Teoria da Estimação

1

Um dos principais objetivos da estatística inferencial consiste

em estimar os valores de parâmetros populacionais

desconhecidos (estimação de parâmetros) utilizando dados

amostrais. Então, qualquer característica de uma população

pode ser estimada a partir de uma amostra aleatória, desde

que esta amostra represente bem a população.

Os parâmetros populacionais mais comuns a serem

estimados são: a média, o desvio-padrão e a proporção.

2

Antes de abordar a teoria da estimação vamos procurar

entender o que vem a ser estimador e estimativa.

Um estimador, , do parâmetro é uma função qualquer

dos elementos da amostra.

Estimativa é o valor numérico assumido pelo estimador

quando os valores observados são considerados.

Assim

é um estimador para a média populacional μ , e por exemplo,

é uma estimativa da média populacional.

3

̂

1

n

i

i

x

xn

70x

Estimativa por ponto: neste caso obtém-se um único valor

amostral que serve como uma aproximação do parâmetro

estimado.

o Exemplo: O resultado da média amostral é uma

estimativa por ponto da média populacional ; o resultado da

variância amostral s² é uma estimativa por ponto da variância

populacional 2.

4

x

Tipos de Estimativas

Estimação por intervalo ou Intervalo de confiança: Na

distribuição amostral, ao selecionar k amostras de tamanho n

da população, é possível obter k estimativas pontuais de um

parâmetro. Estas estimativas seguirão uma determinada

distribuição. Conhecida esta distribuição pode-se determinar

o limite inferior e o limite superior, dentro do qual se espera

que o valor real do parâmetro populacional desconhecido

(média, variância, proporção).

Esses limites são chamados “limites de confiança”:

determinam um Intervalo de Confiança (IC), no qual estará o

verdadeiro valor do parâmetro.

5

o Assim, a estimação por intervalo consiste na fixação de dois

valores tais que seja a probabilidades de que o

intervalo contenha o verdadeiro valor do parâmetro

6

1

:

1 :

nível de siginificância ou grau dedesconfiança

coeficientedeconfiança ou nível deconfiabilidade

Exemplo: P (40 < < 60) = 0,95 ou

seja a verdadeira média populacional está dentro do intervalo

de confiança de 40 a 60 com confiabilidade de 95%.

7

50x estimar

x

e

x e

x

INTERVALO DE CONFIANÇA

e: margem de erro

Construção dos Intervalos de Confiança (IC)

Com uma confiança pode-se determinar, com o auxílio das

distribuições amostrais, um limite inferior e superior, no qual

espera-se que o verdadeiro valor do parâmetro populacional esteja

contido. Resumidamente tem-se que:

Intervalo de confiança para médias em grandes amostras (n ≥30):

usa-se a distribuição normal (Z).

Intervalo de confiança para médias em pequenas amostras (n < 30):

usa-se a distribuição t-Student (t).

Intervalo de confiança para proporções: usa-se a distribuição

normal (Z).

Intervalo de confiança para uma variância: usa-se a distribuição de

qui-quadrado .

9

1

1ºCaso: Amostras Grandes (n ≥30) (Distribuição Normal)

o Intervalo de Confiança:

o Erro da estimativa:

1-αIC(μ) : x ± e

/2 /2. ; .s

e z e zn n

z depende da confiança que se queira do intervalo

( ) (1 )P x e x e

/2 /2( ) (1 )X XP x z x z

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0,12

0,14

0 5 10 15 20- +0

(0,1)N~ ?

X

n

(0,1)N (Normal Padrão)

/2(| | )P Z z

2

2

1

/2 /2( ) 1P z Z z

/2 /2( ) 1X

P z z

n

/2 /2( ) 1P z X zn n

/2 /2( ) 1P X z X zn n

IC para

nível de significância

nível de confiança

2~ ( , )X N desconhecido, mas 2 conhecido

2

~ ( , )X Nn

Z

/2z /2z

Exercício 1: De uma população com =5, retiramos uma

amostra de 50 elementos e obtemos . Determinar um

IC de 95%, para a média populacional.

Exercício 2: Pretende-se estimar o gasto/mês (R$) com

educação de uma determinada população. Uma amostragem

feita com 36 famílias dessa população mostrou média de

R$120,00 e desvio padrão de R$ 50,00. Construir um IC de

95% para a média populacional

12

42x

2° Caso: Amostras pequenas (n

Exercício 3: Pretende-se estimar a idade de aposentadoria

(anos) de certa população. Uma amostragem feita com 16

pessoas mostrou média de 57 anos e variância de 25

anos².Construir um IC de 95% para a média populacional.

14

Intervalo de Confiança:

Erro da Estimativa:

15

ˆ1-αIC(p) : p ± e

)1()ˆˆ( eppepP

2

ˆ ˆpqe z

n

Exercício 4: Retiramos de uma população uma amostra de

100 elementos e encontramos 20 sucessos. Ao nível de 1%,

construir um IC para a proporção real de sucessos na

população.

Exercício 5: Suponha que em uma determinada pesquisa

sobre a aceitação do produto X de 100 pessoas avaliadas 35

mostram boa aceitação ao produto. Utilize um IC de 90% para

estimar, na população, a proporção de aceitação pelo

produto.

16

17

2 2

2 22

1-α 2 2

1-

(n -1).s (n -1).sIC(σ ) : ;

χ χ

v = n -1

2 1

2 22

1-α 2 2

(n -1).s (n -1).sIC(σ ) : ;

χ χ

ou

2

2 1

(1 )2 2

2 2

(n -1).s (n -1).sP

χ χ

Exercício 6: Pretende-se estimar a idade de aposentadoria

(anos) de certa população. Uma amostragem feita com 16

pessoas mostrou média de 57 anos e variância de 25 anos².

Construir um IC de 95% para a variância populacional.

Observação: Caso a média populacional seja conhecida

teremos

18

2

2 1

2 1

( )n

2 2 i2 i

1-α 2 2

xn.s n .s

IC(σ ) : ; onde sχ χ n

Se a população for infinita:

Para população finita:

19

0

2 2

α 2

2

z .sn =

e

N

n

nn

11 0

0

Exemplo: Pretende-se estimar o tempo (min) necessário para

se fazer um determinado trabalho escolar. Uma amostragem

feita com 36 pessoas mostrou média de 12 min e variância de

16 min². Qual deve ser o tamanho da amostra para estimar a

média com 95% de confiança e um erro máximo de 1 minuto

na estimativa da média?

20

0

ˆ ˆ2α 2

2

z p qn =

eN

n

nn

11 0

0

Pop. infinita Pop. finita

‣ Exemplo: Determinada empresa estima que a proporção de

pessoas que utiliza seus produtos no Brasil é de 0,20. Uma

pesquisa vai ser realizada em Uberlândia, para verificar a

proporção de indivíduos com esta característica na cidade. Qual

deve ser o tamanho da amostra para realizar a estimativa com 95%

de confiança e um erro máximo de 3%?