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8/18/2019 Taller matemáticas avanadas

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ESCUELA NAVAL DE CADETES “ALMIRANTE PADILLA”

III COHORTE MAESTRIA EN INGENIERIA NAVAL

MÓDULO DE MATEMATICAS AVANZADAS

TALLER #2.

PRESENTADO POR:

ING. DAVID GONZALEZ

PROFESOR: M.Sc. WILLIAN CABALLERO G.

CARTAGENA DE INDIAS

25 DE FEBRERO DE 2!"

EERCICIO 2! PAG. !. compruebe que la familia de funciones indicada es una solución de la ecuación diferenciadada. Suponga un intervalo I de definición adecuada para cada solución.


2/27

R$

Sabemos que:

dP

dt = P (1− P ); P=

C 1∗et

1+C 1∗et

Derivamos P en función de t:

dP

dt =

[ (C 1∗e t )∗(1+C 1∗et )−(C 1∗et )∗(1+C 1∗e t ) ](1+C 1∗e

t )2

dP

dt =

[ (C 1∗e t )∗(1+C 1∗et −C 1∗e t )](1+C 1∗e

t )2

dPdt = [(C

1∗et

)](1+C 1∗e

t )2

¿ P1+C 1∗e

t

También tenemos que:

dP

dt = P (1− P ) ¿ p∗(1− C 1∗e

t

1+C 1∗et )

dP

dt = p∗( 1+C 1∗e

t −C 1∗e t

1+C 1∗et )

dP

dt =( P1+C 1∗e t )

Lo que nos queda que:

dP

dt =( P1+C 1∗e t ) Paratodo I =(0


3/27

R$

Hacemos la primera segunda y tercera derivada de y en función de :

dy

dx=(C 3∗ln( x ))+(8∗ x )−(C 1 x2 )+C 2+C 3

d2 y

d x2=

C 3

x + (8 )+(2∗C 1 x3 )

d3 y

d x3=−C 3 x

2 −(6∗C 1 x4 )

!eempla"amos en la ecuación diferencial:

x3∗(−C 3 x2 −(

6∗C 1

x4 ))+2∗ x2∗(C 3 x + (8 )+(2∗C 1 x3 ))− x∗((C 3∗ln ( x ) )+(8∗ x )−(C 1 x2 )+C 2+C 3)+ y=12∗ x2

−C 3∗ x−6∗C 1

x +2∗C 3∗ x+

4∗C 1 x

+16∗ x2−C 3∗ x∗ln ( x )−8∗ x2+

C 1

x − x∗C 2− x∗C 3+

C 1

x +C 2∗ x+C 3∗ x∗ln ( x )+

Se eliminan los elementos iguales de signos contrarios:

12∗ x2=12∗ x2

#n un intervalo I =(0


4/27

R$

! 0 !apide" o cambio de la cantidad de sal

1*t+ 0 antidad de sal en el tanque en el tiempo t.

#l cambio viene epresado como:

dA

dt = R1− R2

Donde)

R1= Rapidez con que entra sal al tanque

R2= Rapidez con que sale sal del tanque

omo est( entrando agua dulce)

R1=3 Gal

min∗0=0

R2=3

Gal

min∗ A (t )

300 Gal =

A (t )100

dA

dt =0−

A (t )100

dA

dt =

− A (t )100


5/27

dA

A (t )=−dt 100

∫ dA A (t )

=∫−dt 100

LnA(t )= −t 100

+C

A (t )=e−t 100

+C

A (t )=e−t 100∗eC

A (t )=C ∗e−t 100

uando t 0 %) 1 *%+ 0 &% Lb

50=C ∗e0 ;C =50

A (t )=50∗e−t 100

EERCICIO !% PAG. 2&. Del tanque cónico rectangular recto que se muestra en la fi gura) sale agua por un agu2erocircular que est( en el fondo. Determine una ecuación diferencial para la altura h del agua al tiempo t . #l radio del agu2eroes 3 pulg) g 0$3 pies's3) y el factor de fricción'contracción es c = %.4.

R$

Seg5n la ley de Torricelli) tenemos una ecuación para la velocidad del fluido que pasa por un agu2ero de un recipiente quecontiene agua) epresada como rapide" del agua:


6/27

v=√ 2∗g∗h

#l volumen de agua que sale del tanque por segundo) se epresa como:

dV

dt =−c∗ Ah √ 2∗g∗h

Siendo Ah el (rea del orificio que se epresa como:

12} right )} ^ {2} = {π} over {36}

2∗1 t ¿¿

Ah=! ∗r2=! ∗¿

#l volumen del agua en el recipiente cónico es:

V =13 A"∗h

Se deriva el volumen en función del tiempo:

dV

dt =

1

3

A"∗dh

dt

#ntonces) la altura del agua en tiempo t es:

dh

dt =

3

A"∗dV

dt

Se igualan términos:

dh

dt =

−3 A "

∗c∗ Ah √ 2∗g∗h

!eempla"ando:

dh

dt =

−3 A"

∗0.6∗!

36 √ 2∗32∗h

dh

dt =

−0.4∗! A"

√ h

A"=! ∗r2


7/27


8/27

dm

dt = #∗4∗! ∗r2

dr

t

omo el radio disminuye a ra"ón constante) epresamos:

dm

dt =%∗&

Siendo S y >:

%=4∗! ∗r2

& = # dr

dt

dr

dt =

&

#

?ntegramos:

∫ drdt =∫ &

#

r (t )=& ∗t # +C

uando t 0 %) tenemos:

r (0 )=& ∗0

#

+C ;C =r (0 )

r (t )=& ∗t # +r (0)

6

d (m∗v)dt

= =mg

m∗dvdt

+v∗dm

dt =mg

!eempla"ando valores:

#∗43 ∗! ∗r3∗dv

dt +

v∗& ∗43 ∗! ∗r2=

#∗43 ∗! ∗r3 g

#liminando elementos iguales:


9/27

dv

dt +

3∗& #∗r

∗v=g

EERCICIO % PAG. %2. demuestre que las funciones respectivas son ortogonales en el intervalo indicado.

R$

Para verificar ortogonalidad) la integral del producto de las dos funciones debe ser cero.

∫0

!

$ 1 ( x )∗$ 2 ( x ) dx=0

∫0

!

cos ( x )∗%en2 ( x )dx=0

1−cos[¿¿ 2 ( x )]

cos ( x )∗¿dx=0¿

∫0

!

¿

∫0

!

[cos ( x )−cos3

( x )]dx=0

cos3 ( x )

cos ( x ) dx−∫0

!

¿dx

¿¿

∫0

!

¿

sen ( x ) {! 0−cos2 ( x )∗%en ( x )

3 {! 0 +2

3∗∫

0

!

cos ( x ) dx=0

sen ( x){! 0+(−%en ( x )+%en3 ( x )

3 −

2

3∗%en( x)){! 0=0

0=0


10/27

EERCICIO !% PAG. %2. ompruebe por integración directa que las funciones del problema @ son ortogonalesrespecto a la función de peso indicada en el intervalo dado.

R$

Para comprobar ortogonalidad) multiplicamos las funciones entre si y por la función de peso) obteniendo % comoresultado:

∫0

∞

e− x∗1∗(1− x ) dx=0

e

(¿¿− x− x∗e− x )dx=0

∫0

∞

¿

−e− x∗( x+1 ){∞0−∫0!

e− x=0

x∗e− x−e− x+e− x{∞0=0

x∗e− x

{∞

0

=0

0=0

∫0

∞

e− x∗1∗(12∗ x2−2∗ x+1)dx=0

∫0

∞

( e− x∗ x2

2 −2∗e− x∗ x+e− x)dx=0

∫0

∞e− x∗ x2

2 dx−∫

0

∞

2∗e− x∗ x dx+∫0

∞

e− x

dx=0

−(e− x∗ x2)2 {∞0 +∫

0

∞

x∗e− x dx+2∗e− x∗( x+1 ) {∞0 −e− x {∞0=0


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−(e− x∗ x2)2 {∞0 +(−e− x∗( x+1 )+2∗e− x∗( x+1 )−e− x){∞0=0

0=0

∫0

∞

e− x∗(1− x )∗

(

1

2

∗ x2−2∗ x+1

)dx=0

∫0

∞

e− x−e− x∗ x∗( 12∗ x2−2∗ x+1)dx=0

x3− x2−2

¿ x∗e− x∗¿

¿

0=0

EERCICIO !& PAG. %2. #l con2unto de funciones Asen nx B) n C ) 3) $) . . . es ortogonal en el intervalo [−! ' ! ] .Demuestre que el con2unto no es completo.

R$

uando se ingresa una función dentro de un con2unto de funciones y esta función es ortogonal para todas las funciones)se dice que NO ES COMPLETA.

Se puede agregar una función $ ( x )=1 ) quedando el con2unto de funciones {1,%en(nx) .

Para ser ortogonal con n 0 m) se epresa:

∫−∞

∞

1∗%en (nx )dx=0

−cos (nx)n {

∞

−∞

−cos (n! )n

+−cos(n! )

n =0

0=0


12/27

Para n( m ) se epresa:

∫−∞

∞

1∗%en (nx )∗%en ( mx ) dx=0

Por ecuaciones trigonométricas:

1

2∫−∞

∞

[cos (n−m )∗ x−cos (n+m )∗ x ] dx=0

1

2∗([ %en [ x∗(n−m )]n−m ]−[ %en [ x∗(n+m ) ]n+m ]){ ! −! =0

0=0

La función $ ( x )=1 es ortogonal para todas as funciones { %en(nx) } ) por tal motivo se dice que la función{ %en(nx) } NO ES COMPLETA.

EERCICIO ( PAG. %7. encuentre la serie de ourier de f en el intervalo dado.

R$

Teniendo en cuenta las ecuaciones de la serie de fourier:

p=1

$ ( x )=a0

2 +∑n=1

∞

(an cos n!x p +)nsin n!x p )

a0=1 p∫− p

p

$ ( x )dx

an=1

p∫− p

p

$ ( x )∗cos ( n! p x )dx

)n=1

p∫− p

p

$ ( x )∗%en( n! p x )dx


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a0=∫−1

0

dx+∫0

1

xdx

a0= x { 0−1+ x

2

2 {10=32

an=∫−1

0

cos (n!x ) dx+∫0

1

x∗cos (n!x ) dx

an=−%en(n!x)

n! { 0−1−[−( x∗%en(n!x)! ∗n ){10+∫01

sen (n!x)

n∗! ]an=

−%en(n!x)

n!

{

0

−1+

[( x∗sen (n!x)! ∗n )+(

cos(n!x)

! 2∗n2 )

] {10

an=( cos (n!x)! 2∗n2 ){10

an=(−1)n

! 2∗n2

− 1

! 2∗n2

=(−1)n−1

! 2∗n2

)n=∫−1

0

%en (n!x ) dx+∫0

1

x∗%en (n!x ) dx

)n=−cos (n!x )

n! { 0−1+[− x∗cos (n!x )n! + %en(n!x)! 2∗n2 ]{10)n=

−1n!

n!x

¿¿(−1 )

n−1

! 2∗n2

∗cos(−1n!

sin (n!x )¿)

¿

$ ( x )=3

4+∑

n=1

∞

¿


14/27

EERCICIO ! PAG. %7. encuentre la serie de ourier de f en el intervalo dado.

R$

Teniendo en cuenta las ecuaciones de la serie de fourier:

p=!

2

$ ( x )=a

0

2 +∑

n=1

∞

(an cos n!x p +)nsin n!x p )

a0=1

p∫− p

p

$ ( x )dx

an=1

p∫− p

p

$ ( x )∗cos ( n! p x )dx

)n=1

p∫− p

p

$ ( x )∗%en( n! p x )dx

a0=2

! ∫−! 2

0

0∗dx+2

! ∫0

!

2

cos( x)dx

a0=2∗%en ( x)

! {! 20

=2

!

an= 2! ∫0

!

2

cos ( x )∗cos(2nx )dx

an=

2

! ∗cos (!n)

(1−4n2)

an= −2∗(−1)n

! ∗(1−4n2)=

2∗(−1)n+1

! ∗(4n2−1)


15/27

)n=2

! ∫0

!

2

cos ( x )∗%en(2nx)dx

)n=cos ( x+(2n−1 ))2

∗(1

−2n

)

−cos( x+(2n+1 ))2

∗(2n

+1

)

{

!

2

0

)n=2∗(%en (!n )−2n)

! ∗(1−4 n2) = 4 n

! ∗(1−4n2)

2 nx¿¿

2∗(−1)n+1

! ∗(4n2−1)∗cos

(

+4n

! ∗(1−4 n2)sin

(2

nx)¿)¿

$ ( x )=2

! +∑

n=1

∞

¿

EERCICIO 2 PAG. %'. Etilice el resultado del problema F para demostrar que:

R$

#l problema F plantea lo siguiente:

#ncuentre la serie de ourier de:

a0=

1

! ∫0

!

%en( x )dx

a0=−1

! ∗cos ( x ) {! 0=

2

!

an=1

! ∫0

!

%en ( x )∗cos (nx)dx


16/27

an=cos [ x∗(n−1 ) ]2 ! (n−1)

−cos [ x∗( n+1 ) ]2! (n+1) {! 0

an=cos (!n )+1

! (1−n2) =

(−1)n+1

! (1−n2)

)n=1! ∫0

!

%en ( x )∗%en (nx)dx

)n= 1

2∗! ∫0

!

[cos (1−n )∗ x−cos (1+n )∗ x ] dx

(1−n )∗ x¿

(1+n )∗ x¿

%en [¿1+n¿]{! 0

%en¿¿

)n= 1

2∗! ∗¿

)n=0

omo *+ cuando n0 se reduce aa0 8 se utili"a la ley de convergencia para los valores de entre % y 3.

La ley de convergencia) en un punto de discontinuidad) la serie de ourier converge ,acia el promedio:

Tomando como inicio el punto + ! ) tenemos que la formula es:

%en ( x )+02

La ecuación converge en%en( x )

2

#ntonces *+ ser(:


17/27

nx¿

(−1)n+1

! (1−n2)∗cos (¿¿)

¿

$ ( x )=1

! +

%en ( x)2 +∑

n=1

∞

¿

Tomando como base esta respuesta) y sabiendo que la función es continua en x=!

2 ) y$ ( x )=sen( ! 2 )=1 .

La serie con x=!

2 ser(:

1=1

! +1

2+ 2

3! − 2

15 ! + 2

35 ! −,

7ultiplicando por ! :

! =1+!

2+

2

3−

2

15+

2

35−,

! −!

2=1+

2

3−

2

15+

2

35−,

Se divide entre 3:

!

4=

1

2+

1

3−

1

15+

1

35−,

EERCICIO !2 PAG. %!%. desarrolle cada función dada en una serie adecuada de cosenos o senos.

R$

Tenemos las funciones con los l6mites establecidos:


18/27

#valuaremos solo una función ya que $ ( x )=0, es %. G las otras dos funciones dar(n el mismo resultado y son

funciones par ya que son simétricas respecto a el e2e y) por ello se toma $ ( x )= {1,1


19/27


20/27

d x p(t )

dt =∑

n=1

∞

n∗(-n∗cos (nt ) )

d x p2(t )

d t 2 =∑

n=1

∞

−n2∗(- n∗%en (nt ) )

m∗∑n=1

∞

−n2∗(-n∗%en (nt ) )+& ∗∑n=1

∞

(-n∗%en (nt ))=∑n=1

∞

(10 [(−1 )

n+1

+1]n!

∗%en (nt ))m0) >0 %.

∑n=1

∞

-n∗(10−n2 )∗%en(nt )=∑

n=1

∞

(10 [(−1 )n+1+1]

n! ∗%en (nt ))

-n∗(10−n2 )∗%en (nt )=(10 [ (−1 )

n+1+1]n!

∗%en (nt ))-n=10[ (−1 )

n+1

+1](10−n2 )∗n!

x p (t )=10

! ∑

n=1

∞

( [ (−1 )n+1

+1]

(10−n2 )∗n∗%en (nt ))

Ga obtenida la ecuación particular) debemos ,allar la solución general:

x (t )= xc ( t )+ x p (t )

Donde xc (t ) es la ,omogénea asociada) teniendo como ecuación auiliar mr2

+& =0 .

r2=

−& m

r=√−& mr=0. i∗

√ &

m

=0. i∗√ 10

La solución de una ecuación comple2a es:

y ( x )=C 1∗e/x∗sen ( 0x )+C 2∗e

/x∗cos ( 0x )

Donde la ,omogénea asociada queda epresada como:

xc (t )=C 1∗e0∗%en (√ 10∗t )+C 2∗e

0∗cos (√ 10∗t )=C 1∗%en√ 10+C 2∗cos (√ 10∗t )


21/27

x (t )=C 1∗%en(√ 10∗t )+C 2∗cos (√ 10∗t )+10

! ∑

n=1

∞

( [ (−1 )n+1

+1]

(10−n2 )∗n∗%en (nt ))

Para ,allar las constantesC 1 y C 2 utili"amos las condiciones iniciales.

Tomando primero como condición inicial x (0 )=0 ) reempla"amos en la ecuación principal:

0=C 1∗sen(0)+C 2∗cos(0)+10

! ∑

n=1

∞

( [ (−1 )n+1

+1]

(10−n2 )∗n∗%en (0 ))

C 2=0

uedando la ecuación:

x (t )=C 1∗%en(√ 10∗t )+10

! ∑n=1

∞

([ (−1 )

n+1+1]

( 10−n2)∗n∗%en (nt )

)La segunda condición es x

1 (t )=0 ) derivamos en función de t y reempla"amos:

x1 ( t )=C 1∗√ 10∗cos (√ 10∗t )+

10

! ∑

n=1

∞

( [ (−1 )n+1

+1]

(10−n2 ) ∗cos (nt ))

0=C 1∗√ 10∗cos (0 )+10

! ∑

n=1

∞

([ (−1 )n+1+1]

(10−n2 ) ∗cos (0 ))

C 1=−√ 10

! ∑

n=1

∞

( [ (−1 )n+1

+1]

(10−n2 ) )

x (t )=−√ 10

! ∑

n=1

∞

( [ (−1 )n+1

+1]

(10−n2 ) )∗%en (√ 10∗t )+ 10! ∑n=1∞

( [ (−1 )n+1

+1]

(10−n2 )∗n∗%en (nt ))

x (t )=10

! ∑

n=1

∞

( [ (−1 )n+1

+1]

(10−n2) )∗(%en(nt )

n −

%en (√ 10∗t )√ 10 )

6 !eali"amos un programa en 7atlab introduciendo esta ecuación:

syms tIn0ISE70%I


22/27


23/27

5 $ {#} ^ {2} %X=0

La ecuación auiliar es:

m2+ 62=0

m=0. i6

5 ( x )=C 1 cos ( 6x )+C 2%en( 6x)

Teniendo en cuenta la primera condición:

5 (0 )=0

C 1=0

5 ( x )=C 2 %en( 6x)

Teniendo a 6=n!

L )

( x )=C 2%en (n!

L x)

Para T*t+)

7 1

&7 =− 62

∫ 7 1 7 (t )

=−∫ &62

ln (7 )=−&62 t +C 3

7 =e−&62

t +C 3=C 3∗e−&62 t =C 3∗e

−& ( n! L )2

t

1rro2ando una ecuación general:

3 ( x ' t )=∑n=1

∞

( An∗C 3∗e−& (n!

L )2

t

∗%en ( n! L x))Para L0%%)

3 ( x ' t )=∑n=1

∞

( An∗e−& ( n!

100 )2

t

∗%en ( n! 100 x))


24/27

A n=2

L∫0

L

$ ( x ) %en ( n! L x)dx

De las condiciones iniciales)

An= 2

100 [∫0

50

0.8∗ x∗%en( n! 100 x)dx+∫50

100

0.8∗(100− x )∗sen ( n! 100 x)dx ]

An=[160∗%en ( n!

100 x)

n2∗! 2

−

8∗ x∗cos ( n! 100 x)5∗n∗! ]{500 +[8∗( x−100 )∗cos(

n!

100 x )

5∗n∗! −

160∗%en( n! 100 x)n

2∗! 2 ]{10050

A n=[160∗%en(n!

2 )n2∗! 2

−80∗cos( n! 2 )

n∗! ]{+[ 8∗( x−100 )∗cos ( n!

100 x)

5∗n∗! −160∗%en( n! 100 x )

n2∗! 2 ]{10050

An=

160∗%en( n! 2 )n2∗! 2

−

80∗cos ( n! 2 )n∗!

−

80∗cos( n! 2 )n∗!

+

160∗%en( n! 2 )n2∗! 2

A n=320∗%en ( n! 2 )

n2∗! 2

3 ( x ' t )=∑n=1

∞ (320∗%en (n!

2 )n

2∗! 2 ∗e

−& ( n! 100 )2

t

∗%en( n! 100 x ))

3 ( x ' t )=320

! 2 ∑

n=1

∞ ( %en(n!

2 )n

2 ∗e

−& ( n! 100 )2

t

∗%en ( n! 100 x))6

omo A n=0 para n5meros pares) n=1,3,5,&,,

n=2∗ p−1

%en ( n! 2 )=%en( (2 p−1 )∗! 2 )=(−1) p+1 ' para p=1,2,3,4,5,,


25/27


26/27

R$

3= 5 ∗7 − 62=C78

Para que no sea una solución trivial) tenemos

5 $ {#} ^ {2} %X=0

5 (0 )=0 ) 5 (! )=0

5 ( x )=C 1∗%en (nx)

7 $ {#} ^ {2} % {'} ^ {2} T=0

7 =C 2 cos (nat )+C 3 %en (nat )

3 ( x ' t )=∑n=1∞

( An∗cos (nat )+- n %en(nat ))∗%en(nx )

2 3

2 t |t =0=0

23

2 t =∑n=1

∞

( An∗%en (0 )na −-n%en(0)

na )∗%en (nx )=0

-n=0

3 ( x '0 )=∑n=1

∞

A n∗cos (0 )∗%en (nx )=1

6∗ x∗( ! 2− x2 )

1

6∗ x∗(! 2− x2 )∗¿%en (nx )dx

An= 2! ∫0

!

¿

x∗! 2∗%en(nx )− x3∗¿ %en (nx )dx

An= 1

3 ! ∫0

!

¿


27/27

A n=! 2∗%en(nx )

3! n2 +

! 2∗ x∗cos (nx )3!n {! 0+[− x3cos (nx)n + 3∗ x

2∗%en(nx )−6∗( x∗n∗cos (nx )+%en(nx)n2 )n2 ]{! 0

!

0

+¿

¿

An=!

2∗ x∗cos(nx )3 !n

¿

An=− 2∗cos (n! )

n3

An

=−2∗(−1 )n

n3 =

2∗(−1 )n+1

n3

3 ( x ' t )=2∑n=1

∞

( (−1 )n+1

n3 ∗cos (nat ))∗%en (nx)

taller matemáticas avanadas

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