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Notas de aulas de Estradas (parte 5)

Hélio Marcos Fernandes Viana

Tema:

Curvas horizontais circulares

Conteúdo da parte 5

1 Introdução

2 Geometria da curva circular

3 Locação de curvas circulares horizontais por deflexão

4 Raio mínimo da curva horizontal

5 Visibilidade nas curvas horizontais

6 Tangente mínima

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1 Introdução A geometria de uma estrada é definida pelo traçado do seu eixo em planta e pelos perfis longitudinal e transversal.

De maneira simplificada, o traçado em planta é composto de trechos retos concordados por curvas horizontais, as quais são usadas, em geral, para desviar de obstáculos que não podem ser vencidos economicamente (lagos, pântanos, rochedos, etc.). A princípio uma estrada deve ter o traçado mais curto possível. Porém ligeiras deflexões, quando necessárias, podem harmonizar o traçado da estrada com a topografia da região. O uso corrente de curvas horizontais é determinado pelos seguintes fatores: a) Pela topografia da região; b) Pelas características geológicas e geotécnicas dos solos de fundação; c) Pela hidrografia; e d) Pelos problemas de desapropriação. Uma vez escolhido o raio das curvas horizontais, as mesmas devem garantir: a) A inscrição dos veículos (os veículos devem está contidos nas faixas de tráfego da curva); b) A visibilidade dentro dos cortes; e c) A estabilidade dos veículos que percorrem a via com grandes velocidades. As curvas horizontais circulares simples são muito empregadas em projeto de estradas. Este tipo de concordância é realizada quando se combinam duas tangentes com um arco de círculo. 2 Geometria da curva circular Para concordar dois alinhamentos retos foi escolhida, já há muito tempo, a curva circular, devido à simplicidade desta curva para ser projetada e locada. O estudo da curva circular é fundamental para a concordância, pois mesmo quando se emprega uma curva de transição, ocorre que a curva circular continua a ser utilizada na parte central da concordância. A Figura 2.1 ilustra uma curva circular e os elementos geométricos utilizados tanto no seu projeto como na sua locação.

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Figura 2.1 - Elementos geométricos da curva circular simples utilizados tanto no seu projeto como na sua locação

Na Tabela 2.1, tem-se a nomenclatura dos símbolos relacionados ao projeto e à locação da curva circular simples. Tabela 2.1 - Nomenclatura dos símbolos relacionados ao projeto e à locação das curvas circulares simples

Símbolo Nomenclatura Símbolo Nomenclatura

PC ponto de curva (início da curva) T tangente externa

PT ponto de tangente (fim da curva) O centro da curva

PI ponto de interseção das tangentes E afastamento

D ângulo de deflexão c corda

AC ângulo central da curva

R raio da curva circular

deflexão sobre a tangente

(correspondente à corda c)d

Desenvolvimento da curva

(comprimento do arco)D

grau da curva (ou ângulo

correspondente à corda c)G

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2.1 Característica dos elementos geométricos da curva circular simples

As características dos elementos geométricos da curva circular são os que se seguem: a) O ponto de início da curva circular denomina-se ponto de curva (PC), que pode ser à direita (PCD) ou à esquerda (PCE). A outra extremidade da curva circular recebe o nome de ponto de tangente (PT); b) Raio (R) é o raio do arco de círculo empregado na concordância, e é expresso em metros; OBS(s) -> O raio é selecionado de acordo com as características técnicas da rodovia, e também com a topografia da região; e -> A escolha do valor do raio pode ser feita, também por meio de gabaritos, que representam em planta, os trechos das curvas circulares. c) Ângulo central (AC) é o ângulo formado pelos raios que passam pelo PC e PT , e que se interceptam no ponto O (centro da curva). O ângulo central (AC) é numericamente igual à deflexão entre os alinhamentos das tangentes do eixo da

estrada (AC = D); d) Desenvolvimento (D) é o comprimento do arco de círculo desde o PC até o PT; e) Grau da curva (G) é o ângulo central que corresponde a uma corda de comprimento c; f) Afastamento (E) é a distância entre o PI e o ponto médio da curva; e g) Deflexão por metro (dm) é o ângulo formado entre a tangente T e uma corda que parte do PC, e que tem comprimento c = 1 m. 2.2 Indicações usuais dos elementos da curva circular nas folhas de projeto

As indicações usuais dos elementos da curva circular nas folhas de projeto, podem variar de projetista para projetista. Contudo, usualmente são empregadas as seguintes indicações nas folhas de projeto: a) Indicar em planta as estacas que possuem numeração múltiplos de 5. Pode-se perceber no exemplo mostrado na Figura 2.2, que são indicadas as estacas 35 e 40; b) Indicar o PC e o PT, sendo que o número destas estacas são escritos ao longo dos raios externos das curvas, ou seja, ao longo do prolongamento dos raios nos pontos correspondentes ao PC e PT; e c) Na parte interna da curva colocam-se os valores dos principais elementos

geométricos da curva (R, D, G, T, D e dm).

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A Figura 2.2 ilustra uma curva circular traçada na folha de projeto com a indicação usual dos elementos geométricos da curva.

Figura 2.2 - Indicação usual dos elementos geométricos da curva circular na olha de projeto

Costuma-se indicar também os cortes e os aterros na folha de projeto, e enquadrar o eixo da estrada entre dois traços paralelos, cujo afastamento é igual à largura da plataforma. Os valores dos principais elementos das curvas também podem ser colocados em tabelas no rodapé da folha de projeto. A Figura 2.3 ilustra uma outra forma usual de se indicar na folha de projeto os elementos geométricos da curva circular.

Figura 2.3 - Outra forma usual de se indicar na folha de projeto os elementos

geométricos da curva circular

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2.3 Principais relações entre alguns elementos geométricos da curva circular simples As principais relações entre os elementos geométricos da curva circular simples, as quais são importantes tanto no projeto como na locação da curva circular, são as seguintes: i) (2.1) em que: T = tangente externa (m); R = raio da curva circular (m); e

D = ângulo de deflexão entre as tangentes (graus). ii) (2.2) em que: E = afastamento (m); R = raio da curva (m); e

D = ângulo de deflexão entre as tangentes (graus). iii) (2.3) em que: D = desenvolvimento (m); R = raio da curva (m); e

D = ângulo de deflexão entre as tangentes (graus).

OBS. = 3,1416 iv) As estacas dos pontos PC e PT são determinadas pelas seguintes equações: (2.4) (2.5) em que: E(PC) = estaca do PC (ponto de curva); E(PI) = estaca do PI (ponto de interseção das tangentes); [T] = valor da tangente em estacas; E(PT) = estaca do PT (ponto de tangente); e [D] = valor do desenvolvimento em estacas.

D

2tan.RT

D 1

2cos

1.RE

o180

.R.D

D

DPCE)PT(E)b

T)PI(E)PC(E)a

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v) (2.6) em que: G = grau da curva (ou ângulo que corresponde à corda c) (graus); c = corda (m); e R = raio da curva circular (m). OBS(s). -> Quando se substitui um comprimento de arco de uma curva por uma corda, se comete um erro, cuja grandeza cresce com o comprimento da corda; e -> O erro será menor que 0,01 m, ou desprezível se adotarmos: a) Cordas de 20 m, para locar curvas com R ≥ 180 m; b) Cordas de 10 m, para locar curvas com 65 m ≤ R < 180 m; c) Cordas de 5 m, para locar curvas com 25 m ≤ R < 65 m; e d) Cordas de 2 m, para locar curvas com R < 25 m. vi) Para uma corda de c = 20 m, tem-se que: (2.7) em que: G20 = grau da curva (para corda de 20 m) (graus); e R = raio da curva (m).

OBS. Como D (ângulo de deflexão) é constante para qualquer raio, tem-se que o G20 (grau da curva para corda de 20 m) deve ser múltiplo de 40’ para facilitar a locação. A sequência utilizada para obter G20 múltiplo de 40’ é a seguinte: 1- Adota-se R’(provisório) > Rmin; 2- Calcula-se G’20 = 1145,92 / R’; 3- Adota-se G20, múltiplo de 40’, e que seja um pouco maior que G’20; e 4- Finalmente, calcula-se R = 1145,92 / G20. vii) Outras expressões para cálculo do grau da curva a) (2.8) em que: G = grau da curva (graus);

D = ângulo de deflexão entre as tangentes (graus); D = desenvolvimento (m); e c = corda (m). b) (2.9)

R.

c.180G

o

R

92,1145G20

D

.cG

D

R.2

carcsen.2G

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em que: G = grau da curva (graus); R = raio da curva (m); e c = corda (m). viii) O valor da deflexão sobre a tangente, correspondente à corda c, é expresso pela eq. (2.10) (2.10) em que: d = deflexão sobre a tangente correspondente à corda c; e G = grau da curva (correspondente à corda c). ix) O valor da deflexão por metro é obtido pela seguinte equação: (2.11) em que: dm = deflexão por metro (graus/m ou minutos/m); G = grau da curva (correspondente à cora c) (graus ou minutos); e c = corda (m). 3 Locação de curvas circulares horizontais por deflexão 3.1 Locação de curvas circulares por deflexão sucessiva A deflexão sucessiva é aquela correspondente à cada estaca isoladamente, ou seja, a deflexão sucessiva é o ângulo que a visada de cada estaca forma com a tangente ou com a estaca anterior. i) Locação de curva circular com coradas de 20 m a) Cálculo da primeira deflexão sucessiva (ds1) A primeira deflexão sucessiva para locação da curva (ds1) é obtida pelo produto da deflexão por metro (dm) pela distância existente entre o PC e a primeira estaca inteira dentro da curva, conforme a eq. (3.1). (3.1) em que: ds1 = primeira deflexão sucessiva em relação à tangente externa (min.); (20 – a) = distância ente o PC e a primeira estaca inteira da curva (m); a = parte fracionada da estaca do PC (m); G = grau da curva (min.); c = corda (m); e dm = deflexão por metro (min. / m).

2

Gd

c.2

Gdm

c.2

G).a20(dm).a20(ds1

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b) Cálculo da última deflexão sucessiva (dsPT) A última deflexão sucessiva para locação da curva é calculada multiplicando a deflexão por metro (dm) pela distância existente entre o PT e a última estaca inteira dentro da curva, conforme a equação: (3.2) em que: dsPT = última deflexão sucessiva da curva (min.); b = parte fracionada da estaca do PT (m); G = grau da curva (min.); c = corda (m); e dm = deflexão por metro (min./m). c) Demais deflexões da curva, entre a última estaca inteira e a primeira estaca inteira da curva As demais deflexões da curva são dadas pela seguinte expressão: (3.3) em que: ds = deflexão da curva (situada entre a última estaca inteira e a primeira estaca inteira da curva, ou situada entre a última e a primeira deflexão sucessiva); e G = grau da curva. A Figura 3.1 ilustra a locação de uma curva circular por deflexões sucessivas. Observa-se que as deflexões são dadas em relação às visadas das estacas anteriores, sendo que a primeira deflexão é dada em relação à tangente externa.

Figura 3.1 - Locação de uma curva circular por deflexões sucessivas

c.2

G.bdm.bdsPT

2

Gds

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i) Locação de curva circular com coradas de 10, 5 e 2 m Além das equações básicas para cálculo dos elementos geométricos das curvas circulares; para locação de curva circular com cordas de 10, 5 e 2 m são usadas as seguintes equações: a) Grau da curva (3.4) em que: G = grau da curva (ou ângulo que corresponde à corda c); c = corda; e R = raio da curva circular. b) Deflexão correspondente à corda de locação (d) (3.5) em que: G = grau da curva (ou ângulo que corresponde à corda c); e d = deflexão correspondente à corda de locação. c) Deflexão por metro (dm) (3.6) em que: G = grau da curva (correspondente à corda c); c = corda da curva; e dm = deflexão por metro. 3.2 Locação de curvas circulares horizontais por deflexão acumuladas Neste tipo de locação, as deflexões sempre são referidas à tangente externa, e representam valores acumulados das deflexões sucessivas. Admitindo-se que os pontos PC e PT são estacas fracionadas, que é o caso mais comum; a Figura 3.2 mostra o esquema de cálculo das deflexões acumuladas, com base nas deflexões sucessivas para curvas circulares locadas com cordas de 20 m.

R.

c.180G

o

2

Gd

c.2

Gdm

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Figura 3.2 - Esquema de cálculo das deflexões acumuladas com base nas deflexões sucessivas, para curvas circulares locadas com cordas de 20 m

Na Figura 3.2, tem-se que: da1, da2,...,dan = deflexões acumuladas; ds1, ds2,...,dsn-1 = deflexões sucessivas; daPT = deflexões acumuladas correspondente ao PT; G = grau da curva (ou ângulo que corresponde à corda c); c = corda; a = parte fracionada, em metros, da estaca do PC; e b = parte fracionada, em metros, da estaca do PT. Para concluir a locação por deflexões acumuladas é organizada a caderneta de locação da curva conforme ilustra a Tabela 3.1. OBS. Para verificação dos cálculos, a deflexão acumulada para o PT deverá ser

igual à metade do ângulo central da curva, ou seja, D/2. Tabela 3.1 - Esquema da caderneta de locação da curva circular horizontal

c.2

G.b

2

G).2n(

c.2

G).a20(dada

2

G).2n(

c.2

G).a20(dsdsdsda

2

G

2

G

c.2

G).a20(dsdsdsda

2

G

c.2

G).a20(dsdsda

c.2

G).a20(dsda

PTn

1n211n

3213

212

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4 Raio mínimo da curva horizontal Raio mínimo é o menor raio da curva de concordância horizontal, o qual poderá ser usado no projeto rodoviário ou ferroviário. 4.1 Esforços atuantes no veículo nos trechos curvos Os veículos que trafegam em curva estão submetidos à força centrífuga que varia conforme a seguinte equação: (4.1) em que: v = velocidade do veículo; m = massa do veículo; e R = raio de curvatura da curva. A Figura 4.1 ilustra as forças atuantes no veículo, quando percorre uma curva horizontal, inclusive a superelevação da pista na curva.

Figura 4.1 - Forças atuantes no veículo, quando percorre uma curva horizontal,

inclusive a superelevação da pista na curva

R

v.mF

2

C

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Observa-se na Figura 4.1 que: 1.o) O veículo é forçado para fora da curva pela componente horizontal da força

centrífuga (Fc.cos); e 2.o) A força centrífuga é compensada:

a) Pela componente do peso devido à superelevação (P.sen); e b) Pela força de atrito lateral entre os pneus e a superfície do pavimento. A força centrífuga atuante nos veículos pode causar sérios problemas ao tráfego; entre os quais: a) Nas rodovias Pode causar derrapagens jogando os veículos para fora da pista; e b) Nas ferrovias Pode causar descarrilamentos e tombamentos. 4.1 Relação geral entre: o raio, a superelevação, o coeficiente de atrito e a

velocidade A partir de uma dedução que considera: a força centrífuga atuante no veículo (Fc), o peso do veículo (P) e a força de atrito pneu/pavimento (Fa); é possível obter a seguinte relação geral: (4.2) em que: R = raio da curva horizontal (m); V = velocidade do veículo (km/h); e = superelevação (m/m); e fT = coeficiente de atrito transversal pneu/pavimento; 4.2 Expressão para o cálculo do raio mínimo de curvas horizontais Adotando-se os valores máximos admissíveis para a superelevação e para o coeficiente de atrito transversal, pode-se calcular o raio mínimo admissível para curvas circulares horizontais, pela seguinte equação: (4.3)

)fe.(127

VR

T

2

)fe.(127

VR

maxTmax

2

min

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em que: R = raio mínimo de curvatura horizontal (m); V = velocidade diretriz ou de projeto (km/h); emax = máxima taxa de superelevação admissível (m/m); e fTmax = máximo coeficiente de atrito transversal pneu/pavimento. OBS. Para as curvas horizontais recomenda-se a utilização de raios superiores aos mínimos. A adoção do raio mínimo só é justificável em condições especiais. 4.3 Valores máximos do coeficiente de atrito e da superelevação a) Determinação do máximo coeficiente de atrito transversal pneu/pavimento É usual adotar-se para o máximo coeficiente de atrito: valores bem menores do que os obtidos na eminência (ou proximidade máxima) do escorregamento do veículo, isto é, valores já corrigidos com um fator de segurança. A Tabela 4.1 mostra os valores máximos admissíveis para o coeficiente de atrito transversal pneu/pavimento, que geralmente são adotados nos projetos rodoviários, e que são função da velocidade de projeto. Tabela 4.1 - Valores máximos admissíveis para o coeficiente de atrito

transversal pneu/pavimento

A AASHTO recomenda para cálculo do atrito transversal a seguinte expressão: (4.4) em que: fT = coeficiente de atrito transversal pneu/pavimento; e V = velocidade de projeto (km/h). b) Determinação da superelevação máxima Segundo a AASHTO os valores máximos adotados para superelevação são determinados em função: a) Das condições climáticas; b) Das condições topográficas; c) Do tipo de área, que pode ser rural ou urbana; e d) Da frequência do tráfego tipo lento no trecho considerado.

V (km/h) 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120

f = fTmax 0,20 0,18 0,16 0,15 0,15 0,14 0,14 0,13 0,12 0,11

1600

V19,0fT

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A Tabela 4.2 resume os valores da superelevação máxima admissível (emax) para as diversas situações, e para determinadas classes de projeto. Tabela 4.2 - Valores da superelevação máxima admissível para diversas

situações, e para determinadas classes de projeto

OBS. Os terrenos são classificados quanto ao relevo em: a) Terreno plano São os terrenos com declividade entre 0 e 8%; b) Terreno ondulado São os terrenos com declividade entre 8 e 20%; e c) Terreno montanhoso São os terrenos com declividade maior que 20%.

4.4 Raio mínimo para curvas circulares em ferrovias a) Superelevação para ferrovias Para ferrovias a superelevação é definida pela cota entre os trilhos como ilustra a Figura 4.2; sendo b a bitola da ferrovia e S a superelevação dos trilhos.

Figura 4.2 - Superelevação para ferrovias As superelevações máximas para o caso ferroviário são:

i) 10

bSmax Para bitola larga (b = 1,60 m); e

ii) 8

bSmax Para bitola estreita (b = 1,00 m).

emax

Mínimo. Adotar em situações extremas, com intensa ocupação do solo

adjacente.4%

8%Valor superior normal. Adotar para rodovias Classe I em regiões

montanhosas, e rodovias das demais classes de projeto.

6%Valor inferior normal. Adotar para projetos em áreas urbanizadas ou em

tráfego sujeito à reduções de velocidade ou paradas.

Máximo absoluto em circunstâncias específicas.12%

CASOS DE EMPREGO

Máximo normal. Adequado para fluxo ininterrupto. Adotar para rodovias

Classe 0 em geral, e rodovias Classe I em regiões planas e

onduladas.

10%

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A superelevação (S), em metros, para o raio de uma curva circular qualquer de uma ferrovia será: (4.5) em que: V = velocidade de projeto do trem (km/h); b = bitola da ferrovia (m); e R = raio da curva horizontal (m). b) Equação para obtenção do raio mínimo de curavas circulares em ferrovias O raio mínimo para as curvas horizontais no caso de ferrovias é obtido pela seguinte equação: (4.6) em que: V = velocidade de projeto do trem (km/h); b = bitola da ferrovia (m); e Smax = superelevação máxima (m). 5 Visibilidade nas curvas horizontais 5.1 Considerações gerais acerca da visibilidade nas curvas Todas as curvas horizontais devem atender às condições mínimas de visibilidade, isto é, assegurar uma distância de visibilidade não inferior à distância de visibilidade de parada. Obstruções no interior das curvas horizontais devido à presença de cortes, de muros, de árvores e etc., podem limitar a visibilidade e requerer: a) Um ajuste na seção transversal da estrada; e b) Uma modificação no alinhamento da estrada. 5.2 Cálculo do valor de M M é o afastamento horizontal mínimo do motorista, em relação a um obstáculo visual lateral, de modo que seja satisfeita a distância de visibilidade de parada, ou de ultrapassagem no interior da curva. A Figura 5.1 mostra o esquema dos elementos geométricos envolvidos no cálculo do afastamento horizontal mínimo (M).

R

V.b.0052,0S

2

max

2

minS.127

V.bR

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Figura 5.1 - Elementos geométricos envolvidos no cálculo do afastamento horizontal mínimo (M)

No desenho da Figura 5.1, tem-se que: A = veículo que percorre a pista na faixa de interesse; B = obstáculo na pista ao longo do percurso do olho do motorista; R = raio relacionado ao percurso do olho do motorista; RC = raio da curva; O = centro da curva;

= ângulo AÔB; e M = afastamento horizontal mínimo, em relação ao obstáculo visual lateral (talude de corte); ou distância perpendicular da linha de percurso do olho do motorista ao obstáculo lateral. No desenho da seção transversal (ou do corte A-A’) da Figura 5.1, tem-se que M é a distância que vai do motorista ao obstáculo lateral, e é medida a 0,75 m de altura do bordo da pista.

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Finalmente, o valor do afastamento horizontal mínimo pode ser calculado com base na seguinte equação: (5.1) em que: R = raio do percurso do olho do motorista (m); D = distância de visibilidade de parada ou de ultrapassagem (m); e M = afastamento horizontal mínimo (m). OBS. Para efeito de cálculo podemos considerar R = RC (raio da curva), sem erro apreciável do ponto de vista prático. 6 Tangente mínima a) Tangente mínima para rodovias A tangente mínima é o comprimento mínimo da tangente que deve ser introduzido entre duas curvas de curvaturas opostas, como mostra a Figura 6.1; a tangente mínima tem as seguintes finalidades: a) Possibilitar a distribuição da superelevação; e b) Facilitar a inscrição (ou inclusão) do veículo na curva.

Figura 6.1 - Tangente mínima entre duas curvas circulares horizontais Nas curvas que utilizam transição não há necessidade de tangente mínima. Para curvas circulares cujos raios dispensam o uso de transição, deve-se adotar uma tangente mínima de 40 m para possibilitar a distribuição da superelevação, e facilitar a inscrição (ou inclusão) do veículo na curva. b) Tangente mínima para ferrovias Para ferrovias a tangente mínima tem a mesma finalidade que foi citada para rodovias, e deve comportar com folga o maior trem que trafega na linha.

R.8

DM

2

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Recomenda-se as seguintes tangentes mínimas para ferrovias: a) Tangente mínima de 210 m, para curva circular horizontal simples e ferrovia de bitola larga; e b) Tangente mínima de 50 m, no caso de se usar curva de transição; pois este comprimento é suficiente para se evitar torção nos trilhos causada pela mudança brusca de direção do trem. Referências bibliográficas PONTES FILHO, G. (1998) Estradas de rodagem projeto geométrico. [S.I.]:

Bidim, 1998. 432p. (Bibliografia principal) COSTA, P. S.; FIGUEIREDO, W. C. (2001) Estradas estudos e projetos. Salvador

- BA: Coleção pré-textos, 2001. 408p. DEPARTAMENTO NACIONAL DE ESTRADAS E RODAGEM. Manual de projeto

geométrico de rodovias rurais. Rio de janeiro, 1999. COMASTRI, J. A.; CARVALHO, C. A. B. (1981) Estradas (traçado geométrico).

Apostila 112. Viçosa - MG: Universidade Federal de Viçosa, 1981. 71p.