mecância clássica - prof susskind - revisão 2 (ipad & ereader)

8/3/2019 Mecncia Clssica - Prof Susskind - Reviso 2 (Ipad & eReader)

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Mecnica Clssica 1Notas das aulas do Prof. Leonard Susskind Universidade de Stanford

MECNICA CLSSICA

AULA NO 1

Introduo Leis Admissveis da Fsica

A Mecnica Clssica a base para toda a Fsica, isto no s porque eladescreve o movimento de partculas, sistemas mecnicos etc., mas tambmporque a estrutura bsica de toda a Fsica baseada nos princpios da Mecni-ca Clssica, tais como a Conservao da Energia, do Momento e assim por

diante.Os princpios segundo os quais todos os sistemas se desenvolvem obe-decem, num sentido mais abstrato e geral, ao mesmo conjunto de regras queestabelece o movimento de uma partcula.

O mais simples sistema que podemos comear a analisar seria o de umfenmeno que apresentasse apenas dois estados, aos quais vamos chamar deCara e Coroa.

Para estudar este sistema, vamos imaginar que o tempo ocorra em saltos

discretos, com intervalos de um segundo, de modo que s tenhamos acesso aosfenmenos a cada segundo.

O nosso sistema assim constitudo de dois estados, e ns queremos as-sociar a este sistema uma lei que determine como o sistema se desenvolve acada intervalo de tempo. Com esse exemplo, queremos verificar quais os tiposde leis que so ou no admissveis pela Fsica.

Nosso primeiro conceito o de Espao de Estados, que, neste caso, constitudo apenas por Cara e Coroa, os quais representaremos por doispontos: H e T. Este espao chamado tambm como Espao de Fases.

Espao de Estado significa tudo que precisamos saber sobre o sistema,para podermos prever o que vai acontecer com ele em seguida.

Um exemplo de lei para este caso seria manter o estado na condio emque ele se encontra:


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Outra possvel lei seria uma troca repetitiva de estados:

Estes tipos de leis so classificados como leis Determinsticas, istosignifica que, se sabemos como esta lei atua num determinado instante, entosaberemos tudo da por diante, at o infinitamente futuro.

Um exemplo mais interessante de espao de estados seria representadopor um dado, que apresentaria 6 estados possveis. Com isso, poderamoster, por exemplo, as seguintes leis:

Todas estas leis so fisicamente admissveis, pois, sabendo-se onde seest, sabe-se exatamente onde se ir estar em seguida e assim por diante, infi-nitamente no futuro. Trata-se de leis determinsticas tanto no futuro comono passado. Isto significa que, se soubermos onde o sistema se encontra numdeterminado momento, ento saberemos onde o sistema esteve e onde ele esta-r em qualquer tempo.


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Assim, se fssemos capazes de saber, num determinado instante, cadamnimo detalhe de um sistema, ento poderamos determinar todos seus esta-dos prvios e futuros, que seriam, portanto, em princpio, determinsticos.

Um tipo de lei que a Fsica no admite seria, por exemplo, dada peloseguinte diagrama:

Trata-se de um sistema completamente determinstico no futuro. Pormeste sistema no determinstico no passado, pois, se estivermos no ponto 2,no podemos saber, com certeza, se o estado anterior era o ponto 1 ou oponto 3. Esta ento uma lei irreversvel.

Outro exemplo de lei no determinstica seria dado pelo diagrama a se-guir:

Neste caso, a lei falha na determinao dos estados futuros, pois, partin-do do estado 2, no possvel saber com certeza se o prximo estado ser oestado 2 ou 3.

Estes so os tipos de leis proibidas pela Mecnica Clssica.

Em resumo, para que tais sistemas sejam admissveis (para que suas leissejam fisicamente admissveis), ns devemos ter em cada ponto apenas umaseta chegando e apenas uma seta saindo.

Assim, a caracterstica da Fsica Clssica dada pela unicidade de es-tado do sistema tanto no futuro como no passado.

Ns tambm poderamos ter, por exemplo, um sistema com infinitos es-tados, representados por pontos ao longo de uma reta, em correspondncia aosnmeros inteiros, conforme representado no seguinte grfico:


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Desse modo, se estivermos na reta, permaneceremos nela, mas, se esti-vermos no tringulo, ento permaneceremos nele.

Quando temos o sistema quebrado em subsistemas fechados em si mes-mos, encontramos as leis de conservao, que so como uma espcie dememria do estado no qual o sistema se encontrava.

O tipo de lei determinstica poderia ser chamada de lei de conserva-o da informao, que pode ser considerada a mais bsica lei da Fsica.

Vamos estudar outra lei admissvel, dependente de dois estado anterio-res, como por exemplo:

Neste caso, necessrio saber os ltimos dois estados, para determinar oprximo estado. Ento o que ns chamaramos de estado do sistema, pelo qual

podemos determinar o seu desenvolvimento, formado por dois estados. Des-sa forma, o Espao de Fases teria que conter a informao destes dois esta-dos.

Passemos agora para um espao contnuo, por exemplo, o movimentode uma partcula.

Para que possamos saber onde uma partcula estar a seguir, no bastasaber a sua posio, necessrio saber tambm a sua velocidade. Neste ca-so, Podemos dizer que tambm necessitamos saber as duas prvias posies do

HH H

HT H

TH H

TT H


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sistema. Assim, o espao de fases da partcula dado por sua posio e porsua velocidade.

O Espao de Estados ou Espao de Fases da partcula no uni-

dimensional, mas sim bidimensional, abrangendo a informao de posioe velocidade:

Se o sistema estiver em algum ponto do eixo x (1), ento ele perma-necer na posio que se encontra, porque sua velocidade nula. Se o sistemaestiver no ponto 2, ento vai-se mover para a direita, pois tem velocidade

positiva. Se estiver no ponto 3, ele ir se mover para a esquerda, pois temvelocidade negativa.

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OBS: Na realidade, devido inerente impreciso na determinao do es-tado de um sistema, o determinismo no futuro no totalmente factvel, a noser em intervalos de tempo limitados, proporcionais capacidade de precisona determinao das condies iniciais do sistema. Assim o sistema infini-

tamente previsvel somente se for infinitamente precisa a determinao dasua configurao inicial.

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O fato de ser necessrio saber a posio e a velocidade no Espao deFase est embutido nas equaes da Mecnica. Assim as equaes de Newtonso equaes diferenciais de segunda ordem, refletindo esta condio.


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OBS: Equao diferencial de primeira ordem significa uma equao comapenas a primeira derivada. Uma equao diferencial de segunda ordem signi-fica uma equao que contem a segunda derivada.

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Vamos criar uma equao de movimento diferente, inventada por ns,para exemplificar a questo.

Vamos supor que a fora somente dependa da posio e seja dada pelaequao: F m v=

.

Ento, segundo esta equao, uma partcula com liberdade em uma di-menso se moveria segundo a equao: ( )

dxF x m m x

dt= =

Neste caso, bastaria saber a posio da partcula para se poder saberqual seria a prxima posio assumida por ela.

Dada a posio, saberamos tambm a velocidade da partcula e a suaacelerao, assim como qualquer de suas derivadas no tempo:

1( ) dF dx dF F x m x m x x xdx dt m dx

= = =

Mas as equaes de Newton no so assim! Uma vez que elas envolvema acelerao, no nos possvel, apenas sabendo a posio, determinar a velo-cidade! Se soubermos a posio, saberemos a fora e, portanto, a acelerao,mas no a velocidade!

Para que possamos prever o movimento, precisamos, alm da informa-

o de posio, acrescentar tambm a informao de velocidade.Isto define o Espao de Fases, que, no caso de uma partcula em uma

dimenso, tem natureza bidimensional.Ns vamos estudar as vrias formas de equaes do movimento, mas sem-

pre tendo em mente que a conexo entre todas elas a Conservao da Informa-o, ou seja, a ideia de que as leis da Fsica so completamente determinsticas,sendo descritas por equaes pelas quais possvel saber qual o estado que o sis-

tema estar a seguir.


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OBS: Eis a seguir um grfico exemplificando a necessidade da informa-o de dois estados, para se prever o estado futuro:

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MECNICA CLSSICA

AULA No 2

Princpio da Mnima Ao Clculo Variacional Lagrangeano

Vamos ver a Conservao da Energia em relao s Equaes deNewton. Naturalmente, a conservao da energia tem um significado bemmais profundo do que aquele visto nas Equaes de Newton, estendendo-separa a radiao, o eletromagnetismo, a relatividade restrita, a relatividade ge-neralizada, a mecnica quntica, etc.

J sabemos que a conservao da energia no se realiza em movimentosque envolvem atrito e calor (pelo menos em relao tpica conservao daenergia cintica mais a energia potencial).

Outro exemplo (nos mesmos termos de conservao da energia cinticamais a energia potencial) de no conservao da energia seria dado por umapartcula que estivesse confinada em um movimento circular, sendo submetidaa uma fora constante e tangencial ao movimento da partcula. Neste caso,

aps uma volta, a energia potencial da partcula seria a mesma, mas sua ener-gia cintica teria aumentado! Trata-se de um exemplo de fora que no ocorrena natureza!

Um exemplo real de fora dado por foras que dependem do seu pontode aplicao no espao:

( , ) :F U x y gradiente i jx y

= +

Esta equao significa que cada componente da fora dado por:

;x yx yU U

F F

= =

Isto quer dizer que a componente da fora numa dada direo dada pe-la razo de variao da energia potencial naquela direo, porm com o sinalnegativo.


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OBS: O sinal negativo vem do fato de que uma partcula que sai de um

potencial mais alto para outro mais baixo ( )0U

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