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Teoria das Distribuições(Métodos matemáticos da física)

Chaim Samuel Hönig

Sumário

Capítulo 1. Definição de distribuições e exemplos 1

§1. O espaço DpRnq 1

§2. Topologia de DpRnq 2

§3. Definição de distribuição 3

§4. Primeiros exemplos de distribuições 4

§5. Interpretação física dos exemplos anteriores 7

§6. Dipolo elétrico 9

§7. Outros exemplos de distribuições 10

Capítulo 2. Derivação de distribuições 13

§1. Definição, motivação e propriedades 13

§2. Exemplos de derivação no caso de uma variável 15

§3. Exemplos de derivação de distribuições, no caso de mais de uma

variável 17

§4. Fórmula de Green 21

§5. Cálculo de ∆ 1rn´2 23

§6. A fórmula de Poisson, ∆V “ ´4πρ 25

§7. A distribuição vp 1x

27

§8. Multiplicação de distribuições 30

Capítulo 3. Topologia no espaço das distribuições 37

§1. Definição 37

i

ii Sumário

§2. Continuidade de derivação 38

§3. Convergência clássica e convergência de distribuições 38

§4. Convergência de séries trigonométricas 40

§5. δ como limite de funções 41

Índice Remissivo 45

Capítulo 1

Definição de distribuições

e exemplos

1. O espaço DpRnq

Indicamos com DpRnq ou simplesmente D o conjunto das funções

ϕpxq “ ϕpx1, x2, . . . , xnq de n variáveis reais e a valores complexos que são

infinitamente deriváveis e nulas fora de um hipercubo

QA “ tx P Rn | ´A ď xi ď A, i “ 1, 2, . . . ,nu,

hipercubo este que varia de função para função.

O conjunto D é um espaço vetorial sobre o corpo dos números comple-

xos.

Notação. A n-upla px1, . . . , xnq P Rn é em geral indicada com a notação

abreviada x. Definimos então a norma de x por

}x} “´

nÿ

i“1

x2i

¯ 12

que é a distância do ponto x à origem.

Nas integrais múltiplas usamos a notação abreviada dx “ dx1 ¨ ¨ ¨dxn e

escrevemos portantoş

Rn fpxqdx em lugar de

ż `8

´8¨ ¨ ¨

ż `8

´8fpx1, . . . , xnqdx1 ¨ ¨ ¨dxn.

1

2 1. Definição de distribuições e exemplos

Se p “ pp1, . . . ,pnq é uma n-upla de inteiros ě 0 definimos:

|p| “nÿ

i“1

pi e Dp “ d|p|

dxp11 ¨ ¨ ¨dxpn

n;

convenção: D0ϕ “ ϕ.

Exemplos de elementos de DpRnq. A função

ϕpxq “

$

&

%

0 se }x´ x0} ě a ą 0

exp´

´ 1a2´}x´x0}2

¯

se }x´ x0} ď a

é uma função de DpRnq.

Exercícios:

1.1 - Traçar o gráfico da função acima para n “ 1 e x0 “ 0.

1.2 - Demonstrar que a função definida acima é infinitamente diferenciá-

vel.

1.3 - Dado um intervalo ra,bs Ă R determinar uma função de DpRqnula fora de ra,bs e diferente de zero em todos os pontos de sa,br.

1.4 - Demonstrar que DpRnq é um espaço vetorial.

1.5 - Demonstrar que o produto de uma função infinitamente diferenciá-

vel (não necessariamente nula fora de um hipercubo) por uma função de D é

uma função de D.

1.6 - Demonstrar que dado um intervalo de ra,bs e ε ą 0, existe uma

função ϕ P D nula fora de ra´ ε,b` εs e igual a 1 em ra,bs.1.7 - Estender o resultado precedente para um conjunto fechado limitado

qualquer do Rn.

2. Topologia de DpRnq

Em DpRnq definimos a seguinte convergência ou topologia: dizemos que

uma seqüência pϕjqjPN de funções de DpRnq tende para uma função ϕ de

D, escrevemos ϕj ։ ϕ, se estão satisfeitas as seguintes condições:

C1 – existe um hipercubo ´A ď xi ď A, i “ 1, 2, . . . ,n, tal que todas as

funções ϕj e ϕ são nulas fora desse hipercubo.

C2 – a seqüência ϕj bem como todas as seqüência derivadas, tendem

uniformemente para a função ϕ e para as derivadas correspondentes de ϕ,

3. Definição de distribuição 3

isto é, dado qualquer operador de derivação Dp então Dpϕj tende unifor-

memente para Dpϕ.

Exercícios:

2.1 - Dada uma função ϕ P D demonstrar que a seqüência 1jϕ tende a

zero no sentido acima.

2.2 - Se ϕj ։ ϕ e ψj ։ ψ, demonstrar que ϕj `ψj ։ ϕ`ψ.

2.3 Deduzir daí que ϕj ։ 0 se e somente se ϕj ´ϕ։ 0.

2.2’ - Dada uma seqüência de números complexos λj tais que λj Ñ λ e

dado ϕj ։ ϕ demonstrar que λjϕj ։ λϕ.

2.4 - Dada a seqüência ϕj P DpRq, j P N, onde

ϕj “

$

&

%

0 se |x´ j| ě 11j

exp´

´ 11´x2

¯

se |x´ j| ď 1

demonstrar que não vale ϕj ։ 0.

2.5 - Demonstrar que se ϕj ։ ϕ o mesmo ainda é verdade para qualquer

subseqüência da seqüência ϕj.

2.6 - Demonstrar que dada uma seqüência ϕj de elementos de DpRnqe um elemento ϕ P DpRnq tal que para qualquer subseqüência ϕjk de ϕj

existe uma subseqüência ϕjkm։ ϕ então ϕj ։ ϕ.

2.7 - Demonstrar que a operação de derivação é contínua em DpRnq, isto

é, se ϕj ։ ϕ então Bϕj

Bxi։

BϕBxi

.

3. Definição de distribuição

Uma distribuição T é um funcional linear contínuo sobre DpRnq isto é,

é uma função que a todo elemento ϕ P DpRnq associa um número com-

plexo Tpϕq (que também escrevemos como xT ,ϕy) de tal modo que estejam

satisfeitas as seguintes condições:

D1 – a função é linear, isto é, Tpϕ1 ` ϕ2q “ Tpϕ1q ` Tpϕ2q e Tpcϕq “cTpϕq onde c é um número complexo.

D2 – a função é contínua, isto é, ϕj ։ ϕ então Tpϕjq Ñ Tpϕq.Observações: 1 - Na prática todos os funcionais lineares que conhecemos e

que estão definidos sobre DpRnq são automaticamente contínuos pois para

a construção de funcionais lineares não contínuos sobre DpRnq precisamos


usar o axioma de Zermelo. Não há portanto perigo de que nas aplicações

físicas surjam funcionais não contínuos sobre DpRnq.2 - Como veremos a seguir, dada uma particular distribuição T ela pode

ser naturalmente estendida para uma categoria mais geral de funções que as

de DpRmq e para estas funções basta impor uma convergência “mais fraca”

para poder assegurar que Tpϕjq tende para Tpϕq quando ϕj tendem para ϕ.

Vamos chamar a atenção para este fato nos exemplos que examinaremos a

seguir e usá-lo para dar maior generalidade às fórmulas que demonstramos.

Exercícios:

3.1 - Demonstrar que pϕjq Ñ Tpϕq implica que Tpϕj ´ϕq Ñ 0.

3.2 - Deduzir daí que para demonstrar a continuidade de um funcional

linear sobre D é suficiente demonstrar que ϕj ։ 0 implica Tpϕjq Ñ 0, fato

que usaremos a seguir.

3.3 - Dadas duas distribuições T1 e T2 definimos

pT1 ` T2qpϕq “ T1pϕq ` T2pϕq.

Demonstrar que com essa definição a soma de duas distribuições é uma dis-

tribuição. Definir o produto de uma distribuição por um número complexo e

demonstrar que o conjunto das distribuições forma um espaço vetorial sobre

o corpo dos números complexos.

4. Primeiros exemplos de distribuições

1. Dada uma função f definida em Rn e a valores complexos, dizemos

que ela é localmente integrável se dado um hiperparalelepípedo qualquer,

a1 ď x1 ď b1, a2 ď x2 ď b2,. . . , an ď xn ď bn existe e é finita a integral:

ż b1

a1

¨ ¨ ¨ż bn

an

fpx1, x2, . . . , xnqdx1dx2 ¨ ¨ ¨dxn.

Toda função contínua é localmente integrável. Toda função integrável é

localmente integrável. A função fpxq “ 1x

na reta não é localmente integrável

poisşa

01xdx é infinita.

Uma função localmente integrável f define uma distribuição que indica-

mos por Tf ou simplesmente por f quando não houver perigo de confusão;

4. Primeiros exemplos de distribuições 5

para toda função ϕ P DpRnq a distribuição Tf é definida por:

Tfpϕq “ż

Rn

fpxqϕpxqdx

“ż

¨ ¨ ¨ż

Rn

fpx1, . . . , xnqϕpx1, . . . , xnqdx1 ¨ ¨ ¨dxn.

Como ϕ é nula fora de um certo hipercubo

Á ď xi ď A pi “ 1, 2, . . . ,nq

a integral acima se estende a esse hipercubo e ϕ sendo contínua nesse hiper-

cubo (conjunto fechado e limitado) ela é limitada, |ϕpxq| ď M, e a função f

é portanto integrável e temos

|Tfpϕq| “ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ż A

Á

¨ ¨ ¨ż A

Á

fpx1, . . . , xnqϕpx1, . . . , xnqdx1 ¨ ¨ ¨dxnˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ďż

QA

|fpxq||ϕpxq|dx ă M

ż

QA

|fpxq|dx

que é finita e portanto Tfpϕq está bem definida. É imediato que esse funcional

é linear. Vamos demonstrar a sua continuidade:

Tomemos uma seqüência ϕj ։ 0; então todas as funções ϕj são nulas

fora de um hipercubo QA e as ϕj tendem uniformemente para zero bem

como todas as suas derivadas, isto é, seMj “ supxPRn |ϕjpxq| entãoMj Ñ 0

e portanto

|Tfpϕjq| ď Mj

ż

QA

|fpxq|dx

também tende para zero.

Observação: O funcional Tf ainda pode ser definido (exatamente com acima)

para funções limitadas ϕ nulas fora de um certo hipercubo e integráveis; a

demonstração acima mostra que dada uma seqüência de funções ϕj deste

tipo, nulas todas elas fora de um certo hipercubo e tendendo uniformemente

para zero, então Tfpϕjq tende para zero.

Exercícios:

4.1 - Dadas duas funções localmente integráveis, f e g, demonstrar que

Tf ` Tg “ Tf`g e que Tcf “ cTf onde c é um número complexo.

4.2 - Dada uma função contínua f, não identicamente nula em Rn, de-

monstrar que Tf ‰ 0, isto é, que existe um elementoϕ P D tal que Tfpϕq ‰ 0.


4.3 - Dada uma função localmente integrável f e um operador de deriva-

ção Dp demonstrar que o funcional

ϕ P DpRnq Ñ TfpDpϕq P C

é uma distribuição.

4.4 - Com a notação do exercício precedente: quando n “ 1 e D “ ddx

dar a categoria de funções definidas sobre a reta para as quais o funcional

acima está definido e dar condições de convergência para assegurar a conti-

nuidade deste funcional.

2. A distribuição δ de Dirac.

Dado um ponto a “ pa1,a2, . . . ,anq P Rn definimos a distribuição δpaqdo seguinte modo: δpaqpϕq “ ϕpaq para todoϕ P DpRnq. Quando o ponto a

é a origem do Rn escrevemos simplesmente δ em vez de δp0q; essa distribuição

é conhecida sob o o nome de distribuição ou função de Dirac mas ela não é,

na realidade, uma função. A distribuição δpaq ainda pode ser definida para

qualquer função definida no ponto a e basta que se tenha ϕjpaq Ñ ϕpaqpara assegurar que δpaqpϕjq Ñ δpaqpϕq.

Exercício: Dada uma seqüência aν de pontos de Rn que tende para o infi-

nito (isto é, tal que qualquer hipercubo só contém um número finito desses

pontos) e dada uma seqüência cν de números complexos, demonstrar que o

funcional ϕ P DpRnq Ñř

ν cνϕpaνq define uma distribuição que indicamos

porř

ν cνδpaνq.

Observação: A distribuição δpaq não pode ser representada por uma função

localmente integrável f, isto é, não existe uma função localmente integrável

f tal que para todo ϕ P DpRnq tenhamos

ϕpaq “ xδpaq,ϕy “ż

Rn

fpxqϕpxqdx.

De fato: considerando a função

ϕεpxq “

$

&

%

0 se }x´ a} ě ε

exp´

´ ε2

ε2´}x´a}2

¯

se }x´ a} ď ε

que é nula fora de uma vizinhança ε de a e vemos que ϕεpaq “ 1e

e que por

outro ladoş

fpxqϕεpxqdx tende para 0 com ε pois |ϕεpxq| ă 1.

5. Interpretação física dos exemplos anteriores 7

Apesar disto os físicos indicam muitas vezes a distribuição δpaq com a

notação de função, δpx ´ aq, e a relação xδpaq,ϕy “ ϕpaq é escrita como

ϕpaq “ş

Rn δpx´ aqϕpxqdx. Nós não usaremos esta notação.

5. Interpretação física dos exemplos anteriores

Muitas distribuições matemática podem ser interpretadas como distribui-

ções físicas de massas ou de cargas elétrica ou magnéticas (estas distribuições

aparecem nos dipolos). Assim, a distribuição δpaq pode ser interpretada como

uma carga ou massa unitária colocada no ponto a P Rn. Assim, m ¨ δpaq re-

presenta portanto uma carga ou massa m no ponto a.

Uma função localmente integrável f pode ser interpretada como uma dis-

tribuição de cargas ou massas de densidade fpxq no Rn. Dado então um

volume V a carga ou massa contida nesse volume V é dada por

ż

V

fpxqdx.

5.1. Carga ou massa de uma distribuição. A carga ou massa total da distri-

buição m ¨ δpaq é evidentemente m; por outro lado temos

m “ xm ¨ δpaq, 1y.

Dada uma distribuição finita de cargas, ou massas, com densidade fpxq(isto é, toda carga ou massa está contida num volume limitado e

ż

Rn

fpxqdx

é finita) a carga ou massa total é dada por

ż

Rn

fpxqdx “ xTf, 1y.

Esses dois exemplos justificam a seguinte definição: Dada uma distribuição

T a massa ou carga total dessa distribuição é dada por xT , 1y, Observemos

que a função 1 é infinitamente diferenciável mas não é nula fora de algum

hipercubo e portanto para nem toda distribuição podemos definir sua massa

ou carga total.


5.2. Momento de inércia em relação a um ponto b. Dado m ¨ δpaq isto é,

uma massa m no ponto a, o momento de inércia dessa massa em relação ao

ponto b é dado por m ¨ }b ´ a}2 “ xm ¨ δpaq, }x ´ b}2y. (Lembremos que

}b´ a} é a distância do ponto b ao ponto a, isto é,

}b´ a}2 “nÿ

i“1

pbi ´ aiq2.q

Dada uma distribuição finita de massas de densidade fpxq seu momento

de inércia em relação ao ponto b é dado por:ż

R3fpxq}x´ b}2dx “ xTf, }x´ b}2y.

Dada então uma distribuição T dizemos que o número xT , }x´b}2y define

o momento de inércia dessa distribuição em relação ao ponto b. Como no

caso anterior esta noção não está definida para toda distribuição T pois a

função }x´ b}2 não é nula fora de algum hipercubo.

Exercício: Dar exemplos de distribuições para as quais está definido o mo-

mento de inércia em relação ao ponto b e outras para as quais este momento

de inércia é infinito ou não pode ser definido de todo.

5.3. Potencial Newtoniano no R3. Dada uma massa ou carga m no ponto

a o potencial que ela define no ponto b P R3 é dado por

m

}a´ b} “A

m ¨ δpaq,1

}x´ b}E

.

Dada uma distribuição finita de cargas ou massas, de densidade fpxq em

R3, o potencial a que ela dá lugar num ponto b é dado porż

R3

fpxq}x´ b}dx “

A

Tf,1

}x´ b}E

Dada então uma distribuição T , somos levados a dar a seguinte definição:

O potencial no ponto b definido pela distribuição T é dado pelo número:A

T ,1

}x´ b}E

.

Observemos que a função 1}x´b} não é nula fora de algum hipercubo e nem

derivável no ponto x “ b e portanto para nem toda distribuição tem sentido

falar no seu potencial no ponto b.

6. Dipolo elétrico 9

6. Dipolo elétrico

Dado na reta um sistema de duas cargas elétricas, uma carga ´ 1ε

na

origem e uma carga 1ε

no ponto de abcissa ε, esse sistema define uma distri-

buição matemática dada por Tε “ ´ 1εδ` 1

εδpεq isto é

xTε,ϕy “A

´ 1εδ` 1

εδpεq,ϕ

E

“A

´ 1εδ,ϕ

E

À1εδpεq,ϕ

E

“ ´1εϕp0q ` 1

εϕpεq “ ϕpεq ´ϕp0q

ε

fazendo ε tender a zero, esta última expressão tende para ϕ 1p0q e podemos

portanto dizer que o sistema limite quando ε tende para zero, definido pelas

duas cargas acima, é dado pela distribuição matemática

xT ,ϕy “ ϕ 1p0q.

Definição. Consideremos uma carga elétrica é num ponto a e uma carga

elétrica è num ponto vizinho a ` # »

ds “ pa1 ` dx1,a2 ` dx2,a3 ` dx3q;lembremos que o momento elétrico desse sistema é o vetor #»m “ e ¨ # »

ds.

Definição. Dipolo de momento elétrico #»m no ponto a é o sistema limite que

obtemos quando fazemos a carga positiva se aproximar indefinidamente da

carga negativa de modo a manter constante o momento elétrico #»m do sistema

(isto é, aumentando convenientemente as cargas à medida que a distância

entre elas diminui).

Vamos procurar a expressão matemática da distribuição associada a esse

sistema limite, isto é, a distribuição matemática associada ao dipolo elétrico.

A carga é no ponto a é dada pela distribuição é ¨ δpaq; a carga e no

ponto a ` # »

ds é dada pela distribuição e δpa` # »

dsq; o sistema formado pelas

duas cargas é portanto dado pela distribuição

é ¨ δpaq ` e ¨ δpa` # »

dsq,

isto é,

xé ¨ δpaq ` e ¨ δpa` # »

dsq,ϕy “ é ¨ϕpaq ` e ¨ϕpa` # »

dsq

“ e ¨“

´ϕpa1,a2,a3q `ϕpa1 ` dx1,a2 ` dx2,a3 ` dx3q‰

.


Usando a fórmula de Taylor e indicando por opmq os termos de ordem infi-nitesimal ě 0 temos

ϕpa1 ` dx1,a2 ` dx2,a3 ` dx3q “ ϕpa1,a2,a3q `3ÿ

i“1

dxBϕBxi

pa1,a2,a3q ` op2q

“ ϕpa1,a2,a3q ` # »

ds ¨ gradpaqϕ` op2q

onde gradpaqϕ indica o valor do campo vetorial gradϕ calculado no ponto

a. Temos portanto

xé ¨ δpaq ` e ¨ δpa` # »

dsq,ϕy “ e ¨ # »

ds ¨ gradpaqϕ` op1q

“ #»m ¨ gradpaqϕ` op1q.

Fazendo# »

ds tender para zero e aumentando a carga e de modo a manter

constante o vetor #»m “ e ¨ # »

ds vemos que o dipolo elétrico de momento elétrico#»m no ponto a é dado pela distribuição matemática xT ,ϕy “ #»m ¨ gradpaqϕ.

Esta expressão também pode ser escrita comom`Bϕ

Bn˘

x“aondem é o módulo

do vetor #»m e BBn indica a derivada na direção #»n . É imediato verificar que este

funcional é linear e contínuo e define portanto uma distribuição .

Exercício: Demonstrar as últimas afirmações.

6.1. Potencial definido por um dipolo elétrico. Já vimos que dada uma dis-

tribuição T o potencial que ela define no ponto b é dado pela expressão

xT , 1}x´b} y. Para achar o potencial definido por um dipolo elétrico de mo-

mento elétrico #»m no ponto a precisamos portanto calcular a expressão #»m ¨gradpaq

1}x´b} :

#»m ¨ gradpaq1

}x´ b} “ ´ #»m ¨ gradpbq1

}b´ a} “#»m ¨ pb´ aq}b´ a}3

(lembremos que grad 1r

“ ´ #»rr3 ), fórmula bem conhecida da eletrostática.

Indicamos por θ o ângulo do vetor #»m com o vetor bá esta última expressão

ainda pode ser escrita como m cosθ}bá}2 .

7. Outros exemplos de distribuições

1. Dada uma hipersuperfície S e uma função contínua ρ definida nela,

definimos:

xρδS,ϕy “ż

S

ρpxqϕpxqdS

para toda função ϕ P D.

7. Outros exemplos de distribuições 11

É imediato que este funcional é linear e contínuo. Esta distribuição pode

ser interpretada como uma distribuição de massa ou cargas sobre a superfície

S de densidade superficial ρpxq. Uma distribuição de cargas assim, aparece

na superfície de separação de dois dielétricos diferentes ou na superfície de

um metal num campo elétrico.

2. Dada uma hipersuperfície regular (isto é, com normal definida em todo

ponto) e bilateral, S, e uma função contínua ρpxq definida nela, definimos:A B

BnpρδSq,ϕE

“ ´ż

S

ρpxqBϕBndS

para todo ϕ P D, onde BBn indica a derivada na direção da normal à su-

perfície, onde supomos que todas as normais estão voltadas para o mesmo

lado da hipersuperfície (o que é possível pois por hipótese a hipersuperfície

é bilateral). Veremos mais adiante a justificativa para o sinal negativo frente

à integral. Essa distribuição pode ser interpretada como uma distribuição

superficial de dipolos elétricos com momento elétrico na direção n normal à

hipersuperfície e densidade superficial de momento elétrico igual a ρpxq.Observação: Se a hipersuperfície S for fechada e limitada então não é neces-

sário supor a função ϕ nula fora de um hipercubo. Basta, aliás, que ela seja

apenas definida numa vizinhança da hipersuperfície S.

Capítulo 2

Derivação de distribuições

1. Definição, motivação e propriedades

Dada uma função f de n variáveis reais, contínua e com derivada BfBx1

contínua, tanto f como BfBx1

definem distribuições. Procuremos a relação que

existe entre elas:

A BfBx1

,ϕE

“ż

Rn

BfBx1

ϕpxqdx

“ż

¨ ¨ ¨ż

dx2 ¨ ¨ ¨dxnż `8

´8

BfBx1

ϕpx1, x2, . . . , xnqdx1

“ż

¨ ¨ ¨ż

dx2 ¨ ¨ ¨dxn„

fϕ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

`8

´8´ż `8

´8f

BϕBx1

dx1

.

Lembrando que ϕ é nula fora de um hipercubo suficientemente grande, vem

que fϕ|`8´8 “ 0 e portanto

A BfBx1

,ϕE

“ ´ż

¨ ¨ ¨ż

dx2 ¨ ¨ ¨dxnż `8

´8f

BϕBx1

dx1

“ ´ż

Rn

fBϕBx1

dx “ ´A

f,BϕBx1

E

.

Se quisermos portanto a derivada de uma distribuição de modo que ela

coincida com a derivada de uma função, no caso em que a distribuição é

definida por uma função contínua com derivada contínua, devemos pôr:

A BTBxi

,ϕE

“ ´A

T ,BϕBxi

E

(2.1)

13

14 2. Derivação de distribuições

É imediato verificar que o funcional assim definido é linear e é contínuo

(para demonstrar a continuidade usamos a condição C2 do §2 do Capítulo

1).

PROPOSIÇÃO. Para toda distribuição T temos

B2T

BxiBxj“ B2T

BxjBxi(2.2)

Demonstração.A B2T

BxiBxj,ϕ

E

“A BT

Bxj,

BϕBxi

E

“A

T ,B2ϕ

BxjBxi

E

ϕ sendo infinitamente diferenciável temos

B2ϕ

BxjBxi“ B2ϕ

BxiBxje portanto

A

T ,B2ϕ

BxjBxi

E

“A

T ,B2ϕ

BxiBxj

E

“A BT

Bxi,

BϕBxj

E

“A B2T

BxjBxi,ϕ

E

. �

Daí segue portanto que

COROLÁRIO. Toda distribuição é indefinidamente derivável e podemos in-

verter as ordens de derivação.

Exercícios:

1.1 - Se Dp “ B|p|

Bxp11 ¨¨¨Bxpn

ndemonstrar que

xDpT ,ϕy “ p´1q|p|xT ,Dpϕy.

1.2 - Dado um operador diferencial a coeficientes constantes

D “ÿ

p

ApDp

definimos o transposto de D por

tD “ÿ

p

p´1q|p|ApDp.

Demonstrar que xDT ,ϕy “ xT , tDϕy.

1.3 - Dado o Laplaciano

∆ “nÿ

i“1

B2

Bx2i

demonstrar que t∆ “ ∆.

2. Exemplos de derivação 15

2. Exemplos de derivação no caso de uma variável

1. Já vimos que dada uma função contínua f com derivada contínua dfdx

a distribuição Tdf{dx definida pela função derivada coincida com a derivadadTf

dxda distribuição definida por f. Para simplificar de notação passamos a

indicar com dfdx

a derivada no sentido de distribuições, e com

dfdx

(

a derivada

no sentido de funções. Logo veremos exemplos de funções (naturalmente

não contínuas e de derivada contínua) em que essas duas derivadas definem

distribuições diferentes. Usaremos uma notação análoga no caso de uma

variável.

2. Consideremos a função de Heaveside Ypxq que é nula quando x ă 0 e

é igual a 1 para x ě 0. Esta função é localmente integrável e define portanto

uma distribuição que ainda indicaremos por Y. Procuremos a derivada dessa

distribuição:

xY 1,ϕy “ ´xY,ϕ 1y “ ´ż `8

´8Ypxqϕ 1pxqdx “ ´

ż `8

0ϕ 1pxqdx

“ ´ϕˇ

ˇ

ˇ

ˇ

8

0“ ϕp0q “ xδ,ϕy

e portanto Y 1 “ δ.

Observemos que a derivada de Y como função é nula em os pontos onde

está definida (isto é, para x ‰ 0) e que portanto tY 1u “ 0.

Exercícios:

2.1 - Demonstrar que xδ 1,ϕy “ ´ϕ 1p0q.2.2 - Demonstrar que xδpmq,ϕy “ p´1qmϕpmqp0q.2.3 - Demonstrar que d2

dx2 |x| “ 2δ.

2.4 - Demonstrar que d2

dx2 |x´ a| “ 2δpaq.

3. Seja f uma função infinitamente diferenciável em todos os pontos da

reta exceto na origem. Supomos que na origem f e todas suas derivadas

apresentam descontinuidades de 1ª espécie, isto é, existem e são finitos os

limites fpmqp0`q e fpmqp0´q. Indicamos então por

σm “ fpmqp0`q ´ fpmqp0´q

o salto da derivadam-ésima de f na origem; σ0 indica o salto de f na origem.


PROPOSIÇÃO. Temos a seguinte relação entre a derivada da distribuição de-

finida por f e a distribuição pela derivada de f

f 1 “ tf 1u ` σ0δ (2.3)

(notação correta T 1f “ Tf 1 ` σ0δ).

Demonstração.

xf 1,ϕy “ ´xf,ϕ 1y

“ ´ż `8

´8fpxqϕ 1pxqdx

“ ´ż `8

´8fpxqϕ 1pxqdx

“ ´ż `8

0fpxqϕ 1pxqdx´

ż 0

´8fpxqϕ 1pxqdx

mas

´ż 0

´8fpxqϕ 1pxqdx “ ´fϕ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

0

´8`ż 0

´8f 1pxqϕpxqdx

“ ´fp0´qϕp0q `ż 0

´8f 1pxqϕpxqdx,

do mesmo modo

´ż `8

0fpxqϕ 1pxqdx “ fp0`qϕp0q `

ż `8

0f 1pxqϕpxqdx

e portanto

´ż `8

´8fpxqϕ 1pxqdx “ rfp0`q ´ fp0´qsϕp0q `

ż `8

´8f 1pxqϕpxqdx

“ σ0ϕp0q ` xtf 1u,ϕy “ σ0xδ,ϕy ` xtf 1u,ϕy. �

De modo análogo temos

f2 “ tf2u ` σ1δ` σ0δ1

e de modo geral

fpmq “ tfpmqu ` σm´1δ` σm´2δ1 ` ¨ ¨ ¨ ` σ0δ

m´1. (2.4)

Vamos demonstrar esta última fórmula por indução: para m “ 1 já de-

monstramos acima. Supomos então a fórmula válida param e demonstrêmo-

la para m ` 1. Para isso tomemos a derivada no sentido de distribuição de

ambos os membros da relação (2.4):

fpm`1q “ tfpmqu 1 ` σm´1δ1 ` σm´2δ

2 ` ¨ ¨ ¨ ` σ0δpmq

3. Exemplos de derivação de distribuições 17

aplicando a relação (2.3) à função tfpmqu temos

tfpmqu 1 “ tfpm`1qu ` σmδ

donde segue a fórmula para o caso m` 1.

Observação: A fórmula de integração por partes nos mostra que as relações

acima ainda são válida quando a função ϕ é apenas infinitamente diferenciá-

vel desde que porém a função f seja nula fora de um intervalo suficientemente

grande.

Exercícios:

2.5 - Demonstrar que`

Ypxq ¨ cos x˘ 1 “ ´Ypxq ¨ sen x ` δ e que

`

Ypxq ¨sen x

˘ 1 “ Ypxq ¨ cos x. (Nota: Aqui Y representa a função de Heaveside.)

2.6 - Aplicar as fórmulas acima para as funções Ypxq ¨ ex, Ypxq ¨ p1 ` x2q,Ypxq ¨ x e Ypxq ¨ xn.

2.7 - Estender os resultados acima aos casos em que: a) o ponto de

descontinuidade é a ‰ 0; b) a função tem um número finito de pontos de

descontinuidade; c) o conjunto dos pontos de descontinuidade da função f é

um conjunto enumerável sem ponto de acumulação (finito).

2.8 - Achar a derivada primeira e a derivada segunda das seguintes fun-

ções: e|x|, |x´ a|2, x|x| , | sen x|, senx

| senx| .

2.9 - Demonstrar a afirmação contida na observação do final deste pará-

grafo.

2.10 - Dar um exemplo mostrando que a restrição imposta à função f é

necessária quando supomos a função ϕ apenas infinitamente diferenciável.

3. Exemplos de derivação de distribuições, no caso de mais de umavariável

Seja S uma hipersuperfície regular do Rn (isto é, com normal em cada

ponto) e seja f uma função infinitamente diferenciável em todos os pontos

de Rn que não estão sobre a hipersuperfície, e tal que em cada ponto x0

da hipersuperfície tanto f como todas as suas derivadas Dpf tenham limites

finitos, de ambos os lados de S, quando nos aproximamos do ponto x0 em

questão. A diferença desses limites no ponto x0 P S é denominada salto de f

(respectivamente de Dpf) no ponto x0; o sinal do salto depende do sentido

em que atravessamos a hipersuperfície.


Pelas hipóteses acima tanto a função f como a sua função derivada Bf

Bx1

(

definem distribuições de Rn e vamos procurar a relação que existe entre

a derivada distribuição BfBx1

e a distribuição definida pela derivada função Bf

Bx1

(

:A Bf

Bx1,ϕ

E

“ ´A

f,BϕBx1

E

“ ´ż

Rn

fpxq BϕBx1

“ ´ż

¨ ¨ ¨ż

dx2 ¨ ¨ ¨dxnż `8

´8fpxq Bϕ

Bx1dx1

usando a fórmula (2.3) vem entãoż

¨ ¨ ¨ż

dx2 ¨ ¨ ¨dxn„

σ0ϕ`ż `8

´8

BfBx1

ϕpxqdx1

onde, em todo ponto de S, σ0 indica o salto de f quando atravessamos S no

sentido crescente de x1; no produto σ0ϕ, ϕ é calculado no mesmo ponto que

σ0. Lembrando que cos θ1 ¨ dS “ dx2 ¨ ¨ ¨dxn onde θ1 é o ângulo da normal

à superfície, dirigida no sentido crescente de x1, com o eixo dos x1,

#»n

#»n

x1

S

A BfBx1

,ϕE

“ż

S

σ0ϕ cos θ1dS`ż

Rn

BfBx1

ϕpxqdx

“ xσ0 cos θ1δS,ϕy `A! Bf

Bx1

)

,ϕE

portantoBfBxi

“! Bf

Bxi

)

` σ0 cos θ1δS. (2.5)

Observação: 1 - Em lugar de calcular o salto como acima, podemos fixar

arbitrariamente em cada ponto de S o sentido da normal e calcular o salto

de f no sentido dessa normal. Isto equivale a mudar eventualmente tanto o

sinal do salto como o de cos θi e portanto não altera a nossa fórmula.

2 - A hipersuperfície S não é necessariamente bilateral: em todo ponto

ela tem dois lados porém o mesmo já não é verdade para a hipersuperfície

como um todo. É o que acontece, por exemplo, com a faixa de Moebius no

R3.

3. Exemplos de derivação de distribuições 19

Exemplo. Aplicando a fórmula acima às componentes Ex, Ey e Ez de um

campo elétrico, sendo S a superfície de separação entre dois dielétricos (ou a

superfície de um corpo metálico) vem

div#»

E “ tdiv#»

Eu ` #»σ ¨ #»n δS, #»σ “ #»

E p2q ´ #»

E p1q

#»

E p2q#»

E p1q

#»n

p1q p2q

Como já vimos, o último termo representa uma distribuição superficial

de cargas elétricas.

Exercício:

3.1 - Interpretar a fórmula (2.5) quando a hipersuperfície S for paralela

ao eixo xi.

Indicamos como σi o salto de Bf

Bxi

(

e aplicando a relação (2.5) aB

Bxi

BfBxi

(

vem

B2f

Bx2i

“! B2f

Bx2i

)

` pσi cos θiqδS ` BBxi

“

pσ0 cos θiqδS‰

(2.6)

Lembrando que

∆f “nÿ

i“1

B2f

Bx2i

vem que

∆f “ t∆fu `nÿ

i“1

pσi cos θiqδS `nÿ

i“1

BBxi

pσ0 cos θiqδS. (2.7)

Vamos transformar esta última expressão: lembremos que dada uma fun-

ção diferenciável F temos

BFBn “

nÿ

i“1

BFBxi

cos θi

onde θi é o ângulo da direção #»n com o eixo i-ésimo.

Aplicando essa relação a BfBn e BF

Bxide ambos os lados da superfície e

indicando com σn o salto de Bf

Bn(

ao atravessar S na direção da normal #»n

temos

σn “nÿ

i“1

σi cos θi.


σn é independente do sentido da normal pois invertendo este sentido

tanto cos θi como σi mudam de sinal. É imediato que ainda temos

σn “! Bf

Bn1

)

`! Bf

Bn2

)

#»n1#»n2

onde #»n1 e #»n2 indicam as duas normais em sentidos opostos que estão defi-

nidas em cada ponto da hipersuperfície S. Temos portantonÿ

i“1

pσi cos θiqδS “ σnδS “„

! BfBn1

)

`! Bf

Bn2

)

δS.

Por outro lado temosB n

ÿ

i“1

BBxi

pσ0 cos θiqδS,ϕ

F

“nÿ

i“1

A BBxi

pσ0 cos θiqδS,ϕE

“nÿ

i“1

A

σ0 cos θiδS,BϕBxi

E

“ ´ż

S

„ nÿ

i“1

σ0 cos θiBϕBxi

dS

“ ´ż

S

σ0BϕBndS “

A BBn pσ0δSq,ϕ

E

.

Como acima, também esta relação é independente do sentido de #»n , pois,

mudando este, tanto σ0, como BϕBn mudam de sinal. Ainda podemos escrever

BBnpσ0δSq “ B

Bn1

´

fp1q(

δS

¯

` BBn2

´

fp2q(

δS

¯

onde fp1q e fp2q indicam a função f calculada no lado para o qual aponta a

normal #»n1, respectivamente #»n2.

Substituindo as transformações precedentes na relação (2.7) vem:

∆f “ t∆fu `ˆ

! BfBn1

)

`! Bf

Bn2

)

˙

δS ` BBn1

pfp1qδSq ` BBn2

pfp2qδSq (2.8)

∆f “ t∆fu ` σnδS ` BBnpσ0δSq (2.9)

Se S for uma hipersuperfície bilateral fechada, podemos tomar para #»n

a normal interna ou externa em todos os pontos de S. #»n1 pode então ser

tomada como normal interna e #»n2, portanto, como normal externa.

Exemplo. Se f indica o potencial de uma campo elétrico este potencial é con-

tínuo mas sua derivada normal na superfície de separação de dois dielétricos

diferentes não é contínua e o salto σn corresponde à diferença dos campos

4. Fórmula de Green 21

elétricos em ambos os lados da superfície (este vetor diferença é sempre nor-

mal à superfície, como é bem conhecido em eletrostática).

Observação: Da observação do fim do parágrafo precedente segue-se que as

fórmula acima ainda valem se a função ϕ for apenas infinitamente diferenci-

ável, desde que porém a função f seja nula fora de um hipercubo suficiente-

mente grande. E o que acontece, por exemplo, se f representa a densidade de

uma distribuição finita de cargas elétricas ou massas materiais.

Exercícios:

3.2 - Em R3, dada a função

fpxq “

$

&

%

0 se }x} ą a ą 0

1 se }x} ă a

achar ∆f e dar a sua interpretação física (ver também o § seguinte).

3.3 - Idem para a função

gpx,y, zq “

$

&

%

0 se x ă 0

e´px2`y2`z2q se x ą 0

4. Fórmula de Green

Consideremos agora um caso particular em que a hipersuperfície S limita

um volume V e em que a função f é nula fora de V. Indicamos com ni a

normal interna a V, a fórmula (2.8) nos dá

∆f “ t∆fu `! Bf

Bni

)

δS ` BBni

pfδSq

isto é,

x∆f,ϕy “ xt∆fu,ϕy `A! Bf

Bni

)

δS,ϕE

`A B

BnipfδSq,ϕ

E

ou aindaż

V

f∆ϕdx “ż

V

∆f ¨ϕdx`ż

S

BfBni

ϕdS´ż

S

fBϕBni

dS

isto éż

V

pf∆ϕ´ϕ∆fqdx`ż

S

´

fBϕBni

´ϕ BfBni

¯

dS “ 0 (2.10)

relação esta que é conhecida sob o nome de Fórmula de Green.


Observação: Em geral esta fórmula é escrita considerando a derivada em

relação à normal e mudando portanto o sinal frente à integral sobre a super-

fície.

Aplicação: Consideremos uma distribuição finita e contínua de cargas elé-

tricas de densidade espacial ρpxq. Essa distribuição dá lugar a um potencial

fpxq dado por

fpx0q “ż

R3

ρpxq}x´ x0}dx;

lembremos ainda que ∆f “ ´4πρ, conforme demonstraremos na Seção 6.

Seja então V um volume que contém o ponto x0 em seu interior, seja V 1 o

seu complementar e seja S a superfície de separação dos dois volumes. Temos

então

fpx0q “ż

R3

ρpxq}x´ x0}dx “ ´ 1

4π

ż

R3

∆f

}x´ x0}dx

“ ´ 14π

ż

V

∆f

}x´ x0}dx´ 14π

ż

V 1

∆f

}x´ x0}dx.

A função ϕpxq “ 1}x´x0} é infinitamente derivável em V 1 e lembrando a ob-

servação do fim do parágrafo precedente podemos aplicar a fórmula (2.10)(Fórmula de Green) e vem

ż

V 1

∆f

}x´ x0}dx “ż

V 1

f∆1

}x´ x0}dx`ż

S

„

fB

Bn 1i

1}x´ x0} ´ 1

}x´ x0}Bf

Bn 1i

dS

onde n 1i indica a normal interna a V 1 (que é a normal externa a V). Lem-

brando que 1}x´x0} é harmônica nos pontos x ‰ x0 isto é, que para x ‰ x0

temos ∆`

1}x´x0}

˘

“ 0 (ver a Seção seguinte) vem

fpx0q “ż

V

ρpxq}x´ x0}dx` 1

4π

ż

S

BfBne

1}x´ x0}dS´ 1

4π

ż

S

fB

Bne

1}x´ x0}dS

“ż

V

ρpxq}x´ x0}dx`

A 14π

BfBne

δS,1

}x´ x0}E

`A B

Bnep f4πδSq, 1

}x´ x0}E

(2.11)

Portanto o potencial criado pela distribuição ρ de cargas elétricas é o

mesmo que o potencial criado pelas cargas que estão contidas no volume V

apenas, adicionando ao potencial criado por uma distribuição superficial de

cargas de densidade superficial 14π

BfBne

e ao potencial criado por uma distri-

buição superficial de dipolos de momento elétrico* f4π . Ou ainda: as cargas

exteriores ao volume V dão lugar a um potencial nos pontos internos a V que

*no sentido da normal a S e de densidade de momento elétrico

5. Cálculo de ∆ 1rn´2 23

é igual ao potencial criado pela distribuição superficial de cargas 14π ¨ Bf

BneδS

e pela distribuição superficial de dipolos BBne

“

f4πδS

‰

sobre a superfície S.

5. Cálculo de ∆ 1rn´2

Lembremos que dada uma função diferenciável fpxq num aberto O dize-

mos que f é harmônica em O se temos ∆f “ 0 em cada ponto de O.

Exemplo. A parte real ou a parte imaginária de um função analítica.

Lembremos ainda que dada uma função harmônica não constante f, num

aberto O, |f| não tem máximo nem mínimo em pontos de O.

PROPOSIÇÃO. Para n ě 3 a função 1rn´2 é harmônica nos pontos x ‰ 0 de

Rn (lembremos que r “ }x} “`řn

i“1 x2i

˘1{2).

Demonstração. Dada uma função diferenciável f que é função apenas de r

temos

BfBxi

“ BfBr

BrBxi

“ BfBrxi

re

B2f

Bx2i

“ B2f

Bx2

x2i

r2` Bf

Br´1r

´ x2i

r3

¯

e portanto

∆f “nÿ

i“1

B2f

Bx2i

“ B2f

Br2 ` n´ 1r

BfBr

a função 1rn´2 é infinitamente diferenciável nos pontos x ‰ 0 e aplicando a

última relação vem ∆ 1rn´2 “ 0 para x ‰ 0. �

Exercícios:

5.1 - Demonstrar que quando n “ 2

∆ log1r

“ 0

para x ‰ 0.

5.2 - Demonstrar que quando n “ 1

∆|x| “ 0

para x ‰ 0.

Vamos agora calcular ∆ 1rn´2 no sentido de distribuições. Temos:

∆1

rn´2 “ ´pn´ 2qSnδ


onde Sn é a área da hipersuperfície da hiperesfera de raio unitário, do Rn;

Sn “ 2πn2

Γp12q

.

Lembremos as seguintes propriedades da função Γ :

1) se n é um inteiro ě 0 temos Γpn` 1q “ n!

2) Γpx` 1q “ x ¨ Γpxq3) Γ

`

12

˘

“?π

Portanto

Γ´3

2

¯

“ 12

?π e S3 “ 4π;

Γp2q “ 1 e S4 “ 2π2;

Γ´5

2

¯

“ 34

?π e S5 “ 8

3π2.

Demonstração.

A

∆1

rn´2 ,ϕE

“A 1rn´2 ,∆ϕ

E

“ż

Rn

1rn´2∆ϕdx

“ limεÑ0

ż

rěε

1rn´2∆ϕdx “ lim

εÑ0

ż

Rn

ρεpxq∆ϕdx

onde

ρεpxq “

$

&

%

0 para }x} ă ε

1rn´2 para }x} ě ε

#»n “ #»rr

pela fórmula de Green temosż

Rn

ρε∆ϕdx “ x∆ρε,ϕy

“@

t∆ρεu,ϕD

`ABρε

Bn δS,ϕE

`A B

Bn pρεδSq,ϕE

“ż

rěε

∆´ 1rn´2

¯

ϕpxqdx`ż

r“ε

BBr

´ 1rn´2 q

¯

ϕdS´ż

r“ε

1rn´2

BϕBr dS

lembrando que ∆ 1rn´2 “ 0 para r ‰ 0 vem

ż

Rn

ρε∆ϕdx “ ´ż

r“ε

n´ 2εn´1 ϕpxqdS´

ż

r“ε

1εn´2

BϕBr dS

6. A fórmula de Poisson, ∆V “ ´4πρ 25

a última das integrais tende para zero com ε pois BϕBr é contínua na origem e

a área da hipersuperfície r “ ε é da ordem de εn´1 enquanto que temos εn´2

no denominador. Para a primeira das integrais do segundo membro temosż

r“ε

n´ 2εn´1 ϕpxqdS “ n´ 2

εn´1

ż

r“ε

ϕp0qdS` n´ 2εn´1

ż

r“ε

`

ϕpxq ´ϕp0q˘

dS

comoˇ

ˇϕpxq ´ ϕp0qˇ

ˇ ď ε ¨ max}x}ďε

ˇ

ˇ

BϕBrˇ

ˇ então, como acima, a segunda das

integrais tende para zero com ε e como

n´ 2εn´1

ż

r“ε

ϕp0qdS “ n´ 2εn´1 ϕp0qεn´1Sn “ pn´ 2qSnxδ,ϕy

temos finalmente ∆ 1rn´2 “ ´pn´ 2qSnδ. �

Fazendo r “ }x´ a} vem o seguinte

COROLÁRIO. ∆ 1}x´a}n´2 “ ´pn´ 2qSnδpaq.

No caso particular de n “ 3 vemos que uma carga unitária no ponto a,

que é representada pela distribuição δpaq, dá lugar a um potencial 1}x´a} cujo

laplaciano é ´4πδpaq.

Exercícios:

5.3 - Demonstrar que ∆|x| “ 2δ para n “ 1.

5.4 - Demonstrar que ∆ log 1r

“ ´2πδ para n “ 2.

6. A fórmula de Poisson, ∆V “ ´4πρ

Dada uma distribuição finita de cargas de densidade ρpxq ela dá lugar a

um potencial contínuo

Vpyq “ż

R3

ρpxq}x´ y}dx

que define um campo elétrico#»

E “ ´ gradV. Lembrando o teorema do di-

vergente,ş

S

#»

EdS “ş

W div#»

E dx (“ ´ş

W div gradVdx “ ´ş

W ∆Vdx) onde

W é uma região de R3 limitada pela superfície S, e admitindo a lei de Gaussż

S

#»

E dS “ 4πż

W

ρpxqdx,

então a validez destas relações para qualquer volume W se deduz que

∆V “ ´4πρ.


Esta dedução porém não constitui uma demonstração matemática da fór-

mula de Poisson pois admitir a lei de Gauss equivale a admitir a fórmula de

Poisson, já que deż

S

#»

E dS “ż

W

div#»

E dx “ ´ż

W

div gradVdx “ ´ż

W

∆Vdx

e de ∆V “ ´4πρ segue por sua vez a lei de Gauss:ż

S

#»

E dS “ 4πż

W

ρpxqdx.

Vamos então dar uma demonstração rigorosa da fórmula de Poisson e

portanto da lei de Gauss.

TEOREMA. Dada uma distribuição contínua de cargas de densidade ρpxq,contida num volume finito (i.e., ρpxq é nula fora de um cubo suficientemente

grande) então o potencial

Vpyq “ż

R3

ρpxq}x´ y}dx

definido por esta distribuição de cargas satisfaz à equação de derivadas par-

ciais ∆V “ ´4πρ.

Demonstração. Para todo ϕ P DpR3q temos

x∆V,ϕy “ xV,∆ϕy “ż

R3Vpyq∆ϕpyqdy

“ż„ż

ρpxq}x´ y}

∆ϕpyqdy “ĳ

ρpxq∆ϕpyq}x´ y} dxdy

“ż

ρpxq„ż

∆ϕpyq}x´ y}dy

dx “ż

ρpxqB

1}x´ y} ,∆ϕpyq

F

dx

“ż

ρpxqB

∆1

}x´ y} ,ϕpyqF

dx “ż

ρpxq@

´ 4πδpxq,ϕD

dx

(como segue do corolário do fim do §5)

“ ´4πż

ρpxqϕpxqdx. �

Observação: A igualdade ∆V “ ´4πρ demonstrada mo sentido de distribui-

ções, ainda é válida se a função ρpxq for somente integrável e nula fora de

um cubo. Quando ρ é contínua (nula fora de algum cubo) é fácil ver que V é

contínua com derivadas primeiras contínuas.

De modo análogo demonstramos também o

7. A distribuição vp 1x

27

TEOREMA. Dada uma distribuição ρδS de cargas, sobre uma superfície S, de

densidade superficial contínua ρ e nula fora de um cubo, então o potencial

Vpyq “ż

S

ρpxq}x´ y}dS

definido por esta distribuição de cargas satisfaz à equação de derivadas par-

ciais ∆V “ ´4πρδS.

Vemos portanto que estendemos a fórmula de Poisson, ∆Vρ “ ´4πρ

para distribuições puntiformes e distribuições superficiais de cargas. Pode-

se demonstrar que ela ainda vale para distribuições finitas de dipolos ou de

multipolos etc.


1. Lembremos que dada uma função fpxq, definida no intervalo ra,bs,não integrável neste intervalo mas tal que exista um ponto c com a ă c ă b

tal que para todo ε ą 0 f é integrável nos intervalos ra, c ´ εs e rc ` ε,bs é

possível que exista e seja finito o limite

limεÑ0

”

ż c´ε

a

fpxqdx`ż b

c`ε

fpxqdxı

que neste caso chamamos de valor principal da integral de fpxq no intervalo

ra,bs e escrevemos

vpż b

a

fpxqdx.

Como existem e são finitas as integraisşc´ε

a fpxqdx eşb

c`ε fpxqdx a exis-

tência do limite vpşb

a fpxqdx depende unicamente do comportamento de fpxqno intervalo simétrico rc´ σ, c` σs.

Lembremos que uma função gpxq definida no intervalo rc ´ σ, c ` σs é

simétrica (em relação a c) se gpc ´ yq “ gpc ` yq para ´σ ď y ď σ e é

anti-simétrica (em relação a c) se gpc´ yq “ ´gpc` yq. Quando c “ 0 uma

função simétrica se diz par e uma função anti-simétrica ímpar.

Toda função fpxq definida em rc ´ σ, c ` σs se decompõe de uma modo

único na soma de uma função simétrica e uma função anti-simétrica.

Demonstração. Temos

fpc` yq “ 12

“

fpc` yq ` fpc´ yq‰

` 12

“

fpc` yq ´ fpc´ yq‰


onde o primeiro somando é evidentemente simétrico e o segundo anti-simétri-

co. Se tivermos f “ fs ` fa “ gs ` ga decomposições de f em somas de

funções simétricas e anti-simétricas então fs ´gs “ ga ´ fa “ 0 donde segue

a unicidade da decomposição. �

Existe e é finito o vpşb

a fpxqdx se e somente se a parte simétrica de f (no

intervalo rc´ σ, c` σs, qualquer) for integrável.

Demonstração. Pela observação acima podemos nos restringir ao intervalo

rc ´ σ, c ` σs. Sejam fs e fa respectivamente as componentes simétrica e

anti-simétrica de f. Temos

limεÑ0

”

ż c´ε

c´σ

fpxqdx`ż c`σ

c`ε

fpxqdxı

“ limεÑ0

”

ż c´ε

c´σ

fspxqdx`ż c`ε

c`ε

fspxqdx`

`ż c´ε

c´σ

fapxqdx`ż c`σ

c`ε

fapxqdxı

a soma das duas última integrais é nula pois fa é anti-simétrica no intervalo

rc´ σ, c` σs, isto é, fpc´ yq “ ´fpc` yq e portanto nosso limite se reduz a

limεÑ0

”

ż c´ε

c´σ

fspxqdx`ż c`σ

c`ε

fspxqdxı

“ 2 limεÑ0

ż c´ε

c´σ

fspxqdx

“ 2ż c

c´σ

fspxqdx “ż c`σ

c´σ

fspxqdx

usamos o fato de que a função fs é simétrica. �

Exemplo. Se fpxq “ ϕpxqxć

onde ϕpxq é contínua e derivável no ponto x “ c

então existe

vpż b

a

fpxqdx.

De fato: fpxq “ ϕpxqxć

` ϕpxq´ϕpcqxć

onde o primeiro somando é anti-simétrico e

o segundo é limitado (pois por hipótese ϕ é derivável no ponto c) e portanto

integrável.

O resultado precedente nos mostra em particular que existe

vpż a

á

dx

x

que aliás é nulo.

Exercícios:

7.1 - Estender os resultados precedentes ao caso em que no intervalo

ra,bs exista um número finito de pontos “excepcionais” da função fpxq.


29

7.2 - Ver se existem os seguintes valores principais:

vpż a

á

1x2dx; vp

ż a

á

1x3dx; vp

ż a

á

e1{xdx; vpż a

á

xe1{x2dx.

2. O funcional ϕ P DpRq Ñ vpş`8

´8ϕpxqxdx define uma distribuição que

indicaremos por: vp 1x

.

Demonstração. Por definição temos

A

vp1x

,ϕE

“ vpż `8

´8

ϕpxqxdx

é evidente que este funcional é linear. Resta portanto demonstrar sua conti-

nuidade, isto é, que ϕj ։ 0 implica@

vp 1x

,ϕj

D

Ñ 0.

Se ϕj ։ 0 então todas as funções ϕj são nulas fora de um mesmo inter-

valo rá,as e da fórmula dos acréscimos finitos resulta que:ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ϕjpxq ´ϕjp0qx

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ď maxáďxďa

ˇ

ˇϕ 1jpxq

ˇ

ˇ

que também tende para zero quando j tende para infinito e portanto

vpż `8

´8

ϕjpxqx

“ vpż a

á

”ϕjp0qx

` ϕjpxq ´ϕjp0qx

ı

dx

“ ϕjp0q vpż a

á

dx

x` vp

ż a

á

ϕjpxq ´ϕjp0qx

dx;

o primeiro somando é nulo e o segundo tende para zero pois o integrando

tende uniformemente para zero como vimos acima. �

3. A função log |x| é localmente integrável e define portanto uma dis-

tribuição. A sua derivada no sentido de função é a função 1x

que não é

localmente integrável . Vamos demonstrar que a sua derivada no sentido de

distribuições é a distribuição vp 1x

isto é,`

log |x|˘ 1 “ vp 1

x.

De fato:@`

log |x|˘ 1

,ϕD

“@

log |x|,ϕ 1D

“ż `8

´8log |x|ϕ 1pxqdx

“ ´ż 0

´8log |x|ϕ 1pxqdx´

ż `8

0log |x|ϕ 1pxqdx.


´ż `8

0log |x|ϕ 1pxqdx “ ´ lim

εÑ0

ż `8

ε

log |x|ϕ 1pxqdx

“ limεÑ0

”

´ log x ¨ϕpxqˇ

ˇ

ˇ

`8

ε`ż `8

ε

ϕpxqxdx

ı

“ limεÑ0

”

log ε ¨ϕpεq `ż `8

ε

ϕpxqxdx

ı

“ limεÑ0

”

ϕp0q log ε``

ϕpεq ´ϕp0q˘

log ε`ż `8

ε

ϕpxqxdx

ı

como ϕpεq ´ϕp0q é da ordem de ε e ε ¨ log ε tende para zero com ε o limite

se reduz a

limεÑ0

”

ϕp0q ¨ log ε`ż `8

ε

ϕpxqxdx

ı

.

Analogamenteż 0

´8log |x|ϕ 1pxqdx “ lim

εÑ0

”

´ log ε ¨ϕp0q `ż ´ε

´8

ϕpxqxdx

ı

e portanto

@`

log |x|˘

,ϕD

“ limεÑ0

”

ż ´ε

´8

ϕpxqxdx`

ż `8

ε

ϕpxqxdx

ı

“ vpż `8

´8

ϕpxqxdx “

A

vp1x

,ϕE

.

Na mecânica quântica são usadas as distribuições

δ` “ δ

2` 1

2πivp

1x

e δ´` “ δ

2´ 1

2πivp

1x

.

Portanto δ “ δ` ` δ´.

8. Multiplicação de distribuições

1. Quando definimos operações quaisquer sobre distribuições procura-

mos fazê-lo de modo a generalizar as operações correspondentes de funções

localmente integráveis, contínuas, deriváveis, etc. Em geral, portanto, não

será possível definir o produto de duas distribuições pois o produto de duas

funções localmente integráveis (que portanto definem distribuições) não é ne-

cessariamente uma função localmente integrável. Exemplo: a função 1?x

é

localmente integrável mas o seu quadrado não o é.

Vamos definir o produto de uma função infinitamente diferenciável α

(não necessariamente nula fora de algum hipercubo) por uma distribuição

T pondo xαT ,ϕy “ xT ,αϕy para todo ϕ P DpRnq. É imediato que este

funcional está bem definido pois ϕ P DpRnq e é linear. Para demonstrar sua

8. Multiplicação de distribuições 31

continuidade basta demonstrar que ϕj ։ 0 implica αϕj ։ 0 o que segue

facilmente da fórmula de Leibnitz para a derivação.

Exercício:

8.1 - Demonstrar a última afirmação.

2. Exemplos no caso de uma variável.

αδ “ αp0qδ (8.1)

De fato

xαδ,ϕy “ xδ,αϕy “ αp0qϕp0q “ αp0qxδ,ϕy. l

Daí segue em particular que xδ “ 0.

αδ 1 “ αp0qδ 1 ´ α 1p0qδ (8.2)

De fato

xαδ 1,ϕy “ xδ 1,αϕy “ ´@

δ, pαϕq 1D

“ ´xδ,α 1ϕ` αϕ 1y “ α 1p0qϕp0q ´ αp0qϕ 1p0q

“ αp0qxδ,ϕy ´ αp0qxδ,ϕ 1y

“ ´α 1p0qxδ,ϕy ` αp0qxδ 1,ϕy. l

Daí segue em particular que xδ 1 “ ´δ e x2δ 1 “ 0.

αδpmq “mÿ

r“0

p´1qr`

mr

˘

αprqp0qδpm´rq (8.3)

onde`

mr

˘

“ r!r!pm´rq! .


Demonstração.

xαδpmq,ϕy “ xδpmq,αϕy “ p´1qm@

δ, pαϕqpmqD

“ p´1qmA

δ,mÿ

r“0

`

mr

˘

αpmqϕpm´rqE

“ p´1qmmÿ

r“0

`

mr

˘

αprqp0qϕpm´rqp0q

“mÿ

r“0

p´1qr`

mr

˘

αprqp0qp´1qm´rϕpm´rqp0q

“mÿ

r“0

p´1qr`

mr

˘

αprqp0qxδpm´rq,ϕy

“A

mÿ

r“0

p´1qr`

mr

˘

αprqp0qδpm´rq,ϕE

. �

Exercícios:

8.2 - Demonstrar que xδpmq “ ´mδpm´1q.

8.3 - Demonstrar que para n ă m temos

xnδpmq “ p´1qn m!pm´ nq!δ

pm´mq.

8.4 - Demonstrar que x ¨ vp 1x

“ 1, xm vp 1x

“ xm´1.

8.5 - Demonstrar que xδ` “ 12πi , xδ´ “ ´ 1

2πi .

3. Lema: Dada uma função infinitamente diferenciável χpxq, com χp0q “0 então a função ψpxq “ χpxq

xtambém é infinitamente diferenciável, isto é,

temos χpxq “ x ¨ψpxq onde ψpxq é infinitamente diferenciável.

Demonstração. É evidente que nos pontos x ‰ 0 a função ψ é infinitamente

derivável. Usando a fórmula de Taylor e indicando com opnq a soma dos

termos de ordem infinitesimal ě n temos

ψpxq “ 1xχpxq “ 1

x

“

χp0q ` xχ 1p0q ` op2q‰

“ χ 1p0q ` op1q

que tende para χ 1p0q quando x tende para zero, donde segue a continuidade

de ψ na origem.


Vamos demonstrar a continuidade de sua derivada na origem:

ϕpxq ´ϕp0qx

“ 1x

”χpxqx

´ χ 1p0qı

“ 1x

”χp0q ` xχ 1pxq ` x2χ2p0q ` op3qx

´ χ 1p0qı

“ χ2p0q ` op1q

que tende para χ2p0q quando x tende para zero.

De modo análogo demonstramos a continuidade das derivadas de ordem

superior de ψpxq na origem. �

PROPOSIÇÃO. Dada uma distribuição T P D1pRq então x¨T “ 0 se e somente

se T “ cδ onde c é uma constante.

Demonstração. Da fórmula (7.1) segue que x “ 0. Reciprocamente, seja

T P D1pRq tal que x ¨ T “ 0, isto é, xxT ,ϕy “ 0, para todo ϕ P DpRq. Por

definição xxT ,ϕy “ xT , xϕy e portanto xT , xϕy “ 0, isto é, T é nula sobre

qualquer função de DpRq que se anula na origem (pois pelo lema acima

toda função χ com esta propriedade é da forma xϕ); tomemos uma função

ϑ P DpRq com ϑp0q “ 1: toda função ϕ P DpRq se escreve de um único

modo da forma ϕ “ λϑ ` χ onde χp0q “ 0 e λ “ ϕp0q portanto xT ,ϕy “xT , λϑ` χy “ λxT , ϑy ` xT ,χy “ xT , ϑyλ, pois xT ,χy “ 0. Indiquemos por c a

constante xT , ϑy e lembrando que λ “ ϕp0q “ xδ,ϕy vem que T “ cδ. �

COROLÁRIO. Dadas duas distribuições T1, T2 P D1pRq, tais que x ¨T1 “ x ¨T2

então T1 “ T2 ` xδ onde c é uma constante, isto é, x ¨ T1 “ x ¨ T2 não implica

necessariamente T1 “ T2 ou ainda: não podemos dividir uma igualdade de

distribuições pela função x.

PROPOSIÇÃO. Dada uma distribuição T P D1pRq então x2T “ 0 se somente

se T “ c0δ` c1δ1.

Demonstração. De x2δ 1 “ 0 e de xδ “ 0 segue que

x2pc0δ` c1δ1q “ 0.

Reciprocamente: se x2T “ x ¨ xT “ 0 então segue do teorema precedente que

xT “ cδ mas já vimos que xpćδ 1q “ cδ e portanto temos xT “ xpćδ 1q; do

corolário precedente segue então que T “ ćδ 1 ` c0δ. �

Exercícios:


8.6 - Demonstrar que xnT “ 0 se e somente se

T “ c0δ` c1δ1 ` ¨ ¨ ¨ ` cn´1δ

n´1.

8.7 - Demonstrar que px´ aqT “ 0 se e somente se

T “ cδpaq.

8.8 - Achar uma condição necessária e suficiente para que se tenha px áqnT “ 0.

8.9 - Demonstrar que dado um polinômio Ppxq com tôdas as raízes sim-

ples, a1,a2, . . . ,am então PpxqT “ 0 se e somente se

T “ c1δpa1q ` ¨ ¨ ¨ ` cmδpamq

8.10 - Dado um polinômio Ppxq “śn

i“1pxáiqmi onde ai ‰ aj se i ‰ j,

demonstrar que PpxqT ‰ 0 implica que

T “mÿ

i“1

A

mi´1ÿ

j“0

ci, jδpjqpaiq

E

.

4. No caso de distribuições de mais de uma variável temos:

BBxi

pαTq “ BαBxi

T ` α BTBxi

Demonstração.A B

BxipαTq,ϕ

E

“ Á

αT ,BϕBxi

E

“ Á

T ,αBϕBxi

E

A BαBxi

T ,ϕE

“A

T ,BαBxi

ϕE

A

αBTBxi

,ϕE

“A BT

Bxi,αϕ

E

“ Á

T ,B

Bxipαϕq

E

“ Á

T ,BαBxi

ϕ` α BϕBxi

E

“ Á

T ,BαBxi

ϕE

Á

T ,αBϕBxi

E

. �

Exercícios:

8.11 - Demonstrar que

xiBδBxi

“ 1 e xiBδBxj

“ 0 se j ‰ i.


xB2δ

BxBy “ ´ BδBy , x2 B2δ

BxBy “ 0.



xyB2δ

BxBy “ δ.

Capítulo 3

Topologia no espaço das

distribuições

1. Definição

Dizemos que uma seqüência Tj de distribuições converge para a distri-

buição T , e escrevemos Tj Ñ́ T , se para toda função ϕ P DpRnq temos

xTj,ϕy Ñ xT ,ϕy.

Dizemos que a sérieř

j Tj de distribuições converge e que sua soma é a dis-

tribuição T , escrevemos T “́ř

j Tj, se para todo ϕ P DpRnq a sérieř

jxTj,ϕyconverge e tem por soma xT , jy.

Exercícios:

1.1 - Dada uma distribuição T demonstrar que a seqüência Tj “ 1jT

converge para zero.

1.2 - Se Tj Ñ́ T e Sj Ñ́S, demonstrar que Tj ` Sj Ñ́ T ` S, λTj Ñ́ λT , Tj ´T Ñ́ 0.

1.3 - Se Tj Ñ́ T e α é uma função infinitamente diferenciável, demonstrar

que αTj Ñ́αT .

1.4 - Demonstrar que δpjq Ñ́ 0, j P N.

1.5 - Demonstrar que δp1{jq Ñ́ δ, j P N.

1.6 - Demonstrar que jpδp1{jq´ q Ñ́ δ 1.

1.7 - Definir a convergência de uma família Tλ de distribuições depen-

dendo de um parâmetro λ.

37

38 3. Topologia no espaço das distribuições

1.8 - Demonstrar que se uma seqüência de funções localmente integráveis

fj tende uniformemente para 0 então Tfj Ñ́ 0.

2. Continuidade de derivação

Sabemos que em Análise Matemática a derivação não é uma operação

contínua, isto é, se uma seqüência de funções deriváveis fj tende para uma

função derivável f, a seqüência das derivadas f 1j não tende necessariamente

para f 1. Assim, a seqüência fjpxq “ 1j

sen jx tende uniformemente para zero

mas a seqüência de suas derivadas f 1jpxq “ cos jx não tende para zero.

Vamos porém demonstrar que com a convergência que definimos acima

no espaço das distribuições a derivação passa a ser uma operação contínua,

isto é, se Tj Ñ́ T entãoBTjBxi

Ñ́ BTBxi

.

Demonstração.ABTj

Bxi,ϕ

E

“ ´A

Tj,BϕBxi

E

Ñ ´A

T ,BϕBxi

E

“A BT

Bxi,ϕ

E

�

Dada uma seqüência de distribuições Tj que converge para a distribuição

T e dada uma função α infinitamente derivável então αTj Ñ́αT .

Demonstração. Para todo ϕ P DpRnq temos:

xαTj,ϕy “ xTj,αϕy, xT ,αϕy “ xαT ,ϕy. �

Exercícios:

2.1 - Demonstrar que se T “́ř

j Tj então BTBxi

“́ř

jBTj

Bxi; isto é, uma série

convergente de distribuições pode ser derivada termo a termo.

2.2 - Demonstrar que 1j

sen jx Ñ́ 0 e que cos jx Ñ́ 0.

2.3 - Demonstrar que exj Ñ́ 1.

3. Convergência clássica e convergência de distribuições

Em Análise Matemática definimos diferentes tipos de convergência de

funções:

Convergência simples: fj converge simplesmente para f se em todo ponto

x temos fjpxq Ñ́ fpxq;

3. Convergência clássica e convergência de distribuições 39

Convergência uniforme: fj converge uniformemente para f se, dado ε ą0 existe uma j0 P N tal que para todo j ě j0 temos

ˇ

ˇfjpxq ´ fpxqˇ

ˇ ă ε

para todo x P Rn.

Convergência no sentido da integral: seş

Rn

ˇ

ˇfjpxq ´ fpxqˇ

ˇdx tende para

zero quando j tende para o infinito.

Usando uma ou outra destas convergências nós demonstramos uma sé-

rie de teorema importantes da Análise Matemática. Pode-se demonstrar

que para funções localmente integráveis fj (e praticamente todas as funções

que aparecem na Análise Matemática são desta categoria) qualquer uma das

convergências acima implica a convergência no sentido de distribuições (ver

enunciado exato mais adiante) o que faz com que a teoria das distribuições

englobe os teorema correspondentes da Análise Matemática.

TEOREMA. Dada uma seqüência fj de funções localmente integráveis que em

todo hipercubo QA tende uniformemente para uma função f (que portanto

é também localmente integrável), então

fj Ñ́ f.

Demonstração. Precisamos demonstrar que, para todo ϕ P DpRnq, temos

xfj ´ f,ϕy Ñ 0; lembrando que ϕ é nula fora de um verto hipercubo QA

temos

xfj ´ f,ϕy “ż

Rn

pfj ´ fqϕdx “ż

QA

pfj ´ fqϕdx

como fj ´ f tende uniformemente para zero em QA e ϕ é limitada em QA se-

gue que pfj ´ fqϕ também tende uniformemente para zero em QA e portanto

a integral também tende para zero. �

COROLÁRIO. Se as funções localmente integráveis fj tendem uniformemente

para a função f então fj Ñ́ f.

Exercício:

3.1 - Dada uma seqüência fj de funções localmente integráveis e uma

função localmente integrável f tais que em todo hipercubo QA temosż

QA

ˇ

ˇfjpxq ´ fpxqˇ

ˇdx Ñ 0

demonstrar que fj Ñ́ f.


Observação: De um teorema de Lebesgue segue que é suficiente impor a

convergência simples de fj para f para podermos assegurar que

fj Ñ́ f

(supondo ainda que existe uma função localmente integrável g tal queˇ

ˇfjpxqˇ

ˇ ď gpxq

para todo j).

Com demonstração análoga à do teorema anterior temos que se uma

sérieř

j fj de funções localmente integráveis é uniformemente convergente

em todo hipercubo para a função localmente integrável f então f “́ř

j fj.

Exercícios:

3.2 - Demonstrar que x¨senxpj`x2q2 Ñ́ 0 (mostrar que senx

j`x2 Ñ́ 0: considerar a

seqüência derivada desta e lembrar que cosxj`x2 Ñ́ 0).

3.3 - Dada a seqüência de funções

fjpxq “

$

&

%

j se x ě j

0 se x ă jj P N

demonstrar que fj Ñ́ 0.

3.4 Demonstrar que jδpjq Ñ́ 0.

3.5 - Demonstrar que jm cos jx Ñ́ 0.

3.6 - Demonstrar que xm cos jx Ñ́ 0.

3.7 - Demonstrar que jx ¨ cos jx Ñ́ 0.

3.8 - Dada uma função localmente integrável, contínua na origem, de-

monstrar que f`

xj

˘

Ñ́ fp0q.

4. Convergência de séries trigonométricas

Um algoritmo muito útil em Análise Matemática é o das séries de Fourier,

séries trigonométricas ou séries exponenciais. Infelizmente, porém, somente

em condições muito restritas estas séries convergem em um dos sentido acima

da Análise Matemática. Vamos demonstrar que na teoria das distribuições

estas séries convergem em condições muito gerais.

TEOREMA. A série exponencialř

kPZ ake2πikx é convergente no sentido de

distribuições se todos os seus coeficientes ak admitem uma majoração do tipo

|ak| ď A|k|m para k ‰ 0 onde m é um inteiro que, como A, é independente

5. δ como limite de funções 41

de k. Neste caso a soma da série é igual a uma constante mais a derivada

de ordem m ` 2 (no sentido de distribuições) de uma função contínua f,

periódica de período 1.

Demonstração. De |ak| ď A|k|m segue que

ˇ

ˇ

ˇ

ak

km`2

ˇ

ˇ

ˇď A

k2

e portanto a sérieÿ

k‰0

ak

p2πikqm`2 e2πik

é uniformemente e absolutamente convergente e sua soma é então uma fun-

ção contínua f. Portanto ainda vale

f “́ÿ

k‰0

ak

p2πikqm`2 e2πikx;

e portantoÿ

kPZake

2πikx “ a0 ` fpm`2q. �

5. δ como limite de funções

Antes da criação da teoria das distribuições, δ era definida como limite

de funções. Vamos dar um teorema que justifica aquela definição

TEOREMA. Dada uma seqüência fj, de funções localmente integráveis tais

que

1. Existem constantes k ą 0, K ą 0 tais queż

}x}ďk

ˇ

ˇfjpxqˇ

ˇdx ă K

para todo j P N;

2. Para todo a ą 0, fjpxq tende uniformemente para zero no anel

x PRn | a ď }x} ď a´1

(

;

3. Para todo a ą 0 temosż

}x}ăa

fjpxqdx Ñ 1;

então fj Ñ́ δ.


Demonstração. Precisamos demonstrar que dado ε ą 0 e ϕ P DpRnq existe

j0 tal que para j ě j0 temos

ˇ

ˇxfj,ϕy ´ xδ,ϕyˇ

ˇ “ˇ

ˇ

ˇ

ż

Rn

fjpxqϕpxqdx´ϕp0qˇ

ˇ

ˇď ε

Temosż

Rn

fjpxqϕpxqdx “ż

}x}ďa

fjpxqϕp0qdx`ż

}x}ďa

`

ϕpxq ´ϕp0q˘

fjpxqdx`

`ż

}x}ďa

ϕpxqfjpxqdx

para }x} ď a temosˇ

ˇϕpxq ´ ϕp0qˇ

ˇ ď }x} max1ďiďn

ˇ

ˇ

BϕBxi

ˇ

ˇ ď aM onde M

indica este máximo e portanto

ˇ

ˇ

ˇ

ż

}x}ďa

`

ϕpxq ´ϕp0q˘

fjpxqdxˇ

ˇ

ˇď aM

ż

}x}ďa

ˇ

ˇfjpxqˇ

ˇdx ď aMK

se a ď k, com segue da condição 1. Tomando ainda a ď ε3MK

vemos que

o módulo da segunda integral é ď ε3 para todo j. Diminuindo ainda eventu-

almente a de modo que ϕ seja nula fora de uma bola de centro na origem e

raio a´1 temosż

}x}ěa

ϕpxqfjpxqdx “ż

aă}x}ăa´1ϕpxqfjpxqdx

e como fjpxq tende uniformemente para zero no anel a ď }x} ď a´1 (condi-

ção 2.) então dado ε3 ą 0 podemos achar j1 tal que para j ě j1 tenhamos

ˇ

ˇ

ˇ

ż

}x}ěa

ϕpxqfjpxqdxˇ

ˇ

ˇď ε

3.

Da condição 3 segue por sua vez queż

}x}ďa

ϕp0qfjpxqdx “ ϕp0q ¨ż

}x}ďa

fjpxqdx Ñ ϕp0q

isto é, dado ε3 ą 0 existe j2 tal que para j ě j2 temos

ˇ

ˇ

ˇ

ż

}x}ďa

ϕp0qfjpxqdx´ϕp0qˇ

ˇ

ˇă ε

3.

Reunindo este resultado com os precedentes segue que para

j ě j0 “ suptj1, j2u,

5. δ como limite de funções 43

ˇ

ˇxfj,ϕy ´ xδ,ϕyˇ

ˇ “ˇ

ˇ

ˇ

ż

Rn


ˇ

ˇ

“ˇ

ˇ

ˇ

ż

}x}ăa

ϕp0qfjpxqdx`ż

}x}ďa

fjpxq`

ϕpxq ´ϕp0q˘

dx`

`ż

}x}ěa


ˇ

ˇ

ďˇ

ˇ

ˇ

ż

}x}ąa

ϕp0qfjpxqdx´ϕp0qˇ

ˇ

ˇ`

`ˇ

ˇ

ˇ

ż

}x}ďa

fjpxq`

ϕpxq ´ϕp0q˘

dxˇ

ˇ

ˇ`ˇ

ˇ

ˇ

ż

}x}ěa

fjpxqϕpxqdxˇ

ˇ

ˇ

ď ε

3` ε

3` ε

3“ ε. �

Observação: No teorema acima podemos substituir a condição 2 por

2’. Para todo a ą 0ż

aď}x}ďa´1

ˇ

ˇfjpxqˇ

ˇdx Ñ 0

quando j Ñ 8.

COROLÁRIO. Dada uma função integrável f (portantoş

Rn

ˇ

ˇfpxqˇ

ˇdx é finita)

comż

Rn

fpxqdx “ 1,

seja fjpxq “ jnfpjxq então fj Ñ δ.

Demonstração. Temosż

Rn

fjpxqdx “ż

¨ ¨ ¨ż

fjpx1, . . . , xnqdx1 ¨ ¨ ¨dxn

“ż

¨ ¨ ¨ż

fpjx1, . . . , jxnqdpjx1q ¨ ¨ ¨dpjxnq

“ż

¨ ¨ ¨ż

fpy1, . . . ,ynqdy1 ¨ ¨ ¨dyn “ż

Rn

fpyqdy,

onde fizemos yi “ jxi.

Vamos demonstrar que essas funções fj satisfazem às condições 1, 2’ e 3

do teorema anterior, daí seguindo portanto o nosso resultado.

A condição 1 está automaticamente verificada poisż

}x}ďk

ˇ

ˇfjpxqˇ

ˇdx ďż

Rn

ˇ

ˇfjpxqˇ

ˇdx “ż

Rn

ˇ

ˇfpxqˇ

ˇdx.

Por outro lado, f sendo integrável, então dado ε ą 0 existe b ą 0 tal queˇ

ˇ

ˇ

ż

Rn

ˇ

ˇfpxqˇ

ˇdx´ż

}x}ďb

ˇ

ˇfpxqˇ

ˇdxˇ

ˇ

ˇă ε


isto éˇ

ˇ

ˇ

ż

}x}ěb

ˇ

ˇfpxqˇ

ˇdxˇ

ˇ

ˇă ε

portantoż

aď}x}ďa´1

ˇ

ˇfjpxqˇ

ˇdx ďż

}x}ěa

ˇ

ˇfjpxqˇ

ˇdx “ż

}x}ěa

jnˇ

ˇfpjxqˇ

ˇdx

“ż

}y}ějna

ˇ

ˇfpyqˇ

ˇdy ď ε

se jna ą b e portanto está satisfeita a condição 2’.ż

}x}ďa

fjpxqdx “ż

}y}ďjna

fpyqdy Ñż

Rn

fpyqdy “ 1

e portanto vale a condição 3. �

Lembrando queż

Rn

1`?

2π˘n e

´}x}2{2dx “ 1,ż

Rn

e´π}x}2dx “ 1,

ż

}x}ď1

1Bndx “ 1,

onde Bn é o volume da bola de raio unitário do Rn, segue do corolário

precedente que

jn`?

2π˘n e

´ j2}x}2

2 Ñ́ δ, jne´πj2}x}2 Ñ́ δ, bjpxq Ñ́ δ,

onde

bjpxq “

$

&

%

jn 1Bn

se }x} ď 1j

0 se }x} ą 1j

Estes são exemplos habitualmente considerados se seqüência de funções

tendendo para a distribuição δ.

Exercícios:

5.1 - Dada uma função de uma variável fpxq contínua e com derivada

contínua, integrável comż `8

´8fpxqdx “ 1

demonstrar que j2f 1pjxq Ñ́ δ.

5.2 - Interpretar geometricamente a passagem da função f à função fj do

corolário do teorema precedente.

5.3 - Demonstrar que 2πj3xe´πj2x2 Ñ́ ´ δ 1 quando j tende para infinito.

Índice Remissivo

F

Fórmula

de Green, 21

de Poisson, 25

Função

de Heaveside, 15

harmônica, 23

L

Lei

de Gauss, 25

M

Mecânica quântica, 30

O

Operador diferencial

Laplaciano, 14

transposto, 14

S

Salto

da derivada m-ésima, 15

V

Valor principal, 27

45

teoria das distribuições · a função ϕpxq “ $ & % 0 se }x´x 0} ě aą 0 exp ´ ´ 1...

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