teoria de elementos de pá · determinado motor e para um determinado peso ... flecha, zona junta...

Teoria de elementos de páTeoria de elementos de pá

• A teoria do momento linear é um método simples• A teoria do momento linear é um método simplese rápido para estimar a potência.

• Este método é suficiente para projectar o tamanho• Este método é suficiente para projectar o tamanhodo rotor (i.e. seleccionar a sua área) para umdeterminado motor e para um determinado pesodeterminado motor e para um determinado pesodo Helicóptero

• Este método não serve para projectar o rotor.• Este método não serve para projectar o rotor.

Helicópteros / Filipe Szolnoky Cunha Slide 1Teoria de elementos de pá


• A teoria do momento linear não entra em conta • A teoria do momento linear não entra em conta com:– Número de pás– Número de pás

– Características do perfil (sustentação, resistência, incidência)incidência)

– Forma da pá (Afilamento, flecha, zona junta à raiz)

– Distribuição da torção– Distribuição da torção

– Efeitos de compressibilidade



• A teoria de elementos de pá, TEP, (Blade ElementTheory, BET) foi proposta por Drzwiecki em 1892 para aanálise de hélices de avião.

• TEP assume que cada secção da pá actua como um perfil• TEP assume que cada secção da pá actua como um perfilbidimensional.

• A pá é dividida em secções independentes (que não• A pá é dividida em secções independentes (que nãointeragem entre si) onde todos os cálculos são feitosutilizando a aerodinâmica bidimensional.utilizando a aerodinâmica bidimensional.

• A integração ao longo da pá permite calcular a propulsãototal e a potência total.


total e a potência total.

Modelo TEPModelo TEP



• Velocidade no plano UT=Ωy

• Velocidade perpendicular ao plano UP=VC+vi


• Velocidade perpendicular ao plano UP=VC+vi

• Velocidade total 22PT UUU +=


• O ângulo relativo será:

• O ângulo relativo será:

= −

T

P

U

U1tanφ

• Se o elemento da pá tem um ângulo de picada θ, o ângulo de ataque efectivo é:

TU

ângulo de ataque efectivo é:

−=−= − PU1tanθφθα

−=−= −

T

P

U

U1tanθφθα



• A sustentação incremental por unidade de • A sustentação incremental por unidade de comprimento:

• A resistência incremental por unidade de dycCUdL l

221 ρ=

• A resistência incremental por unidade de comprimento:

• Ou nas direcções perpendiculares e paralelas ao dycCUdD d

221 ρ=

• Ou nas direcções perpendiculares e paralelas ao plano do rotor:

+=

−=

φφ

φφ

cossin

sincos

dDdLdF

dDdLdFz


+= φφ cossin dDdLdFx


• Podemos calcular a propulsão:• Podemos calcular a propulsão:

• O binário:zbdFdT =

• O binário:

• A potência

ydFdQ xb=

• A potênciaydFdP xb Ω=

• Relembrar que b é o número de pás

xb



• E podemos relacionar os três com dL e dD• E podemos relacionar os três com dL e dD

( ) −= φφ sincos dDdLdT ( )

−= φφ sincos dDdLdT b

( )ydDdLdQ b φφ cossin +=

( ) ydDdLdP b Ω+= φφ cossin


Simplificações ao Modelo TEPSimplificações ao Modelo TEP

• As seguintes simplificações são aceitáveis dentro• As seguintes simplificações são aceitáveis dentrodo âmbito da aerodinâmica dos helicópteros:

PT UU >> 22TP UUU +=⇒ TU≈PT UU >>

( ) ≈= −

TPTP UUUU1tanφ

TP UUU +=⇒ TU≈

⇒≈

TPTP

0φ φφ =sin

1cos =φ

dLdD <<

1cos =φ

φφ dDdD ≈⇒ sin 0≈


dLdD << φφ dDdD ≈⇒ sin 0≈

Simplificações ao Modelo TEPSimplificações ao Modelo TEP

• Então as expressões para a Propulsão, Binário e • Então as expressões para a Propulsão, Binário e Potência são simplificadas:

( ) ( ) =−= dLdDdLdT bb φφ sincos( ) ( )

=−= dLdDdLdT bb φφ sincos

( ) ( )ydDdLydDdLdQ bb +=+= φφφ cossin ( ) ( ) ydDdLydDdLdP bb Ω+=Ω+= φφφ cossin

• Adimensionalisando com o comprimento R com a velocidade Vtip=ΩR


velocidade Vtip=ΩR

Forma adimensionalForma adimensional

• r=y/R• r=y/R

• UT/ΩR= Ωy/ ΩR=y/R=r

• Os coeficientes de propulsão, binário e potência já • Os coeficientes de propulsão, binário e potência já foram definidos:

dPdQdT===

• A expressão para o rácio da velocidade induzida:( ) ( ) ( )322

,,RA

dPdC

RRA

dQdC

RA

dTdC PQT

Ω=

Ω=

Ω=

ρρρ• A expressão para o rácio da velocidade induzida:

vV ic +=λ

Ω+

=yvV ic

=yUP rφ=


R

ic

Ω=λ

Ω

Ω

Ω

+=

R

y

y

vV ic

=

R

y

U

U

T

P rφ=

Coeficiente de PropulsãoCoeficiente de Propulsão

• Substituindo as equações obtidas na expressão do • Substituindo as equações obtidas na expressão do coeficiente de propulsão:

dLdC b=

( )21 dycCU=

ρ

( )2RA

dLdC b

TΩ

=ρ

( )( )2

21

RA

dycCU lTb

Ω=

ρ

ρ

=

R

yd

R

yC

R

cl

b

2

2

1

πdrrCl

2

2

1σ=

=R

dR

CR

l2 πdrrCl2

σ=


Coeficiente de PotênciaCoeficiente de Potência

• E para o coeficiente de Potência:• E para o coeficiente de Potência:

dQdCdC ==

( )ydDdLb +=

φ

( ) RRA

dQdCdC QP 2

Ω==

ρ

( )( ) RRA

ydDdLb

2Ω

+=

ρ

φ

3

( )

+=

R

yd

R

yCC Dl

3

2

1φσ

RR2

( ) drrCC Dl

3

2

1+= φσ


( ) drrCC Dl2+= φσ

Propulsão e Potência totalPropulsão e Potência total

• Para encontrar a contribuição total da pá temos de• Para encontrar a contribuição total da pá temos deintegrar entre a raiz e a ponta da pá.

∫=1 21 drrCC σ ∫=

1 21 drrCσ

• Se a pá é rectangular c=const

∫=1

0

221 drrCC lT σ ∫=

1

0

221 drrClσ

• Se a pá é rectangular c=const

• Para o coeficiente de binário e de potência

== PQ CC ( )∫ +1

0

321 drrCC dlφσ ( )∫ +=

1

0

3221 drrCrC dlλσ


∫ ∫

Propulsão e Potência totalPropulsão e Potência total

• Para calcular esta expressão precisamos :• Para calcular esta expressão precisamos :

• Rácio da velocidade induzida λ= λ(r)

• Coeficiente de sustentação C=C (α,Re,M)• Coeficiente de sustentação Cl=Cl(α,Re,M)

• Coeficiente de resistência Cd=Cd(α,Re,M)

• AOA α= α(V ,θ,v )• AOA α= α(VC,θ,vi)

• Velocidade induzida vi=vi(r) ou da ponta da pá • Velocidade induzida vi=vi(r) ou da ponta da pá VTIP

Helicópteros / Filipe Szolnoky Cunha Slide 16Teoria de elementos de páÉ necessário uma solução numérica

AproximaçõesAproximações

• Com algumas aproximações é possível encontrar• Com algumas aproximações é possível encontraruma solução analítica.

• Esta solução é importante porque serve para• Esta solução é importante porque serve parailustrar a forma fundamental dos resultados emtermos de parâmetros operacionais e geométricostermos de parâmetros operacionais e geométricosdo rotor.

• Assumindo que temos uma pá rectangular• Assumindo que temos uma pá rectangularc=const. Pela definição σ=const. também.


Aproximações para a propulsãoAproximações para a propulsão

• A partir das equações linearizadas temos :• A partir das equações linearizadas temos :

• Podemos considerar constante sem grande

( ) ( )00 αφθαααα

−−=−= lll CCC

C• Podemos considerar constante sem grande perda de precisão

• Vamos assumir perfis simétricos α =0

αlC

• Vamos assumir perfis simétricos α0=0

• E podemos escrever:1 ( )∫

1

∫=1

0

221 drrCC lT σ ( )∫ −=

1

0

221 drrCl φθσ

α

( )∫ −=1 21 drrrCC λθσ


( )∫ −=1

0

221 drrrCC lT λθσ

α

Pás sem torçãoPás sem torção

• Para uma pá sem torção θ=const.= θ0.• Para uma pá sem torção θ=const.= θ0.

• Vamos assumir também que a velocidadeinduzida é uniforme, tal como o assumido nainduzida é uniforme, tal como o assumido nateoria do momento linear λ=const.

• O coeficiente de propulsão pode ser escrito como:• O coeficiente de propulsão pode ser escrito como:

( )∫ −=1 2

021 drrrCC lT λθσ

α[ ]1

023021 23 rr

lC λθσα

−=( )∫ −=0 02 drrrCC lT λθσ

α[ ]

02302 lC λθσα

−=

−= 01 λθσCC


−=23

021 σ

αlT CC

Rácio da velocidade induzidaRácio da velocidade induzida

• Utilizando o resultado da teoria do momento • Utilizando o resultado da teoria do momento linear

• Então o coeficiente de propulsão é:2

Thi

C== λλ

• Então o coeficiente de propulsão é:2

−=101 TC

CCθ

σ

• E podemos calcular o ângulo de picada:

−=22

1

30

21 T

lT

CCC

θσ

α

• E podemos calcular o ângulo de picada:

22

360

TT C

C

C+=

σθ


220lC

+=α

σθ

Pás sem torção e rácio da velocidade induzida uniformeinduzida uniforme


Pás com torção linear e rácio da velocidade induzida uniformevelocidade induzida uniforme

• Assumindo que temos uma torção linear o que é• Assumindo que temos uma torção linear o que écomum em pás de helicópteros:

( ) twrr θθθ += 0

• Substituindo na equação do CT :

( ) twrr θθθ += 0

( )( )∫1

( )( )∫ =−+=1

0

202

1 drrrrCC twlT λθθσα

−+=

λθθσ

−+=243

021 λθθσ

αtw

lC


Pás com torção linear e rácio da velocidade induzida uniformevelocidade induzida uniforme

• Se a referência para o ângulo de picada for a ¾ doraio da pá (θ ) :

• Se a referência para o ângulo de picada for a ¾ doraio da pá (θ0.75) :

( ) ( ) twrr θθθ 75.075.0 −+=( ) ( ) twrr θθθ 75.075.0 −+=

( )( )( )∫ =−−+=1

0

275.02

1 75.0 drrrrCC twlT λθθσα ∫02 α

( )∫ =−−+=1

0

23275.02

1 75.0 drrrrrC twtwl λθθθσα

λθλθθθ

• O mesmo resultado obtido para uma pá sem

−=

−−+=

23244375.0

2175.0

21 λθ

σλθθθ

σαα l

twtwl CC


• O mesmo resultado obtido para uma pá sem torção.

Aproximações para a potênciaAproximações para a potência

• Já vimos que o coeficiente de potência• Já vimos que o coeficiente de potênciaincremental (que é igual ao coeficiente do binário): ( ) ( ) =+=+= drrCrCdrrCCdC 32131 λσφσ: ( ) ( ) =+=+= drrCrCdrrCCdC dldlP

32213

21 λσφσ

=+= drrCdrrC dl

3212

21 σσλ

• Relembrando que:

dl 22

0PP dCdCi+=

• Relembrando que:

⇒= TP dCdCi

λ0PTP dCdCdC += λ


i

Aproximações para a potênciaAproximações para a potência

• Então a potência total é:

∫∫= 11r

σλ +=

• Assumindo que a velocidade induzida uniforme e

∫∫ +==

=

1

0

321

1

0drrCdCC d

r

rTP σλ

081

dT CC σλ +=

• Assumindo que a velocidade induzida uniforme eCd=Cd0=const.

• Usando mais uma vez a expressão obtida na teoria• Usando mais uma vez a expressão obtida na teoriado momento linear : 2

3

1T CC

C σ+=

• Esta expressão já foi obtida com a teoria do

081

2d

TP C

CC σ+=


• Esta expressão já foi obtida com a teoria domomento linear :

EficiênciaEficiência

CλC

8/0dT

T

CC

C

σλ

λ

+=

realP

idealP

C

CFM =

• Uma solidez elevada σ (muitas pás, cordas

8/0dT CC σλ +realPC

• Uma solidez elevada σ (muitas pás, cordasgrandes área das pás grandes) induz um elevadoconsumo de potência e uma eficiência pequena.consumo de potência e uma eficiência pequena.

• Perfis com pequena resistência induzemeficiências elevadas.


eficiências elevadas.

Coeficiente de sustentação médioCoeficiente de sustentação médio

• O coeficiente de sustentação médio é definido demaneira a se obter a mesma propulsão quando amaneira a se obter a mesma propulsão quando apá está a trabalhar com o mesmo coeficiente desustentação local (rotor óptimo):sustentação local (rotor óptimo):

∫=1

0

221 drCrC lT σ ∫=

1

0

221 drCr lσ lCσ6

1=

• Ou

∫02 lT ∫02 l l6

σT

l

CC 6=

• Tipicamente tem valores entre 0.5 e 0.8.

σl

lC


• Tipicamente tem valores entre 0.5 e 0.8.lC

FM para o coeficiente de sustentação médio

• Introduzindo a última expressão na equação da• Introduzindo a última expressão na equação daeficiência:

== TCFM

λ=

1=

+=

8/0dT

T

CC

CFM

σλ

λ

( )=

+ λσ Td CC 8/1

1

0

( )[ ] =+ λ/1

1

043

ld CC( )=

+ λσσ CC 8/1

1

• Logo a eficiência é maximizada se

( )[ ]+ λ/1 04 ld CC

( )ld CC 0

( )+ λσσ Ld CC 68

0 /1


• Logo a eficiência é maximizada se

for minimizado

( )ld CC 0

Factor de perda da ponta da páFactor de perda da ponta da pá

• Podemos assumir que a zona exterior da pá• Podemos assumir que a zona exterior da pá(R-Re=R-BR) não gera sustentação. Assim ocoeficiente de propulsão é:coeficiente de propulsão é:

( )∫ −=B

lT drrrCC0

221 λθσ

α

• Para a pá sem torção (θ=θ0):

( )∫lT 02 α

−=23

0221 λθσ

α

BBCC lT


232 αlT


• Para uma pá com torção (θ=θtip/r):

( )∫ −=B

drrrCC λθσ [ ]λθσ −= BC 21

• Com B entre 0.95 e 0.98 a redução da propulsão

( )∫ −=B

tiplT drrrCC02

1 λθσα

[ ]λθσα

−= tipl BC 241

• Com B entre 0.95 e 0.98 a redução da propulsãono rotor é entre 6 e 10%.

• Por outro lado podemos assumir que em vez deinfluenciar a geração de sustentação o que éafectado é o rácio da velocidade induzida:

Tv =

( )T

=T1

=

Helicópteros / Filipe Szolnoky Cunha Slide 30Teoria de elementos de páe

hA

Tv

ρ2=

( )22 AB

T

ρ=

A

T

B ρ2

1=


• Dado que a influência é um aumento em λ de B-1• Dado que a influência é um aumento em λ de B

podemos substituir este resultado nas equaçõesobtidas sem perdas na ponta da pá:obtidas sem perdas na ponta da pá:– Pás sem torção e velocidade induzida uniforme:

−= CC 01 λθσ

– Pás com torção e velocidade induzida uniforme:

−=

BCC lT 23

021 λθσ

α

– Pás com torção e velocidade induzida uniforme:

−=

BCC tiplT

λθσ

α41


BtiplT α4


• Comparando estes resultados com os obtidos• Comparando estes resultados com os obtidosanteriormente vemos que estes sobrestimam osefeitos das perdas na ponta da pá.efeitos das perdas na ponta da pá.

• Fazendo os mesmo cálculos para o coeficiente depotência:potência:

+

−=⇒=

08

1

2320

0 d

l

P CBB

CC σ

λθλσθθ α

+

−=⇒=

0

182320

dtip

l

Ptip

dP

CC

Cr

BB

σλ

θλσθ

θ α


+

−=⇒=084 dtipP C

BBC

rσθθ

teoria de elementos de pá · determinado motor e para um determinado peso ... flecha, zona junta...

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