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Teoria de Modelagem

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NDICE

Captulo 1 ....................................................................................................................................... 4 Introduo ........................................................................................................................................ 5

1.1 - Objetivo ............................................................................................................................... 6 1.2 - Alguns exemplos de Modelagem Geomtrica ..................................................................... 6

Captulo 2 ....................................................................................................................................... 9 Modelos Wire frame ...................................................................................................................... 10

2.1 - Foco Principal .................................................................................................................... 13 Exerccios ................................................................................................................................... 17

Captulo 3 ...................................................................................................................................... 18 Modelos de superfcie .................................................................................................................... 19

3.1 - Noes de Superfcie ......................................................................................................... 20 3.2 - Malha Triangular ............................................................................................................... 20 3.3 - Malha Regular ................................................................................................................... 23 Exerccios ................................................................................................................................... 27

Captulo 4 ..................................................................................................................................... 30 Curvas de Bezier ............................................................................................................................ 31

4.1 - Interpolao e Aproximao .............................................................................................. 32 4.2 - Concluses ......................................................................................................................... 48

Captulo 5 ..................................................................................................................................... 49 Curvas Splines ............................................................................................................................... 50

5.1 - A Funo B_Spline ............................................................................................................ 50 Captulo 6 ..................................................................................................................................... 54

6.1- Anlise da Curva ................................................................................................................ 55 6.2 - Casos Prticos .................................................................................................................... 55 6.3 - Informaes Complementares. .......................................................................................... 57

Captulo 7 ...................................................................................................................................... 61 Variaes de Curvas ....................................................................................................................... 62

7.1 - Introduo .......................................................................................................................... 62 7.2 - Objetivo ............................................................................................................................. 62 7.3 - Caractersticas .................................................................................................................... 62 7.4 - Nonuniform, Nonrational B_Spline .................................................................................. 63 7.5 - Nonuniform Rational Cubic Polynomial Curve Segment - NURBS................................. 64 7.6 - Outras Classes de Curvas................................................................................................... 66 7.7 - Concluso .......................................................................................................................... 66

Captulo 8 ..................................................................................................................................... 68 Introduo ...................................................................................................................................... 69

8.1 - Sobre o Curso .................................................................................................................... 69 8.2 - Sobre Programas de Modelagem em 3D ........................................................................... 69 8.3 - Exerccio Proposto ............................................................................................................. 70 8.4 - Mercado ............................................................................................................................. 71 8.5 - Futuro ................................................................................................................................. 71 8.6 - APIs de grficos 3D ......................................................................................................... 72

Captulo 9 ..................................................................................................................................... 74 Tipos de modelagem ...................................................................................................................... 75

9.1 - Analtica ............................................................................................................................. 75 9.2 - NURBS .............................................................................................................................. 75 9.3 - Modelagem Poligonal ........................................................................................................ 76 9.4 - Modelamento Slido .......................................................................................................... 79


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Captulo 10 ................................................................................................................................... 82 Malhas Poligonais (Meshes) .......................................................................................................... 83

10.1 - Elementos ........................................................................................................................ 83 10.2 - SDS .................................................................................................................................. 83 10.3 - Algumas das ferramentas de modelagem ........................................................................ 84 10.4 - Mais: Meshes ................................................................................................................... 87 10.5 - Para Saber Mais ............................................................................................................... 87

Captulo 11 ................................................................................................................................... 88 Ento voc quer se tornar um Modelador... ................................................................................... 89

11.1 - Referncias, meu jovem! ................................................................................................. 89 11.3 - Mantenha simples. ........................................................................................................... 94 11.4 - Deixe fluir com harmonia ................................................................................................ 96 11.5 - Posicionamento e Espelhamento ..................................................................................... 97 11.5 - Posicionamento e Espelhamento ..................................................................................... 98 11.6 - Quads so bons. Tris, no. ............................................................................................... 99 11.7 - Muitas divises nas juntas ............................................................................................... 99 11.7 - Muitas divises nas juntas ............................................................................................. 100 11.8 - No seja duro... .............................................................................................................. 100 11.9 - Mais: Observe o mundo ao seu redor. ........................................................................... 101

Captulo 12 .................................................................................................................................. 102 Modelos ........................................................................................................................................ 103

12.1 - O que caracteriza um Modelo? ...................................................................................... 103 12.2 - Modelos Grficos........................................................................................................... 104 12.3 - Modelos de Arame ......................................................................................................... 105 12.4 - Modelos de Superfcies.................................................................................................. 106 12.5 - Modelos de Slidos........................................................................................................ 107 12.6 - Tipos de modeladores de Slidos .................................................................................. 107 12.7 - Tipos de Representaes................................................................................................ 110

Captulo 13 .................................................................................................................................. 122 Resumo ........................................................................................................................................ 123

13.1 - Pr-requisitos ................................................................................................................. 123 13.2 - Introduo ...................................................................................................................... 123 13.3 - Fibras ............................................................................................................................. 124 13.4 - Mtodos ......................................................................................................................... 125 13.5 - Concluso ...................................................................................................................... 128

Captulo 14 .................................................................................................................................. 129 Design de Criaturas ...................................................................................................................... 130

14.1 - No improvise em frente tela ...................................................................................... 130 14.2 - No crie coisas ........................................................................................................... 130 14.3 - Biografia ........................................................................................................................ 131 14.4 - Habitat............................................................................................................................ 132 14.5 - Alimentao ................................................................................................................... 132 14.6 - Posicionamento dos Olhos ............................................................................................. 133 14.7 - Estrutura ssea .............................................................................................................. 133 14.8 - Comprimento do Focinho .............................................................................................. 133 14.9 - Defesas contra Predadores ............................................................................................. 133 14.10 - Locomoo .................................................................................................................. 134 14.11 - Superfcie ..................................................................................................................... 134


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Captulo 1



Introduo O uso de computadores trouxe inmeros benefcios aos engenheiros, arquitetos, para estudiosos de cincias exatas, tais como a fsica, qumica, para a agricultura, projetistas de aeronaves, automveis. Pode-se dizer que todos os ramos da cincia foram agraciados pelo desenvolvimento da computao.

Um dos ramos desta vasta cincia a modelagem geomtrica, que permite aos engenheiros desenvolver seus projetos dentro do computador, sem a necessidade de testar prottipos, da mesma forma que o arquiteto pode ensaiar junto com seus clientes quais as melhores opes de interiores, exteriores e concepo de projeto arquitetnico. Um fsico pode elaborar experimentos, e simul-los no computador, bem como o qumico pode fazer com que uma reao possa ser modelada e acelerada milhes de vezes obtendo assim os resultados do experimento, um milho de vezes mais rpido.

Tambm os projetistas podem desenhar a estrutura de aeronaves, caminhes, carros e qualquer outro elemento ou pea que componham organizaes maiores.

Os processos de modelagem e simulao permitem aos desenvolvedores ganhar tempo e desempenho nas tarefas cotidianas.



1.1 - Objetivo Esta apostila tem como finalidade dar ao aluno uma viso sobre o que modelagem geomtrica, permitindo com que este possa ingressar no mercado de trabalho com um conhecimento prvio sobre o assunto e a partir da sentir-se mais confortvel em desenvolver estudos mais avanados sobre o assunto.

Quando se conhece a base de um assunto, este fica de fcil entendimento, desta forma, abrem-se portas para o aprofundamento quando necessrio seja em aplicao na vida profissional, ou mesmo pessoal.

O conhecimento das tcnicas ir facilitar ao estudante manipular pacotes grficos, obtendo com mais eficincia os resultados.

Naturalmente no se pretende neste curso dar nfase a um ou outro pacote grfico para modelagem geomtrica, visto que isso poderia limitar o objetivo do estudo. A idia que quando se conhece a base da soluo, ela pode ser aplicada ao software j desenvolvido e tambm aqueles a serem desenvolvidos.

1.2 - Alguns exemplos de Modelagem Geomtrica Num rpido passeio pela Internet obtm-se um grande nmero de imagens geradas atravs de modelagem geomtrica. Estas ficam aqui como motivao para prosseguir os estudos.

Figura 1.1 Representao Wire Frame de uma construo oriental. [AUTODESK].



Figura 1.2 Modelo de Crnio atravs de superfcies. [CALTECH].

Figura 1.3 Modelos de slidos. [3DM-MC].



Figura 1.4 Representao superficial do movimento de um fluido gerado pela queda de uma gota sobre o mesmo.

Figura 1.5 Representao da superfcie de um slido, gerado por curvas.



Captulo 2 Modelos Wire Frame (Fio de Arame)



Modelos Wire frame Uma das formas mais simples e tradicionais do traado de objetos atravs de uma linha que delimita o seu interior. O usurio, ou observador, j est familiarizado com este tipo de abordagem, porm vale a pena entender o comportamento do modelo.

Num Modelo de Arame, somente as bordas so representadas, e intuitivamente o observador reconhece o contedo do objeto, imaginando ser este um slido. Um ponto importante a ser tratado sobre a forma de representao de objetos em trs dimenses em um meio de apenas duas dimenses, o que nos obriga a tomar um pouco de cuidado no momento da representao.

Algumas formas de eliminao de superfcies ocultas podero ser revistas na apostila de Fotorrealismo, e certamente saber o que est sendo dito.

Quando se representa um slido ou volume atravs de arestas sua aparncia pode ser igual quela mostrada na Figura 2.1, onde o observador o responsvel em interpretar o objeto.

Este tipo de tratamento uma soluo rpida para se fazer definio do objeto, porm, dificulta a avaliao de seu contedo.

Modelar geometricamente objetos pode comear por esse tipo de representao, mas deve evoluir de modo a facilitar, no s ao sistema computacional a identificar os limites dos objetos, bem como ao usurio visualizar esses mesmos limites.

Nas imagens da Figura 2.1, tem-se dificuldades em visualizar ou compreender o significado correto que se pretende dar a cada um dos objetos.

Com efeitos, o computador poderia saber que entre uma aresta e outra existe um plano que representa um elemento limitante, que no precisa ser apresentado, ento se caso for desejado verificar quando o objeto (a) e (c) da Figura 2.1 se tocam, basta ser verificada a interseco entre um objeto e outro, resultando em alguma coisa como aquela apresentada na Figura 2.2.

Este um ponto muito importante, pois existe uma enorme diferena entre a representao interna do computador e a representao grfica. Para o computador a interseco do exemplo um ponto que tm coordenadas espaciais (x, y, z), isto suficiente para identificar o ponto. Para seres humanos, esse tipo de informao no clara, certamente, qualquer um de ns ter dificuldade em representar o ponto de imediato. Para o observador humano mais fcil visualizar uma soluo e interpretar o resultado, sem ter a necessidade de precisar a posio do ponto, mas para isso ele precisa de referncias que o modelo Wire Frame no capaz de dar por si s. a) b)

c)

Figura 2.1 Modelo de arame para a representao de slidos.



No exemplo da Figura 2.2 as linhas de chamada, ou guias, geradas na face de interseco, ajudam o observador a compreender que o ponto selecionado est contido na face do objeto cubo, contudo, esse tipo de informao totalmente dispensvel para o sistema computacional.

Por outro lado, pode-se analisar a situao de muitas outras formas, todas corretas. A seguir ser delineado um caminho que procura ressaltar as necessidades do observador no sentido de poder identificar com maior rapidez e sem ambigidades o resultado de uma representao grfica.

Figura 2.2 Interseco entre objetos modelados atravs do Modelo de arame

O desenho apresentado na Figura 2.2 pode ser de fcil interpretao para o sistema computacional, mas para o observador humano torna-se difcil entender o que est se passando, devido ao excesso de linhas existentes no traado, o que leva o crebro a ter que interpretar quem est na frente ou atrs do objeto.

Supondo-se ainda que o foco de interesse do observador seja definir e conhecer o ponto de toque entre os objetos, representado pelo crculo azul, cabe ao sistema de visualizao apresentar apenas os elementos fundamentais, eliminando informaes que no sejam importantes.

Para que o estudante possa entender melhor o que est sendo dito, alguns exemplos sero apresentados de modo a ilustrar as afirmaes. Observe a Figura 2.3.

Figura 2.3 Dificuldade em identificar o ponto de interseco. Naturalmente sua observao o levou a ver que uma pequena alterao na representao, a eliminao das linhas paralelas s faces passando pelo ponto de toque, deixa dvidas sobre o que de fato est acontecendo, se os objetos se tocam no ponto azul, se o ponto azul est dentro do cubo, ou mesmo, no pior dos casos, se ele nada representa.

Todo o processo de aprendizado se faz, melhor, quando se avaliam as possibilidades de soluo, seguindo no sentido desse esforo, podem-se adotar as seguintes relaes. Na Figura 2.4, numa tentativa de melhorar a compreenso do observador, podem-se eliminar as linhas que no so visveis no modelo, isso como se sabe, um excelente caminho.



Figura 2.4 Eliminao parcial de elementos no visveis.

Ainda o resultado apresentado na Figura 2.4 no est ideal, uma vez que alguns elementos grficos do cubo podem ser visualizados, quando na realidade no deveriam.

Uma melhor definio apresentada na Figura 2.5, onde a esfera encobre parte do cubo, dando melhor informao de realismo.

Figura 2.5 Refinamento da modelagem.

Por fim, as referncias grficas so muito importantes para que o observador possa compreender com naturalidade o que de fato se pretende representar. Continuando a explorao desse exemplo, o usurio saber com certeza qual o ponto de interseco entre a esfera e o cubo, se ele for capaz de ter outros tipos de referncia, como por exemplo, aquele mostrado na Figura 2.2, onde linhas auxiliares mostram em que ponto do plano, da face do cubo a interseco ocorre. A Figura 2.6 o exemplo desse resultado.

Figura 2.6 Representao de elementos modelados por Arestas, com auxilio grfico de interpretao de posio.

Para que todo esse esforo em obter esse tipo de anlise? Para que serve a modelagem de objetos?



Novamente, seguindo o caminho investigativo, pode-se chegar concluso que um usurio de um sistema de modelagem queira, entre vrias coisas, definir qual o comportamento de um determinado elemento geomtrico frente a uma determinada situao. Imagine que nesses exemplos, simples e quase inocentes, que foram apresentados, esconde-se a idia do usurio em querer conhecer o comportamento de uma determinada superfcie, no caso uma das laterais o cubo em decorrncia a uma coliso com uma esfera. A pergunta prossegue. Isso possvel de ser feito com modeladores geomtricos?

A resposta ser, sim e no.

Pelo lado do sim, pode-se dizer que o modelador uma ferramenta que gera formas que representam algum tipo de objeto, por exemplo, caixas, garrafas, bolas, peas mecnicas, superfcies de estradas, ou qualquer outra coisa. O modelador, ento, atravs de um conjunto de aes matemticas capaz de unir essas expresses e dar ao desenho a forma de um objeto conhecido.

Como o objeto, quase sempre um modelo matemtico, este pode ser ento interpretado por outro tipo de software: os simuladores, que so capazes de testar aquela forma e dar informaes sobre qual a resistncia que tal objeto possui frente a uma determinada presso, qual a deformao que aquele objeto apresenta quando sofre uma determinada coliso, e assim sucessivamente. Nesse caso, o que pode ser dito que o modelador no capaz de simular o comportamento do objeto, mas quando associado a um simulador, ento ele pode fornecer resultados do comportamento do objeto.

2.1 - Foco Principal Como visto no captulo anterior, este tipo de modelagem bastante simples e rpida, permitindo, principalmente agilidade na gerao e manipulao dos objetos.

Este tipo de estrutura muito til quando se pretende fazer ensaios diretamente no computador, que como visto, esse tipo de estrutura facilmente tratado por sistemas eletrnicos.

O modelo wire frame permite que se desenvolvam complexas estruturas sendo muito utilizado em sistemas que atuam de forma vetorial.

Um pequeno parntese pode ser necessrio para que se entenda o que so estruturas vetoriais. Estas so formadas a partir da definio dos vrtices que compem a estrutura, que sero ento unidos atravs de segmentos de retas, ou outras curvas. Para este estudo inicial, ser suposto que a unio desses pontos feita exclusivamente por segmentos de retas. Para facilidade de entendimento a Figura 2.7 apresenta um modelo.

Figura 2.7 Vrtices de um modelo de arame.

Olhando-se para a Figura 2.7, pode-se concluir que nada se entende, uma vez que o que se v um aglomerado de pontos que aparentemente no possuem nenhuma relao. A idia de modelagem nasce exatamente no sentido de criar ordem ao que inicialmente parece o caos.



Como neste instante o objetivo tratar do foco vetorial, pode-se dizer que cada lado que ir compor a representao grfica do modelo, ou mesmo a representao matemtica do mesmo um vetor, que como tal indica um ponto de partida e um ponto de chegada.

Desta forma se forem definidas relaes entre pontos, ento o modelo vetorial estar sendo construdo. O exemplo da Figura 2.8 til no sentido de permitir que se compreenda como criar a estrutura.

Figura 2.8 Representao vetorial de um modelo fio de arame.

Analisando a Figura 2.8, pode-se observar que um ponto est ligado ao outro de forma definida, seguindo algum tipo de seqncia. Como descrever essa seqncia?

Uma maneira de descrever essas ligaes seria:

- O ponto inferior esquerdo liga-se atravs do vetor verde ao ponto inferior direita.

Esta afirmao est correta?

Ela estar correta se for levando em considerao o nosso conhecimento da situao, ou seja, o sistema, seja ele eletrnico ou humano deve saber o que um vetor, ter que reconhecer a cor verde, mas mesmo assim, poderia se ter a seguinte interpretao mostrada na Figura 2.9.

Figura 2.9 Busca de um ponto inferior direito.

O sistema poderia supor que o ponto a direita aquele mais prximo do ponto origem e mais acima, ou ele pode imaginar que o mais abaixo, que aquele apontado pelo vetor paralelo ao eixo x, ou ainda aquele mais direita, que se encontra na metade inferior do desenho, delimitado pela linha pontilhada.

Toda esta dificuldade em se decidir, pode ser muito bem eliminada quando se nomeiam os pontos e cria-se uma estrutura de dados capaz de definir essa organizao.

Na Figura 2.10 mostramos uma forma mais completa para que se possa indicar a seqncia de pontos a ser percorrida, seja para o sistema eletrnico, como para o sistema humano.

Figura 2.10 Identificao dos pontos.

H

G F

E

D C

B A



Com essa ao, torna-se muito mais fcil gerar uma seqncia que define como as arestas sero formadas, alm do que, no caso do cubo, vrios vetores podero ser eliminados. Para se ter um exemplo de como fica mais fcil descrever a forma de manipulao ser feita uma pequena descrio onde no existem ambigidades.

Pode-se dizer que o ponto A liga-se ao ponto B (vetor verde), este por sua vez liga-se ao ponto C (vetores verde e azul), assim como B se liga a C (vetor verde) e C liga-se a D (vetores verde e laranja).

Neste tipo de descrio no h ambigidades, e nota-se que em dois casos, as ligaes de B com C e de D com A aparecem dois vetores que indicam o mesmo tipo de informao, podendo ento ser eliminados, como tambm podem ser eliminados uns dos vetores que ligam os pontos E e F , G e H.

A soluo do problema torna-se bastante simples, e pode-se descrever um slido atravs de uma tabela.

A Tabela 2.1 possui o contedo das informaes, que quando seguidas ir modelar um slido do tipo cubo. Para que a idia possa ser bem fixada, a Tabela 2.1 indica na sua primeira coluna qual o ponto inicial do vetor; na segunda coluna qual o ponto final, na terceira a cor do vetor que se relaciona quela unio. Ser possvel a partir dessa tabela, gerar uma outra eliminando as redundncias.

As clulas da Tabela 2.1 marcadas por *** indicam que a ligao possui pelo menos uma repetio, o que deve ser ento eliminada. Antes de faz-lo, surge uma pergunta. Por que eliminar as redundncias?

So vrios os motivos:

1. A estrutura de dados fica menor, e conseqentemente mais fcil de ser manipulada.

2. Quando se quer alterar uma ligao, no h a necessidade de procurar em toda a lista, basta apenas encontrar a primeira ocorrncia, que esta ser nica. Isto torna o sistema mais confivel.

3. Durante a superposio de traados pode ocorrer que um estrague o outro, dando uma falsa impresso para o observador.

Tabela 2.1 Estrutura de dados do Cubo.

Ponto inicial Ponto Final Cor do Vetor Duplicidade A B B C *** C D D A *** A E E F *** F D D A *** B C *** C G G H *** H B H E E F *** F G G H ***



Tabela 2.2 Estrutura de dados com eliminao de redundncias.

Ponto inicial Ponto Final Cor do Vetor Duplicidade A B C D A E F D D A *** B C *** C G H B H E E F *** F G G H ***

Desta forma, na Tabela 2.2 ser apresentada a estrutura, j com as redundncia eliminadas. A soluo aqui adotada foi de eliminar a primeira ocorrncia da duplicao. Outras formas podero ser encontradas, e poder depender da forma pensamento-raciocnio de cada um.

A partir de um desenho simples, passou-se de 16 linhas de armazenamento para 12, uma reduo de 25%.

Com isso pode-se perceber que o uso racional de dados em uma modelagem pode representar uma grande economia, tanto de massa de dados, quanto de volume de processamento, uma vez que, quanto menor o nmero de dados menor ser o tempo para process-los, da mesma forma que para gerar uma imagem.



Exerccios 1. Dado o objeto modelado em Fio de Arame, apresentado na Figura 2.11, escreva uma estrutura de dados para descrev-lo e aponte os vetores redundantes.

2. Quantas vezes um ponto (vrtice) pode ser considerado inicial de um vetor em um Objeto. Pense e justifique sua resposta.

3. Dada a estrutura de dados, e os pontos da Figura 2.12, modele o objeto.

Estrutura dos Dados

Pontos

Inicial Final

A B

B C

C F

F H

H G

G D

D A

D E

E G

E B

E F

H

G

A

F

E

D

C B

Figura 2.11

A

F E

C

B

D

G H



Captulo 3 Modelos de Superfcie



Modelos de superfcie A gerao de Superfcies apresenta uma importncia muito mais ampla do que um rpido estudo pode nos revelar, ela significa muito mais do que encontrar uma estrutura eficiente para carregar e processar dados.

A gerao do desenho apenas uma das etapas, que culmina na visualizao da superfcie, contudo, diversos aspectos devem ser considerados quando se estudam superfcies, deteco de interseces, edio de superfcies em diferentes nveis de resoluo, modelagem a partir de distribuies de pontos, clipping, renderizao, alm de outros aspectos que neste momento no so relevantes.

Existem alguns tipos de aplicaes que se interessam em definir a casca do objeto, em muitos casos, o interior no importante e no precisa de fato ser definido. Esse tipo de modelagem tem o forte fundamento de que aquilo que se v de um objeto sua superfcie, e, portanto a modelagem fator importante para se reconhecer a aparncia real do objeto.

Os modelos baseados em superfcies, em geral, procuram construir o aspecto externo do objeto, podendo inclusive gerar formas muito variadas. O sonho de qualquer modelador poder a partir de um conjunto de pontos gerar uma superfcie que representa um objeto com forma qualquer.

Neste captulo sero estudados alguns mtodos para a gerao de superfcies, porm, antes de introduzir algum mtodo, importante compreender o que so superfcies.

Na literatura so encontradas vrias formas de representar superfcies. Algumas procuram atender a imposies de serem compactas, e, portanto econmicas no espao de armazenamento; outras procuram ser rpida e assim armazenam dados redundantes, mas que com isso permitem que o algoritmo rode rapidamente. Por razes como esta, ao representar uma superfcie, deve ser feita uma escolha de quais caractersticas priorizar e, seguindo esses pr-requisitos escolher a melhor forma de modelagem.

As mais usadas so superfcies poligonais (polygon mesh surface), superfcies paramtricas, e quadrticas.

Poligonais - So compostas por superfcies planas. Este tipo de abordagem muito usadas para modelar objetos com formas de fcil representao, como caixas, prismas, etc. Quando a superfcie como um todo no plana e para dar a impresso de uma curva, esta representao usa um grande nmero de polgonos, que apesar de se aproximar da representao original, permite que se percebam erros.

Paramtricas As superfcies paramtricas, quando utilizadas no espao so definidas a partir de trs polinmios, um para cada dimenso x, y, e z, variando de acordo com um parmetro comum u. Os coeficientes dos polinmios so selecionados para fazer a curva seguir um determinado caminho. O grau do polinmio pode ser qualquer um, mas o usual utilizar polinmios de 3 grau.

Mesh uma forma de aproximao em que a superfcie aproximada por pequenos retalhos, sejam eles formados por superfcies poligonais ou por superfcies paramtricas. A estrutura simples e procura resolver problemas locais na modelagem de objetos. Este tipo de abordagem permite uma melhor adaptao ao contorno da superfcie real, e como conseqncia, um maior custo computacional de processador e armazenamento.

Quadrticas So aquelas formadas pelas superfcies quadrticas (quadric surface) e definidas por equaes do tipo f(x, y, z) = 0, onde f um polinmio quadrtico. Esta forma muito usada para representao de esferas, elipsides, e cilindros, tronco de parabolides, e toda uma serie de representaes advindas da geometria analtica.



3.1 - Noes de Superfcie Uma superfcie na sua forma mais simples definida por um plano, este pode ser construdo a partir de trs pontos distintos espalhados no espao. Essa uma caracterstica que ser utilizada em muitos processos de modelagem de superfcies, e conseqente modelagem de slidos.

Ainda explorando a idia de planos, pode se descrever uma superfcie a partir da unio de mltiplos planos, dando a esta a aparncia apresentada na Figura 3.1, onde cada um dos intervalos limitados pelas arestas representam um plano.

Figura 3.1 Gerao de superfcie atravs da unio de planos.

Naturalmente quanto mais refinados, ou seja, menores forem os planos, mais a superfcie gerada estar se assemelhando com a forma de um objeto real, cujo envoltrio uma superfcie no plana. O propsito em se usar este tipo de modelagem o de descrever uma superfcie sem ter que tratar todos os seus pontos.

Uma superfcie tambm pode ser descrita atravs de curvas no planas, sendo este um processo mais complexo e custoso computacionalmente.

Na prtica as superfcies so modeladas a partir de um conjunto de pequenos planos, gerando assim, os slidos procurados.

Um exemplo histrico o trabalho de Pierre Bezier, que deu origem ao mtodo que leva seu nome. Esse modelador de superfcie foi concebido em 1960, quando o engenheiro trabalhava na fbrica de automveis da Renault, e o desenvolveu para desenhar a superfcies dos modelos de automveis da empresa.

Neste prximo captulo sero abordados alguns mtodos para a gerao de superfcie.

3.2 - Malha Triangular A obteno de uma superfcie atravs de malha triangular em muitos casos um processo bastante simples. Considere um conjunto de pontos quaisquer unidos trs a trs. Independente da ordenao dos pontos, certamente a unio deles ir gerar faces planares delimitadas por tringulos. Como o estudante pode ver, a tendncia sempre em gerar superfcies planas.

Seja o exemplo da Figura 3.2, onde:

a) apresentado um conjunto de pontos,

b) uma soluo de unio,

c) uma outra forma de unio dos pontos.

Observe que o contorno das triangularizaes feitas em (b) e (c) so iguais, porm a forma de como foi gerada a superfcie diferente, dando inclusive idia espacial diferente.



Nesse sentido, no h o que possa ser definido como qual a forma mais correta de representar as superfcies triangularizada, contudo, convm esclarecer que existem muitos mtodos que utilizam regras para triangularizar as superfcies. Neste estudo no ser dada nfase a nenhum mtodo, mas para mostrar a simplicidade de como a gerao de superfcies pode ocorrer, podem-se definir alguns tipos de regras, que seja por qual motivo for, pode ser adotada.

A seqncia a seguir ser montada lanando mo da mesma grade de pontos e ir mostrar a triangularizao da superfcie em funo de algumas regras.

3.2.1 - Unio com os pontos mais prximos Esta pode ser uma das abordagens adotadas, unir os pontos que estiverem mais prximos. Com isso tem-se a certeza de se estar gerando sempre as menores superfcies planas. A Figura 3.3 um exemplo do resultado da gerao desse tipo de malha.

Figura 3.2 Gerao de grade triangular a partir de unio de pontos sem uma relao pr-definida.

Figura 3.3 Unio dos pontos atravs da menor distncia.

(a

(c

(b



Para descobrir qual a menor distncia entre os pontos, baseia-se na relao euclidiana de distncia que dada pela seguinte expresso:

212

212 )()( yyxxd +=

onde:

d distncia entre os pontos P1 = (x1,y1) e P2 = (x2,y2).

xi abscissa dos pontos.

yi ordenadas dos pontos.

Este tipo de procedimento pode se tornar muito caro em termos de processamento, mas pode ser til em alguns tipos de aplicao, como por exemplo, para a definio de redes de drenagens para acompanhamentos de enchentes.

Para finalizar esta explanao e eliminar as dvidas do leitor que est iniciando em Computao Grfica, vale a pena ressaltar que neste ramo da cincia, muitos dos resultados obtidos no so os ideais, os mtodos so desenvolvidos para atender um caso geral, porm so aprimorados para atender casos particulares, e nesses casos, as solues timas para uns sero ruins para outros.

3.2.2 - Unio com traos mais prximos da vertical. Este um outro tipo de abordagem que pode ser adotada, cuja idia por uma questo de simplicidade, partindo-se de um ponto, procurar uni-lo com aquele que estiver mais prximo a ele com relao a um deslocamento vertical.

Na verdade no h nenhuma razo especial para se utilizar este tipo de abordagem, mas esta explorao um excelente exerccio para que possa se deixar a mente livre para que no futuro se possa adotar outras solues. A Figura 3.4 mostra como pode ser representada essa soluo.

Numa rpida comparao entre as Figuras 3.3 e 3.4, percebe-se que na primeira, muito mais natural perceber a existncia de uma superfcie do que no caso da segunda, contudo, a situao exposta na Figura 3.4 muito bem aceita quando a geometria do sistema bem conhecida, com predominncia de linhas retas. Esta ltima afirmao encontra sustentao no fato de que para encontrar as arestas mais verticais o tamanho das arestas normalmente muito maior que nos demais casos.

Figura 3.4 Recorte de uma superfcie atravs de triangularizao atravs da escolha preferencial de linhas verticais.



3.2.3 - Unio dos pontos usando linhas mais horizontais possveis. Esta uma abordagem muito parecida com a vista anteriormente, que ir buscar a soluo procurando as linhas que unem os pontos que estejam mais prximas das linhas horizontais.

Antes mesmo de ver a soluo, cabe discutir um pouco este modelo. Na maioria das vezes que ele utilizado, deve-se levar em considerao que algumas das superfcies que compem o slido possuem faces paralelas ao plano do usurio, onde a maior dimenso do objeto est na horizontal.

Para que se possam fazer comparaes entre cada uma das abordagens apresentadas, a grade ser a mesma para cada exemplo. A Figura 3.5 a representao com a triangularizao da malha usando sempre que possveis linhas horizontais ou as mais prximas das horizontais.

Figura 3.5 Representao da grade com linhas as mais horizontais possveis.

Nota-se que de aparncia a grade ficou muito mais ntida do que a gerada por linhas verticais, porm, convm frisar que esse fato no significa ser uma forma melhor que a outra, e como j citado isso poder depender de como a superfcie originalmente.

Para verificar o que estamos falando, existem alguns exerccios neste captulo que podero ser aplicados estes conceitos para compar-los.

Muitas outras possibilidades poderiam ser analisadas, tais como iniciar o triangularizao pela parte superior, ou inferior, pela direita ou esquerda, pelo ponto central, alias este pode ser um exerccio interessante, ou atravs de outros mtodos mais bem elaborados, tais como gerar o tringulo com a menor rea, ou gerar tringulos com as reas mais homogneas possveis, enfim, para cada abordagem, h um sentido escondido por trs.

A idia em mostrar esses trs casos particulares, deixar claro ao estudante de que a recuperao de uma informao nem sempre ir corresponder com a imagem real, ela poder dar uma idia, e para se tornar mais prxima do real, muito refinamento deve ser feito.

3.3 - Malha Regular A utilizao de malha regular torna o procedimento de amostragem dos dados das imagens relativamente mais simples, contudo, a preciso da representao, ou fidelidade, torna-se questionvel.

Uma grade regular ou malha regular, definida como sendo o conjunto de pontos distribudos uniformemente sobre um plano. O exemplo da Figura 3.12 mostra uma grade regular distribuda no plano. Observe que a distncia horizontal entre um ponto e outro vizinho de uma mesma linha dado, neste exemplo por h. O mesmo acontece com a distribuio vertical, dada por v.

No necessrio que as distncias h e v sejam as mesmas, isso no interfere no conceito de grade regular.

Esta abordagem pode ser estendida para a representao 3D, o que para tanto basta repetir a grade da Figura 3.12 na profundidade, estando cada uma disposta a uma distncia p uma da outra. A Figura 3.13 apresenta a grade volumtrica. Ela til quando se pretende extrair informaes de objetos volumtricos.



Figura 3.12 Malha Regular Plana.

Figura 3.13 Malha Regular Espacial.

Descrevendo-se o processo de extrao de dados atravs de malha regular, pode-se admitir como exemplo o desenho da Figura 3.6.

Este pode ser sobreposto em uma grade regular, de onde sero extrados os dados amostrados, porm, neste caso, devero estar sempre sobre a interseco entre uma linha vertical e horizontal da malha que chamado de n. A Figura 3.14 apresenta a malha e o objeto a ser digitalizado.

O processo de amostragem deve verificar quais pontos do objeto incidem diretamente nos ns da malha. Como o nmero de coincidncias poder ser pequeno, muitos pontos seriam perdidos, e o modelo original seria perdido. Na Figura 3.15 esto localizados os pontos que coincidem com a malha.

Figura 3.14 Objeto sobreposto malha regular.

v

h

v

h

p



Figura 3.15 Pontos do modelo, extrados sob os ns da malha regular.

Como o resultado da digitalizao muito pobre, a representao final estar totalmente descaracterizada, caso apenas os pontos assinalados sejam unidos. A Figura 3.16 mostra esse resultado. Como pode ser visto a nova representao nem de longe lembra o objeto original.

Uma opo melhor elaborada aproximar a curva aos ns da grade, podendo desta forma amostrar maior nmero de pontos. Esse procedimento ir distorcer o objeto original, mas uma soluo vivel capaz de cobrir maior nmero de pontos.

Figura 3.16- Representao a partir dos pontos amostrados sob a grade regular.

A Figura 3.17 representa a grade de pontos amostrados. Os pontos foram marcados sobre a grade no n mais prximo do traado do objeto original. O resultado do traado mostrado na Figura 3.18, onde cada n unido com outro atravs de um segmento de reta.

Figura 3.17 Coleo de pontos amostrados coincidentes aos ns da grade.

Figura 3.18 Reconstituio do objeto usando segmentos de reta.



O resultado obtido na Figura 3.18 quando comparado ao objeto original sofre uma grande distoro. Uma forma de melhorar a coleta de dados sub dividir a grade, contudo, essa ao ir aumentar o nmero de pontos, aumentando a massa de dados a ser manipulada.

Este ltimo resultado um elemento encorajador para que algumas tcnicas de interpolao sejam aplicadas. No prximo capitulo alguns mtodos sero apresentados e explorados.



Exerccios Dada a grade de pontos, gere atravs de uma malha triangular a superfcie do objeto, levando em considerao o critrio de pontos mais prximos. Observe que os pontos mais externos devem ser unidos independente da distancia, neste exemplo eles fazem parte do contorno do objeto. Para facilitar o entendimento, os pontos externos foram propositalmente pintados em cores diferentes dos internos.

Partindo da mesma grade de pontos, insira outros que achar necessrio, ou mesmo desloque alguns que considere necessrio de modo que a forma apresentada se aproxime de uma garrafa de refrigerante.

Figura 3.19

Figura 3.20



Usando o mesmo modelo dos exerccios anterior, triangularizar a malha, s que desta vez usando o conceito de traos verticais, vistos no item 3.3.2.

Usando o modelo dos exerccios anteriores, gere a malha triangular procurando traar inicialmente as linhas mais prximas da horizontal.

Figura 3.21

Figura 3.22



Dado o objeto e a malha, amostre os pontos coincidentes com as linhas verticais. Em seguida gere o objeto a partir dos pontos amostrados, unindo-os atravs de segmentos de reta. Por fim identifique os elementos perdidos.

Usando a mesma figura do Exerccio 5, amostre apenas os pontos do objeto que coincidem com os ns, una-os atravs de segmentos de retas e veja qual a forma resultante.

Figura 3.23

Figura 3.23A



Captulo 4 Curvas de Bezier



Curvas de Bezier A origem das curvas obtidas atravs de mtodos computacionais deve-se principalmente as indstrias automobilstica, aeronutica e naval.

Como histrico pode-se iniciar pela empresa automobilstica Citrom, que em 1959 adquiriu mquinas de controle numrico para gerar a estrutura de seus modelos. Porm, essas mquinas precisavam conter desenhos das plantas dos automveis para que pudessem operar. Foi nessa poca que Casteljau foi contratado pela empresa para fazer a passagem das plantas 2 D para as mquinas recm adquiridas.

O jovem matemtico Paul de Foget de Casteljau desenvolveu um mtodo que obtinha o traado das curvas a partir de uma coleo de pontos. O mtodo por ele desenvolvido conhecido atualmente por Curvas de Casteljau.

Nessa mesma poca o engenheiro Pierre Bezier foi contratado pela indstria Renault, e tendo conhecimento dos trabalhos que vinham sendo desenvolvidos na concorrente Citrom, desenvolveu um trabalho similar ao de seu colega Casteljau, que deu origem s curvas que hoje levam seu nome Bezier.

Os dois mtodos so muito parecidos, porm, Bezier pode divulgar seu trabalho antes do de seu colega, pois a empresa contratante autorizou a divulgao dos resultados.

Cabe apenas um parntese, uma reflexo sobre as autorias. Atualmente quando se fala em curvas logo se pensa em Bezier, e quase nunca se fala das curvas de Casteljau. Como o aluno pode ver, ganhou mais notoriedade aquele que fez a propaganda em primeiro lugar.

Existem outros tipos de curvas alm de Bezier e Casteljau, e algumas sero discutidas em outros captulos. Uma delas as curvas conhecidas como Splines, que foi desenvolvida pelo engenheiro Ferguson, contratado pela Boeing para auxiliar nas plantas de suas aeronaves. Essa foi contribuio da indstria aeronutica. Neste capitulo ser apresentada curva de Bezier, e a idia de como ela obtida.



4.1 - Interpolao e Aproximao Como visto no captulo anterior, um objeto pode ser amostrado atravs de pontos. Quando as amostras so obtidas exatamente em cima da curva original e quando a partir desses pontos amostrados, a curva gerada passa por eles de modo a se tentar reconstituir o objeto, chama-se a esse processo de interpolao.

4.1.1. Interpolao A Figura 4.1 mostra o que deve ser entendido por interpolao.

Figura 4.1 (a) Curva original; (b) Pontos amostrados sobre a curva; (c) Interpolao dos pontos amostrados atravs de segmentos de retas.

Explorando a Figura 4.1, observa-se em (a) a curva original. Em (b) foram assinalados sobre a curva alguns pontos que sero os elementos a serem armazenados, e que futuramente iro auxiliar na construo da curva original.

Em (c) executa-se a unio dos pontos amostrados atravs de segmentos de retas. A escolha, nesse caso, de utilizar segmentos de reta foi puramente uma questo de simplicidade. Este tipo de escolha induz a um traado mais grosseiro, o que conduz a ser observado que o trao final difere em alguns detalhes do original.

Duas observaes precisam ser feitas neste instante:

1. Quando os pontos amostrados esto localizados sobre a curva original, e o traado de reconstruo tambm passa pelos pontos amostrados, tem-se uma interpolao.

2. Dependendo do tipo de curva (reta, arco de circunferncia, arco de parbola, ou qualquer outro tipo de curva) que se utilize para unir dois pontos amostrados, pode se ter uma melhor representao do traado. Este um ponto em que nunca se sabe de antemo qual o tipo de curva que melhor se adapta a um traado, mesmo porque, se o usurio soubesse qual o tipo de curva ele deseja traar, ele no a encontraria atravs de interpolao, ele j a possuiria.

Seja o exemplo da Figura 4.2, onde a curva gerada a partir de diversos segmentos de curvas bem conhecidas.

(a)

(b)



Figura 4.2 Curva gerada pela unio de funes diferentes.

No intervalo I da Figura 4.2, quando os pontos so unidos com um arco de circunferncia, a curva interpola perfeitamente o traado original, o mesmo acontece com o intervalo II em que o arco de parbola o descreve perfeitamente coincidindo com o original. Os intervalos III e IV so definidos por polinmios de graus diferentes, o que comea a tornar a aproximao um pouco mais incerta.

No caso de um segmento de curva ser descrito originalmente por um polinmio, por exemplo, do quinto grau, e caso ele seja aproximado por um polinmio de grau menor, podem ocorrer diferenas sutis entre o traado original e o interpolado. Considere o caso da curva do intervalo IV, sabe-se que ela de grau cinco, caso os pontos sejam amostrados e o usurio decida interpol-los por um polinmio de grau trs, ele poder obter um traado muito prximo ao original, porm algumas diferenas podero aparecer. A Figura 4.3 apresenta de maneira um pouco forada o resultado que pode ser obtido.

Figura 4.3 Diferena entre a curva original (Polinmio de quinto grau) e a curva interpolada (Polinmio de

terceiro grau).

Ento, verifica-se que para se interpolar uma curva com exatido necessrio ter conhecimento da curva original, ou interpol-la atravs de um polinmio de grau igual ou superior ao da curva original. Nem sempre conhecido a curva original, ou o grau do polinmio interpolador, o que faz com que o resultado final obtido pela interpolao sempre possa apresentar perdas.

Contudo, importante lembrar que o resultado de recuperao de informaes atravs de amostragem quase sempre ir resultar em perdas de informaes, estas sero mais acentuadas quanto piores forem os mtodos de amostragem e reconstituio. Ento, deve-se ter em mente que muito importante que se as amostras so de boa qualidade, pode-se esperar que o resultado seja tambm de boa qualidade, as perdas de informaes, quase sempre iro ocorrer, mas os mtodos so desenvolvidos de modo que estas sejam a menor possvel.

4.1.2. Aproximao Diferente da interpolao os mtodos de aproximao quando geram as curvas no tem a obrigatoriedade em passar pelos pontos amostrados, as curvas devem se adaptar ao modelo de forma a dar a soluo mais adequada possvel.

Curva Original

Curva Aproximada

Circunferncia

Parbola

Polinmio do terceiro Grau Polinmio do

quinto Grau

I II III IV



Seja o exemplo da Figura 4.4, onde um conjunto de pontos foi obtido atravs de um experimento de um fenmeno fsico, seja a velocidade de um automvel em relao ao tempo, ou a quantidade de chuva que precipitou numa certa regio durante um certo perodo, ou qualquer coisa que possa induzir a um comportamento retilneo. Embora os pontos no estejam alinhados, esse conjunto pode dar origem a um segmento de reta.

Figura 4.4 Pontos amostrados de um experimento fsico.

Ao se tentar unir os pontos da Figura 4.4 atravs de uma linha reta, facilmente se observa que isso impossvel, pois os pontos no esto alinhados. Se voc tentar unir os pontos atravs de retas, ver que se podem obter dois segmentos retos, um superior e outro inferior, porm, como o resultado esperado uma linha reta, pode-se obter uma mdia entre os pontos, ou entre as retas que voc obteve, e encontrar um segmento de reta como a mostrada na Figura 4.5. Observe que o traado obtido no passa por nenhum dos pontos amostrados, e isso no constitui nenhum problema, e to pouco um erro, perfeitamente normal em alguns tipos prticos de aplicao.

No se preocupe com a aplicao, procure entender o conceito, certamente, voc encontrar na sua vida prtica algumas aplicaes para esse tipo de procedimento, alm daqueles citados no incio desta explanao.

Figura 4.5 Obteno de uma reta a partir de pontos amostrados, no colineares.

A este tipo de soluo d-se o nome de Aproximao, que pode ser interpretada da seguinte maneira:

Numa aproximao a curva resultante no precisa passar por nenhum dos pontos amostrados, ela deve ser apenas fiel ao traado original esperado (no exemplo uma reta).

Como interpretar uma aproximao?

Retornando Figura 4.5 e a reproduzindo como Figura 4.6, observa-se algumas pequenas setas de cor alaranjada. Imagine que estas sejam pequenas molas ou elsticos fixos nos pontos amostrados, ao mesmo tempo em que tambm so fixadas na reta. Qual idia de imediato vem mente quando se fala em elstico? Pensa-se em um elemento de atrao, da mesma forma uma mola, quando esta esticada.

Assim, esses elsticos imaginrios estaro atraindo a reta, o conjunto que tiver mais fora faz com que a reta se aproxime mais. No caso de um elstico, quanto menos esticado ele estiver (mais prximo da reta) menos fora ele ter, at que o sistema encontre um equilbrio.

Figura 4.6 Interpretao do mtodo de aproximao.

1

6 3

5

2

4



Atravs de uma seqncia de figuras a idia de aproximao ser apresentada.

Sejam os pontos 1 e 2 da Figura 4.6, pode-se dizer no sentido figurado que o ponto 1 atrai a reta para si, usando a idia do elstico, bem como o ponto 2 faz o mesmo, usando a mesma idia. Se existirem apenas os dois pontos 1 e 2 o resultado da aproximao ser aquele mostrado na Figura 4.7, ou seja os dois pontos conseguem atrair para si a reta, sem que tenham que dividir forar com mais ningum. Naturalmente voc deve estar achando que usar dois pontos um caso ideal, pois assim pode no haver conflito, mas pode tambm em algumas ocasies haver distoro da realidade.Veja a Figura 4.7.

Figura 4.7 Aproximao por um segmento de reta entre dois pontos.

O segmento obtido na Figura 4.7 bem diferente daquele observado na Figura 4.6. no que diz respeito a sua inclinao em relao aos eixos coordenados. Por que isso aconteceu?

O fato que com apenas dois pontos, o ponto 1 atraiu a reta para ele e como no h resistncia de nenhum outro ponto, ele acaba conseguindo fazer com que a reta passe sobre ele. O mesmo acontece com o ponto 2, que por no encontrar nenhum ponto resistente acaba conseguindo fazer com que a reta tambm passe sobre ele. Ainda, da geometria analtica Euclidiana, sabe-se que por dois pontos sempre possvel traar uma reta, e como esta sendo procurada uma reta, e tem-se apenas dois pontos, logo a reta foi encontrada.

Nesse caso, especial da Figura 4.7 a aproximao acabou resultando em uma interpolao.

Buscando aprimorar a soluo, quando so considerados os pontos 1, 2 e 3, a situao torna-se um pouco diferente, pois enquanto os pontos 1 e 3 puxam a reta para cima, o ponto 2 a puxa para baixo. Aqui seria o mesmo que dizer, existem dois elsticos puxando a reta para cima e apenas um para baixo. Ento, na Figura 4.8 so apresentados trs segmentos de reta; o em azul o resultado desta discusso; o cinza a reta media obtida na Figura 4.6; a pontilhada vermelha representa o segmento de reta obtido na situao da Figura 4.7.

Figura 4.8 Uma reta sendo obtida por trs pontos no colineares.

Observe que nesse caso a reta esta mais prxima dos pontos 1 e 3 do que do ponto 2. Isto sugere que o traado tender a se aproximar da posio que possuir mais pontos.

Em uma interpretao figurada, pode-se dizer que cada ponto puxa a reta com a mesma fora como a reta est sendo puxada para cima por dois pontos, ento esta tender a se aproximar desses. A essa fora dos pontos, d o nome de peso.

A ttulo de ilustrao, observa-se atravs da Figura 4.9 o que acontece com a reta quando o nmero de pontos varia, em apenas uma das direes.

1

3

2

Reta original

Reta nova

Reta do exemplo anterior

1 2



Figura 4.9 Ensaio com vrios pontos em uma das direes.

Como pode ser observado atravs da Figura 4.9(a) o ponto inicial da reta (inferior esquerdo) se afastou um pouco da posio onde se encontrava na Figura 4.8 e tornou-se um pouco mais inclinada. Esse efeito de afastamento e inclinao verificado para as Figura 4.9 (b), (c) e (d).

Para compreender porque isso acontece vale a pena avaliar o seguinte:

- Quanto mais pontos existem em um dos lados da reta, mais esta se sentir trada pelos pontos e conseqentemente mais ela tendera em direo a eles. Porm, quando existem pontos do lado oposto, estes procuraro atrair a reta da mesma forma. Ento, observe a regio I da Figura 4.9 (d), ali se tem apenas um ponto abaixo da reta que a puxa para baixo, e alguns pontos acima, que a puxa mais fortemente para essa direo, mas como na regio II no existem pontos abaixo da reta, ela tender a se aproximar dos pontos. Essa composio faz com que a cada ponto que se acrescente, nesse caso, no lado de superior da reta, esta passe a se afastar mais do ponto inferior (maior atrao pelos pontos superiores) e ao mesmo tempo se incline mais em direo aos pontos superiores, (devido a falta de pontos na parte inferior da regio II).

Para concluir o exemplo retorna-se ao conjunto de pontos da Figura 4.6, onde sero agora mostrados apenas os pontos 1, 2, 3 e 4. A Figura 4.10 representa essa soluo.

Figura 4.9 Reta mdia em quatro pontos.

(a) (b)

(c) (d)

I II

1

3

2

4



No exemplo da Figura 4.10 nota-se que a reta reduziu sua inclinao, com relao a aquela obtida na Figura 4.8, e ainda a posio do ponto inicial tambm se encontra mais abaixo.

Isto se deve ao fato de que agora existem dois pontos puxando para cima e dois para baixo, o que far com que neste exemplo em particular a reta seja uma mdia entre os pontos, tal como no caso inicial.

Deve-se salientar que neste exemplo est sendo suposto que os pesos so iguais para cada ponto, ou seja, a fora com que eles puxam a reta sempre a mesma. Na prtica, essa fora ir depender de fatores como de distncia do ponto e a reta, mas isso ser deixado para um estudo futuro.

Contudo, seguindo esta idia e se utilizando pesos para cada ponto, Bezier desenvolveu o seu mtodo, onde uma curva obtida a partir de pontos de controle, ou seja, dependendo da posio do ponto, a curva pode ter uma caracterstica diferente, ou sofrer uma deformao de modo a se adequar ao traado desejado.

Ento, partindo-se de quatro pontos, possvel encontrar uma curva de terceiro grau que os interpole.

Neste estudo no se entrar na questo o porqu das Curvas de Bezier terem aproximaes de polinmios de terceiro grau. Neste momento, pede-se ao estudante que aceite essa questo e caso tenha interesse no futuro, estude profundamente o mtodo.

Retornando-se a necessidade de se unir os pontos, a idia em se usar curvas suaves torna-se importante, pois, para o desenho de grande nmero de superfcies espera-se que estas no sejam pontudas. A essa caracterstica pontuda de uma curva, d o nome de ponto anguloso.

Se for pensado na origem das curvas de Bezier, pode-se imaginar que os veculos da dcada de 50 eram todos bastante arredondados, o que exigia que o modelo utilizado pudesse gerar curvas suaves. A Figura 4.11 mostra alguns exemplos do que chamado de ponto anguloso.

Figura 4.11 Exemplo de ponto anguloso.

De forma a evitar essa ocorrncia, se o nmero de pontos amostrados for n, a interpolao desses pontos pode ocorrer com um polinmio de no mximo grau n-1.

Sem explorar muito o processo matemtico, sabe-se que trabalhar com polinmios de grau elevado produz um grande esforo computacional, visto o grande nmero de operaes matemticas a serem realizadas, por isso, consenso em computao evitar o uso de funes polinomiais de graus elevados, a fim de tornar o procedimento mais rpido.

relevante ressaltar que para um conjunto de n pontos, possvel gerar um polinmio de grau n-1, porm se apenas um dos pontos for alterado, o conjunto, em cardinalidade, permanece o mesmo, porm, o polinmio ser outro, embora tenha um traado similar ao do outro conjunto de pontos. Assim, quando um nico ponto tiver que ser mudado, todo o polinmio ser descartado e um novo deve ser calculado.

Na Figura 4.12 mostrado um exemplo onde pela ocasio da mudanas de posio de um ponto, a curva foi pouco alterada, mas todo o polinmio teve que ser re-gerado. A regio em destaque na Figura 4.12 indica o traado que o deslocamento de um dos pontos ocasionou na curva como um todo. Pode ser visto que fora da regio em destaque no houve praticamente nenhuma alterao.

Atravs do exemplo da Figura 4.12 pode-se ver que em muitas vezes se deseja alterar apenas uma pequena regio e isto obriga o modelo encontrar um novo polinmio e recalcular toda a funo.

Ponto Anguloso



As curvas de Bezier procuram de uma certa forma eliminar esse tipo de ocorrncia, lanando mo da segmentao da curva. A idia simples. Para cada quatro pontos consecutivos amostrados, encontrado um polinmio de terceiro grau que se adapte aqueles pontos, porm a idia que a curva no passe pelos pontos, mas sim que estes possam auxiliar na forma do traado.

Sem usar nenhum rigor matemtico, quando so indicados quatro pontos, o primeiro e o quarto so elementos de amarrao, o que significa dizer que, a curva obtida ir passar por eles, observe a Figura 4.13, onde o exemplo mostra que dados quatro pontos, pode-se definir diversas curvas.

Figura 4.12 Alterao de posio de um ponto.

Figura 4.13 Pontos de fixao de curva.

O critrio de traado ir depender exclusivamente de como definir a forma de determinar a curva. Desta afirmao cabe um parnteses, ou seja, essa forma de definir o critrio que ir gerar um tipo de curva. O que se pretende dizer que se o critrio for um, tem-se uma curva de Bezier, se o critrio for outro, tem-se uma Spline, se for outro ainda ser uma B-Spline, e se mais outro, uma NURBS e assim pode-se definir diversos mtodos, cada um com caractersticas diferentes e conseqentemente, nomes diferentes.

Para as curvas de Bezier, alvo do presente estudo, define-se entre que o 1 e 4 pontos so elementos da curva e os pontos 2 e 3 so pontos de Controle que iro influenciar a forma da curva, sem que este passe necessariamente por eles. Estes so os pontos atratores, bem explorados nos exemplos das figuras 4.7 a 4.10.

A utilizao dos pontos amostrados feita a partir de funes de Bases, tambm conhecida como Blending Functions, algumas vezes tambm citadas com funes de Bernstein, que indica de maneira nica como a posio dos pontos ir influenciar a forma da curva.

Mais uma vez, faz-se um parntese para informar que, alterando a funo de Base, altera-se a forma da curva, e conseqentemente o nome que essa curva recebe. Como pode ser percebido, aprendendo-se a traar um tipo de curva, entende-se como os demais tipos so obtidos.

Curva de Grau 8

Curva de Grau 8 Modificada

Sobreposio das curvas e destaque da

diferena

1o

2o 3o

4o



Com isso, este Captulo ser bem mais detalhado que os demais que fazem o tratamento de Spline e NURBS, pois est sendo apresentada pela primeira vez e a idia bsica dele sustentar os demais mtodos.

O segundo passo nas definies impor que a curva obtida seja tangente nos pontos de fixao, e o que significa uma tangente?

Para quem j estudou trigonometria, sabe que a tangente uma reta que toca o crculo trigonomtrico apenas uma vez, ou seja em um nico ponto, ver Figura 4.14, onde t1 reta tangente da circunferncia no ponto P1 e t2 a reta tangente da mesma circunferncia no ponto P2.

Figura 4.14 Representao grfica da tangente.

A idia da tangente pode ir alm do crculo trigonomtrico e ser aplicada a qualquer tipo de curva, a Figura 4.15 mostra um conjunto de exemplos, onde uma curva qualquer, uma parbola e uma elipse so apresentadas, e as tangentes tocam a superfcie em apenas um ponto.

Figura 4.15 Tangentes em curvas diversas.

Ento a segunda regra que a curva deva ser tangente no 1 e 4 pontos, e estes podem ser obtidos da seguinte maneira: retomando-se o conjunto de pontos da Figura 4.13, une-se o 1 ponto ao 2 ponto atravs de um segmento de reta, da mesma forma que se une o 4 ponto ao 3. Com isso, a reta tangente nos pontos fica definida, de forma fcil e simples.

A Figura 4.16 apresenta de forma grfica a estrutura de construo das tangentes nos 1 e 4 pontos, gerando as tangentes t1 e t2, respectivamente.

Figura 4.16 - Tangentes aos pontos 1 e 4.

t1

p1

t2

p2

1o

2o 3o

4o

t2 t1



Com isso em mente sabe-se que a curva a ser obtida deve estar contida dentro do intervalo limitado pelas duas tangentes t1 e t2, alm disso, define-se um outro limite: o segmento da reta gerado pela unio entre o 2 e 3 pontos. A Figura 4.17 apresenta a regio de limitao.

Figura 4.17 Regio onde a curva deve estar contida.

possvel que o aluno esteja se perguntando: por que a curva no pode ultrapassar os limites definidos pelas tangentes?

A resposta simples. Quando se definiu que deveriam ser encontradas tangentes, nos pontos inicial e final, para se obter a curva, gerou-se um critrio, e caso a curva v para o outro lado da tangente, esta ltima deixa de ser uma tangente (o critrio definido imps que deveria ser uma tangente) e passa a ser uma secante, furando o critrio inicial.

A seguir apresenta-se uma pequena definio de secante, apenas a ttulo de relembrar os leitores sobre o assunto.

SECANTE

Define-se com Secante, a reta que toca a curva em dois pontos. Como no exemplo da Figura 4.14 e 4.15 foram mostradas tangentes de circunferncia e curva quaisquer, a Figura 4.18 apresenta algumas secantes dos mesmos traados.

Figura 4.18 Exemplos de Secantes

Dadas as condies de contorno, que so as condies iniciais para se definir a curva, ou melhor as limitaes que esta deve ter, qual seja, conhece-se qual a regio que a curva deve pertencer, esta dada pela Figura 4.17, sabe-se tambm, que a curva deve ser tangente aos pontos P0 e P3. Com essas condies em mente, e retornando-se a Figura 4.13 pode-se concluir que as duas curvas mais superiores devem ser descartadas por no pertencerem a regio definida pelo plano apresentado na Figura 4.17.

A terceira regra especifica a curva de Bezier, a definio das funes de base.

1o

2o 3o

4o



A forma de obt-las possui um certo rigor matemtico, que ser ignorado. A Figura 4.19 apresenta a forma geomtrica das funes, e atravs delas so definidas as posies por onde os pontos do traado devem percorrer para gerar a curva. Cada uma das funes de base representam um peso, que define a influncia do ponto dentro do intervalo.

Figura 4.19 Representao geomtrica das funes de base.

4.1.3 - Funes de Base. As funes de base so polinmios, neste caso de grau 3, definidas dentro de um intervalo que varia entre zero e um ([0,1]). Elas so em nmero de quatro, como mostrada na Figura 4.19, e indicam qual a influncia que cada um dos quatro pontos amostrados tem na curva como um todo. Observe que a curva B0 est associada ao ponto P0, ento, ela influncia mais o traado da curva, quando este estiver mais prximo a esse ponto, e conseqentemente menos a medida que a curva se afasta do ponto. Assim deve ser pensado para os demais pontos, que quando a curva associada a ele estiver mais prxima ao ponto maior ser a influencia dela na curva como um todo.

A seguir so apresentadas as equaes das Funes de Base, onde ser procurado esclarecer o leitor sobre como elas atuam isoladamente e no conjunto. Pede-se desculpas ao estudante mais avanado caso esta explanao se torne repetitiva, mas a inteno introduzir o assunto para o aluno ainda principiante. Como esclarecimento adicional, o ndice encontrado em cada funo, exemplo B0,3, tem o seguinte significado: O ndice 0, indica que a funo B a correspondente ao ponto P0. J o ndice 3, indica que se esta usando um polinmio de grau trs. Para este estudo, o grau do polinmio sempre ser de grau trs, pelas justificativas j apresentadas.

A primeira Funo de Base definida como:

33,0 )1()( =B

Ela pode ser interpretada da seguinte forma:

- Esta funo aplicada ao 1 ponto de amostragem, o ponto P0.

- Quando = 0 deve ser entendido que a curva est em cima do primeiro ponto e, portanto a influncia desse ponto mxima. Se for substitudo na expresso (1) o valor de por zero, obtm-se que:

1)01()0(3

3,0 ==B , ou seja, peso mximo, o que significa que a curva nessa posio fortemente afetada pelo ponto, afirmao essa esperada, pois pela primeira regra, a curva deve passar pelo 1 ponto.

- Por outro lado, explorando o outro extremo do intervalo, quando =1, v-se que a influncia do primeiro ponto na curva quando este passa pelo 4 ponto nula, como pode ser visto atravs do resultado da expresso mostrada a seguir.



00)11()1( 333,0 ===B , o que equivale dizer que o primeiro ponto no interfere no traado da curva quando esta passa pelo 4 ponto.

Retornando Figura 4.19, v-se que a funo B0 de cor vermelha, possui mxima influncia no incio do intervalo, decaindo conforme se aproxima do final do intervalo.

A segunda Funo de Base definida como:

23,1 )1(3)( =B

Da forma como foi escrita, pretende-se que ela faa com que o segundo ponto tenha maior atuao entre o incio da curva (1 ponto e 2 ponto).

Utilizando o mesmo critrio de avaliao para os extremos do intervalo, passa-se a substituir o valor de , para o incio (=0) e no final (=1).

Para = 0

010)01(03)0( 23,1 ===B o segundo ponto no influncia a curva no ponto inicial.

Para = 1

003)11(13)1( 223,1 ===B o segundo ponto no influncia a curva no ponto final.

A curva B1 (verde) da Figura 4.19 mostra a forma dessa funo.

A terceira Funo de Base tem a finalidade de relacionar a influncia do 3 ponto no traado da curva em geral. A funo dada por:

)1(3)( 23,2 =B Essa expresso muito similar a anterior, porm, pode ser visto que a maior influncia dessa funo se d no intervalo entre o 3 e 4 pontos.

Analisando-se exclusivamente os extremos do intervalo, v-se que o terceiro ponto no influencia a curva no 1 ponto e no 4 ponto.

Onde:

= 0

0103)01(03)0( 23,2 ===B

= 1

003)11(13)1( 23,2 ===B

Na Figura 4.19, a curva B2 (azul) que representa o traado da funo.

Por fim, a quarta Funo de Base dada pelo polinmio:

33,3 )( =B

Este atua diretamente no 4 ponto, mostrando sua influncia para a gerao da curva dentro do intervalo.

Olhando para os extremos do intervalo quando em um caso = 0 tem-se que:



B3,3(0) = 03 = 0

O que j era esperado, indicando que a influncia do 4 ponto no 1 ponto nula. J quando = 1 tem-se:

B3,3(1) = 13 = 1, ou seja no prprio ponto a influncia mxima.

Olhando-se para a Figura 4.19, v-se que a Curva B3 (Magenta) representa essa funo mostrando que a influncia do 4 ponto nula no 1 ponto e cresce a medida em que o parmetro se aproxima do 4 ponto.

Uma vez feita anlise das Funes de Base, tem-se que as curvas geradas pelos quatro pontos so dadas obedecendo a seguinte equao:

)()()()()( 3,333,223,113,00 BPBPBPBPQ +++= A expresso Q() desta forma obtida define a curva de Bezier dados os pontos P0, P1, P2, P3, e dependendo do refinamento que se de para o parmetro , a curva pode ter um traado mais suave, ou no.

Um exemplo prtico mostrado a seguir.

Sejam os pontos:

P0 = (3,3)

P1 = (5,7)

P2 = (8,5)

P3 = (10,2)

Determinar a curva de Bezier em que o intervalo est dividido da seguinte maneira:

Tabela 4.1 - Intervalos de ocorrncia do parmetro .

A Figura 4.20 mostra a distribuio dos pontos P0, P1, P2 e P3.

Figura 4.20 Distribuio dos pontos no plano.

A primeira tarefa calcular as funes B0,3(), B1,3(), B2,3(), B3,3() para cada um dos valores de indicado na Tabela 4.1. O resultado desse clculo mostrado na Tabela 4.2:

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

3 5 8 10 x

2

3

5

7

y

P0

P1

P2

P3



0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

B0 1 0,729 0,512 0,343 0,216 0,125 0,064 0,027 0,008 0,001 0

B1 0 0,243 0,384 0,441 0,432 0,375 0,288 0,189 0,096 0,027 0

B2 0 0,027 0,096 0,189 0,288 0,375 0,432 0,441 0,384 0,243 0

B3 0 0,001 0,008 0,027 0,064 0,125 0,216 0,343 0,512 0,729 1

Tabela 4.2 Clculo das Funes de Base para os valores de .

A segunda tarefa encontrar os valores da funo Q(), contudo, a funo para este estudo bidimensional, o que implica fazer um clculo utilizando as funes de base para os eixos x e y.

Para a gerao dos resultados utiliza-se a equao final da seguinte forma:

- Da Tabela 4.2 seleciona-se os valores de uma dada coluna, que correspondem aos Bis da Funo de Base.

- Como cada Bi est associado a um ponto Pi, procedem-se o produto de Bi com o respectivo Pi.

- Como Pi um ponto que est no plano, ele composto por um par ordenado do tipo Pi = (x, y).

- A funo Q() ser esto desmembrada em duas partes uma Qx(), e Qy().

Como exemplo, na Figura 4.21 mostrado o calculo da funo para quando o valor de igual a 0,1, para a ordenada x .

Figura 4.21 Clculo do valor de x para quando = 0,1

A Tabela 4.3 apresenta a sntese do clculo desses dados:

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

Qx() 3 3,628 4,304 5,016 5,752 6,5 7,248 7,984 8,696 9,372 10

Qx(0,1) = 3*0,729 + 5*0,243 + 8*0,027 + 10*0,01 = 3

Valor de x do primeiro ponto

B0

B3

Valor de x do quarto ponto

B2

B1 Valor de x do segundo ponto

Valor de x do terceiro ponto



Tabela 4.3 Clculo dos valores de Qx.

A Figura 4.22 mostra o exemplo para = 0,1 porm para a ordenada y:

Figura 4.22 - Clculo do valor de y para quando = 0,1.

A Tabela 4.4 dispem os valores obtidos a partir dos clculos descritos na Figura 4.22:

Tabela 4.4 - Clculo dos valores de Qy

Com os resultados obtidos nas tabelas 4.3 e 4.4 obtm-se o grfico da curva para os intervalos inicialmente propostos, que mostrado na Figura 4.23.

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

Qy() 3 4,025 4,72 5,115 5,24 5,125 4,8 4,295 3,64 2,865 2

Qy(0,1) = 3*0,729 + 7*0,243 + 5*0,027 + 2*0,01 = 3

Valor de y do primeiro ponto

B0

B3

Valor de y do quarto ponto

B2

B1 Valor de y do segundo ponto

Valor de y do terceiro ponto



0

1

2

3

4

5

6

7

8

0 2 4 6 8 10 12

Figura 4.23 Grfico da funo de Bezier para o intervalo de pontos (3,3), (5,7), (8,5) e (10,2).

Considere um segundo exemplo prtico, em que se pretende mostrar como o mtodo nico e que a suavidade ou at mesmo a granularidade depende do passo que se d ao parmetro , estes dados numa primeira fase com passo de 0,2, e numa segunda fase com passo de 0,1. O exerccio constituir em construir as funes Qx() e Qy() e traar seus grficos. Os pontos de controle da curva de Bezier so dados como se segue:

P0 = (2,8)

P1 = (4,2)

P2 = (7,5)

P3 = (10,7)

Soluo:

O primeiro passo calcular os valores das funes de Base. Esta uma etapa simples e repetitiva, o que neste exemplo ser aproveitada parte dos clculos feitos para a construo da Tabela 4.2, conforme mostra a Tabela 4.5.

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

B0 1 0,512 0,216 0,064 0,008 0

B1 0 0,384 0,432 0,288 0,096 0

B2 0 0,096 0,288 0,432 0,384 0

B3 0 0,008 0,064 0,216 0,512 1

Tabela 4.5 Valores calculados para as Funes de Base.



Ento, calculando-se os valores de Qx() e Qy(), obtm-se as tabelas 4.6 e 4.7

- Clculo de Qx():

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

Qx() 2 3,312 4,816 6,464 8,208 10

Tabela 4.6 Clculo de Qx()

- Clculo de Qy():

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

Qy() 8 5,4 4,48 4,76 5,76 7

Tabela 4.7 Clculo de Qy()

- Grfico da Funo Qx,y():

Figura 4.24 Grfico com passo de = 0,2.

A soluo para , variando com passo de 0,1 a que se segue, observe a diferena no traado do grfico da Figura 4.24 e 4.25. Pode-se notar que o grfico da Figura 4.25 possui uma forma mais curva, isto se deve ao fato da quantidade de pontos no segundo caso ser maior que a do primeiro, tornando uma aproximao melhor adequada.

teoria de modelagem

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