tensÃo, calibre e frequÊncia das cordas de …

V Encontro Estadual de Ensino de Física - RS, Porto Alegre, 2013

TENSÃO, CALIBRE E FREQUÊNCIA DAS CORDAS DE INTRUMENTOS

Francisco Catelli [[email protected]] Centro de Ciências Exatas e Tecnologia – UCS - Caixa Postal 1352.

Campus Sede, 95070-560, Caxias do Sul, RS – Brasil. Gabriel Abreu Mussato [[email protected]]

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Resumo

As afinações abertas em instrumentos musicais envolvem alterações nas frequências de algumas cordas, com uma consequente modificação em suas tensões. De quanto se deve alterar o diâmetro de uma corda de um instrumento musical, de modo que, ao ser afinada acima ou abaixo da frequência prevista originalmente, sua tensão permaneça o mais próxima possível da tensão original da afinação padrão? A resposta a esta questão apresenta interesse para os professores de física, dado que envolve os principais conceitos de mecânica ondulatória. São apresentados os princípios básicos da física ondulatória aplicada às cordas, e por meio deles e dos dados fornecidos pelos fabricantes; conclusões a respeito do diâmetro que as cordas deveriam ter são então estabelecidas. Também é proposta a construção de dois dispositivos para a medida da tensão de cordas, naqueles casos em que tais dados não são fornecidos pelos fabricantes; um dos dispositivos é mais elaborado, enquanto que o outro é bastante simplificado. Tanto os dados fornecidos pelos fabricantes quanto os retirados dos dispositivos propostos podem propiciar um enriquecimento das aulas de física ondulatória. Palavras-chave: mecânica ondulatória, afinação de instrumentos, afinação aberta, tensão em cordas. INTRODUÇÃO

O problema discutido neste trabalho refere-se à variação da tensão na corda de um instrumento quando esta é afinada numa nota (frequência) diferente daquela prevista originalmente pelo fabricante. Isso ocorre, por exemplo, quando um instrumento de cordas – violão, viola, guitarra – é ajustado em afinação aberta1; algumas cordas, que correspondem (na afinação aberta) a notas 1 Afinação aberta é um tipo de afinação alternativa à convencional, cujo padrão de notas das cordas soltas é modificado para produzir diferentes sonoridades e modos de execução. Esse procedimento é conhecido como scordatura e vem sido utilizado com regularidade na música desde o sec. XVI, atribuído a alaudistas franceses dessa época (http://www.lume.ufrgs.br/bitstream/handle/10183/10557/000598714.pdf?sequence=1). Compositores posteriores como Biber, Vivaldi e J. S. Bach usaram essa técnica em diversos instrumentos e padrões de afinação. Dentre os diferentes tipos de scordatura, a afinação aberta é um dos mais usados. Nela, as frequências das cordas soltas correspondem a notas cujo intervalo forma um tipo específico de acorde, geralmente uma tríade maior, menor e em casos menos usuais acordes de outros tipos. As afinações abertas para guitarra e violão mais conhecidas são a E (mi) aberto, G (sol) aberto e D (ré) aberto, em que as notas formam os acordes mi maior, sol maior, e ré maior, respectivamente. As afinações abertas do tipo maior são bastante usadas, também, para técnicas de slide, pois permitem a execução de todas as notas da escala maior de uma determinada tonalidade usando apenas três posições do braço do instrumento. Diversos músicos renomados são conhecidos por usar afinações abertas, entre eles Keith Richards dos Rolling Stones e David Gilmour do Pink Floyd. Há outros tipos de afinação alternativa, cada um com uma finalidade específica. Uma delas, a afinação dropped, consiste em baixar a frequência da corda mais grave, por exemplo, passando do E (mi) para o D (ré), afinação típica em gêneros musicais mais “pesados” (http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_guitar_tunings#Dropped). Outras afinações utilizam padrões ainda mais diferenciados para produzir sons que remetem a outros instrumentos, como a sitar, por exemplo. Muitas culturas afinam seus instrumentos de cordas de modo particular e variado. O caso da viola caipira, instrumento típico da música folclórica brasileira, possui diversos padrões, muitas vezes, com nomes próprios regionais como “cebolão”, “rio acima” e “cana verde” (ver http://www.casadosvioleiros.com/A%20Viola/afinacoesdaviola.htm.). A possibilidade de afinações alternativas é muito ampla e propícia às mais diversas formas de experimentação.


mais graves, ficam menos tensionadas, caso seja usado um encordoamento fabricado originalmente para ser usado na afinação convencional. Sabe-se que cordas de maior calibre (diâmetro) soam com frequências naturais de vibração mais baixas (são mais graves); cordas mais tensionadas (“esticadas”) soam com frequências naturais mais altas.

Como regra, as tensões das seis cordas de um violão ou guitarra não são muito diferentes umas das outras2; se fossem, teriam, numa certa medida, sonoridades diferentes, e o instrumento como um todo soaria “desequilibrado”. Além disso, tensões muito diferentes tornariam a execução, digamos, menos confortável para o músico, já que algumas cordas ofereceriam menor resistência ao serem pressionadas contra os trastes, e outras, mais. Então, no caso de uma afinação aberta, essa tensão menor alteraria a sonoridade de algumas cordas em relação a outras, e assim influiria na “tocabilidade” do instrumento.

Aperfeiçoando um pouco mais a pergunta: quais deveriam ser as características destas cordas, em termos de calibre, de modo a tornar as tensões em todas as cordas o mais possível parecidas com aquelas do encordoamento original, projetado para uma afinação convencional? Um primeiro nível de resposta é trivial: bastaria, por exemplo, substituir as cordas que são afinadas em tons mais baixos por outras, de maior calibre, visto que essas exigem uma maior tensão para soar com a mesma frequência de uma corda equivalente, mas de menor calibre. Mas, qual deveria ser este calibre?

A afinação convencional das cordas de um violão ou guitarra, das notas mais agudas às mais graves é a seguinte: E (mi), B (si), G (sol), D (ré), A (lá) e E (mi); a estas notas correspondem frequências de vibração específicas. Um exemplo de afinação menos convencional, mas mesmo assim bastante comum é o da afinação aberta em G maior. Neste caso, as notas das cordas soltas do instrumento são D, B, G, D, G, D, também do agudo para o grave. As notas D (agudo), G e D (grave) correspondem, respectivamente, às notas E, A, E da afinação original rebaixadas de um tom3. Tocando (em afinação aberta) todas estas cordas soltas, ouve-se um acorde de sol maior. Se as cordas utilizadas forem as de um encordoamento convencional, as cordas correspondentes às notas D (agudo), G (grave) e D (grave) ficarão menos tensionadas (mais “frouxas”), o que pode, como argumentado acima, comprometer em certa medida a sonoridade e a “tocabilidade” do instrumento. É para estas situações que este trabalho pretende unir respostas da Física4 para questões que envolvem diretamente outra área, a Música.

Uma solução prática para este problema é a de substituir estas três cordas por outras, de maior calibre. O mercado de cordas de guitarra disponibiliza encordoamentos de diversos calibres (diâmetros); tomando como exemplo a nota E (mi) aguda, esses diâmetros vão em geral de 0,008” (encordoamentos “leves”) até 0,012” (encordoamentos “pesados”), de 0,001” em 0,001” ou, o que é menos comum, em saltos de 0,0005”.

Retornando ao problema, pode-se agora enunciá-lo da seguinte maneira: com qual calibre (maior) devem ser substituídas as cordas afinadas mais baixas, de modo a manter a tensão de todas as cordas do instrumento o mais próximo possível das tensões originais, a partir dos calibres disponíveis? 2 Um conhecido fabricante de cordas fornece os seguintes valores da carga à qual uma corda é submetida, em kg, para um encordoamento de guitarra, do agudo para o grave: 7,35 (E); 6,98 (B); 7,35 (G); 8,34 (D); 8,84 (A); 7,94 (E). No caso de encordoamento para violões acústicos, a diferença de carga entre a 1ª corda, a mais aguda, e a 6ª, mais grave pode chegar próximo a 50% de diferença: 7,35 kg para E (agudo) e 10,52 kg para E (grave). Este fato não invalida o problema avaliado aqui: a compensação da diminuição da tensão devida à afinação mais baixa de uma corda através da substituição por outra, de maior calibre. Quanto à unidade de medida dessa carga: é um hábito dos fabricantes exprimirem-na em kg; conforme será indicado a seguir no texto, a tensão, dada em N, é obtida multiplicando os valores da carga, em kg, pela aceleração da gravidade, em m/s². 3 Sem aprofundar o assunto, para baixar a frequência da nota E (329,6 Hz) para a da nota D (292 Hz), (ou seja, um tom) basta dividir por duas vezes a primeira pelo fator [1]. O procedimento para rebaixar outras notas de um tom (numa escala temperada) é o mesmo. Cada operação de dividir uma dada frequência por esse fator baixa-a de um semitom. 4 Alguns fabricantes de cordas fornecem “calculadoras” que permitem dimensionar a tensão das cordas em função da frequência com a qual elas são afinadas e seus calibres (por exemplo, “string tension 101, em http://www.daddario.com/DAstringtensionguide.Page?AxPageID=2371&Mode=0&ActiveID=2871. Este trabalho pretende esclarecer, do ponto de vista de conceitos de física ondulatória, como esses cálculos são efetuados.


Para encaminhar a resposta, será necessário prever a variação da tensão de uma corda quando esta é afinada – por exemplo – um tom abaixo, bem como a relação entre o diâmetro das cordas e a tensão dessas. Será explorada primeiramente a relação entre a frequência de uma corda e a tensão à qual ela é submetida. A primeira corda, a nota E (mi), mais aguda, de um instrumento como um violão (com cordas de aço), ou uma guitarra, será tomada como referência.

Freqüência e tensão. Sabe-se que a velocidade v de um pulso transversal (ou de uma onda transversal) numa corda é dada idealmente pela expressão

𝑣 = !! (1);

𝜇, a densidade linear de massa da corda, é definida como

𝜇 = !!

(2),

onde L é o comprimento da corda, e m, a massa [2]. Num instrumento de cordas, as ondas que geram sons musicais são estacionárias; é possível

então relacionar o comprimento da corda aos harmônicos que nela podem ser estabelecidos (figura 1).

Figura 1 - Ondas estacionárias numa corda. O primeiro quadro refere-se ao harmônico fundamental, ou primeiro harmônico, o segundo quadro ao segundo harmônico, e assim

sucessivamente, até o quarto harmônico. As frequências, de cima para baixo, em Hz, são: 15,2; 30,4; 45,8 e 60. (Imagem produzida pelos autores).

Será feita referência daqui para frente (por comodidade) ao primeiro harmônico; neste caso,

o comprimento de onda 𝜆 é igual ao dobro do comprimento L da corda, conforme indicado no primeiro quadro da figura 1. A velocidade desta pode ser definida [4] como segue:

𝑣 = 𝜆𝑓 = 2𝐿𝑓 (3)


Então, substituindo (3) em (1), e considerando que L e 𝜇 não variam, pode-se escrever que

𝑓! ∝ 𝑇, ou, comparando duas frequências f1 e f2 com as respectivas tensões T1 e T2, resulta que

!!!!

!= !!

!! (4).

Como exemplo, a frequência da corda E (mi) aguda será considerada no tom fundamental,

aproximadamente 330 Hz, e a da corda ré, aproximadamente 294 Hz. A expressão (4) prevê que o rebaixamento na frequência de uma mesma corda de 330 Hz para 294 Hz (um tom) equivale a uma redução da tensão por um fator 0,797 (T2 = 0,797 T1).

Agora, o segundo efeito será analisado: a variação da tensão com o diâmetro da corda. A pergunta é então a seguinte: qual é o efeito de aumentar o diâmetro de uma corda em sua tensão, com tudo o mais (comprimento e frequência) mantido constante? A tensão aumentará, é certo, mas quer-se saber de quanto.

O diâmetro D da corda aparece explicitamente a partir da massa m da corda em (2), com 𝜌 = !

! onde V é o volume da corda e 𝜌, a massa específica do material (em geral, aço). Fazendo o

volume da corda 𝑉 = !!!!!

, chega-se a

𝑚 = !"!!!!

(5-a);

e por meio de (2),

𝜇 = !"!!

! (5-b).

Por fim, substituindo (5-b) em (1) e rearranjando, obtém-se

𝑇 = 𝜌𝜋𝐷!𝐿!𝑓! (5-c);

no caso que interessa aqui (L e f constantes), esta equação indica que T será proporcional a D²:

!!!!= !!

!!

! (6).

Verificar-se-á agora o efeito deste aumento de tensão no caso anterior, ou seja, o efeito na

tensão de substituir (por exemplo) uma corda de diâmetro 0,010” por outra de 0,011”, mantido tudo o mais constante (estes são dois diâmetros bastante comuns no mercado de cordas para instrumentos musicais). Nestas condições, a equação (6) indica que a tensão aumentará por um fator 1,21: 𝑇! = 1,21𝑇!.

O resultado prático de tudo o que foi exposto acima pode ser resumido assim: se a frequência de uma corda for reduzida de um tom, de mi para ré no exemplo anterior, a tensão reduzirá por um fator 0,797; se agora esta corda for substituída por outra de maior calibre (de 0,010” por 0,011”), mantendo-a afinada nessa mesma nota ré, a tensão aumentará por um fator 1,21. Considerando simultaneamente os dois efeitos (reduzir a frequência e aumentar o calibre) chega-se a uma variação na tensão que pode ser expressa pelo fator 0,797 × 1,21 = 0,96. (Se esse resultado fosse igual a 1 não haveria diferença em relação à tensão original). Ou seja, consegue-se dessa forma uma tensão muito próxima daquela projetada inicialmente pelo fabricante para uma afinação convencional.

Como determinar as tensões das cordas, na ausência de dados dos fabricantes? Muitos fabricantes (a maioria deles) não fornecem os dados da tensão de afinação padrão de suas cordas.


Para os leitores que possuam o gosto e “pendores” para a experimentação, é sugerida a seguir a confecção de um dos “instrumentos”, apresentados nas figuras 2-a e 2-b. Não são, é claro, instrumentos destinados à execução musical, são isto sim dispositivos de medida (direta) da tensão de uma corda quando afinada na frequência para a qual ela foi construída, respeitado o comprimento especificado pelo fabricante.

Figura 2-a - Versão simplificada de um dispositivo destinado à medida da tensão de uma corda de

violão ou guitarra. A “chave” de afinação é um prego dobrado a 90°, a frequência da corda é controlada por um aplicativo de smartphone5 e a tensão é medida por meio de uma balança de mola.

Ver o texto para mais detalhes.

Figura 2-b - Uma versão mais sofisticada do mesmo dispositivo. A frequência é controlada por um afinador conectado ao captador magnético do instrumento; a tensão também é medida numa balança de mola. Os dois dispositivos, para os objetivos desse trabalho, funcionam de maneira equivalente.

O material necessário para a construção do dispositivo da figura 2-a, o mais simples, é o que

segue: uma peça de madeira de dimensões aproximadas de 100 cm de comprimento por 4 cm de largura e 2,5 cm de espessura, uma balança de mola (adquirida no comércio informal ou ferragens), uma corda de violão ou guitarra, prego (3,2 mm de diâmetro), parafuso, furadeira e brocas. Adicionalmente, será necessária uma tira de metal de aproximadamente 1 cm x 6 cm, de espessura aproximada de 0,2 mm, alicate, parafuso com porca e brocas diversas. Essa tira de metal constituirá

5 Nesse trabalho, foi usado o aplicativo para a plataforma Android denominado gStrings. Esse aplicativo é de uso livre, sem custos.


a peça na qual a corda é presa, e pode ser vista na ampliação da balança, também na figura 2-a. A “chave” para afinar a corda é feita com o prego dobrado num ângulo de 90°; este é afixado numa das extremidades da peça de madeira, previamente perfurada com a broca de 2,5 mm. Se este orifício prévio não for feito, é provável que a madeira rache ao pregar o prego em sua posição (ver a figura 2-a e ampliação para mais detalhes).

Basta agora retirar o gancho da balança de mola, e adaptar um dispositivo para prender a parte da corda que possui uma “bolinha” de fixação, através da tira de metal, como mostrado na ampliação da figura 2-a. Um parafuso é colocado na outra extremidade da peça de madeira, de modo a acoplar nele o anel da balança de mola. Por fim, a corda6 é instalada, e pequenas peças de madeira são colocadas de modo a funcionar como cavaletes da corda; esses cavaletes devem estar separados de uma distância de 64,8 cm (o comprimento padrão de uma escala7). Agora, a “chave de afinação” (o prego dobrado) é girada por meio de uma alicate, e a afinação controlada por meio de um aplicativo de smartphone, ou através de um afinador de instrumentos. Como acontece quando uma corda é instalada num instrumento qualquer, deve-se tomar bastante cuidado: se a corda rompe durante a afinação, suas extremidades, por um efeito de chicote, podem ferir o operador ou alguma pessoa próxima. Usar cordas novas torna o procedimento mais seguro.

A figura 2-b mostra uma versão mais sofisticada do mesmo dispositivo, munida de um captador magnético. O captador permite amplificar o som da corda, e (ou) conectar o dispositivo a um afinador por meio de um cabo. Entretanto, para as finalidades desse trabalho, as duas versões funcionam de maneira perfeitamente equivalente. A carga à qual a corda é submetida, em kg, pode ser lida diretamente na balança de mola (multiplicando-a por g, 9,8 !

!!, obteremos a tensão, em N).

Os estudantes ficam invariavelmente surpreendidos ao saber que os instrumentos musicais são feitos de modo a suportar cargas equivalentes a algo da ordem de 50 kg (lembre que são seis cordas), ou, em unidades de tensão, 500 N.

Os valores que podem ser obtidos com esses dispositivos são bastante consistentes com aqueles fornecidos pelos fabricantes: da ordem de 70 N para as cordas empregadas nos dispositivos das fotos da figura 2: cordas mi (agudo), de metal maciço e diâmetro igual a 0,254 mm (0,010”), com escala de comprimento padrão. Outras cordas podem ter suas tensões de operação medidas, tais como cordas de nylon de violão clássico, ou cordas para frequências mais baixas, encapadas; os dispositivos descritos acima funcionarão perfeitamente também nesses casos. Como regra, se os diâmetros e materiais de cordas de diferentes fabricantes forem idênticos, as tensões de afinação também o serão. CONCLUSÕES

Retomando: se uma corda for afinada abaixo (ou acima) da nota para a qual ela tinha sido projetada, a variação na tensão pode ser encontrada a partir da expressão (4), e das frequências correspondentes, que podem ser obtidas como indicado na nota 5. Por outro lado, se uma corda for substituída por outra de calibre (diâmetro) diferente, o efeito desta substituição na tensão da corda pode ser obtido da expressão (6). O resultado dos dois efeitos conjugados (diminuir a frequência e aumentar o diâmetro da corda) pode ser ajustado de modo a manter (aproximadamente, visto que nem todos os diâmetros de corda estão disponíveis no mercado) a tensão original da corda, em afinação padrão. É claro que os fabricantes (alguns deles) produzem encordoamentos específicos para determinadas afinações. Cabe destacar ainda que tudo o que foi abordado neste trabalho valeria

6 Um “truque” que pode facilitar a instalação da corda na “chave” consiste em enrolar algumas voltas no prego, e em seguida fixá-la aí de maneira provisória através de fita adesiva. A seguir, o prego dobrado é girado, de modo que a corda se enrole sobre ela mesma, o que garantirá sua boa fixação. A afinação prossegue da mesma forma pela qual um violão ou guitarra são afinados. 7 Para o leitor familiarizado com o mundo dos instrumentos de corda, este é o comprimento da escala de guitarras Fender, por exemplo. Já as guitarras fabricadas pela empresa Gibson possuem um comprimento de escala menor, igual a 629 mm. Escalas maiores são encontradas nas guitarras barítono; um modelo da PRS possui comprimento de escala de 704 mm. Foram escolhidos exemplos de fabricantes bastante conhecidos.


para qualquer outro instrumento de cordas, indo de cavaquinhos até contrabaixos, com qualquer comprimento de escala.

Adicionalmente, foi sugerida a construção de um dispositivo para aferir de modo aproximado a tensão de afinação daquelas cordas cujos parâmetros não são fornecidos pelos fabricantes. Numa primeira abordagem, voltada aos ambientes de ensino e aprendizagem da física, apenas os dados encontrados na página oficial de fabricantes de cordas são suficientes. Para aqueles casos em que o interesse dos estudantes cresce além do previsto, cabe um pequeno projeto, no qual dispositivos como os sugeridos neste trabalho são fabricados, medidas são feitas, e assim por diante. Então, esse trabalho é útil, primeiro para compreender do ponto de vista físico o que ocorre, e depois é útil para a busca de combinações frequência – diâmetro que atendam a demandas específicas. No que diz respeito aos professores de física, a utilidade desse trabalho revela-se especialmente no fato de os principais conceitos de mecânica ondulatória se fazerem presentes, através de uma área que costuma atrair bastante a atenção dos alunos: a música. Seja como for, é importante aproveitar a oportunidade ímpar de ver diferentes campos do conhecimento em ação: física, música, matemática, entre outros. REFERÊNCIAS GOTO, M. (2009). Física e Música em Consonância. Rev. Bras. Ensino Fís. São Paulo. v. 31, n. 2.

HALLIDAY D.; RESNICK, R. & WALKER, J. (2012). Fundamentos de Física – Gravitação, Ondas e Termodinâmica – Rio de Janeiro. v. 2, 8ª ed., LTC.

MORS, P. (1994). Música com ruído 1/f. Cad. Cat. Ens. Fís. v. 11, n. 2, p. 123 – 131. ROEDERER, J. G. (2002) Introdução à Física e Psicofísica da Música. São Paulo, EDUSP – Editora da Universidade de São Paulo.

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