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ALINE NEVES GOMES

Proposta de Seqüência Didática com Secção Áurea: Geometria dinâmica e arquitetura

Trabalho de Conclusão de Curso apresentado como requisito parcial para a obtenção de título de Licenciatura em Matemática, Universidade do Estado do Pará. Orientador: Prof. MSc. Antônio José Barros Neto

Belém 2009

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) Biblioteca do Centro de Ciências Sociais e Educação da UEPA

Gomes, Aline Neves

Proposta de Seqüência Didática com Secção Áurea: Geometria dinâmica e arquitetura / Aline Neves Gomes, orientação de Antônio José Barros Neto. Belém, 2009. Trabalho de Conclusão de Curso (Licenciatura Plena em Matemática) –

Universidade do Estado do Pará. Belém, 2009. 1. Geometria – Estudo e Ensino 2. Matemática I. Título.

CDD: 21 ed. 516.007

ALINE NEVES GOMES

Proposta de Seqüência Didática com Secção Áurea: Geometria dinâmica e arquitetura

Trabalho de Conclusão de Curso apresentado como requisito parcial para a obtenção de titulo de Licenciatura em Matemática, Universidade do Estado do Pará.

Data da aprovação: 05 de Fevereiro de 2009

Banca Examinadora

______________________________- Orientador

Prof. Antônio José Barros Neto Mestre em Ciência da Computação pelo Centro de Informática (CIn) da UFPE Universidade do Estado do Pará

______________________________

Prof. Pedro Franco de Sá

______________________________

Prof. Weber da Silva Mota

Ao meu Deus.

Fonte de toda sabedoria e conhecimento.

Único digno de louvor, honra e glória.

AGRADECIMENTOS

Ao Deus de toda terra, amor inexplicável, fui perdoada, estou viva, fui

restaurada, liberta, tocada pelo Seu espírito e guiada pela Sua palavra, pelo amor

que nunca falha. Por que sei que deu ao mundo o Seu filho único para que

conhecêssemos o Seu nome, e vivêssemos o amor do Salvador, Ele tomou o meu

lugar, sabendo que seria crucificado, mas me amou mesmo indigna. É a minha

força, é a minha esperança, que com Seu poder e misericórdia me levanta, e faz me

andar sobre os oceanos mais profundos. Eu dou a minha vida para honrar o amor de

Cristo, pois tudo que tenho, tudo que sou e o que vier a ser vem Dele.

A minha amada mãe Ivanete, minha amiga e companheira, minha

inspiração de vida, meu grande amor. Ao meu pai Adelson, a quem eu amo

sinceramente. Aos meus irmãos, Alessandra, Júnior, Felipe, Emmily, Ana e Soyane

pelo apoio, incentivo e força.

A toda minha família, mesmo os mais distantes, por toda colaboração

para a conclusão do meu curso, em especial meus avós Arão, Lourdes e Antônio,

minha tia Uilza e Marilene e minhas primas Marisa, Marília, Jene, Suzane e Karina.

Aos meus amigos do curso de matemática, pelas madrugadas, pelos

trabalhos, pelo apoio, mesmo nas horas mais difíceis me fizeram acreditar que eu

conseguiria concluir o curso, e demonstraram que juntos resistimos. Somos mais

que vencedores e o nosso diploma é mais do que merecido.

Ao Diego Rodrigo e Andrique pela compreensão, pela força e amizade.

Aos que não completaram o curso por colaborarem de alguma forma para

que eu chegasse ao final.

Ao meu orientador professor Antônio José Barros, pela compreensão, por

aceitar minhas idéias, por me ouvir e me ajudar.

Aos outros amigos da universidade estadual que de alguma forma,

contribuíram para a minha formação, seja em projetos, revisando trabalhos ou me

ouvindo.

A família Hoshino pela amizade e apoio. A família Mello por me ajudarem

sempre. A família Dias pelas orações.

Aos amigos de arquitetura pelas brincadeiras que me fazem sorrir mesmo

nos piores momentos, especialmente ao Daniel, Lucas e Monique, pelas longas

conversas e por me agüentarem quando ninguém agüentava. Aos professores de

arquitetura pelas orientações que inspiraram este trabalho, especialmente José

Bassalo, Thais Sanjad e Juliano Ximenes, exemplo de profissionais e grandes

mestres.

Aos amigos da Secult, grandes chefes, que me ensinam ser uma

profissional competente de forma descontraída, em especial a Myrian Maia, pelas

orientações e a Mena Mata, exemplo de vida e alegria e por acreditar no meu

potencial.

Aos amigos da Igreja Evangélica Assembléia de Deus, por me ajudarem

sendo os grandes pilares da minha vida, em especial ao Levy André, meu grande

irmão e ao Grupo Adoração Viva.

A Universidade do Estado do Pará e aos seus funcionários, destacando-

se a Eunice, pela compreensão e ajuda em qualquer situação.

Aos professores pelo auxilio na formação acadêmica, em especial a

Acylena Coelho, Natanael Freitas e Mário Thomás, por colaborarem com este

trabalho e pelos conselhos que me fizeram ver que somos os responsáveis pela

quebra de paradigmas e assim pelas mudanças na educação.

A todos que não lembrei neste momento de colocar aqui, mas que estão

guardados nas minhas lembranças.

Você precedeu a criação, eternidade em suas

mãos, toda a minha vida falou em motivação,

minha alma vai resistir.

Você agüentou a minha derrota, carregou a cruz

por minha vergonha, meu pecado pesou sobre

Seus ombros, minha alma vai resistir.

E o que posso dizer, o que posso fazer, além de

oferecer este coração, inteiramente a Você.

Caminharei na salvação, Seu Espírito vivo em

mim, a vida a fortalecer Sua promessa, minha vai

resistir.



Vou resistir, braços ao alto, coração abandonado,

em respeito ao Único que tudo deu.

Vou resistir, minha alma entregue para Ti Senhor,

tudo o que sou é Seu.



Hillsong

GOMES, Aline Neves. Proposta de Seqüência Didática com Secção Áurea 73

RESUMO

GOMES, Aline Neves. Proposta de Seqüência Didática com Secção Áurea: Geometria dinâmica e arquitetura. 2009. 81 f. Trabalho de Conclusão de Curso (Licenciatura em Matemática) – Universidade do Estado do Pará, Belém, 2009. O trabalho apresenta uma proposta de seqüência didática para o tema de secção áurea a ser executada por meio do software de geometria dinâmica Cabri II Plus utilizando imagens digitais de fachadas de prédios que sofreram alguma intervenção do arquiteto italiano Antônio Landi como área de desenho ou zona de trabalho para as construções geométricas. Para tanto foi estudada a relação entre matemática e arquitetura, em especial a secção áurea, a forma como os livros didáticos e livros de educação matemática abordam esta relação e a utilizam no ensino de determinado domínio da matemática bem como a importância da utilização de geometria dinâmica para promover a construção do conhecimento. Acredita-se que o uso adequado de software educacional tem uma influência direta na formação do senso crítico e investigativo do aluno, e ainda que o uso de temas que fazem parte do cotidiano do aluno pode contribuir substancialmente para o processo de ensino aprendizagem. A proposta envolve aspectos históricos, técnicos e matemáticos, que estimulam o aprendizado com o objetivo de conduzir o aluno a construir a definição de secção áurea e a investigar suas aplicações em alguns exemplos da arquitetura da cidade de Belém, mostrando que é possível aplicar uma seqüência didática que torne a geometria menos abstrata demonstrando a utilidade da secção áurea desde que o professor esteja disposto a utilizar métodos diferentes de ensino e aprendizagem. Palavras-chave: Secção Áurea. Geometria Dinâmica. Educação. Arquitetura. Landi.


ABSTRACT

GOMES, Aline Neves. Proposta de Seqüência Didática com Secção Áurea: Geometria dinâmica e arquitetura. 2009. 81 f. Trabalho de Conclusão de Curso (Licenciatura em Matemática) – Universidade do Estado do Pará, Belém, 2009. The work presents a proposal of didactic sequence for the theme of golden section to be executed by means of the software of dynamic geometry Cabri II Plus using digital images of facades of buildings that suffered some intervention of the Italian architect Antônio Landi as drawing area or work zone for the geometric constructions. For so much it was studied the relationship between mathematics and architecture, especially the golden section, the form as the didactic books and books of mathematical education approach this relationship and they use it in the teaching certain domain of the mathematics as well as the importance of the use of dynamic geometry to promote the construction of the knowledge. It is believed that the adapted use of educational software has a direct influence in the formation of the student's critical and investigative sense, and although the use of themes that you/they are part of the daily of the student can contribute substantially to the process of teaching learning. The proposal involves historical aspects, technicians and mathematical, that stimulate the learning with the objective of driving the student to build the definition of golden section and to investigate its applications in some examples of the architecture of the city of Belém, showing that is possible to apply a didactic sequence that turns the less abstract geometry demonstrating the usefulness of the golden section since the teacher is arranged to use methods different from teaching and learning. Key-words: Golden Section. Dynamic geometry. Education. Architecture. Landi.


LISTA DE ILUSTRAÇÕES

Imagem 01 - Semelhanças matemáticas na natureza 15

Imagem 02 - Segmentos da definição de secção áurea 17

Imagem 03 - Série de Fibonacci no molusco náutico 18

Imagem 04 - Retângulo áureo 19

Imagem 05 - Desenho do retângulo de ouro ABED 19

Imagem 06 - Análise gráfica do uso de secção áurea na fachada do

Partenon 20

Imagem 07 - Análise gráfica do uso de secção áurea na fachada de

Santa Maria de Novella 21

Imagem 08 - Homem Vitruviano 22

Imagem 09 - Retângulo de ouro na Mona Lisa 22

Imagem 10 - Modulor de Le Corbusier 23

Imagem 11 - Espaço ocupado por uma pessoa segundo o modulor de Le

Corbusier 24

Imagem 12 - Planta baixa do projeto Museu Mundial de Le Corbusier 25

Imagem 13 - Catedral Metropolitana de Belém 26

Imagem 14 - Igreja de Santo Alexandre 27

Imagem 15 - Casa das Onze janelas 28

Imagem 16 - Comparações de elementos da planta baixa com elementos

geométricos 30

Imagem 17 - Altura da tesoura de acordo com a largura do vão 31

Imagem 18 - Proporcionalidades no corpo humano 33

Imagem 19 - Construção da espiral logarítmica 33

Imagem 20 - Seqüência de retângulos áureos 36

Imagem 21 - Corpo humano e medidas em razão áurea 37

Imagem 22 - Traçado da circunferência 48

Imagem 23 - Prolongamento dos lados do quadrado 49

Imagem 24 - Reta perpendicular 50

Imagem 25 - Marcação dos vértices do retângulo 50

Imagem 26 - Segmento a serem medidos 51

Imagem 27 - Complexo Feliz Lusitânia 54


Imagem 28 - Fachada inserida em um retângulo 56

Imagem 29 - Identificação dos retângulos áureos 57

Imagem 30 - Traçado de bissetrizes 58

Imagem 31 - Demonstração geométrica do retângulo áureo 59

Imagem 32 - Identificação dos retângulos áureos 60

Imagem 33 - Demonstração geométrica do retângulo áureo 62

Imagem 34 - Retângulo áureo 01 da Igreja de Santo Alexandre 63











Imagem 45 - Retângulo áureo 01 da Catedral Metropolitana de Belém 69













SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO 12

2 MATEMÁTICA E ARQUITETURA 14

2.1 Secção Áurea 16

2.2 Antônio Landi 25

3 ATIVIDADES MATEMÁTICAS ENVOLVENDO ARQUITETURA 29

3.1 Exemplo de Atividade Envolvendo Arquitetura 29

3.2 Exemplo de Atividade Envolvendo Secção Áurea 32

3.3 Livros Didáticos e Atividades com Secção Áurea 34

4 GEOMETRIA DINÂMICA 38

4.1 Informática e Educação Matemática 38

4.2 Conceito de Geometria Dinâmica 41

4.3 Cabri II Plus 43

5 PROPOSTA DE SEQUENCIA DIDÁTICA 45

5.1 Primeira etapa: Conceito de secção áurea 47

5.1.1 Atividade 01: A forma geométrica perfeita 47

5.1.2 Atividade 02: Construção de um retângulo áureo 47

5.1.3 Atividade 03: Análise das proporções no retângulo áureo 51

5.1.4 Observações 52

5.1.5 Resultados esperados 52

5.2 Segunda etapa: Análise de fachadas 53

5.2.1 Atividade 04: Visita monitorada 53

5.2.2 Atividade 05: Medindo a fachada da Casa das Onze janelas 54

5.2.3 Atividade 06: Análise da fachada da Casa das Onze Janelas 57

5.2.4 Atividade 07: Medindo uma janela da Casa das Onze Janelas 59

5.2.5 Atividade 08: Análise de uma janela da Casa das Onze Janelas 60

5.2.6 Atividade 09: Análise da fachada da Igreja de Santo Alexandre 62

5.2.7 Atividade 10: Análise da fachada da Catedral Metropolitana de Belém 68

5.2.8 Observações 75

5.2.9 Resultados esperados 75

6 COCLUSÃO 76

REFERÊNCIAS 78


1 INTRODUÇÃO

A matemática muitas vezes é vista pelos alunos como uma disciplina

muito abstrata, não conseguindo relacioná-la com algo do seu cotidiano. No entanto,

pesquisas no campo da educação matemática buscam torná-la mais palpável e

acessível aos alunos, facilitando assim a matemática. Um tópico que pode ser

extremamente abordado relacionando-o com o cotidiano é a geometria pelas suas

aplicações em diversas áreas, como exemplo na arquitetura, pois nesta área desde

o processo de concepção até a execução a geometria é explorada. Existem

inúmeras relações que envolvem a geometria e a arquitetura, entre elas destaca-se

neste trabalho a secção áurea, muito utilizada por arquitetos, matemáticos,

escultores e pintores ao longo dos séculos por representar a expressão máxima de

beleza.

Este trabalho teve como objetivo principal propor uma seqüência didática

que envolvesse o conceito de secção áurea tendo como ferramenta principal o

software de geometria dinâmica Cabri II Plus e utilizando imagens de fachadas de

alguns prédios que sofreram algum tipo de intervenção do arquiteto Giuseppe

Antônio Landi. A seqüência didática se destina aos alunos do ensino médio que já

tenham estudado números irracionais, sendo assim um exemplo de aplicação de um

número irracional, no entanto, com as devidas adaptações pode ser aplicadas a

alunos do ensino fundamental para o estudo de proporções.

Para tanto foi realizada uma pesquisa bibliográfica sobre informática na

educação matemática, o uso de software de geometria dinâmica, a influência da

matemática na arquitetura, modelos de proporções arquitetônicas e edifícios que

sofreram intervenção de Landi. Depois dessa etapa foi elaborado o projeto de

pesquisa que orientou a elaboração deste trabalho final organizando os conceitos e

objetivos a serem alcançados, traçando assim as diretrizes da pesquisa. Então

foram escolhidos os edifícios a serem usados como modelos para as atividades com

secção áurea. Foi feita uma consulta aos livros didáticos recomendados pelo

Ministério da Educação, para analisar a forma como é abordado o conceito de

secção áurea, além de livros que continham atividades matemáticas que

envolvessem arquitetura. Assim foram feitos os experimentos nas imagens das

fachadas dos prédios escolhidos utilizando o software de geometria dinâmica Cabri II

Plus, desenvolvendo uma seqüência didática para o ensino de secção áurea.


O trabalho está dividido em quatro capítulos começando com um pouco

da história da relação entre matemática e arquitetura, destacando a secção áurea e

o trabalho e a relevância de Landi para a cidade de Belém, seguido por exemplos e

análises de atividades matemáticas que envolvem arquitetura, citando as atividades

encontradas em alguns livros didáticos. O capítulo seguinte trata sobre a geometria

dinâmica, destacando a importância da informática na educação, definido e

caracterizando geometria dinâmica e descrevendo os principais recursos

disponibilizados no Cabri II Plus. E por fim, a proposta de seqüência didática para o

estudo de secção áurea.

O software Cabri II Plus foi escolhido pelo fato de permitir a inserção de

imagens digitais como fundo, podendo-se assim trabalhar construções sobre estas

imagens, no entanto existem outros softwares de geometria dinâmica que permitem

este tipo de manuseio.


2 MATEMÁTICA E ARQUITETURA

A matemática é o magistral edifício

imaginado pelo homem para

compreender o Universo. Nela encontra-

se o absoluto e o infinito, o apreensível e

o não-apreensível [...].

Le Corbursier1

Os sistemas matemáticos de proporção são o maior elo entre matemática

e a arquitetura. Eles se originaram do conceito pitagoriano que tudo é número, além

da crença de que as relações harmônicas do universo são manifestações de

relações numéricas. Sobre esta crença Thompson (apud SILVA, 1991, p. 53), afirma

que:

A definição matemática de uma forma tem uma qualidade de precisão que estava completamente ausente no nosso primitivo estágio de mera descrição; ela e expressa em poucos vocábulos ou em símbolos ainda mais breves, e estes vocábulos ou símbolos estão tão prenhes de significação que o próprio pensamento e economizado; somos trazidos, por meio dela, para a proximidade do aforisma de Galileu (tão antigo quanto Platão, tão antigo quanto Pitágoras, tão antigo quanto a sabedoria dos egípcios), segundo o qual ‘o livro da natureza é escrito com caracteres da Geometria’. (apud SILVA, 1991, p.53)

O centro de toda educação filosófica estava na matemática e na

geometria, pois as verdades matemáticas eram tidas como indiscutíveis, exatas e

intemporais. Para Silva (1999, p.57) os teoremas matemáticos descreviam o mundo

legítimo “[...] sendo as formas geométricas as manifestações por excelência da

beleza. Pois a geometria era a mais inequívoca expressão da lógica, a qual não

poderia estar alheia a beleza.”

Na arquitetura a busca pela harmonia no processo projetual vem da idéia

de que a beleza pode ser definida como integridade, harmonia e claridade. Como

para gregos a matemática podia expressar este tipo de beleza, a arquitetura por

meio de suas doutrinas foi conduzida para a matemática.

Essa harmonia defendida, veementemente pelos pitagóricos2, foi

expandida para diversas áreas do conhecimento, como a geometria, a mecânica

celeste, a biologia e a estética visual.

1 Apud POSSEBON, 2008, p. 60.


Silva (1991) defende que a matemática pregada por Pitágoras3 é muito

diferente da que se conhece hoje, os números sobrepujavam as relações e

transcrições quantitativas, sendo suas aplicações mais amplas do que as que se

entende atualmente. Os números eram estudados em sua essência qualitativa e

Pitágoras e outros filósofos da antiguidade estudaram e pesquisaram a natureza e

seus fenômenos minuciosamente com a finalidade de entender e explicar suas leis

morfogenéticas4, que para eles tinham como base a matemática e a geometria

(imagem 01).

Imagem 01: Semelhanças matemáticas na natureza

Fonte: DIAS, 2008 p.11.

No entanto, esse espírito de investigação da matemática e suas relações

com a natureza parecem esquecidos pelos pesquisadores atuais, não somente na

área da matemática, como também na arquitetura. Doczi (apud SILVA, 1991, p. 54)

afirma estar preocupado com esta falta de interesse:

Por que será que as flores da macieira apresentam sempre cinco pétalas? Por que usamos tantos números quantos podemos contar em nossos dedos? Perguntas como estas, só as crianças fazem, os adultos dão pouca importância a elas, simplesmente aceitam, sem buscar a razão. Quando examinamos profundamente o padrão de uma flor de macieira, uma concha ou o balanço de um pêndulo, descobrimos há uma perfeição, uma ordenação incrível que desperta em nós o maravilhoso que experimentávamos quando crianças. Algo infinitamente maior do que nos se revela e, ainda sim, e parte de nós mesmos, o ilimitado emerge dos limites. (apud SILVA, 1991, p.54)

2 Fundaram a teoria dos números, estabeleceram os métodos de argumento geométrico e

desenvolveram a teoria da proporcionalidade.

3 Nasceu em 530 a.C., foi considerado o pai da música e procurava explicar o universo através

da proporcionalidade harmônica, pregando segundo Biembengut (1999, p.31) que “[...] suas

diferenças qualitativas poderiam ser reduzidas a diferenças quantitativas.” Para o renascimento ele

representou a perfeição do saber matemático e místico.

4 Leis relacionadas ao estudo da formação e da estrutura de acordo com sua herança genética.


O que se observava era o interesse dos arquitetos de diferentes

gerações, gregos5, renascentistas6 e modernistas7, em utilizar no processo projetual

sistemas de proporcionalidade, tendo como objetivo gerar uma compreensão de

ordem e harmonia no que diz respeito aos elementos da sua composição visual.

O papel dos sistemas de proporcionalidade vai além do caráter técnico e

funcional, pois eles estabelecem um fundamento lógico na estética de uma obra

arquitetônica, conferindo beleza as suas dimensões, unificando visualmente os

elementos do projeto. De acordo com Ching (2005, p.285) os sistemas de

proporcionalidade “Podem conferir um sentido de ordem a uma seqüência de

espaços e elevar o continuidade dela. Podem estabelecer relações entre os

elementos externos e internos de um edifício.”

Sobre os sistemas de proporcionalidade, Euclides8 (apud CHING, 2005,

p.284) afirma que:

[...] um sistema de proporcionalidade estabelece um conjunto coerente de relações visuais entre as partes de um edifício, assim como entre as partes e o todo. Embora tais relações possam não ser imediatamente percebidas pelo observador casual, a ordem visual que criam pode ser percebida, aceita ou mesmo reconhecida através de uma série de experiências repetitivas. Após um certo período de tempo podemos começar a ver o todo na parte, e aparte no todo. (apud CHING, 2005, p. 284)

2.1 Secção Áurea

Existem diversas teorias de proporção criadas ao longo da história da

arquitetura, entre elas destaca-se a secção áurea, devido sua característica

vanguardista sendo, ainda hoje, extremante contemporânea.

5 A arquitetura grega (146 d.C.) é conhecida pelas suas regras de formas e proporção, essas

regras influenciaram muitas gerações de arquitetos.

6 A arquitetura renascentista (séculos XVI e XVII) é caracterizada pela grande importância dada

à simetria e as relações matemáticas exatas entre as partes da obra arquitetônica, havendo ênfase

nos modelos clássicos.

7 A arquitetura modernista (século XX) tem caráter inovador, havendo uma ruptura filosófica e

prática com o passado.

8 Nasceu em 300 a.C., organizou de forma lógica os descobrimentos geométricos de seus

antecedentes. Segundo Biembengut (1999) “A beleza, a exatidão e o raciocínio geométrico

apresentado nos ‘Elementos’ constituem um modelo clássico de organização formal da matemática,

encontrados ainda hoje no método axiomático.”


A secção áurea é utilizada desde a antiguidade como forma de buscar a

perfeição. Tida como o número que atinge a excelência dos números por arquitetos,

pintores, escultores e até por biólogos. Segundo Ching (2005, p.286), a secção

áurea pode ser definida como “[...] a razão entre duas secções de uma reta, e ou

duas dimensões de uma figura plana, em que a menor das duas está para maior

assim como a maior está para a soma das ambas”. Assim se um ponto divide um

segmento de reta em média e extrema razão, este está dividindo-o em secção

áurea, e a divisão da menor parte do segmento pela maior denomina-se razão áurea

(EVES, 2004). Essa definição pode ser expressa algebricamente da seguinte forma:

a b=

b a + b

Onde a e b são segmentos de retas com onde b > a, conforme ilustra a

imagem 02.

Imagem 02: Segmentos da definição de secção áurea.

Fonte: Autor.

Essas proporções são encontradas em formas da natureza e no corpo

humano, e assim foram utilizadas em pinturas, construções e esculturas ao longo

dos tempos por diferentes gerações de artistas, servindo de base desde os

renascentistas até os modernistas. Ching (2005, p. 286) afirma que “Os arquitetos

renascentistas exploraram a secção áurea em suas obras. Em tempos mais

recentes, Le Corbusier baseou seu sistema Modulor na secção áurea. Seu uso na

arquitetura pendura mesmo nos dias atuais.” A secção áurea é tratada como uma

forma de regular e imprimir em criações uma ordem que lhe confira qualidade

indiscutível.

A secção áurea se aproxima da Série de Fibonacci9 (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13...),

na qual cada termo a partir do terceiro é alcançado pela soma dos dois termos

9 Também conhecido como Leonardo de Pisa, viveu de 1175 a 1250, e foi o mais talentoso

matemático da idade média (EVES, 2004). Publicou a obra intitulada Liber abaci, onde defende a

notação indu-arábica


imediatamente anteriores, sendo que a razão entre dois termos consecutivos obtém-

se o chamado número de ouro, conhecido pelo símbolo Ф (lê-se phi), em

homenagem a Phideas10.

φ = =1+ 5

1,6180339887...2

Boyer (1987, p. 186) ao discorrer sobre a seqüência de Fibonacci afirma

que “[...] verificou-se que essa seqüência tem muitas propriedades belas e

significativas. [...] A seqüência se aplica também a questões de filotaxia e

crescimento orgânico.” No molusco náutico é possível observar que os lados dos

quadrados que dão forma a ele seguem a seqüência 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,...

correspondente a série de Fibonacci (imagem 03)

Imagem 03: Série de Fibonacci no molusco náutico.

Fonte: DIAS, 2008 p.11.

O chamando retângulo áureo ou retângulo de ouro (imagem 04), é

considerado perfeito devido à razão entre o lado maior e o lado menor ser o número

de ouro, sendo a sua proporção considerada a mais agradável ao observador.

10 Escultor grego que viveu no século V a.C.


Imagem 04: Retângulo áureo, a razão de entre a e b é igual a Ф.

Fonte: Autor.

Este retângulo pode ser obtido através de qualquer quadrado, trançando

partir de seu ponto médio de qualquer um de seus lados, um segmento de reta até

um dos vértices de seu lado oposto, e utilizando o compasso, traçasse um arco que

cruze o prolongamento do lado inicial. Obtendo-se então, o lado maior do retângulo

(imagem 05).

Imagem 05: Desenho do retângulo de ouro ABED, onde ACFD é um quadrado e M é o ponto médio

de AC.

Fonte: Autor.

Assim MF é igual a 5AC

2 e AB é igual a

1+ 5AC

2

Na Grécia o retângulo de ouro foi utilizado em grande escala em

construções arquitetônicas. A maioria das grandes obras arquitetônicas gregas são

templos, que deveriam ser a expressão da beleza e perfeição para poderem ser

dedicados a deuses, por isso em seus projetos era usada a secção áurea, tida como


o número que expressava a divina proporção (CHING, 2005). Um exemplo famoso

de utilização em obras gregas é o Partenon11, cuja fachada é uma composição de

retângulos de ouro (imagem 06).

Imagem 06: Análise gráfica do uso de secção áurea na fachada do Partenon.

Fonte: CHING, 2005, p.288.

No renascimento com a valorização da cultura clássica, a secção áurea

volta a ser utilizada como padrão do estético perfeito. Os renascentistas estudavam

a natureza matematizando-a, pois a matemática era tida como uma ciência objetiva

e infalível. Eles acreditavam que suas obras deveriam pertencer aos padrões mais

elevados e se lançaram em uma intensa pesquisa em busca de uma regra de

proporção perfeita que relacionasse corretamente as larguras dos ambientes e dos

vão e sua relação com a altura estabelecendo assim dimensionamentos harmônicos,

então eles se depararam com os moldes gregos de proporção, que tinham como

11 Considerado uma das mais famosas estruturas do mundo, foi construído em Atenas no

século V a.C. (BARISON, 2008).


base a secção áurea, conhecida como a divina proporção (SILVA, 1991). Assim a as

decisões de projeto passam a ser regidas por fórmulas baseadas tanto na secção

áurea quanto em suas aproximações, como a seqüência de Fibonacci.

No entanto, diferentemente da antiguidade clássica, arquitetura no

renascimento não era vista como algo sagrado, mas como uma ciência que envolve

conhecimentos da matemática, da proporção e da harmonia. Para os renascentistas

a arquitetura era a matemática expressada em unidades especiais, sendo esta

unidade a secção áurea (CHING, 2005). A Fachada de Santa Maria de Novella,

projetada por Leon Baptista Alberti12 em 1456, tem este sistema de

proporcionalidade (imagem 07).

Imagem 07: Análise gráfica do uso de secção áurea na fachada de Santa Maria de Novella.

Fonte: Autor.

No corpo humano o número de ouro está presente e foi estudado neste

sentido principalmente por Leonardo Da Vinci13. No estudo do “Homem Vitruviano”

(imagem 08), ele demonstra a relação do corpo humano com a secção áurea e

segundo Dias (2008) ele tenta ilustrar a tese de Pitágoras de que o homem é a

medida das coisas. Para entender melhor a ocorrência do número Ф no corpo

humano, basta observar algumas medidas:

12 Viveu entre 1404 e 1472, era arquiteto, pintor, escultor, compositor, autor, poeta, dramaturgo,

matemático e filósofo. Utilizava em suas obras ordens clássicas, e representou o primeiro exemplo de

o homem universal do Renascimento.

13 Viveu entre 1445 e 1517, era pintor, escultor e arquiteto. Estudou a anatomia humana e

dissecava cadáveres para depois pintar a figura humana com precisão nos detalhes, buscando assim

o realismo e a glorificação do homens.


[...] a perna inteira dividida pelo tamanho do joelho ao chão; o braço inteiro dividido pela medida do cotovelo ao dedo; a medida da cintura até a cabeça, dividido pelo tamanho do tórax; a altura do crânio dividida pelo tamanho da mandíbula até o alto da cabeça; o tamanho da base do queixo pela base do nariz ... tudo isso resulta em Phi. Além disso o umbigo divide o corpo adulto em média e extrema razão; a linha dos ombros divide a distância que vai do umbigo até o alto da cabeça, em média e extrema razão; o comprimento do rosto é dividido em média e extrema razão pela linha dos olhos. (NINA; CARVALHO, 2008, p.2)

Imagem 08: Homem Vitruviano.

Fonte: NEUFERT, 1998, p.18.

Em uma das obras mais famosas de Da Vinci pode-se observar a

ocorrência do retângulo áureo, a Mona Lisa que foi pintada em 1505 (DIAS, 2008).

Se for desenhado um retângulo ao redor da face o mesmo será um retângulo áureo,

e se desenhar outro que seja limitado pela linha dos olhos, mãos e ombros ele será

áureo (imagem 09).

Imagem 09: Retângulo de ouro na Mona Lisa.

Fonte: Autor.


Le Corbusier14 no século XX criou uma teoria de proporcionalidade

denominada Modulor15, sendo um sistema matemático, devido às dimensões

estéticas da secção áurea e a série da Fibonacci, e anatômico, devido as proporções

funcionais baseadas no corpo humano (imagem 10).

Imagem 10: Modulor de Le Corbusier.

Fonte: BARISON, 2008, p.8.

14 Viveu entre 1887 e 1965, foi um dos maiores arquitetos modernistas, era ligado à filosofia e

tinha um racionalismo idealista, sendo profundo admirador da arte clássica grega.

15 Module: unidade de medida, d’or: secção de ouro.


O modulor segundo Possebon (2008, p.60) pode ser definido como “[...]

um sistema de proporcionamento do espaço arquitetônico baseado neste critério

geométrico, e oferece toda uma gama de dimensões”. A estrutura básica é baseada

em três medidas de acordo com a secção áurea, são elas 113, 70 e 43 centímetros.

Onde:

43 + 70 = 113

133 + 70 = 183

113 + 70 + 43 = 226 (2 x 133)

Assim os resultados definem o espaço ocupado pela figura humana, como

mostra a imagem 11.

Imagem 11: Espaço ocupado por uma pessoa segundo o modulor de Le Corbusier.


O modulor foi muito utilizado no modernismo (imagem 12) e ainda hoje é

utilizado como base para projetos de arquitetura, uma das mais recomendadas e

tradicionais literaturas para quem quer ter noções de como projetar, o livro Arte de

Projetar em Arquitetura de Ernest Neufert, tem como fundamento para seu sistema

de medidas o modulor, no qual ele alega que Le Corbusier consegui uma divisão

harmônica do corpo humano e que a combinação das duas séries do modulor, a

vermelha e a azul, resultam em medidas que definem a ocupação do homem no

espaço (NEUFERT, 1998).


Imagem 12: Planta baixa do projeto Museu Mundial de Le Corbusier.


2.2 Antônio Landi

Giuseppe Antônio Landi nasceu em 30 de outubro de 1713 em Bolonha

na Itália, teve formação em arquitetura na Academia Clementina de Bolonha e foi

professor no Instituto de Ciências e Artes de Bolonha. Assim como os outros

arquitetos do setecentos, buscou na obra de Palladio16 informações sobre os moldes

da antiguidade clássica (PARÁ, 2000).

Chegou a Belém em 1753 envolvido na Comissão Demarcadora de

Limites17 e trabalhou no norte do Brasil por trinta e oito anos. Foi o responsável por

uma intensa modificação na paisagem arquitetônica de Belém na segunda metade

do século XVIII e por causa de seu trabalho e personalidade forte e perseverante

recebeu do governador Mendonça Furtado o título de arquiteto régio do Grão Pará,

sendo assim reconhecido como um dos mais importantes arquitetos da cidade.

16 Viveu de 1508 a 1580, preocupou-se coma pesquisa das proporções harmônicas

relacionando-as com a composição musical, considerando-a o segredo da harmonia universal.

17 Esta comissão era chefiado por Mendonça Furtado e tem como objetivo de demarcar as

terras da América por determinação do Tratado de Madri.


Giuseppe Antonio Landi não é, para a cidade de Belém, apenas uma referencia histórica. Muito mais do que isso, ele é a presença viva e constante com a qual os belenenses cruzam diariamente, quando vão ao centro histórico da capital do Pará, que Landi ajudou a embelezar, há mais de dois séculos. (PARÁ, 2000, p.3)

Seu estilo pode ser caracterizado como barroco tardio italiano e com

ênfase nas correntes clássicas. Existem em Belém onze igrejas e três obras de

arquitetura civil que foram projetados ou sofreram intervenção de Landi, pode-se

citar como exemplo a capela de São João, a Igreja de Santa Ana, A igreja de Santo

Alexandre, a Catedral Metropolitana de Belém, a Igreja das Mercês, a Igreja de

Nossa Senhora do Carmo, a Igreja de Nossa senhora do Rosário dos Homens

Pretos, a Casa das Onze Janelas e a Capela do Murutucu (CRUZ, 1973).

No Complexo Feliz Lusitânia, que busca valorizar os referenciais sociais,

históricos e econômicos da ocupação da Amazônia e do Pará por meio da

revitalização urbanística, paisagística e arquitetônica de espaços criados durante os

séculos XVII e XVIII, localiza-se algumas das principais obras que sofreram

intervenção de Landi, são elas a Catedral Metropolitana de Belém, a Igreja de Santo

Alexandre e a Casa das Onze Janelas.

A Catedral Metropolitana de Belém (imagem 13), conhecida como Igreja

da Sé, construída entre 1748 e 1774, teve sua fachada concluída por Landi, assim

como uma parte da decoração interna.

Imagem 13: Catedral Metropolitana de Belém.

Fonte: Autor.


Sua porta central possui dimensões igual a 4,10m por 6,60m formando

assim um retângulo áureo e na composição de sua fachada podemos encontrar

outros retângulos áureos, como o formado pela parte central da fachada e a

marcação do abaixo do relógio (23,13m por 14,20m) e o formado pela altura da

parte central e a distancia entre os pináculos (31,10m por 19,30m).

A Igreja de Santo Alexandre (imagem 14), onde atualmente funciona

juntamente com o arcebispado o Museu de Arte Sacra de Belém, tem traços de

Landi em sua capela mor que foi decorada em 1756.

Imagem 14: Igreja de Santo Alexandre.

Fonte: Autor.

Sendo sua porta central possui medidas iguais a 2,20m por 3,60m que

formam assim um retângulo áureo, e na sua fachada podem ser identificados

diversos retângulos áureos, como o formado pela parte central superior da fachada

(9,40m por 15,35m) e o formado por toda parte central da fachada (15,50m por

25,30m).

A Casa das Onze janelas (imagem 15), antigo Hospital Real que

funcionou até 1938, foi construída no inicio do século XVIII e teve seus desenhos

assinados por Landi, que decidiu manter uma fachada mais simples, como dos

sobrados portugueses.


Imagem 15: Casa das Onze janelas.

Fonte: Autor.

A fachada é formada por janelas que juntamente com suas molduras

medem 3,42m por 2,16m, que formam um retângulo áureo e sua fachada é

composta por dois retângulos áureos que medem 23,30m por 14,20m cada um.

O que é necessário destacar é o fato que todas essas obras tiveram como

base de seu processo projetual os moldes clássicos, apresentando características

estéticas deste período, entre elas a presença da secção áurea no dimensionamento

de seus elementos.


3 ATIVIDADES MATEMÁTICAS ENVOLVENDO ARQUITETURA

Uma das maiores causas do baixo

rendimento no ensino da matemática e

do desinteresse dos alunos pela matéria

deve-se ao grande abismo que separa a

matemática da escola da matemática da

realidade.

Ubirabatan D’Ambrosio18

No processo projetual e construtivo da arquitetura existem situações que

podem ser usadas para o ensino da matemática. Temas como a criação da forma, a

escala, as áreas, os níveis do terreno, as modulações utilizadas, o dimensionamento

de pilares e vigas, podem ser trabalhados afim de que o aluno possa ver como a

matemática está presente na construção civil.

3.1 Exemplo de Atividade Envolvendo Arquitetura

Explorar situações do cotidiano no ensino da matemática tem o papel de

fazer com que a matemática saia do campo abstrato para o concreto, especialmente

no estudo das formas e do espaço, isto se torna primordial. Os Parâmetros

Curriculares Nacionais Terceiro e Quarto Ciclos do Ensino Fundamental afirmam

que diversas profissões exigem o pensamento geométrico, e que as situações

presentes nessas profissões devem ser utilizadas para o ensino da matemática,

entre as profissões está a arquitetura. Outro aspecto da arquitetura que pode ser

abordado em situações problemas da matemática é a questão dos sistemas de

medida e a necessidade de padronização (BRASIL, 1998).

Biembengut (1999) descreve uma atividade de modelagem matemática e

construção civil que está dividida em duas etapas. A primeira tem como foco a planta

da casa e a segunda a sua maquete. A modelagem é a ação de construção de um

modelo. Para Granger (apud BIEMBENGUT, 1999, p. 19):

[...] o modelo é uma imagem que se forma na mente, no momento em que o espírito racional busca compreender e expressar de forma intuitiva uma sensação, procurando relacioná-la com algo já conhecido, efetuando deduções. Nesse sentido, a modelagem, arte de modelar, é um processo que emerge da própria razão e participa da nossa vida como forma de

18 Apud BIEMBENGUT, 1999.


constituição e de expressão do conhecimento. (apud BIEMBENGUT, 1999, p. 19)

O que é interessante na atividade que Biembengut (1999) propõe, é a

forma como os temas matemáticos são abordados, sempre valorizando a

investigação e construção do conhecimento pelo aluno, fazendo com que temas da

construção civil gerem questionamentos que serão resolvidos matematicamente,

através de modelos, que é objetivo da modelagem matemática. Cada etapa é

precedida de uma explicação técnica que faz com que o aluno se situe no tema que

será abordado.

Na primeira parte da atividade quando aborda sobre o esboço da planta

baixa de uma casa, a autora insere conceitos elementares de geometria plana,

associando os encontros das paredes com pontos, as paredes com retas e os

ambientes com planos (imagem 16), discutindo assim posições relativas das retas e

a forma correta de inseri-las em uma planta. Ela associa as aberturas das portas

com ângulos, estudando assim as classificações de ângulos, além de fazer

referência a uma porta giratória ao abordar o tema circunferência e círculo e aos

espaços dos ambientes para abordar quadriláteros e suas classificações.

Imagem 16: Comparações de elementos da planta baixa com elementos geométricos.

Fonte: BIEMBENGUT, 1999.

Seguindo a atividade de modelagem o tamanho da casa gera o tema

sistemas de medidas lineares, estudando assim o sistema métrico decimal. As

medidas da casa incidem no tema representação decimal dos números racionais, na

qual são estudadas as operações com números decimais sempre tendo como

situação problema a planta da casa. As medidas de superfícies e a

proporcionalidade são abordadas por meio de análise da planta baixa.


A segunda etapa tem como tem principal a construção de uma maquete

da casa que simboliza a construção da casa. Ao se questionar a forma de fazer as

paredes são abordados a questão dos sólidos geométricos, seus elementos e suas

classificações, além de suas áreas serem utilizadas na atividade para calcular a área

da parede. O conceito de isometria vem atrelado aos tipos de revestimentos, na qual

o aluno além de aprender sobre os tipos de isometria aprende um pouco sobre

ornamentação.

Os telhados e suas formas são utilizados com uma forma de inserir o

conceito de triângulo e suas classificações (imagem 17). Os reservatórios d’água

como forma de abordar sistemas de medidas de volume, capacidade e massa. Por

último é estudado a forma fracionária dos números racionais e suas operações por

meio da discussão sobre de instalações hidráulicas e elétricas e a melhor

representação de suas bitolas.

Imagem 17: Altura da tesoura de acordo com a largura do vão.

Fonte: BIEMBENGUT, 1999.

É importante ressaltar que todos os temas matemáticos abordados são

antecedidos por questionamentos práticos da construção civil, a modelagem é usada

como uma forma de auxiliar a resolver esses questionamentos e é sempre

incentivada a aplicação de atividades complementares para o aprofundamento e

consolidação do conhecimento. É apresentada ao aluno uma matemática ligada a

situações reais que o desafiam a construção de modelos da realidade aprendendo

através deles (D’Ambrosio apud BIEMBENGUT, 1999).

3.2 Exemplo de Atividade Envolvendo Secção Áurea


Os Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio (BRASIL, 2006,

p.93) citam como tema complementar o estudo do número de ouro sendo visto como

uma forma de valorizar a matemática, podendo ser utilizado para o aprendizado de

proporções geométricas demonstrando o aspecto estético da matemática. Destaca

ainda a importância dos alunos conhecerem a história da matemática, afirmando que

a história pode contribuir para a formação de conceitos e ser uma ferramenta para o

ensino da matemática.

A utilização da História da Matemática em sala de aula também pode ser vista como um elemento importante no processo de atribuição de significados aos conceitos matemáticos. É importante, porém, que esse recurso não fique limitado à descrição de fatos ocorridos no passado ou à apresentação de biografias de matemáticos famosos. A recuperação do processo histórico de construção do conhecimento matemático pode se tornar um importante elemento de contextualização dos objetos de conhecimento que vão entrar na relação didática. (BRASIL, 2006, p.86)

Uma atividade interessante envolvendo secção áurea é proposta por

Biembengut e Hein (2007). Os autores propõem uma seqüência de atividades com

modelagem para discutir o conceito de beleza e razão áurea. A atividade se inicia

com o questionamento se é possível avaliar a beleza física por meio de uma fórmula

matemática e segue com a explicação das proporcionalidades que regem a estética

no corpo humano e uma atividade de pesquisa que consiste na avaliação se as

proporções do corpo dos alunos seguem os padrões da estética, montando assim

uma tabela de medidas.

O próximo item da seqüência de atividades diz a respeito da explicação

sobre o número de ouro por meio de um segmento e suas divisões em razão áurea,

questionando o aluno de que forma pode-se dividir o segmento, demonstrando

algebricamente a origem do número Ф e definindo o que é secção áurea. Assim os

autores recomendam que o professor discuta a origem e as aplicações da secção

áurea pelos gregos tanto na arquitetura como nas esculturas de Phideas e a

retomem os questionamentos sobre beleza desta vez explicando que uma das leis

de proporcionalidade que rege a estética é a secção áurea, mostrando a figura das

proporcionalidades que se assemelham no corpo humano (imagem 18).


Imagem 18: Proporcionalidades no corpo humano.

Fonte: BIEMBENGUT; HEIN, 2007.

Os próximos tópicos da atividade se referem aos polígonos de ouro,

triângulo, retângulo e pentágono, demonstrando suas propriedades e aplicações e

propondo aos alunos pesquisarem da utilização do retângulo na arquitetura e nas

obras de arte explicando que “os retângulos áureos estão presentes nas obras

gregas, nas obras de Leonardo da Vinci, Albrescht Durer, Salvador Dalí, dentre

outros” (BIEMBENGUT; HEIN, 2007, p.89), e citando como exemplo mais antigo de

utilização o Partenon. Os autores apresentam os passos para construção do

pentágono de ouro e demonstram que os triângulos formados pelas diagonais

possuem a proporção áurea.

Imagem 19: Construção da espiral logarítmica.

Fonte: BIEMBENGUT; HEIN, 2007.

A última atividade se refere à espiral logarítmica mostrando sua

construção a partir do retângulo áureo (imagem 19) e demonstrando algebricamente

suas seqüências em função do número Ф. É explicado que as relações áureas são

encontradas na natureza tanto em plantas como em amimais, e que o número Ф é

apenas uma modelo que manifesta harmonia e beleza, mas não é uma regra

fechada e única.


3.3 Livros Didáticos e Atividades com Secção Áurea

A secção áurea é citada na maioria dos livros didáticos indicados pelo

Ministério da Educação (MEC) por meio do Catálogo do Programa Nacional do Livro

para o Ensino Médio (PNLEM), juntamente com o conteúdo de seqüências, no qual,

normalmente em notas históricas, é abordada a seqüência de Fibonacci.

No livro de Silva e Barreto Filho (2003), intitulado “Matemática Aula por

Aula”, no inicio do conteúdo de progressões é citado Fibonacci e razão de ouro que

segundo os autores exerceu grande influência na arquitetura e na arte. Neste livro é

mostrada uma figura do Parthenon de Atenas como exemplo de utilização do

retângulo áureo que seria a “[...] forma geométrica aprazível aos olhos humanos [...]”

(SILVA; BARRETO FILHO, 2003, p.9).

No livro “Matemática” de Paiva (2008), o retângulo de ouro é novamente

citado juntamente com a seqüência de Fibonacci no final do conteúdo de seqüências

na secção “Ciência, Informação e Tecnologia”. Desta vez é utilizada como exemplo a

concha do náutico, um molusco dos oceanos Pacífico e Indico, que tem seu

crescimento em espiral que obedecem uma seqüência de retângulos áureos, com a

largura igual a 0,6118 do comprimento. Para o autor outros exemplos da série de

Fibonacci mostram sua presença na arte, na musica e na física (PAIVA, 2008,

p.217).

Os autores Smole, Vieira e Kiyukawa (2003) em seu livro “Matemática

Ensino Médio” no final do conteúdo de números irracionais, ao citar o número áureo

como um famoso número irracional, descreve sua construção a partir do quadrado e

sua importância para os gregos na arquitetura e para os renascentistas em obras

clássicas, tendo como exemplo a Mona Lisa, além de demonstrar como obter o

número de áureo através da construção de um retângulo partindo de um quadrado

de lado 2. Na secção “Flash Matemático” no final do conteúdo de seqüências, a

secção áurea é retomada, desta vez com a seqüência de Fibonacci, pois ao falar do

número Ф, associam-no com a razão áurea, pois é o valor da razão entre dois

números que estejam em razão áurea. Assim “[...] a razão entre termos consecutivos

da seqüência de Fibonacci se aproxima da razão áurea [...]” (SMOLE; VIEIRA;

KIYUKAMA, 2003, p. 165).

No livro “Matemática” de Dante (2008), outra vez no conteúdo de

seqüências há uma secção sobre a seqüência de Fibonacci onde é falado sobre o


crescimento dos coelhos e é citado o número de ouro dos gregos como o resultado

da divisão de “[...] cada terno da seqüência, a partir do 21, pelos eu precedente [...]”

(DANTE, 2008, p. 248).

Nestes livros a secção áurea é tida somente somo um assunto

complementar, de nenhum modo é dado algum destaque ao tema, ficando somente

em pequenos tópicos ou notas históricas. Não é explorada qualquer atividade de

ensino que tenha como base a secção áurea, muito menos é utilizada como forma

de construir o conhecimento do conteúdo de seqüências, visto que é mencionada

somente no final do conteúdo, quando tanto a teoria, quanto as atividades de fixação

já foram ministradas. A história da matemática deve ser utilizada na sala de aula,

mas com o objetivo de construção de conhecimento por meio da investigação dos

aspectos históricos da matemática, para que o aluno possa vivenciar experiências

de redescoberta, as quais possam despertar sua curiosidade científica para o

desenvolvimento de habilidades matemáticas (MENDES, 2006).

Um exemplo muito interessante de utilização de secção áurea, não como

nota histórica, mas como atividade de ensino, pode ser encontrada no livro de Dante

(2008) da oitava série, que tem como titulo “Tudo é Matemática”. Nele o autor em

uma secção intitulada “A divina proporção: o número de ouro” recorre a uma

seqüência de atividades que tem como objetivo levar o aluno a compreender o que é

secção áurea, suas propriedades e sua utilidade na biologia, na arquitetura, nas

artes e no corpo humano.

A atividade se inicia com os questionamentos sobre a existência um

número com propriedades mágicas, e que teria sido utilizado por matemáticos,

cientistas e artistas e sua presença na natureza, seguida por uma atividade de

análise de proporções de uma reta e os segmentos contidos nela que levam a um

resultado que é o número irracional 1,618034, o número de ouro ou razão áurea.

As atividades seguintes dizem respeito a utilização da secção áurea,

começando com uma rápida explicação sobre os gregos e a harmonia, equilíbrio e

beleza, Fibonacci e o número de ouro na natureza, o Renascimento e o número de

ouro na pintura. Mostrando, então, imagens de uma estrela do mar, um girassol e

um boi, como exemplos de secção áurea na natureza.

O retângulo de ouro é analisado por meio de imagens de retângulos para

serem medidos e calculada a razão entre seus lados, que resultará na secção áurea,

pois os lados dos retângulos seguem a seqüência de Fibonacci. E como exemplo do


retângulo de ouro, é apresentado o Parthenon e suas medidas para que o aluno

calcule se ele se enquadra no retângulo de ouro. Ainda é mostrada a imagem de

São Jerônimo de Leonardo da Vinci, como exemplo de utilização do retângulo de

ouro na pintura renascentista.

A próxima atividade apresentada demonstra a construção do retângulo de

ouro utilizando régua e compasso. E é apresentado um exemplo de seqüência de

retângulos de ouro, o modelo matemático da concha do caramujo (imagem 20)

seguida de uma atividade de cálculo envolvendo o número de ouro.

Imagem 20: Seqüência de retângulos áureos.

Fonte: DANTE, 2008.

Novamente uma atividade de análise de figuras é apresentada, mas desta

vez com triângulos, para saber qual tem seus lados em razão áurea e comparar o

resultado com o triângulo que o aluno achar ser o mais bonito. E assim construir um

triângulo em razão áurea e um pentágono regular cuja para provar que suas

diagonais obedecem à secção áurea.

Por último é proposta uma atividade de pesquisa de medidas do corpo

humano com o objetivo de montar uma tabela e testar se a razão entre a altura total

do corpo humano e a medida dos pés ao umbigo é uma razão áurea (imagem21).


Imagem 21: Corpo humano e medidas em razão áurea.

Fonte: DANTE, 2008.

Esta seqüência de atividades se destaca devido a importância que é dada

ao tema número de ouro. São atividades que buscam mostrar para o aluno como

secção áurea está presente no cotidiano e no mundo, fazendo com que o aluno

manipule figuras, desenhos e números. Levando assim o aluno a construir o seu

conhecimento através da curiosidade que desenvolve o espírito investigativo.

Assim, a história da matemática passa a ser um elemento motivador da

aprendizagem matemática, tornando as aulas mais interessantes e instigando a

aluno a estudar (MENDES, 2006). É importante ressaltar que não bastam os autores

dos livros didáticos terem esta visão, mas ela deve “[...] configurar-se corretamente

na ação docente [...]” (MENDES, 2006, p.91), para que alcancem ao objetivo para a

qual foram criadas.


4 GEOMETRIA DINÂMICA

Preparar o jovem para participar de uma

sociedade complexa como a atual, que

requer aprendizagem autônoma e

contínua ao longo da vida, é o desafio

que temos pela frente.

Ministério da Educação19

4.1 Informática e Educação Matemática

As pesquisas em educação matemática têm como objetivo principal

favorecer a construção do conhecimento matemático. A informática é uma tendência

da educação matemática, no entanto para se utilizar o computador para a educação

são fundamentais alguns elementos, o computador, o software educativo, um

professor capacitado para ensinar por meio de informática e o aluno (VALENTE

2008).

Os Parâmetros Curriculares Nacionais Terceiro e Quarto Ciclos do Ensino

Fundamental destacam a importância da inserção de novas tecnologias na

educação, devido a escrita, leitura, visão, audição, criação e aprendizagem serem

diretamente influenciados positivamente pela informática, além de ser um recurso

cada vez mais utilizado na sociedade moderna, e se o papel da escola é preparar o

aluno para viver com qualidade, a informática tem que estar presente nessa

preparação. Com o uso adequado de software educativo o aluno passa a ter um

interesse maior por projetos de investigação e exploração, aprendendo com seus

erros, sendo estes então grandes aliados no desenvolvimento cognitivo (BRASIL,

1998).

A inserção do computador no ambiente de sala de aula tem merecido

destaque na educação, devido provocar uma revolução na metodologia de ensino

motivando assim a aprendizagem, abrindo novas possibilidades, ampliando

horizontes dentro do conhecimento, visando uma educação de qualidade (BALDIN;

VILLAGRA, 2002; BORBA; PENTEADO, 2003; VALENTE, 2008).

19 Apud BRASIL, 2006, p.6.


Ter a sabedoria de revistar o velho. Revistar sua pratica pensar a informática na escola é coerente com o sonho de fazer uma escola de qualidade para uma cidadania crítica. Isto implica, por sua vez, o conceito de escola cidadã, ou seja, o lugar de produção de conhecimento, se leitura e de escrita onde o computador ou a rede de computadores constituirá elementos dinamizadores, favorecendo o funcionamento progressivo da instituição e da própria cidadania democrática. (Freire apud GONÇALVES et al, 2006, p.19)

No entanto, a forma de usar este recurso tem que ser adequado, para que

ele não se restrinja a ser utilizado como mera ferramenta de descontração, mas

exerça seu poder como recurso para a construção do conhecimento, “é importante

contribuir para que o aluno transforme seus pensamentos, desenvolva atividades

criativas, compreenda conceitos, reflita sobre eles e, conseqüentemente, crie novos

significados” (KAMPFF; CAVEDINI, 2008, p.1102).

Assim vários programas vêm cooperar com esse objetivo, especialmente

na matemática, na qual as mídias informatizadas auxiliam na geração de gráficos,

tabelas, expressões algébricas e desenhos geométricos. Isto se torna importante ao

passo que a aprendizagem matemática se faz essencialmente por meio do

experimentar, interpretar, visualizar, induzir, conjecturar, abstrair, generalizar e

demonstrar (Gravina e Santarosa apud KAMPFF; CAVEDINI, 2008).

Para os Parâmetros Curriculares Nacionais Terceiro e Quarto Ciclos do

Ensino Fundamental, no ensino da matemática os computadores podem ser

utilizados com as seguintes finalidades:

[...] como fonte de informação, poderoso recurso para alimentar o processo de ensino e aprendizagem; como auxiliar no processo de construção de conhecimento; como meio para desenvolver autonomia pelo uso de softwares que possibilitem pensar, refletir e criar soluções; como ferramenta para realizar determinadas atividades – uso de planilhas eletrônicas, processadores de texto, banco de dados etc. (BRASIL, 1998, p.44)

Então a escolha do software é fundamental, segundo Valente (2008) o

computador pode ser utilizado de diversas formas, entre eles destacam-se: como

máquina de ensinar e como ferramenta. Como máquina de ensinar o papel do

software é ensinar um aprendiz, isto pode se feito por meio de programas tutoriais,

de exercíco-e-prática, jogos e simulações. Porém o computador como ferramenta

assume o papel de auxiliar o aluno no desenvolvimento do aprendizado, pois ele

estará executando uma tarefa utilizando o computador.

É necessário destacar que o papel do professor é primordial para que as

atividades que usam o computador como ferramenta obtenham êxito, pois do

professor é a responsabilidade de criar desafios que serão solucionados por meio do


software a ser utilizado, sendo uma competência fundamental do professor conhecer

diferentes recursos e buscar novas técnicas educativas escolhendo assim um

software mais adequado para cada situação (Perrenoud, apud KAMPFF; CAVEDINI,

2008). Assim, acima de tudo é primordial que o professor repense a sua metodologia

de ensino e aprendizagem, para motivar o aluno a envolver-se na construção do

conhecimento. Pesquisas mostram que esse processo estabelece uma relação

diferente entre aluno e professor que passam ser mais próximos, interagindo e

colaborando mutuamente (BRASIL, 1998)

Para tanto, Baldin e Villagra (2002) destacam a importância de uma

preparação solida dos professores, além de um treinamento criterioso, entendendo

que é importante que o professor domine o software a ser utilizado, mas que só isto

não basta, é necessário que o professor possua um “[...] domínio conceitual do

conteúdo programático que permita discernimento sobre a técnica ou estratégia de

ensino coma utilização de determinado programa, dentro do contexto educacional”

(BALDIN; VILLAGRA, 2002, p.7). Não há sentido em se ter um laboratório totalmente

equipado se o professor não consegue manipular e desenvolver atividades

adequadas para o ensino e aprendizagem.

O professor deve ser o orientador que conduzirá o aluno a investigar e

buscar soluções, assim o computador não pode ser visto como um problema, mas

como uma possibilidade de desenvolvimento do professor como profissional, abrindo

novas perspectivas para a prática docente (BALDIN; VILLAGRA, 2002). Muitas

escolas públicas já dispõem de laboratórios equipados para a realização de

atividades, no entanto os muitos profissionais da educação não estão, e muitas

vezes não querem está, preparados para manipular este recurso, inviabilizando

assim o acesso ao uso do computador com ferramenta para a educação. O

professor deve se conscientizar que a prática docente requer atualizações

constantes de concepções metodológicas, se realmente o objetivo do professor é

ensinar e não tão somente informar, ele deve buscar recursos para que a

aprendizagem seja favorecida.

É esperado que nas aulas de Matemática se possa oferecer uma educação tecnológica, que não signifique apenas uma formação especializada, mas, antes, uma sensibilização para o conhecimento dos recursos da tecnologia, pela aprendizagem de alguns conteúdos sobre sua estrutura, funcionamento e linguagem e pelo reconhecimento das diferentes aplicações da informática, em particular nas situações de aprendizagem, e valorização da forma como ela vem sendo incorporada nas práticas sociais.


(BRASIL, 1998, p.46)

Assim é inegável que a tecnologia está presente no cotidiano do aluno, e

o papel do professor é acima de tudo formar cidadãos críticos e capacitados a bem

utilizarem essas tecnologias, especialmente a informática.

4.2 Conceito de Geometria Dinâmica

Dentre os softwares educativos para o estudo de geometria se destacam

os softwares de geometria dinâmica que são aqueles que “[...] dispõem de régua e

compasso virtuais e com menu de construção em linguagem clássica da geometria

[...] feita uma construção, pode-se aplicar movimento a seus elementos, sendo

preservadas as relações geométricas impostas à figura” (BRASIL, 2006, p. 88).

A geometria dinâmica foi criada a partir da idéia de inovar, reciclar em

busca da melhor compreensão dos conteúdos, dando assim a opção de manipular

virtualmente objetos que outrora eram estáticos, ganhando assim, movimento.

The principal contribution of DG to the nature of experimentation in geometry is the dynamic dependency of its display on the position of some movable object. This suggests a kind at function, and yet another perspective on the figure-drawing distinction. (GOLDENBERG; CUOCO, 1998, p.359)

Assim a geometria dinâmica, quando bem utilizada, agiliza o estudo, pois

o aluno a partir de alguns objetos iniciais pode fazer inúmeros testes, o que não é

possível na geometria quando é estudada no papel (BRANDÃO, 2002).

A Geometria Dinâmica oferece uma nova proposta que visa explorar os mesmos conceitos da geometria clássica, porém, através de um software interativo. Assim, é possível disponibilizar representações gráficas de objetos geométricos que aproximam o objeto material da tela do computador (desenho) ao objeto teórico (figura), favorecendo o desenvolvimento de uma leitura geométrica dos desenhos por parte do aprendiz, contornando, assim, uma das dificuldades do ensino da Geometria. (Rodrigues apud SANTOS; DAMBROS; BORGES, 2008, p.2)

Um ponto relevante da geometria dinâmica é precisão, na geometria em

papel as construções mais complexas podem não ter êxito em provar algo devido à

dificuldade de ser preciso no desenho, isto não acontece na geometria dinâmica,

que por meio de comandos o aluno consegue construir objetos de forma precisa na

qual a prova é inquestionável (KING; SCHATTSCHNEIDER, 1997).

Além desta característica, outras podem ser citadas para destacar a

relevância da utilização de softwares de geômetra dinâmica, como o aluno poder

transformar suas construções (rotação, reflexão, aumentar, diminuir, mover), a


capacidade do software de registrar a sucessão de passos dado pelo aluno, além de

poder gerar simulações (KING; SCHATTSCHNEIDER, 1997).

No entanto, o maior destaque se deve ao fato da geometria dinâmica

inspirar no aluno a investigação, a exploração e a descoberta, visto que crianças e

adolescentes possuem em geral um espírito curioso, este método de ensino,

dependendo da atividade desenvolvida e da criatividade do professor, poderá vir a

ser um grande centro de interesse do aluno que passa a experimentar, visualizar,

interpretar, conjecturar, induzir, generalizar, abstrair e demonstrar (GOLDENBERG;

CUOCO, 1998). “É o aluno agindo, diferentemente de seu papel passivo frente a

uma apresentação formal do conhecimento, baseada essencialmente na

transmissão ordenada de ‘fatos’, geralmente na forma de definições e propriedades”

(Gravina apud SANTOS; DAMBROS; BORGES, 2008, p.1)

O aluno que é orientado adequadamente para utilizar o software de

geometria dinâmica passa então a refletir sobre o seu experimento e assim a

construir o seu conhecimento. Essa característica da geometria dinâmica é muito

valorizada pelo fato da construção de conhecimento ser um elemento essencial na

educação matemática e se faz necessário oferecer esta oportunidade para o aluno,

criando assim um processo social de produção do conhecimento (BRASIL, 2006)

Interestingly, the opportunities are not for researchers alone. The making of definitions is central to mathematics. To learn the importance and purpose of careful definition, students must be afforded explicit opportunities to participate in such definition-making themselves. (Villiers apud GOLDENBERG; CUOCO, 1998, p.359)

Sendo assim, é visto como determinante no processo de ensino e

aprendizagem de matemática o fato do aluno produzir seu conhecimento,

investigando e chegando a conclusões e os softwares de geometria dinâmica são

sem dúvida forte aliados para este processo.

Vale lembra que para tanto é imprescindível a escolha adequada do

software, pois ambientes computacionais diferentes permitem diferentes tipos de

experiências (GOLDENBERG; CUOCO, 1998), então o sucesso de qualquer

atividade com softwares de geometria dinâmica depende diretamente do professor

saber orientar adequadamente e fazer escolhas corretas.

Outro aspecto dos softwares de geometria dinâmica é a sua aplicabilidade

em outras áreas da matemática, não apenas na geometria, favorecendo a

visualização de situações problemas e facilitando as representações matemáticas.


Assim a geometria dinâmica tem sido utilizada como ferramenta indispensável para

diversos pesquisadores, matemáticos e cientistas (KING; SCHATTSCHNEIDER,

1997).

4.3 Cabri II Plus

O Cabri-Géomètre é um software de geometria dinâmica que foi

desenvolvido por Jean-Marie Laborde e Franck Bellemain, no final dos anos 80 na

Institut d’ Informatique ET Mathématiques Appliquées de Grenoble (IMAG) um

laboratório de pesquisa associado ao Centre National de la Recherche Scientifique

(CNRS) e a Université Joseph Fourier em Grenoble. A sigla Cabri vem do francês e

significa Cahier de Brouillon Interactif que traduzido seria Caderno de Rascunho

Interativo. O Cabri já foi traduzido para mais de vinte idiomas e está presente em

mais de quarenta países (BALDIN; VILLAGRA, 2002; KAMPFF; CAVEDINI, 2008;

SOUZA, 2001).

O Cabri II Plus é uma nova versão do Cabri-Géomètre II, incorporando

outras funcionalidades e novas possibilidades. O programa dispõe de funções que

fazem o papel da régua e do compasso auxiliando na construção e manipulação de

todas as figuras geométricas elementares. Apresentando uma linguagem apropriada

e “[...] excelentes propriedades que o tornam forte aliado na modernização do ensino

fundamental e médio” (BALDIN; VILLAGRA, 2002, p.8).

Para o processo e ensino aprendizagem o software Cabri-Géomètre

contribui de forma significativa, ao passo de que a linguagem visual facilita a

compreensão de conceitos abstratos da matemática tornando-a mais agradável, a

interatividade instiga o espírito de investigação de propriedades e leva a conjectura

de novas propriedades, a possibilidade de atividades de manipulação concretas, o

desenvolvimento da sensibilidade no que diz respeito aos conceitos matemáticos, e

por fim a possibilidade de rever os passos dados e assim também identificar os erros

e corrigi-los (BALDIN; VILLAGRA, 2002; KAMPFF; CAVEDINI, 2008).

O Cabri-Géomètre é um software que apresenta as características que permitem utilizar o computador como uma ferramenta auxiliar para investigação de como se dá a construção de conceitos geométricos. [...] esse software permite certa interatividade do aluno com o meio e possibilita fazer, por comandos bem definidos e linguagem geométrica, as construções que se fazem no ambiente com lápis e papel. (SOUZA, 2001, p.93)

Entre as características do Cabri II Plus se destacam: a criação de pontos

e diferentes relações entre eles e os objetos, a verificação de propriedades, o uso do


compasso, a movimentação e transformação dos objetos criados (característica

básica dos softwares de geometria dinâmica), a possibilidade de reproduzir etapas

de uma figura e a possibilidade de ocultar linhas auxiliares. Além dessas destaca-se

a possibilidade de inserir como fundo uma figura, podendo então analisar

geometricamente a mesma.

Outros aspectos do software Cabri II Plus é a possibilidade de ser

trabalhados temas da geometria analítica, transformacional e euclidiana. Podendo

também ser explorados conceitos avançados da geometria descritiva e hiperbólica,

além de poder ser adotado em aulas de álgebra, trigonometria, física e educação

artística (SOUZA, 2001).


5 PROPOSTA DE SEQUENCIA DIDÁTICA

[...] ensinar não é transferir

conhecimentos, mas criar as

possibilidades para a sua produção ou a

sua construção [...]

Freire20

Seqüência didática pode ser entendida como uma série de atividades que

conduzem a um objetivo, sendo que os níveis de cognição e dificuldade de cada

etapa vão gradualmente aumentando, levando o aluno a construir seu

conhecimento. Sendo assim, é um conjunto de aulas planejadas que pode ter a

duração variando em dias de acordo com a necessidade e apresentando “desafios

cada vez maiores aos alunos, permitindo a construção do conhecimento” (CRE

MARIO COVAS, 2008).

Uma seqüência didática permite um trabalho interdisciplinar, podendo o

professor recorrer a outras áreas para a melhor compreensão do assunto abordado.

Assim, um tema pode ser abordado articulando os diversos pontos de vista. Esta

didática de ensino se origina da didática francesa que defende a ativa participação

do aluno no processo de ensino aprendizagem e a contextualização do saber

escolar.

Um dos objetivos da educação matemática é contribuir para que aluno possa desenvolver uma certa autonomia intelectual e que o saber escolar aprendido lhe proporcione condições para compreender e participar do mundo em que ele vive. (PAIS, 2002, p.67)

Assim, de acordo com o nível cognitivo do aluno, o professor pode e deve

buscar baseado no currículo escolar situações do cotidiano para serem transpostas

em situações didáticas, pois sem um vinculo com a realidade a formação do saber

fica prejudicada, principalmente em se tratando do saber matemático. No entanto, é

necessária uma seleção e uma adaptação do conteúdo para ser utilizado em sala de

aula, pois “um conteúdo do conhecimento, tendo sido designado como saber a

ensinar, sofre então um conjunto de transformações adaptativas que vão torná-lo

apto a tomar o lugar entre objetos de ensino” (Chevallard apud PAIS, 2002, p.19).

20 Apud THOMAZ NETO; COTA, 2006.


A didática francesa destaca ainda a importância da participação de três

elementos na relação pedagógica: o professor, o aluno e o saber. As múltiplas

relações entre esses elementos formam as situações didáticas.

A seqüência didática proposta tem como objetivo principal a formação do

conceito de secção áurea e a analise de sua aplicação na arquitetura de Belém,

mais especificamente nos prédios que sofreram intervenção do arquiteto Antônio

Landi. Será desenvolvida em duas etapas, a primeira se refere a atividades que

devem conduzir o aluno ao entendimento de secção áurea e a segunda a atividades

de análise de fachadas de alguns prédios.

Esta proposta leva em consideração a teoria que o aluno deve construir o

seu conhecimento (THOMAZ NETO; COTA, 2006), fazendo com que o saber se

solidifique de forma mais eficaz, para isto usa como instrumentos principais a

realidade de Belém e o software de geometria dinâmica Cabri II Plus (Villiers apud

GOLDENBERG; CUOCO, 1998). Além de considerar que a geometria deve

possibilitar ao aluno a possibilidade de resolver problemas práticos do seu dia-a-dia,

visando que o estudo da matemática se torne mais concreto aos olhos do aluno

(BRASIL, 2006).

Deste modo a mesma deve ser desenvolvida em um laboratório de

informática com equipamentos adequados no qual devem já está instalados o

software Cabri II Plus. De preferência um aluno ou dois por computador. Tem como

foco alunos do ensino médio no estudo de números irracionais, como um exemplo

de aplicação dos mesmos. Então, é imprescindível que o aluno possua um

conhecimento básico sobre o assunto para que possa prosseguir na aprendizagem

de novos conceitos, visto que os alunos interpretam os objetos construídos na

geometria dinâmica de acordo com o conhecimento que possuem, quanto mais

repertório matemático referente ao conteúdo possuírem mais questionamentos virão

sobre as atividades e mais cercados de conclusões dos próprios alunos serão estas

elas (GOLDENBERG; CUOCO, 1998).

É importante destacar que para a seqüência didática proposta alcançar o

seu objetivo é necessário que o aluno já possua familiaridade com o software Cabri

II Plus. É possível utilizar outro software de geometria dinâmica na seqüência,

contanto que ele permita que figuras possam ser inseridas como fundo de tela e que

construções possam ser realizadas sobre essa figura.


5.1 Primeira etapa: Conceito de secção áurea

Objetivo

Conduzir o aluno a construção do conceito de secção áurea.

5.1.1 Atividade 01: A forma geométrica perfeita

Objetivo

Fazer com que os alunos percebam que existem semelhanças

geométricas que se repetem na natureza e se questionarem se pode existir uma

forma que seja perfeita matematicamente.

Tempo

30 minutos

Recursos

Folhas de papel.

Lápis.

Régua.

Imagens de flores e estrelas do mar.

Procedimentos

É importante ressaltar que esta atividade precisa ser precedida de um

contexto histórico, no qual o professor explana acerca da relação da matemática

com a estética, mostrando o exemplo da semelhança de quantidade de repetições

em flores e estrelas o mar.

Ao fim dessa primeira parte o professor questiona os alunos sobre se

existiria alguma fórmula para se criar imagens esteticamente perfeitas. Neste

momento o professor pede para os alunos desenharem no papel, utilizando ou não

régua, o que seria para eles uma figura geométrica perfeita. Após eles desenharem

o professor questiona-os se existe na natureza alguma daquelas formas que eles

desenharam.

5.1.2 Atividade 02: Construção de um retângulo áureo

Objetivos

Construir um retângulo áureo a partir e um quadrado qualquer.

Tempo

15 minutos


Recursos

Software Cabri II Plus.

Procedimentos

Depois da atividade inicial o professor discorrerá sobre os gregos e a sua

busca por beleza divina, e convidará o aluno a construir a figura geométrica que

segundo os gregos terias as proporções da perfeição. É importante que o professor

ainda não fale sobre a secção áurea nem suas propriedades, para que os alunos

mesmos possam percebê-las.

As construções do que seria segundo os gregos a figura geométrica

perfeita deve seguir alguns passos, que necessitam ser orientados pelo professor.

1° Passo: Deve-se construir um quadrado qualquer e para isto pode-se se

utilizar a ferramenta “polígono regular’ (terceiro menu de ferramentas), onde se

escolhe primeiro o centro do polígono regular e girando o cursor se escolhe o

número de lados.

2° Passo: Deve-se marcar o ponto médio de um dos lados do quadrado

utilizando a ferramenta “ponto médio” (quinto menu de ferramentas).

3° Passo: Tendo este ponto médio com centro deve-se construir uma

circunferência, basta escolher a ferramenta circunferência (quarto menu de

ferramentas), clicar no ponto médio e depois clicar em um dos vértices do lado

oposto para se escolher o raio da circunferência (imagem 22).

Imagem 22: Traçado da circunferência.

Fonte: Autor


4° Passo: Construir duas retas auxiliares, que servirão de prolongamento

dos lados do quadrado, uma do lado no qual está o centro da circunferência e a

outra do lado oposto. Pra tanto, escolhe-se a ferramenta reta (terceiro menu de

ferramentas) e clica-se em um dos vértices do lado escolhido e depois clica-se no

outro vértice, repete-se o procedimento no outro lado (imagem 23).

Imagem 23: Prolongamento dos lados do quadrado.

Fonte: Autor

5° Passo: Com a ferramenta “reta perpendicular” (quinto menu de

ferramentas) traçar uma reta perpendicular a reta que é prolongamento do lado

aonde está o centro da circunferência no ponto de interseção da reta com a

circunferência, clicando na reta e depois no ponto de interseção (imagem 24).


Imagem 24: Reta perpendicular.

Fonte: Autor

6° Passo: Utilizando a ferramenta “polígono” (terceiro menu de

ferramentas), traçar um retângulo que terá como vértices os pontos indicados na

imagem 25.

Imagem 25: Marcação dos vértices do retângulo.

Legenda: (1) o ponto de interseção da reta na qual está o centro da circunferência e a circunferência,

(2) ponto de interseção da reta com a reta perpendicular, (3) e (4) vértices do quadrado.

Fonte: Autor


5.1.3 Atividade 03: Análise das proporções no retângulo áureo

Objetivos

Que o aluno perceba que qualquer quadrado pede ser gerador de um

retângulo áureo e que esse retângulo sempre possui as mesmas proporções.

Tempo

30 minutos

Recursos


Folhas de papel.

Lápis.

Procedimentos

Finalizada a construção do retângulo o professor pede para que os alunos

meçam os lados do retângulo utilizando a ferramenta “distância ou comprimento”

(nono menu de ferramentas), clicando no primeiro ponto e depois no segundo de

cada lado. Depois, utilizando a ferramenta “calculadora” (nono menu de ferramentas)

dividir o comprimento do maior lado pelo menor e anotar o resultado. Em seguida

conforme a imagem 26 medir o comprimento do lado do quadrado (1) e do

prolongamento do vértice até a interseção coma circunferência (2).

Imagem 26: Segmento a serem medidos.

Fonte: Autor


Então dividir o comprimento do segmento (1) pelo segmento (2), e

comparar com o resultado da divisão anterior. Em seguida comparar com o resultado

dos outros alunos que começaram a atividade 02 com quadrados de tamanhos

diferentes.

Ao comparar os resultados o aluno perceberá que todos resultaram em

um mesmo número, 1,62, que é a aproximação do número de ouro, 1,618033...,

neste momento o professor explica porque o retângulo construído é dito como

perfeito pelos gregos, suas propriedades na natureza e no corpo humano e suas

aplicações.

5.1.4 Observações

Para esta etapa chegue ao seu objetivo é necessário acima de tudo que o

professor conheça a história da secção áurea21 e suas propriedades na natureza e

no corpo humano, além de um conhecimento aprofundado da construção do

retângulo áureo e suas características.

5.1.5 Resultados esperados

Ao fim desta etapa o aluno deve ter compreendido que o retângulo áureo

não é um retângulo qualquer, que possui características especifica e que pode ser

construído a partir que qualquer quadrado, desde que obedeça ao seu método de

construção. Além de entender as aplicações e sua importância tanto para

matemática quanto para as outra áreas do conhecimento, como na arte. Assim deve

responder aos seguintes questionamentos:

� Existem semelhanças matemáticas na natureza? Quais?

� O que é secção áurea?

� Qual a sua principal propriedade?

� Qual a sua importância?

� Como podemos obtê-la a partir de um quadrado?

� Onde podemos encontrá-la?

21 Que pode ser encontrada no livro Razão Áurea, a História de Fi: Um Número Surpreendente,

de Mário Lívio da Editora Recora.


5.2 Segunda etapa: Análise de fachadas

Objetivo

Mostrar a importância da secção áurea na arquitetura.

Demonstrar a influencia da secção áurea na arquitetura de Antônio Landi.

5.2.1 Atividade 04: Visita monitorada

Objetivo

Fazer com que os alunos conheçam um pouco do patrimônio histórico

edificado capital de Belém e vejam algumas das obras de um dos maiores

responsáveis pela modificação da paisagem urbana da cidade.

Tempo

3 horas.

Recursos

Câmera fotográfica.

Procedimentos

Esta atividade consiste na visita monitorada ao Complexo Feliz Lusitânia22

(imagem 27), no centro histórico de Belém. A visita deve ser orientada por um

professor de história ou algum mediador cultural, a fim de que os alunos possam

receber informações acerca da importância de Antônio Landi para o cenário

arquitetônico de Belém.

22 O complexo Feliz Lusitânia é um espaço público construído pelo governo do estado com o

intuito de valorizar a história primeiro núcleo de Belém. O complexo conta com prédios históricos que

datam a fundação de Belém, entre eles destacam-se o antigo Hospital Militar conhecido atualmente

como Casa das Onze Janelas, a Catedral Metropolitana de Belém, conhecida como Igreja da Sé, o

Museu de Arte Sacra formado pela Igreja de Santo Alexandre e o Arcebispado, o Forte do Presépio

onde está instalado o Museu do Encontro, casario da Padre Champagnat e a Praça Frei Caetano

Brandão. O complexo fica localizado próximo ao Ver-o-Peso ao redor da Praça Frei Caetano

Brandão.


Imagem 27: Complexo Feliz Lusitania.

Legenda: (1) Igreja de Santo Alexandre e Arcebispado, (2) Catedral Metropolitana de Belém, (3) Casa

das Onze Janerlas e (4) Forte do Presépio.

Fonte: Google Earth 2008

Deve ser informada aos alunos que cada período da história possui seu

estilo arquitetônico próprio, e que cada estilo possui suas regras e leis que regem o

ato de projetar. O estilo de Antônio Landi pode ser caracterizado como Barroco

Tardio, que é um estilo muito marcado pela influencia clássica que é aquela criada

pelos gregos, e como para os gregos a beleza estava diretamente ligada à

matemática, e a proporção perfeita era a secção áurea, as obras do Barroco Tardio,

como as de Antônio Landi, são exemplos claros da utilização da secção áurea no

processo projetual.

Para explicar melhor como esta influência ocorre o professor deve

capturar algumas imagens com a câmera fotográfica da Casa das Onze Janelas,

Catedral Metropolitana de Belém e da Igreja de Santo Alexandre, que são obras do

arquiteto Antônio Landi.

5.2.2 Atividade 05: Medindo a fachada da Casa das Onze janelas

Objetivo

Medir a fachada da Casa das Onze Janelas, procurando indícios da

utilização da secção áurea no processo projetual.


Tempo

15 minutos

Recursos


Fotografias das edificações de Antônio Landi.

Procedimentos

Nesta atividade o aluno deverá analisar a imagem da fachada da Casa

das Onze Janelas, utilizando o software Cabri II Plus, com o objetivo de perceber

como a secção áurea era utilizada no processo projetual. Recomenda-se utilizar a

Casa das Onze Janelas para a primeira análise inicial devido sua fachada ser menos

complexa que a dos outros edifícios (Catedral Metropolitana de Belém e da Igreja de

Santo Alexandre).

É interessante, visando uma educação cidadã consciente, que o professor

discutisse a importância de se usar imagens de autoria do professor ou de algum

aluno, devido a necessidade de se obter a autorização do autor para o uso de

qualquer imagem, para não feri os direitos autorais23.

Para o desenvolvimento dessa atividade o professor deve orientar os

alunos em alguns passos.

1° Passo: Primeiro o aluno deve inserir a imagem no software, para isto

deve clicar com o botão direito do mouse na área de desenho do Cabri II Plus.

selecionar a opção “Imagem de fundo” e então a opção “do Arquivo”, podendo-se

assim procurar o local onde está salva a imagem, selecioná-la e clicar no botão abrir.

2° Passo: Desenhar, com a ferramenta “reta” (terceiro menu de

ferramentas), uma linha base que marque o limite do telhado da Casa das Onze

Janelas, e a partir dessa reta traçar retas perpendiculares, com a ferramenta “reta

perpendicular” (quinto menu de ferramentas), a fim de que a fachada seja inserida

em um retângulo (imagem 28).

23 Segundo o art. 5º da Constituição Federal (apud CASTRO, 2008) “aos autores pertence o

direito exclusivo de utilização, publicação ou reprodução de suas obras, transmissível aos herdeiros

pelo tempo que a lei fixar”. Portanto, a utilização não autorizada de imagens pode acarretar punições

previstas por lei.


Imagem 28: Fachada inserida em um retângulo.

Fonte: Autor

3° Passo: A partir dessa marcação, desenhar um retângulo com a

ferramenta “polígono” (terceiro menu de ferramentas) clicando nos pontos de

interseção.

4° Passo: Com a ferramenta “ponto médio” (quinto menu de ferramentas),

marcar os pontos médios dos lados maiores desse retângulo, clicando nesses lados.

5° Passo: A partir desses pontos médio com a ferramenta “segmento”

(terceiro menu de ferramentas), traçar um segmento que tem como limites os pontos

médios. Desse modo o retângulo fica dividido em dois retângulos congruentes.

6° Passo: Para verificar a existência de secção áurea na fachada o aluno

deve medir os lados de um dos retângulos utilizando a ferramenta “distância ou

comprimento” (nono menu de ferramentas) e dividir utilizando a ferramenta

“calculadora” (nono menu de ferramentas) o maior pelo menor, clicando assim nos

vértices do retângulo. O aluno perceberá que os resultados, freqüentemente serão

próximos a 1,63 ou 1,62, no entanto, normalmente não serão iguais uns aos outros,

isto variará devido às posições das retas iniciais, também do ângulo foi captada a

fotografia ou também ser devido a configuração do número de casas decimais que o

Cabri II Plus deve exibir nos resultados dos cálculos com a ferramenta calculadora

(imagem 29).


Imagem 29: Identificação dos retângulos áureos.

Fonte: Autor

5.2.3 Atividade 06: Análise da fachada da Casa das Onze Janelas

Objetivo

Analisar a fachada da Casa das Onze Janelas segundo a secção áurea,

provando da utilização da mesma no processo projetual.

Tempo

30 minutos

Recursos



Procedimentos

Para confirmar geometricamente os resultados obtidos na atividade 05,

para tanto, o alunos deve seguir as seguintes orientações.

1° Passo: O aluno deve começar do 5° passo da atividade 05, e partindo

de dois vértices de um lado menor do retângulo, traçar com a ferramenta “bissetriz”

(quinto menu de ferramentas) a bissetriz desses ângulos (imagem 30).


Imagem 30: Traçado de bissetrizes.

Fonte: Autor

2° Passo: Os pontos da bissetriz que interceptam os lados maiores do

retângulo marcam os vértices do quadrado gerador do retângulo áureo. Então, com

a ferramenta “polígono” (terceiro menu de ferramentas), delinear o quadrado

clicando nos pontos de interseção e nos vértices de onde foram traçadas as

bissetrizes e por último no primeiro ponto de interseção.


clicar em um dos lados do quadrado que seja colinear a um dos lados maiores do

retângulo, marcando assim seu ponto médio.

4° Passo: Este ponto médio será o centro da circunferência, que deverá

ser desenhada coma ferramenta circunferência (quarto menu de ferramentas),

clicando no ponto médio e depois clicando em um dos vértices do lado oposto para

se escolher o raio da circunferência (imagem 31). Portanto, como essa

circunferência também contém em seus pontos um dos vértices do retângulo que

não pertencem ao quadrado, então, fica provado geometricamente, pela

demonstração feita na atividade 02, que o retângulo na fachada da Casa das Onze

Janelas é um exemplo de retângulo áureo.


Imagem 31: Demonstração geométrica do retângulo áureo.

Fonte: Autor

5.2.4 Atividade 07: Medindo uma janela da Casa das Onze Janelas

Objetivo

Medir uma janela da Casa das Onze Janelas, procurando indícios da

utilização da secção áurea no processo projetual.

Tempo

15 minutos

Recursos



Procedimentos

Continuando com a análise na fachada da Casa das Onze Janelas,

analisaremos agora uma de suas janelas, os procedimentos são parecidos com os

da análise da fachada completa, e seguem os seguintes passos.

1° Passo: Primeiro o aluno deve inserir a imagem no software, clicando

novamente com o botão do lado direito do mouse na zona de trabalho (de acordo

com o manual) do Cabri II Plus e selecionando a opção “Imagem de fundo” e “do

Arquivo”, procurando o local onde está salva a imagem, selecionando-a e clicando

no botão abrir.


2° Passo: Desenhar, com a ferramenta “reta” (terceiro menu de

ferramentas), uma linha base que marque o limite da moldura da janela e a partir

dessa reta traçar retas perpendiculares, com a ferramenta “reta perpendicular”

(quinto menu de ferramentas), para de que a janela seja inserida em um retângulo

(imagem 32).

3° Passo: Para verificar a existência da secção áurea na janela o aluno

deve medir utilizando a ferramenta “distância ou comprimento” (nono menu de

ferramentas) os lados do retângulo e dividir utilizando a ferramenta “calculadora”

(nono menu de ferramentas) o maior pelo menor, clicando assim nas interseções

das retas. O resultado esperado é aproximações dos números 1,63 ou 1,62, essas

aproximações variam devido as posições das retas iniciais, também do ângulo foi

captada a fotografia ou também ser devido a configuração do número de casas

decimais que o Cabri II Plus deve exibir nos resultados dos cálculos com a

ferramenta calculadora (imagem 32).

Imagem 32: Identificação dos retângulos áureos.

Fonte: Autor

5.2.5 Atividade 08: Análise de uma janela da Casa das Onze Janelas

Objetivo

Analisar uma janela da Casa das Onze Janelas segundo a secção áurea,



Tempo

30 minutos

Recursos



Procedimentos

Neste momento será feita a prova geométrica da existência da secção

áurea na janela da Casa das Onze Janelas, com os seguintes passos.

1° Passo: O aluno deve começar do 3° passo da atividade 07, e partindo

de dois vértices de um lado menor do retângulo, traçar com a ferramenta “bissetriz”

(quinto menu de ferramentas) a bissetriz desses ângulos.

2° Passo: Os pontos da bissetriz que interceptam os lados maiores do

retângulo marcam os vértices do quadrado gerador do retângulo áureo. Então, com

a ferramenta “polígono” (terceiro menu de ferramentas), o aluno deve delinear esse

quadrado clicando nos pontos de interseção e nos vértices de onde foram traçadas

as bissetrizes e por último no primeiro ponto de interseção.


clicar em um dos lados do quadrado que seja colinear a um dos lados maiores do

retângulo, marcando assim seu ponto médio.

4° Passo: Este ponto médio será o centro da circunferência, que deverá

ser desenhada coma ferramenta circunferência (quarto menu de ferramentas),

clicando no ponto médio e depois clicando em um dos vértices do lado oposto para

se escolher o raio da circunferência (imagem 33). Assim, como essa circunferência

também contém em seus pontos um dos vértices do retângulo que não pertencem

ao quadrado, então pela demonstração feita na atividade 02, fica provado

geometricamente a existência de retângulo áureo no desenho da janela da Casa das

Onze Janelas.


Imagem 33: Demonstração geométrica do retângulo áureo.

Fonte: Autor

5.2.6 Atividade 09: Análise da fachada da Igreja de Santo Alexandre

Objetivo

Analisar a fachada da Igreja de Santo Alexandre segundo a secção áurea,


Tempo

1hora e 30 minutos

Recursos



Procedimentos

Esta atividade consiste na análise da fachada da Igreja de Santo

Alexandre e se assemelha as atividades anteriores, no entanto, a partir dessa

atividade os alunos é quem deveram escolher os passos a serem dados com a

devida orientação do professor, para que ao final dessa atividade sejam encontrados

no mínimo os seguintes retângulos áureos.


1° Retângulo: Retângulo gerador da largura da fachada (imagem 34).

Imagem 34: Retângulo áureo 01 da Igreja de Santo Alexandre.

Fonte: Autor

2° Retângulo: Retângulo gerador da altura da fachada (imagem 35).


Fonte: Autor


3° Retângulo: Retângulo gerador das dimensões das torres (imagem 36).


Fonte: Autor

4° Retângulo: Retângulo da altura da marcação da fachada (imagem 37).


Fonte: Autor




Fonte: Autor

6° Retângulo: Retângulo da altura da cruz em relação à largura da

fachada (imagem 39).


Fonte: Autor




Fonte: Autor

8° Retângulo: Retângulo da altura do braço da cruz na fachada (imagem

41).


Fonte: Autor


9° Retângulo: Retângulo da largura da parte central da fachada (imagem

42).


Fonte: Autor

10° Retângulo: Retângulo da porta central (imagem 43).


Fonte: Autor


11° Retângulo: Retângulo da porta lateral (imagem 44).


Fonte: Autor

5.2.7 Atividade 10: Análise da fachada da Catedral Metropolitana de Belém

Objetivo

Analisar a fachada da Catedral Metropolitana de Belém segundo a secção

áurea, provando da utilização da mesma no processo projetual.

Tempo

1hora e 30 minutos

Recursos



Procedimentos

Esta última atividade tem como objetivo a análise de uma fachada mais

complexa, como a da Catedral Metropolitana de Belém. Novamente deve ser uma

atividade na qual os procedimentos deve ser conduzidos pelo próprio aluno, todavia,

sempre orientados pelo professor para que se cheguem a identificação de no

mínimo os seguintes retângulos áureos.


1° Retângulo: Retângulo gerador da largura da fachada (imagem 45).

Imagem 45: Retângulo áureo 01 da Catedral Metropolitana de Belém.

Fonte: Autor

2° Retângulo: Retângulo gerador da altura da fachada (imagem 46).


Fonte: Autor


3° Retângulo: Retângulo demarcador da largura da parte central da



Fonte: Autor

4° Retângulo: Retângulo demarcador da altura da parte central da



Fonte: Autor


5° Retângulo: Retângulo da marcação da fachada (imagem 49).


Fonte: Autor

6° Retângulo: Retângulo da marcação da fachada (imagem 50).


Fonte: Autor


7° Retângulo: Retângulo das dimensões da porta central e da sua

moldura (imagem 51).


Fonte: Autor

8° Retângulo: Retângulo das dimensões da torre (imagem 52).


Fonte: Autor


9° Retângulo: Retângulo da largura da fachada na parte superior (imagem

53).


Fonte: Autor

10° Retângulo: Retângulo delimitador da largura da parte central superior

da fachada (imagem 54).


Fonte: Autor


11° Retângulo: Retângulo da altura do braço da cruz com a largura da

parte central (imagem 55).


Fonte: Autor

12° Retângulo: Retângulo da relação da torre coma parte central (imagem

56).


Fonte: Autor


5.2.8 Observações

É imprescindível que para estas atividades o professor teste as

dimensões das imagens, para garantir que não será necessário diminuir suas

dimensões para que fiquem visíveis por inteiro na tela do Cabri II Plus. Se for preciso

diminuir as dimensões o professor precisa tomar cuidado pra não alterar as

proporções das imagens, o que prejudicará as atividades.

Os exemplos citados nas atividades 09 e 10, não são de nenhum modo

únicos, os alunos poderão encontrar retângulos áureos não citados nas atividades,

no entanto é importante que o professor esteja preparado para orientar a análise de

pelo menos os exemplos citados.

5.2.9 Resultados esperados

Espera-se que ao fim desta etapa o aluno possa ter plena noção do

conceito de secção áurea e sua aplicação, especialmente na arquitetura. Além de

compreender a importância da matemática no processo projetual e na história da

arquitetura. Assim ao fim desta etapa espera-se que o aluno possa responder aos

seguintes questionamentos:

� Qual a importância da secção áurea na história da arquitetura?

� Qual a utilidade da secção áurea na arquitetura de Antônio Landi?

� Como se pode demonstrar a existência se secção áurea na arquitetura de

Antônio Landi?


6 CONCLUSÃO

A relação da matemática com arquitetura é extremamente ampla, não

podendo ser resumida e muito menos sua utilidade para o ensino ser descrita em

algumas páginas. O que pode ser ignorado por educadores é o potencial educativo

que esta relação pode gerar, tendo em vista que a arquitetura faz parte do cotidiano

de qualquer aluno e que uma forma de facilitar e desmistificar o ensino da

matemática é mostrar como ela está presente na realidade que o aluno vive.

Na maioria dos livros didáticos essas relações ainda são pouco

exploradas, ou são subestimadas, sendo reduzidas a notas ou textos

complementares. Espera-se que os autores atentem as pesquisas, especialmente as

que trabalham com modelagem matemática, e possam na reformulação de seus

livros inserirem atividades que envolvam o cotidiano do aluno, em especial a

arquitetura.

Acredita-se que os meios informatizados são uma forma de atrair a

atenção dos alunos, despertando sua curiosidade e seu senso crítico e investigativo,

sendo assim importantes ferramentas no processo de ensino e aprendizagem. No

caso da geometria, os programas de geometria dinâmica contribuem

substancialmente para o ensino ao tornarem visíveis transformações outrora

abstratas.

Este trabalho de forma alguma expressa a única forma de se abordar

secção áurea, mas tenta com algumas idéias que foram convertidas em uma

proposta de seqüência didática encontrar um modo mais adequado e eficiente de

ministrar o tema quando comparado com a forma tradicional de ensino (definição,

exemplo e exercício).

A seqüência didática teve foco na arquitetura de Antônio Landi devido a

sua importância para a cidade de Belém. Como sugestão para outras atividades

podem ser utilizados outros prédios do arquiteto Antônio Landi, e.g., o Palácio Lauro

Sodré, que atualmente funciona como Museu Histórico do Estado do Pará, a Igreja

de Nossa Senhora do Carmo e a Capela de São João, dentre outros exemplos

espalhados pela cidade Belém. No entanto, nada impede que esta atividade possa

ser feita com imagens de templos gregos e igrejas renascentistas, ou até mesmo

com prédio históricos de outra cidade, sendo esta última opção a mais recomendada


para que o aluno possa ter contato com o patrimônio arquitetônico e entenda a

importância de sua preservação.

As maiores dificuldades que podem ser encontradas ao tentar realizar a

proposta em uma escola pode ser em primeiro lugar a falta ou o pequeno número de

equipamentos adequados, em segundo lugar a inexistência do software Cabri II

Plus, pelo fato de não ser um software livre e por ultimo a ausência de profissionais

preparados para trabalhar com o ensino por meio de informática, sendo esta ultima

uma deficiência que pode ser superada se o professor se esforçar e tiver disposição

para reciclar seus conhecimentos e adquirir novos. Uma opção livre e aberta para

substituir o Cabri II Plus é utilizar o software de geometria dinâmica Régua e

Compasso (GROTHMANN, 2009) que apesar de originalmente apresentar sua

interface em Alemão possui uma versão em Português (BORTOLOSSI, 2009).

Assim espera-se que este trabalho seja fonte de inspiração para

professores e futuros professores que encontrarão em seu caminho a tarefa de

ensinar e preparar cidadãos para uma sociedade cada vez mais moderna, sabendo

que os educadores são os principais responsáveis por quebra de paradigmas que a

envolvem, no entanto, é preciso ser um profissional que se desafie a cada dia a

realizar o melhor.


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tcc aline gomes - uepavou resistir, minha alma entregue para ti senhor, tudo o que sou é seu. e o...

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