técnicas matemáticas para análise de funções da economia

Técnicas matemáticas para análise de funções da economia

Técnicas matemáticas para Análise de funções da economia

(Prof. Rogério Orlandeli)

A viabilidade econômica de qualquer empreendimento deve passar

anteriormente por uma análise de investimentos e pela determinação da

capacidade produtiva ideal na busca de maximizar os lucros, dentre outros

objetivos. A determinação de tais níveis de produção não depende somente

de viabilidade técnica, já que estamos inseridos num mercado de livre

concorrência e fatores externos, como:

Sazonalidade dos produtos;

Períodos de safras e entressafras;

Qualidade e custos dos concorrentes;

Ciclo de vida dos produtos.

Esses elementos externos indicam a necessidade de análise de ofertas e

demandas do mercado, juntamente com fatores internos de produção na

busca pelo melhor aproveitamento das condições vigorantes, visando a

sobrevivência da empresa no mercado. Este texto abordará a necessidade de

identificar a quantidade de produtos, a serem produzidos, com relação a sua

respectiva demanda em função do seu preço de venda, dentre outros fatores.

DETERMINAÇÃO DA CAPACIDADE DE PRODUÇÃO IDEAL (maior lucro)

Métodos de Gestão – Matemática AplicadaProf. Rogério Orlandeli- E-mail: [email protected]


A capacidade produtiva ideal pode ser determinada pela maximização do lucro, que

podem ocorrer em duas situações diferentes, as chamadas demanda inelástica e elástica,

onde na inelástica o preço é constante e não varia em função da oferta e procura, já o

preço na demanda elástica possui variações. Saber que tipo de demanda possui cada

produto é essencial para a maximização do lucro em função da produtividade.

Demanda inelástica: o maior lucro corresponde ao total aproveitamento da capacidade

instalada, ou seja, produzir em capacidade total. Existe, porém, algumas limitações pela

lei de rendimentos decrescente que prega que além de um determinado nível de produção

os custos de produção podem aumentar inviabilizando a alta produção.

CAPACIDADE IDEAL COM PREÇOS FIXOS (Demanda inelástica)

Caso os preços e custos praticados sejam fixos a formação das funções matemáticas da

economia se torna fáceis, pois independem de fatores externo e, são dadas por:

Função Custos C(X)

C(X) = Cf +Cv(X);

Onde: Cf - Custo fixo ou custo independente da produção;

Cv- custo variável ou custo unitário por produto;

Nota: Cv(X) dependa da quantidade produzida.

Exemplo: Uma empresa possui um custo fixo de R$12,00 por dia e um custo unitário por

produto de R$3,00, sendo que a capacidade produtiva máxima é de 100 unidades diárias.

(Obs:- lembre-se que o custo total é formado pela soma do custo fixo e do custo

variável.)

C(X) = Cf +Cv(X)


Produção X Custo

0

50

100

150

200

250

300

350

0 50 100 150

Produção

Cu

sto

C(X) = 12 + 3X


C(X) = 12 + 3X

Ou seja, dada uma quantidade produzida pode-se obter seu custo relacionado.

Função receita R(X)

R(X) = P(X)*X;

Onde: P(X) – Preço de venda unitário

X - A respectiva quantidade vendida.

Supondo, no exemplo anterior, P(X)= $ 10,00 e, uma quantidade vendida X=100 tem-se:

R(X) = 10*X;

R(100) = 10*100 = 1000;

Vendas R(X)= 10*X

0 010 10050 500

100 1000

Ou seja, dada uma quantidade vendida pode-se obter a arrecadação correspondente.

Função Lucro L(X)

L(X) = R(X) - C(X).

L(X) = 10X – (12 + 3X)

L(X) = 10X – 12 - 3X

L(X) = 7X – 12

Supondo a função do exemplo anterior, para uma produção e venda de 100 unidades de

produtos, tem-se:

L(100) = R(100) - C(100)


X C(X) = 12 + 3X0 12

10 4220 7250 162

100 312

Receita

0

200

400

600

800

1000

1200

0 20 40 60 80 100 120

Produção

Rec

eita

R(X)= 10*X

Lucro

-100

0

100

200

300

400

500

600

700

800

0 50 100 150Produção

Lu

cro

L(X) = 7X – 12


L(100) = 1000 – 312 = 688

Produção L(X) = 7X – 12 0 -12

10 5850 338

100 688

Ou seja, dada uma quantidade produzida e vendida pode-se obter o lucro correspondente.

Análise gráfica das funções em conjunto.

X Cf = 12 C(X) = 12 + 3X R(X)= 10X L(X)= 7X – 120 12 12 0 -12

10 12 42 100 5820 12 72 200 12850 12 162 500 338

100 12 312 1000 688

A idéia de maior produção com maior lucro, no entanto, é limitada por diversas razoes

como comentado no exemplo abaixo.

Exemplo: observado na industria têxtil.


Custo X Receita x Lucro

-200

0

200

400

600

800

1000

1200

0 20 40 60 80 100 120

Quantidade de produtos

$ va

lore

s

C(X) = 12 + 3X

R(X)= 10X

L(X)= R(X) - C(X)

0

200

400

600

800

1000

1200

0 20 40 60 80 100 120

Cf = 12

C(X) = 12 + 3X

R(X)= 10X


A implementação de um terceiro turno se torna inviável em função do custo, em virtude

de algumas causas:

Leis trabalhistas (impedindo trabalhos de menores);

Mão de obra noturna, além de mais cara, é menos produtiva com menor

qualidade;

Funcionamento dos departamentos auxiliares é precário.

Exemplo: Análise de um conjunto de funções custo/receita/lucro na determinação da produção

ideal para maximizar o lucro de um produto com demanda inelástica.

Aqui temos uma empresa averiguando seus custos e lucros entre os turnos de produção, buscando

adicionar um Turno Extra. Onde se consegue uma produção de 60 unidades em dois turnos a um

custo variável de $ 0.70 por unidade e um custo fixo de $ 10,00 para qualquer quantidade

produzida; Um terceiro turno apresenta um custo unitário variável de $ 0.9 e uma produção de 27

unidades do produto, com um custo fixo de $14,00.

Se tivermos um preço de venda de $ 1,1 por unidade, é viável implementarmos o terceiro turno?

A resposta é encontrada na análise de custos e rendimentos da tabela abaixo, mais o gráfico

seguinte.


Prod(X) Cf= 10 Cv(X)=0.7*X C(X)= 10 + 0.7X R(X)= 1.1 * X L(X)=R - C Cm(X)= C(X)/X.

0 10 0 10 0 -10 10 10 7 17 11 -6 1,720 10 14 24 22 -2Turno 1 1,230 10 21 31 33 2 1,03333340 10 28 38 44 6 0,9550 10 35 45 55 10Turno 2 0,960 10 42 52 66 14 0,866667

9 14 50,1 64,1 75,9 11,8 7,12222218 14 58,2 72,2 85,8 13,6Turno 3 4,01111127 14 66,3 80,3 95,7 15,4 2,974074

nAnálise Conjunta dos custos e rendimentos do turno 3 Cv(X)=42+0.9*X C(X)= 14 + 0.9X R(X)= 66+1.1 * X


O gráfico mostra o comportamento de cada função econômica

Analisando o gráfico, tem-se:

Existe um decréscimo na lucratividade em função do aumento de custos variáveis e fixos,

provocado pela operação de terceiro turno na fábrica. Logo a implementação de um terceiro turno

não representaria vantagem monetária para a empresa, já que existiu um aumento de apenas 1,4

unidades monetárias no lucro..

Determinação das faixas de lucro e custo

Pode-se averiguar que as funções custo e receita cruzam-se em dois pontos representando

que nestas quantidades produtivas o lucro é nulo, nota-se também que nestes mesmos

quantidades produtivas a função lucro intercepta a função custo fixo. Com estas


Análise Independente dos custos e rendimentos do turno 3

9 14 8,1 22,1 9,9 -12,2 2,45555618 14 16,2 30,2 19,8 -10,4 1,67777827 14 24,3 38,3 29,7 -8,6 1,418519


informações podemos notar que a faixa de lucro positivo encontra-se entre a interseção

destas duas funções, local onde a receita é maior que os custos.

OBS:1- Pela tabela e pelo gráfico pode-se averiguar que quando R(X) = C(X), tem-se X

entre 20 e 30, unidades produzida aproximadamente. Indicando que lucro só existe após a

fabricação de pelo menos 30 unidades do produto.

OBS:2- Para encontrar o número exato basta igualarmos as duas funções:

C(X)= 10 +0.7 * X e

R(X)= 1.1 * X e, isolarmos x.

(10 + 0.7 * X = 1.1 * X) ou (10 = 1.1 * X - 0.7 * X) ou (10 = 0.4 * X), logo X= 25

unidades.

Na conclusão, identifica-se que:

Qualquer produção e venda abaixo de 25 unidades do produto representará

prejuízo para a empresa.

Nestas condições haverá lucro após 25 unidades produzidas.

CAPACIDADE IDEAL COM PREÇOS VARIÁVEIS (demanda elástica)


0

10

20

30

40

50

60

70

0 10 20 30 40 50 60 70

C(X)= Cf + CV

R(X)= 0.7 * X


Por vezes, as empresas podem diminuir seus preços de venda para induzir um aumento na

demanda e, também a sua necessidade de produção. Isto quando existe capacidade ociosa

de produção, a questão é definir até quanto se pode reduzir o preço e aumentar a

produção mantendo um lucro aceitável.

A implementação da diminuição do preço de venda torna-se viável até certo ponto, em

virtude de algumas causas:

Utilização da capacidade plena de produção, diminuindo o custo médio por

unidade produzida;

Busca de maior parcela de mercado (Market share) frente aos concorrentes;

Pode Aumentar o lucro máximo das empresas.

Exemplo 1:

Um analista quer identificar a sensibilidade do mercado em relação à variação ao preço

de venda de cerveja e constatou que as vendas semanais aumentaram de 100 para 150

garrafas quando o preço caiu 25%.

Se o preço de venda antigo era 4 reais, determine:

a- A equação da demanda de cerveja.

b- O preço a ser praticado para se vender 200 garrafas, segundo esta análise de mercado.

c- Quantas garrafas serão entregues a um preço zero?

Resolução: a- Montando a tabela representativa das vendas x preço;

Unidades Vendidas“X”

Preço (R$) “P”

100 4150 3


Preço X vendas

00.5

11.5

22.5

33.5

44.5

0 50 100 150 200Vendas

Pre

ços

Preço


Calculando a taxa de variação TV ou b (mais conhecido como coeficiente angular)

Encontrando a equação da reta: y(x)= ax + b

Y – Y0 = b(X – X0); Definindo (X0,Y0) = (Vendas, Preço) = (100, 4), tem-se:

Y – 4 = -0.02 (X – 100)

Y(X) = -0.02X + 6 -(Equação representativa da demanda em função do preço)

De posse da equação da demanda pode-se a partir da quantidade que se queira vender,

determinar o preço a ser praticado, que por sua vez é limitado pelos custos de produção.

Tais custos entre outros fatores, ajuda a formação da opinião do produtor na quantidade

que ele irá ofertar no mercado na busca por maximizar seus lucros.

Função Oferta

A função oferta demonstra a relação da quantidade oferecida pelo fabricante de um

determinado produto em função do preço de mercado praticado.

Exemplo: A tabela abaixo representa a opinião do produtor na quantidade que ele irá

ofertar no mercado em função do preço.


x y(x)= -0.02X + 60 6

10 5.850 5

100 4150 3200 2250 1

Preço X Demanda

0

1

2

3

4

5

6

7

0 100 200 300Demanda

Pre

ço

y(x)= -0.02X + 6

Oferta X Preço

0

20

40

60

80

100

120

0 2 4 6 8 10 12Oferta

Pre

ço

Preço


X-Oferta P-Oferta8 80

10 100

Que neste caso gera a seguinte equação.



Y – Y0 = b(X – X0); Definindo (X0,Y0) = (Oferta, Preço) = (8, 80), tem-se:

Y – 80 = 10 (X – 8) ou Y(X) = 10X -80 + 80 =10X

Y(X) = 10X -(Equação representativa da oferta em função do preço)

Repetindo os procedimentos para tabela representativa da demanda deste produto, tem-

se:

X-Demanda P-Demanda10 100

100 10



Y – Y0 = b(X – X0); Definindo (X0,Y0) = (Vendas, Preço) = (10, 100), tem-se:

Y – 100 = -1 (X – 10)

Y(X) = -1X + 110 -(Equação representativa da demanda em função do preço)

Os gráficos Abaixo representam as duas funções.


Demanda X Preço

0

20

40

60

80

100

120

0 50 100 150Demanda

Pre

ço

P-Demanda


O cruzamento da oferta com a demanda gera o ponto de equilíbrio E=(XE,YE), onde:

XE :- Quantidade ideal aceita pelo mercado a um Preço YE, para que não sobre nem falte

produto no mercado, chamado de equilíbrio de mercado entre consumidores e

fornecedores.

Exemplo: Análise de um conjunto de funções custo/receita/lucro na determinação da

produção ideal para maximizar o lucro de um produto com demanda elástica.

Aqui temos uma empresa averiguando seus custos e lucros entre os volumes de produção,

buscando aumentar sua produção abaixando o preço de venda. Atualmente tem-se uma

produção de 60 unidades para suprir a demanda, a um custo unitário de $ 0.70 por

unidade e um preço de venda de $ 1,1 por unidade. Sabe-se que a cada $ 0.10, de

diminuição no preço, corresponde a um aumento de 10 unidades de produtos

demandados. Conhecendo esta realidade compensa a empresa aumentar sua produção que

é limitada em 100 unidades?

A resposta é encontrada na análise de custos e rendimentos da tabela abaixo, mais os

gráficos seguintes.

Tabela da demanda


Oferta X Preço

0

100

200

300

400

500

600

0 10 20 30 40 50 60

Oferta

Pre

ço

P-ofertaDemanda X Preço

0

20

40

60

80

100

120

0 20 40 60 80 100 120

Demanda

Pre

ço

P-Demanda

Oferta X Demanda

0

100

200

300

400

500

600

0 10 20 30 40 50 60Quant. de produto

$ P

reço

s

P-oferta

P-DemandaY(x)=10XY(x)=-1X + 110X-ofertaP-

ofertaP-Demanda00110101001002020090505

0060

Grafico da demanda

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 50 100 150Quan. Produzidas

Pre

ço

Preço


Demanda Preço

60 1.170 180 0.9

90 0.8100 0.7

Usando a Regressão linear pelo Excel pode-se encontra a equação da reta da demanda,

onde:

Preço (P(x)) = ponto onde a reta intercepta o eixo do preço (interseção) + (coeficiente de

inclinação da reta ou variação individual do preço (Coeficiente X)) x (Quantidade de

produtos analisada (X)).

Resumindo: P(x) = (interseção) + (Coeficiente X) * X, chegando-se a uma equação da

reta P(X) = a + bX;

Do exemplo a equação da demanda será: P(X) = 1.7 - 0.01X

Análise de custos e rendimentos a partir de diminuição do preço de venda

Do exemplo: diminuindo o preço, em $ 0.10, teremos uma nova planilha de custos.

QuantP.

(X) Cf Cv(X)=0.7*X C(X)= Cf + CV R(X)= 1.0 * X L(X)=R - C

10 10 7 17 10 -7

20 10 14 24 20 -4

30 10 21 31 30 -1

40 10 28 38 40 2

50 10 35 45 50 5

60 10 42 52 60 8

70 10 49 59 70 11



-20

-10

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 20 40 60 80

Cf= 10

C(X)= Cf + CV

R(X)= 1.0 * X

L(X)=R - C


QuantP.


10 10 7 17 9 -8

20 10 14 24 18 -6

30 10 21 31 27 -4

40 10 28 38 36 -2

50 10 35 45 45 0

60 10 42 52 54 2

70 10 49 59 63 4

80 10 56 66 72 6


QuantP.


10 10 7 17 8 -9

20 10 14 24 16 -8

30 10 21 31 24 -7

40 10 28 38 32 -6

50 10 35 45 40 -5

60 10 42 52 48 -4

70 10 49 59 56 -3

80 10 56 66 64 -2

90 10 63 73 72 -1




QuantP.


10 10 7 17 7 -10

20 10 14 24 14 -10

30 10 21 31 21 -10

40 10 28 38 28 -10

50 10 35 45 35 -10

60 10 42 52 42 -10

70 10 49 59 49 -10

80 10 56 66 56 -10

90 10 63 73 63 -10

100 10 70 80 70 -10

Analisando as planilhas de custos pode-se observar que qualquer aumento de produção

necessário para suprir uma demanda acrescida por diminuição de preços é inviável,

diminuindo seu lucro total.

Todo esta trabalho de cálculos em planilhas para buscar a quantidade ideal a ser

produzida para maximizar a receita e o lucro pode ser suavizado usando técnicas

matemáticas, basta obtermos as funções:

C(X) = Cf +Cv(X) (a equação que representa o custo total de produção)

P(X) = a + bX; (a equação que representa o preço da demanda)

R(X) = P(X)*X; (a equação que representa a receita em função do preço da demanda)

L(X) = R(X) - C(X); (a equação que representa o lucro total da produção)

A partir do exemplo podemos definir todas:

C(X) = 10 +0.7X (a equação que representa o custo total de produção)

P(X) = 1.7 + 0.01X; (a equação que representa o preço da demanda)

R(X) = P(X)*X = (1.7 + 0.01X) * X = 1.7X + 0.01X2;

L(X) = R(X) - C(X) = 1.7X + 0.01X2 – (10 +0.7X) = 0.01X2 + X – 10



Montando a tabela para análise de custos e rendimentos, utilizando as funções obtidas do

exemplo com preço de venda em $ 1,10, tem-se:

QuantP.

(X)

Cf=

10

Cv(X)=

0.7 * X

C(X)=

10 + 0.7X

R(X)=

1.7X+ 0.01X2

L(X)=

0.01X2 + X - 10

10 10 7 17 16 -1

20 10 14 24 30 6

30 10 21 31 42 11

40 10 28 38 52 14

50 10 35 45 60 15

60 10 42 52 66 14

70 10 49 59 70 11

80 10 56 66 72 6

90 10 63 73 72 -1

100 10 70 80 70 -10

170 10 119 129 0 -129

Lucro X Receita X Custo

-20

-10

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

0 20 40 60 80 100 120

Quantidade

Ren

dim

ento

s

Cf= 10

C(X)= 10+0.7*X

R(X)

L=R - C

R(X)

Cf

L(X)

C(X)

Ao analisar o gráfico em conjunto das funções podemos verificar que nos pontos (X=10 e

X=90) em que a curva de R(X) interceptar a curva de C(X) o lucro correspondente é zero,



ou seja, a curva de L(X) cruza o eixo x, significando que o lucro nestes níveis de

produção é nulo.

Ao analisar visualmente as curvas de R(X) e L(X), percebemos que elas atingem um

máximo valor em “X=80 e X=50” respectivamente, ou seja, nestes pontos as duas

funções obtém seus maiores resultados. Estes valores podem ser encontrados pela

analogia de suas equações, que são equações de segundo grau com concavidade voltada

para baixo. Como tais funções apresentam gráficos simétricos, pode-se encontras as

raízes da equação "X1 e X2" (Pontos que interceptam o eixo x) e encontram um ponto

médio "X m = (X1 + X2)/2" no qual a função alcançará seu máximo.

Encontrando “X1 e X2 e Xm” das funções do exemplo, onde:

R(X) = 1.7X - 0.01X2, sendo a = -0.01, b = 1.7 e c = 0

L(X) = -0.01X2 + X – 10 sendo a = -0.01, b = 1 e c = -10

Substituindo nas equações abaixo tem-se:

X1= X2=

Para receita R(X), X1= 0 e X2= 170 (Pode-se verificar na planilha)

Logo Xm = = = 85 é ponto de máximo de R(X), ou seja, para se

conseguir a receita máxima é necessário produzir 85 unidades de produto, mas nem

sempre receita máxima significa lucro máximo.

Para Lucro L(X), X1= 11.5 e X2= 100 (Pode-se verificar na planilha e pelo gráfico)

Logo Xm = = = 55.25 é ponto de máximo de L(X), ou seja, para se

conseguir a lucro máximo é necessário produzir 55.25 unidades de produto.

Tal estudo se justifica porque os níveis de produção para alcançar a receita máxima nem

sempre podem significar lucro máximo.



Para fins de comparação montou-se a tabela abaixo que representa os cálculos sem a

utilização das funções da economia do exemplo, com um preço de venda de $ 1.10 e um

custo unitário de 0.7.

QuantP.

(X) Cf= 10 Cv(X)=0.7*X C(X)= Cf + CV R(X)= 1.1 * X L(X)=R - C

10 10 7 17 11 -6

20 10 14 24 22 -2

30 10 21 31 33 2

40 10 28 38 44 6

50 10 35 45 55 10

60 10 42 52 66 14

0

10

20

30

40

50

60

70

0 20 40 60 80

C(X)= Cf + CV

R(X)= 0.7 * X

Pode-se observar que existe grande semelhança nos valores encontrados nas duas formas de análise, cada uma com suas vantagens e desvantagens.



Exercícios de técnicas matemáticas para Análise de funções da economia

(Prof. Rogério Orlandeli)

Exercício 1 :- Capacidade ideal de produção com preços fixos (Demanda inelástica)

Uma empresa esta averiguando seus custos e lucros entre os turnos de produção,

buscando adicionar um Turno Extra. Atualmente consegue-se uma produção de 60

unidades em dois turnos a um custo variável de $ 0.80 por unidade e um custo fixo de $

11.00, por turno. Verificou-se que um terceiro turno apresenta um custo unitário variável

de $ 1.00 e uma produção de 29 unidades.

A um preço de venda de $ 1,10 por unidade, é viável implementarmos o terceiro turno?

Comente sua resposta.

Para tal análise, Preencha a tabela;

QuantP.

(X) Cf= 110 Cv(X)=0.8*X C(X)= Cf + Cv R(X)= 1.1*X L(X)=R - C

10 11 8

20 11 16 Turno 1

30 11 24

40 11 32

50 11 40 Turno 2

60 11 48

70 11 70 Cv(X)=1.0*X

80 11 80 Turno 3

89 11 89

A partir dos valores da tabela montou-se o gráfico,



0

20

40

60

80

100

120

0 20 40 60 80 100

Cf= 10

C(X)

R(X)= 1.1*X

Onde você deve:

1. Descrever o que são seus eixos;

2. Demarcar as funções nele representado;

3. Demarcar no gráfico o ponto onde o lucro é nulo;

4. Demarcar, a faixa de lucro;

5. Com que produção obtém-se o lucro máximo;

Exercício 2 :- Um analista quer identificar a sensibilidade do mercado em relação à

variação ao preço de venda de sorvete em casquinha e, constatou que as vendas semanais

aumentaram de 500 para 750 casquinhas quando o preço caiu 25%.

Se o preço de venda antigo era 2 reais, determine:

a- A equação da demanda de cerveja.

b- O preço a ser praticado para se vender 200 garrafas, segundo esta análise de mercado.

c- Quantas garrafas serão entregues a um preço zero?

Exercício 3 :- Capacidade ideal de produção com preços variáveis (Demanda elástica)

Uma empresa esta averiguando seus custos e lucros entre os volumes de produção, buscando

aumentar sua produção abaixando o preço de venda. Atualmente tem-se uma produção de 80

unidades para suprir a demanda a um custo unitário de $ 0.70 por unidade, o custo fixo é de $

50,00 e o preço de venda de $ 1,30 por unidade. Sabe-se que cada $ 0.10, de diminuição no preço,

corresponde a um aumento de 10 unidades de produtos demandados.



Conhecendo esta realidade, compensa a empresa aumentar sua produção que é limitada em 120

unidades? Comente sua resposta, onde:

A relação do preço e demanda é expresso pela tabela abaixo (completar a tabela). Que da

origem a equação da demanda P(X) = 2.1 – 0.01X.

Demanda Preço

80 1.3

90

100

110

120

a- Descobrir as funções:

1. C(X) = Cf +Cv(X);

2. R(X) = P(X)*X;

3. L(X) = R(X) - C(X).

Dada a função da demanda P(X) = 2.1 – 0.01X.

b- Montar a tabela de análise abaixo, montar o gráfico da função receita e da função lucro e

determinar as quantidades ideais de produtos para maximizá-las.

Quant.(X) C(X)= R(X)= L(X)=

50

60

70

80

90

100

110

120


Preço x demanda

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

0 20 40 60 80 100 120 140

Preço


4- Encontre o ponto de equilíbrio entre a oferta (O) e a demanda (D) e esboce o ponto

graficamente.

Referências Bibliográficas

FOINA, Paulo R. Planejamento e Gestão, Atlas 2001.

MOTTA, Sá. et al. Manual da administração da produção, Getulio Vargas.

CHASE, Richard B. Administração da Produção para vantagem competitiva, Mc Graw Hill 2006.

PALADINI, Edson P. Gestão da Qualidade Teoria e Casos, Campus.

WEBSTER, Allen L. Estatística Aplicada à administração e Economia, Mc Graw Hill 2006.

COELHO, Flávio U. Curso Básico de Cálculo, Saraiva 2005.


a- O: p= x + 2 Onde: p – preço praticado pelo mercado, é a variável dependente. D: p= -3x +10 x – quantidade de produtos ofertados ou demandados

b- O: p= x + 1 Onde: p – preço praticado pelo mercado, é a variável dependente. D: p= -2x +8 x – quantidade de produtos ofertados ou demandados


MEDEIROS, Matemática para os cursos de Administração, Economia e Ciências Contábeis, Atlas.

BRUNI, Adriano L. Estatística Aplicada À Gestão Empresarial, Atlas.


técnicas matemáticas para análise de funções da economia

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