Universidad Nacional Autónoma de Nicaragua

Teoría y Problemas de Homomorfismo de Grupo.

Naren Castellon

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Introducción.

El presente material es una colección de problemas

lo suficientemente amplias con la teoria necesaria,

De manera que cubra el nivel de prácticas de la

etapas inicial en el estudio de Homomorfismo de

Grupo.

Esta colección, es fruto de una esmerada

recopilación de ejercicios y cuestiones, en las

listas de la bibliografias básicas de tal teoría.

En esta primera parte de este material, esta

destinada a comprender bien la idea y definición de

la teoria de Homomorfismo de Grupo, en la mayor

parte de los caso propuesto son muy sencillos en su

soluciones.

Se han tocado temas relacionado única y

exclusivamente con la interrelación de Homomorfismo

de Grupo, el cual dará paso a la clasificación de un

homomorfismo (monomorfismo,

epimorfismo,ispomorfismo, endomorfismo y

automorfismo), etc.

Los conocimientos previo exigidos para la

comprensión de esta tematica son: La definición de

una función, clasificación de una función, en

inyectiva, sobreyectiva y biyectiva, definición de

imagen de una función, definición de núcleo,

definición de función compuesta, función inversa,

entre otros y, salvo a los resultado dados al

comienzo del tema, se componen en su totalidad de

definiciones elementales propia de homomorfismo de

Grupo, así como consecuencia de éstas, que por su

sencilles o trivialidad hemos considerado

exponerlos.

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Nuestro objetivo con la realización de este

minicurso es:

Consolidar los conceptos adquiridos

previamente.

Profundizar en los métodos propios de

la materia.

Abordar de forma gradual ejercicios y

problemas más complicados.

¿A quién va dirigido este material?

A todos los estudiantes que, además de

aprender; deseen entrenarse en la tarea de

hacer pruebas tipo test.

Managua,10 de Abril 2018.

Naren Castellon.

Primera edición e impresión.

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Homomorfismos de Grupos.

En esta sección daremos la definición de homomorfismo, que es

una aplicación que conserva las operaciones de los grupos entre los

que está definida, y estudiaremos algunas de sus propiedades en

preparación para la sección siguiente en la que se demostrarán los

importantes teoremas de isomorfía.

Definición 2.1. Sean (𝐺1,∗) y (𝐺1,⊗) dos grupos y 𝑓 un aplicación

de 𝐺1 en 𝐺2. La aplicación 𝑓 se dice que es un homomorfismo de

grupos si para todo 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐺1, se cumple:

𝑓(𝑥 ∗ 𝑦) = 𝑓(𝑥) ⊗ 𝑓(𝑦)

Definición 2.2. Un homomorfismo inyectivo es llamado

monomorfismo.

Un homomorfismo Sobreyectivo es llamado

epimorfismo.

Un homomorfismo biyector es llamado isomorfismo.

Un homomorfismo 𝑓: 𝐺 → 𝐺 es llamado endomorfismo.

Un isomorfismo 𝑓: 𝐺 → 𝐺 es llamado automorfismo.

Notaciones- 𝐸𝑛𝑑 (𝐺) = {𝑓: 𝐺 → 𝐺; 𝑓 es edomorfismo}.

𝐴𝑢𝑡 (𝐺) = {𝑓: 𝐺 → 𝐺; 𝑓 es automorfismo}.

𝐺 ≃ 𝐻 indica que 𝐺 y 𝐻 son isomorfos, esto es, existe un

isomorfismo 𝑓: 𝐺 → 𝐻.

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Lema 2.3. Sea 𝐺 y 𝐻 grupos, y 𝑓: 𝐺 → 𝐻 un homomorfismo.

Entonces:

1. 𝑓(𝑒𝐺) = 𝑒𝐻 donde 𝑒𝐺 ∈ 𝐺 y 𝑒𝐻 ∈ 𝐻 con los elementos

neutros.

2. 𝑓(𝑎−1) = 𝑓(𝑎)−1 para todo 𝑎 ∈ 𝐺.

3. 𝑓(𝑎𝑛) = 𝑓(𝑎)𝑛 para todo 𝑛 ∈ ℤ.

Lema 2.4. Todo grupo cíclico infinito e isomorfo al grupo aditivo de

los enteros.

Lema 2.5. Sea 𝐺 un grupo cíclico finito de orden 𝑛. Entonces

𝐺 ≅ ℤ𝑛.

Notese que para probar que dos grupos 𝐺 y 𝐻 son isomorfos, basta

seguir los siguientes pasos, no necesariamente en el mismo orden:

i. Defina una aplicación 𝑓: 𝐺 → 𝐻.

ii. Pruebe que 𝑓 es inyectiva.

iii. Pruebe que 𝑓 es sobreyectiva.

iv. Pruebe que 𝑓 es un homomorfismo.

Lema 2.6. Sean 𝐺 y 𝐻 grupos, y 𝑓: 𝐺 → 𝐻 un isomorfismo. Si 𝐺 es

abeliano, entonces 𝐻 es abeliano.

Definición 2.7. La imagen de un homomorfismo de grupos

𝑓: 𝐺 → 𝐻 es la imagen de la función 𝑓, esto es

𝐼𝑚 (𝑓) = {𝑦 ∈ 𝐻/𝑦 = 𝑓(𝑥) ∀𝑥 ∈ 𝐺}

Lema 2.8. Sean 𝐺 y 𝐻 grupos, 𝑆, un subgrupo de 𝐺 y 𝑓: 𝐺 → 𝐻 un

homomorfismo. Entonces, 𝑓(𝑆) es un subgrupo de 𝐻. en particular,

𝐼𝑚 (𝑓) = 𝑓(𝐺) es un subgrupo de 𝐻.

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Lema 2.9. Sea 𝐺 y 𝐻 grupos, y 𝑓: 𝐺 → 𝐻 un homomorfismo. Si 𝑓

es inyectiva, entonces 𝐺 ≅ 𝐼𝑚(𝑓).

Lema 2.10. Sean 𝐺, 𝐻 y 𝐽 grupos. Si 𝑔: 𝐺 → 𝐻 y 𝑓: 𝐻 → 𝐽 son

homomorfismo, entonces 𝑓 ∘ 𝑔: 𝐺 → 𝐽 es un homomorfismo.

Lema 2.11. Si 𝑓: 𝐺 → 𝐻 es un isomorfismo, entonces 𝑓−1: 𝐻 → 𝐺

tambien es un isomorfismo.

Definición 2.12. Sea 𝐺 y 𝐻 grupos, y 𝑓: 𝐺 → 𝐻 un homomorfismo.

Definimos el núcleo de 𝑓 , denotado por 𝑁(𝑓) o 𝐾𝑒𝑟 (𝑓), como:

𝐾𝑒𝑟 (𝑓) = {𝑥 ∈ 𝐺/𝑓(𝑥) = 𝑒𝐻}

Lema 2.13. Sea 𝑓: 𝐺 → 𝐻 un homomorfismo. Entonces:

1. 𝐾𝑒𝑟 (𝑓) es un subgrupo de 𝐺.

2. 𝑓 es inyectiva si y solamente si 𝐾𝑒𝑟 (𝑓) = {𝑒𝐺}.

Proposición 2.14. Sea 𝐺 un grupo y 𝐻 ⊲ 𝐺. La aplicación

𝑓: 𝐺 →𝐺

𝐻

𝑔 ⟼ 𝑔𝐻

Es un epimorfismo de grupos e 𝑁(𝑓) = 𝐻.

Lema 2.15. Sea 𝐺 un grupo cíclico generado por 𝑎. Si 𝜑: 𝐺 → 𝐻 es

un homomorfismo de grupos, entonces para todo 𝑥 ∈ 𝐺, 𝜑(𝑥) es

completamente determinada por 𝜑(𝑎).

Definición 2.16. Sea 𝐺 un grupo y 𝐻 ⊲ 𝐺. El homomorfismo

𝑓: 𝐺 →𝐺

𝐻 , 𝑓(𝑔) = 𝑔𝐻 es llamado homomorfismo proyeción

canónica de 𝐺 en 𝐺/𝐻 .

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Teorema 2.17. Si ℎ es un isomorfismo de un grupo 𝐺 en un grupo

𝐻, entonces

1. ℎ(𝑒) = 𝑒.

2. ℎ(𝑥−1) = (ℎ(𝑥))−1

.

3. ℎ(𝑥𝑘) = (ℎ(𝑥))𝑘

, ∀𝑘 ∈ ℤ, 𝑘 > 0.

4. Si 𝑔 y 𝑔´ conmutan en 𝐺 ⇔ ℎ(𝑔) y ℎ(𝑔´) conmutan en 𝐻.

5. 𝐺 es abeliano ⇔ 𝐻 es abeliano.

6. 𝑔𝑘 = 𝑔´ en G ⇔ (ℎ(𝑔))𝑘

= ℎ(𝑔´) en 𝐻.

7. 𝑔 y ℎ(𝑔) tienen el mismo orden.

8. 𝑥𝑘 = 𝑔 tiene el mismo número de soluciones en 𝐺 que

ℎ(𝑔) = 𝑥𝑘 en 𝐻.

9. 𝐺 y 𝐻 tienen la misma cardinalidad, es decir, el mismo

número de elementos.

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Ejercicios de Homomorfismo de Grupo

1.- Sean (𝐺,∗ ), (𝐺´,⋄) un homomorfismo y (𝐻´,⋄) un subgrupo

normal de 𝐺´. Probar:

a. (ℎ−1(𝐻´),∗) es un subgrupo normal de (𝐺,∗ ).

b. ker(ℎ) ⊂ ℎ−1(𝐻´).

2. Sea (ℝ − {0}, ∙) el grupo multiplicativo de los números reales

diferente de cero, ℎ: (ℝ − {0}, ∙) → (ℝ − {0}, ∙), la aplicación

definida por ℎ(𝑥) = 𝑥2, ∀𝑥 ∈ ℝ − {0}.

a) Probar que ℎ es un endomorfismo.

b) ¿Es ℎ un automorfismo?

3. Sean (ℤ, +) el grupo aditivo de los números enteros,

(ℝ − {0}, ∙) el grupo multiplicativo de los reales no nulos y

ℎ: (ℤ, +) → (ℝ − {0}, ∙) la aplicación definida por:

ℎ(𝑎) = {1 𝑠𝑖 𝑎 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟

−1 𝑠𝑖 𝑎 𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟

a) Probar que ℎ es un homomorfismo.

b) Calcular el núcleo y la imagen de ℎ.

4. Sean (𝐺,∗ ) el grupo definido sobre 𝐺 = {0, 1, 2, 3} por la tabla y

(𝐹, ∙ ) el grupo multiplicativo sobre 𝐹 = {1, −1, 𝑖, −𝑖} con

𝑖2 = −1. Encontrar un isomorfismo ℎ: (𝐺,∗ ) → (𝐹, ∙ )

* 0 1 2 3

0 0 1 2 3

1 1 2 3 0

2 2 3 0 1

3 3 0 1 2

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5. Sean (ℚ, +) el grupo aditivo de los número racionales y

𝑐 ∈ ℚ, 𝑐 ≠ 0. Probar que la correspondencia ℎ: (ℚ, +) → (ℚ, +)

definida por :

ℎ(𝑥) = 𝑐𝑥, ∀𝑥 ∈ ℚ es un automorfismo

6. Sean (𝐺,∗ ) un grupo y 𝑎 ∈ 𝐺 arbitrario. Demostrar que la

aplicación ℎ: (𝐺,∗ ) → (𝐺,∗ ) definida por ℎ(𝑥) = 𝑎 ∗ 𝑥 ∗ �̅� (donde

�̅� es el contrario de 𝑎 respecto de ∗ en 𝐺) es un automorfismo.

7. Sean (𝐺1,∗ ), (𝐺2, ∆ ) y (𝐺3, ∎ ) tres grupos, 𝑓: (𝐺1,∗ ) →

(𝐺2, ∆ ), 𝑔: (𝐺2, ∆ ) → (𝐺3, ∎ ) homomorfismo. Probar que la

aplicación 𝑔 ∘ 𝑓: (𝐺1,∗ ) → (𝐺3, ∎ ) es un homomorfismo entre

grupos.

8. Sean 𝑓 y 𝑔 dos homomorfismos del grupo (𝐺,∗ ) en el grupo

(𝐻, ∎ ) y ℎ: (𝐺,∗ ) → (𝐻, ∎ ) la aplicación definida por: ℎ(𝑎) =

𝑓(𝑎)∎𝑔(𝑎), ∀𝑎 ∈ 𝐺. Probar que si (𝐻, ∎ ) es conmutativo,

entonces ℎ es también un homomorfismo.

9. Sean (𝐺,∗ ) un grupo, (𝑆,∗ ) un subgrupo de (𝐺,∗ ) y (𝐻,∗ ) un

subgrupo normal de (𝐺,∗ ). en las hipótesis de que 𝑆 ∩ 𝐻 = {𝑒} y

𝑆 ∪ 𝐻 = 𝐺 demostrar que (𝐺/𝐻, ∗ ) es un isomorfo a (𝑆,∗ ).

10. Sea 𝐺 el semigrupo de los enteros bajo la adicción usual de los

enteros y sea 𝐻 el semigrupo de los enteros pares bajo adicción

usual de los enteros. Verique que la aplicación 𝜃: 𝐺 → 𝐻 definida

por 𝜃: 𝑔 → 2𝑔 para toda 𝑔 ∈ 𝐺 es un homomorfismo de 𝐺 en 𝐻.

11. Sea 𝐺 el semigrupo de los enteros bajo la multiplicación usual

de los enteros, y sea 𝐻 el semigrupo de los enteros pares bajo la

multiplicación usual. Verique que la aplicación 𝜎: 𝐺 → 𝐻 definida

por 𝜎: 𝑔 → 2𝑔 para toda 𝑔 ∈ 𝐺 es un homomorfismo de 𝐺 en 𝐻.

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12. Determine si cada uno de los siguientes mapas representan un

homomorfismo de grupo. Si lo es, entonces identifique el kernel.

a) 𝐺 = ℤ bajo +, 𝐾 = ℤ𝑛, 𝜑(𝑎) = [𝑎] para todo 𝑎 ∈ ℤ.

b). 𝐺 grupo, 𝜑: 𝐺 → 𝐺 definido por 𝜑(𝑎) = 𝑎−1 para todo

𝑎 ∈ 𝐺.

c) 𝐺 = ℝ ≠ 0 bajo la multiplicación, 𝐾 = {1, −1}, 𝜑(𝑟) = 1 si

𝑟 > 0 y 𝜑(𝑟) = −1 si 𝑟 < 0.

d) 𝐺 un grupo abeliano, 𝑛 > 1 entero y 𝜑: 𝐺 → 𝐺 definido por

𝜑(𝑎) = 𝑎𝑛 para todo 𝑎 ∈ 𝐺.

13. (Propiedades). Sea (𝐺, ∙) y (𝐺´,∗) grupos y 𝜑: 𝐺 → 𝐺´ un

homomorfismo de grupos verificar entonces que se cumplen:

i) 𝜑(𝑒𝐺) = 𝑒𝐺´.

ii) 𝜑(𝑎−1) = (𝜑(𝑎))−1

para todo 𝑎 ∈ 𝐺.

iii) La imagen de 𝜑 es un subgrupo de 𝐺´.

14. Sean (𝐺, ∙), (𝐻,∗) y (𝐽, ∆) grupos. Si 𝜑: 𝐺 → 𝐻 y 𝜓: 𝐻 → 𝐽

son homomorfismo de grupos, entones 𝜓 ∘ 𝜑 es un homomorfismo

de grupos.

15. Sea (𝐺,∙) y (𝐻,∗) grupos y 𝜑: 𝐺 → 𝐺´ un homomorfismo de

grupos entonces.

i) Núcleo 𝜑 es un subgrupo de 𝐺.

ii) 𝜑 es inyectiva si y solamente si, núcleo (𝜑) = {𝑒𝐺}.

16. Dado (ℤ132, +), como 132 = 11 × 12 con 11 y 12 primos

entre si, se define la aplicación

𝑇: (ℤ132, +) → (ℤ11 × ℤ11, +)

[𝑥] → 𝑇[𝑥] = ([𝑥]11, [𝑥]12)

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Para todo 𝑥, 𝑦 ∈ ℤ132. Verifíquese que la aplicación dada es un

homomorfismo.

17. Consideremos cualquier grupo abeliano 𝐺 y la aplicación

𝑓: 𝐺 → 𝐺 definida como 𝑓(𝑎) = 𝑎2. Demostrar que la función es

un homomorfismo de 𝐺 en sí mismo.

18. Considérese los grupos (ℤ4, +) y (𝐺,∙) donde 𝐺 = {1, 𝑖, −1, 𝑖 }

y la aplicación 𝑓: ℤ4 → 𝐺 definida como 𝑓(�̅�) = 𝑖𝑛. Demostrar que

aplicación dada es un homomorfismo entre los grupos ℤ4 y 𝐺.

19. sean dado los grupos (ℤ2, +) y (ℚ∗,∙) y la aplicación

𝑓 ∶ ℤ2 → ℚ∗ definida como 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 𝑦2 + 1. Probar que la

aplicación dada es un homomorfismo de grupo.

20. Consideremos los conjuntos 𝐺 = {𝑎 + 𝑏√2: 𝑎, 𝑏 ∈ ℚ} y

𝐺´ = {[𝑎 5𝑏0 𝑎

] ∶ 𝑎, 𝑏 ∈ ℚ}. Sean los grupos (𝐺, +) y (𝐺´, +).

Definimos la aplicación como 𝑓: 𝐺 → 𝐺´ como 𝑓(𝑎 + 𝑏√2) =

[𝑎 5𝑏0 𝑎

], demostrar que la aplicación definida es un

homomorfismo de grupo.

21. En cada caso, verifique si 𝑓: 𝐺 → 𝐽 es un homomorfismo.

a) 𝐺 = (ℤ, +), 𝐽 = (ℤ, +) 𝑓(𝑥) = 7𝑥.

b) 𝐺 = (ℤ, +), 𝐽 = (ℤ, +) 𝑓(𝑥) = 7𝑥+1.

c) 𝐺 = (ℤ, +), 𝐽 = (ℤ, +) 𝑓(𝑥) = 7𝑥2.

d) 𝐺 = (ℝ, +), 𝐽 = (ℝ, +) 𝑓(𝑥) = |𝑥|.

e) 𝐺 = (ℝ,∙), 𝐽 = (ℝ,∙), 𝑓(𝑥) = |𝑥|.

f) 𝐺 = (ℝ, +), 𝐽 = (ℝ × ℝ, +), 𝑓(𝑥) = (2𝑥, 3𝑥).

g) 𝐺 = (ℝ × ℝ, +), 𝐽 = (ℝ, +), 𝑓(𝑥, 𝑦) = 4𝑥 − 5𝑦.

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22. Considere 𝐺 = ℤ × ℤ con la siguiente operación adición:

(𝑎, 𝑏) + (𝑐, 𝑑) = (𝑎 + 𝑐, 𝑏 + 𝑑). Pruebe que 𝑓: 𝐺 → 𝐺, 𝑓(𝑥, 𝑦) =

(0.3𝑥 + 5𝑦) es un homomorfismo, determine su núcleo y de

algunos ejemplos de elemento de 𝑁(𝑓).

23. Sean 𝐺 = (𝐺𝐿3(ℝ), ∙), 𝐽 = (ℝ,∙) y 𝑓: 𝐺 → 𝐽 definida por

𝑓(𝑥) = det(𝑥).

a) Muestre que 𝑓 es un homomorfismo.

b) Determine 𝑁(𝑓) y de ejemplo de núcleo de 𝑓.

24. Muestre que un grupo 𝐺 es abeliano si y solamente si,

𝑓: 𝐺 → 𝐺 definida por 𝑓(𝑥) = 𝑥−1 es un homomorfismo.

25. Demuestre que un homomorfismo 𝜑: 𝐺 → 𝐾 es un

monomorfismo si y solo si 𝐾𝑒𝑟 (𝜑) = {𝑒𝐺}.

26. asuma que 𝑎, 𝑏 son generadores de un grupo cíclico, es decir

𝐺 = ⟨𝑎⟩ y 𝐺 = ⟨𝑏⟩. Demuestres que la función 𝜑: 𝐺 → 𝐺 definida

por 𝜑(𝑎𝑖) = 𝑏𝑖 es un automorfismo.

27. Suponga que 𝐺 = ⟨𝑎⟩ es un grupo cíclico y que 𝜑: 𝐺 → 𝐾 es un

epimorfismo de grupos (un homomorfismo sobre). Demuestre que

𝜑(𝑎) es un generador de 𝐾 y por lo tanto 𝐾 es el grupo cíclico

⟨𝜑(𝑎)⟩.

28. Suponga que 𝜑: 𝐺 → 𝐾 es un epimorfismo de grupos.

Demuestre que si 𝐺 es abeliano, entonces 𝐾 es abeliano.

29. Sea 𝐺 un grupo y 𝑔 ∈ 𝐺. Compruebe que 𝑓: 𝐺 → 𝐺 definida

por 𝑓(𝑥) = 𝑔−1𝑥𝑔 es un isomorfismo de 𝐺 en 𝐺 (en este caso, 𝑓 es

denominado automorfismo de 𝐺).

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30. sean 𝐺 = {2𝑚 3𝑛 /𝑚, 𝑛 ∈ ℤ} y 𝐽 = {|𝑚 𝑛

−𝑛 𝑚| ∶ 𝑚, 𝑛 ∈ ℤ}

a) Compruebe que (𝐺, ∙) es un subgrupo de (ℝ+∗ ,∙).

b) Demuestres que (𝐽, +) es un subgrupo de (𝑀2×2(ℝ), +).

c) Demuestre que 𝐺 es isomorfo a 𝐽.

31. Verifíquese que los grupos 𝐺 y 𝐽 son isomorfos en cada un de

los siguientes casos:

a) 𝐺 = (ℤ3, +), 𝐽 = (ℤ6, +).

b) 𝐺 = (𝑆3,∘), 𝐽 = (ℤ6, +).

c) 𝐺 = (ℝ∗,⋅), 𝐽 = (ℝ, +).

d) 𝐺 = (ℤ, +), 𝐽 = (ℝ, +).

32. a) De ejemplo de un isomorfismo de grupo 𝐺 = (ℝ, +) en

𝐽 = (ℝ+∗ ,∙).

b) Demuestre que no existe isomorfismo de grupo 𝐺 = (, +) en

𝐽 = (ℚ+∗ ,∙).

Sugerencia. Suponga que 𝑓: 𝐺 → 𝐽 isomorfismo y 𝑥 ∈ 𝐺 tal

que 𝑓(𝑥) = 2, calcule 𝑓 (𝑥

2+ 𝑥/2).

33. Sean los grupos 𝐺 = (ℝ+∗ , ∙ ) y 𝐻 = (ℝ, +). Definida la

aplicación 𝑓: 𝐺 → 𝐻 por 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔(𝑥). Demostrar que 𝑓 es un

homomorfismo de grupo.

34. Los grupos 𝐺 = (ℝ, +) y 𝐻 = (ℝ+,∙) y una aplicación

𝑓: 𝐺 → 𝐻 definida por 𝑓(𝑥) = 2𝑥 probar que es un isomorfismo.

35. La aplicación 𝜙: (ℝ, +) → (ℝ, +) definida por 𝜙(𝑥) = 𝑥3.

Probar que la aplicación 𝜙 no es un automorfismo.

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36. La aplicación 𝜂: (ℝ∗,∙) → (ℝ∗,∙) definida por 𝜂(𝑥) = 𝑥3. Probar

que 𝜂 es un automorfismo.

37. Sea 𝐺 y 𝐻 grupos y 𝑒 el elemento neutro de 𝐻. entonces la

función 𝑓: 𝐺 → 𝐻, 𝑓(𝑥) = 𝑒, ∀𝑥 ∈ 𝐺. Demostrar que 𝑓 es un

homomorfismo de grupo, llamado homomorfismo nulo.

38. Sea 𝐺 un grupo. La función 𝑓: 𝐺 → 𝐺 definida por 𝑓(𝑥) = 𝑥,

∀𝑥 ∈ 𝐺. Es un homomorfismo llamado homomorfismo identidad.

39. Sea 𝐺 y 𝐻 ≤ 𝐺. La función 𝑓: 𝐻 → 𝐺, 𝑓(𝑥) = 𝑥, ∀𝑥 ∈ 𝐺, es un

homomorfismo llamado homomorfismo inclusión.

40. Sea dada la aplicación 𝑓: (ℤ, +) → (ℚ, +), 𝑓(𝑥) = 𝑥, ∀𝑥 ∈ ℤ.

Demostrar que es un monomorfismo, pero no un epimorfismo.

41. Para cada 𝑛 ∈ ℤ, la función 𝑓𝑛: ℤ → ℤ, 𝑓𝑛(𝑥) = 𝑛𝑥, ∀𝑥 ∈ ℤ.

Demostrar que la aplicación definida es endomorfismo del grupo

(ℤ, +).

42. Sea (𝐺, ∙) un grupo abeliano. Para cada ∀𝑛 ∈ ℤ, la función

𝑓𝑛: 𝐺 → 𝐺, 𝑓𝑛(𝑔) = 𝑔𝑛, ∀𝑔 ∈ 𝐺. Demostrar que es un

endomorfismo.

43. Verificar que 𝑓: ℤ4 → ℤ4, definida 𝑓(�̅�) = (−𝑥)̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ es un

automorfismo de (ℤ4, +).

44. Dada la aplicación 𝑓: ℤ → ℂ∗, definida 𝑓(𝑛) = 𝑖𝑛, ∀𝑛 ∈ ℤ.

Verificar que es un homomorfismo entre los grupos (ℤ, +) y (ℂ, ∙),

también pruebe si 𝑓 es monomorfismo y epimorfismo.

45. Sea la aplicación 𝑓 dada por 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥. Verificar que es un

monomorfismo de (ℝ, +) en (ℝ, +).

46. La aplicación 𝑓: (ℤ, +) → ({−1,1}, ∙) dada por 𝑓(𝑛) = (−1)𝑛.

Probar que es un epimorfismo.

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47. La aplicación 𝑓: (𝐺𝐿2(ℝ), ∙) → (ℝ∗ ,∙) dada por

𝑓 [(𝑎 𝑏𝑐 𝑑

)] = 𝑎𝑑 − 𝑐𝑑

Probar que 𝑓 es un homomorfismo.

48. La aplicación 𝜓: ℤ6 → ℤ6 dada por 𝜓(�̅�) = 2𝑥̅̅ ̅. Demostrar que

la aplicación dada es un isomorfismo.

49. Sea 𝑝 un número primo positivo. La aplicación 𝑓: ℤ[√𝑝] →

ℤ[√𝑝] , dada por 𝑓(𝑎 + 𝑏√𝑝) = 𝑎 − 𝑏√𝑝, verificar que la

aplicación dada es un automorfismo de grupo (ℤ[√𝑝], +).

50. Sea ℎ: (ℝ, +) → (ℝ − {0},∙), se define ℎ(𝑥) = 3𝑥. Estudiése el

isomorfismo de la función.