Teoria de Campo e Relatividade1 Notas das aulas do Prof. Susskind Universidade de Stanford TEORIA DE CAMPO E RELATIVIDADE AULA NO 1 Transformao de Lorentz atravs de funes hiperblicas Tempo prprio. VamosanalisaraTeoriadeCampoClssica,estudandoocampoele-tromagntico,ocampogravitacionaleoutroscamposexistentesnanatureza, que se propagam no espao, com a caracterstica de ondas. Um dos princpios fundamentais e mais abrangente da Teoria de Campo oPrincpiodaRelatividade,nestecasoaRelatividadeEspecialouRestrita, que chamaremos apenas de Princpio da Relatividade. OPrincpiodarelatividaderemontamaisaopassado,notendosido uma inveno de Einstein, pois j era conhecido pelos pioneiros da Fsica (Ga-lileu,Newton,etc.).Esteprincpiocomeacomaideiadeumreferencial inercial, que um referencial no qual as equaes de Newton so satisfeitas. Umreferencialdestetiponodemodoalgumnico.Eleenvolvea ideia de um sistema de coordenadas (x, y, z) no espao, sendo que este sistema pode estar parado ou em movimento uniforme em relao a algum ponto, seja elequalfor.Seestivermosemumsistemainercial,entoqualqueroutrosis-temareferencialqueestejaemmovimentouniformeemrelaoatalsistema ser tambm um sistema inercial. De acordo com Newton, as leis da Fsica so as mesmas em qualquer re-ferencialinercial.Umexemplosimplesimaginarmosumapessoafazendo malabarismos, embarcada em um trem, de modo que, quando o trem estivesse viajando, ela comeasse a praticar malabarismos com algumas bolas, manten-do-as alternadamente no ar. Certamente esta pessoa no teria de fazer qualquer alteraonasuatcnicahabitual,como,porexemplo,anteciparmovimentos para compensar o movimento do trem. As leis do malabarismo so as mesmas emqualquerreferencialinercial.Damesmaforma,asleisdaMecnicaeas leis newtonianas da gravitao so as mesmas em qualquer referencial inercial. Mas como isto se aplica em relao s leis dos fenmenos eletromagn-ticos?Nestepontohouveumconflito!EsteconflitoadveiodasEquaesde Teoria de Campo e Relatividade2 Notas das aulas do Prof. Susskind Universidade de Stanford Maxwell para os campos eletromagnticos, as quais estabelecem como as on-das eletromagnticas se propagam (ondas de luz, radio, etc.). O dilema funda-mental estava no fato de que, conforme as Equaes de Maxwell, a luz se pro-pagacomumadeterminadavelocidadeeque,admitindo-seasleisdoeletro-magnetismoestabelecidaspelasEquaesdeMaxwellcomoleisdaFsica tambm,avelocidadedaluz(S. 1u8 ms),deveriaseramesmaemtodosos referenciais inerciais. Assim, considerando as leis de Maxwell como verdadei-ras leisdanatureza,ento,pelo princpio da relatividade, a velocidade da luz deve ser a mesma em qualquer referencial inercial! Mas este era justamente o ponto difcil de engolir, pois, intuitivamen-te,seimaginarmosqueseguimosumraiodeluz,correndoatrsdelecoma metadedavelocidadedaluz,esperaramosveresteraiodeluzmovendo-se mais lentamente em relao a ns, da mesma forma como esperaramos o efei-to contrrio, se corrssemos na direo oposta ao raio! Assim,dadoqueasleisdaFsicasoasmesmasemtodosossistemas inerciais, h uma contradio flagrante entre as leis estabelecidas por Maxwell (velocidade constante da luz) e as equaesdeNewton (velocidades relativas que se somam e se subtraem). Qual delas verdadeiramente uma lei da nature-za? Naverdade,ambassoleisverdadeirasdanatureza.Oquedefatoera necessrio modificar era o nosso conceito de velocidade, espao e tempo, bem como a forma como ns os medimos! Vamos pegar um atalho para apresentar a teoria da relatividade, adotan-do uma viso mais matemtica do assunto, levando em considerao as propri-edadesqueenvolvemastransformaesdecoordenadas.Porm,agora,as coordenadasnosomaisapenas(x, y, z),masenvolvemtambmotempo: t.Portantoqualquereventocaracterizadoporquatrocoordenadas: (x, y, z, t). Porenquanto,vamosnosconcentrarapenasnascoordenasxet,oque seriaapropriadoparaummovimentoaolongodadireoxapenas.Vamos representar um sistema inercial num grfico espao-tempo: Vamos imaginar um observador em movimento em relao a este siste-ma, movendo-se com velocidade :, na direo x, de modo que, no tempo u, as origens de ambos os sistemas coincidem. Ento, segundo o referencia (x, t), Teoria de Campo e Relatividade3 Notas das aulas do Prof. Susskind Universidade de Stanford a posio da origem do observador em movimento dada por x = : t. Para o observadoremmovimentonoreferencial(xi, ti),adescriodacoordenada de sua origem simplesmente xi = u. ParaumdeterminadopontoP,arelaoentreascoordenadasparaam-bos observadores ser dada pela expresso: x = xi + :t ou xi = x -:t. AtqueEinsteinestabelecesseaTeoriadaRelatividade,todosconside-ravamotempoabsolutamente.Newtonconsideravaotempoabsolutoeuni-versal (tempo divino). Neste sentido, a transformao entre os dois sistemas, segundo Newton, seria dada por: ''x x vtt t= = Vamos examinar o movimento de um raio de luz movendo-se na direo x,partindodaorigem.SegundoMaxwell,avelocidadedaluzconstantee dada por: c. ( )' 'x ctx ct vt x c v t== = Esta seria a forma clssica de transformao das coordenadas, segundo a qual as Equaes de Maxwell no poderiam ser verdadeiras leis da natureza, no sentido de no serem as mesmas em todos os sistemas inerciais, pois preci-sariam de uma correo na velocidade da luz para cada sistema. Teoria de Campo e Relatividade4 Notas das aulas do Prof. Susskind Universidade de Stanford Porm um fato experimental que no h necessidade de nenhuma cor-reo na velocidade da luz para qualquer sistema inercial em movimento! Este fato foi estabelecido pelo famoso experimento de Michelson e Morley. Foi Einstein quem props a validade das equaes de Maxwell em qual-quersistemainercial,impondoasnecessriasmodificaessequaesde Newton, que deveriam sofrer alguns ajustes, a fim de se tornarem compatveis com esta invarincia da velocidade da luz. Focando-se apenas nas duas equa-esdetransformaodascoordenadasefazendobrilhantesexperimentos mentais, ele chegou formulao da Transformao de Lorentz.Ns veremos a transformao de Lorentz de uma forma mais matemti-ca. Para isso, vamos comear observando o problema da rotao de um siste-ma de coordenadas. ------------------------------------------------------------------------------------- OBS: Toda a trigonometria pode ser derivada a partir da formulao de scn 0 e cos 0 em termos de nmeros complexos: cos0 =ci0+c-i02ou c0 = cos 0 + i sin0 sin0 =ci0-c-i02c-0 = cos 0 - i sin0-------------------------------------------------------------------------------------Teoria de Campo e Relatividade5 Notas das aulas do Prof. Susskind Universidade de Stanford scn 0 cos 0 -1 -1 1 1 Quando fazemos uma transformao por rotao como esta, algo perma-nece INVARIANTE, e este invariante a distncia entre dois pontos quais-quere,portanto,entreopontoPeaorigemdosistema.Vamoschamaresta distncia de s. Ento teremos: Isto est implcito na transformao, pois: ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 22 22 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2' ' cos sen 2 cos sen sencos 2 cos sensen cos sen cos ' '' 'x y x y xy xy xyy x y xx y x yu u u u uu u uu u u u+ = + + + + + + + + = + = + ------------------------------------------------------------------------------------- OBS: "scn" e "cos" so funes circula-res, pois podem ser descritas pelo crcu-lo unitrio. ------------------------------------------------------------------------------------- SabemosentoqueatransformaodeNewtonesterrada.Pormde-vemos nos certificar que a modificao introduzida por Einstein no altera as situaes nas quais as equaes de Newton constituem uma boa aproximao! As modificaes de Einstein so importantes, quando os sistemas de re-ferncia se movem a velocidades comparveis da luz. At o comeo do Sculo XX, no se pensava em velocidades superiores a 160 km/h, pois no se tinha esta experincia de modo controlado, sendo que, para todos os efeitos, a velocidade da luz era considerada instantnea. s2 = x2 + y2 si2 = xi2 + yi2 s2 = si2 Teoria de Campo e Relatividade6 Notas das aulas do Prof. Susskind Universidade de Stanford AsequaesdeNewtonsomuitoboasaproximaesparasistemasde baixa velocidade. Porm, segundo estas transformaes, a velocidade da luz se modificacomavariaodavelocidadedosistema.Vamosverentooque significaumafrmuladetransformaomelhor,quenomodifiqueaveloci-dade da luz. Vamos primeiramente atribuir velocidade da luz o valor unitrio (c = 1). Isto significa apenas uma mudana conveniente de unidades de espa-o e tempo! Por exemplo, se usarmos o ano-luz para a unidade de distncia, utilizaremosa unidade ano parao tempo.Se utilizarmos a unidade segun-do-luz para a distncia, ento usaremos a unidade segundo para o tempo, e assim por diante. Para baixas velocidades, este no um sistema prtico, mas, para partculas de alta velocidade, por exemplo, um sistema adequado. Assim, um raio de luz, movendo-se no sentido de x (x = c t), seria ex-presso por x = t (c = 1), enquanto um raio de luz movendo-se na direo -x seriarepresentadoporx = -t(c = 1).Umaexpressoqueabrangeriatanto um raio de luz na direo x como na direo -x seria dada por:2 2x tx tx t== = . Estaequaoumacondionecessriaesuficienteparadescrevero movimento de um raio de luz que se move a partir da origem tanto para a es-querda como para a direita. Supondo que pudssemos achar uma transformao que tivesse a propri-edadepeculiardemanterINVARIANTEarelaox2 = t2,ouseja,uma transformaonaqualaquantiax2 - t2tenhasemprevalornulo,entoesta seria uma condio necessria e suficiente para descrever o movimento de um raio de luz nos diversos sistemas de referncia.Portantoumatransformaocomapropriedadedeque: 2 2 2 20 ' ' 0 x t x t = = ,fariaambososobservadoresconcordaremem relao ao fato do raio de luz se mover com a mesma velocidade c = 1. Certamenteestacondionosatisfeitapelatransformaoclssica (Galileu/Newton). Paraacharatransformaocomestapropriedade,vamosimporuma condioaindamaisforte,fazendoque:x2 - t2 = x2 - t2,eprocuraruma transformao que satisfaa esta condio. Teoria de Campo e Relatividade7 Notas das aulas do Prof. Susskind Universidade de Stanford Se olharmos para a transformao por rotao, j vista por ns, veremos queelapraticamentesatisfazestacondio,excetopelosinalpositivo: x2 + y2 = x2 + y2.Paraconseguirmosajustarestadiferenadecomporta-mentodatransformao,bastasubstituirmosasfunescircularesscne cospelasfuneshiperblicasscnbecosb.Comistoobteremosa transformao de Lorentz. ------------------------------------------------------------------------------------- OBS: Funes Hiperblicas: Para este tipo de funo, o argumento trigonomtrico usual substi-tudoporw,oqualpodeassumirqualquervalornocampodosnmeros Complexos. As funes bsicas so definidas por: Com estas definies obtemos: 2 22 2cosh cosh senhsenhcosh senhcosh senh 1w we e w w w w w ww w= + = FunesHiperblicassenh1 (bissetriz de 45 )coshwww ------------------------------------------------------------------------------------- cosh = co + c-o2 sinh =cn-c-n2 co = cosh + sinh c-o = cosh - sinh4S cosh w senh w Teoria de Campo e Relatividade8 Notas das aulas do Prof. Susskind Universidade de Stanford Esta relao entre os quadrados de cosb e scnb com o sinal negati-vo(cosb2 -sinb2 = 1)nosdumaboapistadatransformaoquepro-curamos!Vamostentarumpalpite,paraverificarmosdepoisseeleestcor-reto: Nestecaso,wconstituiumparmetrodatransformao,assimcomo 0 era o parmetro (ngulo) da rotao. Conforme veremos, o parmetro w est ligado velocidade relativa entre os sistemas. ( ) ( )2 2 2 2 22 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2' cosh senh 2 cosh senh ' senh cosh 2 cosh senh ' ' cosh senh cosh senh' 'x x w t w xt w wt x w t w xt w wx t x w w t w wx t x t= + = + = = Esta justamente a transformao que procuramos! ------------------------------------------------------------------------------------- OBS:CertamenteMaxwellsabiaquesuasequaesnoeramconsistentes com a relatividade newtoniana. Porm ele imaginava a propagao da luz co-moalgoparecidocomapropagaodeondasnagua.Nestescasos,quando nos movemos em relao ao meio de propagao da onda, realmente observa-mos velocidades diferentes para as ondas. Assim, Maxwell pensou num meio materialdepropagaodaluz,sendoqueesteparticularmeioconstituaum sistema inercial em repouso absoluto, em relao ao qual a velocidade da luz era exatamente S 1u8ms. Para ele, ento, suas equaes estavam de acordo com um sistema referencial no qual aquele material especial para a propagao da luz (o chamado ETER) estava em repouso. Portanto Maxwell no imagi-nava que suas equaes fossem equaes universais da Fsica. Neste sentido, Michelson-Morley fizeram um experimento no qual eles medi-am a velocidade da luz no mesmo sentido e no sentido oposto ao da translao daTerra,sendoqueoresultadonoapresentouqualquerdiferena,provando xi = x cosh + t sinh ti = -x sinh +t cosh Teoria de Campo e Relatividade9 Notas das aulas do Prof. Susskind Universidade de Stanford assim que a velocidade da luz sempre a mesma, independente da direo do movimentodaTerra.Comisso,nohouvesalvaoparaoconceitode ETER como meio material de propagao da luz. A soluo foi dada ento por Einstein, com um novo conceito para o espao-tempo. ------------------------------------------------------------------------------------- Voltandoquestodatransformao,vamosverificaraligaodopa-rmetro w com a velocidade relativa entre os sistemas. Aretax = Itrepresentaatraje-triadaorigemdosistemaemmovi-mentorelativo(xi, ti)comvelocidade I em relao ao sistema (x, t). xi = u x = It x cosh = t sinh senh coshwx tw=. Mas x = I t, portanto a velocidade I do sistema (xi, ti) ser dada por: senhcoshwVw= . Vamos expressar w em funo da velocidade relativa I: I2 =snh2ocosh2o =cosh2o-1cosh2o I2cosb2 = cosb2 -1cosb2(1 - I2) = 1x t Teoria de Campo e Relatividade10 Notas das aulas do Prof. Susskind Universidade de Stanford cosh =11-v2 sinh = I cosh =1-v2

Ento obtemos para a transformao desejada: Paracolocaravelocidadedaluzdevoltanasequaes,bastafazermos uma anlise dimensional de cada um dos termos: 1 - I2c2 1 no tem dimenso, portanto temos de dividir I2 por c2. (t - I x) t o tempo, portanto temos que dividir Ix por c2. Ento chegamos TRANSFORMAO DE LORENTZ:

Embora estas equaes sejam mais conhecidas, mais comum a sua uti-lizao na forma hiperblica, que facilita a manipulao algbrica. Por exem-plo, (trata-se de um bom exerccio para fixar as ideias) torna-se fcil determi-nararelaodecomposiodeduastransformaesdeLorentz,naqualo sistema 2 move-se com velocidade I em relao ao sistema 1 e o sistema 3 move-se com velocidade u em relao ao sistema 2, sendo que deseja-mos determinar a relao de transformao do sistema 3 para o sistema 1. Nestecaso,utilizandoarepresentaohiperblica,osnguloshiperblicos x =x - :t1 - I2 t =t - :x1 -I2 x =x - It1 - I2c2 t =t -Ix c21 - I2c2 Teoria de Campo e Relatividade11 Notas das aulas do Prof. Susskind Universidade de Stanford resultamsomados,enoasvelocidades!Bastaumpoucodetrigonometria hiperblica! ------------------------------------------------------------------------------------- OBS:Parapequenosw,scnb w w.Portanto,nestecaso,w Ic,de modoqueacomposiosoma-secomovelocidade.Paravelocidadescompa-rveis da luz, a soma da composio dada pela soma dos ngulos hiperb-licos. ------------------------------------------------------------------------------------- VamosverificarseatransformaodeLorentzcompatvelcomas equaes de transformao de Newton para baixas velocidades. Neste caso, o termo I2c2 torna-se desprezvel, de modo que a transformao se reduz a: ''x x vtt t= =,confirmando a condio de compatibilidade. OBS: No referencial 0, em movimento em relao ao referencial 0, a condi-o ti = u exprime todos os pontos de x no instante ti = u (pontos sincroni-zados no referencial 0), Isto significa que, para o sistema 0, teremos: 2Vt xc= ou, considerando c = 1,t V x = . Vemosentoque,para0, cadapontosincronizadonoins-tante ti = u em relao a 0 ocor-re num instante diferente! Existeassimumadiferena entreosdoissistemas,0e0,a respeitodoqueedoqueno simultneo,eestefoiogrande ndesatadoporEinstein,que percebeu haver para o conceito de x t 0 Teoria de Campo e Relatividade12 Notas das aulas do Prof. Susskind Universidade de Stanford Jx Jy x y Js2 = Jx2 + Jy2 simultaneidade diferentes significados, de acordo com os diferentes sistemas de referncia. ------------------------------------------------------------------------------------- OBS: No caso da rotao do sistema de coordenadas, se ns quisermos expres-sar x e y em funo de x e y, basta substituir 0 por 0, ou seja, fazer a rotao no sentido contrrio! Ento obtemos:

Analogamente, podemos expressar a transformao de Lorentz, obtendo x e t em funo de x e t, trocandow por w!------------------------------------------------------------------------------------- Vamos falar agora do Tempo Prprio.Nageometriadoplano,podemospensarnocomprimentodeumalinha como sendo composto pela soma de elementos infinitesimais: xi = x cos 0 + y sin0 yi = -x sin0 +y cos 0 x = x cos( -0) + y sin(-0) y = -x sin(-0) + y cos(-0) x = xicos 0 - y sin0 y = x sin0 +y cos 0 Teoria de Campo e Relatividade13 Notas das aulas do Prof. Susskind Universidade de Stanford x t x tx = x0Opontofundamentalnesteconceitodecom-primentoqueadistnciadosegmentoJsno varia com a mudana de coordenadas! EstamesmaideiavlidaparaaRelativida-de, onde a distncia da trajetria medida no espa-o-tempo: Seconsiderarmosumapartculaemrepouso, ela estar em movimento ao longo do tempo: Portantoexisteumadistnciatambmentrepontossituadosaolongo do eixo x, ou seja, entre pontos situados na mesma posio do espao. Mas como podemos caracterizar a distncia entre dois eventos que ocor-remnomesmolugar?Nsutilizamosumrelgio,enoumargua!Estaa noodedistncianoespao-tempo,mesmoquandonohmovimentono espao! Vejamosagoraumcorpo movendo-senoespao-tempo, carregando consigo um relgio.Otempomedidoporum relgioemmovimentomuito mais semelhante a uma distncia medidaporumarguaaolongo deumacurva.Emparticular, esta distncia no deve depender daescolhadecoordenadas,por-que trata-se de um fenmeno que independente das coordenadas equetemaverapenascomo relgio em si.Jx Jt x t J2 = Jt2 - Jx2 Teoria de Campo e Relatividade14 Notas das aulas do Prof. Susskind Universidade de Stanford A quantia infinitesimal INVARIANTE neste caso dada por: Jt2 - Jx2 = Jt2 -Jx2 Isto sugere que a distncia neste caso seja dada por: 2 2(TEMPO PRPRIO) d dt dx t = O tempo prprio(t ), portanto, o tempo medido por um relgio mo-vendo-seaolongodeumatrajetria.Pode-severassimque,dependendoda trajetriaseguida,otempomedidopelorelgioemmovimento(tempopr-prio) pode ser diferente. Para trajetrias mais longas no espao-tempo, resulta, em razo do si-nalnegativonaexpressodotempoprprio,J2 = Jt2 - Jx2,queotempo prprio ser menor do que aquele medido nas trajetrias mais curtas. 1 2 xt O tempo prprio da traje-tria 2 menor do que o da trajetria 1. Teoria de Campo e Relatividade15 Notas das aulas do Prof. Susskind Universidade de Stanford TEORIA DE CAMPO E RELATIVIDADE AULA NO 2 Mnima Ao para a Onda Equao de Onda Lagrangeano para a Onda Conforme vimos na ltima aula, o tempo prprio dado pela expresso 2 2 2d dx dy t = + , tendo restado a questo a respeito da origem do sinal negati-vo! Sabemos que o ponto central da transformao de Lorentz a conserva-o da quantidade 2 2dt dx , ou seja, da constncia da velocidade da luz. Por-tanto, da transformao de Lorentz, resulta que: 2 2 2 2 2 2 2 2' ' ' ' t x t x dt dx dt dx = = A ideia de tempo prprio, como uma distncia ao longo de uma trajet-rianoespao-tempo,deveserinvarianteemrelaoaumatransformaode coordenadas. Isto significa que o tempo prprio deve ser uma quantia com um significado fsico, ou seja, no deve depender do particular sistema de refern-cia escolhido. Aquantidade 2 2dt dx + nouminvariante,deacordocomatransfor-mao de Lorentz! Portanto a quantidade invariante na Transformao de Lo-rentz : 2 2 2 2' ' dt dx dt dx = , que uma imposio da invarincia da veloci-dade da luz:2 2 2' ' ou x c t x c t x c t = = = . Vamos ento entrar na TEORIA DE CAMPO. O que so campos? Campos so coisas que ocupam um lugar no espao-tempo, por exem-plo: campos eltricos, magnticos, gravitacionais, etc. Estes campos variam de lugar para lugar e de tempo para tempo, sendo descritos por equaes estabe-lecidas nas dimenses espao-tempo. Teoria de Campo e Relatividade16 Notas das aulas do Prof. Susskind Universidade de Stanford A teoria clssica do campo uma combinao de duas disciplinas bsi-cas: a Teoria da Relatividade e a Teoria da Mecnica Clssica. UmdosmodosdedescreverosprincpiosdaMecnicaClssicaatra-vs do Princpio da Mnima Ao, o qual iremos rever agora. Para descrevermos um determinado sistema fsico, ns empregamos um particular sistema de coordenadas, que identificamos usualmente com a locali-zaodaspartculasconstituintes.Masestacorrelaonoprecisaocorrer necessariamente de uma nica forma, pois o conjunto de coordenadas pode ser qualquerconjuntoquedescrevaocomportamentodosistemafsico,podendo elas descrever em particular os valores de um campo ao longo do espao. Seja qual for o conjunto destas coordenadas, que descrevem a configurao de um sistema,nsachamamosdecoordenadasgeneralizadaseasrepresentamos pela letra q. Nascondiescomuns,setivermosnpartculas,todaselassemovi-mentando em apenas uma dimenso, teremos ento n coordenadas q. Se as n partculassemovimentassemnoespao,teremosSncoordenadasparaosis-tema. Assim o nmero de coordenadas no expressa necessariamente a dimen-so na qual o sistema se movimenta, mas apenas o nmero de coordenadas que descrevemaconfiguraodosistema(GrausdeLiberdade).Nohrestri-es para este nmero, que poderamos inclusive imaginar como infinito.Almdascoordenadas,precisamostambm,afimdepreverocompor-tamento do sistema, das respectivas velocidades, ou seja, da razo de variao dos qs em relao tempo (derivada no tempo): ( ) ( );i iq t q t( TodasasleisbsicasdaFsicaqueconhecemos(Newton,Einstein, Maxwell)podemserobtidasatravsdoPrincpiodaMnimaAo(vamos abreviar este princpio pelas letras PMA). Parafacilitaravisualizao,representamosoPMAporumgrficono qual o tempo o eixo vertical e as coordenadas esto todas no plano horizon-tal: Teoria de Campo e Relatividade17 Notas das aulas do Prof. Susskind Universidade de Stanford Para as condies iniciais do sistema,teramosumpontoBno espaon-dimensional,decoorde-nadaqoedevelocidadeinicial qo. OPMAdizqueatrajetria deumsistema,ouseja,ahistria do sistema, comeando em alguma configuraoB[otermoconfi-guraorefere-seapenasaocon-juntodecoordenadasqdosis-tema,enossuasvelocidades q,ouseja,refere-seapenaslocalizaodosistema]eterminandoaps determinadointervalodetempo,emumaoutraconfiguraoC,satisfaza condiodecorresponderaummnimodeumaquantidadechamada AO, que construda como uma funo dos qise dos q s ao longo datrajetriapercorridapelosistema,sendocalculadapelasuatotalizaoao longo de todo o percurso.A forma da Ao sempre dada pela expresso: ( )21A= ,ti itq q dt} L onde o integrando, ( ),i iq q L , chamado de LAGRANGEANO.Assim,dentretodasastrajetriasquepassampelospontos(Configura-o) BeC,aquelaqueminimizaaAoseratrajetriapercorridapelosis-tema. Tipicamente (mas no sempre!), o Lagrangeano dado por: Energia Cintica Energia PotencialTT UU= L t t2C B qo qoqqnt1q1 Teoria de Campo e Relatividade18 Notas das aulas do Prof. Susskind Universidade de Stanford ondeusempredependeapenasdosqis,enquantoIpodedependertanto dos qiscomo dos q s. Se os qis representarem pontos movendo-se ao longo de uma reta, en-tocadaqrepresentarsimplesmenteaposiodopontoaolongodareta, enquantoosq sdaroasrespectivasvelocidades,demodoqueaenergia cintica ser dada por 21 2im q , sendo que a energia potencial ir, de maneira geral, depender da posio de todas as partculas do sistema. Assim teremos: ( )20 11onde , ,...,2i i nim q U q q q q q L = . Esta a estrutura bsica da Mecnica Clssica, dada pelo PMA. Comojvimoanteriormente,atrajetriaqueminimizaaAodeter-minada pelas Equaes de Euler-Lagrange, que conectam a trajetria como um todo ao seu comportamento local na forma diferencial do PMA: i iddt q q| | | |c c= ||c c\ . \ .L L "Momento Cannico conjugado coordenada "i iiqqc= H cL Para o caso mencionado acima teremos: ( )( )i i i ii i i id d U Umq mq F madt q dt q q q| |c c c c= = = = = |c c c c\ . L L Ateoriadecampoateorianaqualosgrausdeliberdadesoos camposquepreenchemoespao,sendoqueestescampostambmvariam Teoria de Campo e Relatividade19 Notas das aulas do Prof. Susskind Universidade de Stanford com o tempo. Vamos, porm, nos concentrar no modo pelo qual estes campos preenchem o espao.Osqissoosdiferentesvaloresassumidospelocampoaolongodo espao. Nateoriadecampo,aposionoespaodefineapenasaposio,no sendo ela mesma um grau de liberdade, mas somente uma referncia po-sio daquele grau de liberdade. Vamostrabalharemcimadeumexemplodateoriadecampodesdeo seu incio, para vermos como ele pode ser derivado a partir do PMA.Trata-se deumsistemamecnicosimples,que,quandoexpandidoparaumlimite, transforma-se em teoria de campo. O sistema uma coleo de molas conec-tadas entre si, formando uma corda (tal como uma corda de violo). A corda tem as suas duas extremidades presas a dois pontos fixos. Vamosassumir,nestenossoexemplo,quenohoscilaeslongitudi-naisnacorda,masapenastransversais.Comeamos,ento,considerandoa corda como um conjunto de molas conectadas entre si. Isto significa uma cole-odemassaspontuaisquesemovimentamverticalmente,cadaumatendo uma mola ligando-a s suas duas massa vizinhas.

Nolimite,tomandoumaquantidadeinfinitademassasinfinitesimais, estacordasetransformaemumcampo,ouseja,emummodelomatemtico para o campo. Vamos definir uma varivel para cada massa, dada pela distncia de sua posio em relao horizontal definida pelos dois pontosF e 0, denominan-do a esta distncia por . F 0 Teoria de Campo e Relatividade20 Notas das aulas do Prof. Susskind Universidade de Stanford Busquemos agora descrever o comportamento da corda atravs do PMA, usandoasEquaesdeEuler-Lagrange.Vejamosentocomopodemoscons-truir uma funo para a Ao desse sistema. Chamaremos oeixohorizontaldex.Note que x determina um ponto especficodacorda,masnoeleprprioumacoordenadadosistema(). Vamos assumir tambm que a distncia horizontal entre as massas constante edadapore.Seratravsdareduodeeparazeroquepassaremosao modelo de campo. Comrelaomassadecadapartcula,sensadefinssemoscomo 1g,porexemplo,entomedidaquefssemosacrescentandomaisemais massas, fazendo e tender a zero, a massa total da corda tenderia para infinito! Portantoamassadeumapartculanopodesermantidafixaemrelaon-mero de pontos do sistema. Devemos, portanto, reduzir a massa de cada part-cula medida que aumentamos o nmero de pontos do sistema. Vamos assu-mir, neste caso em particular,que a massa de cada partcula proporcional a e (densidadelinearconstante!),considerandonestecasoamassadecadapart-cula igual a: o. e (o densidade linear de massa). A energia cintica a energia dada pelo movimento ao longo da coorde-nada vertical : 2 22 2i ii ii iT m o c = = (o densidade linear de massa). medidaqueinserimosmaisemaispartculas,estasomairsetrans-formar em uma integral: F0 meee Teoria de Campo e Relatividade21 Notas das aulas do Prof. Susskind Universidade de Stanford x x (x) ( ) ( )0limi ixif x dx f x xA = A}. Portanto, no caso limite teremos: 2 2( )( 0)( )2 2dxixixT dxcc o oA ((]= Aenergiapotencialdeumamola proporcionalaoquadradododeslo-camento da mola em relao sua posio de equilbrio. A nica interao de cadapartculadestesistemaapenascomassuasduaspartculasvizinhas imediatas,quedefinemodeslocamentodasduasmolassquaiselaestco-nectada e, portanto, a fora sobre a partcula em questo. Quando movimentamos verticalmente uma das massas, as molas so es-ticadasporumaquantidadeproporcional,numaaproximaodeprimeira ordem, diferena entre as coordenadas das massas de seus extremos: ( )1 mola i i +A Assimaenergiapotencialdamolaproporcionalaoquadradodadife-rena entre as coordenadas: ( )21 mola i iU +A +1Teoria de Campo e Relatividade22 Notas das aulas do Prof. Susskind Universidade de Stanford A frmula usual da energia da mola contm a constante da mola (K) di-vidida por dois:212U K x = . Omesmoraciocnioutilizadoparaoacrscimodemassasnoslevaa concluir que o K de cada pequena mola deve ser inversamente proporcio-nal ac . ------------------------------------------------------------------------------------- OBS: Se tivermos uma mola de comprimento I, esticada por um comprimento I: e considerarmos que ela equivalente a duas molas em srie, de comprimento I2,deslocadascadaumaporI2,entoteremos:'2LF K L K A= A= .Isto significa que a constante da nova mola (I2) tem um valor duas vezes maior do que a mola inteira (I), pois, para igualar a mesma fora, porm com apenas a metade do deslocamento, a constante deve dobrar de valor. Com isso, vemos quepodemosdefinirumanovaconstantekparaamola,sedefinirmosa foracomosendo proporcional aL L A , de modo que: LF kLA= . Assim, te-mos uma constante inerente mola em si, independente de seu comprimento. ------------------------------------------------------------------------------------- Obtemos desse modo, para a energia potencial de uma partcula da nossa corda, a expresso: ( )2112i iiU k c+ =I I F K L = ATeoria de Campo e Relatividade23 Notas das aulas do Prof. Susskind Universidade de Stanford Vamos substituir esta constante k por o c2, onde o a densidade li-near de massa (no final, veremos a razo para esta escolha!): ( )2212i i iicUo c+= . Comisso,temososelementosparaescreveroLagrangeanodanossa corda, com o qual poderemos obter as Equaes de Euler-Lagrange para cada uma das partculas da corda: ( )2222 2i ii ic o c o c= A L 1onde ( )i i i +A = vamos obtei as equaes uo movimento (EuleiLagiange). Pia facilitai a compieenso, foquemos (aibitiaiiamente) a nossa ateno na paiticula ue cooiuenaua 7: ( )deduzindo-se7pelopadro77 77 7iid ddt dto c o c o c o c c c= =c c| |c c= = = |c c\ . L LL L ( ) ( )22 27 7 8 7 7 6para 2cUo c( = + Teoria de Campo e Relatividade24 Notas das aulas do Prof. Susskind Universidade de Stanford ( )( ) ( )| |( ) ( )( ) ( )28 7 7 67 728 7 6727 8 7 678 7 7 6 277 72 1 222U cU cU cUco co co c o o c c c c c ( = = + c cc = + cc ( = + c ( c c = + = = (c c LL Vemos ento que o padro geral para esta ltima frmula ser dado por: ( ) ( )( )( )1 1 212 2 22 212 2 0i i i iii iii i ii iccc cxc c c c c c c c c+ ++ ( = + ( A= (A A A c (= = ( (c No limite, teremos: 2 222 20 , ondekc ct x o| |c c = = | |c c\ .. possvel, por uma anlise dimensional, constatar que c tem a dimen-so de velocidade: Teoria de Campo e Relatividade25 Notas das aulas do Prof. Susskind Universidade de Stanford ( )222 2velocidadeF k L Lk ML L Lk ML TM L M T Tk LM To o= A = = =`=) Certamente, neste caso, c no a velocidade da luz. Porm, conforme a equao obtida, derivamos a velocidade de propagao do movimento atravs da corda kco| |= | |\ ..Este o modelo da forma como se propagam as ondas segundo a teoria clssica de campo na mecnica. VejamoscomooLagrangeanodestesistemaexpresso,quandopassa-mos para o caso limite, fazendo0 c : ( )2222 2i ii ic o c o c= A L Para a energia cintica I deLteremos: 2 202 2GFi iiT T dxco o c = =} Para a energia potencial u deL , teremos: 2 22iicU ocA= Neste caso, para transformar o termo da somatria em uma derivada ao quadrado,precisamosdividirotermoporc .Porm,paratransformarmosa Teoria de Campo e Relatividade26 Notas das aulas do Prof. Susskind Universidade de Stanford somatriaemumaintegral,precisamosmultiplicartodaasomatriaporc . Ento basta multiplicar a expresso porc c ! 2 22 202 2GFiic cU U dxxc o o cc(((]A c| | | |= = ||c\ . \ . 2 222GFc dxt xo (((] (c c| | | | = ( ||c c\ . \ . ( L Desenhando o diagrama espao-tempo, obtemos: No tempo t1, teremos, para cada x entre F e 0, um valor definido para (x).comestesvaloresvariandoaolongodotempoquecalcularemosa Ao: 212 222GFttAo A c dx dtt xo ((((( (( ]] (c c| | | |= = ( ||c c\ . \ . ( x t t2 t1 F 0 ]nuI ncuI Teoria de Campo e Relatividade27 Notas das aulas do Prof. Susskind Universidade de Stanford muitoimportantenotarasimetriaentretempoeespaonaequa-o da Ao.Oassuntoquenosinteressaagoraapropagaodaluz.Vamostraba-lhar,portanto,comsistemasnosquaisavelocidadedaluzunitria(c = 1), atendo-nos apenas estrutura da equao da Ao, independente do particular meio de propagao (o): 212 212GFttA dx dtt x ((((( (( ]] (c c| | | |= ( ||c c\ . \ . ( Comisso,comeamosaverumaestruturamaisgeneralizadanesta equao, na qual aparece a energia cintica 2t c| | |c\ .menos a energia potencial 2x c| | |c\ ., formando o respectivo Lagrangeano. Teoria de Campo e Relatividade28 Notas das aulas do Prof. Susskind Universidade de Stanford TEORIA DE CAMPO E RELATIVIDADE AULA NO 03 Invarincia das Leis da Natureza Tensores e quadri-vetores Lagrangeano da Onda Vamos falar a respeito da invarincia das leis da natureza segundo as v-rias operaes de transformao entre sistemas, tendo em vista a Transforma-o de Lorentz. Vejamos qual a estratgia para produzir leis que parecem as mesmas em todos os sistemas de referncia. A estratgia consiste em expressar estas leis numa forma que no depen-da da escolha do sistema de coordenadas, para ento eleger um sistema espec-fico e reescrever as leis numa linguagem apropriada para o novo sistema ado-tado. Porexemplo,amenordistnciaentredoispontos(queadefiniode uma linha reta) no depende de nenhum particular sistema de referncia. Uma consequnciadestapropriedade,naFsica,queoraiodeluzpercorre(no vcuo) uma linha reta no espao, perfazendo o trajeto correspondente menor distnciaentreosdoispontos.Ageneralizaodestapropriedadedaluz, quando o trajeto passa por vrios meios, estabelece que o tempo gasto pela luz para ir de um ponto a outro sempreo menor possvel. Ao expressar estas leis, no utilizamos nenhuma definio especial do sistema de coordenadas. Tais leis foram expressas de uma forma independente do sistema de coordena-das.Podemos,noentanto,tomarumsistemaemparticular,paradesenvolver estas leis matematicamente e resolver algumas equaes. Se considerarmos a luz propagando-se no vcuo, ento o menor caminho dadoporumareta.Nestecaso,portanto,podemosescolherumsistemare-tangular de coordenadas. Imaginamos um trajeto percorrido por uma trajetria qualquer. Dividin-do a trajetria em pequenos segmentos, cada um deles caracterizado por um deslocamento composto por Jx e Jy. O comprimento da trajetria a soma de todos os segmentos entre os pontos A e B: Teoria de Campo e Relatividade29 Notas das aulas do Prof. Susskind Universidade de Stanford Js = Jx2 + Jy2 Este elemento de distncia Js no depende da orientao dos eixos. Vejamosumexemploparaaaplicaodesteconceito.Ocomprimento de uma trajetria dado por: s = __1 + _JyJx]2 JxBA Comessaexpresso,podemostentaracharqualatrajetriademenor comprimento que liga os dois pontos A e B. Este um problema bastante simi-lar ao Princpio da Mnima Ao (PMA), segundo o qual a trajetria de uma partcula no espao-tempo minimiza a Ao. Oprincipalpontonestaquestoestnofatodensexpressarmosalei originalsemnosreferirmosanenhumsistemadecoordenadas(comprimento deumatrajetria),sendoestaarazopelaqualpodemostercertezadeque, quando introduzirmos um sistema de coordenadas, a resposta ser independen-te do sistema particular em questo! Quando enunciamos esta lei, o fator matemtico fundamental para a sua expresso foi a relao pitagrica do elemento de distncia com os elementos de coordenadas do sistema: Js2 = Jx2 +Jy2. Esta expresso para o elemento de distncia ela prpria um exemplo de invarincia, segundo a qual a distncia entre dois pontos vizinhos no depende ( invariante) do sistema de coordenadas escolhido. JsJxJyxy A BTeoria de Campo e Relatividade30 Notas das aulas do Prof. Susskind Universidade de Stanford xi = x cosh - t sinh ti = -x sinh + t cosh Uma das maneiras de confirmar esta propriedade fazer uma rotao do sistema de coordenadas e constatar que a lei de transformao de coordenadas porrotaoumaleiquemantminalteradaaexpressoparaoelementode distncia: Naverdade,qualquerquantidadequesetransformadomesmomodo como x e y ser, na soma dos quadrados de suas componentes, uma quantida-de invariante. Estaentoaestratgiacomaqualprocuramosmeiosparaconstruir quantidadesquesoinvariantesemrelaooperaonaqualestamosinte-ressados,paraexpress-la[talvezsegundooPrincpiodaMnimaAo (PMA)] de uma forma independente do sistema de coordenadas. Voltemos transformao de Lorentz: As componentes y e z simplesmente nosealteram(simetriaderotao em torno do eixo x): yi = y e zi = z. Quandolevamosemconsideraoasquatrocoordenadas(x, y, z, t),a quantidade invariante passa a ser: t2 - (x2 + y2 + z2), onde x2 + y2 + z2 a distncia no espao. JsJxJy y xtJsJxJyxJs2 = Jx2 + Jy2 = Jx2 + Jy2 Teoria de Campo e Relatividade31 Notas das aulas do Prof. Susskind Universidade de Stanford Portanto t2 -(x2 +y2 + z2)aquantidadeconservadanumatrans-formao de Lorentz seguida por uma rotao, uma vez que na rotao do sis-tema de coordenadas a distncia no espao invariante. Qualquerquantidadeque,numatransformaodeLorentzcombinada com uma rotao, transforma-se do mesmo modo que (x, y, z, t) tambm ser conservada,condiodaqualsurgeoconceitode4-vetor.Assim,aquantia conservada segundo a transformao de Lorentz dada por: t2 - x2 - y2 -z2 No caso de uma trajetria, teremos no elemento infinitesimal desta quan-tidade o 4-vetor (Jt, Jx, Jy, Jz), sendo que a quantidade invariante ser: Jt2 - Jx2 - Jy2 -Jz2 Se integrarmos esta quantia ao longo de uma trajetria no espao-tempo, obteremosotempoprprio,queuminvariantesobatransformaode Lorentz e de rotaes. Uma forma de invariante mais simples do que um 4-vetor um escalar. Umescalarumaquantiaquetemomesmovaloremtodosossistemasde referncia. Por exemplo, a carga eltrica um escalar (invariante). Outro exemplo o tempo prprio. Ambos exemplos segundo a Transformao de Lorentz e de rotaes. Se ns pudermos construir nossas leis da natureza atravs de invariantes, ento estas leis da natureza sero invariantes.Vamos denominar o 4-vetor de maneira geral, com suas quatro compo-nentes, atravs da simbologia: Jx = (Jt, Jx, Jy, Jz) A. Teremos ento, por analogia: Jx = (Jt, -Jx, -Jy, -Jz) Assim,todavezquetomarmosum4-vetoremodificarmososinaldas componentes espaciais, esta operao corresponde a levantar ou abaixar o ndice p daquele 4-vetor: Jx = (Jt, Jx, Jy, Jz) Jx = (Jt, -Jx, -Jy, -Jz) Teoria de Campo e Relatividade32 Notas das aulas do Prof. Susskind Universidade de Stanford Trata-seapenasdeumanotaoconvencionaleconveniente.Comeste recurso, podemos escrever a expresso para o tempo prprio de outra forma: 2 2 2 2d dx dx dt dx dy dzt = = --------------------------------------------------------------------------------------- OBS: Segundo a notao proposta por Einstein, toda vez que um ndice apare-cerrepetidoduasvezesemumaexpresso,subentende-seaquelaexpresso somada em todos os valores correspondentes quele ndice. Assim: d dx dx dx dx t = = --------------------------------------------------------------------------------------- Temos, portanto: 2 2 2 2d dt dt dx dx dy dy dz dzd dx dx dt dx dy dztt = = = De modo semelhante, um dado 4-vetor A ir diferir do 4-vetor A ape-naspelosinaldascomponentesespaciais.Portantoaquantiaformadapelo produtoAAser,demaneiraanlogaaJxJx,uminvariantesegundoa transformao de Lorentz e de rotao. Comeamos assim a elaborar um conjunto de regras para construir inva-riantes, atravs da utilizao de ndices superiores e inferiores que se contraba-lanam entre si. Na verdade, isso bem geral. Suponhamos que ns tenhamos dois qua-drivetores: A e B. Ento ns podemos formar uma nova quantia: AB = AtBt - AxBx - AB - AzBz Teoria de Campo e Relatividade33 Notas das aulas do Prof. Susskind Universidade de Stanford Esta quantia anloga ao produto escalar entre dois vetores, exceto pelo sinal negativo nas componentes espaciais, devido presena do ndice inferior em B. Na verdade, esta quantia a mesma quantia dada por: AB = AB Este produto escalar , portanto, um invariante segundo a transformao de Lorentz. Comeamos assim a criar um novo vocabulrio para formar quantidades invariantes. Se ns tivermos um 4-vetor que, como sabemos, deve transfor-mar-sesegundoasregrasjvistas(Lorentzerotao)emrelaoaondice superior e inferior e tivermos outra quantidade B, que no sabemos se ou no um 4-vetor, h um teste para descobrirmos a natureza de B, dado pelo fato de que, se o produto escalar de A por B (AB) for um invariante, ento B ser um 4-vetor. Vamos analisar agora outro objeto. Suponhamos uma determinada quan-tiaescalar,como,porexemplo,atemperaturaemtrsdimenses,oualgum outrovalorqueumafunodaposioaolongodoespao.Surgeaquia ideiadecamponoespao!Algunscampospodemservetoriais,como,por exemplo, a distribuio do vento no espao tridimensional da atmosfera. Imaginemosagoraquetemosumescalar| segundoastransforma-esdeLorentz:( ) x| ,ondexrepresentaasquatrocomponentes: (t, x, y, z). Isto significa que todos (de modo independente do sistema de referncia) iro medir o mesmo valor para o campo( ) x| 4 dimenses. No muito simples de achar exemplos de escalares relativsticos! Mas o conceito simples, significando que, independente da rotao do sistema ou do seu movimento relativo, o valor do campo escalar ser sempre o mesmo! Ns podemos tomar as derivadas de um escalar em relao s diferentes dimenses. Por exemplo, podemos diferenciar um escalar em relao ao tem-po: ( )txt||c=c,queumadascomponentesdaquantidadeemquesto.H tambm as outras trs derivadas:Teoria de Campo e Relatividade34 Notas das aulas do Prof. Susskind Universidade de Stanford 2 1 Jx ( )xxx||c=c; ( )yxy||c=c; ( )zxz||c=c. Estaquantiapodeserepresentadaentopor: ( ) xx||c=c,tratando-se de um objeto com trs componentes espaciais e uma componente temporal. Certamente, a quantidade | um 4-vetor. No entanto surge a dvida se ela tem um ndice inferior ou superior! Como conveno, quando temos a mu-danadosinaldasdimensesespaciais,estamosdiantedeum4-vetorcom ndice inferior. Portanto, neste caso, o ndice de fato inferior! Anomenclaturautilizadaparaobjetoscomndicesinferioresde COVARIANTE,enquantoparaaquelescomndicessuperioresde CONTRAVARIANTE.Portanto ( ) xx||c=c um 4-vetor COVARIANTE (ndice inferior). Vamos provar isso: Senspudermosacharum4-vetorcontravariante,cujoprodutoescalar com o 4-vetor |seja invariante, ento provaremos que | um 4-vetor co-variante. Vamos considerar dois pontos vizinhos no espao-tempo, separados pelo intervalodx: dx um quadrivetor conhecido e contravariante. Multiplicando x| cc pordx, obtemos:2 1constante dxx|| |c= =c! Teoria de Campo e Relatividade35 Notas das aulas do Prof. Susskind Universidade de Stanford Portantodxx| cc um invariante. Mas, uma vez quedx um 4-vetor contravariante, ento x| cc um 4-vetor covariante. Resulta,portanto,quedxe x| ccsodois4-vetores.Assimpodemos criar o 4-vetor covariante Jx, mudando o sinal das componentes espaciais de dx. Da mesma forma, podemos criar uma verso contravariante de | , tro-cando o sinal de suas componentes espaciais e obtendo assim | : ( )( ), , , ,, , ,t x y zt x y z| | | | || | | | |= c c c c c c c c= c c c c c c c c Se multiplicarmos |por | , obteremos: ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2t x y z| | | | | | = c c c c c c c c . Todososobservadoresmediroomesmovalorparaoescalardadopor | | . A notao adotada para esta expresso do invariante : | | c c . Oqueestamosfazendodesenvolverregrasdeclculoparaconstruir INVARIANTES com relao transformao de coordenadas! Vimosentoque,apartirdeumcampoescalar| ,podemosobterum4-vetor: x| cc, | c , |(notaes equivalentes para sua expresso covarian-te),ou x| cc, | c , | (notaesequivalentesparasuaexpressoparasua expresso contravariante). Teoria de Campo e Relatividade36 Notas das aulas do Prof. Susskind Universidade de Stanford Devemos nos lembrar de que, neste sistema de coordenadas, a velocida-de da luz foi considerada unitria, podendo ser recuperada depois, atravs de uma anlise dimensional. Vamos voltar ao problema de uma corda vibrando transversalmente, en-tredoispontosfixos,ondeachamos,atravsdeumaaproximaolimite,o campo: ( )x | :( )0ixc| | . Vimostambm,nesteproblema,umafunoparaovalordaAo.O valor desta funo em termos discretos dado por: ( )212 221Lagrangeano2 2tii iitcA dtc | c+((((]| |= |\ .. Quando tomamos o limite da expresso para0 c , vimos que as equa-es do movimento, segundo as equaes de Euler-Lagrange (fazendo c = 1), reduziram-se a:2 22 20t x| | c c =c c, onde 22t| cc simplesmente a acelerao do prprio campo. Ns tambm vimos oqueaconteceaoLagrangeano,quandolevamosasequaesparaomesmo limite0 c :2 2012GFdxt xc| |(((] (c c| | | | ( ||c c\ . \ . ( Lsendo que nesta expresso tomamos c = 1. Teoria de Campo e Relatividade37 Notas das aulas do Prof. Susskind Universidade de Stanford PortantooLagrangeanoumaintegralnoespao,enquantoaAo constitui uma integral no tempo, resultando assim: 212 212tGFtA dxdtt x| |((((( (( ]] (c c| | | |= ( ||c c\ . \ . ( Trata-se de uma integral estendida no espao e no tempo: Temosassimumaintegralno espaocujovalorintegradoaolon-godotempo,paradeterminara Ao. PodemosverqueoLagrangeanotemamesmaformadoinvariante | |(considerando c = 1), cujo valor independe do sistema de coordenadas segundo a Transformao de Lorentz. E o fato de que o Lagrangeano toma esta forma particular, como um in-variante segundo a transformao de Lorentz, no uma simples coincidncia. Isto quer dizer que as equaes do movimento so invariantes com respeito transformao de Lorentz! Vamos representar o Lagrangeano obtido atravs do limite de0 c pe-la letra L: ( ) ( )0limiL dxc| |= = c}L L A quantia ( )| c L chamada de densidade de Lagrangeano, que inte-grada ao longo do espao. F G t1 t2 x t Jx Jt Teoria de Campo e Relatividade38 Notas das aulas do Prof. Susskind Universidade de Stanford Ento temos a Ao, que dada por: ( )A dxdt| = c} }L . PodemosimaginaradensidadedeLagrangeano,ento,comoadensi-dadedeaoporunidadedevolumenoespao-tempo.Assim,integrandoa densidadedeaoaolongodoespao-tempo,obtemoscomoresultadoa Ao! Se a densidade de Lagrangeano um escalar, ento as equaes do mo-vimento, segundo a transformao de Lorentz, so invariantes. Alguns detalhes lgicos no foram considerados aqui, mas a ideia prin-cipal deve estar clara, com relao a como construir leis da natureza invarian-tes a partir de princpios invariantes. Vamos agora supor que, em vez de expressar a onda atravs de um cam-po vibrante ao longo de uma nica dimenso, desejamos express-la no espao completo: x, y e z. Aestratgiabastanteclara.Tudoquetemosdefazer,paraencontrar umadescrioinvariantesegundoumatransformaodeLorentz,noespao quadridimensional, completar o restante da expresso: 412A d x| | = c c} Esta a forma compacta para a expresso da AO: ( )2 2 2 212x y z tA dxdydz dt | | | | = } Assim, a Ao ela mesma invariante, independendo do sistema de refe-rncia.PortantoaminimizaodaAotambmnodependedosistemade referncia. O mnimo obtido da mesma forma como fizemos para a ao no caso de um sistema de partculas, quando supusemos uma variao infinitesi-Teoria de Campo e Relatividade39 Notas das aulas do Prof. Susskind Universidade de Stanford malnatrajetriaverdadeiraeconsideramosque,nopontodemnimo,esta variaodevesernula.Estacondio,ento,noslevouaumaequaodife-rencial local (Euler-Lagrange), que nos dava a equao do movimento do sis-tema. Portanto nossa estratgia ser a mesma, porm aplicada a uma regio do espao-tempo.Sensqueremossaberqualocampocujahistrianotempo minimiza a Ao, ns podemos supor conhecida a soluo do problema em um pequenocontornodaregiodoespao-tempo(asoluonaFRONTEIRA destapequenaregiodoespao-tempo).Entoprecisamossimplesmentemi-nimizar a Ao nesta pequena regio (dentro desta regio), submetendo-nos condio estabelecida na fronteira desta regio. Assim obteremos as equaes diferenciais para o movimento do campo. Teoria de Campo e Relatividade40 Notas das aulas do Prof. Susskind Universidade de Stanford TEORIA DE CAMPO E RELATIVIDADE AULA NO 04 Equao de Onda Lagrangeano para ondas Simetrias e Leis de conservao Ateoriaclssicadocampoumcasoespecialdamecnicaclssica. Sendo assim, devemos encar-la como um exemplo expressivo das leis da me-cnica clssica. Vamos fazer uma pequena reviso da mecnica clssica, para ento apli-c-la teoria de campo, tendo em mente um objetivo particular, que a cone-xo entre "simetrias" e "leis de conservao", cujo papel especialmente inte-ressante e primordial em relao "teoria relativstica do campo". Paraonossopropsito,vamosconsiderarapenasomovimentodeuma partculaisolada,movendo-sesomentenumadireo,cujaequaodomovi-mento dada por: ( )x t .Graficamente, podemos representar a trajetria da partcula por: Esta trajetria minimiza a quan-tia denominada Ao: ( )21,ttA L x x dt =} Assim, mantendo-se os dois pontos extremos em t1 e t2 fixos (condies iniciais), a trajetria descrita pela partcula ir assumir um valor mnimo para a Ao em relao a todas as outras trajetrias possveis para a partcula. t1 t2 f(x) Teoria de Campo e Relatividade41 Notas das aulas do Prof. Susskind Universidade de Stanford Portanto,aofazermosqualquerpequenavariaonatrajetriarealda partcula, a ao deve sofrer um pequeno acrscimo. Porm a condio de que a ao deve aumentar com qualquer variao da trajetria equivale condio de que a ao no sofre variao, pois, quando minimizamos uma funo, pro-curamos uma variao de primeira ordem nula. Por exemplo, para uma funo de apenas uma varivel, seu ponto de mnimo estar situado sobre a horizontal tangente funo no seu ponto de mnimo. Apesar de, no caso da nossa trajetria, a minimizao ser uma funo de toda a trajetria, e no apenas de um ponto, a variao da funo no seu ponto de mnimo tambm deve ser nula. Assim,paradeterminarmosomnimodeumafuno,devemosexigir queavariaodafuno(( )f x o )devasernulaparaqualquervariaodex ( x o ). Se ns tivermos, por exemplo, uma funo de duas variveis: ( ), f x y , a condio para o ponto de mnimo ser:0 , 0f fx yc c= =c c. Esta condio pode ser expressa por: 0f ff x yx yo o oc c= + =c c ( )0df xdx=0ff x fxo o oc= =cf(x) Teoria de Campo e Relatividade42 Notas das aulas do Prof. Susskind Universidade de Stanford NocasodatrajetriaqueminimizaaAo,queremosexplorarocom-portamento de trajetrias vizinhas trajetria real da partcula, requerendo que a mudana na Ao seja nula, quando fazemos uma pequena variao na traje-tria real ( ) x t : ( )21, 0ttL x x dt o =} ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) x t x t f tx t f xx t f tco co c= += = ( ) ( ) ( )2 2 21 1 1,t t tt t tL L L LL x x dt x x dt f t f t dtx x x xo o o cc c c c| | | |= + = + ||c c c c\ . \ .} } } ( ) ( ) ( )( )2 21 121integrandopor partes,0t tt tttL d LL x x dt f t f t dtx dt xL d Lf t dtx dt xo cc| c c || | = = ||c c\ .\ .| c c || |= = ||c c\ .\ .} }} Uma vez que ( )f t arbitrria: 0 "LAGRANGEANO"L d Lx dt xc c| | = |c c\ . ( ) x t( )f tt Teoria de Campo e Relatividade43 Notas das aulas do Prof. Susskind Universidade de Stanford Para o caso de vrias coordenadas generalizadas, a equao pode ser es-crita na seguinte forma: 0i id L Ldt q q| |c c = |c c\ . EQUAES DE EULER-LAGRANGE Vamosgeneralizaristoparaateoriadecampo,queumcasoespecial daquelejvisto,ondeasvriascoordenadascorrespondemaosvaloresdo campo em diferentes posies do espao. Conformejvimosemnossoexemplo,ondedividimosumamolaem diversas molas menores, o campo assume um valor que uma funo contnua da posio, medida que a diviso da mola tende para infinito. Vamosenfatizarque ( )x | noserefereposionoespao,massim ao valor assumido pelo campo em um determinado ponto do espao. Quando passamos condio limite, todas as somas de energia cintica e potencial transformam-se em integrais, de modo que teremos para a expresso do Lagrangeano, no caso mais geral: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3, , , ,t x y zL x x x x x d x | | | | | =}L Nestaexpresso,significaadensidadeespacialdoLagrangeano, sendoquetemosasseguintespossveisnotaesparaasderivadas: t tt|| | |c= = c =c, alm disso, usamos 3d x dxdy dz = . Teoria de Campo e Relatividade44 Notas das aulas do Prof. Susskind Universidade de Stanford Ns podemos chamar estas derivadas do campo no Lagrangeano de | , onde o ndicevaria de 0 a 3, correspondendo s coordenadas t, x, y, e z. Um tpico Lagrangeano pode ser formado pela metade da diferena entre a derivada no tempo e a soma das derivadas no espao, ou seja, pela metade da diferena entre a energia cintica e a energia potencial: : ( )2 2 2 2 2 2 212t x y zEnergiaEnergiaCinticaPotencialc c c | | | || | | | + + | |\ .L A expresso tambm poderia conter termos em| , por exemplo, no caso daenergiapotencialdevidogravidade, dependentedaalturaqueamolavi-brante se encontra. Assim, poderamos ter, como expresso para o Lagrangea-no, a seguinte expresso: ( ) ( )2 2 2 2 2 2 312t x y zL c d x | | | | | = + + }, onde o termo dependente de|foi feito igual a 2| , para tornar mais simples a expresso. Para obtermos a ao, temos que realizar uma segunda integral, agora ao longo do tempo: ( ) ( )212 2 2 2 2 2 312tt x y ztA c d x dt | | | | || |= + + |\ .} } ou ( ) ( )2 2 2 2 2 2 412t x y zA c d x | | | | | = + + } onde 4d x refere-se integrao no espao-tempo. Teoria de Campo e Relatividade45 Notas das aulas do Prof. Susskind Universidade de Stanford Qualentoacondioparaocamposerinvariante,segundoatrans-formao de Lorentz? Paratrabalharmosagora,consideraremosocampocomoumescalar. Mas devemos ter em mente que ele pode representar um vetor, um tensor, etc. Se a densidade de Lagrangeano for um escalar, isto significa que a ao no depende da transformao de Lorentz, de modo que as equaes de campo sero invariantes segundo a transformao de Lorentz. O nosso Lagrangeano pode ser expresso da seguinte forma: ( )( )( )( ) ( )21; onde2t x y zt x y zcc| | | | || | || | | | |c = + +c c c = + + + Vejamos agora quais so as equaes de Euler-Lagrange que obtemos a partir deste Lagrangeano. Neste caso, a nossa dificuldade maior, pois o La-grangeanodependedoespaoedotempo,envolvendoderivadasparciais,ou equaes de onda. Vejamos como possvel minimizar a ao neste caso do campo. 2 412 2A d x| | || |= c c |\ .} Vamossuporque ( ), x t | sejaasoluoparaaminimizaodaao.Acrescentemos a esta soluo uma pequena variao, de maneira anloga j feita anteriormente: ( ) ( ) ( ), , , x t x t f x t | | c = + Coloquemosaimposiodeque,paraqualquervariaoemtornode ( ), x t | , a variao da Ao deve ser nula: 0 (Valor estacionrio) A o =Teoria de Campo e Relatividade46 Notas das aulas do Prof. Susskind Universidade de Stanford ( ) ( )( )( )( )( )4Somaem , ,,, 0,,x t f x tf x tA f x t d xf x txx tx o| co c| |o| c ( (= ( cc c = + =( cc c c=(c ( }L L Integrando por partes: ( ) ( )( )( )44, , 0, 0Como, arbitrria:0A f x t f x t d xxA f x t d xxf x tx o c| |o| || | (| |c c c= = (| |c c c (\ . (| |c c c= = (| |c c c (\ . | |c c c = | |c c c\ .}}L LL LL L EstassoasequaesdeEuler-Lagrangeparaomovimentodocampo. Vejamos como elas se aplicam ao exemplo de Lagrangeano: 20t x y zct | | | | || || |c c c c c c + + = | | |c c c c c c\ .\ .L L L L L ou: ( )20tt xx yy zzc | | | | | + + + =Por enquanto, vamos desconsiderar o termo |, o qual iremos estudar no final do curso. Portanto a equao obtida ser dada por:( )20tt xx yy zzc | | | | + + = Teoria de Campo e Relatividade47 Notas das aulas do Prof. Susskind Universidade de Stanford Esta a equao que descreve a propagao da luz e de qualquer campo que se propague na velocidade da luz. Vamos nos concentrar nesta equao apenas na dimenso x. Isto poderia, por exemplo, representar uma onda plana, cuja variao s depende do deslo-camento na direo do eixo x. Nestas condies, a equao de onda ser dada por: 2 222 20 ct x| | c c =c c. H dois tipos de soluo para esta equao: ( ) ( ) ( ) ( )e , ou seja: f x ct f x ct f x ct f x ct | | | = = + = + + Estasduasfunesrepresentamfunesmovendo-separaadireita ( ) ( )f x ct e para a esquerda ( ) ( )g x ct + , ao longo do eixo x. Neste caso, a forma das funes no se altera, apenas se desloca ao longo do eixo x. ---------------------------------------------------------------------------------------------- OBS: Se na equao de onda estivesse presente o termo|, ento a forma de onda no permaneceria constante. A equao de onda sem o termo | cha-mada de equao de onda destituda de massa. ---------------------------------------------------------------------------------------------- Teoria de Campo e Relatividade48 Notas das aulas do Prof. Susskind Universidade de Stanford A equao de onda com ou sem o termo de massa ( |) uma equao diferencial linear (no apresenta produtos ou potncias que envolvam a funo em si e suas derivadas).Paraasequaesdiferenciaislineares,assoluespodemsersomadas, sendoqueasomatriapermanecetambmumasoluo.Damesmaforma, qualquer combinao linear de solues permanece tambm uma soluo. EmrelaoaoLagrangeano,oquefazasequaesdeondaresultarem linearesofatodequeostermosdoLagrangeanosoquadrticos,demodo que suas derivadas so lineares. Por exemplo, na partcula livre, o Lagrangea-no proporcional a 2x, o que resulta em 0 x = , (linear!).Outro exemplo seria o oscilador harmnico, onde o Lagrangeano dado por: 2 21 12 2mx k x , de onde resulta a equao linear do movimento:x k x = . Vamos nos concentrar agora na teoria que liga as simetrias s leis de conservao. Para simplificar, separaremos as leis de conservao em dois tipos: con-servao de energia e os demais tipos de conservao. Aconservaodeenergiaestligadasimetriadetranslaoaolongo do tempo, ou seja, invarincia da Ao em relao translao no tempo. A maioriadosproblemasnafsicaapresentamsimetrianotempo.Adeduo desta relao entre simetria no tempo e a conservao de energia j foi vista no curso de Mecnica Clssica. O Lagrangeano, em sua forma simples, composto pelos quadrados das derivadasnotempo(velocidades),quechamamosdetermoscinticos.Por exemplo, na onda, o termo: 212eK | =, chamado de energia cintica, que se refere derivada do valor do campo em relao ao tempo em um dado ponto do espao, e no ao movimento da onda em si mesma. Os termos que no dependem da derivada no tempo so chamados po-tenciais:2212 2U|| = c +. Teoria de Campo e Relatividade49 Notas das aulas do Prof. Susskind Universidade de Stanford No caso da onda na mola contnua, a soma desses termos se reduz a uma integral: 22 3 2 31;2 2eK d x U d x|| | | |= = c + |\ .} } OLagrangeanodadopeladiferenaentreostermoseEK U ,masa conservao da energia dada pela soma dos dois. Assim, de maneira geral, a energia tem uma caracterstica positiva, a no ser para o caso nulo. H tambm outros tipos de conservao. Suponhamos que o Lagrangea-no no se modifique com uma transformao infinitesimal em suas coordena-das[( )i i iq q f q c + ],entoteremosumasimetriaemrelaoaodesloca-mento no espao. No caso, por exemplo, de dois corpos ligados por uma mola, teremos: Nestas condies, se fizermos: x xy ycc+ +, ento as derivadas de x e y no se alteram, como no se altera tambm a diferena entre x e y, indicando com isso a simetria do sistema. Outra simetria seria, por exemplo, em relao a uma rotao do sistema.Para vermos como a conservao est ligada simetria, devemos recor-dar que o momento cannico conjugado varivel iq dado por:iiLqcH =c DestemodoqueaequaodeEuler-Lagrangedomovimentopodeser escrita como: iid Ldt qcH =c ( )2 221 22 2 2x y km m x y + Teoria de Campo e Relatividade50 Notas das aulas do Prof. Susskind Universidade de Stanford Paraocasodatransformaodecoordenadas: ( )i i iq q f q c + ,onde haja simetria, ou seja, a variao do Lagrangeano ( L o ) seja nula em relao variao de iq( ) ( )if q c , resulta que: ( ) ( )0i i i i ii i iiL d dL q q f qq dt dto o o cc= = H = H =c Portanto: ( ) ( )0i iidf qdtc H =, ou, uma vez que ( )if qno depende do tempo e quec uma constante, ento: ( ) ( ) ( )0 constante no tempoi i i ii idf q f qdt H = H = Destemodoqueestasomatriaumaquantidadeconservadaaolongo do tempo. No caso da mola, por exemplo, temos: ( )( )1 211xi i x yyx fp f m x m y p py fo co c = = = + = += = Portanto o momento total conservado. No caso da onda, em vez de termos as coordenadas iq ,temosocampo ao longo do espao: ( )x | . Assim, obtemos de maneira anloga:( )( )iiL Lxq x||c cH = = Hc c Portanto,nestecasodaondaemumanicadimenso,teremosparao Lagrangeano:( )( )22 212xL c dx | | = c} Teoria de Campo e Relatividade51 Notas das aulas do Prof. Susskind Universidade de Stanford Sefizermosumamudanadecoordenadasdotipo ( ) ( )x x | | c + , onde( )1i if q = ,resulta para a quantia conservada a expresso: ()dx x dx|| H =} }. Comisso,ovalordestaintegralnosealteramedidaqueaondase movimenta.Se houvesse no Lagrangeano o termo 2| , esta simetria no seria obser-vada. Teoria de Campo e Relatividade52 Notas das aulas do Prof. Susskind Universidade de Stanford TEORIA DE CAMPO E RELATIVIDADE AULA NO 05 Lagrangeano do campo contnuo Momento da onda Quantia conservada no campo O mais familiar e mais simples exemplo de momento na Mecnica Cls-sica dado por:p mv =EmrelaoaoLagrangeano,temosumnovoconceitoparaomomento, que chamado de momento cannico conjugado coordenada iq : iiLqcH =c. Resulta assim, como j vimos antes, que o momento um caso de quan-tia conservada devido a uma simetria de translao. Neste aspecto, o momento pode diferir daquele aspecto usualp mv = , por exemplo, no caso da partcula carregadamovendo-seemumcampomagntico,cujomomentocannico dado por:( )Vetor Potencial mv e A v A H = + Para o caso da equao de onda, o Lagrangeano dado por: 22 2 22 3Densidade de Lagrangeano2 2 2 2yx zL c d x|| | || || |= + +| | | |\ .\ .}L Omomentodocamponoumvetornoespao,noestandoligadoa uma direo como o momento comum. Trata-se de uma quantia escalar, defi-nida como a derivada do Lagrangeano em relao a|. Trata-se, portanto, de um novo conceito, que no tem nada a ver com a simetria de translao: Teoria de Campo e Relatividade53 Notas das aulas do Prof. Susskind Universidade de Stanford ( )3"Momento do Campo"OBS: L d x|cH = =c}LL Como j vimos, nas translaes simtricas, a quantia conservada dada por: ( )i iif q H No caso do campo contnuo, esta quantia passa a ser dada por: ( ) ( )( )22 212xx dx dx c dx dx|| | || |c c | |H = = c = |c c \ .} } } } LL Como j vimos, quando o sistema simtrico em relao ao tempo, en-to haver conservao da energia.Vamos considerar a energia para a teoria do campo simples numa nica dimenso, com um Lagrangeano dado por: ( )( )( )22 22 2 21212t xt xL dx cE c dx| || |= (= + }} Consideremos apenas a soluo da equao de onda movendo-se para a direita: ( )F x ct | = . ( )( )2 2 2Fazendo-112x ct uF u Fct u t uF u Fx u x uF F FE c c dx c dxu u u||=c c c c= = c c c cc c c c= =c c c c c c c| | = + = |c c c\ .} } Para a soluo movendo-se esquerda, ( )F x ct | = + , teremos:Teoria de Campo e Relatividade54 Notas das aulas do Prof. Susskind Universidade de Stanford ( )2F u F Fc E c dxt u t u u| c c c c c= ==c c c c c} Com isso, obtemos a mesma expresso para a energia. Portanto as ondas, tanto para a direita como para a esquerda, possuem as mesmas energias, o que natural.Vejamos agora o conceito de momento linear para o campo. No se trata agoradomomentoconjugado,massimdaquelemomentoque,aoatingiral-gumobstculo,irafaz-lomovimentar-se.Nestecaso,omomentolinearda onda movendo-se para a direita ter sinal oposto (sentido contrrio) ao da onda movendo-separaaesquerda.Trata-sedeumapartedomomentoordinrio, porm carregado por ondas. Na mecnica quntica a parte do momento car-regado pelo fton. Omomentoordinrioestrelacionadocomainvarinciasegundoa translao no espao. Podemos ento perguntar se o Lagrangeano do campo invariantecomrelaotranslaonoespaoe,sendoesteocaso,quala quantidade conservada.Vamos imaginar que ns temos uma equao do campo ( )x |e que essa funo seja deslocada ao longo do eixo x: Pela prpria figura, bastante bvio que a integral do Lagrangeano no deve se alterar. Se fizermosx x c , isto significa deslocarmos ( )x | para a direita por um intervaloc . ( )x |( )x | c Teoria de Campo e Relatividade55 Notas das aulas do Prof. Susskind Universidade de Stanford ( ) ( ) ( ) ( )xx x x x xdxx x xc| c | | || | |o|c c=A + A A A c= = = A A c Trata-se,portanto,deumatranslaoanlogaquelaquejvimosem ( )i i iq q f q c + ,onde ( )if q representadopor x| cc.Temosentoquea quantidade conservada ser dada por:p f dx dx dx p dxx x x t||| | | ||c c c c c= H = H = = c c c c c} } } }L Estaentoaquantidadeconservadapelatransformaoinvarianteno espao.Vamos supor que o nosso sistema fosse uma combinao de partculas e deondas,porexemplo,radiaoeletromagnticaepartculascarregadas.Se ns deslocssemos todas as ondas por um pequeno intervaloc , mantendo sem alterao a posio das partculas, no teramos mais uma quantidade conser-vada.Porm,sedeslocarmostantoasondascomoaspartculas,entooLa-grangeanonosealterariaeomomentototalseriaconservado,tendocontri-buies advindas das partculas e das ondas. Calculemos ento o momento de nossa onda ( )F x ct | = , que se mo-ve para a direita e onde fizemos ( ), com F u u x ct | = = :2 2( )F Fp c dx c dxu uc c| | | |= = ||c c\ . \ .} } No caso da onda para a esquerda, ( )F x ct | = + :2Fp c dxuc| |= |c\ .} Conformeesperado,osmomentostmsinaisopostos.Vemostambm uma relao simples entre a energia e o momento da onda: E c p = . Verifi-camos assim a lei da conservao do momento linear. Teoria de Campo e Relatividade56 Notas das aulas do Prof. Susskind Universidade de Stanford Vamos ver agora outra quantidade conservada, que est associada a um particulartipodecampo.Estecampodefinidoporvalorescomplexos.Um campo complexo dado pela soma de um campo real com outro campo real, multiplicado pelo nmero imaginrio i. Nosso campo ser ento:*1 2 1 21 2i iix x x | | | | | || | |= + = c c c= +c c c Vamos escrever o Lagrangeano para este campo complexo:( ) ( )( )2 2 2 3 2 2 2 31 1 1 2 2 2* * * 31 12 212x xx xL d x d xL d x| | | | | ||| | | | |= c + c = c c } }} Este Lagrangeano tem as simetrias j vistas por ns em relao ao tempo eaoespao(energiaemomento).Maseletemtambmumanovasimetria, relacionadaaumanovaquantidadeconservada,quetemgrandeimportncia na Fsica de Partculas e na Mecnica Quntica. Se multiplicarmos|por iec, ondec um nmero real, o que significa rotacionar| porumngulo, c teremosumatransformaodocampoque apresentar simetria: Teoria de Campo e Relatividade57 Notas das aulas do Prof. Susskind Universidade de Stanford Comoaproximaodeprimeiraordem,temosque1ie icc ~ + (paracpequeno).Almdisso,ofatodemultiplicarmos| por ie cnomodificaos produtos * * *, ex x| | | | | | , pois. 1i ie ec c = . Ento teremos: ( ) ( )( )( )* * * * * *1 .1 .iie i ie i icco| | | | c | c |o| | | | c | c |= ~ + == ~ = Uma vez que o Lagrangeano no se altera, temos a conservao de uma quantia. Vejamos qual esta quantia. ***;2 2||| || |c cH = = H = =c c L L Como ( )i o| c | ~e ( )* *i o| c | ~ , entof i|| =e **f i|| = . Assim, a quantia conservada ser: ( )* ** *3 32 2f f d x i d x| || || || |((( ((]]| |H + H = |\ . Portanto a quantidade conservada dada pela expresso:* *32 2i d x| | ||(((]| | |\ . Esta quantia a carga eltrica do campo. Vamos assim, aos poucos, che-gando s ideias da Teoria Quntica do Campo. Como j vimos, cada tipo de partcula um quantum de algum campo. Ftons so quantas de um campo eletromagntico, que so campos reais, e no complexos. O eltron tambm o quantum de um campo, no do tipo de cam-poqueestamosacostumadosaconceber,ouquepossamosfacilmentemedir com um detector de campo no laboratrio, mas ainda assim os eltrons so o quantum de um campo. No se trata de campos que exercem fora no eltron, mas sim do quantum de campo que constituiu o eltron em si mesmo. Outras Teoria de Campo e Relatividade58 Notas das aulas do Prof. Susskind Universidade de Stanford partculasquepossuemcargatambmsoquantumdecampos,sendotodas elas (que possuem carga) formadas por campos complexos, como os que aca-bamos de ver. A expresso que obtivemos nos d a carga eltrica carregada pelo cam-po.Vemosentoqueaexpresso,noseuintegrando,contmadensidadede carga, que deve ser integrada no espao, para se obter a carga eltrica.Podemos imaginar assim um campo se movendo em uma dada direo, como uma carga eltrica, que, ao interagir com campo eltrico, pode ser espa-lhada ou desviada. O movimento dos pacotes de onda destes campos pode seguir trajetrias similaresquelaspercorridasporpartculascarregadasemmovimentonum campoeletromagntico.TudoistoserestudadomaisafundonaMecnica Quntica. Podemos imaginar um campo complexo como a representao da vibra-o de uma corda livre para se movimentar em duas direes: De modo que a componente 1|descreveria o movimento da corda na di-reoxeacomponente 2| ,nadireoy.Assimomovimentoseriadescrito completamente pelo campo complexo 1 2i | | | = + . Neste caso, a densidade de carga representaria o momento angular de um ponto da corda, de modo que o momentoangulartotal(dadoporumaintegral!)permanececonstante,como, por exemplo, no momento da corda na brincadeira de pula-corda. x y Teoria de Campo e Relatividade59 Notas das aulas do Prof. Susskind Universidade de Stanford TEORIA DE CAMPO E RELATIVIDADE AULA NO 06 Conservao da carga 4-vetor j Equao da continuidade Momento Angular e Carga Vamos falar sobre a conservao da carga. Para que possamos verificar a conservao da carga, temos que limitar o espao de verificao desta lei, a fim de controlar, atravs da deteco da en-trada e sada de cargas daquele volume, a quantidade total de cargas nele con-tida. Assim a ideia de conservao cargas algo mais do que a simples conta algbricadototaldecargasnouniverso,envolvendooconceitodefluxo,de modo que, se uma carga desaparece de um dado sistema, sua passagem de-tectada atravs da fronteira deste sistema. Portanto a ideia de conservao lo-cal da carga eltrica est associada corrente ou fluxo de carga pela fronteira que delimita aquele local. Ento, se uma carga desaparece nessa sala, porque houve uma corrente atravs de suas paredes, conduzindo esta carga para fora. A formalizao matemtica deste conceito feita da seguinte maneira: Temos primeiramente a ideia de densidade de carga, relacionada quan-tidade de carga existente em um dado ponto ou regio do espao. Sua defini-o pode ser feita, observando-se uma pequena caixa num espao de ladoce contendo uma carga q: ( ) ( )3densidade ,qx t c= A densidade pode variar no espao e no tempo. Teoria de Campo e Relatividade60 Notas das aulas do Prof. Susskind Universidade de Stanford Em uma regio arbitrria do espao, a quantidade total de carga contida nela ser dada por: O outro conceito empregado o de fluxo de carga. O fluxo de carga definido pela corrente. Estamos pensando aqui no em correntes passando por um fio, mas sim em cargas, nuvens de cargas, fluindo atravs do espao.Para quantificar a ideia de corrente ou fluxo, delimitamos uma pequena rea quadrada no espao (como uma janela) e perguntamos qual a quantidade de carga que passa pela janela por unidade de tempo. Assim a quantidade de carga que passa pela janela depender do tempo que esperamos corrente passar e do tamanho da janela. Quanto maior o tem-po ou a janela, maior ser a quantidade de carga total que passar pela janela. A carga uma quantia escalar, porm a corrente, tal como o vento, as-sociada a uma determinada direo. Se, por exemplo, a janela estiver deitada em relao ao movimento das cargas, nenhuma carga passar atravs dela. Portanto o fluxo uma quantia vetorial. Se orientarmos a nossa janela de modo que o eixo x seja perpendicular a ela, deixando assim que a janela fique orientada no sentido de x, ento a quantia qA t A, para a janela na direo x, definida como a componente x da corrente ou o fluxo de cargas na direo x. Volume Teoria de Campo e Relatividade61 Notas das aulas do Prof. Susskind Universidade de Stanford Analogamente, define-se yje zj . ----------------------------------------------------------------------------------------- OBS:Representamascomponentes dejnasdireesx,yezcomndi-cessuperiores , ,x y zj j j (Notaoten-sorial). ----------------------------------------------------------------------------------------- Ofluxoatravsdabordadeumaregiodevecompensaravariaode cargasnestaregio.Istopodeserexpressomatematicamente,tomandoum pequeno cubo como unidade de controle de volume, na qual iremos determinar os fluxos correspondentes s trs direes: x Teoria de Campo e Relatividade62 Notas das aulas do Prof. Susskind Universidade de Stanford ( )2 xII t j c A : quantidade de cargas que entra na caixa neste interva-lo de tempo e atravs desta rea. ( )( )2 xIIII t j c A : quantidade de cargas que sai na caixa neste inter-valo de tempo e atravs desta rea. -------------------------------------------------------------------------------------------- OBS: O fluxo entrando na regio delimitada est sendo considerado aqui como positivo. Ao contrrio, de sinal negativo, para o fluxo saindo da regio. -------------------------------------------------------------------------------------------- Ento a mudana na quantidade de carga dentro da caixa no intervalo de tempot A dada por:( ) ( )( )2 x xI IIt j j c A Isto se refere apenas direo x. O mesmo raciocnio se aplica para as outras direes, que chamaremos de yjezj : Ento as contribuies das direes y e z para o fluxo de cargas entrando no volume so respectivamente:

( ) ( )( )( ) ( )( )2 2ey y z zIII IV V VIt j j t j j c c A A Portanto a quantidade total de carga entrando no volume durante o inter-valo de tempot A ser: Teoria de Campo e Relatividade63 Notas das aulas do Prof. Susskind Universidade de Stanford ( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( ) { }2 x x y y z zI II III IV V VIt j j j j j j c A + + Dividindo esta expresso port A , obtemos a razo do aumento da carga no volume por unidade de tempo:( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( ) { }2 x x y y z zI II III IV V VIdq j j j j j jdtc = + + Fazendoacaixadiminuirsempremaisdetamanho,avariaodejao longo decir se aproximar da derivada de j ao longo da direo correspon-dente: ( ) ( )( )xx xI IIjj jx cc = c. Portanto: 2 3x y z x y zdq j j j j j jdt x y z x y zc c c c c| | | | c c c c c c= = + + ||c c c c c c\ . \ . Sedividirmosaequaopor 3c (volumedacaixa),ficaremoscom 3d qdt c| | |\ . na esquerda, que, quando0 c , a razo de variao da densidade de carga na caixa, ou seja: ddt, pois 3 0d q ddt dtcc| | |\ .. Desse modo, teremos: x y zd j j jdt x y z | | c c c= + + |c c c\ .. Chegamos assim EQUAO DA CONTINUIDADE:. 0 jt c+V =c. Onde. j V o divergente de j, ou seja:.x y zj j jjx y zc c cV = + +c c c. Teoria de Campo e Relatividade64 Notas das aulas do Prof. Susskind Universidade de Stanford Esta equao relaciona a variao da carga no volume com o fluxo atra-vsdafronteiradovolume.Esteosignificadoprofundodeconservaode uma quantia. Vamos escrever esta equao em uma forma diferente. Comojvimosantes,podemosnosreferirsvariveist,x,yezcomo0 1 2 3, ,ex x x x ,oquepodeserresumidopelaexpresso:x.Vamoschamar ento as variveis da seguinte forma: 0 1 2 3; ; ;x y zj j j j j j j = = = = . possvel representar ento a equao da continuidade pela expresso: 0jxc=c Podemosveratravsdestaequaoquejumtipodequadrivetor(4-vetor),poisestaequaodeveteromesmosignificadoemqualqueroutro sistema de referncia. A deduo desta equao no dependeu do particular sistema de refern-ciautilizado,tendosidofeitadeumaformageral.Anicamaneiraparaesta equao permanecer invarivel dada pela condio de quej se transforme segundo um quadrivetor. E isto o que de fato acontece! Temos ento uma nova verso para a conservao da carga, expressa em termosdeumaequaodecontinuidadeinvariantesegundoatransformao de Lorentz. Esse o princpio pelo qual uma carga no pode desaparecer de um lu-gar e aparecer em outro, sem que haja um fluxo de cargas na regio de frontei-ra! Esta equao tambm pode ser descrita de outra forma: 0 jc =VamosvoltaragoraderivaodoTeoremadeNoetheremrelao conservaodacarga,nateoriasimplificadadocampodotadodecertasime-tria, como vimos na ltima aula. Oteoremanosforneceoconceitodaconservaodecertaquantidade, que ns chamamos de carga, sendo que esta carga dada por uma integral ao Teoria de Campo e Relatividade65 Notas das aulas do Prof. Susskind Universidade de Stanford longo do espao. Desse modo, fica claro que esta quantidade deve ser a densi-dade espacial de carga. Perguntamos ento se teorema tambm nos fornece uma noo da densi-dade de corrente j em relao conservao de carga. O campo utilizado por ns era um campo complexo: 1 2*1 2ii| | || | |= += Podemosimaginarestecampocomo sendo formado por dois eixos no plano com-plexo,comseusvalores 1| e 2| representa-dos em cada eixo: A simetria aplicada ser atravs de uma rotao deste plano complexo: Teoria de Campo e Relatividade66 Notas das aulas do Prof. Susskind Universidade de Stanford ( )( )( ) ( )( )( ) ( )1 21 2 1 2 1 1 2 21 2 2 10 1 11i ii iie i ee i e i ii e i i i iic cc cc| | |c c | | c o| c|| | | | c | | c | | c| c| | c|= + + + =+ + + = + + == + + ( )( )1 2 1 22 1 2 1ffo| c| | |o| c| | | = =

= = Se multiplicarmos o campo complexo rotacionado deie c pelo seu con-jugado, o produto no se altera, pois: * * 2 21 2i ie ec c| | || | |= = + . Assim, se o Lagrangeano contiver termos como *|| , ou ( )2*|| , ou en-to qualquer funo de *|| , ele no sofrer nenhuma alterao com a pequena rotao ie c no plano complexo. Desta maneira, relativamente simples saber se o Lagrangeano ou no invariante, observando seus termos. SeoLagrangeanoinvariante,entoexisteumasimetria.Portantoh tambm uma lei de conservao, dada por: ( )i iQ f| = H onde ( )i if q o| c = . Para o nosso caso, teremos: ( ) ( ) ( )31 1 2 21 1 2 21 2;Q f f d x | || || |= H + Hc cH = = H = =c c} L L ( )( )3 * * 31 2 2 1CargaDensidade de Carga2iQ d x Q d x || | | | | | | = += +} } Teoria de Campo e Relatividade67 Notas das aulas do Prof. Susskind Universidade de Stanford Isto tambm pode ser escrito da seguinte forma: * 3Im Q d x || =}, onde Im significa a parte imaginria. Esta ltima forma de escrever a equao de conservao da carga permi-te que nos concentremos somente no termo *|| durante os clculos, para, so-mente no fim, tomarmos sua parte imaginria. Temos ento que a parte imaginria de *|| a densidade de carga, cuja integral no espao nos fornece a carga. Chegamos assim ideia do que seja a densidade de carga e ao conceito do quadrivetor da corrente de carga. Paraumaondapropagando-seaolongodeumacorda,adensidadede carga seria a quantidade de momento angular por unidade de comprimento, ou seja, a densidade linear de momento angular. EssesconceitosassumembastanteimportncianaMecnicaQuntica. Identificaracargacomomatematicamentesemelhanteaomomentoangular atribuiaelaasmesmaspropriedadesdomomentoangular,que,comojvi-mos,quantizadoemvaloresmltiplosde .Assimtambmacarga quantizada,assumindovaloresmltiplosdeumaunidadefundamental.Tais propriedadesadvmdasemelhana,oumelhor,doisomorfismoexistentena teoria de campo entre a carga e o momento angular, explicando assim a quan-tizao da carga. Voltandodensidadedecarga,resultaque: ( ) ( )* *Im Imt || | | = = c, onde t| c a componente covariante de um quadrivetor, pois| um escalar. Comisso,podemosverqueasoutrascomponentescovariantesdessequadri-vetor sero dadas por: ( )*0,1, 2, 3Im onde, , ,jt x y z| | = c .Aqui, passamos a expressar o quadrivetor nas suas componentes contra-variantes(ndicesuperior),oquesignificaapenastrocarosinaldoscompo-nentes x, y e z dej para a transformao de Lorentz. Vamos ver se este quadrivetor satisfaz equao da continuidade. Teoria de Campo e Relatividade68 Notas das aulas do Prof. Susskind Universidade de Stanford Nosso fluxo de corrente dado pelo quadrivetorj. Assim a nica coisa que devemos verificar se ele satisfaz a continuidade. Aequaodacontinuidadesempreocentrodosignificadodaquilo que os fsicos consideram uma quantia conservada. Vamos empregar novamente o Lagrangeano para o campo complexo: ( )( )( )* * * * ** 2 *1210,1, 2, 32x x y y z zmm| | | | | | | | | || | | | c c c c c c c c L =L = A equao do campo obtida a partir deste Lagrangeano : 2 2 2 2 20t x y zm | | | | | c c c c + = O termo2m |ter um papel importante mais frente, em relao mas-sa de uma partcula. A forma compacta de se escrever esta equao de campo : ( )20 Equao do Movimento m| | c c =Nsqueremosderivar,apartirdestaequaodecampo,aequaoda continuidade. Basta verificarmos se a equao da continuidade para j vlida, ou seja: ( )* * *0 Im 0 Im j | | | | | | ( ( c = c c = c c + c c * | | c c : quantia complexa multiplicada pelo seu conjugado, cujo valor real. Ento: ( ) ( )* * 2Im Im j m | | | | c = c c = Mas * 2m | | uma quantia real, portanto:0 jc =Teoria de Campo e Relatividade69 Notas das aulas do Prof. Susskind Universidade de Stanford Vamos falar um pouco mais sobre energia e momento em relao Teo-ria da Relatividade Restrita, observando sua conexo com o termo 2m | . Assim como na Mecnica Clssica, o conceito de momento dado pelo produtoentreavelocidadeeamassadapartcula,porm,aoinvsdastrs componentesdavelocidade,dadaspelasderivadasemcadaeixodoespao, temos a velocidade como um quadrivetor, com as derivadas tomadas em rela-o ao tempo prprio. Comojsabemos: ( )2 2 2 221d dt dx dy dzct = + + ,ondet otempo prprio. Vamos considerar1 c =e 2 2 2 2dx dx dy dz = + +, ento: 2 22 22Retornando2221111cdt dxd dt dx d dt d v dtdtv dtd dtc dvct t ttt= = = = = Para a velocidade dxdt (4-vetor), teremos as seguintes componentes pa-ra o momento relativstico: 2 2 22 2 21 11 1 1xv dt dx dx dt dxd d dt d dtv v vc c ct t t= = = = 2 22 21;1 1dx vdv vc ct| | | | = | |\ . Teoria de Campo e Relatividade70 Notas das aulas do Prof. Susskind Universidade de Stanford Vejamos como fica ento o momento: 221xdx vp m mdvct= = Temos com isso as quatro componentes do momento relativstico, sendo as trs componentes acima relativas ao momento ordinrio e a quarta compo-nente constituindo algo novo: ( )0220 tempo1dt mp m pdvctt= = = Einstein percebeu que esta componente do momento, 0p , era a energia cintica da partcula. Assimumapartculatemquatroleisdeconservao:trsrelativasao momento e uma relativa energia, que est ligada ao momento 0ppelo fator 2c : 2221mcEvc= quarta componente do momento relativstico. Quando vc pequeno, temos:( )12 222 22 22 2Energia de repousoEnergiaCintica1 121m :massa de repouso2Taylorv vmc mcc cE mc mv| | | | + ||\ . \ . = + Teoria de Campo e Relatividade71 Notas das aulas do Prof. Susskind Universidade de Stanford interessanteverqueumapartculademassanula,comvelocidade igual da luz, resulta em energia nula, mas que tal condio tambm anula o fator 2 21 v c ,oquenoslevacondioindeterminadadezerodividido por zero na expresso da energia. Assim no possvel estudar partculas sem massa nas expresses de energia que envolvem a velocidade da luz. Portanto, a soluo nos concentrarmos na relao entre momento e energia, livrando-nos da indeterminao associada velocidade. Vamostrabalhar,ento,narelaoentreenergiaemomentoparauma partcula de massa m. ( )22 422 22 4 2 22 22 2 2 2 42 22 2222222 2 2 2 41 11111mcm cEEv vm c v cc cE p c m cv c mvm vppvvccE p c m c== = = == = Este resultado no nos deve surpreender. E e p so componentes de umquadrivetor,sendoqueainvarinciadeumquadrivetor,segundoatrans-formaodeLorentz,obtidapeladiferenaentreoquadradodotempoea soma dos quadrados no espao (2 2 2 2d c dt dx t = ). Nestecaso,aquantiainvarianteamassadapartcula.Assim,sea partcula tiver massa nula, ento o momento e a energia so a mesma coisa. ------------------------------------------------------------------------------------------ OBS:poderamosterdeduzidoarelaoentreenergiaemomentofazendo 1 c = ,paraacrescentarcapenasnofinaldascontas,atravsdeumaanlise dimensional: Teoria de Campo e Relatividade72 Notas das aulas do Prof. Susskind Universidade de Stanford ( )222 2222 2 222 2222111111mmEEm vvvE p mmv vm vppvv== = = == Por anlise dimensional: ( )2 2 42 2 2 2 422E m cE p c m cE pc = ------------------------------------------------------------------------------------------ A expresso para a energia relativstica dada por: 2 4 2 2E m c p c = , sendo esta uma generalizao da frmula de Einstein: 2E mc = . Com esta expresso, podemos agora estudar a energia para uma partcula de massa nula, de modo que, fazendo a massa tender a zero, obtemos: 2 4 2 2 2 20 mLim m c p c p c E p c = =. O valor obtido difere de um fator 2 em relao quantia que obtera-mos classicamente para uma partcula velocidade da luz: 212 2v cpcE mv E== = . Iremos explorar estas propriedades mais adiante, para estudar a conexo entreondasepartculas,observandoaspropriedadesdasondas,como energia e momento. Veremos ento que a relao entre energia e momento de uma partcula est fortemente ligada relao entre a frequncia e o nmero de onda de uma onda. Teoria de Campo e Relatividade73 Notas das aulas do Prof. Susskind Universidade de Stanford TEORIA DE CAMPO E RELATIVIDADE AULA NO 07 Teoria de Calibre Derivada covariante Lagrangeano Relativstico Tensor Eletromagntico Teremoshojenossoprimeirocontatocomaquiloquechamadode Teoria do Calibre (Gauge Theory).Toda a moderna fsica de partculas, relatividade, gravitao, relativida-de geral so baseadas no Princpio da Invarincia do Calibre. Vamos comear com nosso Princpio de Calibre, ou Invarincia por Ca-libre, ou ainda Simetria por Calibre, estudando um exemplo simples. Em 1905, Einstein indicou a importncia de se definir cuidadosamente a ideia de um conjunto de coordenadas de um sistema, para deixar bem claro o quesignificamdeterminadosconceitosimportantes,talcomo,porexemplo, simultaneidade,umavezquenotosimplescomparardoisintervalosde tempo em dois diferentes lugares ou sistemas. Combasenessaclarezadeconceitosnosdiversossistemasdecoorde-nadas,eledesenvolveuaTeoriadaRelatividade.Esteproblemadedefinio clara dos conceitos em relao aos sistemas de referncia empregados torna-se ainda mais importante e complexo na Teoria da Relatividade Generalizada. Aquantiaqueestamosinteressadosemcompararagora,segundodife-rentes sistemas de referncia, a FASE de um campo complexo. Um campo complexo, como j vimos, dado por:1 2*1 2ii| | || | |= += onde 1 2e| |so campos reais. Outra maneira de se ver um campo complexo associar a cada ponto do espao um par de eixos perpendiculares, chamando um de1|e outro de 2| : Teoria de Campo e Relatividade74 Notas das aulas do Prof. Susskind Universidade de Stanford Neste caso, para cada ponto do espao, temos uma determinada direo de| .Istoimplicaquepodemosrelacionardiferentesdireesadiferentes pontos no espao. Por exemplo, no caso de uma corda que esteja sendo usada como pula-corda, a analogia com o campo complexo seria que cada ponto da corda, es-tando livre para se movimentar nas direes perpendiculares direo da cor-da, necessitaria, para ter seu movimento descrito, no apenas a sua posio em relao aos extremos da corda, mas tambm o ngulo pelo qual ele est deslo-cando-se em relao, por exemplo, vertical, bem como a distncia que ele se encontra do eixo da corda. Paraisso,poderamos usarumnmerocomplexo paracadaponto,ouento umpardecoordenadas,ou aindaumraioeumngulo. Masestimplcitoneste caso,assimcomosemprese supeaocompararmoscoi-sas,queosistemaderefe-rncia utilizado para medir a posiodequalquerponto da corda, sempre permanece paraleloasimesmo,inde-pendentedesuaposioao longo da corda. Teoria de Campo e Relatividade75 Notas das aulas do Prof. Susskind Universidade de Stanford Surgeassimaquestodesabermosseovalordeumcampocomplexo em uma determinada posio o mesmo ou no em outra posio do espao. Pararesponderaestaquesto,precisamosmedir,entreoutrascoisas,ngulos no espao em diferentes posies. Como j sabemos, para algumas teorias de campo, mais especificamente aquelasquepossuemoconceitodeCARGA,existeumainvarinciaou simetria. Esta simetria corresponde rotao dascoordenadas 1| e 2| ,oqueequivale tambm a rotacionar o campo|em si: Estarotaopodesersucintamente expressa em notao complexa, dada por:'ieu| | =. Esta uma simetria para o Lagrangeano que estudamos na ltima aula: ( )( )* 2 *10,1, 2, 32m| | | | c c L= EsteLagrangeanoinvariantesobestaoperaoderotao,earazo para isto que, nele, o campo sempre aparece multiplicado pelo seu conjuga-do,demodoqueotermo ieumultiplicadopor ie u ,deixandoinalteradoo resultado. Esta mesma caracterstica se conserva para as derivadas de| , pois: * *' ' 'iex x x x x xu| | | | | | c c c c c c= =c c c c c c Poderamos perguntar, agora, se este Lagrangeano permanece invariante em relao a rotaes que variam ao longo do espao. Dizer que o Lagrangeano invariante sob uma mudana de fase significa que um ngulo nulo de rotao no tem um sentido de invariante, pois a rota-o a mesma em todo o sistema. Por isso queremos saber se o Lagrangeano Teoria de Campo e Relatividade76 Notas das aulas do Prof. Susskind Universidade de Stanford permaneceinvariantesobumasimetriamaisforte,ondearotaodongulo varia ao longo do espao. Isto significa que o ngulo user uma funo de x: ( ) ( ) ' '* *;i x i xe eu u| | | |= = Vemos que, agora, no temos uma rotao rgida, na qual todo o sis-temamovidojunto,massimumarotaoflexvel,comcadapontosendo submetido a uma diferente rotao. A Ao dada pela integral no espao-tempo da densidade de Lagran-geano: ( )* 2 * 412A m d x| | | |((]= c c Vejamos como cada termo do Lagrangeano se comporta sob este tipo de rotao: ( ) ( ) 2 * 2 * 2 *' 'i x i xm m e e mu u|| | | |= = Portantootermo 2 *m | | doLagrangeano,quesofreumaROTAO DE FASE DEPENDENTE DA POSIO, invariante! ---------------------------------------------------------------------------------------------- OBS: O termo utilizado para descrever uma ROTAO DE FASE DEPEN-DENTEDAPOSIOdadopelaexpressoTRANSFORMAOPOR CALIBRE. ---------------------------------------------------------------------------------------------- Para o termo * | | c cteremos: ( )( )( )( )( )( )* **''i x i xi x i xxe i ex x xxe i ex x xu u u u u| ||u| || cc c= +c c ccc c= c c c Teoria de Campo e Relatividade77 Notas das aulas do Prof. Susskind Universidade de Stanford Escrevendo a Ao agora em termos de' |e *' | , temos: ( )* 2 * 41' ' ' '2A m d x| | | |((]= c c ( )( )( )( )( )( )( )( )* * 2 * 4* * 2 * 412i x i xx xA i e i e m d xx xA i x i x m d xu u u u| | | | | || u | | u | | |(((](] (| || | c c= c c + (| | |c c (\ .\ . ( = c c c + c Vemos, assim, que o Lagrangeano assume uma forma diferente, que no temsimetrianoseuprimeirotermo.Istosignificaque,sefizermosumarota-odestetiponumcampo,mudaremossuaenergiaseumomento,obtendo novas equaes de movimento a partir de um novo Lagrangeano. Conclumos que o Lagrangeano invariante