teoria das filas guilherme amaral avelino [email protected] avaliação e controle de sistemas de...
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Por que das filas?
Procura por um serviço maior do que a capacidade do sistema de atender ao serviço Inviabilidade econômica Limitação de espaço
Teoria das Filas A Teoria das Filas tenta através de análises
matemáticas detalhadas encontrar um ponto de equilíbrio que satisfaça o cliente e seja viável economicamente para o provedor do serviço
Exemplos de aplicação: Fluxo de tráfego
veículos, aeronaves, pessoas e comunicações Escalonamento
Pacientes em hospitais, processos em um computador e jobs em máquinas
Projetos de atendimentos a serviços Bancos, correios, restaurantes fast-foods
Elementos de uma Fila
Servidor
Servidor
ServidorPopulação
Fila
Clientes
Atendimento*Obs:•Servidores, atendentes ou canais de serviços•Cliente, transação ou entidade
Clientes e Tamanho da População Um cliente é proveniente da população Quando uma população é muito grande, a
chegada de um novo cliente a fila não afeta a taxa de chegada de clientes subseqüentes, taxa de chegada independente
Quando a população é reduzida a taxa de chegada pode ser dependente Ex: Uma mineradora que possui apenas 3 caminhões e
os 3 estão na fila
Processo de Chegada Podemos quantificar o processo de chegada através de
sua taxa média de chegadas (λ) e/ou seu intervalo médio entre chegadas (IC)
Ex: Um posto de pedágio com 5 atendentes, onde entre 7 e 8 horas da manha chegam 20 automóveis por minuto. λ:20 veículos por minuto IC: 3 segundos
λ e IC são valores médios, em um dado instante diferentes valores podem ser observados
A fim de caracterizar ainda mais uma fila podemos definir sua distribuição de freqüências Processos com os mesmos valores médios podem apresentar
grandes variações de seu valores individuais durante o tempo observado
Processos regulares são raros Existe situações onde o ritmo de chegadas sofre
variações durante o dia
Processo de Atendimento Determina como é feito o atendimento aos
clientes da fila Ex:
Observando um atendente, podemos constatar que ele atende 6 veículos por minuto ou que gasta 10 segundos para atender um veículo
Podemos quantificar o processo de chegada através de sua taxa média de atendimento (μ) e/ou seu tempo ou duração médio de serviços (TA) μ = 6 clientes por minuto TA = 10 clientes por minuto
Número de servidores Uma fila pode possuir um ou mais servidores
para atender os clientes A qualidade do serviço pode ser melhorada
adicionando convenientemente novos servidores ao sistema Ex: fila de supermecado
Disciplina da Fila Descreve como os clientes são escolhidos para entrar
em um serviço após a fila ser formada First-Come-First-Served (FCFS)
FIFO Filas comuns onde o primeiro a chegar é o primeiro a ser
atendido Last-Come-First-Served(LCFS)
LIFO Aplicado em sistemas de controle de estoque e em filas de
prioridades Filas com Prioridades
Preemptivo O cliente com maior prioridade é servido imediatamente
Não-preemptivo O cliente com maior prioridade entra na frente da fila, mas deve
aguardar se algum cliente já estiver em atendimento Filas Randômicas
Tamanho da Fila Tamanho Médio
Característica mais visível de uma fila O dimensionamento adequado desta característica
possibilita um atendimento satisfatório Tamanho Máximo
Área destinada a espera por atendimento Ex: número de cadeiras em uma barbearia,
tamanho do buffer, etc Dependendo do tamanho e da demanda um cliente
pode ser recusado Ex: central telefônica
Deve ser projetada de forma atender a demanda
Tempo Médio de Espera na Fila Média do tempo gasto por cada cliente desde
o momento em que chega na fila ao que ele é atendido
Principal causa de irritação dos clientes O ideal é que não exista tempo de espera Ex:
Se entrarmos em uma fila com 10 pessoas à frente o tempo de espera será igual ao somatório dos tempos de atendimento cada um dos 10 clientes ou, possivelmente, será igual a 10 vezes a duração média de atendimento
Variáveis Randômicas São utilizadas para modelar diversos aspectos de uma fila Quando afirmamos que a duração média de atendimento é
de 10 segundos não estamos dizendo que todo atendimento é de 10 segundos
Diferentes momentos podem registrar diferentes valores Caso fosse coletada uma grande quantidade de dados
poderíamos deduzir que existe um padrão de atendimento expresso por uma distribuição de probabilidade É nula a probabilidade de atender um cliente em menos de 5
segundos A probabilidade de atender um cliente em 10 segundos é de 18% A probabilidade de atender um cliente em 25 segundos é de
0,5%
Duração do Atendimento
Observando a Dinâmica de uma Fila Cenário
Fila de um banco formada por pessoas que deseja um novo talão de cheques
Chegada No período de meia hora chegaram ao sistema 12
pessoas
Onde Intervalo – tempo entre uma chegada e outra Momento – instante de chegada de um novo cliente
Definir λ IC
Cliente 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11
12
Intervalo
2 3 3 3 5 0 1 5 1 4 1 2
Momento
2 5 8 11
16
16 17
22
23 27
28 30
24 clientes por hora2,5 minutos
Observando a Dinâmica de uma Fila Atendimento
Dados anotados para cada atendimento em minutos
Determinar μ TA
Cliente 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11
12
Duração
1 2 1 1 3 2 1 4 2 3 1 3
30 clientes por hora2 minutos
Gráfico do Funcionamento da FilaCliente 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1
011
12
Intervalo
2 3 3 3 5 0 1 5 1 4 1 2
Momento
2 5 8 11
16
16 17
22
23 27
28 30
Cliente 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11
12
Duração
1 2 1 1 3 2 1 4 2 3 1 3
Observando a Dinâmica de uma Fila O primeiro cliente chegou ao banco no inicio do
segundo minuto e seu atendimento durou 1 minuto O quinto cliente chegou ao banco no inicio do 17ᴼ
minuto e seu atendimento durou 3 minutos O sexto cliente chegou ao banco simultaneamente com o quinto
cliente no 17ᴼ minuto e, então, esperou na fila até completar o atendimento do quinto cliente, o que ocorreu no final do 19ᴼ minuto
O sétimo cliente chegou ao banco no 19ᴼ minuto e encontrou o atendente ocupado e o sexto cliente na fila
Além dos clientes de número 6 e 7, também os clientes de número 9 a 12 tiveram que esperar em fila
O último cliente (12ᴼ) saiu do atendimento no final do 35ᴼ minuto ...
Conclusões Tempos de fila
Total de clientes atendidos Tempo Médio na Fila (TMF) Número Médio na Fila (NMF) Mesmo sendo a capacidade de atendimento (μ)
superior ao ritmo de chegada (λ) foi observada a formação de filas Em um sistema de filas, geralmente, tanto o processo
de chegada como o de atendimento não são regulares
Cliente 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11
12
Duração
0 0 0 0 0 3 4 0 3 1 3 2
12
(3+4+3+1+3+2)/12 = 1,33 minutos
(3+4+3+1+3+2)/35 = 0,46 cliente
Sistemas Estáveis A abordagem matemática de filas pela Teoria
das Filas exige que exista estabilidade no fluxo de chegada e no processo de atendimento
Ex: fluxo de chegada de clientes em uma fila de banco durante o dia
Não existe estabilidade para o ritmo de chegada no período de 10:00 às 16:00
Para analisar utilizando a Teoria das Filas faz-se o uso do artifício de retalhar o período global em períodos parciais
Período 10 às12h 12 às 14h 14 às 16hFluxo Médio Alto Médio
Sistemas Estáveis Outra exigência para que o processo seja estável é que os
atendentes sejam capazes atender ao fluxo de chegada μ > λ Filas ocorrem porque:
Em um dado instante podem chegar mais clientes que a capacidade de atendimento naquele momento
O atendimento de um dado cliente pode demorar mais que o normal
Em sistemas estáveis, todas as características randômicas das filas se mantêm estáveis, oscilam em torno de um valor médio
Sistemas Estáveis•Fluxo médio de entrada (λ) constante•Ritmo medio de atendimento (μ) constante•μ > λ
Dimensionando Filas Objetiva prestar um melhor serviço aos clientes
ou obter uma redução de custos do funcionamento do sistema
Tipo de fila e qualidade de serviço Fila e servidor único Fila única e diversos servidores Diversas filas com servidores correspondentes Filas especiais Alteração dinâmica no sistema de atendimento
A escolha do tipo de fila depende das características do sistema Fila de banco x supermercado
ExercícioConsidere um sistema em que navios chegam a um porto para carregar algum produto. Abaixo estão anotados os valores entre chegadas (em horas) para 20 navios
As durações da carga (em horas) de cada navio são as seguintes
Calcule:a)O intervalo médio entre chegadasb)A duração média da cargac)Monte o desenho de funcionamento do sistema d)O tamanho médio da filae)O tempo médio de espera na fila
Cliente 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011121314151617181920Intervalo
10 2 13 7 02 8 8 8 10 9 1 1414 1 10 9 9 9 8 14
Cliente 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011121314151617181920Duração
10 2 13 7 02 8 8 8 10 9 1 1414 1 10 9 9 9 8 14
Características dos Processos de Filas Na maioria dos casos podemos descrever um
sistema de filas através de seu: Padrão de chegada dos clientes Padrões de serviço Disciplina de filas Capacidade do sistema Número de canais de serviços Número de estágios de serviços
Padrão de Chegada dos Clientes Padrões de chegadas são processos
estocásticos, ou seja desenvolvem-se no tempo e no espaço conforme leis de probabilidade
Distribuições probabilísticas Tempos de interchegada Chegada em batch
Reações do cliente Clientes decepcionados
Recusa do cliente a entrar na fila Clientes impacientes
Cliente sai após algum tempo Cliente muda de fila
Padrão de Chegada dos Clientes O padrão de chegada muda com o tempo?
Estacionário Não-estacionário
Padrões de Serviço Podem ser simples ou em batch Pode depender do número de clientes na fila
Serviço dependente do estado Pode trabalhar mais rápido ou se atrapalhar com o
aumento do número de clientes Pode melhorar com o tempo
Serviço não-estacionário Aprendizado como fator de produtividade
Disciplina de Filas Descreve como os clientes são escolhidos para
entrar em um serviço após a fila ser formada First-Come-First-Served (FCFS)
FIFO Filas comuns onde o primeiro a chegar é o primeiro a ser
atendido Last-Come-First-Served(LCFS)
LIFO Aplicado em sistemas de controle de estoque e em filas
de prioridades Filas com Prioridades
Preemptivo O cliente com maior prioridade é servido imediatamente
Não-preemptivo O cliente com maior prioridade entra na frente da fila, mas
deve aguardar se algum cliente já estiver em atendimento
Capacidade do Sistema Sistemas de filas podem ter um limite de
capacidade (filas finitas) Quando atingido o limite da fila nenhum
cliente novo poderá ser adicionado até que um cliente desocupe a fila
Número de Canais de Serviço O número de canais correspondem ao número
de estações de serviços paralelos que podem servir os clientes simultaneamente
Clientes multi-canais podem ser de: Fila única Fila individual
Estágio de Serviço Estágio único
O atendimento do cliente acontece de um vez só Barbearia, supermecado, etc
Vários estágios O cliente passa por vários estágios de
atendimento, antes de finalizar um serviço Durante o atendimento o cliente pode enfrentar
diversas filas com características diversas Exame físico, atendimento serviço público
Estágio de Serviço
Descrição de um Sistema de Filas1.Padrão de chegada
2.Padrão de serviço
3.Disciplina de filas
4.Capacidade do sistema
5. Número de canais de serviço
...
6. Estágios de serviços
n
Notação de Fila Proposta em 1953 por Kendall é descrita por um série de símbolos, tais como,
A/B/m/k/M A é a distribuição de inter-chegada de dos clientes B é padrão de serviço de acordo com um distribuição de
probabilidade para o tempo de serviço m é o número de canais serviços paralelos (servidores) k é a capacidade do sistema M é a disciplina de filas
Em muitas situações só os três primeiros símbolos são utilizados, de maneira que, é assumido que o sistema tem capacidade ilimitada e possui uma disciplina FCFS
Notação de Fila – Tabela A/B/m/k/M
O símbolo G representa uma distribuição de probabilidade geral, isto é, resultados nestes casos são aplicáveis para qualquer distribuição de probabilidade
Exemplo:M/D/2/∞/FCFS
Processo de filas com: tempos de inter-chegada exponencial tempos de serviço determinístico dois servidores paralelos capacidade ilimitada disciplina de fila FCFS
Medindo o Desempenho do Sistema Geralmente existem 3 tipos de respostas de
interesse do sistema: medida do tempo de espera que um cliente típico é
obrigado a esperar Tempo gasto na fila X Tempo total no sistema Importância de cada tipo depende do sistema analisado. Ex:
Parque de diversão x concerto de um equipamento medida da maneira como os clientes podem ir se
acumulando Número de clientes na fila X número de clientes no sistema Auxilia na definição do espaço de espera dos clientes
medida do tempo ocioso dos servidores Tempo em que um servidor em particular esta ocioso Tempo em que o sistema está desprovido de clientes
Medindo o Desempenho do Sistema A tarefa do analista de filas é determinar as
medidas apropriadas de efetividade de um dado processo, ou projetar um sistema ótimo. Tempo de espera X ociosidade do sistema Tempo de espera X custos Cálculo do tamanho da fila de espera Uso de métodos analíticos como primeira
alternativa e simulações onde métodos analíticos não forem suficientes
