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TEXTO DE APOIO - MATEMÁTICAS GERAIS

Matemática A - 10.º Ano Geometria I e Funções I de Maria Augusta Ferreira Neves, Luís Guerreiro, António Leite, Armando Neves Editora: Porto Editora ISBN-13: 978-972-0-42061-9 Última Edição: Julho de 2007

Matemática A - 11.º Ano (1.ª, 2.ª E 3.ª Partes) Geometria II, Funções II e Sucessões de Maria Augusta Ferreira Neves, Luís Guerreiro, Ana Moura Editora: Porto Editora ISBN-13: 978-972-0-42048-0 Última Edição: Fevereiro de 2007

Matemática A - 12.º Ano Funções III e Trigonometria de Maria Augusta Ferreira Neves, Luís Guerreiro, Ana Moura Editora: Porto Editora ISBN-13: 978-972-0-42049-7 Última Edição: Maio de 2007

Sendo necessário ter em conta que esta disciplina tem um carácter propedêutico, servindo fundamentalmente para fornecer uma preparação matemática de base a estudantes cuja formação prévia seja considerada insuficiente e dado o carácter elementar e introdutório desta disciplina, não existem pré-requisitos. O objectivo desta disciplina é garantir um domínio das noções de função real de variável real e suas propriedades (continuidade e diferenciabilidade, em particular), limites, sucessões e geometria euclidiana.

Os manuais adoptados correspondem à versão corrente dos livros escolares dos 10º, 11º e 12º de Matemática A da Porto Editora.

No essencial qualquer edição desde meados dos anos 90 pode ser utilizada.Para esse efeito indicamos seguidamente os índices dos vários volumes da última edição.

● Do 10º utilizaremos apenas os volumes intitulados Geometria I e Funções I.

● Do 11º utilizaremos os 3 volumes, Geometria II, Funções II e Sucessões; o último capítulo de Geometria II, sobre programação linear, não faz parte do programa.

● Do 12º utilizaremos apenas os volumes intitulados Funções III e Trigonometria; os 2 últimos capítulos de Trigonometria, sobre variável complexa, não fazem parte do programa.

Visto que o material de estudo está disperso por 7 livros aconselha-se vivamente o estudante a entrar em contacto com o docente da disciplina antes de começar o estudo desta disciplina, por e-mail ou por via telefónica.

Parafraseando o Prof. João Araújo:

“Todos os alunos devem saber que o segredo do sucesso na Universidade Aberta está num estudo consciencioso, esforçado, regular, e recorrendo frequentemente ao professor , quer através do telefone, quer por email, carta, fax, etc. A regra geral (empírica!) é esta: passa quem contacta o professor.”

Para os estudantes que possuem edições anteriores anexa-se de seguida o índice dos 7 volumes pela seguinte ordem: Geometria I, Funções I, Geometria II, Funções II, Sucessões, Funções III e Trigonometria.

índiceCAPÍTULOS

• Depois do estudo deste capítulo deve ser capaz de... 39• Nota histórica 40• Introdução 411. Pavimentação 442. Perímetros e áreas 50

2.1 Rectângulo 502.2 Triângulo 512.3 Paralelogramo 512.4 Trapézio 512.5 Circunferência e círculo 51

3. Volumes 573.1 Cubos e paralelepípedos 573.2 Prismas 573.3 Cilindros 583.4 Pirâmides e cones 583.5 Esfera 58

4. Planificação da superfície de sólidos. Perspectiva cavaleira 625. Problemas geométricos que fazem parte da História 64

5.1 A duplicação do cubo 645.2 Os sólidos platónicos 64

6. Visualização no espaço 686.1 Triângulos 686.2 Quadriláteros 686.3 Pentágonos e hexágonos 69

• Actividades complementaresQuestões de escolha múltipla 72...resolver...aplicar...investigar... 74

RESOLUÇÃO DE PROBLEMASDE GEOMETRIA NO PLANO ENO ESPAÇO

1

• Depois do estudo deste capítulo deve ser capaz de... 13

1. Introdução: a matemática no quotidiano 14

2. Cálculos com números 16

3. Expressões algébricas e problemas 26

4. Resolução de problemas 28• Actividades complementares

Questões de escolha múltipla 34...resolver...aplicar...investigar... 36

MÓDULO INICIAL

• Depois do estudo deste capítulo deve ser capaz de... 77• Introdução ao estudo da geometria analítica 781. Pontos no plano 802. Condições no plano. Recta horizontal e vertical 813. Condições no plano. Semiplano fechado e semiplano aberto 844. Condições no plano: negação, conjunção e disjunção de

condições em R2 865. Condições no plano: primeiras leis de De Morgan 906. Simetrias no plano 927. Coordenadas no espaço 958. Planos coordenados. Planos perpendiculares aos eixos 979. Pontos e rectas no espaço 9910. Simetrias no espaço 103• Actividades complementares


REFERENCIAIS NO PLANO ENO ESPAÇO. CONDIÇÕES NOPLANO E NO ESPAÇO

2

www.portoeditora.pt/manuais

• Depois do estudo deste capítulo deve ser capaz de... 113• Introdução 1141. Distância entre dois pontos no plano 1162. Distância entre dois pontos no espaço 1183. Circunferência e círculo 1204. Superfície esférica e esfera 1265. Mediatriz e plano mediador de um segmento de recta 1286. Elipse 130• Actividades complementares


DISTÂNCIA ENTRE DOIS PON-TOS. LUGARES GEOMÉTRICOSNO PLANO E NO ESPAÇO

3• Depois do estudo deste capítulo deve ser capaz de... 145• Introdução 1461. Vectores no plano 148

1.1 Direcção e sentido 1481.2 Segmento de recta orientado 1491.3 Vector no plano 1501.4 Regra do paralelogramo. Vector soma de dois vectores 151

2. Coordenadas e componentes de um vector no plano.Representação de um vector no plano 153

2.1 Coordenadas do vector no plano 1532.2 Componentes de um vector 154

3. Coordenadas e componentes de um vector no espaço 1554. Vectores e operações com vectores 157

4.1 Igualdade de dois vectores 1574.2 Vector como diferença de dois pontos 1574.3 Soma de dois vectores 1594.4 Produto de um número real por um vector 1604.5 Diferença de dois vectores 1614.6 Norma de um vector 1614.7 Vectores colineares 162

5. Ponto médio de um segmento de recta no plano e no espaço 1646. Resolução de problemas usando a geometria vectorial 166• Actividades complementares


VECTORES LIVRES NO PLANOE NO ESPAÇO

4

• Depois do estudo deste capítulo deve ser capaz de... 177• Introdução 1781. Declive de uma recta 180

1.1 Equação de uma recta dados um ponto e o declive 1831.2 Equação de uma recta dados dois dos seus pontos 1841.3 Equação reduzida de uma recta 1851.4 Rectas horizontais, rectas verticais e bissectrizesdos quadrantes 187

2. Rectas paralelas e rectas concorrentes 1883. Aplicação do estudo da recta 1904. Domínios planos 1925. Equação vectorial da recta 194• Actividades complementares


RECTAS NO PLANO5


índiceCAPÍTULOS

• Depois do estudo deste capítulo deve ser capaz de... 8• Introdução ao estudo das funções 11

1. Conceito de função 131.1. Noção intuitiva de função 131.2. Conjuntos numa função 151.3. Definição de função 171.4. Função real de variável real 181.5. Modos de representação de uma função 19

2. Gráfico e representação gráfica de uma função 212.1. Gráfico e representação gráfica 212.2. Teste da recta vertical 232.3. Gráficos e calculadoras gráficas 26

3. Pontos notáveis do gráfico de uma função 283.1. Intersecção do gráfico com os eixos coordenados 283.2. Extremos de uma função 303.3. Monotonia de uma função 333.4. Tabela de variação de uma função 363.5. Conceito intuitivo de continuidade. Comportamento de função

para valores extremos da variável independente 36

4. Função afim 38• Actividades complementares


FUNÇÕES E GRÁFICOS

1

• Depois do estudo deste capítulo deve ser capaz de... 55• Introdução ao estudo das transformações de funções 571. Deslocação do gráfico de uma função 591.1. Translacção vertical 591.2. Translação horizontal 611.3. Translação horizontal e vertical: generalização 62

2. Expansão e contracção do gráfico de uma função na vertical 642.1. Expansão na vertical: c > 1 642.2. Contracção na vertical: 0 < c < 1 64

3. Expansão e contracção do gráfico de uma função na horizontal 653.1. Expansão na horizontal: 0 < c < 1 653.2. Contracção na horizontal: c > 1 65

4. Expansão e contracção do gráfico de uma função: generalização 664.1. Expansão e contracção na vertical 664.2. Expansão e contracção na horizontal 66

5. Simetrias do gráfico de uma função. Função par e função ímpar 685.1. Simetria em relação ao eixo dos yy. Função par 685.2. Simetria em relação ao eixo dos xx 715.3. Simetria em relação à origem do referencial. Função ímpar 72• Actividades complementares


TRANSFORMAÇÕES E SIMETRIAS DO GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO

2


• Depois do estudo deste capítulo deve ser capaz de... 79• Introdução ao estudo da função quadrática 80

1. Função quadrática. Domínio e gráfico 82

2. Concavidade do gráfico de uma função quadrática 83

3. Intersecção do gráfico de uma função quadrática comos eixos coordenados 84

3.1. Intersecção da parábola com o eixo dos yy 843.2. Intersecção da parábola com o eixo dos xx 86

4. Aplicação do conhecimento dos pontos de intersecção deuma função quadrática com o eixo dos xx 92

5. Outras propriedades da função quadrática. Contradomínio,vértice e eixo de simetria da parábola 96

6. A função quadrática em contexto real 104

7. Parábolas 110• Actividades complementares


FUNÇÕES QUADRÁTICAS

3

• Depois do estudo deste capítulo deve ser capaz de... 123• Introdução ao estudo da função módulo 124

1. Função módulo. Gráfico e propriedades 1261.1. Função módulo 1261.2. Representação gráfica 126

2. Gráfico da função y = |f(x)| 128

3. Funções com módulos 1303.1. Condições envolvendo módulos 1303.2. Funções definidas por ramos 1323.3. Conjuntos e condições no plano 134• Actividades complementares


FUNÇÃO MÓDULO

4• Depois do estudo deste capítulo deve ser capaz de... 143• Introdução ao estudo das funções polinomiais 1451. Polinómios. Terminologia e operações 1471.1. Terminologia 1471.2. Adição, subtracção e multiplicação de polinómios 1492. Funções polinomiais e respectivos gráficos 1512.1. Definição de função polinomial 1512.2. Gráficos de funções polinomiais 1523. Propriedades das funções polinomiais 1533.1. Contradomínio das funções polinomiais 1533.2. Zeros de uma função polinomial 1554. Zeros de um polinómio 1624.1. Divisão inteira de polinómios 1634.2. Regra de Ruffini 1654.3. Teorema do Resto 1684.4. Factorização de um polinómio 1704.5. Resolução de inequações de grau superior ao segundo 175• Actividades complementares


FUNÇÕES POLINOMIAIS

5


índiceCAPÍTULOS


1. Razões trigonométricas de um ângulo agudo. Uso da calculadora 14

2. Razões trigonométricas de 30º, 45º e 60º 18

3. Resolução de problemas usando as razões trigonométricas 20

4. Fórmulas trigonométricas 26• Problemas resolvidos (complementares) 31• Problemas propostos 34

Trigonometria. Nota histórica e curiosidades 10

RESOLUÇÃO DE PROBLEMASENVOLVENDO TRIÂNGULOS

1


1. Medidas de ângulos. O radiano 42

2. Razões trigonométricas de um ângulo qualquer 46

3. Relação entre as razões trigonométricas de ângulos diferentes 52

4. Funções trigonométricas 57

5. Equações trigonométricas 64• Problemas resolvidos (complementares) 72• Problemas propostos 78

ÂNGULO E ARCO GENERALIZADO.FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS.RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

2


1. Vectores no plano e no espaço (revisão) 86

2. Produto escalar no plano 90

3. Propriedades do produto escalar 95

4. Expressão analítica do produto escalar 96

5. Aplicações do produto escalar na trigonometria 98

6. Aplicações do produto escalar na geometria 100

7. Produto escalar no espaço 102• Problemas resolvidos (complementares) 104• Problemas propostos 106

PRODUTO ESCALAR NO PLANO ENO ESPAÇO

3

8


1. Declive de uma recta. Equação de uma recta dados um ponto e o declive 112

2. Equação vectorial de uma recta 116

3. Ângulo de duas rectas. Rectas perpendiculares 117

4. Posição relativa de duas rectas no plano 126

5. Problemas de distâncias no plano 129• Problemas resolvidos (complementares) 132• Problemas propostos 134

COMPLEMENTOS DE GEOME-TRIA ANALÍTICA NO PLANO

4• Depois do estudo deste capítulo deve ser capaz de... 137

1. Plano e recta no espaço (revisão) 138

2. Equação de uma recta no espaço 139

3. Ângulo de duas rectas no espaço 142

4. Equação cartesiana de um plano 143

5. Paralelismo e perpendicularidade no espaço 148

6. Intersecção de dois planos. Ângulos de dois planos 151

7. Intersecção de uma recta com um plano. Ângulo de uma recta com um plano 153

8. Distâncias no espaço 155

9. Posição relativa de três planos. Resolução de sistemas de três equações com três incógnitas 156

• Problemas resolvidos (complementares) 161• Problemas propostos 170

COMPLEMENTOS DE GEOME-TRIA ANALÍTICA NO ESPAÇO

5


1. Introdução. Nota histórica 176

2. Sistemas de inequações e programação linear 177

3. Aplicações da programação linear 180• Problemas resolvidos (complementares) 191• Problemas propostos 192

INTRODUÇÃO AO ESTUDO DAPROGRAMAÇÃO LINEAR

6

9


Nota histórica 124

1. Taxa de variação de uma função e taxa média de variação de uma função 126

2. Taxa de variação instantânea (ou taxa de variação) de uma função. Derivada de uma função num ponto 128

3. A calculadora gráfica na determinação da derivada de uma função num ponto 130

4. Derivada de algumas funções racionais e irracionais 132

5. Significado geométrico da derivada de uma função num ponto 134

6. Sentido da variação de uma função e derivada 136

7. Extremos de uma função e derivada 138

• Problemas resolvidos 143

• Problemas propostos 148

TAXA MÉDIA DE VARIAÇÃO E TAXA DE VARIAÇÃO DE UMA FUNÇÃO. CÁLCULO DA DERIVADA DE ALGUMAS FUNÇÕES

4

índiceCAPÍTULOS


1. Funções racionais. Definição, domínio e gráfico de uma função racional 14

2. Assimptotas do gráfico de uma função racional 18

3. Gráfico de uma função racional 20

4. Funções racionais com uma assimptota oblíqua 22

5. Aplicações das funções racionais na resolução de problemas em contexto real 24

6. Complementos sobre cálculo com expressões racionais 32

7. Hipérbole 41



FUNÇÕES RACIONAIS

1


1. Igualdade de duas funções 90

2. Soma, diferença, produto e quociente de funções 91

3. Função composta de duas funções 98

4. Função injectiva. Função inversa de uma função injectiva 104

5. Restrição de uma função a um intervalo 111


• Problemas propostos 114OPERAÇÕES COM FUNÇÕES.RESOLUÇÃO DE PROBLEMASENVOLVENDO FUNÇÕES

3


Introdução 62

1. Radicais 63

2. Funções irracionais. Gráfico de uma função irracional 68

3. Equações e inequações irracionais 72

4. Aplicação de funções irracionais na resolução de problemas geométricos em contexto real 76


• Problemas propostos 82FUNÇÕES IRRACIONAIS.RADICAIS

2

5


1. Noção intuitiva de limite de uma sucessão 66

2. Limites infinitos 68

3. Classificação das sucessões quanto à existência e natureza do limite 71

4. Subsucessão de uma sucessão 73

5. Teoremas e propriedades sobre sucessões 74

6. Teoremas sobre sucessões convergentes 77

7. Operações com sucessões convergentes 79

8. Operações com limites infinitos 83

9. Indeterminações 86

10. Estudo da sucessão (an), a å R 90

11. Soma dos termos de uma progressão geométrica 92

12. O número de Neper 94

13. Indução matemática 101



LIMITES DE SUCESSÕES

3

índiceCAPÍTULOS


1. Sucessões. Definições 12

2. Sucessões monótonas 17

3. Sucessões limitadas 20

• Problemas resolvidos (complementares) 24


SUCESSÕES. SUCESSÕES MONÓTONAS. SUCESSÕES LIMITADAS

1• Depois do estudo deste capítulo deve ser capaz de... 37

1. Progressões aritméticas 38

2. Progressões geométricas 47



PROGRESSÕES ARITMÉTICAS E PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS

2

Notas históricas e curiosidades 63

índiceCAPÍTULOS

1.1 Introdução ao estudo das funções exponenciais. Definição de função exponencial 10

1.2 Propriedades das funções exponenciais 14

1.3 Equações exponenciais 15

1.4 Transformações do gráfico de uma função exponencial 16

1.5 Aplicação das funções exponenciais na modelação de situações reais 17

1.6 Função exponencial de base e 18

1.7 Definição de função logarítmica 20

1.8 Logaritmos com bases especiais 22

1.9 Propriedades das funções logarítmicas 23

1.10 Transformações do gráfico de funções logarítmicas 26

1.11 Propriedades operatórias dos logaritmos 27

1.12 Equações exponenciais e logarítmicas 30

1.13 Resolução de inequações com exponenciais ou logaritmos 33

1.14 Inversa de uma função exponencial ou de uma função logarítmica 34

1.15 Aplicação das funções exponenciais e logarítmicas na modelação de situações reais 36

Problemas Propostos 40

Avaliação 50

FUNÇÕES EXPONENCIAIS EFUNÇÕES LOGARÍTMICAS

12.1 Noção intuitiva de limite 52

2.2 Limites laterais 54

2.3 Definição de limite segundo Heine 58

2.4 Regras operatórias com limites 61

2.5 Limites e infinitos. Cálculo de limites 62

2.6 Indeterminações 68

2.7 Limites de funções envolvendo exponenciais e logaritmos 74

2.8 Limites de sucessões (revisão) 79


Avaliação 94

LIMITES. CÁLCULO DE LIMITESDE FUNÇÕES E DE SUCESSÕES

23.1 Continuidade de uma função num ponto 96

3.2 Continuidade lateral 99

3.3 Continuidade de uma função num intervalo 103

3.4 Operações com funções contínuas 105

3.5 Teorema de Bolzano-Cauchy 106

3.6 Determinação das assimptotas do gráfico de uma função 110


Avaliação 126CONTINUIDADE DE UMA FUNÇÃO

3

6

4.1 Introdução ao conceito de derivada. Definição de derivada. Significado geométrico de derivada 128

4.2 Derivadas laterais 136

4.3 Referências a pontos nos quais a função não é derivável 140

4.4 Derivabilidade e continuidade 143

4.5 Função derivada 145

4.6 Derivada de uma função constante 146

4.7 Derivada de uma função afim 147

4.8 Derivada do produto de uma constante por uma função 148

4.9 Derivada da soma e da diferença de duas funções 149

4.10 Derivada de uma potência 150

4.11 Derivada de funções polinomiais 151

4.12 Derivada de um produto de funções 153

4.13 Derivada de um quociente de funções 155

4.14 Derivada de funções compostas 156

4.15 Derivada de funções exponenciais e logarítmicas 157

4.16 Função segunda derivada 161


Avaliação 176DERIVADAS

45.1 Função estritamente crescente e função estritamente

decrescente (revisão) 178

5.2 Extremos de uma função (revisão) 180

5.3 Intervalos de monotonia e primeira derivada de uma função (revisão) 183

5.4 Máximos e mínimos absolutos e primeira derivada da função 185

5.5 Extremos relativos e primeira derivada de uma função 188

5.6 Concavidade e segunda derivada de uma função 191

5.7 Teste da segunda derivada 195

5.8 Estudo de funções 197

5.9 Problemas de optimização 207


Avaliação 226APLICAÇÕES DAS DERIVADAS

5Calculadoras gráficas 228

Soluções 237

7

índiceCAPÍTULOS

1.1 Medidas de ângulos: o grau e o radiano 10

1.2 As razões trigonométricas num triângulo rectângulo 16

1.3 As razões trigonométricas de ângulos especiais 17

1.4 A calculadora gráfica e as razões trigonométricas 18

1.5 Resolução de problemas envolvendo as razões trigonométricas 20

Problemas propostos 26

Avaliação 34

INTRODUÇÃO AO ESTUDO DATRIGONOMETRIA. RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NOTRIÂNGULO RECTÂNGULO (Revisão)

1

2.1 Ângulo orientado 36

2.2 Ângulo num referencial 37

2.3 Generalização da noção de ângulo 37

2.4 Definição das razões trigonométricas de um ângulo qualquer 40

2.5 Linhas trigonométricas 42

2.6 Sinal das razões trigonométricas 43

2.7 Razões trigonométricas dos ângulos

0º (0) , 90º 1}2π

}2 , 180º (π) e 270º 1}32π}2 . 43

2.8 Redução ao 1.° quadrante 45


Avaliação 54

GENERALIZAÇÃO DA NOÇÃO DE ÂNGULO. RAZÕES TRIGONO-MÉTRICAS DE UM ÂNGULOQUALQUER (Revisão)

2

3.1 Funções trigonométricas como funções reais de variável real 56

3.2 Gráficos de funções trigonométricas 57

3.3 Estudo intuitivo das funções trigonométricas 58

3.4 Transformações dos gráficos das funções trigonométricas 62

3.5 Aplicação das funções trigonométricas na modelação de situações reais 67

3.6 Utilização da calculadora na modelação de funções cujo gráfico é uma sinusóide 70


Avaliação 80

FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICASCOMO FUNÇÕES REAIS DEVARIÁVEL REAL. UTILIZAÇÃO DASFUNÇÕES TRIGONOMÉTRICASNA MODELAÇÃO DE SITUAÇÕESREAIS

3

6

4.1 Equações trigonométricas 82

4.2 Fórmula fundamental da trigonometria 90

4.3 Fórmulas trigonométricas do seno, co-seno e tangente da soma e da diferença de dois ângulos 94

4.4 Razões trigonométricas do ângulo duplo 96


Avaliação 102

EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS.FÓRMULAS TRIGONOMÉTRICAS

45.1 Estudo intuitivo do lim

x " 0}sin

xx

} 104

5.2 Derivada das funções trigonométricas 108

5.3 Resolução de problemas envolvendo a derivada de funções trigonométricas 112


Avaliação 130DERIVADA DAS FUNÇÕES TRIGO-NOMÉTRICAS

56.1 Evolução do conceito de número. O conjunto dos números

complexos 134

6.2 Representação geométrica de um número complexo. Complexos conjugados e complexos simétricos. 137

6.3 Operações com números complexos 139

6.4 O número i como operador da rotação de 90° 143

6.5 Raízes complexas de uma equação do 2.° grau 145

6.6 Módulo e argumento de um número complexo 146

6.7 Forma trigonométrica de um número complexo 148

6.8 Operações com números complexos na forma trigonométrica 150

6.9 Construção geométrica das raízes de uma equação em C 156

6.10 Translação e rotação no plano de Argand 160


Avaliação 168

NÚMEROS COMPLEXOS. FORMAALGÉBRICA E FORMA TRIGONO-MÉTRICA

67.1 Operações com condições e com conjuntos (Revisão) 170

7.2 Conjuntos definidos por condições envolvendo números complexos 175


Avaliação 184

Calculadoras gráficas 186

Soluções 194

Bibliografia 207

DOMÍNIOS PLANOS E CONDIÇÕESEM VARIÁVEL COMPLEXA

7

7

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