Teoria Eletromagnética 1 Newton Mansur

Como se mede um campo elétrico

∆𝑉 = − 𝐸 ∙ 𝑑𝑟

𝐸 = −𝜕𝑉

𝜕𝑥𝑖 +

𝜕𝑉

𝜕𝑦𝑗 +

𝜕𝑉

𝜕𝑧𝑘 = −𝛻𝑉

Algebra Vetorial

▪ Vetor Precisa de no mínimo duas informações para defini-lo.

x

y

𝐴

x

𝐴

vx

x

v 0

a

a

v

a

b

𝐴

𝐴 𝑥

𝐴 𝑦

𝐴 = 𝐴 𝑥 + 𝐴 𝑦

𝐴 𝑎

𝐴 𝑏

𝐴 = 𝐴 𝑎 + 𝐴 𝑏 𝐴 = 𝑎𝑥 + 𝑣𝑣 𝑥

Álgebra Vetorial

▪ Versor Vetor unitário, adimensional, que define direção e sentido de um vetor

x

y

𝐴

𝐴 𝑥

𝐴 𝑦 𝐴 = 𝐴𝑎 𝐴

𝑎 𝐴

𝑎 𝑥

𝑎 𝑦

𝐴 𝑥 = 𝐴𝑥𝑎 𝑥

𝐴 𝑦 = 𝐴𝑦𝑎 𝑦

𝐴 = 𝐴 𝑥 + 𝐴 𝑦

𝐴 = 𝐴𝑥𝑎 𝑥 + 𝐴𝑦𝑎 𝑦

𝐴𝑎 𝐴 = 𝐴𝑥𝑎 𝑥 + 𝐴𝑦𝑎 𝑦

𝑎 𝐴 =𝐴𝑥𝑎 𝑥 + 𝐴𝑦𝑎 𝑦

𝐴

𝑎 𝐴 =𝐴𝑥𝐴

𝑎 𝑥 +𝐴𝑦

𝐴𝑎 𝑦

𝜃

𝑎 𝐴 = 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑎 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑎 𝑦

𝑎 𝐴 =𝐴

𝐴

Álgebra Vetorial

x

y

𝐴

2

𝐴 = 3𝑎 𝐴 𝑎 𝐴

𝑎 𝑥 𝑎 𝑦

𝐴 = 2𝑎 𝑥 − 1𝑎 𝑦

𝑎 𝐴 =2𝑎 𝑥 − 1𝑎 𝑦

3 𝑎 𝐴 =

2

3𝑎 𝑥 −

1

3𝑎 𝑦

𝜃 𝑎 𝐴 = 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑎 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑎 𝑦

𝑎 𝐴 =𝐴

𝐴

1

𝜃 = tan−1 −1

2

Álgebra Vetorial

Re

Im

𝑍

2

𝑍 = 2 − 𝑖1

𝜃

1

𝜃 = tan−1 −1

2

𝑍 = 3 −26,6 𝑜= 3 − 0,464 = ( 3, −0,464)

𝑍 = 3 2 − 𝑖1

3 = 3 cos −26,6 𝑜 + 𝑖𝑠𝑒𝑛(−26,6 𝑜)

𝑒𝑖𝜃 = (𝑖𝜃)𝑛

𝑛!

∞

𝑛=0

= (−1)𝑛𝜃2𝑛

2𝑛!

∞

𝑛=0

+ 𝑖 (−1)𝑛𝜃2𝑛+1

(2𝑛 + 1)!

∞

𝑛=0

= cos 𝜃 + 𝑖𝑠𝑒𝑛𝜃

𝑍 = 3 𝑒𝑖(−26,6 𝑜) = 3 𝑒−𝑖 0,464

Álgebra Vetorial

▪ Representação vetorial

x

y

𝐴

𝐴 𝑥

𝐴 𝑦

𝑎 𝐴

𝑎 𝑥

𝑎 𝑦 𝐴 = 𝐴𝑥𝑎 𝑥 + 𝐴𝑦𝑎 𝑦 + 𝐴𝑧𝑎 𝑧

z

𝑎 𝑧 𝐴 𝑧

Álgebra Vetorial

▪ Soma e subtração de vetores

x

y

𝐴

𝑎 𝑥

𝑎 𝑦

𝐴 = 𝐴𝑥𝑎 𝑥 + 𝐴𝑦𝑎 𝑦 + 𝐴𝑧𝑎 𝑧

z

𝑎 𝑧

𝐵

𝐵 = 𝐵𝑥𝑎 𝑥 + 𝐵𝑦𝑎 𝑦 + 𝐵𝑧𝑎 𝑧

𝐶 = 𝐴 +𝐵 = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑥 𝑎 𝑥 + 𝐴𝑦 + 𝐵𝑦 𝑎 𝑦 + 𝐴𝑧 + 𝐵𝑧 𝑎 𝑧

𝐶

𝐷 = 𝐴 -𝐵 = 𝐴𝑥 − 𝐵𝑥 𝑎 𝑥 + 𝐴𝑦 − 𝐵𝑦 𝑎 𝑦 + 𝐴𝑧 − 𝐵𝑧 𝑎 𝑧 𝐷

Álgebra Vetorial

▪ Produto Escalar

x

y

𝐴

𝑎 𝑥

𝑎 𝑦

𝐸 = 𝐴 ∙ 𝐵

z

𝑎 𝑧

𝐵

𝐵𝐴 𝐵⊥

𝐸 = 𝐴𝐵𝐴 = 𝐴𝐵𝑐𝑜𝑠𝜃

𝑆𝑒 𝐴 ⊥ 𝐵 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝐴 ∙ 𝐵 = 0

𝑆𝑒 𝐴 ∥ 𝐵 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝐸 = 𝐴 ∙ 𝐵 = 𝐴𝐵

𝐴 ∙ 𝐵 = 𝐵 ⋅ 𝐴

𝐴 = 𝐴𝑥𝑎 𝑥 + 𝐴𝑦𝑎 𝑦 + 𝐴𝑧𝑎 𝑧

𝐵 = 𝐵𝑥𝑎 𝑥 + 𝐵𝑦𝑎 𝑦 + 𝐵𝑧𝑎 𝑧

𝐴 ∙ 𝐵 + 𝐶 = 𝐴 ∙ 𝐵 + 𝐴 ∙ 𝐶

𝐴 ∙ 𝐵 = 𝐴𝑥𝐵𝑥+𝐴𝑦𝐵𝑦+𝐴𝑦𝐵𝑦

𝜃

Álgebra Vetorial ▪ Produto Vetorial

x

y

𝐴

𝑎 𝑥

𝑎 𝑦

𝑉 = 𝐴 × 𝐵

z

𝑎 𝑧

𝐵

𝐵𝐴 𝐵⊥

𝑉 = 𝐴𝐵⊥ = 𝐴𝐵𝑠𝑒𝑛𝜃

𝑆𝑒 𝐴 ⊥ 𝐵 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝐴 × 𝐵 = 𝐴𝐵

𝑆𝑒 𝐴 ∥ 𝐵 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑉 = 𝐴 × 𝐵 = 0

𝐴 × 𝐵 ≠ 𝐵 × 𝐴

𝐴 × 𝐵 + 𝐶 = 𝐴 × 𝐵 + 𝐴 × 𝐶

𝑉

O sentido do vetor 𝑉 pode ser obtido pela regra da mão direita

𝑎 𝑥 × 𝑎 𝑥 = 0 𝑎 𝑦 × 𝑎 𝑦 = 0 𝑎 𝑧 × 𝑎 𝑧 = 0

𝑎 𝑥 × 𝑎 𝑦 = 1 𝑎 𝑥 × 𝑎 𝑧 = 1 𝑎 𝑦 × 𝑎 𝑧 = 1

𝑎 𝑥 × 𝑎 𝑦 = 𝑎 𝑧 𝑎 𝑦 × 𝑎 𝑧 = 𝑎 𝑥 𝑎 𝑧 × 𝑎 𝑥 = 𝑎 𝑦

𝑎 𝑦 × 𝑎 𝑥 = −𝑎 𝑧 𝑎 𝑧 × 𝑎 𝑦 = −𝑎 𝑥 𝑎 𝑥 × 𝑎 𝑧 = −𝑎 𝑦

𝐴 = 𝐴𝑥𝑎 𝑥 + 𝐴𝑦𝑎 𝑦 + 𝐴𝑧𝑎 𝑧

𝐵 = 𝐵𝑥𝑎 𝑥 + 𝐵𝑦𝑎 𝑦 + 𝐵𝑧𝑎 𝑧

𝑉 = 𝐴 × 𝐵 = 𝐴𝑦𝐵𝑧 − 𝐴𝑧𝐵𝑦 𝑎 𝑥 + 𝐴𝑧𝐵𝑥 − 𝐴𝑥𝐵𝑧 𝑎 𝑦 + 𝐴𝑥𝐵𝑦 − 𝐴𝑦𝐵𝑥 𝑎 𝑧

𝑉 =

𝑎 𝑥 𝑎 𝑦 𝑎 𝑧𝐴𝑥 𝐴𝑦 𝐴𝑧𝐵𝑥 𝐵𝑦 𝐵𝑧

x

y

z

𝑉

𝑊

3

2

−2

1

𝑉 = 3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧

𝑉 = 14𝑟 𝑟 =3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧

14

𝑉 = 13𝜌 + 𝑧 𝜌 =3𝑥 + 2𝑦

13

𝑊 = 3𝑥 − 2𝑦 + 𝑧

𝑊 = 14𝑟 𝑟 =3𝑥 − 2𝑦 + 𝑧

14

𝑊 = 13𝜌 + 𝑧 𝜌 =3𝑥 − 2𝑦

13

𝑟

𝜌

𝜌

𝑟

x

y

z

R

R

z0

𝑧 = 0

𝑟 = 𝑅 𝜃 =𝜋

2

𝜌 = 𝑅 𝑧 = 0

𝑧 = 𝑧0

𝑟 = 𝑅2 + 𝑧02 𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑅

𝑧0

𝜌 = 𝑅 𝑧 = 𝑧0

𝜃

𝑥2 + 𝑦2 = 𝑅2

𝑥2 + 𝑦2 = 𝑅2

Lei de Coulomb

rr

qqkF ˆ

2

21

F

F

k = 8,9 x 10 9 Nm2/C2

x

y

z

r̂

kzjyixr ˆˆˆ

r

r

rr

ˆ

Onde k é a constante (no SI)

Lei de Coulomb

x

y

z

r̂

r

F

F

rr

qqkF ˆ

2

21

k = 8,9 x 10 9 Nm2/C2

kzjyixr ˆˆˆ

r

rr

ˆ

Onde k é a constante (no SI)

Lei de

Coulomb

x

y

z

𝑟 1

𝑟 2

𝑥2 𝑥1

𝑦1

𝑦2

𝑧2

𝑧1

𝑟 21

𝑟 21 𝑟 21 = 𝑟 2 − 𝑟 1

𝑟 1 = 𝑥1𝑥 + 𝑦1𝑦 + 𝑧1𝑧 𝑟 2 = 𝑥2𝑥 + 𝑦2𝑦 + 𝑧2𝑧

= 𝑥2 − 𝑥1 𝑥 + 𝑦2 − 𝑦1 𝑦 + 𝑧2 − 𝑧1 𝑧

𝑟 21 =𝑟 21𝑟 21

=𝑥2 − 𝑥1 𝑥 + 𝑦2 − 𝑦1 𝑦 + 𝑧2 − 𝑧1 𝑧

𝑥2 − 𝑥12 + 𝑦2 − 𝑦1

2 + 𝑧2 − 𝑧12

𝐹 21 =1

4𝜋𝜀0

𝑞1𝑞2𝑟 2 − 𝑟 1 2

𝑟 21

Se temos N cargas interagindo com q2

𝐹 𝑇 = 1

4𝜋𝜀0

𝑞𝑛𝑞2𝑟 2 − 𝑟 𝑛 2

𝑟 2𝑛

𝑁

𝑛=1

𝑟 2𝑛 𝑟 2𝑛

𝑟 𝑛

O campo Elétrico

E

1

q1

Q

EQF

Suponha uma carga q1 colocada num ponto do

espaço.

Esta carga gera em todo o espaço um

campo vetorial, que denominamos de

Campo Elétrico,

de tal forma que, se colocarmos

uma segunda carga Q num outro

ponto,

esta irá

interagir com o

campo elétrico,

de tal forma

que sobre ela

haverá uma

força da forma:

rr

QqkF ˆ

2

1

r̂r

qkEEQr̂

r

qQk=F

2

1

2

1

O campo Elétrico

E

1

q1

Q

EQF

O campo elétrico obedece o princípio de superposição, isto é, se dois

campos elétricos, de duas cargas diferentes, forem aplicados no mesmo

ponto, o campo elétrico total será a soma vetorial dos dois.

rr

qkE ˆ

2

1