relatorio cordas vibrantes

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE GOIÁS CAMPUS CATALÃO Departamento de Física Laboratório de Física II Prof. Marcionilio T. O. Silva Relatório IV Cordas Vibrantes Catalão, 2011.

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Page 1: Relatorio Cordas Vibrantes

UNIVERSIDADE FEDERAL DE GOIÁS

CAMPUS CATALÃO

Departamento de Física

Laboratório de Física II

Prof. Marcionilio T. O. Silva

Relatório IV – Cordas Vibrantes

Catalão, 2011.

Page 2: Relatorio Cordas Vibrantes

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Laboratório de Física II

Data: 05/10/2011

Cordas vibrantes

Turma A – Física

Thaianne Lopes de Souza – 101648

Catalão, 2011.

Page 3: Relatorio Cordas Vibrantes

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Introdução

Objetivos

Este experimento consiste em estudar o movimento de ressonância em

um fio sob tensão e determinar uma expressão empírica que estabeleça uma

conexão entre as freqüências de ressonância desse sistema com todos os

parâmetros relevantes ao experimento.

Considerações Teóricas

Quando um fio sob tensão, com uma das suas extremidades fixas, é

posto a vibrar, dependendo da freqüência de vibração utilizada o fio pode

entrar em um estado de ressonância, na qual a amplitude da vibração torna-se

bastante elevada. Tal estado de ressonância pode ser definido como ondas

estacionárias que podem ser produzidas em uma corda através da reflexão de

ondas progressivas nas extremidades da corda. Se uma extremidade é fixa,

deve ser a posição de um nó. Isso limita as freqüências possíveis para as

ondas estacionárias em uma dada corda, sendo que cada freqüência possível

é uma freqüência de ressonância e ainda a onda estacionária

correspondente é um modo de oscilação.

As freqüências nas quais a ressonância é observada dependem de

vários parâmetros do fio, logo sabendo tais parâmetros se pode determinar

uma expressão empírica que possibilitem a previsão de uma grandeza física

quando o objeto estudado encontra-se em alguma configuração pré-

estabelecida.

Podem-se tomar como exemplo de ressonância os mais variados

instrumentos musicais. O violão, por exemplo, em geral possui seis cordas,

cada corda vibra em uma freqüência de ressonância bem estabelecida (notas

musicais). Para gerar as diferentes notas musicais, cada corda possui

características físicas diferentes, como o material que é construído, espessura,

além de fatores como o comprimento do fio e a tensão aplicada sobre a mesma

influenciam a freqüência de ressonância. Então, para obter uma expressão que

possibilite prever a freqüência de ressonância de uma corda, deve-se estudar

como a freqüência varia de acordo com cada parâmetro.

Page 4: Relatorio Cordas Vibrantes

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A hipótese mais simples para uma fórmula empírica consiste em supor

que uma grandeza y está relacionada com um determinado parâmetro x

através da expressão:

(1)

onde, A e b são constantes.

No caso deste experimento os parâmetros que vão influenciar a

freqüência de vibração do fio são: comprimento L , a tensão aplicada T e a

densidade linear do fio. A densidade linear do fio é dada por:

(2)

onde, m e L são a massa e o comprimento do fio respectivamente. Ao se

determinar a densidade linear, também se deve determinar sua respectiva

incerteza utilizando a seguinte equação do erro indeterminado:

(3)

onde, ∆m e ∆L são as incertezas da massa e do comprimento do fio

respectivamente.

Devido ao fato da corda estar presa em ambas as extremidades, além

da freqüência natura, freqüências de meio tom também podem ser obtidas.

Observando a figura 1, verificam-se um esquema de vibração de uma corda

cujo comprimento é bem determinado, presa em ambas as extremidades. O

modo mais simples de vibração é aquele no qual a corda se movimenta

totalmente em fase, denomina-se tal freqüência de “freqüência natural de

vibração”. Quando a corda é dividida ao meio observa-se um segundo modo de

vibração, neste caso, cada metade se movimenta em oposição de fase, pois a

corda permanece fixa em suas extremidades. Podem-se observar sucessivos

modos, conforme a figura 1. Cada um desses modos é representado por um

número que corresponde ao número de ventres (máximos de

vibração/amplitude máxima). Então, o primeiro modo de vibração possui n=1, o

segundo n=2 e assim por diante. Baseado nesses argumentos, espera-se que

a freqüência de vibração de um fio também dependa do modo de vibração

Page 5: Relatorio Cordas Vibrantes

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observado. Assim, a fórmula empírica para as freqüências de ressonância pode

ser escrita como:

(4)

onde, C, α, β, γ, são constantes que podem ser extraídas dos dados

experimentais.

Como fora dito anteriormente, o fio sofre uma tensão com um corpo de

massa mc, tal tensão é dada de acordo com a 2º Lei de Newton:

(5)

Como o corpo permanece em equilíbrio, logo

(6)

Portanto, a tensão sob o fio é dada por:

(7)

onde, mc é a massa do corpo que proporciona a tensão e g é a aceleração

gravitacional convencional com valor de 9,8m/s².

Ao obter o valor da tensão sob o fio, deve-se obter a sua respectiva

incerteza para isso utiliza-se a seguinte equação do erro indeterminado:

(8)

onde, ∆m é a incerteza da massa do corpo que proporciona tensão e ∆g é

igual à 0, pois a aceleração de gravidade utilizada é uma constante.

Figura 1. Modos normais de vibração de um fio de comprimento L.

Page 6: Relatorio Cordas Vibrantes

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A freqüência natural de vibração de um fio sob tensão é dada

teoricamente pela seguinte equação:

(9)

Considerações Experimentais

Materiais Utilizados

O conjunto de instrumentos de medidas e de materiais necessários para

a realização deste experimento foram os seguintes:

Um tripé – Patrimônio MEC-UFG 256064;

Um gerador de vibração – Patrimônio MEC-UFG 256067;

Um gerador de áudio – Function generator

Um corpo de massa mc;

4 fios;

Uma trena Starrett T34-5, incerteza de 0,5mm;

Uma balança – Patrimônio MEC-UFG 304868, precisão de 0,1g.

Diagrama do Experimento

O experimento foi realizado de acordo com a montagem experimental

abaixo:

Figura 2. Arranjo experimental utilizado para estudar o fenômeno de

ressonancia de um fio tensionado.

Nesse arranjo, um fio de nylon é preso a um suporte e tensionado

através de um sistema de polia. A tensão no fio é ontrolada através da massa

acoplada a esse sistema.

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7

Um alto-falante é acoplado ao fio próximo a uma das suas extremidades.

Este alto-falanto é excitado pro meio de um gerador de ondas harmonicas

senoidais cuja frequencia pode ser controlado pelo experimentador/observador.

O experimento consiste em selecionar diversos fios de densidades

lineares e comprimentos diferentes, montá-los no arranjo experimental e

tencioná-los. Em seguida, o gerador de áudio tem sua freqüência ajustada de

modo a observar os modos normais de vibração desse fio.

Para a obtenção e análise dos dados, necessários pra avaliar a

dependência das freqüências de ressonância com cada um dos parâmetros

envolvidos no experimento, como fora dito anteriormente, organizou-se o

experimento em 4 partes, cada uma delas relacionada a uma das grandezas

que influenciam as freqüências de vibração do fio.

Procedimento experimental e Apresentação dos Resultados

Esse experimento foi realizado em 4 etapas com o intuito de obter os

parâmetros e assim determinar a fórmula empírica desse fenômeno

(ressonância). Para isso:

Executou-se a montagem experimental de acordo com a figura 2;

Mediu-se o comprimento de cada fio utilizando-se a trena (vide materiais

utilizados) e mediu-se também suas respectivas massas na balança

digital (vide materiais utilizados). As medidas encontram-se

apresentadas na tabela 1;

Após medir o comprimento e a massa de cada fio, calculou-se a

densidade linear dos mesmos de acordo com a equação 2 e sua

respectiva incerteza de acordo com a equação 3. Os resultados

encontrados estão apresentados na tabela 1.

Tabela 1 – Comprimento L , massa m e densidade linear μ de cada fio.

Fio L (10-2 m) m (10-3 Kg) μ (10-4 Kg/m)

Amarelo 165,60 ± 0,05 1,2 ± 0,1 7,2 ± 0,6

Laranja 205,30 ± 0,05 1,0 ± 0,1 4,9 ± 0,5

Bege 241,10 ± 0,05 1,6 ± 0,1 6,6 ± 0,4

Marrom 260,60 ± 0,05 1,6 ± 0,1 6,1 ± 0,4

Page 8: Relatorio Cordas Vibrantes

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Parte 1:

Selecionou-se fio amarelo de comprimento L (o maior comprimento

possível, de modo a aproveitar o fio para as medidas seguintes) e

aplicou-se uma tensão que deve permanecer fixa durante a tomada de

dados. Os valores da tensão determinada através da equação 7 e sua

respectiva incerteza através da equação 8, do comprimento do fio e da

sua densidade linear estão expressos na tabela 2.

Tabela 2 – Comprimento L e densidade linear μ do fio e a tração T aplicada no

fio pela massa mc.

L (10-2 m) T (N) mc (10-3 Kg) μ (10-4 Kg/m)

140,00 ± 0,05 1,4680 ± 0,0001 149,8 ± 0,1 7,2 ± 0,6

Depois com o gerador de áudio (vide materiais utilizados), ajustou-se a

freqüência do mesmo de modo a observar o modo fundamental de

ressonância (n=1). Essa freqüência é observada quando a amplitude de

oscilação do fio é máxima. Feito isso, anotou-se o valor pra a freqüência

de ressonância para esse modo de vibração com sua respectiva

incerteza, e repetiu-se o procedimento acima para modos de vibração de

maio ordem (n=2,3,4,...) para o maior número possível de modos. Os

valores obtidos estão apresentados na tabela 3.

Tabela 3 – Freqüência e modos de vibração do fio de comprimento L.

n f (10 Hz)

1 1,2 ± 0,5

2 3,0 ± 0,5

3 4,3 ± 0,5

4 5,7 ± 0,5

5 7,2 ± 0,5

6 8,7 ± 0,5

Page 9: Relatorio Cordas Vibrantes

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Com esses dados, construiu-se um gráfico em papel di-log (vide

apêndice), estabelecendo uma dependência entre freqüência de

ressonância e modo de vibração.

Parte 2:

Com o mesmo fio da tomada de dados anterior, ajustou-se a freqüência

do gerador de áudio para observar o segundo modo de vibração (n=2).

Anotou-se o valor da freqüência para esse modo de vibração no gerador

de áudio e para a tensão (T) aplicada ao fio e sua respectiva incerteza.

Os valores obtidos estão apresentados na tabela 4.

Tabela 4 – Comprimento L e densidade linear μ do fio e o modo de vibração.

N L (10-2 m) μ (10-4 Kg/m)

2 140,00 ± 0,05 7,2 ± 0,6

E, repetiu-se 8 vezes a medida acima alterando apenas a tensão que é

aplicada ao fio, determinando-a de acordo com a equação 7 e sua

respectiva incerteza de acordo com a equação 8. Para alterar a tensão

no fio, retirou-se 10 g a cada medida. Os valores obtidos estão

apresentados na tabela 5.

Tabela 5 – Freqüência e tração T aplicada no fio pela massa mc.

f (10 Hz) T (N) m (10-3 Kg)

2,2 ± 0,5 0,6840 ± 0,0001 69,8 ± 0,1

2,3 ± 0,5 0,7820 ± 0,0001 79,8 ± 0,1

2,4 ± 0,5 0,8800 ± 0,0001 89,8 ± 0,1

2,5 ± 0,5 0,9780 ± 0,0001 99,8 ± 0,1

2,7 ± 0,5 1,0760 ± 0,0001 109,8 ± 0,1

2,8 ± 0,5 1,2720 ± 0,0001 119,8 ± 0,1

2,9 ± 0,5 1,3700 ± 0,0001 129,8 ± 0,1

3,0 ± 0,5 1,3700 ± 0,0001 139,8 ± 0,1

Page 10: Relatorio Cordas Vibrantes

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Com esses dados, construiu-se um gráfico em papel di-log (vide

apêndice), estabelecendo uma dependência entre freqüência de

ressonância do segundo modo de vibração (n=2) do fio e a tensão

aplicada sobre o mesmo.

Parte 3:

Com o mesmo fio da tomada de dados anterior, ajustou-se a freqüência

do gerador de áudio para observar o segundo modo de vibração (n=2).

Anotou-se o valor da freqüência para esse modo de vibração no gerador

de áudio e para o comprimento L do fio e sua respectiva incerteza. Os

valores obtidos dos parâmetros estão apresentados na tabela 6.

Tabela 6 – Tensão T aplicada sobre o fio e densidade linear μ do fio e o modo

de vibração.

N T (n) μ (10-4 Kg/m)

2 1,468- ± 0,0001 7,2 ± 0,6

Repetiu-se o procedimento acima 6 vezes, reduzindo o comprimento do

fio de 10 em 10 cm. Os valores encontrados estão apresentados na

tabela 7.

Tabela 7 – Freqüência e o comprimento L do fio.

f (10 Hz) L (10-2 m)

4,0 ± 0,5 90,00 ± 0,05

3,8 ± 0,5 100,00 ± 0,05

3,6 ± 0,5 110,00 ± 0,05

3,4 ± 0,5 120,00 ± 0,05

3,3 ± 0,5 130,00 ± 0,05

3,1 ± 0,5 140,00 ± 0,05

Com esses dados, construiu-se um gráfico em papel di-log (vide

apêndice), estabelecendo uma dependência entre freqüência de

Page 11: Relatorio Cordas Vibrantes

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ressonância do segundo modo de vibração (n=2) do fio e o comprimento

L do mesmo.

Parte 4:

Para estudar a dependência da freqüência de ressonância com a

densidade linear do fio, trocou-se o fio utilizado entre uma medida e

outra, tomando o devido cuidado de reproduzir todos os outros

parâmetros (L, T e n) dentro das incertezas experimentais, de tal modo

que o único parâmetro variável seja a densidade linear (μ). Os

parâmetros estão apresentados na tabela 8.

Tabela 8 – Tensão T aplicada sobre o fio e comprimento L do fio e o modo de

vibração.

N T (n) L (10-2 m)

2 1,468- ± 0,0001 140,00 ± 0,05

Após tais procedimentos, mediu-se a freqüência do segundo modo de

vibração (n=2) para cada um dos quatro fios. Os valores obtidos estão

expressos na tabela 9.

Tabela 9 – Freqüência e densidade linear do fio.

Fio f (10 Hz) μ (10-4 Kg/m)

Amarelo 3,0 ± 0,5 7,2 ± 0,6

Laranja 3,4 ± 0,5 4,9 ± 0,5

Bege 3,5 ± 0,5 6,6 ± 0,4

Marrom 3,0 ± 0,5 6,1 ± 0,4

Com esses dados, construiu-se um gráfico em papel di-log (vide

apêndice), estabelecendo uma dependência entre freqüência de

ressonância do segundo modo de vibração (n=2) e a densidade linear

de cada fio.

Após determinar, através da equação da reta, o coeficiente linear e o

coeficiente angular de cada um dos gráficos (vide apêndice), pode-se

Page 12: Relatorio Cordas Vibrantes

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determinar a expressão empírica, equação 4, já que se sabe os valores

das constantes C, α, β, γ e . Os valores de tais constantes e a

expressão empírica determinada experimentalmente estão apresentados

na tabela 10.

Tabela 10 – Constantes determinadas através dos dados experimentais e

expressão empírica.

C α β Γ

9,05x105 1,6x10 -1,27x10 1,14x10 -0,146x105

Expressão empírica:

Considerações Finais

Discussão e Conclusão

De acordo com a proposição do experimento, verificou-se que se pode

estudar o fenômeno de ressonância em fio sob tensão utilizando uma

expressão empírica que estabeleça uma conexão entre as freqüências de

ressonância desse sistema com os parâmetros relevantes ao experimento.

Como fora dito anteriormente, quando um fio sob tensão é posto a

vibrar, dependendo da freqüência de vibração utilizada o fio pode entrar em um

estado de ressonância, na qual a amplitude de vibração torna-se bastante

elevada. Nesse experimento, tais freqüências em que a ressonância é

observada, dependem de vários parâmetros do fio, assim como o comprimento

e a densidade linear do fio, além da tração aplicada no fio e os modos de

vibração. Para se obter a expressão empírica que preveja a freqüência de

ressonância na corda utiliza-se a equação 4, onde se estuda tal fenômeno

observando como ele varia com cada um dos parâmetros.

Determinou-se a expressão empírica (vide tabela 10), na qual cada uma

das constantes verificadas na equação 4 foram determinadas

experimentalmente (vide apêndice), de acordo com cada gráfico que

estabelecia a relação entre a freqüência com cada um de seus parâmetros.

Page 13: Relatorio Cordas Vibrantes

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Já que se determinou a expressão empírica experimentalmente pode-se

compará-la com a expressão empírica determinada teoricamente, a equação 9.

Verificou-se que as constantes resultaram em valores diferentes ao fazer a

comparação entre as duas equações conhecidas, tal diferença entre as

constantes pode ter ocorrido devido a incerteza da freqüência de ressonância

que é muito alta, o que pode ter afetado os valores das constantes ao serem

determinadas experimentalmente.

Portanto, após expor os resultados obtidos, conclui-se que esse

experimento de cordas vibrantes é adequado para o estudo da freqüência

ressonância, assim como na determinação de uma expressão empírica que

possibilite prever tal freqüência em uma corda/um fio.

Referências Bibliográficas

1. HALLIDAY, D., RESNICK, R. e WALKER, J. - Fundamentos de Física,

Capítulo 17 (pg. 108-110), Vol. 2, 6ª Edição, LTC Editora, Rio de Janeiro, RJ,

2002.

2. YOUNG, Hugh D., FREEDMAN, Roger A. – Física II – Termodinâmica e

Ondas, Capítulo 16 (seção 16.4-16.5), 12ª Edição, Pearson Addison Wesley,

São Paulo, SP, 2008.

3. Apostila de Laboratório de Física Experimental II, pp.26-32..

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