominada pelo parâmetro δ. Por causa do fator 4, na Equação 2.3.2.2, os
erros na relação se propagam consideravelmente em δ, ou seja, se o erro relativo a
cada velocidade for de 2%, então, o erro absoluto em δ será da ordem de 0,12, que é
da mesma ordem de δ. A propagação desse erro na Equação 2.3.2.7 implica que o
erro em C13 será ainda maior. Observar que γ corresponde à medida convencional de
anisotropia na direção SH.
A anisotropia elíptica (DALEY e HRON, 1979) é caracterizada pela propagação
elíptica de frentes de ondas P e ocorre quando δ=ε. Note também que no caso elíptico,
a forma funcional da Equação 2.3.1.2.22 torna-se semelhante à Equação 2.3.1.2.24.
Isso demonstra que as frentes de onda SH são elípticas no caso geral e isso é
verdade mesmo que o meio seja fortemente anisotrópico. A anisotropia causada pela
fina estratificação de materiais isotrópicos ocorre quando δ<ε.
Observando a Equação 2.3.1.2.23, da onda SV linearizada, pode-se confirmar o
fato de frentes de ondas P elípticas (δ=ε) implicarem em frentes de ondas SV esféricas
(sem dependência de θ).
BERRYMAN (1979) escreveu uma aproximação para as Equações 2.3.1.2.17,
2.3.1.2.18, 2.3.1.2.19 e 2.3.1.2.21 na qual o menor parâmetro é uma combinação de
parâmetros de anisotropia e funções trigonométricas. Sua derivação, que também é
válida para meios fortemente anisotrópicos e pequenos ângulos, reduz essas
Equações para as formas 2.3.1.2.22 e 2.3.1.2.23, válidas para os casos de anisotropia
fraca e qualquer ângulo. Sua aproximação é menos restritiva, mas produz fórmulas
que são menos simples e que não mostram a função crucial do parâmetro δ e seu
contraste com ε. É uma aproximação intermediária entre as expressões exatas e as
aproximações.
Segundo THOMSEN (1986), independentemente da causa da anisotropia51,
algumas simplificações evidenciam certos fatos tais como:
• O contraste de velocidades vertical e horizontal é irrelevante em problemas de
propagação de ondas P verticais.
51 Em rochas sedimentares a anisotropia pode ser causada pela orientação preferencial de grãos de minerais anisotrópicos (folhelhos), isotrópicos (argilas plano-horizontais), orientação de fraturas (paralelas, verticais sem azimute preferencial) ou pelo acamamento de finas camadas isotrópicas ou anisotrópicas.
55
• A definição do parâmetro δ não envolve a velocidade horizontal e, normalmente, é
determinado através de medidas experimentais em amostras de rochas.
• A aproximação mais usada na simplificação das equações de velocidades em
meios anisotrópicos (anisotropia elíptica) é imprópria para ondas P e SV.
• A utilização do coeficiente de Poisson, determinado a partir das velocidades de
ondas P e S verticais, nas estimativas de tensões horizontais geralmente incorre
em erros significantes.
2.4. Migração de Dados Sísmicos
Segundo CLAERBOUT (1985), em Imaging the Earth's Interior, a migração pode
ser definida da seguinte forma:
The word migration in geophysical prospecting likewise has about four
related but distinct meanings. The simplest is like the meaning of the
word move. When an object at some location in the (x,z)-plane is found
at a different location at a later time t, then we say it moves. Analogously,
when a wave arrival (often called an event) at some location in the (x,t)-
space of geophysical observations is found at a different position for a
different survey line at a greater depth z, then we say it migrates.
No âmbito da exploração geofísica, o objetivo do emprego do método sísmico é
a obtenção de uma imagem confiável da configuração geológica de subsuperfície
através do mapeamento das propriedades físicas que governam amplitudes,
freqüências e fases dos sinais registrados. Nesse contexto, a migração é o processo
encarregado de converter as informações registradas em sismogramas ou em seções
sísmicas empilhadas52 em uma imagem dessa configuração geológica, cuja precisão é
condicionada à qualidade dos dados sísmicos de entrada, à fidelidade do
macromodelo de velocidade53 empregado e à capacidade computacional disponível.
Cabe ressaltar que os eventos espúrios presentes nos dados sísmicos reais, que
não correspondem às reflexões das interfaces entre as camadas (ruídos, múltiplas
etc.), provocam uma deterioração da imagem migrada, uma vez que a migração
admite como reflexão de uma interface todo e qualquer evento sísmico.
52 O processo de empilhamento reduz, através de uma soma, o conjunto de traços sísmicos organizados no domínio dos afastamentos fonte-receptor a um único traço, depois de horizontalizar os eventos sísmicos nesse domínio. 53 O modelo de velocidade deve ser consistente por afastamento, ou seja, a imagem obtida deve ser a mesma independentemente da faixa de afastamentos fonte-receptor utilizada na sua construção.
56
Na migração, todos os pontos difratores, geradores de reflexões, são focalizados
posicionando corretamente as interfaces, através da solução da equação da onda para
um determinado macromodelo de velocidade e da aplicação de condições de imagem
em cada ponto do meio. Em função do comportamento do modelo de velocidade, as
difrações podem se comportar das seguintes maneiras:
• em modelos onde a velocidade é constante, as difrações assumem formas
hiperbólicas;
• se a velocidade do meio varia suavemente, as difrações assumem formas que
podem ser aproximadas por hipérboles;
• se a velocidade do meio tem forte variação, as difrações assumem formas diversas,
que podem ser obtidas através de técnicas de traçado do raio ou solução da
equação iconal.
Nos primórdios de sua implementação, os métodos de migração utilizavam a
teoria do raio em modelos simplificados, a geometria de aquisição dos dados sísmicos
na superfície, os tempos das reflexões e as leis que regem os fenômenos de reflexão
e transmissão estabelecidas por Snell54 (DOBRIN, 1976).
Hoje, os métodos de migração utilizam direta ou indiretamente a equação da
onda e baseiam-se na extrapolação, a partir da superfície, do campo de onda de
seções sísmicas empilhadas ou dos sismogramas, como se a superfície de registro
fosse sucessivamente deslocada a níveis cada vez mais profundos (extrapolação em
profundidade ou continuação descendente) ou como se houvesse uma retrogradação
temporal (extrapolação em tempo ou tempo reverso ou depropagação temporal).
Como os sismogramas e as seções sísmicas empilhadas são produtos de
amostragens superficiais do campo de onda ascendente, o processo de migração
opera somente com esses tipos de ondas.
A migração de dados sísmicos pode ser aplicada em dois domínios diferentes:
• tempo: que produz seções sísmicas no domínio x-t (espaço-tempo), onde
geralmente os refletores aparecem deslocados e distorcidos (exceto no caso de
modelos de camadas plano-horizontais), mas oferecem uma imagem que auxilia a
interpretação do modelo geológico em tempo, e
• profundidade: que produz seções sísmicas no domínio x-z (espacial), tão mais
precisas quanto mais precisas forem as velocidades aplicadas no processo de
54 Matemático holandês Willebrord van Roijen Snell (1580 - 1626).
57
migração, e que oferece uma imagem que permite a interpretação do modelo
geológico em profundidade.
Sobre esses dois tipos de migração, a técnica pode ser aplicada sobre duas
configurações de dados:
• pré-empilhamento: onde os campos de onda registrados nos sismogramas são
migrados individualmente, segundo um modelo de velocidades, e somados para
formar uma seção sísmica migrada, e
• pós-empilhamento: onde os campos de onda registrados nos sismogramas são
reorganizados em famílias de traços cmp55, empilhados e agrupados para formar
uma seção sísmica que, posteriormente, é migrada com a utilização de uma função
de velocidades.
Além dos antigos métodos gráficos, que empregavam curvas de difração e
interferências entre frentes de ondas, existem vários algoritmos de migração
recursivos e não-recursivos. Entre eles, os métodos que empregam:
• integral de Kirchhoff56: técnica baseada na solução integral da equação da onda,
e na utilização da função e da 2ª identidade de Green57, que colapsa difrações no
ápice de superfícies hiperbólicas58 através de um somatório de amplitudes
ponderado pela distância e limitado por um ângulo de abertura59, sobre curvas de
difração governadas por funções de velocidades; segundo SCHNEIDER (1978), a
extrapolação do campo de onda é realizada segundo a expressão:
∂∂
−∂∂
π= ∫∫
nG
)t,r(U )t,r(nU
G dSdt 41
)t,r(U 00000 , 2.4.1
onde r e r0 são os vetores de posição e posição inicial e G é a solução da equação:
)rr( )t( 4t
)t,r(G
v1
)t,r(G 02
2
22 −δδπ−=
∂∂
−∇ , 2.4.2
dada pela expressão:
55 Common Mid Points (ou Common Depth Points): traços com o mesmo ponto médio entre a fonte e o receptor. 56 Físico prussiano Gustav Robert Kirchhoff (1824 - 1887). 57 Matemático inglês George Green (1793 - 1841). 58 O raio correspondente ao ápice de uma superfície hiperbólica que atinge a superfície na direção vertical é denominado de raio imagem. 59 O ângulo de abertura da migração limita a inclinação dos eventos a serem migrados; ângulos muito grandes causam o aparecimento de amplitudes anômalas formando os chamados efeitos "sorriso" (essa anomalia é causada pela inclusão de amplitudes que não estão relacionadas à energia difratada), enquanto ângulos muito pequenos causam uma filtragem espacial que atua na eliminação dos eventos mais inclinados (essa filtragem ocorre porque o somatório não inclui parte dos flancos das hipérboles que contêm a energia difratada).
58
'Rv'R
tt
RvR
tt)t,r|t,r(G
00
00
−−δ
−
−−δ
= , 2.4.3
onde 20
20
20 )zz()yy()xx(R −+−+−= e 2
02
02
0 )zz()yy()xx('R ++−+−= .
Esse tipo de migração é bastante robusto para modelos com variações verticais de
velocidade. A Figura a seguir ilustra esse método de migração.
Fig. 2.4.1 - Migração Kirchhoff.
• deslocamento de fase: técnica espectral na qual os dados registrados em
superfície são levados ao domínio das freqüências60 temporais e espaciais (em
uma ou duas etapas), onde sofrem modificações de fase e amplitude (no caso de κz
complexo), e são trazidos de volta ao domínio espacial; a equação que traduz esse
procedimento tem a forma geral:
2y
2x2
2
v 4
z i
yxyx e ),0z,,(U ),z,,(Uκ−κ−
ω
ω=κκ=ωκκ . 2.4.4
Os métodos espectrais incorporam os conceitos de Transformadas de Fourier ao
processo de migração e estabelecem métodos precisos e independentes de
condições de estabilidade. Nessa metodologia, as operações de remapeamento e
extrapolação do campo de ondas são efetuadas no domínio da freqüência de forma
rápida e simples, eliminando os erros de aproximação numérica dos operadores
diferenciais. A Figura a seguir ilustra esse método de migração.
Fig. 2.4.2 - Migração f-κ.
• diferenças finitas: técnica que utiliza um processo iterativo de solução da equação
da onda, com aproximações das derivadas parciais por fórmulas de diferenças,
60 Eventos inclinados no domínio x-t aparecem dispostos de forma radial no espaço f-κ. Quanto mais inclinado for o evento, mais próximo do eixo relativo ao número de onda ele aparecerá.
59
para realizar a continuação descendente ou a depropagação (caso da migração
reversa no tempo) do campo de ondas registrado na superfície, através de um
macromodelo de velocidade previamente definido; os dois processos citados
podem ser resumidos nas seguintes palavras:
• continuação descendente: método desenvolvido por CLAERBOUT e
DOHERTY (1972), que utiliza equações diferenciais aproximadas para a
continuação descendente do campo de onda registrado em superfície; em
função da estruturação do modelo tratado, esse processo pode ser aplicado
no caso de propagação de ondas planas de duas formas, em função do
ângulo formado entre as frentes de onda e a superfície de referência:
§ para ângulos de até 15°, usa-se a equação:
0t z
Uv2
xU 2
2
2
=∂∂
∂−
∂∂
2.4.5
§ para ângulos de até 45°, usa-se a equação:
0t z
Uv4
t xU
v2
z xU
2
3
22
3
2
3
=∂∂
∂−
∂∂∂
+∂∂
∂. 2.4.6
A Figura a seguir ilustra esse método de migração.
Fig. 2.4.3 - Migração por continuação descendente.
• tempo reverso: método baseado na equação completa da onda, onde o
campo de ondas é calculado em cada passo de tempo, em função de tempos
anteriores, propiciando imagens simultâneas de todos os refletores, por
interferência construtiva das frentes de onda, para uma condição de imagem
de t=0. A Figura a seguir ilustra esse método de migração.
Fig. 2.4.4 - Migração reversa no tempo.
60
2.4.1. Breve Histórico
A primeira notícia sobre utilização do processo de migração é apresentada em
DOBRIN (1976), onde ele comenta um método geométrico usado por J. C. Karcher na
década de 20, que emprega régua e compasso para migrar um evento sísmico em um
perfil de reflexão. Nesse trabalho, o tempo da reflexão foi usado para a construção de
arcos centrados no ponto de disparo, cujo raio era dado pelo produto entre a
velocidade do meio e metade do tempo da reflexão. A envoltória ajustada aos arcos
desenhados foi interpretada como sendo o evento sísmico migrado.
Na década de 30, RIEBER (1936) e JOHNSON (1937) tentaram mapear
sedimentos e estruturas associadas a falhas e dobras geológicas empregando
técnicas de reflexão e um dispositivo chamado geo-sonograph para produzir
sismogramas.
Em 1954, HAGEDOORN publicou um trabalho detalhado desenvolvendo o tema
migração sob o enfoque da teoria de propagação e superposição de frentes de ondas
que, no simpósio Seismograph Dip Migration, realizado pela Oklahoma City
Geophysical Society em 1957, foi amplamente discutida e implementada em vários
dispositivos mecânicos. Com o advento da computação digital e emprego de métodos
estatísticos a partir da década de 60, o processo de migração teve grande
desenvolvimento. Em MUSGRAVE (1961), é apresentado um trabalho empregando
computadores na geração de "cartas de frentes de ondas" usadas como ábacos.
Já na década de 70, LINDSEY (1970) e ROCKWELL (1971) apresentaram um
método do somatório de difrações ao longo de hipérboles, cuja curvatura é governada
pela velocidade do meio (diffraction stack), que também empregava a superposição de
frentes de ondas, mas apresentava problemas com as variações de velocidade.
Com o aparecimento de métodos determinísticos empregando aproximações da
equação da onda, apresentadas por TIMOSHIN (1970), e a migração por diferenças
finitas para a reconstrução do campo de onda a partir de medidas regulares do campo
de onda refletido, introduzida por CLAERBOUT (1970a), CLAERBOUT e JOHNSON
(1971), CLAERBOUT e DOHERTY (1972) e CLAERBOUT (1976), esse processo
passou a ser largamente empregado pela indústria de petróleo tanto para seções
obtidas com geometria de um disparo e uma linha de receptores como em seções
empilhadas, apesar das limitações geométricas do processo (mergulho das camadas ≤
15°). Em CLAERBOUT (1985) e LARNER e BEASLEY (1987) são introduzidas
melhorias que admitem camadas com mergulhos de até 45°.
61
Em LOEWENTHAL et al. (1976) foi introduzido o conceito de refletor explosivo, a
partir do qual são desenvolvidos diversos métodos recursivos e não-recursivos, em
vários domínios. A teoria do refletor explosivo admite uma coincidência de trajetórias
de propagação das ondas ascendentes e descendentes61 e considera que todos os
pontos da interface refletora são fontes sísmicas disparadas ao mesmo tempo t=0s
(condição inicial), gerando frentes de ondas com amplitudes proporcionais ao
coeficiente de reflexão da interface, que viajam com a metade da velocidade de
propagação nas camadas. Nesse processo, a condição de contorno para a solução da
equação da onda é o campo de ondas registrado na superfície.
Em GARDNER et al. (1974), FRENCH (1974 e 1975), HUBRAL (1977) e
SCHNEIDER (1978) são apresentados métodos que empregam a solução numérica
da equação integral que descreve a propagação de ondas para meios horizontalmente
estratificados (integral de Kirchhoff), onde a variação de velocidade é considerada
apenas na direção vertical. FRENCH também aponta os problemas de imageamento
da migração bidimensional quando aplicada sobre dados de estruturas tridimensionais.
Em CARTER e FRAZER (1984) é apresentado um método que emprega o mesmo
princípio para meios com variações horizontais e verticais moderadas de velocidade.
Em 1979, BERRYHILL apresenta o método wave equation datuming, também baseado
na formulação integral de Kirchhoff da equação da onda, no qual é aplicada a
continuação ascendente e descendente do dado sísmico em tempo para redefinir a
superfície de referência onde a fonte e o receptor estariam localizados.
STOLT (1978) introduziu a aplicação de Transformadas de Fourier (método f-k)
na solução da equação da onda ao processo de migração para meios em que a
velocidade possa ser considerada constante para toda a seção (seção empilhada). Na
mesma época, GAZDAG (1978) propõe uma migração por mudança de fase (Phase
Shift) que admite o meio como sendo lateralmente homogêneo, com variações
verticais na função velocidade, e extrapolação recursiva do campo de onda em
pequenos incrementos de profundidade onde a velocidade é considerada constante.
Juntamente com SGUAZZERO (1984), ele propõe a migração por mudança de fase e
interpolação, o PSPI (Phase Shift Plus Interpolation) que permite heterogeneidades
laterais, onde parte da mudança de fase é aplicada no domínio espacial e a
extrapolação é feita no domínio das freqüências. FREIRE (1988) desenvolveu uma
técnica mais eficiente de migração por deslocamento de fase em duas etapas (Split-
Step Migration) que, pelo fato de aplicar operadores diferenciais no domínio das
61 Em uma seção empilhada, a distância entre fonte e receptor é considerada nula e, por isso, os raios que partem da fonte para o refletor e do refletor para os receptores percorrem o mesmo caminho.
62
freqüências, elimina os erros de aproximação numérica desses operadores
diferenciais. Em HOLBERG (1988) é apresentada uma versão que aceita variações
laterais de velocidade e opera com um operador de extrapolação no domínio espaço-
freqüência.
Em LARNER et al. (1977 e 1978) foi proposto um método de migração em duas
etapas, que solucionava parcialmente os problemas de variação lateral de velocidade,
usando uma conversão em profundidade de uma seção sísmica migrada em tempo,
através da aplicação da técnica do raio imagem, descrita por HUBRAL (1977), onde as
curvas de difração são destruídas e os eventos são deslocados para a posição
correspondente à do raio imagem com a ajuda de funções de velocidades.
Em JUDSON et al. (1980) e SCHULTZ e SHERWOOD (1980) foram
apresentados métodos de migração pós e pré-empilhamento usando operadores de
diferenças finitas para continuar os campos de onda descendentes em pequenos
intervalos de profundidade e pequenos deslocamentos estáticos para cada traço
sísmico migrado com intuito de compensar a variação lateral de velocidade. Em
HATTON et al. (1981) foi apresentado um estudo dos efeitos de variações laterais de
velocidade sobre o método de migração pré-empilhamento usando a equação da
onda.
Em KOSLOFF e BAYSAL (1983) é apresentado um método preciso de migração
em profundidade pós-empilhamento, semelhante ao método analítico de deslocamento
de fase de GAZDAG (1978), usando a equação acústica da onda e o método de
Fourier para calcular as derivadas horizontais e um esquema Runge-Kutta62 de 4ª
ordem para a extrapolação em profundidade.
Em McMECHAN (1983) e WHITMORE (1983) são apresentados métodos de
migração reversa no tempo (reverse time migration) em profundidade pós-
empilhamento, baseado na depropagação de traços sísmicos pela equação completa
da onda e aproximações por diferenças finitas. Em LOEWENTHAL et al. (1985) foi
desenvolvida uma técnica de migração reversa no tempo em seções sísmicas
empilhadas, utilizando operadores de diferenças finitas de 4ª ordem. Em BAYSAL et al.
(1983), LOEWENTHAL e MUFTI (1983) e AGBO e GARDNER (1983) são
apresentados métodos de migração reversa no tempo utilizando a equação
unidirecional da onda (GAZDAG, 1980 e 1981) como um método bastante preciso, que
opera no domínio da freqüência, porém de elevada demanda computacional.
A partir da década de 90, muitos autores começaram a preocupar-se com os
62 Matemáticos alemães Carle David Tolmé Runge (1856 - 1927) e Martin Wilhelm Kutta (1867 - 1944).
63
efeitos da anisotropia na migração. SENA e TOKSÖZ (1993) e BALL (1995) adaptaram
um traçado de raio com anisotropia em um esquema derivado da migração isotrópica
em profundidade por integrais de Kirchhoff.
KITCHENSIDE (1993) desenvolveu um esquema de migração no domínio f-κ
para meios com isotropia transversa; enquanto ALKHALIFAH (1995) apresentou um
método de migração pós-empilhamento para meio anisotrópico usando algoritmos de
feixes gaussianos.
Em UZCATEGUI (1995) foi apresentado um método de migração pós-
empilhamento, para meios com isotropia transversa vertical (TIV), usando operadores
de extrapolação explícitos, obtidos a partir de série de Taylor e mínimos quadrados
não-lineares.
Em LE ROUSSEAU (1997) e FERGUSON e MARGRAVE (1998), foram
apresentados métodos de deslocamento de fase com interpolação e deslocamento de
fase não-estacionários para meios com isotropia transversa; enquanto RISTOW (1999)
desenvolveu um esquema de migração em profundidade baseado em diferenças
finitas para meios com isotropia transversa vertical.
Informações adicionais sobre as várias técnicas de migração de dados sísmicos
podem ser encontradas em BERKHOUT (1979, 1980, 1981 e 1982), ROBINSON
(1983), CLAERBOUT (1985) e ROSA (1991).
2.4.2. Migração Reversa no Tempo (RTM = Reverse Time Migration)
A migração reversa no tempo é um método de solução de problemas de valores
de contorno dependentes do tempo (McMECHAN, 1983), onde as imagens das frentes
de onda a cada instante de tempo (chamadas snapshots) são obtidas a partir da
depropagação dos campos de ondas registrados em superfície em sismogramas ou da
depropagação de seções sísmicas empilhadas.
Por empregar a equação completa da onda e técnicas de aproximação por
diferenças finitas, a migração reversa no tempo é praticamente imune às limitações de
inclinação das camadas e variações laterais de velocidade impostas aos demais
métodos, mas é sensível às condições de estabilidade, associadas à discretização dos
operadores, e de dispersão, relacionadas às dimensões da malha. Além desses
fatores, a migração reversa no tempo sofre os efeitos dos eventos indesejáveis
originados pelo realce das reflexões secundárias em cada interface no processo de
depropagação (LOEWENTHAL et al., 1987).
64
Para evitar os problemas de estabilidade e dispersão, a malha de discretização
deve ser convenientemente definida, conforme estabelecido em ALFORD et al., 1974.
Em alguns casos, em que essa amostragem não é suficientemente densa, a migração
deve ser precedida da interpolação de traços. Já o caso dos eventos indesejáveis,
exige uma suavização do modelo de velocidade (vagarosidade) substituindo as
interfaces que delimitam as camadas que apresentam grandes contrastes de
velocidades por zonas de transição gradativas.
Como já mencionado, o processo de migração reversa pode ser empregado
sobre dados sísmicos tanto na fase pré como pós-empilhamento.
No caso da migração reversa no tempo pós-empilhamento, os erros inerentes às
simplificações introduzidas nos processos anteriores, tais como a proposição de
modelo de camadas localmente plano-paralelas e velocidades constantes na etapa de
empilhamento dos common midpoints, são incorporados irreversivelmente ao
processo. A qualidade do processamento que prepara os dados para o empilhamento
exercerá forte influência na qualidade da imagem obtida pela migração.
Na migração reversa no tempo pré-empilhamento, a depropagação dos campos
de ondas registrados nos sismogramas permite a construção dos refletores em suas
devidas posições, através dos efeitos de interferências entre as frentes de ondas. A
imagem é construída em cada ponto da malha, a partir do valor do campo de onda
depropagado naquele ponto, no tempo obtido pelo modelamento direto63 da onda
quasi-P.
63 O modelamento direto determina o tempo em que a frente de onda emitida pela fonte passa pelos pontos da malha.
65
Capítulo 3
3. Metodologia Empregada
3.1. Introdução
Fig. 3.1.1 - Fluxograma de trabalho.
A metodologia empregada neste
trabalho pode ser descrita, de maneira
simplificada, pelo fluxograma apresentado na
Figura ao lado.
Em todos os experimentos, foram
gerados dois modelos sintéticos
bidimensionais (modelos 1 e 2), descritos no
capítulo posterior, de tamanhos compatíveis
com os objetivos, tempo e capacidade
computacional disponível, que propiciaram um
bom acompanhamento dos fenômenos
ocorridos durante todas as etapas do
processo e todas as análises sobre os efeitos
da anisotropia foram efetuadas com base nos
sismogramas, snapshots e seções migradas.
3.2. Geração dos Modelos de Velocidades e Anisotropia
Os modelos empregados tinham em comum as seguintes características:
• densidade (ρ) de 2400kg/m³;
• coeficiente de Poisson (σ) de 0,2564;
64 Correspondente a um sólido de Poisson onde λ=µ.
66
• velocidade das ondas S (vS) calculada a partir da velocidade de propagação das
ondas P (vP) e do coeficiente de Poisson, através da relação:
2 21 2
vv PS −σ−σ
= , 3.2.1
que, em função do valor adotado para o coeficiente de Poisson, pode ser
simplificada para a forma:
3
vv P
S = ; 3.2.2
• freqüência de corte (fmáx) ajustada 60Hz, visando limitar a faixa de freqüência das
ondas propagadas;
• malha de discretização regular quadrada, para evitar o favorecimento em qualquer
direção que possa ser atribuído à definição da malha, com intervalo de amostragem
espacial (∆), calculado a partir da velocidade mínima (vmín) de propagação das
ondas e da freqüência de corte, pela relação:
máx
mínmín
f 5v
5=
λ≤∆ , 3.2.3
onde 5 é o número de amostras consideradas para o menor comprimento de onda
(λmín), obtido através de experimentações;
• intervalo de amostragem temporal (∆t) calculado a partir do intervalo de
discretização espacial da malha (∆) e da velocidade máxima (vmáx) de propagação
das ondas, pela relação:
máxv 5t
∆≤∆ ; 3.2.4
ou seja, 51
do tempo necessário para que a onda sísmica percorra o intervalo de
amostragem espacial (∆) com a maior velocidade apresentada no modelo; esse
fator também foi obtido através de experimentações;
• processo de propagação iniciado através de uma fonte com polaridade vertical, cuja
wavelet é definida pela derivada de 2ª ordem da função gaussiana (CUNHA, 1997)
segundo a expressão:
[ ] 2c
ff
) t f ( 2ck,ki,it,k,i e ) t f ( 2 1 F ππ−ππ−δδ= . 3.2.5
onde os índices if e kf relacionam-se à posição da fonte na malha, δ é o delta de
67
Kronecker, t é o tempo da amostra, fc é a freqüência central e a wavelet tem seu
tamanho (Nfonte) definido pela relação:
máxfonte f t
4N
∆π
= . 3.2.6
onde ∆t é o intervalo de amostragem temporal e fmáx é a freqüência máxima.
Os procedimentos de geração de modelos empregados na modelagem e na
migração diferem em alguns aspectos, uma vez que no caso da migração, são
necessários modelos de vagarosidade suavizados, conforme sugerido em
LOEWENTHAL et al. (1987), para os cálculos dos tempos das ondas diretas, das
amplitudes máximas e para a depropagação do campo registrado.
3.3. Cálculo dos Módulos Elásticos (Cmn)
Após a geração das malhas de velocidades vP e vS, de densidade ρ e de
anisotropia ε e δ, foram calculados os parâmetros elásticos Cmn para cada ponto da
malha e para cada caso através das relações definidas em THOMSEN (1986):
ρ= v C 2P33 , 3.3.1
ρ= v C 2S44 , 3.3.2
C11 = C33 ( 2 ε + 1 ) 3.3.3
e
C C ) 2 2 ( C ) 1 2 ( C C C 4433233
2444413 +δ−+δ++−= . 3.3.4
3.4. Esquemas de Integração dos Parâmetros Elásticos
A partir das respectivas malhas de parâmetros elásticos Cmn e densidade ρ, foi
realizado um processo de integração ao longo das linhas da malha, empregando a
técnica descrita por ZAHRADNÍK (1995), onde os parâmetros elásticos foram
integrados nas direções N e S segundo as expressões:
∫∆
=
Nmn
Nmn
dzC
1
C 3.4.1
e
68
∫∆
=
Smn
Smn
dzC
1
C 3.4.2
e, nas direções L e O, segundo as expressões:
∫∆
=
Lmn
Lmn
dxC
1
C 3.4.3
e
∫∆
=
Omn
Omn
dxC
1
C . 3.4.4
onde ∆ é o intervalo de amostragem espacial.
3.5. Esquemas de Diferenças Finitas
Retomando a equação da onda válida para meios elásticos heterogêneos
anisotrópicos, representada pela expressão:
2i
2
l
kijkl
ji t
u
xu
cx
F∂∂
ρ=
∂∂
∂∂
+ , 3.5.1
desenvolvendo-a e simplificando-a para o caso de meios elásticos heterogêneos
transversalmente isotrópicos bidimensionais, obtêm-se as expressões a seguir:
xz
44x
44z
13x
112x
2
Fxu
Czz
uC
zzu
Cxx
uC
xtu
+
∂
∂∂∂
+
∂
∂∂∂
+
∂
∂∂∂
+
∂
∂∂∂
=∂
∂ρ 3.5.2
e
zz
33x
13z
44x
442z
2
Fzu
Czx
uC
zxu
Cxz
uC
xtu
+
∂
∂∂∂
+
∂
∂∂∂
+
∂
∂∂∂
+
∂
∂∂∂
=∂
∂ρ . 3.5.3
Fig. 3.5.1 - Malha usada na aproximação das derivadas.
A discretização dos termos que envolvem as
derivadas espaciais dessas expressões foram
realizadas através da aplicação de técnicas de
diferenças finitas desenvolvidas a partir de uma
generalização da proposta apresentada por
ZAHRADNÍK (1995), ou seja, as derivadas parciais
simples foram aproximadas segundo os esquemas
apresentados a seguir (ver Figura ao lado):
69
[ ] [ ]2
Omn
Lmn
mn )k,1i(u )k,i(u C )k,i(u )k,1i(u C
xu
C x ∆
−−−−+=
∂∂
∂∂
3.5.4
e
[ ] [ ]2
Nmn
Smn
mn )1k,i(u )k,i(u C )k,i(u )1k,i(u C
zu
C z ∆
−−−−+=
∂∂
∂∂
. 3.5.5
onde ∆ é o intervalo de amostragem espacial. As derivadas parciais mistas foram
aproximadas segundo os esquemas:
[ ]
[ ] } k)1,-u(i1)-k1,-u(ik)1,u(i1)-k1,u(iC
1)k1,-u(ik)1,-u(i1)k1,u(ik)1,u(iC { 41
zu
Cx
Nmn
Smn2mn
−−+++
−+−−++++∆
=
∂∂
∂∂
3.5.6
e
[ ]
[ ] } 1)-ku(i,1)k1,u(i1)ku(i,1)k1,u(iC
1)k1,u(i1)-ku(i,1)k1,u(i1)ku(i,C { 41
xu
Cz
Omn
Lmn2mn
−−−−+++−
−−+−−++++∆
=
∂∂
∂∂
. 3.5.7
onde ∆ é o intervalo de amostragem espacial.
A derivada em relação ao tempo, foi aproximada de acordo com o esquema de
2ª ordem de diferenças centrais:
22
2
t)tt,k,i(u)t,k,i(u 2)tt,k,i(u
tu
∆∆−+−∆+
=∂∂
, 3.5.8
A substituição das derivadas das Equações 2.5.2 e 2.5.3, segundo as
aproximações apresentadas nas Equações 2.5.4, 2.5.5, 2.5.6, 2.5.7 e 2.5.8 e a
reorganização dos termos obtidos permite a obtenção das formas de cálculo das
componentes de deslocamento (horizontal ux e vertical uz) do campo de onda
utilizadas tanto na modelagem como na migração:
[ ] [ ]
[ ] [ ][ ]
[ ][ ][ ]
} )t,k,i(F
} )t,1k,1i(u)t,k,1i(u)t,1k,1i(u)t,k,1i(uC
)t,k,1i(u)t,1k,1i(u)t,k,1i(u)t,1k,1i(uC
)t,1k,1i(u)t,1k,i(u)t,1k,1i(u)t,1k,i(uC
)t,1k,i(u)t,1k,1i(u)t,1k,i(u)t,1k,1i(uC {41
)t,1k,i(u)t,k,i(u C )t,k,i(u)t,1k,i(u C
)t,k,1i(u)t,k,i(u C )t,k,i(u)t,k,1i(u C { t
)tt,k,i(u)t,k,i(u 2)tt,k,i(u
x2
zzzzN44
zzzzS44
zzzzO13
zzzzL13
xxN44xx
S44
xxO11xx
L112
2
xxx
∆
+−−−−−−+++
−−−+−−++++
+−−−−−+−++
−−−−+−++++
+−−−−+
+−−−−+∆ρ
∆
+∆−−=∆+
3.5.9
70
e
[ ] [ ]
[ ] [ ][ ]
[ ][ ][ ]
} )t,k,i(F
} )t,1k,1i(u)t,k,1i(u)t,1k,1i(u)t,k,1i(uC
)t,k,1i(u)t,1k,1i(u)t,k,1i(u)t,1k,1i(uC
)t,1k,1i(u)t,1k,i(u)t,1k,1i(u)t,1k,i(uC
)t,1k,i(u)t,1k,1i(u)t,1k,i(u)t,1k,1i(uC {41
)t,1k,i(u)t,k,i(u C )t,k,i(u)t,1k,i(u C
)t,k,1i(u)t,k,i(u C )t,k,i(u)t,k,1i(u C { t
)tt,k,i(u)t,k,i(u 2)tt,k,i(u
z2
xxxxN13
xxxxS13
xxxxO44
xxxxL44
zzN33zz
S33
zzO44zz
L442
2
zzz
∆
+−−−−−−+++
−−−+−−++++
+−−−−−+−++
−−−−+−++++
+−−−−+
+−−−−+∆ρ
∆
+∆−−=∆+
. 3.5.10
No caso da presença de uma superfície topográfica, a interface que a representa
atende implicitamente às condições de superfície livre, e os índices i e k variam,
respectivamente, de 2 a Nx-1 e de superfície(i)65+2 a Nz-1.
3.6. Fonte Sísmica
Sobre os modelos reamostrados, foram acionadas as fontes sísmicas com
polarização vertical, definidas anteriormente, dando início ao processo de propagação.
A utilização de fonte com polarização vertical teve como objetivo forçar o aparecimento
das ondas S e essas, por sua vez, por causa da heterogeneidade do meio,
provocaram o aparecimento de uma segunda frente de ondas P.
3.7. Condições de Contorno
No modelo de dimensões Nx por Nz amostras nas respectivas direções x e z, as
bordas de absorção consumiram Nad amostras em cada lado do modelo. Desse
modelo também foram extraídas as velocidades médias das ondas P (vPméd) e S
(vSméd).
Na borda superior dos modelos, as constantes elásticas Cmn, a densidade ρ e as
componentes do campo de deslocamento ux e uz são nulas, satisfazendo às
exigências do formalismo do vácuo. Desta forma, as condições de superfície livre são
aproximadamente satisfeitas de forma implícita, conforme apresentado em
ZAHRADNÍK (1995).
65 superfície(i) valor de índice k, corresponde à coordenada vertical da interface da superfície topográfica.
71
Nas demais bordas dos modelos foram aplicadas condições de contorno
definidas em EMERMAN e STEPHEN (1983), associadas às condições de absorção,
na forma de fatores multiplicativos definidos em CERJAN et al. (1984), através dos
seguintes operadores, onde os índices i e k são os relacionados às amostras
avaliadas:
• na borda inferior, onde i varia de 1 a Nx e k varia de Nz-Nad até Nz:
# para i=1 e 2 e i=Nx-1 e Nx:
[ ])t,1Nz,i(u)t,Nz,i(u t v
)t,Nz,i(u)tt,Nz,i(u xxSméd
xx −−∆
∆−=∆+ 3.7.1
e
[ ])t,1Nz,i(u)t,Nz,i(u t v
)t,Nz,i(u)tt,Nz,i(u zzPméd
zz −−∆
∆−=∆+ ; 3.7.2
# para i variando de 3 a Nx-2:
[ ]
[ ] )tt,1Nz,i(u)t,1Nz,i(u)t,Nz,i(u t v
2
)tt,Nz,i(u)tt,1Nz,i(u t vt v
)tt,Nz,i(u
xxxSméd
xxSméd
Smédx
∆−−−−+∆+∆
∆
+∆−+∆+−∆+∆∆−∆
=∆+
3.7.3
e
[ ]
[ ] )tt,1Nz,i(u)t,1Nz,i(u)t,Nz,i(u t v
2
)tt,Nz,i(u)tt,1Nz,i(u t vt v
)tt,Nz,i(u
zzzPméd
zzPméd
Pmédz
∆−−−−+∆+∆
∆
+∆−+∆+−∆+∆∆−∆
=∆+
; 3.7.4
e, adicionalmente, as condições de amortecimento:
[ ]2)NadNz(k 000025,0e )tt,k,i(u)tt,k,i(u −−−∆+=∆+ 3.7.5
e
[ ]2)NadNz(k 000025,0e )t,k,i(u)t,k,i(u −−−= ; 3.7.6
• na borda esquerda, onde i varia de 1 a Nad+1 e k varia de 1 até Nz-Nad-1:
# para k=1 e 2 e i=Nz-1 e Nz:
[ ])t,k,1(u)t,k,2(u t v
)t,k,1(u)tt,k,1(u xxSméd
xx −∆
∆+=∆+ 3.7.7
e
72
[ ])t,k,1(u)t,k,2(u t v
)t,k,1(u)tt,k,1(u zzPméd
zz −∆
∆+=∆+ ; 3.7.8
# para k variando de 3 a Nz-2:
[ ]
[ ] )tt,k,2(u)t,k,2(u)t,k,1(u t v
2
)tt,k,1(u)tt,k,2(u t vt v
)tt,Nz,i(u
xxxPméd
xxPméd
Pmédx
∆−−+∆+∆
∆
+∆−+∆+∆+∆∆−∆
=∆+
3.7.9
e
[ ]
[ ] )tt,k,2(u)t,k,2(u)t,k,1(u t v
2
)tt,k,1(u)tt,k,2(u t vt v
)tt,k,1(u
zzzSméd
zzSméd
Smédz
∆−−+∆+∆
∆
+∆−+∆+∆+∆∆−∆
=∆+
; 3.7.10
e, adicionalmente, as condições de amortecimento:
[ ]2)1Nad(i 000025,0e )tt,k,i(u)tt,k,i(u +−−∆+=∆+ 3.7.11
e
[ ]2)1Nad(i 000025,0e )t,k,i(u)t,k,i(u +−−= ; 3.7.12
• na borda direita, onde i varia de Nx-Nad a Nx e k varia de 1 até Nz-Nad-1:
# para k=1 e 2 e i=Nz-1 e Nz:
[ ])t,k,1Nx(u)t,k,Nx(u t v
)t,k,Nx(u)tt,k,Nx(u xxSméd
xx −−∆
∆−=∆+ 3.7.13
e
[ ])t,k,1Nx(u)t,k,Nx(u t v
)t,k,Nx(u)tt,k,Nx(u zzPméd
zz −−∆
∆−=∆+ ; 3.7.14
# para k variando de 3 a Nz-2:
[ ]
[ ] )tt,k,1Nx(u)t,k,1Nx(u)t,k,Nx(u t v
2
)tt,k,Nx(u)tt,k,1Nx(u t vt v
)tt,k,Nx(u
xxxPméd
xxPméd
Pmédx
∆−−−−+∆+∆
∆
+∆−+∆+−∆+∆∆−∆
=∆+
3.7.15
e
[ ]
[ ] )tt,k,1Nx(u)t,k,1Nx(u)t,k,Nx(u t v
2
)tt,k,Nx(u)tt,k,1Nx(u t vt v
)tt,k,Nx(u
zzzSméd
zzSméd
Smédz
∆−−−−+∆+∆
∆
+∆−+∆+−∆+∆∆−∆
=∆+
; 3.7.16
73
e, adicionalmente, as condições de amortecimento:
[ ]2)NadNx(i 000025,0e )tt,k,i(u)tt,k,i(u −−−∆+=∆+ 3.7.17
e
[ ]2)NadNx(i 000025,0e )t,k,i(u)t,k,i(u −−−= , 3.7.18
Ao contrário de ZAHRADNÍK (1995), em todas as bordas do modelo, inclusive na
borda referente à superfície livre, foram utilizados esquemas elásticos de diferenças
finitas para malhas quadradas nas formas curtas:
2
Omn
Lmn
mn] )0,1-(u)0,0(u [ C] )0,0(u)0,1(u [ C
xu
Cx ∆
−−−=
∂∂
∂∂
3.7.19
e
2
Nmn
2
Smn
mn
] )0,1-(u)1-,1-(u)0,1(u)1-,1(u [ C
] )1,1-(u)0,1-(u)1,1(u)0,1(u [ Cxu
Cz
∆−−+
−∆
−−+=
∂∂
∂∂
. 3.7.20
Em seu trabalho, ZAHRADNÍK (1995) sugere a utilização da forma longa das
derivadas mistas na primeira linha do modelo, no contexto do formalismo do vácuo.
3.8. Modelagem Sísmica
Nas simulações com o primeiro modelo, foram gerados snapshots das
componentes de deslocamento nas direções x e z, sobre os quais foram feitas as
observações a respeito dos efeitos dos parâmetros de anisotropia no comportamento
das frentes de onda. Já nas simulações com o segundo modelo foram gerados
sismogramas das componentes de deslocamento nas direções x e z, sobre os quais
foram feitas as observações sobre os efeitos da anisotropia no comportamento dos
refletores.
Ainda no caso das simulações com o segundo modelo, visando a posterior
migração reversa no tempo, foi introduzido um processo de suavização dos modelos
originais, através da aplicação de um operador de suavização de vinte e uma
amostras sobre os modelos de vagarosidade, cujos resultados foram empregados nos
cálculos dos tempos das ondas diretas e das amplitudes máximas, necessários como
condições de imageamento no processo de migração reversa no tempo, assim como
na depropagação dos campos de onda registrados.
74
3.9. Migração Reversa no Tempo Pré-Empilhamento
As rotinas de migração reversa no tempo pré-empilhamento foram aplicadas
somente sobre as simulações com o segundo modelo, nas quais, para cada caso de
anisotropia, forma efetuados dois tipos de migração:
• uma levando em consideração as condições de anisotropia inseridas no modelo
tratado, conforme o fluxograma abaixo:
Fig. 3.9.1 -
Fluxograma de
migração reversa no
tempo pré-
empilhamento
anisotrópica.
• outra ignorando as condições de anisotropia do modelo, como se este fosse
isotrópico, embora os campos de ondas registrados em superfície contenham
embutidos os efeitos de anisotropia, conforme o fluxograma abaixo:
Fig. 3.9.2 -
Fluxograma de
migração reversa no
tempo pré-
empilhamento
isotrópica.
As avaliações dos efeitos da anisotropia foram efetuadas tanto sobre as
migrações obtidas de cada disparo como sobre as seções sísmicas correspondentes
75
às migrações individuais. Para melhorar a apresentação dos resultados, foram
efetuados cortes nas bordas dos modelos, de modo que as grandes amplitudes
relacionadas às posições dos disparos não provocassem a obliteração dos sinais de
interesse por problemas de escala do software de apresentação das figuras.
76
Capítulo 4
4. Resultados e Discussões
4.1. Modelo 1
O primeiro modelo sintético, formado por uma única camada em um semiplano
xz, foi desenhado com as seguintes características geométricas e físicas:
• 1800x1800 pontos nas direções x e z;
• parâmetros de anisotropia ε e δ, apresentados em THOMSEN (1986), combinados
da forma a gerar quinze situações de isotropia transversa, nomeadas segundo as
regras a seguir:
ε = 0,0 ε = 0,1 ε = 0,3 1 6 11
δ = 0,3 03 13 33 2 7 12
δ = 0,1 01 11 31 3 8 13
δ = 0,0 00 10 30 4 9 14
δ = -0,1 0m1 1m1 3m1 5 10 15
δ = -0,3 0m3 1m3 3m3
Observação Importante: Embora THOMSEN (1986) relate
que o valor 0,2 seja uma boa estimativa para a magnitude
média dos parâmetros de anisotropia ε e δ, os valores 0,0, 0,1
e 0,3 foram propositalmente selecionados com a intenção de
realçar as variações relacionadas ao fenômeno da anisotropia
polar. A não-utilização de valores de ε<0 exclui apenas alguns
poucos casos em que a velocidade de propagação horizontal
das ondas P é inferior à sua velocidade de propagação vertical.
77
• densidade de 2400kg/m³;
• coeficiente de Poisson de 0,25;
• velocidade de propagação das ondas P estipulada em 3000m/s;
• velocidade de propagação das ondas S estimada em 1732m/s conforme cálculo feito
através da Equação 3.2.2;
• freqüência de corte ajustada para 60Hz, visando limitar a faixa de freqüência das
ondas propagadas;
• malha de discretização regular quadrada com intervalo de reamostragem espacial
ajustado para 5m em função do valor calculado pela Equação 3.2.3, ou seja, o
modelo original de 1800×1800 pontos foi reamostrado para um modelo de 360×360
pontos;
• intervalo de amostragem temporal ajustado para 0,3ms em função do valor
calculado pela Equação 3.2.4;
• tempo de registro de 0,3s, correspondendo a uma quantidade de 1000 amostras
por traço, ajustado em função do intervalo de amostragem temporal e do tamanho
do modelo adotado;
• processo de propagação iniciado através de uma fonte com polaridade vertical,
posicionada no centro do modelo, desenhada pela derivada de 2ª ordem da função
gaussiana definida pela Equação 3.2.5, cuja wavelet com 393 amostras é definida
de acordo com a Equação 3.2.6;
O procedimento de propagação das ondas sísmicas, até o tempo de 0,3s, para
cada uma das quinze situações de isotropia transversa à qual o modelo foi submetido,
produziu os snapshots das respectivas componentes horizontal (ux) e vertical (uz) do
campo de deslocamento de cada caso.
Nesses snapshots das componentes do campo de deslocamento, é possível a
visualização das formas das frentes de ondas P e S propagadas para cada uma das
situações de isotropia transversa.
As análises se restringiram apenas aos efeitos da isotropia transversa nas
formas das frentes das ondas propagadas. Os efeitos da isotropia transversa sobre as
amplitudes do sinal não foram considerados neste trabalho.
78
• Componentes do Campo de Deslocamento na direção x:
ε = 0,0 ε = 0,1 ε = 0,3 δ
= 0,
3
δ =
0,1
δ =
0,0
δ =
- 0,
1
δ =
- 0,
3
79
• Componentes do Campo de Deslocamento na direção z:
ε = 0,0 ε = 0,1 ε = 0,3 δ
= 0,
3
δ =
0,1
δ =
0,0
δ =
- 0,
1
δ =
- 0,
3
80
4.1.1. Discussão dos Resultados
Os efeitos das variações no parâmetro ε podem ser observados nos snapshots
dispostos na mesma linha horizontal, enquanto que as variações nos efeitos do
parâmetro δ podem ser observadas nos snapshots dispostos na mesma linha vertical.
Nos dois conjuntos de snapshots apresentados, o caso isotrópico, onde ε=0 e
δ=0, é o modelo que serve de referência para a análise dos demais casos. Nele, os
snapshots das componentes do campo de deslocamento nas direções x e z mostram
as frentes de ondas P e S com formatos circulares, em torno da posição central de
disparo.
Em todos os demais casos, os snapshots mostram que a variação no parâmetro
ε se traduz na deformação da frente de onda P na direção horizontal, em função da
maior velocidade de propagação nessa direção, sem alterar a velocidade de
propagação na direção vertical, comprovando a tese defendida em THOMSEN (1986)
de que o parâmetro ε é irrelevante em problemas de propagação de ondas P verticais.
No caso das ondas S, o efeito é invertido, ou seja, ocorre uma deformação da
frente de onda na direção vertical sem alterar a velocidade de propagação na direção
horizontal.
Já no caso da variação no parâmetro δ o efeito se traduz por uma “aceleração”,
para δ>0, ou “desaceleração”, para δ<0, da frente de onda P nas direções diagonais,
enquanto que, para as ondas S, como no caso do parâmetro ε, ocorre o efeito inverso,
ou seja, na direção diagonal, a frente de onda sofre uma “desaceleração”, para δ>0, e
“aceleração”, para δ<0.
Observar que, da mesma forma que a geração de um pulso com polarização
vertical gera ondas cisalhantes, a propagação dessas ondas acaba por gerar o
aparecimento de ondas compressionais incipientes. A propagação dessas ondas P,
com velocidades mais altas, acaba por causar efeitos de interferência nas próprias
ondas S que as geraram.
4.2. Modelo 2
O segundo modelo sintético é formado por uma seção em profundidade xz e foi
desenhado com as seguintes características geométricas e físicas:
81
Fig. 4.2.1 - Modelo 2.
• duas camadas separadas por
uma interface senoidal (ver
figura ao lado), formando um
conjunto de 3000 pontos na
direção x e 2000 pontos na
direção z, sendo a 1ª, a
camada portadora das
condições de isotropia
transversa;
• densidade de 2400kg/m³;
• coeficiente de Poisson de 0,25;
• as velocidades de propagação das ondas P (propagação vertical) das camadas
superior e inferior foram fixadas, respectivamente, em 3500m/s e 4500m/s;
• as velocidades de propagação das ondas S das duas camadas foram calculadas
através da mesma relação empregada no caso do modelo 1;
• freqüência de corte ajustada para 60Hz, de modo a limitar a faixa de freqüência das
ondas propagadas;
• malha de discretização regular quadrada com intervalo de amostragem espacial
ajustado para 5m em função do valor calculado pela Equação 3.2.3;
• intervalo de amostragem temporal ajustado para 0,2ms em função do valor
calculado pela Equação 3.2.4;
• processo de propagação iniciado com uma fonte com polaridade vertical, cuja
wavelet tem 591 amostras, posicionada próxima à superfície do modelo, em 3
posições de disparo [(150,3), (300,3), (450,3)], nomeadas de PT150, PT300 e
PT450 e correspondentes às posições [(750,15), (1500,15), (2250,15)] do modelo
original.
Para cada um dos casos de combinação de parâmetros de anisotropia, os
resultados apresentados a seguir mostram, nessa ordem, os sismogramas das
componentes horizontal (acima e à esquerda) e vertical (acima e à direita) de cada
disparo e, abaixo deles, exceto para o caso isotrópico, as respectivas migrações
reversas no tempo, considerando parâmetros anisotrópicos (abaixo e à esquerda) e
isotrópicos (abaixo e à direita). Após esses sismogramas e suas respectivas
migrações, são apresentadas as seções sísmicas resultantes da soma de todas as
migrações individuais.
82
4.2.1. Caso de ε = 0,0 e δ = 0,0 (Isotrópico):
Sismograma da Componente ux do PT150 Sismograma da Componente uz do PT150
Migração do PT150
Sismograma da Componente ux do PT300 Sismograma da Componente uz do PT300
Migração do PT300
83
Sismograma da Componente ux do PT450 Sismograma da Componente uz do PT450
Migração do PT450
Considerando a migração relacionada às ondas PP66, foi obtida a seguinte seção
final migrada:
Seção Migrada.
66 PP = incidência na forma de onda P e reflexão na forma de onda P. PS = incidência na forma de onda P e reflexão na forma de onda S. SS = incidência na forma de onda S e reflexão na forma de onda S. SP = incidência na forma de onda S e reflexão na forma de onda P.
84
4.2.2. Caso de ε = 0,0 e δ = 0,1:
Sismograma da Componente ux do PT150 Sismograma da Componente uz do PT150
Migração Anisotrópica do PT150 Migração Isotrópica do PT150
Sismograma da Componente ux do PT300 Sismograma da Componente uz do PT300
Migração Anisotrópica do PT300 Migração Isotrópica do PT300
85
Sismograma da Componente ux do PT450 Sismograma da Componente uz do PT450
Migração Anisotrópica do PT450 Migração Isotrópica do PT450
Considerando as migrações relacionadas às ondas PP, foram obtidas as
seguintes seções finais migradas:
Seção Migrada com Anisotropia
Seção Migrada com Isotropia
86
4.2.3. Caso de ε = 0,0 e δ = - 0,1:
Sismograma da Componente ux do PT150 Sismograma da Componente uz do PT150
Migração Anisotrópica do PT150
Migração Isotrópica do PT150
Sismograma da Componente ux do PT300 Sismograma da Componente uz do PT300
Migração Anisotrópica do PT300
Migração Isotrópica do PT300
87
Sismograma da Componente ux do PT450 Sismograma da Componente uz do PT450
Migração Anisotrópica do PT450
Migração Isotrópica do PT450
Considerando as migrações relacionadas às ondas PP, foram obtidas as
seguintes seções finais migradas:
Seção Migrada com Anisotropia
Seção Migrada com Isotropia
88
4.2.4. Caso de ε = 0,0 e δ = 0,3:
Sismograma da Componente ux do PT150 Sismograma da Componente uz do PT150
Migração Anisotrópica do PT150
Migração Isotrópica do PT150
Sismograma da Componente ux do PT300 Sismograma da Componente uz do PT300
Migração Anisotrópica do PT300
Migração Isotrópica do PT300
89
Sismograma da Componente ux do PT450 Sismograma da Componente uz do PT450
Migração Anisotrópica do PT450
Migração Isotrópica do PT450
Considerando as migrações relacionadas às ondas PP, foram obtidas as
seguintes seções finais migradas:
Seção Migrada com Anisotropia
Seção Migrada com Isotropia
90
4.2.5. Caso de ε = 0,0 e δ = - 0,3:
Sismograma da Componente ux do PT150 Sismograma da Componente uz do PT150
Migração Anisotrópica do PT150
Migração Isotrópica do PT150
Sismograma da Componente ux do PT300 Sismograma da Componente uz do PT300
Migração Anisotrópica do PT300
Migração Isotrópica do PT300
91
Sismograma da Componente ux do PT450 Sismograma da Componente uz do PT450
Migração Anisotrópica do PT450
Migração Isotrópica do PT450
Considerando as migrações relacionadas às ondas PP, foram obtidas as
seguintes seções finais migradas:
Seção Migrada com Anisotropia
Seção Migrada com Isotropia
92
4.2.6. Caso de ε = 0,1 e δ = 0,0:
Sismograma da Componente ux do PT150 Sismograma da Componente uz do PT150
Migração Anisotrópica do PT150
Migração Isotrópica do PT150
Sismograma da Componente ux do PT300 Sismograma da Componente uz do PT300
Migração Anisotrópica do PT300
Migração Isotrópica do PT300
93
Sismograma da Componente ux do PT450 Sismograma da Componente uz do PT450
Migração Anisotrópica do PT450
Migração Isotrópica do PT450
Considerando as migrações relacionadas às ondas PP, foram obtidas as
seguintes seções finais migradas:
Seção Migrada com Anisotropia
Seção Migrada com Isotropia
94
4.2.7. Caso de ε = 0,1 e δ = 0,1:
Sismograma da Componente ux do PT150 Sismograma da Componente uz do PT150
Migração Anisotrópica do PT150
Migração Isotrópica do PT150
Sismograma da Componente ux do PT300 Sismograma da Componente uz do PT300
Migração Anisotrópica do PT300
Migração Isotrópica do PT300
95
Sismograma da Componente ux do PT450 Sismograma da Componente uz do PT450
Migração Anisotrópica do PT450
Migração Isotrópica do PT450
Considerando as migrações relacionadas às ondas PP, foram obtidas as
seguintes seções finais migradas:
Seção Migrada com Anisotropia
Seção Migrada com Isotropia
96
4.2.8. Caso de ε = 0,1 e δ = - 0,1:
Sismograma da Componente ux do PT150 Sismograma da Componente uz do PT150
Migração Anisotrópica do PT150
Migração Isotrópica do PT150
Sismograma da Componente ux do PT300 Sismograma da Componente uz do PT300
Migração Anisotrópica do PT300
Migração Isotrópica do PT300
97
Sismograma da Componente ux do PT450 Sismograma da Componente uz do PT450
Migração Anisotrópica do PT450
Migração Isotrópica do PT450
Considerando as migrações relacionadas às ondas PP, foram obtidas as
seguintes seções finais migradas:
Seção Migrada com Anisotropia
Seção Migrada com Isotropia
98
4.2.9. Caso de ε = 0,1 e δ = 0,3:
Sismograma da Componente ux do PT150 Sismograma da Componente uz do PT150
Migração Anisotrópica do PT150
Migração Isotrópica do PT150
Sismograma da Componente ux do PT300 Sismograma da Componente uz do PT300
Migração Anisotrópica do PT300
Migração Isotrópica do PT300
99
Sismograma da Componente ux do PT450 Sismograma da Componente uz do PT450
Migração Anisotrópica do PT450
Migração Isotrópica do PT450
Considerando as migrações relacionadas às ondas PP, foram obtidas as
seguintes seções finais migradas:
Seção Migrada com Anisotropia
Seção Migrada com Isotropia
100
4.2.10. Caso de ε = 0,1 e δ = - 0,3:
Sismograma da Componente ux do PT150 Sismograma da Componente uz do PT150
Migração Anisotrópica do PT150
Migração Isotrópica do PT150
Sismograma da Componente ux do PT300 Sismograma da Componente uz do PT300
Migração Anisotrópica do PT300
Migração Isotrópica do PT300
101
Sismograma da Componente ux do PT450 Sismograma da Componente uz do PT450
Migração Anisotrópica do PT450
Migração Isotrópica do PT450
Considerando as migrações relacionadas às ondas PP, foram obtidas as
seguintes seções finais migradas:
Seção Migrada com Anisotropia
Seção Migrada com Isotropia
102
4.2.11. Caso de ε = 0,3 e δ = 0,0:
Sismograma da Componente ux do PT150 Sismograma da Componente uz do PT150
Migração Anisotrópica do PT150
Migração Isotrópica do PT150
Sismograma da Componente ux do PT300 Sismograma da Componente uz do PT300
Migração Anisotrópica do PT300
Migração Isotrópica do PT300
103
Sismograma da Componente ux do PT450 Sismograma da Componente uz do PT450
Migração Anisotrópica do PT450
Migração Isotrópica do PT450
Considerando as migrações relacionadas às ondas PP, foram obtidas as
seguintes seções finais migradas:
Seção Migrada com Anisotropia
Seção Migrada com Isotropia
104
4.2.12. Caso de ε = 0,3 e δ = 0,1:
Sismograma da Componente ux do PT150 Sismograma da Componente uz do PT150
Migração Anisotrópica do PT150
Migração Isotrópica do PT150
Sismograma da Componente ux do PT300 Sismograma da Componente uz do PT300
Migração Anisotrópica do PT300
Migração Isotrópica do PT300
105
Sismograma da Componente ux do PT450 Sismograma da Componente uz do PT450
Migração Anisotrópica do PT450
Migração Isotrópica do PT450
Considerando as migrações relacionadas às ondas PP, foram obtidas as
seguintes seções finais migradas:
Seção Migrada com Anisotropia
Seção Migrada com Isotropia
106
4.2.13. Caso de ε = 0,3 e δ = - 0,1:
Sismograma da Componente ux do PT150 Sismograma da Componente uz do PT150
Migração Anisotrópica do PT150
Migração Isotrópica do PT150
Sismograma da Componente ux do PT300 Sismograma da Componente uz do PT300
Migração Anisotrópica do PT300
Migração Isotrópica do PT300
107
Sismograma da Componente ux do PT450 Sismograma da Componente uz do PT450
Migração Anisotrópica do PT450
Migração Isotrópica do PT450
Considerando as migrações relacionadas às ondas PP, foram obtidas as
seguintes seções finais migradas:
Seção Migrada com Anisotropia
Seção Migrada com Isotropia
108
4.2.14. Caso de ε = 0,3 e δ = 0,3:
Sismograma da Componente ux do PT150 Sismograma da Componente uz do PT150
Migração Anisotrópica do PT150
Migração Isotrópica do PT150
Sismograma da Componente ux do PT300 Sismograma da Componente uz do PT300
Migração Anisotrópica do PT300
Migração Isotrópica do PT300
109
Sismograma da Componente ux do PT450 Sismograma da Componente uz do PT450
Migração Anisotrópica do PT450
Migração Isotrópica do PT450
Considerando as migrações relacionadas às ondas PP, foram obtidas as
seguintes seções finais migradas:
Seção Migrada com Anisotropia
Seção Migrada com Isotropia
110
4.2.15. Caso de ε = 0,3 e δ = - 0,3:
Sismograma da Componente ux do PT150 Sismograma da Componente uz do PT150
Migração Anisotrópica do PT150
Migração Isotrópica do PT150
Sismograma da Componente ux do PT300 Sismograma da Componente uz do PT300
Migração Anisotrópica do PT300
Migração Isotrópica do PT300
111
Sismograma da Componente ux do PT450 Sismograma da Componente uz do PT450
Migração Anisotrópica do PT450
Migração Isotrópica do PT450
Considerando as migrações relacionadas às ondas PP, foram obtidas as
seguintes seções finais migradas:
Seção Migrada com Anisotropia
Seção Migrada com Isotropia
112
4.2.16. Discussão dos Resultados
No caso do modelo 2, as análises foram realizadas tanto em nível de
sismogramas quanto das migrações de cada disparo individual e das seções sísmicas
formadas pela soma dos disparos migrados. Os resultados obtidos foram comparados
tanto para inferir o grau de deformação imposto aos refletores nos sismogramas
quanto da estabilidade da migração em relação aos parâmetros que caracterizam
cada meio anisotrópico.
Da mesma forma, as Figuras apresentadas para o caso isotrópico (ε=δ=0) são
aquelas que servirão de referência para as análises dos demais casos.
No caso isotrópico, os sismogramas das componentes de deslocamentos
horizontal e vertical mostram as reflexões na interface senoidal nas formas e posições
correspondentes, enquanto as migrações individuais de cada disparo e a seção
migrada mostram a porção imageada da referida interface nas formas e nas posições
corretas.
Nos demais casos, observa-se, nos sismogramas, que as deformações das
frentes de onda provocam deformações e deslocamentos na reflexão da interface
senoidal de tal forma que para um mesmo valor de ε, a reflexão da interface apresenta
tempos menores ou maiores, respectivamente para δ>0 e δ<0, principalmente para os
afastamentos fonte-receptor maiores.
O mesmo efeito pode ser observado quando o valor de δ é fixado e o valor de ε
varia. As reflexões na interface apresentam tempos menores para ε maiores,
principalmente para os afastamentos maiores. Em todos os casos, essa afirmativa
pode ser confirmada pela observação dos eventos das ondas diretas.
Nas imagens das migrações, tanto dos disparos individuais como das seções
sísmicas, pode-se observar os efeitos nocivos sobre os resultados obtidos quando a
anisotropia do meio é desconsiderada no processo de imageamento. Ao desconsiderar
os parâmetros de anisotropia, utilizados na modelagem sísmica, as imagens
encontradas mostram-se muito aquém daquelas obtidas quando o processo de
migração utiliza os parâmetros corretos de anisotropia.
Além de deslocamentos verticais e horizontais da interface senoidal, pode-se
observar deformações da mesma maneira que, em alguns casos, podem criar ou
destruir estruturas favoráveis à acumulação de hidrocarbonetos (observar os casos
das Seções 4.2.5, 4.2.10 e 4.2.15 em que o parâmetro de anisotropia δ assume o valor
-0,3).
113
Capítulo 5
5. Conclusões e Recomendações
A crescente necessidade da exploração petrolífera de informações geológicas
cada vez mais refinadas tem impulsionado a Geofísica no sentido de encontrar e
desenvolver rapidamente novas ferramentas de trabalho que utilizam ao máximo as
informações contidas nos dados sísmicos.
Neste trabalho foi apresentado um procedimento para modelagens sísmicas e
migrações reversas no tempo, usando técnicas de diferenças finitas de 2ª ordem,
através de uma generalização do método de modelagem proposto por ZAHRADNÍK
(1995), válido para meios elásticos isotrópicos, para a propagação e depropagação de
ondas sísmicas em meios transversalmente isotrópicos.
Nessa abordagem, os parâmetros elásticos do meio (cijkl) são introduzidos
através de integrações ao longo das linhas que conectam os nós da malha utilizada.
O tratamento da propagação dos campos de deslocamento faz com que essa
abordagem seja indicada para simulações de aquisições sísmicas terrestres, sem a
restrição de superfície de observação plano-horizontais.
Foram avaliados os efeitos dos parâmetros de anisotropia apresentados no
trabalho de THOMSEN (1986), mostrando o comportamento do campo de ondas para
alguns valores de ε e δ e realizando migrações reversas no tempo supondo o meio
isotrópico.
Os resultados obtidos foram comparados para inferir o grau de estabilidade
desse tipo de migração em relação aos parâmetros que caracterizam o meio
anisotrópico.
De forma geral, observa-se que a variação no parâmetro ε se traduz na
deformação da frente de onda P na direção horizontal em função da maior velocidade
de propagação nessa direção, sem alterar a velocidade de propagação na direção
vertical, enquanto que para as ondas S ocorre uma deformação da frente de onda na
114
direção vertical sem alterar a velocidade de propagação na direção horizontal.
O parâmetro δ se traduz por uma “aceleração”, para δ>0, ou “desaceleração”,
para δ<0, da frente de onda P nas direções diagonais, enquanto que, para as ondas S,
ocorre uma “desaceleração”, para δ>0, e “aceleração”, para δ<0.
Nas seções sísmicas migradas, os efeitos da desconsideração da anisotropia no
processo de imageamento podem levar a interpretações equivocadas em função de
deslocamentos e deformações da interface que, em alguns casos, podem criar ou
destruir estruturas favoráveis à acumulação de hidrocarbonetos.
Conforme mencionado em inúmeros artigos da literatura, as migrações reversas
em profundidade pré-empilhamento são as mais indicadas quando a complexidade
geológica impõe uma degradação aos outros métodos de migração. O inconveniente
do método de migrações reversas reside na necessidade de se processar os
sismogramas de maneira simultânea, o que exige uma capacidade computacional
considerável, além de um macromodelo de velocidades e parâmetros de anisotropia
refinado.
No entanto, com o advento e a proliferação da computação paralela massiva,
essa metodologia permite cogitar a utilização em modelos de escala compatível com o
problema exploratório e, em futuro próximo, modelos exploratórios tridimensionais.
Para dar continuidade a essa linha de pesquisa, podem-se adotar inúmeras
diretrizes; entre elas:
• a generalização da metodologia aqui empregada de forma a incorporar outros tipos
de anisotropia que acomodem modelos geológicos estruturalmente mais
complexos;
• estratégias que permitam estimativas de parâmetros de anisotropia, baseadas em
migrações elásticas anisotrópicas;
• o aprimoramento da técnica de separação dos campos de ondas P e S, ou mais
precisamente, qP e qSV, através da utilização de operadores vetoriais (BULCÃO,
2001);
• a comparação entre algumas técnicas de processamento através de simulações
numéricas em modelos sísmicos, e
• a generalização da metodologia aqui empregada visando atender aos casos de
modelos tridimensionais.
115
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126
Apêndices
1. Apêndice A - Parâmetros Elásticos para Meios Isotrópicos
Meios elásticos isotrópicos são descritos por várias propriedades físicas e parâmetros
elásticos. Entre eles pode-se ressaltar:
• ρ: densidade,
• λ: parâmetro de Lamé,
• µ: módulo de rigidez ou cisalhamento,
• k: módulo de compressibilidade,
• E: módulo de elasticidade, estiramento ou Young67 e
• σ: razão ou coeficiente de Poisson.
1.1. Densidade (ρ)
A densidade é uma propriedade física que expressa uma medida da quantidade de
massa por unidade de volume, normalmente, em g/cm³ ou kg/m³. As rochas mais comuns têm
densidades que oscilam entre 1,9g/cm³ e 2,8g/cm³ e sofrem a influência da porosidade.
1.2. Parâmetro de Lamé (λ)
O parâmetro de Lamé é uma grandeza elástica que não tem uma definição própria.
Normalmente, aparece na definição de todos os demais parâmetros elásticos e, por isso, pode
ser definido em função deles. Uma das expressões que relaciona alguns parâmetros elásticos
ao parâmetro de Lamé é:
) 21( )1( E
σ−σ+
σ=λ , 1.2.1
onde E é o módulo de estiramento e σ é o coeficiente de Poisson.
67 Filósofo inglês Thomas Young (1772 - 1829).
127
1.3. Módulo de Rigidez ou Cisalhamento (µ)
O módulo de cisalhamento se relaciona à mudança de forma de um elemento
infinitesimal através de uma relação entre a tensão e o efeito de cisalhamento, ou seja:
Fig. 1.3.1 - Cisalhamento.
L A
F L
LL
A
Fij
ij
∆=
∆=µ , 1.3.1
onde Fij (i≠j) é a força de cisalhamento, A é a área sobre a qual essa força atua, ∆L é o
deslocamento entre os planos cisalhantes e L é a distância inicial entre os planos cisalhantes.
O módulo de cisalhamento também pode ser expresso através de várias relações entre
parâmetros elásticos tais como:
Ek 9E k 3
)1( 2E
)1( 2) 21( k 3
)k( 23
2 21
−
=σ+
=σ+
σ−=λ−=
σσ−
λ=µ , 1.3.2
onde k é a compressibilidade, e em termos de velocidades de propagação de ondas:
µ = ρ vs2, 1.3.3
onde vs é a velocidade da onda S.
Tomando-se a expressão da forma generalizada da Lei de Hooke:
∂
∂+
∂∂
µ+∂∂
δλ=µ+∂∂
δλ=τi
j
j
i
k
kijij
k
kijij x
u
xu
xu
e 2xu
1.3.4
e considerando o caso em que ocorre um cisalhamento puro, ou seja, quando i≠j, a expressão
pode ser resumida à forma:
∂
∂+
∂∂
µ=µ=τi
j
j
iijij x
u
xu
e 2 . 1.3.5
No caso de meios fluidos (caso acústico), onde não existe cisalhamento (µ=0), a
Equação 1.3.4 pode ser resumida à forma:
k
kijij x
u ∂∂
δλ=τ . 1.3.6
1.4. Módulo de Compressão ou Compressibilidade (k)
O módulo de compressibilidade (ou ainda módulo bulk) se relaciona à mudança de
volume através de uma relação entre as variações de tensões esféricas (pressão) e de volume
128
associadas, ou seja:
V V
VV
k 0
0
∆∆Φ
=∆∆Φ
= , 1.4.1
onde ∆Φ é a variação de pressão, ∆V é a variação de volume e V0 é o volume inicial. O módulo
de compressibilidade também pode ser expresso através de várias relações entre parâmetros
elásticos:
) 21( 3E
2)1(
) 21( 3)1( 2
32
kσ−
=σ+σ
+σλ=
σ−σ+µ
=µ+λ= . 1.4.2
1.5. Módulo de Elasticidade, Estiramento ou Young (E)
O módulo de estiramento é uma relação entre tensão e deformação, ou seja, está
relacionado a uma mudança de comprimento em função da aplicação de um esforço:
Fig. 1.5.1 - Estiramento.
L AF L
LL
AF
eE ii
ii
ii
ii
∆=
∆=
τ= , 1.5.1
onde τii é a tensão, eii é a deformação, Fii é a força, A é a área sobre a qual a força atua, ∆L é a
variação de comprimento e L é o comprimento inicial.
O módulo de estiramento também pode ser expresso através de várias relações entre
parâmetros elásticos:
λ−λ−
=µ+
µ=
µ+λµ+λ
µ=σ
σ−σ+λ=σ−=σ+µ=
k 3k
k 9k 3
k 9 2 3
) 21( )1( ) 21( k 3)1( 2E 1.5.2
e em termos de velocidades de propagação de ondas:
2s
2p
2s
2p2
s vv 3
v 2v 3 v 3E
−
−ρ= , 1.5.3
onde vp é a velocidade da onda P e vs é a velocidade da onda S.
Existe um parâmetro elástico, chamado compliância, que é definido como o inverso do
módulo de elasticidade, ou seja, E1
.
1.6. Razão ou Coeficiente de Poisson (σ)
129
O coeficiente de Poisson é uma relação adimensional entre deformações nas direções
transversais e deformações nas direções longitudinais, que varia dentro do intervalo de valores
0 ≤ σ ≤ 0,5 (rígido ≤ σ ≤ fluido ou não-elástico ≤ σ ≤ acústico):
Fig. 1.6.1 - Deformações.
L LL L
LL
LL
e
e
ii
jj
∆∆
−=∆
∆
−=−=σ⊥
⊥⊥
⊥
, 1.6.1
onde i≠j, ejj são as deformações transversais, eii são as deformações longitudinais, ∆L⊥ é a
variação de tamanho na direção transversal, L⊥ é o tamanho original na direção transversal, ∆L
é a variação de tamanho na direção longitudinal e L é o de tamanho original na direção
longitudinal.
O coeficiente de Poisson também pode ser expresso através de várias relações entre
parâmetros elásticos:
k 6Ek 3
2 2E
)k 3( 2 2k 3
k 3)( 2−
=µ
µ−=
µ+µ−
=λ−
λ=
µ+λλ
=σ 1.6.2
e em termos de velocidades de propagação de ondas:
)vv( 2
v 2v2s
2p
2s
2p
−
−=σ , 1.6.3
onde vp e vs são, respectivamente, as velocidades das ondas P e S.
1.7. Observações
• Ao longo da superfície terrestre, λ, µ, E, k e σ têm valores bastante variados.
• Para profundidades superiores a 5km, λ e µ têm valores próximos.
• Normalmente, λ, µ e E têm valores da ordem de 1010Pa a 1012Pa.
• De modo geral, k têm valores entre de 2 × 1011Pa e 15 × 1011Pa.
• Para meios elásticos isotrópicos, λ, µ, E e k têm valores positivos.
• Para sólidos de Poisson (onde λ=µ) tem-se:
λ = µ = 0,6 k, 1.7.1
E = 1,5 k 1.7.2
e
σ = 0,25. 1.7.3
130
2. Apêndice B - Conceitos Básicos da Elastodinâmica
2.1. Vetor Deslocamento (ur
)
Considerando-se a Figura a seguir, observam-se as seguintes propriedades:
Fig. 2.1.1 - Esquema vetorial
de deslocamento.
• posição dos pontos de referência P e Q da partícula no
instante t0, dada pelos vetores xr
e xdxrr
+ :
# )x,x,x(P)x(P)x(P 321i ==r
e
# )dxx,dxx,dxx(Q)dxx(Q)xdx(Q 332211ii +++=+=+rr
;
• posição dos pontos de referência P e Q da partícula no
instante t, dada pelos vetores Xdr
e XdXrr
+ :
# )X,X,X('P)X('P)X('P 321i ==r
e
# )dXX,dXX,dXX('Q)dXX('Q)XdX('Q 332211ii +++=+=+rr
.
O deslocamento do ponto P para o ponto P’ é dado pelo vetor )P(ur
e as coordenadas do
ponto P’ são calculadas pela relação:
Xi = xi+ui(P), 2.1.1
onde ui(P) são as componentes do vetor )P(ur
. Da mesma forma, o deslocamento do ponto Q
para o ponto Q’ é dado pelo vetor )Q(ur
e as coordenadas do ponto Q’ são calculadas pela
relação:
Xi+dXi = xi+dxi+ui(Q), 2.1.2
onde ui(Q) são as componentes do vetor )Q(ur
.
2.2. Tensor de Deformação (Eik)
O tensor de deformação (strain tensor) é uma entidade adimensional, cujos valores são
muito pequenos (<10-4), que descreve mudanças relativas das distâncias entre dois pontos
individuais de um corpo.
Considerando que uj(Q)=uj(xi+dxi), expandindo o segundo membro em torno do ponto xi,
por série de Taylor, e desprezando os termos de ordem mais elevada, pode-se escrever a
aproximação:
131
ii
ijijiij dx
x
)x(u)x(u)dxx(u
∂
∂+≅+ . 2.2.1
Como uj(P)=uj(xi) a expressão anterior pode se escrita na forma:
ii
jjj dx
x
)P(u)P(u)Q(u
∂
∂+≅ . 2.2.2
Da Figura 2.1.1, pode-se observar uma relação vetorial que pode ser escrita na forma de
componentes:
dxj+uj(Q) = uj(P)+dXj. 2.2.3
Substituindo-se o termo uj(Q) pela Equação 2.1.2.2 obtém-se:
ii
jjj dx
x
)P(udxdX
∂
∂+= . 2.2.4
Retomando a Figura 2.1.1 e considerando a distância entre os pontos P e Q e P' e Q'
observa-se que xdPQr
= e Xd'Q'Pr
= , cujos quadrados podem ser escritos nas respectivas
formas:
kk
2dx dxxd xdPQ ==
rr 2.2.5
e
jj
2dX dXXd Xd'Q'P ==
rr. 2.2.6
Tomando-se a expressão anterior, substituindo-se dXj pela Equação 2.1.2.4 e aplicando
as propriedades da função delta, pode-se escrever:
kii
j
k
j
k
i
i
kkk
2dx dx
x
)P(u
x
)P(u
x)P(u
x)P(u
dx dx'Q'P
∂
∂
∂
∂+
∂∂
+∂
∂+= . 2.2.7
Fazendo-se a diferença 22
PQ'Q'P − pode-se obter a expressão:
kik
j
i
j
i
k
k
i22
dx dx x
)P(u
x
)P(u
x)P(u
x)P(u
PQ'Q'P
∂
∂
∂
∂+
∂∂
+∂
∂=− . 2.2.8
Essa diferença de quadrados permite a definição da entidade Eik, chamada tensor de
deformação finita, escrita em função das componentes do vetor deslocamento (função das
derivadas parciais do deslocamento em relação às coordenadas cartesianas), na forma:
∂
∂
∂
∂+
∂∂
+∂∂
=k
j
i
j
i
k
k
iik x
u
x
u
xu
xu
21
E . 2.2.9
Esse tensor de deformação finita tem as seguintes propriedades:
• é uma medida de deformação das vizinhanças do ponto P;
• simetria Eik=Eki e
132
• a presença do termo k
i
j
i
xu
xu
∂∂
∂∂
o torna não-linear.
2.2.1. Tensor de Deformação Infinitesimal (eik)
A definição de tensor de deformação infinitesimal, simbolizado por eik, aplica-se à maioria
dos problemas de propagação de ondas sísmicas, por causa das pequenas deformações
associadas ao fenômeno. Essa simplificação decorre do fato de o termo não-linear ser muito
pequeno e permitir que se escreva o tensor de deformação finita na forma:
∂∂
+∂∂
=i
k
k
iik x
uxu
21
e 2.2.1.1
que, por extrapolação, apresenta as seguintes propriedades:
• simetria eik=eki e
• a ausência do termo k
i
j
i
xu
xu
∂∂
∂∂
o torna linear e permite a simplificação matemática no
tratamento da propagação de ondas.
2.2.1.1. Significado Físico do Tensor de Deformação Infinitesimal
2.2.1.1.1. Mudanças de Tamanho
As expressões relacionadas às mudanças de tamanho são descritas pelas componentes
de eij nas direções dos respectivos eixos x1, x2 e x3:
i
iii x
ue
∂∂
= . 2.2.1.1.1.1
Retomando a Figura 2.1.1, a forma expandida da Equação 2.2.4:
33
j2
2
j1
1
jji
i
jjj dx
x
)P(udx
x
)P(udx
x
)P(udxdx
x
)P(udxdX
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+=
∂
∂+= 2.2.1.1.1.2
e considerando-se o caso em que o vetor infinitesimal xdr
seja paralelo ao eixo x1, as
componentes do referido vetor assumem os valores (dx1,dx2,dx3)=(dx1,0,0). Logo:
111111
111 dx edxdx
x)P(u
dxdX +=∂
∂+= . 2.2.1.1.1.3
Dessa expressão pode-se extrair outra:
1
1111 dx
dxdXe
−= , 2.2.1.1.1.4
que representa uma extensão relativa ao longo da direção x1.
133
Por analogia, podem-se obter as extensões relativas ao longo das direções x2 e x3:
2
2222 dx
dxdXe
−= 2.2.1.1.1.5
e
3
3333 dx
dxdXe
−= . 2.2.1.1.1.6
As mudanças de volume (ou dilatação) podem ser analisadas como a passagem de um
volume original dV=dx1 dx2 dx3 para um outro volume dV'=dX1 dX2 dX3. Cada aresta desse novo
volume pode ser vista como uma variação do tamanho da aresta do volume original, ou seja,
dXi=dxi + eii dxi; então, é possível escrever a relação:
dV' = dV + (e11+e22+e11e22+e33+e11e33+e22e33+e11e22e33) dV. 2.2.1.1.1.7
Como, no estudo de propagação de ondas sísmicas para exploração, eii assume valores muito
pequenos, os termos e11e22, e11e33, e22e33 e e11e22e33 podem ser negligenciados e a expressão
anterior pode ser escrita na forma:
dV' = dV + (e11+e22+e33) dV, 2.2.1.1.1.8
donde, finalmente, pode-se chegar à expressão que define a dilatação (ekk):
kk332211 eeeedV
dV'dV=++=
−. 2.2.1.1.1.9
2.2.1.1.2. Mudanças de Forma
As mudanças de forma são relacionadas às componentes do vetor de deformação eij,
para as quais i≠j, nas direções dos eixos xi e xj (e12, e21, e13, e31, e23 e e32), denominados
componentes de deformação por cisalhamento (shearing strain components). A deformação
observada é descrita pelas seguintes relações:
jij
i
i
j
i
j
j
iij e
xu
x
u
21
x
u
xu
21
e =
∂∂
+∂
∂=
∂
∂+
∂∂
= . 2.2.1.1.2.1
Observando essa expressão, pode-se constatar a relação de simetria:
eij = eji. 2.2.1.1.2.2
Admitindo que o elemento infinitesimal apresente-se com as seguintes formas:
Fig. 2.2.1.1.2.1 - Forma inicial.
• no instante t0:
# o vetor axdr
, paralelo ao eixo x1, tem coordenadas
(dx1a,0,0) e
# o vetor bxdr
, paralelo ao eixo x2, tem coordenadas
(0,dx2b,0);
134
• no instante t, após aplicação de um conjunto de forças:
# o vetor aXdr
tem coordenadas definidas por:
aj
j
iij
ai dx
xu
dX
∂∂
+δ= 2.2.1.1.2.3
e
# o vetor bXdr
tem coordenadas definidas por:
Fig. 2.2.1.1.2.2 - Mudança de forma.
bj
j
iij
bi dx
xu
dX
∂∂
+δ= . 2.2.1.1.2.4
Substituindo ajdx e b
jdx em ajdX e b
jdX o produto entre os vetores aXdr
e bXdr
pode ser
escrito na forma:
b2
a1
2
i
1
i
2
i1i
1
i2i2i1i
bi
ai dx dx
xu
xu
xu
xu
dX dX
∂∂
∂∂
+∂∂
δ+∂∂
δ+δδ= 2.2.1.1.2.5
e, como
≠=
=δjipara0jipara1
ij e 0xu
xu
2
i
1
i ≅∂∂
∂∂
, essa expressão pode ser reduzida à forma:
b2
a1
2
1
1
2bi
ai dx dx
xu
xu
dX dX
∂∂
+∂∂
= . 2.2.1.1.2.6
Aplicando a propriedade de simetria e12=e21, a expressão anterior também pode ser
escrita na forma:
b2
a112
bi
ai dx dx e 2dX dX = . 2.2.1.1.2.7
O produto escalar entre os vetores aXdr
e bXdr
também pode ser escrito na forma:
)cos( Xd Xd)XdXdcos( Xd XdXdXd babababa ϕ=∠=⋅rrrrrrrr
; 2.2.1.1.2.8
portanto, aplicando a Equação 2.2.1.1.2.7 o co-seno entre os vetores aXdr
e bXdr
pode ser
escrito como:
ba
b2
a112
Xd Xd
dx dx e 2)cos( rr≅ϕ . 2.2.1.1.2.9
Como 1Xd Xd
dx dxba
b2
a1 ≅rr então:
cos(ϕ) ≅ 2 e12. 2.2.1.1.2.10
Considerando o ângulo complementar de ϕ, α12=90°-ϕ, e relações trigonométricas
apropriadas, pode-se obter:
135
sen(α12) = sen(90°-ϕ) = cos(ϕ) ≅ 2 e12. 2.2.1.1.2.11
Se o ângulo α12 for muito pequeno, pode-se assumir a identidade
sen(α12) = α12; 2.2.1.1.2.12
portanto, como sen(α12)≅2 e12, então
α12 ≅ 2 e12 2.2.1.1.2.13
o que nos leva à expressão
1212 21
e α≅ 2.2.1.1.2.14
que, pelas relações de simetria, permite a definição da expressão:
1221 21
e α≅ . 2.2.1.1.2.15
Com raciocínio semelhante pode-se chegar às relações:
133113 21
ee α≅= 2.2.1.1.2.16
e
233223 21
ee α≅= . 2.2.1.1.2.17
2.3. Tensor de Tensões68 (τij)
As condições de esforços nas vizinhanças de uma partícula, localizada na origem do
sistema de coordenadas cartesianas, podem ser especificadas completamente por nove
quantidades que compõem o tensor de tensões:
τiji,j = 1, 2, 3 2.3.1
Fig. 2.3.1 - Composição do tensor de tensões.
onde os índices i e j representam,
respectivamente, as orientações da superfície
perpendicular ao eixo xi e da força de
superfície paralela ao eixo xj. Se i=j, tem-se
tensões normais (normal stress); se i≠j, tem-se
tensões cisalhantes (shear stress) ou
tangentes.
68 No tensor de tensões (stress tensor), os elementos são expressos em Pascal (Pa, matemático francês Blaise Pascal, 1623 - 1662):
2222 s mkg
sm
mkg
mN
Pa ===
Exemplos de unidades : 1atm = 1,01325 × 105Pa = 1,01325bar = 1,03323kg/cm².
136
No sistema de coordenadas cartesianas, essas quantidades τij representam três tensões
aplicadas em cada uma das três superfícies perpendiculares aos eixos cartesianos. A tensão
que atua no ponto O, sobre uma superfície S, que possui uma normal qualquer em O, pode ser
expressa em termos dessas nove quantidades.
Fig. 2.3.2 - Componentes das forças de
superfície.
Tomando-se um tetraedro elementar,
pode-se observar que quatro triângulos
compõem as quatro faces desse tetraedro:
• ∆(P1P2P3) = ∆S;
• ∆(OP1P2) = ∆S3 = n3 ∆S;
• ∆(OP2P3) = ∆S1 = n1 ∆S;
• ∆(OP3P1) = ∆S2 = n2 ∆S.
e o vetor normal tem componentes (n1,n2,n3)=[cos(α1),cos(α2),cos(α3)], onde os co-senos
diretores e definidos como in)incos()cos( 1
rrrr⋅=∠=α , jn)jncos()cos( 2
rrrr⋅=∠=α e
kn)kncos()cos( 3
rrrr⋅=∠=α .
2.4. Relações entre Tensão e Deformação (Relações Constitutivas)
As relações gerais entre tensão (τij) e deformação (eij) são muito complexas. Portanto, no
tratamento de problemas de propagação de ondas, assumem-se algumas simplificações:
• meio perfeitamente elástico, onde a reação é instantânea e τij(t=tn) depende unicamente do
valor de eij(t=tn)69;
• meio linearmente elástico70, onde τij varia linearmente com eij;
• as relações entre τij e eij não dependem do tempo e
• admite-se um estado inicial neutro onde τij(t=0)=τij0=0 e eij(t=0)=eij
0=0.
Com base nessas premissas, pode-se escrever as relações entre tensão e deformação
na forma:
τij = cijkl ekl + τij0, 2.4.1
onde τij são as componentes de tensão, cijkl são as componentes dos parâmetros elásticos
(também chamado de módulos elásticos ou tensor elástico), ekl são as componentes de
deformação e τij0 são as componentes de tensão do estado inicial.
69 Se τij(t=tn) depende do valor de eij(t<tn), diz-se que o meio esta relaxado. 70 Válido somente para tensões e deslocamentos pequenos.
137
Considerando a hipótese do estado inicial neutro, as relações entre tensão e deformação
podem ser estabelecidas através da forma generalizada da Lei de Hooke:
l
kijklklijklij x
u c e c ∂∂
==τ . 2.4.2
Retomando a expressão do tensor de deformação e as relações de simetria ekl=elk, a
Equação 2.4.2 pode ser escrita na forma:
∂∂
+∂∂
=
∂∂
+∂∂
==τk
lijkl
l
kijkl
k
l
l
kijklklijklij x
u c
xu
c 21
xu
xu
21
ce c . 2.4.3
Aplicando as relações de simetria de cijkl obtém-se:
l
kijkl
l
kijkl
l
kijkl
k
lijlk
l
kijklij x
u c
xu
cxu
c 21
xu
cxu
c 21
∂∂
=
∂∂
+∂∂
=
∂∂
+∂∂
=τ . 2.4.4
A análise de tensões é baseada em duas condições de referência:
• estado natural: τij=eij=0
• estado de tensões: τij≠0 e eij≠0
A Lei de Hooke assume que, antes da deformação, a referência é o estado natural. No
interior da crosta terrestre, devido à pressão hidrostática causada pela força gravitacional,
deve-se considerar a referência do estado de equilíbrio estático τij0, onde a resultante e a
deformação são nulas, mas as tensões não.
3. Apêndice C - Desenvolvimento da Forma Geral do Tensor
Elástico
A partir da expressão generalizada da Lei de Hooke (Equação 2.4.2 acima) obtêm-se:
τ11= c1111e11 +c1112e12 +c1113e13 +c1121e21 +c1122e22 +c1123e23 +c1131e31 +c1132e32 +c1133e33
τ12= c1211e11 +c1212e12 +c1213e13 +c1221e21 +c1222e22 +c1223e23 +c1231e31 +c1232e32 c1233e33
τ13= c1311e11 +c1312e12 +c1313e13 +c1321e21 +c1322e22 +c1323e23 +c1331e31 +c1332e32 +c1333e33
τ21= c2111e11 +c2112e12 +c2113e13 +c2121e21 +c2122e22 +c2123e23 +c2131e31 +c2132e32 +c2133e33
τ22= c2211e11 +c2212e12 +c2213e13 +c2221e21 +c2222e22 +c2223e23 +c2231e31 +c2232e32 +c2233e33
τ23= c2311e11 +c2312e12 +c2313e13 +c2321e21 +c2322e22 +c2323e23 +c2331e31 +c2332e32 +c2333e33
τ31= c3111e11 +c3112e12 +c3113e13 +c3121e21 +c3122e22 +c3123e23 +c3131e31 +c3132e32 +c3133e33
τ32= c3211e11 +c3212e12 +c3213e13 +c3221e21 +c3222e22 +c3223e23 +c3231e31 +c3232e32 +c3233e33
τ33= c3311e11 +c3312e12 +c3313e13 +c3321e21 +c3322e22 +c3323e23 +c3331e31 +c3332e32 +c3333e33.
3.1
138
Trocando o sistema de coordenadas cartesianas, através do emprego de relações de
transformação para tensores, e satisfazendo as relações de simetria ekl=elk, τij=τji ⇒ cijkl=cjikl,
cijkl=cijlk, cijkl=cklij pode-se reduzir o número de parâmetros elásticos independentes cijkl de oitenta
e um para vinte e um, conforme se segue:
• considerando as simetrias τij=τji e cijkl=cjikl têm-se:
τ11= c1111e11 +c1112e12 +c1113e13 +c1121e21 +c1122e22 +c1123e23 +c1131e31 +c1132e32 +c1133e33
τ12= τ21= c1211e11 +c1212e12 +c1213e13 +c1221e21 +c1222e22 +c1223e23 +c1231e31 +c1232e32 +c1233e33
τ13= τ31= c1311e11 +c1312e12 +c1313e13 +c1321e21 +c1322e22 +c1323e23 +c1331e31 +c1332e32 +c1333e33
τ22= c2211e11 +c2212e12 +c2213e13 +c2221e21 +c2222e22 +c2223e23 +c2231e31 +c2232e32 +c2233e33
τ23= τ32 = c2311e11 +c2312e12 +c2313e13 +c2321e21 +c2322e22 +c2323e23 +c2331e31 +c2332e32 +c2333e33
τ33= c3311e11 +c3312e12 +c3313e13 +c3321e21 +c3322e22 +c3323e23 +c3331e31 +c3332e32 +c3333e33;
3.2
• considerando a simetria ekl=elk têm-se:
τ11= c1111e11 +(c1112+c1121)e12 +(c1113+c1131)e13 +c1122e22 +(c1123+c1132)e23 +c1133e33
τ12= c1211e11 +(c1212+c1221)e12 +(c1213+c1231)e13 +c1222e22 +(c1223+c1232)e23 +c1233e33
τ13= c1311e11 +(c1312+c1321)e12 +(c1313+c1331)e13 +c1322e22 +(c1323+c1332)e23 +c1333e33
τ22= c2211e11 +(c2212+c2221)e12 +(c2213+c2231)e13 +c2222e22 +(c2223+c2232)e23 +c2233e33
τ23= c2311e11 +(c2312+c2321)e12 +(c2313+c2331)e13 +c2322e22 +(c2323+c2332)e23 +c2333e33
τ33= c3311e11 +(c3312+c3321)e12 +(c3313+c3331)e13 +c3322e22 +(c3323+c3332)e23 +c3333e33;
3.3
• considerando a simetria cijkl=cijlk têm-se:
τ11 = c1111e11 +2c1112e12 +2c1113e13 +c1122e22 +2c1123e23 +c1133e33
τ12 = c1211e11 +2c1212e12 +2c1213e13 +c1222e22 +2c1223e23 +c1233e33
τ13 = c1311e11 +2c1312e12 +2c1313e13 +c1322e22 +2c1323e23 +c1333e33
τ22 = c2211e11 +2c2212e12 +2c2213e13 +c2222e22 +2c2223e23 +c2233e33
τ23 = c2311e11 +2c2312e12 +2c2313e13 +c2322e22 +2c2323e23 +c2333e33
τ33 = c3311e11 +2c3312e12 +2c3313e13 +c3322e22 +2c3323e23 +c3333e33;
3.4
• considerando a simetria cijkl=cklij têm-se:
τ11 = c1111e11 +2c1112e12 +2c1113e13 +c1122e22 +2c1123e23 +c1133e33
τ12 = c1112e11 +2c1212e12 +2c1213e13 +c1222e22 +2c1223e23 +c1233e33
τ13 = c1113e11 +2c1213e12 +2c1313e13 +c1322e22 +2c1323e23 +c1333e33
τ22 = c1122e11 +2c1222e12 +2c1322e13 +c2222e22 +2c2223e23 +c2233e33
τ23 = c1123e11 +2c1223e12 +2c1323e13 +c2223e22 +2c2323e23 +c2333e33
τ33 = c1133e11 +2c1233e12 +2c1333e13 +c2233e22 +2c2333e23 +c3333e33,
3.5
que podem escritas na forma matricial:
139
=
ττττττ
33
23
22
13
12
11
333323332233133312331133
233323232223132312231123
223322232222132212221122
133313231322131312131113
123312231222121312121112
113311231122111311121111
33
23
22
13
12
11
ee 2
ee 2e 2
e
cccccccccccccccccccccccccccccccccccc
. 3.6
Como nem todos os termos de cijkl são independentes, pode-se adotar uma nova
notação, onde ij=m e kl=n; com isso, os coeficientes cijkl assumem a forma Cmn e permitem a
definição da relação:
l
kijklklijklij x
u ce c∂∂
==τ ⇒ l
kmnnmnm x
u ce c∂∂
==τ . 3.7
Usando a tabela de conversão de índices proposto por Voigt:
m=1 ⇒ i=1 e j=1 m=2 ⇒ i=2 e j=2 m=3 ⇒ i=3 e j=3 m=4 ⇒ i=2 e j=3 m=5 ⇒ i=1 e j=3 m=6 ⇒ i=1 e j=2
n=1 ⇒ k=1 e l=1 n=2 ⇒ k=2 e l=2 n=3 ⇒ k=3 e l=3 n=4 ⇒ k=2 e l=3 n=5 ⇒ k=1 e l=3 n=6 ⇒ k=1 e l=2
a expressão matricial anterior passa à forma:
=
ττττττ
3
4
2
5
6
1
334323536313
434424546414
232422526212
535452556515
636462656616
131412151611
3
4
2
5
6
1
ee 2
ee 2e 2
e
CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC
, 3.8
cuja reorganização resulta em:
=
ττττττ
6
5
4
3
2
1
666564636216
655554535215
645444432414
635343332313
625224232212
161514131211
6
5
4
3
2
1
e 2e 2e 2
eee
CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC
. 3.9
Baseando-se nas relações de simetria, pode-se escrever:
=
66
5655
464544
36353433
2625242322
161514131211
CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC
C . 3.10
140
Essa simetria implica que apenas vinte e um dos elementos de [C] são independentes e
caracterizam as propriedades mecânicas dos materiais.
3.1. Hierarquia dos Meios Anisotrópicos
O sistema de coordenadas pode ser rotacionado de modo a diminuir o efeito de certas
constantes elásticas e estabelecer alguma dependência entre elas. A hierarquia entre meios
anisotrópicos é baseada na quantidade de constantes não-nulas ou no número de constantes
independentes.
O meio anisotrópico mais complexo é o sistema triclínico, definido por vinte e uma
constantes elásticas. Os sistemas tetragonal e trigonal também são bastante complexos. O
meio isotrópico é o sistema mais simples, definido por apenas duas constantes elásticas não-
nulas e mutuamente independentes.
Entre os sistemas empregados nos problemas de propagação de ondas estão:
1. triclínico: vinte e uma constantes elásticas, das quais dezoito ou dezenove, dependendo da
rotação aplicada, são não-nulas e independentes:
C34=C35=C45=0
66
5655
4644
3633
2625242322
161514131211
CCCCCCCCCCCCCCCCCC
C15=C16=0
66
5655
464544
36353433
2625242322
14131211
CCCCCCCCCCCCCCC
CCCC
3.1.1
2. monoclínico (degeneração do sistema triclínico): doze ou treze constantes elásticas não-
nulas e independentes, dependendo da rotação aplicada:
C14=C15=C24=C25=C46=C56=0
66
55
44
3633
262322
16131211
CC
CCCCCCCCCC
C25=C26=C35=C36=C45=C46=0
66
5655
44
3433
242322
14131211
CCC
CCCCCCCCCC
3.1.2
3. ortorrômbico71 (degeneração do sistema monoclínico acima, à esquerda): nove constantes
elásticas não-nulas e independentes:
71 Caso mais real, usado na Sísmica para definir anisotropia em rochas e seqüências de camadas fraturadas.
141
C16=C26=C36=0
66
55
44
33
2322
131211
CC
CCCCCCC
3.1.3
4. trigonal (degeneração do sistema monoclínico à direita): seis constantes elásticas não-
nulas e independentes:
C22=C11 C12=C11-2C66 C23=C13
C14=-C24=C56 C55=C44 C34=0
−
−
66
5644
44
33
561311
5613661111
CCC
CC
CCCCCC2CC
3.1.4
5. tetragonal (degeneração do sistema ortorrômbico e de mesmo nível hierárquico do sistema
trigonal): seis constantes elásticas não-nulas e independentes:
C22=C11 C23=C13 C55=C44
66
44
44
33
1311
131211
CC
CCCCCCC
3.1.5
6. cúbico72 (degeneração do sistema tetragonal): três constantes elásticas não-nulas e
independentes:
C33=C11 C12=C13 C66=C44
44
44
44
11
1311
131311
CC
CCCCCCC
3.1.6
72 Não se conhece nenhum caso em Geofísica que utilize tal sistema.
142
7. hexagonal ou polar73 (dependendo da rotação aplicada, pode ser uma degeneração dos
sistemas tetragonal ou trigonal): seis constantes elásticas não-nulas das quais cinco são
independentes; o nome polar advém do fato de ter um único pólo de simetria rotacional em
torno de um dos eixos, normalmente na vertical, ou seja, na direção dos outros dois eixos,
as velocidades de propagação não variam (a simetria nos outros dois eixos):
C12=C11-2C66 C56=0
−
66
44
44
33
1311
13661111
CC
CCCCCC2CC
3.1.7
8. isotrópico74 (dependendo da rotação aplicada, pode ser uma degeneração dos sistemas
cúbico ou hexagonal): cinco constantes elásticas não-nulas das quais duas são
independentes (λ e µ):
C12=C11-2C66 C33=C11 C12=C13 C66=C44
−
44
44
44
11
1311
13661111
CC
CCCCCC2CC
3.1.8
4. Apêndice D - Algumas das Feições Características das
Ondas Mecânicas Aplicadas em Sísmica
Em Geofísica, várias feições características das ondas sísmicas são utilizadas para
descrevê-las. Entre elas, algumas foram criadas para descrever geometricamente a
propagação das ondas, tais como:
• frente de propagação: superfície imaginária que separa a porção de material perturbado,
com a mesma fase, da porção de material não-perturbado e
• raio de propagação: linha imaginária perpendicular à frente de onda e orientada na direção
de propagação da frente de onda;
e outras, para descrever suas características físicas e mensuráveis, tais como:
73 Caso real muito importante para a Sísmica para definir anisotropia em folhelhos e seqüências de finas camadas. 74 Muito usado em modelagem sísmica.
143
• comprimento de onda (λ) - distância que separa dois eventos de oscilação sucessivos e
de mesma fase; existem dois tipos de medidas de comprimento de onda:
# comprimento de onda aparente (λa) - comprimento de onda efetivamente registrado
pelos arranjos de receptores na superfície, uma vez que o ângulo de incidência do
raio emergente (θemerg) não é reto, representado pela expressão:
Fig. 4.1.1 - Comprimento de onda aparente.
)sen( emerga θ
λ=λ 4.1.1
# comprimento de onda dominante (λd) - comprimento de onda da componente da
freqüência dominante que, normalmente, está localizada uma oitava abaixo da
freqüência máxima registrada no espectro de freqüências;
• período (T) - intervalo de tempo necessário para a partícula completar um ciclo ou
oscilação; ou o tempo que a onda, com velocidade de propagação v, demora para percorrer
uma distância igual ao seu comprimento (λ); ou, em outras palavras, é o parâmetro que
fornece o tempo de repetição do evento; para eventos monocromáticos (de única freqüência
f), o período pode ser calculado pelas relações:
vf1
Tλ
== ; 4.1.2
# período dominante (Td) - período da componente de freqüência dominante (fd);
• freqüência (f) - número de ciclos ou oscilações por unidade de tempo (ciclos/s, rpm, Hz75 etc.)
e pode ser calculada pelo inverso do período:
λ==
vT1
f . 4.1.3
Existem dois tipos de medidas de freqüência:
# freqüência angular (ω) - freqüência, em radianos por unidade de tempo; traduz o
evento como um movimento circular e é calculado pelas relações:
λπ
=π
=π=ωv 2
T 2
f 2 ; 4.1.4
# freqüência dominante (fd) - freqüência de repetição das wavelets referente à medida
do inverso do intervalo de tempo pico-a-pico;
• número de onda (κ) - parâmetro de freqüência espacial que traduz o número de ciclos de
onda que passam por um determinado ponto, em um intervalo de tempo, e é representado
75 Físico alemão Heinrich Rudolph Hertz (1857 - 1894), simbolizado por Hz e que tem a seguinte relação 1Hz = 1ciclo/s.
144
pelo inverso do comprimento de onda:
T v 2
vvf 2 2 π
=ω
=π
=λπ
=κ ; 4.1.5
# número de onda aparente (κa) - recíproco do comprimento de onda aparente (λa)
para uma dada direção (θazim):
v)sen( f 2 2 azim
aa
θπ=
λπ
=κ ; 4.1.6
• ângulo de fase (φ) - entidade geométrica que descreve o ângulo de partida de uma onda
senoidal, em relação a um ponto de referência;
• amplitude (A) - parâmetro que mede o deslocamento das partículas, imposto por uma
deformação, desde a sua posição de repouso até a posição em um determinado instante;
existem vários tipos de medidas de amplitudes:
# amplitude absoluta (Aabs) - amplitude calculada na forma:
2abs AA = ; 4.1.7
# amplitude instantânea (Ainst) - amplitude que se refere à posição instantânea dada
por um determinado ângulo de fase φ:
Ainst = A sen(φ); 4.1.8
# amplitude máxima ou de pico (Amáx) - maior amplitude observada nos dados;
# amplitude média (Améd) - amplitude média para n componentes de amplitudes An
(n=1, ..., N) calculada na forma:
N
A
A
N
1n
n
méd
∑== ;
4.1.9
# amplitude normalizada (Anorm) - amplitude corrigida pelo valor máximo:
máxnorm A
AA = ; 4.1.10
# amplitude pico-a-pico (App) - soma das amplitudes de dois eventos consecutivos,
cujo deslocamento das partículas é máximo:
App = 2 A; 4.1.11
# amplitude rms (Arms) - amplitude média para n componentes de amplitudes An (n=1,
..., N) calculada na forma:
∑=
=N
1n
2nrms A
N1
A ; 4.1.12
145
• velocidade de propagação (v) - velocidade com que uma onda se propaga no meio
elástico, em função das propriedades elásticas desse meio; também existe uma relação
entre velocidade, freqüência e comprimento da onda:
v = f λ. 4.1.13
Existem vários tipos de medidas de velocidades:
# velocidade de fase (vf) - velocidade com que uma onda se propaga em um meio
dispersivo na direção normal à superfície de fase constante;
# velocidade de grupo (vg) - velocidade com que a envoltória das frentes de onda se
propaga em um meio dispersivo;
Em meios dispersivos, onde a velocidade de fase varia com a freqüência, as
velocidades de grupo e de fase se relacionam segundo a expressão:
fv
fvv
vv ff
ffg ∂
∂+=
λ∂∂
λ−= ; 4.1.14
# velocidade média (vméd) - velocidade obtida através da profundidade z ou velocidade
v e do tempo t do evento sísmico, assumindo raio de trajetória vertical (caso 1D):
( )
∑∑
∑∑
=
=
=
= === N
1n
n
N
1n
nn
N
1n
n
N
1n
n
N
Nméd
t
v t
t
z
tz
v ; 4.1.15
# velocidade intervalar (vint) - velocidade com que uma onda sísmica se propaga em
uma única camada de rochas ou entre dois refletores sísmicos z e z-1 (caso 1D):
)1z(t)z(t)1z(v )1z(t)z(v )z(t
)z(v médmédint −−
−−−= ; 4.1.16
# velocidade de Dix76 (vDix) - velocidade intervalar calculada a partir da fórmula de Dix:
)1z(t)z(t)1z(v )1z(t)z(v )z(t
)z(v2rms
2rms
Dix −−−−−
= ; 4.1.17
# velocidade rms (vrms) - velocidade teórica obtida através de uma média quadrática:
( )
∑∑
=
== N
1n
n
N
1n
2nn
rms
t
v t
v ; 4.1.18
# velocidade de empilhamento (vstack) ou nmo (vnmo) - velocidade artificial aplicada em
processamento sísmico, que corrige o efeito do aumento no tempo da reflexão em
76 Geofísico norte-americano Charles Hewitt Dix (1905 - 1984).
146
função da distância entre fonte e receptor, para horizontalizar o refletor dentro da
família de traços cmp.
§ Para o caso de uma camada homogênea isotrópica, onde os raios de
propagação têm trajetória retilínea, a frente de onda assume um formato
circular e a velocidade que melhor horizontaliza o refletor pode ser descrita
pelas expressões:
)x(t)x(t
)(cosx v
20
2
2
stack−
θ= , 4.1.19
ou
)(osc )(sen1
vv
22
médstack
θφ−= , 4.1.20
onde x é o afastamento fonte-receptor e t e t0 são os tempos do evento para os
afastamentos x e x=0, φ é o ângulo entre a direção de observação e a direção
do mergulho real da camada e θ é o ângulo de mergulho da camada.
§ Para o caso de várias camadas plano-paralelas homogêneas isotrópicas, onde
os raios de propagação obedecem ao princípio do tempo mínimo de Fermat77 e
à Lei de Snell, o tempo de percurso t(x) e o afastamento fonte-receptor x
podem ser calculados pelas equações paramétricas:
∑∑== −
=θ
=N
1n2n
2n
n
N
1n nn
n
v p1 v
e2
)cos( ve
2)x(t 4.1.21
e
[ ] ∑∑==
−=θ=
N
1n2n
2
nn
N
1n
nnv p1
v p e2)(ant e2x , 4.1.22
onde e é a espessura, v a velocidade intervalar, θ é o ângulo de mergulho e p o
parâmetro do raio da camada.
De maneira geral, pode-se assumir a seguinte relação:
vstack>vrms>vméd. 4.1.23
5. Apêndice E - Partição de Energia de Ondas Sísmicas
Pela teoria das vibrações mecânicas, a energia carregada por uma onda sísmica é
proporcional à freqüência (f), à amplitude (A), à velocidade de propagação (v) e à densidade (ρ)
77 Matemático francês Pierre de Fermat (1601 - 1665).
147
do meio. Alguns fenômenos físicos podem causar alterações da intensidade de energia das
ondas sísmicas. Entre eles:
• espalhamento geométrico, ou esférico ou divergência esférica;
• absorção e
• particionamento.
5.1. Divergência Esférica
A divergência esférica é um dos fatores mais importantes que afetam as amplitudes das
ondas sísmicas em função da expansão das frentes de ondas. É um efeito intrinsecamente
ligado à distância entre a fonte das ondas sísmicas e os pontos de tomada das medidas de
amplitude. De maneira geral, pode-se escrever a seguinte relação entre a amplitude inicial (A0),
no ponto de geração da onda sísmica, e a amplitude observada (A):
dA
A 0= , 5.1.1
onde d é a distância entre a fonte e o ponto de observação. Essa relação mostra uma
diminuição da amplitude à medida que a frente de onda se afasta do ponto inicial.
Em processamento de dados sísmicos, para corrigir essa redução de amplitude, pode-se
aplicar um fator de correção da divergência esférica (fcde), que é válido sob as seguintes
condições:
• meios homogêneos isotrópicos e
• velocidades de propagação das ondas sísmicas variando em função da profundidade;
sendo é descrito pela expressão:
2stack
apsde v t
v 2fc = , 5.1.2
onde vaps é a velocidade de propagação das ondas sísmicas nas proximidades da superfície e
vstack é a velocidade de empilhamento do evento sísmico no tempo t.
5.2. Absorção
A absorção é o fenômeno responsável pela alteração das amplitudes das ondas
sísmicas em função da transformação da energia mecânica em calor e pode tornar-se um fator
dominante. Seus efeitos aumentam linearmente com a freqüência e podem acarretar mudanças
na forma da onda. Por esse motivo, a absorção pode ser considerada como “filtro corta-altas”.
Em Sísmica, são adotadas simplificações para a correção dos efeitos de absorção.
148
Essas simplificações consideram que a amplitude decaia exponencialmente em função da
freqüência f, em Hz, e do tempo t, em segundos, conforme as expressões:
Qt f
t f - eet)A(f,π
−βα == , 5.2.1
onde α é um fator de correção que depende de β, β é o coeficiente de absorção que varia entre
0,1 e 0,4dB/ciclos (neste caso, α≈0,115129) e Q é o fator de qualidade que varia,
respectivamente, entre 273 e 68, para a maioria das bacias sedimentares. A expressão anterior
permite estabelecer uma relação entre essas três últimas quantidades:
Q
π=βα . 5.2.2
5.3. Particionamento
Uma propriedade que pode ser utilizada para caracterizar o meio elástico, no qual se
propagam ondas sísmicas, é a impedância acústica78 dos materiais que compõem cada
camada desse meio (ZPj, onde j é o número da camada) e pode ser calculada através das
expressões:
• impedância, relacionada à propagação das ondas P (ZPj):
ZPj = ρj vPj, 5.3.1
onde ρj é a densidade e vPj é a velocidade de propagação das ondas P do material que
compõe a camada j; e
• impedância, relacionada à propagação das ondas S (ZSj):
ZSj = ρj vSj, 5.3.2
onde vsj é a velocidade de propagação das ondas S do material que compõe a camada j.
O contraste de impedância é definido pela razão entre as impedâncias das duas
camadas nas quais as ondas se propagam.
A partir das impedâncias das camadas é possível computar os coeficientes de reflexão
CR e de transmissão CT da interface que separa os dois meios elásticos nos quais as ondas se
propagam, desde que a incidência seja normal à interface que separa os meios, através das
expressões:
°°°°
°°°°
°°
°°
ρ+ρρ−ρ
=+−
=1P12P2
1P12P2
12
12
v v v v
ZZZZ
CR 5.3.3
e
78 Forma de oposição do meio à propagação das perturbações mecânicas.
149
°°°°
°°
°°
°
ρ+ρρ
=+
=−=1P12P2
1P1
12
1
v v v 2
ZZZ 2
CR1CT . 5.3.4
Os coeficientes de reflexão e de transmissão também refletem as relações entre as
amplitudes das ondas refletidas e incidentes e das ondas transmitidas e incidentes, ou seja:
°
°≈90Pi
90Pr
AA
CR 5.3.5
e
°
°≈90Pi
90Pt
AA
CT . 5.3.6
Dependendo das características dos meios elásticos e das formas como se propagam,
as ondas sísmicas P e S podem sofrer processos de partição da energia ao atingirem as
interfaces que delimitam esses meios.
Nesse processo de partição, parte da energia é refletida e parte é transmitida (ou
refratada) distribuída em quatro tipos de ondas: ondas P refletida (Pr) e transmitida (Pt) e ondas
S refletida (Sr) e transmitida (St).
Supondo o caso em que uma onda P
atinja uma interface entre os meios 1 e 2, cujas
respectivas densidades sejam ρ1 e ρ2 e as
velocidades de propagação das ondas P e S
sejam respectivamente vP1 e vS1 e vP2 e vS2,
conforme esquematizado na Figura ao lado,
onde:
Fig. 5.3.1 - Geometria de Snell.
• APi e θPi são a amplitude e o ângulo de incidência da onda P incidente,
• APr e θPr são a amplitude e o ângulo de emergência da onda P refletida,
• APt e θPt são a amplitude e o ângulo de emergência da onda P transmitida,
• ASr e θSr são a amplitude e o ângulo de emergência da onda S refletida e
• ASt e θSt são a amplitude e o ângulo de emergência da onda S transmitida.
O ângulo de incidência é conhecido e os ângulos de emergência são calculados
seguindo os mesmos preceitos da óptica geométrica, que estabelecem que os ângulos de
incidência e emergência das ondas P e S, obedecem à Lei de Snell-Descartes79, que define a
mudança de direção de um raio luminoso, quando encontra uma interface que separa um meio,
com velocidade de propagação v1, de outro, com velocidade de propagação v2.
A entidade que relaciona a geometria de incidência, reflexão e transmissão na interface
79 Matemático francês René Descartes (1596 - 1650).
150
entre dois meios com velocidades v1 e v2 é conhecida como parâmetro do raio (p) e é definida
pela expressão:
pv1
v)sen(
v)sen(
v)sen(
h2
t
1
r
1
i ==θ
=θ
=θ
, 5.3.7
Fig. 5.3.2 - Geometria de Snell.
onde θi é o ângulo de incidência, θr é o ângulo de
reflexão, θt é o ângulo de transmissão e vh é a
velocidade de fase horizontal.
Toda vez que uma onda atravessar uma superfície que separa dois meios elásticos com
velocidades diferentes ocorre refração, ou seja, desvio de direção de propagação. Este
fenômeno é regido pela Lei é Snell:
2P
Pt
1P
Pi
v)sen(
v)sen( θ
=θ
5.3.8
ou
Fig. 5.3.3 - Geometria de transmissão. 2S
St
1S
Si
v)sen(
v)sen( θ
=θ
. 5.3.9
Quando a onda refratada se propaga paralelamente à superfície atingida, ou seja,
quando θPt=90°, e isso ocorre somente quando vP1<vP2, a equação da Lei de Snell pode ser
simplificada para:
2P
1PPi v
v)sen( =θ 5.3.10
e θPi é chamado de ângulo crítico. Caso vP1>vP2, o fenômeno de refração nunca ocorrerá.
Toda vez que uma onda encontra uma superfície que separa dois meios elásticos com
impedâncias acústicas diferentes Z1≠Z2 ocorre reflexão. Esse fenômeno é regido pela lei da
reflexão:
Fig. 5.3.4 - Geometria de reflexão.
"Os raios das ondas incidente e
refletida sempre estão em um mesmo
plano e o ângulo de reflexão é igual
ao ângulo de incidência (θPr=θPi)".
Quando a onda incidente e,
conseqüentemente a onda refletida, tiverem
ângulo nulo, ou seja, quando θPi=θPr=0°, ocorre o
fenômeno chamado de incidência normal.
No caso da reflexão, as ondas incidente e refletida se propagam no mesmo meio;
portanto, a equação da Lei de Snell pode ser escrita na forma:
151
1P
Pr
1P
Pi
v)sen(
v)sen( θ
=θ
, 5.3.11
o que implica a relação que define a lei da reflexão θPi=θPr.
A generalização dessa lei para ondas P e S é dada pelas relações:
pv
)sen(v
)sen(v
)sen(v
)sen(v
)sen(v
)sen(
2S
St
1S
Sr
1S
Si
2P
Pt
1P
Pr
1P
Pi =θ
=θ
=θ
=θ
=θ
=θ
. 5.3.12
Quando uma onda sísmica atinge uma irregularidade na interface entre os meios
elásticos onde se propaga, essa irregularidade atua como ponto de irradiação de ondas em
todas as direções. Essas irradiações são chamadas de difrações.
As equações que expressam a partição de energia de uma onda P plana podem ser
apresentadas de duas maneiras:
• através das equações de Knott80, que empregam potenciais, ou
• através das equações de Zoeppritz, que empregam amplitudes.
Em ambos os casos, quando a incidência é normal, a comparação das amplitudes dos
sinais refletido e transmitido revela relações de impedância acústica e, conseqüentemente, os
coeficientes de reflexão e transmissão.
O processo de partição de energia das ondas sísmicas sofre a influência das
densidades, das velocidades de propagação das ondas P e S nos referidos meios e dos
ângulos de incidência e emergência dessas ondas. Essa partição também obedece aos
princípios de continuidade dos deslocamentos e tensões, tanto na direção normal como
tangencial.
Para uma onda P incidente, com amplitude APi (um), o princípio de continuidade dos
deslocamentos requer que:
APi cos(θPi) = APr cos(θPr) - ASr sen(θSr) + APt cos(θPt) + ASt sen(θSt). 5.3.13
e
APi = APr + APt. 5.3.14
Já o princípio de continuidade das tensões requer que:
) 2cos( A v
v v ) 2sen( A
v v v v
) 2cos( A vv
) 2sen( A) 2sen(A
StSt21S1
1P2S2PtPt
2P2
1S1
1P2
2S2
SrSr1S
1PPrPrPiPi
θρ
ρ+θ
ρρ
−
θ−θ=θ⋅
5.3.15
ou
80 Sismologista escocês Cargill Gilston Knott (1856-1922).
152
) 2sen( A v v
) 2sen( A v v
) 2sen( A vv
) 2cos( A) 2cos( A
StSt1P1
2S2StPt
1P1
2P2
SrSr1P
1SSrPrSiPi
θρρ
+θρρ
+
θ+θ−=θ
5.3.16
ou
APi IP1 cos(2 θSr) = -APr IP1 cos(2 θSr)+ASr IS1 sen(2 θSr)+APt IP2 cos(2 θSt)+ASt IS2 sen(2 θSt) 5.3.17
ou
) cos(2 I A) sen(2 I vv
A
) cos(2 I A) sen(2 I vv
A) sen(2 I vv
A
StS2StPtS2P2
S2Pt
SrS1SrPrS1P1
S1PrPiS1
P1
S1Pi
θ−θ+
θ+θ=θ
5.3.18
e
APi IP1 = -APr IP1 + APt IP2 5.3.19
Segundo AKI e RICHARDS (1980), as equações de Zoeppritz também podem ser
escritas na forma matricial:
−−−−
θ−θθ−θθθθ−θ−
−−
θ−θθ−θθ−θ−θθ
=
⇓⇓⇑⇑
⇓⇓⇑⇑
⇓⇓⇑⇑
⇓⇓⇑⇑
⇓⇑
⇓⇑
⇓⇓⇓⇓
⇓⇑
⇓⇑
⇓⇓⇓⇓
⇑⇑⇑⇑⇑⇓
⇑⇓
⇑⇑⇑⇑⇑⇓
⇑⇓
2211
2211
SPSP
SPSP
2211
2211
SPSP
SPSP
SSSPSSSP
PSPPPSPP
SSSPSSSP
PSPPPSPP
DCDCBABA
)sen()cos()sen()cos()cos()sen()cos()sen(
DCDCBABA
)sen()cos()sen()cos()cos()sen()cos()sen(
CRCRCTCT
CRCRCTCT
CTCTCRCR
CTCTCRCR
, 5.3.20
onde P⇓ é a onda P descendente, P⇑ é a onda P ascendente, S⇓ é a onda S descendente, S⇑ é
a onda S ascendente e:
A1 = 2 ρ1 vS1 sen(θS⇑) cos(θP⇑); 5.3.21
B1 = ρ1 vS1 [1-2 sen2(θS⇑)]; 5.3.22
C1 = ρ1 vP1 [1-2 sen2(θS⇑)]; 5.3.23
D1 = ρ1 vS1 sen(2 θS⇑); 5.3.24
A2 = 2 ρ2 vS2 sen(θS⇓) cos(θP⇓); 5.3.25
B2 = ρ2 vS2 [1-2 sen2(θS⇓)]; 5.3.26
C2 = ρ2 vP2 [1-2 sen2(θS⇓)] e 5.3.27
D2 = ρ2 vS2 sen(2 θS⇓). 5.3.28
152