Fenmenos de Transporte I

Prof. Carlos Ruberto Fragoso Jr.

1. Fundamentos de Cinemtica dos Fluidos

1.1 Definies

Escoamento a deformao contnua de um fluido que sofre a ao de uma fora tangencial, por

menor que ela seja.

Cinemtica dos Fluidos descreve o escoamento dos fluidos sem se preocupar com as foras que

originam estes movimentos. A anlise desta foras deixada para a dinmica. Para isso, organiza

informao sobre a posio, o deslocamento, o espao percorrido, a velocidade, a rapidez e a

acelerao dos corpos. Cinemtica (do grego: cinemtica = movimento).

gravitacional campo ou volumtricas centrfugo Tipos de Foras normais (compresso)

contato ou superficiais tangenciais (cisalhamento) Esforos dos fluidos

Fluido em repouso atuam somente as foras de campo.

Fluido em movimento atuam as foras de campo, normais e tambm foras de cisalhamento.

1.2 Regimes de escoamento

a) Escoamento laminar:

As camadas de fluido deslizam umas sobre as outras (lminas); no h mistura macroscpica de fluido.

A velocidade do escoamento em um determinado ponto no varia com o tempo.

Ocorre quando o fluido escoa em baixas velocidades em um tubo com dimetro pequeno.

b) Escoamento turbulento:

Aparecimento de turbilhes no seio do fluido, provocando a mistura.

A velocidade num ponto oscila com o tempo ao redor de um valor mdio.

1.3 Experincia de Reynolds (1883)

Por meio deste experimento Reynolds pode evidenciar a diferena qualitativa entre o escoamento

laminar e turbulento. O experimento consistia em introduzir um fio de lquido colorido no centro de um

tubo atravs do qual o mesmo lquido, sem corante, escoava com uma velocidade controlada. A baixas

velocidades de escoamento, o fio de lquido colorido permanecia reto e contnuo pelo comprimento do

tubo e quando certa velocidade crtica era atingida, a linha colorida era violentamente agitada e sua

continuidade destruda por curvas e vrtices, revelando assim fluxo turbulento.

1.4 Nmero de Reynolds

Quando a velocidade de um fluido que escoa em um tubo excede certo valor crtico, o regime de

escoamento passa de laminar para turbulento, exceto em uma camada extremamente fina junto parede

do tubo, chamada camada limite, onde o escoamento permanece laminar. Alm da camada limite, onde o

escoamento turbulento, o movimento do fluido altamente irregular, caracterizado por vrtices locais e

um grande aumento na resistncia ao escoamento. O regime de escoamento, se laminar ou turbulento,

determinado pela seguinte quantidade adimensional, chamada nmero de Reynolds:

uD uD Foras InerciaisReForas Vis cos as

= = = (1)

Verifica-se experimentalmente que o escoamento de um fluido em um tubo circular :

Laminar se Re < 2100. Turbulento se Re > 4000. Instvel, mudando de um regime para outro se 2100 < Re < 4000 (regio de transio).

1.5 Propriedades Intensivas e Extensivas

Grandeza intensiva qualquer grandeza associada a uma substncia que seja independente da

sua massa. Pode-se citar como grandeza intensiva a velocidade e a temperatura. Consequentemente

grandeza extensiva aquela que depende da massa da substncia (i.e. do tamanho do sistema). Como

exemplos citam-se a massa e o volume da substncia. Toda a grandeza extensiva tem uma intensiva a

ela associada, denominada grandeza especfica, que pode ser obtida dividindo-se a grandeza pela

massa da substncia, como exemplificado a seguir para uma propriedade N qualquer.

= dNdm

ou propriedade extensivapropriedade intensivam

= (2)

A prxima tabela exemplifica algumas grandezas extensivas usuais em fenmenos de

transporte e correspondentes intensivas.

Tabela 1.0 Exemplos de grandezas extensivas e correspondentes grandezas intensivas. Extensivas Intensivas

Massa m 1 Quantidade de movimento um Velocidade u Volume V Volume especfico v Energia E Energia especfica e Energia interna U Energia interna especfica u Energia cintica m u2 Energia cintica especfica u2 Energia potencial mgz Energia potencial especfica gz

1.6 Sistema

uma quantidade de matria de massa e identidade fixa, que escolhemos como objeto de

estudo. Esta quantidade de matria est contida por uma fronteira atravs da qual no h fluxo de

massa. Apenas energia (calor e trabalho) flui atravs da fronteira. Exemplo:

Sistema

1.7 Volume de Controle

uma determinada regio delimitada por uma fronteira onde uma determinada quantidade de

matria observada. A fronteira desta regio pode ser atravessada por massa, calor, trabalho ou outras

formas de energia. Estuda-se a variao da massa e da energia da substncia ao atravessar esta regio.

Exemplo:

Volume de Controle

1.8 Regime permanente (estacionrio) e transiente

No escoamento permanente, as propriedades e caractersticas do fluxo so independentes do

tempo. Isto significa que no existem mudanas nas propriedades deste fluxo em um determinado

ponto com o decorrer do tempo, mas pode ter mudanas espaciais (de um ponto com relao ao outro).

1.9 Descrio Lagrangeana (sistema) e Euleriana (volume de controle)

Estes dois tipos de descrio permitem analisar problemas em mecnica dos fluidos de duas

formas diferentes:

1) Descrio Lagrangeana (sistema) consiste em identificar certas partculas do fluido e a partir

da observar variaes de propriedades tais como temperatura; velocidade; presso; etc. ao

longo do tempo, ou seja, necessita-se conhecer as propriedades das partculas medida que

estas se deslocam no espao com o passar do tempo. Isto dificulta consideravelmente o estudo

do escoamento. A outra forma, a Euleriana, apresenta vantagens por oferecer maior

simplicidade com preciso satisfatria. (No mtodo de Lagrange a medida deve acompanhar o

escoamento ex. balo de sondagem atmosfrica).

2) A descrio Euleriana (volume de controle) a mais apropriada para se estudar as propriedades

do fluido em escoamento. Este mtodo consiste em fixar-se o tempo e observar as propriedades do

fluido em vrios pontos pr-estabelecidos podendo-se assim obter uma viso do comportamento

do escoamento naquele instante. Repetindo-se este procedimento para alguns instantes diferentes

pode-se ter um entendimento do comportamento do escoamento ao longo do tempo. (No mtodo de

Euler, escolhe-se um volume de controle, que fixo no espao, o qual atravessado pelo

escoamento. Neste mtodo, o equacionamento aplicado nas entradas e nas sadas).

2. Balanos Globais e Diferenciais

Para se estudar um escoamento deve-se identificar algumas informaes relativas ao processo e

fundamentar a tcnica a ser utilizada para a sua anlise. As abordagens de anlise so baseadas na

descrio lagrangeana (diferencial) e euleriana (global), assim:

Balanos Globais:

o volume de controle delimita uma caixa preta; as equaes de balano so aplicadas atravs da envoltria do volume de controle; o volume de controle pode incluir paredes slidas, e no fornece informaes sobre o comportamento ponto a ponto do sistema, apenas valores

globais (ou seja, entradas e sadas).

Balanos Diferenciais:

o elemento de volume infinitesimal; est dentro da caixa preta; permite ao observador observar variaes das grandezas no interior do volume de controle; o balano aplicado geralmente sobre uma nica fase, e o balano integrado at os limites da fase com o auxlio de condies de contorno para

encontrar a soluo particular do problema.

2.1 Equaes bsicas na forma integral para um volume de controle (Balano Global)

Comearemos nosso estudo de fluidos em movimento desenvolvendo as equaes bsicas na

forma integral para aplicao em volume de controle. Por que a formulao em volume de controle

(i.e. regio fixa) em vez de sistema (i.e. massa fixa)? H dois motivos bsicos. Primeiro,

extremamente difcil identificar e seguir a mesma massa de fluido em todos os instantes, como deve

ser feito para aplicar a formulao do sistema. Segundo, o que nos interessa, geralmente, no o

movimento de uma dada massa de fluido, mas sim o efeito do movimento global de fluido sobre algum

dispositivo ou estrutura (tal como uma seo da asa ou uma curva de uma tubulao). Deste modo,

mais conveniente aplicar as leis bsicas a um volume definido no espao, usando uma anlise de

volume de controle (sistema euleriano).

Como j estamos familiarizados com as leis bsicas para um sistema, pois elas fazem parte de

estudos anteriores de fsica, mecnica e termodinmica. Nosso objetivo agora obter expresses

matemticas para estas leis que sejam vlidas para um volume de controle, mesmo sabendo que as leis

bsicas se aplicam realmente a uma massa (i.e. um sistema). Isto envolver dedues matemticas que

convertem uma expresso de sistema para uma expresso equivalente de volume de controle. Ao

invs de deduzir esta converso para cada uma das leis, iremos deduzi-la de uma forma genrica, e em

seguida, aplic-las a cada lei.

- Leis bsicas para um sistema (sem entrada ou sada de massa)

- Conservao de massa

Como um sistema , por definio, uma poro arbitrria de matria de identidade fixa, ele

constitudo da mesma quantidade de matria em todos os instantes. A conservao de massa exige que

a massa M, do sistema seja constante. Numa base de taxa (i.e. por unidade de tempo), temos:

0Sistema

D dVDt

= (da definio de sistema, as fronteiras no permitem entrada/sada de massa) (3)

- A primeira lei da termodinmica (conservao da energia)

A equao da primeira lei pode ser escrita na forma de taxa como sendo:

Sistema

DQ W e dVDt

= (4) 2

e u gz2

u= + + (5)

- Segunda Lei de Newton (quantidade de movimento)

Para um sistema movendo-se em relao a um referencial fixo, a segunda lei de Newton

( F ma=G G ) estabelece que a soma de todas as foras externas agindo sobre o sistema igual taxa de variao de quantidade de movimento linear do sistema.

Sistema

DF u dVDt

= (6)

De forma genrica podemos observar que para cada lei bsica destas apresentadas a quantidade

integral uma propriedade extensiva do sistema (Nsis). Nsis pode ser massa, quantidade de movimento

ou energia do sistema. til introduzir a varivel para a propriedade intensiva. Assim, podemos tornar as relaes para um sistema de uma forma genrica por:

sistemaSistema

N dV= (7)

- Teorema do transporte de Reynolds (converte de sistema para volume de controle)

Este teorema tem como premissa transformar as equaes vlidas para um sistema em equaes

vlidas para um volume de controle. (i.e. converte do sistema Lagrangeano para o Euleriano).

As equaes obtidas na seo anterior para a massa, energia e quantidade de movimento so

para um sistema, e desejamos agora converter para equaes equivalentes para volume de controle.

Para isso, usaremos o smbolo N para representar qualquer uma das propriedades extensivas do

sistema. Podemos imaginar N como sendo uma quantidade de coisa (massa, movimento linear,

movimento angular ou energia) do sistema. A propriedade intensiva correspondente (N/m) ser

designada por . Assim,

sistemaSistema

N dV= (8)

Com base nas equaes de sistemas e por meio de uma comparao entre sistema e volume de

controle, obtemos uma relao fundamental entre a taxa de variao de qualquer propriedade extensiva

arbitrria, N, de um sistema e a variao destas propriedades associadas com um volume de controle.

Alguns autores referem-se a esta equao discriminada a seguir, como o Teorema de Transporte de

Reynolds (TTR).

( ) ( )sistemaA

DN d dV nu dADt dt

= + ou (9)

( ) ( )sistemaVC SC

DN d dV nu dADt dt

= + (10)

Avaliao do produto vetorial nudA

(cos )nudA u dA= nudA udA= + nudA udA=

Interpretao fsica de cada termo do TTR

sistemaDNDt

- a taxa de variao de qualquer propriedade extensiva (da quantidade de qualquer coisa, por exemplo, massa e energia) arbitrria do sistema.

( )VC

d dVdt

- a taxa de variao com o tempo da propriedade extensiva arbitrria N dentro

do volume de controle. : a propriedade intensiva correspondente a N; = N/m. : dV um elemento de massa contido no volume de controle. : ( )

VCdV a quantidade total da propriedade extensiva N contida dentro do

volume de controle

( )SC

nu dA - a taxa lquida de fluxo da propriedade extensiva N atravs da superfcie de

controle. : ( )nu dA a taxa de fluxo de massa atravs do elemento de rea dA por unidade

de tempo. : ( )nu dA a taxa de fluxo da propriedade extensiva N atravs da rea dA.

2.1.1 CONSERVAO DE MASSA

O primeiro princpio fsico ao qual aplicamos a relao entre as formulaes de sistema e volume

de controle o princpio da conservao de massa. A massa de um sistema permanece constante. As

formulaes de sistema e de volume de controle (genrica) so relacionadas pela equao

( ) ( )sistemaVC SC

DN d dV nu dADt dt

= + (30) Para deduzir a formulao para volume de controle da conservao de massa, fazemos:

N = M e = 1 Que substitudos na equao genrica do TTR fornece:

( ) ( )sistemaVC SC

DM d dV nu dADt dt

= + (31) Da conservao de massa para sistema 0sistemaDM

Dt = , resulta em:

( ) ( ) 0VC SC

d dV nu dAdt

+ = (Balano Geral para Conservao de Massa) (32)

( )

( )VC

SC

d dV Taxa de aumento de massa no VCdt

nu dA Taxa lquida de massa atravs da SC

=

=

Para um volume de controle fixo (no deformvel), unidimensional (propriedades do

escoamento so praticamente uniformes) representado pela figura abaixo:

(Taxa de massa acumulada) + (Taxa de massa que sai) (Taxa de massa que entra) = 0

VC

d dVdt + ( )i i i saii Au ( )i i i entrai Au = 0

( ) ( ) 0i i i i i isai entrai iVC

d dV Au Audt

+ = (BGM VC no deformvel). (33)

- Casos Especiais

Em alguns casos possvel simplificar a equao anterior (Equao 33), como no caso de um

escoamento incompressvel (massa especfica = constante, geralmente vlida para lquidos). Quando no depende nem do espao nem do tempo, a equao pode ser escrita como:

( ) ( ) 0i i i i i isai entrai iVC

d dV Au Audt

+ = (34)

A integral de dV sobre todo o volume de controle o prprio volume total do sistema. Assim,

dividindo a equao anterior por , escrevemos:

( ) ( ) 0i i i isai entrai i

dV Au Audt

+ = (35)

Para um volume de controle no deformvel, de forma e tamanhos fixos, V = constante. A

conservao da massa para escoamento incompressvel, atravs de um volume de controle fixo e para

regime permanente ou no, torna-se:

( ) ( )i i i isai entrai i

Au Au= (36)

A soluo desta somatria (integral) sobre a seo de uma superfcie de controle comumente

chamada de taxa de fluxo de volume ou vazo volumtrica (no SI em m3/s). Assim, a vazo

volumtrica nestas condies atravs da seo da superfcie de controle de rea A, dada por:

SC

Q nudA= ou Q A u= (vazo volumtrica no SI [m3/s]) (37)

*m Q= (vazo mssica no SI [kg/s]) (38)

Considere agora o caso geral de escoamento permanente, compressvel (para gases), atravs de

um volume de controle fixo. Por definio, nenhuma propriedade do fluido varia com o tempo num

escoamento permanente, reduzindo a equao 33, para:

( ) ( ) 0i i i i i isai entrai i

Au Au = (39)

Exemplos

Exemplo 14: Considere o escoamento permanente de gua em uma juno de tubos conforme

mostrado no diagrama. As reas das sees so: A1 = 0,2 m2; A2 = 0,2 m2; A3 = 0,15 m2. O fluido

tambm vaza para fora do tubo atravs de um orifcio no ponto 4, com uma vazo volumtrica

estimada em 0,1 m/s. As velocidades mdias nas sees 1 e 3 so u1 = 5 m/s e u3 = 12 m/s. Determine

a velocidade do escoamento na seo 2.

Exemplo 15: Um reservatrio se enche de gua por meio de duas entradas unidimensionais. Ar

aprisionado no topo do reservatrio. A altura da gua h. (a) Encontre uma expresso para a variao

da altura da gua, dh/dt. (b) Calcule dh/dt para D1 = 25 mm, D2 = 75 mm, u1 = 0,9 m/s, u2 = 0,6 m/s e

Ares = 0,18 m2, considerando a gua a 20 C.

Exemplo 16: Um tanque de volume V = 0,05 m3 contendo ar a p = 800 kPa (absoluta) e T = 15C. Em

t = 0, o ar comea a escapar por uma vlvula. O ar sai como uma velocidade u = 300 m/s e massa

especfica = 6 kg/m3 atravs de uma rea A = 65 mm2. Determine a taxa de variao da massa especfica do ar no tanque em t = 0.