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243

Generalidades acerca de sucessões8UNIDADE

TAREFAS E AVALIAR CONHECIMENTOS

8.1 Sucessões numéricas

Tarefa 1 Um grupo de amigos vai jantar a um restaurante onde as mesas existentes, dispostas individualmente, permitem sentar confortavelmente quatro pessoas.

As figuras seguintes ilustram a disposição que as cadeiras devem ter, à volta das mesas, juntando duas mesas, três mesas, etc., de forma a sentar o número máximo de pessoas, confortavelmente.

1.1 Qual é o número máximo de amigos que se podem sentar confortavelmente se juntarem 10 mesas? E 20 mesas?

1.2 Qual é o número mínimo de mesas necessárias para sentar confortavelmente 100 amigos?

1.3 Na inauguração da ponte Vasco da Gama foi servida uma feijoada em cima da ponte. Admitindo que foram usadas 11 000 mesas como estas, colocadas juntas ao longo da ponte, indique o número máximo de pessoas que se sentaram à mesa confortavelmente.

1.4 Determine o número máximo, N , de amigos que é possível sentar confortavelmente em função do número, n , de mesas juntas.

1.1 Para 10 mesas tem-se 2 × 10 + 2 = 22 pessoas e para 20 mesas são 2 × 20 + 2 = 42 pessoas.

1.2 Como 2

100 2- = 49 , então, são necessárias 49 mesas.

1.3 Para 11 000 mesas tem-se 2 × 11 000 + 2 = 22 002 pessoas.

1.4 N = 2n + 2

u3p8h1 u3p8h2 u3p8h3

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244

Generalidades acerca de sucessões

1 Nas figuras seguintes estão representados o 1.o, o 2.o e o 3.o termos de uma sucessão.

1.1 Represente o 4.º e o 5.º termos desta sucessão.

1.2 Sendo n a ordem da figura, indique, em função de n :

a) o número de quadradinhos brancos.

b) o número total de quadradinhos.

1.1

1.2 a) 2n(n - 1) + n = 2n2 - n

b) (2n + 1)n = 2n2 + n

2 Nas figuras seguintes estão os três primeiros termos de uma sucessão de quadrados construídos com fósforos.

1

u3p8h5

2

u3p8h6

4

u3p8h7

u3p9h2

u3p9h3

u3p9h4

u3p184hs1u3p184hs2

4.o termo 5.o termo

Supondo que o processo de construção de cada quadrado se mantém, determine:

a) o número de fósforos necessários para construir a figura de ordem 20 .

b) um termo geral da sucessão do número total de fósforos.

a) Contando separadamente os fósforos verticais e horizontais, obtém-se

21 × 20 + 20 × 21 = 2 × 20 × 21 = 840 fósforos.

b) 2n(n + 1) = 2n2 + 2n

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245

8UNIDADEDomínio 3 SUCESSÕES

3 Indique um termo geral da sucessão cujos primeiros termos são:

a) 0, 3, 8, 15, 24, … b) 1, 4, 7, 10, …

a) n2 - 1 b) 3n - 2

4 Calcule o 2.o e o 10.o termos da sucessão de termo geral:

a) un = n

n1 22 3-

+b) vn = (-1)2n + 1 n

3

a) u2 = 1 2 22 2 3

##-

+ = -

37

e u10 = 1 2 102 10 3

##-

+ = -

1923

b) v2 = (-1)2 × 2 + 1 23

= -23

e v10 = (-1)2 × 10 + 1 103

= -103

5 Averigue se -2 é termo de alguma das sucessões seguintes, e, se o for, indique a sua ordem.

a) an = nn

33 1

+-

b) bn = n

n3

3 52-

+

c) cn = n2 - 2n - 2

d) dn = n 3+ - 4

e) en = -6 + 2 n 1+

a) an = -2 + nn

33 1

+-

= -2 + 3n - 1 = -2n - 6 + n = -1 " IN

Logo, -2 não é termo de (an) .

b) bn = -2 + n

n3

3 52 -

+ = -2 + 3 + 5n = -2n2 + 6 +

+ 2n2 + 5n - 3 = 0 + n = ( )

2 25 25 4 2 3

#

! # #- - - +

+ n = 4

5 7!- + n = -3 0 n =

21

Como -3, 21

" IN , -2 não é termo de (bn) .

c) cn = -2 + n2 - 2n - 2 = -2 + n(n - 2) = 0 + n = 0 0 n = 2 Como 2 ! IN , -2 é termo de (cn) , de ordem 2 .

d) dn = -2 + qn + 3u - 4 = -2 + qn + 3u = 2 + + n + 3 = 2 0 n + 3 = -2 + n = -1 0 n = -5 Como -1 , -5 " IN , -2 não é termo de (dn) .

e) en = -2 + -6 + 2 n 1+ = -2 + n 1+ = 2 & n + 1 = 4 + + n = 3 ! IN Como 3 é solução da equação, pois -6 + 2 3 1+ = -2 ,

-2 é termo de (en) de ordem 3 .

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Tarefa 2 Considere a sequência de figuras seguinte.

N.º da figura 1 2 3 4

Figura

u3p10h1u3p10h2 u3p10h3 u3p10h4Seja (un) a sucessão que ao número de triângulos de cada figura faz corresponder o número de segmentos de reta representados na figura.

2.1 Justifique que um termo geral da sucessão (un) pode ser:

un = 3 + 2(n - 1)

2.2 Determine o número de segmentos da 49.a figura.

2.3 Averigue, justificando, se existe alguma figura com 150 segmentos.

2.1 Em cada figura são adicionados 2 segmentos. Assim, a figura n tem mais 2(n - 1) segmentos do que os 3 do triângulo inicial, ou seja:

un = 3 + 2(n - 1)

2.2 u49 = 3 + 2 × 48 = 99

2.3 3 + 2(n - 1) = 150 + n = 74,5 " IN

Portanto, não existe nenhuma figura com 150 segmentos.

8.2 Sucessões monótonas

6 Considere a sucessão de termo geral:

an = nn3 2-

6.1 Represente graficamente os cinco primeiros termos da sucessão.

6.2 Averigue se 3 é termo da sucessão.

6.3 Prove que:6n ! IN, an < 3

6.4 Calcule an + 1 e a2n .

6.1 Como a1 = 1 , a2 = 2 , a3 = 37

, a4 = 25

e a5 = 5

13 , tem-se:

3

2,5

2

1,5

1

0,5

u3p186hs1

an

n0 1 2 3 4 5

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247


6.2 an = 3 + nn3 2-

= 3 + 3n - 2 = 3n + -2 = 0

Equação impossível; logo, 3 não é termo da sucessão.

6.3 Tem-se que nn3 2-

= nn3

- n2

= 3 - n2

.

Como n2

> 0, 6n ! IN , então, an < 3 .

6.4 an + 1 = ( )

nn

13 1 2

+

+ - =

nn

13 1

++

a2n = ( )

nn2

3 2 2- =

nn2

6 2- = n

n3 1-

Tarefa 3 Na figura seguinte está representada uma sequência de figuras constituídas por semicircunferências, em que o 1.o termo desta sequência é uma semicircunferência de diâmetro igual a 2 cm , e, como sugere a figura, cada um dos outros termos é constituído pelo dobro das semicircunferências do termo anterior, tendo cada uma delas diâmetro igual a metade do diâmetro de cada semicircunferência do termo anterior.

u3p12h2

2 cm

u3p12h3

2 cm

u3p12h4

2 cm

Seja (cn) a sucessão dos comprimentos de cada termo.

3.1 Calcule os três primeiros termos de (cn) .

3.2 Escreva um termo geral de (cn) .

3.3 Como classifica (cn) quanto à monotonia?

3.1 c1 = r , c2 = 2 × 2r

= r e c3 = 4 × 4r

= r

3.2 cn = n × nr

= r

3.3 Sucessão monótona em sentido lato.

7 Mostre que as sucessões seguintes são monótonas e indique o tipo de monotonia.

a) un = n

n1

2+

b) vn = 5 - 4n

c) wn = n2 + 1

d) xn = 2 - sin(nr)

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a) un + 1 - un = ( )nn

nn

22 1

12

+

+-

+ =

( ) ( )( ) ( )

n nn n n

2 12 1 2 22

+ +

+ - + =

= ( ) ( )n n

n n n n2 1

2 4 2 2 42 2

+ ++ + - -

= ( ) ( )n n2 1

2+ +

> 0, 6n ! IN

Logo, (un) é monótona crescente.

b) vn + 1 - vn = 5 - 4(n + 1)h - (5 - 4n) = 5 - 4n - 4 - 5 + 4n =

= -4 < 0, 6n ! IN

Logo, (vn) é monótona decrescente.

c) wn + 1 - wn = ^(n + 1)2 + 1h - (n2 + 1) =

= n2 + 2n + 1 + 1 - n2 - 1 = 2n + 1 > 0, 6n ! IN

Logo, (wn) é monótona crescente.

d) xn + 1 - xn = _2 - sin^(n + 1)rhi - 2 - sin(nr)h =

= 2 - 2 = 0, 6n ! IN

Logo, (xn) é constante.

8 Classifique quanto à monotonia as sucessões de termo geral:

a) an = 4n2 - 1

b) bn = (5 - n)2

c) cn = n

n2

3-

d) dn = n 6-

e) en = n

n

2 se par

3 se ímpar*

a) an + 1 - an = 4(n + 1)2 - 1) - (4n2 - 1) =

= 4n2 + 8n + 4 - 1 - 4n2 + 1 = 8n + 4 > 0, 6n ! IN

Logo, (an) é monótona crescente.

b) bn + 1 - bn = 5 - (n + 1)h2 - (5 - n)2 =

= 16 - 8n + n2 - 25 + 10n - n2 = 2n - 9

2n - 9 > 0 para n H 5 mas 2n - 9 < 0 para n < 5 ; logo, (bn) não é monótona.

c) cn + 1 - cn = ( )

( )n

nn

n2 1

1 32

3+

+ --

- =

( ) ( )

n n

n n n n

2 2

2 3 12

2

+

- - - + =

= n n

n n n n n2 2

2 3 32

2 2

+

- - - + + =

n n2 23

2 + > 0, 6n ! IN

Logo, (cn) é monótona crescente.

d) dn + 1 - dn = q(n + 1) - 6u - qn - 6u = qn - 5u - qn - 6u Para n = 1 obtém-se qn - 5u - qn - 6u = -1 e para n = 7

obtém-se qn - 5u - qn - 6u = 1 ; logo, (dn) não é monótona.

e) e1 = 3 > e2 = 2 e e2 = 2 < e3 = 3 ; logo, (en) não é monótona.

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9 Considere as sucessões de termo geral: un = kn + 2, k ! IR .

Indique os valores de k para os quais (un) é:

a) crescente. b) decrescente em sentido lato. c) constante.

un + 1 - un = ^k(n + 1) + 2h - (kn + 2) = kn + k + 2 - kn - 2 = k

a) (un) é crescente, se k > 0 , ou seja, se k ! ]0, +3[ .

b) (un) é decrescente em sentido lato, se k G 0 , ou seja, se k ! ]-3, 0].

c) (un) é constante, se k = 0 .

10 Sejam (un) e (vn) duas sucessões tais que, para todo n ! IN :

un + 1 - un = 4

vn + 1 - vn = 4 - n

10.1 Sabendo que u1 = 5 , determine os cinco primeiros termos de (un) .

10.2 Classifique, justificando, cada uma das sucessões quanto à monotonia.

10.1 u1 = 5 ; u2 - u1 = 4 + u2 = 9 ; u3 - u2 = 4 + u3 = 13 ; u4 - u3 = 4 + u4 = 17 e u5 - u4 = 4 + u5 = 21

10.2 Como un+1 - un = 4 > 0 , (un) é crescente.

Como para n = 1 , 4 - n = 3 e para n = 5 , 4 - n = -1 , (vn) não é monótona.

8.3 Sucessões limitadas

11 Considere os seguintes subconjuntos de números reais:

A = ]-3, 5] B = ]-1, 4] , {7} C = {0, 1}

11.1 Quais dos conjuntos dados são minorados? E limitados?

11.2 Indique o conjunto dos majorantes de cada um dos conjuntos apresentados.

11.1 Tem-se que 6a ! A, a G 5 mas bm ! IR: a H m . Logo, A é apenas majorado e, por isso, não é limitado.

Tem-se que 6b ! B, -1 G b G 7 . Logo, B é minorado e majorado, sendo, por isso, limitado.

Tem-se que 6c ! C, 0 G c G 1 . Logo, C é minorado e majorado, sendo, por isso, limitado.

11.2 Majorantes de A : [5, +3[ Majorantes de B : [7, +3[ Majorantes de C : [1, +3[

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12 Dê um exemplo de um subconjunto de números reais:

a) limitado.

b) majorado e não limitado.

c) não limitado.

a) ]2, 4[ b) ]-3, 4[ c) ]-3, 4[

13 Prove que são limitadas as sucessões com os termos gerais seguintes, indicando um majorante e um minorante para cada.

a) an = n2 1

3-

b) bn = -7 c) cn = nn5 1-

a) Tem-se que 2n - 1 H 1 ; logo, 0 < n2 1

3-

G 3, 6n ! IN .

Assim, (an) é limitada; 0 é um minorante e 3 é um majorante.

b) Tem-se que (bn) é constante; logo, (bn) é limitada; -7 é simultaneamente um minorante e um majorante.

c) Tem-se que nn5 1-

= 5 - n1

e 0 < n1

G 1 , ou seja, -1 G - n1

< 0 .

Portanto, -1 G - n1

< 0 + 4 G 5 - n1

< 5, 6n ! IN .

Assim, (cn) é limitada; 4 é um minorante e 5 é um majorante.

14 Uma sucessão (wn) de termos positivos é tal que, para todo o número natural

n , w3

n H 4 .

Justifique que a sucessão é limitada.Caderno de Apoio do 11.º ano

w3

n H 4 +

w3 4

1nG + wn G

43

, 6n ! IN

Como (wn) é uma sucessão de termos positivos, tem-se wn H 0 .

Logo, 0 G wn G 43

, ou seja, (wn) é limitada.


wn = n2 - 15n

15.1 Mostre que (wn) é não monótona.

15.2 Indique, caso exista, o mínimo do conjunto dos termos da sucessão.

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15.1 wn + 1 - wn = ^(n + 1)2 - 15(n + 1)h - (n2 - 15n) =

= n2 + 2n + 1 - 15n - 15 - n2 + 15n = 2n - 14

Para n = 1 , 2n - 14 = -12 , e, para n = 8 , 2n - 14 = 2 ; logo, (wn) não é monótona.

15.2 n2 - 15n = 0 + n = 0 0 n = 15

Logo, se considerarmos a parábola dada por x2 - 15x , o seu vértice tem de abcissa 7,5 . Assim, o mínimo desta sucessão será atingido na ordem 7 ou 8 .

Como w7 = 72 - 15 × 7 = -56 e w8 = 82 - 15 × 8 = -56 , o mínimo é -56 .

16 De uma sucessão (an) sabe-se que:

• a1 = 1

•6n ! IN, an + 1 > an

•6n ! IN, an G 4

Em nenhuma das figuras seguintes estão representados graficamente os dez primeiros termos de (an) .

Indique, para cada representação, uma razão que justifique a afirmação anterior.

(I) (III)

0 1

1

4

2 3 4 5 6 7 8 9 10 n

u3p16h1

y

0 1

1

4

2 3 4 5 6 7 8 9 10 n

u3p16h3

y

Na figura (I), tem-se a1 = 4 ! 1 ; na figura (II), a sucessão não é estritamente crescente; e, na figura (III), há termos superiores a 4 .

(II)

0 1

1

4

2 3 4 5 6 7 8 9 10 n

u3p16h2

y

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252

PrincíPio de indução matemática9UNIDADE


9.1 Princípio de indução matemática

1 Se estiver vivo num dia, também estarei no dia seguinte.

Justifique que está garantida a vida eterna a quem formular este pedido ao génio da lâmpada e este o conceder.

Obviamente que a pessoa está viva no dia em que faz o pedido; logo, também estará viva no dia seguinte e no seguinte e no seguinte, e assim por diante, nunca podendo morrer.

2 Prove, por indução matemática, que é verdadeira a seguinte propriedade:

6n ! IN, i

n

1=

/ (6i - 3) = 3n2

Considere-se a condição P(n): i

n

1=

/ (6i - 3) = 3n2 .

A proposição P(1) é 6 × 1 - 3 = 3 × 1 , que é verdade.

Hipótese: Para um certo n ! IN , i

n

1=

/ (6i - 3) = 3n2 .

Tese: i

n

1

1

=

+

/ (6i - 3) = 3(n + 1)2

Demonstração:

i

n

1

1

=

+

/ (6i - 3) = i

n

1=

/ (6i - 3) + 6(n + 1) - 3h

Usando a hipótese de indução, obtém-se:

i

n

1

1

=

+

/ (6i - 3) = 3n2 + 6(n + 1) - 3h = 3n2 + 6n + 3 =

= 3(n2 + 2n + 1) = 3(n + 1)2

Portanto, pelo princípio de indução matemática, a proposição

6n ! IN, i

n

1=

/ (6i - 3) = 3n2

é verdadeira.

000707 252-267 U9.indd 252 01/07/16 12:36

253


3 Prove, por indução matemática, que são verdadeiras as seguintes propriedades:

a) 6n ! IN2, 3n > 2n + 1

b) 6n ! IN, k

n

1=

/ (k + 1) = ( )n n

23+

c) 6n ! IN, n3 + 5n é divisível por 3

d) 6n ! IN4, 2n > 3n

a) Considere-se a condição P(n): 3n > 2n + 1 .

A proposição P(2) é 32 > 22 + 1 , que é verdade, pois 9 > 8 .

Hipótese: Para um certo n ! IN2 , 3n > 2n + 1 .

Tese: 3n + 1 > 2n + 2

Demonstração:3n + 1 = 3n × 3


3n + 1 > 2n + 1 × 3 > 2n + 1 × 2 = 2n + 2


6n ! IN2, 3n > 2n + 1

é verdadeira.

b) Considere-se a condição P(n): k

n

1=

/ (k + 1) = ( )n n

23+

.

A proposição P(1) é 1 + 1 = ( )

21 1 3+

, que é verdade.

Hipótese: Para um certo n ! IN, k

n

1=

/ (k + 1) = ( )n n

23+

.

Tese: k

n

1

1

=

+

/ (k + 1) = ( ) ( )n n

21 4+ +

Demonstração:

k

n

1

1

=

+

/ (k + 1) = k

n

1=

/ (k + 1) + (n + 1 + 1)


k

n

1

1

=

+

/ (k + 1) = ( )n n

23+

+ (n + 1 + 1) =

= ( ) ( )n n n

23 2 2+ + +

= n n n

23 2 42 + + +

=

= n n n

24 42 + + +

= ( )n n n

24 4+ + +

= ( ) ( )n n

21 4+ +


6n ! IN, k

n

1=

/ (k + 1) = ( )n n

23+

é verdadeira.

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254

PrincíPio de indução matemática

1 2 3 4

c) Considere-se a condição P(n): « n3 + 5n é divisível por 3 » .

A proposição P(1) é « 13 + 5 é divisível por 3 » , que é verdade.

Hipótese: Para um certo n ! IN , « n3 + 5n é divisível por 3 » .

Tese: « (n + 1)3 + 5(n + 1) é divisível por 3 »

Demonstração:

(n + 1)3 + 5(n + 1) = (n + 1)(n2 + 2n + 1) + 5n + 5 =

= n3 + 2n2 + n + n2 + 2n + 1 + 5n + 5 =

= (n3 + 5n) + 3n2 + 3n + 6 = (n3 + 5n) + 3(n2 + n + 2)

Tem-se que (n + 1)3 + 5(n + 1) é a soma de dois múltiplos de 3 ^ n3 + 5n que por hipótese de indução é múltiplo de 3 e 3(n2 + n + 2) h .

Logo, (n + 1)3 + 5(n + 1) é divisível por 3 .


« n3 + 5n é divisível por 3 » é verdadeira.

d) Considere-se a condição P(n): 2n > 3n .

A proposição P(4) é 24 > 3 × 4 , o que é verdade, pois 16 > 12 .

Hipótese: Para um certo n ! IN4 , 2n > 3n .

Tese: 2n + 1 > 3(n + 1)

Demonstração:

2n + 1 = 2n × 2


2n + 1 > 3n × 2 > 3n + 3 = 3(n + 1)


6n ! IN4, 2n > 3n é verdadeira.

Em alternativa:

Considere-se a condição P(n): 3n × 2 = 3n + 3n > 3n + 3 .

Como 6n > 3n + 3 + n > 1 , obtém-se uma condição universal em IN4 .

Tarefa 1 Na figura seguinte estão representados os quatro primeiros números triangulares, construídos com seixos.

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1.1 Construa o 5.º e o 6.º números triangulares e indique o número necessário de seixos para construir cada um deles.

1.2 Indique, dado o número triangular de ordem n , o processo de obter o número triangular de ordem n + 1 e, considerando (tn) a sucessão dos números triangulares, escreva tn + 1 em função de tn .

1.3 Prove, utilizando o princípio de indução matemática, que a sucessão de números triangulares pode ser definida pelo termo geral:

tn = n n

2

2+

1.4 Averigue se 160 é um número triangular.

1.1

O 5.º número triangular tem 15 seixos e o 6.º tem 21 .

1.2 O número triangular de ordem n + 1 obtém-se acrescentando uma fila com n + 1 seixos ao número triangular de ordem n .

tn + 1 = tn + (n + 1), 6n ! IN

1.3 Para n = 1 , tem-se t1 = 1 , que é verdade.

Hipótese: Para um certo n ! IN , tn = n n

2

2 + .

Tese: tn + 1 = ( )n n

21 12+ + +

= n n

23 22 + +

Demonstração:

tn + 1 = tn + n + 1

Por hipótese, obtém-se:

tn + 1 = n n

2

2 + + n + 1 =

n n23 22 + +

Portanto, pelo princípio de indução, a proposição 6n ! IN, tn = n n

2

2 +

é verdadeira.

1.4 tn = 160 + n n

2

2 + = 160 + n2 + n - 320 = 0 +

+ n = 2

1 1 4 320! #- + " IN

Logo, 160 não é um número triangular.

000707 252-267 U9.indd 255 01/07/16 12:36

256


4 Seja P(n) a seguinte condição:

kk

n

1=

/ = ( ) ( )n n

21 2- +

4.1 Prove que a proposição 6n ! IN, P(n) & P(n + 1) é verdadeira.4.2 Pode-se concluir que 6n ! IN, P(n) é verdadeira? Justifique a sua resposta.

4.1 Suponha-se que P(n) se verifica, ou seja, que para n ! IN se tem:

k

n

1=

/ k = ( ) ( )n n

21 2- +

Tese: k

n

1

1

=

+

/ k = ( )n n

23+

Tem-se que k

n

1

1

=

+

/ k = k

n

1=

/ k + (n + 1) ; logo, usando a hipótese:

k

n

1

1

=

+

/ k = ( ) ( )n n

21 2- +

+ (n + 1) = ( ) ( )n n n

21 2 2 2- + + +

=

= n n n n

22 2 2 22 + - - + +

= n n

232 +

= ( )n n

23+

Portanto, P(n + 1) também se verifica.

4.2 Não, porque P(1) é falsa: k 1

1

=

/ k = 1 ! 0 = ( ) ( )

21 1 1 2- +

.

9.2 Sucessões definidas por recorrência

5 Considere a sucessão (un) definida por:

u

u u

4

3n n

1

1

=

= -+

*, 6n ! IN

5.1 Determine os cinco primeiros termos de (un) .

5.2 Prove que (un) é monótona decrescente.

5.1 u1 = 4 ; u2 = u1 - 3 = 1 ; u3 = u2 - 3 = -2 ; u4 = u3 - 3 = -5 ; u5 = u4 - 3 = -8

5.2 un + 1 - un = un - 3 - un = -3 < 0, 6n ! IN

Logo, a sucessão é estritamente decrescente.

6 Na figura estão representados os três primeiros termos de uma sucessão de figuras constituídas por quadrados. 1

u3p22h2

2 3

000707 252-267 U9.indd 256 01/07/16 12:36

257


6.1 Indique o número de quadrados que constituem o 7.º e o 8.º termos.

6.2 Seja (qn) a sucessão do número de quadrados em cada termo.

Defina a sucessão (qn) por recorrência.

6.3 Mostre, por indução matemática, que um termo geral de (qn) é:

qn = 2n - 1

6.1 O 7.º termo tem 13 quadrados e o 8.º tem 15 quadrados, pois o número de quadrados aumenta duas unidades de um termo para o termo seguinte.

6.2 q

q q

1

2n n

1

1

=

= ++

*, 6n ! IN

6.3 Para n = 1 , tem-se q1 = 2 - 1 = 1 , que é verdade.

Hipótese: Para um certo n ! IN , qn = 2n - 1 .

Tese: qn + 1 = 2(n + 1) - 1

Demonstração:qn + 1 = qn + 2

Por hipótese, obtém-se:qn + 1 = 2n - 1 + 2 = 2(n + 1) - 1

Portanto, pelo princípio de indução, a proposição 6n ! IN , qn = 2n - 1 é verdadeira.

7 Seja (un) a sucessão definida por:

u

uu

5

21

nn

1

1

=

=+

+

*, 6n ! IN

7.1 Mostre, por indução, que 6n ! IN, un > 1 .

7.2 Deduza da alínea anterior que (un) é decrescente.Caderno de Apoio do 11.º ano

7.1 Para n = 1 , tem-se u1 = 5 > 1 , que é verdade.

Hipótese: Para um certo n ! IN , un > 1 .

Tese: un + 1 > 1

Demonstração:un + 1 =

u2

1 n+ =

21

+ u2

n

Por hipótese, un > 1 ; logo, u2

n >

21

e, portanto, un + 1 > 1 .

Portanto, pelo princípio de indução, a proposição 6n ! IN, un > 1 é verdadeira.

7.2 un + 1 - un = u

21 n+

- un = u

21 n-

Como un > 1 , u

21 n-

< 0, 6n ! IN ; logo, (un) é decrescente.

000707 252-267 U9.indd 257 01/07/16 12:36

258


8 Seja (an) a sucessão definida por:

a

aa

a21

1nn

n

1

1

=

=++

*, 6n ! IN

Prove, por indução matemática, que

6n ! IN, 0 G an G 1

Para n = 1 , tem-se 0 G a1 = 21

G 1 , que é verdade.

Hipótese: Para um certo n ! IN , 0 G an G 1 .

Tese: 0 G an + 1 G 1

Demonstração:an + 1 =

aa

1n

n

+

Por hipótese, an H 0 ; logo, a

a1n

n

+ H 0 e

aa

1n

n

+ < an G 1 .

Portanto, pelo princípio de indução, a proposição 6n ! IN, 0 G an G 1 é verdadeira.

9 Seja (un) a sucessão definida por:

u

uu

u

1

1 2nn

n

1

1

=-

=-+

*, 6n ! IN

9.1 Mostre, por indução, que um termo geral de (un) é un = n1 2

1-

.

9.2 Mostre que (un) é monótona e limitada.

9.1 Para n = 1 , tem-se u1 = 1 2

1-

= -1 , que é verdade.

Hipótese: Para um certo n ! IN , un = n1 2

1-

.

Tese: un + 1 = ( )n1 2 11

- +

Demonstração:un + 1 =

uu

1 2 n

n

-


un + 1 =

n

n

1 21 2

11 2

1

--

- =

nn

n

1 21 2 2

1 21

-- -

- =

( )nn

1 2 21 2- -

- =

( )n1 2 11

- +

Portanto, pelo princípio de indução, a proposição 6n ! IN, un = n1 2

1-

é verdadeira.

000707 252-267 U9.indd 258 01/07/16 12:36

259


9.2 un + 1 - un = ( )n1 2 11

- + -

n1 21

- =

= ( ) ( )n n

n n1 2 1 2

1 2 1 2- - -

- + + =

n1 42

2- + > 0, 6n ! IN

Logo, (un) é crescente.

Tem-se que n1 2

1-

< 0, 6n ! IN ; logo, (un) é majorada.

Como (un) é crescente, tem de ser limitada.

AVALIAR CONHECIMENTOS

ESCOLHA MÚLTIPLA

Para cada uma das questões desta secção, selecione a opção correta de entre as alternativas que lhe são apresentadas.

1 O termo geral de uma sucessão cujos cinco primeiros termos são -1 , -

21

,

-15

, 0 e 17 pode ser:

(a) -n (B) n

n2 2

4+

-(C)

nn

24

+-

(D) n

n2

3-

A opção (A) não pode ser, pois o 2.º termo desta sucessão é igual a -2 .

A opção (B) não pode ser, pois o 2.º termo desta sucessão é igual a 34-

.

A opção (C) não pode ser, pois o 2.º termo desta sucessão é igual a 41-

.

A opção correta é a (C).

2 Seja T1 um triângulo equilátero. Construa-se T2 unindo os pontos médios dos lados de T1 e pintando de azul o triângulo central. Considere-se que Tn + 1 é construído a partir de Tn aplicando o processo anterior a cada triângulo branco de Tn .

u3p25h1

T1 T2 T3 T4

2.1 O número de triângulos brancos em T5 é:

(a) 40 (B) 54 (C) 81 (D) 243

2.2 Um termo geral da sucessão (An) das razões entre as áreas a branco e a área total em cada figura pode ser:

(a) An = 43 n

c m (B) An = 43 n 1-

c m (C) An = 41 n

c m (D) An = 3n

000707 252-267 U9.indd 259 01/07/16 12:36

260


2.1 De um termo para o termo seguinte, cada triângulo branco é dividido em três triângulos brancos. Como T4 tem 27 triângulos brancos, T5 tem 27 × 3 = 81 triângulos brancos.


2.2 Sejam Ab a área a branco, AT a área total e a , b e c os valores das áreas de cada um dos triângulos em que se encontra dividido T1 , respetivamente, em T2 , T3 e T4 . Então:

T1 : AA

T

b = 1 , pois Ab = AT

T2 : AA

T

b =

aa

43

= 43

T3 : AA

T

b =

bb

169

= 43 2

c m

T4 : AA

T

b =

cc

6427

= 43 3

c m

A opção correta é a (B).

3 Considere a sucessão de termo geral vn = (-1)n $ n . Indique qual das seguintes afirmações é verdadeira.

(a) (vn) é monótona e limitada.

(B) (vn) é monótona e não limitada.

(C) (vn) é limitada e não monótona.

(D) (vn) é não monótona e não limitada.

Se n for par, vn = n > 0 , mas se n for ímpar, vn = -n < 0 ; portanto, (vn) não é monótona. As sucessões de termos gerais n e -n não são limitadas; logo, vn também não é limitada.

A opção correta é a (D).

4 De uma sucessão (un) sabe-se que:• (un) é estritamente monótona; •6n ! IN, un G 10

Qual das seguintes afirmações é necessariamente verdadeira?

(a) Se (un) for crescente, então, é limitada.

(B) u1 = 10

(C) 6n ! IN, u1 G un G 10

(D) Se (un) for decrescente, então, é limitada.

Contraexemplos:

(B) un = (-1)n × 10 G 10 , mas u1 = -10

(C) un = n10

; 0 < un G 10 e u1 = 10

(D) un = n10

-n

A opção correta é a (A).

000707 252-267 U9.indd 260 01/07/16 12:36

261


5 Seja a um número real. Considere a sucessão (un) definida por

u a

u u3 2n n

1

1

=

=- ++

), 6n ! IN

Qual é o 3.º termo desta sucessão?

(a) 6a + 4

(B) 9a - 4

(C) 6a - 4

(D) 9a + 4

Exame Nacional do 12.º ano, 2015

u2 = -3a + 2

u3 = -3(-3a + 2) + 2 = 9a - 6 + 2 = 9a - 4


RESPOSTA ABERTA

Nas questões desta secção, apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver de efetuar e as justificações necessárias.

6 Nas listagens seguintes estão os quatro primeiros termos de sucessões de números reais. Sugira um termo geral para cada uma delas.

a) 101

, 111

, 1

12 ,

113

, …

b) 3 , 9 , 27 , 81 , …

c) 3 , -9 , 27 , -81 , …

d) 2 , 23

, 34

, 54

, …

a) n 9

1+

b) 3n

c) (-1)n + 1 3n

d) nn 1+

7 Considere a sucessão (un) de termo geral un =

nn

3 12 3

-+

.

7.1 Determine u5 e u20 .

7.2 Classifique, justificando, (un) quanto à monotonia.

7.3 Mostre que 6n ! IN, un > 32

.

7.4 Justifique que (un) é limitada.

7.5 Mostre que existe um número real positivo L , tal que 6n ! IN, un G L .

000707 252-267 U9.indd 261 01/07/16 12:36

262


7.1 u5 = 3 5 12 5 3##

-+

= 1413

e u20 = 3 20 12 20 3##

-+

= 5943

7.2 un + 1 - un = ( )( )nn

3 1 12 1 3

+ -

+ + -

nn

3 12 3

-+

= nn

3 22 5

++

- nn

3 12 3

-+

=

= ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )n n

n n n n3 2 3 1

2 5 3 1 2 3 3 2+ -

+ - - + + =

= ( ) ( )n n

n n n n n n3 2 3 1

6 2 15 5 6 4 9 62 2

+ -- + - - - - -

= ( ) ( )n n3 2 3 1

11+ -

-

Como (3n + 2)(3n - 1) > 0 , ( ) ( )n n3 2 3 1

11+ -

- < 0

Logo, (un) é decrescente.

7.3 nn

3 12 3

-+

> 32

+ 6n + 9 > 6n - 2 + 9 > -2 (Proposição verdadeira)

Logo, un > 32

, 6n ! IN .

7.4 Como (un) é decrescente, é majorada por u1 = 25

. Pela alínea anterior,

32

é um minorante de (un) ; logo, (un) é limitada.

7.5 Seja L = 25

. Tem-se que nn

3 12 3

-+

> 0, 6n ! IN ; logo,

qunu = un G 25

= L .

8 Na figura seguinte estão representados os três primeiros termos da sucessão (qn) que conta os quadrados das figuras.

u3p26h1

321

Tal como a figura sugere, q1 = 5 , q2 = 13 e q3 = 25 .

8.1 Indique os valores de q4 e q5 .

8.2 Defina a sucessão (qn) por recorrência e utilize essa definição para justificar que (qn) é monótona crescente.

8.1 q4 = 25 + 4 × 4 = 41 e q5 = 41 + 4 × 5 = 61

8.2 q

q q n

5

4n n

1

1

=

= ++

*, 6n ! IN

Tem-se que qn + 1 - qn = qn + 4n - qn = 4n > 0, 6n ! IN ; logo, (qn) é crescente.

000707 252-267 U9.indd 262 01/07/16 12:36

263


9 Seja (cn) uma sucessão crescente e limitada.

Prove que:

a) (-cn) é decrescente e limitada.

b) (3cn - 4) é limitada.

a) Como (cn) é crescente, então, cn + 1 - cn > 0 . Assim:

-cn + 1 + cn = -cn + 1 - (-cn) < 0, 6n ! IN

Logo, (-cn) é decrescente.

Como (cn) é limitada, 7L > 0: 6n ! IN, cn < L .

Tem-se que cn- = cn ; logo, (-cn) é limitada.

b) Como (cn) é limitada, tem um majorante e um minorante. Seja m um minorante de (cn) e M um majorante.

Tem-se que 3cn - 4 < 3cn < 3M (porque M é majorante de (cn) ) . Logo, 3M é majorante de (3cn - 4) .

Do mesmo modo, 3cn - 4 > 3cn - 5 > 3m - 5 (porque m é minorante de (cn) ) .

Logo, 3m - 5 é minorante de (3cn - 4) . Portanto, (3cn - 4) é limitada.

10 Justifique que uma sucessão decrescente (wn) de termos positivos é limitada.

Como (wn) é decrescente, tem como majorante w1 , e como é positiva, tem como minorante o 0 . Logo, (wn) é limitada.

11 Considere as seguintes sucessões:

un = 1 - 4n , vn = (-1)2n , wn = 4 - n1

,

xn = n

n n

2

1

se é par

se é ímpar* e yn = n sin

n2r

c m

Indique, justificando, quais destas sucessões são:

a) monótonas e limitadas.

b) monótonas e não limitadas.

c) não monótonas e limitadas.

d) não monótonas e não limitadas.

000707 252-267 U9.indd 263 01/07/16 12:36

264


un + 1 - un = 1 - 4(n + 1)h - (1 - 4n) =

= 1 - 4n - 4 - 1 + 4n = -4 < 0, 6n ! IN


Seja a ! Z- . Tem-se u-a = 1 + 4a < a ; logo, (un) não tem minorantes e, por isso, é não limitada.

vn = (-1)2n = (-1)2hn = 1n

Logo, (vn) é constante, pelo que é monótona e limitada.

wn + 1 - wn = n

41

1-

+d n - n4

1-c m = -

n 11+

+ n1

=

= ( )n n

n n1

1+

- + + =

( )n n 11+

> 0, 6n ! IN

Logo, (wn) é crescente.

Tem-se que 6n ! IN , 4 - n1

< 4 e 4 - n1

> 0 ; logo, (wn) é limitada.

Como x1 = 1 , x2 = 2 e x3 = 31

, (xn) é não monótona.

Tem-se que 6n ! IN , xn G 2 e xn > 0 ; logo, (xn) é limitada.

Como y1 = 1 , y2 = 0 , y3 = -3 e y4 = 0 , (yn) é não monótona.

Seja a ! IN , com a par. qya + 1u = ( )( )

sinaa

121 r

++

d n = qa + 1u > a ;

logo, (yn) é não limitada.

Assim:

a) (vn) e (wn)

b) (un)

c) (xn)

d) (yn)

12 Mostre, utilizando o princípio de indução matemática, que as proposições seguintes são verdadeiras.

a) 6n ! IN, i

n

1=

/ i2 = ( ) ( )n n n

61 2 1+ +

b) 6n ! IN5, 2n > n2

c) 6n ! IN, 2n - (-1)n é múltiplo de 3

000707 252-267 U9.indd 264 01/07/16 12:36

265


a) Para n = 1 , tem-se 12 = 1 = ( ) ( )

61 1 1 2 1+ +

, que é verdade.

Hipótese: Para um certo n ! IN , i

n

1=

/ i2 = ( ) ( )n n n

61 2 1+ +

.

Tese: i

n

1

1

=

+

/ i2 = ( ) ( ) ( )n n n

6

1 2 2 1 1+ + + +_ i

Demonstração:

i

n

1

1

=

+

/ i2 = i

n

1=

/ i2 + (n + 1)2


i

n

1

1

=

+

/ i2 = ( ) ( )n n n

61 2 1+ +

+ (n + 1)2 = ( ) ( ) ( )n n n n

61 2 1 6 1 2+ + + +

=

= ( ) ( ) ( )n n n n

6

1 2 1 6 1+ + + +7 A =

( ) [ ]n n n n6

1 2 6 62+ + + + =

= ( ) [ ]n n n n

61 2 3 4 62+ + + +

= ( ) ( ) ( )n n n

61 2 2 3+ + +

=

= ( ) ( ) ( )n n n

6

1 2 2 1 1+ + + +_ i

Portanto, pelo princípio de indução, a proposição

6n ! IN, i

n

1=

/ i2 = ( ) ( )n n n

61 2 1+ +

é verdadeira.

b) Para n = 5 , tem-se 25 = 32 > 25 = 52 , que é verdade.

Hipótese: Para um certo n ! IN5 , 2n > n2 .

Tese: 2n + 1 > (n + 1)2

Demonstração:2n + 1 = 2n × 2


2n + 1 > n2 × 2 = n2 + n2 >( )1

n2 + (2n + 1) = (n + 1)2

Portanto, pelo princípio de indução, tem-se 6n ! IN5, 2n > n2 .

(1) Para n = 5 , tem-se 52 = 25 > 11 = 2 × 5 + 1 , que é verdade.

Hipótese: Para um certo n ! IN5 , n2 > 2n + 1 .

Tese: (n + 1)2 > 2(n + 1) + 1

Demonstração:

(n + 1)2 = n2 + 2n + 1


(n + 1)2 > (2n + 1) + 2n + 1 = 2n + 2 + 2n =

= 2(n + 1) + 2n > 2(n + 1) + 1

Pelo princípio de indução, tem-se 6n ! IN5, n2 > 2n + 1 .

000707 252-267 U9.indd 265 01/07/16 12:36

266


Em alternativa, para evitar duas induções, pode-se ter a seguinte demonstração:( )

n

n 12

2+ =

nn n2 1

2

2 + + = 1 + n

2 +

n1

2

Se n > 4 , tem-se n2

< 21

e n1

2 < 21

; logo, ( )

n

n 12

2+ = 1 + n

2 +

n1

2 < 2 .

Portanto, usando a hipótese de indução:

2n + 1 = 2n × 2 > 2n2 > ( )

n

n 12

2+n2 = (n + 1)2

c) Para n = 1 , tem-se 21 - (-1)1 = 3 que é múltiplo de 3 .

Hipótese: Para um certo n ! IN , 2n - (-1)n é múltiplo de 3 .

Tese: 2n + 1 - (-1)n + 1 é múltiplo de 3

Demonstração:

2n + 1 - (-1)n + 1 = 2n × 2 - (-1)n × (-1) = = 3 × 2n - 2n - (-1)n × (-1) = 3 × 2n - 2n - (-1)nh

2n - (-1)nh é múltiplo de 3 por hipótese de indução e 3 × 2n também é múltiplo de 3 ; logo, 2n + 1 - (-1)n + 1 é múltiplo de 3 .

Portanto, pelo princípio de indução, a proposição 6n ! IN, 2n - (-1)n é múltiplo de 3 é verdadeira.

13 Considere a sucessão (pn) dos números pentagonais cujos quatro primeiros termos estão representados na figura seguinte.

13.1 Calcule p6 , p7 e p8 .

13.2 Defina (pn) por recorrência.

13.3 Prove, por indução matemática, que um termo geral de (pn) é:

pn = n n

23 2-

13.4 Averigue se 477 é um número pentagonal e, em caso afirmativo, indique a sua ordem.

13.1 p5 = 35 ; p6 = 35 + 2 × 6 + 4 = 51 ; p7 = 51 + 2 × 7 + 5 = 70 ; p8 = 70 + 2 × 8 + 6 = 92

13.2 ( ) ( )

p

p p n n

1

2 1 1n n

1

1

=

= + + + -+

*, 6n ! IN

+

+ p

p p n

1

3 1n n

1

1

=

= + ++

*, 6n ! IN

u3p27h1

000707 252-267 U9.indd 266 01/07/16 12:37

267


13.3 Para n = 1 , tem-se p1 = 2

3 1- = 1 , que é verdade.

Hipótese: Para um certo n ! IN , pn = n n

23 2 -

.

Tese: pn + 1 = ( ) ( )n n3 1 1

2

2+ - +

Demonstração: pn + 1 = pn + 3n + 1 Por hipótese, obtém-se:

pn + 1 = n n

23 2 -

+ 3n + 1 =

= n n n

23 262 - + +

= ( )n n n

23 6 3 12 + + - +

=

= ( ) ( )n n n

23 2 1 12 + + - +

= ( ) ( )n n

23 1 12+ - +

Portanto, pelo princípio de indução, tem-se 6n ! IN, pn = n n

23 2 -

.

13.4 pn = 477 + n n

23 2 -

= 477 + 3n2 - n - 954 = 0 +

+ n = 6

1 1 4 3 954! # #+ =

61 107!

+ n = 18 0 n = -6

106

Logo, 477 é um número pentagonal de ordem 18 .

14 Considere a sucessão (an) definida por recorrência:

a

a a

1

41

n n

1

1

=

= -+

*, 6n ! IN

14.1 Determine a6 - a5 .

14.2 Mostre que (an) é monótona.

14.3 Prove, por indução matemática, que um termo geral de (an) é an = n

45-

.

14.1 a6 - a5 = a5 - 41

- a5 = -41

14.2 an + 1 - an = an - 41

- an = -41

< 0, 6n ! IN

Logo, (an) é decrescente.

14.3 Para n = 1 , tem-se a1 = 4

5 1- = 1 , que é verdade.

Hipótese: Para um certo n ! IN , an = n

45 -

.

Tese: an + 1 = ( )n4

5 1- +

Demonstração: an + 1 = an - 41


an + 1 = n

45 -

- 41

= n4

5 1- - =

( )n4

5 1- +

Portanto, pelo princípio de indução, tem-se 6n ! IN, an = n

45 -

.

000707 252-267 U9.indd 267 01/07/16 12:37

268

Progressões aritméticas e Progressões geométricas10UN

IDAD

E


10.1 Progressões aritméticas

Tarefa 1 No dia em que a Joana ingressou no 10.º ano do Ensino Secundário, em meados de setembro, os seus pais decidiram iniciar uma poupança destinada a juntar dinheiro para que a filha pudesse fazer uma viagem no final do 12.º ano.

Colocaram 20 euros num mealheiro e, todos os meses, no início de cada mês, a partir desse dia, juntaram na poupança mais 5 euros do que no mês anterior.

1.1 Quanto dinheiro foi colocado no mealheiro no início de janeiro do ano seguinte? E um ano depois do início da poupança?

1.2 Deduza uma expressão, por recorrência, que permita saber a quantia colocada no mealheiro num determinado mês.

1.1 Os termos da sucessão são:

20 , 25 , 30 , 35 , 40 , …

No início de janeiro do ano seguinte, o valor colocado na poupança corresponderá ao termo de ordem 5 , isto é, a 40 euros.

Um ano depois, corresponderá ao termo de ordem 13 , isto é, a 20 + 12 × 5 = 80 euros.

1.2 Representando o plano de poupança por uma sucessão (pn) , esta é dada por:

p

p p

20

5n n

1

1

=

= ++

*, 6n ! IN

Em que p1 representa o valor poupado no primeiro mês e 5 , o valor (constante) a acrescentar em cada mês.

000707 268-295 U10.indd 268 01/07/16 12:38

269

Domínio 3 SUCESSÕES 10UNID

ADE

1 Considere a sucessão (vn) definida por recorrência:

v

v v

2

3n n

1

1

=-

= ++

*, 6n ! IN

1.1 Calcule os quatro primeiros termos de (vn) .

1.2 Justifique que (vn) é uma progressão aritmética.

1.3 Mostre, utilizando o princípio de indução matemática, que:vn = 3n - 5, 6n ! IN

1.4 Calcule v100 .

1.1 v1 = -2 ; v2 = -2 + 3 = 1 ; v3 = 1 + 3 = 4 ; v4 = 4 + 3 = 7

1.2 (vn) é uma progressão aritmética porque cada termo se obtém, a partir do anterior, somando sempre a mesma constante ( 3 ) .

1.3 Para n = 1 , tem-se v1 = 3 - 5 = -2 , que é verdade.

Hipótese: Para um certo n ! IN , vn = 3n - 5 .

Tese: vn + 1 = 3(n + 1) - 5

Demonstração:vn + 1 = vn + 3

Por hipótese, obtém-se:vn + 1 = 3n - 5 + 3 = 3(n + 1) - 5

Portanto, pelo princípio de indução, tem-se 6n ! IN, vn = 3n - 5 .

1.4 v100 = 3 × 100 - 5 = 295

2 Mostre que dados dois valores reais quaisquer a e b , os termos a ,

a b2+

e b são termos consecutivos de uma progressão aritmética.

Seja (vn) a sucessão em questão, em que vp = a , vp + 1 = a b

2+

e vp + 2 = b .

Então, tem-se:vp + 1 - vp =

a b2+

- a = b a

2-

vp + 2 - vp + 1 = b - a b

2+

= b a

2-

Como a diferença entre dois termos consecutivos é igual e constante, tem-se

que os termos dados são termos de uma progressão aritmética de razão b a

2-

.

Em alternativa:Considere-se a sucessão (vn) definida por recorrência:

v a

v vb a

2n n

1

1

=

= +-

+

*

Como b a

2-

é constante, (vn) é uma progressão aritmética. Tem-se que:

v1 = a ; v2 = a + b a

2-

= a b a

22 + -

= a b

2+

;

v3 = a b

2+

+ b a

2-

= a b b a

2+ + -

= b22

= b

000707 268-295 U10.indd 269 01/07/16 12:39

270

Progressões aritméticas e Progressões geométricas

Tarefa 2 Dados c, d ! IR , justifique que (un) definida por un = cn + d é uma progressão aritmética de razão c .

A sucessão un = cn + d é uma progressão aritmética de razão c , pois:

un + 1 - un = c(n + 1) + d - (cn + d) =

= cn + c + d - cn - d = c, 6n ! IN

3 Verifique se são progressões aritméticas as sucessões de termo geral:

a) an = n21

- 5

b) bn = n2

- 5

c) cn = 1 + n

25-

d) dn = 2 × (-1)n + 5

a) an + 1 - an = ( )n2 1

15

+-d n -

n21

5-c m =

= ( )n n

n n2 2 12 2 2# +- -

= ( )n n2 1

1-

+

Não é uma progressão aritmética, pois a diferença an + 1 - an não é constante.

b) bn + 1 - bn = n

21

5+

-d n - n2

5-c m = n n

21+ -

= 21

É uma progressão aritmética de razão 21

.

c) cn + 1 - cn = n

121 5

++ -

d n - n

12

5+

-d n =

= n n

24 5- - +

= 21

É uma progressão aritmética de razão 21

.

d) dn + 1 - dn = 2 × (-1)n + 1 + 5h - 2 × (-1)n + 5) =

= 2 × (-1)n + 1 + (-1) × 2 × (-1)n = 4 × (-1)n + 1

Não é uma progressão aritmética.

4 Considere a sucessão (vn) , em que se sabe que:

• v1 = -25

• vn + 1 = vn + 21

, 6n ! IN

4.1 Justifique que (vn) é uma progressão aritmética e indique a sua razão.

4.2 Determine v8 .

000707 268-295 U10.indd 270 01/07/16 12:39

271


ADE

4.1 (vn) é uma progressão aritmética de razão 21

porque cada termo se obtém

a partir do anterior, somando 21

.

4.2 v8 = -25

+ 7 × 21

= 1

5 Os comprimentos dos lados de um triângulo retângulo são três termos consecutivos de uma progressão aritmética de razão 3 .

Determine a área desse triângulo.

Seja x = AC . Então, x + 3 = AB e x + 6 = BC .

Pelo teorema de Pitágoras:

(x + 6)2 = (x + 3)2 + x2 +

+ x2 + 12x + 36 = x2 + 6x + 9 + x2 +

+ -x2 + 6x + 27 = 0 + x = 2

6 36 4 27! #-

- + +

+x = 2

6 12!-

- + x = 9 0 x = -3

Logo, AC = 9 , AB = 12 e BC = 15 .

Assim, A[ABC] = AB AC

2#

= 54 u. a.

6 Três termos consecutivos de uma progressão aritmética são dados, para um determinado valor de x , respetivamente, por:

x - 1 , x2 e x + 5

Determine esses três termos.Adaptado do Caderno de Apoio do 11.º ano

Seja r a razão da progressão aritmética. Então:

x x r

x x r

1

5

2

2

= - +

+ = +* +

r x x

x x x x

1

5 1

2

2 2

= - +

+ = + - +* +

r x x

x x

1

2 2 4 0

2

2

= - +

- - =* +

+

r x x

x

1

21 1 8

2

!

= - +

=+* +

r x x

x x

1

2 1

2

0

= - +

= =-*

Se x = -1 , r = 12 + 1 + 1 = 3 e os termos são: -2 , 1 e 4 .

Se x = 2 , r = 22 - 2 + 1 = 3 e os termos são: 1 , 4 e 7 .

u3p29h1

A B

C

000707 268-295 U10.indd 271 01/07/16 12:39

272


Tarefa 3 Demonstre, aplicando o princípio de indução matemática, que dada uma progressão aritmética (un) de razão r e de 1.o termo a , se tem:

un = a + (n - 1)r, 6n ! IN

Considere-se a condição P(n) dada por un = a + (n - 1)r .

A proposição P(1) é u1 = a + (1 - 1)r = a , que é verdade.

Considere-se, por hipótese, que para um certo n ! IN , un = a + (n - 1)r .

Pretende-se provar que un + 1 = a + nr .

Por definição de progressão aritmética, tem-se que un + 1 = un + r .


un + r = a + (n - 1)r + r = a + nr

Portanto, un + 1 = a + nr .

Conclui-se, assim, pelo princípio de indução matemática, que a proposição un = a + (n - 1)r, 6n ! IN é verdadeira.

7 Considere a progressão aritmética (un) de razão -2 e u2 = 10 .

7.1 Defina (un) por recorrência.

7.2 Determine um termo geral de (un) .

7.1 Tem-se u1 = u2 - (-2) = 10 + 2 = 12 ; logo, u

u u

12

2n n

1

1

=

= -+

* .

7.2 un = 12 - 2(n - 1) = 12 - 2n + 2 = 14 + 2n

8 Seja (un) uma progressão aritmética de razão r .

Sendo k ! IN , mostre que o termo geral de (un) pode ser dado por:

un = uk + (n - k)r

Tem-se que un = u1 + (n - 1)r e uk = u1 + (k - 1)r . Então:

un - uk = 6u1 + (n - 1)r@ - [u1 + (k - 1)r] +

+ un - uk = (n - 1)r - (k - 1)r + un - uk = (n - 1 - k + 1)r +

+ un = uk + (n - k)rc.q.d.

9 Determine o termo geral de uma progressão aritmética (an) em que:

a) a1 = 2 e r = -21

b) a1 = -4 e a9 = 20 c) a5 = 7 e a15 = 22

000707 268-295 U10.indd 272 01/07/16 12:39

273


ADE

a) an = 2 - 21

(n - 1) = 25

- n2

b) an = -4 + ( )

820 4- -

(n - 1) = -4 + 3(n - 1) = 3n - 7

c) an = 7 + 10

22 7-(n - 5) = 7 +

23

(n - 5) = 23

n - 21

10 A Sandra é uma atleta que decidiu implementar o seguinte esquema de treino:• correr12kmno1.ºdia;• corrermais1,5kmemcadanovodiadetreino.EmquediaaSandracorre36km?

Seja (an) a sucessão do número de quilómetros que a Sandra corre em cada dia.

Então, an = 12 + 23

(n - 1) ; logo:

an = 36 + 12 + 23

(n - 1) = 36 + 23

(n - 1) = 24 + n = 17

ASandracorre36kmao17.ºdia.

11 Classifique quanto à monotonia e escreva um termo geral das progressões aritméticas em que:

a) b1 = -1 e r = 32

b) b4 = 5 e b10 = 2

a) Como r > 0 , (bn) é monótona crescente. Um termo geral pode ser:

bn = -1 + 32

(n - 1) = 32

n - 35

b) Como r = b b4 104 10-

- =

65 2--

= -21

< 0 , (bn) é monótona decrescente.

Um termo geral pode ser (pelo exercício 8):

5 - 21

(n - 4) = 7 - n2

12 Determine a progressão arimética de comprimento 4 , em que:

a) un = 10 - n

b) un = n

2

5 2+

000707 268-295 U10.indd 273 01/07/16 12:39

274


a) u1 = 10 - 1 = 9 ; u2 = 10 - 2 = 8 ; u3 = 10 - 3 = 7 ; u4 = 10 - 4 = 6

Logo, tem-se (9, 8, 7, 6) .

b) u1 = 2

5 1 2# + =

27 2

; u2 = 2

5 2 2# + = 6 2 ;

u3 = 2

5 23# + =

2217

; u4 = 2

5 24# + = 11 2

Logo, tem-se , , ,2

7 26 2

217 2

11 2e o .

13 Sabendo que a soma dos três primeiros termos de uma progressão aritmética é 15 e que o seu produto é 120 , determine a progressão arimética de comprimento 4 .

Sejam a = u1 e r a razão desta progressão. Tem-se que:

( ) ( )

a a r a r

a a r a r

2 15

2 120

+ + + + =

+ + =* +

( ) ( ) ( )

a r

r r r r r

5

5 5 5 2 120

= -

- - + - + =* +

+ a r

r

5

5 5 02

= -

- + =) +

a r

r r

5

1 10

= -

= =-)

Se r = 1 , a = 4 e a progressão é (4, 5, 6, 7) ; se r = -1 , a = 6 e a progressão é (6, 5, 4, 3) .

14 Determine a soma dos elementos da sequência correspondente aos 100 primeiros números naturais.

Calcule-se a soma

S = 1 + 2 + 3 + … + 97 + 98 + 99 + 100

escrevendo as parcelas de forma inversa:

1 2 3 … 98 99 100 S

100 99 98 … 3 2 1 S

101 101 101 101 101 101 101 2S

Assim:

2S = 101 × 100 + S = 2

10 100 = 5050

000707 268-295 U10.indd 274 01/07/16 12:39

275


ADE

15 Demonstre, aplicando o princípio de indução matemática, que, dada uma progressão aritmética (un) de razão r e dado N ! IN , a soma dos termos de (un) de comprimento N , (u1, u2, …, uN) , é dada por:

i

N

1=

/ ui = u u

2N1+

× N

Para N = 1 , tem-se i 1

1

=

/ ui = u1 = u u

21 1+

× 1 , que é verdade.

Hipótese: Para um certo N ! IN , i

N

1=

/ ui = u u

2N1 +

× N .

Tese: i

N

1

1

=

+

/ ui = u u

2N1 1+ +

× (N + 1)

Demonstração:

i

N

1

1

=

+

/ ui = i

N

1=

/ ui + uN + 1


i

N

1

1

=

+

/ ui = u u

2N1 +

× N + uN + 1 = Nu Nu u

22N N1 1+ + +

Mas, como (un) é uma progressão aritmética, uN + 1 = u1 + Nr . Logo:

i

N

1

1

=

+

/ ui = Nu Nu u u Nr

2N N1 1 1+ + + ++

=

= ( ) [ ]N u Nu Nr u

21 N N1 1+ + + + +

=

= ( )N u Nu u

21 N N1 1 1+ + ++ +

=

= ( ) ( )N u N u

21 1 N1 1+ + + +

= u u

2N1 1+ +

× (N + 1)

Portanto, pelo princípio de indução, 6N ! IN, i

N

1=

/ ui = u u

2N1 +

× N .

16 Calcule a soma dos 20 primeiros múltiplos de 3 .

Considere-se a sucessão dos múltiplos de 3 , de termo geral un = 3n .

Então:

S20 = u u

21 20+

× 20 = 2

3 60+ × 20 = 630

000707 268-295 U10.indd 275 01/07/16 12:39

276


17 Seja (un) uma progressão aritmética definida por:

un = n

32 5-

Determine a soma:

a) dos 15 primeiros termos de (un) .

b) do 11.º ao 34.º termo, inclusive, de (un) .

a) S15 = u u

21 15+

× 15 = 2

32 5

32 15 5#-

+-

× 15 =

= 2

1325

- + × 15 =

3165

= 55

b) S = i 11

34

=

/ ui = u u

211 34+

× 24 = 2

32 11 5

32 34 5# #-

+-

× 24 =

= 2

317

363

+ × 24 =

340

× 24 = 320

18 A Joana gosta muito de nozes e, durante 10 dias consecutivos, comeu 175 .

Sabendo que a Joana aumentou o consumo de nozes de forma constante de dia para dia e que no último dia comeu 31 , quantas nozes comeu no 1.º dia?

Seja (un) a sucessão do número de nozes que a Joana comeu em cada dia.

S10 = u u

21 10+

× 10 + 175 = u

2311 +

× 10 + 35 = u1 + 31 + u1 = 4

A Joana comeu 4 nozes no 1.º dia.

19 O Ricardo é ciclista e durante uma competição deciclismopercorreucomasuabicicleta1500km.

Sabendoque,dediaparadia,aumentava10km a distância a percorrer e que no 6.º dia percorreu 80km,quantosdiasdemorouacompetição?

Seja (un) a sucessão do número de quilómetros percorridos em cada dia da competição. Então:

Sn = u u

2n1 +

× n + 1500 = ( )u u n r

211 1+ + -

× n +

+ 1500 = ( )u n

22 10 11 + -

× n

000707 268-295 U10.indd 276 01/07/16 12:39

277


ADE

Por outro lado, u6 = u1 + 5r + 80 = u1 + 50 + u1 = 30 .

Logo:

1500 = ( )n

22 30 10 1# + -

× n + 300 = 6n + (n2 - n) +

+ n2 + 5n - 300 = 0 + n = 2

5 25 4 300! #- + +

+ n = 2

5 35!- + n = -20 0 n = 15

Portanto, a competição durou 15 dias.

Tarefa 4 Um caracol inicia uma viagem.

No 1.o minuto percorre uma determinada distância, em centímetros, e depois, em cada minuto, percorre sempre 1,2 cm a mais do que no minuto anterior.

Sabe-se ainda que no 10.º minuto de viagem percorreu 15,8 cm .

4.1 Mostre que o caracol percorreu 5 cm no 1.º minuto.

4.2 Determine a distância total percorrida pelo caracol no 15.o minuto.

4.3 Sabendo que o caracol parou após ter percorrido 5,2 metros, durante quanto tempo esteve o caracol a rastejar?

4.1 Seja (dn) a distância percorrida pelo caracol no n-ésimo minuto.

Tem-se que:

d10 = d1 + 9r + 15,8 = d1 + 9 × 1,2 + d1 = 5

Conclui-se, assim, que a distância percorrida pelo caracol no 1.º minuto foi de 5 cm .

4.2 d15 = d1 + 14r + d15 = 5 + 14 × 1,2 + d15 = 21,8

4.3 A distância percorrida pelo caracol ao fim de n minutos é dada por:

S = d d

2n1 +

× n

Como o caracol percorreu 5,2 metros, ou seja, 520 centímetros, tem-se que:

d d2

n1 + × n = 520 +

( ) ,n2

5 5 1 1 2#+ + - × n = 520 +

+ , , n

28 8 1 2+

× n = 520 + 1,2n2 + 8,8n - 1040 = 0 +

+ n = 26 0 n = -3

100

Conclui-se, assim, que o caracol rastejou durante 26 minutos.

000707 268-295 U10.indd 277 01/07/16 12:39

278


10.2 Progressões geométricas

Tarefa 5 Num lago, sem quaisquer plantas, foram colocados três nenúfares (ano 1 ) de uma espécie em que cada exemplar dá origem a outro exemplar a cada ano que passa.

5.1 Determine o número de nenúfares existentes no ano 5 .

5.2 Defina, por um termo geral, o número de nenúfares existentes no ano n .

5.1 O número de nenúfares em cada ano é dado por: 3, 6, 12, 24, 48, …

Assim sendo, no 5.º ano existem 48 nenúfares.

5.2 Seja Pn o número de nenúfares existentes no n-ésimo ano.

Então:

P1 = 3 ; P2 = 3 × 2 ; P3 = 3 × 22 ; P4 = 3 × 23

Logo, Pn = 3 × 2n - 1 .

20 Considere a sucessão (an) definida por recorrência:

a

a a

6

3n n

1

1 #

=

=+

*, 6n ! IN

20.1 Calcule os quatro primeiros termos de (an) .

20.2 Justifique que (an) é uma progressão geométrica.

20.3 Mostre, utilizando o princípio de indução matemática, que:

an = 2 × 3n, 6n ! IN

20.1 a1 = 6 ; a2 = 6 × 3 = 18 ; a3 = 18 × 3 = 54 ; a4 = 54 × 3 = 162

20.2 (an) é uma progressão geométrica porque cada termo se obtém multiplicando o anterior por 3 (constante).

20.3 Para n = 1 , tem-se a1 = 2 × 31 = 6 , que é verdade.

Hipótese: Para um certo n ! IN , an = 2 × 3n .

Tese: an + 1 = 2 × 3n + 1

Demonstração:

an + 1 = an × 3


an + 1 = 2 × 3n × 3 = 2 × 3n + 1

Portanto, pelo princípio de indução, 6n ! IN, an = 2 × 3n .

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279


ADE

21 Escreva os quatro primeiros termos de uma progressão geométrica (un) e defina-a por recorrência, sabendo que:

a) u1 = 64 e r = 41

b) u1 = -3 e r = -2 c) u1 = -2 e u2 = 4

a) u1 = 64 , u2 = 64 × 41

= 16 , u3 = 16 × 41

= 4 e u4 = 4 × 41

= 1 ;

,

u

u u

64

41

n n

1

1 #

=

=+

* 6n ! IN

b) u1 = -3 , u2 = -3 × (-2) = 6 , u3 = 6 × (-2) = -12 e

u4 = -12 × (-2) = 24 ; u

u u

3

2n n

1

1

=-

=-+

*, 6n ! IN

c) r = 2

4-

= -2 ; u1 = -2 , u2 = 4 , u3 = 4 × (-2) = -8 e

u4 = -8 × (-2) = 16 ; u

u u

2

2n n

1

1

=-

=-+

*, 6n ! IN

22 Averigue quais das sucessões seguintes são progressões geométricas:

a) an = -3 × 2n

b) bn = n3

2

c) cn = 31 - 2n

d) dn = 3 - 2n

a) aa

3 23 2

n

nn

n1

1

##

=-

-++

= 2

É uma progressão geométrica, pois o quociente aa

n

n 1+ é constante.

b) ( )

( )bb

n

nn

nn

n

23

2 13

2 12

1n

n 1=

+=

+=

++

Não é uma progressão geométrica.

c) cc

33

31

91( )

n

n

n

n1

1 2

1 2 1

2= = =+

-

- +

É uma progressão geométrica.

d) d

d3 2

3 2n

nn

n1

1

=-

-++

Para n = 1 , obtém-se 3 23 22

--

= -1 ; e para n = 2 , obtém-se 3 23 2

2

3

-

- = 5 .

Logo, não é uma progressão geométrica.

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280


23 Uma cultura de bactérias aumenta 12 % a cada dia que passa. Qual é o quociente entre o número de bactérias num determinado dia e no dia anterior?

Seja a o número de bactérias no 1.o dia e seja b o número de bactérias no 2.o dia. Então, b = a + 0,12a = 1,12a .

Logo, ab

= ,a

a1 12 = 1,12 .

24 O valor comercial de uma máquina industrial é dado, em euros, em cada ano, pela progressão geométrica (vn) . Sabendo que a sua razão é 0,96 , qual é a percentagem de desvalorização a cada ano que passa?

Tem-se que vn + 1 = vn × 0,96 , então:

vn + 1 - vn = vn × 0,96 - vn = -0,04vn

Portanto, a percentagem de desvalorização é de 4 % .

25 Para x ! IR- , sejam

21

, x e 89

os três primeiros termos de uma

progressão geométrica (un) .

25.1 Determine o valor de x .

25.2 Determine a razão e u5 .

25.1 x

x21

98

= + x2 = 169

IRx

&! -

x = -43

25.2 r =

2143

- = -

23

e u5 = 89

23

23

3281

# #- - =c cm m

26 Considere as sucessões (un) e (vn) , em que se sabe que:• (un) é uma progressão aritmética de razão r ;• vn = u1 nr -

Mostre que a sucessão (vn) é uma progressão geométrica de razão 1

rr .

Como un + 1 = un + r , tem-se:

vv

n

n

u

u r1

1

1

n

n

r

r=

+

-

- -

= r-r = 1

rr

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281


ADE

Tarefa 6 Demonstre, aplicando o princípio de indução matemática, que, dada uma progressão geométrica (un) de razão r e de 1.o termo a , se tem:

un = arn - 1, 6n ! IN

Considere-se a condição P(n) dada por un = arn - 1 .

A proposição P(1) é u1 = ar1 - 1 = a , o que é verdade.

Considere-se, por hipótese, que para um certo n ! IN , un = arn - 1 .

Pretende-se provar que un + 1 = arn .

Por definição de progressão geométrica, tem-se que un + 1 = un × r .


un × r = arn - 1 × r = arn

Portanto, un + 1 = arn .

Conclui-se, assim, pelo princípio de indução matemática, que a proposição

un = arn - 1, 6n ! IN é verdadeira.

27 Justifique se os números representados em cada alínea podem ser os primeiros termos de uma progressão geométrica e, em caso afirmativo, escreva uma expressão para o seu termo geral:

a) 2 , 34

, 98

, 2716

, …

b) 2 , 5 , 8 , 11 , …

c) 3 , 1 , 33

, 31

, …

a) Sim, porque 234

3498

982716

32

= = = .

O termo geral pode ser dado por un = 2 × 32 n 1-

d n .

b) Não, porque 2

5

5

8! .

c) Sim, porque 3

1133

33

31

33

= = = .

O termo geral pode ser dado por un = 333

n

e o .

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282


28 Determine um termo geral da progressão geométrica (un) e o valor de u7 , em que se sabe:

a) u1 = 10 e r = 5 b) u1 = 14 e u5 = 112 c) u4 = 27 e u11 = 81

128

a) un = 10 × 5n - 1 e u7 = 10 × 57 - 1 = 156 250

b) u5 = 14 × r4 + 14112

= r4 + r = ! 84

un = 14 × 8n4 1-

` j ou un = 14 × 8n4 1

--

` j

u7 = 14 × 84 7 1-` j = 224 2

c) u11 = 27 × r7 + 2781

128

= r7 + r = 10287

1287

+ r = 32

u4 = u1 × r3 + 27 = u1 × 32 3

d n + u1 =

27827

+ u1 = 8

729

un = 8

729 ×

32 n 1-

d n e u7 = 8

729 ×

32 7 1-

d n = 8

729 ×

72964

= 8

29 A Mariana, desde o seu 15.º aniversário, recebe todos os anos uma boneca russa (matriosca).

Em cada ano, a boneca que lhe oferecem tem um peso 20 % superior ao peso da boneca do ano anterior.

Sabendo que a boneca que lhe ofereceram quando fez 18 anos pesava 345,6 g , determine o peso da boneca que lhe ofereceram no 24.º aniversário.

Apresente o resultado em gramas, com aproximação às unidades.

Seja (un) a sucessão do peso das bonecas em gramas. Então, u4 = 345,6 , pretendendo obter-se o valor de u10 .

Portanto, u10 = u4 × 1,2010 - 4 = 345,6 × 1,206 á 1032 g .

30 Um barco foi comprado novo por 30 000 euros. Por cada ano, após a sua compra, sofrerá uma desvalorização de 8 % .

Determine o valor do barco 15 anos após a sua compra.

Apresente o valor em euros, arredondado à centésima.

Seja (un) a sucessão do valor, em euros, do barco.

Assim, u15 = u1 × 0,9214 á 30 000 × 0,3112 á 9335,78 €

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283


ADE

31 Classifique quanto à monotonia as progressões geométricas (un) definidas por:

a) rn

b) 3 × 32 n

-d n

c) u

u u

5

2n n

1

1

=-

=+

*, 6n ! IN

d) 6

2n

n 2+

a) Monótona crescente, pois r = r > 1 e u1 > 0 .

b) Não monótona, pois r = -32

< 0 .

c) Monótona decrescente, pois r = 2 > 1 e u1 = -5 < 0 .

d) Tem-se 6

22 3

234

n

n

n n

n

n

2 2

#= =

+ +

= 4 × 31 n

d n .

Monótona decrescente, pois 0 < r = 31

< 1 e u1 = 34

> 0 .

32 Determine o termo geral da progressão geométrica (un) , monótona, sabendo que

u5 = 125 e u11 = 125

1 .

Caderno de Apoio do 11.º ano

u11 = u5 × r6 + 125125

1

= r6 + r = !15 625

16

+ r = !51

.

Como a sucessão é monótona, a sua razão é positiva, ou seja, r = 51

.

Por outro lado:

u5 = u1 × r4 + 125 = u1 × 51 4

d n + u1 =

6251

125 + u1 = 78 125

Assim, un = 78 125 × 51 n 1-

d n .

33 Determine uma expressão para o termo geral da progressão geométrica de comprimento 3 :

a) (-18, -6, -2)

b) (-2, 4, -8)

a) Tem-se u1 = -18 e r = 186

--

= 31

; logo, un = -18 × 13

n 1-

d n .

b) Tem-se u1 = -2 e r = 2

4-

= -2 ; logo, un = -2 × (-2)n - 1 = (-2)n .

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284


34

Determine:S = 3 + 32 + … + 38 + 39

Efetuando:

S = 3 + 32 + … + 38 + 39

-3S = -32 - … - 38 - 39 - 310

S - 3S = 3 + 0 + … + 0 + 0 - 310

Obtém-se -25 = 3 - 310 , ou seja:

S = 2

3 310- + + S = 29 523

35 Considere a progressão geométrica (un) em que u1 = -6 e r = 3 .

Determine:

a) um termo geral de (un) .

b) a soma dos 10 primeiros termos.

a) un = -6 × 3n - 1

b) S10 = -6 × 1 3

1 310

--

= -6 × 2

59048-

- = -177 144

36 Seja (an) a sucessão definida por an = 2

n1

2-

.

36.1 Mostre que (an) é uma progressão geométrica e determine a sua razão.

36.2 Calcule o valor exato:

a) da soma dos 12 primeiros termos.

b) de a5 + a6 + … + a12 .

36.1 Como aa

n

n 1+ =

2

2n

n

12

12

1

-

-+

= 2 2

1-

, (an) é uma progressão geométrica

de razão 22

.

36.2 a) S12 = a1 ×

122

122

12

-

- e o

= 2 ×

122

121 6

-

- c m

= 2 ×

22 2

6463

- =

= 2 × 32 2 2

63

-_ i =

64 32 2

63 2

- =

64 32 2 64 32 2

63 2 64 32 2

- +

+

_ _

_

i i

i =

= 4096 2048

63 2 64 32 2

-

+_ i =

64

63 2 2 2+_ i =

3263 2 63+

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285


ADE

b) a5 + a6 + … + a12 = S12 - S4 =

= 32

63 2 63+ - 2 ×

122

122

4

-

-e o

=

= 32

63 2 63

22 2

43

2+-

- =

= 32

63 2 63

4 2 2 4 2 2

3 2 4 2 2+-

- +

+

_ _

_

i i

i =

= 32

63 216 8

3 263 4 2 2-

-+ +_ i

=

= 32

63 2 63 3 2 2 2

8

4+-

+_ i =

= 32

63 2 6332

48 2 48+-

+ =

3215 2 15+

37 A Andreia estacionou o seu carro num local em que o placar informativo indica que o estacionamento de qualquer viatura custa na primeira hora 0,50 euros, aumentando 20 % em cada hora que passa.

Se a Andreia deixar o seu carro no local durante 5 horas, quanto irá pagar no final?

Seja (un) a sucessão do valor, em euros, a pagar por hora. A sucessão (un) é uma progressão geométrica de razão r = 1,20 e u1 = 0,50 .

Assim:

S5 = 0,50 × ,,

1 1 201 1 205

-

- = 0,50 ×

,,

1 1 201 2 48832

-

- =

= 0,50 × 7,4416 = 3,7208

A Andreia irá pagar, aproximadamente, 3,72 € .

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286


38 Determine:

41

+ 18

+ 1

16 + … +

11024

O termo geral da sucessão que tem como primeiros termos estes valores é:

un = 41

× 21 n 1-

c m = 21

2 × 2

1n 1- =

21n 1+

Tem-se que 1024

1 é o termo de ordem 9, pois 2n + 1 = 1024 , ou seja,

2n + 1 = 210 .

Assim:

S9 = 41

× 1

21

121 9

-

- c m

= 41

×

21

512511

= 41

× 256511

= 1024511

Tarefa 7 O Sr. Moreira é dono de uma fábrica de calçado para exportação e necessitou de uma máquina industrial para fazer face ao volume de encomendas que tinha.

Optou, então, por efetuar um contrato de aluguer, com a duração máxima de 10 anos, em que tinha de pagar no 1.º ano 15 milhares de euros e a cada ano que passasse teria uma redução de 5 % no aluguer devido à desvalorização da máquina.

7.1 Deduza uma expressão que permita calcular, para cada ano, o valor a pagar, em milhares de euros, pelo aluguer da máquina.

7.2 Determine o valor acumulado do aluguer se o contrato permanecer durante a sua vigência máxima.

7.1 Atendendo ao contrato de aluguer, o custo da máquina, em milhares de euros, no 1.º ano, c1 , é de 15 ; no 2.º ano, c2 , é de:

15 - 15 × 0,05 = 15 × (1 - 0,05) = 15 × 0,95 ; no 3.º ano, c3 = 15 × 0,952 . Tem-se, assim, que o custo da máquina, num determinado ano, é dado

por uma progressão geométrica de razão 0,95 ( cn + 1 = 0,95 × cn ) e de primeiro termo 15 e, portanto, a expressão pretendida é:

cn = 15 × 0,95n - 1

7.2 O custo acumulado da máquina ao longo dos 10 anos de contrato é dado por:

S = 15 × ,

,1 0 95

1 0 9510

-

- á 120,37892

O valor máximo a pagar será de, aproximadamente, 120 378,92 euros.

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287


ADE


ESCOLHA MÚLTIPLA


1 De uma progressão aritmética (un) sabe-se que a soma dos dois primeiros termos é 7 e a razão é -3 . O 6.º termo desta sucessão é:

(a) -8 (B) -10 (C) -12 (D) -14

u2 = u1 - 3 e u2 = 7 - u1 ; logo, u1 - 3 = 7 - u1 + u1 = 5 .

Assim, u6 = 5 + 5 × (-3) .


2 Num jogo de snooker, o Diogo e o Mário pagam 2 euros pelo aluguer da mesa de jogo e a cada bloco de 15 minutos que passa pagam mais 45 cêntimos.

Num determinado dia, o jogo entre os dois prolongou-se um pouco mais e pagaram 5 euros e 15 cêntimos.

Qual foi a duração máxima do jogo?

(a) 1 h 30 min (B) 1 h 45 min (C) 2 h (D) 2 h 15 min

5,15 - 2 = 3,15 e ,,

0 453 15

= 7

A duração máxima foi de 7 blocos de 15 minutos, ou seja, 1 h 45 min .


3 Um atleta efetuou um treino de 12 dias em que todos os dias correu sempre mais 800 metros do que havia corrido no dia anterior. Sabendo que nos primeiros 11 dias correu um total de 88 quilómetros, quantos quilómetros correu no 12.º, e último, dia de treino?

(a) 10,6 (B) 11,4 (C) 12,8 (D) 14,3

S11 = u u

21 11+

× 11 + 88 000 = u u

210 8001 1 #+ +

× 11 +

+ 8000 = u1 + 4000 + u1 = 4000

u12 = u1 + 11 × 800 = 12 800 metros


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288


4 Numa progressão geométrica de razão negativa, o 1.º termo é 2 e o 3.º termo resulta da diferença entre 3 e a razão.

Nesta progressão, a razão é:

(a) -2 (B) -32

(C) -1 (D) -21

u3 = u1 × r2 + 3 - r = 2 × r2 + 2r2 + r - 3 = 0 +

+ r = 4

1 1 4 2 3! # #- + + r =

41 5!-

+ r = -23

0 r = 1


5 Uma bomba de vácuo retira, em cada sucção, 3 % do gás existente num certo recipiente. Depois de 40 sucções, quanto restará do gás inicialmente existente?

(a) 30,5 %

(B) 29,6 %

(C) 28,7 %

(D) 27,8 %

0,9740 á 0,296


6 Um caracol percorre o caminho desenhado a azul na figura ao lado.

O lado de cada quadrado representado

na figura mede 43

do lado do quadrado

anterior (à esquerda deste).

Se o lado do primeiro quadrado medir 16 cm , a distância percorrida pelo caracol é, arredondada ao centímetro:

(a) 167 (B) 170 (C) 173 (D) 174

S8 = u1 × 1

43

143 8

-

- c m

= 16 × 3 ×

41

65 53658 975

= 1024

176 925 á 172,77


u3p40h4

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289


ADE

RESPOSTA ABERTA


7 Num hipermercado, colocou-se em exposição uma pilha com um determinado número de embalagens. Na primeira camada, colocaram-se 52 embalagens e, em cada camada seguinte, menos duas embalagens do que na anterior.

7.1 Calcule o número de embalagens na 18.a camada.

7.2 Sabendo que existem 24 camadas, determine o número total de embalagens existentes na pilha.

7.1 Seja (un) a sucessão do número de embalagens em cada camada.

u18 = 52 + 17 × (-2) = 18 embalagens

7.2 S24 = u u

21 24+

× 24 = ( )

252 52 23 2#+ + -

× 24 = 696 embalagens

8 Considere a progressão aritmética (an) , em que a2 + a4 = 15 e a5 + a6 = 25 .

8.1 Determine a razão da progressão e escreva o termo geral de (an) .

8.2 Sabendo que a soma dos n primeiros termos é 975 , calcule o valor de n .

8.1 Tem-se que: a2 + a4 = 15 + a1 + r + a1 + 3r = 15 + a1 =

r2

15 4-

a5 + a6 = 25 + a1 + 4r + a1 + 5r = 25 + a1 = r

225 9-

Logo:

r2

15 4- =

r2

25 9- + r = 2 e a1 =

r2

25 9- =

27

Portanto, o termo geral da sucessão é an = 27

+ 2(n - 1) = 2n + 23

.

8.2 Sn = u u

2n1 +

× n + 975 = n

227

223

+ + × n +

+ 1950 = (5 + 2n) × n + 5n + 2n2 - 1950 = 0 +

+ n = 4

5 25 4 2 1950! # #- + + n =

45 125!-

+

+ n = 30 0 n = -265

O valor de n é 30 .

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290


9 A soma dos primeiros n termos de uma progressão geométrica (bn) é dada por Sn = 3n + 1 - 3 .

9.1 Determine o 1.o termo desta sucessão.

9.2 Justifique que uma expressão do termo geral da progressão é:

bn = 6 × 3n - 1

9.1 b1 = S1 = 32 - 3 = 6

9.2 S2 = 33 - 3 = 24 e b2 = 24 - 6 = 18 .

Assim, r = bb

1

2 =

618

= 3 .

Logo, a expressão do termo geral é dada por:

bn = b1 × rn - 1 = 6 × 3n - 1

10 A espiral representada ao lado é constituída por semicircunferências.

A semicircunferência maior tem 3 cm de diâmetro e o diâmetro de cada semicircunferência seguinte mede menos 10 % do que o da anterior.

10.1 Determine o comprimento da 6.a semicircunferência, aproximado às centésimas.

10.2 Determine uma expressão em função do número n de semicircunferências que represente o comprimento da espiral.

10.1 Seja (un) a sucessão do diâmetro, em centímetros, de cada semicircunferência.

Tem-se:u6 = 3 × 0,905 á 1,77 cm

Então, o comprimento da 6.a semicircunferência é igual a:

,2

1 77r á 2,78 cm

10.2 Seja (vn) a sucessão do comprimento, em centímetros, de cada semicircunferência.

vn = ,u u

2 20 90n

n1

1# # #r r=

-

= 1,5r × 0,90n - 1

Assim, S = v1 × ,,

1 0 901 0 90 n

-

- = 1,5r ×

,,

1 0 901 0 90 n

-

- = 15r(1 - 0,9n)

u3p41h2

000707 268-295 U10.indd 290 01/07/16 12:39

291


ADE

11 Considere as sucessões (an) e (bn) definidas por:

a

a a

3

5n n

1

1

=

= ++

*, 6n ! IN

e bn = 2 × 3n - 1

11.1 Mostre que (an) é uma progressão aritmética e determine uma expressão do termo geral.

11.2 Determine n ! IN tal que bn + 2 = a98 .

11.3 Calcule a soma:

a) dos primeiros 10 termos de cada uma das sucessões (an) e (bn) .

b) dos 8 termos de cada uma das sucessões (an) e (bn) a partir do 5.º, inclusive.

11.1 an + 1 - an = an + 5 - an = 5 ; logo, (an) é uma progressão aritmética. O termo geral é an = 3 + (n - 1) × 5 = 5n - 2 .

11.2 bn + 2 = a98 + bn + 2 = 5 × 98 - 2 + 2 × 3n - 1 = 486 +

+ 3n - 1 = 243

Como 35 = 243 , n = 6 .

11.3 a) Para (an) :

S10 = a a

21 10+

× 10 = 2

3 48+ × 10 = 255

Para (bn) :

S10 = b1 × 1 3

1 310

--

= 2 × 2

1 310

--

= 59 048

b) Sa = a a

25 8 4+ +

× 8 = 2

55 2 5 12 2# #+- - × 8 = 324

Sb = b5 × 1 31 38

--

= 2 × 34 × 2

1 38

--

= 531 360

12 Considere a sucessão (vn) definida por

v

v v

2

2 1n n

1

1

=

= -+

*, 6n ! IN

.

12.1 Seja (wn) a sucessão definida por wn = vn - 1 . Mostre que (wn) é uma progressão geométrica de razão 2 e determine o termo geral de (wn) .

12.2 Mostre, utilizando o principio de indução matemática, que a soma dos n primeiros termos de (vn) é dada por S = 2n + n - 1, 6n ! IN .

12.1 ww

vv

vv

11

12 1 1

n

n

n

n

n

n1 1=

-

-=

-

- -++ =

( )vv

12 1

n

n

-

- = 2

Logo, (wn) é uma progressão geométrica de razão 2 e de 1.o termo w1 = v1 - 1 = 2 - 1 = 1 . Portanto, o termo geral é:

wn = 1 × 2n - 1 = 2n - 1

000707 268-295 U10.indd 291 01/07/16 12:39

292

preparação para o teste 6

12.2 Para n = 1 , tem-se S1 = 21 + 1 - 1 = 2 , que é verdade.

Hipótese: Para um certo n ! IN , Sn = 2n + n - 1 .

Tese: Sn + 1 = 2n + 1 + n

Demonstração: Sn + 1 = Sn + vn + 1

Por hipótese, obtém-se:Sn + 1 = 2n + n - 1 + vn + 1 = 2n + n - 1 + 2vn - 1 = = 2n - 2 + 2vn + n

Tem-se que wn = vn - 1 + vn = wn + 1 + vn = 2n - 1 + 1 .

Assim: Sn + 1 = 2n - 2 + 2(2n - 1 + 1) + n = = 2n - 2 + 2n + 2 + n = 2 × 2n + n = 2n + 1 + n

Portanto, pelo princípio de indução, 6n ! IN, Sn = 2n + n - 1 .

PREPARAÇÃO PARA O TESTE 6

I

Para cada uma das questões deste grupo, selecione a opção correta de entre as alternativas que lhe são apresentadas.

1 Considere a sucessão (un) definida pelo termo geral:

un = arcsin n1

-c m

Indique a afirmação falsa:

(a) (un) é crescente.

(B) (un) é limitada.

(C) sin(u1) = -1

(D) cos(u2) = -23

u2 = arcsin21

-c m = -6r

e cos6r

-c m = 3

2


2 As figuras representam os três primeiros termos de uma sucessão.

O número de círculos necessários para representar os 10 primeiros termos da sucessão é:

(a) 41

(B) 210

(C) 230

(D) 300

S10 = u u

21 10+

× 10 = 2

5 5 9 4#+ + × 10 = 230


u3p42h1

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293

Domínio 3 SUCESSÕES

3 Considere a sucessão (vn) definida pelo termo geral:

vn = 3 × 4n2

1-

Sabendo que (vn) é uma progressão geométrica, qual é a sua razão?

(a) 41

(B) 12

(C) 2 (D) 4

vv

n

n 1+ =

3 4

3 44n

n

21

2

11

2

1

#

#=

-

+-

= 2


4 O número de abelhas numa determinada colmeia diminui a um ritmo mensal de 3 % .

Sabendo que existiam cerca de 2000 abelhas no início de janeiro deste ano, qual o número aproximado de abelhas se prevê que existam no fim do mês de dezembro do corrente ano?

(a) 1475 (B) 1431 (C) 1388 (D) 1346

v12 = v1 × 0,9711 = 2000 × 0,9711 . 1431


5 Para cada valor de n ! IN , considere, num referencial o.n. Oxyz , o ponto A de coordenadas (n + 2, 3, 1 - n) .

Sabendo que o ponto A pertence ao plano que passa pela origem do referencial e é perpendicular à reta r de equação:

(x, y, z) = (1, 2, -1) + k(-2, 1, -3) , k ! IR

Qual o valor de n ?

(a) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5

A equação do plano é -2x + y - 3z = 0 .

Assim:

-2(n + 2) + 3 - 3(1 - n) = 0 +

+ -2n - 4 + 3 - 3 + 3n = 0 + n = 4


000707 268-295 U10.indd 293 01/07/16 12:40

294


II

Nas questões seguintes, apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver de efetuar e as justificações necessárias.

1 Considere as sucessões (un) , (vn) e (wn) definidas, respetivamente, por:

un = nn

22 1

++

; v

v v

3

2n n

1

1

=

= -+

*, 6n ! IN

e wn = 3v 2n-

1.1 Prove que (un) é monótona e limitada.

1.2 Determine um termo geral de (vn) .

1.3 Calcule v5 + v6 + … + v20 .

1.4 Mostre que (wn) é uma progressão geométrica decrescente.

1.1 un + 1 - un = ( )

nn

nn

32 1 1

22 1

+

+ +-

++

=

= ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )n n

n n n n3 2

2 3 2 2 1 3+ +

+ + - + + =

= ( ) ( )

( )n n

n n n n3 2

2 7 6 2 7 32 2

+ +

+ + - + + =

( ) ( )n n3 23

+ + > 0

Logo, (un) é crescente.

Assim, u1 = 1 22 1

++

= 1 é um minorante de (un) .

Além disso, tem-se que ( )

nn

nn

nn

22 1

22 4

22 2

1++

++

=+

+ = 2 .

Logo, 2 é um majorante de (un) e, portanto, (un) é limitada.

1.2 (vn) é uma progressão aritmética de razão -2 e de primeiro termo 3 .

Logo, vn = 3 - 2(n - 1) = 5 - 2n .

1.3 v5 + v6 + … + v20 = v v

25 20+

× 16 =

= 2

2 5 5 2 205 ##- + - × 16 =

= 2

5 53-- × 16 = -320

1.4 ww

33

3n

n

v

vv v1

2

2

n

n

n n

1

1= =+

-

--

+

+ = 3-2 = 91

Logo, (wn) é uma progressão geométrica de razão 91

e de primeiro termo w1 = 3 v 21 - = 33 - 2 = 3 .

Assim, como a razão é inferior a 1 e o primeiro termo é positivo, (wn) é decrescente.

000707 268-295 U10.indd 294 01/07/16 12:40

295


2 O Sr. Madureira comprou uma televisão LED Smart TV 3D 55m a prestações.

O primeiro pagamento, um mês após a compra, foi de 120 euros; o segundo, dois meses após a compra, foi de 140 euros; o terceiro foi de 160 euros; e assim sucessivamente até pagar a totalidade do valor da televisão.

2.1 Determine qual foi a prestação a pagar no 10.o mês.

2.2 Sabendo que o Sr. Madureira pagou a televisão em 12 meses, determine o valor total pago.

2.3 No momento em que o Sr. Madureira efetuou o crédito, foi-lhe proposto comprar outro modelo de televisão, no valor de 2550 euros, a qual seria paga da seguinte forma: 10 euros na 1.a prestação; 20 euros na 2.a; 40 euros na 3.a; e assim sucessivamente até perfazer o valor total a pagar. Nesta modalidade, quantos meses levaria a livrar-se das suas obrigações?

2.1 Seja (vn) a sucessão do valor, em euros, de cada prestação. Então, (vn) é uma progressão aritmética de razão 20 e de primeiro termo 120 .

Assim, v10 = 120 + (10 - 1) × 20 = 300 € .

2.2 S = v v

21 12+

× 12 = ( )

2120 120 12 1 20+ + -

× 12 = 2760€

2.3 Seja (un) a sucessão do valor, em euros, de cada prestação. Então, (un) é uma progressão geométrica de razão 2 e de primeiro termo 10 .

Assim:

S = 2550 + u1 × rr

11 n

--

= 2550 + 10 × 1 21 2 n

--

= 2550 +

+ 1 - 2n = -255 + 2n = 256 Como 28 = 256 , n = 8 . Logo, levaria 8 meses a pagar a televisão.

3 No referencial o.n. xOy da figura estão representadas a circunferência de centro C(3, -4) , e que passa pela origem do referencial, e a reta t tangente à circunferência em O .

3.1 Mostre que a reta t pode ser definida por 3x - 4y = 0 .

3.2 Defina por uma condição a zona colorida, incluindo a fronteira.

3.1 Tem-se que o vetor OC(3, -4) é perpendicular à reta t ; logo, (4, 3) é um vetor diretor da reta. Como t passa na origem do referencial, a sua ordenada na origem é nula. Assim, a sua equação reduzida é do tipo

y = mx . Neste caso, obtém-se y = 43

x + 4y = 3x + 3x - 4y = 0 . Em alternativa: P é ponto da reta se, e só se, OP for perpendicular a OC . Portanto:

t: (x, y) $ (3, -4) = 0 + 3x - 4y = 0

3.2 0 G y G 43

x / (x - 3)2 + (y + 4)2 H 25

u3p43h2

y

x

t

O

C(3, 24)

000707 268-295 U10.indd 295 01/07/16 12:40

296

Limites de sucessões11UN

IDAD

E


11.1 Definição de limite

1 Relativamente ao exemplo 1, determine uma ordem p ! IN , a partir da qual a área do triângulo [BCP] é inferior a:

a) 0,001 b) 10-5

a) Se a área do triângulo [BCP] for inferior a 0,001 , tem-se:

n2 21+

< 0,001 + 2n + 2 > 1000 + n > 499

Portanto, basta escolher uma ordem superior a 499 , por exemplo 500 , uma vez que, para todo o natural n , n H 500 & qan - 1u < 0,001 .

b) Se a área do triângulo [BCP] for inferior a 10-5 , tem-se:

n2 21+

< 0,00001 + 2n + 2 > 100 000 + n > 49 999

Portanto, basta escolher uma ordem superior a 49 999 , por exemplo 50 000 , uma vez que, para todo o natural n , n H 50 000 & qan - 1u < 10-5 .


un = n1

2.1 Calcule u1 , u10 , u500 e u10 000 .

2.2 Determine uma ordem a partir da qual:

a) un < 0,0001 b) un < 0,00003

2.3 Prove que un " 0 .

2.1 u1 = 1 ; u10 = 1

10 ; u500 =

01

50 ; u10 000 =

11

0 000

2.2 a) un < 0,0001 + n1

< 0,0001 + n1

< 0,0001 + n > 10 000

A partir da ordem 10 000 , exclusive, ou 10 001 , inclusive.

b) un < 0,00003 + n1

< 0,00003 + n1

< 0,00003 + n > 33 333,(3)

A partir da ordem 33 334 , inclusive.

000707 296-327 U11.indd 296 01/07/16 12:48

297


ADE

2.3 Por definição un " 0 se, e somente se, para todo o d > 0 , existe uma ordem p ! IN , tal que

6n ! IN, n H p & u 0n - < d

Considerando um número real d > 0 , a condição

un < d

é equivalente a

n1

< d + n > 1d

Conclui-se, então, que a condição un < d é possível em IN e tem como conjunto solução

S = IN + ,1

3d

+ <F Assim, considerando p = min S , tem-se:

6n ! IN, n H p & un < d

Fica, assim, provado, por definição, que un " 0 .


un = nn3 1+

3.1 Determine uma ordem, p ! IN , a partir da qual todos os termos da sucessão (un) verificam a condição:

u 3n- < 0,001

3.2 Prove, utilizando a definição, que un " 3 .

3.3 Determine o conjunto solução da condição qun - 3,1u < 0,001 e conclua que 3,1 não é limite de (un) .

3.1 Tem-se que:

nn3 1

3+

- = n1

Como n1

< 0,001 + n > 1000 , basta escolher uma ordem superior

a 1000 , por exemplo, 1001 , para que isso aconteça, uma vez que, para todo o natural n , n H 1001 & qun - 3u < 0,001 .

3.2 Por definição, un " 3 se, e somente se, para todo o d > 0 existe uma ordem p ! IN , tal que 6n ! IN, n H p & qun - 3u < d .

Considerando um número real d > 0 , a condição qun - 3u < d

é equivalente a n1

< d , para todo o n ! IN .

Tem-se que n1

< d + n > 1d

.

000707 296-327 U11.indd 297 01/07/16 12:48

298

Limites de sucessões

Conclui-se, então, que a condição qun - 3u < d é possível em IN

e tem como conjunto solução S = IN + ,1

3d

+ <F .

Assim, considerando p = min S , tem-se:

6n ! IN, n H p & qun - 3u < d


3.3 ,u 3 1n - < 0,001 + ,n

n3 1

3 1+

- < 0,001 + , n

n1 0 1-

< 0,001 +

+ , n1 0 1- < 0,001n + -0,001n < 1 - 0,1n / 1 - 0,1n < 0,001n +

+ -0,001n + 0,1n < 1 / -0,1n - 0,001n < -1 +

+ 0,099n < 1 / -0,011n < -1 + n < 10,101 / n > 90,91 (Impossível)

Conclui-se, assim, que não existe nenhuma ordem para a qual ,u 3 1n - < 0,001 e, portanto, 3,1 não é limite da sucessão considerada.

4 Prove, por definição, que as sucessões definidas pelos termos gerais seguintes tendem para -2 .

a) an = -2 - n2

b) bn = nn1 2-

a) Por definição, an " -2 se, e somente se, para todo o d > 0 , existe uma ordem p ! IN , tal que 6n ! IN, n H p & qan + 2u < d .

Considerando um número real d > 0 , a condição qan + 2u < d

é equivalente a n2

- < d , para todo o n ! IN .

Tem-se que n2

< d + n > 2d

.

Conclui-se, então, que a condição qan + 2u < d é possível em IN e tem

como conjunto solução S = IN + ,2

3d

+ <F .


6n ! IN, n H p & qan + 2u < d

Fica, assim, provado, por definição, que an " -2 .

b) Por definição, bn " -2 se, e somente se, para todo o d > 0 , existe uma ordem p ! IN , tal que 6n ! IN, n H p & qbn + 2u < d .

Considerando um número real d > 0 , a condição qbn + 2u < d

é equivalente a n1


Tem-se que n1

< d + n > 1d

.

000707 296-327 U11.indd 298 01/07/16 12:48

299


ADE

Conclui-se, então, que a condição qbn + 2u < d é possível em IN e tem

como conjunto solução S = IN + ,1

3d

+ <F .

Assim, considerando p = min S , tem-se: 6n ! IN, n H p & qbn + 2u < d

Fica, assim, provado, por definição, que bn " -2 .

11.2 Convergência e limitação

5 Considere a sucessão (un) de termo geral:

un = n

n2

5 6+

5.1 Mostre que un " 3 .

5.2 Determine quantos termos de (un) não pertencem à vizinhança 0,2 de 3 .

5.3 Indique um majorante e um minorante de (un) .

5.1 Por definição, un " 3 se, e somente se, para todo o d > 0 , existe uma ordem p ! IN , tal que 6n ! IN, n H p & qun - 3u < d .


é equivalente a n25


Tem-se que n25

< d + n > 25d

.

Conclui-se, então, que a condição qun - 3u < d é possível em IN

e tem como conjunto solução S = IN + ,25

3d

+ <F .

Assim, considerando p = min S , tem-se: 6n ! IN, n H p & qun - 3u < d


5.2 qun - 3u H 0,2 + n

n2

5 63

+- H 0,2 +

n25

H 0,2 +

+ n25

H 0,2 ++ n G ,0 45

+ n G 12,5

Então, existem 12 termos de (un) que não pertencem à vizinhança 0,2 de 3 .

5.3 Tem-se que n

n2

5 6+ = 3 +

n25

, 6n ! IN .

Então: 6n ! IN, 0 <

n25

G 25

+ 6n ! IN, 3 < 3 + n25

G 211

Conjunto dos minorantes: ]-3, 3]

Conjunto dos majorantes: ,211

3+; ; Logo, por exemplo, 3 é um minorante de (un) e

211

é um majorante de (un) .

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300


6 Mostre que a sucessão de termo geral

un = 3 + ( )

n1 n-

converge para 3 e não é monótona.

Por definição, un " 3 se, e somente se, para todo o d > 0 , existe uma ordem p ! IN , tal que 6n ! IN, n H p & qun - 3u < d .


é equivalente a ( )

n1 n-


Para todos os termos, tem-se que ( )

n1 n-

< d + n1

< d + n > 1d

.

Conclui-se, então, que a condição qun - 3u < d é possível em IN e tem como

conjunto solução S = IN + ,1

3d

+ <F .


6n ! IN, n H p & qun - 3u < d


Monotonia:

u1 = 3 + ( )

11 1-

= 2 ; u2 = 3 + ( )

21 2-

= 27

; u3 = 3 + ( )

31 3-

= 38

Como u1 < u2 e u2 > u3 , a sucessão não é monótona.

7 Considere uma sucessão (un) convergente e monótona, de limite l ! IR .

Mostre que (un) é limitada, exibindo um majorante e um minorante dessa sucessão.


Dada uma sucessão (un) convergente de limite l , por definição, dado um número real d > 0 , existe um número finito, p - 1 , de termos que não pertencem à vizinhança d de l , ou seja, que não pertencem ao intervalo ]l - d, l + d[ .

Então, sendo m e M , o mínimo e o máximo, respetivamente, do conjunto {u1, u2, …, up - 1, l - d, l + d} , tem-se 6n ! IN, m G un G M , ou seja, a sucessão (un) é limitada.

Se (un) for monótona crescente, então, u1 é um minorante e l é um majorante.

Se (un) for monótona decrescente, então, l é um minorante e u1 é um majorante.

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301


ADE

8 Justifique que a sucessão (an) definida por an =

nn

3 22+-

é convergente.

Como

an + 1 - an = ( )

( )n

nnn

3 2 12 1

3 22

+ +

- +-

+-

= ( ) ( )n n2 5 2 3

7+ +

< 0, 6n ! IN

(an) é monótona decrescente e, como tal, a1 = 51

é majorante.

nn

nn

n

n

n

n

3 22

2 32

2232

23

21

1

+-

=+

- +=

+

- +=

+

- +

c m

21

- n + 1 n + 32

21

n + 43

21

-

47

Como an = 21

- + n

23

47

+ , tem-se:

6n ! IN, n

23

47

+ > 0 + 6n ! IN, an >

21

-

Logo, 21

- é minorante de (an) .

Portanto, pelo teorema sobre sucessões monótonas e limitadas e convergência, (an) é convergente.

9 Considere as sucessões definidas por:

un = n 3

5+

vn = cos2(n + 1)

9.1 Mostre que un " 0 .

9.2 Indique, justificando, lim(unvn) .

000707 296-327 U11.indd 301 01/07/16 12:48

302


9.1 Por definição, un " 0 se, e somente se, para todo o d > 0 , existe uma ordem p ! IN , tal que 6n ! IN, n H p & qun - 0u < d .


é equivalente a n 3

5+


Tem-se que n 3

5+

< d + n > 5 3

d

d- .

Conclui-se, então, que a condição qun - 0u < d é possível em IN e tem

como conjunto solução S = IN + ,5 3

3d

d-+ <F .


6n ! IN, n H p & qun - 0u < d


9.2 lim(un vn) = 0 , porque é o limite do produto de uma sucessão que tende para zero, (un) , por uma sucessão limitada, (vn) .

Tarefa 1 Justifique o seguinte resultado:

Dadas duas sucessões, (un) e (vn) , convergentes, tais que lim un = a e lim vn = 0 , então, lim(unvn) = 0 .

Atendendo a que (un) é convergente, então, é também limitada.

Como lim vn = 0 , tem-se, por teorema, que lim(unvn) = 0 .

11.3 Limites infinitos


an = 3n + 1

10.1 Determine a ordem a partir da qual todos os termos da sucessão são maiores do que:

a) 100 b) 5000

10.2 Justifique que lim an = +3 .

10.1 a) Como 3n + 1 > 100 + 3n > 99 + n > 33 , basta escolher uma ordem superior a 33 , uma vez que, para todo o natural n , n H 34 & an > 100 .

b) Como 3n + 1 > 5000 + n > 3

4999 , basta escolher uma ordem

superior a 3

4999 = 1666,(3) . Assim, para todo o natural n ,

n H 1667 & an > 5000 .

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303


ADE

10.2 Provar que lim(3n + 1) = +3 é o mesmo que provar que, para qualquer número real L > 0 , existe uma ordem p ! IN , tal que

6n ! IN, n H p & 3n + 1 > L Como

3n + 1 > L + n > L

31-

,

basta, para cada L > 0 , considerar p igual ou superior ao menor

natural que verifica a condição n > L

31-

, para que a proposição

6n ! IN, n H p & 3n + 1 > L seja verdadeira.

Portanto, lim(3n + 1) = +3 .

Tarefa 2 Prove que un = 2n + (-1)nn é não monótona e que lim un = +3 .

Calculando os três primeiros termos, tem-se que u1 = 1 , u2 = 6 e u3 = 3 ; logo, u1 < u2 e u2 > u3 e, sendo assim, (un) é não monótona.

Por definição, un " +3 se, e somente se, para todo o L > 0 existe uma ordem p ! IN , tal que 6n ! IN, n H p & un > L .

Considerando um número real L > 0 , a condição un > L é equivalente a:• paran ímpar, n > L ;

• paran par, 3n > L + n > L3

.

Conclui-se, então, que a condição un > L é possível em IN e tem como conjunto solução:

S = IN + ]L, +3[ + ,L3

3+ ;E


6n ! IN, n H p & un > L

Fica, assim, provado, por definição, que un " +3 , isto é, lim un = +3 .

11 Prove, usando a definição, que:

a) lim(5n2) = +3 b) lim_- ni = -3

a) Para qualquer L > 0 , como qualquer natural é positivo, tem-se

5n2 > L + n > L5

Então, considerando p igual ao menor natural superior a L5

, tem-se,

para todo o natural n , n H p & 5n2 > L .

Como L > 0 pode ser qualquer, tem-se que lim 5n2 = +3 .

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304


b) Analogamente à alínea a), como - n < -L + n > L + n > L2 , basta, para cada L > 0 , escolher p como sendo o menor natural superior a L2 para que a proposição 6n ! IN, n H p & - n < -L seja verdadeira.

Portanto, lim n-_ i = -3 .


un = n n

n n

3

3

se é par

se é ímpar

+*

12.1 Estude a monotonia de (un) .

12.2 Mostre que:

un " +3

12.1 Calculando o 8.º , o 9.º e o 10.º termos da sucessão, tem-se que u8 = 11 , u9 = 27 e u10 = 13 ; logo, u8 < u9 e u9 > u10 e, sendo assim, (un) é não monótona.

11.2 Provar que lim(un) = +3 é o mesmo que provar que para qualquer número real L > 0 existe uma ordem p ! IN , tal que 6n ! IN, n H p & un > L .

Para n par:

n + 3 > L + n > L - 3

Para n ímpar:

3n > L + n > L3

Portanto, basta, para cada L > 0 , considerar p igual ou superior ao menor natural que verifica simultaneamente as condições

n > L - 3 e n > L3

, que se sabe existir, para que a proposição

6n ! IN, n H p & un > L seja verdadeira.

Fica, assim, provado, por definição, que un " +3 , isto é, lim un = +3 .

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305


ADE

11.4 Limites de sucessões que diferem num número finito de termos

13 Considere as sucessões (an) e (bn) definidas, respetivamente, por:

an = n

n1

2+

e

bn = nn

n

n n

12

20

4 20

se

se 2

G+*

13.1 Mostre que:

a) lim an = 2

b) lim bn = +3

13.2 As sucessões (an) e (bn) têm termos em comum. Explique por que razão o resultado de 13.1 não contradiz a seguinte propriedade:

Duas sucessões (un) e (vn) que diferem apenas num número finito de termos têm o mesmo limite (real ou infinito) ou não têm limite.

13.1 a) Dado um número real d > 0 :

n

n1

22

+- < d +

nn n

12 2 2

+- -

< d + n 1

2+

< d + n > 2d

- 1

Então, escolhendo p ! IN igual ou superior a 2d

- 1 , tem-se,

para todo o natural n , n H p , n

n1

22

+- < d .

E, como d > 0 é qualquer, conclui-se o pretendido, ou seja, lim an = 2 .

b) Provar que lim bn = +3 é o mesmo que provar que, para qualquer número real L > 0 , existe uma ordem p ! IN , tal que:

6n ! IN, n H p & bn > L

Tome-se p1 igual ou superior ao menor natural que verifica a condição

n > L4

.

Para n H 21 , bn = 4n ; então, para todo o L > 0 , basta escolher uma ordem p igual ou superior ao máximo entre 21 e p1 para que a proposição 6n ! IN, n H p & bn > L seja verdadeira.

Portanto, lim bn = +3 .

13.2 Porque estas sucessões diferem uma da outra num número infinito de termos.

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306


Tarefa 3 Considere uma sucessão (un) convergente, com limite l , e um número real d > 0 .

3.1 Justifique que existe p1 ! IN , tal que n H p1 & qun - lu < d .

3.2 Seja (vn) uma sucessão tal que vn = un , qualquer que seja n H p2 (isto é, (un) e (vn) diferem apenas num número finito de termos). Conclua que, sendo p3 o máximo entre p1 e p2 , 6n ! IN, n H p3 &

& qvn - lu < d , ou seja, lim vn = lim un = l .

3.1 Por definição de limite, existe p1 ! IN: n H p1 & qun - lu < d .

3.2 Se diferem apenas num número finito de termos, existe p3 ! IN: n H p3 & vn ! ]l - d, l + d[ , ou seja, lim vn = l .

11.5 Aplicação da definição de limite a casos particulares

14 Indique o limite das sucessões definidas por:

a) an = 5 + 3n

b) bn = n

34-

a) lim an = +3 , pois 3 > 0

b) lim bn = lim 34

- n3

= -3 , pois -31

< 0

15 Considere uma progressão aritmética crescente (an) . Indique, justificando, o seu limite.

Como (an) é crescente, então, tem razão positiva, ou seja, an = an + b , com a > 0 , e, como consequência, o seu limite é +3 .

16 Utilize a definição de limite para provar que:

a) lim 2 = 2

b) lim n 10

5+-

= 0

c) lim n

n3 1

6 7- +

+ = -2

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307


ADE

a) Seja un = 2 . Tem-se, para qualquer real d > 0 e para qualquer n ! IN , n H p & qun - 2u = q2 - 2u = 0 < d . Donde, lim 2 = 2 .

b) Dado um número real d > 0 e n ! IN :

n 105

+-

< d + n 10

5+

< d + n + 10 > 5d

+ n > 5d

- 10

Então, escolhendo p ! IN , tal que p > 5d

- 10 , tem-se para todo o natural n :

n H p & n 10

5+-

< d

Como d > 0 é qualquer, conclui-se o pretendido, ou seja, lim n 10

5+-

= 0 .

c) Dado um número real d > 0 e n ! IN :

n

n3 1

6 72

- ++

+ < d + n

n n3 1

6 7 6 2- +

+ - + < d +

n3 19

- + < d +

+ n3 1

9-

< d + n > 3d

+ 31

Então, escolhendo p ! IN superior a 3d

+ 31

, tem-se, para todo o natural n , n H p :

nn3 1

6 72

- ++

+ < d

Como d > 0 é qualquer, conclui-se o pretendido, ou seja,

lim n

n3 1

6 7- +

+ = -2 .

Tarefa 4 Prove que, dados os números reais a , b , c e d , se

c ! 0 e 6n ! IN , cn + d ! 0 , então, lim cn dan b

++

= ca

.

Seja d > 0 qualquer. Então, u ca

n - < d + c n dcbc ad

2 +

- < d e, a partir

de certa ordem, tem-se c2n + dc > 0 , e a condição anterior verifica-se para

n > c

bc adcd

2d

-- .

Assim, considerando p igual ao menor natural que verifica as condições, tem-se o pretendido.

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308


11.6 Álgebra de limites de sucessões convergentes

17 Indique:

a) lim n3

b) lim n2

c) lim 4

d) lim nn

1 23+-

e) lim n1

2

a) lim n3 = +3 , pois r = 3 > 0 .

b) lim n2

= 0

c) lim 4 = 4

d) lim nn

1 23+-

= -21

e) lim n1

2 = lim n-2 = 0 , pois r = -2 < 0 .

18 Considere duas sucessões (un) e (vn) convergentes, tais que:

lim un = -1 e lim vn = 4

Calcule:

a) lim(un + vn)

b) lim(un - 2vn)

c) lim^un2h

d) lim vu

n

1n

n+e o

a) lim(un + vn) = lim un + lim vn = -1 + 4 = 3

b) lim(un - 2vn) = lim un + lim(-2vn) = lim un - 2 lim vn =

= -1 - 2 × 4 = -9

c) lim(un2) = lim(un × un) = lim un × lim un = (lim un)2 = (-1)2 = 1

d) lim vu

n

1n

n+e o = lim v

u

n

nc m + limn

1e o = -

41

+ limn

1

2

1f p =

= -41

+ lim n 2

1-a k = -

41

+ 0 = -41

000707 296-327 U11.indd 308 01/07/16 12:49

309


ADE

11.7 Álgebra de limites infinitos e indeterminações

19 Calcule:

a) lim n23

+c m b) lim n

nn

13 1

++ - -c m c) lim

nn3

31 3

+-

d n

a) lim n23

+c m = lim 2 + lim n3

= 2 + 0 = 2

b) limn

nn

13 1

++ - -c m = lim

nn

1+c m + lim 3 + lim(-n-1) =

= 1 + 3 - 0 = 4

c) limn

n3

31 3

+-

d n = limn

n3

10 13

-df np =

310 3

d n = 27

1000

20 Calcule:

a) lim n n12+c m b) lim

nn

n2

5 13+

+-

-d n

a) lim n n12 +c m = lim n2 + lim n

1 = lim n2 + lim n-1 = +3 + 0 = +3

b) limnn

n32

5 1+

+-

-d n = limnn

n32

5 1+-

- +d n =

= lim(3 - n) + lim nn

25 1

+-

d n = -3 + 5 = -3


un = 2n2 - 3

Indique um termo geral de uma sucessão (vn) com limite -3 , tal que:

a) lim(un + vn) = 0

b) lim(un + vn) = +3

c) lim(un + vn) = -3

d) lim(un + vn) = 2

a) Por exemplo, vn = 3 - 2n2 .

b) Por exemplo, vn = -n2 .

c) Por exemplo, vn = -3n2 .

d) Por exemplo, vn = 5 - 2n2 .

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310


22 Considere as sucessões (un) , (vn) e (wn) , em que:

lim un = -3 lim vn = +3 lim wn = -3

Indique, se possível:

a) lim(unvn)

b) lim(unwn)

c) lim(un + vn)

d) lim(wn - vn)

e) lim(2un - 3vn)

a) lim(unvn) = lim un × lim vn = -3 × (+3) = -3

b) lim(unwn) = lim un × lim wn = -3 × (-3) = +3

c) lim(un + vn) = lim un + lim vn = -3 + (+3) = +3

d) lim(wn - vn) = lim wn - lim vn = lim wn + lim (-vn) =

= -3 + (-3) = -3

e) lim(2un - 3vn) = lim(2un) + lim(-3vn) = 2 × (-3) + (-3) × +3 =

= -6 + (-3) = -3

23 Considere as sucessões (un) , (vn) e (wn) , em que:

lim un = 2 lim vn = +3 lim wn = -3

Indique, se possível:

a) lim(wnvn)

b) lim(unwn)

c) lim(un + wn)

d) lim(wn)2

a) lim(wnvn) = -3 × (+3) = -3

b) lim(unwn) = 2 × (-3) = -3

c) lim(un + wn) = 2 + (-3) = -3

d) lim(wn)2 = -3 × (-3) = +3

24 Considere as sucessões (un) e (vn) tais que:• 6n ! IN, un > 0• limun = +3• limvn = -3

Determine:

a) lim(un3vn)

b) lim(unvn)3

c) lim un

d) lim u vn n25

5b l

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311


ADE

a) lim(un3vn) = lim un

3 × lim vn = +3 × (-3) = -3

b) lim(unvn)3 = lim(unvn)h3 = +3 × (-3)h3 = -3

c) lim un = lim un2

1

= ( )lim un 2

1

= +3

d) lim u vn n25

5b l = lim un25

b l × lim(vn5) = ( )lim un 2

5

× (lim vn)5 =

= +3 × (-3) = -3

25 Considere a sucessão (un) de termo geral un =

n5

2 .

Dê exemplo de uma sucessão (vn) , tal que lim vn = +3 , e:

a) lim(unvn) = 0 b) lim(unvn) = +3 c) lim(unvn) = 1

a) Por exemplo, vn = n .

b) Por exemplo, vn = n3 .

c) Por exemplo, vn = n5

2

.

26 Seja (un) uma progressão aritmética de razão e termos não nulos.

Justifique que:lim u

1n

= 0

Tem-se que lim un = -3 ou lim un = +3 .

Pelo teorema da inversa de uma sucessão de limite infinito, lim u1

n = 0 .

27 Justifique que

lim n

n6

3

+ = +3

começando por calcular

lim n

n 63

+

lim n

n 63

+ = lim

n nn1 6

2 #+

ce mo = lim n1

2 × lim nn 6+

=

= lim n-2 × lim nn 6+

= 0 × 1 = 0+ (pois tem todos os termos positivos)

Como lim n

n 63

+ = 0+ , então, lim

nn 6

3

+ = lim

nn 6

1

3

+ = +3 ,

pois 01+

= +3 .

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312


28 Calcule:

a) lim 332 n

#d n> Hb) lim vn , em que (vn) é definida por

v

v v

2

25

n n

1

1

=

=+

*, 6n ! IN

.

c) lim 2n + 3-nh

a) lim 332 n

# d n> H = lim 3 × lim32 n

d n = 3 × 0 = 0

,32

132

0omoCn

"1 df n p

b) vn é uma progressão geométrica de razão 25

e, sendo assim, o termo geral

pode ser dado por vn = 2 × 25 n 1-

d n .

Então, lim vn = lim 225 n 1

#-

d n> H = lim 2 × lim25 n

d n × lim25 1-

d n =

= +3 × 54

= +3

,25

125

omoCn

" 32 +df n p

c) lim(2n + 3-n) = lim 2n + lim 31

n = lim 2n + lim31 n

d n =

= +3 + 0 = +3

,31

1 2 131

0 2omo e eCn

n" " 31 2 +df n p

Tarefa 5 Considere as sucessões (un) , (vn) , (wn) e (zn) de termos gerais, respetivamente:

un = n2 + n , vn = -2n , wn = n + 1 e zn = n3

5.1 Justifique que lim un = +3 e que:

a) lim vn = -3 e lim vu

n

n = -3

b) lim wn = +3 e lim wu

n

n = +3

c) lim zn = +3 e lim zu

n

n = 0

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313


ADE

5.2 Considere as sucessões (an) , (bn) e (cn) de termos gerais, respetivamente:

an = v1

n , bn = w

1n

e cn = z1

n

5.2.1 Justifique que lim an = lim bn = lim cn = 0 .

5.2.2 Calcule:

a) lim ca

n

n b) lim bc

n

n c) lim

ba

n

n

5.1 lim un = lim(n2 + n) = lim n2 + lim n = +3 + (+3 ) = +3

a) lim vn = lim(-2n) = -2 × (+3) = -3

lim vu

n

n = lim

n2 2

1- -c m = -3

b) lim wn = lim(n + 1) = +3 + 1 = -3

lim wu

n

n = lim

( )n

n n11

+

+ = lim n = +3

c) lim zn = lim n3 = (+3)3 = +3

lim zu

n

n = lim n n

1 12+d n = 0

5.2 5.2.1 As sucessões (an) , (bn) e (cn) são inversas de sucessões de limite infinito; logo, têm todas limite zero.

5.2.2 a) lim ca

n

n = lim

n2

2

-d n = -3

b) lim bc

n

n = lim

nn 1

3

+d n = lim

n n1 1

2 3+d n = 0

c) lim ba

n

n = lim

nn

21

-+

= 21

-

29 A figura apresenta os primeiros termos de uma sucessão de triângulos equiláteros, alternadamente brancos e azuis, em que os vértices de cada triângulo são os pontos médios dos lados do triângulo anterior.

O 1.o termo desta sucessão tem área 3 .

29.1 Seja (an) a sucessão das áreas dos triângulos.

Mostre que an = 4

3n 1- .

29.2 Determine lim an .

u3p66h1

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314


29.1 A sucessão (an) é uma progressão geométrica de razão 21

412

=c m , pois

a razão de semelhança entre os lados de dois triângulos consecutivos é 21

;

logo, a razão de semelhança entre as áreas dos mesmos triângulos é 21 2

c m .

Então, o termo geral de (an) pode ser dado por:

an = 3 × 41 n 1-

c m = 4

3n 1-

29.2 lim 4

3n 1- = lim 3 ×

41 n 1-

c m = lim 3 × lim41 n

c m × lim41 1-

c m =

= 4 3 × 0 = 0

,41

141

0omoCn

"1 ce m o

11.8 Levantamento algébrico de indeterminações

30 Considere as sucessões definidas por un = n3 e vn = n2 .

30.1 Complete a tabela:

n un vn un - vn

2 ? ? ?

10 ? ? ?

102 ? ? 9,9 × 105

105 ? ? ?

30.2 Mostre que lim(un - vn) .

30.1 n un vn un - vn

2 8 4 4

10 1000 100 900

102 106 104 9,9 × 105

105 1015 1010 9,9999 × 1014

30.2 lim(un - vn) = lim(n3 - n2) = lim n n113 -c m= G =

= lim n3 × lim n11

-c m = +3 × 1 = +3

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315


ADE

31 Determine:

a) lim^-2n3 + n4h

b) lim(n5 - 4n)

c) lim 5n - rn + 3h

d) lim_n - n 12+ i

a) lim(-2n3 + n4) = lim n n2

14 - +c m= G = +3 × (0 + 1) = +3

b) lim(n5 - 4n) = lim nn

145

4-df np = +3 × (1 - 0) = +3

c) lim(5n - rn + 3) = lim 5 15

nn

n 3r-

+

d n> H =

= lim 5n × lim 15

n3#

rr- ce m o = +3 × (1 - 0 × r3) = +3

d) lim n n 12- +_ i = lim n n

n n n n

1

1 1

2

2 2

+ +

- + ++_ _i i =

= lim ( )

n n

n n

1

12

2 2

+ +

- + = lim

n n 1

12+ +

- =

13+

- = 0

32 Determine:

a) lim n n

n n5

2 32

3

+

+ -b) lim

n nn n

23 5

2

2

-

- + +c) lim

nn n

324

3+

-

a) lim n n

n n5

2 32

3

+

+ - = lim

n n

nn n

15

12 3

2

32 3

+

+ -

c

d

m

n

= lim

n

nn n

15

12 3

2 3

+

+ -d n

=

= ( )

1 01 0 0#3

+

+ + - = +3

b) lim n nn n

23 5

2

2

-

- + + = lim

nn

nn n

221

1

3 131

35

2

22

- - +

- - -

c

d

m

n

=

= lim

n

n n

221

1

3 131

35

2

- +

- -

c

d

m

n

= ( )

( )2 0 1

3 1 0 0+

- - =

23

c) lim nn n

34 2

3 +

- = lim

n

n n

n 13

42

33+

-

d

c

n

m

= lim n

n

n

13

42

32 +

-

d n

= 23+

- = 0

000707 296-327 U11.indd 315 01/07/16 12:49

316


33 Seja (an) uma sucessão de termo geral:

an = 2n3 + n2 - 10

Dê exemplo de uma sucessão (bn) tal que lim bn = -3 , em que:

a) lim ba

n

n = -3 b) lim

ba

n

n = 0 c) lim

ba

n

n = -

31

a) Por exemplo, bn = -2n2 + 1 .

b) Por exemplo, bn = -n4 .

c) Por exemplo, bn = -6n3 + 1 .

34 Determine:

a) lim 4 3

4 1n

n

2+

++

b) lim ( )52

3 1n

n-d n> H c) lim

n

n

2

3

1

+

a) lim 4 3

4 1n

n

2+

++

= lim

4 443

4 141

nn

nn

2 +

+

d

d

n

n

= lim 4

43

141

n

n

2 +

+ =

16 01 0

++

= 161

b) lim ( )52

3 1n

n-d n> H = lim 56

52n n

-d dn n> H = +3 - 0 = +3

c) lim

n

n

2

3

1

+

= lim n

n

3

2+ = lim

n

n n

3

12

# + =

= lim n

3

12

+ =

31

11.9 Limite de an , com a > 0

35 Prove, utilizando o princípio de indução matemática, que a proposição

6n ! IN, (1 + h)n H 1 + nh (h > 0)

é verdadeira.

000707 296-327 U11.indd 316 01/07/16 12:49

317


ADE

Para n = 1 , tem-se (1 + h)1 H 1 + h , que é verdade.

Hipótese: Para um certo n ! IN, (1 + h)n H 1 + nh .

Tese: (1 + h)n + 1 H 1 + (n + 1)h

Demonstração:

(1 + h)n + 1 H (1 + h)n(1 + h)


(1 + h)n H 1 + nh & (1 + h)n(1 + h) H (1 + nh)(1 + h) +

+ (1 + h)n + 1 H 1 + nh + h + nh2 nh 02HH

1 + nh + h = 1 + (n + 1)h

Portanto, pelo princípio de indução, 6n ! IN, (1 + h)n H 1 + nh é verdadeira.

36 Calcule:

a) lim nn

23 22 1n

++-

d n b) lim n 2

7n

+

a) lim nn

23 22 1n

++-

d n = lim 2n

+ lim

nn

nn

3 132

2 121

+

-

d

c

n

m

=

= 1 + lim

n

n

3 132

2 121

+

-

d

c

n

m

= 1 + ( )( )

3 1 02 1 0

+

- =

35

b) lim n 2

7n

+ = lim

n n

7

12

n

+

= ( )1 0

1#3+ +

= 0

37 Considere a sucessão de triângulos retângulos (a azul) em que o primeiro triângulo é obtido

a partir da diagonal de um quadrado de lado 21

,

e assim sucessivamente, como é sugerido na figura.

37.1 Justifique que a sucessão das áreas dos triângulos é uma progressão geométrica e determine um termo geral desta sucessão.

37.2 Determine o limite, quando n tende para +3 , da soma das áreas dos n triângulos e interprete esse resultado geometricamente.

u3p71h1

000707 296-327 U11.indd 317 01/07/16 12:49

318


37.1 Dois triângulos sucessivos são semelhantes. A razão de semelhança

entre os lados é de 21

e, como tal, a razão de semelhança entre as áreas

é de 41

. Logo, o termo geral pode ser dado por An = 81

× 41 n 1-

c m

ou An = 12

n2 1+

c m .

37.2 A soma dos primeiros n triângulos sucessivos é dada por:

S = 81

× 1

41

141 n

-

- c m

Assim, lim S = 81

× 1

41

1

- =

61

.

Geometricamente, tal significa que, à medida que o número de triângulos

assim formados tende para +3 , os triângulos preenchem 32

da área do quadrado inicial.

Tarefa 6 Seja (un) a sucessão definida por recorrência:

u

u u

3

2 1n n

1

1

=

= -+

*, 6n ! IN

6.1 Prove, utilizando o princípio de indução matemática, que 6n ! IN, un > 1 e conclua que:

• (un) está bem definida; • (un) é monótona decrescente.

6.2 Justifique que (un) é convergente e calcule o seu limite.

Adaptado do Caderno de Apoio do 11.º ano

6.1 Para n = 1 , u1 = 3 e 3 > 1 .

Hipótese: Para um certo n ! IN, un > 1 .

Tese: un + 1 > 1

Demonstração:

Como un + 1 = u2 1n - , por hipótese de indução, tem-se:

un > 1 & 2 un > 2 & 2un - 1 > 1 & u2 1n - > 1

Fica, assim, provado que 6n ! IN, un > 1 .

000707 296-327 U11.indd 318 01/07/16 12:49

319


ADE

• Como2un > 2 & 2un - 1 > 1, 6n ! IN, u2 1n - tem significado para todo o n ! IN .

• un + 1 - un = u2 1n - - un = ( )

u u

u u

2 1

2 1

n n

n n2

- +

- - =

= -( )

u u

u

2 1

1

n n

n2

- +

- < 0, 6n ! IN

Portanto, (un) é monótona decrescente.

6.2 Por 6.1 sabe-se que (un) é monótona decrescente e, como 6n ! IN, un > 1 , (un) é minorada. Logo, (un) é convergente.

Seja lim un = a . Logo, lim un + 1 = a . Assim:

lim un + 1 = lim u2 1n - + a = a2 1- & a2 = 2a - 1 + a = 1

Como 1 = 2 1- , lim un = 1 .


ESCOLHA MÚLTIPLA


1 Considere a sucessão (an) de termo geral an = 1 + n

2 .

Indique o número de termos da sucessão que não pertencem à vizinhança V0,1(1) .

(a) 19 (B) 20 (C) 21 (D) 22

(an - 1) H 0,1 + n2

H 0,1 + n G 20


2 Selecione a afirmação verdadeira:

(a) Uma sucessão convergente é monótona.

(B) Uma sucessão limitada é convergente.

(C) Uma sucessão convergente é limitada.

(D) Uma sucessão divergente não é limitada.


000707 296-327 U11.indd 319 01/07/16 12:49

320



u

u u

3

3n n

1

1

=-

= ++

*, 6n ! IN

Então:

(a) (un) é limitada.

(B) (un) é crescente e majorada.

(C) lim un = +3

(D) lim un = -3


4 Seja (bn) a sucessão de termo geral bn = 4 × 3-n .

Então:

(a) lim bn = +3

(B) lim bn = -3

(C) lim bn = 0

(D) lim bn = 4

lim bn = lim 431 n

#df n p = 4 × 0 = 0


5 Considere a sucessão (un) de termo geral un = n3 + 4n .

Qual dos termos gerais seguintes define uma sucessão (vn) tal que lim(un + vn) = -3 ?

(a) vn = -n3 - n

(B) vn = -n3 - 4n + 3

(C) vn = -n2 - 5n

(D) vn = -n5 + 10n

lim(n3 + 4n - n5 + 10n) = lim(-n5 + n3 + 14n) =

= lim nn n

11 145

2 4- - -d n> H = -3


000707 296-327 U11.indd 320 01/07/16 12:49

321


ADE

6 Seja (an) uma sucessão de termos positivos em que lim an = 0 .

Qual das seguintes afirmações é necessariamente verdadeira?

(a) lim a1

n = -3

(B) lim(n2an) = 0

(C) lima

2 nn

-c m = 0

(D) lim a1

n = +3


7 Considere a sucessão das semicircunferências em que a primeira semicircunferência tem de diâmetro 16 , a segunda semicircunferência resulta

de uma redução da primeira com razão igual a 32

, e assim sucessivamente.

Admitindo que o processo de construção desta linha não tem fim, o seu comprimento é:

(a) 12r

(B) 18r

(C) 24r

(D) 27r

Seja (un) a sucessão do comprimento de cada semicircunferência.

Tem-se que un = 8r × 32 n 1-

d n .

A sucessão (un) é uma progressão geométrica; logo:

Sn = 8r × 1

32

132 n

-

- d n

Assim:

lim Sn = lim 81

32

132 n

#r-

- d

fn

p = 1

32

8r

- lim 1

32 n

- df n p =

= 24r(1 - 0) = 24r


u3p72h1

000707 296-327 U11.indd 321 01/07/16 12:49

322


RESPOSTA ABERTA


8 Considere a sucessão (un) definida por un =

nn3

1 2+

- .

8.1 Mostre que (un) é monótona.

8.2 Determine um majorante e um minorante de (un) e conclua que (un) é limitada.

8.3 Determine quantos termos de (un) pertencem a V0,01(-2) .

8.4 Prove, recorrendo à definição de limite, que un " -2 .

8.1 un + 1 - un = ( )

nn

nn

41 2 1

31 2

+

- +-

+-

=

= ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )n n

n n n n4 3

2 1 3 1 2 4+ +

- - + - - + =

= ( ) ( )

( )n n

n n n n n n4 3

2 6 3 4 2 82 2

+ +

- - - - - + - - =

= ( ) ( )n n4 3

7+ +

- < 0, 6n ! IN


8.2 Como (un) é decrescente, tem-se que

u1 = 1 31 2

+-

= -41

é um majorante de (un) .

Como

un = n

n1 2

3-+

= n

n3

2 1+

- + =

( )nn

32 3 7

+

- + + = -2 +

n 37

0

+2>

,

tem-se 6n ! IN, un > -2 , ou seja, -2 é um minorante de (un) .

Portanto, tem-se

6n ! IN, -2 < un G -14

,

ou seja, (un) é limitada.

8.3 qun + 2u < 0,01 + n

n3

1 22

+-

+ < 0,01 +

+ nn n

31 2 2 6

+- + +

< 0,01 + n 3

7+

< 0,01 +

+ 7 < 0,01(n + 3) + 700 < n + 3 + n > 697

Logo, há infinitos termos de (un) que pertencem a esta vizinhança.

000707 296-327 U11.indd 322 01/07/16 12:49

323


ADE

8.4 Dado d > 0 , qun + 2u < d + n

n3

1 22

+-

+ < d +

+ nn n

31 2 2 6

+- + +

< d + n 3

7+

< d + 7 < d(n + 3) +

+ 7d

< n + 3 + n > 7d

- 3

Assim, basta tomar o primeiro natural superior a 7d

- 3 , e tem-se que

todos os termos seguintes pertencem à vizinhança de -2 de raio d .

Conclui-se, assim, que un " -2 .

9 Recorrendo à definição de limite, prove que:

a) n

n12

2+ " 1 b)

nn

2 13 1

23

+-

- " 0 c) n

n n2

2- + 1 " 0

a) Dado d > 0 , n

n112

2+- < d +

nn n1

2

2 2+ - < d +

n1

2 < d +

+ 1 < dn2 + 1d

< n2 .

Como n é positivo, obtém-se n > 1d

. Assim, basta tomar o primeiro

natural superior a 1d

e tem-se que todos os termos seguintes pertencem

à vizinhança de 1 de raio d . Conclui-se, assim, que n

n12

2+ " 1 .

b) Dado d > 0 , nn

2 13 1

23

0+-

- - < d + n

n n4 2

6 2 6 3+

- - - < d +

+ n4 2

5+

- < d + 5 < d(4n + 2) +

5d

< 4n + 2 + n > 4

5 2d

d- .

Assim, basta tomar o primeiro natural superior a 4

5 2d

d- , e tem-se que

todos os termos seguintes pertencem à vizinhança de 0 de raio d .

Conclui-se, assim, que nn

2 13 1

23

+-

- " 0 .

c) Dado d > 0 , n

n n1 02

2-+ - < d +

nn n n

2

2 2- + < d +

+ nn

2 < d + n1

< d + 1 < dn + n > 1d

. Assim, basta tomar o primeiro

natural superior a 1d

, e tem-se que todos os termos seguintes pertencem

à vizinhança de 0 de raio d . Conclui-se, assim, que n

n n2

2- + 1 " 0 .

000707 296-327 U11.indd 323 01/07/16 12:49

324


10 Seja (vn) uma sucessão, com todos os termos positivos, em que se sabe que:

vv

n

n 1+ < 1, 6n ! IN

Justifique que:

a) (vn) é convergente.

b) wn " 0 , sendo (wn) definida por wn = nvn

.

a) vv

n

n 1+ < 1

v 0n

+2

vn + 1 < vn + vn + 1 - vn < 0, 6n ! IN

Logo, (vn) é decrescente. Então, como (vn) é uma sucessão com todos os termos positivos, 0 é um minorante de (vn) . Como toda a sucessão decrescente e minorada é convergente, (vn) é convergente.

b) A sucessão (wn) é o produto de uma sucessão que tende para zero, n1

,

por uma sucessão limitada, (vn) ; logo, wn " 0 .

Alternativamente:

Dado d > 0 , qwnu < d + nvn

< d + nvn

< d + vn < nd + n > vn

d .

Como v1 é um majorante de (vn) , v1 > vn, 6n ! IN . Assim, basta tomar

o primeiro natural superior a v1

d , e tem-se que todos os termos seguintes

pertencem à vizinhança de 0 de raio d . Conclui-se, assim, que wn " 0 .


an = n2 - 4 e bn = 2 - n

11.1 Determine a menor ordem p ! IN , tal que n H p & an > bn + 24 .

11.2 Prove, recorrendo à definição de limite, que:

a) an " +3 b) ab

n

n " 0

11.1 an > bn + 24 + n2 - 4 > 2 - n + 24 + n2 + n - 30 > 0

n2 + n - 30 = 0 + n = 2

1 1 4 30! #- + +

+ n = 2

1 11!- + n = -6 0 n = 5

Logo:

n2 + n - 30 > 0 + n < -6 0 n > 5 + n > 5

Assim, p = 6 .n ! IN

000707 296-327 U11.indd 324 01/07/16 12:49

325


ADE

11.2 a) Seja L > 0 . Então, an > L + n2 - 4 > L + n2 > L + 4 .

Assim, basta considerar p = L 4+7 A + 1 , e tem-se todos os termos seguintes superiores a L . Conclui-se, assim, que an " +3 .

b) Seja d > 0 . Então:

ab

n

n < d +

nn4

22 -

- < d +

( ) ( )n nn

2 22

- +-

< d +

+ n 2

1+-

< d + 1 < d(n + 2) + n > 1d

- 2

Assim, basta tomar o primeiro natural superior a 1d

- 2 e tem-se que

todos os termos seguintes pertencem à vizinhança de 0 de raio d .

Conclui-se, assim, que ab

n

n " 0 .

12 Considere três sucessões (un) , (vn) e (wn) tais que:• limun = -1• limvn = +3• limwn = 0-

Determine:

a) lim(3un - wn) b) lim(unvn) c) lim vw

n

n

a) lim(3un - wn) = 3 lim un - lim wn = -3 - 0- = -3

b) lim(unvn) = lim un × lim vn = -1 × (+3) = -3

c) lim vw

n

n =

limlim

vw 0

n

n

3=

+

-

= 0-

13 Calcule o limite das sucessões cujo termo geral se indica, identificando as indeterminações encontradas:

a) an = n

n3 1

2+

+

b) bn = n

n3

22

++

c) cn = n

n

5

1 44+

-

d) dn = n 2+ - n

e) en = 3 2

2 1n

n 1

-++

f) fn = (3n - 4) × 2-2n

000707 296-327 U11.indd 325 01/07/16 12:49

326


a) lim an = lim n

n3 1

2++

= 31

aIndeterminação 33 k

b) lim bn = lim n

n3

22

++

= lim n n

nn

31

122

2

+

+

c

d

m

n

= lim n

n

n

13

12

2

+

+> H = +3


c) lim cn = lim n

n

5

1 44+

- = lim

nn

n n

15

14

24+

-c m

=

= lim n

n

n1

15

14

4

#

+

-> H = 0


d) lim dn = lim n n2+ -_ i = lim n n

n n n n

2

2 2

+ +

+ - + +_ _i i =

= lim n

n n

n2

2

+

+ -

+ =

23+

= 0

Indeterminação +3 + (-3) h

e) lim en = lim 3 2

2 1n

n 1

-++

= lim

223

1

2 221

nn

nn

-

+

d

d

n

n

= lim

23

1

221

n

n

-

+ =

= 1

2-

= -2


f) lim fn = lim (3n - 4) × 2-2nh = lim 2

3 4n

n

2

- = lim

43 4

n

n - =

= lim 4

14

33

n

nn-d n

= lim 43 3

4

1

1n n

#-

c m> H

= 0

aIndeterminação 3 × 0 k

000707 296-327 U11.indd 326 01/07/16 12:49

327


ADE

14 Dada a sucessão (vn) , definida por:

v

vv

2

21

nn

1

1

=

=+

+

* , 6n ! IN

14.1 Prove, recorrendo ao princípio de indução matemática, que (vn) é monótona decrescente.

14.2 Justifique que todos os termos de (vn) são positivos e conclua que (vn) é convergente.

14.3 Determine lim vn .

14.1 Pretende-se provar que:

6n ! IN, vn + 1 < vn

Para n = 1 , tem-se v2 = v

21 1+

= 23

< 2 = v1 , que é verdade.

Hipótese: Para um certo n ! IN, vn + 1 < vn .

Tese: vn + 2 < vn + 1

Demonstração:

vn + 2 = v

21 n 1+ +


vn + 2 < v

21 n+

= vn + 1

Assim, pelo princípio de indução matemática, 6n ! IN, vn + 1 < vn , ou seja, (vn) é decrescente.

14.2 Cada termo de (vn) obtém-se a partir do anterior somando uma constante positiva e dividindo por uma constante positiva.

Assim, como o primeiro termo de (vn) é positivo, todos os termos de (vn) serão positivos. Então, 0 é um minorante de (vn) .

Como (vn) é decrescente e minorada, é também convergente.

14.3 lim vn = lim limv v

21

21n n1 1+

=+- -

Mas lim vn = lim vn - 1 , que existe por 14.2.

Logo:

lim vn = lim v2

1 n+ + 2 lim vn = 1 + lim vn + lim vn = 1

000707 296-327 U11.indd 327 01/07/16 12:49

328

AvAliAção globAl de conhecimentos

AVALIAÇÃO GLOBAL DE CONHECIMENTOS

ESCOLHA MÚLTIPLA


1 Considere a sucessão (un) em que se sabe os cinco primeiros termos:

3, 10, 17, 24, 31, …

Sabendo que se mantém a lei de formação, qual é o valor de u20 ?

(A) 129 (B) 136 (C) 139 (D) 143

un = 3 + 7(n - 1) e u20 = 3 + 19 × 7 = 136


2 Considere as sucessões (an) , (bn) , (cn) e (dn) definidas, respetivamente, por:

an = nn

2 93

--

; bn = n2 - 5n + 5 ; cn = ( )n2 3

1 n

-

- e dn = -4 ×

21 n

c m

2.1 Indique qual das sucessões não tem -1 como termo.

(A) (an) (B) (bn) (C) (cn) (D) (dn)

2.2 Qual das sucessões é monótona?

(A) (an) (B) (bn) (C) (cn) (D) (dn)

2.1 ( )n2 3

1 n

-

- = -1 + (-1)n = -2n + 3

Se n for par, obtém-se 1 = -2n + 3 + n = 1 , que é um absurdo.

Se n for ímpar, obtém-se -1 = -2n + 3 + n = 2 , que é um absurdo.


2.2 A opção correta é a (D).

3 Seja (xn) a sucessão em que se sabe que:

6n ! IN, xn + 1 - xn = (-1)n

O termo geral da sucessão (xn) pode ser dado por:

(A) n + 1 (B) -n + 2 (C) ( )

21 n 1- +

+ 1 (D) ( )

21 n-

+ 2

( )21 n 2- +

+ 1 - ( )

21

1n 1-

++= G =

( ) ( )2

1 1n n2 2- + -+ +

= (-1)n


000707 328-351.indd 328 01/07/16 13:41

329


4 Considere a sucessão (vn) definida por:

vn = n n

n n

3 1

3 2

se par

se ímpar

+

-*

Indique qual das seguintes afirmações é verdadeira.

(A) (vn) é monótona e limitada.

(B) (vn) é monótona e não limitada.

(C) (vn) é limitada e não monótona.

(D) (vn) é não monótona e não limitada.

A sucessão (vn) não é limitada, pois lim(3n + 1) = +3 e lim(3n - 2) = -3 .

Para verificar a monotonia:• Se n for par, então, vn + 1 - vn = 3(n + 1) - 2 - (3n + 1) = 0 .• Se n for ímpar, então, vn + 1 - vn = 3(n + 1) + 1 - (3n - 2) = 6 < 0 .

Portanto, (vn) é monótona crescente em sentido lato.


5 A pilha de cartas da figura ao lado tem três andares.Indique o número de cartas da base de uma pilha e o número total de cartas utilizado na construção da pilha, supondo que tem 6 andares e se mantém o mesmo processo de empilhamento, respetivamente:

(A) 12 e 60

(B) 18 e 63

(C) 12 e 57

(D) 15 e 45

A sucessão do número de cartas da base tem termo geral an = 2n , em que n representa o número de cartas da pilha.

Assim, a6 = 12 é o número de cartas da base e o total de cartas é igual a 3 + 6 + 9 + 12 + 15 + 12 = 57 .


6 Considere um triângulo em que os comprimentos dos seus lados estão em progressão aritmética de razão 2 . Sabendo que o cosseno do maior

ângulo do triângulo é -41

, qual é o perímetro desse triângulo?

(A) 12 (B) 15 (C) 18 (D) 21

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330


Sabe-se que o maior ângulo é oposto ao maior lado. Seja x o comprimento de menor lado.

Pelo teorema de Carnot:

c2 = a2 + b2 - 2ab cos CW +

+ (x + 4)2 = (x + 2)2 + x2 - 2(x + 2)x 41

-c m +

+ x2 + 8x + 16 = x2 + 4x + 4 + x2 + x x

222 +

+

+ 8x + 24 = 2x2 + x2 + 2x + -3x2 + 6x + 24 = 0 +

+ x = 6

6 36 4 3 24! # #-

- + + x =

66 18!-

- +

+ x = 4 0 x = -2 x 0+2

x = 4

Assim, P9 = x + x + 2 + x + 4 = 18 .


7 Numa ilha isolada do Pacífico sul, foi efetuado o registo parcial das distâncias percorridas por uma tartaruga.

Verificou-se que esta percorreu 40 metros no 1.º dia de registo e a cada dia que passava percorria mais 5 metros do que no dia anterior.

Ficou igualmente registado que a tartaruga percorreu 13 quilómetros durante todo o tempo da experiência.

Quantos dias decorreram entre o 1.o dia e o último dia de registo?

(A) 55 (B) 60 (C) 65 (D) 70

Seja (an) a sucessão que representa o número de metros percorridos no n-ésimo dia. Então, (an) é uma progressão aritmética de razão 5 e de primeiro termo 40 e, por isso, o seu termo geral pode ser an = 40 + 5(n - 1) = 5n + 35 .

Assim:

Sn = a a

2n1 +

× n + 13 000 = n

240 5 35+ +

× n +

+ 26 000 = 5n2 + 75n + 5n2 + 75n - 26 000 = 0 +

+ n2 + 15n - 5200 = 0 +n = 2

15 225 4 5200! #- + +

+ n = 2

15 21 025!- + n = 65

A opção correta é a (C).n ! IN

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331


8 Seja (vn) a sucessão das áreas dos quadrados representados na figura. O primeiro quadrado tem lado 3 e o lado de cada quadrado seguinte é metade do lado do quadrado anterior.

8.1 O termo geral da sucessão é:

(A) n29

(B) n3

(C) 2

9n2 2- (D)

29n 2-

8.2 A soma das áreas dos dez primeiros quadrados é:

(A) 49

9 (B) 6 - 23

9 (C) 12 - 43

9 (D) 18 - 929

8.1 A sucessão (vn) é uma progressão geométrica com v1 = 9 e razão 41

;

logo, vn = 9 × 41 n 1-

c m = 4

9n 1- = n 1-( )2

92 =

92 n2 2- .


8.2 S10 = 9 × 1

41

141 10

-

- c m

= 12 × 141 10

- ce m o = 12 - 1241 10

c m = 12 - 341 9

c m



an = n

n1 22 1-

+ e bn =

nn

22

+-

Sabendo que A = lim an e B = lim bn , tem-se que:

(A) A = 2B (B) A = B (C) A = -B (D) A = B + 1

A = -1 e B = 1


10 O valor de lim

n cos

nn

2 é:

(A) 0 (B) 1 (C) -1 (D) +3

A sucessão cos n é limitada e lim n1

2 = 0 ; logo, limn

cos

nn

2 = 0 .


u3p77h2

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332


11 Dada uma sucessão (un) em que lim

n(un) = +3 , indique qual das seguintes

afirmações é necessariamente verdadeira.

(A) (un) é monótona.

(B) (un) é limitada inferiormente.

(C) (un) é limitada superiormente.

(D) (un) tem todos os termos positivos.

Por definição, existe p ! IN , tal que un H 1 sempre que n H p . Então, un é limitada inferiormente pelo mínimo de {u1, …, up - 1, 1} .


RESPOSTA ABERTA


12 Considere a sucessão de termo geral un =

nn

23 1

+-

.

12.1 Verifique se 2,8 é termo da sucessão (un) .

12.2 Mostre que (un) é monótona.

12.3 Mostre que (un) é limitada e indique um minorante e um majorante do conjunto dos seus termos.

12.4 Justifique que (un) é convergente.

12.5 Mostre, recorrendo à definição de sucessão convergente, que limn

un = 3 .

12.1 un = 2,8 + nn

23 1

+-

= 2,8 + 3n - 1 = 2,8n + 5,6 +

+ 0,2n = 6,6 + n = 33 ! IN

Logo, 2,8 é termo da sucessão (un) .

12.2 un + 1 - un = ( )

nn

nn

33 1 1

23 1

+

+ --

+-

=

= ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )n n

n n n n3 2

3 2 2 3 1 3+ +

+ + - - + =

= ( ) ( )

( )n n

n n n n n n3 2

3 6 2 4 3 9 32 2

+ +

+ + + - + - - =

= ( ) ( )n n3 2

7+ +

> 0, 6n ! IN

Logo, (un) é monótona.

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333


12.3 Tem-se que 3n - 1 > 0, 6n ! IN ; logo, un > 0, 6n ! IN e, assim, 0 é um minorante de (un) . Tem-se, também, que:

( )nn

nn

nn

23 1

23 6

23 2

1+-

++

=+

+ = 3, 6n ! IN

Logo, 3 é um majorante de (un) e, portanto, (un) é limitada.

12.4 Pelas alíneas anteriores, (un) é monótona e limitada; logo, é também convergente.

12.5 Dado d > 0 , tem-se:

qun - 3| < d + nn

23 1

3+-

- < d + n

n n2

3 1 3 6+

- - - < d +

+ n 2

7+

- < d + 7 < d(n + 2) +

7d

< n + 2 + n > 7d

- 2

Assim, basta tomar para ordem p o primeiro natural superior a 7d

- 2 ,

e tem-se que, para n H p , un pertence à vizinhança de 3 de raio d . Conclui-se, assim, que lim un = 3 .

13 Um auditório tem 14 cadeiras na primeira fila, 18 na segunda, 22 na terceira, e assim sucessivamente.

13.1 Calcule o número de cadeiras na décima segunda fila.

13.2 O auditório tem 15 filas. Determine a sua lotação máxima.

13.1 Seja (un) a sucessão do número de cadeiras em cada fila. A sucessão (un) é uma progressão aritmética de termo geral un = u1 + r(n - 1) , em que u1 = 4 e r = 4 . Logo, u12 = 14 + 4 × (12 - 1) = 58 cadeiras.

13.2 S15 = u u

21 15+

× 15 = 2

14 14 4 14#+ + = 630 lugares

14 Calcule a soma dos 25 primeiros termos de uma progressão aritmética (wn) sabendo que w2 + w4 = 28 e w5 + w7 = 52 .

Sabe-se que wn = w1 + r(n - 1) . Então:

w w

w w

28

522 4

5 7

+ =

+ =* +

w r w r

w r w r

3 28

4 6 521 1

1 1

+ + + =

+ + + =* +

w r

r r

14 2

28 4 10 521 = -

- + =) +

+ w r

r

14 2

41 = -

=) +

w

r 4

61 =

=)

Assim, S25 = w w

21 15+

× 25 = 2

4 246 6 #++ × 25 = 1350 .

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334


15 Um carpinteiro pretende construir uma estante para livros como a representada na figura ao lado.

Os comprimentos das prateleiras são decrescentes e estão em progressão aritmética.

A primeira prateleira mede 1 metro e a última mede 60 cm .

Determine o número de prateleiras da estante sabendo que o carpinteiro gastou exatamente 5,6 metros lineares de madeira nas prateleiras.

Seja (un) a sucessão do comprimento, em centímetros, de cada prateleira. Então:

Sn = u u

2n1 +

× n + 560 = 2

100 60+ × n +

80560

= n + n = 7 prateleiras

16 Prove que a soma de duas progressões aritméticas é ainda uma progressão aritmética de razão igual à soma das razões das progressões iniciais.


Sejam (un) e (vn) duas progressões aritméticas de razão r e r' , respetivamente.Tem-se que: un + vn = ^u1 + (n - 1)rh + v1 + (n - 1)r'h = (u1 + v1) + (n - 1)(r + r') ,que é o termo geral de uma progressão aritmética de razão r + r' e de primeiro termo u1 + v1 .

17 O número de sócios de um clube de ténis, fundado em 2001, pode ser modelado por uma progressão geométrica.

Devido a um problema no programa informático que registava o número de sócios, perderam-se os registos relativos aos anos iniciais do clube.

No entanto, sabe-se o número de sócios relativamente aos anos de 2013, 2014 e 2015, os quais constam na tabela ao lado.

17.1 Determine qual o valor da razão da progressão geométrica que determina o número de sócios existentes em cada ano e conclua que o número de sócios aumenta 20 % a cada ano que passa.

17.2 Determine:

a) quantos sócios fundaram o clube.

b) qual é o número de sócios previstos para o ano 2025.

Ano N.o de sócios

2013 500

2014 600

2015 720

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335


17.1 Seja (un) a progressão geométrica do número de sócios do clube em cada ano, com razão r . Então:

r = uu

500600

13

14= = 1,2

Logo, o número de sócios em cada ano é mais 20 % do que no ano anterior.

17.2 a) u13 = u1 × 1,212 + 500 = u1 × 1,212 + u1 á 56,0783

O clube foi fundado por 57 sócios.

b) Utilizando o valor de u13 , dado no enunciado:

u25 = u13 × 1,212 á 4458,0502

No ano de 2025, prevê-se ter 4459 sócios.

18 Os três primeiros termos de uma progressão geométrica são dados, para um determinado valor de x , respetivamente, por x - 2 , x + 1 e x + 7 . Determine o termo geral dessa sucessão.

Adaptado do Caderno de Apoio do 11.º ano

xx

xx

17

21

++

=-+

+ (x + 7)(x - 2) = (x + 1)2 +

+ x2 - 2x + 7x - 14 = x2 + 2x + 1 + 3x - 15 = 0 + x = 5

Assim, a razão da sucessão é 5 15 7

++

= 2 e o primeiro termo é 5 - 2 = 3 .

Logo, um termo geral dessa sucessão será un = 3 × 2n - 1 .

19 Seja (un) uma sucessão monótona crescente e de termos todos positivos.

Considere a sucessão (vn) definida por vn = u1

n .

19.1 Justifique que (vn) é convergente.

19.2 Sabendo que lim(un) = 2 , determine o valor de:

a) lim vn

b) lim[vn × (vn - 2)]

c) lim u 2

1n-

19.1 Tem-se que vn + 1 = u u1 1

n n11

+ = vn, 6n ! IN porque un + 1 > un .

Logo, (vn) é decrescente. Como (un) é positiva, (vn) também é positiva. Assim, 0 é um minorante de (vn) . Como (vn) é decrescente e minorada, é também convergente.

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336


19.2 a) lim vn = lim u1

n =

lim u1

n =

21

b) lim6vn × (vn - 2)@ = lim vn × lim(vn - 2) =

= 21

× 21

2-c m = -43

c) lim u 2

1n -

= ( )lim u 2

1n -

= 01- = -3

Observe-se que (un) é crescente; logo:

un < 2 & un - 2 < 0 e un " 2

20 Considere as sucessões:

un = nn

12 1

+-

; vn = 2n3 - 10 ; wn = n3 2

43-

e xn = 4 - n 3+

20.1 Prove, utilizando a definição de limite, que:

a) un " 2 b) vn " +3 c) wn " 0 d) xn " -3

20.2 Determine a ordem p a partir da qual se tem:

a) u 2n- < 0,01 b) wn ! V0,1(0)

20.3 Calcule:

a) lim(unwn) b) lim(vnwn) c) lim n

xn

20.1 a) Dado d > 0 , tem-se:

qun - 2u < d + n

n12 1

2+-

- < d +

+ n

n n1

2 1 2 2+

- - - < d +

n13

+-

< d + 3 < d(1 + n) +

+ 3d

< 1 + n + n > 3d

- 1

Assim, basta tomar para p ! IN o primeiro natural superior a 3d

- 1 ,

e tem-se que, para n H p , un pertence à vizinhança de 2 de raio d . Conclui-se, assim, que un " 2 .

b) Dado L > 0 , tem-se:

vn > L + 2n3 - 10 > L + n3 > L

210+

+ n > L

2103 +

Assim, basta tomar para p ! IN o primeiro natural superior

a L

2103 +

, e tem-se todos os termos seguintes superiores a L .

Conclui-se, assim, que vn " +3 .

000707 328-351.indd 336 01/07/16 13:41

337


c) Dado d > 0 , tem-se:

qwnu < d + n3 2

43 -

< d + n3 2

43 -

< d +

+ 4 < d(3n3 - 2) + 4d

< 3n3 - 2 + 34d

+ 32

< n3 +

+ n > 34

323

d+


a 34

323

d+ e tem-se que, para n H p , wn pertence à vizinhança

d de 0 .

Conclui-se, assim, que wn " 0 .

d) Dado L > 0 , tem-se:

xn < -L + -xn > L + -4 + n 3+ > L + n 3+ > L + 4 &

& n + 3 > L2 + 8L + 16 + n > L2 + 8L + 13

Assim, basta tomar para p ! IN o primeiro natural superior a L2 + 8L + 13 , e tem-se todos os termos seguintes menores que -L . Conclui-se, assim, que xn " -3 .

20.2 a) qun - 2u < 0,01 + n

n12 1

2+-

- < 0,01 + n1

3+-

< 0,01 +

+ 3 < 0,01 + 0,01n + ,,

0 012 99

< n + n > 299

Logo, p = 300 .

b) wn ! V0,1(0) + qwnu < 0,1 + n3 2

43 -

< 0,1 + 4 < 0,3n3 - 0,2 +

+ ,,

0 34 2

< n3 + 143

< n

Logo, p = 3 .

20.3 a) lim(unwn) = 2 × 0 = 0

b) lim(vnwn) = lim ( )nn

2 103 2

433--

< F = lim n

n3 2

8 403

3

-

- =

= lim n

n

nn

32

840

33

33

-

-

d

d

n

n

= lim

n

n

32

840

3

3

-

-

= 38

c) lim n

xn = lim

n

n4 3- + = lim

n n4

13

+-f p = -1

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338


21 Considere a sucessão definida por:

an = 5 - n

21 4-

21.1 Mostre que (an) é uma progressão aritmética e indique a razão.

21.2 A sucessão é limitada? Justifique a sua resposta.

21.3 Prove, usando a definição de limite, que an " +3 .

21.4 Calcule o valor de a20 + a21 + … + a30 .

21.5 Determine:

a) lim(an)2 b) lim na an n2 -

21.1 an + 1 - an = 5 - ( )n2

1 4 1- + -

n5

21 4

--

c m =

= -n2

1 4 4- - +

n2

1 4- = 2

Logo, (an) é uma progressão aritmética de razão 2 .

21.2 A sucessão não é limitada porque é uma progressão aritmética de razão diferente de zero.

21.3 Dado L > 0 , tem-se:

an > L + 5 - n

21 4-

> L + n

21 4-

< -L + 5 +

+ -4n < -2L + 9 + n > L

42 9-


a L

42 9-

, e tem-se todos os termos seguintes superiores a L .

Conclui-se, assim, que an " +3 .

21.4 a20 + a21 + … + a30 = a a

220 30+

× 11 =

= 2

52

1 4 205

21 4 30# #

--

+ --

× 11 =

= 2

10279

2119

+ + × 11 =

2

10279

2119

+ + × 11 = 599,5

21.5 a) lim(an)2 = (+3)2 = +3

b) lim na an n2 -

= lim n

n n5

21 8

52

1 4-

-- -

-c m

=

= lim n

n n2

1 8 1 4- + + - = lim

nn

24

= 2

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339


22 Considere a sucessão:

bn = (-1)n - n

22.1 Justifique que a sucessão (bn) é não monótona.

22.2 Prove, utilizando a definição de limite, que bn " - 3 .

22.3 Calcule:

a) lim(bn)2 b) lim b

b

n

n 1+

22.1 Tem-se que b1 = -2 , b2 = -1 e b3 = -4 . Logo, b1 < b2 e b2 > b3 . Portanto, (bn) é não monótona.

22.2 Tem-se que (-1)n - n G 1 - n . Assim, dado L > 0 , 1 - n < -L + + n > L + 1 . Logo, tomando p H L + 1 natural, vem n H p & un < -L .

Portanto, bn " -3 .

22.3 a) lim(bn)2 = (-3)2 = +3

b) lim b

b

n

n 1+ = lim

( )( )

nn

11 1

n

n 1

- +

- + ++

=

= lim ( )

( )

n n

n n n

11

11

1

n

n 1

-+

-+ +

+

d

d

n

n

= 0 1

0 1 0+

+ + = 1

23 Calcule o limite das sucessões cujo termo geral se indica, identificando as indeterminações encontradas:

a) an = n

n1 23 1-

-

b) bn = n

n3

22

++

c) cn = n n

n n1

22

3

+ +

+

d) dn = n

n24 1

++

e) en = n

n

5

1 42 +

-

f) fn = n n

n

1

32+ +

+

g) gn = n n22 + -

h) hn = 1 33 4

n

n

1-

-+

i) in = 3n - 4 × 22n

j) jn = sin

nn n

22 +

-

k) kn = 4-n(3n - 2)

l) ln =

cos

n n

n nn

2 3

2

2

2

-

+

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340


a) lim an = lim n

n1 23 1

--

= lim n n

n n

12

31

-

-

c

c

m

m

= -23


b) lim bn = lim n

n3

22

++

= lim n n

nn

31

122

2

+

+

c

d

m

n

= lim

n

n3

1

12

2

+

+> H = lim n = +3


c) lim cn = lim n n

n n1

22

3

+ +

+ = lim

n n n

nn

11 1

12

22

32

+ +

+

d

d

n

n

= lim nn

2

3

= lim n = +3


d) lim dn = lim n

n24 1

++

= lim n n

n n

21

41

+

+

c

c

m

m

= 14

= 2


e) lim en = lim n

n

5

1 42 +

- = lim

nn

n n

15

14

2+

-c m

= 1

4- = -4


f) lim fn = lim n n

n

1

32+ +

+ = lim

n n

n n

n1

11

11

2

+

+ +e

c

o

m

=

= 0

1

1 0+ + = 1 aIndeterminação 3

3 k

g) lim gn = lim n n2+ -_ i = lim n n

n n n n

2

2 2

+ +

+ - + +_ _i i =

= lim n

n n

n2

2

+

+ -

+ =

23 3+ +

= 0 Indeterminação +3 + (-3) h

h) lim hn = lim 1 3

3 4n

n

1-

-+

= lim

331

3

3 134

nn

nn

-

-

d

d

n

n

= 3

1-

= -31


i) lim in = lim(3n - 4 × 22n) = lim(3n - 4n + 1) = lim 443

4nn

-ce m o> H =

= +3(0 - 4) = -3 Indeterminação +3 + (-3) h

000707 328-351.indd 340 01/07/16 13:42

341


j) lim jn = lim sin

nn n

22 +

- = lim

sinn

nn

n2 22 2+

-+

d n =

= lim sin

n

nn

n12

1

21

2

2#+

-+f p

Tem-se que lim

n

n

12

1

2+ =

10

= 0 , lim n 2

12 +

= 0 e sin n é limitada.

Logo:

lim sin

n

nn

n12

1

21

2

2#+

-+f p = 0 - 0 = 0


k) lim kn = lim 4-n(3n - 2)h = lim 4

3 2n

n - = lim

43

42

n

n

n-d n =

= lim 43

42n

n-c m= G = 0 - 23+

= 0 (Indeterminação 0 × 3)

l) lim ln = lim

cos

n n

n nn

2 3

2

2

2

-

+

= lim

cos

nn

nn n

2 3

2

2

2

-

+

=

= lim cos

nn n2 3

2-+

= lim cos

nn

nn

2 32

2 3-+

-d n =

= lim cos

n

nn2

3

22 3

1#

-+

-f p

Tem-se que lim

n2

3

2

- = -

32

, lim n2 3

1-

= 0 e cos n é limitada.

Logo:

lim cos

n

nn2

3

22 3

1#

-+

-f p = -32

+ 0 = -32

aIndeterminação 00

k

000707 328-351.indd 341 01/07/16 13:42

342


24 Considere a sucessão (un) cujos primeiros termos são:

2, 20, 200, …

24.1 Escreva o termo geral de (un) admitindo que se trata de uma progressão geométrica.

24.2 Justifique que un " +3 .

24.3 Determine a soma:

20 000 + 200 000 + … + 20 000 000 000

24.1 Como 02

200 = 10 , (un) é uma progressão geométrica de razão 10

e de 1.o termo 2 . Portanto, tem-se un = 2 × 10n - 1 .

24.2 Como (un) é uma progressão geométrica de primeiro termo positivo e de razão maior do que 1 , un " +3 .

24.3 2 × 104 + 2 × 105 + … + 2 × 1010 = u5 + u6 + … + u11 =

= 2 × 104 × 1 101 107

--

= 22 222 220 000

25 Em janeiro de 2010 o André decidiu começar uma poupança, depositando no banco 1000 euros. No mês seguinte pôs menos 10 % do que tinha posto no mês anterior e assim sucessivamente.

25.1 Justifique que o dinheiro que o André deposita no banco, em cada mês, é dado pela sucessão (bn) definida por:

,

b

b b

1000

0 9n n

1

1 #

=

=+

*, 6n ! IN

25.2 Determine um termo geral de (bn) e indique o dinheiro que foi colocado no banco em março de 2012.

25.3 Para p ! IN , determine uma expressão algébrica para a soma Sp dos p primeiros termos desta sucessão.

25.4 Determine lim Sn e interprete o valor obtido no contexto da situação apresentada.

000707 328-351.indd 342 01/07/16 13:42

343


25.1 O primeiro depósito é de 1000 € ; logo, b1 = 1000 .

Como em cada mês o André deposita menos 10 % do que no mês anterior, significa que deposita 90 % do que depositou no mês anterior.

Portanto:

bn + 1 = 0,9 × bn, 6n ! IN

25.2 A sucessão (bn) é uma progressão geométrica de razão 0,90 e de 1.o termo 1000 .

Logo, bn = 1000 × 0,9n - 1 . Assim, em março de 2012, o 27.o mês, depositou:

b27 = 1000 × 0,926 á 64,61 €

25.3 Sp = 1000 × ,,

1 0 91 0 9 p

-

- = 10 000 × (1 - 0,9p)

25.4 lim Sn = lim 10 000 × (1 - 0,9n)h = 10 000 × (1 - 0) = 10 000

Como (Sn) é crescente, é majorada por 10 000 . Qualquer que seja a duração da poupança do André, o valor acumulado nunca ultrapassará os 10 000 € .

26 A soma, Sn , dos n primeiros termos da sucessão (vn) é dada por:

Sn = 2n2, 6n ! IN

26.1 Justifique que (vn) é uma progressão aritmética de razão 4 .

26.2 Determine um termo geral de vn .

26.3 Calcule lim ( )v

S

n

n

2 .

26.1 Tem-se que 6n ! IN :

vn = Sn - Sn - 1 = 2n2 - 2(n - 1)2 =

= 2n2 - 2n2 + 4n - 2 = 4n - 2

que é uma progressão aritmética de razão 4 .

26.2 vn = 4n - 2

26.3 lim ( )v

S

n

n

2 = lim ( )n

n4 2

22

2

- = lim

n nn

16 16 42

2

2

- + =

= lim

n

n

n 42

2

22

2

-c m

= 2

16 =

18

000707 328-351.indd 343 01/07/16 13:42

344


27 Considere a sucessão de triângulos isósceles, de altura h , em que a base do primeiro triângulo mede 8 , a do segundo mede 4 , a do terceiro 2 , e assim sucessivamente.

u3p78h2

48 2 1 0,5

27.1 Prove que a sucessão das áreas dos triângulos (an) tem de termo geral:

an = h × 23 - n

27.2 Determine h se a8 = 8013

.

27.3 Sabendo que h = 16 , determine a soma de todas as áreas dos triângulos, ou seja, lim Sn , em que Sn é a soma das áreas dos n primeiros triângulos.

27.1 O comprimento de cada base é uma progressão geométrica (bn)

de primeiro termo 8 e razão 21

. Assim:

an = h b

2n#

= h

2

821 n 1

# #-

c m

= h × 4 × 21 n 1-

c m =

= h × 4 × 21 - n = h × 23 - n

27.2 a8 = 8013

+ h × 23 - 8 = 8013

+ h = 80416

+ h = 5,2

27.3 Por 27.1, tem-se que an = 16 × 23 - n , progressão geométrica

de razão 12

e de primeiro termo 64 . Logo:

Sn = 64 × 1

21

121 n

-

- c m

= 128 × 121 n

- ce m o

Então:

lim Sn = lim 128 121 n

# - ce m o> H = 128 lim 121 n

- c m= G =

= 128 × 1 = 128

000707 328-351.indd 344 01/07/16 13:42

345



u

uu

2

23

nn

1

1

=

=+

+

*, 6n ! IN

28.1 Recorrendo ao princípio de indução matemática, justifique que todos os termos de (un) são positivos e prove que (un) é monótona decrescente.

28.2 Justifique que (un) é convergente.

28.3 Determine lim un .

28.1 Pretende-se provar que 6n ! IN, un + 1 < un .

Para n = 1 , tem-se u2 = 2

3 2+ =

25

< 2 = u1 , que é verdade.

Hipótese: Para um certo n ! IN , un + 1 < un .

Tese: un + 2 < un + 1

Demonstração:

un + 2 = u

23 n 1+ +


un + 2 < u

23 n+

= un + 1

Portanto, pelo princípio de indução, 6n ! IN, un + 1 < un .

28.2 Como u1 > 0 , tem-se que u

23 1+

> 0 . Facilmente se observa que,

usando o princípio de indução, se obtém todos os termos de (un) positivos. Assim, 0 é um minorante de (un) . Como (un) é decrescente e minorada, implica que é também convergente.

28.3 lim un + 1 = lim u

23 n+

Como lim un + 1 = lim un , vem:

lim un = lim u

23 n+

+ 2 lim un = lim u3 n+ +

+ 2 lim un = lim u3 n+ & 4(lim un)2 = 3 + lim un +

+ 4(lim un)2 - lim un - 3 = 0 + lim un = 8

1 1 4 4 3! # #+ +

+ lim un = 8

1 7! + lim un = 1 0 lim un = -

43

Verificando as soluções:

• 2 × 1 = 3 1+ ; logo, 1 é solução da equação inicial.

• 2 × 43

-c m = -23

! 343

- ; logo, -43

não é solução da equação.

000707 328-351.indd 345 01/07/16 13:42

346



I

Para cada uma das questões deste grupo, selecione a opção correta de entre as alternativas que lhe são apresentadas.

1 Considere a sucessão (un) definida pelo termo geral:

un = 10 - q3 - nuIndique a afirmação verdadeira:

(A) un " +3

(B) (un) tem exatamente 13 termos positivos.

(C) (un) é monótona.

(D) 10 é um majorante de (un) .

Pode-se escrever un = n n

n n

7 3

13 3

se

se

1

H

+

-) . Então:

(A) Falsa. Para n H 3 , lim un = -3 ; e para n < 3 , lim un = +3 .

(B) Falsa.

7 + n > 0 / n < 3 + -7 < n < 3 + n ! {1, 2}

13 - n > 0 / n H 3 + 3 G n < 13 + n ! {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}

Assim, (un) tem exatamente 12 termos positivos.

(C) Falsa. Para n < 3 , (un) é crescente, mas para n H 3 , (un) é decrescente; logo, (un) não é monótona.

(D) Verdadeira. Tem-se un = 10 - n3- n3 012-

10 ; logo, 10 é um majorante de (un) .


2 O limite da sucessão de termo geral vn =

3 12 3

n

n 1

-- +

é:

(A) -3 (B) -2 (C) 32

(D) 3

lim 3 1

2 3n

n 1

-- +

= lim

3 131

332

3

nn

nn

-

-

d

d

n

n

= -13

= -3


000707 328-351.indd 346 01/07/16 13:42

347


3 Nas figuras seguintes, estão representados os três termos de uma sucessão.

u3p82h1

D C

A B

D C

A B

D C

A B

D C

A B

D C

A B

O 1.o termo é um quadrado azul com 1 cm de lado. Em cada termo seguinte cada quadrado é dividido em quatro quadrados congruentes, com dois deles coloridos de azul.

Considere a sucessão das áreas dos quadrados azuis em cada figura.

A área total de todos os quadrados azuis nesta sucessão é:

(A) 1 (B) 23

(C) 34

(D) 2

Seja (an) a sucessão das áreas dos quadrados azuis em cada figura.

Então, tem-se que an = 1 × 21 n 1-

c m . Logo:

Sn = 1 × 1

21

121 n

-

- c m

= 2 × 121 n

- ce m o

Assim:

lim Sn = lim 2 121 n

# - ce m o> H = 2 lim 121 n

- c m= G = 2


4 Para p ! IR , considere, num referencial o.n. Oxyz :• o plano a definido pela equação x + y + z = 20 ;• a reta r de equação (x, y, z) = (1, 0, -4) + k(2, 2, p), k ! IR .

O valor de p para o qual a reta r é paralela ao plano a é:

(A) -4

(B) -2

(C) 1

(D) 2

(1, 1, 1) $ (2, 2, p) = 0 + 4 + p = 0 + p = -4


000707 328-351.indd 347 01/07/16 13:42

348


5 Considere o triângulo [ABC] representado na figura.

Sabe-se que: • AB = 2•ACWB = 30°

Seja a = BAWC .

Qual das expressões seguintes representa BC em função de a ?

(A) 4 sin a

(B) 6 sin a

(C) 4 cos a

(D) 6 cos a

Teste Intermédio do 11.o ano, 2012

h = 2 sin a e sin 30° = BC

h + BC =

sin

21

2 a = 4 sin a


II

Nas questões seguintes, apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver de efetuar e as justificações necessárias.

1 Considere as sucessões (un) e (vn) definidas, respetivamente, por:

un = n

n2 111 3

--

e v

v v

2

11

nn

1

1

=

= ++

*, 6n ! IN

1.1 Prove que (un) não é monótona.

1.2 Prove, usando a definição de limite, que lim un = -23

e justifique que (un) é limitada.

1.3 A figura ao lado é ilustrativa dos termos da sucessão (vn) .

Sabendo que (vn) é monótona e limitada, calcule o valor para o qual tende o quociente entre o lado maior e o lado menor dos retângulos assim formados.

1.1 Como u1 = 2 111 3--

= 92

, u2 = 2 2 111 3 2#

#-

- = 7

5 e

u6 = 2 6 111 3 6#

#-

- = -17 , tem-se que u1 < u2 mas u2 > u6 .

Logo, (un) não é monótona.

u3p82h2

A

h

C

B

a

2

30º

u3p83h1

2 4 1

3 4 2 5 4 3

8 4 5

000707 328-351.indd 348 20/07/16 16:18

349


1.2 Dado d > 0 , sempre que 4n - 22 > 0 , tem-se que:

u23

n + < d + n

n2 111 3

23

--

+ < d +

+ nn n

4 222 6 6 33

-- + -

< d + n4 22

31-

- < d

n 6+H

31 < d(4n - 22) +

+ 31d

< 4n - 22 + n > 431d

+ 211

Assim, basta tomar para ordem p o primeiro natural superior a

431d

+ 211

e a 6 e, assim, tem-se que todos os termos seguintes, un ,

com n H p , pertencem à vizinhança de -23

e de raio d .

Conclui-se que un " -23

.

Como toda a sucessão convergente é limitada, (un) é limitada.

1.3 Como (vn) é monótona e limitada, existe lim vn e é finito.

Tem-se que lim vn + 1 = lim v11

n+d n . Como lim vn + 1 = lim vn , vem:

lim vn = lim v11

n+d n + lim vn = 1 +

lim v1

n +

+ (lim vn)2 = lim vn + 1 + (lim vn)2 - lim vn - 1 = 0 +

+ lim vn = 2

1 1 4! + + lim vn =

21 5!

Como (vn) é positiva, lim vn = 2

1 5+ (número de ouro).

2 Dada uma progressão aritmética (wn) , sabe-se que w6 = 5 e w14 = 9 .

2.1 Determine uma expressão simplificada do termo geral de (wn) .

2.2 Calcule a soma de todos os 30 termos consecutivos a partir do 10.o termo, inclusive.

2.3 Calcule:

a) lim ww

n

n 1+ b) lim w wn n2 -` j

2.1 w14 = w6 + 8r + 9 = 5 + 8r + r = 21

w6 = w1 + 5 × 21

+ 5 = w1 + 25

+ w1 = 25

Logo, wn = 25

+ (n - 1) × 21

= n2

+ 2 .

2.2 S = w w

210 29+

× 30 = 2

2 22

102

29#+ +

× 30 = 352,5

000707 328-351.indd 349 01/07/16 13:42

350


2.3 a) lim ww

n

n 1+ = lim n

n

22

22

1

+

++

= lim nn

45

++

= lim

n

n4

1

51

+

+ = 1

b) lim w wn n2 -` j =

= lim nn

22

2+ - +d n = lim n

n

nn

22

2

22

2

+ +

+ - -

+

c

fm

p =

= lim n

n

n

22

2

2

+ + +f p = lim

n n n n1 2

21 2

21

2 2+ + +f p =

= 021

+ = +3

3 O Sr. Silva possui 10 depósitos para armazenar água. Sabe-se que o depósito com menor capacidade permite armazenar 1000 litros de água, o segundo 1500 litros, o terceiro 2250 litros, e assim sucessivamente.

Determine qual é a capacidade máxima de água que o Sr. Silva consegue armazenar nos seus depósitos.

Apresente o resultado arredondado à unidade de litro.

Seja (un) a sucessão da capacidade, em litros, de cada depósito.

Tem-se que (un) é uma progressão geométrica de razão 1,5 e de 1.o termo 1000 .

Logo, un = 1000 × 1,5n - 1 e S10 = 1000 × ,

,1 1 5

1 1 510

-

- á 113 330 L .

4 Para x ! IR\{0} , considere, num referencial o.n. xOy , os vetores u(1, 1)

e v x, x2h .

4.1 Supondo que u v_ iT = 3r

, determine o valor exato de x .

4.2 Prove, usando o método de indução, que 6x ! IN , u $ v é par.

000707 328-351.indd 350 01/07/16 13:42

351


4.1 u $ v = u v cos u v_ iT + x + x2 = 2 x x2 4+ cos 3r

+

+ 2x + 2x2 = x x2 22 4+ & 4x2 + 8x3 + 4x4 = 2x2 + 2x4 +

+ 2x2 + 8x3 + 2x4 = 0 + 2x2(1 + 4x + x2) = 0 +

+ 2x2 = 0 0 1 + 4x + x2 = 0 + x = 0 0 x = 2

4 16 4!- - +

IR\{ }x 0+

! x = 0 0 x = -2 + 3 0 x = -2 - 3

Verificação:

Para x = -2 + 3 , tem-se:

2 2 3- +_ i + 2 2 32

- +_ i = 2 2 3 2 2 32 4

- + + - +_ _i i +

+ -4 + 2 3 + 2 4 4 3 3+-_ i =

= 2 4 4 3 3 2 4 4 3 3 4 4 3 3+ + + +- - -_ _ _i i i +

+ 10 - 6 3 = 14 8 3 2 49 56 3 48- + - +_ i +

+ 10 - 6 3 = 208 120 3-

Proposição falsa. Logo, -2 + 3 não é solução da equação inicial.

Para x = -2 - 3 , tem-se:

2 2 3- -_ i + 2 2 32

- -_ i = 2 2 3 2 2 32 4

- - + - -_ _i i +

+ -4 - 2 3 + 2 4 4 3 3+ +_ i =

= 2 4 4 3 3 2 4 4 3 3 4 4 3 3+ + + + + + +_ _ _i i i +

+ 10 + 6 3 = 14 8 3 2 49 56 3 48+ ++ +_ i +

+ 10 + 6 3 = 208 120 3+

+ 100 + 120 3 + 108 = 208 + 120 3 +

+ 100 + 108 = 208

Logo, -2 - 3 é o valor de x .

4.2 Para x = 1 , tem-se u $ v = 1 + 1 = 2 , que é verdade.

Hipótese: Para um certo x ! IN , x + x2 é par.

Tese: x + 1 + (x + 1)2 é par

Demonstração:

x + 1 + (x + 1)2 = x + 1 + x2 + 2x + 1 = (x + x2) + 2x + 2

Por hipótese, x + x2 é par; logo, x + 1 + (x + 1)2 é par porque é a soma de números pares.

Portanto, pelo princípio de indução, 6x ! IN, x + x2 é par, ou seja, 6x ! IN, u $ v é par.

000707 328-351.indd 351 01/07/16 13:42

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