TAREFAS INVESTIGATIVAS PROMOVENDO O PENSAMENTO MATEMÁTICO EM

ALUNOS DA EDUCAÇÃO BÁSICA

Elisangela Araujo Sanches, (IC, Fundação Araucária), UNESPAR/FECILCAM, ea_sanches18@yahoo.com

Willian Beline, (OR), UNESPAR/FECILCAM), wbeline@gmail.com

.

INTRODUÇÃO

Esta pesquisa teve como objetivo analisar as contribuições e limites de investigações

matemáticas em relação ao pensamento algébrico trabalhado no sétimo ano do Ensino Fundamental.

Escolhemos aplicar tarefas investigativas relacionadas ao estudo das Sequências e Regularidade

porque auxilia o aluno a desenvolver sua habilidade de fazer generalizações. Portanto, pretendemos

com este trabalho avaliar de que forma as tarefas investigativas amenizam o processo de ensino e de

aprendizagem dos conteúdos algébricos, para isto, apresentamos como estratégia de ensino as

investigações matemáticas.

As investigações matemáticas em sala de aula permitem o educando procure informações a

respeito das propriedades dos objetos matemáticos proporcionando a ele uma atividade matemática

que se assemelha ao trabalho dos matemáticos profissionais. As tarefas exploratório-investigativas

geralmente são abertas e pouco estruturadas, permite que o aluno explore, primeiramente tateando à

procura de regularidades; permite que o aluno elabore suas próprias questões , elabore conjecturas e

busque justifica-las na busca por respostas.

Assim uma aula investigativa se estrutura em: introduzir a tarefa exploratório-investigativa,

em desenvolver a investigação matemática e na discussão dos resultados encontrados pelos

investigadores (alunos). Esta dinâmica ocorre da seguinte maneira, o professor apresenta a tarefa

oralmente ou por escrito aos alunos, estes por sua vez começam a explorar as relações dos objetos

matemáticos apresentados na tarefa, formando assim conjecturas a respeito de sua exploração

preliminar, estas conjecturas podem ou não ser validadas durante o processo de investigação e ao final

os alunos apresentam seus resultados e discutem sobre estes tendo o professor como mediador.

Por último apresentamos a descrição e a análise das tarefas investigativas que foram aplicadas

no primeiro semestre de 2013, no Colégio Estadual Campina da Lagoa do Município de Campina da

Lagoa. Concluindo que as investigações matemáticas em sala de aula auxilia o professor a identificar

as dificuldades dos alunos durante o processo de aprendizagem, além de contribuir para o

desenvolvimento do pensamento algébrico, de forma que os alunos conseguiram identificar as

regularidades de determinadas sequências.

INVESTIGAÇÃO MATEMÁTICA NO CAMPO DA ÁLGEBRA

Investigar significa a procura de conhecer o desconhecido, portanto o termo investigar pode

ser usado para designar atividades que envolvam procura de informação (PONTE; BROCADO,

OLIVEIRA, 2009). Podemos então dizer que as investigações matemáticas em sala de aula é a busca

do conhecimento matemático, assim segundo Ponte, Brocado e Oliveira (2009, p. 13) “para os

matemáticos profissionais, investigar é descobrir relações entre objetos matemáticos conhecidos ou

desconhecidos, procurando identificar as suas respectivas propriedades”.

A investigação matemática pensada no ambiente escolar como uma metodologia de ensino

contribui com o processo de ensino-aprendizado dos alunos porque proporciona ao estudante o como

fazer matemática.

Tudella et al. (1999, p. 1) afirma que “as aulas com investigações matemáticas possuem uma

dinâmica diferente que proporciona aos alunos uma atividade parecida com os dos matemáticos

profissionais”, ou seja, a investigação estabelece outra perspectiva sobre as aulas de matemática vez

que proporcionam aos educandos realização de tarefas exploratório-investigativa e formulação de

conjecturas, testes e reflexões sobre as mesmas.

O conceito de investigação matemática, como atividade de ensino- aprendizagem, ajuda a trazer para a sala de aula o espírito da atividade matemática genuína, constituindo, por isso, uma poderosa metáfora educativa. O aluno é chamado a agir como um matemático, não só na formulação de questões e conjecturas e na realização de provas e refutações, mas também na apresentação de resultados e na discussão e argumentação com os seus colegas e o professor (PONTE; BROCADO, OLIVEIRA, 2009, p. 23).

Quando utilizamos a investigação matemática no processo de ensino e de aprendizagem como

um recurso metodológico, os alunos conseguem explorarem o conteúdo estudado; a investigação

estimula os alunos a utilizarem os conhecimentos matemáticos já vistos em sala de aula, de modo que

esses conhecimentos auxiliam os alunos a compreenderem os procedimentos matemáticos que serão

feitos durante a investigação, permitindo assim aos educandos uma melhor apropriação do objeto de

estudo.

A prática da investigação matemática envolve quatro pilares.

O primeiro abrange o reconhecimento da situação, a sua exploração preliminar e a formulação de questões. O segundo momento refere-se ao processo de formulação de conjecturas. O terceiro inclui a realização de testes e o eventual refinamento das conjecturas. E, finalmente, o último diz respeito à argumentação, à demonstração e

avaliação do trabalho realizado. Esses momentos surgem, muitas vezes, em simultâneo: a formulação das questões e a conjectura inicial, ou a conjectura e o seu teste, etc. (PONTE; BROCADO, OLIVEIRA, 2009, p. 20).

De acordo com Ponte, Brocado e Oliveira (2009) a atividade investigativa é composta na

maioria das vezes na introdução da tarefa, no desenvolvimento da investigação e a na discussão dos

resultados.

Ao introduzir uma tarefa exploratório-investigativa em sala de aula o professor deve

apresenta-la brevemente aos seus alunos, oralmente ou por escrito, para que compreendam o que esta

sendo pedido para realização da mesma. Como as tarefas exploratório-investigativas são pouco

estruturadas, os educandos começam a perceberem que necessitam formularem hipóteses em relação

às questões investigadas (PONTE; BROCADO; OLIVEIRA, 2009).

Assim, com o decorrer da atividade investigativa os alunos compreendem que suas hipóteses

formuladas têm aspecto temporário e precisam ser testadas. Após esse teste, os alunos passam a

explicarem suas hipóteses com a utilização dos recursos matemáticos, para então apresentarem de

forma expositiva suas conclusões aos demais alunos (PONTE; BROCADO; OLIVEIRA, 2009).

A fase de discussão é, pois, fundamental para que os alunos, por um lado, ganhem um entendimento mais rico do que significa investigar e, por outro, desenvolvam a capacidade de comunicar matematicamente e de refletir sobre o seu trabalho e o seu poder de argumentação. Podemos mesmo afirmar que, sem a discussão final, se corre o risco de perde o sentido da investigação (PONTE; BROCADO, OLIVEIRA, 2009, p. 41).

Cabe ao professor fazer intervenções no processo da investigação quando necessário, mas

deve estar atento, pois conforme Tudella et al. (1999, p. 4) “[...] o professor deve evitar emitir

opiniões muito concretas. Se confirma ideias e soluções, se mostra a intenção de se chegar a

determinadas conclusões ou mostra saber o que vai acontecer, então, para o aluno, “o saber” continua

centrado no professor [...]” e se o professor evita tais atitudes, ele oportuniza os alunos de

reconhecerem os caminhos a serem seguidos na investigação, por meio de suas observações e

conhecimentos. Assim o professor não aniquila as diferentes opiniões sobre o determinado assunto

estudado, o que acarreta em uma discussão rica.

As investigações matemáticas realizadas pelos alunos por meio de tarefas exploratório-

investigativas nas aulas de matemática promove o raciocínio lógico, este raciocínio ajuda a

compreender melhor as ferramentas matemáticas utilizadas. Esperamos que a utilização das

investigações matemática auxilie o aluno a compreender o ensino das Sequências e regularidades.

O tópico Sequências e Regularidades percorre todo o ensino básico, tendo como principal objectivo contribuir para o desenvolvimento do pensamento algébrico dos alunos. No 1.º ciclo, este tópico integra o tema Números e operações, envolvendo a exploração de regularidades numéricas em sequências e em tabelas de números. Os alunos identificam a lei de formação de uma dada sequência e expressam-na por palavras suas. Este trabalho contribui para o desenvolvimento do sentido de número nos alunos e constitui uma base para o desenvolvimento da sua capacidade de generalização. Nos 2.º e 3.º ciclos, este tópico está incluído no tema Álgebra, envolvendo tanto a exploração de sequências como o uso da linguagem simbólica para as representar. No 2.º ciclo, os alunos contactam com conceitos como “termo” e “ordem”. No 3.º ciclo, usa-se a linguagem algébrica para expressar generalizações, nomeadamente para representar o termo geral de uma sequência e promover a compreensão das expressões algébricas e o desenvolvimento da capacidade de abstracção nos alunos (PONTE; BRANCO, MATOS, 2009, p. 40).

A matemática foi desenvolvida pelas civilizações com o passar dos séculos, inicialmente pela

necessidade do ser humano de resolver problemas práticos, como dividir seus alimentos, lidar com a

medição de terras para a agricultura e construir seus monumentos. É possível dizer que as origens da

álgebra vêm da formalização de certas técnicas de resolução de problemas já utilizadas pelos antigos,

pois foram encontrados alguns vestígios disto nas civilizações antigas do Egito, da Babilônia e da

Índia. A História nos confirma que os problemas algébricos estavam presentes nos papiros egípcios,

em especial nos papiros de Rhind e Ahmes. Nestes papiros encontra-se também problemas

relacionados à aritmética, geometria e trigonometria (BOYER, 1996).

Em termos epistemológicos, a natureza de cada campo da Matemática está relacionada com os objectos com que esse campo trabalha mais directamente. Podemos então perguntar: Quais são os objectos fundamentais da Álgebra? Há trezentos anos a resposta seria certamente: “expressões e equações”. Hoje em dia, essa resposta já não satisfaz, uma vez que no centro da Álgebra estão relações matemáticas abstractas, que tanto podem ser expressas por equações, inequações ou funções como podem ser representadas por outras estruturas definidas por operações ou relações em conjuntos (PONTE; BRANCO, MATOS, 2009, p. 7).

Assim como já dissemos, a álgebra surgiu com a necessidade dos antigos de resolverem

problemas práticos, mas ao longo do tempo o homem começou a fazer progressos em relação aos

valores numéricos e das relações espaciais, passando de simples símbolos para realizar contagens à

sistematização de conjuntos numéricos. Deste modo o desenvolvimento da matemática não se deu

somente pela aplicação prática, mas também pelo pensamento abstrato (PARANÁ, 2008).

Atualmente o conhecimento algébrico é requisito indispensável no currículo escolar. Para tanto, é importante apresentarmos nossa compreensão sobre as definições de álgebra e pensamento algébrico. Entendemos por pensamento algébrico a atividade do intelecto ou da razão, que age em oposição aos sentidos e à vontade manifestando a habilidade de abstrair e generalizar situações concretas ou as situações gerais na matemática. Nossa definição de álgebra perpassa a idéia de um campo da matemática, de uma linguagem que utiliza os signos e símbolos, juntamente com as

propriedades da aritmética para expressar idéias gerais na matemática (SANTOS; WAGNER, 2009, p. 4).

De acordo com as Diretrizes e Bases da Educação Básica do Paraná “para o ensino

Fundamental, o conteúdo estruturante Números e Álgebra se desdobra nos seguintes conteúdos:

conjuntos numéricos e operações, equações e inequações, polinômios e proporcionalidade.”

(PARANÁ, 2008, p. 49). Assim sendo é de extrema importância que os alunos compreendem a

essência dos conteúdos algébricos no Ensino Fundamental, pois o estudo da álgebra promove neles

aptidões matemáticas.

Deste modo o pensamento algébrico inclui a capacidade de lidar com expressões algébricas, equações, inequações, sistemas de equações e de inequações e funções. Inclui, igualmente, a capacidade de lidar com outras relações e estruturas matemáticas e usá-las na interpretação e resolução de problemas matemáticos ou de outros domínios (PONTE; BRANCO, MATOS, 2009, p. 11).

Assim “[...] aprender Álgebra implica ser capaz de pensar algebricamente numa diversidade

de situações, envolvendo relações, regularidades, variação e modelação. Resumir a actividade

algébrica à manipulação simbólica equivale a reduzir a riqueza da Álgebra a apenas a uma das suas

facetas.” (PONTE; BRANCO; MATOS, 2009, p. 10).

Nossa pesquisa é de caráter qualitativo e “a pesquisa qualitativa é o caminho para se fugir da

mesmice. Lida e dá atenção às suas idéias, procura fazer sentido de discursos e narrativas que estariam

silenciosas. E a análise dos resultados permitirá propor os próximos passos” (D´AMBROSIO, 2004, p.

21).

RELATO DAS TAREFAS INVESTIGATIVAS PROPOSTAS EM SALA DE AULA

Duas tarefas investigativas envolvendo regularidades e sequências denominadas

respectivamente Regularidades nas potências e O que tem em Comum foram aplicadas em uma turma

do sétimo ano do colégio Estadual Campina da Lagoa no município de Campina da Lagoa, escolhendo

este município por este fazer parte da COMCAM1.

O Colégio Estadual Campina da Lagoa, é uma das escolas mais antigas do município, sendo o

colégio em que estudei meu ensino Fundamental e médio. As tarefas investigativas foram aplicadas no

primeiro semestre de 2013 e, durante a aplicação das tarefas, contamos com o apoio da professora

regente da turma.

1 Comunidade dos Municípios da Região de Campo Mourão.

Propomos a investigação matemática para introduzir o pensamento algébrico no sétimo ano do

Ensino Fundamental, as tarefas que foram aplicadas evidenciam o trabalho dos alunos em relação ao

estudo das Sequências e Regularidades.

A seguir apresentaremos as tarefas que foram aplicadas no sétimo ano do Ensino

Fundamental.

Tarefa 1: Regularidades nas potências2

1- O número 729 pode ser escrito como uma potência de base 3. Para verificar basta

escrever uma tabela com consecutivas potências de base 3:

• Escrever como uma potência de base 2

• Que conjecturas você pode fazer acerca dos números que podem ser escritos como

potências de base 2? E como potências de base 3?

2- Repara que os cubos dos primeiros números naturais obedecem as seguintes relações:

2 Fonte: Investigações Matemáticas na Sala de Aula. Projeto: Explorar e Investigar para Aprender Matemática. Centro de Investigações em Educação da Faculdade de Lisboa. 1998.

• Nota que, no exemplo acima, foi escrito como uma “soma” com um único número

ímpar, como a soma de dois números ímpares e como a soma de três números

ímpares. Será que o cubo de qualquer número pode ser escrito como a soma de

números ímpares.

A realização desta tarefa ocorreu no dia doze de março de dois mil e treze e foram necessárias

duas horas aula, sendo aulas geminadas, esta tarefa foi aplicada no primeiro dia em sala de aula e

estavam presentes trinta e quatro alunos que foram divididos em cinco equipes, os quais

denominaremos de A, B, C, D e E para garantir o anonimato dos alunos.

Encontramos resistência dos alunos para dividir as equipes com igual número de alunos, pois

os alunos não estão acostumados a trabalharem em grupo e a interagirem com diferentes grupos de

colegas nas aulas de matemática, portanto ao percebermos que esta resistência impediria a

continuidade do trabalho em sala de aula permitimos que os alunos escolhessem os grupos. A seguir

apresentaremos na tabela abaixo como ficou a distribuição dos alunos por equipe.

Equipes Quantidades de alunos por equipe

A 8

B 4

C 8

D 6

E 8

Tabela 1: número de alunos por equipe.

Tarefa 2: O Que Tem Em Comum3

1- Calcula

3 Fonte: Investigações Matemáticas na Sala de Aula. Projeto: Explorar e Investigar para Aprender Matemática. Centro de Investigações em Educação da Faculdade de Lisboa. 1998.

Investiga se existem característica comuns entre os números que se obtém +por meio desse processo.

A tarefa 2 foi aplicada no dia vinte e nove de maio de dois mil e treze contando com a

participação de vinte oito alunos e para sua realização foram necessárias duas horas aula geminada.

Esta atividade denominada o que tem em comum também evidencia o trabalho dos alunos com

sequência numérica que utiliza a noção de potência.

Os alunos se dividiram em seis equipes, sendo que duas alunas não quiseram se juntar aos

demais alunos, mostraram-se resistentes formando assim uma dupla para resolver a situação dada. A

seguir apresentaremos a tabela da distribuição dos alunos nesta atividade.

Equipes Quantidades de alunos por equipe

A 7

B 5

C 6

D 4

E 2

F 4

Tabela 2: número de alunos por equipe.

Descrição e Análise dos Dados

Tarefa 1.1

Explorando as regularidades nas potências

Na tarefa 1.1, os alunos apresentaram dificuldades em relação à noção de potência. Todos os

grupos solicitaram o auxilio da professora para compreenderem o conceito de potência, diante deste

fato, foi retomado o conceito de potência com cada grupo para prosseguir com a tarefa proposta.

A equipe C apresentou também apresentou dificuldades com a operação de multiplicação, esta

dificuldade mostrou-se prejudicial para o grupo desenvolver a questão 1. O grupo C conclui que todo

número pode ser escrito como uma potencia de base 2, não percebendo que o número duzentos e o mil

não podiam ser escritos como potencia de base 2, como observamos no relato abaixo:

Este grupo mostrou-se disperso no início da atividade, no entanto passado um

determinado tempo uma das alunas tomou a liderança e disse:

Aluna1:Gente é sério, agora vamos começar!.

Aluna 2: Quanto é sessenta e quatro vezes dois?

Aluna1: 128, ... Ah! Já entendi a resposta esta aqui

Aluna3: cadê?

Aluna1: cento e vinte oito vezes dois vai dar duzentos, que é a resposta do debaixo.

Aluna 3: Eh! Verdade!

Por este dialogo observamos que as alunas apresentaram dificuldades nos cálculos, mesmo

compreendendo a noção de potência.

Imagem 1: Resolução do grupo 3 para a questão1

Todos os grupos demonstraram interesse na realização da tarefa proposta, no entanto as

equipes A, B, D e E desenvolveram os cálculos sem dificuldades ao longo da realização da tarefa.

Ao realizarem suas explorações se deparam com números que não podiam ser escritos na base

2, logo levantaram suas conjecturas como vemos no diálogo da equipe D:

Aluna1: duas vezes dois é igual a quatro, quatro vezes dois é igual a dezesseis,

dezesseis vezes dois é igual a trinta e dois, trinta e dois vezes dois é igual a sessenta

e quatro, sessenta quatro vezes dois é igual a cento e vinte oito e cento e vinte oito

vai dar mais do que duzentos.

Aluna2: vai dar mais que duzentos?

Diante desse questionamento, por obterem a reposta, solicitaram o auxilio da

professora. Então a professora fez o seguinte questionamento:

Professora: Será que é possível escrever o número duzentos na base 2?

Assim os alunos chegaram a conclusão que o duzentos não poderia ser escrito na base 2, como

podemos observar na imagem abaixo:

Imagem 2: Resolução do grupo D para questão 1

A equipe D ainda conjecturou e concluí que qualquer potencia (inteiro) de base 2 é um número

par e que toda potencia (inteiro) de base 3 é um número impar.

Imagem 3: Resolução do grupo D para questão 1

O grupo A mostrou uma generalização dos seus resultados, pois perceberam que todo número

terminado em zero não poderia ser escrito como uma potencia de base 2, ou seja, a sequencia dos

números terminados em zero não poderiam ser escritos como potência de base 2.

Imagem 4: Resolução do grupo A para questão 1

Tarefa 1 .2

Na tarefa 1.2 Quando os alunos da equipe D começaram explorar se qualquer número elevado

ao cubo pode ser escrito como a soma de números ímpares, concluíram em um primeiro momento que

todos os números elevados ao cubo poderiam ser escritos como a soma de números ímpares.

No entanto quando a professora perguntou se o número quatro elevado ao cubo poderia ser

escrito desta forma, vimos que os alunos perceberam que necessitavam verificar se demais números

elevados ao cubo poderiam ser escrito como a soma de números ímpares. Diante deste fato,

começaram a explorar para os demais números, percebendo assim que os resultados da soma

formavam uma sequência de números primos, mas não conseguiram prosseguir a sua exploração, por

causa da duração da tarefa realizada.

3.1.2 Tarefa 2

Nesta tarefa 2 observamos que os alunos não apresentaram dificuldades com os cálculos.

Diante disto notamos que houve a aprendizagem do conceito de potência. Observamos que as tarefas

investigativas auxiliam o professor a levar a atividade matemática para a sala de aula, conseguindo

assim verificar se os conceitos matemáticos vistos até o momento foram aprendidos ao mesmo tempo

em que apresenta novos conceitos.

Ao realizar esta tarefa observamos que as equipes estavam familiarizadas com a dinâmica de

uma aula investigativa. Houve dedicação da maioria dos alunos para realizarem a atividade proposta,

menos a equipe E que não realizou a tarefa.

As equipes A, B, C, D e F apresentaram que dois é o divisor em comum dos resultados de

cada cálculo da sequencia. A equipe A apresentou que o três também é um divisor comum dos

resultados e interessante destacar os cálculos da equipe A em relação sequência dada, pois ao

explorarem estes cálculos colocaram o resultado de um número natural elevado ao cubo em destaque

como vemos na Imagem abaixo:

Imagem 5: Resolução da Equipe A da questão 1

Percebemos que os alunos não conseguiam prosseguir com sua exploração sugerimos que

explorassem a expressão com que define os valores numéricos da sequência que lhes

foi apresentada na tarefa 2 , portanto ao explorarem a variação de em um intervalo de 1 a 4

concluíram que esta poderia ser a expressão que definia a sequência que lhes foi apresentada.

Imagem 6: Cálculo da equipe B para a tarefa 2

Imagem 7: Conclusão da equipe B para a tarefa 2

CONSIDERAÇÕES FINAIS

Observamos que o trabalho com tarefas investigativas não é uma realidade no cotidiano dos

alunos, por isto sentimos resistência ao início da aplicação do nosso projeto em sala de aula, no

entanto ao longo de nossa frequência à sala de aula percebemos que os alunos estavam mais

familiarizados com este tipo de tarefa aberta.

Mediante a experiência da aplicação de tarefas exploratório-investigativas notamos que a

aplicação destas tarefas permite que o professor perceba as dificuldades que os alunos possuem com

conceitos matemáticos, diante disto o professor pode fazer uma breve revisão destes conceitos sempre

tendo como objetivo o aprendizado dos alunos, ou seja, as tarefas investigativas contribuíram com o

trabalho do professor.

Perante a afirmação dos autores Ponte Branco e Matos (2009) que o objetivo central do estudo

das Sequências e Regularidades é contribuir com o desenvolvimento algébrico dos alunos, e que a

identificação de uma regularidade em uma dada sequencia expressa inclusive em palavras, constitui

uma base para o desenvolvimento da capacidade de generalização do aluno. Podemos concluir que as

investigações matemáticas em sala de aula contribuíram com o desenvolvimento do pensamento

algébrico dos alunos, pois os alunos conseguiram identificar regularidades em sequências numéricas,

no entanto foi pouco explorado o uso da linguagem simbólica para representar as sequências.

REFERÊNCIAS

BOYER, Carl B. História da matemática. 2. ed. São Paulo: Edgard Blücher Ltda, 1996. D´AMBROSIO, U. Prefácio. In: Pesquisa Qualitativa em Educação Matemática. Coleção Tendências em Educação Matemática. São Paulo: Editora Autêntica, 2004. PARANÁ. Secretaria de Estado da Educação do Paraná. Diretrizes Curriculares da Educação Básica: Matemática. Secretaria de Estado da Educação do Paraná 2008. 81p. PONTE, J. P.; BROCADO, J; OLIVEIRA, H. Investigação Matemáticas na Sala de Aula. 2ª ed. Belo Horizonte: Autêntica, 2009, 160 p. PONTE, J. P; BRANCO, N.; MATOS, A. Álgebra no Ensino Básico. 2009. 180p. SANTOS, L. G.; WAGNER, V. M. P. S. Uma Investigação Sobre o Desenvolvimento do Pensamento Algébrico em Alunos e o que Pensam Alguns Professores e Autores de Livros Didáticos. In: X Encontro Gaúcho de Educação Matemática, 2009, Ijuí. Anais... Ijuí: UNIJUÍ, 2009. 14p. TUDELLA, A. et al. Dinâmica de uma aula com investigações. In: ABRANTES, P.; PONTE, J. P.; FONSECA, H.; BRUNHEIRA, L. (Eds.), Investigações matemáticas na aula e no currículo. Lisboa: Projecto MPT e APM, 1999, p. 87-96. Disponível em: <http://ia.fc.ul.pt/>. Acesso em: 19 fev. 2013